escala - División de Ciencias Básicas

ESCALA
CONCEPTO DE ESCALA
El dibujo técnico, empleado tanto en la ingeniería como en la arquitectura, tiene como
finalidad representar objetos en una hoja o lámina de dibujo, para su diseño, especificación,
construcción y mantenimiento. Dichos objetos tienen, por lo regular, dimensiones mayores
que las de la hoja de papel en el que se les desea representar, por lo cual se presenta la
necesidad de reducir proporcionalmente todas las dimensiones lineales del citado objeto, de
manera que pueda hacerse con claridad.
A la proporción que guardan las dimensiones del objeto representado en la lámina de dibujo
con respecto a sus dimensiones reales es lo que se conoce con el nombre de Escala. La
definición que se establece en la norma NOM – Z – 6 Dibujo técnico – Escalas (NOM, de
las siglas en español de Norma Oficial Mexicana), en concordancia con la norma
internacional ISO 5455 (ISO, de las siglas en inglés de International Organization for
Standarization), Technical drawings – Scales (Dibujos técnicos - Escalas), es:
“Escala: razón de la dimensión lineal de un elemento de un objeto como está
representado en el dibujo original a la dimensión lineal real del mismo
elemento de dicho objeto”.
Nótese que el primer término de la razón, o numerador, se relaciona con la longitud dibujada
del objeto, mientras que el segundo término de la razón, o denominador, lo hace con su
longitud real.
Según el mismo documento citado, se establecen tres tipos de escalas:

escala natural, que se emplea cuando las dimensiones del dibujo son iguales a las del
objeto representado y, por lo tanto, con razón 1:1;

escala de ampliación, que se usa cuando se requiere amplificar las dimensiones del
objeto real al ser representado en el dibujo, y su razón es mayor que 1:1. Se dice que es
mayor conforme dicha razón se incrementa;

escala de reducción, que se aplica cuando se necesita disminuir proporcionalmente las
medidas lineales del objeto real al representarlo en la lámina de dibujo, y en la que su
razón es menor que 1:1. Se dice que es menor en la medida en que la citada razón se
decrementa.
La designación completa de una escala deberá consistir de la palabra “ESCALA” seguida de
la indicación de su razón: ESCALA 1:1 para la escala natural, ESCALA X:1, para la escala
de ampliación, y ESCALA 1:X para la escala de reducción, donde X deberá ser
preferentemente un número entero.
Debido a la amplia aceptación que ha tenido en el mundo el uso del Sistema Internacional de
Unidades, conocido simplemente como Sistema Internacional o SI, en todo este libro se
adoptará como unidad de longitud al metro (símbolo m), así como el milímetro (símbolo mm)
y el kilómetro (símbolo km) como su submúltiplo y su múltiplo, respectivamente, de
conformidad con las normas NOM – Z – 1 Sistemas de Unidades e ISO 1000, SI units and
recommendations for the use of their multiples and of certain other units (Unidades SI y
recomendaciones para el uso de sus múltiplos y de otras unidades adecuadas). Aquí cabe
destacar que el SI ha sido aceptado incluso por los Estados Unidos de América, en donde su
aplicación práctica ha costado mucho tiempo y grandes esfuerzos, al grado de que a la fecha
aún no se ha podido consolidar.
Conviene hacer notar que la escala empleada en el dibujo técnico se designa con una razón
adimensional, lo que implica que para su interpretación, las dimensiones del dibujo y del
objeto real deberán establecerse con la misma unidad de medida. De aquí que también se le
conozca como escala numérica. Por ejemplo, si un dibujo está trazado a escala 1:5, se puede
interpretar que cada unidad dibujada representa 5 unidades reales, es decir, que cada 1 mm
dibujado representa 5 mm reales, o bien, que cada 1 m dibujado representa 5 m reales.
Ejemplo
En la Figura 1 se muestra el segmento AB que representa el largo total de una máquina que
está dibujada a escala 1:20. Determine la longitud real correspondiente.
Figura 1 Segmento AB que representa el largo total de una máquina
cuya longitud dibujada es 76 mm.
Una forma sencilla de resolver el problema es estableciendo una regla de tres: la razón 1:20 es
como la longitud dibujada (símbolo Ld) mostrada es a la longitud real (símbolo Lr) que
representa, es decir, 1 : 20 :: 76 mm : Lr. La respuesta es 1520 mm, equivalente a 1.520 m.
Nota: Por lo regular, las reglas métricas con las que se cuenta están graduadas en centímetros.
EJERCICIOS
Problema: Determine la longitud dibujada que represente a escala 1:500 el largo de un puente
que tiene 56.500 m de longitud.
Respuesta
Procediendo con base en una regla de tres, se puede escribir 1 : 500 :: Ld : 56.500 m. Por lo
tanto, la respuesta es que la longitud dibujada del puente será de 113 mm.
Problema: En el plano de una casa-habitación dibujada a escala 1:75, la fachada está
representada por el segmento CD, como se muestra en la Figura 2. Determine su longitud real.
Figura 2 Segmento CD que representa el largo de la fachada de una casa-habitación
cuya longitud dibujada es de 116 mm.
Respuesta
Dado que la longitud dibujada de la fachada es de 116 mm, por medio de la siguiente regla de
tres, 1 : 75 :: 116 mm : Lr, se obtiene la respuesta de 8.700 m que es la longitud real de dicha
fachada.
Problema: En la Figura 3 se muestra la proyección horizontal de una sección de uno de los
pisos de un edificio de oficinas, en la que se puede verificar que la distancia entre columnas es
de 7.50 metros. Como se puede observar, la medida dibujada de dicha distancia es de 37.5
mm. Determine a qué escala está dibujado el plano.
Figura 3 Proyección horizontal de una sección de uno de los pisos
de un edificio de oficinas.
Respuesta
Con base en la definición de escala (numérica), se puede afirmar que la escala deberá ser la
proporción entre 37.5 mm y 7.50 m, es decir, escala 37.5 mm : 7.50 m. Al dividir dicha
proporción entre 37.5 mm (ambas medidas para que la proporción no se altere), la escala
queda 37.5 mm/37.5 mm : 7.50 m/37.5 mm, y por tanto, escala 1 : 200.
USO DEL ESCALÍMETRO
El escalímetro es un instrumento que tiene por objeto simplificar el proceso de empleo de la
escala en la elaboración e interpretación de planos usados en la ingeniería y en la arquitectura.
Por lo regular tienen forma de barra con sección triangular, de 300 mm de longitud útil, y que
por lo tanto cuentan con seis escalas diferentes.
Todas las escalas de los escalímetros del sistema métrico están graduadas en metros, a menos
que claramente esté indicada la unidad de medida. El escalímetro está construido de tal
manera que se pueda leer directamente en él, la longitud real que representa un segmento
dibujado a la escala indicada. Así, para el caso del segmento EF mostrado en la Figura 4, que
tiene una longitud dibujada de 48 mm, representa 4.800 m de longitud real a escala 1:100,
valor que se puede comprobar al plantear la regla de tres 1 : 100 :: 48 mm : Lr, del cual se
obtiene como resultado una longitud real de 4800 mm, es decir, 4.800 m.
Figura 4 Segmento EF que representa 4.800 m a escala 1:100.
Si este mismo segmento EF se mide con la escala 1:20 del escalímetro, ahora la lectura será de
960 mm, la cual se puede verificar al resolver la siguiente regla de tres 1 : 20 :: 48 mm : Lr
(ver Figura 5).
Figura 5 Segmento EF que representa 960 mm a escala 1:20.
De manera similar, el mismo segmento EF representará 2.400 m a escala 1:50, resultado que
puede obtenerse al plantear la regla de tres 1 : 50 :: 48 mm : Lr (ver Figura 6).
Figura 6 Segmento EF que representa 2.400 m a escala 1:50.
Asimismo, si se mide el multicitado segmento EF con la escala 1:25 del escalímetro, aquél
representará 1.200 m de longitud real, como puede observarse en la Figura 7. También para
este caso se puede verificar el resultado a partir de la regla de tres 1 : 25 :: 48 mm : Lr.
Figura 7 Segmento EF que representa 1.200 m a escala 1:25.
De la misma manera como se procedió en los párrafos anteriores, se puede comprobar que el
mismo segmento EF representará 6 m a escala 1:125, y 3.600 m a escala 1:75.
No siempre será posible encontrar la escala requerida en el escalímetro, por ejemplo la escala
1:5000, pero en la mayoría de los casos esta escala será submúltipla o múltipla decimal de
alguna existente, en este caso la escala 1:50, y con ella se podrá obtener el resultado con solo
multiplicar la lectura realizada en el escalímetro por un factor decimal.
Para deducir el valor de dicho factor, se determinará la longitud real que representa el
segmento EF con 48 mm de longitud dibujada a escala 1:5000: estableciendo la regla de tres
correspondiente, 1 : 5000 :: 48 mm : Lr, se obtiene que la longitud real será de 240 000 mm, es
decir, 240 m. El segmento EF medido con la escala 1:50 del escalímetro proporciona la lectura
de 2.400 m, como se muestra en la Figura 8, por lo que, en este caso, el factor decimal
buscado será de 100, puesto que 240 m es 100 veces 2.400 m.
Figura 8 Segmento EF que medido con la escala 1:50 proporciona una lectura de 2.400 m,
representa 240 m a escala 1:5000.
Se puede observar que el citado factor de 100 se puede determinar a partir de la proporción
existente entre el denominador de la escala requerida, en este caso 5000, con el denominador
de la escala existente, en este ejemplo 50.
Por lo tanto, para efectuar la lectura con una escala que sea submúltipla o múltipla decimal de
otra con la que se cuente en el escalímetro, será suficiente con agregar, o quitar, el número de
ceros que tenga de más, o de menos, el denominador de la escala deseada con respecto a la
escala que se tenga en el escalímetro.
Aquí conviene hacer notar que quitar ceros equivale a mover el punto decimal a la izquierda,
tantos lugares como ceros se requiera quitar. Por ejemplo, a escala natural 1:1, el segmento EF
se podrá medir empleando la escala 1:100, y a la lectura obtenida se le moverá el punto
decimal dos lugares a la izquierda; como se muestra en la Figura 9, la lectura es de 4.800 m,
por lo que el resultado a escala 1:1 será de 0.048 m, es decir, 48 mm, que es justo lo que mide
dicho segmento.
Figura 9 Segmento EF medido con la escala 1:100 proporciona una lectura de 4.800 m;
a escala natural, 1:1, representa 48 mm.
Con base en este último resultado, se puede establecer que es posible usar la escala 1:100
como una regla común, con solo cambiar la unidad de medida a centímetros, en lugar de
metros.
Los pasos para leer correctamente el escalímetro están listados a continuación. Se empleará
una línea GH, con una longitud dibujada de 32 mm, con fines demostrativos. Se mostrarán
varias ilustraciones para cada conjunto de casos.
Conjunto 1
La escala 1:100 puede ser empleada para realizar lecturas con las siguientes escalas: 1:100,
1:1000, 1:10 000, 1:100 000, 1:10, 1:1, y escalas que sean otras submúltiplas decimales, por
ejemplo, 1:10’000 000.
Para la escala 1:100, el 1 representa 1 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión
representará 0.100 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 3.200 m (ver Figura 10).
Figura 10 El segmento GH representará 3.200 m a escala 1:100.
Para la escala 1:1000, el 1 representa 10 m de longitud real, por lo que cada línea de
subdivisión representará 1 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 32 m (ver Figura 11).
Figura 11 El segmento GH representará 32 m a escala 1:1000.
Para la escala 1:10 000, el 1 representa 100 m de longitud real, por lo que cada línea de
subdivisión representará 10 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 320 m (ver Figura
12).
Figura 12 El segmento GH representará 320 m a escala 1:10 000.
Para la escala 1:100 000, el 1 representa 1000 m de longitud real, por lo que cada línea de
subdivisión representará 100 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 3200 m (ver
Figura 13).
Figura 13 El segmento GH representará 3200 m a escala 1:100 000.
Para la escala 1:10, el 1 representa 0.100 m de longitud real, por lo que cada línea de
subdivisión representará 0.010 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 0.320 m, es decir,
320 mm (ver Figura 14).
Figura 14 El segmento GH representará 320 mm a escala 1:10.
Para la escala 1:1, el 1 representa 0.010 m de longitud real, por lo que cada línea de
subdivisión representará 0.001 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 0.032 m, es decir,
32 mm (ver Figura 15).
Figura 15 El segmento GH representará 32 mm a escala 1:1.
Resumen
Escala
Respuesta
1:100
1:1000
1:10 000
1:100 000
1:10
1:1
3.200 m
32 m
320 m
3200 m
0.320 m = 320 mm
0.032 m = 32 mm
Conjunto 2
La escala 1:20 puede ser empleada para realizar lecturas con las siguientes escalas: 1:20,
1:200, 1:2000, 1:20 000, 1:200 000, 1:2, y escalas que sean otras submúltiplas decimales, por
ejemplo, 1:20’000 000.
Para la escala 1:20, el 1 representa 1 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión
representará 0.100 m y las subdivisiones de éstas últimas 0.020 m. Por lo tanto, el segmento
GH representará 0.640 m, es decir, 640 mm (ver Figura 16).
Figura 16 El segmento GH representará 640 mm a escala 1:20.
Para las demás escalas citadas, determinar cuánto representa cada unidad del escalímetro, con
base en la regla de agregar o quitar ceros explicada anteriormente.
Escala
Respuesta
1:20
1:200
1:2000
1:20 000
1:200 000
1:2
0.640 m = 640 mm
6.400 m
64 m
640 m
6400 m
0.064 m = 64 mm
Conjunto 3
La escala 1:125 puede ser empleada para realizar lecturas con las siguientes escalas: 1:125,
1:1250, 1:12 500, 1:125 000, 1:12.5, 1:1.25, y escalas que sean otras submúltiplas decimales,
por ejemplo, 1:12’500 000.
Para la escala 1:125, el 1 representa 1 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión
representará 0.100 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 4 m (ver Figura 17).
Figura 17 El segmento GH representará 4 m a escala 1:125.
Para las demás escalas citadas, determinar cuánto representa cada unidad del escalímetro, con
base en la regla de agregar o quitar ceros explicada anteriormente.
Escala
Respuesta
1:125
1:1250
1:12 500
1:125 000
1:12.5
1:1.25
4m
40 m
400 m
4000 m
0.400 m = 400 mm
0.040 m = 40 mm
Ejemplo
Determinar la longitud real que representa el segmento IJ mostrado en la Figura 18, a escala
1:75000.
Figura 18 Problema de ejemplo de uso del escalímetro. A escala 1:75 000, el segmento IJ
representa una longitud real de 3300 m.
EJERCICIOS
Problema: Encontrar la longitud real que representa el segmento KL a escala 1:5 (Figura 19).
Figura 19 Problema de uso del escalímetro.
Respuesta
La longitud real que representa el segmento KL a escala 1:5 es de 0.210 m, es decir, 210 mm.
Problema: Encontrar la longitud real que representa el segmento MN a escala 1:25 000
(Figura 20).
Figura 20 Problema de uso del escalímetro.
Respuesta
A escala 1:25 000, la longitud real que representa el segmento MN es de 600 m.
1
TEMA 1
FUNDAMENTOS PARA EL ANÁLISIS GRÁFICO
Geometría formal
Definición de geometría
Geometría es la parte de la matemática que estudia
los problemas de forma, medida y posición de
elementos geométricos, así como las relaciones
entre ellos, por medio de procedimientos
específicos.
Para entender mejor este concepto se requiere tener
idea de lo que son los elementos geométricos, así
como de lo referente a su forma, medida y posición.
Son elementos geométricos, por ejemplo: el punto,
el ángulo, las figuras planas, y los poliedros; dentro
de ellos, se consideran como los básicos:
a)
b)
el punto que, como ente geométrico, no
tiene forma ni medida; sólo tiene posición
con respecto a algún marco de referencia
como los ejes cartesianos;
la línea, cuya forma puede ser recta, curva,
quebrada o mixta y su medida es la
longitud;
c) la superficie, que puede ser plana, cilíndrica
o esférica, y a cuya medida se denomina área
(conviene hacer énfasis que superficie es el
nombre del elemento geométrico, y área es
su medida; es incorrecto usarlos como
sinónimos);
d)
el cuerpo, que puede ser una pirámide
triangular, un cono circular recto o un
dodecaedro regular siendo el volumen su
medida geométrica.
Y para concluir la explicación de términos
involucrados en el concepto de geometría, se puede
comentar que las relaciones que pueden existir entre
elementos geométricos son, por ejemplo, la
distancia entre dos puntos, el ángulo que existe
entre dos rectas, o bien, la semejanza de dos figuras
planas.
Se puede clasificar a la geometría, según su campo
de estudio, en:
1.
plana;
2.
espacial;
y según el procedimiento que se use para la
resolución de los problemas, en:
a)
analítica, que se apoya en el álgebra y el
cálculo;
b)
descriptiva, que emplea procedimientos de
tipo gráfico basados en la teoría de
proyecciones;
c)
formal, que aplica conceptos creados en la
mente (entes formales).
Conviene aclarar que esta clasificación no pretende
ser la ideal, sino que se propone con fines
explicativos y didácticos.
En las siguientes líneas se intentará desarrollar lo
que aquí se denomina geometría formal, de manera
que, con base en el análisis, se vayan descubriendo
los conceptos, las definiciones y las proposiciones
que se requieren estudiar para lograr cumplir con un
objetivo importante de la enseñanza del dibujo
técnico, que a la letra dice:
"que el alumno emplee los conceptos
fundamentales de la geometría plana
básica para la resolución de problemas de
2
ingeniería utilizando los instrumentos y
métodos adecuados; ..."
Demostración
de
algunos
fundamentales del triángulo
teoremas
El estudio de la geometría formal tiene sus orígenes
en la obra clásica de Euclides (Los Elementos, s. III
a. C.), que fue el primer tratado de matemáticas
demostrativas que registró la historia, y que aún en
nuestros días sigue vigente, sobre todo por el
método que emplea para el desarrollo de su trabajo.
Dicho método es, poco más o menos, lo que
actualmente se conoce como método axiomático,
que consiste en establecer, previamente a todo
razonamiento, aquellas proposiciones, llamadas
axiomas, que necesariamente se admiten sin
demostración, para deducir de ellas, sin otro
recurso que la lógica, todo el conjunto de
proposiciones del sistema (en este caso, el
geométrico).
Aquí cabe mencionar que el método axiomático no
es exclusivo de la geometría formal, sino que, en
general, se aplica para el estudio de cualquier otra
rama de la matemática.
Las proposiciones del sistema que no son axiomas
se denominan teoremas, los cuales deben deducirse por medio de la lógica a partir de los axiomas
y/o proposiciones previamente demostradas.
También será necesario establecer definiciones, tan
clara y exactamente como sea posible, aunque, de la
misma manera que para las proposiciones, se
emplearán los términos más sencillos y
fundamentales de la geometría sin intentar
definirlos, y a los cuales se les denominará
términos no definidos, como lo son el punto, la
recta y el plano, así como relaciones geométricas
no definidas, tales como las relaciones de
congruencia, semejanza y equivalencia, entre otras.
Una definición es simplemente una convención, un
cambio de palabras, que se establece con el
propósito de abreviar la exposición, sin introducir
ningún concepto nuevo. Por ejemplo, para evitar
referirse al conjunto formado por tres puntos no
colineales y los segmentos de recta determinados
por cada pareja de dichos puntos, a este concepto se
le define como triángulo (conviene hacer notar que
previamente se requiere definir lo que es un
segmento de recta).
Al sistema de términos, conceptos, relaciones y
proposiciones establecidos y/o deducidos por medio
de la aplicación del método axiomático se le llama
sistema axiomático.
Todo sistema axiomático debe cumplir con las
siguientes características:
a)
debe estar completo, es decir, que los
axiomas establecidos deben ser suficientes
para obtener a todas las demás proposiciones del sistema;
b)
debe ser consistente, lo que indica que no
se deben incluir dos proposiciones que se
contradigan entre sí; y
c)
debe cumplir con la condición de independencia, que se refiere a que ningún
axioma sea deducible de otros axiomas.
Para ejemplificar las características anteriores se
desarrollará una analogía con un sistema de
ecuaciones del álgebra que, aunque no tiene
relación con el método axiomático, sí logra ilustrar
adecuadamente las características mencionadas,
como se presenta a continuación.
3
Sea la ecuación x + 2y = 5; como sistema de ecuaciones estaría incompleto para ser compatible determinado; si se le agregara la ecuación 2x + 4y = 9, el
sistema así formado sería incompatible, puesto que
no tiene solución (sería inconsistente); y, por
último, si la segunda ecuación fuese 3x + 6y = 15,
esta ecuación sería linealmente dependiente de la
primera, por lo cual tampoco tendría solución única.
Entonces, un sistema de ecuaciones compatible
determinado deberá conformarse por el número de
ecuaciones que garantice la obtención de una
solución única (el sistema debe estar completo), que
ninguna de las ecuaciones del sistema contradiga a
cualquier otra (el sistema debe ser consistente), y
que todas las ecuaciones del sistema sean
linealmente independientes.
Con respecto a la razón por la cual son necesarias
las demostraciones para el estudio fundamentado
de la geometría, se puede mencionar la vigencia en
todas las ramas de la ciencia de lo que se denomina
Ley de la razón suficiente, la cual establece que
toda aseveración que se haga debe estar bien
fundada, es decir, presentarse con argumentos lo
suficientemente fuertes que apoyen su veracidad
(que concuerde con los hechos y con la realidad).
A continuación se presenta una construcción lógica
del sistema axiomático de una parte de la
geometría plana relacionada con el triángulo,
partiendo de los términos no definidos, las
relaciones no definidas y los axiomas, y con base
en las ideas de Hilbert sobre las demostraciones
de los teoremas, según las cuales no se considera
válido para éstas el movimiento de los entes geométricos, tal como lo hizo Euclides en su obra.
Se considerarán que son conocidos los conceptos de
punto, línea, recta, superficie, plano y cuerpo, y
se tratarán de explicar algunas relaciones no
definidas por medio de lo que se denominarán
definiciones descriptivas.
1.
2.
3.
4.
5.
incidencia de dos elementos geométricos
coincidencia
congruencia
(símbolo:  )
semejanza
(símbolo: ~ )
equivalencia (símbolo: = )
Definición descriptiva. Se dice que un punto
incide en una línea si dicho punto está contenido en
ella.
Definición descriptiva. Se dice que una línea
incide en una superficie si la línea está
completamente contenida en la superficie
mencionada, es decir, todos los puntos de la línea
están contenidos en dicha superficie.
Definición descriptiva. Se dice que dos elementos
geométricos son coincidentes si cada punto de uno
de ellos ocupa el mismo lugar que el del punto
correspondiente al otro.
Definición descriptiva. Se dice que dos elementos
geométricos son congruentes si ambos tienen la
misma forma y la misma medida.
Definición descriptiva. Dos elementos geométricos
son semejantes si tienen la misma forma.
Definición descriptiva. Dos elementos geométricos
son equivalentes si tienen la misma medida.
Axioma 1. Dos puntos diferentes determinan una
recta y sólo una (A: recta).
Definición 1. Si A y B son dos puntos sobre una
recta r, entonces el segmento AB (denotado por
AB o BA ), es el conjunto compuesto por los
puntos A, B, y todos los puntos de r que estén entre
A y B. A estos puntos se les denomina extremos del
segmento (símbolo:
).
Definición 2. Si tres o más puntos diferentes tienen
la propiedad de estar sobre la misma recta, entonces
se dice que dichos puntos son colineales.
Términos no definidos
1. punto
(símbolo: · )
2. línea
3. recta
(símbolo:  )
4. superficie
5. plano
6. cuerpo
Relaciones no definidas
Definición 3. Sean O y A dos puntos sobre una
recta r. El conjunto formado por O y todos los
puntos de r que están del mismo lado de A con
respecto a O se llama semirrecta. El punto O se
denomina vértice de la semirrecta (símbolo:  ).
Definición 4. El conjunto formado por dos semirrectas que tienen el mismo vértice se llama ángulo
4
(símbolo: <). Si las dos semirrectas coinciden,
entonces el ángulo que determinan se llama nulo o
perígono. Si las dos semirrectas no coinciden pero
están sobre una misma recta, el ángulo se llama
llano (símbolo:
).
Definición 5. Por extensión, se considerará también
que al conjunto formado por una semirrecta y un
segmento, tales que el vértice del primero coincida
con un extremo del segundo, o bien, al conjunto de
dos segmentos tales que un extremo del primero
coincida con un extremo del segundo, se le denominará ángulo, siendo en estos casos el vértice del
ángulo el punto de coincidencia.
Definición 6. Para todo ángulo se considerará a una
de sus semirrectas como la de inicio y la otra como
la semirrecta de término. Todo ángulo no nulo
divide al plano en dos regiones: la que queda
comprendida desde la semirrecta de inicio hasta la
de término en sentido dextrógiro (antihorario) se le
llamará región interior del ángulo y a la otra se
denominará región exterior del ángulo.
Definición 7. Dos ángulos que tienen un mismo
vértice y una semirrecta común, y que la semirrecta
no común del segundo no esté contenida en la
región interior del primero, reciben el nombre de
ángulos adyacentes.
Definición 8. Dos ángulos adyacentes tales que sus
semirrectas no comunes no son coincidentes y
pertenecen a la misma recta se denominan ángulos
suplementarios.
En el siguiente axioma, en realidad conjunto de
axiomas, se establecen las condiciones para las
cuales dos ángulos, o bien dos segmentos, son
congruentes entre sí. Este conjunto de axiomas
también se emplea frecuentemente en el álgebra.
Con base en ellos será posible posteriormente
definir ángulo recto y rectas perpendiculares.
Axiomas 2. Congruencia
1.
Todo ángulo (segmento) es congruente a sí
mismo, es decir, si las dos semirrectas
(extremos) de dos ángulos (segmentos)
dados coinciden respectivamente, entonces
los dos ángulos (segmentos) son congruentes (A: identidad).
2.
Si un ángulo (segmento) es congruente a
otro, entonces el segundo es congruente al
primero (A: reciprocidad).
3.
Si un ángulo (segmento) es congruente a
otro, y éste a su vez es congruente a un
tercero, entonces el primero es congruente
al tercero (A: transitividad).
Definición 9. Se llama ángulo recto a aquel ángulo
que es congruente a su ángulo suplementario
(símbolo: ) )
Definición 10. Dos rectas m y n son perpendiculares si se cortan entre sí formando ángulos adyacentes congruentes, es decir, ángulos rectos.
Definición 11. Dos ángulos tales que la suma de sus
medidas es equivalente a un ángulo recto se les
llama ángulos complementarios.
Axioma 3. Todo segmento o ángulo se puede
subdividir de una única manera en n segmentos
(ángulos) adyacentes congruentes, para cualquier
entero positivo n (A: subdivisión).
Axioma 4. La medida del todo es equivalente a la
suma de las medidas de sus partes (A: = partes).
Axioma 5. Una medida (cantidad) puede ser sustituida por otra equivalente, en cualquier expresión
o ecuación (A: sustitución).
Definición 12. Se denomina grado sexagesimal, o
simplemente grado, a la medida de un ángulo
correspondeinte a la nonagésima parte de un ángulo
recto. Por tanto, el ángulo recto tiene una medida de
90 grados sexagesimales, que se escribe como 90°.
Definición 13. Se dice que dos segmentos son
adyacentes si están situados sobre una misma recta,
tienen un extremo común y ningún extremo de uno
está entre los extremos del otro.
Definición 14. Al punto que divide a un segmento
en dos segmentos adyacentes congruentes se le
denomina punto medio.
Definición 15. A la semirrecta que divide a un
ángulo en dos ángulos adyacentes congruentes se le
llama bisectriz.
Definición 16. Al conjunto de n puntos diferentes
con n mayor o igual a tres, A1, A2, . . . , An, A1, no
5
tres de ellos consecutivos colineales, y de los n
segmentos A 1A 2 , A 2 A 3 , . . . , A n  1A n y A n A 1
determinados, tal que ninguno de dichos segmentos
se interseca con otro se denomina polígono simple.
A los puntos se les llama vértices del polígono,
siendo cada uno de los segmentos mencionados un
lado del polígono.
Definición 17. Dos polígonos con el mismo número
de lados se llaman semejantes si cumplen con los
dos requisitos siguientes:
1.
que exista una correspondencia uno a uno
entre los lados de uno y otro polígono, de
manera que los lados de ambos polígonos
sean respectivamente proporcionales; dos
lados que se corresponden de esta manera se
denominan lados homólogos;
2.
que los ángulos formados entre cada pareja
de lados adyacentes de un polígono sean
congruentes, respectivamente, a los ángulos
formados por los lados homólogos del
segundo; a los ángulos que se corresponden
de esta manera se conocen como ángulos
homólogos.
Teorema 1. Dos triángulos son congruentes si
tienen respectivamente congruentes dos lados y el
ángulo formado por dichos lados (T: LAL = LadoÁngulo-Lado).
Es necesario que los ángulos congruentes sean
aquéllos formados por el par de lados congruentes,
pues si dos triángulos tienen dos lados congruentes
y un ángulo, no formado por dichos lados,
congruente, en general no serán congruentes. Ver
Figura 1.
AB  AB
 BAC  BAC'
BC  BC'
~
pero ABC  ABC'
Figura 1. Triángulos no congruentes LAL.
Teorema 2. Dos triángulos son congruentes si
tienen respectivamente dos de sus ángulos
homólogos congruentes y uno de sus lados
homólogos congruentes (T: ALA = Ángulo-LadoÁngulo).
Definición 18. Dos polígonos con el mismo número
de lados son congruentes si todos sus lados
homólogos son congruentes y todos sus ángulos
homólogos son congruentes.
Si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes y
un lado congruente no siendo homólogos, en
general tampoco serán congruentes. Ver Figura 2.
Definición 19. Al polígono simple que tiene tres
vértices y, por consiguiente, tres lados se denomina
triángulo (símbolo: ).
 EDF  E' DF
DF  DF
 FED  DFE'
~
pero DEF  DE' F
Definición 20. Dos triángulos que tienen sus tres
lados homólogos congruentes y sus tres ángulos
homólogos congruentes se llaman triángulos
congruentes (símbolo:  s  s ).
Axioma 6. Si dos triángulos tienen dos lados
homólogos congruentes y los ángulos homólogos
determinados por dichos lados también congruentes,
entonces los dos ángulos opuestos a dichos lados
son respectivamente congruentes (A: Hilbert).
Las siguientes tres proposiciones, conocidas como
los criterios de congruencia de triángulos, son
teoremas y se pueden demostrar. Dado que estas
demostraciones son complicadas, en este texto se
omiten.
Figura 2. Triángulos no congruentes ALA.
Teorema 3. Dos triángulos son congruentes si los
tres lados de un triángulo son respectivamente
congruentes a los lados homólogos del segundo
(T: LLL = Lado-Lado-Lado).
Definición 21. Un ángulo de un triángulo y un lado
del mismo se denominan opuestos (uno del otro) si
el vértice del ángulo no pertenece al lado. En caso
contrario se llaman adyacentes (uno del otro).
Definición 22. Un triángulo se llama rectángulo si
tiene un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo
6
recto se denomina hipotenusa. Los otros lados se
llaman catetos.
T: LAL
ADC  BDC
D:  s  s
 DAC  CBD
Definición 23. Al triángulo que tiene sus tres lados
congruentes se le denomina triángulo equilátero.
Definición 24. Se conoce como triángulo isósceles
a aquél que tiene dos lados congruentes.
A continuación se realizará la primera demostración
de un teorema en este texto. La estructura de dicha
demostración estará formada por dos columnas, una
de ‘Razones’ en la que se anotarán las hipótesis, las
definiciones, los axiomas y/o teoremas en los que
se basan los ‘Resultados’, que se establecerán en la
segunda
columna.
Para
simplificar
estas
demostraciones se emplearán los identificadores de
las proposiciones previamente tratadas y que se
encuentran al final del enunciado de ellas, y además
la simbología siguiente:
1.
2.
3.
4.
hipótesis
definición
axioma
teorema
H:
D:
A:
qed
Las siglas qed significan “que es lo que había que
demostrar”, y provienen de la frase latina “quod
est demostrandum”.
La siguiente proposición es un teorema cuya
demostración no es trivial, y por lo que algunos
autores la consideran como axioma.
Teorema 5. Por un punto cualquiera del plano
puede trazarse una perpendicular (símbolo:  ) a
una recta dada, y sólo una (T:  ).
Para la demostración se requiere analizar dos posibilidades diferentes:
Caso 1. El punto está contenido en la recta, ver
Figura 4.
T:
Teorema 4. En todo triángulo isósceles, los ángulos
opuestos a los lados congruentes son congruentes
(T: <s isósceles). Ver Figura 3.
Figura 4. Demostración T:  , caso 1.
Demostración:
RAZONES
Figura 3. Demostración T: <s isósceles.
Demostración:
RAZONES
RESULTADOS
H: y D:  isósceles
AC  BC
A: subdivisión
 ACD  DCB
A: identidad
CD  CD
RESULTADOS
H:
Recta que pasa por
A y B; punto A
D: ángulo recto
Trazo ángulos rectos
<BAM y <M’AB
7
RAZONES
RESULTADOS
D:
Los <M’AB y <BAM
son suplementarios
D: <s suplementarios
Las  s AM y AM'
forman una misma 
qed
Caso 2. El punto no está contenido en la recta, ver
Figura 5.
dicha base y perpendicular a ella se le conoce como
altura del triángulo (ver Figura 6).
si AB es la base
del triángulo,
CD es su altura
Figura 6. Base y altura de un triángulo.
Definición 26. En el plano, dos rectas se llaman
paralelas (símbolo: ||s) si coinciden, o bien, si no
tienen ningún punto común.
Axioma 7. Dados un punto y una recta en el plano,
existe una recta paralela, y sólo una, a la recta
dada que pasa por el punto (A: Euclides).
Figura 5. Demostración T:  , caso 2.
Demostración:
RAZONES
H:
RESULTADOS
 que pasa por A y
B;  C no contenido
en la 
D:
s s
D:  s  s
trazo AD  AC tal
que  DAB  BAC
A: 
trazo  que pasa
por C y D
A: identidad
AE  AE
T: LAL
AEC  AED
D:  s  s
 CEA  AED
D:
CD AB
Definición 27. Dos rectas que se intersecan determinan cuatro ángulos, cada uno de ellos formado
por dos semirrectas consecutivas. A cada pareja de
ángulos así formados que no sean suplementarios se
denomina ángulos opuestos por el vértice.
Teorema 6. Los ángulos opuestos por el vértice son
congruentes (T: <s opuestos por el vértice).
La demostración de este teorema se basa en la
definición de ángulos suplementarios, y dado que es
sencilla, se deja como ejercicio al lector.
Teorema 7. Si una recta r es perpendicular a otra
recta s, y dicha recta s es perpendicular a una tercera
recta t, entonces la recta r es paralela a la recta t
(T:   a dos ||s). Ver Figura 7.
qed
Definición 25. A cualquiera de los lados de un
triángulo se le puede denominar base del triángulo,
y con respecto a él, al segmento trazado desde el
vértice del ángulo opuesto hasta su intersección con
Figura 7. Demostración T:   a dos ||s.
8
La demostración de este teorema se hará por
contradicción, para la cual se establece como
hipótesis la tesis (resultado) contraria a la que se
desea llegar, y a partir de ella se demuestra que no
es posible alcanzar la hipótesis original, por lo que
implica que con ésta hipótesis sólo se puede
verificar la tesis propuesta.
Demostración por contradicción:
RAZONES
RESULTADOS
H: si las  s r y
t no son ||s, y
por D: rectas ||s
Las  s r y t se intersecan y por tanto
tienen un  común
T: 
no es posible que r y t
sean  s a la  s
Por contradicción:
si r y t son  s a s
implica que r y t
deben ser ||s
RAZONES
RESULTADOS
Suposición:
c  c’
T:   a dos ||s
c’ debe ser || a a
A: Euclides
Sólo existe una || a a
que pasa por P
Por contradicción:
c no puede ser  a c’
y por tanto b  a c
qed
qed
Teorema 8. Si una recta es perpendicular a una de
dos paralelas, entonces es perpendicular a la otra
(T:  a dos ||s).
La demostración de este teorema es un resultado
inmediato del teorema anterior, ver figura 8.
Figura 8. Demostración T:  a dos ||s.
Demostración:
RAZONES
RESULTADOS
H:
a y b son  s
a y c son ||s
T: 
Por P puede trazarse
una sola  c’ a b
Definición 28. Al polígono simple que tiene cuatro
vértices y, por consiguiente, cuatro lados se le llama
cuadrilátero.
Definición 29. Se llaman ángulos opuestos de un
cuadrilátero a las dos parejas de ángulos cuyos vértices no son consecutivos.
Definición 30. Se conoce como lados opuestos de
un cuadrilátero a las dos parejas de lados que no tienen ningún extremo común. A los lados que tienen
un extremo común se les llaman lados adyacentes.
Definición 31. Al cuadrilátero que tiene una de sus
parejas de lados opuestos paralelos entre sí se denomina trapecio.
Definición 32. Se llama paralelogramo al cuadrilátero que tiene sus dos parejas de lados opuestos
paralelos entre sí. A uno de sus lados se le llama
base del paralelogramo, y con respecto a él, al segmento trazado desde alguno de los vértices no coincidentes con dicho lado y perpendicular a éste se le
conoce como altura del paralelogramo.
Definición 33. Se conoce como rectángulo al
cuadrilátero que tiene todos sus ángulos
congruentes. A uno de sus lados se le llama base
del rectángulo, y con respecto a él, a cualquiera de
sus lados adyacentes se le denomina altura del
rectángulo.
Definición 34. Al cuadrilátero que tiene todos sus
lados congruentes así como todos sus ángulos
congruentes se le llama cuadrado.
Nota: aquí conviene indicar que los cuadrados son
un subconjunto de los rectángulos, que a su vez son
un subconjunto de los paralelogramos, que a su vez
9
son un subconjunto de los trapecios, los cuales
finalmente son un subconjunto de los cuadriláteros.
Definición 35. Si dos rectas paralelas AB y CD son
cortadas por una transversal PQ en los puntos X y Y
respectivamente, entonces cada uno de los ángulos
que las semirrectas XY y YX forman
respectivamente con las semirrectas XA, XB, y YC,
YD en la región interior entre las paralelas, se
llaman ángulos internos entre paralelas. Un par
de ángulos determinados en regiones distintas del
plano con respecto a la transversal PQ se llaman
ángulos alternos internos entre paralelas. En la
figura 1, <XYA y <YXD , o bien, <BYX y <CXY
cumplen con la última definición mencionada.
Teorema 9. Si dos rectas paralelas son cortadas por
una transversal, entonces forman ángulos alternos
internos congruentes (T: alternos internos entre
||s) (demostración).
Axioma 8. (Axiomas de área)
1.
El área de un cuadrado es igual a la longitud
de su lado elevado al cuadrado.
2.
Si un polígono simple se descompone en n
polígonos simples, entonces el área del
primero es equivalente a al suma de las
áreas de los n polígonos citados.
3.
Si dos polígonos son congruentes, entonces
sus áreas son equivalentes.
Teorema 11. El área de un rectángulo es equivalente al producto de las longitudes de su base y su
altura (demostración).
Teorema 12. El área de un triángulo rectángulo es
equivalente a la mitad del producto de la longitud de
sus catetos (demostración).
Teorema 10. En todo triángulo, la suma de las
medidas de los ángulos interiores es constante e
igual a la medida de un ángulo llano, es decir, a
180° (T:  <s interiores ) (demostración).
Teorema 13. El área de un paralelogramo es equivalente al producto de la longitud de su base y su
altura (demostración).
Definición descriptiva. Se denomina longitud de
un segmento, o del lado de un polígono, a la medida
que tiene dicho elemento geométrico.
Teorema 14. El área de un triángulo es equivalente
a la mitad del producto de la longitud de su base y
su altura (demostración).
Definición 36. Se denomina figura plana simple al
conjunto formado por una línea finita con extremos
coincidentes, tal que dicha línea no se interseque
consigo misma, y todos los puntos del plano en la
región interior de ella, o bien, al conjunto de dos
líneas curvas finitas, una línea curva finita y un
segmento, tales que los extremos de la primera sean
coincidentes con los extremos del otro elemento
geométrico y no tengan otras intersecciones entre sí,
así como todos los puntos del plano dentro de la
región interior formada, y también al conjunto de
varias líneas, rectas o curvas, tales que cada pareja
de líneas adyacentes tengan sólo un punto común y
que no se intersequen entre sí ninguna pareja de
líneas no adyacentes, junto con todos los puntos del
plano en la región interior así determinada.
Definición 37. Si dos rectas paralelas AB y CD son
cortadas por una transversal PQ en los puntos X y
Y respectivamente, entonces cada uno de los
ángulos que las semirrectas XY y YX forman
respectivamente con las semirrectas XA, XB, y YC,
YD en la región interior entre las paralelas, se
llaman ángulos internos entre paralelas. Un par
de ángulos determinados en regiones distintas del
plano con respecto a la transversal PQ se llaman
ángulos alternos internos entre paralelas. En la
Figura 9, <AXY y <DYX, o bien, <YXB y <XYC
cumplen con la última definición mencionada.
Definición descriptiva. El área es la medida que
tiene una porción limitada de superficie, o bien, en
el caso de la geometría plana, de figuras planas
simples.
Figura 9. Ángulos alternos internos
entre paralelas.
10
Teorema 15.  <s alternos internos entre s. Si
dos rectas paralelas son cortadas por una
transversal, entonces forman ángulos alternos
internos congruentes (Figura 10).
Teorema 17. (del cateto) En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de un cateto es
equivalente al producto de la proyección de dicho
cateto sobre la hipotenusa, y la hipotenusa
(demostración).
Teorema 18. (Pitágoras) En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es equivalente a
la suma de los cuadrados de los catetos
(demostración).
Figura 10. Demostración T:  <s alternos internos
entre s.
Demostración:
RAZONES
RESULTADOS
A3: subdivisión
M, punto medio
segmento AB
 AM  MB
T: 
AP  PM
T:  a dos ||s
MQ  QB
T:  <s ops vértice

T: ALA
<APM  <BQM
<PMA  <QMB
AM  MB
 APM  BQM
D:  s  s
AP  BQ
PM  QM

qed
Teorema 16.  <s ints . En todo triángulo, la suma
de las medidas de los ángulos interiores es constante
e igual a la medida de un ángulo llano, es decir, a
180°. La demostración se deja como ejercicio al el
lector.
Definición descriptiva. Se denomina proyección de
un segmento sobre otro al segmento determinado
por la intersección del segundo segmento, con
perpendiculares a él trazadas desde los extremos del
primero.