Programa Entrenamiento MT-22 SOLUCIONARIO Guía de ejercitación avanzada SGUICEN037MT22-A16V1 Variable aleatoria, función de probabilidad y función de distribución TABLA DE CORRECCIÓN Guía de ejercitación Variable aleatoria, función de probabilidad y función de distribución ÍTEM ALTERNATIVA HABILIDAD 1 B Comprensión 2 E Comprensión 3 C Aplicación 4 A Aplicación 5 C ASE 6 E Comprensión 7 A ASE 8 B ASE 9 D Aplicación 10 D ASE 11 E Aplicación 12 A Aplicación 13 E Aplicación 14 A ASE 15 D Comprensión 16 D ASE 17 C ASE 18 D Comprensión 19 D Aplicación 20 C Aplicación 21 D ASE 22 A Comprensión 23 D Comprensión 24 E Aplicación 25 A Aplicación 26 A Aplicación 27 C ASE 28 D ASE 29 E ASE 30 C ASE 1. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad Azar Comprensión Las fichas son {T, R, E, S, U, N, O}, conjunto que corresponde al espacio muestral. Este conjunto posee siete elementos. 2. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad I) Azar Comprensión Verdadera, ya que si en cada una de las 50 extracciones saca dulces de piña y se los come, entonces quedaran solo los dulces de menta dentro de la bolsa. II) Verdadera, ya que si en 25 de las 50 extracciones saca dulces de piña y se los come, y en las otras 25 extracciones saca dulces de menta y los devuelve a la bolsa, entonces le quedaran 25 dulces de piña y 50 dulces de menta. III) Verdadera, ya que si en cada una de las 50 extracciones saca dulces de menta y los devuelve a la bolsa, entonces le quedaran todos los dulces de la bolsa, que son 100. Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 3. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad Azar Aplicación Si en la moneda sale cara, el resultado del experimento es igual al resultado del dado azul. Luego, en este caso, los resultados son 1, 2, 3, 4, 5 ó 6. Si en la moneda sale sello, el resultado del experimento es igual al doble del resultado del dado rojo. Luego, en este caso, los resultados son 2, 4, 6, 8, 10 ó 12. El espacio muestral de un experimento corresponde al conjunto de todos los resultados distintos de dicho experimento. En este caso, dichos resultados serían {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12}. Por lo tanto, el espacio muestral del experimento tiene 9 elementos. 4. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad Azar Aplicación Al realizar el experimento resulta: Primera extracción Segunda extracción Operación Resultado 1 2 Suma 3 1 3 Multiplicación 3 2 1 Suma 3 2 3 Suma 5 3 1 Multiplicación 3 3 2 Suma 5 El espacio muestral de un experimento corresponde al conjunto de todos los resultados distintos de dicho experimento. En este caso, el resultado del experimento puede ser 3 ó 5. Por lo tanto, el espacio muestral del experimento es {3, 5}. 5. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad Azar ASE I) Verdadera, ya que el espacio muestral de un experimento corresponde al conjunto de todos los resultados distintos de dicho experimento. Como este experimento termina cuando sale cara en la moneda, entonces todos los resultados tendrán inicialmente S una cierta cantidad de veces y finalmente una C, considerando además el caso que salga cara en el primer lanzamiento y el experimento termine. Luego, el espacio muestral del experimento será {C, SC, SSC, SSSC, SSSSC,…}. Como no existe un límite para los sellos que pueden aparecer antes que salga cara, entonces no existe un límite para los posibles resultados del experimento. Es decir, el espacio muestral del experimento tiene infinitos elementos. II) Falsa, ya que el resultado SCSC indica que salió cara en el segundo lanzamiento y sello en el tercero, lo que indicaría que el experimento continuó después de haber salido cara. Eso contradice el procedimiento descrito en el enunciado. III) Verdadera, ya que si el experimento se realiza muchas veces, teóricamente en el primer lanzamiento la mitad de las veces saldrá cara y la mitad de las veces saldrá sello. Como el experimento termina cuando sale cara, entonces si el experimento se realiza muchas veces, teóricamente la mitad de las veces el experimento terminará en el primer lanzamiento. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas. 6. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad Azar Comprensión El espacio muestral de un experimento corresponde al conjunto de todos los posibles resultados que tenga el experimento. Al realizar el experimento de lanzar 2 monedas, en cada una de ellas puede salir cara o sello. Por lo tanto, el espacio muestral de este experimento es: {(cara - cara), (cara - sello), (sello - cara), (sello - sello)} 7. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad Azar ASE Eventos independientes son aquellos que no tienen elementos en común. Si se escoge al azar un número entero del 10 al 25, el evento “que salga un número par” corresponde al conjunto {10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}. Luego: I) Es independiente, ya que si se escoge al azar un número entero del 10 al 25, el evento “que salga un número primo” corresponde al conjunto {11, 13, 17, 19, 23}, por lo tanto, no tiene elementos en común con el evento “que salga un número par”. II) NO es independiente, ya que si se escoge al azar un número entero del 10 al 25, el evento “que salga un número múltiplo de 11” corresponde al conjunto {11, 22}, por lo tanto, tiene un elemento en común con el evento “que salga un número par”. III) NO es independiente, ya que si se escoge al azar un número entero del 10 al 25, el evento “que salga un número mayor que 15” corresponde al conjunto {16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}, por lo tanto, tiene cinco elementos en común con el evento “que salga un número par”. Por lo tanto, solo I corresponde a un evento independiente del evento “que salga un número par”. 8. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad Azar ASE Al lanzar simultáneamente una moneda de $ 50 y una moneda de $ 100, existen cuatro posibles resultados equiprobables: que salga cara en ambas monedas, que salga cara en la moneda de $ 50 y sello en la moneda de $ 100, que salga sello en la moneda de $ 50 y cara en la moneda de $ 100, o que salga sello en ambas monedas. Luego: I) Falsa, ya que lanzar monedas es un experimento aleatorio, o sea, no se puede predecir con exactitud el resultado. II) Verdadera, ya que como los cuatro resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir, entonces teóricamente cada uno de ellos ocurre la cuarta parte de las veces. Es decir, si las monedas se lanzan cuatro millones de veces, teóricamente un millón de veces saldrá cara en ambas monedas. III) Falsa, ya que existe solo un caso en que no sale cara en ninguna de las monedas. Como los cuatro resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir, entonces teóricamente cada uno de ellos ocurre la cuarta parte de las veces. Es decir, si las monedas se lanzan cuatro millones de veces, teóricamente un millón de veces no saldrá cara en ninguna de las monedas. Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera. 9. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad Azar Aplicación La esperanza matemática se calcula como la suma de los productos entre cada valor de X y 3 su respectiva probabilidad. En este caso, la probabilidad del 2 es , la probabilidad del 3 es 6 1 2 y la probabilidad del 6 es . 6 6 Luego, el valor esperado de X es 2 3 2 1 6 6 6 18 3 6 3 6 6 6 6 6 10. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad Azar ASE La esperanza matemática se calcula como la suma de los productos entre cada valor de X y su respectiva probabilidad. En este caso, X puede valer 0, 1 o 2, luego: 10 10 2 2 4 . 25 25 5 5 25 Si se escogen dos hombres, entonces X = 0 y su probabilidad es Si se escoge primero una mujer y luego un hombre, entonces X = 1 y su probabilidad es 15 10 3 2 6 . 25 25 5 5 25 Si se escoge primero un hombre y luego una mujer, entonces X = 1 y su probabilidad es 10 15 2 3 6 . 25 25 5 5 25 Si se escogen dos mujeres, entonces X = 2 y su probabilidad es Luego, el valor esperado de X es 0 4 25 1 6 25 1 6 25 2 9 25 15 15 3 3 9 . 25 25 5 5 25 6 6 18 25 30 1,2 25 11. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad Azar Aplicación La esperanza matemática se calcula como la suma de los productos entre cada valor de X y su probabilidad. En este ejercicio existen diez posibles selecciones que se agrupan en tres casos: Las combinaciones {R, E, A} {E, S, A} {E, T, A} tienen una consonante. Luego, el valor de 3 X es 1 y su probabilidad es = 0,3. 10 Las combinaciones {R, E, S} {R, E, T} {R, S, A} {R, T, A} {E, S, T} {S, T, A} tienen dos 6 consonantes. Luego, el valor de X es 2 y su probabilidad es = 0,6. 10 La combinación {R, S, T} tiene tres consonantes. Luego, el valor de X es 3 y su probabilidad 1 es = 0,1. 10 Por lo tanto, el valor esperado de X es (1·0,3 + 2·0,6 + 3·0,1) = (0,3 + 1,2 + 0,3) = 1,8. 12. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad Azar Aplicación La esperanza matemática se calcula como la suma de los productos entre cada valor de X y su respectiva probabilidad. En este caso existen dos situaciones: * Si ocurre el evento A, el valor de X es (m – 1) y su probabilidad es p. * Si no ocurre el evento A, el valor de X es m y su probabilidad es (1 – p). Por lo tanto, el valor esperado de X es (m – 1)·p + m·(1 – p) = mp – p + m – mp = m – p 13. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad Azar Aplicación Al realizar el experimento, existen seis combinaciones posibles: {blanca, negra}, {blanca, verde}, {negra, blanca}, {negra, verde}, {verde, blanca} y {verde, negra} Los casos en que X = 1 son cuatro: {blanca, verde}, {negra, verde}, {verde, blanca} y 4 2 {verde, negra}. Por lo tanto, P(X = 1) es igual a . 6 3 14. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad Azar ASE Al lanzar dos dados hay 36 combinaciones posibles. Luego: I) Verdadera, ya que los casos en que el promedio es mayor que 5 son {5, 6}, {6, 5} 3 1 (promedio 5,5) y {6, 6} (promedio 6). Entonces, P(X > 5) = . 36 12 II) Falsa, ya que hay 3 casos en que el promedio es 2 ({1, 3}, {2, 2}, {3, 1}) y 5 casos en que el promedio es 3 ({1, 5}, {2, 4}, {3, 3}, {4, 2}, {5, 1}). Entonces, P(X = 2) < P(X = 3). III) Falsa, ya que por ser un promedio, X puede tomar valores decimales. Por ejemplo, para la combinación {1, 2}, X toma el valor 1,5. Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera. 15. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad Azar Comprensión En total hay 18 casillas, de las cuales: 3 3 tienen el número 6 P(X = 6) = 18 5 tienen el número 10 P(X = 10) = 4 tienen el número 8 P(X = 8) = 4 18 5 18 6 6 tienen el número 12 P(X = 12) = 18 Por lo tanto, la función de probabilidad P(X = a) está representada por la expresión a 1 a . 2 18 36 16. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad Como P(X = m) = Azar ASE k , con m ∈{1, 2, 3} P(X = 1) = m k , P(X = 2) = 1 k y P(X = 3) = k 3 2 Como X solo toma esos tres valores, entonces se cumple: P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1 k 1 Por lo tanto, el valor de k es 6 + k 2 + k 3 =1 11 k 6 =1 k= 6 11 . 11 17. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad I) Azar ASE Verdadera, ya que el recorrido de la variable aleatoria X corresponde al dominio de la función de probabilidad. II) Verdadera, ya que la suma de las probabilidades debe dar 1. Se tienen 0,15 + 0,2 + 0,35 + 0,15 = 0,85; por lo que falta 0,15 para completar la unidad. Entonces, el valor de n es 0,15. III) Falsa, ya que la probabilidad de x = 3 según la tabla es 0,35; lo que es equivalente a la 7 fracción 20 Por lo tanto, solo I y II son verdaderas. 18. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad Azar Comprensión La variable aleatoria X hace referencia a la cantidad de bolitas que tiene número par, como se extraen 5 bolitas los posibles casos (en cantidad de bolitas) son, obtener: Caso Impar Par 1 5 0 2 4 1 3 3 2 4 2 3 5 1 4 6 0 5 Por lo que el recorrido de la variable aleatoria X es {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 19. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad Azar Aplicación Como P es la función de probabilidad y F es la función de distribución (probabilidad acumulada), entonces se cumple que: P(2 ≤ X ≤ 3) = F(X = 3) – F(X = 1) = 5 2 25 4 6 15 30 21 30 7 10 20. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad Azar Aplicación Como P es la función de probabilidad y F es la función de distribución (probabilidad acumulada), entonces se cumple que: P(X = 4) = F(4) – F(3) = 42 25 32 25 16 9 25 7 25 21. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad I) Azar ASE Verdadera, ya que las barras x = 0 y x = 12 tienen la misma altura, por lo tanto poseen la misma probabilidad. II) Falsa, ya que la probabilidad de obtener a lo más 4 es igual a la suma de las probabilidades de obtener 0, 1, 2, 3 y 4, esto se calcula se la siguiente manera: P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0,04 + 0,05 + 0,07 + 0,07+ 0,1; lo que da como resultado 0,33, equivalente a un 33% y no a un 10%. III) Verdadera, ya que la probabilidad de obtener a lo menos 10 es igual a la suma de las probabilidades de obtener 10, 11 y 12, esto se calcula de la siguiente manera: P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) = 0,07 + 0,05 + 0,04; lo que da como resultado 0,16, equivalente a un 16%. Por lo tanto, I y III son verdaderas. 22. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad Azar Aplicación Con la información de la tabla es posible comprobar inmediatamente que D y E son verdaderas, ya que la tabla muestra las probabilidades acumuladas. Como las otras opciones apuntan a la probabilidad de obtener solo 1 valor de la variable aleatoria X se hace necesario determinar la función de probabilidad, la cual es de la siguiente forma: X f(x) 0 F(0) 0,1 1 F(1)-F(0) 0,1 2 F(2)-F(1) 0,2 3 F(3)-F(2) 0,2 4 F(4)-F(3) 0,4 Por lo tanto, la probabilidad de obtener 2 es del 40% es la afirmación falsa. 23. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad I) Azar Comprensión Verdadera, ya que la función de probabilidad binomial se utiliza en experimentos en donde la variable aleatoria toma solo dos valores, fracaso o éxito. II) Falsa, ya que al ser sin reposición, la probabilidad de un determinado evento varía a medida que se repite el experimento. La probabilidad de éxito y fracaso debe ser constante. III) Verdadera, ya que el recorrido de la variable aleatoria en un experimento dicotómico tiene dos elementos, por lo tanto se pueden enumerar (elementos contables). Por lo tanto, solo I y III son verdaderas. 24. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad Azar Aplicación Para este problema utilizaremos la función de probabilidad binomial, ya que son dos posibles casos, que salga cara (éxito) o que salga sello (fracaso). Se tiene que: 1 X: número de caras, p = q = , n = 10 2 Luego, la probabilidad de obtener a lo más 2 caras se expresa como P( X 2) P( X 0) P( X 1) P( X 2) = 10 1 1 0 2 2 0 10 0 10 1 1 1 2 2 1 101 10 1 1 2 2 2 2 10 2 1 10 45 56 1024 1024 1024 1024 25. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad Azar Aplicación Como la probabilidad de acierto y no acierto es la misma, entonces la probabilidad se determina a partir de la fórmula de distribución binomial con eventos equiprobables, es n 1 decir: P(X = a) = a 2 n Donde n es la cantidad de veces que se realiza el experimento (en este caso el número de preguntas de la prueba) y ael número de resultados de un cierto tipo (en este caso el número de respuestas buenas que se desean). Luego: 15 1 15! 15 14 13 12! 1 15 14 13 1 1 P(X = 12) = 15 15 (15 12)! 12! 2 3! 12! 3! 2 2 12 2 455 15 2 15 15 26. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad Azar Aplicación Existen dos posibilidades, que el estudiante acierte o falle, por lo tanto el experimento es dicotómico, pudiendo resolverse mediante el uso de la función de probabilidad binomial. Como cada pregunta tiene 5 alternativas consideremos las siguientes probabilidades: 1 Probabilidad de éxito (acertar): p . 5 4 Probabilidad de fracaso (no acertar): 1 p q . 5 Número de preguntas: n = 20, lo que corresponde al número de ensayos de Bernoulli. Se define la variable aleatoria X: número de preguntas que responde correctamente, entonces x = 20 (obtener el puntaje máximo). Luego se reemplazan los valores anteriores en la función de probabilidad binomial. 20 20 20 1 1 4 f ( x) P( X 20) 20 2 5 5 15 20 20 1 1 1 1 5 5 20 27. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad Azar ASE (1) El valor de p. Con esta información, no se puede determinar el recorrido de X, ya que la cantidad de tarjetas rojas que hay en la bolsa no determina la cantidad de tarjetas rojas que pueden ser extraídas. (2) El valor de n. Con esta información, no se puede determinar el recorrido de X, ya que si p < n, entonces es necesario conocer el valor de p. Con ambas informaciones, sí se puede determinar el recorrido de X, ya que si p < n, entonces el recorrido será {0, 1, 2,…, p – 1, p}, y si p > n, entonces el recorrido será {0, 1, 2, …, n – 1, n} Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas. 28. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad Azar ASE (1) n = 6. Con esta información sí es posible conocer el valor de P(X = 4), ya que al interpretar dicha expresión, corresponde a la probabilidad de obtener cuatro caras al lanzar seis veces una moneda. Utilizando el triángulo de Pascal, la probabilidad de 15 obtener cuatro caras al lanzar seis veces una moneda, es decir, P(X = 4) = . 64 (2) Los valores que puede tomar x es {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Con esta información sí es posible conocer el valor de P(X = 4), ya que los valores que puede tomar x corresponde al experimento de lanzar seis veces una moneda, es decir, P(X = 4) es igual a la probabilidad de obtener cuatro caras al lanzar seis veces una moneda. Por lo tanto, la respuesta correcta es: Cada una por sí sola. 29. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad Azar ASE Como P es la función de probabilidad y F es la función de distribución (probabilidad acumulada), entonces se cumple que F(3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3). Luego: (1) P(X = 2) = 1 . Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de 7 F(3), ya que no se conoce el valor de P(X = 1) ni de P(X = 3). (2) P(X = 3) = 3 . Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de 7 F(3), ya que no se conoce el valor de P(X = 1) ni de P(X = 2). Con ambas informaciones, no es posible determinar el valor numérico de F(3), ya que no se conoce el valor de P(X = 1). Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional. 30. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad Azar ASE (1) La prueba tiene 30 preguntas. Con esta información, no es posible determinar la probabilidad de que el estudiante responda correctamente la mitad de la prueba, ya que no se conoce la cantidad de alternativas que tiene cada pregunta. (2) Cada pregunta tiene 5 alternativas de las cuales solo una es la correcta. Con esta información, no es posible determinar la probabilidad de que el estudiante responda correctamente la mitad de la prueba, ya que no se conoce el total de preguntas que tiene la prueba. Con ambas informaciones, sí es posible determinar la probabilidad de que el estudiante responda correctamente la mitad de la prueba, ya que es posible utilizar la función de distribución binomial al saber que la prueba tiene 30 preguntas de 5 alternativas cada una, en donde solo una alternativa es la correcta. Para esto, se define la variable aleatoria X como el número de preguntas correctas. Entonces: Probabilidad de contestar bien (éxito): p 1 5 Probabilidad de no contestar bien (fracaso): q 4 5 Número total de preguntas: n = 30 Número de preguntas correctas (mitad de la prueba): x = 15 Luego se reemplazan los valores en la función de probabilidad binomial 15 1 4 f ( x) P( X 15) C15 5 5 3015 30 Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.