"Lógica y Estructuras Discretas",
Primera Semana Febr. 2011, modelo A
Instrucciones: Responda al test en la plantilla impresa que se le facilita. Si responde al desarrollo,
hágalo en una hoja aparte (con su nombre escrito). Sólo escanee las respuestas del test y la
hoja de desarrollo, si la entrega, no el enunciado..
Si considera que hay erratas, indíquelas en la hoja para desarrollo (y escanéela).
Datos
X1
X2
X3
X4
:
:
:
:
p → (q → r)
(p ∨ q) → r
(p ∧ q) → r
p → (r ∨ q)
Y1
Y2
Y3
Y4
:
:
:
:
∀x(P x → Qx)
¬∃z(Rz → Qz)
∀x(¬∃ySxy → ¬P x)
∀x∃y((Sxy ∨ Syx) ∧ x 6= y)
Test
1. Sea el conjunto A = {a, b, c}, y P(A) el conjunto potencia de A:
c) antisimétrica ⇐
6. p = 1, q = 0, r = 0 hace verdaderas
a) {a} ∈ A
a) X1 y X2
b) ∅ ∈ A
b) X1 y X3 ⇐
c) {∅, {a, c}} ⊂ P (A) ⇐
c) X3 y X4
2. Complete ∼ (A∪ ∼ B) = ?
7. X3 es equivalente a:
a) ∼ A ∩ B ⇐
a) X1 ⇐
b) ∼ A ∪ B
b) X2
c) A ∩ B
c) X4
8. (X1 6|= X2 ): "de X1 no es consecuencia X2 ",
como demuestra
3. La relación R = {(1, 2), (3, 2)} sobre E =
{1, 2, 3} es:
a) p = 0, q = 0, r = 0
a) reflexiva
b) p = 0, q = 1, r = 0 ⇐
b) simétrica
c) p = 1, q = 1, r = 1
c) antisimétrica ⇐
9. Es tautología:
4. Complete B ∪ (A ∩ ∼ A) = ?
a) X2 → X4 ⇐
a) ∼ B
b) X4 → X2
b) ∅
c) X1 → X2
c) B ⇐
10. Forma Normal Conjuntiva de X2 :
5. Una relación R de equivalencia no es:
a) (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)
a) reflexiva
b) (p ∨ q) ∧ (r)
b) transitiva
c) (¬p ∨ r) ∧ (¬q ∨ r) ⇐
1
a) ∀x∃yM xy → ∃x∃yM xy ⇐
11. En toda interpretación que satisface tanto
Y1 como Y2 :
b) ∃x∃yM xy → ∃x∀yM xy
a) Q = ∅ y P = ∅ ⇐
c) ∃x∀yM xy → ∀x∃yM xy
b) Q 6= ∅ y P = ∅
16. Si un grafo contiene aristas paralelas se denomina:
c) Q 6= ∅ y P 6= ∅
12. Y3 es verdadera para la interpretación: E =
{1, 2, 3}, P = {1, 2} y
a) grafo con bucles
b) grafo acíclico
a) S = {(1, 1), (1, 2)}
c) multigrafo ⇐
b) S = {(1, 1), (2, 3)} ⇐
17. La longitud de un camino, en un grafo, es:
c) S = ∅
a) el grado de entrada del último nodo del
camino
13. Y2 es equivalente a:
b) el número de aristas que aparecen en
la sucesión del camino ⇐
a) ∃xRx ∨ ¬∀yQy
b) ∀zRz ∧ ∀y¬Qy ⇐
c) el número de nodos que aparecen en la
sucesión del camino
c) ∀x(Rz ∨ ¬Qz)
14. Y4 es verdadera para la interpretación: E =
{1, 2, 3}, con
18. Un grafo no dirigido es conexo si:
a) desde cualquiera de sus nodos se puede
llegar a cualquier otro ⇐
a) S = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}
b) S = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}
b) el grado de entrada de todo nodo es
igual a 1
c) S = {(1, 2), (3, 2), (1, 1)} ⇐
15. Señale la expresión válida (siempre verdadera):
c) permite bucles en cada uno de sus nodos
Nota sobre la pregunta 5: Del enunciado que se pretendía escribir faltó la última palabra: “Una
relación de equivalencia no es necesariamente:” En este caso, la respuesta correcta sería ’antisimétrica’
porque la pregunta se puede codificar como
¬∀x(RelacEquiv(x) → RelacAntisim(x))
o, equivalentemente
∃x(RelacEquiv(x) ∧ ¬RelacAntisim(x))
y es verdad que hay relaciones de equivalencia que no son antisimétricas, p. ej., sobre el universo
{1, 2} con {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
Desafortunadamente, el enunciado de la pregunta 5, tal y como apareció en el examen, se entiende
como: “sea x una relación de equivalencia cualquiera, entonces no es ... antisimétrica”. Es decir:
∀x(RelacEquiv(x) → ¬RelacAntisim(x))
y esto no es correcto. P. ej., la relación (1, 1), (2, 2)} es de equivalencia y es también antisimétrica.
Por supuesto, las dos opciones restantes, (a) y (b), eran inmediatamente descartables, en cualquier
caso. Así, esta errata a lo sumo podía inhibir de marcar la (c) a quien tuviera un buen conocimiento
de la asignatura.
2
Pregunta de desarrollo
Demuestre, mediante un tableau, que es correcto el siguiente argumento:
∀x∃y(Sxy ∨ Syx) |= ∃x(∃ySxy ∨ ∃ySyx)
∀x∃y(Sxy ∨ Syx) premisa
[1]
[2]
[3]
¬∃x(∃ySxy ∨ ∃ySyx) neg. conclus.
¬(∃ySay ∨ ∃ySya) de
[4]
¬∃ySay de
[3]
[5]
¬∃ySya de
[3]
∃y(Say ∨ Sya) de
[6]
[7]
[8]
[10]
Sab de
Sab ∨ Sba de
¬Sab de
[11]
[4]
[1]
[6]
[9]
[7]
[2]
Sba de
[7]
¬Sba de
[5]
Estratégicamente es preferible instanciar cuanto antes los nodos existenciales, que producen necesariamente términos constantes nuevos. Ni [1] ni [2] lo son. Optamos por expandir [2] (universal,
negación de existencial) en [3]. Y [3] (negación de disyunción), en [4] y [5].
Aquí es preferible parar de momento. Tanto [4] como [5] son universales (negación de existencial).
Expandimos entretanto el nodo [1] (universal) en [6]. El nodo [6] es existencial: estamos obligados a
usar una constante no utilizada previamente. Así se produce [7].
Como [7] es una disyunción, se produce una bifurcación del árbol en [8] y [9]. La rama de [8]
se cierra expandiendo allí [4] para producir [10]: como [4] era universal se puede instanciar en la
constante que se desee. Lo mismo ocurre con el nodo [11], instanciación del [5].
3
