Guía didactica 6to. Grado

Módulo Nº 1:
Razones y operaciones con
fracciones
MATEMÁTICA
Guía didáctica
6
o
Módulo Nº 1:
Razones y operaciones con fracciones
MATEMÁTICA
Guía didáctica
NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA
División de Educación General
Ministerio de Educación
República de Chile
2013
Módulo Nº 1:
Razones y operaciones con fracciones
MATEMÁTICA
Guía Didáctica / 6o básico
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA
2013
6
o
MATEMÁTICA / 6° BÁSICO
PRESENTACIÓN
Este módulo tiene como propósito principal ofrecer una herramienta de
gestión curricular focalizada, basada en la organización de la enseñanza para
el logro de los siguientes objetivos de aprendizaje planteados en la Unidad 1
del Programa de Estudios:
• Demostrar que comprenden el concepto de razón de manera concreta,
pictórica, simbólica y/o usando software educativo (OA3).
• Demostrar que comprenden el concepto de porcentaje de manera concreta,
pictórica, simbólica y/o usando software educativo (OA4).
• Resolver adiciones y sustracciones de fracciones propias e impropias y
números mixtos con numeradores y denominadores de hasta dos dígitos
(OA6).
El estudio del eje Números de 6° año básico demanda que alumnos y alumnas
manipulen, representen y analicen dos tipos de representaciones de números
racionales: fracciones y razones. Este trabajo no es trivial, por cuanto ambos
objetos matemáticos cuentan con características que les son propias y los
diferencian. Este documento propone actividades problematizadoras que
promueven el desarrollo de las habilidades del marco curricular, fundamentales
para emprender la realización y resolución de acciones y problemas específicos
de la vida. En particular, el desarrollo de un pensamiento proporcional como
una forma de establecer relaciones o distribuciones que obedecen a reglas
no equitativas, tan frecuentes en nuestra vida cotidiana. Por otra parte, la
manipulación de expresiones fraccionarias, así como el desarrollo del cálculo
mental y de representaciones, son temas centrales de la operatoria de fracciones
abordada por la propuesta.
Las actividades matemáticas presentadas en el módulo, tienen como propósito
que las y los estudiantes:
1. Identifiquen y describan razones en contextos reales.
2. Expresen una razón de múltiples formas y encuentren razones equivalentes.
3. Resuelvan problemas que involucran razones.
4. Expliquen la razón como parte de un todo.
2 / Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
MÓDULO Nº 1: RAZONES Y OPERACIONES CON FRACCIONES
5. Resuelvan problemas que involucren razones, usando tablas.
6. Expliquen el porcentaje como una razón de consecuente 100.
7. Sumen y resten fracciones de manera pictórica.
8. Sumen y resten fracciones mentalmente, amplificando o simplificando.
9. Expliquen procedimientos para sumar y restar números mixtos.
Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
3
Programación Módulo 1 Matemática 6º Básico
CLASES
/HORS
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
INDICADORES DE EVALUACIÓN
• Demostrar que comprenden el concepto de
razón de manera concreta, pictórica, simbólica y/o usando software educativo (OA3).
• Dan una representación pictórica de una razón.
• Describen la razón de una representación concreta o pictórica de ella.
• Expresan una razón de múltiples formas, como 3:5 o 3 es a 5.
• Identifican y describen razones en contextos reales.
• Explican la razón como parte de un todo. Por ejemplo, para
un conjunto de 6 autos y 8 camionetas, explican las razones:
6:8, 6:14, 8:14.
• Identifican razones equivalentes en el contexto de la resolución de problemas.
• Resuelven problemas que involucran razones, usando tablas.
• Demostrar que comprenden el concepto de
porcentaje de manera concreta, pictórica,
simbólica y/o usando software educativo
(OA4).
• Explican el porcentaje como una parte de 100.
• Explican el porcentaje como una razón de consecuente 100.
• Resolver adiciones y sustracciones de fracciones propias e impropias y números mixtos con numeradores y denominadores de
hasta dos dígitos (OA6).
• Suman y restan fracciones de manera pictórica.
• Suman y restan fracciones mentalmente, amplificando o
simplificando.
• Suman y restan fracciones de manera escrita, amplificando
o simplificando.
• Explican procedimientos para sumar números mixtos.
• Realizar la Evaluación, considerando los objetivos de aprendizaje abordados en las semanas anteriores.
• Realizar una retroalimentación, retomando
los objetivos de aprendizaje en los que se
obtuvieron más bajos niveles de logro.
• Realizan la Evaluación, considerando los indicadores abordados en las semanas anteriores.
1-4
8 horas
5
2 horas
6-9
8 horas
10- 11
4 horas
4 / Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
EJEMPLOS DE PREGUNTAS
REFERENCIA AL TEXTO ESCOLAR
REFERENCIA A OTROS RECURSOS
• Un entrenador prepara una bebida
para sus jugadores mezclando 8
litros de agua con 2 litros de pulpa
de frutas. ¿Cuál es la razón entre la
cantidad de agua y la de pulpa de
fruta?
• Revise páginas del texto referidas
al contenido en estudio.
• Razones:
http://www.curriculumenlinea
mineduc.cl/605/w3-article-17688.html
• En una prueba de matemáticas, Javier respondió correctamente 30 de
50 preguntas. ¿Qué porcentaje de las
preguntas de la prueba respondió Javier correctamente?
A. 20%
B. 35%
C. 40%
D. 60%
• Revise páginas del texto referidas
al contenido en estudio.
• Porcentajes:
http://www.curriculumenlinea
mineduc.cl/605/w3-article-17689.html
• El resultado de la siguiente operación
3 35 – 2 45 es:
A. 2 2
5
1
B. 1 5
• Revise páginas del texto referidas
al contenido en estudio.
A) 2:8 B) 2:1 C) 4:2 D) 4:1
• ¿Cuál de las siguientes razones es
equivalente a 3:4?
A) 6:9 B) 8:1 C) 13:14 D) 15:20
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_
asid_160_g_3_t_1.html?open=activitie
s&from=category_g_3_t_1.html
• Operatoria con fracciones:
http://www.
curriculumenlineamineduc.cl/605/w3article-17691.html
http://nlvm.usu.edu/es/nav/
frames_asid_106_g_3_t_1.
html?from=category_g_3_t_1.html
C. 4
5
D. 3
5
http://recursostic.educacion.es/
descartes/web/materiales_didacticos/
fracciones2_pri/00_index.htm
• Números mixtos:
http://www.sheppardsoftware.com/
mathgames/fractions/memory_
fractions3.swf
• Revise páginas del texto referidas
al contenido en estudio.
Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
5
PLAN DE CLASE Nº 1
Objetivo de la clase:
• Utiliza el concepto de razón y su representación
pictórica para comunicar información.
INICIO / 20 minutos
• Pida que trabajen en parejas la Actividad 1, cuyo propósito es comprender la necesidad de utilizar relaciones del
tipo “por cada A partes se tienen B partes”. En este caso, es esperable que algunas parejas comprendan lo que
significa decir “por cada 4 litros de agua se pone 1 litro de concentrado de pulpa”. No obstante, la actividad pide
realizar más jugo y eso hace más compleja la actividad.
• Los alumnos pensarán que falta información, por ejemplo, la cantidad total de litros que se debe preparar. La gestión de la clase debe ser de tal forma de no dar esa información, pues acá lo importante es la relación de 4 partes
es a 1 parte.
• Gestione para que socialicen sus respuestas sin validar inmediatamente. Cautele qué explicación dan para mantener la mezcla y, en lo posible, trate de escribir dicha explicación. Algunas posibilidades son:
• Vicente debe poner otro litro de pulpa y por lo tanto poner 4 litros más de agua. Pregunte cuántos litros se
prepararon; en este caso son 10 litros. Tenga en consideración que esta respuesta es la más esperada y si usted
la valida inmediatamente, no saldrán otras producciones. Indague si algún grupo tiene otra respuesta.
• Vicente debe poner 2 litros de agua y medio litro de concentrado de pulpa. Sería importante que esta respuesta
pudiese ser fundamentada utilizando representación gráfica. Pregunte cuántos litros se prepararon en total.
• Vicente debe poner más litros de agua. Esta respuesta debe gestionarse con preguntas para ver si el resto de los
estudiantes están de acuerdo en no considerar la pulpa de fruta.
• Pida que trabajen en parejas la Actividad 2, para lo cual deben apoyarse en la representación gráfica. Se espera que
no existan dificultades para señalar que se necesitan 8 tazas de harina, pues se dobla la cantidad de tazas de leche.
DESARROLLO / 50 minutos
• Pida que realicen la Actividad 3 en parejas, cuyo propósito es que reconozcan una razón en una situación planteada,
y puedan representarla y explicarla. Las explicaciones siempre deben relacionar la cantidad de camionetas
en comparación con la cantidad de autos. Es decir hay 3 camionetas por cada 5 autos o también por cada 3
camionetas se tienen 5 autos.
• Podrían existir respuestas tales como:
• Hay 3 camionetas y 5 autos. Si este es el caso, deje que el resto de los alumnos señale dónde está el error de
esa producción; si eso no fuese posible, induzca utilizando representaciones gráficas donde se vea que pueden
ser 6 camionetas y 10 autos.
• Una posible respuesta errada es dar vuelta la relación, es decir hay 3 autos por cada 5 camionetas.
• Pida que trabajen individualmente la Actividad 4, cuyo propósito es que los estudiantes generen información
cuantitativa pero expresada en términos de razón. Es probable que utilicen los mismos contextos que vienen en el
ejemplo (5:2). Si ello ocurre no invalide esas respuestas, pero cautele que se respete la relación de comparación, es
6 / Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
decir ninguna respuesta puede venir enunciada diciendo por ejemplo “en el curso hay 5 alumnos que les gusta el
fútbol y 1 que le gusta el tenis”. Observe que las respuestas estén formuladas en términos de “por cada 5 se tiene
1”. Mientras trabajan en esa pregunta, circule por la sala de clases observando comunicaciones interesantes que
no utilicen los mismos contextos del ejemplo.
• Pida que trabajen individualmente la Actividad 5, en donde se dan tres razones con diferente registro. El propósito
de esta actividad es seguir comunicando información cuantitativa con razones. Las razones a) y b) no debieran
generar mayor dificultad a los estudiantes. Sin embargo, dé un tiempo para que socialicen la representación
gráfica de 1,5:3. Es bastante probable que señalen que no se puede representar. Si ese fuera el impedimento
pregunte si conocen medidas que sean de 1,5 (por ejemplo 1,5 litros). Quizás también tengan dificultades con la
representación, las que podrían ser:
• Observe si un(a) estudiante representa la razón 1,5:3 de la siguiente forma, y en ese caso pida que explique por
qué lo hizo así.
CIERRE / 10 minutos
La socialización de los temas trabajados en clases debe centrarse en los siguientes aspectos:
• Las razones entregan información acerca de “por cada A partes se consideran B partes”; por ejemplo, por cada 3
respuestas correctas de Juan en una prueba, tiene 4 incorrectas. Esta razón se escribe 3:4.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
a) En una escuela se hizo una encuesta acerca de los pasatiempos favoritos de los estudiantes; en ella se estableció
que por cada 10 estudiantes que preferían jugar Play Station había 7 estudiantes que preferían hacer deportes.
¿Cuál es la razón entre la cantidad de los estudiantes que prefieren jugar Play Station y los que prefieren hacer
deporte?
b) Al analizar los resultados de una prueba de lenguaje, estos indicaron que cada 5 respuestas correctas de Catalina,
había 3 respuestas incorrectas. ¿Cuál es la razón entre las respuestas incorrectas y las correctas?
Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
7
PLAN DE CLASE Nº 2
Objetivo de la clase:
• Interpretar el concepto de razón en distintos
contextos.
INICIO / 30 minutos
• Revise la tarea en conjunto con su curso.
• Pida que desarrollen en parejas la Actividad 1, cuyo propósito es indagar acerca de interpretaciones erróneas del
concepto de razón. Haga que fundamenten la respuesta y luego de unos 15 minutos inicie la socialización de las
respuestas.
• En la parte a) quizás algunos estudiantes afirmen que es correcto que son 10 estudiantes. Gestione para que puedan explicar sus respuestas utilizando una representación gráfica de la razón involucrada. Induzca para que uno de
los argumentos en contra se focalice en que podrían ser 6 estudiantes que prefieren un deporte distinto al fútbol
y 14 los que sí lo prefieren. Inducir también para que se den cuenta de que sí es cierto que cada 10 estudiantes 3
no prefieren fútbol y por lo tanto 10:3 señala lo anterior.
• En la parte b) es posible que cuando se presenta la razón 3:7 algunos estudiantes no entiendan que por cada 3
que no prefieren fútbol hay 7 que sí lo prefieren, y crean que son 3 los que no prefieren y 7 los que exactamente
prefieren fútbol. Induzca completar para que utilicen representaciones gráficas y puedan utilizar tablas.
• La parte c) permitirá que reflexionen acerca de las partes a) y b) y entiendan que Marcelo y Vicente están equivocados, pues la razón 3:7 no garantiza que exactamente sean 10 los estudiantes involucrados y tampoco exactamente 7 los que escogen fútbol. Lo único que se puede afirmar es que por cada 3 estudiantes que no les gusta
el fútbol, hay 7 que sí les gusta.
DESARROLLO / 40 minutos
• Pida que realicen la Actividad 2 en parejas, cuyo propósito es que comprendan que a partir de una información
dada se puede establecer más de una razón. Es así que, con la información “En Chile, por cada 7 personas que
utilizan celular, 3 personas no lo utilizan”, es posible establecer varias razones que son válidas, por ejemplo:
• 7:3, que se interpreta como que por cada 7 personas que utilizan celular, hay 3 que no lo utilizan.
• 3:7, que se interpreta como que por cada 3 personas que no utilizan celular, hay 7 personas que sí lo utilizan.
• 10:7, que se interpreta como que por cada 10 chilenos, hay 7 que utilizan celular.
• 10:3, que se interpreta como que por cada 10 chilenos, hay 3 que no utilizan celular.
• La socialización de esta actividad debe permitir establecer que ambos están en lo correcto, pero que la información
que comunican es distinta.
• Pida que desarrollen en parejas la Actividad 3, que tiene el mismo propósito de la anterior y permite interpretar
distintas razones con una misma información. Así, se tiene que:
• En la segunda fila podría ser 4:1; 5:4 (por cada 5 litros de jugo se tienen 4 litros de agua); 5:1 (por cada 5 litros
de jugo se tiene 1 litro de concentrado de frutas).
• En la tercera fila podrían ser 1:100 es decir por cada 1 hora de recorrido se avanzan 100 kilómetros, o también
100:1 lo que se puede interpretar como que por cada 100 kilómetros avanzados se utiliza 1 hora.
8 / Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
• Pida que trabajen la Actividad 4, en que deben interpretar información entregada a partir de una razón. En la parte
a) se espera que señalen que la razón entre la cantidad de niñas y niños es 400:600 (también podrían señalar
40:60 o 4:6 aunque esta materia viene en la próxima clase). En la otra pregunta se espera que señalen 600:1000.
• En la parte b) deben interpretar las distintas razones dadas y para:
• 15:9 se espera que señalen que por cada 15 respuestas correctas se tienen 9 incorrectas.
• 9:15 se espera que señalen que por cada 9 respuestas incorrectas se tienen 15 correctas.
• 24:15 se espera que señalen que por cada 24 preguntas respondidas se tienen 15 correctas.
• 24:9 se espera que señalen que por cada 24 preguntas respondidas se tienen 9 incorrectas.
CIERRE / 10 minutos
La socialización de los temas trabajados en clases debe centrarse en los siguientes aspectos:
• Cuando se entrega información a través de una razón A:B, las siguientes afirmaciones son falsas o al menos no
siempre verdaderas:
• A+B no es total.
• Las cantidades involucradas no necesariamente son A y B. Por ejemplo, si se sabe que la razón entre las respuestas correctas e incorrectas en un test es 5:3, eso no significa que el total de respuestas correctas sea 5 y las
incorrectas sean 3, pues podrían ser 25 correctas y 15 incorrectas.
• La razón A:B no es lo mismo que B:A.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Se sabe que de cada 10 chilenos encuestados (solo responden sí o no), 7 piensan que la selección chilena sí clasificará para el mundial de fútbol de 2014.
• ¿Cuál es la razón entre la cantidad de personas que cree que Chile no irá al mundial y los que sí lo creen?
• ¿Cuál es la razón entre los que piensan que Chile no irá al mundial y el total de encuestados?
Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
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PLAN DE CLASE Nº 3
Objetivo de la clase:
• Reconocer razones equivalentes y utilizarlas para
comunicar información.
INICIO / 20 minutos
• Pida que realicen en forma individual la Actividad 1 partes a), b), c) y d), cuyo propósito es que mediante amplificaciones o simplificaciones formen razones equivalentes a la dada. Así entonces:
•
•
•
•
Para la razón 6:4 se pueden tener razones equivalentes tales como 3:2 o 60:40
Para la razón 60:100 se pueden tener razones equivalentes tales como 30:50; 3:5; 6:10; 600:1000; 15:25
Para la razón 1,5:2 algunas respuestas posibles son 3:4; 15:20; 150:200 y también 0,75:1
Para la razón 10:2,5 algunas respuestas posibles son 100:25; 20:5; 80:20.
DESARROLLO / 50 minutos
• Pida que realicen en parejas la Actividad 2, cuyo propósito es que reconozcan que ambas razones son equivalentes
y por lo tanto Laura y Vicente están en lo correcto. Es importante que en la gestión de esta pregunta, usted
identifique si hay estudiantes que piensan que uno de los dos está equivocado; si es así, aproveche la oportunidad
de que ambas posiciones puedan discutir y socializar sus argumentaciones en la pizarra. Es probable que los que
piensen que solo Laura está en lo correcto, sea porque no entendieron lo de razones equivalentes (Actividad 1); en
ese caso haga que los estudiantes que piensan que ambos niños están correctos sean quienes expliquen.
5
• Finalice la actividad haciendo un cierre donde quede establecido que 3 = 15 , es decir, estamos en presencia de
9
dos razones equivalentes y por ello Laura y Vicente están en lo correcto.
• Pida que realicen la Actividad 3, cuyo propósito es que resuelvan problemas asociados a razones utilizando razones
equivalentes. Gestione para que puedan explicar los procedimientos mediante los cuales pudieron responder la
pregunta, los cuales podrían ser:
• Haciendo la representación gráfica, pero claramente este procedimiento resultará ineficiente pues demorará
mucho tiempo para representar los 6 queques.
• Señalando que si para 3 queques se necesitan 12 tazas de harina por cada 6 de leche, entonces doblando esa
cantidad se tienen 6 queques y por lo tanto se necesitan 24 tazas de harina por cada 12 tazas de leche.
• Realizan la Actividad 4, resolver problemas asociados a información comunicada en razones, utilizando amplificación o simplificación y, por ende, respondiendo a través de relaciones equivalentes. Es así que:
• En a) la razón involucrada es 100:400 y para responder cuántas rosas hay se debe amplificar convenientemente
la razón dada para obtener un 300 en el antecedente. Es decir,
100 claveles = 100 • 3 = 300 claveles
400 rosas
400 • 3
1200 rosas
Por lo tanto, la cantidad de rosas es 1200 si se quiere mantener la razón entre claveles y rosas.
10 / Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
• En b) la razón 6 tazas de arroz por cada 12 tazas de agua permite preparar arroz para 16 personas, por lo tanto,
la razón es 6:12. Para determinar la cantidad de tazas de agua necesarias para preparar arroz para 8 personas,
existen dos procedimientos:
• 8 personas es la mitad de 16 personas, por lo tanto la razón 6:12 se simplifica por 6 y se obtiene la razón
equivalente 1:2 y eso significa que por cada 1 taza de arroz se necesitan 2 tazas de agua.
6 tazas de arroz = 6 : 2 = 1 taza de arroz
12 tazas de agua 12 : 2
2 tazas de agua
• Realizan la parte c) de manera similar a la anterior.
CIERRE / 10 minutos
La socialización de los temas trabajados en clases debe centrarse en los siguientes aspectos:
• Dada una razón A:B se pueden tener razones equivalentes ya sea amplificando o simplificando la razón. Por
ejemplo, la razón 400:600 es equivalente con 40:60 y también es equivalente con 4:6 y con 2:3. A su vez, si
amplificamos también es equivalente con 80:120
• Cuando dos o más razones son equivalentes se pueden escribir mediante una igualdad. Ejemplo:
400 = 200 = 100 = 40 = 4 = 2
600
300
150
60
6
3
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
1) Dada las siguientes razones escribe tres razones equivalentes.
a. 75 : 100
b. 3 : 5
c. 4 : 3
d. 2,5 : 10
e. 4 : 2,5
2) Los resultados de una encuesta indican que 4 de cada 10 personas reciclan la basura. Considerando la información
anterior responde las siguientes preguntas:
a. ¿Cuál es la razón que relaciona la cantidad de personas que reciclan la basura con el total de personas?
b. Escribe dos razones equivalentes a la anterior.
c. Si la cantidad de personas encuestadas es 100, ¿cuántas personas no reciclan la basura?
Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
11
PLAN DE CLASE Nº 4
Objetivo de la clase:
• Resolver problemas de razón en situaciones
contextuales.
INICIO / 30 minutos
• Pida que realicen la Actividad 1, cuyo foco está en que reconozcan razones equivalentes y determinen razones a
partir de la información planteada. En la parte a) se espera que reconozcan que Vicente y Laura están en lo correcto porque las razones involucradas son equivalentes: 1 = 5 . Gestione para que fundamenten, mediante la
4
20
amplificación o simplificación, que ambas razones son equivalentes.
• En el problema b) deberán socializar sus respuestas y es parte de la gestión de la clase que puedan hacerlo. Se
espera que al finalizar esta socialización estén de acuerdo en que María y Roberto están en lo correcto, aunque
expresan razones distintas. Las respuestas esperadas son:
• Si 3 de cada 4 personas llevan el celular a la escuela, entonces 1 de cada 4 personas no lo lleva, por lo tanto, la
razón que expresa María es 3:4 y la razón que expresa Roberto es 1:4.
• La razón entre los que llevan celular y los que no lo hacen es 3:1. Observe y haga que los estudiantes socialicen
sus respuestas, pues puede ocurrir que algunos tengan escrito 1:3. Si ese es el caso, no dé la respuesta sino que
gestione para que decidan cuál es la respuesta correcta a la pregunta planteada. Aquí es importante reconocer
en la pregunta cuál es el antecedente y cuál el consecuente.
• Para determinar la cantidad de estudiantes que llevan celular, en un escuela con 1000 estudiantes, el
procedimiento esperado es que amplifiquen convenientemente para formar 1000 en el consecuente de la razón
3:4. Es decir:
3 = 3 • 25 = 75 = 75 • 10 = 750
4
4 • 25
100 100 • 10 1000
por lo tanto, 750 estudiantes llevan celular a la escuela.
DESARROLLO / 40 minutos
• Pida que trabajen individualmente la Actividad 2, cuyo propósito es que formen razones equivalentes a partir de
una razón dada, ya sea amplificando o simplificando.
• Los problemas a) y b) de la Actividad 3 requieren utilizar razones equivalentes para su resolución, y la complejidad radica en encontrar la amplificación o simplificación conveniente que permita responder la pregunta. Por
ejemplo:
• En el problema a) la razón que entrega la información del problema es 2:5 (2 de cada 5 estudiantes quieren
estudiar en el extranjero) y para determinar cuántos quieren ir a estudiar de un total de 1.000.000, se debe
amplificar convenientemente y formar la cantidad 1 millón en el consecuente, es decir:
2 = 2 • 20 = 40 = 40 • 10.000 = 400.000
5
5 • 20
100 100 • 10.000 1.000.000
12 / Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
por lo tanto, son 400.000 estudiantes los que quieren estudiar en el extranjero.
2 = 2 • 20 = 40 = 40 • 10.000 = 400.000
5
5 • 20
100 100 • 10.000 1.000.000
• En el problema b) la razón es 20 personas cada 2 minutos, por lo tanto, para establecer cuántas personas
ingresan en 60 minutos se debe amplificar la razón de forma conveniente, es decir:
20 personas = 20 • 30 = 600 personas
2 minutos
2 • 30
60 minutos
por lo tanto, 600 personas ingresaron en 1 hora.
• Pida que trabajen individualmente la Actividad 4, en que deben completar las tablas a partir de la razón dada, y
para ello deben formar razones equivalentes.
CIERRE / 10 minutos
• La socialización debe centrarse en que los problemas involucran los conceptos de razón y razón equivalente, es
decir:
• interpretar razones: por ejemplo, la razón 3:4 se puede interpretar en la Actividad 1 b) como que 3 personas de
cada 4 utilizan celular.
• reconocer razones equivalentes: es decir, 3:4 es equivalente con 30:40
3
30
• formar razones equivalentes mediante la amplificación o simplificación: =
4
40
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
1) La razón entre la longitud de la base y la altura de un rectángulo es 4:1. Sabiendo que el perímetro es 20 cm,
¿cuánto miden la base y la altura del rectángulo?
2) En la escuela se hizo una medición acerca del sobrepeso de los estudiantes. Los informes indican que por cada 3
estudiantes con peso normal, 1 tiene sobrepeso.
• ¿Cuál es la razón entre los estudiantes con peso normal en relación con la población total de estudiantes?
• Si en la escuela hay 1 500 estudiantes, ¿cuántos con sobrepeso hay en total?
Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
13
PLAN DE CLASE Nº 5
Objetivo de la clase:
• Relacionar el concepto de razón con el de
porcentaje en situaciones contextuales.
INICIO / 20 minutos
• Realizan individualmente la Actividad 1, en que deben relacionar el concepto de razón con porcentaje, haciendo
amplificaciones o simplificaciones convenientes para tener así una razón equivalente pero con consecuente 100.
Es esperable que la conversión de porcentaje a fracción no les resulte compleja, pues A% = A:100. Sin embargo,
algunas razones sí podrían ser un poco difíciles y por ello es importante en la gestión de la clase, que la socialización de los procedimientos y resultados sean hechos de forma efectiva para que puedan aparecer las dificultades
o errores que puedan presentar. Si se valida inmediatamente la respuesta correcta, muchos alumnos borrarán sus
producciones y no se podrá saber en que se estaban equivocando.
Razón
Porcentaje
Razón
Porcentaje
3 es a 4
3 = 3 • 25 = 75 = 75%
4
4 • 25
100
30% = 30 = 30 : 10 = 3
100 100 : 10 10
30%
2 de cada 5
2 = 2 • 20 = 40 =
5
5 • 20 100 40%
10 de cada 25
40:100 = 40%
60:100
60%
5:100
5%
1:5
20:100 = 20%
15,5:100
15,5%
1:100
1%
35,2 : 100
35,2%
8:100
8%
4,5:50
9:100 = 9%
DESARROLLO / 45 minutos
• En la Actividad 2 el propósito es que dada la información en forma de razón, los estudiantes puedan escribir el
porcentaje asociado y determinar el porcentaje de una cantidad. En el problema a) la información es “3 de cada
5 perritos prefieren el alimento Huesitos para Campeones”, y a partir de ello los alumnos deben responder las
siguientes preguntas:
¿Cuál es la razón entre la cantidad de perros que prefieren el alimento y el total?
3:5
¿Qué porcentaje de perros prefiere el alimento “Huesitos para Campeones” Explica cómo lo obtuviste.
3 = 3 • 20 = 60 , por lo tanto el 60% de los perritos
5
5 • 20 100
14 / Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
Si la tienda tiene 25 perritos, ¿cuántos escogieron el alimento? Explica cómo lo resolviste.
3 = 3 • 5 = 15 , entonces 15 perritos escogieron el alimento
5
5•5
25
¿Cuánto es el 60% de 25?
El 60% de 25 perritos es 15 porque 3 = 3 • 5 = 15 = 60
5
5 • 20
25 100
En el problema b) la información dada es que 3 de cada 4 celulares son del tipo smartphone
• ¿Cuál es la razón entre la cantidad de smartphones y el total?
3:4
• ¿Qué porcentaje del total de celulares vendidos son smartphones? Explica cómo lo obtuviste.
3 = 3 • 25 = 75 , por lo tanto el 75% de los celulares son smartphones
4 4 • 25 100
• Si la tienda vendió 200 celulares, ¿cuántos de ellos son smartphones? Explica cómo lo resolviste.
3 = 3 • 25 = 75 = 75 • 2 = 150
4 4 • 25 100 100 • 2 200 , entonces se vendieron 150 celulares del tipo smartphones
• ¿Cuánto es el 75% de 200?
El 75% de 200 es 15 porque 75 de 200 = 150
100
CIERRE / 15 minutos
La socialización de los temas trabajados en clases debe centrarse en los siguientes aspectos:
• El porcentaje es una razón cuyo consecuente es 100.
• El A% se interpreta como A partes de un total de 100 partes.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
1) Laura dice que 1:3 es lo mismo que el 30%. ¿Estás de acuerdo con Laura? Explica tu respuesta.
2) En una encuesta realizada se les preguntó qué tipo de actividades recreativas hacían en su casa. 5 de cada 8
estudiantes manifestaron jugar en el computador.
• ¿Cuál es la razón entre los que no juegan en el computador y el total?
• ¿Qué porcentaje de alumnos del total de encuestados prefiere jugar en el computador? Explica cómo lo
obtuviste.
• Si la cantidad de alumnos encuestados es 600, ¿cuántos de ellos juegan en el computador? Explica cómo lo
resolviste.
Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
15
PLAN DE CLASE Nº 6
Objetivo de la clase:
• Sumar y restar fracciones de igual denominador,
de manera pictórica y mental.
INICIO / 15 minutos
• Revise la tarea.
• El objetivo de esta clase es retomar la resolución de problemas aditivos con fracciones, así como el estudio de las
técnicas de cálculo asociadas. Dado que los conceptos de razón y fracción, siendo diferentes, tienen algunas características comunes (por ejemplo, la notación), se ha destinado una clase para trabajar la adición y sustracción de
fracciones de igual denominador, con el objetivo de instalar el tema de manera que los conceptos vistos en clases
pasadas no interfieran con el logro de los objetivos de aprendizaje asociados a fracciones.
• Por otra parte, se introduce el estudio de fracciones a partir de la búsqueda de relaciones entre los procedimientos
pictóricos y escritos de suma y resta de fracciones. La clase se ha diseñado con el objetivo de que sus estudiantes
descubran que los cálculos con fracciones de igual denominador se asocian a cálculos sobre una medida común o
bien, sobre una unidad de fraccionamiento dado y estable. Como consecuencia de ello, se espera que alumnas y
alumnos descubran o recuerden, según sea el caso, que solo deben operar los numeradores.
• Pida que lean la Actividad 1, cuyo contexto es algo cotidiano y factible de ser reconocido por la mayoría. Responden las preguntas y explican sus respuestas. Durante la socialización cuide el lenguaje empleado. La primera
pregunta cuestiona sobre la “cantidad de octavos”. Utilice esta frase constantemente durante la gestión de la
actividad (por ejemplo, ¿cuántos octavos tienen en total?), de modo que reconozcan que se está trabajando sobre
una medida común: 1 k. Verifique con especial cuidado que registren en forma correcta las cantidades fracciona8
rias. La última parte releva tanto el procedimiento como su notación; se espera que el curso concluya que cuando
se suman fracciones de igual denominador, se suman los numeradores y se conserva el denominador, porque el
denominador representa la unidad de medida común a ambas fracciones.
DESARROLLO / 50 minutos
• En la Actividad 2 se busca profundizar tanto en la argumentación asociada a la técnica de cálculo, como en su
aplicación a situaciones de fraccionamiento parte-todo. Pida al curso que represente la situación inicial planteada.
Se espera que, en función del contexto, propongan una representación en la que se muestran los 5 octavos y
eliminan uno de ellos, simulando con ello la acción de perder 1 octavo.
1 kg
8
1 kg
8
1 kg
8
1 kg
8
1 kg
8
• Lo relevante no radica en el dibujo, sino en que las y los estudiantes utilicen esta representación para explicar
que 5 – 1 = 4 . Recuerde promover que en la argumentación las cantidades se formulen en función de los
8 8
8
octavos.
16 / Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
• Solicite al curso que resuelva el problema de Margarita y Roberto. En este caso, promueva que las cantidades se
describan en función de la cantidad de séptimos que se pintaron, y de la cantidad de séptimos que quedan sin
pintar.
• Pida a quienes vayan terminando de registrar sus respuestas que avancen a la Actividad 3. Aquí deben aplicar la
misma técnica de cálculo en contextos un poco más diversos. En el Problema 1, la acción de juntar las cantidades
da como resultado una fracción impropia. Dada la naturaleza del problema, lo importante no es transformar
este resultado a número mixto, por cuanto señalar que juntaron 7 kg de harina es comprensible. Es importante
5
que pregunte al curso si entienden que juntaron más de un kilo de harina, pero no exija innecesariamente la
transformación, salvo que los mismos estudiantes la propongan.
• El Problema 2 involucra números mixtos. Acá tampoco es necesaria la transformación, ya que el ámbito numérico
permite operar sobre las fracciones propias solamente. Si hay estudiantes que tengan dificultades, pida que
representen el problema sobre la recta del Cuaderno de trabajo y muestren los desplazamientos realizados por
Roxana.
1 km
1 km
1 km
1 km
1 km
1 km 1 km
4
4
• Pida al curso que complete la Actividad 4, la cual es de práctica y afianzamiento de la técnica en estudio.
CIERRE / 15 minutos
La socialización de los temas trabajados en clases debe centrarse en los siguientes aspectos:
• El denominador de una fracción es muy importante, porque nos indica cómo está fraccionado el entero, y nos
sirve para cuantificar la parte.
• Cuando las fracciones son de igual denominador, es muy fácil representar de forma pictórica la suma y resta de
estas fracciones.
• Cuando las fracciones son de igual denominador, la suma o resta de estas fracciones se calcula sumando solo los
numeradores.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Resuelve el siguiente problema: Para una fiesta, Pablo compró varias botellas de bebida: dos botellas de 1 1 litro,
2
y una de 2 1 litro. Si al terminar la fiesta sobró 1 litro, ¿cuánta bebida se consumió durante la celebración?
2
2
Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
17
PLAN DE CLASE Nº 7
Objetivo de la clase:
• Sumar y restar fracciones de distinto
denominador, amplificando y simplificando de
manera pictórica, mental y escrita.
INICIO / 15 minutos
• Revise la tarea.
• En esta clase se introducen en forma paulatina las fracciones de distinto denominador, como términos de una
adición o una sustracción. Observará que las técnicas de cálculo que se abordarán no requieren del cálculo del
mínimo común múltiplo, sino que se buscará que niños y niñas descubran procedimientos significativos de determinación de la suma y la resta, partiendo de representaciones pictóricas y avanzando hacia representaciones
simbólicas, apoyadas fuertemente en el procedimiento abordado en la clase anterior. De esta forma, se busca que
comprendan que la adición y sustracción de fracciones gira en torno a una técnica de cálculo nuclear, evitando con
ello que crean que deben aprender varios procedimientos, aparentemente sin conexión.
• Pida que lean el enunciado de la Actividad 1, y verifique que todos entienden el contexto. Señale al curso que
completen la información que falta. Aquí, la fracción asociada a la segunda pizza puede ser representada de tres
formas distintas: 1 , 2 o 4 . Verifique que comprendan que todas estas representaciones son válidas; es posible
2 4
8
que algún niño o niña conozca el concepto de fracción equivalente; si esta idea surge, destáquela en el sentido de
que todas estas representaciones cuantifican la misma porción de pizza.
• Pregunte ahora, en total, cuánta pizza tiene anchoas. Aquí es donde la elección de la fracción adecuada puede
permitir responder en forma muy rápida el cálculo. En particular, la elección de la fracción 2 permite sumar frac4
ciones de igual denominador.
• Destaque el hecho de que fue conveniente que, en la segunda pizza, la fracción 4 se simplificara de modo de
8
igualar denominadores.
1 +4 = 1 +2 = 3
4 8
4
4
4
Simplificando por 2.
DESARROLLO / 50 minutos
• Pida que resuelvan la Actividad 2, en la que deberán realizar varios cálculos de sumas y restas de fracciones con
distinto denominador. Todos los cálculos tienen en común que uno de los términos se puede simplificar. Esto es
importante, por cuanto la estrategia de resolución de estos cálculos es la de igualar denominadores para aplicar el
procedimiento de la clase anterior. Verifique que registran en forma explícita el procedimiento de amplificación o
simplificación, o que al menos señalan por cuánto están amplificando o simplificando.
• En la Actividad 3 deberán evaluar la afirmación de Cristina, quien plantea que, en virtud del procedimiento de la
actividad anterior, como 6 es múltiplo de 3, hay que simplificar la fracción 1 , pero como ello no es posible, no se
6
puede resolver el cálculo. Aquí, la actividad se ha diseñado de modo de anticipar dos posibles escenarios.
18 / Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
• Escenario 1: El curso propone de inmediato la amplificación de la fracción 1 como estrategia de solución. Si
3
esto ocurra, no diga que la respuesta es correcta, sino que gestione para que las respuestas a las preguntas sean
bien argumentadas, y pida al curso que utilice las representaciones para apoyar y verificar tal argumentación.
Estas representaciones están disponibles como medio de verificación. Además, servirán de soporte para la
argumentación, en caso de que gran parte del curso no haya comprendido la estrategia.
• Escenario 2: El curso no propone la amplificación o bien, una parte importante está de acuerdo con Cristina. En
este caso permita que argumenten y registre sus respuestas, sin señalar que son correctas o incorrectas. Luego,
pida que completen las representaciones. Pregunte cómo lo hicieron para cuantificar el resultado de 1 + 1 , y
6
3
destaque las respuestas en que fraccionaron los tercios en sextos (es decir, a quienes amplificaron pictóricamente).
Utilice estas respuestas para gestionar el procedimiento de cálculo.
• La Actividad 4 busca establecer la posibilidad de actuar sobre ambas fracciones, y no solo sobre una de ellas.
Esta estrategia será muy importante aquí, ya que contempla cálculo con fracciones cuyos denominadores no son
múltiplos entre sí.
Amplificando por 2
1 +1 = 3 +2 = 5
2 3
6
6
6
Amplificando por 3
CIERRE / 15 minutos
La socialización de los temas trabajados en clases debe centrarse en los siguientes aspectos:
• Sumar y restar fracciones de distinto denominador no es difícil, solo hay que igualar los denominadores de ambos
términos.
• Para igualar los denominadores de las fracciones, hay que amplificar o simplificar una fracción o ambas.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Observa los siguientes cálculos:
1 +1
2 4
;
1 +3
15 10
;
5 – 1
6
9
;
1 – 1
7 10
• ¿En qué te fijaste para saber por cuánto amplificar cada fracción?
Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
19
PLAN DE CLASE Nº 8
Objetivo de la clase:
• Explicar procedimientos para sumar números
mixtos.
INICIO / 15 minutos
• Se introduce el cálculo de sumas y restas con números mixtos y, en particular, se abordan tres tipos de escenarios
que convendrá estudiar con cuidado, ya que aunque se basan en las técnicas de las clases anteriores, la naturaleza
aditiva de la representación mixta introduce otro tipo de consideraciones.
• Describa la Actividad 1, en la cual se presentan tres problemas que deberán ser representados y resueltos. Dado
que en la clase se revisarán varios procedimientos, se ha incluido el desarrollo del primer problema para que las
y los estudiantes lo usen como modelo de representación. Pida a algunos estudiantes que describan el desarrollo
de este primer problema, y destaquen aquellos elementos que les llamen la atención. Al menos, debieran hacer
notar dos temas:
• El uso de procedimientos conocidos de suma de fracciones (amplificación para igualar denominadores).
• La reorganización de los datos, juntando las partes enteras y las partes decimales como una estrategia que facilita el cálculo de la operación (veremos que esta estrategia no funciona en las actividades siguientes, pero no
adelante nada por ahora).
• Es muy importante que usted verifique que estas dos ideas son comprendidas y relacionadas con las representaciones previamente desplegadas en la actividad; en caso contrario, muestre la amplificación pictórica, así como la
reorganización de los términos de los números mixtos.
DESARROLLO / 50 minutos
• Pida que desarrollen los problemas 2 y 3. Las estrategias empleadas por niños y niñas se irán optimizando. En
cada caso, pida que representen los procedimientos, y destaque que en ellos se observa una estructura aditiva
subyacente a la escritura de los números mixtos (en el primer problema este hecho se destaca en la igualdad
3 + 3 = 3 3 ).
4
4
• Realizan la Actividad 2. Se presenta un problema de adición de números mixtos, en el que la suma de las partes
fraccionarias da como resultado una fracción impropia. Señale que esto exige realizar un procedimiento adicional:
2 4 + 1 3 =3 + 7 =3 + 5 + 2 = 4 + 2 = 4 2
5
5
5
5
5
5
5
• Señale claramente que el procedimiento anterior es correcto. No obstante, indique que el desarrollo del problema
busca enseñar un procedimiento que es más eficiente, pues se evita obtener una fracción impropia dentro del
número mixto. Pida a un niño o niña que describa el procedimiento propuesto, y que destaque aquellos elementos
con los cuales está de acuerdo o bien, que le llaman la atención. El hecho de que el primer sumando sea casi un
entero debiera ser evidente para todo el curso; en caso contrario, gestione para destacar este hecho. Muestre
que la reorganización de los datos permiten completar el entero, y que esta simple acción facilita enormemente
el cálculo, tal como se aprecia en el Cuaderno de trabajo. Discuta el procedimiento, así como las ideas centrales
20 / Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
destacadas por la niña en el cuaderno, y pida que practiquen este procedimiento con los cálculos propuestos al
final de la actividad. Si alguien muestra dificultades en la aplicación de la técnica, pídale que represente el cálculo,
y luego oriente el registro de los resultados.
• Una vez que el curso haya finalizado, realicen la Actividad 3, en la cual se muestra un procedimiento optimizado de
sustracción de números mixtos. La estructura de la gestión de la actividad es muy similar a la anterior, y consta de:
descripción del problema, análisis de la representación y de las acciones realizadas sobre ella, análisis del registro
escrito, sistematización y aplicación de la nueva técnica.
• En este caso, una posibilidad es que usted cuente con material concreto en su sala de clases con el objeto de
mostrar que la diferencia, frente a la transformación propuesta, se mantiene constante. En la medida que niñas y
niños se muestren convencidos de que la diferencia no sufre modificación, se generarán las condiciones para que
apliquen la técnica con confianza de que el resultado no sufre alteración.
CIERRE / 15 minutos
La socialización de los temas trabajados en clases debe centrarse en los siguientes aspectos:
• El cálculo de sumas y restas con números mixtos necesita de algunas consideraciones especiales.
• Un número mixto es una notación aditiva, esconde la adición de un número entero con una fracción propia.
• En ocasiones, los números mixtos se pueden sumar o restar sin problemas, operando por separado las partes
enteras y las partes fraccionarias.
• PARA LA SUMA DE FRACCIONES: cuando la suma de las partes fraccionarias excede la unidad (fracción impropia), los
datos se pueden reorganizar, traspasando una cantidad de una fracción a otra, con el objetivo de formar nuevos
enteros. Esto facilita mucho el cálculo.
• PARA LA RESTA DE FRACCIONES: cuando la resta de las partes fraccionarias no se puede calcular, se puede agregar
o quitar la misma cantidad a ambas fracciones, con el objetivo de formar un entero en el sustraendo. Esto facilita
mucho el cálculo.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Compara los siguientes cálculos:
99 + 24 = 100 + 23 = 123
2 6 +1 4 = 3 +1 3 = 4 3
7
7
7
7
Traspaso 1
7
Traspaso 1 unidad
• ¿En qué se parecen los cálculos?
Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
21
PLAN DE CLASE Nº 9
Objetivo de la clase:
• Resolver problemas aditivos con fracciones, en
diversos contextos, calculando y argumentando
el resultado de sumas y restas con fracciones y
números mixtos.
INICIO / 15 minutos
• Revise la tarea, ya que permite establecer conexiones entre la aritmética de los números naturales, con la de la
operatoria de fracciones. El establecimiento de estas relaciones busca fortalecer la comprensión de cómo las
operaciones aritméticas aditivas, aunque las técnicas parecen muy diferentes, se basan en principios comunes.
• Esta clase no solo es de sistematización de las distintas técnicas de adición y sustracción de cantidades fraccionarias, sino que además busca abordar el estudio de distintos tipos de problemas aditivos.
• Pida que desarrollen la Actividad 1, que busca representar y resolver una serie de tres problemas, ya que así las
tareas de representación de clases pasadas se pondrán en juego ahora. Los problemas que se presentan son de
composición de cantidades y medidas, es decir, problemas en donde los datos no sufren modificación. En general,
la representación de estos problemas usa las acciones de juntar o separar, y se debiera observar este hecho en las
representaciones que propongan las y los estudiantes.
Para el primer problema, una representación esperada es:
1 entero
1 entero
1 entero
1 entero
1 entero
1 entero
1 entero
1 entero
1 entero
1 entero
1
6
2 1 +3 1 =2 2 + 3 1 = 2 3 +3 =5 1
3
6
6
6
6
2
• Verifique que en el segundo problema, el curso identifica en forma adecuada que la operación que resuelve la
situación es una sustracción. En caso contrario, revise y socialice las representaciones. Si aún no comprendan el
problema, se sugiere que los ayude a construir una representación como la que se muestra.
• Verifique además que los cálculos están bien resueltos, es decir, que las técnicas de cálculo están bien aplicadas y
bien registradas.
?
11 kg
12
1 2 kg
3
22 / Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
DESARROLLO / 50 minutos
• Pida que desarrollen la Actividad 2, en la que deberán emprender los procedimientos puestos en juego por la
actividad anterior, pero esta vez en problemas de transformación de la cantidad o posición inicial. Aquí, el cambio
de cantidad o ubicación puede dar lugar a representaciones cualitativamente diferentes respecto a lo que sucede
en la actividad anterior. Esto no es malo, en la medida que niños y niñas sepan interpretar adecuadamente las
acciones realizadas sobre las representaciones, que en general son de agregar/quitar o avanzar/retroceder. Si
bien en esta actividad ya no se solicita la representación, señale que esta aún puede ser una herramienta para
comprender mejor los problemas. Por ejemplo, el último problema de la actividad es inverso, ya que la cantidad
final es uno de los datos del problema.
• La Actividad 3, aborda problemas en contextos geométricos, así como
problemas de comparación de cantidades por diferencia. En particular y
respecto al problema 2, este puede ser abordado de dos formas distintas:
calculando a través de sumas reiteradas el triple de la superficie de cada
tipo de baldosa y luego adicionar o bien, sumar las superficies de una
baldosa octogonal con una cuadrada, y luego triplicar tal superficie. Este
último procedimiento se relaciona con identificar al embaldosado como
una composición de 3 regiones, como se observa en la figura de la derecha.
• La Actividad 4 consiste en la realización de cálculos en los que se incluyen cálculos combinados (más de 2 términos).
CIERRE / 15 minutos
Pida que desarrollen la Actividad 4, que es de síntesis, y que argumenten sus procedimientos.
La socialización de los temas trabajados en clases debe centrarse en los siguientes aspectos:
• La adición y sustracción de fracciones y números mixtos permite resolver varios tipos de problemas.
• Para identificar la operación, en ocasiones puede ser muy útil representar el problema, en particular cuando no es
muy claro cuál operación se debe realizar.
• Las técnicas de cálculo de sumas y restas con números mixtos deben ser utilizadas con cuidado. Seleccionar la
técnica adecuada y eficiente es muy importante para poder realizar el cálculo en forma exitosa.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Resolver ejercicios y problemas del Cuaderno de trabajo u otro texto escolar, en preparación de la evaluación de
la unidad.
Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
23
PLAN DE CLASE Nº 10
Objetivo de la clase:
• Evaluar los aprendizajes de los estudiantes en el
Módulo 1, para retroalimentar aquellos temas
más deficitarios.
INICIO / 15 minutos
• Explique que se va a realizar una prueba que tiene como objetivo evaluar los contenidos de aprendizaje estudiados
en este período.
• Destaque la importancia de mantener una conducta apropiada durante el desarrollo de la evaluación.
• Señale que si no entienden alguna instrucción o pregunta, levanten la mano y usted se acercará para atenderlos.
• Entregue la prueba y recorra la sala registrando los temas que pueden estar presentando mayores dificultades.
DESARROLLO / 45 minutos
• Pida que comiencen a leer y responder la prueba. Recuerde que dejen anotados los cálculos que hacen para resolver los problemas.
• Observe con atención y vea si alguien está detenido en alguna pregunta.
• Escuche las preguntas y ayude a comprender los enunciados, sin dar la respuesta correcta o pistas.
• Registre las preguntas y estrategias que sus estudiantes emplean, muchas serán motivo de revisión del contenido.
• En caso que algunos alumnos finalicen la evaluación tempranamente, indíqueles que trabajen sobre las actividades de la clase 10 del cuaderno del estudiante.
LA SIGUIENTE INFORMACIÓN ES SOLO PARA USTED Y TIENE LA DESCRIPCIÓN DE LAS TAREAS INVOLUCRADAS
EN LA PRUEBA.
Se espera que un alumno que se ha apropiado de los conocimientos del período, logre realizar las siguientes tareas
matemáticas (descritas por pregunta):
1. Identifican y describen razones en contextos reales.
2. Expresan una razón de múltiples formas, como 3:5 o 3 es a 5.
3. Expresan una razón de múltiples formas, como 3:5 o 3 es a 5.
4. Resuelven problemas que involucran razones.
5. Explican la razón como parte de un todo.
6. Resuelven problemas que involucran razones.
7. Resuelven problemas que involucran razones, usando tablas.
8. Explican el porcentaje como una razón de consecuente 100.
9. Suman y restan fracciones de manera pictórica.
10. Suman y restan fracciones mentalmente, amplificando o simplificando.
11. Suman y restan fracciones de manera escrita, amplificando o simplificando.
24 / Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
12. Suman y restan fracciones de manera escrita, amplificando o simplificando.
13. Suman y restan fracciones de manera escrita, amplificando o simplificando.
14. Explican procedimientos para sumar y restar números mixtos.
15. Explican procedimientos para sumar y restar números mixtos.
CIERRE / 20 minutos
• Invite a los estudiantes a comentar la prueba.
• Pregunte: ¿Qué les pareció la prueba? ¿Cuál problema fue más sencillo de resolver? ¿Hubo algún problema que
les costó comprender?
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Indique a los alumnos que resuelvan las actividades de la clase 10 del Cuaderno de trabajo.
Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
25
PLAN DE CLASE Nº 11
Objetivo de la clase:
• Revisar las preguntas de la prueba y
retroalimentar a los estudiantes, en los ítems que
hayan manifestado una mayor dificultad.
INICIO / 15 minutos
• Explique que en esta clase revisarán y resolverán colectivamente algunos problemas y ejercicios de la prueba.
• Pida que comenten cuáles fueron las preguntas que más les costaron, y cuáles fueron las preguntas que les parecieron más fáciles.
• Priorice las que fueron resueltas en forma incorrecta u omitidas por un gran porcentaje de estudiantes. Para ello,
complete la información de la sección de orientaciones para el análisis de los resultados de la prueba.
• Como propuesta, en el Cuaderno de trabajo se han seleccionado aquellas que podrían haber presentado un mayor
grado de dificultad, por el nivel de complejidad involucrado en el ítem. No obstante, siéntase con la libertad de
analizar otros ítems en los cuales usted haya identificado que se manifestaron grandes dificultades.
DESARROLLO / 55 minutos
• Desarrollan la pregunta 3, que aborda principalmente preguntas de interpretación de razones, en particular, las
que se refieren a la identificación de relaciones parte-parte o parte-todo.
• En estos problemas, es posible que se observen dificultades relacionadas con que la alternativa correcta esté
expresada como una razón equivalente, lo que podría permitir que algunos alumnos o alumnas seleccionen otra
alternativa que relacione términos presentes en el contexto del problema.
• El tratamiento con las razones equivalentes podría hacer surgir la necesidad de aplicar más de una operación; es el
caso de la pregunta 4, en donde no se identifica a primera vista una única amplificación o una única simplificación
que permita reconocer el valor que falta y que permite establecer la proporción.
• Otra dificultad factible de encontrar es la no consideración de los contextos como un referente para responder
preguntas de cuantificación e interpretación de las razones.
• Pida que trabajen en parejas la pregunta 6 cual está asociada a resolver problemas que involucran la valorización
e interpretación de razones, ya sea en forma aritmética, o bien, en tablas simples.
• Requiere reconocer que la razón es parte-todo, y que esta relación permite proponer, por ejemplo, una descomposición de la población total de modo de hacer explícita la comparación por cuociente. Dicho de otro modo, si se
reconoce que 300.000 se puede escribir como 100.000+100.000+100.000, se puede establecer la relación con la
noción del “2 de cada 3” para la cantidad total descompuesta de esta forma. Ello permite seleccionar la alternativa
correcta incluso en forma mental.
• En la pregunta 7 se presenta como dato que la razón entre las cantidades se mantiene constante, como una
forma de establecer que los términos relacionados de la tabla forman parejas de números que permiten formular
razones equivalentes entre sí. La valorización de la razón, o bien, la determinación de una razón más conveniente
(por ejemplo, 70:1) permite determinar el valor que falta.
26 / Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
• En la pregunta 8 se busca interpretar al porcentaje como una razón de consecuente 100. Esto es importante debido a que la población de la situación es superior a 100, por tanto, hay que verificar que niñas ni niños confunden
los referentes absolutos (la cantidad) con los relativos (el porcentaje).
• La pregunta 11 está referida a operatoria de fracciones. Es explícitamente procedimental, y en el Cuaderno se
pide que muestren el resultado de emprender cada uno de tales procedimientos, como una forma de validar las
respuestas dadas por ellos. Se ofrece un espacio para que argumenten principalmente sus procedimientos de
cálculo.
• La pregunta 15 busca evaluar principalmente la apropiación de técnicas de cálculo de restas con números mixtos,
en particular, bajo condiciones en las cuales el traslado de la diferencia es un procedimiento eficiente de resolución.
CIERRE / 20 minutos
En la socialización respecto a los conceptos trabajados en la clase, gestione lo siguiente:
• Pregunte: ¿Qué estudiamos hoy día?
• Sintetice las respuestas de sus estudiantes y pida que lo escriban en el cuaderno.
• La idea es que sus estudiantes respondan y usted vaya anotando en la pizarra. En particular, será muy importante
que usted permita que expliciten las dificultades que tuvieron para resolver los problemas, cuáles fueron los
errores que cometieron, por qué los cometieron, y cómo se debían resolver los problemas.
Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
27
MATEMÁTICA / 6° BÁSICO
ORIENTACIONES PARA EL ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
Ítem
Indicador de
evaluación
3. Para preparar una mezcla de Identifican y descricemento, el maestro Juan Carlos ben razones en conempleó 9 kilos de cemento y 27 textos reales.
kilos de arena.
¿Cuál es la razón entre la cantidad
de cemento y la cantidad de arena
para hacer la mezcla?
A. 27:36
B. 9:36
C. 3:27
D. 1:3
7. Un auto que viaja de una ciu- Resuelven problemas
dad a otra, mantiene una veloci- que involucran razodad constante, es decir, la razón nes, usando tablas.
entre la distancia recorrida y el
tiempo que demora en recorrer esa
distancia se mantiene constante.
Observa la información parcial que
se entrega en la siguiente tabla:
Distancia
Tiempo [horas]
[kilómetros]
2
210
3
?
4
350
¿Cuál es la cantidad que falta en
la casilla de color gris?
A. 70
B. 140
Información
del curso
% L % NL
Orientaciones
remediales
Pida a niños y niñas que representen las
cantidades.
Pregunte constantemente por los términos de la razones de la alternativas que
tienen relación con la pregunta. Esto
permitirá descartar algunas alternativas.
Pregunte si buscaron la presencia de
razones equivalentes. Si la respuesta
es negativa, invítelos a proponer una
respuesta a la pregunta, y luego buscar,
dentro de las alternativas, si se halla una
razón que sea equivalente a la respuesta
dada.
Una estrategia inicial es completar la
tabla, incluso, agregar nuevas filas si
es necesario. En particular, la siguiente
tabla permite visualizar rápidamente el
valor de la razón.
Distancia
Tiempo [horas]
[kilómetros]
70
1
140
2
210
3
?
4
350
5
Lo anterior permite completar la tabla,
aun cuando emplea un procedimiento
poco eficiente.
Verifique que comprendan que el valor
de la razón podría determinarse sin necesidad de llenar la tabla completa.
C. 280
D. 350
28 / Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
MÓDULO Nº 1: RAZONES Y OPERACIONES CON FRACCIONES
Indicador de
evaluación
Ítem
Información
del curso
% L % NL
Orientaciones
remediales
8. Se aplicó una encuesta a un gru- Explican el porcentapo de 200 personas sobre su tenis- je como una razón de
ta favorito de los últimos tiempos. consecuente 100.
El 60% opinó que era Marcelo Ríos.
Esta pregunta busca evaluar una serie
de afirmaciones respecto de los resultados de una encuesta aplicada a 200
personas.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?
En este caso, la consideración de la
cantidad total de encuestados es importante, debido a que la población de
la situación es superior a 100; por tanto, hay que verificar que no confundan
los referentes absolutos (la cantidad)
con los relativos (el porcentaje).
A. El tenista favorito de la encuesta
es Marcelo Ríos.
B. En total, 40 personas no votaron
por Marcelo Ríos.
C. 60 de cada 100 personas
votaron por Marcelo Ríos.
D. La razón entre quienes votaron
por Marcelo Ríos y el total de
encuestados es 6:10.
15. En una panadería se elaboraron Explican procedimien32 1 kg de pan para vender. Al tos para sumar y restar
8
7 números mixtos.
finalizar el día, solo quedaba 1 8
kg de pan.
¿Cuánto pan vendieron durante
el día?
A. 31 6 kg
8
B. 30 2 kg
8
C. 30 1 kg
8
D. 30 kg
En el caso de las alternativas, pida escribir el dato numérico (razón o cantidad) asociada a cada alternativa.
La pregunta busca evaluar principalmente la apropiación de técnicas de
cálculo de restas con números mixtos,
en particular, bajo condiciones en las
cuales el traslado de la diferencia es un
procedimiento eficiente de resolución.
Pida que expliciten la técnica de cálculo, y la contrasten con la información
propuesta en la Clase 9 del Cuaderno
de trabajo.
Verifique que están comprendiendo
correctamente el problema, considerando que este es inverso.
(*) La columna información del curso debe ser llenada por cada docente, incorporando el porcentaje de estudiantes que contestaron el ítem en forma correcta (%L) y el porcentaje que lo hizo en forma incorrecta (%NL).
Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
29
PAUTA DE CORRECCIÓN / EVALUACIÓN MÓDULO 1
Ítem
Eje Temático
Indicador de Evaluación
Respuesta
1
Identifican y describen razones en contextos reales.
A
2
Expresan una razón de múltiples formas, como 3:5 o 3 es a 5.
B
3
Expresan una razón de múltiples formas, como 3:5 o 3 es a 5.
D
4
Resuelven problemas que involucran razones.
C
5
Explican la razón como parte de un todo.
B
6
Resuelven problemas que involucran razones.
C
7
Resuelven problemas que involucran razones, usando tablas.
C
8
Números y Operaciones Explican el porcentaje como una razón de consecuente 100.
B
9
10
11
12
13
Suman y restan fracciones de manera pictórica.
Suman y restan
plificando.
Suman y restan
simplificando.
Suman y restan
simplificando.
Suman y restan
simplificando.
fracciones mentalmente, amplificando o simfracciones de manera escrita, amplificando o
fracciones de manera escrita, amplificando o
fracciones de manera escrita, amplificando o
A
C
A
D
B
14
Explican procedimientos para sumar y restar números mixtos.
D
15
Explican procedimientos para sumar y restar números mixtos.
B
30 / Módulo Nº 1: Razones y operaciones con fracciones / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
6
o
Módulo Nº 2:
Patrones y álgebra
MATEMÁTICA
Guía didáctica
6
o
Módulo Nº 2:
Patrones y álgebra
MATEMÁTICA
Guía didáctica
NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA
División de Educación General
Ministerio de Educación
República de Chile
2013
6
o
Módulo Nº 2:
Patrones y Álgebra
MATEMÁTICA
Guía Didáctica / 6o básico
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA
2013
MATEMÁTICA / 6° BÁSICO
PRESENTACIÓN
El Módulo 2 de sexto año básico, tiene como propósito principal ofrecer una
herramienta de gestión curricular focalizada y basada en la organización de la
enseñanza para el logro de los siguientes objetivos de aprendizaje planteados
en la Unidad 2 del Programa de Estudios:
Demostrar que comprenden la relación entre los valores de una tabla y
pueden aplicarla en la resolución de problemas sencillos (OA9):
š _Z[dj_\_YWdZefWjhed[i[djh[beilWbeh[iZ[bWjWXbW"
š \ehckbWdZekdWh[]bWYedb[d]kW`[cWj[c|j_Ye$
Representar generalizaciones de relaciones entre números naturales, usando
[nfh[i_ed[iYedb[jhWio[YkWY_ed[iE7'&$
Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, utilizando estrategias
(OA6):
š kiWdZekdWXWbWdpW"
š kiWdZebWZ[iYecfei_Y_ŒdobWYehh[ifedZ[dY_W'W'[djh[beijƒhc_dei
en cada lado de la ecuación y aplicando procedimientos formales de
h[iebkY_Œd$
El eje Patrones y Álgebra de sexto año básico incorpora elementos novedosos
respecto de marcos curriculares previos, por cuanto considera todo el
conocimiento que se ha venido construyendo desde temprana edad en este
eje para sistematizar y formalizar una tarea matemática como la resolución
Z[[YkWY_ed[i$IedYedeY_ZWibWiZ_\_YkbjWZ[igk[j_[d[dbei[ijkZ_Wdj[i
h[if[YjeZ[[ijWWYj_l_ZWZ"[dfWhj_YkbWh"fheZkYjeZ[bW[di[‹WdpWZ[jƒYd_YWi
de resolución que no tienen una justificación o visualización que favorezca su
Wfhef_WY_Œd[dkdi[dj_ZeZ[YedijhkYY_ŒdZ[Wfh[dZ_pW`[iZ[YWb_ZWZ$
Esta propuesta contiene una secuencia de actividades problematizadoras que
buscan promover estrategias de resolución de ecuaciones en el contexto del
desarrollo de las habilidades del marco curricular, principalmente de modelación
2 / Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
MÓDULO Nº 2: PATRONES Y ÁLGEBRA
y representación, fundamentales para emprender la realización y resolución
Z[WYY_ed[iofheXb[cWi[if[Y‡\_YeiZ[bWl_ZW$;dfWhj_YkbWh"i[Z[ijWYW[b
desarrollo de un pensamiento variacional como una forma de generalizar
h[]kbWh_ZWZ[io[ijWXb[Y[h[YkWY_ed[i$
Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
3
Programación Módulo 2 Matemática 6º Básico
CLASES
/HRS
1-3
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
INDICADORES DE EVALUACIÓN
Demostrar que comprenden la relación
entre los valores de una tabla y aplicarla
en la resolución de problemas sencillos:
š Identificando patrones entre los valores
de la tabla,
š Formulando una regla con lenguaje maj[c|j_YeE7/$
š Establecen relaciones que se dan entre los valores dados en una
jWXbW"kiWdZeb[d]kW`[cWj[c|j_Ye$
š Crean representaciones pictóricas de las relaciones que se dan
[dkdWjWXbWZ[lWbeh[i$
š Usando la relación entre los valores de una tabla, predicen los
lWbeh[iZ[kdjƒhc_deZ[iYedeY_Zeol[h_\_YWdbWfh[Z_YY_Œd$
š Formulan una regla que se da entre los valores de dos columnas
Z[d‘c[hei[dkdWjWXbWZ[lWbeh[i$
š ?Z[dj_\_YWd[b[c[djeiZ[iYedeY_Zei[dkdWjWXbWZ[lWbeh[i$
š :[iYh_X[dfWjhed[i[dkdWjWXbWZ[lWbeh[iZWZei$
š Crean una tabla de valores para registrar información y destacar
kdfWjhŒdYkWdZei[h[ik[bl[kdfheXb[cW$
š Representar generalizaciones de relaciones entre números naturales, usando expresiones con letras y ecuaciones
E7'&$
š Escriben y explican la fórmula para encontrar el perímetro de un
h[Yj|d]kbe$
š Escriben y explican la fórmula para encontrar el área de un recj|d]kbe$
š Usan letras para generalizar la propiedad conmutativa de la adiY_ŒdobWckbj_fb_YWY_Œd$
š Describen la relación entre los valores en una tabla, usando una
[nfh[i_Œd[dgk[_dj[hl_[d[db[jhWi$
š Representan la regla de un patrón, usando una expresión en que
_dj[hl_[d[db[jhWi$
š Resolver ecuaciones de primer grado
con una incógnita, utilizando estrategias
como:
š kiWdZekdWXWbWdpW
š kiWh bW Z[iYecfei_Y_Œd o bW Yehh[ifedZ[dY_W'W'[djh[beijƒhc_dei[d
cada lado de la ecuación y aplicando
procedimientos formales de resoluY_ŒdE7''$
š Determinan soluciones de ecuaciones que involucran sumas,
W]h[]WdZeeX`[jei^WijW[gk_b_XhWhkdWXWbWdpW$
š Expresan números en una forma que involucre adiciones o susjhWYY_ed[iYedd‘c[hei$Feh[`[cfbe0[nfh[iWd'-[dbW\ehcW
(š.!'"e(+[dbW\ehcW)š/¸($
š Expresan números en una forma que involucre adiciones o susjhWYY_ed[iYedd‘c[heioYed_dYŒ]d_jWi$Feh[`[cfbe0[nfh[iWd
'/[dbW\ehcW*šn!)$
š Resuelven ecuaciones, descomponiendo de acuerdo a una forma
ZWZWo^WY_[dZekdWYehh[ifedZ[dY_W'W'$Feh[`[cfbe0h[ik[bl[dbW[YkWY_Œd+šn!*3)/"[nfh[iWdZe)/[dbW\ehcW+šn!*"
oc[Z_Wdj[Yehh[ifedZ[dY_W'W'Z[j[hc_dWd[blWbehZ[n$
š Aplican procedimientos formales, como sumar o restar números
WWcXeibWZeiZ[kdW[YkWY_ŒdfWhWh[iebl[h[YkWY_ed[i$
š ;lWbkWhbeiWfh[dZ_pW`[iZ[bCŒZkbe($
š Retroalimentar los objetivos de aprendizaje considerando los resultados de la
Fhk[XW$
š Realizan la Prueba, cuyos ítems se construyen a partir de los inZ_YWZeh[iZ[be]heZ[bCŒZkbe($
š Retroalimentación de los objetivos de aprendizaje considerando
los indicadores menos logrados o que presentaron mayores di\_YkbjWZ[i$
6 horas
4-6
6 horas
7-9
6 horas
10 - 11
4 horas
4 / Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
EJEMPLOS DE PREGUNTAS
REFERENCIA AL TEXTO ESCOLAR
REFERENCIA A OTROS RECURSOS
š Revise páginas del texto referidas
WbYedj[d_Ze[d[ijkZ_e$
š Patrones:
^jjf0%%dblc$kik$[Zk%[i%dWl%\hWc[iU
Wi_ZU)(.U]U)UjU($^jcb5ef[d3WYj_l_j_
[i\hec3YWj[]ehoU]U)UjU($^jcb
š Un rectángulo mide b cm de ancho y
2bYcZ[bWh]e$«9k|b[iikf[h‡c[jhe"i_X3*5
7$ ,Yc
8$ '(Yc
9$ ',Yc
:$ (*Yc
š Revise páginas del texto referidas
WbYedj[d_Ze[d[ijkZ_e$
^jjf0%%mmm$
Ykhh_Ykbkc[db_d[Wc_d[ZkY$Yb%,&+%m)#
Whj_Yb[#'-,/+$^jcb
š El resultado de la ecuación
š Revise páginas del texto, referidas
WbYedj[d_Ze[d[ijkZ_e$
š Ecuaciones:
^jjf0%%dblc$kik$[Zk%[i%dWl%\hWc[iU
Wi_ZU(&'U]U)UjU($^jcb5ef[d3_dijhkY
j_edi\hec3YWj[]ehoU]U)UjU($^jcb
'$ EXi[hlWbWi_]k_[dj[jWXbW$
ENTRADA
SALIDA
)
9
4
10
+
11
6
12
¿Cuál de las siguientes reglas, expresadas en lenguaje matemático, determina la relación entre los datos de
la tabla?
7$ ,šd
8$ -šd
9$ d!'
:$ d!,
'.3(n¸([i0
7$
8$
9$
:$
.
/
'&
''
Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
5
PLAN DE CLASE Nº 1
EX`[j_leZ[bWYbWi[0
š ;ijWXb[Y[hh[bWY_ed[i[djh[bWiYWdj_ZWZ[iZWZWi
[dkdWjWXbWZ[lWbeh[i$
INICIO / 15 minutos
š Pida que trabajen individualmente las Actividades 1 y 2, cuyo propósito es que escriban en lenguaje algebraico
kdWh[bWY_ŒdWZ_j_lWi_cfb[gk[ZƒYk[djWZ[bWh[]bWZ[\ehcWY_ŒdZ[bWii[Yk[dY_Wi$;i_cfehjWdj[Yedi_Z[hWh
que este tipo de actividades fue abordado en cursos anteriores, pero la diferencia es que ahora se debe escribir
\ehcWbc[dj[bWh[bWY_Œd$FWhWbW7Yj_l_ZWZ'bWh[ifk[ijW[if[hWZW[iF¸(oF!($
š En la Actividad 2 las preguntas a), b) y c) no deberían presentar mayores dificultades, ya que la secuencia es creY_[dj[0i_i[WlWdpWi[ikcWoWbh[jheY[Z[hi[h[ijW$DeeXijWdj["bWifh[]kdjWiZo[[lebkY_edWd[dYecfb[`_ZWZfk[iiedi[Yk[dY_WiZ[iY[dZ[dj[i1[dZ[i[if[hWXb[[hheh[ijWb[iYece0I¸*oI!*"YkWdZebWh[ifk[ijW
Yehh[YjW[iI!*oI¸*
DESARROLLO / 50 minutos
š F_ZWgk[[d]hkfeiZ[YkWjheh[Wb_Y[dbW7Yj_l_ZWZ)"YkoefhefŒi_je[igk[h[YedepYWdkdWh[bWY_Œddkcƒh_YW
WZ_j_lW[djh[bei[b[c[djeiYedi[Ykj_leiZ[kdWjWXbW"fWhj_hZ[h[fh[i[djWY_ed[if_YjŒh_YWiZ[fWjhed[iYh[Y_[dj[i$
;dWi[[if[hWgk[Wb[iYh_X_h'")"+"-"i[Z[dYk[djWZ[gk[fWhWi[]k_hWlWdpWdZeiebe^Wogk[ikcWh($;dbWi
WYj_l_ZWZ[iXoYi[h[bWY_edWbWfei_Y_ŒdYedbWYWdj_ZWZZ[jhWpeigk[_dj[hl_[d[d[dbW\_]khW$;dXi[[if[hW
gk[Wb[iYh_X_hbWi[Yk[dY_W)"+"-"/"i[Z[dYk[djWZ[gk[fWhWi[]k_hWlWdpWdZeiebe^Wogk[ikcWh(ode[i
d[Y[iWh_e^WY[hbeiZ_Xk`ei$;dYbWi[Yk[dY_W[i,"''"',"('ofehbejWdje"fWhW[dYedjhWhbeiejheilWbeh[ii[
Z[X[_hikcWdZe+oWi‡Yecfb[jWhbWjWXbWYed(,o)'$
š F_ZWgk[jhWXW`[dbW7Yj_l_ZWZ*[d]hkfei"YkoefhefŒi_je[igk[h[YedepYWdkdWh[bWY_Œddkcƒh_YWdeWZ_j_lW
[djh[bei[b[c[djeiYedi[Ykj_leiZ[kdWjWXbW"WfWhj_hZ[h[fh[i[djWY_ed[if_YjŒh_YWiZ[fWjhed[iYh[Y_[dj[i$;ijW
WYj_l_ZWZ[ic|iYecfb[`W"oWgk[bW[ijhWj[]_Wkj_b_pWZW[dbW7Yj_l_ZWZ)dei[hl_h|fWhW[dYedjhWhbeilWbeh[iZ[
bWifei_Y_ed[i+o,"o[i[if[hWXb[gk[dk[lWc[dj[h[YkhhWdWbWh[fh[i[djWY_Œdf_YjŒh_YW$JWcX_ƒd[i[if[hWXb[
gk[Z[j[hc_d[di_dfheXb[cWibWi[Yk[dY_W'"*"/"',1i_d[cXWh]e"bWfei_Y_Œd+dei[feZh|eXj[d[hikcWdZe
kdWYWdj_ZWZ$=[ij_ed[fWhWgk[Xkigk[dkdWh[]kbWh_ZWZ"Wkdgk[^WoWdYedj[ijWZeYehh[YjWc[dj[^WY_[dZebei
Z_Xk`ei"[iZ[Y_h"fhef_Y_[gk[fWhWWlWdpWhZ['W*i[ikcW)"Z[*W/i[ikcW+"Z[/W',i[ikcW-"[iZ[Y_h
fWhWWlWdpWhi[ikcWkd_cfWhYedi[Ykj_le$
š ;i_cfehjWdj[gk[[dbW][ij_ŒdZ[bWYbWi[Zƒj_[cfefWhWgk[fk[ZWd[nfbehWhZ_ij_djWih[bWY_ed[idkcƒh_YWi1
fWhW[bbeZ[X[f[Z_hieY_Wb_pWhYŒceZ[j[hc_dWhedbWiYWdj_ZWZ[ifWhWbWifei_Y_ed[i+o,[dYWZWkdWZ[bWijWXbWi
feh[iebeiZ_Xk`eii_[cfh[ied^WijWbWfei_Y_Œd*$KdfheY[Z_c_[dje[if[hWXb[[igk[Z_Xk`[dbWifei_Y_ed[i+o
,oYk[dj[dbeiYkWZhWZei$DeeXijWdj["Y_hYkb[fehbei]hkfeifWhWeXi[hlWhi_Wb]kdeiZ[j[hc_dWhedbWYWdj_ZWZ
sin hacer los dibujos, y entonces provoque un diálogo en la pizarra entre ambos procedimientos, no invalidando el
YedjWhYkWZhWZei"f[hei‡[ijWXb[Y_[dZegk[[ic|i[\_Y_[dj[[dYedjhWhbWh[]kbWh_ZWZ[dbWi[Yk[dY_W$
š En esta clase no se pide que encuentren un fórmula para relacionar la posición con la cantidad de cuadrados, por
bejWdjedebefhef_Y_["f[hei_ikh][YecefheY[Z_c_[dje"Zƒ`[beh[]_ijhWZe[dbWieY_Wb_pWY_Œd$BWfh_eh_ZWZZ[[ijW
6 / Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
YbWi[[i[dYedjhWhh[bWY_ed[idkcƒh_YWi[djh[beiZ_ij_djei[b[c[djeiYedi[Ykj_leiZ[bWjWXbWWfeo|dZei[[dkdW
h[fh[i[djWY_Œdf_YjŒh_YWZ[bWiYWdj_ZWZ[i$
š En la gestión de la clase podría suceder que algunos estudiantes requieran mayor tiempo para avanzar en las
WYj_l_ZWZ[i1[d[i[YWiefh_l_b[]_[bWi7Yj_l_ZWZ[i)o*"fk[i[icko_cfehjWdj[gk[Z[`[kdj_[cfeWZ[YkWZe
fWhW[bY_[hh[$
CIERRE / 20 minutos
BWieY_Wb_pWY_ŒdZ[beij[cWijhWXW`WZei[dYbWi[iZ[X[Y[djhWhi[[dbeii_]k_[dj[iWif[Yjei0
š BWijWXbWiZ[lWbeh[iWdWb_pWZWifh[i[djWdh[]kbWh_ZWZ[i[djh[beid‘c[heiZ[ikiYebkcdWi"fk[ifhel_[d[dZ[
patrones crecientes que relacionan la posición con la cantidad de elementos, por ejemplo:
Posición 1
Posición 2
Fei_Y_Œd)
Posición 4
posición
1
2
)
4
+
6
cantidad de cuadrados
2
+
10
'-
š Para encontrar los valores de la tabla que no están representados en el patrón, existen dos posibilidades:
š :_Xk`Wh[bfWjhŒdoYedjWh$FheY[Z_c_[djel|b_Ze"f[hegk[Z[cWdZWj_[cfe"
š 8kiYWhh[]kbWh_ZWZ[i[djh[beid‘c[heiZ[bWjWXbW$9edi_Z[hWdZe
bWjWXbWo[bfWjhŒdgk[i[fh[i[djWc|iWhh_XW"fWhWbWfei_Y_Œd+
y 6 se puede establecer que a medida que se avanza una posición,
bWYWdj_ZWZZ[YkWZhWZ_jeilWWkc[djWdZeW)"+"-"/"')"[iZ[Y_h"
d‘c[hei_cfWh[i$EjhWfei_X_b_ZWZ[ih[bWY_edWh[bd‘c[heZ[bW
fei_Y_ŒdYedikYkWZhWZec|i'$EXi[hl[bWjWXbWWbWZ[h[Y^W$
posición
1
2
)
4
+
6
cantidad de cuadrados
12 !'3(
22 !'3+
)2!'3'&
42!'3'+2!'3(,
62!'3)-
TAREA PARA LA CASA / 5 minutos
š Observa el siguiente patrón y completa la tabla de valores que relaciona el número de la posición con la cantidad
dada. Verifica tus resultados.
Tabla
Patrón
posición
cantidad de cuadrados
Posición 1
Posición 2
Posición 3
Posición 4
1
2
3
4
5
6
Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
7
PLAN DE CLASE Nº 2
EX`[j_leZ[bWYbWi[0
š Fh[Z[Y_hlWbeh[iZ[iYedeY_ZeiZ[kdWjWXbWZ[
lWbeh[i[nfb_YWdZebW[ijhWj[]_Wkj_b_pWZW$
INICIO / 30 minutos
š H[l_i[bWjWh[W[dYed`kdjeYedikYkhie$
š Pida que desarrollen la Actividad 1 en grupos de 4, cuyo propósito es que predigan la cantidad de cuadrados que
continúan en la secuencia, pero que a diferencia de la Clase 1, no es una posición consecutiva a la representación
f_YjŒh_YWZ[bfWjhŒd$;dWi[fh[]kdjWfehbWYWdj_ZWZZ[YkWZhWZei[dbWfei_Y_Œd(&$9ed[bbei[XkiYWgk[WXWdZed[dbW[ijhWj[]_WZ[Z_Xk`Whoi[Y[djh[d[dbWih[bWY_ed[idkcƒh_YWi[djh[bWiYWdj_ZWZ[iYedi[Ykj_lWi$
š BWfh[]kdjWW[iZ[c[dehYecfb[`_ZWZgk[bWXfk[ifWhWWlWdpWhZ[kdWfei_Y_ŒdWejhWXWijWYedikcWhZei"
[dYWcX_e[dXde^WokdWYedijWdj[fWhWWZ_Y_edWh$
š KdWZ[bWi[ijhWj[]_Wi[if[hWZWi[dW[igk[i[‹Wb[d/"''"')"'+"'-"'/±oWi‡ikY[i_lWc[dj[^WijWbb[]WhWbW
fei_Y_Œd(&$FehjWdje[nj[dZ[h|dbWjWXbWZ[lWbeh[i^WijWbb[]WhWbWfei_Y_Œd(&oWlWdpWh|dikcWdZe(YWZWl[p$
š En la letra b) es esperable que se provoquen dificultades, pues al tratar de aplicar la misma estrategia se darán
Yk[djWZ[gk[de^Wokdd‘c[he\_`egk[fk[ZWdikcWhfWhWWlWdpWh[dbWfei_Y_Œd$I_bei]hkfeideZWdYedbW
iebkY_Œd"h[YkƒhZ[b[iYŒcejhWXW`WhedbWi7Yj_l_ZWZ[i*e+Z[bWYbWi[Wdj[h_ehYkWdZei[l_[hed[d\h[djWZeiW
la misma dificultad, aunque en esta clase es más complejo pues no pueden dibujar el patrón hasta la posición 10;
quizás algunos alumnos tratarán de hacerlo, por ello es importante que usted controle el tiempo para que esta
[ijhWj[]_W\hWYWi[$;ifei_Xb[gk[i[kj_b_Y[dZei[ijhWj[]_Wi"kdWZ[[bbWi0'&!/!.!-!±!)!(!'$I_[ie
eYkhh["_dZkpYWW[iei[ijkZ_Wdj[iW`kdjWh]hkfeiZ['&/Yed'".Yed("[jY$$BW[ijhWj[]_W[if[hWZW[igk[
[nj_[dZWdbWjWXbW^WijW'&oWb'b[ikc[d("Wb)b[ikc[d)"Wb,b[ikc[d*"Wb'&b[ikc[d+"Wb'+b[ikc[d,
oWi‡ikY[i_lWc[dj[^WijWbb[]WhWbWfei_Y_Œd'&$
DESARROLLO / 30 minutos
š Pida que realicen la Actividad 2 en grupos, cuyo propósito es que reconozcan que para predecir un valor desconocido
en una tabla de valores es mejor tener una regla escrita en lenguaje matemático que relacione los valores de la
fei_Y_ŒdZ[[djhWZWYedbeilWbeh[iZ[bWiWb_ZW$I[kj_b_pW[bc_icefWjhŒd"f[hefheXb[cWj_pWWb[ijkZ_Wdj[W
jhWlƒi Z[ BWkhW" f_Z_[dZe WokZW fWhW YecfheXWh i_ be gk[ Z_Y[ [b b_Xhe [i Y_[hje e de$ ;i _cfehjWdj[ gk[ iki
estudiantes reconozcan que los valores que están obteniendo en esta actividad son los mismos que obtuvieron
Wdj[i"f[hegk[W^ehWh[ikbjWckY^ec|i\|Y_b$Fed]WWj[dY_ŒdWbWiZ_\_YkbjWZ[iWh_jcƒj_YWigk[fk[ZWdfh[i[djWh
d_‹eiod_‹Wi"ieXh[jeZe[dbeh[\[h_ZeWbWifh_eh_ZWZ[iZ[bWef[hWjeh_W$
š F_ZW gk[ jhWXW`[d [d fWh[`Wi bW 7Yj_l_ZWZ )" Ykoe fhefŒi_je [i gk[ eXj[d]Wd lWbeh[iZ[iYedeY_Zei Z[ bW jWXbW
kj_b_pWdZekdWh[]bW\ehckbWZW[db[d]kW`[cWj[c|j_Ye$;i_cfehjWdj[YWkj[bWhgk[Wb^WY[h)š'¸("fh_c[he
h[Wb_Y[d[bfheZkYjeoZ[ifkƒibWh[ijW$BWijWXbWi[d[ijWWYj_l_ZWZlWh‡Wd[dYecfb[`_ZWZ"Yedi_Z[hWdZebWh[bWY_Œd
Wh_jcƒj_YWZ[bWh[]bW[djh[]WZW"fk[i[dbWiZeifh_c[hWibWfei_Y_Œdn se multiplica por un número fijo, en cambio
[dbWiZei‘bj_cWi^WokdW[nfh[i_ŒdYkWZh|j_YWWkdgk[dei[[iYh_X[kj_b_pWdZefej[dY_Wi$
8 / Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
CIERRE / 20 minutos
BWieY_Wb_pWY_ŒdZ[beij[cWijhWXW`WZei[dYbWi[iZ[X[Y[djhWhi[[dbeii_]k_[dj[iWif[Yjei0
š Para predecir un valor desconocido en una tabla de valores, es más fácil hacerlo cuando se cuenta con una regla
[iYh_jW [d b[d]kW`[ cWj[c|j_Ye$ ;i Z[Y_h" fWhW fh[Z[Y_h Yk|djei YkWZhWZei ^Wo [d bW fei_Y_Œd '&" [i c|i \|Y_b
determinarlo haciendo '&š'&!' 3 '&š'' 3 110 3 ++ "gk[XkiYWhh[bWY_ed[i[djh[bei[b[c[djeiYedi[Ykj_lei$
2
2
2
š Al reemplazar valores en una expresión es importante recordar que la primera prioridad en las operaciones
bWj_[d[[bfWhƒdj[i_i"Z[ifkƒibWckbj_fb_YWY_ŒdeZ_l_i_Œdofeh‘bj_cebWWZ_Y_ŒdeikijhWYY_Œd$;iZ[Y_h"[dbW
expresión (šn – 1, al reemplazar por n3+"i[h[ik[bl[(š+¸'3'&¸'3/
Posición 1
Posición 2
Posición 3
Posición 4
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
š Determina los valores desconocidos en las siguientes tablas de valores, utilizando la regla dada:
a) regla para los valores de salida: +š n ¸1
n
1
2
3
4
5
6
7
10
Salida
b) regla para los valores de salida: nšn + n
n
1
2
5
6
Salida
Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
9
PLAN DE CLASE Nº 3
EX`[j_leZ[bWYbWi[0
š <ehckbWhkdWh[]bW[db[d]kW`[cWj[c|j_Ye"gk[
relacione los números que se dan en dos filas de
kdWjWXbWZ[lWbeh[i$
INICIO / 15 minutos
š H[l_i[bWjWh[W[dYed`kdjeYedikYkhie$
š Pida que realicen la Actividad 1 en parejas, cuya finalidad es que se inicien en la construcción de fórmulas que les
permitan relacionar el número de la posición de entrada con el valor de la salida, mediante una representación
f_YjŒh_YW$;d[ijWWYj_l_ZWZZ[X[dh[YedeY[hgk[bW[nfh[i_Œd(šdf[hc_j[Z[j[hc_dWhYkWbgk_[hlWbehZ[bWiWb_ZW
Z[bWjWXbWgk[fh[i[djWL_Y[dj[$
DESARROLLO / 50 minutos
š F_ZWgk[h[Wb_Y[d[d]hkfeibWi7Yj_l_ZWZ[i(o)"YkoefhefŒi_je[igk[YedijhkoWdh[]bWi[iYh_jWi[db[d]kW`[
matemático, que permitan relacionar dos filas de una tabla de valores y así poder predecir cualquier valor de
Z_Y^WjWXbW$;dWcXWiWYj_l_ZWZ[ii[[djh[]WkdWh[fh[i[djWY_Œdf_YjŒh_YWZ[kdfWjhŒdYh[Y_[dj[fWhW^WY[hc|i
i_]d_\_YWj_lWbW[nfh[i_Œdi_cXŒb_YWXkiYWZW$
š En el caso de la Actividad 2, se espera que reconozcan que el valor de salida se descompone haciendo una adición
[djh[[bd‘c[heZ[[djhWZWc|i[bc_iced‘c[heZ_ic_dk_Ze[d'"[iZ[Y_h"i[[if[hWgk[i[‹Wb[d'!&"(!'"
)!("*!)"+!*fWhWWi‡bb[]WhWceZ[bWhd!d¸'$;i_cfehjWdj[i[‹WbWhgk[i_bei]hkfeii[‹WbWdd!d¸'
e(šd¸'WcXei[ij|dYehh[Yjei"fk[ibe_cfehjWdj[[i[dYedjhWh[bceZ[becWj[c|j_YeZ[bWh[bWY_Œdode
bWikcWZ[jƒhc_deii[c[`Wdj[i$;icko_cfehjWdj[gk[l[h_\_gk[dgk[bWh[]bW[dYedjhWZWceZ[bWbeilWbeh[i
ZWZei$;dbW7Yj_l_ZWZ)i[gk_jW[biefehj[Z[ceijhWhkdWfWhj[Z[bWZ[iYecfei_Y_Œd"YedbeYkWbWkc[djW[b
]hWZeZ[Z_\_YkbjWZ$
š Pida que realicen la Actividad 4, en la cual deben construir las reglas que permiten relacionar los valores de las
YebkcdWi[dbWiZeijWXbWi$;dbWfWhj[W[i[if[hWXb[gk[h[bWY_ed[dbeilWbeh[if[diWdZe[dbWckbj_fb_YWY_Œd
feh)ofehbejWdjeceZ[b[d^WY_[dZe)šd$BWfWhj[Xkj_b_pW[bc_iceceZ[be"f[heW]h[]WdZe'$
CIERRE / 10 minutos
BWieY_Wb_pWY_ŒdZ[beij[cWijhWXW`WZei[dYbWi[iZ[X[Y[djhWhi[[dbeii_]k_[dj[iWif[Yjei0
š Para encontrar una regla entre los valores de dos filas (entrada y salida) de una tabla, se debe descomponer
Yedl[d_[dj[c[dj[[blWbehZ[bWiWb_ZW"Z[jWb\ehcWgk[[dbWZ[iYecfei_Y_ŒdWfWh[pYW[blWbehZ[bW[djhWZW$Feh
ejemplo:
Entrada
1
2
)
4
+
6
-
±
Salida
)
6
9
12
'+
'.
21
±
Descomposición
conveniente del
valor de salida
)š1 )š2 )š3 )š4 )š+ )š6 )š7
10 / Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
±
n
)šn
Entrada
1
2
)
4
+
6
-
±
Salida
4
-
10
')
16
19
22
±
Descomposición
conveniente del
valor de salida
)š1!' )š2!' )š3!' )š4!' )š+!' )š6!' )š 7!'
±
)šn!'
n
Entrada
1
2
)
4
+
6
-
±
Salida
2
+
.
11
14
'-
20
±
Descomposición
conveniente del
valor de salida
)š1¸' )š2¸' )š3¸' )š4¸' )š+¸' )š6¸' )š7¸'
n
±
)šn¸'
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
š EXi[hlWbWii_]k_[dj[ijWXbWioZ[iYkXh[bWh[]bWgk[h[bWY_edWbeid‘c[heiZ[bW[djhWZWoiWb_ZW$
Entrada
1
2
)
4
±
Salida
1
)
+
-
±
1
Posición N°
2
n
)
4
±
n
Patrón
Estrategia
(observa el n° de
la posición)
Total de
cuadrados
1
1
2
1
2
±
4
9
16
±
š 7^ehWYecfb[jWejheilWbeh[iZ[bWjWXbWkj_b_pWdZebWh[bWY_Œdgk[WYWXWiZ[[dYedjhWh$
Entrada
1
2
)
Salida
1
4
9
4
+
6
-
.
9
Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
11
PLAN DE CLASE Nº 4
EX`[j_leZ[bWYbWi[0
š ;iYh_X_hbW\ŒhckbWgk[f[hc_j[ceZ[bWh[b
cálculo del perímetro de triángulo equilátero y
Z[kdh[Yj|d]kbe$
INICIO / 20 minutos
š H[l_i[bWjWh[W[dYed`kdjeYedikYkhie$
š Pida que realicen la Actividad 1 en parejas, cuyo foco principal es que recuerden las características de los tipos de
jh_|d]kbeoYŒcei[YWbYkbW[bf[h‡c[jhe$<eYWb_Y[bW][ij_Œd[d[bjh_|d]kbe[gk_b|j[he"h[b[lWdZegk[bWbed]_jkZ
de todos sus lados tiene igual medida, no siendo necesario referirse a los ángulos interiores pues esa característica
dei[h|kj_b_pWZW[d[ijWYbWi[$
š Mientras las parejas trabajan, circule por la sala observando si algunos utilizan procedimiento abreviados para
YWbYkbWh[bf[h‡c[jhe"[iZ[Y_h"i_[dl[pZ[ikcWhjeZWibWibed]_jkZ[ih[Wb_pWd(š)!+[d[bYWie:")š([d[b
YWie9e(š*!([d[bYWie7$
DESARROLLO / 50 minutos
š F_ZW gk[ jhWXW`[d _dZ_l_ZkWbc[dj[ bW 7Yj_l_ZWZ (" Ykoe fhefŒi_je [i gk[ bb[]k[d W [iYh_X_h bW \ŒhckbW ) š d o
h[YedepYWdgk[[bbWb[if[hc_j[YWbYkbWh[bf[h‡c[jheZ[YkWbgk_[hjh_|d]kbe[gk_b|j[he$;i_cfehjWdj[gk[bW
socialización de esta respuesta no se quede solo en la fórmula, pues es necesario que entiendan que n es la
bed]_jkZ Z[b bWZe Z[b jh_|d]kbe [gk_b|j[he" f[he gk[ [d h[Wb_ZWZ feZh‡W ^WX[h i_Ze YkWbgk_[h b[jhW$ :_Xk`[ kd
jh_|d]kbe[gk_b|j[he[dbWf_pWhhWZ[bWZeWo[iYh_XWbWi\ŒhckbWi)šWo)šd"fh[]kdj[i_ied\ŒhckbWiZ_ij_djWi
eh[fh[i[djWdbec_ice$;d[bc_icei[dj_ZeZ[bWYecfh[di_ŒdZ[bW\ŒhckbW"fh[]kdj[WbYkhiei_bW\ŒhckbW)
šd[ibec_icegk[)!d$
š F_ZW gk[ jhWXW`[d ]hkfWbc[dj[ [d bW 7Yj_l_ZWZ )" Ykoe fhefŒi_je [i gk[ be]h[d ceZ[bWh cWj[c|j_YWc[dj[ bW
\ŒhckbW(šd!(gk[f[hc_j[YWbYkbWh[bf[h‡c[jheZ[YkWbgk_[hh[Yj|d]kbeYkoeWdY^ei[W'Yc1be\kdZWc[djWb
[iieY_Wb_pWhbWiZ_ij_djWih[ifk[ijWigk[fk[Z[dj[d[hbei]hkfei"Wkdgk[Wb]kdWi[ijƒd[hhWZWi$C_[djhWijhWXW`Wd"
Y_hYkb[fehbWiWbWZ[YbWi[ieXi[hlWdZefei_Xb[i[hheh[ioh[ifk[ijWiYehh[YjWi"fWhWgk[Z[ifkƒiZ[XWjWdh[if[Yje
WbWi\ŒhckbWi$;i[if[hWXb[gk[WfWh[pYWd!'gk[iebeh[fh[i[djW[bi[c_f[h‡c[jhe$JWcX_ƒd[i[if[hWXb[gk[
Wb]kdei[ijkZ_Wdj[ij[d]WdYeceh[ifk[ijW(šd!'"ejhei(šd!'oejhei(šd!($Feh[bbe[ih[b[lWdj[fheZkY_h
la discusión para que tengan mecanismos de verificación de sus respuestas; si le preguntan si la fórmula está bien
ecWb"Zƒ_dZ_YWY_ed[ifWhWgk[Yecfhk[X[dobk[]efk[ZWdWh]kc[djWh[d\kdY_ŒdZ[[iWil[h_\_YWY_ed[i"[dbWi
YkWb[ifk[Z[dWfWh[Y[h[hheh[iZ[Wh_jcƒj_YW"feh[`[cfbe"gk[(l[Y[id!'[ibec_icegk[(šd!'$
š Pida que trabajen grupalmente la Actividad 4, cuyo propósito es que logren modelar matemáticamente la fórmula
,šdgk[f[hc_j[YWbYkbWh[bf[h‡c[jheZ[YkWbgk_[hh[Yj|d]kbeYkoebWh]ei[W[bZeXb[Z[bWdY^eel_Y[l[hiW$
BWih[ifk[ijWiW[ijWWYj_l_ZWZjWcX_ƒdZ[X[i[hieY_Wb_pWZWYedYk_ZWZe"fk[i[i[if[hWXb[gk[i[‹Wb[dgk[bW
\ŒhckbW[id!d!(šd!(šdf[hegk_p|idejeZeiZ_]Wd_dc[Z_WjWc[dj[gk[[ie[i,šd"fehbejWdjej[d]W
en la pizarra la tabla
n
1
2
)
4
+
6
,šd
6
12
'.
24
)&
),
fWhWgk[l[Wdgk[beilWbeh[ieXj[d_Zeiiedbeic_iceigk[[d(Èd!(Èd!d!d
12 / Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
š :[iWhhebbWd[d]hkfebW7Yj_l_ZWZ+"YkoW\_dWb_ZWZ[igk[be]h[dceZ[bWhgk[bWh[bWY_Œd(l[Y[i[bbWh]ec|i
(l[Y[i[bWdY^e"[iZ[Y_h(ÈW!(ÈXf[hc_j[YWbYkbWh[bf[h‡c[jheZ[YkWbgk_[hh[Yj|d]kbe$Ck[ijh[j[njeiZ[
][ec[jh‡W[dZedZ[WfWh[pYW[ijW\ŒhckbWolWbeh[gk[bWiZ_ij_djWi|h[WiZ[bWcWj[c|j_YW[ij|dYed[YjWZWi$
CIERRE / 15 minutos
BWieY_Wb_pWY_ŒdZ[X[Y[djhWhi[[dbeii_]k_[dj[iWif[Yjei0
š FWhWYWbYkbWh[bf[h‡c[jheZ[kdjh_|d]kbeoZ[kdh[Yj|d]kbei[Z[X[dikcWhbWibed]_jkZ[iZ[ikibWZei$
š BW\ŒhckbWgk[f[hc_j[YWbYkbWh[bf[h‡c[jheZ[kdjh_|d]kbe[gk_b|j[heZ[bWZed[i)šd
š BW\ŒhckbWgk[f[hc_j[YWbYkbWh[bf[h‡c[jheZ[kdh[Yj|d]kbeZ[bWZeiWoX[i(šW!(šX
TAREA PARA LA CASA / 5 minutos
š EXi[hlWbeii_]k_[dj[ih[Yj|d]kbei$
2
2
1
2
2
2
4
+
š Completa la tabla y encuentra la fórmula para el perímetro de los rectángulos que cumplen la característica dada
o[iYh‡X[bW[db[d]kW`[cWj[c|j_Ye$
largo [cm]
1
2
)
4
+
6
-
.
9
10
±
ancho [cm]
2
2
2
2
2
±
perímetro [cm]
6
.
10
12
14
±
n
Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
13
PLAN DE CLASE Nº 5
EX`[j_leZ[bWYbWi[0
š ;iYh_X_hbW\ŒhckbWgk[f[hc_j[ceZ[bWh[b
Y|bYkbeZ[b|h[WZ[kdh[Yj|d]kbe$
INICIO / 15 minutos
š H[l_i[bWjWh[W[dYed`kdjeYedikYkhie$
š Pida que desarrollen individualmente la Actividad 1, cuyo foco principal es que recuerden cómo se calcula el área
Z[kdh[Yj|d]kbe$=[ij_ed[fWhWgk[i[ieY_Wb_Y[dbWih[ifk[ijWiZ[beiZ_ij_djeiY|bYkbeieXi[hlWdZei_Wb]‘d[ijkZ_Wdj[[ij|kj_b_pWdZekdWh[bWY_ŒdWZ_j_lWfWhWYWbYkbWh[b|h[W"feh[`[cfbe)!,3/[d[bYWieZ[bh[Yj|d]kbe
7$I_i[Z_[hW[i[YWie"[iYedl[d_[dj[j[d[hkdWYWhjkb_dWYedbWiikf[h\_Y_[iYkWZh_YkbWZWi"[dbWigk[h|f_ZWc[dte se pueda contar la cantidad de cm2, que cubren la superficie y hacer la asociación entre las medidas del largo y
ancho con la cantidad total de cm2$
DESARROLLO / 55 minutos
š F_ZWgk[Z[iWhhebb[d[d]hkfebW7Yj_l_ZWZ("YkoefhefŒi_je[igk[bb[]k[dW[iYh_X_hbW\ŒhckbW(šdoh[YedepYWd
que les permite calcular el área de un rectángulo donde una de las medidas de sus lados es constante igual a 2
obWejhWc[Z_ZWlWh‡WZ['[d'Yec[dpWdZe[d'$;i_cfehjWdj[gk[bWieY_Wb_pWY_ŒdZ[[ijWh[ifk[ijWdei[
quede solo en la fórmula, pues es necesario que ellos entiendan que n es la longitud del lado del rectángulo,
f[hegk[[dh[Wb_ZWZfeZh‡W^WX[hi_ZeYkWbgk_[hb[jhW$:_Xk`[kdh[Yj|d]kbeZ[bWZei(oW"[iYh_XWbWi\ŒhckbWi
(šWo(šdofh[]kdj[i_ied\ŒhckbWiZ_ij_djWieh[fh[i[djWdbec_ice$;d[bc_icei[dj_ZeZ[bWYecfh[di_Œd
Z[bW\ŒhckbW"fh[]kdj[i_bW\ŒhckbW(šd[ibec_icegk[(!d$;i[if[hWXb[gk[Wb]kdei[ijkZ_Wdj[iZ_]Wd
que la segunda figura no es un rectángulo pues es un cuadrado; si es así, haga ver que los cuadrados son un caso
particular de rectángulo, pues cualquier cuadrado cumple las características de un rectángulo, es decir, todos sus
|d]kbei_dj[h_eh[ic_Z[d/&–obeifWh[iZ[bWZeiefk[ijeij_[d[d_]kWbc[Z_ZW$
š F_ZW gk[ Z[iWhhebb[d ]hkfWbc[dj[ bW 7Yj_l_ZWZ )" Ykoe fhefŒi_je [i gk[ be]h[d ceZ[bWh cWj[c|j_YWc[dj[ bW
\ŒhckbWdšd!'gk[f[hc_j[YWbYkbWh[b|h[WZ[YkWbgk_[hh[Yj|d]kbeZedZ[bWc[Z_ZWZ[kdbWZei[W'Yc
cWoehgk[bWbed]_jkZZ[bejhe$Be\kdZWc[djWb[d[ijWWYj_l_ZWZ"[iieY_Wb_pWhbWiZ_ij_djWih[ifk[ijWigk[fk[Z[d
j[d[hbei]hkfeiWkdgk[Wb]kdWi[ijƒd[hhWZWi$C_[djhWijhWXW`Wd"Y_hYkb[fehbWiWbWeXi[hlWdZefei_Xb[i[hheh[i
y respuestas correctas, para posteriormente y sin que usted haya validado antes, pueda producirse un debate
h[if[YjeWbWi\ŒhckbWi$;i[if[hWXb[gk[WfWh[pYWdšd!'h[ifk[ijW[hhWZW$JWcX_ƒd[i[if[hWXb[gk[Wb]kdei
estudiantes tengan como respuesta algún par de números y no la generalización, por lo que es relevante producir
bWZ_iYki_Œdogk[j[d]Wdc[YWd_iceiZ[l[h_\_YWY_ŒdZ[ikih[ifk[ijWi$I_b[fh[]kdjWdi_bW\ŒhckbW[ij|X_[de
cWb"Zƒ_dZ_YWY_ed[ifWhWgk[bWYecfhk[X[dobk[]efeZh|dWh]kc[djWh[d\kdY_ŒdZ[[iWil[h_\_YWY_ed[i"[dbWi
YkWb[ifk[Z[dWfWh[Y[h[hheh[iZ[Wh_jcƒj_YW"feh[`[cfbe"gk[dl[Y[id!'[ibec_icegk[dšd!'
š Pida que desarrollen grupalmente la Actividad 4, cuyo propósito es que logren modelar matemáticamente la
\ŒhckbW(dšdgk[f[hc_j[YWbYkbWh[b|h[WZ[YkWbgk_[hh[Yj|d]kbeYkoebWh]ei[W[bZeXb[Z[bWdY^eel_Y[l[hiW$
14 / Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
š 9edj_d‘WdjhWXW`WdZe[d]hkfeioZ[iWhhebbWdbW7Yj_l_ZWZ+"YkoW\_dWb_ZWZ[igk[h[YedepYWdbeih[Yj|d]kbeiW
fWhj_hZ[kdceZ[becWj[c|j_Ye$7ikc_[dZegk[bWYkWZh‡YkbW[ij|[dY[dj‡c[jhei"fei_Xb[ih[ifk[ijWifWhWbW
parte a) serían:
š
š
š
š
š
š
š š
š
š
š
š
CIERRE / 10 minutos
BWieY_Wb_pWY_ŒdZ[X[Y[djhWhi[[dbeii_]k_[dj[iWif[Yjei0
š FWhWYWbYkbWh[b|h[WZ[kdh[Yj|d]kbeZ[bWZeiZ[bed]_jkZWoX"i[Z[X[h[Wb_pWh[bfheZkYjeWšX
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
š EXi[hlW[bh[Yj|d]kbe$
a
b
š 9ecfb[jWbWjWXbWo[iYh_X[bW\ŒhckbWgk[f[hc_j[YWbYkbWh[b|h[WZ[YkWbgk_[hh[Yj|d]kbeZ[bWZeiWoX$
a [cm]
+
1
-
20
±
n
b [cm]
)
6
10
)&
±
m
Área [cm2]
±
Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
15
PLAN DE CLASE Nº 6
EX`[j_leZ[bWYbWi[0
š :[iYh_X_hbWh[bWY_Œd[djh[beilWbeh[i[d
una tabla (conmutatividad de adición y
multiplicación, descomposiciones en sumas
y productos), usando una expresión en que
_dj[hl_[d[db[jhWi$
INICIO / 15 minutos
š H[l_i[bWjWh[W[dYed`kdjeYedikYkhie$
š F_ZWgk[Z[iWhhebb[d_dZ_l_ZkWbc[dj[bW7Yj_l_ZWZ'"gk[h[jecWbWWYj_l_ZWZZ[bW9bWi[+"obW[nj_[dZ[^WY_W[b
[ijkZ_eZ[bWih[bWY_ed[i[djh[beijƒhc_dei_dlebkYhWZei[dbW\ŒhckbWZ[Y|bYkbeZ[b|h[W$
š Durante la socialización, promueva que comparen en primer lugar los rectángulos, verificando que se pueden
eXi[hlWh)fWh[iZ[h[Yj|d]kbeiYed]hk[dj[i"º_]kWb[i»"[d[bb[d]kW`[Z[beid_‹ei$;dbWWh]kc[djWY_Œd"Z[X_[hWd
dejWhgk[[ijeifWh[iZ[h[]_ed[ij_[d[dbWc_icW\ehcWojWcW‹e"fehjWdje"ik|h[W[ibWc_icW$EjhWfei_X_lidad es que reconozcan que el cálculo del área de las superficies coincide, que esto se debe a que las medidas de
los lados son las mismas, y que aun cuando la posición en que aparecen es distinta, ello no afecta en absoluto el
jWcW‹eZ[bh[Yj|d]kbe$
š F_ZWgk[Yecfb[j[dbWjWXbW"bWYkWbXkiYWgk[cWd_fkb[dbWi[nfh[i_ed[iWh_jcƒj_YWiWjhWlƒiZ[bh[YedeY_c_[dje
Z[[ijW\k[hj[h[]kbWh_ZWZ0bWYedckjWj_l_ZWZZ[bWckbj_fb_YWY_Œd$Fk[Z[gk[Wb]kdei[ijkZ_Wdj[ij[d]WdWb]‘d
fheXb[cWYed[bdecXh[Z[bWfhef_[ZWZ$Dei[\eYWb_Y[[d[bbe[d[nY[ie"fehgk[[b\eYe[ij|[dbW\ehckbWY_Œd
Z[bfWjhŒd[dkdb[d]kW`[cWj[c|j_Ye$
DESARROLLO / 55 minutos
š Pida que desarrollen en parejas la Actividad 2, que busca que observen la presencia de la conmutatividad en otras
ef[hWY_ed[i$;d[bYWieZ[bWWZ_Y_Œd"[bjhWXW`e[i[i[dY_Wbc[dj[[bc_icegk[[bZ[bWWYj_l_ZWZWdj[h_eh$L[h_\_gk[
gk[d_‹eiod_‹Wih[ifedZWdYehh[YjWc[dj[WbWiikijhWYY_ed[ioZ_l_i_ed[i$;d[bfh_c[hYWie"i[[d\h[djWh|dW
beiY|bYkbei)¸*o+¸,"Wbegk[Z[X_[hWdh[ifedZ[hgk[dei[fk[Z[dh[Wb_pWh1^W]WdejWhgk[bWiebkY_ŒdW
[ijWh[ijWde[n_ij[[d[bYed`kdjeZ[beid‘c[heidWjkhWb[i"f[hei‡[dejheiYed`kdjeidkcƒh_Yei$;ifei_Xb[gk[
Wb]‘dd_‹eed_‹Wgk[YedepYWkdfeYeZ[d‘c[hei[dj[hei"h[ifedZWgk[[dWcXeiYWieibWh[ifk[ijW[i¸'$I_
esta respuesta genera desconcierto en el curso, simplemente indique que es un tipo de número que estudiarán el
próximo año, y que en cualquier caso (de existencia o no existencia), lo importante es que la respuesta no coincide
Yed[bejheY|bYkbe"ogk[fehjWdjebWikijhWYY_Œdde[iYedckjWj_lW$;d[bYWieZ[bWZ_l_i_Œd[ibec_ice0e
responden que algunas de ellas no existen o bien, que su respuesta es racional (fraccionaria o decimal), y que en
WcXeiYWieibeiYkeY_[dj[ideYe_dY_Z[d$
š Fh[i[dj[bW7Yj_l_ZWZ)"_dZ_YWdZegk[Z[X[h|dYecfb[jWhbWii[Yk[dY_Wigk[i[fh[i[djWd$L[h_\_gk[gk[bWio
los estudiantes identifican celdas que no deben completar; señale que el objetivo de tales celdas es proponer
f[gk[‹eiZ[iW\‡eigk[kij[ZiWX[gk[h[iebl[h|dckoX_[d$
š BW i[h_[ Z[ i[Yk[dY_Wi e\h[Y[ Z_ij_djWi YedZ_Y_ed[i" Z_i[‹WZWi fWhW gk[ iki [ijkZ_Wdj[i WlWdY[d [d fheY[iei
de modelamiento; algunos elementos se han planteado de modo de constituir soportes para el razonamiento,
[d Yedi_ij[dY_W Yed [b jhWXW`e h[Wb_pWZe [d YbWi[i Wdj[h_eh[i$ ;b jhWXW`e Yed bW fh_c[hW i[Yk[dY_W f[hc_j_h|
_Z[dj_\_YWhgk[ieXh[IWb_ZWi Yedi[Ykj_lWi Wfb_YWkdWh[]bWWZ_j_lW1 [ijW_Z[W[icko_cfehjWdj["fk[i [djh[]W
16 / Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
n
1
2
)
Operación
3 š'¸(
3 š(¸(
3 š)¸(
Salida
1
4
!)
4
+
6
10
')
16
!)
!)
kdfheY[Z_c_[djefWhWh[iebl[hbWi[Yk[dY_WX"Wi‡YecekdW\ehcWZ[Z[j[hc_dWh[bYe[\_Y_[dj[)"jWbYecei[
eXi[hlW[dbW_cW][dZ[bWZ[h[Y^W$Ejhe[b[c[dje[ibW[ijhkYjkhWWh_jcƒj_YWYec‘dWbWef[hWY_Œdgk[i[h[Wb_pW
YeceWfb_YWY_ŒdZ[bWh[]bW1[ij[[b[c[dje[i_cfehjWdj[fWhWfeZ[hYecfh[dZ[h[bhebZ[beijƒhc_deiZ[bWh[]bW"
así como establecer la expresión algebraica, lo que genera la necesidad de introducir letras como representantes
Z[kdWYWdj_ZWZ][d[hWb[_dZ[j[hc_dWZW"jWbYecei[eXi[hlW[dbW_cW][dZ[bW_pgk_[hZW$
n
2
)
+
Operación
+š(!,
+š)!,
+š+!,
n
+š('!,
š BWi Zei ‘bj_cWi i[Yk[dY_Wi XkiYWd gk[ WbkcdWi o Wbkcdei Whj_Ykb[d [ijei Zei [b[c[djei [b [ijkZ_e Z[b
Yh[Y_c_[dje"Wi‡YecebW_Z[dj_\_YWY_ŒdZ[bW[ijhkYjkhWZ[bfWjhŒd$I[[if[hWgk[_Z[dj_\_gk[d[bfWjhŒd[d\ehcW
c[djWbe[iYh_jW$:khWdj[bWieY_Wb_pWY_Œdfheck[lWgk[[bYkhieWh]kc[dj[h[if[YjeWYŒceYecfb[jWhed[ijWi
Zei‘bj_cWijWXbWi"oWgk[[bY_[hh[i[feZh|h[Wb_pWh[djehdeW[ijWiZeii[Yk[dY_Wi$
CIERRE / 10 minutos
BWieY_Wb_pWY_ŒdZ[X[Y[djhWhi[[dbeii_]k_[dj[iWif[Yjei0
š ;dbWWZ_Y_Œdockbj_fb_YWY_Œd"[behZ[dZ[beijƒhc_deiikcWdZeio\WYjeh[i"h[if[Yj_lWc[dj[deceZ_\_YW[b
h[ikbjWZe$7[ijWfhef_[ZWZi[b[bbWcWconmutatividad$DeeYkhh[bec_iceYedbWikijhWYY_ŒdobWZ_l_i_Œd"oW
gk[[ijWief[hWY_ed[ideYkcfb[dYed[ijWfhef_[ZWZ$
š 7b WdWb_pWh fWjhed[i" Yedl_[d[ _Z[dj_\_YWh Zei YeiWi$ BW fh_c[hW Z[ [bbWi" YŒce lWh‡W bW i[Yk[dY_W [d jƒhc_dei
Yedi[Ykj_lei$ 9kWdZe jWb lWh_WY_Œd [i YedijWdj[" [ijW Z_\[h[dY_W [i kde Z[ bei Ye[\_Y_[dj[i Z[ bW [nfh[i_Œd
cWj[c|j_YWgk[Z[iYh_X[bWh[]bW$
š 9kWdZekdWi[Yk[dY_Wj_[d[kdWlWh_WY_ŒdYedijWdj["beijƒhc_deii[fk[Z[dZ[iYecfed[hZ[bW\ehcWWšn!X"
begk[\WY_b_jWik[ijkZ_e$
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
š 7l[h_]kWgkƒfhef_[ZWZ[ij_[d[bWikijhWYY_ŒdobWZ_l_i_Œd$H[]‡ijhWbWi[db[d]kW`[cWj[c|j_Ye$
Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
17
PLAN DE CLASE Nº 7
EX`[j_leZ[bWYbWi[0
š ;nfh[iWhd‘c[hei[dkdW\ehcWgk[_dlebkYh[
adiciones o sustracciones con números y con
incógnitas; además, representar y resolver
[YkWY_ed[iWjhWlƒiZ[bWc[j|\ehWZ[bWXWbWdpW
[gk_b_XhWZW$
INICIO / 15 minutos
š H[l_i[bWjWh[W[dYed`kdjeYedikYkhie$
š Pida que realicen individualmente la Actividad 1, que retoma la actividad final de la clase anterior, para seguir procel_[dZefheY[Z_c_[djeiZ[Z[iYecfei_Y_ŒdZ[jƒhc_dei[dd‘c[heiZ[bW\ehcWaš !b"Z[cWd[hWWhj_YkbWZW$
;ij[fheY[Z_c_[djei[h|Y[djhWb[d[bjhWXW`eZ[bWYbWi[i_]k_[dj[$
š En esta ocasión los patrones no tienen la operación que describe la regla en forma explícita, sino que solo se entrega la posición nobWiWb_ZW$7Z[c|i"i[fh[i[djWdjƒhc_deideYedi[Ykj_leigk[XkiYWdh[fh[i[djWhkdfWie
intermedio en el contexto de la modelización, es decir, de la formulación de una descripción de la regla de formaY_ŒdZ[bWi[Yk[dY_W$BeWdj[h_ehi[fk[Z[[l_Z[dY_WhYkWdZebWfei_Y_Œddde[iYedi[Ykj_leeX_[d"YkWdZeZei
jƒhc_deiZ[IWb_ZWfh[i[djWdkdWZ_\[h[dY_WcWoehgk[bWeXi[hlWZW[d\ehcWYedijWdj[^WijW[djedY[i$;dbW
jWXbWgk[i[ck[ijhWWYedj_dkWY_Œd"fWhj[W"i[eXi[hlWgk[WlWdpWZ[([d("[nY[fjeWYedj_dkWY_ŒdZ[b')"be
gk[[l_Z[dY_Wgk[[b('de[i[b.lejƒhc_deZ[bWi[Yk[dY_W0
n
1
2
)
4
+
6
7
Salida
1
)
+
7
/
11
')
21
29
±
n
±
(šd!'
š Una vez discutido el trabajo con las tablas, indique al curso avanzar a la parte final de la actividad, de completaY_ŒdZ[Z[iYecfei_Y_ed[i$;d[bbWi[[if[hWgk[Yedj_d‘[dYedbWh[iebkY_ŒdZ[[ij[j_feZ[jWh[WcWj[c|j_YWYed
bWgk[i[^Wl[d_ZejhWXW`WdZeWbebWh]eZ[bcŒZkbe$Beifh_c[hei[`[hY_Y_eideZ[X[h‡Wdh[l[ij_hcWoehZ_\_YkbjWZ0
'-3(š.!'
(+3)š/¸(
()3-š(!/
(/3+š,¸1
)/3.š4!-
),3)š12
š BeiZei‘bj_cei[`[hY_Y_eiXkiYWdceijhWhgk[[ijWZ[iYecfei_Y_Œdde[i‘d_YW"ogk[fehjWdjekdefk[Z[^WbbWh
varias soluciones a la problemática; por ejemplo:
*'3*&!1
'-3'&!7
*'38š+!'
'-3(š8!1
18 / Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
DESARROLLO / 55 minutos
š F_ZW gk[ Z[iWhhebb[d bW 7Yj_l_ZWZ ( _dZ_l_ZkWbc[dj[$ ;ijW WYj_l_ZWZ fhefehY_edW kd iefehj[ h[fh[i[djWY_edWb W
la descomposición de la actividad anterior, con el objetivo de poder profundizar en su uso, en particular, en la
h[iebkY_ŒdZ[[YkWY_ed[ii[dY_bbWi$BWc[j|\ehWZ[bWXWbWdpWXkiYWh[fh[i[djWhbWdeY_ŒdZ[_]kWbZWZ"WieY_|dZebW
WbWdeY_ŒdZ[[gk_b_Xh_e$
š BeiYkXeiieXh[bWXWbWdpWi[^WdZ_ifk[ijeZ[ceZejWbZ[[leYWhbWZ[iYecfei_Y_Œdh[Y_ƒdjhWXW`WZW$:[[ij[
ceZe"bWh[iebkY_ŒdZ[[YkWY_ed[iWfWh[Y[YecekdfheY[Z_c_[djeZ[h[eh]Wd_pWY_ŒdZ[bWYWdj_ZWZ$FWhWgk[[ij[
procedimiento sea evidente, esta actividad aborda la tarea inversa: la formación de la ecuación en representación
f_YjŒh_YW$FWhW[bbe"d_‹Wiod_‹eiZ[X[h|d"XW`eYedZ_Y_ed[i[if[Y‡\_YWi"Z[iYh_X_hkdWYWdj_ZWZ"feh[`[cfbe"."[d
iebeZeijƒhc_dei"'o)$BeiceZ[beiZ[ifb[]WZeifehbeid_‹ei"iWbleWb]kdWi[nY[fY_ed[i"iedb_d[Wb[i"fehbe
gk[dei[Z[X_[hWeXi[hlWhcWoehZ_\_YkbjWZ[dbW\ehckbWY_ŒdZ[[ijWifh_c[hWi[YkWY_ed[i$
š BW7Yj_l_ZWZ)WXehZWZ_h[YjWc[dj[bWZ[iYecfei_Y_ŒdYedl[d_[dj[fWhWbWh[iebkY_ŒdZ[fheXb[cWi$7kdYkWdZe
se espera que el procedimiento algebraico emerja en la clase siguiente, destaque a quienes propongan de manera
[ifedj|d[W c[Z_ZWi fWhW WXehZWh bW h[iebkY_Œd Z[ bW [YkWY_Œd" [d \ehcW Wb c[dei Wh_jcƒj_YW" W fWhj_h Z[ bW
h[fh[i[djWY_Œd$
CIERRE / 10 minutos
BWieY_Wb_pWY_ŒdZ[X[Y[djhWhi[[dbeii_]k_[dj[iWif[Yjei0
š Beid‘c[heidWjkhWb[ii[fk[Z[dZ[iYecfed[hWh_jcƒj_YWc[dj[Z[bW\ehcWn3aš !b$
š 9WZWd‘c[hei[fk[Z[Z[iYecfed[hZ[Z_ij_djW\ehcW$
š El modelo de la balanza equilibrada representa dos cantidades que, teniendo distintas distribuciones, valen lo
c_ice$
š ;bceZ[beZ[bWXWbWdpW[gk_b_XhWZWi_hl[fWhWh[fh[i[djWhoh[iebl[h[YkWY_ed[i$
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
š ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones se pueden representar con la balanza? Intenta resolverlas y responde la
fh[]kdjW$
(š !)3-*š !+3'--š ¸+3)&+š !(3'(
Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
19
PLAN DE CLASE Nº 8
EX`[j_leZ[bWYbWi[0
š H[iebl[h[YkWY_ed[i"Z[iYecfed_[dZeZ[
acuerdo a una forma dada y haciendo una
Yehh[ifedZ[dY_W'W'$
INICIO / 15 minutos
š 9ec_[dpW[b[ijkZ_eZ[bWh[iebkY_ŒdZ[[YkWY_ed[ifhef_Wc[dj[jWb$;iYedeY_Zegk[[ij[j[cW[i\k[dj[Z[
eXij|YkbeioZ_\_YkbjWZ[i[dd_‹eioWZeb[iY[dj[i"fehbegk[h[gk_[h[Z[kdYk_ZWZejhWXW`e$7kdgk[bWiobei[itudiantes ya han resuelto ecuaciones muy sencillas, en esta clase comienza el estudio de procedimientos formales
Z[ h[iebkY_Œd$ ;b eX`[j_le Z[ [ijW YbWi[ o bW i_]k_[dj[ [i WXehZWh [ij[ [ijkZ_e [d \ehcW i_]d_\_YWj_lW" ^WY_[dZe
h[\[h[dY_WWbWiYWdj_ZWZ[i_dlebkYhWZWiWjhWlƒiZ[bWh[fh[i[djWY_ŒdZ[bWXWbWdpW$9WX[dejWh"deeXijWdj["gk[
dejeZW[YkWY_Œdi[fk[Z[h[fh[i[djWhWjhWlƒiZ[bWXWbWdpW"obWjWh[WZ[bWYbWi[fWiWZWck[ijhW[ij[^[Y^e"
fehbegk[fh[ij[Wj[dY_ŒdZkhWdj[bWh[l_i_ŒdWbWih[ifk[ijWioh[fh[i[djWY_ed[iZ[ikiWbkcdei$;di‡dj[i_i"bei
tipos de ecuaciones que se estudiarán en esta clase y la siguiente son:
Tipo de ecuación
a +b=c
a –b=c
Técnica
Representación
Cancelación (sumar y restar)
8WbWdpWoB[d]kW`[7b][XhW_Ye
Correspondencia
8WbWdpWoB[d]kW`[7b][XhW_Ye
Cancelación (sumar y restar)
B[d]kW`[7b][XhW_Ye
Correspondencia
B[d]kW`[7b][XhW_Ye
š ;d[ijWYbWi[i[[ijkZ_Wh|[dfWhj_YkbWhbWjƒYd_YWZ[bWYehh[ifedZ[dY_W"Wfhel[Y^WdZebWYedijhkYY_Œdgk[i[^W
l[d_Zeh[Wb_pWdZe[dYbWi[iWdj[h_eh[i$
š H[l_i[bWjWh[W[dYed`kdjeYediki[ijkZ_Wdj[i$;dfWhj_YkbWh"f[hc_jWgk[ck[ijh[dbWiXWbWdpWiZ_Xk`WZWi$
š Fh[i[dj[bW7Yj_l_ZWZ'"gk[Yedj[cfbWbWi_ij[cWj_pWY_ŒdZ[bjhWXW`eZ[YbWi[iWdj[h_eh[i$?dZ_gk[gk[Yecfb[j[d
begk[\WbjW[dfWh[`Wi0bWh[fh[i[djWY_Œd[dbWiXWbWdpWi"bWiebkY_ŒdZ[bW[YkWY_Œd"obW`kij_\_YWY_Œd$DejWhgk[
bW`kij_\_YWY_ŒdWfWh[Y[[dbWYecfheXWY_ŒdZ[bWiebkY_ŒdZ[kdW[YkWY_Œd$;d[bYedj[njeZ[[ijWYbWi[i[XkiYW
la justificación más que la mera comprobación, ya que esta última solo verifica, mientras que la primera busca
Z[iWhhebbWhbW^WX_b_ZWZZ[Wh]kc[djWY_Œd$
š L[h_\_gk[gk[jeZe[bYkhie"Wbh[Wb_pWhbWZ[iYecfei_Y_ŒdZ[bjƒhc_deb_Xh["be^WY[Yedi_Z[hWdZebW[ijhkYjkhWZ[
bW[YkWY_Œd$;iZ[Y_h"Wkdgk[bWii_]k_[dj[iZ[iYecfei_Y_ed[iiedb[]‡j_cWiol[hZWZ[hWi"l[h[ceigk[iebekdW
[djh[]WkdW\ehcWZ_h[YjWZ[h[iebl[hbW[YkWY_Œd$
)š !'3'&
)š !'3)š*!(
)š !'3)š)!'
š 7i‡"[icko_cfehjWdj[gk[bWiXWbWdpWiZ_Xk`WZWifehiki[ijkZ_Wdj[iZ[dYk[djWZ[[ij[^[Y^e$
20 / Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
DESARROLLO / 55 minutos
š Pida que estudien y completen la Actividad 2 grupalmente, la que sistematiza el procedimiento de resolución de
ecuaciones por correspondencia 1 a 1:
*š !'3/
*š !'3*š2!'
3(
š Observe que aquí la descomposición justifica en sí misma el procedimiento, por lo que no es necesario escribir
dWZW c|i [d [b Z[iWhhebbe cWj[c|j_Ye$ I‡ i[h| d[Y[iWh_e gk[ d_‹Wi o d_‹ei Wh]kc[dj[d Wb Ykhie iki _Z[Wi o
[ijhWj[]_Wi$Fheck[lWgk[[cfb[[dbW[iYh_jkhWh[Y_ƒdZ[iYh_jW"[dbWc[Z_ZWgk[[ijWi[WYecfh[dZ_ZWfehiki
[ijkZ_Wdj[i$
š BW 7Yj_l_ZWZ ) [i Z[ fh|Yj_YW Z[b dk[le fheY[Z_c_[dje" o Z[ [lWbkWY_Œd Z[ fheY[iei$ EXi[hl[ gk_ƒd[i j_[d[d
Z_\_YkbjWZ[i[dfhefed[hbWZ[iYecfei_Y_ŒdeX_[d"gk_ƒd[iW‘dZ_Xk`WdbWXWbWdpWfWhWh[ifedZ[h"oWgk[[ijWi
Z_\_YkbjWZ[iZWdYk[djWZ[kdWWfhef_WY_ŒdfWhY_WbZ[bj[cW$
š BW7Yj_l_ZWZ*"Z[h[iebkY_ŒdZ[fheXb[cWi"h[WYj_lWbWiWYj_l_ZWZ[i_d_Y_Wb[iWieY_WZWiWbeX`[j_leZ[Wfh[dZ_pW`[o
j_[d[kdW\kdY_ŒdZ[Y_[hh[Z[bfheY[ie$:[X_ZeWb|cX_jedkcƒh_Ye"[iXWijWdj[\WYj_Xb[gk[Wb]kdei[ijkZ_Wdj[i
h[gk_[hWd[iYh_X_hbW[YkWY_ŒdfWhWfeZ[h[cfh[dZ[hbWh[iebkY_Œd"WkdYkWdZeejheifeZh‡Wdh[iebl[hc[djWbc[dj[$
Deb_c_j[d_fhe^‡XW[ijWfei_X_b_ZWZ"oWfhelƒY^[bWfWhWgk[Wb]kdeid_‹Wiod_‹Wifk[ZWd[nfb_YWhbWWejhei$
CIERRE / 10 minutos
BWieY_Wb_pWY_ŒdZ[X[Y[djhWhi[[dbeii_]k_[dj[iWif[Yjei0
š BWZ[iYecfei_Y_ŒdZ[d‘c[hei[ikdW[ijhWj[]_Wcko[\_Y_[dj[Z[h[iebkY_ŒdZ[[YkWY_ed[i$
š ;bbWZeZ[bW[YkWY_Œdgk[j_[d[bW_dYŒ]d_jW"ck[ijhWbW[ijhkYjkhWh[if[YjeZ[YŒceZ[iYecfed[h[bd‘c[he$
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
š ?dl[djWkdWi[Yk[dY_WfWhWgk[bWh[ik[blWdjkiYecfW‹[heioYecfW‹[hWi$
N
1
2
)
4
x
Salida
Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
21
PLAN DE CLASE Nº 9
EX`[j_leZ[bWYbWi[0
š 7fb_YWhfheY[Z_c_[djei\ehcWb[i"YeceikcWhe
restar números a ambos lados de una ecuación,
fWhWh[iebl[h[YkWY_ed[i$
INICIO / 15 minutos
š H[l_i[bWjWh[W[dYed`kdjeYedikYkhie$;ifei_Xb[gk[fWhWY_[hjWii[Yk[dY_Wi[bfheY[Z_c_[djeZ[Yehh[ifedZ[dcia no permita resolver la ecuación, ya sea porque la secuencia no es lineal (variaciones constantes) o bien, porque
bW[YkWY_Œddej_[d[YeceiebkY_Œdkdd‘c[hedWjkhWb$;d[ijeiYWieifh[]kdj[WbWkjehWZ[bWi[Yk[dY_W¿Cuál
fue la regla en la que pensaste?BWih[ifk[ijWiZ[X_[hWdf[hc_j_hb[ih[\b[n_edWhieXh[bWil[djW`Wiob_c_jWY_ed[iZ[b
kieZ[bceZ[beZ[XWbWdpWo%eZ[bfheY[Z_c_[dje$I[‹Wb[gk[^eo[ijkZ_Wh|dejhefheY[Z_c_[dje$
š Pida que estudien y realicen la Actividad 1 individualmente, en la que se problematiza la realización de acciones sobre las ecuaciones, y las condiciones bajo las
YkWb[i[ijWif[hc_j[dh[iebl[hbWi[d\ehcW[n_jeiW$=edzalo ha desequilibrado la balanza al sacar cubitos de un
solo lado, por lo que debieran proponer sin problemas
que la solución pasa por ejecutar la acción sobre ambos
bWZeiZ[bW[YkWY_Œd$H[]_ijh[bWih[ifk[ijWi[dbWf_pWrra, ya que serán de utilidad para gestionar la actividad
i_]k_[dj[$
X
1 kg
1 kg
1 kg 1 kg
1 kg 1 kg
1 kg 1 kg
DESARROLLO / 55 minutos
š BW7Yj_l_ZWZ("Z[X_ZeWgk[jhWXW`WieXh[bWh[fh[i[djWY_ŒdZ[bWXWbWdpW"iebefk[Z[ef[hWhYed[YkWY_ed[iZ[b
tipo !b1[bi_]ded[]Wj_le[iWXehZWZe[dbWWYj_l_ZWZi_]k_[dj[$
š Pida que trabajen grupalmente la actividad 2, en la que al aplicar una acción sobre ambos lados de la igualdad, esta
i[cWdj_[d["begk[i[h[fh[i[djWfehbWYedi[hlWY_ŒdZ[b[gk_b_Xh_e[djh[YWdj_ZWZ[i$
š Inicialmente, se espera y promueve que registren la resolución de ecuaciones como sigue:
!,3/
Resto 6 a ambos lados de la ecuación
3)
š L[h_\_gk[gk[jeZeibei]hkfeiWXehZWdYehh[YjWc[dj[[bfheXb[cWoieY_Wb_Y[ikih[ifk[ijWiYed[bbei$
š 7lWdY[^WY_WbW7Yj_l_ZWZ)"[dbWgk[i[i_ij[cWj_pWo[nj_[dZ[[bfheY[Z_c_[djeZ[h[iebkY_ŒdZ[[YkWY_ed[i$7b
no basarse en representaciones pictóricas sino simbólicas, más abstractas y generales, se optimizan los tiempos
Z[[`[YkY_ŒdZ[bWjƒYd_YW"Wkdgk[i[Z[X_b_jWbWi[]kh_ZWZh[if[YjeZ[bcƒjeZe"fehYkWdjei[h[gk_[h[Z[kdW
cWd_fkbWY_ŒdZ[[nfh[i_ed[igk[fk[Z[W‘di[h_dY_f_[dj[$
22 / Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
š Promueva el uso de un lenguaje escrito más formal, señalando el siguiente procedimiento como el de resolución:
;ijhWj[]_W0I[h[ijW''WWcXeibWZei
!''3('
¸''
3'&
š Durante el desarrollo de la actividad vincule constantemente la operación con la acción de mantener el equilibrio
[djh[bWiYWdj_ZWZ[i$DeWXki[Z[[ijWWdWbe]‡W"fk[ijƒYd_YWifeij[h_eh[idei[XWiWd[dbWeXj[dY_ŒdZ[kd
[gk_b_Xh_e[dkdWXWbWdpW$
š Es muy importante haber abordado las balanzas en la actividad anterior, por cuanto es el soporte que permite que
Yecfh[dZWdbWdWjkhWb[pWokj_b_ZWZZ[bYedeY_c_[dje$
š BW l[hi_Œd Wb][XhW_YW Z[ [ij[ fheY[Z_c_[dje j_[d[ bW l[djW`W Z[ feZ[h [nj[dZ[hi[ W ejhei j_fei Z[ [YkWY_ed[i
lineales, en particular, las funciones ƒ( 3 ¸a, solo que en vez de restar, hay que sumar como una forma de
[b_c_dWh[bjƒhc_deb_Xh[$
CIERRE / 10 minutos
BWieY_Wb_pWY_ŒdZ[X[Y[djhWhi[[dbeii_]k_[dj[iWif[Yjei0
š FWhWh[iebl[h[YkWY_ed[i"[n_ij[dZ_ij_djeicƒjeZei$
š ;bcƒjeZeZ[bWXWbWdpW[ickoXk[defWhW[dj[dZ[hoWfh[dZ[h"f[he[ib[dje$
š ;bcƒjeZeZ[Yehh[ifedZ[dY_W[icko[\_Y_[dj[XW`eY_[hjWiYedZ_Y_ed[i$
š ;bcƒjeZeZ[YWdY[bWY_Œdf[hc_j[WXehZWh[YkWY_ed[igk[j_[d[dkdWikijhWYY_ŒdZ[fehc[Z_e$
Fheck[lWgk[h[Wb_Y[dbW7Yj_l_ZWZ*YeceY_[hh[Z[bj[cW$I_[bj_[cfedeWbYWdpW"Zƒ`[bWZ[jWh[W$
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
š H[Wb_pWhbW7Yj_l_ZWZ*Z[b9kWZ[hdeZ[jhWXW`e$
Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
23
PLAN DE CLASE Nº 10
EX`[j_leZ[bWYbWi[0
š ;lWbkWhbeiWfh[dZ_pW`[iZ[bei[ijkZ_Wdj[i[d[b
Módulo 2, para retroalimentar aquellos temas
c|iZ[\_Y_jWh_ei$
INICIO / 15 minutos
š Explique que se va a realizar una prueba que tiene como objetivo evaluar los contenidos de aprendizaje estudiados
[d[ij[cŒZkbe$
š :[ijWgk[bW_cfehjWdY_WZ[cWdj[d[hkdWYedZkYjWWfhef_WZWZkhWdj[[bZ[iWhhebbeZ[bW[lWbkWY_Œd$
š I[‹Wb[gk[i_de[dj_[dZ[dWb]kdW_dijhkYY_Œdefh[]kdjW"b[lWdj[dbWcWdeokij[Zi[WY[hYWh|fWhWWj[dZ[hbei$
š ;djh[]k[bWfhk[XWoh[YehhWbWiWbWh[]_ijhWdZebeij[cWigk[fk[Z[d[ijWhfh[i[djWdZecWoeh[iZ_\_YkbjWZ[i$
DESARROLLO / 45 minutos
š F_ZWgk[Yec_[dY[dWb[[hoh[ifedZ[hbWfhk[XW$F_ZWgk[Z[`[dWdejWZeibeiY|bYkbeigk[^WY[dfWhWh[iebl[h
beifheXb[cWi$
š EXi[hl[YedWj[dY_Œdol[Wi_Wb]k_[d[ij|Z[j[d_Ze[dWb]kdWfh[]kdjW$
š ;iYkY^[bWifh[]kdjWioWokZ[WYecfh[dZ[hbei[dkdY_WZei"i_dZWhbWh[ifk[ijWYehh[YjWef_ijWi$
š H[]_ijh[bWifh[]kdjWio[ijhWj[]_Wigk[iki[ijkZ_Wdj[i[cfb[Wd"ckY^Wii[h|dcej_leZ[h[l_i_ŒdZ[bYedj[d_Ze$
š En caso que algunos estudiantes finalicen la evaluación tempranamente, indíqueles que trabajen las actividades
Z[bWYbWi['&Z[b9kWZ[hdeZ[jhWXW`e$
LA SIGUIENTE INFORMACIÓN DESCRIBE LAS TAREAS INVOLUCRADAS EN LA PRUEBA:
I[[if[hWgk[kdW[ijkZ_Wdj[gk[i[^WWfhef_WZeZ[beiYedeY_c_[djeiZ[bcŒZkbe"be]h[h[Wb_pWhbWii_]k_[dj[i
tareas matemáticas, descritas por pregunta:
'$ :[iYh_X[dfWjhed[i[dkdWjWXbWZ[lWbeh[iZWZei$
($ Fh[Z_Y[d[blWbehZ[iYedeY_ZeZ[kdWjWXbWZ[lWbeh[iol[h_\_YWdbWfh[Z_YY_Œd$
)$ <ehckbWdkdWh[]bWgk[i[ZW[djh[beilWbeh[iZ[Zei\_bWiZ[d‘c[hei[dkdWjWXbWZ[lWbeh[i$
*$ ?Z[dj_\_YWd[b[c[djeiZ[iYedeY_Zei[dkdWjWXbWZ[lWbeh[i$
+$ ;ijWXb[Y[dh[bWY_ed[i[djh[beilWbeh[iZWZei[dkdWjWXbW"kiWdZeb[d]kW`[cWj[c|j_Ye$
,$ H[fh[i[djWdbWh[]bWZ[kdfWjhŒd"kiWdZekdW[nfh[i_Œd[dgk[_dj[hl_[d[db[jhWi$
-$ ;iYh_X[do[nfb_YWdbW\ŒhckbWfWhW[dYedjhWh[bf[h‡c[jheZ[kdh[Yj|d]kbe$
.$ ;iYh_X[do[nfb_YWdbW\ŒhckbWfWhW[dYedjhWh[bf[h‡c[jheZ[kdjh_|d]kbe$
/$ KiWdb[jhWifWhW][d[hWb_pWhbWfhef_[ZWZYedckjWj_lWZ[bWWZ_Y_ŒdobWckbj_fb_YWY_Œd$
'&$ JhWZkY[dkdW[nfh[i_Œd[dgk[_dj[hl_[d[db[jhWi"[db[d]kW`[Yej_Z_Wde$
''$ 7fb_YWdfheY[Z_c_[djei\ehcWb[i"YeceikcWheh[ijWhd‘c[heiWWcXeibWZeiZ[kdW[YkWY_Œd"fWhWh[iebl[h
[YkWY_ed[i$
24 / Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
'($ H[ik[bl[d[YkWY_ed[i"Z[iYecfed_[dZeZ[WYk[hZeWkdW\ehcWZWZWo^WY_[dZekdWYehh[ifedZ[dY_W'W'$
')$ H[fh[i[djWd[YkWY_ed[iYeceXWbWdpWi[gk_b_XhWZWi$
'*$ :[j[hc_dWdiebkY_ed[iZ[[YkWY_ed[igk[_dlebkYhWdikcWi"W]h[]WdZeeX`[jei^WijW[gk_b_XhWhkdWXWbWdpW$
'+$ 7fb_YWdfheY[Z_c_[djei\ehcWb[i"YeceikcWheh[ijWhd‘c[heiWWcXeibWZeiZ[kdW[YkWY_Œd"fWhWh[iebl[hbW$
CIERRE / 20 minutos
š ?dl_j[Wiki[ijkZ_Wdj[iWYec[djWhbWfhk[XW$
š Fh[]kdj[0«Gkƒb[ifWh[Y_ŒbWfhk[XW5«9k|bfheXb[cWb[i\k[c|i\|Y_bZ[h[iebl[h5«>kXeWb]‘dfheXb[cWgk[
les costó comprender?
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
š ?dZ_gk[WbeiWbkcdeigk[h[Wb_Y[dbWiWYj_l_ZWZ[iZ[bWYbWi['&Z[b9kWZ[hdeZ[jhWXW`e$
Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
25
PLAN DE CLASE Nº 11
EX`[j_leZ[bWYbWi[0
š H[l_iWhbWifh[]kdjWiZ[bWfhk[XWo
retroalimentar a los estudiantes, en los ítems que
^WoWdcWd_\[ijWZekdWcWoehZ_\_YkbjWZ$
INICIO / 15 minutos
š ;nfb_gk[gk[[d[ijWYbWi[h[l_iWh|doh[iebl[h|dYeb[Yj_lWc[dj[Wb]kdeifheXb[cWio[`[hY_Y_eiZ[bWfhk[XW$
š Pida que comenten cuáles fueron las preguntas que más les costaron, y cuáles fueron las preguntas que les pareY_[hedc|i\|Y_b[i$
š Fh_eh_Y[bWigk[\k[hedh[ik[bjWi[d\ehcW_dYehh[YjWkec_j_ZWifehkd]hWdfehY[djW`[Z[[ijkZ_Wdj[i$FWhW[bbe"
Yecfb[j[bW_d\ehcWY_ŒdZ[bWi[YY_ŒdZ[eh_[djWY_ed[ifWhW[bWd|b_i_iZ[beih[ikbjWZeiZ[bWfhk[XW$
š En el Cuaderno de trabajo aparecen algunas de las preguntas o ítems que podrían haber presentado un mayor
]hWZeZ[Z_\_YkbjWZ"feh[bd_l[bZ[Yecfb[`_ZWZ_dlebkYhWZe$DeeXijWdj["i_ƒdjWi[YedbWb_X[hjWZZ[WdWb_pWhejhWi
fh[]kdjWigk[kij[Z^WoW_Z[dj_\_YWZeYeceZ_\‡Y_b[i$
DESARROLLO / 45 minutos
š Desarrollan la Actividad 1, que aborda el reconocimiento de regularidades y su aplicación en la determinación de
bWfei_Y_ŒdeZ[blWbehWieY_WZeW[ijW$
š F_ZWgk[Z[iYh_XWdbWh[]bWikXoWY[dj[WbWjWXbW1l[h_\_gk[YŒceZ[j[hc_dWdjWbh[]bW$
š Fh[]kdj[feh[blWbehZ[F"XkiYWdZegk[i[[ijWXb[pYWYbWhWc[dj[[bhebZ[[ij[lWbehZ[iYedeY_Ze[d[bfWjhŒd$
š Pregunte por el valor de Q, buscando que se establezca claramente el rol de esta incógnita, reconociendo que es
Z_ij_djegk[[bZ[F$
š Pida que trabajen en parejas la Actividad 2, que está asociada a reconocer, en un conjunto de datos organizado en
kdWjWXbW"kdYecfehjWc_[dje[d[bYh[Y_c_[djeZ[[ijeiZ[iYh_jefehkdWh[]bWZWZW$
š Pida que describan la regla asociada a la relación y que evalúen en algunos números para probar el funcionamiento
Z[Z_Y^Wh[]bW$
š En este caso, los valores de n son comunes, lo que facilita la definición de una estrategia de búsqueda de la tabla
gk[h[ifedZ[WbceZ[be$
š F_ZWgk[Wfb_gk[dbWh[]bWWbeilWbeh[iZ[dZ[bWjWXbW0'")"*o,ogk[Xkigk[dbWjWXbWgk[Yedj_[d[WjWb[i
h[ikbjWZei$
š Fh[i[dj[bW7Yj_l_ZWZ)"[dgk[i[YedeY[iebebW[nfh[i_ŒdWb][XhW_YWgk[Z[j[hc_dWbWh[bWY_ŒdZ[Yh[Y_c_[dje
Z[bfWjhŒd1Wi‡"i[Z[X[[lWbkWhbWl[hWY_ZWZZ[kdYed`kdjeZ[*[nfh[i_ed[i$
š F_ZWgk[[lWb‘[dYWZWh[]bW"[d\ehcWehZ[dWZW"fWhWlWh_eilWbeh[iZ[d$
š BWWbj[hdWj_lW:f[hc_j[ceijhWhh|f_ZWc[dj[[`[cfbeiZ[lWbeh[igk[deYkcfb[dYedbWW\_hcWY_Œd$
š I[ _dYbko[ kd fheXb[cW Z[ Y|bYkbe Z[ f[h‡c[jhei1 i[ [if[hW gk[ h[[cfbWY[d Z[ cWd[hW fh[l_W Wb Y|bYkbe Z[b
f[h‡c[jhe"Z[ceZegk[bWYWh]WZ[bWef[hWjeh_Wi[h[Wb_Y[[dkdYedj[njeWh_jcƒj_YeodeWb][XhW_Ye$
š Fh[i[dj[bW7Yj_l_ZWZ*"WieY_WZWWbeifheY[Z_c_[djeiZ[h[iebkY_ŒdZ[[YkWY_ed[i$
26 / Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
š ;d[bfh_c[hYWie"i[Z[X[h[iebl[hkdW[YkWY_Œd"YkoecƒjeZec|i[\_Y_[dj[Z[h[iebkY_Œd[i[bZ[bWYehh[ifedZ[dY_W
kdeWkde$
š En el caso del segundo problema de la actividad, la dificultad radica en que no se busca resolver la ecuación, sino
gk[i[h[gk_[h[[nfb_Y_jWhkdfheY[Z_c_[djeZ[h[iebkY_ŒdZ[[YkWY_ed[i$
š BWX‘igk[ZWZ[h[Wb_pWhZ[iYecfei_Y_ed[iZ[d‘c[hei"[d[bcWhYeZ[bfheY[Z_c_[djeZ[h[iebkY_ŒdZ[[YkWY_ed[i
por correspondencia, es el procedimiento que permite identificar la búsqueda del factor como la alternativa
Yehh[YjW$
CIERRE / 20 minutos
En la socialización respecto a los conceptos trabajados en la clase, gestione lo siguiente:
š Fh[]kdj[0«Gkƒ[ijkZ_Wcei^eoZ‡W5
š I_dj[j_Y[bWih[ifk[ijWiZ[iki[ijkZ_Wdj[iof_ZWgk[be[iYh_XWd[d[bYkWZ[hde$
š BW_Z[W[igk[beiobWi[ijkZ_Wdj[ih[ifedZWdokij[ZlWoWWdejWdZeikih[ifk[ijWi[dbWf_pWhhW$;dfWhj_YkbWh"
será muy importante que usted permita que expliciten la dificultad que tuvieron, cuál es el error que cometieron,
fehgkƒbeYec[j_[hedoYŒcei[Z[X‡Wh[iebl[h[bfheXb[cW$
Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
27
MATEMÁTICA / 6° BÁSICO
ORIENTACIONES PARA EL ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE EVALUACIÓN
Indicador de
evaluación
Ítem
Información
del curso
% L % NL
4. Observa la siguiente tabla, que Identifican elementos
presentan datos relacionados por desconocidos en una
jWXbWZ[lWbeh[i$
kdWh[]kbWh_ZWZ$
1
2
)
4
6
9
Q
1
4
9
16 ),
P
121
¿Cuáles son los valores de P y Q?
7$ F3)oG3'(
Orientaciones
remediales
F_ZWgk[Z[iYh_XWdbWh[]bW$
Pregunte por el valor de P, buscando que
se establezca claramente el rol de este
lWbehZ[iYedeY_Ze[d[bfWjhŒd$
Pregunte por el valor de Q, buscando que
se establezca claramente el rol de esta
incógnita, reconociendo que es distinto
gk[[bZ[F$
8$ F3.'oG3''
9$ F3.'oG3'(
:$ F3(+oG3'&
+$ ¿Cuál de las siguientes tablas se Establecen relaciones
relaciona con la expresión 3n+1? que se dan entre los
valores dados en una
n
1
)
4
6
tabla, usando lengua7$
`[cWj[c|j_Ye$
I7B?:7 )
4
+
6
8$
9$
:$
n
I7B?:7
n
I7B?:7
n
I7B?:7
Pida que describan la regla asociada a
bWh[bWY_Œd$JWcX_ƒd"gk[[lWb‘[d[d
algunos números para probar el funciodWc_[djeZ[Z_Y^Wh[]bW$
1
)
)
9
4
6
12 '.
En este caso, los valores de n son comunes, lo que facilita la definición de una
estrategia de búsqueda de la tabla que
h[ifedZ[WbceZ[be$
1
4
)
-
4
6
10 ')
Pida que apliquen la regla a los valores de
dZ[bWjWXbW0'")"*o,"ogk[Xkigk[d
bWjWXbWgk[Yedj_[d[WjWb[ih[ikbjWZei$
1
4
)
4
10 ')
6
19
28 / Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
MÓDULO Nº 2: PATRONES Y ÁLGEBRA
Ítem
Indicador de
evaluación
6. ¿Cuál de las siguientes afirma- Representan la regla
Y_ed[i[i<7BI7"YkWdZed[ikd de un patrón, usando
una expresión en que
número natural?
_dj[hl_[d[db[jhWi$
7$ *šd[ii_[cfh[fWh$
8$ d!'[icWoehgk[d$
9$ +šdj[hc_dW[d&e[d+$
Aplican procedimientos formales, como sumar o restar números
a ambos lados de una
ecuación, para resolver
7$ IkcWh*WWcXeibWZeiZ[bW [YkWY_ed[i$
[YkWY_Œd$
8$ H[ijWh*WWcXeibWZeiZ[bW
[YkWY_Œd$
9$ Ckbj_fb_YWhfeh*WWcXeibWZei
Z[bW[YkWY_Œd$
Orientaciones
remediales
Pida que, alternativa por alternativa,
propongan una estimación del valor
Z[l[hZWZZ[bWW\_hcWY_Œd$
Pida que evalúen cada regla, en forma
ehZ[dWZW"fWhWlWh_eilWbeh[iZ[d$
BWWbj[hdWj_lW:f[hc_j[ceijhWhh|f_damente ejemplos de valores que no
Ykcfb[dYedbWW\_hcWY_Œd$
:$ )šd!'[ikdd‘c[he_cfWh$
'+$I[gk_[h[h[iebl[hbW[YkWY_Œd
*šn3+,$«9k|bZ[bWii_]k_[dj[i
jƒYd_YWi Z[ h[iebkY_Œd f[hc_j[
resolver la ecuación?
Información
del curso
% L % NL
BWZ_\_YkbjWZZ[[ijWfh[]kdjWhWZ_YW
en que no se busca resolver la ecuación, sino que se requiere explicitar
un procedimiento de resolución de
[YkWY_ed[i$
El realizar descomposiciones de números, en el marco del procedimiento de
resolución de ecuaciones por correspondencia, es el procedimiento que
permite identificar la búsqueda del
\WYjehYecebWWbj[hdWj_lWYehh[YjW$
:$ :_l_Z_hfeh*WWcXeibWZeiZ[
bW[YkWY_Œd$
BWYebkcdW_d\ehcWY_ŒdZ[bYkhieZ[X[i[hbb[dWZWfehYWZWZeY[dj["_dYehfehWdZe[bfehY[djW`[Z[[ijkZ_Wdj[igk[Yedj[ijWhed[b‡j[c[d\ehcWYehh[YjWBo[bfehY[djW`[gk[be^_pe[d\ehcW_dYehh[YjWDB$
Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
29
PAUTA DE CORRECCIÓN / EVALUACIÓN MÓDULO 2
Ítem
Eje Temático
1
Patrones y Álgebra
2
Patrones y Álgebra
)
Patrones y Álgebra
4
Patrones y Álgebra
+
Patrones y Álgebra
6
Patrones y Álgebra
-
Patrones y Álgebra
.
Patrones y Álgebra
9
Patrones y Álgebra
10
Patrones y Álgebra
11
Patrones y Álgebra
12
Patrones y Álgebra
')
Patrones y Álgebra
14
Patrones y Álgebra
'+
Patrones y Álgebra
Indicador de Evaluación
:[iYh_X[dfWjhed[i[dkdWjWXbWZ[lWbeh[iZWZei$
Predicen el valor desconocido de una tabla de valores y verifican
bWfh[Z_YY_Œd$
Formulan una regla que se da entre los valores de dos columnas
de números en una tabla de valores
?Z[dj_\_YWd[b[c[djeiZ[iYedeY_Zei[dkdWjWXbWZ[lWbeh[i$
Establecen relaciones que se dan entre los valores dados en una
jWXbW"kiWdZeb[d]kW`[cWj[c|j_Ye$
Representan la regla de un patrón, usando una expresión en que
_dj[hl_[d[db[jhWi$
Escriben y explican la fórmula para encontrar el perímetro de un
h[Yj|d]kbe$
Escriben y explican la fórmula para encontrar el perímetro de
kdjh_|d]kbe$
Usan letras para generalizar la propiedad conmutativa de la adiY_ŒdobWckbj_fb_YWY_Œd$
JhWZkY[dkdW[nfh[i_Œd[dgk[_dj[hl_[d[db[jhWi"[db[d]kW`[
Yej_Z_Wde$
Aplican procedimientos formales, como sumar o restar números
WWcXeibWZeiZ[kdW[YkWY_Œd"fWhWh[iebl[h[YkWY_ed[i$
Resuelven ecuaciones, descomponiendo de acuerdo a una forma
ZWZWo^WY_[dZekdWYehh[ifedZ[dY_W'W'$
H[fh[i[djWd[YkWY_ed[iYeceXWbWdpWi[gk_b_XhWZWi$
Determinan soluciones de ecuaciones que involucran sumas,
W]h[]WdZeeX`[jei^WijW[gk_b_XhWhkdWXWbWdpW$
Aplican procedimientos formales, como sumar o restar números
WWcXeibWZeiZ[kdW[YkWY_Œd"fWhWh[iebl[h[YkWY_ed[i$
30 / Módulo Nº 2: Patrones y Álgebra / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
Clave
B
C
A
B
D
D
A
D
D
B
C
C
D
A
D
6
o
Módulo Nº 3:
Geometría
MATEMÁTICA
Guía didáctica
6
o
Módulo Nº 3:
Geometría
MATEMÁTICA
Guía didáctica
NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA
División de Educación General
Ministerio de Educación
República de Chile
2013
6
o
Módulo Nº 3:
Geometría
MATEMÁTICA
Guía Didáctica
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA
2013
MÓDULO Nº 3: GEOMETRÍA
PRESENTACIÓN
En el marco del mejoramiento continuo de las escuelas, el Nivel de Educación
Básica pone a disposición del sistema escolar una serie de módulos didácticos
para apoyar la implementación curricular en diversos cursos y asignaturas
de la educación básica.
Los módulos didácticos constituyen un recurso pedagógico orientado a apoyar
la labor de la escuela en las prácticas de planificación y evaluación escolar,
modelando la implementación efectiva de las Bases Curriculares, fomentando un
clima escolar favorable para el aprendizaje y monitoreando permanentemente
el proceso de aprendizaje de los estudiantes.
Los módulos didácticos presentan la siguiente estructura:
Guía didáctica: consiste en un recurso para el docente que contiene orientaciones
didácticas y propuestas de planes de clases en las que se describen actividades
a realizar con las y los estudiantes para los momentos de inicio, desarrollo y
cierre de clases. Además, aporta sugerencias para monitorear el aprendizaje,
organizar el trabajo colectivo e individual, y recomienda tareas.
Cuaderno de trabajo para el estudiante: desarrollan algunas de las actividades
señaladas en los planes de clases de los docentes, y dan cuenta de una forma
de presentar los desafíos y tareas pertinentes para avanzar hacia el logro de
los objetivos de aprendizaje propuestos para el módulo.
Evaluación: consiste en instrumentos de evaluación con sus respectivas
pautas de corrección y orientaciones que evalúan los objetivos de aprendizaje
desarrollados en el módulo.
Cabe señalar que los módulos propuestos constituyen un modelo de implementación y no dan cuenta por sí mismos de la totalidad de los objetivos de
aprendizaje propuestos para cada curso. Los materiales presentan una cobertura curricular parcial, que los(as) docentes deberán complementar con sus
propias planificaciones y propuestas didácticas.
De este modo a través de los recursos pedagógicos mencionados, el Nivel
de Educación Básica espera contribuir a la labor de equipos de liderazgo
pedagógico, docentes y estudiantes de establecimientos de educación básica
en el proceso de implementación curricular en vistas al mejoramiento de la
calidad de la educación.
Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
3
MATEMÁTICA / 6° BÁSICO
DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO
El plan Apoyo Compartido es una iniciativa implementada por el Ministerio de
Educación desde marzo de 2011, que incorpora metodologías de aprendizaje
centradas en el fortalecimiento de capacidades en las escuelas. Algunos
de los focos esenciales de este desarrollo son la implementación efectiva
del currículum, fomento de un clima y cultura escolar favorables para el
aprendizaje y optimización del uso del tiempo de aprendizaje académico. Para
ello se ponen a disposición de las y los docentes propuestas didácticas para
la implementación curricular, en primer ciclo básico.
Con el objetivo de avanzar en el apoyo a la implementación curricular en los
niveles de quinto y sexto básico, este año 2013, se ponen a disposición de los
y las docentes Módulos de aprendizaje. Esta Guía Didáctica corresponde al
Módulo Geometría de sexto año básico, y tiene como propósito principal ofrecer
una herramienta de gestión curricular focalizada y basada en la organización
de la enseñanza para el logro de objetivos de aprendizaje planteados en la
Unidad 3 del Programa de Estudios.
Es por ello que esta propuesta se ha diseñado para dar cuenta de los distintos
objetivos de aprendizaje propuestos por las actuales bases curriculares. En tal
sentido, la propuesta ofrece actividades problematizadoras que promueven
el desarrollo de las habilidades del marco curricular, fundamentales para
emprender la realización y resolución de acciones y problemas específicos
de la vida. Estas habilidades no se desarrollan con actividades pedagógicas
generales, sino que son actividades específicamente diseñadas para que las y
los estudiantes participen en la construcción del conocimiento matemático
puesto en juego en tales situaciones.
La Guía respeta las orientaciones del programa, por ejemplo, en el caso del
estudio de los ángulos, no se focaliza en la memorización de la clasificación,
sino en el establecimiento de relaciones. Otro ejemplo es el de la construcción
de triángulos, en donde el foco no está solamente en los procedimientos de
construcción, sino en el análisis casi simultáneo de las condiciones de existencia
de triángulos, análisis realizado a partir de las mismas tareas de construcción.
También es importante el abordaje del cálculo de área de la superficie de cubos
y paralelepípedos, por cuanto se consideran los conocimientos previos en forma
4 / Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
MÓDULO Nº 3: GEOMETRÍA
explícita al abordar este tema a partir del cálculo de las áreas de las redes de
estos cuerpos geométricos, evitando con ello un enfoque memorístico de las
fórmulas de cálculo; lo importante es que sus estudiantes comprendan lo que
hacen. Todos estos énfasis se han planteado basados en el conocimiento de las
dificultades que niñas y niños tienen al abordar estos contenidos específicos,
bajo la premisa de que se aprende matemática haciendo matemática. Se sabe
que este tipo de gestión didáctica del aula, desarrolla actitudes positivas hacia
la matemática y, en particular, las consideradas en el programa.
Se incluye una programación sinóptica, que establece el grado de relación
de este Módulo con el marco curricular, junto con una evaluación y su pauta,
basados en los indicadores de evaluación del programa de estudios. Además,
se incorpora un cuadro que tiene como objetivo modelar un forma de análisis
de los resultados de algunos ítems de la prueba.
Las y los estudiantes cuentan con un Cuaderno de trabajo para desarrollar
actividades de aprendizaje, y orientaciones para la retroalimentación respecto
de las eventuales dificultades que se pudieran manifestar.
Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
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Programación Módulo 3 Matemática 6º Básico
CLASES
/ HORA
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
INDICADORES DE EVALUACIÓN
• Construir ángulos agudos, obtusos, rectos, extendidos y completos con instrumentos geométricos
o software geométrico (OA15).
• Dibujan un círculo y registran en él ángulos agudos,
rectos y obtusos utilizando un transportador.
• Construyen un ángulo recto y lo toman como referencia para determinar ángulos agudos y obtusos.
• Construyen ángulos agudos o ángulos agudos y obtusos que sumen 180° con un transportador o con procesadores geométricos.
• Construir y comparar triángulos de acuerdo a
la medida de sus lados y/o sus ángulos con instrumentos geométricos o software geométrico
(OA12).
• Comparan la longitud de sus lados de acuerdo a la medida de sus ángulos interiores opuestos.
• Clasifican triángulos y explican el criterio de clasificación.
• Comparan triángulos usando la clasificación dada.
• Construyen triángulos en que se conoce la longitud de
sus lados, usando instrumentos geométricos o procesadores geométricos.
• Identificar los ángulos que se forman entre dos
rectas que se cortan (pares de ángulos opuestos
por el vértice y pares de ángulos complementarios) (OA16).
• Identifican los ángulos opuestos por el vértice, que se
forman entre dos rectas que se cortan.
• Verifican, usando transportador, que los ángulos
opuestos por el vértice tienen igual medida.
• Calcular ángulos en rectas paralelas cortadas por
una transversal y en triángulos (OA21).
• Identifican ángulos de igual medida que se forman en
rectas paralelas cortadas por una transversal y demuestran esta igualdad usando traslaciones.
• Identifican ángulos suplementarios en un sistema de
rectas paralelas cortadas por una transversal.
• Resuelven problemas relativos a cálculos de ángulos en
paralelogramos.
1-4
8 horas
5-7
6 horas
6 / Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
EJEMPLOS DE PREGUNTAS
• ¿Cuál es el ángulo de mayor medida?
REFERENCIA A OTROS RECURSOS
• Revise páginas del texto escolar referidas al contenido en estudio.
• Ángulos:
http://recursostic.educacion.
es/descartes/web/
materiales_didacticos/M_B2_
ClasificacionDeAngulos/oa.html
• Revise páginas del texto escolar referidas al contenido en estudio.
• Construcción de triángulos:
http://recursostic.educacion.
es/descartes/web/materiales_
didacticos/Triangulos/index_tri.htm
http://platea.pntic.mec.es/~jmigue1/
triangu/lados1.htm
• Revise páginas del texto escolar referidas al contenido en estudio.
• Ángulos opuestos por el vértice:
http://tutormatematicas.com/
GEO/Angulos_complementarios_
suplementarios_relaciones_angulo.
html
b
a
A.
B.
C.
D.
REFERENCIAS A TEXTOS
ESCOLARES
El ángulo a.
El ángulo b.
Tienen igual medida.
No se puede saber.
• En la imagen se observan tres segmentos que permiten definir un triángulo:
a
b
c
• ¿Qué tipo de triángulo es?
A. Equilátero.
B. Isósceles.
C. Escaleno.
D. No se puede saber.
• En la figura se observan dos rectas y
una semirrecta:
80°
?
35°
Ángulos opuestos por el vértice y
entre paralelas:
http://geogebra.geometriadinamica.
org/paralelasysecantes.htm
• El ángulo marcado mide:
A. 35°
B. 45°
C. 55°
D. 80°
• Observa que en la figura hay dos rectas paralelas y dos rectas secantes:
a
• Revise páginas del texto escolar referidas al contenido en estudio.
• Ángulos entre paralelas:
http://www.cidse.itcr.ac.cr/
Materiales/geometria/paginas/
AngParalelas.html
b
• ¿Cómo son los ángulos a y b entre sí?
A. De igual medida.
B. Complementarios.
C. Suplementarios.
D. No se puede saber.
Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
7
CLASES
/ HORA
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
INDICADORES DE EVALUACIÓN
• Calcular la superficie de cubos y paralelepípedos,
expresando el resultado en cm2 y m2 (OA18).
• Calculan áreas de redes asociadas a cubos y paralelepípedos.
• Comparan las áreas de las caras de paralelepípedos y
las áreas de las caras de cubos.
• Determinan áreas de las superficies de cubos a partir
de la medida de sus aristas.
• Calcular el volumen de cubos y paralelepípedos, expresando el resultado en cm3, m3 y
mm3(OA19).
• Determinan volúmenes de cubos y paralelepípedos,
conociendo información relativa a sus aristas.
• Resuelven problemas relativos a volúmenes de cubos
y paralelepípedos conociendo información relativa a
áreas de superficies de estas figuras 3D.
• Realizar la prueba del Módulo considerando los
objetivos de aprendizaje abordados en las semanas anteriores.
• Se realiza la prueba del Módulo considerando los indicadores abordados en las semanas anteriores.
• Se realiza una retroalimentación a los estudiantes considerando los indicadores de evaluación con menor
porcentaje de logro.
8-9
4 horas
10 - 11
4 horas
8 / Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
EJEMPLOS DE PREGUNTAS
• Observa el siguiente paralelepípedo:
1 cm
REFERENCIAS A TEXTOS
ESCOLARES
• Revise páginas del texto escolar referidas al contenido en estudio.
2 cm
4 cm
REFERENCIA A OTROS RECURSOS
• Área superficial de cubos y paralelepípedos:
http://tutormatematicas.com/GEO/
Area_superficie_volumen_cubos_
base10.html
¿Cuál es el área de superficie del cuerpo?
A. 8 cm2
B. 10 cm2
C. 14 cm2
D. 28 cm2
• ¿Cuál es el volumen de un cubo de 6
cm2 de superficie?
A. 216 cm3
B. 36 cm3
C. 6 cm3
D. 1 cm3
• Revise páginas del texto escolar referidas al contenido en estudio.
http://ntic.educacion.es/w3/
recursos/primaria/matematicas/
volumen/menu.html
http://recursostic.educacion.
es/descartes/web/materiales_
didacticos/m2m3_pri/index.htm
• Revise páginas del texto escolar referidas al contenido en estudio.
Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
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PLAN DE CLAS Nº 1
Tiempo: 90 minutos
Objetivos de la clase:
• Construir, medir y clasificar ángulos agudos,
rectos, obtusos y extendidos, utilizando el
transportador.
INICIO / 15 minutos
• Realizan individualmente la Actividad 1, cuyo propósito es reconocer tipos de ángulos. La decisión respecto al tipo
de ángulo, está determinada por la comparación con respecto al ángulo recto. Lo más importante de esta actividad es que reconozcan visualmente los distintos tipos de ángulos.
DESARROLLO / 45 minutos
C
• Desarrollan individualmente la Actividad 2, cuya finalidad es reconocer que el transportador es un instrumenB
D
to de medida de ángulos. Es importante que antes de
iniciar las partes a. y b., proyecte la imagen de un transportador (o un transportador de cartulina) para explicar
dos ideas clave: 1) El centro del transportador se ubica
en el vértice del ángulo, 2) un lado del ángulo se alinea
con los 0° y el otro lado determina la medida. DibuA
je tres ángulos en la pizarra, pida que los copien en el
cuaderno y luego expliquen cómo midieron los ángulos.
• Desarrollan individualmente la parte a., medir ángulos con el transportador. Observe cómo solucionan la dificultad
de que los punteros del reloj no llegan hasta el borde del instrumento, por lo cual tendrán que trazar una línea
antes de establecer la medida.
• Desarrollan individualmente la parte b., producir ángulos de distinto tipo. Es importante que en la Actividad 2 no
cuenten con escuadra, pues la complejidad no es reconocer un dibujo, sino asociar la medida al tipo de ángulo;
por ello, aparte de dibujarlos, se les pide que anoten la medida. Después de 10 minutos proyecte la actividad para
que puedan dibujar los ángulos en la pizarra. Eso permitirá, por ejemplo, que se junten muchas medidas para los
ángulos agudos. Pregunte: ¿Hay algún ángulo agudo que mida 90°? ¿Entre qué valores están las medidas de los
ángulos obtusos?
• Desarrollan individualmente la Actividad 3, parte a., unir dos ángulos por un lado, coincidiendo en el vértice y
asociar el ángulo resultante con la suma de ambos. Lo anterior permitirá que se den cuenta de que un ángulo
extendido se puede formar por la unión de dos ángulos, no necesariamente rectos.
• Desarrollan individualmente la parte b., reconocer que a partir de dos ángulos se pueden formar otros uniéndolos
por uno de sus lados, y que la medida de ese nuevo ángulo es la suma de los ángulos iniciales.
CIERRE / 20 minutos
La socialización de los conceptos trabajados en la clase, debe dejar establecido que:
• Para medir un ángulo con el transportador, debe ubicarse correctamente el centro de este con el vértice del
ángulo y alinearse uno de los lados con la marca 0°. Dibuje un ángulo en la pizarra, coloque el transportador en
10 / Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
posiciones incorrectas y pregunte a sus estudiantes qué opinan de ello y cuál sería la manera correcta de hacerlo.
• Dibuje tres ángulos en la pizarra (agudo, obtuso y extendido) y pregunte por sus nombres. Gestione para que las
respuestas se relacionen con que:
• Cualquier ángulo que mida menos de 90° se llama ángulo agudo.
• Cualquier ángulo que mida más de 90° pero menos de 180° se llama ángulo obtuso.
• Un ángulo que mida 180° se llama ángulo extendido y su forma característica es:
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
Responde las siguientes preguntas y explica tus respuestas:
Si se unen dos ángulos agudos:
• ¿Puede formarse un ángulo obtuso?
• ¿Puede formarse un ángulo extendido?
Si se unen dos ángulos obtusos:
• ¿Puede formarse un ángulo extendido?
Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
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PLAN DE CLASE Nº 2
Tiempo: 90 minutos
Objetivos de la clase:
• Construir triángulos geométricamente,
sabiendo las medidas de tres segmentos y
reconociendo la condición que deben cumplir
para que exista.
INICIO / 15 minutos
Revisen la tarea en conjunto.
• En la Actividad 1 pida que dibujen en su cuaderno las explicaciones que Vicente va entregando paso por paso
para la construcción de triángulos, dadas tres medidas de segmentos. Es conveniente que se familiaricen con
el compás, copiando trazos, antes de comenzar las actividades. Cuando dibujen la recta L en donde se copiará
el primer segmento, procure que no sea horizontal, sino que oblicuo para que se acostumbren a trabajar estas
construcciones sin la necesidad de apoyarse en el cuadriculado.
• Construya los triángulos en la pizarra, porque no basta con que se muestren en una proyección. Es importante
que observen cómo trabaja usted con el compás para marcar los arcos de circunferencia, las intersecciones, etc.
• No utilice segmentos con medidas exactas, pues eso retrasará la explicación de Vicente. Muchos estudiantes
tratarán de establecer las medidas de los segmento. Haga ver que eso no es necesario. Más adelante habrá
actividades con medidas.
DESARROLLO / 45 minutos
• Desarrollan la parte a. en parejas, pero cada integrante trabaja en la construcción, de manera de reforzar los
procedimientos para construir triángulos dadas las longitudes de tres segmentos. Para la construcción de los
triángulos 1 y 2 se debe repetir el procedimiento mostrado anteriormente. Indique a sus estudiantes que solo para
efectos de no salirse del cuadro destinado al trabajo, copien siempre el segmento de mayor longitud en la recta dada.
Cuando hayan terminado ambas construcciones, averigüe si reconocen el triángulo 2 como isósceles.
• En la construcción de los triángulos 3, 4 y 5 la diferencia está en que se trabaja con medidas exactas, para luego
hacer el análisis de la condición de existencia del triángulo. Es probable que algunos niños y niñas no sean precisos
en la medición de los segmentos, por lo que muestre que no es necesario medir un trazo, sino que basta tomar la
medida con el compás poniendo la punta en 0 cm y el lápiz en el número que indica la longitud pedida. Al igual que
en las construcciones anteriores, socialice el nombre del tipo de triángulo que se está generando; es importante
que estudiantes reconozcan que los triángulos 3 y 5 son rectángulos y el 4 es equilátero.
• Antes de que realicen la Actividad 2, pregunte si tuvieron alguna dificultad en la construcción de los triángulos.
• Realizan en parejas la Actividad 2. La parte a. tiene como finalidad que reconozcan la condición que deben
cumplir tres segmentos para poder formar un triángulo con ellos. Dé un tiempo para que expliquen qué sucedió.
Seguramente dirán que la dificultad es que el triángulo no cierra; en ese caso socialice la respuesta para ver si
alguien más piensa eso y gestione para que entiendan que en realidad el triángulo no existe. La dificultad es
obviamente que no se puede cerrar y con ello estaría faltando el tercer vértice. Es importante que discutan y
socialicen sus producciones, ya que es probable que en un primer momento crean que se equivocaron en la
construcción.
• En la gestión de la actividad no entregue inmediatamente la solución a la dificultad. Lo primero es que reconozcan
que existe una condición, es decir, no basta con tener tres segmentos para formar un triángulo.
12 / Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
• En la parte b. deben descubrir la condición de existencia de un triángulo. La gestión debe estar centrada en la suma
de las longitudes de dos lados y compararlo con el tercer lado; para ello es importante que completen la tabla
y socialicen y conjeturen acerca de cuándo existe el triángulo y cuándo no. Realizan individualmente la parte c.,
cuyo propósito es reforzar la idea de que para que tres segmentos formen un triángulo, la suma de dos lados debe
ser mayor que la longitud del tercero, y que no es necesario construirlo para saber si existe o no.
CIERRE / 20 minutos
La socialización de los conceptos trabajados en la clase, debe dejar establecido que:
• Para construir un triángulo dados tres segmentos, primero se debe verificar si existe o no, utilizando la condición
de existencia: “la suma de las longitudes de dos lados cualquiera siempre debe ser mayor a la longitud del tercero”.
• Tres segmentos cualesquiera no siempre forman un triángulo. Para socializar esta idea dibuje dos triángulos en la
pizarra (uno que no lo sea) con sus medidas y pregunte: ¿Cuál de ellos es realmente un triángulo y por qué?
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
Dadas tres medidas, construye en tu cuaderno con regla y compás los triángulos 1, 2 y 3. Si la construcción no se puede
realizar, explica por qué.
• Medidas de los lados del triángulo 1; a = 5 cm, b = 3 cm y c = 7 cm
• Medidas de los lados del triángulo 2; a = 5 cm, b = 5 cm y c = 10 cm
• Medidas de los lados del triángulo 3; a = 6 cm, b = 6 cm y c = 6 cm
Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
13
PLAN DE CLASE Nº 3
Tiempo: 90 minutos
Objetivos de la clase:
• Construir triángulos geométricamente conociendo la medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos o la medida de dos ángulos y la
longitud del lado comprendido entre ellos.
INICIO / 15 minutos
• Revisen la tarea en conjunto.
• Muestre el siguiente triángulo en la pizarra, explicando que en la clase anterior aprendieron a construir triángulos
dadas las longitudes de tres lados y en esta clase aprenderán a construir triángulos dadas las longitudes de dos
lados y el ángulo comprendido entre ellos y, también, dados dos ángulos y el lado comprendido entre ellos.
B
B
c
A
b
C
Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
A
b
C
Dos ángulos y el lado comprendido entre ellos.
• En la Actividad 1 pida que escriban en su cuaderno las explicaciones que Sofía va entregando paso por paso para
la construcción de triángulos dados dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Es importante señalar que
primero se copia un lado (puede ser el mayor) después se copia el ángulo y posteriormente se copia el segundo
lado.
• Construya los triángulos en la pizarra, para que vean cómo trabaja usted con el compás para marcar los arcos de
circunferencia, las intersecciones, etc.
• No utilice segmentos con medidas exactas, solo trace segmentos (a, b o c). Muchos estudiantes tratarán de
establecer las medidas de los segmentos. Haga ver que lo anterior no es necesario cuando se trabaja con compás.
Más adelante habrá actividades con medidas.
DESARROLLO / 40 minutos
• Desarrollan la Actividad 1 en parejas, pero cada integrante trabaja en la construcción, de manera de reforzar
los procedimientos para construir triángulos dadas las longitudes de dos segmentos y la medida del ángulo
comprendido entre ellos. Para la construcción de los dos primeros triángulos, se debe repetir el procedimiento
mostrado anteriormente. Indique que solo para efectos de no salirse del cuadro destinado al trabajo, copien
siempre el segmento de mayor longitud en la recta dada. Cuando hayan terminado ambas construcciones,
pregunte si conocen el nombre del triángulo 2.
• En la construcción de los otros dos triángulos, la diferencia está en que se trabaja con medidas exactas. Es probable
que algunos niños y niñas no sean precisos en la medición de los segmentos. Muestre que no es necesario medir
14 / Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
un trazo, sino que basta con tomar la medida en una regla, con el compás con la punta en 0 cm y el lápiz en el
número que indica la longitud pedida. Verifique que están usando bien el transportador, colocando el centro de
él en el vértice del ángulo.
• Realizan la Actividad 2, cuya finalidad es que construyan triángulos, dadas las medidas de dos ángulos y el lado
comprendido entre ellos. Es importante que en la gestión de la actividad se comience por copiar el segmento dado
y, posteriormente, se copien los ángulos en cada uno de los extremos del segmento.
CIERRE / 25 minutos
• Realizan en parejas la Actividad 3, cuyo propósito es que reconozcan los datos mínimos para construir un único
triángulo. Para ello socialice las respuestas del cuadro.
a
x
x
x
b
x
x
c
α
β
γ
x
x
x
x
Restricción
El lado debe estar comprendido entre los dos ángulos dados.
La suma de las medidas de dos lados debe ser mayor que la medida del tercer lado.
El ángulo debe estar comprendido entre los dos lados dados.
• Es importante que en la socialización de las respuestas se haga presente que cuando se dispone de dos lados, el
ángulo que se necesita no es cualquiera, sino que debe estar comprendido entre los dos lados. Esta es una idea
para el cierre, por lo que revise las respuestas del cuadro socializando esta idea fuerza.
• Otra idea fuerza para el cierre y que podrá ser socializada a partir de la Actividad 3, es que cuando se dan dos
ángulos, entonces el lado debe estar comprendido entre los ángulos.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
1) Sabiendo que se tienen las medidas angulares 50°, 50° y 80°, responde las siguientes preguntas:
a. ¿Se puede construir un triángulo? Si la respuesta es afirmativa, constrúyelo utilizando tu transportador y regla.
Explica los pasos.
b. ¿Es un único triángulo o se podrían construir otros con las mismas medidas de los ángulos interiores?
2) ¿Se puede construir un triángulo cuyas medidas sean 80°, 80° y 80°? Explica tu respuesta.
Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
15
PLAN DE CLASE Nº 4
Tiempo: 90 minutos
Objetivos de la clase:
• Clasificar triángulos utilizando criterios de
longitud de lados y medida de los ángulos
interiores.
INICIO / 20 minutos
Revisen la tarea en conjunto y analice con sus alumnos las múltiples respuestas en cada caso.
• Pida que realicen la Actividad 1 en parejas, cuya finalidad es que, mediante una situación problemática, se den
cuenta de que en los triángulos hay una correspondencia entre el ángulo de mayor medida y el lado de mayor
longitud. Ella establece que el lado de mayor longitud es aquel que está opuesto al ángulo de mayor medida.
• La gestión de esta actividad debe orientarse a que no puedan usar el transportador, pues en ese caso medirán. Si
alguien dice inmediatamente que el ángulo mayor es S B no valide la respuesta, sino que anote la opción en la
pizarra y pregunte a los estudiantes si comparten las respuestas y por qué, de manera de generar un debate.
• Haga que el resto entre en duda acerca de la afirmación. Por otra parte si alguno dice que S A es el mayor, no la
invalide. Por el contrario, dele credibilidad, para que así se provoque un debate entre los que piensan que es mayor
S A y los que piensan que es mayor S B.
• Circule por la sala escuchando las explicaciones. Si pasado 10
minutos no hay explicaciones plausibles, dibuje el siguiente
triángulo en la pizarra o proyéctelo, e induzca a que relacionen el lado de mayor longitud con el ángulo opuesto de mayor
longitud. Posteriormente vuelva a la situación de la Actividad
1 y pregunte quién desea dar la respuesta y explicar por qué.
Haga un mini cierre de esta actividad estableciendo la propiedad y hagan que comprueben utilizando el transportador.
• Pida que realicen individualmente la Actividad 2, en que aplican lo aprendido en la Actividad 1. Posteriormente pida
a algunos estudiantes que expliquen sus respuestas, las cuales deben estar centradas en la propiedad estudiada;
cautele que no utilicen el compás.
DESARROLLO / 40 minutos
• Pida que realicen la Actividad 3 en parejas, cuyo propósito es que reconozcan que hay triángulos con tres lados de igual
medida, con dos lados de igual medida y otros en que todas sus medidas son distintas. Es importante señalar que en
esta actividad, lo prioritario no es que sepan señalar los nombres: equilátero, isósceles o escaleno. Un(a) estudiante no
aprende a decidir de cuál tipo es el triángulo por el simple hecho de conocer el nombre de la clasificación. Lo importante
es reconocer las características de uno y de otro, compararlas y ser capaz de distinguirlas en combinación de figuras,
por lo que la socialización de la actividad debe centrarse en estos aspectos. Se sugiere cerrar esta actividad pidiendo que
verbalicen sus reflexiones acerca de qué diferencias se aprecian entre los triángulos de distintas clasificaciones.
• Una dificultad que podría surgir en esta actividad es con un triángulo del tipo equilátero (no tienen por qué saber el
nombre), pues un alumno(a) podría señalar que tiene 2 lados de igual medida y por lo tanto podría poner una cruz en la
primera casilla y en la segunda. Si esto sucede, no invalide la respuesta, sino que gestione una socialización, pues ese
niño o niña está utilizando un criterio inclusivo para clasificar, el cual también es válido. Señale que por el momento
están trabajando con un criterio excluyente, es decir, que “solo” tiene dos lados.
16 / Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
• Pida que realicen individualmente la Actividad 4, en la que sí deben clasificarlos en equiláteros, isósceles y escalenos. Al
finalizar la actividad, pida nuevamente que señalen diferencias entre los tres tipos de triángulos.
• Pida que realicen la Actividad 5 en parejas, clasificar triángulos considerando la cantidad de ángulos interiores de igual
medida que poseen. Para responder deben usar el transportador para asegurar la medida. Una dificultad que posee esta
actividad es que si miden todos los ángulos pueden demorar mucho, y con el riesgo de medir mal. Vea que primero
visualicen la figura y a priori señalen cuál de las figuras tiene los tres ángulos iguales, por lo tanto, solo comprueban la
conjetura.
CIERRE / 20 minutos
Pida que realicen la Actividad 6, la cual tiene por propósito relacionar ambos criterios de clasificación. Dé 10 minutos
para que la realicen y deje 10 minutos para socializar las respuestas y concluir entre todos que:
• Los triángulos equiláteros tienen todos sus lados de igual medida y también sus tres ángulos interiores de igual
medida.
• Los triángulos isósceles tiene dos lados de igual medida y también dos ángulos de igual medida.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Construye un triángulo acutángulo, triángulo obtusángulo isósceles, triángulo rectángulo isósceles. Explica sus
características.
Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
17
PLAN DE CLASE Nº 5
Tiempo: 90 minutos
Objetivos de la clase:
• Identificar ángulos opuestos por el vértice y
ángulos correspondientes entre paralelas.
INICIO / 20 minutos
• Revisen la tarea en conjunto.
• Pida que realicen la Actividad 1, cuya finalidad es que reconozcan las características principales que tienen dos
ángulos opuestos por el vértice. El foco de esta actividad no está en el nombre que reciben los ángulos, en este
caso, los opuestos por el vértice sino en su relación de medida (que son iguales). Los estudiantes saben esto, pero
se equivocan en reconocerlos cuando hay figuras compuestas. Por ejemplo, no son pocos quienes dirán que r = h
porque son ángulos opuestos por el vértice y por lo tanto tendrán errada la respuesta.
• Las preguntas a., b. y c. buscan que reconozcan que este tipo de ángulos tienen igual medida, pero para ello se
necesita una condición esencial y es que los lados opuestos de ellos formen un ángulo extendido y, por ende,
sumen 180°. Cualquier estudiante que tenga clara esta característica, no cometerá errores.
• Para reforzar lo anterior pida que trabajen en la Actividad 2, cuya finalidad es relevar que los lados de ángulos
opuestos por el vértice deben formar un ángulo extendido.
DESARROLLO / 40 minutos
• Pida que realicen la Actividad 3, marcar ángulos opuestos por el vértice utilizando diferentes colores para reconocerlos. Dé un tiempo para que hagan las marcas y después pida a algunos estudiantes que socialicen sus respuestas en la pizarra. Para esto utilice la tercera figura, en la cual pueden aparecer errores. Gestione para que sean las
y los estudiantes quienes se refuten las argumentaciones. Si observa que la discusión no se centra en que los lados
forman un ángulo extendido, pida que midan los ángulos que marcaron; eso provocará un quiebre en la discusión,
pues se supone que los opuestos por el vértice tienen igual medida.
• Haga un cierre de la actividad focalizando la atención en que una forma de reconocer los ángulos opuestos por el
vértice, aparte de tener un vértice común, es que los lados de esos ángulos deben formar uno extendido.
• Pida que realicen la Actividad 4, cuya finalidad es que reconozcan que cuando dos rectas paralelas se intersectan
por una no paralela, se forma un tipo de ángulo especial llamado correspondiente y que también tiene la particularidad de tener igual medida. La explicación de esa igualdad se hace a través de la traslación, tal como se explica
en el Cuaderno de trabajo. En este momento de la clase tenga una presentación donde se vea el siguiente movimiento, para que observen que al trasladar el ángulo, la medida se conserva.
117º
70º
G
G
S H se traslada
70º
H
(isometría) hacia
el vértice G
18 / Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
117º
H
• Socialice las respuestas de la Actividad 4 considerando la siguiente figura, pues al haber dos pares de rectas paralelas cortadas por otro par de rectas paralelas, se forman muchos pares de ángulos correspondientes y, por tanto,
puede haber varios movimientos dentro de la figura.
• Pida que realicen las Actividades 5 y 6, para que identifiquen ángulos opuestos por el vértice y correspondientes en paralelas cortadas por una transversal, y establezcan que existe otros pares de ángulos especiales llamados
alternos internos y alternos externos, que también tienen igual medida.
Gestione la clase para que ubiquen ángulos de igual medida en rectas paralelas cortadas por una transversal, no para que se aprendan los nombres
de los ángulos.
CIERRE / 20 minutos
La socialización de los conceptos trabajados en la clase, debe dejar establecido que:
• Para que dos ángulos sean opuestos por el vértice no basta con que tengan un vértice común e igual medida.
Además, debe ocurrir que los lados de ambos ángulos formen un ángulo extendido.
• Los ángulos correspondientes entre paralelas tienen igual medida.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Observa la figura de la derecha y responde:
a) Señala los pares de medidas provenientes de ángulos opuestos por
el vértice.
b) Señala los pares de medidas provenientes de ángulos correspondientes.
a p
b
L1
L1 //L2
k h
r
L2
Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
19
PLAN DE CLASE Nº 6
Tiempo: 90 minutos
Objetivos de la clase:
• Identificar ángulos suplementarios, opuestos
por el vértice y ángulos correspondientes en
rectas paralelas cortadas por una transversal.
INICIO / 15 minutos
Revisen la tarea en conjunto.
• Pida que realicen la Actividad 1, cuyo propósito es que se familiaricen con las características de un par de ángulos suplementarios. Para ello se formulan preguntas que se focalizan en dos aspectos: primero, que los ángulos
suplementarios suman 180°, es decir, forman un ángulo extendido y segundo, que uno de ellos siempre es el suplemento del otro.
120º
60º
• Gestione para que antes de que comiencen a trabajar la Actividad 2, se den cuenta de la forma característica que
siempre tienen un par de ángulos suplementarios y que para saber la medida de uno basta hacer 180° menos la
medida del otro.
DESARROLLO / 45 minutos
• Pida que desarrollen la Actividad 2, cuyo propósito es que practiquen lo aprendido en la Actividad 1 reconociendo
ángulos suplementarios en distintos tipos de figuras compuestas.
• Gestione para que puedan socializar sus producciones y los criterios que utilizaron al decidir qué pares de ángulos
son o no suplementarios. No valide inmediatamente las respuestas y dé unos minutos para que sean los mismos
estudiantes quienes se refuten, en un clima de diálogo y respeto.
• La Actividad 3 busca que determinen suplementos de ángulos, pero en
figuras compuestas. Esta actividad no reviste mayor complejidad. Gestione
para que los cálculos se hagan mentalmente utilizando la metáfora “20°
126º
más cuánto da 180°”.
• Realizan la Actividad 4, cuya finalidad también es calcular el suplemento
49º
de un ángulo, pero las figuras son más complejas y además debe ubicar el
suplemento, lo cual no ocurría en la Actividad 3. Se avanza en el nivel de
complejidad, lo cual se aprecia en la figura de la derecha. Se sugiere que
63º
los ejercicios sean socializados por todo el curso, donde algunos alumnos
expongan sus respuestas. Por ejemplo, en la figura que se presenta para
algunos estudiantes será complejo ubicar el suplemento de 49°, pues puede
117º
ser ubicado en la parte donde debería estar el suplemento de 126°.
20 / Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
• Pida que trabajen la Actividad 5 en parejas, cuya finalidad es que identifiquen
pares de ángulos suplementarios y aquellos que tienen igual medida en figuras
con un grado de complejidad mayor que en las otras actividades. Señale que
no importa memorizar los nombres de los ángulos entre paralelas, sino reconocer pares de ángulos de igual medida. Aquí también se pueden presentar
errores tales como:
• Las medidas k y f son iguales porque los ángulos asociados a ellas son correspondientes.
• Las medidas e y j son iguales porque los ángulos asociados a ellas son correspondientes.
• Las medidas b + i = 180° porque los ángulos asociados son suplementarios.
a b
c i
d
e f
g h
j k
L1
L2
CIERRE / 20 minutos
• Pida que realicen la Actividad 6, y gestione las ideas centrales de esta clase considerando las respuestas dadas por
sus estudiantes. La actividad no tiene un grado de complejidad alto, por lo tanto se pueden focalizar ideas tales
como:
• Los ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida.
• las medidas de los ángulos suplementarios suman 180° pues ellos forman un ángulo extendido
• los ángulos correspondientes tienen igual medida, lo que se puede verificar trasladando uno de los ángulos.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Observa la siguiente figura y señala las medidas que son iguales y aquellas que suman 180°
a p
L1
L1 // L2
h
r
L2
L3
Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
21
PLAN DE CLASE Nº 7
Tiempo: 90 minutos
Objetivos de la clase:
• Resolver problemas que involucran el cálculo
de medidas de ángulos en rectas paralelas
cortadas por una transversal.
INICIO / 20 minutos
Revisen la tarea en conjunto.
• Realizan individualmente la Actividad 1, cuya finalidad es reactivar los conocimientos previos que se necesitarán
para resolver los problemas que vienen en las Actividades 2 y 3. No debieran tener problemas para reconocer
ángulos opuestos por el vértice, alternos internos, correspondientes y suplementarios.
DESARROLLO / 50 minutos
• Trabaje con sus estudiantes el primer ejemplo de la Actividad 2, señale que no basta con encontrar el valor del
ángulo, sino que deben ser capaces de explicar oralmente y por escrito cómo lo obtuvieron. Los ejercicios de esta
actividad van variando en grado creciente de complejidad. Es así como:
b = 73° pues son ángulos correspondientes
x y b son suplementarios, por lo tanto x = 180 - 73
x = 107°
x
73°
73
b
L1
L2
• Los ejercicios se complejizan como en el caso de
L1
L2
b
x
a
L4
L3
a = 80° opuesto por el vértice
a = b = 80° ángulos correspondientes
b = 80° = x ángulos correspondientes
80°
• Terminada la socialización de las respuestas y procedimientos de la Actividad 2, realizan la Actividad 3. Recuerde
con el curso las características de los cuadrados, rectángulos, rombos y romboides, pues se necesitarán como
datos adicionales a la información aportada por los tipos de ángulos. Otro concepto que debe activar con sus
estudiantes es el referido a que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.
22 / Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
• Los problemas de la Actividad 3 tienen un grado mayor de complejidad que los anteriores pues se mezclan muchos
conceptos en un mismo problema. Por ejemplo:
A
¿Cuánto mide beta (b)?
Forma 1: Aquí están los siguientes conceptos involucrados
S B = 90° (rectángulo)
beta = e (correspondientes)
Suma de ángulos interiores en un triángulo es 180°
90 + 31 + b = 180
D
b
E
31º
B
Forma 2: Aquí están los siguientes conceptos involucrados
BC ^ CD (rectángulo)
beta = q (alternos internos)
31 = p (correspondientes)
31+beta = 90° (S C recto)
C
F
CIERRE / 10 minutos
La socialización de los conceptos trabajados en la clase, debe dejar establecido que:
• Para resolver los problemas se debe tener una estrategia que permita acercar los datos dados con la incógnita.
A
A
D
b
b
E
B
D
E
31º
C
F
31º
B
F
C
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Determina el valor de q en la figura, sabiendo que DEFH es un rombo.
L1
60°
H
L2
q D
L1 //L2
F
E
Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
23
PLAN DE CLASE Nº 8
Tiempo: 90 minutos
Objetivos de la clase:
• Calcular áreas de superficies de cubos y
paralelepípedos, utilizando las redes.
INICIO / 15 minutos
Revisen la tarea en conjunto.
• Pida que realicen individualmente la Actividad 1, que busca activar sus conocimientos previos referidos al cálculo
de áreas de cuadrados y rectángulos. No es necesario incluir otras figuras o el concepto de perímetro, pues esta
activación está enfocada en la utilización de las superficies que componen las redes del cubo y paralelepípedo,
que son cuadrados y rectángulos.
DESARROLLO / 45 minutos
• Es necesario destacar que el foco del cálculo de superficies de cubos, no está centrado en la utilización de la
fórmula 6 · a2 sino en la utilización de la red del cubo, porque ella representa la superficie que lo delimita. Es
necesario relevar esto, por lo que sugerimos que antes de iniciar la Actividad 2, presente una red de un cubo en
donde explique la relación entre las 6 caras cuadradas de la red y las 6 caras cuadradas del cubo.
• Pida que trabajen individualmente la Actividad 2, cuyo propósito es que calculen las áreas de las superficies de los
cubos a partir de las redes. Este trabajo es muy importante, pues permite tener una representación pictórica de
un cálculo que casi siempre se ha realizado con fórmulas que los estudiantes no comprenden. Usted podría llevar
redes de cubos en papel y pedirles que señalen la medida de la arista del cubo y el valor de su área.
• Pida que trabajen en parejas la Actividad 3, cuya finalidad es encontrar un procedimiento que permita saber
cuánto mide la arista, dada el área del cubo. Deben leer con atención la problemática que plantea Vicente. Antes
de iniciar la actividad pídales que expliquen cuál es el problema y cómo podrían resolverlo. Usted no valide, solo
recoja la información para después pasar por los puestos mientras resuelven la problemática.
• En la misma Actividad 3 está la completación del cuadro, donde tienen que determinar el valor de la arista
conocida la superficie del cubo. Es importante que al finalizar gestione una socialización de las respuestas y
analicen las distintas formas en llegaron a los resultados. Por ejemplo, es esperable que señalen que el área del
cubo la dividen por 6 para tener el área de una cara y con ello calcular el valor de la arista.
• Pida que desarrollen en parejas la Actividad 4, comparar las superficies del paralelepípedo y del cubo. Es importante
que sepan reconocer las aristas del paralelepípedo en su red, pues a diferencia del cubo, aquí no da lo mismo
dónde vayan ubicadas.
CIERRE / 20 minutos
La socialización de los conceptos trabajados en la clase, debe dejar establecido que:
• Para calcular el área de un cubo, se calcula primero el área de una cara y después se multiplica por 6 para obtener
el área total.
• Para determinar el valor de la arista sabiendo el área total, se debe efectuar el procedimiento inverso, vale decir,
dividir por 6 el área total obteniéndose el área de una cara. Luego, determinar qué número multiplicado por sí
mismo da como resultado el área del cuadrado, obteniéndose el valor de la arista.
24 / Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
• Para calcular el área de un paralelepípedo, es necesario ubicar correctamente las medidas de las aristas en la red y
con eso calcular las áreas de rectángulos o las áreas de rectángulos y cuadrados involucradas, tal como se muestra
en la figura. Diseñador: cambiar cm2 por cm2
4 cm2
2 cm
2 cm
12 cm2 12 cm2 12 cm2 12 cm2 6 cm
4 cm2
• Es probable que muchos estudiantes crean que el paralelepípedo es el de mayor área, porque es más alto que el
cubo.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Completa los casilleros del siguiente cuadro. Explica cómo obtienes los resultados.
Área del
cubo
Área de una
cara
1 014 cm2
64 cm2
1 350 cm2
225 cm2
Longitud de la
arista
Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
25
PLAN DE CLASE Nº 9
Tiempo: 90 minutos
Objetivos de la clase:
• Resolver problemas de cálculo de volumen, en
cubos y paralelepípedos.
INICIO / 15 minutos
Revisen la tarea en conjunto.
• Pida que realicen la Actividad 1, cuya finalidad es recordar las fórmulas para calcular el volumen de cubos y
paralelepípedos. No reviste mayor complicación pues están todos los datos para aplicar las fórmulas.
DESARROLLO / 45 minutos
• Pida que realicen en parejas la Actividad 2, cuya finalidad es que verifiquen una conjetura que se plantea y con
la cual un número importante de alumnos estará de acuerdo. Dé un tiempo para que las parejas encuentren un
procedimiento que permita verificar si la conjetura es o no correcta. Posteriormente gestione para que expongan
sus procedimientos y su opinión; circule por la sala de clases para saber quiénes están de acuerdo con Vicente y
quiénes no, sobre todo saber cuáles son las explicaciones que tienen y así generar debate en la sala.
• Es esperable que una de las técnicas utilizadas por los estudiantes sea calcular el volumen de un cubo de arista
2 cm obteniendo 8 cm3, y posteriormente calculen el volumen del cubo de arista 4 cm obteniendo 64 cm3. Con
esto ya se responde la conjetura de Vicente, la cual es falsa pues 8 no es el doble de 64.
• Utilice la problemática anterior, para saber cuántas veces está contenido el volumen del cubo más pequeño, en
el nuevo cubo, si en el primero la arista aumentó el doble. Para ello induzca con preguntas: ¿Cuántas veces está
contenido 2 cm en 6 cm? ¿Cómo lo obtuviste? Seguir indagando hasta llegar a la comparación por cuociente y así
efectuar 64 : 8 = 8 y por lo tanto el volumen del cubo mayor es 8 veces el volumen del menor.
• Pida que en parejas realicen la Actividad 3, que también se relaciona con la variación del volumen en tanto varían
sus medidas. Dé un tiempo razonable para que respondan la pregunta y expliquen un procedimiento.
• Es esperable que los estudiantes hagan el cálculo de ambos paralelepípedos y establezcan que la conjetura de
Sofía es válida. Sin embargo, usted propicie técnicas no algebraicas, por ejemplo:
12 cm
6 cm
6 cm
4c
m
3 cm 2 c
m
• Se ve claramente que si la altura 6 cm crece al doble, entonces el volumen aumenta al doble.
• Pida que realicen la Actividad 4 en parejas, cuya finalidad es que resuelvan problemas de determinar datos tales
como longitud de arista de un cubo sabiendo la medida del volumen. Para ello deben recordar las potencias de
exponente 3 y utilizarlas para encontrar el valor de la arista. Por ejemplo, si el volumen de un cubo es 343 cm3,
entonces la pregunta es ¿qué número multiplicado 3 veces por sí mismo da 343? Ese número es 7, por lo tanto la
arista mide 7 cm y con ello también puede calcular su superficie.
26 / Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
• Pida que realicen la Actividad 5, en donde calculan valores de la arista, dado el volumen y viceversa. Dé un tiempo
razonable y después socialice para que muestren los resultados y sean capaces de explicarlos.
CIERRE / 20 minutos
La socialización de los conceptos trabajados en la clase, debe dejar establecido que:
• Si la arista de un cubo aumenta al doble, entonces el volumen aumenta 8 veces.
• Si la altura de un paralelepípedo aumenta al doble, entonces el volumen aumenta 2 veces.
• Si se tiene el volumen de un cubo, entonces se puede calcular el valor de la arista, utilizando las potencias de
exponente 3.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
Un cubo tiene como área de su superficie 216 cm2:
a) ¿Cuánto es el área de cada una de sus caras?
b) ¿Cuánto mide la arista del cubo?
c) ¿Cuánto es su volumen?
d) Si el área de cada cara aumenta 13 cm2:
1) ¿Cuánto es el área de cada cara del nuevo cubo?
2) ¿Cuánto mide su arista?
3) ¿Cuánto es el volumen del nuevo cubo?
4) ¿En qué cantidad aumentó el volumen del cubo?
Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
27
PLAN DE CLASE Nº 10
Tiempo: 90 minutos
Objetivos de la clase:
• Evaluar los aprendizajes de sus estudiantes en el
Módulo 3, para retroalimentar aquellos temas
más deficitarios.
INICIO / 15 minutos
• Explique que se va a realizar una prueba que tiene como objetivo evaluar los contenidos de aprendizaje estudiados
en este período.
• Destaque la importancia de mantener una conducta apropiada durante el desarrollo de la evaluación.
• Señale que si no entienden alguna instrucción o pregunta, levanten la mano y usted se acercará para atenderlos.
• Entregue la prueba y recorra la sala registrando los temas que pueden estar presentando mayores dificultades.
DESARROlLO / 45 minutos
• Pida que comiencen a leer y responder la prueba. Recuerde que dejen anotados los cálculos que hacen para
resolver los problemas.
• Observe con atención y vea si alguien está detenido en alguna pregunta.
• Escuche las preguntas y ayude a comprender los enunciados, sin dar la respuesta correcta o pistas.
• Registre las preguntas y estrategias que sus estudiantes emplean, muchas serán motivo de revisión del contenido.
• En caso que algunos alumnos finalicen la evaluación tempranamente, indíqueles que trabajen sobre las actividades
de la clase 10 del cuaderno del estudiante, de construcción de regiones angulares sobre círculos.
DESCRIPCIÓN DE LAS TAREAS INVOLUCRADAS EN LA PRUEBA
Se espera que las y los estudiantes hayan logrado realizar las siguientes tareas matemáticas, las que se describen por
pregunta:
1. Anticipar el tipo de ángulo que se forma al yuxtaponer dos ángulos dados, de medida conocida, argumentando la
clasificación.
2. Anticipar si es posible construir un triángulo en que se conoce la longitud de sus lados, reconociendo aquellos
casos en los cuales las medidas no permiten determinar tal figura.
3. Anticipar el resultado de aplicar un procedimiento de construcción de triángulos, en que se conoce la longitud de
sus lados.
4. Describir el procedimiento de construcción de triángulos, en que se conoce la longitud de dos lados y la medida
de uno de sus ángulos interiores.
5. Comparar la longitud de los lados de un triángulo, de acuerdo a la medida de sus ángulos interiores opuestos.
6. Identificar triángulos que cumplen con ciertos criterios de clasificación y características particulares.
7. Identificar los ángulos opuestos por el vértice que se forman entre dos rectas que se cortan, así como las
propiedades de las medidas de estos.
8. Identificar ángulos suplementarios a un ángulo dado, en un sistema de rectas paralelas cortadas por transversales.
28 / Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
9. Resolver problemas relativos a cálculos de ángulos en paralelogramos, identificando ángulos correspondientes.
10. Comparar las áreas de las superficies de un paralelepípedo y de un cubo, conocidas las medidas de las aristas de
estos.
11. Determinar áreas de las superficies de cubos a partir de la medida de sus aristas.
12. Resolver problemas no rutinarios relativos a áreas de superficies de cubos y paralelepípedos, en donde los datos
son entregados en forma indirecta.
13. Determinar el volumen de un paralelepípedo, conociendo información relativa a sus aristas.
14. Resolver problemas no rutinarios relativos a volúmenes de cubos y paralelepípedos, conociendo información
relativa a áreas de superficies de estas figuras 3D.
15. Resolver problemas no rutinarios, relativos a variación de volúmenes de un paralelepípedo, conociendo información
relativa a la variación de las medidas de sus aristas.
CIERRE / 20 minutos
• Invite a las y los estudiantes a comentar la prueba.
• Pregunte: ¿Qué les pareció la prueba? ¿Cuál problema les gustó más resolver? ¿Hubo algún problema que les costó
comprender?
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Resolver las actividades de la clase 10 del Cuaderno de trabajo.
Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
29
PLAN DE CLASE Nº 11
Tiempo: 90 minutos
Objetivos de la clase:
• Revisar las preguntas de la prueba y
retroalimentar a las y los estudiantes en los
ítems que hayan manifestado una mayor
dificultad.
INICIO / 15 minutos
Revise la tarea en conjunto.
Explique que en esta clase revisarán y resolverán colectivamente algunos problemas y ejercicios de la prueba.
Pregunte cuáles fueron las preguntas que más les costaron, y cuáles les parecieron más fáciles.
Priorice las preguntas o ejercicios que fueron resueltos en forma incorrecta u omitidos por un gran porcentaje.
Para ello complete la información de la sección de orientaciones para el análisis de los resultados de la prueba.
• En el Cuaderno de trabajo se han incluido aquellas preguntas que podrían haber presentado un mayor grado de
dificultad, por el nivel de complejidad involucrado en el ítem preguntas. No obstante, usted puede analizar otros
ítems que hayan presentado mayores dificultades en su curso.
•
•
•
•
DESARROLLO / 45 minutos
• Desarrollan la Actividad 1, la cual aborda principalmente la pregunta 3, pero también permite el análisis de
las preguntas 2, 4 y 5. Se espera que intenten anticipar la posición del vértice A sin realizar la construcción
geométrica. Verifique que el curso cumple con esta condición, y atienda las argumentaciones. Es probable que
algunos alumnos(as) indiquen el criterio de existencia de triángulos visto en clases, el que justificará la idea de que
el vértice se hallará fuera de la recta L.
• Una vez que tales ideas se hayan sostenido, promueva que el curso verifique sus respuestas a través de la
construcción de dicho triángulo. Indique que continúen con la construcción de los otros triángulos.
• Para finalizar, insista en destacar los criterios de existencia y los procedimientos de construcción de triángulos, los
cuales varían según el tipo de datos que se ponen a disposición para tal efecto.
• Pida que trabajen en parejas las Actividades 2 y 3, que están asociadas a ángulos relacionados, por lo que será
importante verificar que las parejas no solo llegan a la respuesta correcta, sino que la argumentación esté basada
en la identificación de ángulos opuestos por el vértice o bien, de ángulos entre paralelas.
• La Actividad 2 se ha complementado con una figura en donde los ángulos opuestos por el vértice son obtusos,
como una forma de ofrecer herramientas para abordar las dificultades que pudieran tener quienes marcaron la
alternativa D.
• Antes de pasar a las actividades siguientes, destaque las relaciones angulares que se dan en estos dos ítems.
• Pida que desarrollen la Actividad 4. Pregunte quiénes pensaron que el cuerpo B tenía mayor superficie y por qué.
Destaque que no basta con que un cuerpo tenga una de sus medidas “muy grande”, ya que el volumen o superficie
del cuerpo va a depender también de las otras medidas.
• La Actividad 5 corresponde a los ítems 12 y 15 de la prueba, y son de bastante complejidad por la articulación de
procedimientos que exigen.
• Destaque lo interesante que es que ambos problemas puedan emplear la misma estrategia, a saber, el registro y
uso de los datos para determinar las medidas faltantes de las aristas de estos cuerpos.
30 / Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
• En el caso del primer cuerpo, el hecho de que la superficie verde sea cuadrada implica que la arista mide 3 cm, lo
que permite concluir que la medida que falta es de 7 cm. Vea que utilicen un procedimiento apropiado de cálculo
de la superficie. Por ejemplo, verifique que no calculen el volumen.
• En el caso del segundo problema, la complejidad radica en la selección de la información para su manipulación e
interpretación en función de la pregunta. Se requiere conocer el volumen del cuerpo original (24 cm3), el volumen
del nuevo cuerpo (30 cm3) y, además, decidir que se debe calcular la diferencia entre estas medidas.
CIERRE / 20 minutos
En la socialización de los conceptos trabajados en la clase pregunte:
• ¿Qué conceptos estudiaron hoy?
• ¿Qué dificultades tuvieron al resolver los problemas? ¿Cuál es el error que cometieron? ¿Por qué lo cometieron?
¿Qué estrategias conviene utilizar para resolver problemas de un determinado tipo?
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Comparar la superficie y volumen de los siguientes cuerpos compuestos, si cada cubo mide 1 cm3:
Cuerpo A
Cuerpo B
Cuerpo B
0,5 cm
Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
31
MATEMÁTICA / 6° BÁSICO
ORIENTACIONES PARA EL ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA PRUEBA
Información
Indicador de evaluación del curso
% L % NL
Ítem
Orientaciones remediales
3. Se desea construir un triángulo cuyos
lados miden 5, 6 y 8 cm respectivamente.
En la imagen se ha copiado el segmento
de 8 cm sobre una recta L.
L
8 cm
B
C
¿Qué ocurrirá al copiar los otros segmentos para encontrar el vértice A?
A. El vértice A se encontrará en la recta L.
B. El vértice A quedará fuera de la recta L.
C. Los arcos no se intersectarán.
D. No se puede saber.
Construyen triángulos en
que se conoce la longitud
de sus lados y/o la medida de sus ángulos interiores, usando instrumentos
geométricos o procesadores
geométricos.
Es probable que, en ausencia de otras rectas
en la figura del problema, algunos estudiantes
crean que el vértice A está sobre L.
No corrija y permita que verifiquen sus respuestas haciendo la construcción.
Concluya con su curso la importancia de proyectar la estrategia de construcción antes de
emprenderla.
5. Observa el siguiente triángulo:
Comparan la longitud de
lados de triángulos de
acuerdo a la medida de sus
ángulos interiores opuestos.
Recuerde la relación de medida de los lados
de un triángulo con la medida de los ángulos
opuestos, y pida que apliquen tal relación.
Destaque la posibilidad de anticipar cuál es el
lado de mayor medida, aun cuando se desconozca su medida exacta.
Identifican los ángulos
opuestos por el vértice que
se forman entre dos rectas
que se cortan.
En esta pregunta, se anticipa que un error que se
puede identificar radica en considerar que todas
las afirmaciones son verdaderas. Este hecho
podría llevar a algunos estudiantes a omitir la
respuesta o bien, a marcar otras opciones como
la alternativa D.
La clase 11 presenta una actividad en la que los
ángulos opuestos por el vértice son obtusos, con
lo que se tiene un caso que permite reconocer
que no se puede suponer que la afirmación C
es verdadera.
C
50°
a
b
A
60°
70°
B
c
Considerando la medida de los ángulos
interiores del triángulo, ¿cuál es el lado
de mayor longitud?
Marca la alternativa correspondiente.
¿Cuál es el lado de mayor medida?
A. El lado a.
B. El lado b.
C. El lado c.
D. No se puede saber.
7. La siguiente imagen está compuesta
por dos triángulos iguales:
¿Cuál de las siguientes alternativas es
FALSA?
a
b
A. a y b son medidas de ángulos opuestos por el vértice.
B. a=b
C. a+b=90°
D. las medidas de a y b son mayores que
cero y menores que 180°
32 / Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
MÓDULO Nº 3: GEOMETRÍA
Ítem
Información
Indicador de evaluación del curso
% L % NL
Orientaciones remediales
Comparan las áreas de las
caras de paralelepípedos
y las áreas de las caras de
cubos.
La longitud del cuerpo B puede llevar a pensar
que tiene un mayor volumen y superficie. Este
error es muy frecuente.
Dado que los procedimientos de cálculo están
disponibles, aquí se debe realizar el cálculo para
comparar las medidas, de modo de obtener
efectivamente la comparación.
Los métodos numéricos de medición son muy
simples, por lo que el foco debe estar en la
reflexión respecto de la medida de superficie
de un cuerpo que se veía más grande que otro.
15. El cuerpo de la imagen, tiene aristas Determinan volúmenes de
que miden 2 cm, 3 cm y 4 cm, respec- cubos y paralelepípedos,
conociendo información
tivamente.
2 cm
relativa a sus aristas.
3 cm
La estrategia de resolución requiere de manipular datos que no están explícitos, como el dato
de la medida de la nueva arista para obtener el
volumen del cuerpo posterior a la modificación.
Este problema tiene varias fuentes de error,
principalmente relacionadas con la interpretación de los datos propuestos.
En un caso como este, una metodología de
resolución de problemas puede ser muy útil.
Recuerde que independiente de la metodología
empleada, esta es solo un medio y no un fin en
sí misma, por lo que deberá promover que sus
estudiantes la aborden con flexibilidad.
10. Observa los siguientes cuerpos
geométricos:
CUERPO A
Cubo de 4 cm de arista.
CUERPO B
Paralelepípedo cuyas aristas miden 1 cm,
2 cm y 8 cm
¿Cuál de los cuerpos tiene mayor superficie?
A. El cuerpo A.
B. El cuerpo B.
C. Ambos tienen la misma superficie.
D. No se puede saber.
4 cm
Se sabe que la arista de mayor longitud
aumenta en 1 cm. ¿En cuánto aumenta el
volumen? Marca la alternativa correcta.
A. 1 cm3
B. 6 cm3
C. 24 cm3
D. 30 cm3
(*) La columna información del curso debe ser llenada por cada docente, incorporando el porcentaje de estudiantes que contestaron el ítem en
forma correcta (%L) y el porcentaje que lo hizo en forma incorrecta (%NL).
Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
33
PAUTA DE CORRECCIÓN / PRUEBA
Ítem
Eje Temático
Indicador de Evaluación (extraídos del Programa de Estudio 2012)
Clave
Geometría
Construyen ángulos agudos o ángulos agudos y obtusos que sumen 180° con un transportador o con procesadores geométricos.
C
2
Geometría
Construyen triángulos en que se conoce la longitud de sus lados,
usando instrumentos geométricos o procesadores geométricos.
A
3
Geometría
Construyen triángulos en que se conoce la longitud de sus lados
y/o la medida de sus ángulos interiores, usando instrumentos
geométricos o procesadores geométricos.
B
4
Geometría
Construyen triángulos en que se conoce la longitud de sus lados
y/o la medida de sus ángulos interiores, usando instrumentos
geométricos o procesadores geométricos.
B
5
Geometría
Comparan la longitud de sus lados de acuerdo a la medida de sus
ángulos interiores opuestos.
A
6
Geometría
Clasifican triángulos y explican el criterio de clasificación.
D
7
Geometría
Identifican los ángulos opuestos por el vértice que se forman entre dos rectas que se cortan.
C
8
Geometría
Identifican ángulos de igual medida en un sistema de rectas paralelas cortadas por una transversal.
D
9
Medición
Resuelven problemas relativos a cálculos de ángulos en paralelogramos.
B
10
Medición
Comparan las áreas de paralelepípedos y cubos.
A
11
Medición
Determinan áreas de las superficies de cubos a partir de la medida de sus aristas.
D
12
Medición
Resuelven problemas relativos a áreas de superficies de cubos y
paralelepípedos.
A
13
Medición
Determinan volúmenes de cubos y paralelepípedos, conociendo
información relativa a sus aristas.
B
14
Medición
Resuelven problemas relativos a volúmenes de cubos y paralelepípedos conociendo información relativa a áreas de superficie de
estas figuras 3D.
D
15
Medición
Determinan volúmenes de cubos y paralelepípedos, conociendo
información relativa a sus aristas.
B
1
34 / Módulo Nº 3: Geometría / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
6
o
Módulo Nº 4:
Datos y probabilidades
MATEMÁTICA
Guía didáctica
6
o
Módulo Nº 4:
Datos y probabilidades
MATEMÁTICA
Guía didáctica
NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA
División de Educación General
Ministerio de Educación
República de Chile
2013
6
o
Módulo Nº 4:
Datos y probabilidades
MATEMÁTICA
Guía Didáctica / 6o básico
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA
2013
MÓDULO Nº 4: DATOS Y PROBABILIDADES
PRESENTACIÓN
El Módulo 4 de sexto año básico “Datos y probabilidades”, tiene como propósito
principal ofrecer una herramienta de gestión curricular focalizada y basada
en la organización de la enseñanza para el logro de objetivos de aprendizaje
planteados en la Unidad 4 del Programa de Estudio:
• Comparar distribuciones de dos grupos, provenientes de muestras aleatorias,
usando diagramas de puntos y de tallo y hojas (OA22).
• Leer e interpretar gráficos de barra doble y circulares y comunicar sus
conclusiones (OA24).
• Conjeturar acerca de la tendencia de resultados obtenidos en repeticiones
de un mismo experimento con dados, monedas u otros, de manera manual
y/o usando software educativo (OA23).
El estudio del eje Datos y Probabilidades requiere que alumnos y alumnas
manipulen, representen y analicen datos. Esta propuesta ofrece actividades
problematizadoras que promueven el desarrollo de las habilidades del marco
curricular, fundamentales para emprender la realización y resolución de acciones
y problemas específicos de la vida. En particular, se promueven acciones de
descripción, representación y relación de datos, apoyados en herramientas
gráficas específicas: gráfico de barras dobles, gráficos circulares, diagramas
de punto y diagramas de tallo y hojas.
En esta unidad, además, se introduce en forma más explícita la probabilidad
como una medida conjeturada de las opciones relativas que tiene un evento
de ocurrir.
Este Módulo respeta las orientaciones del programa, y sus énfasis se han
planteado basados en el conocimiento de las dificultades que niñas y niños
tienen al abordar estos contenidos específicos, bajo la premisa de que se aprende
matemática haciendo matemática. Se sabe que este tipo de gestión didáctica
del aula, desarrolla actitudes positivas hacia la matemática, en particular, las
consideradas en el programa.
Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
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Programación Módulo 4 Matemática 6º Básico
CLASES
/HORA
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
INDICADORES DE EVALUACIÓN DEL PROGRAMA
• Leer e interpretar gráficos de barra doble y circulares y comunicar sus conclusiones (OA24).
• Explican por medio de ejemplos que los gráficos de
barras dobles muestran dos tipos de informaciones.
Por ejemplo, las temperaturas altas y bajas en distintas ciudades que se produjeron en un día.
• Interpretan información presentada en gráficos de barras dobles.
• Muestran que cada parte de un gráfico circular es un
porcentaje de un todo.
• Interpretan información presentada en gráficos circulares en términos de porcentaje.
• Comparar distribuciones de dos grupos, usando
diagramas de puntos, y de tallo y hojas (OA22).
• Usan diagramas de puntos para responder preguntas.
• Construyen diagramas de puntos para obtener distribuciones de valores de resultados.
• Construyen diagramas de puntos para comparar distribuciones.
• Construyen diagramas de tallo y hojas para obtener
distribuciones de valores de resultados.
• Construyen diagramas de tallo y hojas para comparar
distribuciones.
1-4
8 horas
5-7
6 horas
4 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
EJEMPLOS DE PREGUNTAS
• Observa el siguiente gráfico y responde la pregunta:
Tipos de sabores de helados vendidos
REFERENCIA A TEXTOS
ESCOLARES
REFERENCIA A OTROS RECURSOS
• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la
clase.
• Interactivo que aborda la extensión
del sistema de numeración decimal a
las posiciones decimales:
http://www.juntadeandalucia.es/
averroes/carambolo/WEB%20
JCLIC2/Agrega/Matematicas/
Fraccion_y_numero_decimalCONTENIDOS/contenido/mt10_
oa04_es/index.html
• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la
clase.
• Interactivo que aborda la extensión
del sistema de numeración decimal a
las posiciones decimales:
http://odas.educarchile.cl/objetos_
digitales/odas_matematicas/11_
interpretando_cifras_decimales/
LearningObject/index.html
• Si se vendieron 700 helados en un
día, ¿cuántos helados son de chocolate?
A.
B.
C.
D.
30 helados.
35 helados.
210 helados.
245 helados.
• Un chef mantiene un registro del número de personas que comieron pastel la semana pasada en la cafetería.
• La información se presenta en el siguiente diagrama:
0
1
2
3
4
Cantidad de pasteles
• ¿Cuántas personas comieron por lo
menos un pastel la semana pasada?
A. 1 persona.
B. 4 personas.
C. 20 personas.
D. 21 personas.
Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
5
CLASES
/HORA
8-9
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
INDICADORES DE EVALUACIÓN DEL PROGRAMA
• Conjeturar acerca de las tendencias de resultados
obtenidos en repeticiones de un mismo experimento con dados, monedas u otros, de manera
manual y/o usando software educativo (OA23).
• Describen un diagrama de árbol por medio de ejemplos.
• Enumeran resultados posibles de lanzamientos de monedas o dados con ayuda de un diagrama de árbol. Por
ejemplo, al lanzar tres veces una moneda, o una vez
dos dados.
• Conjeturan acerca de porcentajes de ocurrencia de
eventos relativos a lanzamientos de monedas o dados.
• Realizar la Prueba del período considerando los objetivos de aprendizaje abordados en las semanas
anteriores y reforzar los aprendizajes deficitarios.
• Se realiza la Prueba del período considerando los indicadores abordados en las semanas anteriores.
4 horas
Clases
10 - 11
4 horas
6 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
EJEMPLOS DE PREGUNTAS
• Si se lanzan dos dados de seis caras al
aire, ¿cuántas combinaciones de resultados posibles se pueden obtener?
A. 1
B. 6
C. 12
D. 36
REFERENCIA A TEXTOS
ESCOLARES
• Revise páginas del texto referidas al
contenido en estudio.
REFERENCIA A OTROS RECURSOS
• Lanzamiento de monedas:
http://nlvm.usu.edu/es/nav/
frames_asid_305_g_3_t_5.
html?from=category_g_3_t_5.html
• Lanzamiento de ruleta:
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_
asid_186_g_3_t_5.html?open=activ
ities&from=category_g_3_t_5.html
• Revise páginas del texto referidas al
contenido en estudio.
Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
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PLAN DE CLASE Nº 1
Objetivo de la clase:
• Explicar la información que contiene un gráfico
de barras dobles.
INICIO / 15 minutos
• Realizan en parejas o grupos la Actividad 1, cuyo propósito es que reconozcan los inconvenientes que tiene analizar por separado la información que contienen dos gráficos referidos a una misma situación. La pregunta planteada en la actividad es para indagar sobre un error común en la lectura de gráficos de barras simples: comparar
la información en dos gráficos sin preocuparse de verificar que las escalas y graduaciones del eje vertical sean
idénticas. En este caso, la graduación de los ejes no es la misma.
• Gestione la Actividad 1 de modo que sean sus estudiantes quienes comenten las respuestas. Mientras ellos trabajan, circule por la sala de clases observando cómo responden a la pregunta; es esperable que señalen que en septiembre se vendieron menos autos sedán, ya que la barra de ese mes es de menor altura que la barra de agosto. No
valide ninguna respuesta en estos momentos, pero dé las posibilidades para que puedan debatir sus argumentos,
por ejemplo, yendo a otros grupos con sus respuestas. Después de 8 minutos de trabajo, haga que un grupo que
respondió afirmativamente a la pregunta exponga sus argumentos: en este caso, es muy importante que usted
no invalide la respuesta. Luego, haga que un grupo que opina que Ignacio está errado, explique sus argumentos,
sin borrar la producción que haya escrito el primer grupo. Después gestione un breve debate para que sean sus
estudiantes quienes validen la respuesta correcta. Es importante que argumenten que las alturas de las dos barras
no son comparables directamente, pues las escalas en los gráficos son distintas.
DESARROLLO / 45 minutos
• Pida a las mismas parejas que realicen la Actividad 2, cuya finalidad es que se den cuenta de que si hay dos
tipos de información, lo más conveniente es tener un gráfico de barra doble, pues se hace más fácil realizar
comparaciones. Por tanto, es esperable que terminada esta actividad, marquen la opción B y sean capaces de dar
respuestas como, por ejemplo:
• Es mejor un gráfico como en la opción B pues es más fácil comparar información.
• Es mejor la opción B, ya que se utiliza menos espacio para registrar el mismo tipo de información.
• Antes de finalizar esta actividad, señale que los gráficos de la opción B se llaman Gráficos de Barra Doble y son
muy útiles cuando se necesita relacionar información proveniente de dos variables de interés.
• Desarrollan la Actividad 3, que tiene por finalidad que sean capaces de explicar la información que contiene
un gráfico de barra doble. Es importante no saltarse esta etapa, pues es la base para extraer en forma correcta
información de los gráficos. Diversos autores han intentado describir los niveles de extracción de información,
caracterizando el tipo de preguntas. Una síntesis de dichas caracterizaciones se presenta a continuación (Friel1,
Curcio y Bright, 2001):
1 S. Friel, F. Curcio, G. Bright (2001), “Making Sense of Graphs: Critical Factors Influencing Comprehension and Instructional Implications”.
Disponible en http://www.jstor.org/stable/749671
8 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
Nivel
Características
Elemental
Preguntas que impliquen una respuesta directa de la lectura del gráfico o tabla
a preguntas explicitas sobre él.
Ejemplo: ¿Cuántas preguntas se hicieron en la prueba?
Intermedio
Preguntas que impliquen la interpretación e integración de la información que es
presentada en un gráfico, por ejemplo, comparando o determinando diferencias
entre los datos.
Ejemplo: ¿Qué diferencia de respuestas correctas hay entre las preguntas 1 y 5?
Avanzado
Preguntas que impliquen extender, predecir o inferir, desde la representación,
respuestas o preguntas.
Ejemplo: Sabiendo que la prueba duró 40 minutos, ¿por qué la pregunta 5 tuvo
tantas respuestas incorrectas? ¿Cómo ordenarías tú las preguntas de la prueba y
por qué darías ese orden?
Es sabido que una de las principales dificultades que tienen los estudiantes para extraer información del tipo intermedio o avanzada es la no comprensión del contexto y de las variables en relación a dicho contexto, lo que justifica
el diseño de esta clase.
• Socialice con los grupos la parte a) para tener claridad acerca de qué entendieron del gráfico. La pregunta b)
está orientada a que reconozcan que las alturas de las barras entrega la cantidad de estudiantes con respuestas
correctas e incorrectas para cada pregunta. La pregunta c) debe ser gestionada para que en una primera instancia
la información sea del tipo Intermedio; con ello se pueden socializar inmediatamente las preguntas que diseñaron
para el gráfico
• La Actividad 4 busca que extraigan información del nivel Intermedio y evalúen afirmaciones escribiendo verdadero
(V) o falso (F), justificando las falsas.
CIERRE / 20 minutos
La socialización respecto a los temas trabajados en la clase, debe dejar establecido que:
• Cuando se está en presencia de información proveniente de dos variables, es mejor utilizar gráficos de barras
dobles, porque permiten extraer múltiples informaciones que relacionan los datos de dos variables.
• La altura de las barras indica las cantidades asociadas a cada categoría. Estas últimas se encuentran en el eje
horizontal.
• Es necesario comprender los gráficos para poder responder preguntas, y por ello deben tener título e identificación
de los ejes horizontal y vertical.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Extraer 5 informaciones del gráfico de la Actividad 4.
Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
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PLAN DE CLASE Nº 2
Objetivo de la clase:
• Interpretar información presente en gráficos de
barras dobles.
INICIO / 20 minutos
Revise la tarea en conjunto con sus alumnos.
• Pida que realicen la Actividad 1 en parejas; busca que extraigan e interpreten información del gráfico, relacionada
principalmente con determinar cantidades en cada categoría y hacer comparaciones. Para responder la pregunta
a) deberán explicar que se fijaron solo en las columnas verdes y en la altura de estas, pues la información pedida
corresponde a la información de cuarto B, y luego sumaron los valores de las alturas de cada una de las barras. La
pregunta b) profundiza en la tarea de extracción de información, pues para responderla deben saber que teatro,
astronomía y arte son actividades no deportivas. La pregunta c) incorpora al análisis la preferencia deportiva.
Las preguntas d) y e) son de un grado menor de dificultad, pero lo importante está en la gestión que usted debe
realizar. Existen dos formas de obtener las respuestas a estas preguntas: una es comparar visualmente las alturas
de las barras y la otra conocer el valor de la altura de la barra. Es importante destacar el procedimiento de la visualización, porque es una forma más rápida de obtener la información en este caso.
• Gestione la Actividad 1 de manera que sean los alumnos quienes obtengan las respuestas en parejas. Mientras trabajan circule por la sala observando cómo responden las distintas preguntas. No valide las respuestas correctas ni
incorrectas cuando hagan consultas, sino que pida que las argumenten. Después de 20 minutos, socialice tratando
de provocar un debate entre respuestas distintas.
DESARROLLO / 50 minutos
• Pida que realicen la Actividad 2 en parejas. Se aumenta el grado de dificultad respecto a la Actividad 1, pues la
información necesaria para responder las preguntas no es inmediatamente extraíble del gráfico. Por ejemplo, las
preguntas que se refieren a la mayor o menor diferencia entre preguntas correctas e incorrectas o también las que
se refieren a preguntas omitidas.
• Gestione de forma que sean los estudiantes quienes establezcan las respuestas; circule por la sala observando
cómo responden las distintas preguntas. No valide las respuestas cuando hagan consultas. Después de 20 minutos
de trabajo socialice las distintas respuestas, siempre tratando de provocar un debate entre respuestas distintas. Por
ejemplo, en la pregunta b) es esperable que una cantidad considerable de estudiantes señale que las preguntas 9
y 10 fueron respondidas correctamente por todos quienes rindieron la prueba. Al momento de la fundamentación
es esperable que digan que es así pues no hay respuestas incorrectas. Gestione para que otro grupo diga que no
hay ninguna pregunta que todos hayan respondido bien, pues las preguntas 9 y 10 no fueron respondidas por todo
el curso. Cuando usted no valida inmediatamente las respuestas, hace que se produzca comunicación matemática
entre los estudiantes y se favorecen los procesos argumentativos al interior de aula. De esta forma, la corrección
de las preguntas se transforma en un espacio de socialización y contraposición de ideas y no en un listado de
respuestas correctas.
10 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
• En la pregunta c) respecto a las preguntas donde los estudiantes omitieron responder, será interesante escuchar
cómo supieron extraer esa información, pues no se desprende directamente del gráfico. Se espera que planteen
que al sumar la cantidad de preguntas correctas con las incorrectas, en algunas preguntas esa suma daba inferior
a 40.
• La pregunta d) pide establecer en qué pregunta de la prueba se produce la mayor diferencia entre las respuestas
correctas e incorrectas. Es esperable que las respuestas se fundamenten en establecer comparaciones de longitud
de las barras (lo cual se observa a simple vista) y no haciendo sustracciones entre los valores de las barras. Sin
embargo, si se pide la cuantificación exacta, entonces hacer la sustracción es más eficiente, como el caso de la
pregunta e).
• Pida que realicen grupalmente las Actividades 3 y 4, cuya finalidad es que respondan preguntas de nivel avanzado
(según denominación de Friel, Curcio y Bright, 2001) para que, utilizando la información proveniente del gráfico,
elaboren respuestas que van más allá de dicha información, manifestando una opinión o una valoración. Aquí no
se está en presencia de respuestas correctas o incorrectas, sino que de argumentaciones claras y pertinentes a la
situación planteada.
CIERRE / 10 minutos
La socialización colectiva debe dejar establecido que, a partir de los gráficos de barras dobles, se puede establecer:
• La cantidad de cada categoría observando los valores de las alturas de las barras.
• Cuál categoría es mayor o menor que otra, observando la longitud de las barras.
• Cuál categoría presenta la mayor diferencia entre un grupo y otro, por ejemplo, entre el grupo de respuestas
correctas e incorrectas, y para ello hay dos formas de resolverlo dependiendo si se quiere establecer solo la mayor
o menor diferencia, ante lo cual se comparan las diferencias de longitud o además, si se quiere, la cuantificación de
la diferencia, lo cual implica saber el valor de cada categoría y hacer la sustracción, como en el caso de la pregunta
e).
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• En tu cuaderno, responde la siguiente pregunta a partir del gráfico de la Actividad 4.
• Una mamá del 6° B dice que “en la Escuela lamentablemente no se promueve el uso de la bicicleta con lo cual se
evita una posibilidad de hacer ejercicios y vida sana”. ¿Qué opinas tú de la afirmación que hace la mamá?
Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
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PLAN DE CLASE Nº 3
Objetivo de la clase:
• Explicar la información que contiene un gráfico
circular donde cada parte es un porcentaje del
todo.
INICIO / 15 minutos
Revise la tarea en conjunto con sus alumnos.
• Pida a sus estudiantes que desarrollen en parejas la Actividad 1, que tiene por finalidad recordar los conceptos de
fracción y porcentaje, para utilizarlos posteriormente en la interpretación de gráficos circulares. En la lectura del
gráfico 1 y 2 no debería haber mayores problemas en encontrar las respuestas pues ese contenido de fracciones
asociado a porcentaje se ha trabajado en años anteriores. En el gráfico 3, los estudiantes deben reconocer que la
parte A corresponde al 50% del círculo y por tanto A y B suman 60%, con ello es fácil responder que las partes
D y C representan la misma cantidad y corresponden al 40% pues 100 - 60 = 40. En el gráfico 4, las partes B y C
representan la misma cantidad, por lo tanto, C vale un 10%, pero además D es igual a B+C, por lo tanto B+C+D
corresponde al 40 % y con ello se responde que A corresponde al 60% del total.
DESARROLLO / 50 minutos
• Pida que realicen la Actividad 2, cuya finalidad es que reconozcan que el porcentaje de una parte del todo no es
lo mismo que la cantidad asociada a esa parte. Es esperable que algunos alumnos señalen que el 100% menos el 75% es igual al 25% y por lo tanto las niñas son 25. Gestione para que calculen el 75% de 40 lo cual da 30 niños
y por lo tanto las mujeres son 10 y no 25. Gestione para que sean los alumnos quienes establezcan las respuestas;
mientras trabajan circule por la sala observando cómo y qué responden. No valide las respuestas cuando hagan
consultas. Después de 20 minutos de trabajo socialice las distintas respuestas, siempre tratando de provocar un
debate entre respuestas distintas.
• Pida que realicen la Actividad 3 en parejas, cuya finalidad es que determinen qué porcentaje es una cantidad de
otra, pero también chequear si están cometiendo el error que se puede haber cometido en la Actividad 2; por eso
se coloca la opción A, cuyos valores porcentuales coinciden con la cantidad de personas que votaron por fútbol
(20), por tenis (10) y otros deportes (10).
• Pida que realicen la Actividad 4 en parejas, cuya finalidad es que expliquen la información que se presenta en el
gráfico circular; dé el tiempo necesario para que discutan entre ellos. Deje claro que al sumar todas las partes del
gráfico se forma un 100%.
CIERRE / 15 minutos
La socialización de los temas trabajados en clases debe centrarse en los siguientes aspectos:
• Los gráficos circulares permiten comparar partes respecto al todo y usar porcentaje permite que la comparación
no dependa de saber el total de elementos. Por ejemplo, si en un curso hay un 70% de niños y un 30% de niñas,
no se necesita saber la cantidad de niños o niñas, para poder decir que en ese curso hay mayor cantidad hombres
que mujeres.
12 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
• Socialice con ellos los distintos tipos de información que se puede extraer, por ejemplo:
• ¿Qué porcentaje de personas de ese restaurant escogieron las carnes blancas?
• ¿Cuál es la carne menos preferida por los clientes?
• ¿Cuántas personas de las encuestadas escogieron pollo?
• ¿Cuántas personas de las encuestadas escogieron pollo y cerdo?
• Los gráficos circulares también permiten extraer información, pero a diferencia de los gráficos de barras dobles,
acá solamente se trabaja con una variable y varias categorías.
• Otra idea fuerza es que el porcentaje de una categoría no es lo mismo que la cantidad asociada a esa categoría,
propósito de la Actividad 2.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Observa el siguiente gráfico y responde las preguntas.
Población de la Región del Biobío, por provincias (Censo 2002)
a) Aproximadamente, ¿cuánto es el porcentaje de población de la Provincia de Concepción respecto al total de la
región?
b) ¿Cuánto es el porcentaje de población de la Provincia de Biobío?
c) Sabiendo que el año 2002 la población total de la región del Biobío era 1.867.746 habitantes. ¿Cuántos habitantes
había ese año en la Provincia de Ñuble?
Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
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PLAN DE CLASE Nº 4
Objetivo de la clase:
• Interpretar información presentada en gráficos
circulares en términos de porcentaje.
INICIO / 15 minutos
Revise la tarea en conjunto con sus alumnos.
• Pida que realicen la Actividad 1, cuyo propósito es interpretar gráficos circulares. Se introduce además un gráfico
circular tridimensional, muy frecuente en la prensa nacional y en donde la perspectiva podría eventualmente generar alguna dificultad. En caso que ello ocurra, represente el mismo gráfico en la pizarra, en su versión bidimensional, e indique la relación que existe en la interpretación de la abertura de la región asociada a cada cantante.
• Pregunte cuál es el artista más popular según el gráfico, y en qué se fijaron para poder determinar tal respuesta.
• El gráfico presentado contiene información actual; pregunte si reconocen los artistas o si conocen las canciones.
Pregunte si les sorprende el que aparezcan con tales niveles de popularidad. Esto permite que emitan una opinión
sobre el gráfico. Permita que argumenten en orden, pero no asigne demasiado tiempo a ello.
DESARROLLO / 50 minutos
• Pida al curso que desarrollen la Actividad 2 en parejas. Se busca profundizar en la interpretación de gráficos al
incluir tareas de comparación de información entre gráficos circulares sobre un mismo tipo de fenómeno. En la
socialización, pida que respondan y argumenten las preguntas referidas al gráfico de precipitaciones en Valdivia.
Pida que expliciten los cálculos realizados, verificando que las relaciones multiplicativas estén correctamente
aplicadas. En este caso, una buena técnica de cálculo del porcentaje de 500 es calcular el porcentaje respecto de
1000 y luego calcular la mitad; el siguiente ejemplo ilustra la justificación de este procedimiento:
35% de 500 = 35% de 1000 = 1 (35% de 1000) = 1 • (350) = 175
2
2
2
• El objetivo de la clase no es que sus estudiantes expongan el desarrollo anterior completo, sino que lo comprendan
y argumenten; la fundamentación se presenta solamente para su conocimiento, por cuanto requiere del despliegue
de propiedades aritméticas aún no estudiadas.
• Otros procedimientos de cálculo que se pueden utilizar en esta clase son:
• Cálculo de un porcentaje de 200: x% de 200 = 2 • x
• Cálculo de porcentaje de 1000: x% de 1000 = 10 • x
• Cálculo de porcentaje de 20: se aplica el porcentaje de 200 y se divide por 10.
• Posteriormente, indique al curso que responda y argumente las preguntas asociadas a las precipitaciones en
Santiago. Aunque las proporciones cambian un poco, se puede observar que se mantiene el comportamiento
lluvioso del mes de mayo. Aquí es muy importante que reconozcan que aun cuando el porcentaje del mes de mayo
aumentó en la ciudad de Santiago respecto de Valdivia, ello no quiere decir que en Santiago haya caído una mayor
14 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
cantidad de precipitación. De hecho, pida al curso que complete una tabla similar y verifique la diferencia. Esto se
puede explicar por la brecha que existe en la cantidad de agua caída en el período completo para ambas ciudades.
• Verifique que esta idea ha quedado muy clara. En caso contrario, pida que lean y discutan la información presentada
por Sofía.
• Pida que desarrollen las Actividades 3 y 4. En ellas se presentan dos fuentes de información en forma simultánea,
y deberán responder una serie de preguntas asociadas. En particular, la Actividad 3 permite sistematizar y aplicar
las ideas anteriores.
• La Actividad 4 contrasta información presentada en forma diferente, con el objetivo de que la comparen y puedan
completar la información que falta.
CIERRE / 15 minutos
La socialización de los temas trabajados en clases debe centrarse en los siguientes aspectos:
• Los gráficos circulares representan las partes porcentuales de un todo, de un 100%.
• La abertura de la región circular o de otro modo, la superficie que ocupa del círculo, representa la cantidad relativa.
• Existen procedimientos abreviados para calcular algunos porcentajes.
• Para poder determinar la cantidad exacta correspondiente a un porcentaje (dado o representado en el gráfico) se
requiere conocer la cantidad total, aquella que se asocia con el 100%.
• El punto anterior es esencial para comparar datos de situaciones distintas; por ejemplo, para comparar la cantidad
de agua caída en Valdivia y Santiago, ya que en Valdivia llueve mucho más.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
Observa el siguiente gráfico. La profesora ha señalado que este gráfico no se entiende, pues tiene varios errores.
• ¿Qué errores puedes identificar tú?
• ¿Lo puedes arreglar?
Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
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PLAN DE CLASE Nº 5
Objetivo de la clase:
• Construir diagramas de puntos para obtener
distribuciones de valores de resultados. Usar
diagramas de puntos para responder preguntas.
INICIO / 15 minutos
Revise la tarea en conjunto con sus alumnos.
• En esta clase se debiera retomar el trabajo con diagramas de puntos que, según el nuevo marco curricular, se
estudia en cursos anteriores. Como es posible que no lo hayan visto, esta clase se ha diseñado considerando esta
posibilidad.
• Es importante señalar antes de iniciar la clase, que los diagramas de puntos comparten características con los
gráficos de barra, pero tienen dos diferencias sustanciales.
• La primera es que el diagrama de puntos es un procedimiento muy rápido de recolección y registro de
información, en particular, cuando se hace a mano.
• La segunda, intencionada por el marco curricular, radica en que el diagrama de puntos tiene como propósito
principal la representación de las distribuciones más que el cálculo o determinación de datos específicos.
Aun cuando el diagrama de puntos sirve con este último fin, la gestión de clases deberá apuntar a reconocer
comportamientos tales como identificación de crecimientos, máximos o mínimos, acumulación o dispersión de
los datos.
• Pida que trabajen en la Actividad 1, en la que se presentan datos y el diagrama de puntos construido. Deberán
leer correctamente cada representación para poder reconocer las etiquetas del eje horizontal del diagrama. Se
espera además, que reconozcan criterios de orden para la misma variable, pero en distintas representaciones: por
frecuencia en la tabla, alfabética en el diagrama.
• Pida que respondan las preguntas. Será de interés que el curso reflexione respecto de la ventaja de cada representación; destaque aquellas ideas que reconocen que el diagrama entrega información muy rápidamente, siempre y
cuando no aborde el conteo de los puntos.
DESARROLLO / 50 minutos
• La Actividad 2 busca que construyan un diagrama de puntos, para luego interpretar la información por ella propuesta. Verifique que el diagrama quede bien construido; esto es, que los puntos queden dibujados homogéneamente, equidistantes y ordenados.
• Discuta con su curso sobre las condiciones de construcción del diagrama; destaque que el gráfico no debe
distorsionar los datos.
• Pida que respondan las preguntas de la actividad. Preste mucha atención a las últimas dos preguntas. La primera,
sobre los establecimientos habilitados, requiere que reconozcan cuáles de las opciones cumplen con esta
característica: la cancha, el gimnasio, y si el equipamiento lo permite, el mismo establecimiento. La última pregunta
tiene como propósito opinar de un tema con base en la interpretación de los datos. Esta opinión requiere que las y
los estudiantes articulen su argumentación con el conocimiento que tienen del mundo, por ejemplo, reconociendo
16 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
el rol de las actividades deportivas en el desarrollo de las persona. Esta valorización será más sustantiva si ella
es justificada. El conocimiento sobre la existencia de otras canchas y gimnasios podría ser, además, un factor de
formación de la opinión de alumnas y alumnos.
• Pida que desarrollen la Actividad 3, en que deberán interpretar un diagrama de puntos. Al igual que en la pregunta
anterior, la formulación de juicios de opinión requiere de información externa que los niños pueden proveer
libremente.
• Finalmente, debieran construir un diagrama de puntos para las temperaturas máximas del período OctubreNoviembre. Acá no hay una respuesta correcta, por lo que será muy importante indagar en los criterios y conjeturas
propuestos por las y los alumnos.
• Se estima que una respuesta probable sea mantener la forma de la distribución del diagrama de temperaturas
anterior, bajo una lógica de días muy fríos o días muy cálidos. Otra posibilidad es que asuman una variación
térmica constante, por ejemplo de 10°, considerando que octubre y noviembre son meses más cálidos. Es probable
que alguno de ellos ajuste el eje horizontal. Será importante verificar si la cantidad de puntos del diagrama es
consistente con el contexto.
CIERRE / 15 minutos
La socialización de los temas trabajados en clases debe centrarse en los siguientes aspectos:
• Los diagramas de punto son recursos de representación de datos que son muy fáciles y rápidos de construir a
mano.
• Los diagramas buscan representar distribuciones, aunque también son útiles para representar datos específicos.
• Los criterios de orden dependen de las variables. Algunas variables admiten más de un orden, dependiendo de sus
características y naturaleza.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Investigar en Internet las temperaturas máximas del período octubre-noviembre en Santiago 2013, construir un
diagrama de puntos y comparar su comportamiento con el del diagrama propuesto.
Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
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PLAN DE CLASE Nº 6
Objetivo de la clase:
• Construir diagramas de puntos para comparar
distribuciones. Usar diagramas de puntos para
responder preguntas.
INICIO / 15 minutos
Revise la tarea en conjunto con sus alumnos.
• En la presente clase se avanza del análisis del diagrama de puntos hacia la comparación de la información extraída de este tipo de gráficos. Ello promoverá un mayor nivel de análisis, así como una reflexión sobre la forma de
construir este tipo de gráficos.
• Pida que resuelvan la Actividad 1, en la que deberán utilizar su propio conocimiento para conjeturar respuestas a
algunas de las preguntas.
• En primer lugar, se pide formular y argumentar conjeturas sobre dos diagramas, por ejemplo, decidiendo cuál de
ellos corresponde a información sobre hombres y cuál sobre mujeres. Aquí será importante discutir las argumentaciones, porque el comportamiento de los gráficos se determinó en consistencia con la información que ofrece
el INJUV sobre actividad deportiva de los jóvenes. Se debe cuidar que las argumentaciones no sean burlescas ni
ofensivas y se hagan en un clima de respeto.
• Verifique que las argumentaciones se basan en la caracterización de la relación entre los gráficos y las interpretaciones asociadas.
DESARROLLO / 50 minutos
• En la Actividad 2 se presenta información que se ha aplicado al mismo grupo de personas de la actividad
anterior. Esto es importante, por cuanto contextualiza el problema, dando herramientas para la argumentación y
formulación de conjeturas.
• La tercera pregunta busca ofrecer una explicación al comportamiento social de la práctica del deporte. Aquí,
reconocer que el deporte favorito de los hombres es relevante al momento de justificar que practiquen
principalmente con amigos y compañeros. Por su parte, las mujeres tienden a practicar deporte solas por la
naturaleza de sus actividades preferidas (bicicleta, gimnasio, correr).
• Es importante destacar que estos datos no son ni generalizables ni universales. Es decir, no todos los hombres y
mujeres tienen tal comportamiento. No obstante, será de interés consultar si la percepción que el curso tiene se
condice con los resultados de las encuestas.
• La Actividad 3 presenta una situación extraída del medio social y cultural, lo que permite una discusión que va
más allá de los datos. Esto es posible por cuanto los contenidos de este eje articulan muy bien con el mundo
cotidiano. En este caso particular, se presenta una situación que las parejas deberán leer con cuidado y discutir para
familiarizarse del contexto propuesto. Indique a los grupos que evalúen las afirmaciones realizadas por Gonzalo y
Clara, a la luz de la información presentada por los gráficos. Posteriormente, promueva una discusión respecto del
grado de acuerdo o desacuerdo de niñas y niños respecto de estas afirmaciones.
• En lo referido a Gonzalo, debieran darse cuenta de que el segundo gráfico no es comparable con el primero solo
por su altura, por cuanto los dibujos no tienen el mismo tamaño en uno y otro diagrama. Al verificar la cantidad
18 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
de casos de accidentes el 2012, esta es mucho menor que en 2011. No obstante, solo es posible obtener esta
conclusión cuando se ha interpretado y leído correctamente cada diagrama. Permita que el curso llegue a esta
conclusión; solicite a algunos alumnos que simulen una situación en donde le explican a Gonzalo en qué consiste
su error.
• Respecto de la afirmación de Clara, pregunte al curso por qué creen que ella emitió esa opinión; se espera que
el curso reconozca que en ambos gráficos, la mayor cantidad de accidentes ocurre en los meses de invierno, lo
que justificaría la afirmación de Clara. Destaque el hecho de que, nuevamente, al interpretar el significado de las
columnas de puntos más altas, se puede saber lo que Clara quiso decir.
• Finalmente, solicite que respondan las preguntas del final de la actividad. Se espera que la lectura del diagrama
sea fluida, y que entregue elementos suficientes para que concluyan que los accidentes han disminuido en aquella
esquina. Muy importante será también prestar atención a las recomendaciones de los niños; destaque aquellas
que se fundamentan en los datos proporcionados por los gráficos.
CIERRE / 15 minutos
La socialización de los temas trabajados en clases debe centrarse en los siguientes aspectos:
• La distribución de los puntos en un diagrama proporciona información que, según el contexto, puede ser de gran
utilidad.
• Para interpretar datos no se requiere solo información desde un gráfico; también se necesita tener conocimiento
de cómo funciona el mundo.
• Para favorecer la correcta interpretación de un diagrama, sin distorsionar su información, es necesario que los
puntos tengan el mismo tamaño y que sean equidistantes y ordenados sobre el diagrama.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Reconstruir uno de los diagramas de la Actividad 3, de modo que queden comparables.
• Construir además los gráficos de barra asociados, y describir las principales diferencias observadas.
Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
19
PLAN DE CLASE Nº 7
Objetivo de la clase:
• Construir diagramas de tallo y hojas para
obtener distribuciones de valores de resultados.
Construir diagramas de tallo y hojas para
comparar distribuciones.
INICIO / 15 minutos
Revise la tarea en conjunto con sus alumnos.
• En esta clase se introduce el diagrama de tallo y hoja, recurso de representación de datos que comparte características de una tabla y de un gráfico. Producto de esta dualidad, la representación del diagrama no siempre es de
fácil comprensión. El estudio de este diagrama se aborda considerando su construcción y su utilidad para describir
distribuciones de datos.
• Pida que lean la introducción propuesta por Sofía. Luego, desarrollan la primera tarea de la Actividad 1. Verifique
que el paso 1 sea emprendido en forma individual o grupal. La idea es que niños y niñas asocien de inmediato esta
tarea como un paso en la construcción de este diagrama.
• Pida a un(a) estudiante que lea en voz alta los pasos 2 a 4, al tiempo que otro(a) va registrando el resultado de cada
paso en la pizarra. De este modo, usted podrá identificar las consultas o dificultades que el curso podría tener en
la interpretación de las instrucciones de construcción.
• Indique al curso que realicen el diagrama en sus Cuadernos de trabajo, recordando poner un título adecuado a la
representación.
• En esta actividad en particular, se espera que comprendan que la organización de los datos en filas y columnas
tiene características de tabla, más aún cuando el registro de la información es directamente cuantitativo, sin necesidad de representar una posición o una medida a través de otros mecanismos.
• No obstante, esta forma de registrar la información produce una especie de “barras” o “puntos”, cuya longitud
permite anticipar rangos en los cuales la frecuencia se acumula. En el caso de la actividad, no hay personas cuya
edad tenga 7 decenas, por lo que esa fila queda sin registro de unidades, en forma similar al comportamiento de
un gráfico.
• Destaque y registre estas ideas con su curso.
DESARROLLO / 50 minutos
• Pida al curso que lea la Actividad 2. Pregunte si es posible responder rápidamente las preguntas de la actividad
con el grupo de datos tal como se observa. Aunque se espera que la mayoría diga que no, es posible que algunos
estudiantes consideren que es posible y realicen tal tarea. Ante ello, destaque que es posible responder las
preguntas, pero que se requiere estar contando los datos para cada pregunta, lo que limita la rapidez de respuesta.
Indique que completen el diagrama de tallo y hoja, y luego pida que respondan las preguntas.
• Se espera que las cuatro primeras preguntas sean de rápida gestión. La quinta pregunta busca emitir una opinión
que difícilmente se podría haber formulado sin haber ordenado los datos previamente. Más aún, el diagrama
ofrece una distribución en torno a las calificaciones enteras, favoreciendo la formación de opinión. Recuerde que
aquí no hay una respuesta correcta, y que lo importante es que usted promueva una argumentación respetuosa
20 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
que haga referencia a los datos. Concluya con su curso las ideas relevantes de la última pregunta, en particular lo
que respecta a la eficiencia y rapidez con la que es posible acceder a la información.
• En la página siguiente del Cuaderno de trabajo se presenta un diagrama de tallo y hoja con la misma información
del anterior, pero respecto de un curso paralelo. Aquí, el objetivo es continuar con la interpretación de los datos
para la formación de opinión y desarrollo de la argumentación. En este diagrama se observa que el curso está
agrupado en torno a dos calificaciones promedio: el 3 y el 6. Esta distribución es distinta de la anterior, lo que se
espera promoverá la discusión para decidir cuál de los dos grupos tuvo mejor rendimiento. Identifique los criterios
de decisión y regístrelos en la pizarra para destacarlos posteriormente.
• En la Actividad 3 se presenta un diagrama doble de tallo y hoja, el cual tiene la ventaja de favorecer la comparación
de las distribuciones. Los datos de este diagrama son reales y permiten abrir un debate respecto del cambio
climático, sus causas y efectos. En particular, junto con las respuestas, pregunte qué efectos para la vida tienen
los cambios en las distribuciones, pidiendo siempre argumentar sus respuestas en función de la información
disponible en los diagramas.
CIERRE / 15 minutos
La socialización de los temas trabajados en clases debe centrarse en los siguientes aspectos:
• Un diagrama de tallo y hojas es una representación de datos que tiene características de tabla (por el registro
directo de datos cuantitativos) y de gráfico (por la formación de filas de distinta longitud).
• La construcción de un diagrama de tallo y hojas requiere que los datos estén ordenados.
• Estos diagramas favorecen la representación de distribuciones de datos. Destaque en las Actividades 2 y 3 que
algunos de los criterios propuestos giraron en torno a la descripción de tal distribución.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Investigar las temperaturas medias mensuales de tu región en los períodos señalados en la Actividad 3 y evaluar
si se observa el mismo efecto.
• Si estás en la región del Biobío, puedes buscar información sobre algún período intermedio para investigar si el
comportamiento de cambio ha sido paulatino o reciente.
• Si lo considera necesario, usted puede sugerir la página http://164.77.222.61/climatologia/, del Servicio de
Meteorología de Chile.
Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
21
PLAN DE CLASE Nº 8
Objetivo de la clase:
• Describir un diagrama de árbol por medio de
ejemplos. Enumerar resultados posibles de
lanzamientos de monedas o dados con ayuda de
un diagrama de árbol; por ejemplo, al lanzar tres
veces una moneda o una vez dos dados.
INICIO / 15 minutos
Revise la tarea en conjunto con sus alumnos.
• Se retoma el estudio del azar, introduciendo la noción de probabilidad como un porcentaje de opciones de ocurrencia de un evento. La determinación de esta medida de la posibilidad de ocurrencia se realiza a través de la
manipulación de una representación específica: el diagrama de árbol. Las siguientes clases se han diseñado para
que las actividades puedan ser resueltas a través del uso directo u optimizado de este diagrama, con el objetivo de
destacar las relaciones multiplicativas que se dan entre los datos. El objetivo no es sistematizar estas relaciones
multiplicativas en técnicas específicas de cálculo, sino más bien generar las condiciones para que estos procedimientos sean abordados posteriormente en otros cursos.
• Esta clase se ha planificado para que el uso del diagrama de árbol no sea impuesto, sino que los alumnos lo descubran siguiendo una secuencia COPISI (concreto, pictórico, simbólico). Como los alumnos ya están en sexto básico,
no se considera necesario que ellos dispongan de los dados para realizar la actividad; si usted considera que las y
los estudiantes requieren un apoyo adicional, evalúe tal posibilidad.
• Pida al curso que aborde el primer problema de la Actividad 1. Asigne algunos minutos y preste atención a sus
procedimientos. Se espera que los alumnos emprendan inicialmente algunas de las siguientes estrategias:
• Realizar las combinaciones mentalmente, con un orden relativo, y contarlas de la misma forma, sin garantizar
si cubrieron todas las combinaciones.
• Emprender una estrategia, mental o escrita, de fijar el resultado de un dado y evaluar el resto. La ventaja de
esta estrategia es que permite que descubran que por cada cara de uno de los dados se tienen 6 opciones con
el segundo lanzamiento, y que por tanto, se tienen 6 veces 6 combinaciones en total.
• Socialice los procedimientos y dificultades, y destaque aquellas estrategias que siguieron la línea del segundo punto recién descrito. Pregunte cómo representarían tal estrategia; se espera que empleen alguna de las siguientes
variantes:
Representación completa de todas las combinaciones (por conteo).
1er lanz.
1
2
3
4
5
6
2do lanz.
123456
123456
123456
123456
123456
123456
Representación abreviada de las combinaciones (por multiplicación o conteo de 6 en 6).
1er lanz.
1
2
2do lanz.
123456
etc.
6 combs.
6 combs.
3
4
5
6
6 combs.
6 combs.
6 combs.
6 combs.
36 combinaciones en total
22 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
DESARROLLO / 50 minutos
• Pida que continúen con los otros problemas de la Actividad 1. Las estrategias empleadas se irán optimizando.
En cada caso, pida que representen los procedimientos y destaque que en ellos se observa una estructura
multiplicativa, ya que hay ciertas cantidades que se van repitiendo, tal como se observa en las representaciones
descritas previamente.
• Presente al diagrama de árbol como una estrategia de representación que permite mostrar todas las combinaciones
posibles. Exponerla como una representación permite que puedan decidir por el procedimiento más eficiente de
resolución. Se muestra a continuación el diagrama para el segundo problema:
5 opciones
5 opciones c/u
5 opciones c/u
C
F
L
P
V
CFLPV
CFLPV
CFLPV
CFLPV
CFLPV
CFLPVCFLPVCFLPVCFLPVCFLPV
CFLPVCFLPVCFLPVCFLPVCFLPV
CFLPVCFLPVCFLPVCFLPVCFLPV
CFLPVCFLPVCFLPVCFLPVCFLPV
CFLPVCFLPVCFLPVCFLPVCFLPV
En total, son 5 x 5 x 5 opciones para los helados triples.
• La Actividad 2 presenta un diagrama ya construido y deberán leer e interpretar el diagrama para reconocer las
combinaciones en él. Apoye el desarrollo de esta noción. Se busca que sus estudiantes sean capaces de reconocer
y aplicar correctamente las condiciones descritas en las preguntas.
• Pida que desarrollen la Actividad 3, en la que se espera que perfeccionen sus estrategias. Para ello, es fundamental
que puedan presentar y argumentar sus respuestas al curso.
CIERRE / 15 minutos
La socialización de los temas trabajados en clases debe centrarse en los siguientes aspectos:
• En situaciones de combinación de objetos o de eventos, un diagrama de árbol puede ser una herramienta muy útil.
• Las relaciones que se dan entre los datos de una situación de combinación son multiplicativas.
• Con estas herramientas se pueden determinar la cantidad de combinaciones posibles, ya sea las totales o las
asociadas a alguna restricción.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Realizar la Actividad 4 de esta clase.
Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
23
PLAN DE CLASE Nº 9
Objetivo de la clase:
• Conjeturar acerca de porcentajes o fracciones de
ocurrencia de eventos relativos a lanzamientos
de monedas o dados.
INICIO / 15 minutos
Revise la tarea en conjunto con sus alumnos.
• En esta clase se introduce el concepto de probabilidad, como una forma de cuantificar la cantidad relativa de posibilidades que tiene un evento o combinación de eventos. Deben contar con calculadora.
• Pida que resuelvan los problemas de la Actividad 1. En ambos se pide realizar dos cálculos, los cuales pueden ser
resueltos con un diagrama de árbol o con procedimientos multiplicativos. Finalmente, la última pregunta de cada
problema busca determinar el porcentaje que representa cada evento específico respecto del total de combinaciones. En el caso del lanzamiento de los dados, las combinaciones que tienen al menos un 2 son 11 de un total de
36, es decir, aproximadamente un 30%. En el caso del lanzamiento de las monedas, son 31 de 32 combinaciones,
lo que equivale aproximadamente al 97%.
• Al final de la actividad, Vicente pregunta si es posible determinar que una de las combinaciones de eventos sea
más probable de ocurrir; la situación de lanzamiento de las monedas tiene una mayor opción de ocurrencia.
• Finalmente, comparta sus hallazgos con el curso y lean las ideas propuestas por Sofía. Estas tienen la importancia
de introducir el concepto de probabilidad, lo que permite el sintetizar la idea de “conjeturar porcentajes o fracciones de ocurrencia de eventos” a un término más simple y técnico.
DESARROLLO / 50 minutos
• Pida que desarrollen la Actividad 2, en la que deberán emprender los procedimientos puestos en juego por la actividad anterior. Una opción de resolución es directamente el diagrama de árbol, registrando allí en forma ordenada,
los datos que permiten responder las preguntas de la actividad. Por ejemplo, en el problema 2:
1er lanzamiento
2° lanzamiento
Cara
Cara
En total son 4 combinaciones.
Sello
Hay solo 1 combinación en la que salen 2 caras.
Cara
El porcentaje de opciones de este evento es de un 25%.
Sello
Sello
24 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
• Socialice el desarrollo de los problemas de la Actividad 2. Observe que los distintos problemas piden calcular el
porcentaje, fracción o probabilidad en forma indistinta. Destaque que estas tareas son equivalentes, y que también son equivalentes la expresión de la respuesta como porcentaje o como fracción; salvo que el enunciado diga
lo contrario, ambas opciones son válidas.
• En el problema 2 se plantea el cálculo de la probabilidad de un evento, así como el cálculo de la probabilidad del
evento complementario. Se espera que identifiquen un procedimiento eficiente de cálculo de estas situaciones,
relacionado con el hecho de que dos eventos complementarios suman una probabilidad de 100%.
• Pida que resuelvan la Actividad 3. Se espera que reconozcan que el segundo lanzamiento es independiente del
primero. No obstante, es probable que algunos crean que por el hecho de haber salido cara, ahora corresponde
que salga sello. En caso que la argumentación dificulte la comprensión, pida a sus estudiantes que realicen la experiencia. La conclusión de este hecho se debe formular en términos de que no es posible anticipar el resultado
del lanzamiento, por tanto, una vez lanzada la moneda por primera vez, el segundo lanzamiento se realiza como
si el primero no hubiese ocurrido, por lo que hay un 50% de que salga sello.
CIERRE / 15 minutos
Pida que desarrollen la Actividad 4, que es de síntesis, y que argumenten sus procedimientos.
La socialización de los temas trabajados en clases debe centrarse en los siguientes aspectos:
• Hay eventos sobre los cuales no se tiene certeza de que puedan ocurrir.
• No obstante, al estudiar las posibles combinaciones, se puede determinar el porcentaje de opciones de ocurrencia
del evento.
• La probabilidad es la medida de esa posibilidad. Un evento con alta probabilidad tiene muchas opciones de ocurrir,
pero eso no quiere decir que tenga que ocurrir.
• El diagrama de árbol es una representación que permite estudiar las combinaciones y calcular la probabilidad.
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Resolver ejercicios y problemas del Cuaderno de trabajo o del texto escolar, como preparación de la evaluación.
Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
25
PLAN DE CLASE Nº 10
Objetivo de la clase:
• Evaluar los aprendizajes de las y los estudiantes,
y retroalimentar aquellos temas que surjan como
más deficitarios.
INICIO / 15 minutos
• Explique que se va a realizar una prueba que tiene como objetivo evaluar los contenidos de aprendizaje estudiados
en este período.
• Destaque la importancia de mantener una conducta apropiada durante el desarrollo de la evaluación.
• Señale que si no entienden alguna instrucción o pregunta, levanten la mano y usted los atenderá.
• Entregue la prueba y recorra la sala registrando los temas que pueden estar presentando mayores dificultades.
DESARROLLO / 45 minutos
• Pida que comiencen a leer y responder la prueba. Recuerde que dejen anotados los cálculos que hacen para
resolver los problemas.
• Observe con atención y vea si alguien está detenido en alguna pregunta.
• Escuche las preguntas y ayude a comprender los enunciados, sin dar la respuesta correcta o pistas.
• Registre las preguntas y estrategias que sus estudiantes emplean, muchas serán motivo de revisión del contenido.
• En caso que algunos alumnos finalicen la evaluación tempranamente, indíqueles que trabajen sobre las actividades
de la clase 10 del cuaderno del estudiante.
LA SIGUIENTE INFORMACIÓN CONTIENE UNA DESCRIPCIÓN DE LAS TAREAS INVOLUCRADAS EN LA PRUEBA.
Se espera que quienes se hayan apropiado de los conocimientos del módulo, logren realizar las siguientes tareas
matemáticas:
• Interpretar información presentada en gráficos de barras dobles.
• Explicar por medio de ejemplos que los gráficos de barras dobles muestran información específica.
• Mostrar que cada parte de un gráfico circular es un porcentaje de un todo.
• Interpretar información presentada en gráficos circulares en términos de porcentaje.
• Interpretar información presentada en diagramas de puntos.
• Interpretar información presentada en diagramas de tallo y hojas.
• Comparar distribuciones a partir de diagramas de puntos.
• Determinar el número de combinaciones de eventos en una situación de lanzamiento de dados.
• Conjeturar acerca de la probabilidad de ocurrencia de eventos relativos a lanzamientos de monedas o dados.
26 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
CIERRE / 20 minutos
• Una vez finalizada la prueba invite al curso a comentar las preguntas.
• ¿Qué les pareció la prueba? ¿Cuáles problemas fueron más difíciles de responder? ¿Por qué?
TAREA PARA LA CASA / 10 minutos
• Resolver las actividades de la clase 10 relativas a sudokus.
Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
27
PLAN DE CLASE Nº 11
Objetivo de la clase:
• Revisar las preguntas de la prueba y
retroalimentar a los estudiantes, en los ítems que
hayan presentado mayor dificultad.
INICIO / 15 minutos
• Explique que revisarán y resolverán colectivamente algunos problemas y ejercicios de la prueba.
• Pida que comenten cuáles fueron las preguntas más difíciles de responder y por qué.
• Priorice las que fueron resueltas en forma incorrecta u omitidas por un gran porcentaje de estudiantes. Para ello,
complete la información de la sección de orientaciones para el análisis de los resultados de la prueba.
• Como propuesta, en el Cuaderno de trabajo se han seleccionado aquellas preguntas que podrían haber presentado
un mayor grado de dificultad, por el nivel de complejidad involucrado en el ítem. No obstante, usted puede analizar otros ítems según los resultados de su curso.
DESARROLLO / 55 minutos
• La Actividad 1 aborda principalmente preguntas de representación de datos absolutos (gráfico de barra) y relativos
(gráfico circular). En los problemas es posible que se observen dificultades relacionadas con la interpretación de
los gráficos.
• El problema 1 tiene una complejidad importante, por cuanto tienen que decidir cuál es la información que se
puede extraer de esta representación.
• En el problema 2, la relación entre número de votos y porcentaje de preferencia puede generar alguna dificultad;
evalúe quiénes distinguen la cantidad real, absoluta, de la cantidad relativa, porcentual.
• Pida que trabajen en parejas la Actividad 2, que está asociada a la identificación e interpretación de diagramas que
representan distribuciones de datos.
• El problema 1 muestra dos diagramas de punto en los cuales el comportamiento de la distribución es creciente. El
problema radica en describir y comprender tal comportamiento, interpretando en forma adecuada el significado
de los puntos en relación al contexto de la situación.
• El problema 2 presenta un diagrama de tallo y hoja, en donde se busca evaluar la comprensión y posibilidades de
descripción de las distribuciones. Evalúe que interpreten en forma adecuada tanto la lectura de datos individuales,
como la distribución respecto de la agrupación de un conjunto de datos.
• La Actividad 3 corresponde a los ítems asociados a conjeturar medidas de las opciones de ocurrencia de eventos.
En ambos problemas se ha indicado un espacio para que representen el diagrama de árbol que permita sostener el
análisis del cálculo de la probabilidad. De este modo, se ofrece un soporte a la argumentación de quienes pudieran
emprender procedimientos multiplicativos en la determinación del número de combinaciones y posibilidades.
28 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
CIERRE / 20 minutos
En la socialización respecto a los conceptos trabajados en la clase, gestione lo siguiente:
• Pregunte: ¿Qué conceptos o procedimientos no tenían claros y ahora los entendieron?
• Sintetice las respuestas y pida que las escriban en el cuaderno. Usted vaya anotando sus respuestas en la pizarra.
• Es importante que permita que expliciten la dificultad que tuvieron, cuál es el error que cometieron, por qué lo
cometieron, y cómo se debía resolver el problema.
Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
29
MATEMÁTICA / 6° BÁSICO
ORIENTACIONES PARA EL ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA PRUEBA
Información
Indicador de evaluación del curso
% L % NL
Ítem
Orientaciones remediales
Interpretar información
presentada en gráficos de
barras dobles.
En este ítem, las alternativas están formuladas como preguntas.
Pida que utilicen el gráfico para responder
las preguntas.
Pregunte constantemente si la respuesta a la
pregunta de la alternativa la obtuvieron de
la información representada.
Es posible que bajo esta estrategia, niños y
niñas se den cuenta que la alternativa B. no
puede ser respondida. Si no es así, verifique
las respuestas propuestas (por ejemplo, “porque los niños no estudiaron”) y pida indicar
el lugar del gráfico en donde está dicha información.
11. Observa los siguientes diagramas de Comparar distribuciones
a partir de diagramas de
puntos.
puntos.
Región de Coquimbo
Región de Biobío
Esta pregunta es similar a la anterior en su
nivel de reflexión e interpretación, por lo que
se puede configurar una estrategia común
para abordar ambas preguntas.
En este caso particular, una acción específica
es identificar en los gráficos el lugar en que
se encuentran los datos que sustentan cada
una de las afirmaciones.
Al llegar a la alternativa D. verifique que contrastan la interpretación de los puntos del
gráfico, dado por el contexto y el título, con
la interpretación propuesta en la alternativa.
En particular, indique que analicen el diagrama columna por columna, con el objeto de
reconocer que no tiene sentido sumar estas
cantidades.
4. Observa el siguiente gráfico:
Resultados de una prueba de matemática de 5 preguntas en el 6° A
Nº de alumnos
40
35
30
25
20
15
10
5
0
P1
P2
correctas
P3
P4
P5
incorrectas
¿Cuál de las siguientes preguntas NO
se puede responder con los datos del
gráfico?
A. ¿Cuántos alumnos tiene el curso?
B. ¿Por qué al curso le fue mal en la
pregunta 5?
C. ¿Cuántos niños obtuvieron una respuesta correcta en la pregunta 4?
D. ¿Cuál es la diferencia entre las cantidades de respuestas correctas e
incorrectas en la pregunta 2?
2006 2007 2008 2009 2010
2006 2007 2008 2009 2010
¿Cuál de las siguientes afirmaciones
es FALSA?
A. En ambas regiones se observó un
crecimiento en los años 2007 y 2010
respecto al año anterior.
B. Se observa un sostenido aumento
del parque automotriz en las dos
regiones.
C. La región del Biobío muestra un crecimiento del parque automotriz más
fuerte que en la región de Coquimbo.
D. Al observar los gráficos de ambas
regiones, se observa que en total
hay 68 automóviles por cada 10.000
habitantes.
30 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
MÓDULO Nº 4: DATOS Y PROBABILIDADES
Ítem
Indicador de evaluación
12. Observa el siguiente diagrama de tallo Interpretar información
presentada en diagramas
y hojas:
de tallo y hoja.
Temperaturas medias mensuales, región de Biobío,
período 2009-2012
Tallo
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
A.
B.
C.
D.
Hojas
4 9
1 2 8
0 0 2 3 3 4 9
1 1 1 3 5 7
0 3 5 5 6 7 7
0 0 2456
4 5 8
1 1 5
0 0 2 4 5
0 3 5 5 6
5
¿Cuál de las siguientes afirmaciones
es FALSA?
La menor temperatura registrada fue
de 7,9°.
La mayor temperatura media registrada
fue de 17,5°.
En el período se observó una gran cantidad de temperaturas medias entre los
9° y los 13°.
Solo en un mes se registró una temperatura media superior a los 17°.
14. Al lanzar un dado dos veces, ¿cuál es Conjeturar acerca de la
la probabilidad de que la suma de los probabilidad de ocurrencia de eventos relativos a
puntajes sea 12?
lanzamientos de monedas
A. 1
o dados.
6
B.
1
36
C.
2
36
D.
12
36
15. El Se quiere lanzar una moneda cuatro Conjeturar acerca de la
veces. ¿Cuál es la fracción de opciones probabilidad de ocurrende que salgan exactamente 2 sellos? cia de eventos relativos a
lanzamientos de monedas
8
A. 16
o dados.
B.
6
16
C.
5
16
D.
4
16
Información
del curso
% L % NL
Orientaciones remediales
Al igual que en los casos anteriores, la estrategia se basa en contrastar las afirmaciones
con los datos del diagrama, verificando que
en este proceso la información sea bien interpretada.
En el caso de esta pregunta, se debe establecer si la lectura de los datos individuales obedece a la regla de construcción del
diagrama respecto del orden de los datos en
la columna de las hojas.
Es probable que bajo este esquema, sean
varios los estudiantes que evoquen este orden
como un criterio para distinguir la respuesta
incorrecta.
En estas preguntas, pida que indiquen cómo
resolvieron los problemas. Es probable que la
principal fuente de error sea haber intentado
resolver la pregunta mentalmente.
Indique que en cada caso registren la representación con el diagrama de árbol respectivo,
y utilice este diagrama para apoyar la argumentación respecto de los procedimientos
multiplicativos de cálculo de las combinaciones.
(*) La columna información del curso debe ser llenada por cada docente, incorporando el porcentaje de estudiantes que contestaron el ítem en
forma correcta (%L) y el porcentaje que lo hizo en forma incorrecta (%NL).
Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica /
31
PAUTA DE CORRECCIÓN / EVALUACIÓN MÓDULO 4
Ítem
Eje
Indicador de Evaluación (extraídos del programa de estudios)
Respuesta
1
Datos y Probabilidades Interpretan información presentada en gráficos de barras dobles.
C
2
Datos y Probabilidades Interpretan información presentada en gráficos de barras dobles.
D
3
Datos y Probabilidades
Explican por medio de ejemplos que los gráficos de barras dobles
muestran información específica.
C
4
Datos y Probabilidades Interpretan información presentada en gráficos de barras dobles.
B
5
Datos y Probabilidades
Muestran que cada parte de un gráfico circular es un porcentaje
de un todo.
A
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Datos y Probabilidades
Muestran que cada parte de un gráfico circular es un porcentaje
de un todo.
B
7
Datos y Probabilidades
Interpretan información presentada en gráficos circulares en términos de porcentaje.
B
8
Datos y Probabilidades
Interpretan información presentada en gráficos circulares en términos de porcentaje.
A
9
Datos y Probabilidades Interpretan información presentada en diagramas de puntos.
C
10
Datos y Probabilidades Interpretan información presentada en diagramas de tallo y hojas.
B
11
Datos y Probabilidades Comparan distribuciones a partir de diagramas de puntos.
D
12
Datos y Probabilidades Interpretan información presentada en diagramas de tallo y hojas.
A
13
Datos y Probabilidades
Determinan el número de combinaciones de eventos en una situación de lanzamiento de dados.
C
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Datos y Probabilidades
Conjeturan acerca de la probabilidad de ocurrencia de eventos relativos a lanzamientos de monedas o dados.
B
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Datos y Probabilidades
Conjeturan acerca de la probabilidad de ocurrencia de eventos relativos a lanzamientos de monedas o dados.
B
32 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 6° básico / Guía Didáctica
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