TALLER 3 – VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 1. En una lotería se venden 1,000,000 de boletos de $10 cada uno. Hay un primer premio de $3,000,000, 10 premios de $200,000, 100 premios de $2,000, 1,000 premios de $100 y 10,000 boletos reciben un reembolso del costo del boleto. Halle el valor esperado de la ganancia neta por boleto. 2. Una máquina fabrica CHIPS y se ha comprobado que el 2% de los mismos son defectuosos. Si se vende en paquetes de 29, se pide: ¿Cuál es la probabilidad de que al comprar un paquete haya en el mismo 2 defectuosos? 3. Consideremos la siguiente distribución de probabilidad uniforme, cuya pdf es: Evaluar la probabilidad de un intervalo Δ entre 𝑎 y 𝑏. 4. Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? 5. El tiempo durante el cual cierta marca de batería trabaja en forma efectiva hasta que falle (tiempo de falla) se distribuye según el modelo exponencial con un tiempo promedio de fallas igual a 360 días. a) ¿Qué probabilidad existe que el tiempo de falla sea mayor que 400 días? b) Si una de estas baterías ha trabajado ya 400 días, ¿qué probabilidad hay de que trabaje más de 200 días más? c) Si se están usando 5 de tales baterías, calcular la probabilidad de que más de dos de ellas continúen trabajando después de 360 días. 6. Supongamos que en un enlace se tiene una probabilidad de error de bit igual a 1e–6. a) ¿Cuantos bits deben transmitirse en promedio para recibir un bit malo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en una transmisión de 1e7 bits, no ocurra un error? c) ¿ocurra un error? 7. Supongamos que una fábrica produce chips con un tiempo medio entre fallas (mean time between failures – MTBF) de 4500 horas. Es decir, se espera que los chips no fallen sino hasta 4500 horas después de haber sido fabricados. Al tomar datos estadísticos de 100 chips fabricados se encuentra que los chips han fallado luego de los tiempos especificados en la siguiente tabla: Grafique e indique que tipo de pdf cumple determine sus parámetros fundamentales. 8. Utilizando el software MatLab realice el siguiente ejercicio: a) Implemente la función de una variable gaussiana, generando valores para el eje x, y eligiendo valores adecuados para la media y la varianza. Grafique. b) Usando la función randn() genere una cantidad adecuada de datos aleatorios enteros de hasta cuatro cifras con distribución normal, cuya media sea distinta de cero. Grafique la secuencia de datos, su pdf, su CDF y encuentre valores estadísticos como la media, la mediana y la moda; Encuentre además la desviación estándar y la varianza. Presente un reporte con conclusiones relevantes. 9. Dada una variable aleatoria gaussiana, 𝜉, con media 𝜇 = 0.5 y varianza 𝜎2 = 0.0625, grafique la pdf y CDF (emplee un software a su elección para el efecto), se sugiere que para la gráfica de la CDF emplee la función erfc con el cambio de variable correspondiente. Además, evalúe las siguientes probabilidades: 𝑃(𝜉 ≤ 0.125), 𝑃(0.2 ≤ 𝜉 ≤ 0.625), 𝑃(𝜉 ≥ 0.45). 10. El 20% de todos los teléfonos de cierto tipo son llevados a servicio mientras se encuentran dentro de la garantía. De éstos, 60% puede ser reparado, mientras el 40% restante debe ser remplazado con unidades nuevas. Si una compañía adquiere diez de estos teléfonos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos sean remplazados bajo garantía? 11. Utilizando una hoja de cálculo (por ejemplo, MS Excel) determine los datos y grafique la pdf y CDF de una distribución binomial, correspondiente a la probabilidad recibir bits errados (0–10), cuando se transmite una trama de 120000 bits en un canal con BER=10–5, como se ejemplifica a continuación (si usa MS Excel utilice la función DISTR.BIN()).
