METODOS DE CONTEO MSC. ALDO FALCONI ASANZA EC. Esquema COMBINACIONES -NO influye el orden en que colocas los MISMOS elementos VARIACIONES Sin repetición o con repetición - SÍ influye el orden en que colocas los MISMOS elementos PERMUTACIONES Sin repetición o con repetición - SÍ influye el orden en que colocas los MISMOS elementos - Intervienen todos los elementos m = n - En el caso de que se repitan los elementos, siempre se repiten las mismas veces NOTA: Hay casos en los que m = n y es una Combinación o una Variación Permutaciones sin repetición Denominamos permutaciones ordinarias o sin repetición de n elementos, a cada uno de los distintos grupos que pueden formarse de manera que: -En cada grupo entran todos los n elementos. - Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación de los elementos. Al número de permutaciones ordinarias de n elementos lo representaremos por Pn y se calculará: Pn=n.(n-1).(n-2)...3.2.1 a este número lo llamaremos factorial de n y lo representaremos por n! , esto es: n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1 Si n = 1, se define 1!=1 Si n = 0 se define 0!=1 EJEMPLOS - ¿ De cuántas formas pueden sentarse 8 amigos en una fila de butacas de un cine? Sol: P8 = - ¿ De cuántas formas diferentes se pueden fotografiar 5 amigos frontalmente en línea recta? Sol: P5 = - Un técnico de sonido tiene que unir 6 terminales en 6 conexiones. Si lo hiciera al azar, ¿ de cuántas formas diferentes podría completar las conexiones? Sol: P6 = Permutaciones con repetición. Denominamos permutaciones con repetición de n elementos en los que uno de ellos se repite "a" veces, otro "b" veces y así hasta el último que se repite k veces ( a+b+c+....k = n); todas las ordenaciones posibles de estos n elementos. Consideramos dos ordenaciones distintas si difieren en el orden de colocación de algún elemento ( distinguible ). Notaremos a este tipo de permutación como: y se calcularán: EJEMPLOS: - ¿ De cuántas formas pueden ordenarse en una estantería 5 libros de lomo blanco, 3 de lomo azul y 6 de lomo rojo? Sol: - ¿ Cuántas palabras de 6 letras con o sin sentido se pueden formas con las letras de AMASAS ? Sol: - En una carrera por equipos participan 4 españoles, 5 franceses y 3 marroquíes. Si lo único reseñable de cada corredor es su nacionalidad, ¿ de cuántas formas posibles podrían terminar la carrera? Sol: Combinaciones Denominamos combinaciones ordinarias o sin repetición de n elementos tomados de m en m, (m<=n) a las distintas agrupaciones de m elementos de manera que: - En cada grupo entren m elementos distintos - Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento. El número de combinaciones ordinarias de m elementos tomados de m en m lo notaremos Cn,my se calcula: Introducción. Factorial de un Nº 1! = 1 2! = 2·1 3! = 3·2·1 4! = 4·3·2·1 5! = 5·4·3·2·1 Cuidado 0! = 1 … n! = n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·…·2·1 El número n·(n−1)·(n−2)·…·3·2·1 se llama factorial de n, y se representa por n!, donde n es un número natural. Introducción. Factorial de un Nº Ahora toca practicar… OPERACIONES CON FACTORIALES 3! + 2! = 8 4! – 2! = 22 3! · 0! = 6 5! 3! 8! 3! · 4! = 20 = 280 Introducción. Números combinatorios Dados dos números naturales m y n tales que m ≥ n, se define el número combinatorio , que se lee m sobre n, como: Veamos un ejemplo: Introducción. Números combinatorios Ahora toca practicar… NÚMEROS COMBINATORIOS 7 3 = 35 9 4 = 126 6 4 = 15 Principios fundamentales de conteo 3 aviones ADICIÓN A 2 trenes 5 buses MULTIPLICACIÓN A B C Número de maneras de llegar desde A hasta B B avión O tren O bus No suceden simultáneamente 3 + 2 + 5 = 10 Número de maneras de llegar desde A hasta C AB y BC Sí suceden simultáneamente 3 x 2 = 6 Diagrama del árbol. Principio de Multiplicación ¿Qué me pongo? Me levanto por la mañana y al abrir mi armario me doy cuenta que tengo: 2 pantalones: 4 camisas: 2 pares de zapatos: ¿De cuantas formas me podría vestir hoy? Diagrama del árbol. Principio de Multiplicación 16 formas de vestirme = 2 pantalones x 4 camisas x 2 zapatos Esta herramienta para representar todos los posibles resultados se llama Diagrama de árbol. Principio de multiplicación: si hay n1 opciones para elegir un objeto, n2 opciones para elegir un segundo objeto, así hasta nm. El nº total de maneras de elegir los m objetos es: N = n1 ·n2 ·…·nm Con una baraja española que consta de 40 cartas, ¿de cuántas maneras diferentes podemos repartir 4 cartas? ¿Influye el orden de colocación? NO ¿Intervienen todos los elementos? NO ¿Se pueden repetir los elementos? NO COMBINACIÓN = = ¿Cuántos elementos tengo? m = 40 ¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 4 40! 40! C40,4= 4! (40-4)! = 4! 36! = 40·39·38·37 4·3·2·1 = 91390 Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 ¿Cuántos números distintos de 4 cifras puedo formar sin repetir? ¿Influye el orden de colocación? SI ¿Intervienen todos los elementos? NO ¿Se pueden repetir los elementos? NO 1 2 3 4 4 3 2 1 VARIACIÓN SIN REPETICIÓN ¿Cuántos elementos tengo? m = 6 ¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 4 V 6, 4 = 6! = 360 2! ¿Cuántas quinielas de fútbol distintas se pueden rellenar? ¿Influye el orden de colocación? SI ¿Intervienen todos los elementos? NO ¿Se pueden repetir los elementos? SI Las variaciones con repetición, únicamente difieren de las anteriores en que ahora sí se pueden repetir VARIACIÓN CON REPETICIÓN elementos. ¿Cuántos elementos tengo? m = 3 ¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 15 Se trata de variar 3 elementos que se repiten (1,X,2) tomados de 15 en 15: VR3,15 = 315 = 14.348.907 Con la palabra AMOR ¿Cuántas palabras con o sin sentido pueden formarse? ¿Influye el orden de colocación? SI ¿Intervienen todos los elementos? SI ¿Se pueden repetir los elementos? NO AMOR AMRO AOMR MAOR MARO MOAR OAMR OARM OMAR RAMO RAOM RMAO AORM ARMO AROM MORA MRAO MROA OMRA ORAM ORMA RMOA ROMA ROAM ¿Cuántas saldrían con la palabra LOVE? PERMUTACIÓN SIN REPETICIÓN ¿Cuántos elementos tengo? m = 4 ¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 4 P4 = 4!= 4·3·2·1 = 24 ¿Cuántas palabras, con o sin sentido, puedo formar con las letras de la palabra ARMELAR? ¿Influye el orden de colocación? SI ¿Intervienen todos los elementos? SI ¿Se pueden repetir los elementos? SI Las permutaciones con repetición de n elementos son en las que un primer elemento se repite n1 veces, un segundo elemento n2 veces, y así hasta el último, que se repite nk veces, con n1+n2+…+nk = n. PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN ¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 7 ¿Qué elementos se repiten a, b, c….? a=2 Son 7 letras, repitiéndose la “A” y la “R”, por tanto: FIN MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCIÓN
