Conjuntos numéricos Mapa conceptual Potencias de base racional y exponente entero Sitios sugeridos Regularidades numéricas Razones y proporciones Porcentaje 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS Empezaremos este curso de preparación a P.L.G.ESO revisando los diferentes conjuntos numéricos con los que has trabajado. Números naturales: son aquellos que utilizaste desde pequeño(a) para contar: Números enteros: este conjunto está conformado por los negativos, los positivos y el cero, que no es positivo ni negativo: 1 Números racionales: son todos aquellos que se pueden expresar como cuociente entre números enteros: Ejemplos de racionales, son: Los números naturales: Los números enteros: Los números decimales finitos: Los números decimales infinitos periódicos: Los números decimales infinitos semiperiódicos: Números irracionales: son todos aquellos que no se pueden expresar como cuociente entre dos números enteros. Se caracterizan por tener infinitas cifras decimales sin período. Este conjunto se designa con la letra . 2 Números reales: es el conjunto formado por los números racionales e irracionales. Este conjunto se designa con la letra . Resumiendo lo anterior, tenemos la siguiente situación: A continuación puedes ver un mapa conceptual relativo a los conjuntos numéricos: Números reales (ppt) OPERATORIA EN a) Adición y sustracción de fracciones: 3 b) Multiplicación de fracciones: c) División de fracciones: d) Adición y sustracción de decimales: se deben poner los decimales en columna, alineando la coma decimal. 0,23 + 1,4 = e) 2. POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO Por definición, se tienen las siguientes igualdades: 4 Ejemplo: Por lo tanto: 4. RAZONES Y PROPORCIONES Una razón entre dos cantidades es una comparación por cuociente. Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la razón entre sus edades es: . Si simplificamos por tres obtenemos: . La igualdad entre dos razones se denomina proporción. Por ejemplo, la igualdad entre las razones anteriores: es una proporción, lo que se puede constatar porque los productos cruzados son iguales: 12 . 5 = 4 . 15 La propiedad: , se denomina propiedad fundamental de las proporciones. 5. PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos variables están en proporcionalidad directa si su cuociente permanece constante: 5 k se denomina la constante de proporcionalidad. El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que están sobre una recta que pasa por el origen. Ejemplo: Un vehículo tiene en carretera un rendimiento de 16 km/l. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km? Efectuamos la razón entre las variables: distancia – consumo de bencina: Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos: 6. PROPORCIONALIDAD INVERSA 6 Dos variables están en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante: k se denomina la constante de proporcionalidad. El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que están sobre una hipérbola. Ejemplo: Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros? Por estar en proporcionalidad inversa el producto entre las variables: número de obreros – tiempo, es constante: 7. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA En la proporcionalidad compuesta hay variables que se relacionan mediante proporcionalidad directa y otras a través de proporcionalidad inversa. 7 Para resolver los ejercicios de este tema, en primer lugar se debe dilucidar qué tipo de proporcionalidad existe entre cada par de variables. Posteriormente, se debe determinar la constante de proporcionalidad. Ejemplo: Se necesitan 20 obreros para pavimentar 2 km de camino en 5 días. ¿Cuántos obreros se necesitan para pavimentar 5 km en 10 días? En primer lugar, determinaremos qué tipo de proporcionalidad existe entre las variables: Obreros (O) – longitud del camino (L): están en proporcionalidad directa (entre más obreros, más km de camino se pavimentarán), por lo tanto: = constante. Por otra parte, las variables: Obreros (O) – tiempo (T) están en proporcionalidad inversa (entre más obreros, menos tiempo se demorarán en pavimentar el camino), por lo tanto: O . T = constante. De lo anterior se deduce que: = constante. Aplicando esta constante de proporcionalidad a los datos dados, tenemos: Multiplicando cruzado en esta última proporción y despejando x obtenemos: 8 x = 25 obreros. 8. PORCENTAJE El porcentaje es una proporcionalidad directa, considerando la totalidad como un 100%. Por ejemplo, decir que el precio de un artículo ha subido en un 5% significa que ha subido 5 partes de un total de 100. En términos fraccionarios, se dice que ha subido la 5/100 parte. Cuando calculamos el porcentaje de un número, podemos hacerlo directamente ocupando el concepto de fracción, por ejemplo, el 12% de 600 es: El cálculo de porcentaje también se puede realizar a través de una proporcionalidad directa: Es bastante útil utilizar este método para resolver problemas de porcentaje relacionados con ganancia y pérdida. Ejemplo: El precio de un chaleco durante una oferta ha bajado de $15.000 a $13.500. ¿Qué % de descuento se le aplicó? En este caso, se considera el precio antiguo ($15.000) como el 100%. De lo que disminuyó: $15.000 - $ 13.500 = $ 1.500, se requiere saber qué porcentaje es del precio original, por lo tanto: 9 Veamos ahora otro ejemplo: ¿Qué % es 0,2 de 4? En este caso, la totalidad es 4 (el 100%), de modo que planteamos la proporción: Ejercita porcentajes visitando las siguientes páginas: Sitios sugeridos 10
