Departament de Matemàtica ETSEA-UdL Fonaments de Matemàtica I 11 de Gener de 2006 Primera Part ! " 1 1.- Trobeu i classifiqueu els extrems de la funció f (x, y) = e−(x+y) x − . y Solució: Primerament es calculen les derivades parcials primeres de la funció. ! " ! " ∂f 1 ∂f 1 1 = e−(x+y) 1 − x + , = e−(x+y) − x + . ∂x y ∂y y2 y ∂f ∂f =0i = 0, que, com que l’exponencial no pot ∂x ∂y 1 1−x+ = 0 y . 1 1 − x + = 0 y2 y A continuació, cal resoldre el sistema format per ser zero, es redueix a Restant les equacions i després d’una mica d’aritmètica s’obté y 2 = 1, és a dir, y = ±1. Llavors, si y = +1, x = 2 i si y = −1, x = 0. Per tant, els punts a estudiar són (2, 1) i (0, −1). Ara cal construir la matriu Hessiana, ! " 1 −e−(x+y) 2 − x + y ! " H(x, y) = 1 1 −e−(x+y) 1 − x + + 2 y y ! " 1 1 −e−(x+y) 1 − x + + 2 y y ! " 1 2 2 −e−(x+y) −x + + 2 + 3 y y y Per acabar, només cal classificar els punts obtinguts. ! −3 −e H(2, 1) = −e−3 −e−3 −3e−3 " . Com ∆1 < 0 i ∆2 > 0 el punt (2, 1) és un màxim relatiu. ! " −e −e H(0, −1) = . −e +e Ara ∆1 < 0 i ∆2 < 0 i el punt (0, −1) és un punt de sella. 2.- Calculeu les integrals - a) 2 (ln x) dx. b) - . 4 − x2 dx. Solució: a) La integral es calcula integrant per parts dues vegades. En primer lloc es fa 2 u = (ln x) , dv = dx, −→ du = 2 ln x dx, v = x. x Llavors, la integral es transforma en - 2 2 (ln x) dx = x (ln x) − 2 Ara, per acabar la integral es fa u = ln x, dv = dx, - 2 2 −→ (ln x) dx = x (ln x) − 2x ln x + 2 - - du = ln xdx. dx , v = x. x 2 dx = x (ln x) − 2x ln x + 2x + C. b) Per calcular . aquesta integral es fa el canvi x = 2 sin z. Aixı́, dx = 2 cos zdz i, substituint i simplificant, √ 4 − x2 = 4 − 4 sin2 z = 2 cos z. Llavors, ! " - . 1 + cos 2z sin 2z 4 − x2 dx = 4 cos2 zdz = 4 dz = 2 z + + C = 2z + 2 sin z cos z + C = 2 2 2 arcsin 3.- Calculeu - x 1 . + x 4 − x2 + C. 2 2 2x3 − x2 + 3x + 1 dx. (x − 1)2 (x2 + 4) Solució: En aquest cas, en primer lloc cal fer la descomposició de l’integrand en fraccions senzilles. 2x3 − x2 + 3x + 1 A B Cx + D = + + 2 . (x − 1)2 (x2 + 4) x − 1 (x − 1)2 x +4 Operant i igualant numeradors es té A(x − 1)(x2 + 4) + B(x2 + 4) + (Cx + D)(x − 1)2 = 2x3 − x2 + 3x + 1, A(x3 − x2 + 4x − 4) + B(x2 + 4) + C(x3 − 2x2 + x) + D(x2 − 2x + 1) = 2x3 − x2 + 3x + 1. Substituint x = 1 s’obté 5B = 5, és a dir, B = 1. Per trobar la resta de constants, cal igualar els coeficients dels dos termes. Aixı́, igualant els coeficients dels termes de grau 3, 1 i 0 s’obté el sistema, A+C = 2 4A + C − 2D = 3 , −4A + D = −3 que té per solució A = C = D = 1. La integral queda, llavors, " - ! 2x3 − x2 + 3x + 1 1 1 x+1 dx = + + dx = (x − 1)2 (x2 + 4) x − 1 (x − 1)2 x2 + 4 1 x 1 1 1 1 x ln |x − 1| − + dx + dx = ln |x − 1| − + ln(x2 + 4) + arctg + C. x−1 x2 + 4 x2 + 4 x−1 2 2 2 4.- Calculeu: a) L’àrea tancada per les corbes y = x2 − 1 i y = x3 − x. x2 b) El volum generat per la rotació entorn de l’eix OX de l’arc d’elipse d’equació + y 2 = 1 comprès 4 en el primer quadrant. Solució: a) En primer lloc es troben les abscisses dels punts d’intersecció, x3 − x = x2 − 1 x3 − x2 − x + 1 = 0 −→ −→ x = ±1. Llavors, tenint en compte que la paràbola és la funció que tanca per baix, 01 x4 x3 x2 4 − − +x = . A= (x − x − x + 1)dx = 4 3 2 3 −1 −1 - / 1 3 2 b) Tenint en compte la figura, és prou senzill veure que el volum s’ha de calcular fent V =π - 0 2 y 2 dx = π - 0 2 ! 1− x2 4 " / 02 x3 4π dx = π x − = . 12 0 3