EMO-05_M2AA1L2_Universal Versión: septiembre 2012 Revisor: Cristina Andrade Ley de gravitación universal Por Enrique Hernández Gallardo El estudio de los planetas y las estrellas fue algo que interesó a los hombres desde hace muchísimos años. Las ideas sobre el movimiento de los astros fue corrigiéndose a lo largo del tiempo hasta poder decir y comprobar que la Tierra es redonda, que gira alrededor del Sol y que existen fuerzas de atracción entre los cuerpos celestes, entre otras cosas. Expliquemos de manera cronológica la evolución de estas ideas, puntualizando algunas de las aportaciones de cada científico. 190 a.C. 120 a.C. Hiparco (astrónomo griego) Recopiló datos de más de 1,000 estrellas. Afirmaba que la Tierra era plana, sin movimiento y ocupaba el centro del universo. Figura 1. Hipparchos 1 (Wikimedia, 2006). Siglo II d.C. Ptolomeo (geógrafo, astrónomo y matemático griego, llamado comúnmente en español Tolomeo) Vivió y trabajó en Alejandría, Egipto. Su trabajo consistió en estudiar una gran cantidad de datos existentes sobre el movimiento de los planetas con el fin de construir un modelo geométrico. Figura 2. Claudius Ptolemaeus (Wikimedia, 2006). El sistema creado por Tolomeo suponía que los planetas giraban alrededor de la Tierra en órbitas circulares. Consideraba a la Tierra plana y sin movimiento. 1473‐1543. Nicolás Copérnico (astrónomo polaco) Corrigió la teoría de Ptolomeo. Propuso que la Tierra era redonda y que giraba sobre su propio eje en un tiempo de 24 horas. Además, que tardaba 365 días en dar la vuelta alrededor del Sol. Figura 3. Nikolaus Kopernikus (Wikimedia, 2005). Su obra fue publicada hasta el año de su muerte y la Iglesia Católica consideró prohibido el libro de Copérnico por chocar con las ideas de esa época. 1 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. EMO-05_M2AA1L2_Universal Versión: septiembre 2012 Revisor: Cristina Andrade 1546‐1601. Tycho Brahe (astrónomo danés) Descubre las leyes sobre el movimiento de la Luna, además de ser maestro de Kepler. Figura 4. Tycho Brahe (Wikimedia, 2008). 1571‐1630. Johannes Kepler (astrónomo alemán) Aprovecha las enseñanzas de Brahe y de Copérnico para demostrar, después de mucho estudio, que los planetas se movían describiendo órbitas elípticas (ovaladas). Figura 5. Johannes Kepler (Wikimedia, 2005). Formula tres leyes sobre el movimiento de los planetas, las cuales sirvieron de base para la astronomía actual. 1642–1727. Isaac Newton. (Físico y Matemático inglés). A partir de las teorías de Kepler, Newton decide investigar las causas por las que los planetas giran alrededor del Sol en órbitas bien definidas. Figura 6. GodfreyKnellerIsaacNewton1689 (Gun, 2009). Newton descubre la fuerza de gravedad y en 1687 publica su Ley de la gravitación universal con la que explica estas causas. Leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas Primera ley de Kepler: todos los planetas se mueven alrededor del Sol, siguiendo órbitas elípticas, en las cuales el Sol ocupa uno de los focos de la elipse. Figura 7. Kepler's law 1 ru (Wikimedia, 2013). 2 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. EMO-05_M2AA1L2_Universal Versión: septiembre 2012 Revisor: Cristina Andrade Segunda ley de Kepler: el radio vector que enlaza al Sol con un planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales. Figura 8. Kepler's law 2 ru (Wikimedia, 2011). Tercera ley de Kepler: el cuadrado del tiempo que tarda un planeta en dar la vuelta alrededor del Sol (s2) es proporcional al cubo de su distancia media al Sol (d3). Donde !! !! es la misma para todos los planetas, es decir, es constante. Matemáticamente se escribe como: 𝑡! =𝐾 𝑑! Ley de la gravitación universal de Newton Esta ley explica que todos los cuerpos ejercen entre sí una fuerza de atracción, a cuya fuerza, Newton la llamó gravedad. La intensidad de la fuerza de atracción depende del producto de las masas de los cuerpos y de la distancia que los separa. Se enuncia de la siguiente forma: Entre dos cuerpos uno de masa m1 y el otro de masa m2 separados una distancia r, existe una fuerza de atracción F que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. 3 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. EMO-05_M2AA1L2_Universal Versión: septiembre 2012 Revisor: Cristina Andrade Lo que se expresa matemáticamente de la siguiente forma: 𝐹=𝐺 𝑚! 𝑚! 𝑟! Donde G es una constante de proporcionalidad llamada constante de la gravitación universal y tiene un valor de G = 6.67x10-11 N m2 / kg2. Las masas m1 y m2 deberán estar expresadas en kg y la distancia r en m. La figura representa la fuerza de atracción que existe entre los cuerpos de masa m1 y m2. r F F m1 m2 El cuerpo m1 experimenta una fuerza de atracción F hacia la derecha, mientras que el cuerpo de masa m2 siente la fuerza de atracción hacia la izquierda. Ejemplos de aplicación de la ley de gravitación universal 1. Carlos y Jocelyn desean saber cuál es la fuerza de atracción entre ellos debido a la gravedad. Jocelyn tiene una masa de 40 kg y Carlos de 52 kg y se encuentran separados una distancia de 40 cm. Solución Datos 𝒎𝟏 = 𝟒𝟎 𝒌𝒈 𝒎𝟐 = 𝟓𝟐 𝒌𝒈 𝒓 = 𝟎. 𝟒𝟎 𝒎 𝑮 = 𝟔. 𝟔𝟕 𝒙𝟏𝟎!𝟏𝟏 𝑵𝒎𝟐 /𝒌𝒈𝟐 𝑭 =? Fórmula y desarrollo La ley de la gravitación universal establece: 𝐹=𝐺 𝑚! 𝑚! 𝑟! Sustituyendo valores 𝑭 = 𝟔. 𝟔𝟕 𝒙𝟏𝟎!𝟏𝟏 𝑵𝒎𝟐 /𝒌𝒈𝟐 𝑭= (𝟒𝟎𝒌𝒈)(𝟓𝟐𝒌𝒈) (𝟎. 𝟒𝟎𝒎)𝟐 𝟏. 𝟑𝟖𝟕𝟑𝟔𝒙𝟏𝟎!𝟕 𝑵 (𝟎. 𝟒𝟎)𝟐 𝑭 = 𝟖. 𝟔𝟕𝟏 𝒙 𝟏𝟎!𝟕 𝑵 Resultado La fuerza de atracción que existe entre Carlos y Jocelyn es una fuerza muy pequeña de 𝟖. 𝟔𝟕𝟏 𝒙 𝟏𝟎−𝟕 𝑵 4 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. EMO-05_M2AA1L2_Universal Versión: septiembre 2012 Revisor: Cristina Andrade 2. Calcula la fuerza gravitacional entre un objeto de 1 kg de masa y la tierra cuya masa es de 5.98 x 1024 kg. Considera la distancia del radio terrestre como 6.336 x 106 m. Solución Datos F Datos 𝒎𝟏 = 𝟏𝒌𝒈 𝒎𝟐 = 𝟓. 𝟗𝟖𝒙𝟏𝟎𝟐𝟒 𝒌𝒈 𝒓 = 𝟔. 𝟑𝟑𝟔 𝒙𝟏𝟎𝟔 𝒎 𝑮 = 𝟔. 𝟔𝟕 𝒙𝟏𝟎!𝟏𝟏 𝑵𝒎𝟐 /𝒌𝒈𝟐 𝑭 =? Fórmula y desarrollo La ley de la gravitación universal establece: 𝐹=𝐺 𝑚! 𝑚! 𝑟! Sustituyendo valores 𝑭 = 𝟔. 𝟔𝟕 𝒙𝟏𝟎!𝟏𝟏 𝑵𝒎𝟐 /𝒌𝒈𝟐 𝑭= (𝟏𝒌𝒈)(𝟓. 𝟗𝒙𝟏𝟎𝟐𝟒 𝒌𝒈) (𝟔. 𝟑𝟑𝟔𝒙𝟏𝟎𝟔 𝒎)𝟐 𝟑. 𝟗𝟑𝟓𝟑𝒙𝟏𝟎𝟏𝟒 𝑵𝒎𝟐 𝟒. 𝟎𝟏𝟒𝟓𝒙𝟏𝟎𝟏𝟑 𝒎𝟐 𝑭 = 𝟗. 𝟖 𝑵 Resultado La fuerza gravitacional es de 𝟗. 𝟖 𝑵 La distancia entre el objeto y la Tierra se toma a partir del centro de masa, es decir, del punto en donde se concentra la masa. 5 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. EMO-05_M2AA1L2_Universal Versión: septiembre 2012 Revisor: Cristina Andrade 3. ¿A qué distancia se encuentran dos masas de 7x10‐2 kg y 8x10‐3 kg, si la fuerza con la que se atraen tiene una magnitud de 6x10‐9 N? Solución Datos 𝒓=? 𝒎𝟏 = 𝟕𝒙𝟏𝟎!𝟐 𝒌𝒈 𝒎𝟐 = 𝟖𝒙𝟏𝟎!𝟑 𝒌𝒈 𝑭 = 𝟔𝒙𝟏𝟎!𝟗 𝑵 𝑮 = 𝟔. 𝟔𝟕 𝒙𝟏𝟎!𝟏𝟏 𝑵𝒎𝟐 /𝒌𝒈𝟐 Fórmula y desarrollo La ley de la gravitación universal establece: 𝐹=𝐺 𝑚! 𝑚! 𝑟! 𝒓𝟐 = 𝑮 𝒎𝟏 𝒎𝟐 𝑭 Despejamos 𝒓𝟐 Sacamos raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad. 𝑟= 𝑮 𝒎𝟏 𝒎𝟐 𝑭 Sustituimos valores 𝑟= (𝟔. 𝟔𝟕 𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑵𝒎𝟐 /𝑲𝒈𝟐 ) 𝑟= 𝟔𝟐. 𝟐𝟓 𝒙𝟏𝟎−𝟕 𝒎𝟐 = (𝟕𝒙𝟏𝟎−𝟐 𝒌𝒈)(𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟑 𝒌𝒈) 𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟗 𝑵 𝟔. 𝟐𝟐𝟓 𝒙𝟏𝟎−𝟔 𝒎𝟐 𝒓 = 𝟐. 𝟓𝒙𝟏𝟎!𝟑 𝒎 = 𝟐. 𝟓𝒎𝒎. Resultado: Las dos masas se encuentran a una distancia de 𝟐. 𝟓𝒎𝒎. Datos Fórmula y desarrollo 6 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. EMO-05_M2AA1L2_Universal Versión: septiembre 2012 Revisor: Cristina Andrade Bibilografía Hewitt, P. (2007). Física Conceptual (10ª. ed., Victoria Augusta Flores Flores, Trad.). México: Pearson Educación. Pérez, H. (2008). Física I. México: Grupo Editorial Patria. Tippens, P. (2007). Física conceptos y aplicaciones (7ª. ed., Ángel Carlos González Ruiz, Universidad Nacional Autónoma de México, Trad.). México: McGraw-Hill. Referencias de imágenes Gun, T. (2009). GodfreyKneller-IsaacNewton-1689. Recuperada de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg (Imagen de dominio público, de acuerdo a: http://en.wikipedia.org/wiki/Public_domain). Wikimedia. (2005). Nikolaus Kopernikus. Recuperada de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nikolaus_Kopernikus.jpg?uselang=es (Imagen de dominio público, de acuerdo a: http://en.wikipedia.org/wiki/Public_domain). Wikimedia. (2006). Claudius Ptolemaeus. Recuperada de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Claudius_Ptolemaeus.jpg (Imagen de dominio público, de acuerdo a: http://en.wikipedia.org/wiki/Public_domain). Wikimedia. (2006). Hipparchos 1. Recuperada de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hipparchos_1.jpeg (Imagen de dominio público, de acuerdo a: http://en.wikipedia.org/wiki/Public_domain). Wikimedia. (2008). Tycho Brahe. Recuperada de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tycho_Brahe.JPG (Imagen de dominio público, de acuerdo a: http://en.wikipedia.org/wiki/Public_domain). Wikimedia. (2011). Kepler's law 2 ru. Recuperada de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kepler%27s_law_2_ru.svg (Imagen de dominio público, de acuerdo a: http://en.wikipedia.org/wiki/Public_domain). Wikimedia. (2013). Kepler's law 1 ru. Recuperada de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kepler%27s_law_1_ru.svg (Imagen de dominio público, de acuerdo a: http://en.wikipedia.org/wiki/Public_domain). 7 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
