Estructuras periódicas y filtros de banda ancha

Laboratorio de Ondas
Práctica 4
Curso 2008-2009
PRÁCTICA 4:ESTRUCTURAS PERIÓDICAS Y FILTROS DE BANDA ANCHA
Objetivos:
caracterizar estructuras periódicas sencillas, construidas con líneas de
transmisión y su empleo como filtros de banda ancha.
Instrumentos: analizador de espectros de 500 MHz con generador de barrido.
Material:
2 juegos de cables coaxiales tipo RG174A/U, montados con conectores SMA
(que no deben desenroscarse en ningún caso), formando estructuras periódicas
de 278 y 528 mm de periodo, además de 2 cables coaxiales de conexión de ∼1
m cada uno, un conector tipo T, 2 cables en circuito abierto con conector macho
y 4 cables cortocircuitados con conector hembra.
Resumen
Medida de las bandas de transmisión de una estructura periódica construida con líneas
de transmisión, identificación de las bandas prohibidas y medida de los factores de
propagación de las ondas de Bloch de la estructura. Introducción de defectos en la estructura
periódica.
1. INTRODUCCIÓN
El estudio que se plantea en esta práctica se limita a estructuras periódicas formadas
por la repetición, en principio indefinida, de una celda unidad como la de la figura 1. Cada
celda unidad está formada por una longitud d de línea de transmisión de impedancia Z0, con
factor de propagación k = ω/vf, siendo ω la frecuencia angular y vf la velocidad de fase del
modo TEM de la línea de transmisión. En el punto central de cada celda de longitud d se
conecta una impedancia imaginaria Z = -jX, tal que su admitancia normalizada será (Z/Z0)-1 =
jb, siendo b = Z0/X.
Figura 1. Esquema de la estructura periódica formada por la repetición indefinida de una celda unidad.
La matriz de transmisión que relaciona las corrientes normalizadas con Z0, I n = Z 0 I 0
y voltajes Vn en el plano n con los del plano n+1 viene dada por:
⎡Vn ⎤ ⎡ A B ⎤
⎢ I ⎥ = ⎢C D ⎥
⎦
⎣ n⎦ ⎣
⎡Vn +1 ⎤
⎢I ⎥
⎣ n +1 ⎦
⎡
b
cosθ − senθ
⎡A B⎤ ⎢
2
⎢C D ⎥ = ⎢ ⎛
b
⎣
⎦ ⎢ j ⎜ senθ + cosθ + b ⎞⎟
⎢⎣ ⎝
2
2⎠
4-1
b
b ⎞⎤
⎛
j ⎜ senθ + cosθ − ⎟⎥
2
2 ⎠⎥
⎝
b
⎥
cosθ − senθ
⎥⎦
2
(1)
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donde θ = kd = ωd/vf y que resulta de multiplicar las matrices de transmitancia
correspondientes a una línea de longitud d/2, a la admitancia jb y a otra sección de línea de
longitud d/2. En concreto, la matriz de tranmitanca de una línea de longitud z se puede
deducir de la siguiente forma:
Vn+ = Vn++1 e jkz ⎫
⎪
Vn− = Vn−+1 e − jkz ⎪ ⎧⎪Vn = Vn+ + Vn− = cos kz Vn++1 + Vn−+1 + j sen kz Vn++1 − Vn−+1
⎬⇒⎨
I n+ = I n++1 e jkz ⎪ ⎪⎩ I n = I n+ − I n− = j sen kz I n++1 + I n−+1 + cos kz I n++1 − I n−+1
I n− = I n−+1 e − jkz ⎪⎭
Normalizando con Z 0 : I = Z 0 I ⇒ I n +1 = Vn++1 − Vn−+1 y Vn +1 = I n++1 + I n−+1
⎛Vn ⎞ ⎡ cos kz
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎢
⎝ I n ⎠ ⎣ j senkz
(
(
)
)
(
)
(
(
)
)
(
)
(2)
j senkz ⎤ ⎛Vn +1 ⎞
⎜
⎟
coskz ⎥⎦ ⎜⎝ I n +1 ⎟⎠
de tal forma que la matriz correspondiente a una sección de línea de longitud d/2 será:
θ
⎡
cos
⎢
2
⎢
θ
⎢ j sen
2
⎣
j sen
θ ⎤
2⎥
θ ⎥
⎥
cos
2 ⎦
(3)
Por otra parte, la matriz de una impedancia -jX (admitancia j/X) tiene la forma:
⎫
⎪
Vn− = Vn−+1
⎪ ⎧V = V + + V − = V
n
n
n +1
⎪ ⎪ n
j +
+
+ ⎬⇒ ⎨
j
I n = Vn +1 + I n +1
+
−
Vn++1 + Vn−+1 + I n++1 − I n−+1
⎪ ⎪I n = I n − I n =
X
X
⎪ ⎩
j −
−
−
I n +1 = Vn +1 + I n ⎪
X
⎭
Z
Normalizando con Z 0 : I = Z 0 I y b = 0 ⇒
X
⎛V ⎞ ⎡ 1 0⎤ ⎛Vn +1 ⎞
⎟⎟
⇒ ⎜⎜ n ⎟⎟ = ⎢
⎥ ⎜⎜
⎝ I n ⎠ ⎣ jb 1⎦ ⎝ I n +1 ⎠
Vn+ = Vn++1
(
) (
)
(4)
de tal forma que la matriz de transmisión de la ecuación 1 se obtiene multiplicando las tres
matrices siguientes:
θ
⎡
⎡ A B ⎤ ⎢ cos 2
⎢C D ⎥ = ⎢
⎣
⎦ ⎢ j sen θ
2
⎣
θ⎤
θ
⎡
j sen ⎥ ⎡ 1 0⎤ ⎢ cos
2
2
θ ⎥ ⎢⎣ jb 1⎥⎦ ⎢
θ
⎢ j sen
cos ⎥
2 ⎦
2
⎣
θ⎤
j sen ⎥
2
θ ⎥
cos ⎥
2 ⎦
(5)
De acuerdo con el teorema de Bloch, los modos de esta estructura periódica
indefinida, definidos mediante las ondas de voltaje y corriente medidas en cada nudo de la red
periódica, serán ondas de voltaje y corriente de la forma:
Vn +1 = Vn e −γd
I n +1 = I n e − γd
4-2
(6)
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Sustituyendo Vn e In en la ecuación 1 se obtiene el sistema de ecuaciones homogéneo:
⎡ A − eγd
⎢
⎣⎢ C
B ⎤
⎥
D − eγd ⎦⎥
⎡Vn +1 ⎤
⎢I
⎥=0
⎣ n +1 ⎦
(7)
cuyo determinante igualado a cero es la ecuación característica que determina los valores
propios γ de los modos de la estructura periódica,o sea las ondas de Bloch. Esta ecuación
tiene la forma:
e −γd + e +γd = A + D
(8)
Separando la parte real e imaginaria de γ, o sea tomando γ = α + jβ, se tiene que la solución
de la ecuación 4 presenta dos casos:
a) Modo propagativo: α = 0, β ≠ 0
cos βd = cosθ −
b
sen θ
2
(9)
a) Modo evanescente: α ≠ 0, β = 0
cosh αd = cosθ −
b
sen θ ≥ 1
2
(10)
Los intervalos de frecuencias en los que la solución sea del tipo propagativo definen bandas
de paso o bandas permitidas, mientras que los intervalos de frecuencias en los que la solución
sea del tipo evanescente definen bandas prohibidas. De esta forma, estas estructuras pueden
emplearse como filtros pasa-banda y como filtros elimina-banda.
La impedancia de estos modos de la estructura periódica, que son ondas de Bloch, se
define en cada nudo de la red de la forma:
V
Z B = Z 0 n +1
I n +1
(11)
A partir de la ecuación 3, y sustituyendo eγd a partir de la ecuación 4, se obtiene:
Z B = Z0
B
2
A −1
(12)
El coeficiente de reflexión de estas ondas en un extremo, que coincida con el nudo N de la
última celda unidad, al conectar una impedancia de carga ZL es:
Γ=
ZL − ZB
ZL + ZB
(13)
Las ondas de Bloch se caracterizan por tener propiedades de dispersión bastante
diferenciadas de las usuales de un modo TEM y de otros modos guiados en sistemas con
simetría traslacional. A partir del valor propio β de las ondas propagantes, se puede calcular
la velocidad de fase vf y la velocidad de grupo vg de las ondas de Bloch:
vf =
ω
β
vg =
4-3
∂ω
∂β
(14)
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2. MEDIDAS
2.1. MONTAJE Y EQUIPO DE MEDIDA
Las estructuras periódicas que vamos a montar están construidas con cable coaxial
RG174A/U de impedancia característica Z0 = 50 Ω y velocidad de fase vf = 2×108 m/s. las
admitancias normalizadas jb las construiremos con trozos cable coaxial de longitud t en
circuito abierto, por lo que:
b = tg(kt ) , siendo : k =
2πf
vf
(15)
donde f es la frecuencia, que en nuestro caso abarcará el intervalo [0,500] MHz. Para valores
pequeños de kt, lo que corresponde a la mayor parte de los casos aquí considerados, tg(kt) ≈ kt
= (t/vf)ω, por lo que el trozo de línea se comporta como un condensador cuya capacidad
equivalente es Ceq = t/(Z0vf).
En concreto, disponemos de dos estructuras priódicas. La primera emplea trozos de
cable de longitud t = 60 mm, celdas unidad de longitud d = 278 mm y está formada por 11
celdas, mientras que la segunda estructura periódica emplea trozos de cable de longitud t = 93
mm, celdas unidad de longitud d = 528 mm y está también formada por 11 celdas.
Disponemos, así mismo, de dos cables en circuito abierto de longitud d/2 correpondientes a
cada una de las estructuras periódicas.
Estructura periódica
I
II
d (mm)
278
528
t (mm)
60
93
El aparato de medida que emplearemos en esta práctica es un analizador de espectros
de 500 MHz. El aparato genera una señal cuya frecuencia es variable y barre el intervalo
[0,500] MHz, esta señal de salida la conectaremos al sistema a caracterizar y la respuesta del
sistema, que en nuestro caso será la onda transmitida, la mediremos con el puerto de entrada
del aparato, que mide la potencia de la onda que recibe. La gráfica que construye el aparato
es la potencia de la onda en función de la frecuencia. El eje vertical está en decibelios (PdB =
-10 Log(P/Pref)) y su escala es 10 dB por cuadro grande. El eje horizontal es la frecuencia y
la escala del eje horizontal puede ajustarse hasta un máximo de 50 MHz por cuadro grande.
La señal no debe nunca sobrepasar el nivel máximo de potencia de la pantalla, por lo que
debemos asegurarnos que los atenuadores del generador y del receptor limitan la señal
adecuadamente. El aparato dispone de un marcador para poder medir con precisión la
frecuencia de un punto dado del espectro.
2.2. CARACTERIZACIÓN DE LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN
Podemos empezar las medidas midiendo la transmitancia y
la curva de dispersión de la propia línea de transmisión, o sea
del cable RG174A/U. Si conectamos con una T los dos
cables de entrada y salida del analizador de espectros, tal y
como indica la figura 2, obtendremos una línea prácticamente
horizontal en el espectro, lo que significa que todas las
frecuencias se transmiten con la misma intensidad.
Figura 2
4-4
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Seguidamente, si conectamos a la T un trozo de línea de transmisión, que ya está
preparado con un conector tipo "hembra" en un extremo y en circuito abierto el otro extremo,
con una longitud total de 3019 mm, se observa toda una serie de picos de atenuación que
corresponden a cada una de las resonancias del trozo de línea conectado, tal y como podemos
ver en la figura 3.
(a)
(b)
Figura 3. (a) Esquema de conexión de un trozo de línea de transmisión para la medida de su curva de
dispersión. (b) Forma del espectro que se observará en el analizador de espectros.
Bastará con medir las frecuencias de cada resonancia y el orden m al que
corresponden, o sea la tabla m-fm, para determinar la curva de dispersión ω−β. Para ello,
hemos de recordar que las resonancias son ondas estacionarias en el interior del cable de
longitud L y que han de presentar un vientre en el extremo en circuito abierto y un nodo en el
extremo conectado, por lo que:
L=m
λ
2
−
λ
4
(16)
donde m es un entero: m=1,2,3.... De esta forma el factor de propagación β = 2π/λ de cada
resonancia será:
⎛
⎝
1⎞ π
2⎠ L
βm = ⎜m − ⎟
(17)
mientras que la medida de la frecuencia f de la resonancia permite determinar ω:
ω m = 2πf m
(18)
La gráfica ω en función de β es la curva de dispersión. La costumbre es representar
esas magnitudes normalizadas, en concreto podemos representar en lugar de ω el número de
ondas en el vacío normalizado con d (k0d = ωd/c) y en lugar de β utilizaremos su valor
normalizado con d, o sea βd. La curva que deberemos obtener será una recta perfecta, lo que
se corresponde con el hecho de que todas las frecuencias se propagan con la misma velocidad
en una línea de transmisión normal: tanto la velocidad de fase como la de grupo son
constantes (ecuación 14).
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A continuación, repetir la medida para las
dos estructuras periódicas, de acuerdo con el
montaje descrito en la figura 3. Al montar la
estructura periódica a medir, se conectará un
extremo a la T, y en el otro extremo se conectará
un trozo de línea de longitud d/2 en circuito abierto.
Obtener las frecuencias de resonancia del mismo
modo que se hizo para el caso del cable. El factor
de propagación de cada resonancia lo obtendremos
a partir de la expresión (17). Así, al representar la
frecuencia ω normalizada con d/c en función del
factor de propagación β normalizado con d, o sea
representando k0d en función de βd, tendremos la
curva de dispersión de la onda de Bloch.
Figura 3. Esquema de conexión de una estructura periódica para medir su dispersión.
2.3. MEDIDA DE LAS BANDAS PROHIBIDAS
Seguidamente mediremos la posición espectral de las bandas prohibidas y la
atenuación máxima de las mismas. La figura 4b muestra lo que sería la respuesta ideal de una
estructura con dos bandas prohibidas. En función de las características de la estructura
periódica, puede que en el rango de trabajo se observe una sola banda prohibida o una y el
inicio de la segunda, por ejemplo.
El montaje de medida está descrito en la figura 4a. La figura 4b es un ejemplo de los
espectros que se miden en el analizador de espectros, en el que se señalan los parámetros
característicos de las bandas prohibidas que hay que medir. En este ejemplo se tendría que
los intervalos de frecuencias [f1, f2] y [f3, f4] definen las bandas prohibidas 1ª y 2ª, que a su vez
presentan una atenuación máxima A1 y A2, medidas en dB.
(a)
(b)
Figura 4. (a) Esquema de conexión de una estructura periódica para la medida de su espectro de transmisión.
(b) Ejemplo de espectro de transmisión con indicación de los parámetros que definen las dos bandas prohibidas
que se observan en este caso.
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2.4. ESTRUCTURAS PERIÓDICAS CON DEFECTOS
La introducción de un defecto en la periodicidad de la estructura genera estados
resonantes que puede ubicarse en medio de la banda prohibida y con ello permite construir
filtros de transmisión selectivos. Montaremos cada una de las estructuras periódicas de
acuerdo a la figura 4(a). La introducción de defectos consistente en cambiar la admitancia jb
central de la estructura por una impedancia distinta, para lo que disponemos de 4 cables cortos
con conector hembra y cortocircuitados (cada uno de 35, 45, 90 y 115 mm de longitud). Para
realizar la sustitución, desenroscaremos la impedancia jb del centro de la estructura (sólo debe
desenroscarse el cable señalado como "impedancia central") y enroscaremos uno de los cables
cortocircuitados. En estos casos se medirá la frecuencia de la resonancia generada en medio
de la banda prohibida, que en el espectro se verá como un pico de transmitancia.
3. CUESTIONES
a) Deducir las ecuaciones 9-10 y calcular la estructura de bandas, dibujando las curvas de
dispersión k0d-βd para los casos que se estudian experimentalmente en esta práctica.
b) Comparar la posición espectral de las bandas prohibidas de las estructuras medidas con los
valores calculados. Por ejemplo, representar los límites inferior y superior de las bandas
prohibidas teóricas en función de d, para t fijo, y comparar con los valores experimentales.
c) Dado el número finito de celdas en las estructuras experimentales, se puede tener una
simulación realista del espectro de transmitancia de las estructuras. Elevaremos a la
potencia N=11 (número de celdas) la matriz ABCD de una celda, obteniendo la matriz
ABCD de la estructura periódica formada por las 11 celdas. Una vez obtenida la matriz
ABCD resultante, podemos obtener el coeficiente de transmisión de la estructura a partir de
los elementos de la matriz ABCD (el apéndice 1 recoge las relaciones entre los elementos
de la matriz ABCD y la matriz de Scattering). Representar el coeficiente de transmisión en
función de la frecuencia para ambas estructuras y y comparar con el experimental.
Comparar la posición y profundidad de las bandas con las medidas experimentales.
Analizar los casos estudiados de estructuras periódicas con defecto.
d) Comparar las curvas de dispersión teóricas con los puntos experimentales medidos en el
apartado 2.3.
REFERENCIAS
[1] D.M. Pozar, "Microwave Engineering", capítulos 8, Wiley 1998.
[2] R.E. Collin, "Foundations for microwave engineering", capítulos 8, McGrraw Hill 1992.
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Apéndice 1: Relación entre los parámetros ABCD y los parámetros de Scattering.
El coeficiente de transmisión en potencia: T = S 21 ⋅ (S 21 )*
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