PAUTA Prueba Solemne 1 Electricidad y Magnetismo 1. a) Una carga eléctrica Q, positiva está distribuida uniformemente a lo largo de una línea de carga que tiene una longitud de 2a y que se ubica sobre el eje x, entre: 𝑥 = −𝑎 y 𝑥 = +𝑎. Calcule el campo eléctrico en el punto P sobre la bisectriz, a una distancia b del origen. (0.7) b) Utilice el resultado anterior para determinar la magnitud y dirección del campo eléctrico en P producido por dos líneas de cargas que forman un ángulo recto tal como se muestra en la figura. Un segmento tiene una carga de +2.50(𝜇𝐶) distribuida en forma uniforme lo largo de su longitud, mientras que el otro segmento tiene −2.50(𝜇𝐶) también distribuida en forma uniforme lo largo de su longitud (el punto P está a 60.0 cm de cada segmento) (0.7) c) Si un electrón se libera en el punto P del caso anterior. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza neta que ejercen estos segmentos sobre él? (0.6) 2. Se tiene un par de cilindros concéntricos conductores muy largos, el cilindro interior es de radio R y el exterior es hueco, con radio interior 2R y exterior 3R. El cilindro interior tiene una carga distribuida uniformemente igual a Q0 y el conductor cilíndrico hueco se encuentra cargado con una carga neta igual a 2Q0. Determine: a) Las densidades de carga de cada uno de los casquetes de los conductores. (0.6) b) La diferencia de potencial entre la superficie del conductor interno y el casquete exterior del cilindro hueco. (considere el potencial V = V0 en r =3R) (0.7) c) El flujo del campo eléctrico originado por los conductores, a través de una superficie cúbica de arista 10R (m), cuyas diagonales se intersectan en el origen de los cilindros. (0.7) 3. a) Dos estudiantes del curso de Electricidad y Magnetismo de la UDP, sostienen un acalorada discusión respecto del efecto que produce un dieléctrico de constante K que llena completamente el espacio entre los conductores de un condensador. El estudiante 1 (E1) afirma que la energía almacenada en el condensador aumenta, y el estudiante 2 (E2) dice que disminuye. Resuelva matemáticamente esta controversia haciendo uso de la o las ecuaciones respectivas para indicar cuál de los estudiantes tiene la razón. (0,7) b) Considere un condensador esférico formado por dos cascarones concéntricos, el interior de radio a cargado con +Q y el exterior de radio b cargado con -Q. Si entre los cascarones existe vacío. Determine la capacidad de este condensador calculando primero el campo eléctrico entre palcas y luego la diferencia de potencial respectiva. (0.7) c) Si el condensador anterior se llena la mitad del volumen entre los dos conductores con un líquido dieléctrico con constante K, como se muestra en el corte transversal de la figura. Calcule la capacidad del condensador medio lleno. (0.6) PAUTA PROBLEMA 1 1 a) De la figura se tiene que dE y dE cos .P dE x dEsen La componente E x 0 por simetría y dE y dE cos 1 dq cos 4 0 r 2 Para esta caso dq dx , y cos b / r , luego sustituyendo se tiene dE y Dado que r ( x 2 b 2 )1 / 2 se obtiene: dE y b dx 2 4 0 ( x b 2 ) 3 / 2 1 dx b 4 0 r 2 r b dx 4 0 r 3 Integrando Ey b 4 0 Ey a (x a 2 dx : utilizando b 2 )3 / 2 (x 2 dx x , se tiene 2 2 2 3/ 2 b ) b ( x b 2 )1 / 2 2a 1 Q o Ey 2 2 1/ 2 2 4 0b (a b ) 4 0 b(a b 2 )1/ 2 1.b) En este caso los campos son perpendiculares y de igual magnitud E (0,7 puntos) 1 Q , El campo de la 4 0 b(a b 2 )1/ 2 2 línea positiva apunta hacia abajo y el de la línea negativa hacia la izquierda. La magnitud del campo neto está dada por: 1 Q Enet 2 cos 45 6.25 10 4 N / C La dirección es 2250 c/r eje x (0,7 puntos) 2 2 1/ 2 4 0 b(a b ) 1. c) 𝐹 = 𝑒𝐸 = 1.0 × 10−14 𝑁 opuesta a la dirección del campo (0,6 puntos) PAUTA PROBLEMA 2 𝑄 −𝑄 0 a) 𝜎1 = 2𝜋𝑅𝐿 2𝑄 0 𝜎2 = 4𝜋𝑅𝐿 𝑄 0 0 𝜎3 = 6𝜋𝑅𝐿 = 3𝜋𝑅𝐿 (0,6 puntos) b) Para determinar la diferencia de potencial pedida, primero calculamos el campo eléctrico en las distintas regiones del espacio. 𝑞 Aplicando Ley de gauss ∯𝑆 𝐸⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑆 = 𝜀𝑒𝑛𝑐 0 Para R<r<2R región comprendida entre los casquetes de los conductores 𝑄0 𝜀0 ∯ 𝐸⃗1 ∙ ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑆 = 𝑆 → 𝐸1 (𝑟)2𝜋𝑟𝐿 = 𝑄0 𝜀0 → 𝐸1 (𝑟) = 𝑄0 𝑁 [ ] 2𝜋𝜀0 𝑟𝐿 𝐶 Para 2R<r<3R región comprendida entre los casquetes del conductor hueco ⃗⃗⃗⃗ = 0 ∯ 𝐸⃗ 2 ∙ 𝑑𝑆 𝑁 → 𝐸2 = 0 [ ] 𝐶 → 𝐸2 (2𝜋𝑟𝐿) = 0 𝑆 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜. Para 3R<r región exterior al conductor hueco. 2𝑄0 𝜀0 ∯ 𝐸⃗ 3 ∙ ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑆 = 𝑆 → 𝐸3 (2𝜋𝑟𝐿) = 2𝑄0 𝜀0 → 𝐸3 = 𝑄0 𝑁 [ ] 2𝜋𝜀0 𝑟𝐿 𝐶 Como el potencial dentro del cascaron conductor es constante 3𝑅 2𝑅 𝑉3𝑅 − 𝑉𝑅 = − ∫ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑙 ; 𝑉3𝑅 − 𝑉𝑅 = − ∫ 𝐸1 𝑑𝑟 + ∫ 𝐸2 𝑑𝑟 𝑅 𝑅 2𝑅 𝑑𝑟 𝑄 𝑉3𝑅 − 𝑉𝑅 = − 2𝜋𝜀0 𝐿 ∫𝑅 0 𝑟 𝑄 1 + 𝑉0 = 2𝜋𝜀0 𝐿 𝑙𝑛 (2) + 𝑉0 0 3𝑅 (0,7 puntos) c) Aplicando la definición de flujo eléctrico: Φ𝐸 = ∑𝑄 𝜀0 = 𝑄1 +𝑄2 +𝑄3 𝜀0 = 𝑄0 −𝑄0 +2𝑄0 𝜀0 2𝑅 = 2𝑄0 𝜀0 (0,7 puntos) PAUTA PROBLEMA 3 3. a) La energía de un condensador sin dieléctrico (vacío) está dada por: 1 2 𝑊𝐸0 = 𝑞 2𝐶0 Y la le energía con un dieléctrico es: 1 2 𝑊𝐸𝐷 = 𝑞 2𝐶𝐷 (Proceso con carga constante, la carga es la misma en ambos casos) Dado que 𝐶𝐷 = 𝐾𝐶0 sustituyendo se obtiene: 𝑊𝐸𝐷 = 1 1 𝑞 2 = 𝑊𝐸0 2𝐾𝐶0 𝐾 Como 𝐾 > 1 se encuentra que 𝑊𝐸𝐷 < 𝑊𝐸0, con lo cual se concluye que la energía del condensador con dieléctrico disminuye. Entonces E2 es el que tenía la razón (0,7 puntos) 𝑄 3 b) Según definición 𝐶 = ∆𝑉 , luego debemos calcular la diferencia de potencial 𝑎 ∆𝑉 = − ∫ 𝐸(𝑟) 𝑑𝑟 𝑏 Según Gauss ∮ 𝐸𝑑𝐴 = 𝑄/𝜀0 luego el campo entre palcas está dado por 𝑄 𝐸(𝑟) = 4𝜋𝜀0 𝑟 2 Sustituyendo se obtiene le diferencia de potencial 𝑎 ∆𝑉 = − ∫ 𝐸(𝑟) 𝑑𝑟 = 𝑏 𝑄 𝑏−𝑎 ( ) 4𝜋𝜀0 𝑎𝑏 Con lo cual la capacidad queda expresada como: 𝑄 𝑎𝑏 𝐶 = ∆𝑉 = 4𝜋𝜀0 (𝑏−𝑎) ≡ 𝐶0 (0,7 puntos) 3 c) Dado que cada conductor es una superficie equipotencial, los condensadores: mitad vacío y mitad lleno están en paralelo: 𝐶0 𝐶0 𝐶 = +𝐾 2 2 𝑎𝑏 Según resultado 3 b) 𝐶0 = 4𝜋𝜀0 (𝑏−𝑎). Entonces la capacidad del condensador medio lleno es: 𝑎𝑏 𝐶 = 2𝜋𝜀0 (𝑏−𝑎) (1 + 𝐾) (0,7 puntos)
