Control automático de procesos PRQ - 220 CONTROL AUTOMÁTICO DE PROCESOS El control automático de procesos es la tecnología que tiene por objeto mantener las variables de operación dentro de ciertos límites, para el funcionamiento correcto de un proceso. El proceso desde el punto de vista de la producción es un sistema donde materia y energía son tratados para corregir un producto deseado. Ejemplo: Intercambiadores Reactores Hornos, etc. El control de las variables obedece a varias regulaciones: Regulaciones de seguridad Sobrepresiones, sobrecalentamientos, rebalses, etc. Estabilidad Evitando las oscilaciones en las variables de proceso. Especificaciones de calidad Manteniendo el valor de las variables, en sus valores de diseño. Regulaciones del medioambiente Evitando la emanación de residuos tóxicos. Eficiencia y optimización de procesos Mejor uso de: o Materia prima Costo de operación o Energía mínimo. o Capital o Labor humana Un sistema de control: Proceso Elemento final de control Transmisor Sensor Controlador Set Point 1 Control automático de procesos Sensor/Transmisor Controlador PRQ - 220 Mide el valor de la variable controlada. Compara el valor medido con el deseado. Elemento final de control Ajusta la variable manipulada, que tiene efecto directo sobre el proceso y la variable controlada, hasta obtener el valor deseado. Cada variable tiene su propia característica independiente de su aplicación. Lazo abierto y Lazo cerrado: Estos lazos surgen de si la información del proceso sea ó no realimentada al controlador, para iniciar la acción correctora. Control de Lazo abierto no realimenta la información del proceso. Ejemplo: Lavadora automática Programada para realizar una serie de operaciones necesarias en el lavado. (No tiene información respecto de la condición del lavado, detiene su operación al terminar el ciclo). Control de lazo cerrado: (Variable manipulada) Perturbación Vapor Proceso Elemento final de control (Variable controlada) Agua Elemento primario (Termocupla) Transmisor Controlador PID Detector de error Set Point La información de la variable controlada del proceso se capta con un medidor y se utiliza como entrada al controlador, donde se compara con una señal de referencia (set point) y la diferencia hace que el controlador genere una señal para accionar una válvula y corregir el error. 2 Control automático de procesos PRQ - 220 Tipos de variable: Variable perturbación Variable manipulada Proceso Variable controlada Variable controlada.- Es la característica de cantidad ó calidad que se mide y controla. Es una condición ó característica del medio controlado (materia ó energía) en la cual se encuentra situada la variable. En el ejemplo: Medio controlado el agua Variable controlada la temperatura Variable manipulada.- Es la cantidad ó condición de materia ó energía que se modifica por el controlador a través del elemento final de control. En el ejemplo: Variable manipulada el caudal (vapor es la energía de entrada) Variable perturbación.- Es toda variable que tiene influencia sobre la variable controlada, y que no puede modificarse por la variable manipulada. En el ejemplo: La temperatura de entrada del agua al proceso (El sistema tiene que esperar a que el cambio en la temperatura del agua alcance la salida del proceso). ¿Qué es el control automático? Es un sistema que mide una variable y actúa de una forma determinada para que esa variable se mantenga en un valor deseado (set point). Las correcciones y mediciones se realizan continuamente. Sistemas de control Feedback Variable perturbación Variable manipulada Proceso Variable controlada Señal de medida Señal de comando Control 3 Control automático de procesos PRQ - 220 Ejemplo: Control de la composición del destilado D Medidor de composición F Control W Ventajas: o No necesita un conocimiento profundo del proceso. o Responden aún a perturbaciones no consideradas en el diseño. Desventajas: o La acción del control se realiza luego del efecto sobre la variable controlada. Feedforward Variable perturbación Control Variable manipulada Proceso Variable controlada Ejemplo: Control D Medidor de composición F Ventajas: W 4 Control automático de procesos PRQ - 220 o Es un control anticipatorio. Desventajas: o Requiere de un conocimiento profundo del proceso. o Mayor instrumentación. Control inferencial Variable perturbación Variable manipulada Variable controlada Proceso Estimador Control Ejemplo: Control Medidor de temperatura M D F W Cuando no se puede medir directamente la variable controlada (V.C.) Ventajas: o Útil en procesos de medición compleja. Desventajas: o Requiere de modelación en el cálculo de propiedades no medibles. Control digital directo (DDC) 5 Control automático de procesos PRQ - 220 Variable perturbación Variable manipulada Variable controlada Proceso D/A A/D Interfaces Control Ventajas: o o o o Fácil configuración y reconfiguración del lazo control. Introducción de nuevos lazos de control. Facilidad de realizar algoritmos de control avanzado. Calcular borrador en modelos Desventajas: o Baja seguridad del sistema (el fallo del ordenador, provoca el fallo de todo el lazo). Personal o Alto costo de inversión: Mantenimiento Programación o Sobrecarga del procesador (cuando existen varios procesos) Seguridad por modo de “back up”.La creciente innovación en la tecnología de ordenadores solucionó muchas de las desventajas del DDC. Así el “Twin computer” (ordenador gemelo). En el que un ordenador de reserva (back up) realiza las mismas funciones que el principal y en caso de falla de éste asume sus tareas. Variable perturbación Variable manipulada Variable controlada Proceso D/A A/D Controlador Activo Conmutador automático Controlador Back up 6 Control automático de procesos PRQ - 220 Controlador lógico programable (PLC) Es un controlador: seguro en funcionamiento, pequeño y barato. Tiene: 1 hardware interno 1 programa de usuario, que contiene instrucciones de las operaciones a realizar. El PLC actúa sobre las señales de acuerdo a su programa de control almacenado en su memoria que procesa las señales recibidas. Desarrollo de un sistema de control Información de plantas similares Objetivos del control Datos de planta Principios Fisicoquímicos Modelo del proceso Simulación Estrategia de control Simulación Teoría de control Experiencia Información del vendedor Hardware de control Instalación Ajuste del controlador Leyes básicas 1. El mejor sistema de control es el más sencillo. 2. Conocer el proceso. 7 Control automático de procesos PRQ - 220 Función transferencia La técnica de la “transformada de Laplace”: Simplifica el tratamiento matemático de las “ecuaciones diferenciales”, que describen la dinámica de procesos. La dinámica de procesos se describen a través de la “función transferencia” Función transferencia G (s) G (s): Expresión algebraica que relaciona la señal salida con la señal entrada de un proceso: A través de G (s) Dinámica de procesos Para ello definimos: Variables desviación: Son variables que indican la magnitud del cambio de una variable respecto de su valor de estado estacionario. Variable x’ Estado estacionario t Entonces las ecuaciones diferenciales deberán expresarse en función de variables desviación, considerando que la magnitud del cambio se produce a partir de un estado estacionario. Las variables desviación, se adecuan a las condiciones iniciales: Entonces: Sea un proceso cuya dinámica se la expresa con una ecuación diferencial de orden (n): 8 Control automático de procesos PRQ - 220 Aplicando la transformada de Laplace y factorizando: Luego: Si el proceso tiene dos señales de entrada: ++ Ganancia del estado estacionario Del teorema del valor final: Como: Si 9 Control automático de procesos PRQ - 220 Luego: Luego la ganancia del estado estacionario Kp es la relación de la señal de salida del estado estacionario, luego de un cambio en la señal entrada. Así para la función transferencia de señales sencillas: Aplicando la propiedad: Es decir: Luego: Dinámica de procesos Los procesos pueden clasificarse en: Instantáneos o de estado estacionario Primer orden de atraso Segundo orden de atraso Con atraso de transporte Por supuesto que algunos procesos pueden ser de mayores órdenes, pero un comportamiento puede aproximarse como de 1° orden ó 2° orden, más el tiempo muerto (atraso de transporte). 10 Control automático de procesos PRQ - 220 Procesos instantáneos La dinámica de estos procesos son despreciables ( ) La señal salida responde casi instantáneamente al cambio de la señal entrada. El modelo: La función transferencia: La ganancia del proceso: Ejemplo: en una válvula X (carrera) entrada F (caudal) salida Señal entrada Señal salida 11 Control automático de procesos PRQ - 220 Primer orden de atraso La señal salida de estos procesos, se representa por una “ecuación diferencial de primer orden”: Si : Donde: Aplicando variables desviación y transformada de Laplace: Entonces la función transferencia es: En el diagrama de bloques: Donde: Los procesos de 1° orden de atraso se caracterizan por: o Capacidad de almacenaje o Resistencia al flujo de masa de Masa Energía Cantidad de movimiento Luego: 12 Control automático de procesos PRQ - 220 Donde: C = capacidad R = resistencia Ejemplos: o Sistemas de almacenaje de líquidos: El balance másico: Donde: Si y El caudal de salida : Si asumimos un comportamiento lineal: 13 Control automático de procesos PRQ - 220 En variables desviación: Aplicando transformada de Laplace: La función transferencia es: Donde: y Si el caudal de salida es con bomba: no es función de , es constante: Aplicando variables desviación y transformada de Laplace: o Sistema de nivel con múltiple entrada 14 Control automático de procesos PRQ - 220 Balance de masa: no es función de , es constante: Aplicando variables desviación y transformada de Laplace: Luego: Y como: : En diagrama de bloques: ++ 15 Control automático de procesos PRQ - 220 Si Si o Tanque de calefacción agitado Balance de energía: Si : Aplicando variables desviación y transformada de Laplace: En diagrama de bloques: 16 Control automático de procesos PRQ - 220 ++ Si Si o Sistema termométrico T1 T2 Resistencia convectiva THg uniforme El vidrio no se dilata Hg Balance de energía: Aplicando variables desviación y transformada de Laplace: Luego: o Tanque reactor 17 Control automático de procesos PRQ - 220 Reacción de 1° orden: Balance másico: Aplicando variables desviación y transformada de Laplace: Linealización Gran parte de los procesos se expresan con relaciones no lineales. o Sistemas de nivel o Reactores con reacción de 2° orden o Reacciones (cinética) Para aplicar la transformada de Laplace, las ecuaciones deben ser lineales: Se aplica expansión en “series de Taylor”: 18 Control automático de procesos En el punto de referencia PRQ - 220 En estado estacionario Despreciando los términos de 2° orden y mayores: La aproximación es exacta sólo en el punto de referencia. Ejemplos: Tanque con real El balance másico: Linealizamos: Reemplazando: 19 Control automático de procesos PRQ - 220 Aplicando variables desviación y transformada de Laplace: Ordenando: La función transferencia es: Donde: y h Modelo linealizado Modelo no lineal t Reactor con reacción de 2° orden 20 Control automático de procesos PRQ - 220 F, C0 V=ctte. F,C El balance: Linealizando: Reemplazando: En variables desviación: Aplicando transformadas de Laplace: Donde: ; Respuesta de sistemas de 1 º orden 21 Control automático de procesos PRQ - 220 Donde: Escalón Rampa Sinusoidal Pulso o Respuesta escalón Con la transformada inversa de Laplace: M t Esta respuesta tiene las siguientes características: Si , constante de tiempo: 22 Control automático de procesos PRQ - 220 El nuevo estacionario : Luego: Ejemplo: termopar, tiene la siguiente función transferencia: Un a) ¿En qué tiempo la señal salida del termopar alcanzará el 95% de su valor final? b) ¿Cuál es el valor final de la señal salida ante una señal entrada escalón de 100 °C? Solución: T E M La función transferencia: Donde: y a) El tiempo para que la respuesta alcance el 95% de su valor: E 95% t = 3Tp t 23 Control automático de procesos PRQ - 220 b) El valor final de la señal salida ante el escalón: E T 100 °C 0 t t Aplicando la transformada inversa de Laplace: En : Reemplazando datos: Ejemplo: sea un tanque calefactor con agitación: Q Donde: Donde: Si inicialmente el proceso está operando con: 24 Control automático de procesos PRQ - 220 a) ¿Cuál es el calor inicial de estado estacionario? b) Si el calor se incrementa en 30% ¿En qué tiempo se alcanzará el nuevo estado estacionario y cual será su valor? c) Si la temperatura de entrada se incrementa súbitamente de 100 °C a 120 °C ¿en qué tiempo se alcanzará 135°C en la temperatura de salida? Solución: a) El balance de energía: En estado estacionario: Luego: b) Aplicando el teorema del valor final: Donde: Como: Se define: Y: La función transferencia: El escalón: 25 Control automático de procesos PRQ - 220 M t Luego: Entonces: Reemplazando: Otro método: Donde: Mediante la transformada inversa de Laplace: Para : Luego: 26 Control automático de procesos PRQ - 220 El tiempo: c) Con Q= cte.: Donde: Mediante la transformada inversa de Laplace: o Respuesta rampa Señal entrada Señal salida t 27 Control automático de procesos PRQ - 220 Mediante expansión en fracciones parciales: Y Esta señal es importante en la puesta en marcha de un proceso continuo y en procesos Batch. Ejemplo: sistema de termométrico Un termopar, tiene la siguiente función transferencia: Cuando el termopar esta sujeto a una variación de temperatura de 5 °C/seg, de manera uniforme: a) ¿Cuál será el voltaje del termopar después de 12 segundos? b) ¿cuál será la diferencia de la señal salida, si esta respondiera de forma instantánea? Solución: E s.e. ΔE s.s. 12 seg t a) La señal entrada: con (instantáneo) La señal salida: Luego para una señal rampa: Mediante la transformada inversa de Laplace: 28 Control automático de procesos PRQ - 220 Reemplazando valores: b) La diferencia en 12 segundos: Donde: Luego: o Respuesta sinusoidal Luego: Mediante la transformada inversa de Laplace: En Donde: : = desfase t 29 Control automático de procesos PRQ - 220 Ejemplo: para un tanque: Inicialmente el sistema opera en condiciones de estado estacionario: De pronto se produce una perturbación sinusoidal en el caudal de entrada con: Amplitud= a) ¿Cuáles serán los valores máximo y mínimo en el nivel del tanque luego de 6 minutos? b) ¿Cuál será la máxima variación en el nivel? Solución: a) El caudal: Sabemos: El término exponencial luego de 6 minutos: Entonces el efecto en H (t) es mínimo, despreciable. Luego: Amplitud de salida = Luego: M amplitud de entrada 30 Control automático de procesos PRQ - 220 frecuencia (radianes) Ahora: Entonces: 4,85 m hmax 4 ____ 3,15 m t = 6 min t hmin Osea: b) La máxima desviación se produce cuando: Entonces: Luego: o Respuesta pulso La señal entrada: t t 31 Control automático de procesos PRQ - 220 La señal salida: Mediante la transformada inversa de Laplace: La respuesta tiene dos regiones: 1º región: cuando 2º región: cuando Ejemplo: sea un tanque: Si: F1 100 50 0,5 t (min) 32 Control automático de procesos PRQ - 220 Calcular: a) b) en 1,5 min c) en 0,3 min Solución: Para determinar : Luego: a) b) c) t < tw 33 Control automático de procesos PRQ - 220 1,81 1,45 0,3 1,5 Segundo orden de atraso Se la representa con “ecuaciones diferenciales de 2º orden”: Si Con , , y b : Con la transformada de Laplace: La forma estándar: Periodo natural Ganancia del proceso Coeficiente de amortiguación 34 Control automático de procesos PRQ - 220 Luego: Frecuencia de oscilación natural ( ) Entonces: Considerando la ecuación característica: Las raíces: Los valores dependen del valor que asuma el coeficiente de amortiguación ( ) Sobreamortiguado Críticamente amortiguado Subamortiguado Así ante una señal escalón: 1 En sistemas de control de procesos, la respuesta “subamortiguada” es la más aconsejable y se constituye en la base de diseño de control. Así para una “señal escalón”. La respuesta: Aplicando la transformada inversa de Laplace: La gráfica: 35 Control automático de procesos PRQ - 220 1 A menor grande (mayor numero de oscilaciones) Para una respuesta rápida sin muchas oscilaciones: Para la descripción de procesos sub-amortiguados se define los siguientes términos: P A B 1,05 b M 0,95 b M t Tiempo de crecimiento Tiempo del primer pico Tiempo final de respuesta Periodo de oscilación Tiempo de crecimiento .- Puede calcularse de la ecuación de respuesta ante una señal escalón: Cuando Entonces: 36 Control automático de procesos PRQ - 220 Despejando: M t Tiempo del primer pico .- Es el tiempo requerido para que la salida alcance un máximo valor. La respuesta completa “medio ciclo”: M t Tiempo final de respuesta Como: .- Es el tiempo en que las oscilaciones desaparecen: 37 Control automático de procesos PRQ - 220 M Banda t Del análisis matemático se obtiene: Si la banda es del 2% del valor final (M): Si la banda es del 5% del valor final (M): Sobrepasaje.Es la máxima cantidad que adquiere la respuesta encima del valor de estado estable (M): sobrepasaje t Razón de decaimiento.Es una indicación de que tan rápido decaen las oscilaciones. 38 Control automático de procesos PRQ - 220 A M B t Periodo de oscilación.Es el tiempo que tarda un ciclo completo. 1 P También es el tiempo entre dos picos sucesivos. El ciclo completo: 1 Número de oscilaciones.- 39 Control automático de procesos PRQ - 220 Ejemplo: un sistema de 2º orden tiene: (Frecuencia natural) (Frecuencia amortiguada) Calcular: a) b) c) d) e) El factor de amortiguamiento. El tiempo de crecimiento. El pasaje máximo. El tiempo de asentamiento de 2%. El número de ciclos de oscilaciones. Solución: a) Como: b) El tiempo de crecimiento es: c) El sobrepasaje máximo es: d) El tiempo de establecimiento: e) El número de oscilaciones: 40 Control automático de procesos PRQ - 220 Procesos multicapacidad (Tanques en serie, termómetro con vaina) Procesos subamortiguados Procesos de 2º orden (Movimiento de fluidos, resortes, que poseen inercia y son sujetos a aceleración) Sistemas de procesos controlados LC o Respuesta escalón de sistemas de 2º orden.- Para un sistema subamortiguado: El valor final: 41 Control automático de procesos PRQ - 220 Ejemplo: Sea un reactor con serpentín de enfriamiento: Refrigerante a) Si el flujo de alimentación cambia de: 0,5 0,4 Causando el cambio de temperatura de: 102 100 ¿Cuál es la ganancia de proceso? b) Si la respuesta de temperatura es oscilatoria mostrando: 102,5 °C en t = 1000 seg y 102,2 °C en t= 3060 seg ¿Cuál es la función transferencia? c) ¿Cuál es el tiempo de crecimiento? Solución: a) La ganancia del proceso controlado se obtiene relacionando el cambio de estado estacionario de la señal salida causado por el cambio en la señal entrada: b) El sobrepasaje: 102,5 °C A 102 102,1 °C M 100 1000 3060 t [seg] 42 Control automático de procesos PRQ - 220 Despejando: El periodo: Despejando : Donde: Reemplazando: La función transferencia: c) El tiempo de crecimiento: Para Entonces: Resolviendo: 43 Control automático de procesos PRQ - 220 Convirtiendo a radianes: Reemplazando: Nota.- Existen infinitos valores de que satisfacen la ecuación donde: Entonces: Con Como corresponde a la primera vez que la respuesta alcanza el valor final Con atraso de transporte: sistemas de 1º orden con tiempo muerto.Los procesos siempre tardan algún tiempo en responder ante un cambio en la señal entrada, entonces se produce “tiempo muerto”. Así un fluido es transportado por una tubería: Si alguna propiedad en la misma propiedad en (tal como temperatura o concentración) entonces: Expresado en variables desviación: Aplicando la transformada de Laplace: (Teorema de traslación) 44 Control automático de procesos PRQ - 220 Ejemplo: un tanque de mezcla con dos corrientes a diferentes temperatura: Si no hay intercambio de calor: Balance de energía: (en la tubería) Mediante ecuaciones diferenciales Simplificando: Resolviendo mediante el teorema de traslación: Con la transformada inversa de Laplace: Donde: Entonces la temperatura de salida retardada en t es igual a la temperatura de entrada unidades de tiempo. Entonces para sistemas de 1º orden: Para la solución de este tipo de problemas se hace uso de la aproximación de Padé: 45 Control automático de procesos PRQ - 220 Procesos multicapacidad.Muchos procesos presentan más de una capacidad y algunos tienen variables que interactúan o contienen corrientes de reciclo, entonces sus funciones transferencia son complicados: Así: Sistema no interactuante.- Balance de masa en el tanque nº 1 Balance de masa en el tanque nº 2 Si los flujos de salida son lineales: Con variables desviación y la transformada de Laplace: De igual manera: Multiplicando: Respuesta escalón: 46 Control automático de procesos PRQ - 220 Con la transformada inversa de Laplace: M 1 tanque 2 tanques Sistema interactuante.- Con respuesta lineal: Se demuestra: Modelos mediante diagrama de bloques Un sistema global de lazo cerrado y lazo abierto, está formado por varios elementos y subsistemas, cada uno de ellos con su función transferencia individual. Para obtener la respuesta global se puede representar estos subsistemas por bloques enlazados (diagrama de bloques). Estos diagramas tienen los siguientes elementos: 47 Control automático de procesos PRQ - 220 Punto de suma + Punto de separación Bloque - Flechas Flechas: Representan las direcciones de flujo de una señal. Punto suma: + Suma algebraica de señales. Cuando se usa para comparar señales se denomina “comparador”. - Punto de separación: Representa el desdoblamiento de una señal. Bloque: Representa el modelo matemático o función transferencia. Las trayectorias en lazo cerrado: Trayectoria directa + Trayectoria de realimentación Trayectoria directa + + Trayectoria de prealimentación Algebra de bloques 48 Control automático de procesos PRQ - 220 Bloques en paralelo + + = Bloques en serie = Bloques con realimentación + - = Bloques con prealimentación + + Reordenamiento de bloques (s) 49 Control automático de procesos PRQ - 220 Determinación de las funciones transferencia de sistemas de lazo cerrado.Regla de Mason.- + + - + Donde: Número de trayectorias directas. Ganancia del i-ésimo trayecto directo desde F hasta Y. Determinante del diagrama de flujo del sistema. Lazos remanentes (cofactor). Lazo trayecto unidireccional que se origina y termina en el mismo nodo. Cofactor trayecto. lazos remanentes, sin considerar los lazos que tocan al i-ésimo 50 Control automático de procesos PRQ - 220 Ganancia de lazo producto de todas las funciones transferencia a lo largo de un lazo (incluyendo signos). Ganancia de trayectoria producto de todas las funciones transferencia a lo largo del trayecto directo (incluyendo signos). Ejemplo: El cofactor es 1 porque no hay lazos remanentes; eliminamos el lazo que toca el trayecto directo. Reemplazando: Ejemplo: 51 Control automático de procesos PRQ - 220 (No hay lazos remanentes) Ahora: Ejemplo: (no hay lazos remanentes) Los lazos: 52 Control automático de procesos PRQ - 220 El determinante: Ahora: Aplicación de Masón.Sea el siguiente sistema: Luego si es lineal: Combinando: 53 Control automático de procesos PRQ - 220 Por Masón: (sin remanentes) En Masón: Ejemplo: tanques en cascada: Representando en bloques: 54 Control automático de procesos PRQ - 220 Por Masón: (Eliminando los lazos que tocan el trayecto, no hay lazos sobrantes) Manteniendo signos: Reemplazando: Con: 55 Control automático de procesos PRQ - 220 Tecnología de controladores: Sea el siguiente sistema: En estado estacionario: Si se produce una perturbación en , ocasionará uno de los siguientes casos: El tanque rebalsa El tanque se vacía Siendo imposible un nuevo nivel de estado estacionario. Entonces para mantener constante el nivel, a pesar de los posibles cambios en ( ), se debe instalar un “controlador de nivel”. V.C. V.m. 56 Control automático de procesos PRQ - 220 Ahora si el nivel tiende a disminuir, el controlador generará una señal de comando que haga que la válvula se cierre para disminuir y viceversa. Un controlador tiene como señal entrada, la diferencia de valores entre la señal de realimentación y la señal del “set point” y la señal de salida o de comando que acciona el elemento final de control, para corregir la diferencia de las señales entrada. Tipos de controladores.Control on-off Es el controlador más sencillo, donde el proceso se controla mediante un “conmutador de 2 posiciones”. Comúnmente se la usa como: Termostatos Presostatos en sistemas de calentamiento; en sistemas de refrigeración. control de presión La señal salida de estos controladores tiene dos posibles valores: Así en sistemas de calefacción: Puntos de conmutación Banda muerta On Off La desventaja de este controlador es que causa respuestas cíclicas, lo que produce un gran desgaste en el elemento final de control. Estos controladores pueden considerarse como un caso especial de un controlador proporcional con una ganancia muy grande. En los últimos tiempos se cuenta con sistemas on-off con ajuste de banda muerta: Ejemplo: termostato bimetálico 57 Control automático de procesos PRQ - 220 Tornillo regulador Controlador proporcional La señal de comando es proporcional al error: Ganancia del controlador Valor base (bias) : Puede ajustarse para que la salida del controlador (C) aumente ó disminuya cuando crece el error. : Es la salida del controlador (modo manual) que hace que la variable medida, se mantenga en un estado estacionario (En =0) En el estado estacionario Sensibilidad en los cambios de variable manipulable. La función transferencia: Con variables desviación y transformada de Laplace: El signo se elige para hacer que la señal del controlador (c) aumente o disminuye, cuando se incremente el error: C C 58 Control automático de procesos PRQ - 220 Acción directa Es decir: Acción inversa > <C > >C Acción inversa Acción directa El signo correcto de depende de: 1º) acción del transmisor: generalmente es de acción directa: > > s.s. 2º) acción de la válvula: dos acciones: Acción aire abre ( ) Acción aire cierra ( ) 3º) efecto sobre el proceso: el efecto de la variable manipulable, sujeto de análisis: Ejemplo: en sistemas de calefacción: Acción directa: Acción inversa: Ejemplo: AA VAPOR Si Entonces se debe disminuir el caudal de vapor: Acción inversa La señal disminuye Como la válvula es a<C : < caudal de vapor 59 Control automático de procesos PRQ - 220 a > C > caudal de vapor Generalmente en Control Automático Pero en Control Automático de Procesos El ajuste de sin dimensiones con unidades mediante la “Banda Proporcional” Porcentaje de error, que causa la “carrera de toda la válvula”. VC (%) 25% BP = 10% BP = 50% 25% BP (%) La válvula responde hasta A Sin embargo: el % de Apertura de la válvula disminuye. En Control Automático de procesos: Tiene unidades Por definición: A = amplitud de escala Como: Reemplazando (2) en (1): Comportamiento de un controlador proporcional.La respuesta ante una perturbación tipo “escalón”: Sin control ) 60 Control automático de procesos PRQ - 220 VC Offset Set point t Luego: Sin embargo este tipo de control no puede eliminar el error (offset). Ya que si muy grande: La respuesta del sistema empieza a oscilar, tendiendo a la “Inestabilidad”. Ventajas: Controlador simple, un solo parámetro El valor base (biass) se determina de la información de estado estacionario. Desventajas: No puede eliminar el offset. No consigue un control satisfactorio. Control Feedback (Retroalimentación).Es el sistema de control de “lazo cerrado” más importante y la más usada: Realimentación negativa Realimentación positiva El modo de realimentación depende de la ganancia del proceso: + - 61 Control automático de procesos PRQ - 220 Ejemplo: Entonces: Con retroalimentación (-) retroalimentación (+) Esta dificultad se supera con la acción de la válvula: Entonces se puede utilizar “Retroalimentación (-)” ó Perturbación V.C. Controlador PI El propósito de éste controlador es la eliminación del offset: La señal comando: Donde: 62 Control automático de procesos PRQ - 220 Mientras exista “error” (offset), seguirá variando la variable manipulable a causa del “aporte integral”. En la industria: La función transferencia: Ante una variación tipo escalón: La señal del controlador: 0,5 Donde: en 1 se repite la acción proporcional. El comportamiento de la variable controlada ante una perturbación tipo escalón: El valor final de la (V.C.), coincide con el valor (S.P.) Luego: Ventajas: Se elimina el offset. Respuesta lenta. Desventajas: Ajuste de los parámetros del control “laborioso”. Respuesta oscilatoria. La acción integral puede “saturarse”. Controlador PID 63 Control automático de procesos PRQ - 220 Tiene el propósito de aumentar la velocidad de acción del controlador. La señal: Donde: tiempo derivativo La acción derivativa tiene carácter “anticipatorio”, ante “tendencias” de error, produce grandes respuestas, por ello es útil cuando el error crece muy rápidamente. La función transferencia: Cuando: Se anula la acción derivativa Por ello, la acción derivativa tiene una acción estabilizadora, neutralizando la acción desestabilizadora de la acción integral (oscilaciones). La desventaja: Si existe ruido: Control de nivel Control de caudal La función transferencia ideal: 64 Control automático de procesos PRQ - 220 Ventajas: Amortiguan las oscilaciones del controlador PI Desventajas: Ajuste complicado ( , , ). Amplifica ruidos, respuesta oscilatoria desgaste de EFC. La función transferencia real: Donde: Debido a que no puede representarse físicamente una derivada. Notas: Si: Si la temperatura de un reactor aumenta 10 °C en 3 min (poco tiempo). P reacciona ante la desviación sin interesar el tiempo. I aumenta la acción proporcional ante la persistencia (grandes oscilaciones) del error. D actúa de inmediato Entonces el controlador adecuado: PID. Recomendaciones: Si se tolera el offset Si no se tolera el offset usar P. usar PI. Si además se requiere rapidez usar PID. Control en cascada.Consta de 2 controladores Feedback donde la señal del controlador primario (master) se convierte en el set point del controlador secundario (slave) y éste acciona el EFC. Convencional: 65 Control automático de procesos PRQ - 220 Si aumentamos sobrecalentamiento!!! Hasta llegar al plato (7) graves efectos! (gran tiempo muerto) En cascada: El control de caudal, capta inmediatamente la variación de y corrige! Sin efectos!!! El control en cascada: Elimina los efectos de algunas perturbaciones. Mejora el comportamiento dinámico del lazo. Representación de los procesos controlados.Los lazos de control se representan mediante “diagrama de bloques”. Ejemplo: Sistema de control de temperatura en un intercambiador de calor: ⁰C La calefacción se realiza con vapor regulando la (T2°) mediante su presión de vapor (Ps) (variable manipulable). 66 Control automático de procesos PRQ - 220 La variable “carga” primaria es T1. La señal de medición de la temperatura es acondicionada por un transmisor, la señal del controlador electrónico de (4 20mA) se convierte en una señal de presión (3 15 Psi) mediante un transductor (I/P). Los elementos constituyentes del sistema de control: Proceso: (intercambiador) Del balance energético: El diagrama: ⁰C Psi ⁰C ⁰C ⁰C Termocupla y transmisor.Asumiendo que el comportamiento de este sistema es de 1º orden: En el diagrama: Controlador.Para un controlador proporcional: Donde: La representación: 67 Control automático de procesos PRQ - 220 Transductor.Si asumimos que la respuesta de un transductor es instantánea: La representación: Válvula de control.Si fuera de 1º orden: Su diagrama: El diagrama completo: Entonces para un sistema Feedback, el diagrama estándar: + - + + 68 Control automático de procesos PRQ - 220 La forma alternativa: + + - + Donde: Cuando y son de misma naturaleza: Ejemplo: ++ Exámenes: 1. Sea el siguiente sistema de control de temperatura de un tanque agitado: 69 Control automático de procesos PRQ - 220 Si las condiciones nominales de diseño son: Transmisor: Amplitud: Cero de escala: Controlador: Proporcional Válvula: Lineal: Transductor: Proceso: Si se produce un cambio escalón en el set point de: a. ¿Cuál es la nueva temperatura de estado estacionario del tanque? b. ¿Cuál es el offset para: c. ¿Cuál es la señal del controlador para el estado estacionario final? Solución: El diagrama de bloques del proceso: + Si - + + : Problema “servo”: Luego: 70 Control automático de procesos PRQ - 220 Reemplazando: Donde: Luego: El cambio escalón: 85 80 71 Control automático de procesos PRQ - 220 Con la transformada inversa de Laplace: Para: Si : Si : Para el offset: 3 5 85-83,965=1,035 ⁰F 85-84,325=0,675 ⁰F 72 Control automático de procesos PRQ - 220 La señal del controlador: Luego: Para : Para : Las señales: 3 5 9,74 9,81 2. Sea el siguiente sistema de control de temperatura: Datos: Transmisor: Amplitud: Cero de escala: Transductor: 73 Control automático de procesos PRQ - 220 Válvula: Controlador: Lineal: Proporcional: Tanque: El sistema inicialmente se mantiene en estado estacionario: De pronto se cambia el valor del set point de: a. ¿Cuál es el valor de la ganancia del proceso? b. ¿Cuál es el offset? c. ¿Cuál es la señal final del transductor? Solución: El diagrama de bloques del proceso: + - + + Como se trata de un problema “servo”: Donde: 74 Control automático de procesos PRQ - 220 Reemplazando: Donde: Luego: El cambio escalón: 85 75 Control automático de procesos PRQ - 220 80 Con la transformada inversa de Laplace: a. La ganancia del proceso ( En ): : Pero: b. El offset: 76 Control automático de procesos PRQ - 220 c. La señal del transductor: Entonces el error: Ahora la señal del transductor: 3. Sea el siguiente sistema de control de presión en un tanque de acumulación de gas: El transmisor: Rango: Controlador: Proporcional (neumático) 77 Control automático de procesos PRQ - 220 Valor base (mitad de la escala) Punto de control (20 psig) Si se requiere que cuando la presión en el tanque sea de 40 psig, la válvula esté totalmente abierta. a. ¿Cuál es la señal del comando del controlador? b. ¿Cuál es la banda proporcional? c. ¿Cuál será el porcentaje de apertura de la válvula, cuando la presión en el tanque sea: 30,20,10 y 0 psig. Y cuáles las señales del controlador en cada caso? d. ¿Qué tipo de válvula se necesita? e. ¿Cuál es la señal del controlador? SOLUCION: La señal del controlador: Eligimos la válvula: En emergencia con La acción del controlador: Acción inversa Hallamos : Como la válvula es de acción AC: 78 Control automático de procesos PRQ - 220 Hallamos el valor de la banda proporcional: 20 BP = 40% 20 Comprobando por definición: Porcentajes de apertura: Ahora: 40 3 100 30 6 75 20 9 50 10 12 25 0 15 0 4. Se tiene un sistema de control de temperatura (neumático) en un reactor. Este sistema está compuesto por: Transmisor de temperatura: 100 200 ⁰F Controlador: PI TI = 3 min BP = 25% Vlávula: ; ; Fluído: agua (enfriamiento) 79 Control automático de procesos PRQ - 220 Calcular: a. El caudal del agua, cuando la salida del controlador es de 9 psi. b. Si se produce una perturbación de 5 ⁰F en el reactor: ¿Cuál será la señal del controlador? ¿Cuál será el caudal del agua? Considere el control a la mitad de la escala, la válvula es lineal. Solución: El controlador: La ganancia: El error: La válvula: lineal: 80 Control automático de procesos PRQ - 220 a) Si la salida: Luego: El caudal de agua: b) Si t =1 min Mayor error Mayor salida Acción directa: Para que la salida sea mayor: Ahora : aaaaaa El caudal: 81 Control automático de procesos PRQ - 220 NOTA.La señal salida del controlador es función del tiempo: Si para : Para : Para : Para : Banda proporcional: El rango de control: Gráficamente: 12,5 12,5 La respuesta transitoria: 82 Control automático de procesos PRQ - 220 La ganancia adimensional: Análisis de sistemas de control: Sea un sistema de control feedback: + - + + La señal salida: Si : Si Efecto de un controlador P. Si: 83 Control automático de procesos PRQ - 220 Problema Servo: Reemplazando valores: Donde: Anti transformando: Gráficamente: 84 Control automático de procesos PRQ - 220 Como: Entonces: Luego: Problema carga: Donde: 85 Control automático de procesos PRQ - 220 Reemplazando: Donde: La respuesta: Gráficamente: Como: Entonces: Luego: 86 Control automático de procesos PRQ - 220 Ejemplo: intercambiador de calor: Comportamiento de las variables Control proporcional Efecto de un controlador PI Con: Problema carga (escalón) Reemplazando: 87 Control automático de procesos PRQ - 220 Donde: Si: Con la transformada inversa: Luego el valor final: Las respuestas: Con =cte.: Con =cte.: 88 Control automático de procesos PRQ - 220 Control proporcional integral Efecto del control PID Con PI: Entonces: 89 Control automático de procesos PRQ - 220 ¡Luego la acción derivativa, tiene efectos estabilizantes! Controlador PID.- Más rápido que el controlador PI. Respuesta de frecuencia Consiste en el comportamiento de estado estacionario, de un sistema controlado ante señales de entrada tipo sinusoidal. Para ello se instala un generador de frecuencia variable y un registrador. 90 Control automático de procesos PRQ - 220 La respuesta del sistema a la entrada sinusoidal, es también sinusoidal de la misma frecuencia, pero desplazada en el tiempo y en su amplitud. La metodología consiste en: Se arregla: 91 Control automático de procesos PRQ - 220 RA ϕ Luego se calcula la RA y el desfase ϕ. Con estos valores, se puede determinar el comportamiento de los sistemas de control en el dominio de la frecuencia, mediante: Nyquist Bode Gráficas de Nyquist.- Sucesión de puntos “Curva de Nyquist” Entonces: Dado: 92 Control automático de procesos 0 0,001 0,01 1 10 PRQ - 220 Ejemplo: Sistema de primer orden Separando: La relación de amplitudes: (módulo) El desfase: Damos valores a 93 Control automático de procesos PRQ - 220 : : : En resumen: La gráfica: 94 Control automático de procesos PRQ - 220 Si se cambia el valor de K: Ejemplo: Sistema de segundo orden La relación de amplitudes: (módulo) El desfase: 95 Control automático de procesos PRQ - 220 Damos valores a : : : En resumen: La gráfica: 96 Control automático de procesos PRQ - 220 Luego: Para tercer orden: Para cuarto orden: Ejemplo: Sistema de segundo orden (Subamortiguado) 97 Control automático de procesos PRQ - 220 La relación de amplitudes: (módulo) El desfase: Los valores: La gráfica: Ejemplo: Sistema de función de adelanto 98 Control automático de procesos PRQ - 220 La relación de amplitudes: (módulo) El desfase: En resumen: La gráfica: Debido a que la función solo crece en la parte “imaginaria”. Diagramas de Bode Cubre un amplio rango de frecuencias Aproximaciones asintóticas: Ejemplo: sistemas de primer orden 99 Control automático de procesos Si PRQ - 220 : Las asíntotas: : : La gráfica: 100 Control automático de procesos PRQ - 220 En la intersección de las asíntotas: Entonces: El módulo: El desfase: 101 Control automático de procesos El valor de PRQ - 220 (módulo), hace aumente o disminuya , pero no afecta al desfase . Ejemplo: Sistema de segundo orden El módulo: El desfase: Φ 0 ∞ K 0 0 0° -180 ° 102 Control automático de procesos PRQ - 220 Ganancia pura: Solo tiene parte real: Primer orden de adelanto.- La relación de amplitudes: El desfase: 103 Control automático de procesos 0 ∞ PRQ - 220 0 1 ∞ Φ 0° 90 ° Para Si Si : : 104 Control automático de procesos PRQ - 220 Tiempo muerto y primer orden de atraso.- La relación de amplitudes: El desfase: Sistemas en serie Ejemplo: 105 Control automático de procesos PRQ - 220 Entonces: Ejemplo: Entonces: 106 Control automático de procesos PRQ - 220 Examen (BODE-NYQUIST) Sea la función de transferencia de lazo abierto: a) Hallar los puntos de corte en el eje real, del diagrama de Nyquist. b) Hallar las ganancias del sistema de lazo cerrado, mediante Routh (para un sistema estable). Solución.a) Expresado en factores: 107 Control automático de procesos PRQ - 220 Luego: La RA total: El desfase: Hallamos los valores: 0,01 0,1 1 10 100 1,998 1,869 0,2 0,00033 0,00000033 -3,437 -33,719 -180 -259,52 -268,95 El diagrama: 108 Control automático de procesos PRQ - 220 Gráficamente los puntos de corte: y Analíticamente: En el eje real: Ahora hallamos los valores de corte en el eje real: Con: 109 Control automático de procesos PRQ - 220 Los puntos de corte: y a) Las ganancias: La ecuación característica en lazo cerrado: Donde: Aplicando Routh: Para que el sistema sea estable: Y: 110 Control automático de procesos PRQ - 220 Polos, ceros y estabilidad Para que un sistema de control sea efectivo, debe ser estable. Entonces luego de una perturbación, se regresará a un valor deseado o set point. Para sistemas lineales: La estabilidad se puede definir en términos de los “polos y ceros” de una función transferencia: Donde: Ceros Polos Los “ceros”, son los valores de (s) para los cuales: Los “polos”, son valores de (s) que hacen que: Ejemplo: Los ceros: 111 Control automático de procesos PRQ - 220 Los polos: Ambos son reales. Los “ceros y Polos” pueden ser cantidades “Reales o complejas”. Así: Los polos Reales Si: Los polos Complejos conjugados En general los polos y los ceros se pueden expresar: En forma gráfica: originan planos: 112 Control automático de procesos PRQ - 220 Luego de acuerdo a la posición de los polos se deduce la estabilidad: 113 Control automático de procesos PRQ - 220 Estabilidad de sistemas controlados.El control Feedback, luego de una perturbación: puede causar “respuestas oscilatorias”: Si se amortiguan Estable Si la amplitud crece Inestable Ecuación característica.- La señal salida: Ecuación característica Si : Si relación polinomial: Si los polos se ubican en el semiplano derecho (SPD) Inestable Si los polos se ubican en el semiplano izquierdo (SPI) Estable Sin embargo: Algunos sistemas de Lazo Abierto inestables, pueden convertirse en Estables en Lazo Cerrado. Ejemplo: Sistema en Lazo Abierto (LA): 114 Control automático de procesos PRQ - 220 Luego: La ecuación característica: Si agregamos un controlador: Si ; ; Reemplazando: 115 Control automático de procesos PRQ - 220 La ecuación característica: Para que sea estable: polo negativo: Entonces: Por lo tanto: “Un lazo de control retroalimentado es Estable, Cuando las raíces de la ecuación característica, tienen parte real negativa” Cuando la complejidad del sistema es mayor, existen otros criterios de estabilidad, tal como: Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz.Se aplica a sistemas de “lazo abierto (LA) o lazo cerrado (LC)” que no presenten “tiempo muerto”, de modo que la ecuación característica sea del tipo polinomial. Así: El arreglo matricial: Donde: 116 Control automático de procesos PRQ - 220 Etc. Si los elementos de la primera columna “son positivos” en el SPI las raíces o polos, están Estable: “Hay tantas raíces del polinomio en el SPI, como cambios de signo haya” Si algún coeficiente de la columna es cero ó negativo, existen raíces en el SPD. Ejemplo: Falta el término , significa que existe un cero Inestable. Ejemplo: Si se produce un problema servo: La ecuación característica: Reemplazando: 117 Control automático de procesos PRQ - 220 Ahora Ruth: Ahora: Para que el sistema sea estable: >-1 Luego: Estabilidad de Nyquist.Establece la “estabilidad” de sistemas de lazo cerrado, a partir de la respuesta de frecuencia de lazo abierto (LA). Donde: 118 Control automático de procesos PRQ - 220 Número de rodeos al punto (-1,0) en el plano complejo en la dirección de las agujas del reloj. Número de polos de (LA) que se encuentra en el SPD. Entonces: El número de raíces inestables d la ecuación característica de (LC) que se encuentran en el SPD. Notas: si estable! a) El porque se pone de referencia al punto (-1,0): Como la ecuación característica: Entonces: Esta condición corresponde a una función transferencia con: b) Si El sistema será inestable si rodea al punto (-1,0) c) Si negativo: Entonces los rodeos al punto (-1,0) ocurren en dirección contraria al reloj. d) La gráfica la estabilidad de Nyquist sirven para determinar si un sistema de (LA) es inestable para estabilizarlo con un sistema de control de retroalimentación. Para una raíz “Z”: 119 Control automático de procesos PRQ - 220 Para los ceros 1giro rad Para los polos 1giro rad Para buscar la ubicación de polos en el SPD: 120 Control automático de procesos PRQ - 220 Entonces para una función de 3º orden de atraso: 121 Control automático de procesos PRQ - 220 Luego: Por cada en el SPD (rad) Por cada en el SPD (rad) Las posibles respuestas: 122 Control automático de procesos PRQ - 220 Criterio de estabilidad de Bode.Un sistema de (LC) es estable si la respuesta de frecuencia de la función de (LA) muestra: En: Con: c) Bode La función LA: 123 Control automático de procesos PRQ - 220 La 0 0,1 1 10 100 1 0,214 0,001 0 0 0° -133,26° -243,94° -267,42° -270° 124 Control automático de procesos PRQ - 220 Luego en La ganancia para : Luego el sistema será estable cuando . Comparando: Con 125 Control automático de procesos Ejemplo: Determinar los valores de PRQ - 220 , que hagan al sistema estable: Solución: Ahora: Ahora: Con : 126 Control automático de procesos Con PRQ - 220 : Reemplazamos en: El sistema es estable cuando . Tarea: Sea: Datos: 127 Control automático de procesos PRQ - 220 Válvula: Intercambiador: Transmisor: Si se emplea un controlador proporcional con ¿Es estable el sistema? Mediante: a) Routh b) Nyquist c) Bode Estabilidad relativa.Diagramas de Bode.a) Margen de fase.Donde: Desfase para 128 Control automático de procesos PRQ - 220 Estabilidad Recomendación: b) Margen de ganancia.- Donde: con Estabilidad Recomendación: Los diagramas polares.- 129 Control automático de procesos PRQ - 220 a) Margen de fase b) Margen de ganancia El cruce > estabilidad. a) Si el Nyquist no cruza el eje Re (-) b) Si el Nyquist cruza en un valor >-1 130 Control automático de procesos PRQ - 220 c) Si el Nyquist cruza por -1 d) Si el Nyquist cruza en un valor <-1 Ejemplo: sea Mediante MF y MG, hallar para que el sistema sea estable. Solución: 131 Control automático de procesos PRQ - 220 El desfase: (considera el tiempo muerto) Hallamos la frecuencia crítica: Reemplazando en el módulo: Ahora mediante MG: Para que sea estable: Mediante MF: El desfase: 132 Control automático de procesos PRQ - 220 Para que sea estable: Reemplazando en el módulo: Si entonces: La aplicación: Si la “ganancia” tiene mayores cambios: Si la “dinámica” tiene mayores cambios: Ajuste de controladores Técnica de ¼ de decaimiento en LC. (Ziegler Nichols) Reglas: 1. 2. 3. 4. On Anular la acción I y D (solo P) Cambio “servo”. Variar hasta que la oscilación sea continua en la respuesta. 5. Determinar 6. Calcular (del ( en ) ) 7. Calcular 133 Control automático de procesos PRQ - 220 8. Calcular 9. Aplicar valores de tabla: Control P - PI - PID Ejemplo: ajustar y calcular los parámetros de un controlador PID, mediante Z-N. Para el siguiente sistema: Solución: El módulo: El desfase: Calculamos la El módulo : El periodo último: Tomando los valores de Z-N: 134 Control automático de procesos PRQ - 220 Ajuste basado en la integral del error.Para sistemas en (LC): Se trata de minimizar los índices de error: Integral del cuadrado del error.- Integral del valor absoluto del error.- Integral del valor absoluto del error por el tiempo.- La minimización de los índices es proporcional a minimizar los errores: PROBLEMA CARGA: La regla: Donde: 135 Control automático de procesos PRQ - 220 Tiempo muerto Cte. de tiempo Constantes PROBLEMA SERVO: Las relaciones basadas en ITAE: PROBLEMA CONTROLADOR Carga PI Carga PID Servo PI Servo PID MODO P I P I D P I P I D A 0,859 0,674 1,357 0,842 0,381 0,586 1,030 0,965 0,796 0,308 B -0,977 -0,680 -0,947 -0,738 +0,995 -0,916 -0,165 -0,850 -0,1465 +0,929 Los cálculos: Ajuste por prueba y error: Ejemplo: sea un proceso cuya función transferencia: 136 Control automático de procesos PRQ - 220 Para problema “carga”; mediante ITAE, obtener los valores de los parámetros para un controlador PI: Solución: La regla: Los valores: Reemplazando: Los valores: 137 Control automático de procesos PRQ - 220 Reemplazando: Ajuste por prueba y error 1. 2. Poner el sistema en Acción Manual. Eliminar las acciones “I” y “D”: 3. 4. 5. Fijar en un valor bajo; ejemplo: 0,2 Poner el sistema en Automático Se introducen pequeñas variaciones en: Servo Carga Se aumenta gradualmente , hasta obtener la señal salida con oscilaciones 6. sostenidas: 7. Ajustar: 8. Disminuir gradualmente 9. Ajustar: hasta: 138 Control automático de procesos PRQ - 220 10. Aumentar gradualmente 11. Ajustar: hasta: Para cada paso, se introducen lasa “señales perturbación”. Recomendaciones Control de nivel Normalmente Proporcional Si las variaciones Control de flujo Control de presión Debido a que la dinámica de sistemas gaseosos Se necesita señales de control fuertes, entonces rápida. . Control de temperatura 139