Zenon y Borges

Zenón y Borges y la refutación del
Zénon! Cruel Zénon! Zénon d’Elée!
mundo
M’as-tu percé de cette flèche ailée
Qui vibre, vole, et qui ne vole pas!
Le son m’enfante et la flèche me tue!
por Memo Garro
Ah! le soil… Quelle ombre de tortue
Pour l’âme, Achile inmmobile à grads pas! 1
memogarro@ciencias.unam.mx
Paul Valéry
Marzo de 2017
De entre los antiguos filósofos griegos (llamados pre-socráticos) se atribuye a Zenón
de Elea la atrevida refutación del moviemiento, sintetizada en la paradoja2 de la flecha3 :
Supongamos que un arquero está por tirar una flecha a una diana. Antes de
que la flecha llegue finalmente a su destino, deberá primero llegar a la mitad
del camino que separa la diana del arquero. Desde ahı́, habrá de recorrer la
mitad de la distancia que resta antes de tocar la diana. Nuevamente, una vez
que llegue a este lugar, para concluir su recorrido, deberá llegar primero a
la mitad de la distancia que resta.
Y ası́ sucesivamente…
Ası́ que la flecha deberá atravesar una infinidad de lugares antes de llegar
a la diana. Pero no disponemos de un tiempo “infinito” para ver la flecha
atravesar, sucesivamente, infinitos lugares. La flecha entonces nunca llegará a la diana. Más aún, la flecha de hecho está en reposo, pues esta misma
situación se repite a cualquier distancia a partir del arquero, por lo que la
flecha nunca partió de lugar alguno hacia ningún otro.
1
No obstante, queda claro que la flecha llega. Tantas veces como el arquero tire flechas.
Y aún las que no ha tirado, sabemos que, si las tira, llegarán. ¿Es entonces que la realidad
se empeña en violar las leyes de la lógica? ¿O es que nuestra explicación de la realidad es
solo un idealismo inaplicable inclusive a situaciones triviales?
Heráclito afirmaba que la realidad es un fluir constante, un devenir, por lo que nada
puede ser (existir), puesto lo que es (existe) ahora, ya no es (existe) al momento siguiente.
“
El Sol es cada dı́a nuevo.4 Aún los que se bañan en los mismos rı́os se bañan
en diversas aguas.5 No hay manera de bañarse dos veces en la misma corriente; que las cosas se disipan y de nuevo se reúnen, van hacia ser y se alejan
de ser.6
”
Radicalmente opuesto, Zenón (y su maestro Parménides) parece afirmar que nada
puede suceder en el universo.
“
Lo movido no se mueve ni en el lugar en el que está ni en el que no está.7
”
Y sin embargo… algo parece siempre moverse. Es realmente muy difı́cil sostener la
posición de Zenón. Nuestra realidad es un cambio constante, ası́ al menos lo advierten
todos nuestros sentidos. Noche y dı́a se suceden una al otro. Nosotros mismos cambiamos.
Incluso involuntariamente nos dirigimos hacia la muerte, después de nacer y crecer. Las
estrellas en el universos, inmutables solo en apariencia, cambián y se transforman, nacen
y mueren.
Pero es más difı́cil refutar a Zenón. En palabras del célebre poeta Jorge Luis Borges:
“
Las implicaciones de la palabra joya –valiosa pequeñez, delicadeza que no
está sujeta a la fragilidad, facilidad suma de traslación, limpidez que no excluye lo impenetrable, flor para los años– la hacen de uso legı́timo aquı́. No
sé de mejor calificación para la paradoja de Aquiles 8 tan indiferente a las
desicivas refutaciones que desde hace más de veintitrés siglos la derogan,
que ya podemos saludarla inmortal. 9
”
2
¿Qué hace tan difı́cil refutar a Zenón? Como el propio Broges observa:
“
Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros. No hablo
del Mal cuyo limitado imperio es la ética; hablo del infinito.10
”
Y nos explica:
“
El movimiento es imposible (arguye Zenón) pues el móvil debe atrevesar el
medio para llegar al fin, y antes el medio del medio, y antes el medio del
medio del medio, y antes… 11 .
”
Borges, nos da una idea de algunas de las más significativas de tales “indiferentes”
intentonas (“voluntades” como él las llama12 ) de “refutar” al eleata: primero advierte que
“Las de mayores años –las de Aristótesles y Hobbes– están implı́citas en la formulada por
Stuart Mill.”13 James Stuart Mill, filósofo y lógico inglés del s. XIX, hace notar, de acuerdo
a Borges, que el problema de la paradoja de la flecha (y la de Aquiles y la tortuga) no
consiste en que un número interminable de distancias nos ponga ante una carrera que
durará para siempre. Más bien, Zenón plantea la cuestión de cómo “un ilimitado número
de subdivisiones puede efectuarse con lo que es limitado”14
“
El argumento [de Zenón] no prueba infinitud de duración que la contenible
en cinco minutos. Mientras los cinco minutos no hayan pasado lo que falta
puede ser divido por diez, y otra vez por diez, cuantas veces se nos antoje lo
cual es compatible con el hecho de que la duración total se cinco minutos.
Prueba [Zenón], en resumen , que atravesar ese espacio finito requiere un
tiempo infinitamente divisible, pero no infinito.15
”
Pero entonces la cosa se pone preocupante. En última instancia, por razones análogas,
no ya el movimiento, sino el conocimiento mismo de las cosas (de cualesquiera cosas) es
imposible. En efecto, el dicernimiento de algo consiste en poner una cosa en relación a
otras. Cuando decimos agua, queremos decir H2 O, o sea, dos átomos de hidrógeno y uno
de oxı́geno. Y si hablamos de átomos, pues entonces hablamos de partı́culas subatómicas:
3
electrones (carga negativa), protones (carga
positiva) y neutrones (sin carga). Y ahora
Después de todo, todo ha sido nada,
siguen las partı́culas elementales: cuarks,
a pesar de que un dı́a lo fue todo.
leptones, gluones, bosones…
¿Y qué
Después de nada, o después de todo,
son los cuarks y leptones y gluones y…?
supe que todo no era más que nada.
Según la Wikipedia: “son partı́culas que
Grito: “¡ Todo!”, y el eco dice “¡Nada!’.
no están constituidas por partı́culas más
Grito: “¡Nada!”, y el eco dice “¡Todo!”.
pequeñas ni se conoce que tengan estruc-
Ahora sé que la nada lo era todo,
tura interna”. Es decir, aparentemente la
y todo era ceniza de la nada.
partı́culas elementales no están en relación
No queda nada de lo que fue nada.
con nada, pero no estar en relación con
(Era ilusión lo que creı́a todo
nada, es una forma de decir no se está
y que, en definitiva, era la nada).
en relación con ningún objeto de la tota-
Qué más da que la nada fuera nada
lidad, esto es, que se está en ralación con
si más nada será, después de todo,
nada. Por que “no tener estructura in-
después de tanto todo para nada.
terna”, sigue siendo tener un “no tener”.
Vida de José Pepe Hierro
Ser un no ser. Las partı́culas elementales
son lo que no son. Y al final, la nada está en relación con todo: la nada es el “no-todo”. Aún
de la nada se puede decir todo. Epezamos de nuevo. En palabras de Zenón:
“
Si hay muchas cosas es necesario que sean tantas en número cuantas haya
de hecho, ni más ni menos. Mas si son ni más ni menos tantas en número
cuantas hay de hecho en número finito. Si hay muchas cosas, los seres serán
en número infinito, pues entre los seres siempre habrá otros intermediarios
y de nuevo entre éstos otros. Y ası́ los seres serán en número infinto.16
Borges lo explica en otra variante del mismo asunto17 :
“
”
[…] el universo es inconocible, por la suficiente y clara razón de que explicar
un hecho es referirlo a otro más general y de que ese proceso no tiene fin nos
conduce a una verdad ya tan general que no podemos referirla a otra alguna;
es decir, explicarlo.18
”
4
No obstante, coninua Borges:
“
La ciencia es una esfera finita que cree en el espacio infinito; cada nueva
expansión le hace comprender una zona mayor de lo desconocido, pero lo
desconocido es inagotable [infinito?].19
”
Aristóteles a propósito de las paradojas de Zenón20 preferı́a tener cuidado cuando
hablaba del infinito. Considera que tales antinomias afirman algo insostenible: que las
magnitudes del espacio/tiempo está compuesto de “infinitas” partes. Pero el infinito es
simplemente inconcebible, para seres, digamos, de naturaleza finita;
“
El infinito es, o lo que no se puede recorrer, porque está en su naturaleza el
no poder ser recorrido, a manera que el sonido es invisible, o lo que no se
puede acabar de recorrer, o bien lo que no se recorre sino difı́cilmente, o, en
fin, lo que no tiene término, ni lı́mite, aunque sea susceptible de tenerlo por
su naturaleza.21
”
Aristóteles explica que la razón “más poderosa” de nuestra “creencia” en el infinito se
encuentra en nuestro pensamiento.22 Por ejemplo, si pensamos en un número, cualquiera,
digamos un número n, es siempre posible pensar en otro más grande, el número n + 1.
Geométricamente este argumento corresponde
también con la posibilidad, por ejemplo, de que
dado un segmento de recta cualquiera, siempre es
posible, usando unicamente una regla, extenderla
indeterminadamente por ambos extremos.
Pero
el “infinito” también ocurre por la imposibilidad
de nuestro pensamiento para imaginar un “lı́mite
absoluto”, una “totalidad que todo lo abarca”. Por
ejemplo, si nos ponemos a pensar en los lı́mites del mundo (“lo que está más allá de los
cielos”): partimos de nuestro barrio o ciudad, nuestro continente, nuestro mundo, el sistema solar, la Vı́a Láctea… no podemos imaginar un lı́mite, de la misma manera en que
no podemos concebir un lı́mite que abarque todas las cosas. En un capı́tulo de la famosa
serie de TV, The Simpson, parodiaron esta idea en una de sus estrafalarias entradas.
5
Y es que Aristóteles reconoce:
“
Pero la teorı́a del infinito plantea dificultades; porque tanto si suponemos que
existe como que existe como que no existe se siguen muchas consecuencias
imposibles.23
”
Sea como sea, Aristóteles supone que el probelma de la paradoja de la flecha (y de
hecho de las paradojas de Zenón) radica en el supuesto de que, al dividirse infinitamente
una distancia finita, esta jamás puede ser atravezada. Pero esta idea es errónea, argumenta Aristóteles, pues es falso que dichas divisiones estén real y completamente dadas,
como una totalidad dada, “como un ser en acto” dice Aristóteles, si no que las sucesivas
divisiones se van haciendo, una a una, y no hay un momento en que todas sean hechas.
Ası́ que en realidad no hay una infinidad de distancias que recorrer. Por lo que la flecha
siempre llega, como en efecto sucede.
Unos 2000 años después, el gran todó-logo Gottfried Leibniz, originario de Leipzig,
Sajonı́a (Alemania actualmente), inventor (al mismo tiempo pero independientemente del
afamado cientı́fico inglés Isaac Newton) del Cálculo Infinitesimal, entre otras múltiples
hazañas en todos los ámbitos (derecho, filosofı́a, arquitectura…), fue el primero en afirmar
una idea conciliadora: Ciertamente, la distancia entre el arquero y su objetivo (la diana)
es inifiitamente divisible en pequeñas mitades sucesivas, y estas existen por sı́ mismas.
Realmente existen en su totalidad. Pero resulta que ni la suma de todas éstas distancia, ni
el tiempo que lleva recorrerlas todas, puede ser infinito.
Veamos cómo expresar matemáticamente este modelo de pensar. Primero, de acuerdo
a Zenón, la flecha debe llegar a la mitad de la distancia que separa al arquero de la diana,
tal distancia podemos simplemente identificarla como 1 (una unidad de cualquier cosa).
De modo que en un primer tiempo, la flecha recorre 1/2 de tal distancia. Seguidamente, la
flecha deberá recorrer la mitad de la distantancia restante, es decir 1/4 (o sea, la mitad de
la mitad) de la distancia total; con ello habrá acumulado una distancia de 1/2 + 1/4 = 3/4
de la distancia original. Para un tercer tiempo, la flecha habrá de recorrer nuevamente
la mitad de la distancia restante, o sea 1/8 (esto es, la mitad de la mitad de la mitad) de la
distancia total; y en ese momento habrá acumulado una distancia de 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8.
Ası́ sucesivamente.
6
Conviene hacer una tabla para sitentizar estas ideas
tiempo n
distancia acumulada
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
1
4
1
2
1
8
+
+ + +
aprox.
1
2
1
1
3
+
=
2
4
4
1
1
7
1
+4+8=8
2
1
1
15
+ 14 + 18 + 16
= 16
2
1
1
31
1
+ 41 + 18 + 16
+ 32
= 32
2
1
1
1
1
63
+ 41 + 18 + 16
+ 32
+ 64
= 64
2
1
1
1
1
1
+ 14 + 18 + 16
+ 32
+ 64
+ 128
= 127
2
128
1
1
1
1
1
1
1
1
+ 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 255
2
256
1
1
1
1
1
1
1
1
+ 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 511
4
512
1
1
1
1
1
1
1
1 023
+ 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024 = 1 024
16
0.500
0.750
0.875
0.937
0.967
0.985
0.992
0.997
0.998
0.999
Hay un patrón regular muy claro:
Al tiempo n, la flecha habrá recorrido una distancia acumulada igual a
2n − 1
2n
.
Simplificamos esta expresión para obtener
2n − 1
2n
=
2n
2n
−
1
2n
=1−
1
2n
.
Ahora, si n es muy grande, 2n es todavı́a más grande, y en consecuencia, 1/2n será muy
pequeño. Por ejemplo, enlistamos algunos casos
1/2n
n
(aprox)
10
0.001
20
0.000001
100
8 × 10−31
En consecuencia, si n es muy muy muy grande,
1−
1
≈ 1.
2n
7
Admitiendo entonces que todas las subdivisiones por mitades existen realmente, es decir
están dadas como una totalidad, poemos hablar de la suma de todas las distancias recorridas por la flecha, y de hecho, esta suma ha de ser igual a 1; esto es
1 1 1
1
1
+ + +
+
+ · · · = 1.
2 4 8 16 32
(Los tres puntos suspensivos indican: ası́ sucesivamente.) En otras palabras, la flecha llega
a la diana.
Epı́logo
Las paradojas de Zenón han dado pie a muchas otras discusiones y refutaciones. No queremos dar aquı́ una respuesta definitiva ni hemos resuelto ninguna disputa filosófica o
cientı́fica. Aún la supuesta solución de Leibniz (y la de otros matemáticos y filósofos) ha
estado en medio de acalorados debates. Por ejemplo, se ha dicho que Leibniz supone que el
movimiento existe, a diferencia de Zenón, quien intenta refutarlo con la paradoja, ası́ que
qué sentido tiene refutar a Zenón, si antes se ha supuesto lo que justamente éste pone en
entredicho24 . Los argumentos que usó Leibniz, pretendidamente matemáticos, tampoco
se libraron de una ardúa cacerı́a de contradicciones (tales argumentos no encontraron una
dilucidación formal hasta bien entrado el s. XIX, con la teorı́a que ahora conocemos como
Cálculo). Más aún, supooner que existen la división como infinito actual es suponer que
la carrera ya se ha realizado, cuando precisamente se pone entre dicho que si quiera haya
empezado. Borges lo explica bellamente ası́:
“
Esa disolución metódica, esa ilimitada caı́da en precipicios, cada vez más
minúsculos, no es realmente hostil al problema: es imaginárselo bien. No
olvidemos tampoco de atestiguar que los corredores [la flecha] decrecen, no
sólo por la disminución visual de la perspectiva, sino por la disminución
admirable a que los obliga la ocupación de sitios microscópicos: Realicemos
también que esos precipicios eslabonados corrompen el espacio y con mayor
vértigo el tiempo vivo, en su doble desesperada persecución de la inmovilidad
y del éxtasis.25
”
8
Problamente la mejor manera de refutar a Zenón hubiese tenido lugar en su tiempo,
y quizá podrı́amos haberle obligado a darla él mismo, ya que ésta habrı́a consistido en
invitarle, amablemente, a colocarse justo en el lugar de la diana, en el momento del disparo
de la flecha. ¿A ver qué pasa? Pero el tiempo de Zenón ya ha pasado, y quizá ya no queda
nadie que mantenga la opinión de que nada se mueve en el universo. No obstante, quizá
no haya mejor epı́logo que las palabras de Borges:
“
Mi opinión, después de las calificadı́simas que he presentado, corre el doble
riesgo de parecer impertinente y trivial. La formularé sin embargo: Zenón
es incontestable, salvo que confesemos la idealidad del espacio y del tiempo.
Aceptemos el idealismo, aceptemos el crecimiento concreto de lo percibido,
y eludiremos la polulación de abismos de la paradoja. 26
”
Notas
8 La paradoja de Aquiles y la tortuga, atribuida (por
Aristóteles) a Zenón. Todas las paradojas de
Zenón son como versiones de un mismo tema. En
1 ¡Zenón! ¡Cruel Zenón! ¡Zenón de Elea!
¡Me has traspasado con tu flecha alada
este caso, el mı́tico Aquiles, el de “los pies ligeros”,
que vibra, vuela y no obstante no vuela!
está enfrentado en carrera con una tortuga. El
¡Su son me engendra y mátame la flecha!
magnánimo Aquiles da una ventaja de 1 estadio
¡Ah! el sol… ¡Y qué sombra de tortuga
(medida de uso de la antigua Grecia, no se sabe
para el alma, veloz y quieto Aquiles!
exactamente a cuánto equivale en medidas
Traducción de Reynaldo Jiménez.
actuales) a su lento rival. Suponiendo que Aquiles
Ediciones elaleph.com
es 10 veces más veloz que la tortuga, para cuando
aquel cubra el primer estadio de ventaja que
2 Una de las nueve o diez atribuidas, siempre por
comentarios o referencias de Aristoteles y un tal
otorgó, ésta ya se encontrará 1/10 de estadio más
Simplicio. Ver la wikipedia. Para ver el significado
lejos. Una vez que Aquiles consigue recorrer esta
de la palabra paradoja, ir aquı́.
distancia, la tortuga está 1/100 de estadio más
lejos… Sucede que Aquiles nunca alcanza a la
3 En realidad presentamos aquı́ la paradoja que
tortuga.
usualmente se conoce como de la carrera, o como
9 [3] Borges, “La perpetua carrera de Aquiles y la
la de la piedra, pero el nombre del objeto que se
tortuga”, en Dsicusión, p. 117.
arroja es irrelevante. También se le conoce como
la dicotomı́a de Zenón.
10 [4] Borges, “Avatares de la tortuga”, en Op. Cit., p.
135.
4 [6] Garcı́a Bacca, Los Presocráticos, frag. 6, p. 98.
5 [6] Op. Cit., frag. 12, p. 98,
11 [4] Ibid., p. 136.
6 [6] Op. Cit., frag. 91, p. 104.
12 [3] Borges, “La perpetua…”, p. 119.
7 [6] Op. Cit., frag. 4, p. 144.
13 [3] Ibid., p. 118.
9
14 [3] Loc. Cit.
llaman, porque es originario de Esta-Gira) quien
15 [3] Loc. Cit.
atribuye a Zenón estas paradojas.
16 [6] Garcı́a Bacca, Op. Cit., fragmento 3, p. 282.
21 [1] Metafı́sica Libro XI, Capı́tulo 10, 1066a-35, p.
455.
17 A propósito de la novela Bouvard et Pécuchet del
escritor francés Gustave Flaubert, y de acuerdo a
22 [2] Fisica, Libro III, Capı́tulo 4, 203b-20 a 31, p.
192.
Borges, siguiendo al filósofo inglés Herbert
Spencer.
23 [2] Fisica, Libro III, Capı́tulo 4, 203b-32 a 33, p.
193.
18 [5] Borges, “Vindicacion de ’Bouvard et
Pécuchet”’, en Discusión, pp. 146.
19 [5] Ibid., pp. 146-147.
24 Ver por ejemplo [7]
25 [3] Borges, “La perpetua…”, p. 119.
20 De hecho, es Aristóteles (el estagirita, como le 26 [3] Ibid., p. 124.
Referencias
[1] Aristóteles. Metafı́sica. Gredos, 1994.
[2] Aristótels. Fı́sica. Gredos, 1998.
[3] Jorge Luis Borges. Discusión, capı́tulo “La perpetua carrera de Aquiles y la Tortuga”,
páginas 117–124. Debolsillo, 2012.
[4] Jorge Luis Borges. Discusión, capı́tulo “Avatares de la Tortuga”, páginas 135–142.
Debolsillo, 2012.
[5] Jorge Luis Borges. Discusión, capı́tulo “Vindicación de ¡¡Bouvard et Pécuchet¿¿”,
páginas 143–148. Debolsillo, 2012.
[6] Juan David Garcı́a Bacca. Los Presocráticos. Número 177 en Colección Popular. FCE,
2a edición, 2014.
[7] Federico Raffo Quintana. “El laberinto del continuo del joven leibniz y la paradoja de
aquiles y la tortuga”. Revista de filosofı́a y teorı́a polı́tica, (45):1–22, 2014.
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