Fórmulas de Cálculo (Derivadas e Integrales) Versión 1.0 Pag. 1/2 Información: El siguiente formulario se compone de fórmulas matemáticas y algebraicas, pertenecientes a varias áreas (Álgebra, Cálculo, Trigonométrica, etc), con el fin de servir de guı́a o recordatorio al momento de realizar aplicaciones que las requieran. ¡Recuerda!, es una guı́a no un solucionario. 3 2 2 3 4 4 (x − y)(x + x y + xy + y ) = x − y CONSTANTES 4 3 2 2 3 4 5 5 (x − y)(x + x y + x y + xy + y ) = x − y n X n−k k−1 = xn − y n ∀n ∈ N (x − y) x y k=1 2 2 3 3 (x + y)(x − xy + y ) = x + y π = 3,14159265359... e = 2,71828182846... VALOR ABSOLUTO x si x ≥ 0 |x| = −x si x < 0 x ≤ |x| y −x ≤ |x| |x| ≥ 0 |x| = 0 ⇔ x = 0 n Y |xk | k=1 k=1 n n X X |x + y| ≤ |x| + |y| o |xk | xk ≤ k=1 k=1 |xy| = |x||y| o xk = REGLAS DE EXPONENTES 4 3 2 2 3 4 5 5 (x + y)(x − x y + x y − xy + y ) = x + y n X k+1 n−k k−1 (x + y) (−1) x y = k=1 n n = x + y ∀ n ∈ N impar n X k+1 n−k k−1 (x + y) (−1) x y = k=1 n n = x − y ∀ n ∈ N par k=1 n X k=1 n X a−b = x xb a b ab (x ) = x REGLAS DE LOGARITMOS c loga (x) = c ⇒ a = x loga (xy) = loga (x) + loga (y) ! x = loga (x) − loga (y) loga y r loga (x ) = r loga (x) ln(x) loga (x) = PRODUCTOS BÁSICOS a(x + y) = ax + ay (x + y)(x + y) = x 2 2 + 2xy + y 2 2 = (x + y) 2 2 2 (x − y)(x − y) = x − 2xy + y = (x − y) (x + c)(x + d) = x 2 CA H cos(θ) = + (a + c)x + ad axk = a n Y CA CA cot(θ) = CA CO cos(θ + π) = − cos(θ) (x − y)(x + xy + y ) = x −y tanh(θ) = n sin(θ + nπ) = (−1) sin(θ) eθ + e−θ = eθ − e−θ tanh(θ) n = (−1) 2 2 cosh (θ) − sinh (θ) = 1 π = 0 2 2 1 − tanh (θ) = sech (θ) = ∞ 2 2 coth (θ) − 1 = csch (θ) 2 ! 2n + 1 tan π 2 q De tal manera que tomando r = x2 + y 2 , entonces θ− sin(θ) = cos y sin(θ) = r csc(θ) = r y x r sec(θ) = r x y x cot(θ) = cos(θ) = sin π sinh(−θ) = − sinh(θ) 2 π cosh(−θ) = cosh(θ) θ+ 2 sin(α ± β) = sin(α) cos(β) ± cos(α) sin(β) sinh(α ± β) = sinh(α) cosh(β) ± cosh(α) sinh(β) tan(α ± β) = tan(α) ± tan(β) cosh(α ± β) = cosh(α) cosh(β) ± sinh(α) sinh(β) 1 ∓ tan(α) tan(β) y sin 2(θ) = 2 sin(θ) cos(θ) El radián es de alta utilidad al medir ángulos, expresándolos en múltiplos o fracciones de π. Representa el ángulo central de una circunferencia que abarca un arco de longitud igual al radio. Los más comunes se muestran en la siguiente gráfica tanh(α ± β) = 2 2 cos 2(θ) = cos (θ) − sin (θ) sinh(2θ) = 2 sinh(θ) cosh(θ) 2 tan(θ) tan 2(θ) = 2 sin (θ) = 2 2 cosh(2θ) = cosh (θ) + sinh (θ) 1 − tan2 (θ) 1 − cos(2θ) 2 tanh(θ) tanh(2θ) = 2 1 + cos(2θ) 2 1 − cos 2(θ) 1 + cos 2(θ) α+β ! α−β 2 α−β ! α+β α+β ! cos(α)−cos(β) = −2 sin α+β ! α−β 2 cosh(2θ) + 1 θ e = cosh(θ) + sinh(θ) 2 ! sin 2 Universidad Autónoma de Ciudad Juárez tanh(θ) = α−β cos 2 ex+ıy = ex (cos(y) + ı sin(y)) sinh(2θ) 2 cos(α) + cos(β) = 2 cos FÓRMULA DE EÚLER ! 1 + tanh2 (θ) 1 2 sinh (θ) = (cosh(2θ) − 1) 2 1 2 cosh (θ) = (cosh(2θ) + 1) 2 cosh(2θ) − 1 2 tanh (θ) = cosh(2θ) + 1 cos 2 2a ! cos 2 sin(α) − sin(β) = 2 sin tanh(α) ± tanh(β) 1 ± tanh(α) tanh(β) sin(α) + sin(β) = 2 sin − 4ac se conoce como el discriminante. tanh(−θ) = − tanh(θ) cos(α ± β) = cos(α) cos(β) ∓ sin(α) sin(β) 2 tan (θ) = b2 − 4ac eθ − e−θ ! 2n + 1 2 cos (θ) = q 2 = IDENTIDADES DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS ! π cos eθ + e−θ 1 sinh(θ) 2 x −b ± = cosh(θ) 2n + 1 sin tan(θ) = x = 2 sech(θ) = csch(θ) = 2 ax + bx + c = 0 2 eθ + e−θ 1 n cos(θ + nπ) = (−1) cos(θ) tan(nπ) = 0 ,k ≤ n FÓRMULA GENERAL donde b eθ − e−θ = cosh(θ) n cos(nπ) = (−1) x Dado 3 3 2 2 3 (x − y) = x − 3x y + 3xy − y 3 2 sinh(θ) sin(nπ) = 0 (n − k)!k! n n X n n−k k (x + y) = x y k=0 k n (x1 + x2 + · · · + xk ) = n X n! n n n = x1 1 · x2 2 · · · x k k k=0 n1 !n2 ! · · · nk ! 3 3 2 2 3 (x + y) = x + 3x y + 3xy + y 3 cosh(θ) = tan(θ + π) = tan(θ) (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd 2 2 eθ + e−θ sec(θ) = xk se tiene, 2 eθ − e−θ sinh(θ) = sin(θ + π) = − sin(θ) 1 n! 2 (ax + b)(cx + d) = acx + (ad + bc)x + bd 2 2 2 2 (x + y + z) = x + y + z + 2xy + 2xz + 2yz FUNCIONES HIPERBÓLICAS tan(θ + 2π) = tan(θ) coth(θ) = k −y CO CO x=1 2 H tan(θ + nπ) = tan(θ) n X = (x + y)(x − y) = x csc(θ) = a = na n loge (x) = ln(x) sin(θ + 2π) = sin(θ) cos(θ + 2π) = cos(θ) H CO sin(θ) = 2. Definición como funciones, donde θ es cualquier angulo. n! = log10 (x) = log(x) [cos(α − β) − cos(α + β)] 2 1 cos(α) cos(β) = [cos(α − β) + cos(α + β)] 2 1 [sin(α + β) + sin(α − β)] sin(α) cos(β) = 2 1 cos(α) sin(β) = [sin(α + β) − sin(α − β)] 2 tan(α) + tan(β) tan(α) tan(β) = cot(α) + cot(β) tan(−θ) = − tan(θ) Utilizando la Hipotenusa y los Catetos es posible calcular: cos(θ) = logb (a) 1 sin(α) sin(β) = 2 2 1 + cot (θ) = csc (θ) cos(−θ) = cos(θ) xk = x1 + x2 + · · · + xn logb (x) = ln(a) 2 2 sin (θ) + cos (θ) = 1 sin(−θ) = − sin(θ) tan(θ) = k=1 k=1 n n n X X X (xk + yk ) = xk + yk k=1 k=1 k=1 n X (xk − xk−1 ) = xn − x0 k=1 n X (n + 1 − m) x = n+m x=m n X n(n + 1) x = 2 x=1 n X n(n + 1)(2n + 1) 2 x = 6 x=1 ! n X n(n + 1) 2 3 x = 2 x=1 2 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n a a a (x · y) = x .y ! x a xa = y ya a √ b a xb = x cos α · cos β 2 2 tan (θ) + 1 = sec (θ) SUMATORIAS Y PRODUCTOS a xa 2 H n X = x · x · x···x | {z } a-veces a b a+b x ·x = a x π 1. Definición por triángulos rectángulos, donde 0 < θ < sin(α ± β) tan(α) ± tan(β) = IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 3 2 2 3 4 4 (x + y)(x − x y + xy − y ) = x − y |x| = |−x| n Y TRIGONOMÉTRICA ! −θ e = cosh θ(θ) − sinh(θ) Fórmulas de Cálculo (Derivadas e Integrales) d LÍMITES dx d 1 lı́m (1 + x) x = e = 2,71828... x→0 1 x lı́m 1+ = e x→∞ x sin x = 1 lı́m x→0 x 1 − cos x lı́m = 0 x→0 x ex − 1 lı́m = 1 x→0 x x−1 = 1 lı́m x→1 ln x dx d dx d dx d f (x + ∆x) − f (x) df df = f = lı́m ∆x→0 ∆x 0 dx d (c) = 0 dx d (cx) = c dx d n n−1 (x ) = nx v2 v INTEGRALES Z adx = ax 0 (sec(u)) = sec(u) tan(u)u (csc(u)) = − csc(u) cot(u)u 0 u0 (arcsin(u)) = q 1 − u2 (arc cos(u)) = − q u0 d n n−1 du (u ) = nu dx dx dF (u) dF du 0 0 = · = F (u)u (Regla de la cadena) dx du dx Z 1 + u2 u0 (arccot(u)) = − dx 1 + u2 d (arcsec(u)) = dx u0 + si u > 1 = ± q − si u < −1 u 2 u −1 − + = ∓ q u 2 u −1 si u > 1 si u < −1 dx d dx d dx d dx d dx d dx d u0 d (ln(a))u dx u u 0 (e ) = e · u dx u u 0 (a ) = a ln(a)u dx d dx d (cos(u)) = − sin(u)u 0 dx 1 1 + u2 ! = u arcsec(u) − ln u2 4 0 ,u > 1 , |u| < 1 , |u| > 1 = u arccsc(u) + ln (u ln(u) − u) = u = − arc cos = arcsin = ln u+ a q u a u2 ± a 2 u2 ± a2 uq = q u+ u2 − 1 = INTEGRALES DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS (2 loga (u) − 1) u2 ± a 2 ± a2 2 = u arccsc(u) + arccosh(u) ln q u+ u2 ± a2 2 eau (a sin(bu) − b cos(bu)) au e sin(bu) du = a2 + b2 Z eau (a cos(bu) + b sin(bu)) eau cos(bu) du = a 2 + b2 Z 3 sec (u)du = Z 1 = Z sinh(u)du = cosh(u) 1 sec(u) tan(u) + 2 ln|sec(u) + tan(u)| 2 (2 ln(u) − 1) Z cosh(u)du = sinh(u) sin(x) = x − f (n) (x0 )(x − x0 )n f 00 (x0 )(x − x0 )2 0 Taylor: f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + +···+ 2! n! f 00 (0)x2 f (n) (0)xn 0 Maclaurin: f (x) = f (0) + f (0)x + +···+ 2! n! x2 x3 xn x e = 1+x+ + +···+ +··· 2! 3! n! a−u 2a OTRAS INTEGRALES INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Z sin(u)du = − cos(u) Z cos(u)du = sin(u) Z 2 sec (u)du = tan(u) Z 2 csc (u)du = − cot(u) Z sec(u) tan(u)du = sec(u) Z csc(u) cot(u)du = − csc(u) Z tan(u)du = − ln|cos(u)| = ln|sec(u)| Z cot(u)du = ln|sin(u)| Z sec(u)du = ln|sec(u) + tan(u)| SERIES u+a ! a+u ln u du 1 ln = q q a u a 2 ± u2 a + a 2 ± u2 a Z du 1 arc cos = = q a u u u2 − a 2 u 1 = arcsec a a u Z q uq a2 a2 − u2 du = a2 − u2 + arcsin 2 2 a Z q u2 ± a2 du = q u + u2 − 1 = arccsc(u)du = ln(a) u2 = a2 − u2 = arcsec(u) − arccosh(u) 0 u2 − 1 1 − u2 −u0 arcsech(u) = q dx u 1 − u2 dx d 1 + u2 (ln(u) − 1) u ln(u)du = u0 u0 q ln(a) 1 Z 1 + u2 1 − u2 u0 q arcsec(u)du = u loga (u)du = u0 arccoth(u) = 0 (sin(u)) = cos(u)u Z 1 − u2 Z Z csch(u) = − csch(u) coth(u)u arctanh(u) = q arctan(u)du = u arctan(u) − ln 4 dx d 1 − u2 ln(a) sech(u) = − sech(u) tanh(u)u d DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS q Z ln(u)du = u ln(u) − u = u(ln(u) − 1) u 2 0 coth(u) = − csc (u)u arccosh(u) = q q arccot(u)du = u arccot(u) + ln u− ln 2a 1 du Z u u ue du = e (u − 1) = 2 0 tanh(u) = sech (u)u d u cos(u)du = cos(u) + u sin(u) Z ln(a) Z 0 cosh(u) = sinh(u)u arcsinh(u) = q q au loga (u)du = DERIVADAS DE FUN. HIPERBÓLICAS INVERSAS u (loga u) = INTEGRALES DE FUNCIONES LOG Y EXP Z u u e du = e · = du Z Z arc cos(u)du = u arc cos(u) − ln(a) au u 1 = − arccot a ! a a u−a arccot a 1 INTEGRALES DE RADICALES u sin(u)du = sin(u) − u cos(u) arcsin(u)du = u arcsin(u) + u ua du = u = Z Z Z u0 (ln u) = a2 − u2 2 cot (u)du = −(cot(u) + u) Z u a du = u2 − a2 du Z = ln|u| Z 1 u2 + a2 Z du , n 6= −1 Z 0 sinh(u) = cosh(u)u Z du Z Z u DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS d INTEGRALES DE FUN. HIPERBÓLICAS INVERSAS u 1 2 sin (u)du = − sin(2u) 2 4 Z u 1 2 cos (u)du = + sin(2u) 2 4 Z 2 tan (u)du = tan(u) − u INTEGRALES DE FUN. TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS n+1 Z u0 csc(u)du = ln|csc(u) − cot(u)| Z du (arccsc(u)) = dx dx d un+1 n u du = (arctan(u)) = DERIVADAS DE FUNCIONES LOG Y EXP dx d Sean f (x), u(x), v(x), w(x) funciones de x Z Z af (x)dx = a f (x)dx Z Z Z (u ± v ± w ± · · ·)dx = udx ± vdx ± Z wdx ± · · · Z Z udv = uv − vdu (Integración por partes) 1 − u2 u0 dx d dx d vu0 − uv 0 = dx d (cot(u)) = − csc (u)u Z Z 0 d dx Sean u(x), v(x), w(x) funciones de x d 0 (cu) = cu dx d 0 0 0 (u ± v ± w ± · · · ) = u ± v ± w ± · · · dx d 0 0 (uv) = uv + vu dx d 0 0 0 (uvw) = uvw + uwv + vwu dx d u 2 dx dx dx 2 0 (tan(u)) = sec (u)u d Pag. 2/2 u0 d arccsch(u) = − , u 6= 0 q dx |u| 1 − u2 DERIVADAS DE FUN. TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS DERIVADAS Dx f (x) = Versión 1.0 cos(x) = 1 − Z 2 sech (u)du = tanh(u) Z 2 csch (u)du = − coth(u) Z sech(u) tanh(u)du = − sech(u) Z csch(u) coth(u)du = − csch(u) Z tanh(u)du = ln(cosh(u)) Z coth(u)du = ln|sinh(u)| INTEGRALES DEFINIDAS, PROPIEDADES Z b a Z b a Z b {f (x) ± g(x)} dx = Z b f (x)dx ± a cf (x)dx = c Z b Z b g(x)dx a f (x)dx, c ∈ R a Z b f (x)dx + f (x)dx a c Z a f (x)dx f (x)dx = − b Zaa f (x)dx = 0 a Z b m(b − a) ≤ f (x)dx ≤ M (b − a) ⇔ a ⇔ m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ [a, b], m, M ∈ R f (x)dx = Z c a Z b Z sech(u)du = arctan(sinh(u)) csch(u)du = − arccoth(cosh(u)) = 1 = ln tanh u 2 x3 x5 + 3! x2 + arctan(x) = x − Sugerencias y comentarios: eduardo.mrqez@gmail.com x2 2 x3 3 Z b a Z b g(x)dx ⇔ a ⇔ f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b] f (x)dx ≤ f (x)dx ≤ Z b |f (x)|dx si a < b a 2n−1 n−1 x + · · · + (−1) (2n − 1)! 2n−2 n−1 x − + · · · + (−1) 4! 6! (2n − 2)! n x3 x4 n−1 x + − + · · · + (−1) 3 4 n 2n−1 x5 x7 n−1 x + − + · · · + (1) 5 7 2n − 1 5! x4 2! ln(1 + x) = x − Z b a Z − x7 7! x6 . Universidad Autónoma de Ciudad Juárez