1. NÚMEROS REALES. CLASIFICACIÓN. Decimal exacto Pasar de decimal a fracción ) 1 = 0,3 3 25 1 0,25 = = 100 4 ) 13 − 1 12 4 1,3 = = = 9 9 3 ) 201 − 20 181 2,0 1 = = 90 90 2 = 0,4 5 Pasar de fracción a decimal Decimal periódico puro Decimal periódico mixto Clasificación de los números reales. Números enteros Z Racionales Q Números fraccionarios Números naturales (enteros positivos) N Enteros negativos Decimales exactos Decimales periódicos ) 2 = 0,02 90 0, 1, 2, 3, 4, 5, …, 1000, … -1, -2, -3, -4, -5, -6, …, -1000, … 0,1;0,25;3,5; 6,3; ... ) ) 0,3; 3,2;... ) ) 0,13; 42,502;... Mixtos Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales no periódicas: 1,2345678910111213141516… 0,24681012141618202224… El número PI: π =3,1415926535897932384626433832... Irracionales I Las raíces no exactas: 3 2 =1,4142135623730950488016887242097… 5 =2,23606797749978969640917366873128… 10 = 2,1544346900318837217592935665194… El número de oro: 1+ 5 = 1,6180339887498948482045868343656…… 2 2. LA RECTA REAL. INTERVALOS. 3. POTENCIAS. PROPIEDADES. Potencias: 4 3 3 3 3 34 81 3 = ⋅ ⋅ ⋅ = 4 = 4 4 4 4 4 256 4 2 Exponente entero: a b −n b = a 2 = 1 −3 n 2 5 −2 −3 3 13 1 1 = = 3 = 8 2 2 2 5 2 25 5 = = 2 = 4 2 2 Propiedades de las potencias: 2 3 ⋅ 2 4 = 2 3+ 4 = 2 7 = 128 a n ⋅ a m = a n+m 2 3 5 25 32 2 2 2 ⋅ = = 5 = 3125 5 5 5 5 2 5 : 2 2 = 2 5− 2 = 2 3 = 8 a n : a m = a n−m 4 5 1 1 1 : = 3 3 3 [(− 3) ] 2 3 (a ) n m = a n⋅m 1 3 3 = = =3 1 1 = (− 3) = 729 6 2 −2 2 3 −1 4 3 2 = = = 9 2 3 2 (− 2 )3 ⋅ (− 3)3 = (+ 6)3 = 216 a n ⋅ b n = (a ⋅ b ) n 1 5 a n : b n = (a : b ) n 1 2 : 5 3 a0 =1 −1 −2 −2 2 ⋅ 3 −2 −2 −2 −2 −2 −2 1 2 3 = : = 10 5 3 0 4 =1 0 1 =1 3 (− 2)1 = −2 a1 = a 2 1 2 225 2 15 = ⋅ = = = 4 15 2 5 3 3 3 3 (− 6) : (+ 2) = (− 3) = −27 1 2 2 = 5 5 2 100 10 = = 9 3 4. RAÍCES. PROPIEDADES. Raíces n-ésimas: n a n índice a radicando 2 soluciones 16 = ±4 porque (+ 4 ) = 16 y (− 4 ) = 16 2 a positivo 4 n par 2 81 = ±3 porque (+ 3) = 81 y (− 3) = 81 4 4 0 soluciones a negativo − 25 ningún número elevado al cuadrado es negativo 1 solución 3 n impar 5 8 = 2 porque 2 3 = 8 5 − 32 = −2 porque (− 2 ) = −32 Cálculo de raíces Por tanteo 3 64 = 4 probamos hasta obtener la solución: 13=1 23=8 33=27 43=64 Por simplificación 3 Calculadora 64 SHIFT No sirve No sirve No sirve Es la solución 64 = 3 2 6 = 2 2 = 4 ÷ 3= Propiedades de las raíces. n a ⋅ n b = n a ⋅b n a :n b = n a :b ( a) m n n m 3 2 ⋅3 4 = 3 8 = 2 32 : 8 = 4 = ±2 (2)= = n am 3 a = n⋅m a 3 2 26 = 23 = 8 64 = 6 2 6 = 2 5. SIMPLIFICACIÓN Y COMPARACIÓN DE RAÍCES. Extraer factores de una raíz. Suma de raíces. 2 8 + 4 50 = 2 2 2 ⋅ 2 + 4 5 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 2 + 4 ⋅ 5 2 = 4 2 + 20 2 = 24 2 33 40 − 43 135 = 33 2 3 ⋅ 5 − 43 33 ⋅ 5 = 3 ⋅ 2 ⋅ 3 5 − 4 ⋅ 3 ⋅ 3 5 = 63 5 − 123 5 = −63 5 Paso a exponente fraccionario. n n a =a 1 20 = 20 n am = a m n 1 3 7 =7 5 34 = 3 3 4 5 1 2 Calculadora = 4,47213595 20 = = 1,91293118 3x = 2,408224685 5 x 7= 3 ^ 4 = 3 ^ ( 4 : 5) = 6.LOGARITMOS. DEFINICIÓN. Definición: Ejemplos: Decimos que logab =x si se cumple ax = b log216 = 4 porque 24 = 16 log0,00001 = -5 porque 10-5 = 0,00001 (Si a=10 se llama logaritmo decimal y se escribe log) REPASO 3º INTERÉS SIMPLE. INTERÉS COMPUESTO. Interés simple Períodos de capitalización anuales: C = C 0 + C0 rt Períodos de capitalización trimestrales: C = C0 + Períodos de capitalización mensuales: C 0 rt 4 C = C0 + Períodos de capitalización diarios: C 0 rt 12 C = C0 + C 0 rt 360 Si depositamos 200€ en el banco a un interese simple del 5% con períodos de capitalización mensuales, ¿cuánto cobraré dentro de 15 meses? C0 = 200 5 200 ⋅ 0,05 ⋅ 15 r = 5% = = 0,05 C = 200 + = 212,5 € 100 12 t = 15 meses Interés compuesto Períodos de capitalización anuales: C = C 0 (1 + r ) t Períodos de capitalización trimestrales: r C = C 0 1 + 4 Períodos de capitalización mensuales: t r C = C 0 1 + 12 Períodos de capitalización diarios: t r C = C 0 1 + 360 Si depositamos 500€ en el banco a un interese simple del 3% con períodos de capitalización trimestrales, ¿cuánto cobraré dentro de 15 meses? C0 = 500 5 3 0,03 r = 3% = = 0,03 C = 500 ⋅ 1 + = 519,03 € 100 4 t = 15 meses / 3 = 5 trimestres NOTACIÓN CIENTÍFICA Notación científica: a,bcdefghi...10n Calculadora 3.452.125 = 3,452125 ⋅10 6 0,000 000 0025= 2,5 ⋅10 −9 3,452125 EXP 6 2,5 EXP 9 ± t