Instituto Tecnológico de Toluca Tarea No. 1: Los Números Reales Ingeniería en Sistemas Computacionales Anthony Uriostegui Prof. Noé Roberto Vega Mejia NUMEROS REALES 1 Los números reales Definición: En matemáticas, los números reales son aquellos que Representación números reales: de los poseen una expresión decimal e incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales, que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales http://asesoriamatematicaaypg.blogspot.com/201 como: √2, 𝜋. Se define el conjunto de los números reales como a la unión de números racionales e irracionales. Es decir: Clasificación: Maneras de Existen Diversas cómo introducir el sistema de los números reales, pero una de las más aceptadas inicia considerando sistemas numéricos más sencillos. o Conjunto Tomado de: de los números naturales: Se define el conjunto de los números naturales como: = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …} 1/05/adicion-de-numeros-con-signo-14-de.html Propiedades de los números reales: Ley asociativa para la suma (P1)a+(b+c)=(a+b)+c ∀a,b,c∈R Existencia de una identidad para la suma (P2)∃0∈Rtalquea+0=0+a=a ∀a∈R Existencia de inversos para la suma (P3) ∀ a ∈ R ∃ − a ∈ R tal que a + (−a) = (−a) + a = 0 Ley conmutativa para la suma o Conjunto de números enteros: Se (P4)a+b=b+a ∀a,b∈ R define el conjunto de los números enteros como: = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} o Conjunto de números racionales: Se define el conjunto de los números Ley asociativa para la multiplicación NUMEROS REALES 2 (P5)a·(b·c)=(a·b)·c ∀a,b,c∈ R Existencia de una identidad para la Los intervalos finitos pueden ser multiplicación cerrados, abiertos o semiabiertos. (P6)∃1∈Rtalque1̸=0 Sean a y b dos números reales tales y a·1=1·a=a∀a∈R que a < b. Existencia de inversos para la Intervalo cerrado multiplicación Es el conjunto de números reales (P7)∀a∈R−{0}∃a−1 ∈R tal que a·a−1 formado =a−1 ·a=1 comprendidos entre ambos. por a, b y todos los Ley conmutativa para la multiplicación (P8)a·b=b·a ∀a,b∈ R [a, b] = { x / a £ x £ b} Intervalo abierto Ley distributiva (P9)a·(b+c)=a·b+a·c ∀a,b,c∈ R (P10) ∀ a ∈ R se cumple una y sólo Es el conjunto de los números reales comprendidos entre a y b. una de las siguientes proposiciones: (a, b) = {x / a < x < b} Ley de tricotomía (ı)a=0 (ıı)a∈ P (ııı)−a∈ P Intervalo semiabierto a izquierda (o semicerrado a derecha) La suma de positivos es cerrada Es el conjunto de números reales (P11)a,b∈ formado por b y los números P ⇒ a+b∈P comprendidos entre a y b. La multiplicación de positivos es cerrada (a, b] = {x / a < x £ b} (P12)a,b∈ P ⇒ a·b∈P Intervalos: Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos los números reales que están comprendidos entre dos cualesquiera de sus elementos. Geométricamente los intervalos Intervalo semiabierto a derecha (o semicerrado a izquierda) Es el conjunto de números reales formado por a y los NUMEROS números REALES comprendidos entre a y b. 3 Intervalos infinitos Referencia Apa: Larson Hostetler Edwards. (2009). [ a, +¥) = { x / x ³ a} Cálculo Diferencial Matemáticas 1. México: Mc Graw Hill. (a, +¥) = { x / x > a} (-¥ , b] = { x / x £ b} (-¥ , b) = { x / x < b} (-¥ , +¥ ) = R Resolución de Operaciones: o Paréntesis desde dentro hacia fuera y desde izquierda a derecha o Exponentes y raíces cuadradas de izquierda a derecha (tienen la misma prioridad) o Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha (tienen la misma prioridad) o Sumas y restas de izquierda a derecha (tienen la misma prioridad) NUMEROS REALES 4