Docentes: Sr. Ricardo Carrillo Srta. Claudia Barrientos Departamento de Matematica Curso: Segundo Medio Unidad 1: Datos y Azar Guía N° 2 - 2012 GUIA MATEMATICA ¿Qué aprenderé? 1. Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en experimentos aleatorios finitos, usando más de una estrategia. 2. Resolver problemas referidos a cálculo de probabilidades, aplicando el modelo de Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las características del experimento aleatorio. Analizo la siguiente situación: Una experiencia aleatoria consiste en preguntar a tres personas distintas, elegidas al azar, si son partidarias o no de consumir un determinado producto. Se desarrolla el espacio muestral asociado a dicho experimento, utilizando la letra "S" para las respuestas afirmativas y "N" para las negativas, se puede observar en el diagrama. a) ¿Qué significa 1°, 2° y 3° nivel? b) Escribo el espacio muestral en forma de conjunto. c) ¿Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el suceso " al menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto"?, anoto estos elementos. d) Describo el suceso contrario de "más de una persona es partidaria de consumir el producto" 2) ¿Cuál de las siguientes situaciones corresponde a un experimento aleatorio? a. Lanzar un avión de papel y medir la distancia a la que cae. b. Elegir un número par al azar y anotar el resto que se obtiene al dividirlo por 2. c. Escoger una letra del abecedario y que sea consonante. Justifico mi respuesta. 6) Si Ana(A), Bastián(B), Diego(D), Juan(J) y Pedro(P) están postulando a ser presidente, tesorero y secretario, ¿cuántas posibilidades de formar la directiva se tienen? 7) Si el experimento es “lanzar un dado y una moneda”, ¿Cuál es el espacio muestral? 8) Expreso como conjuntos los espacios muestrales de los siguientes experimentos: 3) Al lanzar una moneda al aire, el espacio muestral a) lanzar dos monedas y observar lo que sale. que se obtiene es: b) jugar dos personas al “cachipún” y observar sus resultados. 4) Cual es la cardinalidad del espacio muestral “lanzar c) lanzar dos dados de cuatro caras, cada una marcadas una moneda 10 veces” con las letras A, B, C, D, y observar las marcas de sus caras superiores. 5) Escribo el espacio muestral de lanzar dos dados hexagonales 9) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral “lanzar un dado de 12 caras, 5 veces y observar sus caras superiores” Técnicas de Conteo y Probabilidades Reviso la siguiente situación: Camila quiere crear un blog mediante una página que ofrece la posibilidad de construirlos automáticamente eligiendo sus componentes al azar. Los blog se pueden generar utilizando 2 plantillas diferentes (formal y diario) y 4 opciones para el color de fondo (violeta, verde, amarilla y anaranjado). ¿Cuál es la probabilidad de que el blog de Camila sea diario y tenga color violeta de fondo? Esta situación se reduce a observar el espacio muestral y ver cuáles de éstos cumplen con el suceso A: “blog de color violeta”. Para esto utilizaremos la técnica de conteo llamada diagrama de árbol 2 modelos de plantillas de blog 4 colores disponibles Blog de Camila Este espacio muestral tiene, claramente, 8 elementos (los 8 diseños de plantillas) y el diseño que Camila quiere es 1, luego la probabilidad de que este suceso ocurra es 1 de 8, es decir: P(A) casos favorales 1 casos posibles 8 Ahora, Camila desea saber cuál es la probabilidad de obtener un blog de color violeta (B). Si observamos el diagrama de árbol, los casos favorables son 2, por lo que la probabilidad de este suceso es 1 de 4, es decir: P(B) casos favorales 2 1 casos posibles 8 4 En los casos anteriores, es sencillo determinar la probabilidad mediante la construcción del diagrama de árbol, sin embargo, si se agrega, por ejemplo, la posibilidad de elegir entre 7 tipos de letras y 10 imágenes de fondo diferentes, la construcción del diagrama se volvería muy engorrosa, por lo que es necesario utilizar otras técnicas de conteo. ¿Por qué Camila obtuvo 8 posibilidades para el blog? Al observar el diagrama, primero se tienen 2 opciones de plantillas, y cada una de ellas tiene a la vez 4 tipos de colores, por lo que al calcular 2 4 se obtienen las 8 posibilidades, ¿qué ocurriría si se tienen 3 opciones de plantillas y 5 colores?, se tendrían 15 posibilidades, ya que 3 5 15 . Este método se conoce como Principio Multiplicativo. El principio multiplicativo es posible extenderlo a procesos que tengan más de dos pasos. Por ejemplo, si para construir el blog se tienen 3 tipos de plantillas, 5 colores y 7 imágenes de fondo, en total sería: 3 5 7 105 La regla del producto, que dice lo siguiente: Supón que un evento tiene m posibilidades de suceder y otro evento tiene n posibilidades. Entonces hay m · n maneras de que ocurran ambos eventos simultáneamente. Desarrollo en mi cuaderno, cada una de los ejercicios siguientes: 1) Andrea tiene en su armario dos pantalones, uno de color azul y el otro de color verde; y tres abrigos, de colores azul, verde y blanco. a) Si escoge un pantalón y un abrigo para vestirse, ¿de cuántas maneras diferentes puede hacerlo? b) Si escoge un abrigo y un pantalón al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el pantalón sea azul? 2) se realiza el experimento de lanzar un dado de seis caras y una moneda. a) Determina el espacio muestral construyendo un diagrama de árbol. b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara y un número mayor que cuatro? c) ¿Cuál es la Probabilidad de obtener un número primo? d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener sello? 3) Si existen 4 caminos para viajar de la ciudad A a la ciudad B y 5 caminos para viajar de la ciudad B a la ciudad C, ¿cuántos caminos distintos se pueden recorrer para viajar de la ciudad A a la ciudad C? 4) Un matrimonio desea tener cuatro hijos(as): a) Escribo el espacio muestral de la situación. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el matrimonio tenga 2 hombres y dos mujeres? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el matrimonio tenga más de 2 hombres? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el matrimonio no tenga hombres? PERMUTACIONES, es una segunda forma de contar, éste consiste en contar los distintos ordenamientos de un grupo de objetos diferentes, si los objetos son n, las permutaciones se anota Pn y se calculan: Pn n! Analizo el siguiente ejemplo: Se tienen tres personas, sus nombres son A, B y C. ¿Cómo puedo ordenar estas tres personas? Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 A–B–C A–C–B B–A–C B–C–A C–A–B C–B–A En este caso, como interesa el orden, es una permutación: P3 3! P3 3 2 1 6 formas distintas Ahora, Victor juega con dos urnas. Una de ellas contiene 3 letras (A, B y C) y la otra, 2 números (1 y 2). Para ganar, Victor debe acertar el orden de extracción de las letras y de los números. Para las letras, son 6 posibilidades totales de orden, ya que P3 3! 6 Para los números, son 2 posibilidades totales de orden, ya que P2 2! 2 Al aplicar el principio multiplicativo, este nuevo juego tiene 12 resultados totales, pues P2 P3 2 6 12 Ejercicios, los desarrollo en mí cuaderno y compruebo mis resultados con mi compañero(a): 1) En una fila del cine se deben sentar 5 papás con sus respectivos hijos, de modo que el hijo esté a la derecha del papá. ¿de cuántas formas distintas pueden hacerlo? 2) En una fila se sientan 6 mujeres y 5 hombres. ¿de cuantas maneras se pueden ordenar si las mujeres deben estar juntas y los hombres también? 3) En una reunión hay 4 oradores (Victoria, Antonio, Rubén y Marco). Como Marco es el mejor orador de los cuatro, nadie quiere hablar después de él. Con esta condición, ¿de cuantas formas se pueden ordenar los turnos de los otros oradores? 4) Una urna contiene 6 bolitas numeradas del 1 al 6. a) Si se extraen al azar las 6 bolitas sin devolver ninguna a la urna, ¿cuál es la probabilidad que se forme el número 654321? b) Si se extraen al azar las 6 bolitas sin devolver ninguna a la urna, ¿cuál es la probabilidad de que la primera bolita sea un número impar? c) Si se extraen al azar las 6 bolitas sin devolver ninguna a la urna, ¿cuál es la probabilidad que el 3 se ubique al lado del 4? VARIACIONES: La variación también se conoce con el nombre de r-permutación, ya que de n objetos diferentes, se ordenan r de los n objetos. Es decir, una r-permutación consiste en seleccionar r objetos de un total de n y a continuación darle al conjunto de r objetos seleccionados un orden específico. Cada r-permutación será diferente de otra, ya sea por los elementos que la componen o por su orden de colocación. Una variación se puede representar por las expresiones: Vrn , V(n,r) o n Pr Vrn V(n,r) n! sin repeticiones y (n r)! n Vr nr con repetición de elementos Analizo el ejemplo siguiente: Una urna contiene bolitas de color azul, rojo y verde. Si se extraen dos bolitas de la urna en dos situaciones distintas, con y sin reposición, ¿en cuál de los dos casos el valor de la probabilidad de que salga primero una bolita roja y después la azul es mayor?. Los casos posibles se representan en el siguiente dibujo V(3,2) Con repetición 3 3 32 9 Caso Favorable Según lo obtenido, ¿cuál es la respuesta?, justifico. 3! 6 (3 2)! Sin repetición Ejercicios, resuelvo en mí cuaderno, debo analizar si hay repetición o no: 1) ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5? 2) ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5? 3) ¿De cuántos partidos consta un campeonato formada por cuatro equipos? 4) ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos? 5) ¿Cuántas palabras distintas de 4 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando solo las letras D, E y O? ¿Cuál es la probabilidad de que se forme la palabra DEDO? COMBINACIONES: Una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo, en otras palabras, NO interesa el orden. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos. La fórmula para determinar el número de combinaciones de n elementos, tomados de r en r es: C(n,r ) n! (n r)! r! Cnr n Cr C(n,r ) )= Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos ¿Qué diferencia hay entre una variación y una combinación? Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras: "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada. Esto es una combinación. "La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2. Esto es una Variación. Ejercicios, resuelvo en mí cuaderno, debo analizar que método de conteo utilizo: 1. Calcula el número de patentes que se podrían formar con tres letras y tres dígitos, sin considerar vocales ni la Ñ ni la Q. 2. ¿De cuántas maneras pueden sentarse cinco personas en una fila de ocho sillas? 3. Un cargamento de cajas de manzanas contiene 20 cajas. De estas, hay tres cajas que están malas. El supervisor realiza el control de calidad del cargamento seleccionando dos cajas. a. ¿De cuántas maneras puede seleccionarlas? b. ¿De cuántas maneras puede seleccionar una caja mala y una caja buena? 4. Los números de teléfono de la empresa tienen un prefijo seguido de cuatro cifras, como por ejemplo 678-XXXX. La empresa necesita instalar 10 001 teléfonos. ¿Tendrá números suficientes para asignar uno diferente a cada teléfono? 5. ¿Cuántas sumas de dinero diferentes se pueden hacer con una moneda de $ 5, una de $ 10, una de $ 50 y una de $ 100 utilizando siempre al menos una moneda? 6. Determina cuántas palabras de k letras (considera k 5) se pueden formar con las letras a, b, c, d y e, de modo que: a. no se repita ninguna letra. b. la letra c aparezca solo una vez y las otras letras se puedan repetir. c. la letra c aparezca al menos una vez y las otras letras se puedan repetir. 7. Para la misma cantidad de elementos, ¿hay más permutaciones que combinaciones o al revés?
