Métodos Matemáticos para Físicos II Material de Estudio 1. No 3 CICLO 2018-2 (CF391-A) Hallar la ley de las oscilaciones de una cuerda de longitud l, que se encuentra en x(l − x) el segmento [0, l], si en eel momento inicial se le dió la forma u = y luego 8l fue soltada sin velocidad inicial. La cuerda fue se encuentra sujeta de sus extremos. No hay fuerzas externas. Halle la ley de oscilación de una cuerda de longitud l si en el momento inicial a a todos los puntos de la cuerda se le proporcionó una velocidad de magnitud (a es 10 la constante que gura en la ecuación de la cuerda). Los extremos de la cuerda se encuentran jos. No hay desplazamiento inicial ni fuerzas externas. 2. 3. Halle la ley de las oscilaciones libres de una cuerda que se encuentra en el segmento [0, l] si en el momento inicial a la cuerda se le dio la forma u = l πx sen y luego 100 2l fue soltada sin velocidad inicial. La cuerda se encuentra ja en el extremo izquierdo y el extremo derecho se puede mover libremente de tal manera que la tangente a la cuerda en el extremo derecho permanece siempre horizontal. Halle la ley de distribución de temperatura dentro de una barra de longitud l que se encuentra en el segmento [0, l] si en el instante inicial la temperatura de la barra está distribuida de la siguiente manera: 4. u(x, t)|t=0 = x l u0 l−x l u0 para 0 < x < 2l , para 2l < x < l, donde u0 = const. En los extremos de la barra se mantiene una temperatura constante igual a cero. El intercambio térmico es libre 1 Halle la ley de distribución de temperatura dentro de una barra, para un intercambio térmico libre, si en la parte derecha de ella (cuando x = 0) la temperatura se mantiene constante u = 0◦ y en la parte derecha (x = l)se mantiene aislada térmicamente del medio que lo rodea (es decir, la derivada de la temperatura con respecto a x en la parte derecha es igual a cero: ux (x, t)|x=l = 0). La temperatura inicial de la barra es una función dada: u(x, t)|t=0 = f (x). 5. 1 En este problema y los siguientes de intercambio térmico se asume que la barra es homogénea, isotrópica y que sus paredes se encuentran aisladas térmicamente del medio que lo rodea. Halle la ley con la que se enfría una barra de longitud l si en su extremo izquierdo (para x = 0) se mantiene una temperatura constante igual a 0◦ , y el extremo derecho (para x = l) está aislado térmicamente. La temperatura inicial de la barra se da por la expresión: 0 para 0 < x < 2l , u(x, t)|t=0 = u0 para 2l < x < l, El intercambio térmico es libre. 6. Un conductor de longitud l, por el cual circula corriente alterna se encuentra cubierto por una cubierta aislante de tal manera que las fugas son despreciables (G = 0); además la resistencia óhmica R es tan pequeña que se puede despreciar (R = 0). La intensidad de corriente eléctrica (para t = 0) en el conductor es igual a cero y la tensión eléctrica inicial se dá por la expresión: 7. v(x, t)|t=0 = Eo sen (2m + 1)πx 2l (donde m es un número natural dado). El extremo izquierdo del cable se encuentra aislado (x = 0) y el extremo derecho se encuentra puesto a Tierra. Halle la intensidad de corriente en cada punto del conductor para cada instante de tiempo. Resuelva el problema anterior con la condición que ambos extremos se encuentran aislados. 8. La tensión eléctrica en un cable de longitud l tiene en el instante inicial la misma intensidad en todos los puntos del cable y es igual a E0 ; la corriente inicial es igual a cero. La resistencia ohmica R, la inductanciaL, la pérdida por unidad de tiempo 9. R G = (en este L C caso se dice que se tiene una línea sin distorción). Halle la tensión eléctrica v(x, i)en cualquier punto del cable y en cualquier instante de tiempo t ≥ 0, si el extremo izquierdo (x = 0) se encuentra puesto a tierra y el derecho (x = l) está aislado. G y la capacidad C se encuentran relacionados por la expresión Los profesores
