Unitat 2. Solucionari Física 2 Batxillerat

1. F = G
m m'
=
r2
= 6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
200 kg × 200 kg
=
(0,5 m)2
= 1,07 × 10–5 N
2. F = G
m M mS
=
d2
= 6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
3,3 × 1023 kg × 1,99 × 1030 kg
=
(5,97 × 1010 m)2
= 1,23 × 1022 N
Mercuri atrau el Sol amb la mateixa força que el Sol a Mercuri, com es pot comprovar
aplicant la fórmula anterior intercanviant les dues masses, ja que es compleix la 3a llei
de Newton.
3. FL-S = G
m L mS
2
dL-S
=
= 6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
7,35 × 1022 kg × 1,99 × 1030 kg
=
(1,50 × 1011 m)2
= 4,34 × 1020 N
m m
FL-T = G L 2 T =
dL-T
= 6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
7,35 × 1022 kg × 5,98 × 1024 kg
=
(3,8 × 108 m)2
= 2,03 × 1020 N
El Sol atrau la Lluna amb una força 2,14 vegades superior a la força amb què l’atrau
la Terra.
4. F = G
5. F = G
30
kg × 60 kg
m m'
–11
2
–2 2 × 10
=
6,67
×
10
N
m
kg
= 0,356 N
2
r
(1,5 × 1011 m)2
ML m
2
R L-T
= 6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
7,35 × 1022 kg × 60 kg
= 114,9 N
(1,6 × 106 m)2
F = m g = 60 kg × 9,8 m s−2 = 588 N
El pes a la Terra és 5,11 vegades superior al pes a la Lluna.
MJ m
6. FL-S = G
7. F = G
d2
MT m
R T2
= 6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
= 6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
1,9 × 1027 kg × 104 kg
= 3,52 × 10–3 N
(6 × 1011 m)2
5,98 × 1024 kg × 0,2 kg
= 2 × 105 N =
4
2
(2 × 10 m)
= 20,4 TM
41
41-50_U2.PD.FIS.2BTX.CAT.indd 41
8/7/09 09:53:10
8. FL = G
FT = G
ML m
d2
MT m
(3,8 × 108 – d)2
Quan les dues forces d’atracció siguin iguals FL = FT
G
ML m
d
2
=G
MT m
(3,8 × 108 – d)2
Llavors:
d2
(3,8 × 108 – d)2
=
ML
MT
Resolent l’equació de 2n grau, les forces són iguals a una distància de 3,8 × 107 m de
la Lluna (desena part de la distància Terra-Lluna).
9. P1 – P2 = G
Mm
Mm
M m (2 R h + h 2 )
–
G
=
G
R 2 (R + h)2
R2
(R + h)2
Com que h és molt més petit que R i h2 molt més petit que 2 R h, podem considerar
molt aproximadament: R + h = R i 2 R h + h2 = 2 R h. Així doncs:
P1 – P2 = G
M m 2R h
M m 2h
=G
4
R
R3
P1 – P2 = 2 × 6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
5,98 × 1024 kg × 70 kg × 300 m
=
(6,4 × 106 m)3
= 0,064 N = 6,5 p
No podem calcular per separat el pes de l’home als dos llocs i fer la diferència ja que
per detectar diferències de ponds entre pesos de 70 kp s’ha de fer el càlcul amb 5 xifres significatives com a mínim. Això no és possible amb les dades del problema, ja
que només tenen tres xifres significatives.
10. Radi de l’òrbita: r = 6 400 km + 1 600 km = 8 000 km
Velocitat: v =
G MT
r
Període: T = Δs / v = 2 π r / v
T=
2π r
G MT
r
=
2 π 8 × 106 m
6,67 × 10–11 N m 2 kg –2 × 5,98 × 1024 kg
8 × 106 m
= 7 119 s
El satèl·lit tarda 1 h i 58,7 min a fer una volta completa a la Terra.
42
41-50_U2.PD.FIS.2BTX.CAT.indd 42
8/7/09 09:53:13
Δs
v
Δs 2 π r
2π r
v=
=
=
Δt
T
6 × 103
G MT
v=
=
r
11. a) T =
=
6,67 × 10–11 N m 2 kg –2 × 5,98 × 1024 kg
3,99 × 1014
=
r
8 × 106 m
Igualant les dues expressions s’obté:
2π r
3,99 × 1014
=
r
6 × 103
Resolent-ho, r = 7,14 × 106 m.
b) r' = r – RT = 7,15 × 106 m – 6,38 × 106 m = 7,6 × 105 m = 760 km
12. T12 / T22 = r13 / r23
T2 = T1
13. v =
r13 / r23 = 250 h 2,53 = 988 h
G MT
6,67 × 10–11 N m 2 kg –2 × 5,98 × 1024 kg
=
≈
RT
6,4 × 106 m
≈ 7 900 m/s = 28 400 km/h
14. T = 42,5 h = 1,53 × 105 s
v=2πr/T=G
m /r
Aïllant M:
M=
4 π2 r 3
4 π2 (4,22 × 108 m)3
=
= 1,9 × 1027 kg
2
–11
2
–2
5
2
GT
6,67 × 10 N m kg × (1,53 × 10 s)
15. T = 24 h = 86 400 s
v=2πr/T=G
m /r
Aïllant el radi r obtenim:
r = (G M T2 / 4 π2)1/3 =
= [6,67 × 10−11 Nm2 kg−2 × 5,98 × 1024 kg × (8,64 × 104 s)2 / 4 π2] 1/3 =
= 4,23 × 107 m.
I la distància a la superfície serà:
r’ = r – RT = 42,3 × 106 m – 6,38 × 106 m =
= 35,9 × 106 m = 35 900 km
43
41-50_U2.PD.FIS.2BTX.CAT.indd 43
8/7/09 09:53:15
M
6,4 × 1023 kg
r
= 3,7 N/kg
16. g = G 2M = 6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
(3,395 × 106 m)2
RM
17. Radi: Rx = 2 RT
Volum: Vx = 23 × VT = 8 VT
Massa: Mx = 8 MT
M
8 MT
M
r
r
= 2G 2T = 2 g T = 19,6 N/kg –1
g x = G 2x = G
2
Rx
(2 R T )
RT
P
350 N
= 50 kg
18. m = r = G
g
7 N/kg –1
r
P = m g 1 = 50 kg × 20 N kg –1 = 1 000 N
M
MM
1,445 × 1013
r
N
19. g M = G 2M = G
=
2,35
⇒
M
=
M
kg
G
RM
(2,48 × 106 )2
Llavors:
F =G
MM m
(R M + d)2
=G
1,445 × 1013 × 800
= 209 N
G × (7,44 × 106 )2
20. L’òrbita de la Lluna és el·líptica, per la qual cosa la distància Terra-Lluna és variable.
Per resoldre l’exercici farem servir la distància mitjana entre el centre de la Terra i la
Lluna, que és de 384 400 km.
m m'
EP = –G
=
r
5,98 × 1024 kg × 7,35 × 1022 kg
=
= –6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
3,844 × 108 m
= –7,63 × 1028 J
21. Energia potencial sobre la superfície de la Lluna:
m m'
EP 0 = –G
=
r
7,35 × 1022 kg × 20 kg
=
= –6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
1,6 × 106 m
= –6,13 × 107 J
Energia potencial a una altura de 400 km:
m m'
EP1 = –G
=
r +h
7,35 × 1022 kg × 20 kg
=
= –6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
2 × 106 m
= –4,9 × 107 J
44
41-50_U2.PD.FIS.2BTX.CAT.indd 44
8/7/09 09:53:18
La velocitat amb què cal llançar el cos s’obté igualant les energies mecàniques inicial
i final del cos:
ΔE M = 0 ⇒ EP 0 + Ek 0 = EP1 + Ek1
–4,9 × 107 J + Ek 0 = –6,13 × 107 J + 0 ⇒ Ek 0 = 1,23 × 107 J
Ek 0 = 1/2 m v 2
2Ek 0 / m = 2 × (1,23 × 107 J) / 20 kg = 1 120 m/s
22. ΔE M = 0 ⇒ EP 0 + Ek 0 = EP1 + Ek1
A una altura h = 5 × 106 m les energies potencial i cinètica són:
m m'
EP1 = –G
=
r +h
3 × 1025 kg × m'
=
= –6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
1,5 × 107 m
= –1,33 × 108 m'
Ek1 = 0 J
Sobre la superfície del planeta les energies potencial i cinètica són:
m m'
EP 0 = –G
=
r
3 × 1025 kg × m'
=
= –6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
107 m
= –2 × 108 m'
Ek 0 =
1
m' v 02
2
Igualant les energies mecàniques inicial i final:
1
–2 × 108 m' J + m' v 02 = –1,33 × 108 m' J + 0
2
v = 11 576 m/s
23. ΔE M = 0 ⇒ EP 0 + Ek 0 = EP1 + Ek1
EP 0 = –G
M T m'
=
r
= –6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
5,98 × 1024 kg × m'
= –4 × 106 m'
108 m
1
1
m' v 02 = m' × (–6 × 103 )2 = 18 × 106 m'
2
2
M m'
EP1 = –G T =
r'
5,98 × 1024 kg × m'
= –2 × 106 m'
= –6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
8
2 × 10 m
1
Ek1 = m' v12
2
Ek 0 =
45
41-50_U2.PD.FIS.2BTX.CAT.indd 45
8/7/09 09:53:21
Igualant les energies mecàniques inicial i final:
–4 × 106 m' J + 18 × 106 m' = –2 × 106 m' +
1
m' v12
2
v = 5,66 km/s
24. ΔE M = 0 ⇒ EP 0 + Ek 0 = EP1 + Ek1
EP 0 = –G
M T m'
=
r
= –6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
5,98 × 1024 kg × m'
=
2,998 × 107 m
= –1,33 × 107 m'
1
1
m' v 02 = m' × (5 × 103 )2 = 12,5 × 106 m'
2
2
M T m'
=
EP1 = –G
r'
5,98 × 1024 kg × m'
=
= –6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
6,38 × 106 m
= –6,25 × 107 m'
Ek 0 =
Ek1 =
1
m' v12
2
Igualant les energies mecàniques inicial i final:
–1,33 × 107 m' J + 12,5 × 106 m' = –6,25 × 107 m' +
1
m' v12
2
v = 11 109 km/s
25. r = 23 × 106 m + 6,38 × 106 m = 29,38 × 106 m
E M = EP + Ek
EP = –G
M T m'
=
r
= –6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
5,98 × 1024 kg × 2 × 103 kg
=
2,938 × 107 m
= –2,72 × 1010 J
v 0 = 18 000 km/h = 5 000 m/s
1
1
m' v 02 = 2 × 106 kg × (5 × 103 )2 = 2,5 × 1010 J
2
2
E M = –2,72 × 1010 J + 2,5 × 1010 J = 1,6 × 109 J
Ek =
La nau no s’escaparà de l’atracció gravitatòria perquè la seva energia mecànica és inferior a l’energia potencial a l’infinit (que és 0).
46
41-50_U2.PD.FIS.2BTX.CAT.indd 46
8/7/09 09:53:24
26. Energia mecànica a 8,8 × 107 km del Sol:
EP 0 = –G
M S m'
=
8,8 × 1010
1
1
Ek 0 = m' v 02 = m' × (5,5 × 104 )2 = 1,51 × 109 m'
2
2
Energia mecànica a 1,5 × 108 km del Sol:
EP1 = –G
M S m'
=
1,5 × 1011
1
1
Ek1 = m' v12 = m' × (4,2 × 104 )2 = 8,82 × 108 m'
2
2
ΔE M = 0
–G
M S m'
+ 1,51 × 109 m' = –G
8,8 × 10
M S ≈ 2 × 1030 kg
10
M S m'
1,5 × 10
11
+ 8,82 × 108 m'
27. r = 8 × 105 m + 6,38 × 106 m = 7,18 × 106 m
1 Mm
EM = – G
=
2
r
5,98 × 1024 kg × 250 kg
1
=
= – 6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
2
7,18 × 106 m
= –6,94 × 109 J
28. E M = Ek + EP =
1 Mm
Mm
1 Mm
G
–G
=– G
2
r
r
2
r
Anomenem Q el factor: G
E M = Ek + EP =
Ek =
Mm
:
r
1
1
Q –Q =– Q
2
2
1
Q = 2,4 × 1011 J ⇒ Q = 4,8 × 1011
2
Llavors:
EM = –2,4 × 1011 J
EP = –4,8 × 1011 J
29. Energia mecànica orbital del cos:
1 Mm
EM = – G
=
2
r
5,98 × 1024 kg × 500 kg
1
=
= – 6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
2
10,4 × 106 m
= –9,59 × 109 J
47
41-50_U2.PD.FIS.2BTX.CAT.indd 47
8/7/09 09:53:26
Energia mecànica del cos a la superfície terrestre:
E M = –G
M T m'
=
r
= –6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
5,98 × 1024 kg × 5 × 102 kg
=
6,4 × 106 m
= –3,12 × 1010 J
L’energia cinètica deguda a la rotació de la Terra és negligible (5,36 × 107 J).
L’energia que s’ha de comunicar és:
ΔE = −0,959 × 1010 J − (−3,12 × 1010 J) = 2,16 × 1010 J
30. Les velocitats de les dues òrbites seran:
G MT
G MT
i v2 =
r1
r2
v1 =
Llavors:
v2 =
v1
⇒
2
G MT
=
r2
G MT
r1
2
⇒
G MT G MT
=
⇒ r2 = 4 r1
r2
4 r1
L’energia que cal comunicar al satèl·lit per transferir-lo a una segona òrbita serà la
diferència entre les energies mecàniques orbitals de les dues òrbites. Tenint en compte que la velocitat en la segona òrbita és la meitat que en la primera, s’obté:
1 M m 1 M m
E = ΔE M = – G T + G T =
2
2
r2
r1
1 M m 1 M m 3 M m
=– G T + G T = G T
2
8
2
4 r1
r1
r1
Substituint:
EM =
3 MT m
G
=
8
r1
5,98 × 1024 kg × m
3
6,67 × 10–11 N m 2 kg –2
=
8
7 × 106 m
= 2,14 × 107 m (J)
=
L’energia que cal comunicar al satèl·lit és de 2,14 × 107 vegades la seva massa.
31. v 0 =
2 G ML
2 × 6,67 × 10–11 N m 2 kg –2 × 7,35 × 1022 kg
=
=
RL
1,74 × 106 m
= 2 370 m/s = 2,37 km/s
48
41-50_U2.PD.FIS.2BTX.CAT.indd 48
8/7/09 09:53:29
32. La velocitat d’escapament de Mart és:
2 G MM
2 × 6,67 × 10–11 N m 2 kg –2 × 6,4 × 1023 kg
=
=
RM
3,395 × 106 m
v0 =
= 5 015 m/s
L’energia mínima que caldrà subministrar serà:
E=
1
1
m v 2 = 2 × 104 kg × 5 0152 m/s = 2,52 × 1011 J
2
2
33. L’energia mínima perquè un cos escapi de la superfície d’un planeta és igual a menys
la seva energia potencial gravitatòria.
Energia a la superfície de la Terra: ET = G MT m / rT
Energia a la superfície de la Lluna: EL = G ML m / rL
EPT / EPL = (MT rL) / (ML rT) = (81,4 ML × rL) / (ML × 3,67 rL) = 81,4 / 3,67 =
= 22,2
L’energia d’escapament a la Terra és 22,2 vegades més gran que a la Lluna.
34.
35.
T 2 / a2
Planeta
Venus
2,987 × 10–19
Terra
2,989 × 10–19
Mart
2,977 × 10–19
Júpiter
2,970 × 10–19
Saturn
2,962 × 10–19
Urà
2,962 × 10–19
Neptú
2,967 × 10–19
Tp2
a 3p
=
TT2
aT3
247,7 2
12
=
⇒ a p = 5,92 × 1012 m
11 3
3
ap
(1,5 × 10 )
36.
Tc2
ac3
=
TT2
aT3
Tc2
(2,77 aT )3
=
12
⇒ Tc = 4,61 anys
aT3
49
41-50_U2.PD.FIS.2BTX.CAT.indd 49
8/7/09 09:53:31
37. a) a + c = 20 000⎫
⎪
⎬ a = 16 000 km; c = 4 000 km
a – c = 12 000 ⎪⎭
ε = c / a = 4 000 km / 16 000 km = 0,25
b) El radi de l’òrbita circular és igual al radi mitjà de l’òrbita el·líptica:
a = 16 000 km.
38.
Ti 2
ai3
=
TT2
aT3
TT = 1 any; aT = 1 UA
ai =
Ti =
rmàx + rmín 1,9692 UA + 0,1866 UA
=
= 1,0779 UA
2
2
TT2 × ai3
aT3
=
12 × 1,07793
= 1,119 anys
13
39. rmàx = 6 380 km + 1 250 km = 7 630 km
rmín = 6 380 km + 370 km = 6 750 km
a + c = 7 630⎫
⎪
⎬ a = 7 190 km; c = 440 km
a – c = 6 750 ⎪⎭
ε = c / a = 440 km / 7 190 km = 0,061
EM = −1/2 G M m / a =
= −1/2 (6,67 × 10−11 N m2 kg−2 × 5,98 × 1024 kg × 400 kg) / (7,19 × 106 m) =
= −1,11 × 1010 J
40. a1 + c1 = 10 000⎫
⎪
⎬ a1 = 6 250 km
⎪
c1 / a1 = 0,6
⎭
a2 + c 2 = 8 000⎫
⎪
⎬ a2 = 6 667 km
c 2 / a2 = 0,2 ⎪⎭
L’energia mecànica (EM = −1/2 G M m / a) té un valor negatiu i, per tant, és menor
com més petit és el radi mitjà (a) de l’òrbita. Així doncs, l’energia mecànica de l’òrbita 1 serà menor que l’energia mecànica de l’òrbita 2.
50
41-50_U2.PD.FIS.2BTX.CAT.indd 50
8/7/09 09:53:34