Función Cúbica

INTRODUCCIÓN
El presente trabajo denominado función cúbica tiene por objetivo el mostrar
que las funciones tienen mucha ingerencia en la vida cotidiana por lo general
este tipo de funciones se encuentran dentro del tipo de funciones polinómicas
motivo por el cual no es un tema
muy tradicional como las funciones
cuadráticas o las lineales o trigonométricas.
En una primera parte trataremos de definir de donde el origen de las funciones
y de mostrar una pequeña clasificación que nos permitirá a nosotros saber en
que parte nos ubicamos después veremos nuestro tema en si que es la función
al cubo lo cual detallaremos con ejemplos ilustrativos que nos permitirá
comprender mejor nuestro tema
asi como también el hecho de conocer
algunos casos aplicativos.
Cabe destacar que las funciones son modelos matemáticos con lo cual Un
fabricante desea conocer la relación o correspondencia entre las ganancias de
su compañía y su nivel de producción, un biólogo se interesa en el cambio de
tamaño de cierto cultivo de bacterias con el paso del tiempo, un psicólogo
quisiera conocer la relación o correspondencia entre el tiempo de aprendizaje
de un individuo y la longitud de una lista de palabras, un químico le interesa la
relación o correspondencia entre la velocidad inicial de una reacción química y
la
cantidad
de
sustrato
utilizado,
a
un
comerciante
la
relación
o
correspondencia entre cada artículo de un estante con su precio, etc. En cada
caso la pregunta es la misma:¿cómo depende una cantidad de otra?. Esta
dependencia entre dos cantidades es la correspondencia entre diversos tipos
de fenómenos y se describe convenientemente en matemáticas mediante una
función.
I.
FUNCIONES
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o
correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por
primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar
una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried
Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva,
como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el
definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (18051859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número
dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal
forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o
correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es
una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente
valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos
valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores
permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores
que toma Y constituye su recorrido".
1.-
FUNCIONES
Piéncese en una función como una pistola toma sus municiones de un conjunto
llamado dominio y dispara sobre un conjunto como blanco. Cada bala le pega a
un único blanco puntual, pero puede ocurrir que varias balas le peguen al
mismo punto. Podemos, a la vez, establecer la definición con mayor finalidad e
introducir alguna notación.
Una función “f” es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto “x”
de una conjunto llamado “dominio” una valor único f(x) de un segundo conjunto.
El conjunto de valores así obtenidos se llama “rango” de la función.1
1PURCELL,
Edwin. Cálculo con Geometría Analítica. 4º Edición. 1954. Prentice Hall
Hispanoamericana, S.A.
f
N o ta : L a d e fin ic ió n n o im p o n e restric c ió n
a lo s c o n u n to s d o m in io y ra n g o
x
f(x )
D o m in io
R an g o
El dominio puede consistir en el conjunto de personas de su clase de Cálculo y
el rango en el conjunto de calificaciones A, B, C, D, F, que se dan, y la regla de
correspondencia, el procedimiento que el maestro usa para asignar las
calificaciones.
De mayor importancia en Cálculo serán aquellos ejemplos, en los que tanto el
dominio como el rango consistía en un conjunto de números reales. La función
“A”, podría tomar un número real “x” y elevarlo al cuadrado para producir el
número real x2. En este caso, tenemos una fórmula que da la regla de
correspondencia, en concreto:
A (x)= x ²
4
2
1
1
0
0
-1
-2
x
D o m in io
2.-
f
R an g o
NOTACIÓN FUNCIONAL.
Se usa una sola letra como F(ó g ó f ) para determinar una función ,entonces
F(x), que se lee “F de x” o “ F en x”, designa el valor que “F” asigna a X . Por lo
tanto si
f x  x  4 .
3
f 2  2  4  4
3
f 1    1  4   5
3
f a   a  4  5
3
f  a  h    a  h   4  a  3a h  3ah  h  4
3
3
2
2
3
Ejemplo: Para f  x   x 2  2 x , encuentre y simplifique:
a) f  4  ,
b) f  4  h  ,
c) f  4  h   f  4  ,
d)
 f  4  h   f  4 
h
Solución:
a) f  4   4 2  2  4  8
b) f  4  h    4  h   2  4  h   16  8 h  h 2  8  2 h  8  6 h  h 2
2
c) f  4  h   f  4   8  6 h  h 2  8  6 h  h 2
d)
f 4  h  f 4

h
3.-
6h  h
h
2

h6  h 
 6h
h
CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES2
La noción moderna de función es fruto de los esfuerzos de muchos
matemáticos de los siglos XVII y XVIII. Mención especial merece Leonhard
Euler, a quien debemos la notación y = f (x). Hacia el final del siglo XVIII, los
matemáticos y científicos habían llegado a la conclusión de que un gran
número de fenomenos de la vida real podrían representarse emdiante modelos
matemáticos consturidos a partir de una colección de funciones denominadas
funciones elementales.
Las funciones elementales se distribuyen de la
siguiente manera:
F. POLINOMICAS
F. ALGEBRAICAS
Aquéllas funciones que
pueden expresarse mediante
un número finito de
+, - , x ,  y ¯
conteniendo potencias Xn
2
F. RADICALES
F. RACIONALES
CALCULO. Larson, Hostetler y Edwards. Ed. Mc Graw Hill. México. 1999.
FUNCIONES
ELEMENTALES
F. TRIGONOMETRICAS
F. NO ALGEBRAICAS
O TRASCENDENTES
F. EXPONENCIAL
F. LOGARITMICA
4.-
FUNCIONES ALGEBRAICAS
Lo que sigue, como lo anterior, referente a la representación gráfica de
funciones sólo es una introducción al tema. La gráfica de algunas funciones
presentan caracteristicas especiales que para su estudio se requiere del
Cálculo. Tales características son, por ejemplo, las asíntotas horizontales y
verticales (se deducen a partir de límites); determinar los intervalos donde la
gráfica de la función es decreciente y dónde es creciente (cálculo diferencial);
precisar en qué intervalos la gráfica es cóncava hacia arriba y dónde lo es
hacia abajo, hallar los puntos de inflexión (puntos donde ocurre el cambio de
concavidad) (cálculo diferencial); máximos y mínimos; etc. El estudio de estos
temas seran estudiados seguramente mas adelante en nuestro curso, o tal vez
sean muy no tengan mucha inferencia con nuestra carrera.
Funciones algebraicas:
Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un número finito
de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación
y radicación) aplicadas a la función identidad, f (x)= x, y a la función constante,
f (x) = k.
En general, las funciones algebraicas abarcan a las funciones polinomiales,
racionales y las llamadas algebraicas explícitas.
5.-
FUNCIÓN POLINOMIAL:
El dominio de la función polinomial es el conjunto de los números reales.
Ejemplos particulares de la función polinomial son, la función lineal (función
polinomial de grado uno), la función cuadrática (función polinomial de segundo
grado), función cúbica (función polinomial de tercer grado).Es la más común de
las funciones algebráicas. Es de la forma:
Grado cero: f(x)=a
función constante
Grado uno: f(x)=ax+b
función lineal
Grado dos: f(x)=ax2+bx+c
función cuadrática
Grado tres: f(x)=ax3+bx2+cx+d función cúbica
EJEMPLOS:
 f(x) = -5
 g(x) = 8x – ½
 v(t) = 2t2 + 13t - 7
 h(x) = x3 - 4x2 + 3
6.-
FUNCIÓN
NATURAL.
POTENCIA DE
BASE
REAL
Y
EXPONENTE
Definición.- Dado n
IN se define la potencia n-ésima de un número
real x como el producto de n factores iguales a x:
xn=x.x. ... n).x
Definición.- Dado n
función
real
de
N se define la función potencia n-ésima como la
variable
real
que
a
cada
x
le
asigna
xn.
El cálculo con potencias tiene las siguientes propiedades:
1 (xy)n =xn yncualesquiera que sean x,y
IR.
2
xn xm =xn+m y si n>m entonces x n/xm=xn-mcon x
3
(xn) m =xn m con x
IR.
IR.
4 Si 0<x<y entonces 0< xn <yn. La función potencia n-ésima
es por
tanto
intervalo
una
función
estrictamente
creciente
en
el
y por lo tanto es inyectiva de IR+ en IR+ . Como
consecuencia de esta propiedad se tiene
5 La función potencia n-ésima no está acotada
superiormente, es decir dado cualquier número real
M siempre existe x tal que xn>M, más concretamente
6
La función potencia n-ésima es una función continua
en IR
.
6 La
función
potencia
n-ésima
tiene
derivadas
continuas
de cualquier orden:
La siguiente figura muestra la gráfica de varias funciones
potenciales de exponente natural
Las funciones polinómicas son continuas e indefinidamente
derivables en todo IR.
II.
FUNCIÓN CÚBICA
Esta funcion es GENERALMENTE utilizada para relacionar VOLÚMENES
en determinados espacio o tiempo. Asimismo podemos decir que algunos
ejemplos practicos serian por ejemplo el relacionar el crecimiento de un feto
en gestación con el hecho de relacionar su distancia de los pies a la cabeza
se puede determinar la semanas de gestación del feto.
Otro ejemplo característico podriamos decir que seria el hecho de relacionar
los vientos o la energia eolica con respecto a la intensidad de estos y su
tiempo de duración. Esta funcion cubica se utiliza mas en el campo de la
economia como de la física.
LA FUNCIÓN CÚBICA:
2.1
Esta funcion es mas conocida como la :
FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 3
Se denomina función cúbica a toda función de la forma:
y=a*x3+b*x2+c*x+d
donde a (distinto de 0), b, c y d son números reales.
La función definida por: y = f(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3, se llama: función
cúbica. Dentro de estas cúbicas se destaca una por el uso que se hace
de ella en las aplicaciones. Se habla de la función: y = f(x) = x3, llamada:
parábola cúbica y cuya gráfica aparece en la siguiente figura
2.2
PROPIEDADES:

El dominio de la función es la recta real 

El recorrido de la función es. la recta real 

La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x).

La función es continua en todo su dominio.

La función es siempre creciente.

La función no tiene asintotas.

La función tiene un punto de corte con el eje Y.

La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección
con l eje X.
a continuacion mostraremos algunas graficas características de las
funciones cúbicas y
f(x)  x
3
X
-2 -1 0
1
2
Y
-8 -1 0
1
8
Ejemplos:
f(x)  x
9
X
-2
-1
0
1
2
y
-512 -1
0
1
512
F(x) = -x3 +8
Tabla de valores
x
y
-1
0
1
2
9
8
7
0
La gráfica corresponde a la función:
y = x3- 3x2 + 3
X
-2 -1 0
1
2
Y
-
1
1
17
-1 3
Modifica el parámetro d para observar como influye en la gráfica.
Al modificar el valor de d la grafica se modica en funcion de la ubicación del
punto de intersección con el eje Y ya sea si se aumenta este tiende a subir y si
sew disminuye este tiende a bajar
¿Puede una función cúbica no tener ningún punto de corte con el eje OX?
Siempre la funcion cubica va ha tener por lo menos un punto de intersección
con el eje de intersecion cn el eje x todo dependiendo de los valores de c y de
b pues estos son los que determinan las curvas. Ademas que para el eje y solo
va existir un punto de intersección con dicho eje.
Modifican do los parámetros a, b y c podemos observar como influye que cada
uno de ellos influye en la grafica de manera particular pues mientras que el
parámetro a
determina el crecimiento de la grafica
el paremetro b y c
determinan las curvas que esta pueda adoptar encontrando máximos y
minimos en ese espacio determinado de la gráfica:
De las siguientes gráficas que eran de los siguientes tipos:
1
2
3
Tipos de gráficas producidas por los estudiantes
4
5
7
. Tipos de gráficas
En estas gráficas se aprecia una clara tendencia a dibujar las funciones
cúbicas como si estas funciones
tuvieran un dominio restringido, no pudieran cortar el eje Y, cuando se
encuentra suficientemente alejadas de él y a tener un conjunto de asíntotas verticales.
Una de las principales conclusiones que sacamos de estos resultados
es que la percepción que los
estudiantes tienen de la función cúbica es esencialmente gráfica.
Entonces dice que la funcion es evidente que su dominio son los números reales y que no es posible que
tengan asíntotas verticales. Sin
embargo, no encontramos este tipo de argumento en la corrección a la
solución propuesta, ni en los
comentarios a las afirmaciones o en las entrevistas informales que
realizamos.