2. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES Proporcionalidad Variación Proporcional Razón Porcentajes Serie de Razones Aumento o disminución porcentual Proporción Porcentajes Sucesivos Teorema Fundamental de las Proporciones Aplicaciones de Porcentajes Porcentajes de Ganancia Propiedades IVA Prporcionalidad Directa Prporcionalidad Inversa Porcentajes de Pérdida Prporcionalidad Compuesta IPC Representación Gráfica Matemática Financiera Interés Interés Simple Capital Interés Compuesto Anualidad de Capitalización Amortización De Préstamos Crédito 2.1 Razones y proporciones Aprendizaje Esperado Aplica teoremas y propiedades de las razones y proporciones en la resolución de problemas. Criterio De Evaluación Utiliza razones para comparar cantidades dadas. 1. En 1999 la utilidad neta de una empresa fue de $53.126 siendo su activo total de $134.930. ¿Cuál fue la razón de la utilidad neta al activo total? 2. Una librería, cuya existencia promedio de mercancía es de $30.000 obtuvo una utilidad de $36.000 sobre una venta de total de $180.000 en el año anterior. Encontrar: a) La razón del total de ventas al inventario promedio. b) La razón de la utilidad a la venta total. 3. La eficiencia de un proceso administrativo se define como la razón entre la cantidad de operaciones de salida realizadas satisfactoriamente y el número de operaciones totales ingresadas. Si ingresan 6.000 operaciones y salen 4500 de ellas. ¿Cuál es la razón de eficiencia? 4. La razón entre dos cantidades es 0,8. Si el antecedente es 4, ¿Cuál es el consecuente? Criterio De Evaluación Calcula el término desconocido de una proporción, aplicando propiedades y el teorema fundamental de las proporciones.. 5. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son proporciones? a) e) b) f) c) d) 6. g) h) Halla el término desconocido en: a) f) b) g) c) d) e) h) i) 7. Calcula la media proporcional geométrica entre: 1 1 y 4 9 b) 49 y 0,25 c) 2 y 8 1 1 y3 4 16 e) 0,4 y 0,08 a) 8. d) Calcula la cuarta proporcional entre las siguientes cantidades, tomándolas en el mismo orden: c) 12,5; 10; 2,5 d) 12; 6,4; 3,75 e) 6; 12,5; 2,88 5 1 2 , , 6 4 3 b) 2, 3 y 6 a) 9. 2 Determina la tercera proporcional de los pares siguientes: a) b) e) f) c) g) d) Criterio De Evaluación Aplica teoremas y propiedades de las razones y proporciones en la resolución de problemas. 10. En un curso, la razón entre el número de varones y damas es 3:2. Si el número de damas es 10.¿Cuál es el número de alumnos en total? 15. La razón entre dos números es 8:3 y su diferencia es 55. Calcula la suma de estos números. 11. La altura de una puerta y una ventana en un edificio miden 1,80 m y 1,20 m respectivamente. En la maqueta, la puerta corresponde a 6 cm ¿Cuál es la altura de la ventana? 16. Dos números están en la razón 5:2. Si sumados dan 42. ¿Cuáles son los números? 12. En un curso, la razón entre el número de varones y damas es 5:4. Si el número de damas es 8. ¿Cuál es el número de alumnos varones? 13. El bronce para campanas se compone de 4 partes de cobre y una parte de estaño. Hállese la cantidad de cada metal que hay en una campana que pesa 8,5 kg.?. 14. Dos números están en la razón 7:4 y la diferencia entre ellos es 36. Hallar los números. 17. Dos personas se reparten $18.000 tal que sus partes están en la razón de 8:4. ¿Cuánto recibe cada uno? 18. La diferencia entre dos números es 48 y están en la razón 9:5. ¿cuáles son los números? 19. Calcular , si: y . 20. La suma de tres números es 36 y están en la razón . Calcular los números. 21. Sea Calcular los valores y . – . 22. Si Calcular tal que 24. Calcular los ángulos interiores de un triángulo, si se cumple la condición: EJ y que la suma de estos ángulos es 180°. . 23. Un segmento de 120 cm se divide en tres partes cuyas longitudes son directamente proporcionales a los números 3, 4, 5. Hallar las longitudes de cada una de ellas. 25. Calcular los ángulos interiores cuadrilátero, si verifican que: de un D E J G y que la suma de estos ángulos es 360°. 2.2 Variación Proporcional Aprendizaje Esperado Aplica variación proporcional para resolver problemas que requieren de estos conceptos para su resolución. Criterio De Evaluación Identifica variaciones proporcionales directas, inversas y conjuntas en fórmulas físicas y/o relacionadas con su especialidad. , donde n es 28. El número de Reynolds se define como: el número de moles, T temperatura absoluta, V volumen del gas y R constante de proporcionalidad. ¿Entre qué variables existe una proporcionalidad directa? , donde Ues la densidad del fluido, v la 26. En la Ley de Gases Ideales: 27. En la fórmula física: existe entre la velocidad velocidad característica del fluido, D diámetro de la tubería través de la cual circula el fluido y P viscosidad cinemática del fluido. ¿Qué tipo de relación hay entre la velocidad del fluido y las demás variables? . ¿qué tipo de relación y el tiempo ? Criterio De Evaluación Aplica conceptos de variación directa, inversa, conjunta y combinada para plantear fórmulas en base a problemas dados. 29. Plantear las formulas correspondientes: a) A es inversamente proporcional al cuadrado de B. b) A es directamente proporcional al cubo de B c) La iluminación I, producida por una fuente de luz varía inversamente proporcional con respecto al cuadrado de la distancia, d, desde la fuente. d) La presión P en el fondo de una piscina varía directamente con la profundidad h. e) La potencia P requerida para impulsar una embarcación varía directamente con el cubo de su velocidad v. f) El peso W de un bloque rectangular de metal varía conjunta y directamente con la longitud a, la anchura b y el espesor c de bloque g) La cantidad de carbón C empleada en un barco de vapor que viaja a una velocidad uniforme varía conjuntamente con la distancia viajada d y el cuadrado de la velocidad v. h) La masa m de una persona varía directamente con el cubo de su altura h. i) Si a obreros construyen una casa en t días, trabajando h horas diarias, determine la relación que permite determinar el número de obreros que se requiere para construir la misma casa en T días, trabajando H horas diarias. Criterio De Evaluación Aplica los conceptos y propiedades de variación proporcional directa, inversa, conjunta y combinada para resolver problemas relacionados con fenómenos naturales, económicos y/o sociales. 30. Completa las siguientes tablas, identificando si es Variación Proporcional Directa o Variación Proporcional Inversa: A B A B A B A B 810 270 162 54 2 3 15 10 0,5 1 x 2 1 t 120 60 y 18 w 7,5 2 z 3 40 31. Hugo gana $540.000 mensuales (considerando 30 días). ¿Cuánto dinero gana en 10 días? 32. Si 10 obreros construyen una casa en 6 meses, ¿cuánto tiempo demoran en construir una casa similar 15 obreros trabajando la misma cantidad de horas diarias? 33. Un rectángulo cuyo ancho mide 8 cm y su largo 12 cm, tiene un área de 96 cm2. ¿Qué ocurre con el ancho si su longitud aumenta a 16 cm y su área permanece constante? 34. Una persona camina 350 metros en 15 minutos, ¿cuántos kilómetros caminará en una hora y media? 35. Una guarnición de 1600 hombres tiene víveres para 10 días a razón de 3 raciones diarias cada hombre. Si se refuerzan con 400 hombres, ¿cuántos días durarán los víveres si cada hombre toma 2 raciones diarias? 36. Tres hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días. ¿Cuántos días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la misma obra? 37. Una empresa constructora estima que son necesarios 30 obreros para terminar una obra en 3 meses trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos obreros necesitarían para terminar la obra en 2 meses, trabajando 6 horas diarias? 38. Si 10 ampolletas originan un gasto de $6.000 al mes si se encienden 6 horas diarias. ¿Cuántas ampolletas se deben apagar para que el gasto sea de $4.000 si se encienden 5 horas diarias? 39. En un taller de confecciones, 6 operarios hacen 100 polerones en un día, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos operarios serán necesarios para hacer 500 polerones en dos días, trabajando la misma cantidad de horas diarias? 40. Si 3 secretarias tardan 21 días en escribir a máquina un texto, entonces, ¿cuántos días requieren 7 secretarias para escribir dos textos iguales al anterior, si trabajan a un ritmo similar? 41. Un grupo de 10 jóvenes realizó una excursión ciclística por 20 días, el costo total resultó ser $300.000. ¿Cuánto dinero gastarán 8 muchachos en una excursión similar cuya duración será de 25 días? 42. Si 10 obreros se demoran 4 días en pavimentar una calle, ¿cuánto se demoran 15 obreros en hacer el trabajo, trabajando la misma cantidad de horas diariamente? 43. Para una biblioteca pública se dispone de $150.000 que alcanzan para comprar 120 libros. Si se recibe una donación de $375.000, ¿cuántos libros del mismo tipo se pueden comprar? 44. Cuatro llaves llenan una piscina con una capacidad de 18 m3 en 12 horas. ¿Cuánto tiempo se necesita para llenar la misma piscina con 3 llaves? 45. Un tren tarda cuatro horas en ir de la ciudad A a la ciudad B a una velocidad de 80 km/h. ¿A qué velocidad promedio debe ir si necesita llegar 45 minutos antes? 46. Se desea limpiar un canal en dos semanas; se sabe que el año pasado se debió realizar el mismo trabajo y que 21 obreros ocuparon 30 días, ¿cuántos obreros es necesario contratar? 47. Ocho trabajadores realizan una obra en 12 días. Para concluirla en 6 días menos, ¿cuántos trabajadores más se necesitarán? 48. Si A es directamente proporcional al cuadrado de B y además, cuando . ¿Cuál es el valor de A, cuando B=9? 49. La iluminación I, producida por una fuente de luz varía inversamente proporcional con respecto al cuadrado de la distancia, d, desde la fuente. Si la iluminación producida a 15 pies de la fuente de luz es 48 bujías-pie (unidad de medición de la iluminación). ¿Cuál es la iluminación producida a 12 pies de la fuente de luz? 50. El peso de un bloque rectangular de metal varía conjunta y directamente con la longitud, la anchura y el espesor de bloque. Si el peso de un bloque de aluminio de 12 pulgadas 8 pulgadas 6 pulgadas es de 18,7 Libras, calcula el peso de un bloque de 16 pulgadas 10 pulgadas 4 pulgadas. 51. La cantidad de carbón empleada en un barco de vapor que viaja a una velocidad uniforme varía conjuntamente con la distancia viajada y el cuadrado de la velocidad. Si un barco quema 45 toneladas de carbón al viajar 80 millas a 15 nudos, ¿cuántas toneladas empleará si viaja 120 millas a 20 nudos? 2.3 Porcentaje e interés Aprendizaje Esperado Utiliza fórmulas y conceptos de porcentaje, interés simple y compuesto para resolver problemas de aplicación. Criterio De Evaluación Calcula porcentajes de cantidades dadas. 52. Calcula: a) de 250 b) 15% de 462 c) 25% de 9,6 d) 2,3% de 48,72 e) f) g) de 1236 h) 2% de 7 i) 18% de 76 j) de 18 k) 35% de 180 l) 42% de 1250 0,75% de 24 de 112,3 53. ¿Qué tanto por ciento: a) b) c) d) e) de 8 es 7? de 7,2 es 18,5? es 3,25 de 5,5? de 860 es 129? de 30 es 6? f) g) h) i) es 0,64 de 512? de 1600 es 320? de 86 es 172? es 75 de 1250? Criterio De Evaluación Calcula un número, dado el porcentaje que otro número es más o menos que él. 54. ¿De qué número es: a) b) c) d) e) f) 3 el 75%? 22,4 el 75%? 35 el 5%? 60 el 90%? 76 el 10% 20 el 80%? g) 12 el 2%? h) 15 el 60%? i) el 25%? j) 4 el 19%? 55. ¿De qué número es: a) 48 un 20% menor? b) 208 un 4% mayor? c) 276 el 8% menor? d) 30 un es mayor? Criterio De Evaluación Aplica conceptos y métodos de cálculo de porcentajes, para resolver problemas relacionados con fenómenos naturales, económicos y/o sociales. 56. El metal blanco se compone de 3,7% de cobre, 88,8% de estaño y 7,5% de antimonio. ¿Cuántos kilos de cada metal hay en 465 kg.? 65. Un comerciante vende carbón a $280.000 la tonelada. Si su ganancia es del 12%, ¿cuánto le cuesta el carbón? 57. El fabricante de cierta marca de automóviles calcula sus costos como sigue: materiales, 38,5%; mano de obra 41,25%; gastos generales 6,5% y ganancia 13,75%. Hallar el costo de cada una de estas partidas en un automóvil que se vende a U$ 8.500. 66. ¿Qué número aumentado en un 15% equivale a 437? 58. Cierto mineral rinde el 4,25% de hierro. ¿Cuántos kilos de hierro hay en una tonelada de ese mineral? 59. Si sobre una factura de $242.850 se hace un descuento del 2%, ¿Cuánto hay que pagar? 60. A un mecánico que gana $28.500 por semana le redujeron el salario en un 15%. ¿Cuánto gana después de la reducción? 61. Un comerciante vende un artículo en $3.600, perdiendo un 10%. ¿Cuánto le costó el artículo? 62. Una tonelada de mineral contiene 80 kg. de hierro. ¿Qué tanto por ciento del mineral es hierro? 63. Para hacer 95 kg. de soldadura empleamos 11,5 kg. de plomo y 83,5 kg. de estaño. ¿Qué % de cada metal se utilizó? 64. Una persona paga $5.750 por un artículo y después lo vende por $6.500. ¿Qué % de ganancia obtiene? 67. Si se aumenta en un 8% el precio de un artículo, el nuevo precio queda en $162. ¿Cuál era el precio primitivo? 68. Los gastos que demandan en una empresa los departamentos de personal, marketing y finanzas son de $36.000.000 mensuales y están en la razón . a) ¿Cuál es el gasto del departamento de marketing, en un período de un año? b) Qué porcentaje representa el gasto anual del departamento de personal? 69. Un comerciante compra un producto en $250.000 la unidad, precio neto, pero desea obtener una ganancia de un 15% sobre el precio neto. Determinar: a) precio de venta al público (IVA incluido) b) monto del IVA declarado por el comerciante 70. Si una máquina vale a pesos y por motivo de incendio de la fábrica se vende en b pesos ( ). ¿Qué porcentaje perdió la empresa por la venta de la máquina? Criterio De Evaluación Aplica las fórmulas de interés simple y compuesto para resolver problemas de aplicación. Interés Simple: Interés Compuesto: 71. Una empresa invierte en un depósito financiero 6 millones de pesos a un 5% anual simple durante tres años. ¿Cuánto ganará la empresa por concepto de intereses? 72. Un granjero ha decidido invertir los beneficios de su cosecha, 850.000 pesos, en un depósito al 3% anual simple durante cinco años. ¿cuánto retirará? 73. Determina el capital final equivalente a $6.000.000 mediante capitalización simple dentro de dos años y medio sabiendo que el tipo de interés simple anual es del 5%. 74. ¿Cuáles son los intereses producidos por un capital de 3.000 UF prestado a un interés simple anual del 2,5 % durante dos trimestres? ( 1 año tiene 4 trimestres) 75. Calcula los intereses resultantes de una operación en la que a partir de un capital de $127.830 se obtiene un capital final equivalente a un 125 % del capital inicial. 76. ¿Qué tiempo estuvo invertido un capital de 22.000 UF al 2% de interés simple anual, si los intereses fueron de 4.400 UF.? 77. ¿Cuánto tiempo tardaría un capital colocado al 8% de interés simple anual en transformarse en el triple del mismo? 78. Tengo unos ahorros colocados de la siguiente manera: x 20.000 UF al 2% de interés simple trimestral x 30.000 UF al 1% de interés simple mensual x 5.000 UF al 4,5% de interés simple semestral ¿Cuál es el capital final si mis ahorros están colocados durante un año y medio? 79. Determinar los intereses y el capital final producido por UF 50.000 al 15% de interés compuesto anual, durante 1 año. 80. Determinar los intereses generados por un capital de UF 30.000, durante 5 meses, al 15% de interés compuesto anual. 81. Tenemos una obligación por UF 12.000, a ser liquidado dentro de 10 años. ¿Cuánto invertiremos hoy al 9% anual compuesto, con el objeto de poder cumplir con el pago de la deuda? 82. Una empresa deposita $ 700.000. a una tasa de interés compuesto anual del 24%, capitalizable mensualmente, ¿cuál será el monto acumulado en 4 años? 83. Usted deposita $ 1.200.000 al Banco Inacap durante 260 días a una tasa de interés compuesto anual del 7%, capitalizable mensualmente, ¿Cuánto dinero retirara al término de los 260 días? 84. Determine la tasa de interés compuesto anual, a la que deben invertirse $3.230.000. para que en 7 años se obtenga un capital final de $4.234.890. SOLUCIONES 1. 53.126 2. a) 6 : 1 b) 1: 5 134.930 3. 3: 4 4. 5 5. Son proporciones b) d) e) f) g) h) 6. a) 7 b) 2,4 c) 8 d) 30 e) 0,6 f) 4 g) 3 h) 35 1 21 i) 2 7. a) b) 3,5 c) 4 d) e) 0,1789 8 8 6 9 1 1 8 b) 9 c) 2 d) 2 e) 6 9. a) b) -32 c) 0,81 d) e) 16 f) 10 g) 2 50 15 5 10. 25 alumnos 11. 4 cm 12. 10 varones 13. 6,8 kg de cobre y 1,7 kg de estaño 14. 84 y 48 15. 121 16. 30 y 12 17. $12.000 y $6.000 18. 108 y 60 19. x = 15; y = 25; z = 10 20. 8, 12 y 16 21. a = 35; b =25; c = 10 22. x = 24; y = 15; z =6 23. 30, 40 y 50 cm 24. 50°; 30° y 100° 25. 66,7°; 80°; 93,3° y 120° 26. P y n; P y T; n y V; T y V 27. Inversamente proporcional 28. Directamente proporcional con: número de Reynolds y viscosidad. Inversamente proporcional con: densidad y diámetro de tubería. a t h A P k 3 c g)C k dv2 h) m k h B2 k b) 3 k c) I 2 d) P k h e) 3 k f) W k ab 29. a) A i) T H B v d 8. a) 30. y = 90; w = 4; x = 1; z = 4; t = 2 31. $180.000 32. 4 meses 33. El ancho disminuye a 6 cm 34. 2,1 km 35. 12 días 36. 6 días 35. 6 días 37. 6 obreros 38. 60 ampolletas 39. 2 operarios 40. 15 días 41. 18 días 42. La misma cantidad de dinero. 43. 8/3 días 44. 300 libros 45. 16 46. 98,4 km/h 47. 45 obreros 48. 16 49. A = 648 50. 75 51. 20,7 52. a) 20 b) 69,3 c) 2,4 d) 1,12 e) 412 f) 0,18 g) 3,65 h) 0,14 i) 13,68 j) 0,09 k) 63 l) 525 53. a) 87,5% b) 256,94% c) 59,1% d) 15% e) 20% f) 0,125% g) 20% h) 200% i) 6% 54. a) 4 b) 29,87 c) 700 d) 66,7 e) 760 f) 25 g) 600 h) 25 i) 8/3 j) 400/19 55. a) 4 b) 29,87 c) 700 d) 66,7 e) 760 f) 25 g) 600 h) 25 56. Cobre: 17,205 kg; estaño: 412,92 kg; antimonio: 34,875 kg 57. Materiales: US$ 3.272,5; mano de obra: US$ 3.506,25; gastos generales: US$ 552,5; ganancia: US$ 1168,75 58. 42,5 kg 59. $237.993 60. $24.225 61. $4.000 62. 8% 63. 12,1 % de plomo, 87,9% de estaño 64. 13% a b 100 % 65. $250.000 66. 380 67. $150 68. a) $ 12.000.000 b) 20% 69. a) $342.125 b) $ 54.625 70. a 71. $ 900.000 72. $ 977.500 73. $ 6.750.000 74. 37,5 UF 75. $ 31.957,5 76. 10 años 77. 25 años 78. 62.575 UF 79. Capital Final: 57.500 UF, Intereses: 7.500 UF 80. 1.796 UF 81. 5.069,93 UF 82. $ 1.810.949 83. $ 1.261.629 84. 3,94%