FÓRMULAS, TABLAS Y FIGURAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR Juan Carlos Ramos González Doctor Ingeniero Industrial Raúl Antón Remírez Doctor Ingeniero Industrial Diciembre de 2010 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras ii Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras ÍNDICE Fórmulas Tema 1. Introducción a la transferencia de calor y a la conducción ...................................... 1 Tema 2. Conducción unidimensional en régimen estacionario ............................................. 3 Tema 3. Conducción bidimensional en régimen estacionario ............................................... 6 Tema 4. Conducción en régimen transitorio .......................................................................... 6 Tema 5. Introducción a la convección ................................................................................... 9 Tema 6. Convección forzada en flujo externo ..................................................................... 11 Tema 7. Convección forzada en flujo interno...................................................................... 14 Tema 8. Convección libre o natural ..................................................................................... 17 Tema 9. Introducción a la radiación .................................................................................... 19 Tema 10. Intercambio radiativo entre superficies ............................................................... 22 Tablas y Figuras Tema 2. Conducción unidimensional en régimen estacionario ........................................... 24 Tema 3. Conducción bidimensional en régimen estacionario ............................................. 27 Tema 4. Conducción en régimen transitorio ........................................................................ 34 Tema 6. Convección forzada en flujo externo ..................................................................... 37 Tema 7. Convección forzada en flujo interno...................................................................... 42 Tema 8. Convección libre o natural ..................................................................................... 46 Tema 9. Introducción a la radiación .................................................................................... 48 Tema 10. Intercambio radiativo entre superficies ............................................................... 50 Tablas de propiedades termofísicas y de funciones matemáticas ........................................ 55 Alfabeto griego .................................................................................................................... 62 i Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras ii Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR Y A LA CONDUCCIÓN • Calor o transferencia de calor o velocidad de transferencia de calor: q [J/s = W]. • Flujo calorífico o de calor: q ′′ [W/m2]. • Ley de Fourier: q ′x′ = − k dT . q x = q ′x′ ⋅ A . En condiciones de régimen estacionario y con una dx distribución lineal de temperaturas: q ′x′ = −k T −T T − T2 ∆T dT = −k 2 1 = k 1 =k . dx L L L • Conductividad térmica: k [W/m·K]. • Ley de enfriamiento de Newton: q ′x′ = h(Ts − T∞ ) . • Coeficiente de transferencia de calor por convección: h [W/m2·K]. • Potencia emisiva superficial: E [W/m2]. • Ley de Stefan-Boltzmann para un cuerpo negro: E b = σTs4 . • Constante de Stefan-Boltzmann: σ = 5,67·10-8 W/m2·K4. • El flujo de calor emitido por una superficie real a la misma temperatura que un cuerpo negro siempre será menor y viene dado por: E = εσTs4 , donde ε es la emisividad, que puede variar entre 0 y 1. • Se llama irradiación, G, a la velocidad con la que la radiación incide sobre un área unitaria. La proporción de la irradiación total que es absorbida por la superficie viene dada por la absortividad, α (0≤α≤1), según la siguiente expresión: Gabs = αG . Irradiación de los alrededores: G = σTalr4 . • Intercambio ′′ = q rad de radiación para ( una ) q = εE b (Ts ) − αG = εσ Ts4 − Talr4 . A superficie También gris se y puede difusa (α expresar = ε): como: ′ = hrad (Ts − Talr ) , siendo hrad el coeficiente de transferencia de calor por radiación: q ′rad ( ) hrad = εσ (Ts + Talr ) Ts2 + Talr2 . • Principio de conservación de la energía en un volumen de control formulado en un instante de dE tiempo (t): E& ent + E& gen − E& sal = alm = E& alm . dt 1 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras • Principio de conservación de la energía en un volumen de control formulado en un intervalo de tiempo (∆t): E ent + E gen − E sal = ∆E alm . • Principio de conservación de la energía en una superficie de control: E& ent − E& sal = 0 . r r r ∂T r ∂T r ∂T r r = i q ′x′ + j q ′y′ + k q ′z′ . • Ley de Fourier vectorial: q ′′ = − k∇T = −k i + j +k ∂y ∂z ∂x • Capacidad térmica volumétrica: ρ cp [J/m3·K]. Mide la capacidad de un material para almacenar energía térmica. • Difusividad térmica: α = k [m2/s]. Mide la capacidad de un material para conducir energía ρc p térmica en relación con su capacidad para almacenarla. • Ecuación de difusión de calor en coordenadas cartesianas: ∂T W ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T + k . k + k + q& = ρc p ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂t m 3 • Ecuación de difusión de calor vectorial: ∇·( k∇T ) + q& = ρc p ∂T . ∂t • En el caso de transmisión unidimensional en régimen estacionario y sin generación de energía: d dT k = 0 . Teniendo en cuenta la ley de Fourier ( q ′x′ = − k dT dx ), esta ecuación dx dx implica que el flujo de calor en la dirección de transmisión es una constante ( dq ′x′ / dx = 0 ⇒ q ′x′ = cte. ). • Ecuación de difusión de calor en coordenadas cilíndricas (r radial, φ angular o longitud, z axial, elemento diferencial de dr·rdφ·dz): volumen: 1 ∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T k + k . + 2 + q& = ρc p kr r ∂r ∂r r ∂φ ∂φ ∂z ∂z ∂t • Ecuación de difusión de calor en coordenadas esféricas (r radial, θ polar, cenital o colatitud, φ azimutal o longitud, elemento diferencial de volumen: dr·rsenθdφ·dθ): 1 ∂ 2 ∂T 1 ∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂T k + 2 . kr + 2 ksenθ + q& = ρc p 2 2 2 ∂r r sen θ ∂φ ∂φ r sen θ ∂θ ∂θ ∂t r ∂r • Condición de contorno de primera clase o de Dirichlet: superficie mantenida a temperatura constante, T(x = 0, t) = Ts. 2 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras • Condición de contorno de segunda clase o de Neumann: flujo de calor fijo o constante en la superficie, q ′s′( x = 0) = −k adiabática, ∂T ∂x ∂T ∂x . Un caso especial es la superficie perfectamente aislada o x =0 = 0. x =0 • Condición de contorno de tercera clase o de Fourier: corresponde a la transferencia de calor ′′ , superficie = q conv ′′ . Si el fluido está en contacto con la por convección en la superficie, q cond superficie de la pared donde está el origen de coordenadas: − k ∂T ∂x = h[T∞ − T ( x = 0, t )] . Si x =0 el fluido está en contacto con la superficie de la pared opuesta al origen de coordenadas: −k ∂T ∂x = h[T ( x = L, t ) − T∞ ] . x=L TEMA 2. CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO • Resistencia térmica de conducción para pared plana: Rt ,cond = • Resistencia térmica de convección: Rt ,conv = • Resistencia térmica de radiación. Rt ,rad = Ts1 − Ts 2 L = . qx kA Ts − T∞ 1 = . q hA Ts − Talr 1 . = q rad hr A • Coeficiente global de transferencia de calor, U: q x = UA∆T . Rtot = ∑ Rt = ∆T 1 = . q UA • Ley de Fourier expresada en forma integral para un sistema general en condiciones de régimen estacionario sin generación de calor y con conducción unidimensional (en este caso, la transferencia de calor, qx, es una constante independiente de x): q x ∫ x x0 T dx = − ∫ k (T )dT . T0 A( x) • Resistencia térmica de conducción para una pared cilíndrica: Rt ,cond = (Ts1 − Ts 2 ) ln(r2 / r1 ) . = qr 2πLk • Resistencia térmica de convección para una pared cilíndrica: Rt ,conv = 1 1 . = Ah 2πrLh 3 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras • Resistencia Rt ,cond = térmica de conducción para una pared esférica: (Ts1 − Ts 2 ) 1 1 1 − . = qr 4πk r1 r2 • Resistencia térmica de convección para una pared esférica: Rt ,conv = 1 1 . = Ah 4πr 2 h • El coeficiente global de transferencia de calor en una pared cilíndrica o esférica depende del área en función de la cual se exprese: U 1 A1 = U 2 A2 = U 3 A3 = ... = U i Ai = (∑ Rt ) . −1 • Generación de energía térmica por unidad de volumen: q& = e& gen = • Ecuación de calor para una aleta: E& gen W . Vol m 3 d 2T 1 dAc dT 1 h dAs (T − T∞ ) = 0 . + − dx 2 Ac dx dx Ac k dx • Distribución de temperaturas y transferencia de calor para aletas de área de sección transversal uniforme: • Caso A, con transferencia de calor por convección desde el extremo de la aleta ( hAc [T ( L) − T∞ ] = −kAc dT dx ): x=L θ ( x) cosh m( L − x) + (h / mk )senh m( L − x) = θb cosh mL + (h / mk )senh mL siendo θ ( x) = T ( x) − T∞ , θ b = Tb − T∞ , m 2 = qf = M senh mL + (h / mk ) cosh mL cosh mL + (h / mk )senh mL hP , M = hPkAc θ b , P el perímetro y Ac kAc el área transversal. • Caso B, extremo adiabático ( dθ dx = 0 ): x =L θ ( x) cosh m( L − x) = θb cosh mL q f = M tanh mL • Caso C, extremo con temperatura establecida (θ(x = L) = θL): θ ( x) (θ L / θ b )senh mx + senh m( L − x) = senh mL θb qf = M cosh mL − (θ L / θ b ) senh mL • Caso D, aleta muy larga (L → ∞ y θL → 0, aplicable si m·L > 2,65): q f = M = hPkAc θ b θ ( x ) = θ b e − mx 4 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras • La efectividad de una aleta se define como la razón entre la transferencia de calor de la aleta y la transferencia de calor que existiría sin la aleta: ε f = qf hAc ,bθ b , siendo Ac,b el área de la sección transversal de la base de la aleta. El uso de aletas sólo se justifica cuando εf ≥ 2. • Resistencia térmica de una aleta: Rt , f = θb qf . • Teniendo en cuenta la resistencia térmica de convección de la base de la aleta, Rt,b = 1/hAc,b, se puede expresar la efectividad como: ε f = Rt , b Rt , f . • La eficiencia o rendimiento de una aleta se define como la razón entre el calor real transferido por la aleta y el calor que transferiría si estuviera toda ella a la temperatura de la base: ηf = qf q máx = qf hA f θ b , siendo Af la superficie total de la aleta. • Teniendo en cuenta la ecuación que define la resistencia térmica de una aleta, se puede expresar ésta en función de su eficiencia: Rt , f = 1 . hA f η f • Para el caso de una aleta recta de sección transversal uniforme y con su extremo adiabático se tiene: η f = M tanh mL tanh mL . = hPLθ b mL • Se puede emplear la expresión de la aleta con extremo adiabático para una aleta con extremo activo, empleando una longitud de aleta corregida de la forma Lc = L+(t/2) para aleta rectangular y Lc = L+(D/4) para aleta de aguja. Esta aproximación es válida cuando (ht/k) o (hD/2k) < 0,0625. • Aletas de sección transversal no uniforme. En las expresiones de la distribución de temperaturas, la transferencia de calor y el rendimiento o eficiencia de este tipo de aletas aparecen las funciones de Bessel modificadas de primera y segunda clase de orden 0 y orden 1 (I0, I1, K0 y K1) cuyos valores están tabulados en la Tabla H. En la Tabla 2.1 se muestran las expresiones del rendimiento para distintos tipos de aletas de sección transversal no uniforme. • Dispositivo de varias aletas. Eficiencia global de la superficie: η o = qt qt = , siendo qt q máx hAtθ b la transferencia total de calor de la superficie total, At, que es la asociada a la superficie de las 5 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras aletas, Af, más la parte expuesta de la base, Ab. Es decir, At = NA f + Ab , siendo N el número total de aletas. • Este rendimiento también se puede expresar en función del rendimiento de una sola aleta: q t = Nq f + q b = Nη f hA f θ b + hAbθ b ⇒ qt = η o hAtθ b ⇒ η o = 1 − • Resistencia térmica efectiva del dispositivo de aletas: Rt ,o = θb qt = NA f At (1 − η f ) . 1 . hAtη o TEMA 3. CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO • Factor de forma de conducción para sistemas bidimensionales, S: q = Sk (T1 − T2 ) . Se obtiene de la Tabla 3.1. • Resistencia de conducción bidimensional: Rt ,cond ( 2 D ) = 1 . Sk • MDF: Para obtener la ecuación de diferencias finitas de un nodo aplicando el principio de conservación de la energía a un volumen de control alrededor del nodo se supone que todo el flujo de calor es hacia el nodo. Como estamos en régimen permanente la ecuación a emplear es: E& ent + E& gen = 0 . El término de energía entrante puede incluir calores de conducción o de convección que se evalúan con la ley de Fourier ( q ( m −1,n )→( m,n ) = k (∆y·1) Tm −1,n − Tm,n ∆x ) o la ley de enfriamiento de Newton ( q ( ∞ )→( m , n ) = h(∆x·1)(T∞ − Tm ,n ) . TEMA 4. CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN TRANSITORIO • Definición general del número de Biot: Bi = Rt,int Rt ,ext = • Número de Biot para un sólido con convección: Bi = ∆Tint . ∆Text hLc Rt ,cond . = k Rt ,conv • Longitud característica: Lc = Vol/As. Para una pared plana de espesor 2L sometida a convección simétrica en su superficie ⇒ Lc = L, y para un cilindro largo o una esfera de radio ro ⇒ Lc = ro. 6 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras • Número de Fourier: Fo = α ·t L2c . • El método de la resistencia interna despreciable es aplicable cuando Bi = hLc < 0,1 . k • Distribución de temperaturas temporal en un sólido en el que se puede aplicar el método de la resistencia interna despreciable: t hAs θ (t ) T (t ) − T∞ t = exp − = = exp − θ ini Tini − T∞ τt ρVolc p • Constante de tiempo térmica: τ t = . 1 · ρVolc p = Rt ·C t , siendo Rt la resistencia a la hAs transferencia de calor por convección y Ct la capacidad térmica del sólido. • La transferencia total de energía que tiene lugar desde un sólido en el que se puede aplicar el método de la resistencia interna despreciable durante un tiempo t será: Q(t ) = ∫ qdt = hAs ∫ θ (t )dt ⇒ Q (t ) = ρVolc pθ ini [1 − exp(− t τ t )] = U ini [1 − exp(− t τ t )] . t t 0 0 • Q(t ) = −∆U (0 → t ) = −[U (t ) − U (0)] . • Solución analítica aproximada con el primer término (aplicable cuando Fo > 0,2) de la distribución de temperaturas en una pared plana de espesor 2L sometida a convección: θ * ( x*, t*) = T ( x, t ) − T∞ 180 180 = C1 exp(−ζ 12 Fo) cos( ζ 1 x*) = θ o * cos( ζ 1 x*) , π π Tini − T∞ θ o * ( x* = 0, t ) = siendo T ( x = 0, t ) − T∞ = C1 exp(−ζ 12 Fo) la temperatura del plano medio (x* = x/L = Tini − T∞ 0). Los valores de C1 y ζ1 se obtienen de la Tabla 4.1. • Transferencia total de energía en función del tiempo desde o hacia una pared plana de espesor 180 sen ζ Q(t ) π 1 2L sometida a convección: = 1− θ o * (0, t ) , siendo Uo = Uini = ρcpVol(Tini Uo ζ1 T∞) = Qmáx la energía interna inicial de la pared referida a la temperatura del fluido o la máxima cantidad de energía que se podría transferir al fluido o desde el fluido, según éste esté a menor o mayor temperatura que la pared. • Solución analítica aproximada con el primer término (aplicable cuando Fo > 0,2) de la distribución de temperaturas en un cilindro largo de radio ro sometido a convección: 7 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras θ * (r*, t*) = T (r , t ) − T∞ = C1 exp(−ζ 12 Fo) J 0 (ζ 1 r*) = θ o * J 0 (ζ 1 r*) , Tini − T∞ θ o * (r* = 0, t ) = siendo To − T∞ = C1 exp(−ζ 12 Fo) la temperatura del eje central (r* = r/ro = 0) y J0 Tini − T∞ la función de Bessel de primera clase de orden cero cuyos valores se encuentran en la Tabla G. • Transferencia total de energía en función del tiempo desde o hacia un cilindro largo de radio ro sometido a convección: 2θ * (0, t ) Q(t ) = 1− o J 1 (ζ 1 ) , siendo J1 la función de Bessel de ζ1 Uo primera clase de orden uno cuyos valores se encuentran en la Tabla G y Uo = Uini = ρcpVol(Tini - T∞) = Qmáx la energía interna inicial del cilindro referida a la temperatura del fluido o la máxima cantidad de energía que se podría transferir al fluido o desde el fluido, según éste esté a menor o mayor temperatura que el cilindro. • Solución analítica aproximada con el primer término (aplicable cuando Fo > 0,2) de la distribución de temperaturas en una esfera de radio ro sometida a convección: θ * (r*, t*) = T (r , t ) − T∞ 1 180 1 180 = C1 exp(−ζ 12 Fo) sen ( ζ 1r*) = θ o * sen ( ζ 1 r*) , ζ 1r * π ζ 1r * π Tini − T∞ siendo θ o * (r* = 0, t ) = To − T∞ = C1 exp(−ζ 12 Fo) la temperatura del eje central (r* = r/ro = Tini − T∞ 0). • Transferencia total de energía en función del tiempo desde o hacia una esfera de radio ro sometida a convección: 3θ * Q(t ) 180 180 = 1 − o3 sen( ζ 1 ) − ζ 1 cos( ζ 1 ) , siendo Uo = Uini = π π Uo ζ1 ρcpVol(Tini - T∞) = Qmáx la energía interna inicial de la esfera referida a la temperatura del fluido o la máxima cantidad de energía que se podría transferir al fluido o desde el fluido, según éste esté a menor o mayor temperatura que la esfera. • Conducción multidimensional. Para las geometrías multidimensionales de la Tabla 4.2, la solución multidimensional se expresa como un producto de soluciones unidimensionales que corresponden a un sólido semiinfinito, una pared plana de espesor 2L o un cilindro infinito de radio ro: S ( x, t ) = T ( x, t ) − T∞ Tini − T∞ ; P ( x, t ) = Sólido semiinfinito 8 T ( x, t ) − T∞ Tini − T∞ ; C (r , t ) = Pared plana T (r , t ) − T∞ Tini − T∞ . Cilindro infinito Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras • En un sólido semiinfinito la condición de frontera interior es T(x→∞, t) = Tini y la condición inicial es T(x, 0) = Tini. Las soluciones analíticas para tres condiciones de frontera exterior son: Condición de frontera Distribución de temperaturas T ( x, t ) − Ts x = erf Tini − Ts 2 αt k (Ts − Tini ) ∂T = q ′s′(t ) = −k ∂x x =0 (παt )1 / 2 Temperatura superficial constante: T (0, t) = Ts Condición de frontera Flujo de calor superficial constante: q ′s′ = q o′′ Convección superficial: ∂T −k = h[T∞ − T (0, t )] ∂x x =0 Distribución de temperaturas x 2 q o′′ x 2qo′′ (αt / π )1 / 2 x − T ( x, t ) − Tini = exp − erfc − k 2 αt 4αt k T ( x, t ) − Tini x = erfc − T∞ − Tini 2 αt hx h 2αt x h αt − exp + 2 erfc + k k 2 αt k donde la función gaussiana de error, erf (η), y la función complementaria de error, erfc (w) = 1 – erf (w), son funciones matemáticas estándar cuyos valores se encuentran en la Tabla E. • MDF en régimen transitorio. Expresión en diferencias finitas de la velocidad de variación de T p +1 − Tmp, n la energía almacenada: E& alm = ρc pV m , n . ∆t • Criterio de estabilidad en el MDF explícito: el coeficiente asociado con el nodo de interés en el tiempo anterior (coeficiente de Tmp,n ) debe ser mayor o igual que cero. Así se obtiene un valor límite para Fo = α∆t ( ∆x ) 2 , del que se obtiene el máximo valor permisible de ∆t. TEMA 5. INTRODUCCIÓN A LA CONVECCIÓN • Ley de enfriamiento de Newton: q ′′ = h(Ts − T∞ ) ; q = h A(Ts − T∞ ) . • Coeficiente de transferencia de calor por convección local, h o promedio, h [W/m2·K]. 9 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras • Relación entre los coeficientes de q = ∫ q ′′dAs = (Ts − T∞ ) ∫ hdAs = h As (Ts − T∞ ) As As placa plana: h = convección ⇒ h= 1 As local ∫ As y promedio: hdAs . Para flujo sobre una 1 L hdx . L ∫0 • Espesor de la capa límite de velocidad, δ(x): la y para la que u(y) = 0,99·u∞. • Espesor de la capa límite térmica, δt(x): la y para la que (Ts - T(y))/(Ts - T∞) = 0,99. • Relación del coeficiente de convección en la capa límite: h = • Número de Reynolds: Re x = − k f ∂T / ∂y Ts − T∞ y =0 . ρu ∞ x u ∞ x . = µ ν • Número de Reynolds crítico para el inicio de la turbulencia en flujo externo: Rex,c = 5·105. • Expresión diferencial de la ecuación de conservación de la masa o de continuidad: ∂ρ ∂ ( ρu ) ∂ ( ρv) kg = 0 3 . + + ∂y ∂x ∂t m ·s • Expresiones diferenciales de las ecuaciones de balance de la cantidad de movimiento o del momento lineal: ∂u ∂u ∂u ∂p ∂ ∂u 2 ∂u ∂v ∂ ∂u ∂v kg N +v + = − + µ 2 − + + µ + + X 3 = 2 2 ∂y ∂t ∂x ∂x ∂x 3 ∂x ∂y ∂y ∂y ∂x m ·s m ∂x ∂v ∂p ∂ ∂v 2 ∂u ∂v ∂ ∂u ∂v ∂v ∂v ρ u + v + = − + µ 2 − + + µ + + Y . ∂y ∂y ∂y 3 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂t ∂x ρ u • Expresión diferencial de la ecuación de conservación de la energía: ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ( pu ) ∂ ( pv) + q& − Xu − Yv + µΦ − − = k + k ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂ V ρu e + gy + ∂x 2 2 ∂ V + ρv e + gy + 2 ∂y 2 ∂ V + ρ e + gy + 2 ∂t 2 W 3 m , siendo V2 = u2 + v2. • Expresión diferencial de la ecuación de conservación de la energía térmica para fluido incompresible en flujo estacionario: ∂T ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T + µΦ + q& . = k +v + k ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ρc p u 10 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras ∂u ∂v 2 ∂u 2 ∂v 2 • Disipación viscosa: µΦ = µ + + 2 + . ∂x ∂y ∂y ∂x • Aproximaciones de capa límite: fluido incompresible (ρ constante), con propiedades constantes (k, µ, etc.), fuerzas de cuerpo insignificantes (X=Y=0) y sin generación de energía ( q& = 0 ).Además: u >> v y ∂u ∂v ∂v ∂T ∂u ∂T >> , , en la capa límite de velocidad y >> en ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y la capa límite térmica. • Ecuación de conservación de la masa o de continuidad en la capa límite: ∂u ∂v + = 0. ∂x ∂y • Ecuaciones de balance de la cantidad de movimiento o del momento lineal en la capa límite: ∂u ∂u 1 ∂p ∂ 2u u +v =− +ν 2 ∂x ∂y ρ ∂x ∂y y ∂p = 0. ∂y 2 ∂ 2T ν ∂u ∂T ∂T • Ecuación de conservación de la energía en la capa límite: u = α 2 + . +v ∂y ∂x c p ∂y ∂y • Número de Prandtl: Pr = ν . α • Número de Nusselt: Nu = hL ∂T * = . kf ∂y * y *=0 • Las formas adimensionales de las soluciones de la capa límite adoptan la siguiente forma: Nu = f ( x*, ReL , Pr ) y Nu = hL = f (Re L , Pr ) . kf • Relación entre los espesores de las capas límites hidrodinámica y térmica en régimen laminar: δ ≈ Pr 1 / 3 . δt TEMA 6. CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO EXTERNO • Temperatura de película es la temperatura media entre la del fluido y la de la superficie: Tf = Ts + T∞ . 2 11 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras • Espesor de la capa límite laminar: δ lam ( x) = 5 u ∞ / νx = 5x Re x . • Correlación de convección local para el flujo laminar sobre una placa plana con temperatura superficial constante: Nu x = hx x = 0,332 Re1x / 2 Pr 1 / 3 . Con propiedades a Tf y Pr ≥ 0,6. k • Relación entre los espesores de las capas límites de velocidad y térmica en régimen laminar: δ lam ≈ Pr 1 / 3 . δ t ,lam • Correlación de convección promedio para el flujo laminar sobre una placa plana con temperatura superficial constante: Nu x = hx x = 0,664 Re1x / 2 Pr 1 / 3 . Con propiedades a Tf y Pr ≥ k 0,6. • Espesor de la capa límite de velocidad turbulenta: δ turb = 0,37 xRe x−1 / 5 . • Espesor de la capa límite térmica turbulenta: δ t ,turb ≈ δ turb . • Correlación de convección local para el flujo turbulento sobre una placa plana con Ts = cte: Nu x = 0,0296 Re x4 / 5 Pr 1 / 3 . Con propiedades a Tf y 0,6 < Pr < 60. • Para condiciones de capa límite mezclada (laminar y turbulenta) se trabaja con el coeficiente de convección promedio: hL = L 1 xc ∫0 hlam dx + ∫x hturb dx . c L • Correlación de convección promedio para capa límite mezclada (laminar y turbulenta) sobre una placa plana con Ts = cte: Nu L = (0,037 Re L4 / 5 − 871) Pr 1 / 3 . Con propiedades a Tf y 0,6 < Pr < 60 5 8 5·10 < Re L < 10 . Re x = 5·10 5 c • Correlación de convección promedio para capa límite mayoritariamente turbulenta, es decir, la longitud de la capa límite laminar es despreciable (L >> xc y ReL >> Rex,c), sobre una placa plana con Ts = cte: Nu L = 0,037 Re 4/5 L Pr 1/ 3 0,6 < Pr < 60 . Con propiedades a Tf y 5·10 5 < Re L < 10 8 . Re x = 5·10 5 c 12 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras • Correlación de convección local para flujo laminar sobre una placa plana que desprende un flujo de calor superficial constante: Nu x = 0,453 Re1x / 2 Pr 1 / 3 , con Pr ≥ 0,6 y propiedades a Tf. • Correlación de convección local para flujo turbulento sobre una placa plana que desprende un flujo de calor superficial constante: Nu x = 0,0308 Re x4 / 5 Pr 1 / 3 , con 0,6 ≤ Pr ≤ 60 y propiedades a Tf. • Flujo sobre una placa plana que desprende un flujo de calor superficial constante. La variación de la temperatura superficial local se obtiene con: Ts ( x) = T∞ + q ′s′ . hx ( x) • Número de Reynolds para flujo cruzado sobre un cilindro: ReD = V·D/ν. • Correlación de Hilpert para flujo cruzado sobre un cilindro: Nu D = CRe Dm Pr 1 / 3 . Los valores de las constantes C y m se dan en la Tabla 6.3 en función de ReD. La Tabla 6.4 da los valores de las constantes para cilindros no circulares. Las propiedades se evalúan a Tf. Válida para fluidos con Pr ≥ 0,7. Pr • Correlación de Zhukauskas para flujo cruzado sobre un cilindro: Nu D = CRe Pr Prs m D n 1/ 4 . n = 0,37 si Pr ≤ 10 0,7 < Pr < 500 Con . Los valores de las constantes C y m se dan en y 6 n = 0,36 si Pr > 10 1 < ReD < 10 la Tabla 6.5 en función de ReD. Las propiedades se evalúan a T∞, excepto Prs a Ts. • Correlación de Nu D = 0,3 + • Correlación Nu D = CRe Churchill y 0,62 Re1D/ 2 Pr 1 / 3 [1 + (0,4 / Pr ) ] 2 / 3 1/ 4 de m D , máx Pr Zhukauskas 0 , 36 Pr Prs 1/ 4 Bernstein para ReD 5 / 8 1 + 282.000 para flujo a flujo cruzado sobre un cilindro: 4/5 . Con propiedades a Tf y ReD·Pr > 0,2. través de un banco de tubos: N L ≥ 20 6 . Con 1.000 < Re D ,máx < 2·10 . Las constantes C y m se dan 0,7 < Pr < 500 en la Tabla 6.6. Las propiedades se evalúan a T = (Tent + Tsal ) / 2 , excepto Prs a Ts. Para NL < 20 se aplica un factor de corrección tal que Nu D N L < 20 = C 2 Nu D N L ≥ 20 , donde C2 está dado en la Tabla 6.7. • ReD,máx se define en función de la velocidad máxima del fluido dentro del banco de tubos. 13 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras • ST es el espaciado transversal y SL el espaciado longitudinal (distancias entre centros de tubos). • Para la configuración alineada la velocidad máxima se da en el plano transversal entre dos tubos verticales y su valor es Vmáx = ST V. ST − D • Para la configuración escalonada se utiliza la misma expresión si la velocidad máxima se da en el plano transversal. Pero si se da en el plano diagonal la expresión es Vmáx = ST V. 2( S D − D) La velocidad máxima ocurre en el plano diagonal si se cumple la siguiente condición (ver 2 ST 2 Figura 6.2): 2( S D − D) < ( S T − D) ⇒ S D = S L + 2 • Diferencia de temperaturas media logarítmica: ∆Tml = • Cálculo de la temperatura de salida del flujo: 1/ 2 < ST + D . 2 (Ts − Tent ) − (Ts − Tsal ) . Ts − Tent ln T − T sal s Ts − Tsal πDNh = exp − ρVN S c Ts − Tent T T p , donde N es el número total de tubos y NT el número de tubos en el plano transversal. • Cálculo de la transferencia de calor por unidad de longitud de tubo: q ′ = h NπD∆Tml . TEMA 7. CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO INTERNO • El número de Reynolds para flujo interno se define en función del diámetro del tubo y de la velocidad media del fluido sobre la sección transversal del tubo: Re D = ρu m D u m D . Como = µ ν m& = ρu m Ac , para un tubo circular el número de Reynolds se puede expresar: Re D = 4m& . πDµ • Número de Reynolds crítico para el inicio de la turbulencia en flujo interno: ReD,c = 2.300. xcd ,h ≈ 0,05ReD . • Longitud hidrodinámica de entrada para flujo laminar: D lam xcd ,h ≤ 60 . • Longitud hidrodinámica de entrada para flujo turbulento: 10 ≤ D turb 14 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras • Expresión de la velocidad media en función del flujo másico integrado en la sección transversal: u m ( x) = m& = ρAc ∫ Ac ρu (r , x)dAc ρAc = 2 ro2 ∫ ro 0 u (r , x)rdr . xcd ,t • Longitud de entrada térmica para flujo laminar: D ≈ 0,05Re D Pr . lam xcd ,t • Longitud de entrada térmica para flujo turbulento: D = 10 . turb • Temperatura media definida en función de la energía térmica transportada por el fluido: U& = E& t = ∫ ρu (r )c v T (r , x)dAc = m& cv Tm ( x) ⇒ Tm ( x) = ∫ Ac ρuc v TdAc m& cv Ac • Bajo condiciones térmicas completamente ∂ Ts ( x ) − T ( r , x ) ∂T = 0 . Además: ∂x ∂x Ts ( x) − Tm ( x) cd ,t ∂T ∂x = cd ,t Ts − T dTm Ts − Tm dx = cd ,t dTs dx 2 u m ro2 desarrolladas = cd ,t = dTm dx ∫ ro 0 u (r )T (r , x)rdr . se cumple: ≠ f (r ) para q ′s′ = cte y cd ,t = f (r ) para Ts = cte. cd ,t • Al aplicar un balance de energía al flujo interno en un tubo de un gas ideal o de un líquido incompresible se obtiene que la transferencia de calor por convección al fluido es igual a la rapidez a la que aumenta la energía térmica del fluido: q conv = m& c p (Tm , sal − Tm ,ent ) . • Variación axial de la temperatura media para el caso de flujo de calor superficial constante: Tm ( x) = Tm ,ent + q ′s′P x. m& c p • Variación axial de la temperatura media para el caso de temperatura superficial constante: Px Ts − Tm ( x) = exp − h. m& c Ts − Tm ,ent p • La transferencia total de calor se expresa en función de la diferencia de temperaturas media logarítmica: q conv = h As ∆Tml ; ∆Tml = (Ts − Tm , sal ) − (Ts − Tm ,ent ) ∆Tsal − ∆Tent = . ln(∆Tsal / ∆Tent ) (Ts − Tm , sal ) ln (Ts − Tm ,ent ) 15 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras • Caso de un tubo rodeado de un fluido externo (convección interna y externa simultáneas): U As ∆Tsal T∞ − Tm , sal = = exp − m& c ∆Tent T∞ − Tm ,ent p 1 = exp − m& c R p tot ∆Tml ; q conv = U As ∆Tml = . Rtot • Correlación de convección local para flujo laminar en la región completamente desarrollada con flujo de calor superficial constante: Nu = hD 48 = = 4,36 . Propiedades a Tm. k 11 • Correlación de convección local para flujo laminar en la región completamente desarrollada con temperatura superficial constante: Nu = hD = 3,66 . Propiedades a Tm. k • Número de Graetz: Gz D = ( D / x) ReD Pr . • Correlación de Hausen para flujo laminar con longitud de entrada térmica (perfil de velocidades Nu D = desarrollado) y con temperatura superficial constante: 0,0668( D / L) Re D Pr hD . Propiedades a Tm = (Tm,ent + Tm, sal ) / 2 . = 3,66 + 2/3 k 1 + 0,04[( D / L) Re D Pr ] • Correlación de Sieder y Tate para flujo laminar interno con longitud de entrada combinada y Re Pr con temperatura superficial constante: Nu D = 1,86 D L/D Tm = (Tm,ent 1/ 3 µ µs 0 ,14 . Con propiedades a 0,48 < Pr < 16.700 + Tm, sal ) / 2 , excepto µs a Ts y 0,0044 < µ < 9,75 . µs • Correlación de Dittus-Boelter para flujo turbulento interno completamente desarrollado, válida tanto para flujo de calor como para temperatura superficial constante: Nu D = 0,023Re D4 / 5 Pr n . Con n = 0,4 para calentamiento (Ts > Tm), n = 0,3 para enfriamiento 0,7 ≤ Pr ≤ 160 (Ts < Tm), las propiedades evaluadas a Tm y ReD ≥ 10.000 . ( x / D) ≥ 10 • Correlación de Sieder y Tate para flujo turbulento interno completamente desarrollado y con grandes variaciones de las propiedades del fluido, válida tanto para flujo de calor como 16 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras temperatura superficial constante: Nu D = 0,027 Re 4/5 D Pr 1/ 3 µ µs 0 ,14 . Con propiedades a Tm, 0,7 ≤ Pr ≤ 16.700 excepto µs a Ts y ReD ≥ 10.000 . ( x / D) ≥ 10 • El número de Nusselt promedio en flujo turbulento para todo el tubo es igual al valor asociado con la región completamente desarrollada, Nu D ≈ Nu D ,cd , para valores de (L / D) > 60 y las propiedades del fluido a Tm = (Tm,ent + Tm, sal ) / 2 . 4 Ac , donde Ac es el Pmojado • Para tubos no circulares se trabaja con el diámetro hidráulico: Dh = área de la sección transversal y Pmojado el perímetro mojado. Las expresiones del número de Reynolds para el diámetro hidráulico son: Re Dh = ρu m Dh u m Dh 4m& . = = µ ν µP • Número de Nusselt local para flujo laminar completamente desarrollado en tubos no circulares: Tabla 7.2. • Correlaciones de convección para flujo turbulento completamente desarrollado en tubos no circulares: Las mismas que para tubos circulares trabajando con el diámetro hidráulico. TEMA 8. CONVECCIÓN LIBRE O NATURAL • Número de Grashof: Grx = gβ (Ts − T∞ ) x 3 ν2 . • Relación entre la convección forzada y la convención libre: si GrL / Re L2 << 1 , la convección libre se desprecia frente a la forzada; si GrL / Re L2 >> 1 , la forzada se desprecia frente a la libre. • Soluciones de similitud para la convección libre laminar sobre una superficie vertical. Número de Nusselt hx Grx Nu x = = k 4 local: 17 1/ 4 · f ( Pr ) , siendo Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras f ( Pr ) = 0,75Pr 1 / 2 (0,609 + 1,221Pr h L 4 GrL = Nu L = k 3 4 1/ 2 + 1,238Pr 1/ 4 · f ( Pr ) = . ) 1/ 4 Número de Nusselt promedio: 4 Nu L . 3 • Número de Rayleigh: Ra x = Grx Pr = gβ (Ts − T∞ ) x 3 να . • Transición entre la capa límite laminar y la turbulenta en placas verticales: Grx,c ≈ 109 ⇒ Rax,c / Pr ≈ 109. • Correlación de Churchill y Chu para la convección libre sobre una superficie vertical a temperatura constante aplicable 0,387 Ra 1L/ 6 h L Nu L = = 0,825 + k 1 + (0,492 / Pr ) 9 / 16 [ para todo RaL: 2 . Propiedades calculadas a Tf = (Ts + T∞)/2. 8 / 27 ] • Correlación para la convección libre sobre una superficie vertical a temperatura constante 0,670 Ra1L/ 4 hL = 0,68 + aplicable al flujo laminar: Nu L = k 1 + (0,492 / Pr ) 9 / 16 [ ] 4/9 con RaL ≤ 109. Propiedades calculadas a Tf = (Ts + T∞)/2. • Si la condición de la superficie es un flujo de calor constante en vez de una temperatura uniforme, la diferencia de temperaturas (Ts - T∞) aumentará con x. Las correlaciones anteriores son aplicables en este caso si Nu L y RaL se definen en términos de la diferencia de temperaturas en el punto medio de la placa, ∆TL / 2 = Ts ( L / 2) − T∞ . Como h = q ′s′ / ∆TL / 2 es necesario realizar un proceso iterativo para determinar Ts (L/2). Es posible obtener una expresión para la temperatura en cualquier punto en función de la temperatura en el punto x medio: ∆Tx = Ts ( x) − T∞ ≈ 1,15 L 1/ 5 ∆T L / 2 . • Los resultados anteriores también se pueden aplicar a cilindros verticales de altura L si el espesor de la capa límite, δ, es mucho menor que el diámetro del cilindro, condición que viene dada por: 35 D . ≥ L GrL1 / 4 18 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras • Para placas inclinadas (superficie superior de placa fría o superficie inferior de placa caliente) se pueden emplear las correlaciones para placas verticales sustituyendo g por g·cos (θ) para 0º ≤ θ ≤ 60º (θ se mide desde la vertical). • Para placas horizontales se utiliza una longitud característica definida como el cociente entre el área y el perímetro de la placa: Lc = As / P. • Correlaciones de convección libre para la superficie superior de una placa horizontal caliente o para la superficie inferior de una placa horizontal fría a temperatura constante: Nu Lc = 0,54 Ra 1Lc/ 4 si 104 ≤ RaLc ≤ 107 y Nu Lc = 0,15 Ra1Lc/ 3 si 107 ≤ RaLc ≤ 1011. Propiedades calculadas a Tf. • Correlaciones de convección libre para la superficie inferior de una placa horizontal caliente o para la superficie superior de una placa horizontal fría a temperatura constante: Nu Lc = 0,27 Ra1Lc/ 4 con 105 ≤ RaLc ≤ 1010. Propiedades calculadas a Tf. • Correlación de Churchill y Chu para la convección libre sobre un cilindro largo horizontal: 0,387 Ra 1D/ 6 h D Nu D = = 0,60 + k 1 + (0,559 / Pr ) 9 / 16 [ 2 con RaD ≤ 1012. Propiedades calculadas a Tf. 8 / 27 ] • Convección libre y forzada combinadas. Se produce cuando correlaciones convenientes corregidas con GrL ≈ 1 . Se utilizan las Re L2 la siguiente expresión: 3 3 Nu combinada = Nu 3forzada ± Nu libre . El signo + se emplea cuando los dos flujos tienen el mismo sentido o son perpendiculares y el signo - se emplea cuando los dos flujos tienen sentidos opuestos. TEMA 9. INTRODUCCIÓN A LA RADIACIÓN • Ángulo sólido diferencial: dω = dAn / r2 = senθ·dθ·dφ. Unidad: estereorradián (sr). El ángulo sólido subtendido ∫ dω = ∫ h 2π 0 π /2 ∫ 0 por el hemisferio sobre un diferencial de senθdθdφ = 2π sr . • Intensidad espectral emitida: I λ ,e (T , λ , θ , φ ) = dqe W . 2 dA1 cos θdωdλ m ·sr· µm 19 área dA1 vale: Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras E λ (T , λ ) = q λ′′,e (T , λ ) = • Potencia emisiva espectral: =∫ 2π 0 π /2 ∫ 0 2π π / 2 dq e = ∫ ∫ I λ ,e (T , λ ,θ , φ ) cosθdω = 0 0 dA1 dλ W I λ ,e (T , λ ,θ , φ ) cosθsenθdθdφ 2 m · µm . ∞ ′′ ,emit = ∫ Eλ (T , λ )dλ [W/m2]. • Potencia emisiva total: E (T ) = q rad 0 • Emisor difuso: I λ ,e (T , λ ,θ , φ ) = I λ ,e (T , λ ) ⇒ E λ (T , λ ) = πI λ ,e (T , λ ) ⇒ E = πI e . • Irradiación Gλ (λ ) = q λ′′,i (λ ) = espectral: 2π π / 2 dqi = ∫ ∫ I λ ,i (λ ,θ , φ ) cosθsenθdθdφ 0 0 dA1 ·dλ [W/m2·µm]. ∞ ′′ ,inc = ∫ Gλ (λ )dλ [W/m2]. • Irradiación total: G = q rad 0 • Radiación incidente difusa: I λ ,i (λ ,θ , φ ) = I λ ,i (λ ) ⇒ Gλ (λ ) = πI λ ,i (λ ) ⇒ G = πI i . • Radiosidad espectral: ′′ ,emit + reflj (λ ) = J λ (λ , T ) = q rad 2π π / 2 dqe+ r = ∫ ∫ I λ ,e+ r (λ , T ,θ , φ ) cos θsenθdθdφ [W/m2·µm]. 0 0 dA1 ·dλ ∞ ′ ,emit + ref = ∫ J λ (λ , T )dλ [W/m2]. • Radiosidad total: J (T ) = q ′rad 0 • Emisor y reflector difuso: I λ ,e + r (λ , T , θ , φ ) = I λ ,e + r (λ , T ) ⇒ J λ (λ , T ) = πI λ ,e + r (λ , T ) ⇒ J (T ) = πI e + r (T ) . 2hc o2 • Distribución de Planck: I λ ,b (λ , T ) = 5 , donde h = 6,6256·10-34 J·s es la λ [exp(hco / λkT ) − 1] constante de Planck, co = 2,998·108 m/s es la velocidad de la luz en el vacío y k = 1,3805·10-23 J/K es la constante de Boltzmann. Como el cuerpo negro es un emisor difuso: E λ ,b (λ , T ) = πI λ ,b (λ , T ) = C1 , donde C1 y C2 son la primera y segunda λ [exp(C 2 / λT ) − 1] 5 constantes de radiación. • Ley de desplazamiento de Wien: dE λ ,b (λ , T ) dλ • Ley de Stefan-Boltzmann: Eb = ∫ ∞ 0 = 0 ⇒ λ máx T = C 3 = 2.898µm·K . C1 dλ = σT 4 , donde σ = 5,67·10-8 λ [exp(C 2 / λT ) − 1] 5 W/m2·K4 es la constante de Stefan-Boltzmann. 20 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras • ∫ Emisión de banda: F (0 → λ ) = ∫ λ 0 ∞ 0 E λ ,b dλ E λ ,b dλ ∫ = λ E λ ,b dλ 0 σT 4 λ E λ ,b 0 σT 5 =∫ d (λT ) = f (λT ) . • Emisividad superficial, ε: Emisividad (hemisférica) espectral: ε λ (λ , T ) = ∫ E (T ) Emisividad total (hemisférica): ε (T ) = = E b (T ) ∞ 0 ε λ ( λ , T ) E λ , b ( λ , T ) dλ E λ (λ , T ) . E λ ,b ( λ , T ) . En un emisor difuso E b (T ) la emisividad direccional es independiente de la dirección. • Absortividad superficial, α: Absortividad (hemisférica) espectral: α λ (λ ) = ∫ G Absortividad (hemisférica) total: α = abs = G ∞ 0 α λ (λ )Gλ (λ )dλ ∫ ∞ 0 • Para radiación solar (Tb = 5.800 K): α Sol = ∫ ∞ 0 Gλ (λ )dλ ∫ 0 E λ ,b (λ , 5.800 K )dλ Reflectividad (hemisférica) total: ρ = G = ∫ ∞ 0 ρ λ (λ )Gλ (λ )dλ ∫ ∞ 0 Gλ (λ )dλ . . • Reflectividad superficial, ρ: Reflectividad (hemisférica) espectral: ρ λ (λ ) = Gref G λ (λ ) . α = α (λ ,θ , φ , sup .) ≠ α (T ) . α λ (λ ) Eλ ,b (λ , 5.800 K )dλ ∞ Gλ ,abs (λ ) Gλ ,ref (λ ) G λ (λ ) . . • ρλ + α λ + τ λ = 1 ⇒ ρ + α + τ = 1 . • Ley E1 (Ts ) α1 de = Kirchhoff E 2 (Ts ) α2 (para superficies en el interior de un recinto): = ... = Eb (Ts ) . Como α ≤ 1 ⇒ E(Ts) ≤ Eb(Ts). También se cumple: ε1 ε 2 = = ... = 1 ⇒ ε = α. α1 α 2 • Superficie difusa (emisora y receptora difusa): ελ,θ y αλ,θ son independientes de la dirección (θ, φ) ⇒ ελ = αλ. • Superficie gris: ελ y αλ son independientes de λ. 21 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras • Superficie gris difusa: ελ,θ y αλ,θ son independientes de λ (gris) y de la dirección (difusa) ⇒ ε = α. TEMA 10. INTERCAMBIO RADIATIVO ENTRE SUPERFICIES • Factor de forma de radiación (también llamado de configuración, de apariencia, de visión o de vista): Fij = qi → j Ai J i = 1 Ai ∫ ∫ Ai cosθ i cosθ j πR 2 Aj dAi dA j . F ji = q j →i Aj J j = 1 Aj ∫ ∫ Ai cos θ i cos θ j πR 2 Aj dAi dA j . Estas dos ecuaciones son válidas para superficies emisoras y reflectoras difusas y con radiosidad uniforme. • Relación de reciprocidad: Ai Fij = A j F ji . • Regla de la suma en un recinto de N superficies: N ∑F j =1 ij = 1. • Superficie plana o convexa: Fii = 0. n • Para una superficie que se puede descomponer en la suma de varias, A j = ∑ Ak , se tiene que: k =1 n n Fi ( j ) = ∑ Fik y F( j )i = ∑A F k =1 n ki ∑A k =1 k =1 • Intercambio k neto . k de radiación entre dos superficies negras: qij = qi→ j − q j →i = Ai Fij Ebi − A j F ji Ebj = Ai Fij σ (Ti 4 − T j4 ) . • Transferencia neta de radiación desde la superficie i en un recinto con N superficies negras: N qi = ∑ Ai Fij σ (Ti 4 − T j4 ) . j =1 • Transferencia neta de radiación desde una superficie gris difusa en un recinto: qi = ( J i − Gi ) Ai = ( Ei − α i Gi ) Ai = Ebi − J i , siendo (1 - εi) /εiAi, la resistencia radiativa (1 − ε i ) / ε i Ai superficial. • Transferencia neta de radiación desde una superficie gris difusa en un recinto: N N qi = ∑ qij = ∑ j =1 j =1 Ji − J j ( Ai Fij ) −1 , siendo (AiFij)-1 la resistencia radiativa geométrica. 22 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras • Intercambio neto q1 = −q 2 = q12 = de radiación en un recinto de dos superficies: Eb1 − Eb 2 . 1 − ε1 1− ε2 1 + + ε 1 A1 A1 F12 ε 2 A2 • Intercambio neto de radiación entre dos superficies separadas por una cubierta de radiación: A1σ (T14 − T24 ) q12 = . 1 1 − ε 3,1 1 − ε 3, 2 1 Para el caso de N cubiertas de radiación con ε iguales + + + ε1 ε 3,1 ε 3, 2 ε2 (incluyendo las superficies extremas): (q12 ) N = 1 (q12 ) 0 . N +1 • Superficie rerradiante: superficie idealizada en la que la transferencia de calor neta por radiación es cero: qi = 0 ⇒ Ji = Gi = Ebi. 23 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras TEMA 2. CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO. Tabla 2.1. Eficiencia de formas comunes de aletas. Descripción Esquema Dimensiones Eficiencia A f = 2 wLc Aleta recta de perfil rectangular t Lc = L + (t / 2) ηf = m = (2h / kt )1 / 2 siendo w >> t w tanh mLc mLc L Aleta recta de perfil triangular [ A f = 2w L2 + (t / 2) 2 m = (2h / kt ) siendo w >> t 1/ 2 w t L 24 ] 1/ 2 ηf = 1 I 1 (2mL) mL I 0 (2mL) Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 2.1. Eficiencia de formas comunes de aletas (continuación). Descripción Aleta recta de perfil parabólico Esquema Dimensiones [ Eficiencia A f = w C1 L2 + ( L2 / t ) ln(t / L + C1 ) w t [ ] ] ηf = 1/ 2 C1 = 1 + (t / L) 2 m = (2h / kt )1 / 2 [4(mL) 2 2 ] +1 1/ 2 +1 L Aleta anular de perfil rectangular A f = 2π (r22c − r12 ) t r2 c = r2 + (t / 2) m = (2h / kt )1 / 2 L r1 r2 25 η f = C2 K1 (mr1 ) I 1 (mr2 c ) − I 1 (mr1 ) K1 (mr2c ) I 0 (mr1 ) K1 (mr2c ) + K 0 (mr1 ) I 1 (mr2 c ) ( 2 r / m) C2 = 2 1 2 (r2c − r1 ) Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 2.1. Eficiencia de formas comunes de aletas (continuación). Descripción Esquema Dimensiones Eficiencia A f = πDLc Aleta de aguja cilíndrica ηf = Lc = L + (D / 4) D m = (4h / kD)1 / 2 tanh mLc mLc L Aleta de aguja cónica Af = πD [L 2 + ( D / 2) 2 2 m = (4h / kD)1 / 2 D ] 1/ 2 ηf = 2 I 2 (2mL) mL I 1 (2mL) L Aleta de aguja parabólica y = (D/2)·(1 - x/L)2 D Af = πL3 L ln[(2 DC 4 / L) + C3 ] C3 C 4 − 8D 2D 2 C 3 = 1 + 2( D / L ) [ L ] 2 1/ 2 C 4 = 1 + ( D / L) m = (4h / kD)1 / 2 26 ηf = [4 / 9(mL) 2 2 ] +1 1/ 2 +1 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras TEMA 3. CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO. Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)]. Descripción del sistema Esquema Restricciones Factor de forma T2 1.1. Esfera enterrada en un medio semiinfinito 1.2. Esfera enterrada en un medio semiinfinito con superficie aislada (Bejan pág. 115) z > D/2 S= 2πD 1 − (D / 4 z) z > D/2 S= 2πD 1 + (D / 4z) D aislado T2 z T1 T2 D 1.3. Esfera enterrada en un medio infinito (Holman pág. 55) 1.4. Conducción entre dos esferas en un medio infinito (Bejan y Holman) z T1 T2 T2 T2 T1 T2 S = 2πD Ninguna D T2 T2 T1 D w/ D > 3 d w 27 S= 2πd ( D / 2w) 4 d d − 1 − D 1 − (d / 2w) 2 w Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuación). Descripción del sistema 1.5. Cavidad hemisférica en medio semiinfinito con superficie aislada (Bejan) Esquema Factor de forma Ninguna S = πD aislado T1 T2 T2 T2 T2 2.1. Cilindro de longitud L enterrado en un medio semiinfinito S= L >> D z 2πL arc cosh(2 z / D) T1 L >> D z > 3D / 2 L D 2.2. Cilindro de longitud infinita enterrado en un medio semiinfinito (Rohsenow pág. 3-120) 2.3. Cilindro vertical de longitud L enterrado en un medio semiinfinito 2.4. Conducción entre dos cilindros paralelos de longitud L en un medio infinito D aislado Restricciones S= S′ = z≈D T2 z T1 S′ = ∞ ∞ 2πL ln(4 z / D) 2π arc cosh(2 z / D) 2π z > 2D ln (2 z / D ) + z >> D S′ = 2π ln(4 z / D ) L >> D S= 2πL ln(4 L / D) D (2 z D )2 − 1 T2 L T1 D T2 T1 D d L >> D1 , D2 L >> w w 28 S= 2πL 4w 2 − D 2 − d 2 arc cosh 2 Dd Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuación). Descripción del sistema 2.5. Cilindro de longitud L en medio de planos paralelos de igual longitud y ancho infinito 2.6. Cilindro de longitud L centrado en un sólido de sección cuadrada de igual longitud Esquema Restricciones Factor de forma T2 ∞ ∞ z T1 z >> D / 2 L >> z L D ∞ z S= 2πL ln(8 z / πD) ∞ T2 T2 T1 w>D L >> w w S= 2πL ln(1,08w / D) D T2 2.7. Cilindro excéntrico de longitud L en el interior de un cilindro de igual longitud T1 d z D 2.8. Fila infinita de cilindros de longitud infinita en un medio semiinfinito (Rohsenow) 29 D>d L >> D S= z>D S′ = 2πL D 2 + d 2 − 4z 2 arc cosh 2 Dd 2π ln[(2 L / πD)·senh (2πz / L)] Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuación). Descripción del sistema Esquema Restricciones 2.9. Fila infinita de cilindros de longitud infinita en el plano medio de una placa infinita (Rohsenow) 3.1. Cubo enterrado en un medio infinito (Holman) z>D L Ninguna 4.1. Paralelepípedo inmerso en un medio semiinfinito (Holman) Ninguna 4.2. Agujero de sección rectangular muy largo en un medio semiinfinito (Rohsenow) a>b 30 Factor de forma S′ = 2π ln[(2 L / πD)·senh (πz / L)] S = 8,24 L b 1,685L log1 + a S= 0 , 078 b c a + 5,7 2 b S′ = 3,5 z ln 0, 25 0,75 a b −0 , 59 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuación). Descripción del sistema Esquema Restricciones Factor de forma W 5.1. Pared plana con superficies isotermas (Bejan) H A T1 H > L/5 W > L/5 T2 S= WH L L T2 5.2. Esquina de dos paredes contiguas L T1 W > L/5 S = 0,54W Ninguna S = 0,15 L Ninguna S = 2D T2 W T2 L 5.3. Esquina de tres paredes contiguas con diferencia de temperaturas entre las superficies interior y exterior (Bejan) T1 T2 W T2 T2 T2 T1 D 6.1. Disco delgado sobre medio semiinfinito T2 T1 6.2. Disco delgado horizontal enterrado en un medio semiinfinito (Kreith pág. 112) z T2 D 31 Ninguna S= 4,45 D 1 − ( D / 5,67 z ) Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuación). Descripción del sistema 6.3. Disco delgado horizontal enterrado en un medio semiinfinito (Bejan) 6.4. Disco delgado horizontal enterrado en un medio semiinfinito con superficie aislada (Bejan) Esquema Factor de forma T1 z T2 z>D S= 2πD (π / 2) − arc tan( D / 4 z ) z>D S= 2πD (π / 2) + arc tan( D / 4 z ) L/ D > 2 S= 2πD (π / 2) − arc tan( D / 2 L) D aislado T1 T1 z T2 D 6.5. Dos discos paralelos coaxiales en un medio infinito (Bejan) 7.1. Placa horizontal delgada de anchura W (dimensión ⊥ al dibujo) enterrada en un medio semiinfinito (Bejan y Holman) Restricciones T1 T2 D L T1 z T2 L 32 z >> L L >W S= z=0 L >W S= L >> W z > 2W S= 2πL ln(4 L / W ) πL ln(4 L / W ) 2πL ln(2πz / W ) Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuación). Descripción del sistema Esquema Restricciones Factor de forma 7.2. Placa vertical delgada y larga según la dimensión ⊥ al dibujo enterrada en un medio semiinfinito (Rohsenow) 7.3. Placa horizontal delgada y larga según la dimensión ⊥ al dibujo enterrada en un medio semiinfinito (Rohsenow) 1 z < < 12 2 L L S ′ = 2,38· z 0 , 24 1 z < < 12 2 L L S ′ = 2,94· z 0 , 32 T1 z T2 L 33 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras TEMA 4. CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN TRANSITORIO. Tabla 4.1. Coeficientes de la aproximación con un término de las soluciones de conducción transitoria unidimensional. Pared plana Cilindro infinito Esfera Bi C1 C1 C1 ζ1 (rad) ζ1 (rad) ζ1 (rad) 0,01 0,0998 1,0017 0,1412 1,0025 0,1730 1,0030 0,02 0,1410 1,0033 0,1995 1,0050 0,2445 1,0060 0,03 0,1732 1,0049 0,2439 1,0075 0,2989 1,0090 0,04 0,1987 1,0066 0,2814 1,0099 0,3450 1,0120 0,05 0,2217 1,0082 0,3142 1,0124 0,3852 1,0149 0,06 0,2425 1,0098 0,3438 1,0148 0,4217 1,0179 0,07 0,2615 1,0114 0,3708 1,0173 0,4550 1,0209 0,08 0,2791 1,0130 0,3960 1,0197 0,4860 1,0239 0,09 0,2956 1,0145 0,4195 1,0222 0,5150 1,0268 0,10 0,3111 1,0160 0,4417 1,0246 0,5423 1,0298 0,15 0,3779 1,0237 0,5376 1,0365 0,6608 1,0445 0,20 0,4328 1,0311 0,6170 1,0483 0,7593 1,0592 0,25 0,4801 1,0382 0,6856 1,0598 0,8448 1,0737 0,30 0,5218 1,0450 0,7465 1,0712 0,9208 1,0880 0,40 0,5932 1,0580 0,8516 1,0932 1,0528 1,1064 0,50 0,6533 1,0701 0,9408 1,1143 1,1656 1,1441 0,60 0,7051 1,0814 1,0185 1,1346 1,2644 1,1713 0,70 0,7506 1,0919 1,0873 1,1539 1,3225 1,1978 0,80 0,7910 1,1016 1,1490 1,1725 1,4320 1,2236 0,90 0,8274 1,1107 1,2048 1,1902 1,5044 1,2488 1,0 0,8603 1,1191 1,2558 1,2071 1,5708 1,2732 2,0 1,0769 1,1795 1,5995 1,3384 2,0288 1,4793 3,0 1,1925 1,2102 1,7887 1,4191 2,2889 1,6227 4,0 1,2646 1,2287 1,9081 1,4698 2,4556 1,7201 5,0 1,3138 1,2402 1,9898 1,5029 2,5704 1,7870 6,0 1,3496 1,2479 2,0490 1,5253 2,6537 1,8338 7,0 1,3766 1,2532 2,0937 1,5411 2,7165 1,8674 8,0 1,3978 1,2570 2,1286 1,5526 2,7654 1,8921 9,0 1,4149 1,2598 2,1566 1,5611 2,8044 1,9106 10,0 1,4289 1,2620 2,1795 1,5677 2,8363 1,9249 20,0 1,4961 1,2699 2,2881 1,5919 2,9857 1,9781 30,0 1,5202 1,2717 2,3261 1,5973 3,0372 1,9898 40,0 1,5325 1,2723 2,3455 1,5993 3,0632 1,9942 50,0 1,5400 1,2727 2,3572 1,6002 3,0788 1,9962 100,0 1,5552 1,2731 2,3809 1,6015 3,1102 1,9990 1,5707 1,2733 2,4050 1,6018 3,1415 2,0000 ∞ Bi = hL/k para la pared plana y Bi = hro/k para el cilindro infinito y la esfera. 34 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 4.2. Soluciones de conducción transitoria de sistemas multidimensionales expresadas como producto de soluciones de sistemas unidimensionales. Sistema Esquema Solución S (x, t) Sólido semiinfinito S ( x, t ) = x T ( x, t ) − T∞ Tini − T∞ sólido semiinfinito ∞ P (x, t) Pared plana P ( x, t ) = x T ( x, t ) − T∞ Tini − T∞ pared plana 2L1 ∞ ∞ C (r, t) Cilindro infinito r C (r , t ) = T (r , t ) − T∞ Tini − T∞ ro ∞ ∞ S (x1, t)·P (x2, t) Placa semiinfinita S ( x1 , t )·P( x 2 , t ) x2 x1 2L2 35 cilindro infinito Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 4.2. Soluciones de conducción transitoria de sistemas multidimensionales expresadas como producto de soluciones de sistemas unidimensionales (continuación). Sistema Esquema Solución ∞ Barra rectangular infinita P (x1, t)·P (x2, t) x2 x1 P( x1 , t )·P( x 2 , t ) ∞ 2L1 2L2 ∞ C (r, t)·S (x, t) Cilindro semiinfinito C ( r , t )·S ( x, t ) r x ro ∞ Barra rectangular semiinfinita P (x1, t)·P (x2, t)·S (x3, t) S ( x3 , t )·P( x1 , t )·P( x 2 , t ) x3 x2 x1 2L1 2L2 Paralelepípedo rectangular P (x1, t)·P (x2, t)·P (x3, t) x 3 x1 2L3 x2 P( x1 , t )·P( x 2 , t )·P( x3 , t ) 2L1 2L2 C (r, t)·P (x, t) Cilindro corto x 2L1 C ( r , t )·P ( x, t ) r ro 36 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras TEMA 6. CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO EXTERNO Tabla 6.1. Tabla resumen de correlaciones para flujo externo sobre placa plana. Correlaciones Transferencia de calor 1* h x Nu x = x = 0,332 Re 1x / 2 Pr 1 / 3 k dq = hx (Ts − T∞ )dAs 2** Nu x = hx x = 0,664 Re1x / 2 Pr 1 / 3 k 3* Nu x = hx x = 0,0296 Re x4 / 5 Pr 1 / 3 k 4** Nu L = 5** hL L = (0,037 Re L4 / 5 − 871) Pr 1 / 3 k Nu L = hL L = 0,037 Re L4 / 5 Pr 1 / 3 k q ′x′ = hx (Ts − T∞ ) q ′′ = h (Ts − T∞ ) q = h As (Ts − T∞ ) q ′x′ = hx (Ts − T∞ ) dq = hx (Ts − T∞ )dAs q ′′ = h (Ts − T∞ ) q = h As (Ts − T∞ ) q ′′ = h (Ts − T∞ ) q = h As (Ts − T∞ ) q ′s′ = cte. / 6* Nu x = 0,453 Re Pr 7* Nu x = 0,0308 Re 1/ 2 x 1/ 3 T s ( x ) = T∞ + q ′s′ h x ( x) q ′s′ = cte. / 4/5 x Pr 1/ 3 T s ( x ) = T∞ + q ′s′ h x ( x) Condiciones Placa a temperatura Ts constante. Régimen laminar. Valor local en x. Pr > 0,6. Placa a Ts constante. Régimen laminar. Valor promedio entre 0 y x (ó entre 0 y x = L). Pr > 0,6. Placa a Ts constante. Régimen turbulento. Valor local en x. 0,6 < Pr < 60. Placa a Ts constante. Régimen mixto (parte laminar y parte turbulento). Valor promedio entre 0 y x = L. Pr > 0,6. 5·105 < ReL < 108. Placa a Ts constante. Régimen predominantemente turbulento (parte laminar despreciable ⇒ L >> xc y ReL >> Rex,c). Valor promedio entre 0 y x = L. Pr > 0,6. 5·105 < ReL < 108. Placa que desprende un flujo de calor uniforme. Régimen laminar. Valor local en x. Pr > 0,6. Placa que desprende un flujo de calor uniforme. Rég. turbulento. Valor local en x. 0,6 < Pr < 60. ρu ∞ x u ∞ x ρu L u L ν µ ρ c p µc p = **: Re L = ∞ = ∞ Condición de rég. turbulento para placa plana: Rex,c > 5·105 Número de Prandtl: Pr = = = µ ν µ ν α ρ k k En todas las correlaciones las propiedades del fluido se calculan a la temperatura de película: T f = (Ts + T∞ ) / 2 ; Ts: Temperatura de la superficie [K]; T∞: Temp. del *: Re x = flujo libre [K]; As: Área de transferencia de calor [m2]; ν: viscosidad cinemática [m2/s]; µ: viscosidad dinámica [N/m2·s]; α: difusividad térmica [m2/s]; k: conductividad térmica del fluido [W/m·K]. 37 Tabla 6.2. Tabla resumen de correlaciones para flujo cruzado sobre cilindros. Correlaciones para flujo cruzado sobre un cilindro Nu D = 1 3 q ′′ = h (Ts − T∞ ) hD = CRe Dm Pr 1 / 3 k Pr hD = CRe Dm Pr n Nu D = k Prs 2 Transferencia de calor q = h As (Ts − T∞ ) q ′′ = h (Ts − T∞ ) 1/ 4 q = h As (Ts − T∞ ) [ q ′′ = h (Ts − T∞ ) 4/5 Re D 5 / 8 Nu D 1 + 282000 Correlaciones para flujo cruzado sobre un banco de N cilindros 0,62 Re 1D/ 2 Pr 1 / 3 hD = = 0,3 + 1/ 4 k 1 + (0,4 / Pr ) 2 / 3 Condiciones Correlación de Hilpert. Los valores de las constantes C y m se dan en la Tabla 6.3 en función de ReD. La Tabla 6.4 da los valores de las constantes para cilindros no circulares. Las propiedades se evalúan a Tf. Válida para fluidos con Pr ≥ 0,7. n = 0,37 si Pr ≤ 10 Correlación de Zhukauskas. Con y n = 0,36 si Pr > 10 0,7 < Pr < 500 1 < Re < 10 6 . Los valores de las constantes C y m se dan en la Tabla D 6.5 en función de ReD. Las propiedades se evalúan a T∞, excepto Prs a Ts q = h As (Ts − T∞ ) Correlación de Churchill y Bernstein. Con propiedades a Tf y ReD·Pr > 0,2. Transferencia de calor Condiciones ] Correlación 4 Pr hD Nu D = = CRe Dm, máx Pr 0 , 36 k Prs de Zhukauskas. Con q ′′ = h ∆Tml 1/ 4 q′ = h πD∆Tml q = q ′NL = h NπDL∆Tml N L ≥ 20 1.000 < Re 6 < 2·10 . D , máx 0,7 < Pr < 500 Las constantes C y m se dan en la Tabla 6.6. Las propiedades se evalúan a T = (Tent + Tsal ) / 2 , excepto Prs a Ts. Para NL < 20 se aplica un factor de corrección tal que Nu D N L < 20 = C 2 Nu D N L ≥ 20 , donde C2 está dado en la Tabla 6.7 Re D = ρu ∞ D u ∞ D = µ ν Re D , max = ρVmax D Vmax D = µ ν Diferencia de temperaturas media logarítmica: ∆Tml = Config. alineada: Vmáx = 2( S D − D ) > ( S T − D) (Ts − Tent ) − (Ts − Tsal ) T − Tent ln s Ts − Tsal ST ST V ; Config. escalonada: Vmáx = V ST − D ST − D ó Vmáx = ST V 2( S D − D ) ST: espaciado transversal; SL: espaciado longitudinal; NT: número de tubos en direc. transversal; NL: número de tubos en direc. longitudinal; N = NT x NL: núm. total de tubos. Cálculo de la temperatura de salida del flujo: si si 2( S D − D) < ( S T − D) ; 38 Ts − Tsal πDNh = exp − Ts − Tent ρVN T S T c p Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 6.3. Coeficientes de la correlación de Hilpert para flujo cruzado sobre un cilindro (Pr ≥ 0,7). ReD 0,4 - 4 4 - 40 40 - 4.000 4.000 - 40.000 40.000 - 400.000 C 0,989 0,911 0,683 0,193 0,027 m 0,330 0,385 0,466 0,618 0,805 Tabla 6.4. Coeficientes de la correlación de Hilpert para flujo de aire cruzado sobre un paralelepípedo. Geometría Cuadrado en diagonal Cuadrado recto Hexágono recto Hexágono en diagonal Dibujo V V V V ReD C m D 5·103 - 105 0,246 0,588 D 5·103 - 105 0,102 0,675 5·103 - 1,95·104 0,160 0,638 1,95·104 - 105 0,0385 0,782 5·103 - 105 0,153 0,638 4·103 - 1,5·104 0,228 0,731 D D D Placa vertical Tabla 6.5. Coeficientes de la correlación de Zhukauskas para flujo de aire cruzado sobre un cilindro. ReD 1 - 40 40 - 1.000 103 - 2·105 2·105 - 106 C 0,75 0,51 0,26 0,076 39 m 0,4 0,5 0,6 0,7 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Figura 6.1. Nu local para flujo de aire cruzado sobre un cilindro. (Incropera) Tabla 6.6. Coeficientes de la correlación de Zhukauskas para el flujo cruzado sobre un banco de tubos. C m Configuración ReD,máx 2 10 10 0,80 0,40 Alineado 10 - 102 0,90 0,40 Escalonado 2 3 10 - 10 Se aproxima como un cilindro único Alineado 102 - 103 Se aproxima como un cilindro único Escalonado 3 5 0,27 0,63 Alineado (ST / SL > 0,7) 10 - 2·10 0,35(ST / SL)1/5 0,60 Escalonado (ST / SL < 2) 103 - 2·105 3 5 0,40 0,60 Escalonado (ST / SL > 2) 10 - 2·10 5 6 2·10 - 2·10 0,021 0,84 Alineado 2·105 - 2·106 0,022 0,84 Escalonado Para ST / SL < 0,7, la transferencia de calor es ineficiente y los tubos alineados no se deben usar. 40 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 6.7. Coeficiente de corrección C2 de la correlación de Zhukauskas para el flujo cruzado sobre un banco de tubos para NL < 20 y ReD > 103. NL Alineado Escalonado 1 0,70 0,64 2 0,80 0,76 3 0,86 0,84 4 0,90 0,89 5 0,92 0,92 7 0,95 0,95 10 0,97 0,97 13 0,98 0,98 16 0,99 0,99 Figura 6.2. Disposición de los tubos en configuración alineada (a) y escalonada (b) en un banco de tubos. (Incropera) NL NT Figura 6.3. Esquema de un banco de tubos en flujo cruzado. (Incropera) 41 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras TEMA 7. CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO INTERNO Figura 7.1. Número de Nusselt local en la región de entrada para flujo laminar en el interior de un tubo circular con temperatura superficial uniforme. (Bejan) Figura 7.2. Número de Nusselt local en la región de entrada para flujo laminar en el interior de un tubo circular con flujo de calor superficial uniforme. (Bejan) 42 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Diagrama 7.1. Metodología para seleccionar las correlaciones de convención forzada en flujo interno. - Región de entrada ⇒ (x < xcd,t ó Gz-1 < 0,05) ⇒ Figuras 7.1. y 7.2. Siendo: xcd,t = 0.05·D·ReD·Pr. - Correlación local: - Región c. d. ⇒ NuD = cte (x > xcd,t ó Gz-1 > 0,05): ReD < 2.300 ⇒ Régimen Laminar: - q ′s′ = cte ⇒ NuD = 4,36. - Ts = cte ⇒ NuD = 3,66. - Tubo no circular ⇒ Tabla 7.1. - Problema de longitud de entrada térmica (si xcd,t >> xcd,h; Pr >> 1): Correlación de Hausen. - Reg. de entrada + c. d.: - Problema de longitud de entrada combinada (si O(xcd,t)≈O(xcd,h); O(Pr)≈1): Correlación de Sieder y Tate. - Correlación promedio: - q ′s′ = cte ⇒ Nu D = 4,36 . - Región c. d. ⇒ Nu D = cte : - Ts = cte ⇒ Nu D = 3,66 . - Tubo no circular ⇒ Tabla 7.1. - Correlación de Dittus-Boelter. - Correlación local (en región c. d.: x/D > 10): ReD > 2.300 ⇒ Régimen Turbulento: - Correlación de Sieder y Tate: (se usa con aceite siempre; con agua y con aire si hay grandes ∆T). - Correl. de Dittus-Boelter. con prop. a Tm = - Correlación promedio (condiciones c. d.: L/D > 60): - Correl. de Sieder y Tate. * En el temario de este curso no se estudia la región de entrada en régimen turbulento. 43 Tm ,ent + Tm , sal 2 . Tabla 7.1. Tabla resumen de las correlaciones de convención forzada en flujo interno. 1 Correlaciones para tubos circulares hD Nu = = 4,36 k Nu = 2 3 4 5 6 7 8 Re D = Nu D = hD = 3,66 k dq = h(Ts − Tm )πDdx 0,0668( D / L) Re D Pr hD = 3,66 + 2/3 k 1 + 0,04[( D / L) Re D Pr ] Nu D = hD Re Pr = 1,86 D k L/D Nu D = 1/ 3 µ µ s Nu D = q = h PL∆Tml q ′x′ = h(Ts − Tm ) dq = h(Ts − Tm )πDdx 0 ,14 0 ,14 Condiciones Tubo sometido a un flujo de calor superficial uniforme, q ′x′ = cte . Régimen laminar, correlación local, región completamente desarrollada. Propiedades calculadas a Tm. Tubo sometido a una temperatura superficial uniforme, Ts = cte . Régimen laminar, correlación local, región completamente desarrollada. Propiedades calculadas a Tm. Correlación de Hausen. Tubo sometido a Ts = cte . Régimen laminar, correlación promedio, región de entrada + c. d., problema de longitud de entrada térmica (perfil de velocidades desarrollado, xcd,t >> xcd,h, Pr >> 1). Propiedades calculadas a Tm = (Tm ,ent + Tm ,sal ) / 2 . Correlación de Sieder y Tate. Tubo sometido a Ts = cte . Régimen laminar, correlación promedio, región de entrada + c. d., problema de longitud de entrada combinada (O(xcd,t) ≈ O(xcd,h)). Propiedades calculadas a Tm = (Tm ,ent + Tm ,sal ) / 2 , excepto µs a Ts. Rango de validez: 0,48 < Pr < 16.700 y 0,0044 < (µ / µs) < 9,75. Correlación de Dittus-Boelter. Tubo sometido a q ′x′ = cte. o Ts = cte. Régimen turbulento, correlación local, región completamente desarrollada. Con n = 0,4 para calentamiento (Ts > Tm) 0,7 ≤ Pr ≤ 160 y n = 0,3 para enfriamiento (Ts < Tm). Propiedades a Tm. Rango de validez: ReD ≥ 10.000 . ( x / D) ≥ 10 q = h PL∆Tml q′ = q / L q ′′ = q / PL Correlación de Sieder y Tate. Tubo sometido a q ′x′ = cte. o Ts = cte. Régimen turbulento, correlación local, región completamente desarrollada. Grandes variaciones de las propiedades 0,7 ≤ Pr ≤ 16.700 del fluido. Popiedades calculadas a Tm, excepto µs a Ts. Rango de validez: ReD ≥ 10.000 . ( x / D) ≥ 10 Mismas condiciones que correlación 5, pero correlación promedio para flujo completamente desarrollado, (L / D) > 60. Propiedades calculadas a Tm = (Tm ,ent + Tm ,sal ) / 2 . q = h PL∆Tml q′ = q / L q ′′ = q / PL Mismas condiciones que correlación 6, pero correlación promedio para flujo completamente desarrollado, (L / D) > 60. Propiedades calculadas a Tm = (Tm ,ent + Tm ,sal ) / 2 , excepto µs a Ts. q ′x′ = h(Ts − Tm ) dq = h(Ts − Tm )πDdx hD = 0,023ReD4 / 5 Pr n k µ hD = 0,027 Re D4 / 5 Pr 1 / 3 k µs ρu m D u m D = µ ν q = h PL∆Tml 0 ,14 hD = 0,023Re D4 / 5 Pr n k µ hD = 0,027 Re D4 / 5 Pr 1 / 3 Nu D = k µs Nu D = Transferencia de calor q ′x′ = h(Ts − Tm ) dq = h(Ts − Tm )πDdx q ′x′ = h(Ts − Tm ) Las correlaciones 1 y 2 son válidas como promedio si L >> xcd,t Diferencia de temperaturas media logarítmica: ∆Tml = (Ts − Tm ,ent ) − (Ts − Tm , sal ) T − Tm ,ent ln s T −T m , sal s Tubos de sección no circular con régimen laminar, correlación local y región c. d.: Tabla 7.1. Tubos de sección no circular con régimen turbulento y región c. d.: Correlaciones 5, 6, 7 u 8, pero trabajando con el diámetro hidráulico, Dh = 4·Ac / P. Ac: área de la sección transversal. P: perímetro. 44 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 7.2. Números de Nusselt para flujo laminar completamente desarrollado en tubos de diferente sección transversal. NuD = Sección transversal Circular Rectangular (a = altura, b =base) Rectangular (a = altura, b =base) Rectangular (a = altura, b =base) Rectangular (a = altura, b =base) Rectangular (a = altura, b =base) Rectangular (a = altura, b =base) Rectangular (a = altura, b =base) Triangular hDh k b a - q ′s′ uniforme Ts uniforme 4,36 3,66 1,0 3,61 2,98 1,43 3,73 3,08 2,0 4,12 3,39 3,0 4,79 3,96 4,0 5,33 4,44 8,0 6,49 5,60 ∞ 8,23 7,54 - 3,11 2,47 45 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras TEMA 8. CONVECCIÓN LIBRE O NATURAL Figura 8.1. Perfiles de velocidad y de temperatura para la capa límite laminar de convección libre sobre una superficie vertical isoterma. (Incropera) Figura 8.2. Vista lateral de los patrones de flujo de la convección libre sobre placas planas inclinadas: Ts > T∞ a la izquierda y Ts < T∞ a la derecha. 46 Tabla 8.1. Tabla resumen de correlaciones de convención libre. Transferencia de calor Correlación 1/ 4 1 2 hx Grx 0,75 Pr 1 / 2 Nu x = = · k 4 (0,609 + 1,221Pr 1 / 2 + 1,238 Pr )1 / 4 Nu L = 0,387 Ra1L/ 6 hL = 0,825 + 9 / 16 8 / 27 k [1 + (0,492 / Pr ) ] Nu L = 3 1/ 4 L 0,670 Ra hL = 0,68 + k [1 + (0,492 / Pr ) 9 / 16 ]4 / 9 h Lc = 0,54 Ra1Lc/ 4 k con 104 ≤ RaLc ≤ 107 h Lc Nu Lc = = 0,15 Ra 1Lc/ 3 k con 107 ≤ RaLc ≤ 1011 Nu Lc = 4 5 6 h Lc Nu Lc = = 0,27 Ra 1Lc/ 4 k con 105 ≤ RaLc ≤ 1010 7 0,387 Ra1D/ 6 hD Nu D = = 0,60 + 9 / 16 8 / 27 k [1 + (0,559 / Pr ) ] Grx = gβ (Ts − T∞ ) x 3 ν propiedades, Nu L 2 2 q ′x′ = h(Ts − Tm ) dq = h(Ts − Tm )dAz Representación gráfica Ts > T∞ q ′′ = h (Ts − T∞ ) Placa vertical con temperatura superficial constante, Ts = cte. Régimen laminar, Grx < 109. Correlación local. hL 4 Correlación promedio: Nu L = = Nu L k 3 Correlación de Churchill y Chu. Placa vertical con Ts = cte. Correlación promedio. Válida para todo RaL. q = h As (Ts − T∞ ) q ′′ = h (Ts − T∞ ) Placa vertical con Ts = cte. RaL ≤ 109. Correlación promedio. q = h As (Ts − T∞ ) q ′′ = h (Ts − T∞ ) Ts < T∞ Condiciones Ts > T∞ Ts < T∞ Ts > T∞ Ts < T∞ q = h As (Ts − T∞ ) q ′′ = h (Ts − T∞ ) q = h As (Ts − T∞ ) 2 q ′′ = h (Ts − T∞ ) q = h As (Ts − T∞ ) Ts > T∞ Placa horizontal con Ts = cte. Superficie superior de placa caliente o inferior de placa fría. Correlación promedio. Longitud característica definida como el cociente entre el área y el perímetro de la placa: Lc = As / P. Placa horizontal con Ts = cte. Superficie inferior de placa caliente o superior de placa fría. Correlación promedio. Longitud característica definida como el cociente entre el área y el perímetro de la placa: Lc = As / P. Correlación de Churchill y Chu (promedio) para la convección libre sobre un cilindro largo horizontal: con RaD ≤ 1012. Ra x gβ (Ts − T∞ ) L3 gβ (Ts − T∞ ) D 3 ; Ra L = GrL Pr = ; Ra D = ; Propiedades calculadas a Tf = (Ts + T∞)/2; Correlaciones 1 a 3: válidas para q ′x′ = cte si Pr να να y RaL se definen en función de la temperatura en el punto medio de la placa: Tf = (Ts(L/2) + T∞)/2; ∆TL / 2 = Ts ( L / 2) − T∞ ⇒ h = q′s′ / ∆TL / 2 ⇒ = ∆Tx = Ts ( x) − T∞ ≈ 1,15(x / L ) ∆TL / 2 ; Correlaciones 1 a 3: válidas para cilindros verticales de altura L si el espesor de la capa límite, δ, es mucho menor que el diámetro del cilindro 1/ 5 ⇒ (D / L ) ≥ (35 / GrL1 / 4 ) ; Para placas inclinadas (superficie superior de placa fría o superficie inferior de placa caliente) se pueden emplear las correlaciones 1 a 3 sustituyendo g por g·cos (θ) para 0º ≤ θ ≤ 60º (θ se mide desde la vertical). 47 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras TEMA 9. INTRODUCCIÓN A LA RADIACIÓN Figura 9.1. Distribución de Planck. Potencia Emisiva espectral del cuerpo negro. 10 10 10 10 10 10 Potencia emisiva espectral, Eλb (W/m2·µm) 10 10 10 10 10 10 10 10 9 8 T = 5.800 K λmáx·T = 2.898 µm·K 7 6 5 T = 2.000 K 4 T = 1.000 K 3 2 T = 800 K 1 T = 300 K 0 T = 100 K -1 -2 T = 50 K -3 -4 0.1 0.2 0.4 0.6 1 2 4 6 10 20 40 longitud de onda, λ (µm) Tabla 9.1. Funciones de radiación de cuerpo negro. λT (µm·K) 200 400 600 800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000 2.200 2.400 2.600 2.800 2.898 3.000 3.200 3.400 I λ ,b ( λ , T ) F( 0→ λ ) σT 5 (µm·K·sr)-1 0,3750·10-27 0,4903·10-13 0,1040·10-8 0,9911·10-7 0,1185·10-5 0,5239·10-5 0,1344·10-4 0,2491·10-4 0,3756·10-4 0,4934·10-4 0,5896·10-4 0,6589·10-4 0,7013·10-4 0,7202·10-4 0,7223·10-4 0,7203·10-4 0,7060·10-4 0,6815·10-4 0,000000 0,000000 0,000000 0,000016 0,000321 0,002134 0,007790 0,019718 0,03934 0,06673 0,10089 0,14026 0,1831 0,2279 0,250108 0,2732 0,3181 0,3617 48 I λ ,b ( λ , T ) I λ ,b (λ máx , T ) 0,000000 0,000000 0,000014 0,001372 0,016406 0,072534 0,18608 0,3449 0,5199 0,6831 0,8163 0,9122 0,9709 0,9971 1,000000 0,9971 0,9774 0,9436 60 100 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 9.1. Funciones de radiación de cuerpo negro (continuación). λT (µm·K) F( 0→ λ ) 3.600 3.800 4.000 4.200 4.400 4.600 4.800 5.000 5.200 5.400 5.600 5.800 6.000 6.200 6.400 6.600 6.800 7.000 7.200 7.400 7.600 7.800 8.000 8.500 9.000 9.500 10.000 10.500 11.000 11.500 12.000 13.000 14.000 15.000 16.000 18.000 20.000 25.000 30.000 40.000 50.000 75.000 100.000 0,4036 0,4434 0,4809 0,5160 0,5488 0,5793 0,6076 0,6337 0,6590 0,6804 0,7010 0,7202 0,7378 0,7541 0,7692 0,7832 0,7961 0,8081 0,8192 0,8295 0,8391 0,8480 0,8563 0,8746 0,8900 0,9031 0,9142 0,9237 0,9319 0,9400 0,9451 0,9551 0,9629 0,9700 0,9738 0,9809 0,9856 0,9922 0,9953 0,9980 0,9990 0,9997 0,999905 I λ ,b ( λ , T ) I λ ,b ( λ , T ) σT (µm·K·sr)-1 I λ ,b (λ máx , T ) 5 0,6504·10-4 0,6152·10-4 0,5781·10-4 0,5404·10-4 0,5033·10-4 0,4673·10-4 0,4331·10-4 0,4008·10-4 0,3706·10-4 0,3424·10-4 0,3164·10-4 0,2923·10-4 0,2701·10-4 0,2497·10-4 0,2310·10-4 0,2138·10-4 0,1980·10-4 0,1835·10-4 0,1703·10-4 0,1581·10-4 0,1469·10-4 0,1366·10-4 0,1272·10-4 0,1068·10-4 0,9015·10-5 0,7653·10-5 0,6533·10-5 0,5605·10-5 0,4833·10-5 0,4187·10-5 0,3644·10-5 0,2795·10-5 0,2176·10-5 0,1719·10-5 0,1374·10-5 0,9082·10-6 0,6233·10-6 0,2765·10-6 0,1405·10-6 0,4739·10-7 0,2016·10-7 0,4186·10-8 0,1358·10-8 49 0,9004 0,8517 0,8003 0,7481 0,6967 0,6470 0,5996 0,5549 0,5130 0,4741 0,4380 0,4047 0,3740 0,3457 0,3198 0,2960 0,2741 0,2541 0,2357 0,2188 0,2034 0,1891 0,1761 0,1478 0,1248 0,1060 0,09044 0,077600 0,066913 0,057970 0,050448 0,038689 0,030131 0,023794 0,019026 0,012574 0,008629 0,003828 0,001945 0,000656 0,000279 0,000058 0,000019 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras TEMA 10. INTERCAMBIO RADIATIVO ENTRE SUPERFICIES Tabla 10.1. Factores de forma radiativos para geometrías bidimensionales. Geometría Esquema Factor de forma wi Fij i Placas paralelas centradas L − j i [(W 2 j 2Wi j − Wi ) 2 + 4 +4 ] 1/ 2 − ] 1/ 2 2Wi Wi = wi / L W j = w j / L wj Placas paralelas inclinadas de igual anchura y una arista en común [(W + W ) = j w α Fij = 1 − sen 2 α i w j Placas perpendiculares con una arista en común wj Fij = [ 1 + ( w j / wi ) − 1 + ( w j / wi ) 2 ] 1/ 2 2 i wi wk Recinto de tres lados wj k Fij = j wi + w j − wk 2wi i wi Fij = j i ri Cilindros paralelos de radios diferentes 1 2 2 1/ 2 π + [C − ( R + 1) ] − 2π − [C 2 − ( R − 1) 2 ] 1/ 2 rj + ( R − 1) s − ( R + 1) + π R 1 cos −1 − − 180º C C π R 1 cos −1 + 180º C C R = r j / ri S = s / ri C = 1 + R + S j r Cilindro y placa paralelos L s1 i Fij = s r π −1 s1 − tan −1 2 tan s1 − s 2 180º L L s2 s j D Plano infinito y fila de cilindros D 2 Fij = 1 − 1 − s 1/ 2 + s2 − D2 D π tan −1 + 2 s 180º D i 50 1/ 2 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Figura 10.1. Factor de forma radiativo para dos rectángulos paralelos alineados. j L i Y X 1 0.8 Y / L = inf. Y / L = 10 Y/L=4 0.5 Y/L=2 Y/L=1 0.3 Y / L = 0,6 0.2 Fij Y / L = 0,4 0.1 0.08 Y / L = 0,2 0.05 Y / L = 0,1 0.03 0.02 0.01 0.1 Y / L = 0,05 0.2 0.3 0.5 1 2 3 X/L 51 5 10 20 40 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Figura 10.2. Factor de forma radiativo para dos discos paralelos coaxiales. j rj L i ri 1 0.9 8 6 5 3 4 0.8 rj / L = 2 0.7 1,5 Fij 0.6 1,25 0.5 1 0.4 0,8 0.3 0,6 0.2 0,4 0.1 0,3 0 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 L / ri 52 2 4 6 8 10 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Figura 10.3. Factor de forma radiativo para dos rectángulos perpendiculares con una arista en común. j Z i X Y 0.5 Y / X = 0,02 0.45 0,05 0,1 0.4 0,2 0.35 0,4 Fij 0.3 0,6 0.25 1 0.2 1,5 2 0.15 4 0.1 10 0.05 0 0.1 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Z/X 53 2 4 6 8 10 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla 10.2. Intercambio neto de radiación en recintos especiales de dos superficies grises y difusas. Geometría Esquema Condiciones Planos paralelos grandes (infinitos) plano 1 A1 = A2 = A F12 = 1 A2, T2, ε2 A1, T1, ε1 plano 2 Intercambio de radiación Aσ (T14 − T24 ) q12 = 1 1 + −1 ε1 ε2 r1 r 2 A1 r1 = A2 r2 F12 = 1 Cilindros concéntricos largos (infinitos) Esferas concéntricas Objeto convexo pequeño en una cavidad grande A1 r12 = A2 r22 F12 = 1 r1 r2 A1 ≈0 A2 F12 = 1 A1, T1, ε1 A2, T2, ε2 54 q12 = q12 = A1σ (T14 − T24 ) 1 1 − ε 2 r1 + ε1 ε 2 r2 A1σ (T14 − T24 ) 1 − ε 2 r1 + ε1 ε 2 r2 1 2 q12 = A1 ε 1σ (T14 − T24 ) Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras TABLAS DE PROPIEDADES TERMOFÍSICAS Y DE FUNCIONES MATEMÁTICAS Tabla A. Propiedades termofísicas del aire a presión atmosférica. T cp k·103 ρ µ·107 ν·106 α·106 (K) (kg/m3) (J/kg·K) (N·s/m2) (m2/s) (W/m·K) (m2/s) 100 3,5562 1032 71,1 2,00 9,34 2,54 150 2,3364 1012 103,4 4,426 13,8 5,84 200 1,7548 1007 132,5 7,590 18,1 10,3 250 1,3947 1006 159,6 11,44 22,3 15,9 300 1,1614 1007 184,6 15,89 26,3 22,5 350 0,9950 1009 208,2 20,92 30,0 29,9 400 0,8711 1014 230,1 26,41 33,8 38,3 450 0,7740 1021 250,7 32,39 37,3 47,2 500 0,6964 1030 270,1 38,79 40,7 56,7 550 0,6329 1040 288,4 45,57 43,9 66,7 600 0,5804 1051 305,8 52,69 46,9 76,9 650 0,5356 1063 322,5 60,21 49,7 87,3 700 0,4975 1075 338,8 68,10 52,4 98,0 750 0,4643 1087 354,6 76,37 54,9 109 800 0,4354 1099 369,8 84,93 57,3 120 850 0,4097 1110 384,3 93,80 59,6 131 900 0,3868 1121 398,1 102,9 62,0 143 950 0,3666 1131 411,3 112,2 64,3 155 1000 0,3482 1141 424,4 121,9 66,7 168 1100 0,3166 1159 449,0 141,8 71,5 195 1200 0,2902 1175 473,0 162,9 76,3 224 1300 0,2679 1189 496,0 185,1 82 238 1400 0,2488 1207 530 213 91 303 1500 0,2322 1230 557 240 100 350 55 Pr 0,786 0,758 0,737 0,720 0,707 0,700 0,690 0,686 0,684 0,683 0,685 0,690 0,695 0,702 0,709 0,716 0,720 0,723 0,726 0,728 0,728 0,719 0,703 0,685 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla B. Propiedades termofísicas del aceite de motor a presión atmosférica. T cp k·103 Pr ρ µ·102 ν·106 α·107 β·103 3 2 2 2 (K) (kg/m ) (J/kg·K) (N·s/m ) (m /s) (W/m·K) (m /s) (K-1) 273 899,1 1796 385 4280 147 0,910 47000 0,70 280 895,3 1827 217 2430 144 0,880 27500 0,70 290 890,0 1868 99,9 1120 145 0,872 12900 0,70 300 884,1 1909 48,6 550 145 0,859 6400 0,70 310 877,9 1951 25,3 288 145 0,847 3400 0,70 320 871,8 1993 14,1 161 143 0,823 1965 0,70 330 865,8 2035 8,36 96,6 141 0,800 1205 0,70 340 859,9 2076 5,31 61,7 139 0,779 793 0,70 350 853,9 2118 3,56 41,7 138 0,763 546 0,70 360 847,8 2161 2,52 29,7 138 0,753 395 0,70 370 841,8 2206 1,86 22,0 137 0,738 300 0,70 380 836,0 2250 1,41 16,9 136 0,723 233 0,70 390 830,6 2294 1,10 13,3 135 0,709 187 0,70 400 825,1 2337 0,874 10,6 134 0,695 152 0,70 410 818,9 2381 0,698 8,52 133 0,682 125 0,70 420 812,1 2427 0,564 6,94 133 0,675 103 0,70 430 806,5 2471 0,470 5,83 132 0,662 88 0,70 56 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla C. Propiedades termofísicas del agua saturada. T (K) 273,15 275 280 285 290 295 300 305 310 315 320 325 330 335 340 345 350 355 360 365 370 373,15 375 380 385 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 P ifg cp k·103 Pr ρ µ·106 β·106 3 2 (bar) (kg/m ) (kJ/kg) (J/kg·K) (N·s/m ) (W/m·K) (K-1) 0,00611 1000 2502 4217 1750 569 12,99 -68,05 0,00697 1000 2497 4211 1652 574 12,22 -32,74 0,00990 1000 2485 4198 1422 582 10,26 46,04 0,01387 1000 2473 4189 1225 590 8,81 114,1 0,01917 999,0 2461 4184 1080 598 7,56 174,0 0,02617 998,0 2449 4181 959 606 6,62 227,5 0,03531 997,0 2438 4179 855 613 5,83 276,1 0,04712 995,0 2426 4178 769 620 5,20 320,6 0,06221 993,0 2414 4178 695 628 4,62 361,9 0,08132 991,1 2402 4179 631 634 4,16 400,4 0,1053 989,1 2390 4180 577 640 3,77 436,7 0,1351 987,2 2378 4182 528 645 3,42 471,2 0,1719 984,3 2366 4184 489 650 3,15 504,0 0,2167 982,3 2354 4186 453 656 2,88 535,5 0,2713 979,4 2342 4188 420 660 2,66 566,0 0,3372 976, 2329 4191 389 668 2,45 595,4 0,4163 973,7 2317 4195 365 668 2,29 624,2 0,5100 970,9 2304 4199 343 671 2,14 652,3 0,6209 967,1 2291 4203 324 674 2,02 697,9 0,7514 963,4 2278 4209 306 677 1,91 707,1 0,9040 960,6 2265 4214 289 679 1,80 728,7 1,0133 957,9 2257 4217 279 680 1,76 750,1 1,0815 956,9 2252 4220 274 681 1,70 761 1,2869 953,3 2239 4226 260 683 1,61 788 1,5233 949,7 2225 4232 248 685 1,53 814 1,794 945,2 2212 4239 237 686 1,47 841 2,455 937,2 2183 4256 217 688 1,34 896 3,302 928,5 2153 4278 200 688 1,24 852 4,370 919,1 2123 4302 185 688 1,16 1010 5,699 909,9 2091 4331 173 685 1,09 7,333 900,9 2059 4360 162 682 1,04 9,319 890,5 2024 4400 152 678 0,99 11,71 879,5 1989 4440 143 673 0,95 14,55 868,1 1951 4480 136 667 0,92 17,90 856,9 1912 4530 129 660 0,89 21,83 844,6 1870 4590 124 651 0,87 26,40 831,3 1825 4660 118 642 0,86 ifg: entalpía específica del cambio de fase entre líquido y gas. 57 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla D. Funciones hiperbólicas. x 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 senh x 0,0000 0,1002 0,2013 0,3045 0,4108 0,5211 0,6367 0,7586 0,8881 1,0265 1,1752 1,3356 1,5095 1,6984 1,9043 2,1293 2,3756 2,6456 2,9422 3,2682 x 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 cosh x tanh x x senh x 1,0000 0,00000 2,00 3,6269 1,0050 0,09967 2,10 4,0219 1,0201 0,19738 2,20 4,4571 1,0453 0,29131 2,30 4,9370 1,0811 0,37995 2,40 5,4662 1,1276 0,46212 2,50 6,0502 1,1855 0,53705 2,60 6,6947 1,2552 0,60437 2,70 7,4063 1,3374 0,66404 2,80 8,1919 1,4331 0,71630 2,90 9,0596 1,5431 0,76159 3,00 10,018 1,6685 0,80050 3,50 16,543 1,8107 0,83365 4,00 27,290 1,9709 0,86172 4,50 45,003 2,1509 0,88535 5,00 74,203 2,3524 0,90515 6,00 201,71 2,5775 0,92167 7,00 548,32 2,8283 0,93541 8,00 1490,5 3,1075 0,94681 9,00 4051,5 3,4177 0,95624 10,00 11013 Tabla E. Función gaussiana de error. erf (x) 0,00000 0,02256 0,04511 0,06762 0,09008 0,11246 0,13476 0,15695 0,17901 0,20094 0,22270 0,24430 0,26570 0,28690 0,30788 0,32863 0,34913 0,36936 2 w − u2 erf w = ∫ e du π 0 x 0,36 0,38 0,40 0,44 0,48 0,52 0,56 0,60 0,64 0,68 0,72 0,76 0,80 0,84 0,88 0,92 0,96 1,00 erf (x) 0,38933 0,40901 0,42839 0,46623 0,50275 0,53790 0,57162 0,60386 0,63459 0,66378 0,69143 0,71754 0,74210 0,76514 0,78669 0,80677 0,82542 0,84270 erfc w = 1 − erf w 58 cosh x 3,7622 4,1443 4,5679 5,0372 5,5569 6,1323 6,7690 7,4735 8,2527 9,1146 10,068 16,573 27,308 45,014 74,210 201,72 548,32 1490,5 4051,5 11013 x 1,04 1,08 1,12 1,16 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00 tanh x 0,96403 0,97045 0,97574 0,98010 0,98367 0,98661 0,98903 0,99101 0,99263 0,99396 0,99505 0,99818 0,99933 0,99975 0,99991 0,99999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 erf (x) 0,85865 0,87333 0,88679 0,89910 0,91031 0,93401 0,95229 0,96611 0,97635 0,98379 0,98909 0,99279 0,99532 0,99814 0,99931 0,99976 0,99992 0,99998 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla F. Primeras cuatro raíces de la ecuación trascendental, ξn·tan(ξn) = Bi, para conducción transitoria en una pared plana. Bi = hL k 0 0,001 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 15,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 80,0 100,0 ∞ ξ1 ξ2 ξ3 ξ4 0,0000 0,0316 0,0447 0,0632 0,0774 0,0893 0,0998 0,1410 0,1987 0,2425 0,2791 0,3111 0,4328 0,5218 0,5932 0,6533 0,7051 0,7506 0,7910 0,8274 0,8603 0,9882 1,0769 1,1925 1,2646 1,3138 1,3496 1,3766 1,3978 1,4149 1,4289 1,4729 1,4961 1,5202 1,5325 1,5400 1,5451 1,5514 1,5552 1,5708 3,1416 3,1419 3,1422 3,1429 3,1435 3,1441 3,1448 3,1479 3,1543 3,1606 3,1668 3,1731 3,2039 3,2341 3,2636 3,2923 3,3204 3,3477 3,3744 3,4003 3,4256 3,5422 3,6436 3,8088 3,9352 4,0336 4,1116 4,1746 4,2264 4,2694 4,3058 4,4255 4,4915 4,5615 4,5979 4,6202 4,6353 4,6543 4,6658 4,7124 6,2832 6,2833 6,2835 6,2838 6,2841 6,2845 6,2848 6,2864 6,2895 6,2927 6,2959 6,2991 6,3148 6,3305 6,3461 6,3616 6,3770 6,3923 6,4074 6,4224 6,4373 6,5097 6,5783 6,7040 6,8140 6,9096 6,9924 7,0640 7,1263 7,1806 7,2281 7,3959 7,4954 7,6057 7,6647 7,7012 7,7259 7,7573 7,7764 7,8540 9,4248 9,4249 9,4250 9,4252 9,4254 9,4256 9,4258 9,4269 9,4290 9,4311 9,4333 9,4354 9,4459 9,4565 9,4670 9,4775 9,4879 9,4983 9,5087 9,5190 9,5293 9,5801 9,6296 9,7240 9,8119 9,8928 9,9667 10,0339 10,0949 10,1502 10,2003 10,3898 10,5117 10,6543 10,7334 10,7832 10,8172 10,8606 10,8871 10,9956 59 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla G. Funciones de Bessel de primera clase. x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 J0(x) 1,0000 0,9975 0,9900 0,9776 0,9604 0,9385 0,9120 0,8812 0,8463 0,8075 0,7652 0,7196 0,6711 0,6201 0,5669 0,5118 0,4554 0,3980 0,3400 0,2818 0,2239 0,1666 0,1104 0,0555 0,0025 60 J1(x) 0,0000 0,0499 0,0995 0,1483 0,1960 0,2423 0,2867 0,3290 0,3688 0,4059 0,4401 0,4709 0,4983 0,5220 0,5419 0,5579 0,5699 0,5778 0,5815 0,5812 0,5767 0,5683 0,5560 0,5399 0,5202 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras Tabla H. Funciones de Bessel modificadas de primera y segunda clase. x e-x·I0(x) 0,0 1,0000 0,2 0,8269 0,4 0,6974 0,6 0,5993 0,8 0,5241 1,0 0,4658 1,2 0,4198 1,4 0,3831 1,6 0,3533 1,8 0,3289 2,0 0,3085 2,2 0,2913 2,4 0,2766 2,6 0,2639 2,8 0,2528 3,0 0,2430 3,2 0,2343 3,4 0,2264 3,6 0,2193 3,8 0,2129 4,0 0,2070 4,2 0,2016 4,4 0,1966 4,6 0,1919 4,8 0,1876 5,0 0,1835 5,2 0,1797 5,4 0,1762 5,6 0,1728 5,8 0,1697 6,0 0,1667 6,4 0,1611 6,8 0,1561 7,2 0,1515 7,6 0,1473 8,0 0,1434 8,4 0,1399 8,8 0,1365 9,2 0,1334 9,4 0,1305 9,6 0,1278 10,0 1,0000 I n +1 ( x ) = I n −1 ( x ) − ( 2n / x ) I n ( x ) e-x·I1(x) 0,0000 0,0823 0,1368 0,1722 0,1945 0,2079 0,2153 0,2185 0,2190 0,2177 0,2153 0,2121 0,2085 0,2047 0,2007 0,1968 0,1930 0,1892 0,1856 0,1821 0,1788 0,1755 0,1725 0,1695 0,1667 0,1640 0,1614 0,1589 0,1565 0,1542 0,1521 0,1479 0,1441 0,1405 0,1372 0,1341 0,1312 0,1285 0,1260 0,1235 0,1213 0,0000 61 ex·K0(x) ∞ 2,1408 1,6627 1,4167 1,2582 1,1445 1,0575 0,9881 0,9309 0,8828 0,8416 0,8057 0,7740 0,7459 0,7206 0,6978 0,6770 0,6580 0,6405 0,6243 0,6093 0,5953 0,5823 0,5701 0,5586 0,5478 0,5376 0,5280 0,5188 0,5101 0,5019 0,4865 0,4724 0,4595 0,4476 0,4366 0,4264 0,4168 0,4079 0,3995 0,3916 ex·K1(x) ∞ 5,8334 3,2587 2,3739 1,9179 1,6362 1,4429 1,3011 1,1919 1,1048 1,0335 0,9738 0,9229 0,8790 0,8405 0,8066 0,7763 0,7491 0,7245 0,7021 0,6816 0,6627 0,6454 0,6292 0,6143 0,6003 0,5872 0,5749 0,5634 0,5525 0,5422 0,5232 0,5060 0,4905 0,4762 0,4631 0,4511 0,4399 0,4295 0,4198 0,4108 Transferencia de Calor / Curso 2010-11 Fórmulas, Tablas y Figuras ALFABETO GRIEGO Mayúsculas Minúsculas Nombre Α α alfa Β β beta Γ γ gamma ∆ δ delta Ε ε épsilon Ζ ζ seta o zeta Η η eta Θ θ zeta o theta Ι ι iota Κ κ kappa o cappa Λ λ lambda Μ µ my o mu Ν ν ny o nu Ξ ξ xi Ο ο ómicron Π π pi Ρ ρ ro o rho Σ σ, ς sigma Τ τ tau Υ υ ípsilon Φ ϕ fi o phi Χ χ ji Ψ ψ psi Ω ω omega 62