art1 matematica

PRÓLOGO
La Universidad Nacional del Nordeste, a través de su Dirección de Articulación de Niveles
Educativos, presentó, en abril de 2003, ante la Secretaría de Políticas Universitarias del Ministerio de
Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación un proyecto de articulación entre Nivel Medio y
Universidad que incluía propuestas de trabajo conjunto entre ambos niveles con el fin de mejorar las
condiciones en que los alumnos realizan el tránsito desde sus establecimientos de enseñanza media hacia
la Universidad. Compartieron la presentación las jurisdicciones educativas de Corrientes y Chaco.
El proyecto respondió a uno de los ejes de la actual gestión de la Universidad: Articulación con otros
niveles del Sistema Educativo, y se sumó a una serie de acciones que encaramos con el fin de optimizar
las condiciones académicas, culturales, sociales y económicas de nuestros alumnos. En este caso, las
acciones están orientadas a trabajar en conjunto con el nivel precedente a fin de colaborar con los
procesos de formación que la Escuela Media lleva adelante.
Dentro de ese marco se produjo el presente material. Está especialmente dirigido a los estudiantes
que realizan el proceso de transición desde la Escuela Media a la Universidad. Sabemos que en esta etapa
se viven experiencias y sentimientos particulares, críticos por el cambio que producen, no solamente en
cuestiones relacionadas con los hábitos de estudio sino también con otras más personales de la vida del
estudiante. Suelen presentarse muchas dificultades pero confiamos en la capacidad que puede desarrollar
cada uno para resolverlas si se dispone de las herramientas adecuadas.
Pensamos estos libros como una alternativa en la formación, para colaborar con ella acortando las
distancias entre lo que aprenden en el secundario o polimodal y lo que deberían saber cuando ingresan en
la Universidad. No están pensados como requisitos de ingreso, sino más bien han sido planteados como
una priorización necesaria, elaborada a partir de los Diseños Curriculares y Contenidos Mínimos de los
Sistemas Educativos de ambas provincias.
Esperamos que sea de utilidad para quienes lo trabajen. Si bien los libros fueron redactados para los
alumnos aspirantes al ingreso en la Universidad, pueden ser empleados para la formación general de
cualquier estudio superior. Asimismo, los docentes de ambos niveles pueden asumirlos como orientación
para la planificación y desarrollo de la enseñanza y, favorecer desde sus propuestas, la preparación para la
transición mencionada.
Los lectores ideales de este material son, pues, los estudiantes del nivel medio, actores principales de
la escena educativa. Confiamos en que este aporte contribuya al logro de un objetivo muy importante,
tanto para la Universidad como para el Nivel Medio:
“Mejorar entre todos la calidad de la educación”.
“Contribuir al ingreso en la Educación Superior con igualdad efectiva de oportunidades”
Arq. Oscar Vicente Valdés
Rector
CAPITULO
NÚMEROS
1
Matemática
IIN
ND
DIIC
CE
E
o
Objetivos
o
Un poco de Historia
o
Los Números Naturales
o
Los Números Enteros
o
Los Números Racionales
o
Los Números Irracionales
o
Los Números Reales
o
Los Números Complejos
o
Características
o
Propiedades
o
Operaciones
o
Representación Gráfica
o
Intervalos Reales
Autor:
Mónica Acevedo
7
Matemática
LOS DISTINTOS CAMPOS NUMÉRICOS
SUS OPERACIONES Y PROPIEDADES
Objetivos:
Lograr que los alumnos puedan operar en forma correcta en cualquiera de estos campos numéricos y
reconozcan e identifiquen las diferencias y particularidades de cada uno de ellos.
Veremos:
Los Distintos Campos de Números. Un poco de Historia y en respuestas a que problemas aparecen.
Los números Naturales y los Naturales con cero; como se operan. Los Enteros y como se operan. Los
Racionales y como se operan. Los Irracionales y como se operan. Los Reales, características y formas de
operar con ellos. Los números Complejos, operaciones.
Este es un tema de Matemática que corresponde a la ARITMÉTICA, parte de la matemática que
estudia los números, particularidades de ellos y formas de operarlos, por ello en este tema nos interesa
que seas capaz de diferenciar los tipos de números y sus formas de operar. Así, por ejemplo, si te
propusiéramos que realices las siguientes sumas:
„
30498 + 56789=
„
„
-123 + 234 =
„
3+ 4=
„
2,584 + (-32,458) =
„
3
1
3 +5 =
4
2
„
1/5 + 2/7=
( 2 + 3. i ) + ( - 5 - i ) =
¿Serías capaz de resolverlas? ¿Reconoces las diferencias?
Esta es una suma de números naturales
30498 + 56789 = 87287
Estos son números complejos
( 2 + 3. i ) + ( - 5 - i ) = - 3 + 2.i
Estos son números enteros
-123 + 234 = 111
Estos son irracionales
Estos son decimales
2,584 + (-32,458) = -29,874
Y estos son números mixtos
Estas son fracciones
1/5 + 2/7= 17/35
3 + 4 = 2+ 3
1
3
1
3 +5 = 9
4
4
2
Recordemos un poco la historia: Cuando el hombre solo contaba sus bienes: ovejas, pieles,
panes, etc. Que producía o necesitaba para vivir, los números que utilizaba eran: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ... 10;
11; … 376; ..498;….
Estos números se llaman NATURALES (N) y se los agrupa como conjunto:
8
Matemática
N = { 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ……}
Pero más tarde se tuvo necesidad de identificar el “no
tener” con un número y así nació el cero.
Conformando un nuevo campo numérico.
.1 . 2 . 3
. 4 .5 .6
.7 .8 ….
N
.0
N0
Este nuevo conjunto de números se llama NATURALES CON CERO (N0) y al conjunto se lo
designó como: N0 = { 0 ; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; …..}
Ambos campos numéricos N y N 0
que continúa indefinidamente.
0 ; 1; 2; ... 99; 100; ...897654….10000000… son una sucesión
Aparecen sobre la necesidad de resolver problemas de conteo u ordenamiento, como por ejemplo
cantidad de vehículos que superan los 100 km. en un minuto, cantidad de árboles de determinada especie
en una zona boscosa, ordenar los grupos de alumnos de los distintos cursos de una escuela, etc.
Si sumamos dos números naturales se obtiene otro número natural; ello se expresa diciendo que la
suma de números naturales es cerrada, pero no podemos restar siempre dos números naturales y obtener
otro número natural, lo que significa que la resta de números naturales es abierta. Por ello decimos que las
únicas operaciones que son cerradas en el campo de los naturales son la adición y la multiplicación . Las
otras operaciones son abiertas.
Inconveniente: En una resta de números naturales, si el minuendo es menor que el sustraendo por
ejemplo: 10 – 50. El resultado no es un número natural. Para resolver este inconveniente, aparecen los:
NÚMEROS ENTEROS ( Z ) que es la unión del conjunto de naturales con cero, a los que se agregan los
números negativos .
Que dan respuestas a todas las restas: 10 – 50 = - 40 .
.0 .1 . 2
. 3 . 4 .5
.6 .7 .8
Los enteros quedan formados así:
N0
-1 Z
-2 -3 4
Z = { … - 1000; … -100 .. -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1; 2 ; 3 ;... 100 ; … 1000; ..}.
Este campo numérico permite resolver fundamentalmente, problemas de distancias respecto de un
punto determinado, hacia la izquierda o derecha, hacia arriba o abajo, gracias a la función valor absoluto
y realizar una amplia gama de comparaciones: mayor temperatura, mayor error, mayor latitud, mayor
altitud o profundidad respecto del nivel del mar… etc…
Pero en este conjunto no siempre podemos dividir; si el numerador es múltiplo del denominador el
resultado es un entero, pero si esto no ocurre como por ejemplo en la división siguiente: 5 ÷ 2 . ¡Este no
es un entero!.
En este campo numérico solamente son cerradas las operaciones de adición, multiplicación y
sustracción. Las restantes operaciones no siempre tienen resultados dentro del mismo campo numérico.
Por ello y sobre la base de poder encontrar siempre el resultado de la división dentro del mismo
conjunto, debemos ampliar nuevamente el campo numérico para resolver el inconveniente surgido.
Aparecen así los números fraccionarios como por ejemplo:
5÷2=
)
5
4
= 1,333333333... = 1,3
= 2,5 y 4 ÷ 3 =
3
2
Observamos que todo número fraccionario admite otra forma de expresión llamada decimal, en sus
dos variantes:
9
Matemática
a) decimales exactos como : 2,5 ;
0, 87 .
Los que resultan de dividir por la unidad seguida de ceros
b) decimales periódicos como : 0,0065656565656565….= 0 ,0065 o bien:
23,91919191919191….= 23, 91
Los que resultan de dividir por 9 o 99 o 999 seguidos o no, de ceros.
Llegamos así al conjunto de los NÚMEROS RACIONALES ( Q ), que se obtiene de reunir a los
enteros con los fraccionarios
)
Q = {..-1000;..- 23, 91 ;..-2 ; - 4/3 ; -1 ; -0,5 ; 0 ; 0,0065 ; ½ ; 1; 1,3 ; 3/2; 1,98; 2; 2,5; 10000000... }
En este campo numérico son cerradas las operaciones de adición, sustracción, multiplicación,
división, y potenciación de exponentes enteros. Y con la aparición de las fracciones y los decimales se
pueden resolver problemas de mediciones, reparticiones, proporciones, porcentajes, probabilidades,
entre otros.
EL NÚMERO IRRACIONAL:
Sin embargo, no podemos resolver operaciones como la raíz cuadrada de un número primo:
2 , 3 , 5 , o el valor de la serie
 1
lim1 + 
x→∞
 x
x
o el cociente entre la longitud de una circunferencia
y su radio, que son números de infinitas cifras decimales no periódicas, a las que denominaremos
IRRACIONALES
Porque en este conjunto no están contempladas estas expresiones:
a) El notable π = cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro =
= 3,1415926535914039784825424142192796639198932348258….
b) El valor de la serie que determina el número:
e=
 1
lim1 + 
x→∞
 x
x
= 2,7182818284585634112778506062026423767855844836186….
c) La raíz cuadrada de un número primo:
2 = 1,4142135623715001869770836681149255771134042294366…..
3 = 1,7320508075679720934607339370753341607693109857461…..
5 = 2,2360679774984977140529041149197687930865821946597…..
d) la raíz cúbica de un número primo:
3
Entre otros…
10
5 = 1,7099759466764243344373376301308955059856658270853….
Matemática
Por ello, ampliamos nuevamente el campo numérico agregando los Irracionales
Llegamos así al conjunto de los NÚMEROS REALES (R), que se obtiene de reunir los racionales
con los irracionales
)
R = {..-1000; ..- 23, 91 ;- π ; -2 ; - 4/3 ; -1 ; -0,5 ; 0 ; 0,0065 ; ½ ; 1; 1,3 ; 3/2; 3 5 ; 1,98; 2; 2,5; e ; ... ...π; 10000000..}
En este campo numérico son cerradas las operaciones de: adición, sustracción, producto, cociente y
potenciación de exponentes enteros.
Y este es el único campo numérico que completa la recta !
Gracias a los irracionales, se pueden resolver cuestiones de trigonometría, y problemas vinculados
con la geometría, que requieren aplicar procedimientos de resolución de triángulos rectángulos, entre
otros….
¾ En general las cuestiones de cálculo que tienen que ver con resolución de problemas de
superficies o volúmenes de figuras o cuerpos, están muy vinculadas con este campo
numérico.
Pero no todo está resuelto, porque las raíces de índice par y radicando negativo no tienen solución en
el campo real, así por ejemplo:
− 4 ≠ 2 porque 22 = 4 o
− 4 ≠ −2 porque (-2)2 = 4.
Se crearon entonces, para resolver este inconveniente, los números: imaginarios, que son los que dan
solución a :
− 4 = ± 2i y
4 − 625 = ± 5i
Y llegamos así a la última ampliación de los campos numéricos, denominado conjunto de
NÚMEROS COMPLEJOS (C). Este es el único campo numérico donde las operaciones: adición,
sustracción, división, multiplicación, potenciación y radicación son cerradas .
Este campo numérico está compuesto por los números reales, los imaginarios puros : 3 i ; - 5 i ;
1/3 i y los complejos con parte real y parte imaginaria 2+3i
-6+2i ; 1/3 + i
Este campo numérico se define como C = {(x ; y ) / x ∈ R ∧ y ∈ R }
Es el único campo numérico que determina el plano complejo.
¾ Los problemas que tienen que ver con movimientos ondulatorios, requieren del
conocimiento de este campo, por ello es fundamental su estudio para las ramas de la
ingeniería que tienen que ver con hidráulica, electricidad, electrónica o robótica.
Características de estos conjuntos:
11
Matemática
N = Conjunto de números naturales
(los que se utilizan para contar
N = { 1 , 2 , 3 , 4 , ...}
o tiene primer elemento 1
o no tiene último elemento
o cada número natural ‘a’ tiene un siguiente o
sucesor ‘ a+1’
o todos, menos el 1, tienen antecesor ‘ a-1’
o está totalmente ordenado por la relación de
menor o igual
o es discreto, lo que significa que se representa
por medio de puntos aislados en la recta
numérica
Z = Conjunto de números enteros
( todos los números naturales, el cero y los
negativos)
Z = { .... -3 , -2 , -1 , 0 , 1, 2 , 3 .......}
o No tiene primer elemento ni último elemento
o cada número entero ‘a’ tiene un siguiente o
sucesor ‘ a+1’ y tienen antecesor ‘ a-1’
o está totalmente ordenado por la relación de
menor o igual
o es discreto, lo que significa que se representa
por medio de puntos aislados en la recta
numérica
R = Conjunto de números reales (son todos los
racionales mas los irracionales)
R = {...-1000; …- 23, 91 ;- π ; -2 ; - 4/3 ; -1 ; -0,5 ; 0 ; 0,0065 ;
)
½ ; 1; 1,3 ; 3/2; 3 5 ; 1,98; 2; 2,5; e ; π; 10000000... }
-No tiene primero ni último elemento
o Entre dos reales cualesquiera, siempre existe
una cantidad INFINITA de números reales
o Está totalmente ordenado por la relación de
menor o igual
o Es denso.
Sobre la base de esta característica de los
campos numéricos podemos afirmar que todo
número natural, es entero, racional, real o
complejo. Pero no todo número complejo es
real, racional, entero o natural. Porque N ⊂ N0
⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C . Lo que podemos
representar en el siguiente diagrama:
N0 = Conjunto de números naturales con el
cero
N0 = { 0 , 1 , 2 , 3 , ....}
o tiene primer elemento 0
o no tiene último elemento
o cada número natural ‘a’ tiene
o un siguiente o sucesor ‘ a+1’
o todos, menos el 0, tienen antecesor ‘ a-1’
o está totalmente ordenado por la relación
de menor o
igual
o - es discreto , lo que significa que se
representa por medio de puntos aislados en
la recta numérica
Q = Conjunto de números racionales
( todos los que se pueden escribir con forma de
fracción de números enteros)
Q ={ .. -2 , - 4/3 , -1 , -0,5 , 0 , ½ , 1 , 3/2 , 2 ..}
o No tiene primero ni último elemento
o Entre dos racionales cualesquiera, siempre
existe una
o cantidad INFINITA de números racionales
o está totalmente ordenado por la relación de
menor o igual
o es denso.
o Los subconjuntos como ser intervalos o
entornos en la recta numérica, se representan
por medio de conjuntos continuos de puntos.
C = Conjunto de números complejos
(son los reales, mas los imaginarios puros y los
que tienen parte real y parte imaginaria)
C = {(x ; y ) / x ∈R ∧ y ∈R }
C = { 3 i ; 5 ; -3 ; 4+2i ; -7 + 3i ; 1/3 ; π ; i }
o
o
No tiene primero ni último elemento
No está ordenado por ninguna relación
COMPLEJOS
REALES
RACIO
ENTE
NATURA
Y por esto es que las propiedades que vemos
que se cumplen para los números naturales, son también válidas para los números enteros o reales.
Pero no viceversa. Y el Universo de todos los números son los Complejos.
2 ∈ N ⇒ 2 ∈ Z ⇒ 2 ∈ Q ⇒ 2 ∈ R ⇒ 2 ∈ C sin embargo (2+i) ∈ C pero (2+i) ∉ R
12
Matemática
Ejercicio 1 –Para reflexionar sobre lo desarrollado hasta aquí, te proponemos indicar si es
verdadero o falso el enunciado dado:
1) 5 ∉ C falso
2) 3+2i ∈ N
3) 1/3 ∈ N
4) 0,75 ∈ Z
5) 1/3 ∈ C
6) –3 ∈ N
7) –3 ∈ Q
8) –7,23232323.... ∈ R
9)
2∈N
10)
2∈C
12) –7 i ∉ C
2∉Q
11)
Discute las soluciones en grupo, con tus compañeros, para ayudarte puedes poner cada tipo
de número dentro del diagrama dado en la parte superior de la hoja.
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS NUMÉRICOS EN SISTEMAS DE
COORDENADAS
Gracias a Descartes, nace una nueva forma de representación gráfica de los conjuntos numéricos,
consistente en relacionar elementos de conjuntos numéricos con puntos de una recta. Hacemos
corresponder a cada elemento del conjunto dado, con un punto de la recta, pero para ello utilizamos
coordenadas, lo que significa que no cualquier punto se corresponde con cualquier elemento.
Se requiere de una recta graduada; en base a una escala y un origen de graduación.
Dados subconjuntos ordenados de conjuntos numéricos como ser N o Z, los podemos representar en
la Recta Numérica, de la siguiente forma:
A = { x / x ∈N ∧ x es par}
2
4
6
……
8
B = { x / x ∈Z ∧ -2 ≤ x ≤ 2 }
-2
-1
0
1
2
Intervalos
Son subconjuntos ordenados de R que se representan en la recta numérica correspondiente. No
pueden ser Complejos, porque es el único campo numérico que no está ordenado. Siendo a y b dos
números cualesquiera de R, hay cuatro tipos de intervalos a los que llamaremos: Intervalos...
Abiertos ( a ; b ) , no incluye a sus extremos.
( a ; b ) = { x / x ∈ R ∧ a < x < b } se representa así:
a
b
13
Matemática
Cerrados [ a ;b ] , incluye a ambos extremos
[ a ; b] = { x / x ∈ R ∧ a ≤ x ≤ b } se representa así :
b
a
Semiabierto a izquierda ( a ; b ] , no incluye al extremo de la izquierda
( a ; b ] = { x / x ∈ R ∧ a < x ≤ b } se representa así :
b
a
Semiabierto a derecha [ a ; b ) , no incluye al extremo de la derecha
[ a ; b ) = { x / x ∈ R ∧ a ≤ x < b } se representa así :
b
a
Ejemplos:
( 2; 3) ⊂ R
2
3
[ 2/3 ; 5) ⊂ R
2/3
5
Ejercicio 2 - Representar cada conjunto dado en la recta numérica
1) A = { x/x ∈Z ∧ x > -3}
2) [ -1; 2]
3) (0 , 2)
4) ( 2;5)
5) ( -2;1]
6) B = { x/x ∈N ∧ 3 < x < 7}
7) [4;8)
8) (-3;5]
9) C = { x/x ∈ N0 ∧ x < 4 }
14
Matemática
En la antigua Grecia, se sostenía que la recta estaba “cubierta” con los números
racionales; pero se derrumba esta teoría cuando Pitágoras demuestra su famoso
teorema: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos”.
12 + 12 = 2 irracional ( no racional)
Todo irracional tiene “su lugar” en la recta numérica.
Ejercicio 3 – Para fijar las características de los campos numéricos vistos, resolver los siguientes
problemas de conteo:
a) Cuantos números naturales existen entre:
i)
2 y 8(representar en la recta numérica)
ii)
5 y 16
iii)
generalizando entre a y b, siendo a < b ¿Puedes pensar en una fórmula?
para probar tu fórmula, compruébala con los ítems i) y ii)
b) Cuantos números enteros existen entre:
i) -4 y 2( representar en la recta numérica)
ii) -8 y 0
iii) 0 y 7
vi) –84 y 16
iv) -25 y 48
v) 180 y 30
¿La fórmula hallada para valores naturales es válida para los enteros?
c) Escribir al menos dos números decimales exactos comprendidos entre los pares dados:
i) 0,2 y 0,5
ii) 0,3 y 0,003
iii) -0,25 y 0,250
iv) -0,09 y -0,900
d) Cuantos números enteros existen entre
i) –13/8 y 4/3
ii) -5/3 y 12/5
e) Cuantas fracciones de denominador 3 puedes escribir entre los enteros:
i) 1 y 3
ii) -2 y 0
iii) -2 y 2
f) Ídem al ejercicio “e” pero con denominador 5
15
Matemática
g) Determinar al menos 10 números reales ubicados entre:
i) 0,1 y 0,2
ii) 2,01 y 2,02
iii) 5,00001 y 5,00002
h) dadas las siguientes series de decimales, agrega tres números más, siguiendo la ley de
formación de la serie:
i) 0,3
ii) 3,15
0,03
0,003
3,015
0,0003
3,0015
3,00015
¿A qué valor se aproxima está serie si le agregamos más elementos? Para ayudarte puedes dibujarlo en la
recta numérica
LEYES DE TRICOTOMÍA. Se cumplen para Naturales, Enteros, Racionales o Reales
Entre dos números cualesquiera, se dan algunas de estas tres relaciones y solo una de ellas: siendo
a,b∈R ⇒ a<bóa>bó a=b
Ejercicio 4 – Identificar el o los valores de “a” sabiendo que:
a)10 < a < 12 siendo i) a ∈ N ii) a ∈ Q
c) 0 < a < 3
b) 10 < a < 11 siendo i) a ∈ Z ii) a ∈Q
d) -3 < a< 3
siendo i) a ∈ R ii) a ∈ N
siendo i) a ∈ R ii) a ∈ N
REPASO DEL CONCEPTO DE FRACCION O QUEBRADO:
Llamamos fracción al número que me permite identificar partes del entero, así
1 entero
=
3 /8 ( tomo 3 porciones, de las 8 )
El numerador de la fracción indica las porciones tomadas.
El denominador nos cuenta en cuantas porciones está dividido el entero
Fracciones Propias: El numerador es menor al denominador, representa cantidades menores a la
unidad
3
=
5
16
;
1
=
3
;
7
=
8
Matemática
Fracciones aparentes: Representan cantidades enteras, como por ejemplo
5
=
5
;
3
=
3
;
8
=
8
Fracciones Impropias: El numerador es mayor al denominador, representa cantidades mayores que
la unidad
13
=
5
4
=
3
15
=
8
El número mixto: Es otra forma de expresar a las fracciones impropias, por ejemplo
13
=
5
2
3
3
=2+
;
5
5
1
4
1
= 1 =1+
;
3
3
3
15
7
7
= 1 = 1+
8
8
8
CONVERSIÓN:
De fracción propia a número mixto
13
5
divido:
2
13 5
3
De número mixto a fracción propia
3
5
2
2
3
3
= 2 enteros +
=
5
5
= 2.
5 3
10 3
13
+
=
+
=
5 5
5
5
5
Conversión de fracciones a decimales
Para convertir una fracción
3
a decimal , basta realizar la división indicada:
5
3 / 5 = 0,6. En el caso particular de los decimales periódicos como por ejemplo
1
que al dividirlo
3
se transforma en : 0,33333333333…., la forma correcta de reducir esta expresión es indicar cual es el
período, o sea el grupo de cifras que se repiten en forma indefinida, en este caso es 3 , lo que se expresa:
0,3
Conversión de decimales exactos a fracciones
Para convertir a fracción cualquier expresión decimal exacta se procede de la siguiente forma:
17
Matemática
a) parte entera nula: 0, 23 = se toma el número sin comas 23 y se divide por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras significativas tiene el número
23
100
b) parte entera distinta de cero 1, 5672 = se toma el número sin comas 15672 y se divide por la
unidad seguida de tantos ceros como cifras significativas tiene el número
15672
10000
Conversión de decimales periódicos a fracciones
Periódica pura, aquellas donde el período comienza inmediatamente después de la coma 0, 31 se
convierte en fracción de la siguiente forma:
Esta expresión nos dará un número mixto, cuya parte entera es la parte entera de la expresión
decimal, el numerador es toda la parte decimal y en el denominador tantos nueves como cifras tiene el
período: 0 ,31 = 0 +
31 31
=
99 99
otro ejemplo:
3
3 48
5,3 = 5 = 5 + =
9
9 9
15
15 312 104
3,15 = 3 = 3 +
=
=
99
99 99
33
o bien
Periódica mixta, es decir que tiene parte decimal no periódica, también nos dará un número mixto,
cuya parte entera es la parte entera de la expresión y el numerador se obtiene restando a toda la parte
decimal, la que no es periódica. El denominador lleva tantos nueves como cifras tiene el período y tantos
ceros como cifras no periódicas tiene. Ejemplos:
a) 2 ,2341 = 2+
b) 3,02 = 3+
c) 0 ,023 =
2341 − 23
2318 22118 11059
=2+
=
=
9900
9900 9900
4950
02 − 0
2 272 136
=3+
=
=
90
90 90
45
23
990
d) 4 ,18 = 4 +
18 − 1
17 377
=4+
=
90
90 90
Ejercicio 5 – Pasar a fracción las siguientes expresiones decimales, y en caso de ser posible a
número mixto:
Cálculos:
18
Respuestas
1) 1,12
6) 12, 34555555….
2) 0,304
7) 1,432432432432432…
1)
111
99
2) 304
1000
6)
11111
900
7) 1431
999
Matemática
3) 123, 008
8) 2,013
3)
4) 0,053
9) 23, 4563
4) 53
123008
1000
990
5) 0, 0003
10) 98,98
5)
3
10000
8)
151
75
9)
234563
10000
10) 9898
100
Ejercicio 6 – Ordena y representa en la recta numérica los siguientes conjuntos de números
a) 0,456;
- 2,13;
b) – 1,222222222;
c) [ -2 ; 1];
2/3;
- 0, 12;
-2;
3
1/3;
5/4;
-2,20;
0;
d) ( -8 ; 3];
e) ( 3 ; 5 ) ;
3,4
f) [ 1 , 20 )
CONVENIOS DE NOTACIÓN
A partir del campo numérico Z, donde aparecen los números negativos, a los que necesariamente se
los debe identificar de algún modo: -2 , -3 , -100, etc...También tenemos los números positivos ¿Cómo los
identificamos? + 8 ; + 23 , + 1000… pero para no “tirar” los hábitos adquiridos con los números naturales
donde no era necesario anteponer signos + a los números, también se acepta indicar que 8 ; 23 y 1000 son
positivos…
El problema surge cuando queremos sumar o restar con estos números, porque tenemos dos tipos de
signos , los que indican operación: + ; - y los que indican valor relativo del número + ; - … Pero son
iguales!!!!
Cuestiones sobre la notación…..En Matemática esta prohibido poner dos signos juntos! . Por ello
el campo de números Z nos complica, en el sentido que no puedo escribir esto : - 2 + - 3 , ni esto
otro: - 3 x - 5
No podemos poner el signo de operación, junto al signo del número!
Gracias a eso debemos utilizar paréntesis para separar signos esto es, existe una forma incorrecta de
escribir, una forma correcta completa pero que utiliza paréntesis en forma abundante ., es una
notación poco práctica! y la forma correcta resumida y más práctica, pues solo utiliza los paréntesis en
caso de necesidad, puedo simplificar las expresiones con estas tres normas:
1) Un número positivo no requiere el signo del número
2) Si es el primer operando no hay signo de operación precedente, por ello puedo obviar los
paréntesis.
3) En caso de ser suma de enteros, puedo obviar el signo de los números en caso de ser positivos y el
de operación en caso de ser negativos.
19
Matemática
Tabla con ejemplos:
Operaciones
Adición
Sustracción
Multiplicación
Forma incorrecta
Forma correcta completa
Forma correcta resumida
+4++6
( +4) + ( +6)
4+6
-5 + -6
(-5) + ( -6)
-5 -6
+2+-4
(+ 2 ) + ( - 4)
2 -4
-2 + +5
( -2) + ( +5)
-2 + 5
+3 - + 6
( +3) – ( +6)
3–6
-4 - - 9
(- 4) – ( - 9)
- 4 – ( - 9)
-2 - +3
(-2 ) – ( +3)
-2 – 3
+2 - - 7
( + 2 ) – ( -7 )
2 – ( -7)
No se usa signo de operación
El signo de operación es un punto
-3 x -1
(-3) (-1)
-3. (-1)
-5 x +2
(-5) ( +2)
-5 . 2
+4 x -3
(+4) (-3)
4. (-3)
3
3
+5
(+5)
-3 2
Potenciación
53
(-3)2
3
No tiene
2
(-2) + ( +4)
+5 2 - -3 3
(+5)2 – ( -3)3
-2 +4
3
2
(-2) 3 + 4 2
52 – (-3) 3
Ejercicio 7 – Escribir en forma correcta y resumida las siguientes operaciones:
a) -7 + -4
b) -3 - -2
f) +6 + -3 + -4 - +2
3
2
k) + 5 – 3
c) -5 + + 3
g) -3 x -6
d) +2 + +5
h) -1 x +5
e) -4 - -5 - -2
3
i ) -3 + +5
j) -4 - - 5
l) -5 x -3
REPASO DE OPERACIONES EN EL CAMPO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Tabla resumen de todas las operaciones y sus signos:
Operación
Condiciones
Ejemplos
Resultados
Igual signo
(+3) + ( +4) = + 7
Sumo cantidades y copio el signo
Suma
( -2) + ( -6) = - 8
Distinto signo
( -3) + ( + 4 ) = + 1
Resto cantidades y pongo el signo del mayor
( + 5 ) + ( - 11) = - 6
Resta
1º) Se transforma en suma cambiando el signo al sustraendo
2º) Se aplica la regla de la suma
20
Matemática
Operación
Condiciones
Ejemplos
Resultados
( + 2) . ( + 3 ) = + 6
(-4).(-2)=+8
Igual signo
Positivo
( + 8) : ( + 4 ) = + 2
Productos
( - 12) : 8 – 3 ) = + 4
y
( -3) . ( + 2) = -6
cocientes
Distinto signo
( +4) . ( -2) = -8
Negativo
( -15) : ( +5) = -3
( +4) : (-2) = -2
Potencias
Exponente par
de exponente
Natural
Exponente impar
( -3) 2 = +9
( -2) 3 = -8
Lleva el signo de la base
1
(+5) = +5
4
Raíces
Positivo
( +2) 4 = + 16
Tienen solución con doble signo
+ 16 = ± 2
- Entero si el subradical es (+)
número Entero
Índice par
2
de
-Complejo si el subradical es (-)
−4=±2i
número Complejo
índice Natural
3
− 27 = - 3
5
+ 32 = + 2
Índice impar
Lleva el signo del subradical
SUMA ALGEBRAICA
La primera es la suma algebraica, consistente en realizar una operación combinando sumas y restas,
para lo cual vamos a repasar generalidades de esta operación. Tenemos dos casos
a)Signos iguales
* positivos 2 + 3 + 5 = 10
b)Signos distintos
resultado positivo
* negativos: - 4 – 2 – 7 = - 13 resultado negativo
• Resultado: Se suman las cantidades y lleva el mismo
signo
c) Sin paréntesis: Se resuelve agrupando los números
según sus signos, por ello tenemos dos grupos ( los
positivos) y ( los negativos) , calculamos los resultados
por grupos de igual signo como indica la opción a) de la
regla, obteniéndose así, un valor positivo y otro
negativo, se opera como indica la opción b) de la regla .
+4 – 5 = - 1
- 6 + 11 = 5
• Resultado: Se restan las cantidades y lleva el signo del mayor
d) Con paréntesis: Se quitan primero los paréntesis, luego los
corchetes y por último las llaves, teniendo en cuenta que:
Si los paréntesis, corchetes o llaves, están precedidos por el
signo (+) , los términos que están dentro de ellos conservan su
signo
Ejemplos:
Si están precedidos por el signo (-) cambian su signo. Ejemplo:
3 - 2 - 5 = 3 + (-2 - 5) = 3 + (- 7) = - 4 formamos los
dos grupos, aunque un solo número es positivo.
4 + {- 3 + 2 - [5 - 4 - 3 + (-1 - 3) + 4 - 5] + 1 - 3} - 2 =
Otros ejemplos:
-2 - 5 = -7 solo un grupo de negativos
-5 - 6 - 9 = -20 ídem al ejemplo anterior
4 + {- 3 + 2 - [5 - 4 - 3 - 1 - 3 + 4 - 5] + 1 - 3} - 2 =
4 + {- 3 + 2 - 5 + 4 + 3 + 1 + 3 - 4 + 5 + 1 - 3} - 2 =
4 - 3 + 2 - 5 + 4 + 3 + 1 + 3 - 4 + 5 +1 - 3 - 2 = a partir de aquí
seguimos como en el caso sin paréntesis
(4 + 2 + 4 + 3 + 1 + 3 + 5 + 1) - (3 + 5 + 4 + 3 + 2) = 23 - 17 =
6
21
Matemática
Otro ejemplo:
Otro ejemplo:
-7 + 9 + 3 + 2 - 5 - 4 - 10 + 11 =
- 1 - {- 10 + 1 + [-3 - 2 + 5 - (- 3 + 10) - 1]} + 5 =
(9 + 3 + 2 + 11) + (-7 - 5 - 4 -10) =
= - 1 - {-10 + 1 + [- 3 - 2 + 5 + 3 - 10 - 1]} + 5 =
25 - 26 = -1
= - 1 - {-10 + 1 - 3 - 2 + 5 + 3 - 10 - 1} + 5 =
= - 1 + 10 - 1 + 3 + 2 - 5 - 3 + 10 + 1 + 5 = seguimos como
en el caso sin paréntesis
= (10 + 3 + 2 + 10 + 1 + 5) - (1 + 1 + 5+ 3) =
= 31 - 10 = 21
Ejercicio 8 – Calcular los resultados de las sumas algebraicas siguientes:
1) - 4 + 6 – 2 + 1 =
5) –( 3 – 6) + ( - 2 + 7 )=
9) –( 3 + 6) - ( 5 + 7 )=
2) -5 -6 -3 + 2 =
6) - [- 4 + ( - 9)] -2 =
10) - [- ( 8 - 9) + 6] -2 =
3) 2 - 4 + 3 – 1 =
7) { -[ -2 – 3+ ( 3-4)]}=
11) - [ 1 – 3- ( -2 + 4 )]=
4) – ( -2 + 5) -3 =
8) – { -[ 2 – ( -7)]}+1 =
12) – [ 1-( 2 – 9) +1]+1 =
Ejercicio 9
Resolver los siguientes ejercicios propuestos:
Respuestas
1) 3 - 4 - 5 + 6 - 7 + 1 =
-6
2) - 5 - 10 + 3 - (- 2) + 5 =
-5
3) - 4 - 5 - 3 - 8 =
- 20
4) - 4 - 6 + 1 - 145 + 145 - 3 =
- 12
5) - 23 + 2 - 21 + 42 =
0
6) - 1 - [- 2 - 5 + (3 + 5 - 8)] =
6
7) 10 - {- 2 + [5 + (-10) - (-3 - 1) - 15 ] - (- 6 + 2) - 4} + 15 =
43
8) - 5 + (- 1 + 9) - {-3 + [-5 + 11 - (- 4 - 3) + 5] - 13} + 4 - 5 =
0
9) - 6 + (4 + 1) - (-7 + 9) - (-3 + 5) - {4 - [- 1 + 2 - (- 4 - 15) - 3]} + 14 =
22
10) 16 - {-[3 + (-5 + 2)]} - {- [- 9 - (-12)]} =
19
11) 3 - {4 + 5 - [1 - (- 3 + 1)] - [4 - 2 + (- 5 + 3)] - 4} - 10 =
-9
12) 13 + {-10 - (5 - 4) + 1 + [-12 + 13 - (- 5 - 9) + 8] - 1} =
25
13) - 4 - 15 - {- 3 + 2 - [- 4 - (- 5 + 1) - 4] + 1} =
-23
14) - 2 - {-1 - [- 4 - 5 + 1 + (-3 - 2 + 4) - 10] - 20} - 4 =
-4
15) - 3 - {4 - 5 + [- 1 + 2 - (-3 + 4) - 5] -10} - 6 =
7
JERARQUÍA DE OPERACIONES
Si tenemos que resolver operaciones combinadas en un solo ejercicio, se debe seguir el siguiente
procedimiento:
22
Matemática
Sin paréntesis:
Con paréntesis:
3 3 . 100 − 2 3 .3 : 2 2 + 7 + 4.2 =
5
+ 32 − 2.( 3 − 4 2 ) +
21
.( 4 − 1 )3 =
7
Primer paso: Separar en términos
Primer paso: Separar en términos
Segundo paso: Resolver las operaciones en este orden
Segundo paso: Resolver las operaciones en este orden
1º) Resuelvo las potencias y raíces
1º) Resuelvo lo encerrado entre paréntesis
2º) Productos y cocientes
2º) Potencias y raíces
3º) Sumas y restas
3º) Productos y cocientes
4º) Sumas y restas
OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS
Antes de realizar este tipo de operaciones vamos a repasar la definición de dos operaciones:
Potenciación
2 x 2 x 2 x 2 = 24 = 16
Se define como la operación inversa de la
n a = b ⇔ bn = a
potenciación, así
5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 5 6 = 15625
Ejemplos:
Radicación:
3 − 125 = −5 ⇔ (-5) 3 = −125
Generalizando :
a . a . a . a . a . ….a = a n
4 81 = 3 ⇔ 3 4 = 81
32 = 2 ⇔ 2 5 = 32
5
n veces
Propiedades:
Propiedad:
La radicación no es distributiva con respecto a la suma ni a la
La potenciación no es distributiva con respecto a la
resta.
suma ni a la resta.
n
(2 + 3)
(2 − 3)
2
2
≠ 2 +3
2
≠ 2 −3
2
(2 ⋅ 3)
(2 / 3)
2
= 2 ⋅3
2
2
= 2 /3
2
2
n a+b ≠n a +n b
2
Sí lo es, con respecto al producto y al cociente.
2
a−b ≠n a −n b
2
Pero si lo es con respecto al producto y al cociente.
n a⋅b = n a ⋅n b
n a ÷b =n a ÷n b
Ejercicio 10 – Separar en términos y resolver:
a) 5.( -3) .8 + 72 : 8 =
h) 43 : 8 + 100 : 5 2 -
b) ( 4 + 7) .2 + ( 15 - 3) :4 =
i) 5 .
0
36 . 5 =
2
100 +6 :4 – 25 . 9 =
23
Matemática
c) 5 2 .2 -
j) 32.
49 .4 =
d) - (4 + 23) : 6 + 81 :
e) 42 .5 – 6 .
f)
3
2
49 - 5 . 2 +
k) 54: 33. 2 +
27 - 3 - 36 =
2
81 : 3 =
64 .2 – 39 : 3 =
2 0
25 +2 .8 =
l) 5. 22 + 2.
49 - 1 5 . 3 3=
4 +82:4=
m) 62 : 18 -
5
100 : 5 + 0 . 2 =
81 - 3 .
g) 48: 23 + 10 :
25 - 3 3 : 9 =
n) 3 3 .
100 - ( 23 . 3) : 2 2 + (7 +4) . 2=
Ejercicio 11 – Resolver aplicando las sugerencias dadas en el cuadro de Jerarquía de operaciones
(
[ (4 . 3 − 5 ) 2 − 4 .11 ] 3
2) {[ (4 − 2) . (5 − 2 ) ] 2 − 5 }: 31
3) 7 −
4)
(
(5 − 3) . (10 + 8)
9+
16 :
(
)
)
4 .2−
)
6) 5 32 + 3 27 − 4 16 + 64 . 5 1 : 121
2
7) 2 4 .2 : 2 3 . 3 5 : 3 4 : 6
1)
(
+1
8)
36
9)
) (
)
3
(2 6 : 2 5 )2  : 4 2


(4 − 5)4 + 5 − (− 1)2 − 12
(
)
2
10)  3 (− 1)(
. − 3) + 5 − (− 6 ) : (− 5)
5) 3 3 + 22 − 5 . 4 : 10 + 2 . 11


Ejercicio 12 –Resuelve los siguientes problemas de aplicación:
1) Cuatro empresarios deciden aportar sendas cantidades de dinero para formar un fondo de
inversiones para PYMES. El primero de ellos aportará 628.000 U$S, el segundo solo está
dispuesto a aportar la mitad de esta cantidad, el tercero estaría dispuesto a duplicar la cantidad
del primero mas el segundo empresarios y el cuarto estaría dispuesto a aportar el doble de la
cantidad ofrecida por el primer empresario. a)Cuanto sería el monto total de este fondo de
inversiones?. b) Suponiendo que los créditos fueran de no más de 10.000U$S por PYME, a
cuántas se podría asistir?
2) Los dueños de tres campos que cosecharon trigo, integrantes de una cooperativa regional
de granos, donde realizan sus acopios, deciden enviar sendas cantidades a los silos, el primero
envió la quinta parte de lo que envía el segundo, éste envió 24,37 tn. Y el tercero envía el
doble de la diferencia de los dos anteriores. La totalidad de lo enviado se almacenó en partes
iguales en 7 silos completos. Se quiere saber: a) ¿Cuántas toneladas de trigo envió cada
campo? b)¿a cuánto asciende la producción de trigo de los tres campos. c) ¿Cuántas toneladas
de trigo se almacenaron por silo?
3) Una fiambrería tiene registrada alguna información sobre sus compras y ventas bimestrales
durante el año en una tabla, te pedimos que la completes:
COMPRA ( En $)
VENTA ( En $)
4582
5237
GANANCIA ( En $)
12324
5867
24
864
1239
29874
9263
PÉRDIDA ( En $)
5316
1254
Matemática
4) El departamento de insumos de una repartición pública, recibe un pedido de compras de
elementos de librería consistentes en : 1428 lápices negros, 2356 gomas de borrar, 723
cintas engomadas, 1235 lapiceras negras. Estos se deberán distribuir para ser repartidos en
las oficinas correspondientes de dicha repartición, en cajas de una docena cada una. Se
requiere saber : a) ¿Cuántos artículos se recibieron en total? b) ¿cuántas cajas son
necesarias para cada tipo de artículo? c) ¿Cuántos artículos sobran sin poder repartirse? d)
¿Cuántas cajas en total se pudieron armar?
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
Fracciones equivalentes
Dada una fracción, es posible hallar otras equivalentes a la misma:
1
=
2
=
=
2
=
4
=
4
⇒ y así podemos hallar infinitas fracciones
8
equivalentes a una dada, que representan las mismas porciones del entero. Al hallar fracciones
equivalentes podemos:
Simplificar una fracción
Amplificar una fracción
1
3
x
4
4
12
9
21
Se multiplica numerador y denominador por el mismo valor
÷
3
7
Se divide numerador y denominador por el mismo valor
Ejercicio 13- Indica la fracción correspondiente a la región grisada en los siguientes dibujos,
luego halla al menos dos fracciones equivalentes a ellas.
=
=
=
=
=
=
Ejercicio 14¿Qué fracción representa
Respecto…
1) del año?
Enero
2) del primer semestre?
3) del primer cuatrimestre?
25
Matemática
1) de los días de la semana?
Martes
2) de los días hábiles de una semana?
3) del número de palabras de la oración “ Hoy es martes” ?
1) de las vocales?
La letra “a”
2) de las letras de la palabra “murciélago”?
3) de las palabras de la oración “ No volveré a confiar en ti”?
Ejercicio 15 - Hallar al menos dos fracciones amplificando y otras dos fracciones simplificando,
equivalentes a las dadas:
a)
35
70
b)
25
60
c)
20
100
d)
14
28
e) ¿Cuántas fracciones equivalentes a una dada puedo hallar?
f) simplifica hasta obtener una fracción irreducible:
i)
6
=
24
ii)
36
=
90
iii)
165
=
385
g) ¿Puedo simplificar una fracción en forma indefinida?.
h) Halla una fracción equivalente a
i) 3/5
a) con denominador 10=
ii) 7/3
b) con numerador par =
a) con numerador impar =
b) con denominador 1500 =
Comparación de fracciones
Para poder comparar dos fracciones, lo que hacemos es transformarlas buscando fracciones
equivalentes de igual denominador así:
REGLA PRACTICA:
x8
3
7
Dadas
24
56
3
7
en
26
podemos
y
c
d
hacemos el producto
cruzado así
a
b
c
d
Dadas
a
b
comparar
las transformamos
5
8
Y así las
x7
35
56
<
5
8
comparamos ad con bc
Porque :
24 35
<
56 56
Si ad < bc ⇒
a
b
<
c
d
luego
Matemática
Ejercicio 16 –Comparar las siguientes fracciones y ordenarlas de mayor a menor:
3
5
4
7
6
;
;
;
;
6
3
9
2
5
Adición y sustracción de fracciones
a) De igual denominador
3 1
3 +1
4
+
=
= =1
4 4
4
4
7 2
7-2
5
−
=
= =1
5 5
5
5
b) de distintos denominadores:
Se mantienen el denominador
Y siempre que sea posible simplificamos el resultado para llevarlo a su
mínima expresión
1) Hallamos el denominador común mas chico, eso es el mínimo común
3 1
3.5 + 1.7
22
+
=
=
7 5
7.5
35
múltiplo de los denominadores dados
3 1
3.3 − 1.5
4
−
=
=
5 3
5.3
15
3) Efectuamos la operación indicada
2) Hallamos las fracciones equivalentes a cada una de las dadas
4) Simplificamos el resultado siempre que sea posible
Sobre invertir fracciones
Recuerda.
Sobre los signos de las fracciones:
3
3 −3
− =
=
−4
4
4
Inversa de
5
3
=
3
5
Inversa de 4 =
Inversa de
1
9
=9
1
4
Y siempre el producto de una fracción por su inversa
da 1 →
5 3
•
3 5
=1
Veamos tres ejemplos de sumas algebraicas con fracciones:
1)
3 1 14
3 + 1 − 14
− 10
+ −
=
=
= −2
5 5 5
5
5
2)
4 1 2 1 16 + 2 − 8 + 1 11
=
+ − + =
3 6 3 12
12
12
3)
4 − 1 5 2 72 − 6 + 25 − 36 (72 + 25) − (6 + 36) 97 − 42 55 11
=
=
+
+ − =
=
=
5 15 18 5
90
90
90
90 18
27
Matemática
Ejercicio 16- Resuelve:
a)
4 1 2 4
+ − + =
3 5 3 5
c)
1
2
+
−1 =
11 121
e) −
R:
5
3 1 2 14
b)
+ + − +1 =
3
5 3 15 15
- 108
R:
121
4 1 2 5
− − + =
7 4 3 3
d) −
f)
R:
17
15
5 1 7 3
+ − + =
2 5 2 5
2 1 2 1
− − + =
3 5 3 5
Luego pasa a número mixto las que sean posibles y ordénalas de menor a mayor
Multiplicación
División
3 4 12
⋅ =
5 7 35
3 4 21
: =
5 7 20
3 4 3 7 21
: = . =
5 7 5 4 20
* Se resuelve multiplicando horizontalmente
* Se resuelve multiplicando cruzado …
o se transforma en producto invirtiendo la
segunda fracción
La regla de los signos es la misma que para enteros
Ejemplos:
1)
2 1 4 4
⋅ ⋅ =
3 2 5 15
Observación: es conveniente simplificar antes de operar
4
12 3 12/ 4 16
2)
÷ = ⋅ =
5 4 5 3/ 5
3)
1
1
1 1 1
÷3= . =
2
2 3 6
Ejercicio 17- Resuelve:
a)
28
77 56 50 36
. . . =
160 22 42 75
b)
39 18 84 15
÷ . . =
144 45 70 65
4)
4 8 4/ 9 9
÷ = ⋅ =
7 9 7 8/ 14
2
Matemática
c)
24 15 400 64
. ÷
.
=
15 18 81 720
d)
160 66 72 270
. .
÷
=
121 36 120 33
OPERACIONES COMBINADAS- Recuerda separar en términos primero…
2
4/ 3 3 1 4  6 3  5 3 5 24 + 25 49
1) ⋅ − + ÷ =  −  + = + =
=
40
5 2/ 5 2 5  5 5  8 5 8
40
2
2) 2 − 4 ⋅ 14/ + 1 ÷ 2 = 2 − 8 + 1 . 3 =  2 − 8  + 1 = − 6 + 1 = - 12 + 1 = − 11
7/
3
3
1
9
3
3 
3 

3
3
9/ 2
3
3
3
6
3
6
6
6
 7 − 3  4 + 3  4   7  
2 
7  ⋅  4  =  7  ⋅  4  =  4/ ⋅ 16/  ⋅  7/ ⋅  − 1   = − 2

 
     
  
25
 16 + 9   1 − 9   25   − 8   7/ 25   4/  8/  

  16    
 16  
1−   1+  
3) 
7 ⋅
4 =



1 + 9  1 − 1 
 16   1 9 
4

+1
4)  5 


 3 + 2
 5

−1
1 4
 + 
÷ 3 9 
 3 
 4 
−1
 4+5 


= 5 
 3 + 10 
 5 
−1
3+ 4


÷ 9 
 3 
 4 
−1
9
 
= 5 
 13 
 5 
−1
7
 
÷ 9 
3
 4 
−1
 13   3 
   
=  5/  ÷  4  =
 9  7
 5/   9 
 13   27  13 ⋅ 28 364
= ÷ =
=
 9   28  9 ⋅ 27 243
Se resuelven transformando a cociente
Otro repasito:
Llamamos fracción de fracción a las expresiones de
la forma :
3
4
5
3
Tenemos una fracción donde numerador y
denominador de la misma son a su vez fracciones.
Se simplifica:
3/
5
9/
25
1
1
=
3
5
=
3
4 = 3 : 5 = 3 .3 = 9
5 4 3 4 5 20
3
o bien, multiplicando los extremos , luego los medios
Se resuelve
3
4 = 9
5 20
3
5
3
Numerador con numerador y denominador con
denominador
29
Matemática
Ejercicio 18 – Resuelve los siguientes ejercicios propuestos:
3 2 1 6 15
1) .⋅ .⋅ : . =
4 5 2 9 3
1 2 4 10 7
2) ⋅. .⋅ : . =
4 3 5 25 11
4 5 13 25
3) ÷ . . =
5 4 16 2
-9
1 8
4) ÷2. ÷16. =
2 3
4
4 3
5)- 1÷ . =
-5 5
3 25 15
6) . : =
5 6 4
Rtas: 1) 9/8 ; 2) 7/33 ; 3) 13/2 ; 4) -3/32 ; 5) ¾ ; 6 ) 2/3
Ejercicio 19: Hallar
a)
3
4
de 96 =
b)
7
8
de 648 =
e)
5
6
de 1230 =
f)
1
7
de 875 =
i) el 10 % de 321=
j) el 5 % de 300=
c)
4
5
de 850 =
d)
1
3
de 645 =
g) el 20% de 230=
h) el 15 % de 150=
k) el 50 % de 632=
l) el 25 % de 400=
Ejercicio 20 – Dadas las siguientes operaciones combinadas, resuélvelas:
5 31 
 7
+ 
1÷ − +
16 32 64 

1)
=
1
3
5
− 3 + 
4
6
  3   7 5 31  
−   − − + + 
2   4   16 8 64  
=
R: − 8 2) - ÷ 
5 
2 5 3 9  
 −  5 . 8 + 15 ÷ 30  


POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE FRACCIONES
Se distribuye y se resuelve como en enteros:
2
4 2 16
4
=
=
 
2
9
3
3
Se distribuye y se resuelve como en enteros:
9
=
25
9
25
=
3
5
La radicación también se puede pensar como un caso particular de la potenciación, donde el índice pasa a ser el
denominador del exponente fraccionario
30
Matemática
1
2
9  9
= 
25  25 
así :
=
1
(9 )2
3
=
1
5
3
5 3
o bien a 5 = a .
( 25 ) 2
m
Generalizando
a n na
  =  
b
b
m
También aparece el exponente negativo que se resuelve invirtiendo la base y elevando al mismos exponente pero
positivo, así:
4
 
 3
−2
2
9
 3
=  =
16
 4
Ejemplos de ejercicios resueltos:
1) (− 2 )
−3
2
1
3
3
1
 1
= −  = −
2) 3 2 = 33 = 27 3) 8 3 = 3 8 = 2
8
 2
4) (− 2 ) 3 = 3 (− 2 ) = 3 4
2
 4
(− 5) − 3  =
5)
1
4
(− 5) 3
=
1
3
(− 5)4
=
1
3
625
Otras propiedades de la potenciación:
3+2+1
3
Producto de potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes:
= 2 6 = 64
; a n . am = an+m
23 . 22 . 21= 2
Cociente de potencias de igual base, se copia la base y se restan los exponentes: 3 4 : 3 3 = 3 4 - 3 =
; a n : a m = a n-m
Potencia de otra potencia, se copia la base y se multiplican los exponentes.
( 4 3 )2 = 4 3 . 2 = 4 6 = 4096
;
(a n ) m = a n . m
31
Matemática
Ejemplos de ejercicios resueltos:
1)
a 2 ⋅ x −3 ⋅ x 4 ⋅ a 6 ⋅ x 8
2)
2
a⋅x ⋅a
a
5
a7
3
= a 5− 7 = a − 2 =
=
a 2+ 6 ⋅ x −3+ 4+8
a
1+3
⋅x
a6
a
−3
=
4
a ⋅x
2
= a 8− 4 ⋅ x 9 − 2 = a 4 ⋅ x 7
1
a2
3 )x 6 ⋅ x −9 = x 6+( −9 ) = x 6−9 = x −3 =
4)
2
a8 ⋅ x9
1
x3
= a 6−( −3 ) = a 6+3 = a 9
( )
−3 4
1

5 ) h 2  = h 2⋅(− 3)⋅4 = h − 24 =


h 24
( )0 

6 ) a 2

4
= a 2⋅0⋅4 = a 0 = 1
10 )a 4 ⋅ a 2 ⋅ a = a 4 + 2 +1 = a 7
7 )(− a )2 = a 2
11 )a 0 = 1
8 )(− 3) = 81
4
12 )250 = 1
9 )(− 2 )3 = −8
13 )b ⋅ b 4 ⋅ a 3 ⋅ a − 2 ⋅ b 0 = b1+ 4 + 0 ⋅ a 3 + (− 2 ) = b 5a
Ejercicio 21 – Resuelve los siguientes ejercicios:
0



2 1 1
 ⋅ − + 2
 =
1)  5 3 4
1




1
 0,3 + ⋅ 6 
3


R: 1

7


3
2) 
2

1
2 + 5
 








2
=
Ejercicio 22 - Resuelve los siguientes problemas:
1) En un colegio privado se enseñan tres tipos de idiomas: inglés, francés y portugués. De
los alumnos, ¼ estudia francés y solo 3/5 inglés. a) ¿cuántos estudian portugués? b) cual es el
idioma mas estudiado c) y el menos estudiado?
2) En el CUNNE, los 2/5 de los socios practican natación, ¼ tenis y solo 3/10 rugby. a)
Puedes decir si todos los socios practican algún deporte? b) Cual es el deporte más
practicado? c) y el menos practicado?. Se sabe que la mitad de los que no practican deportes,
hacen actividades gimnásticas, puedes decir que parte de los socios son?
32
Matemática
3)
Se desea pintar el frente de un edificio y para ello se contrataron tres pintores, al cabo de
un día, el primer pintor realizo 1/6 del trabajo, el egundo el doble que el primero y el tercero la
mitad de los otros dos juntos. a) Que parte pintó cada uno? b) Terminaron el trabajo? c) que parte
falta pintar?
Un agricultor siembra en 1/3 de su campo maíz, en 2/5 siembra trigo, en 1/6 alfalfa y el
4)
resto lo destina a pastoreo. a) Que parte del campo cultiva. b) Cuál de los cultivos ocupa la mayor
parte del campo?
OPERACIONES CON IRRACIONALES:
Resolver las siguientes operaciones con irracionales o radicales
Ejercicio 23 - Introducir bajo un mismo signo radical ( Para ello pasa primero a exponente
fraccionario)
3
1)
3)
5)
33 a
3
a2
3 =
c
4) x.
=
a.b .12
a. b
2)
3
=
x5 =
2
1
=
a
1
a.b .12   =
a
6)
Ejercicio 24 - Operaciones combinadas de potencias y raíces
3
1) 

7
7
8a  =

3
6
 3 a.b
3) 
 a.b


 =


 5 32 x 10
5) 
 b15









 81b 8
4)  4
 16c 4

−1
−2
=
−
  1  −1
2)   
 2

6)
(




 4 0,1a 2 .b 4

1
2
=
=
)
−2
2
 =

33
Matemática
Ejercicio 25 - Simplificar radicales
1) 6 27 x 3 y 3 z −6 =
3)
x 33 y 21 z 6 =
3
2a
5)
2) 12
m 8a p 4a
2a
=
xa
1 2 4 −2
x z y =
9
4)
36
1 x 12
=
64 y 24
6)
6
x2 y2
+
+2 =
y2 x2
Ejercicio 26 - Reducir a mínimo común índice
8
3
1)
12
m 2 , n3 , h8 , 6 p 2 =
2) a n b , ab n , a n .b n =
3)
4
a3 , 3 b z , 8 a z =
4)
3
3
4
b y , 3 n2z , 9 c z =
Ejercicio 27 - Extraer fuera del radical
1) 27 =
3)
2)
3
32 =
4
5)
3
1
=
99
4) 128 =
1944 x 7 y 4 z 3t =
6)
1
=
mn 3
Ejercicio 28 - Introducir dentro del radical
1) 43 3 =
3)
5) 5
34
−
2 3
=
3 2
1 1
+ =
9 16
2) 2. 5 =
4)
a + b ( a − b) 5
3
=
a − b ( a + b) 4
6) (b + 2)
1
=
b −4
2
Matemática
Ejercicio 29 - Suma algebraica de radicales
5
3
6+
6 −2 6 =
4
8
2)
3 + 27 + 48 =
3) 2a 8 a 4 − 3a 6 a 3 + 9 a 3 =
4)
( a + b) 2 x + ( a − b) 2 x =
1)
Ejercicio 30 - Productos y cocientes de radicales
Inventa tres ejercicios de operaciones de productos y cocientes con irracionales y resuélvelos.
OPERACIONES COMBINADAS
Ejercicio 31 - Inventa tres ejercicios de operaciones de productos y cocientes con irracionales y
resuélvelos.
Ejercicio 32- RACIONALIZACIÓN DE RADICALES
5
5
2
3
2
=
2 +1
−3
=
2− 3
Resuelve como ejemplo:
1
3
=
=
CÁLCULOS DE LOGARITMOS
Definición: log a b = m ⇔ a m = b
Llamamos:
a ( base del logaritmo) este valor NO puede ser cero ni 1 y si puede ser positivo:
a>0ya≠1
b ( número al que se le aplica el logaritmo) este valor No puede ser negativo b > 0
m ( resultado del logaritmo) es el exponente al que hay que elevar la base para obtener b
por ello decimos que calcular logaritmos es calcular exponentes
Ejemplos:
1) log 2 8 = 3
porque
23 = 8
5) log10 1 = 0
porque
100 = 1
2) log 2 32 = 5
porque
25 = 32
6) log 7 1 = 0
porque
70 = 1
7) log 2 8 = 3
porque
23 = 8
3) log10 100 = 2
4) log10 10 = 1
porque
porque
102 = 100
101 = 10
8) log 2 ( −4 ) no existe en el campo de los Números Reales.
35
Matemática
Tu calculadora trabaja con dos tipos de logaritmos:
1) Los logaritmos DECIMALES ( o de base 10 ) Estos son los único que no requieren que se escriba
la base: log 100 = log 10 100 = 2 ; log (1/10) = -1 ; log 1000 = 3
Tecla: log
2) Los logaritmos NEPERIANOS ( o de base “e”) [☻ recuerdas a “e” el número irracional que
resulta de la serie
 1
lim1 + 
x→∞
 x
x
= 2,7182818284585634112778506062026423767855..]
Este tipo de logaritmos se escribe ln e = log e e = 1 ; ln (1/e) = -1
Tecla: ln
Ejercicio 33 – Calcular los siguientes logaritmos utilizando la calculadora:
a) log 2345 =
b) ln 3,456 =
c) log 7,2345=
d) ln 0,1234 =
Ejercicio 34 – Calcular los siguientes logaritmos, sin utilizar calculadoras:
a) log 10 =
b) log 2 64 =
c) log 10000=
d) log 3 27 =
Propiedades de los logaritmos
1) El logaritmo NO es distributivo respecto a la suma, ni a la resta, ni al producto, ni al cociente
loga (m + n ) ≠ log a m + loga n
log a (m ⋅ n ) ≠ log a m ⋅log a n
log a (m − n ) ≠ log a m − log a n
log a (m:n ) ≠ log a m:log a n
2) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
log a (m.n ) = log a m + log a n . Ejemplo : log 2 ( 4 . 16 ) = log 2 4 + log 2 16 = 2 + 4 = 6 ☺
Esta propiedad es la que hizo famosos a los logaritmos en la época en que no existían las
calculadoras, ya que permitía a los ingenieros y a todos los que resolvían cálculos en general,
TRANSFORMAR un producto en suma, y este es el principio que utilizaba la regla de calculo.
3) El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre los logaritmos del dividendo y el
(
)
divisor log b m : n = log b m − log b n Ejemplo: log (1000: 100) = log 1000 – log 100= 3 – 2 =1
36
Matemática
Esta propiedad también fue importante, en la época en que no existían las calculadoras, ya que permitía a
los ingenieros y a todos los que resolvían cálculos en general, TRANSFORMAR un cociente en resta, y
este es otro de los principios que utilizaba la regla de calculo.
4) El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicada por el logaritmo de la base
log 5 3 2 = 2.log 5 3
Como: log b a
1
n
Consecuencia
log b a
= log b n a ⇒ log b n a =
1
n
=
1
log b a
n
log b a
n
1
1
2
Ejemplos : log 4 4 3 = 3 . log 4 4 = 3 . 1 = 3 por otro lado : log 3 5 9 = log 3 9 = .2 =
5
5
5
Esta propiedad también fue importante, en la época en que no existían las calculadoras, ya que permitía
a los ingenieros y a todos los que resolvían cálculos en general, TRANSFORMAR las potencias y las
raíces , en productos o cocientes y este es otro principio que utilizaba la regla de calculo.
Cambio de Base
Si queremos hallar el logaritmo en una base que la calculadora NO me permite como por ejemplo la base
2 o la base 3 , resolvemos el problema con un cambio de base, para utilizar las bases 10 o “e” . Así:
Tenemos presente: log 2 8 = m
2m = 8
la base 2 no existente en la calculadora.
Entonces, aplico un logaritmo que si existe, como el de base 10 a ambos miembros de la expresión :
( )
2 m = 8 resulta así log10 2 m = log10 8 ⇒ Por propiedad de logaritmos
m=
despejo m ⇒
log 3 243 =
m .log10 2 = log10 8 ⇒
log10 8
ln 8
o bien m =
. Ejemplos:
log10 2
ln 2
ln 243
=5
ln 3
;
log 5 390625 =
log 390625
=8
log 5
Ejercicio 35 – Sin emplear calculadora, calcule los siguientes logaritmos, luego verifica las
soluciones con la calculadora
a) log 5 625 =
e) log 2 4 =
i) log 1
2
b) log 5 625 =
f) log 3 3 =
j) log 2
1
=
4
1
=
2
m) log10
1
=
1000
n) log 2 2 =
37
Matemática
c) log 5 3 625 =
g) log 3 27 =
d) log 2 2 =
h) log 4 2 =
k) log 4
1
=
16
o) log 36
1
=x
6
l) log 1
1
=
4
p) log10
1
=
1000
2
LOS NÚMEROS COMPLEJOS:
Se pueden escribir utilizando dos formas:
con forma de par ordenado ( a ; b )
o con forma binómica : a + b i
Pero en ambas formas “a” representa la parte
REAL del número y “b” la parte IMAGINARIA .
Llamamos unidad imaginaria “i” al valor que multiplica a la parte imaginaria en la forma binómica
del complejo y su valor es
- 1 .-
Así por ejemplo z = 2 + 3 i es un complejo donde 2 es la parte real del mismo y 3 la parte
imaginaria, para pasarlo a la forma de par ordenado lo escribimos como ( 2 ; 3 ) .
Dos complejos son iguales si coinciden respectivamente su parte real y su parte imaginaria, por
ejemplo : z1 = 3 – 2 i
z 2 = ( 2+1) – ( 3-1). i por ello z 1 = z2
Ejercicio 36
Pasar a la forma binómica
Pasar a la forma de par ordenado
a) ( 3 ; 5 ) =
a) -8 =
b) ( 2 ; 1 ) =
b) 6 + 7 i =
c) ( -3 ; -2 ) =
c) -2 i =
d) ( 0 ; 2 ) =
d) 4 + 2 i =
e) ( -1 ; 0 ) =
e) -5 + 2 i =
f) ( -5 ; -7) =
f) 3 i =
*Representar en un Sistema de Coordenadas Cartesianas todos estos pares ordenados de
números complejos
38
Matemática
Complejos especiales:
En forma de
Par ordenado
Binomio
Reales
Imaginarios
Complejos conjugados
Complejos opuestos
puros
puros
(9;0)
(0;7)
( 2 ; 3 ) ↔ ( 2 ; -3)
( -5 ; -3) ↔ ( 5 ; 3 )
(-3 ; 0 )
( 0 ; -2)
( -1 ; 4) ↔ ( -1 ; -4)
( 2; 3 ) ↔ ( -2 ; -3 )
9
7i
2+3i ↔ 2–3i
-5 -3 i ↔ 5 + 3 i
-3
-2i
-1 + 4 i ↔ - 1 – 4 i
2 + 3 i ↔ -2 – 3 i
Tienen la parte
Conservan la parte real y
Se cambian los signos de las
real NULA
cambian el signo de la
dos partes
Tienen
parte
la
imaginaria
parte imaginaria
NULA
En el gráfico del ejercicio anterior, marca el opuesto y el conjugado de cada número complejo representado
Los complejos se representan en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales y el conjunto
completo determina el PLANO COMPLEJO, ya que cada punto del plano se corresponde con un
complejo y cada complejo a un punto del plano.
Ejercicio 37- Dibuja un sistema de coordenadas y
a) Representa 5 complejos reales puros. ¿Dónde están ubicados todos los puntos?
b) Representa 5 complejos imaginarios puros. ¿ Dónde están ubicados todos los puntos?
c) Representa 5 complejos con parte real y parte imaginaria positiva. ¿ A qué cuadrante pertenecen?
d) Representa 6 pares de complejos conjugados ¿ que notas respecto de sus ubicaciones?
Gracias a estos números ahora podemos resolver:
- 4 = 4.( −1 ) = 4 . − 1 = ±2.i
- 9 = 9.( −1 ) = 9 . − 1 = ±3.i
Con lo cual vemos que la raíz cuadrada y subradical negativo tiene dos soluciones, que son
complejos conjugados.
Para los estudiantes de ingeniería que sigan la orientación electromecánica, será de fundamental
importancia ampliar estos conceptos aprendiendo a resolver Sumas, Restas, Productos y Cocientes con
números complejos, calcular potencias y raíces de complejos y representar los complejos en coordenadas
polares, así también transformar los complejos a la forma trigonométrica y a la forma exponencial, ya que
todo cálculo que tenga que ver con movimientos ondulatorios: Aguas, ondas sonoras, ondas eléctricas,
etc. Tendrán soluciones complejas.
39
Matemática
OPERACIONES CON COMPLEJOS:
Ejercicio 38- Dados los siguientes números complejos, halla el conjugado, y representa en el
plano complejo cada par de números, saca conclusiones:
1) ( 3 ; -4 )
2) ( 3-3i )
3) 5+i
4) 2
5 ) –7i
6 ) ( 0; -3)
7) ( -1; 1)
Ejercicio 39- Dados los siguientes números complejos, halla el opuesto, y representa en el plano
complejo cada par de números, saca conclusiones:
1) ( 3 ; -4 )
2) ( 3-3i )
3) 5+i
4) 2
5 ) –7i
6 ) ( 0; -3)
7) ( -1; 1)
Ejercicio 40 - Resolver las siguientes operaciones con Complejos:
a)Suma de complejos : Suma los siguientes complejos y representa el resultado en el plano complejo:
1) (3;4) + ( 7; 4) =
2) ( 3-2i) + ( -5+4 i) =
3) ( 0 ; 3) + ( 5 ; 0 ) =
4) 7 i + 2 i =
5) ( -2 , + 3 ) + ( -4 ; -2 ) =
6) 5 + 3 =
b) Resta de complejos: Resta los siguientes complejos y representa el resultado en el plano complejo:
1) (3;4) - ( 7; 4) =
2) ( 3-2i) - ( -5+4 i) =
3) ( 0 ; 3) - ( 5 ; 0 ) =
4) 7 i - 2 i =
5) ( -2 , + 3 ) - ( -4 ; -2 ) =
6) 5 - 3 =
c)Suma algebraica de complejos
1) (3;3) + ( 2;-2) – ( 7 ; 8 ) =
2) –( 4;0) + ( 3;-1/3) – ( ½ ; ¼) =
3) (3+2i) + ( 5-3i) – ( 6 + 4i) =
4) (
5) – ( 7+i) – ( 2+3i) + ( 1,5-3,2i ) =
6) ( 7;
2 +i) – ( 2 - i ) + ( 2 + 2 i) =
2 ) – ( 1/3 ; 0,725) + ( 0,75 ; 4,1) =
d) Producto de un complejo por un real
40
1) 5.(3;3) =
2) 4 ( ½ ; ¼) =
3) (-1/2).(3+2i) =
4)
5) – 5( 7+i) =
6)(1/ 2 ). ( 7;
2 ( 2 + 2 i) =
2)=
Matemática
e) Productos de complejos
1) ( 2; 3) . ( 1;3) =
2) (-3) . ( 2+i) =
3) ( -2; 2) . ( 0;3) =
4) ( 0;2) . ( 0;3) =
5) 3i . 5i =
6) ( 1;0) . ( -2;0) =
f) Cociente de complejos
1) ( 2; 3) : ( 1;3) =
2) (-3) : ( 2+i) =
3) ( -2; 2) : ( 0;3) =
4) ( 0;2) : ( 0;3) =
5) 3i : 5i =
6) ( 1;0) : ( -2;0) =
g) Operaciones combinadas
1) ( 1/3) .( 3;4) + ( -2;2) . ( 1;1) + ( 0; 4) : ( 0; 1)=
2) ( 3 -0,5 i ) + 2. ( -3i) – ½ . ( 4+i) =
3) – ( 3-2i) –5 . ( 2+i) + (3-i) .( 3+2i) : (1+i) =
4) – 1/2 + 7i - 3,5 + 1,2 i – ( -3) . ( 8i) =
5) ( i) . ( i ) . ( -i) : ( i ) =
6) 2i . ( -5i) : ( 3i) =
Ejercicio 41 – Piensa y responde:
Que resulta si multiplico dos reales puros?
Que resulta si multiplico dos imaginarios puros?
La división por cero ( 0;0) se puede realizar? Comprobar antes de responder
Ejercicio 42 - Te animas a calcular las potencias sucesivas de la unidad imaginaria?
Recuerda que
i =
− 1 entonces i 2 =
i3 =
41
Matemática
Bibliografía:
MILLER,CH;HERREN,V.; HORNSBY,E.J.JR.; 1999; Matemática: Razonamiento y aplicaciones;
Octava edición. Ed. Pearson. México
CARMINATI DE LIMONGELLI,M.; ROCA DE SILVA, M.; 1993; Viaje por el mundo de la
Matemática; AZ-Editora; BsAs.
LOBATO, M. 1948; La aritmética de Emilia; Segunda edición, Editorial Americalee; Bs. As.
42
CAPITULO
ESTADÍSTICA
2
Matemática
IIN
ND
DIIC
CE
E
o Aplicaciones de la Estadística
o Análisis de un Caso
ƒ Población
ƒ Muestra
ƒ Unidades de Análisis
ƒ Variables
ƒ Valores
ƒ Análisis descriptivo:
♦ Tablas de Frecuencias y Gráficos
♦ Medidas de Posición
♦ Medidas de Dispersión
Autor
Silvia Mazza
45
Matemática
ESTADÍSTICA:
Aplicaciones de la Estadística:
La Estadística es una Ciencia que crea, desarrolla y aplica técnicas adecuadas para el resumen y la
interpretación de datos, como también para extraer conclusiones útiles sobre la totalidad de las
observaciones posibles en base a la información recolectada.
La información que analiza la estadística está constituida por datos (numéricos o no), provenientes de
observaciones realizadas en la realidad.
Antes de realizar el análisis de la información es necesario tener en cuenta:
El origen de los datos, se debe tener plena confianza en que la información que se dispone ha
sido relevada de manera responsable, que los valores indicados han sido tomados
cuidadosamente, tomando precauciones para evitar todo tipo de errores.
La representatividad de los datos, no siempre es posible evaluar el conjunto total de individuos
bajo estudio (Población), por cuestiones de tiempo, economía, disponibilidades de recursos
físicos y humanos, la mayoría de las veces se trabaja con un subconjunto representativo de ésa
población (muestra), por lo cual es necesario asegurarse la representatividad de la muestra.
Las características de la información disponible, la cual es determinante del tipo de análisis
que se puede efectuar con ella.
Análisis de un Caso:
Una empresa procesadora de pescado desea instalarse en una Localidad sobre la costa Argentina. De
un análisis previo resultó que existen dos localidades, con gran actividad pesquera y que ofrecen a la
empresa condiciones similares. Para poder decidir en que localidad instalarse en base a información
calificada, la empresa decide realizar un análisis estadístico sobre las características y volumen de
producción de pescado en ambas localidades. Se encomienda a un experto que recabe la información y
realice un análisis.
El experto, en primer lugar solicita una reunión con los directivos de la empresa. En esa reunión les
hace una serie de preguntas, las que le sirven para determinar entre otras cosas: la población bajo estudio,
las unidades de análisis, las variables y los valores que tomarán las mismas.
Para una mejor comprensión de las cuestiones que iba consultando y un mejor entendimiento con los
directivos, el experto les dio algunas explicaciones:
¾ Población: está constituida por el conjunto total de individuos o unidades, que poseen al
menos una característica en común y que interesan para el estudio. La cantidad de unidades que la
componen constituye su tamaño y se indica por N.
¾ Muestra: es el subconjunto de la población, representativo de ella y que reproduce las
características y relaciones que se presentan en el todo. La cantidad de unidades que la componen
constituye su tamaño y se indica por n.
46
Matemática
¾
Unidades de análisis: son las unidades físicas donde se realiza cada observación.
¾
Variables: son características, susceptibles de cambiar de un individuo a otro.
¾
Valores: en cada unidad de análisis en particular, cada variable tomará diferentes valores
según corresponda
Una vez que los directivos tuvieron en claro estas cuestiones, le brindaron al experto la información
que necesitaba y éste pudo establecer:
La población bajo estudio, en este caso se trabaja con dos poblaciones (una en cada localidad) y
están compuestas por las embarcaciones de pescadores de cada una de las localidades.
Las unidades de análisis, están constituidas por cada embarcación de pesca.
Las variables, se tiene en cuenta localidad, propietario, tamaño o categoría de la embarcación,
cantidad de días efectivos de pesca, cantidad y precio de pescado por día.
En este punto, les explicó brevemente que las variables pueden clasificarse en cualitativas (que
describen una cualidad o atributo de la cosa) y cuantitativas (sus valores están expresados por cantidades);
estas últimas a su vez se pueden dividir en discretas (solamente toman valores aislados, generalmente
enteros) y continuas (pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo).
Los valores que toman las mismas, en algunos casos esos valores son numéricos y en otros no, de
acuerdo al tipo de variable de que se trate. Para cada una de las variables en estudio, los valores son:
Localidad (LOC): cada localidad es identificada como 1 ó 2, corresponde a los dos lugares
geográficos en estudio. Se trata de una variable cualitativa que se codifica en forma numérica
únicamente para facilitar el tratamiento de los datos.
Propietario (PRO): en este caso interesa conocer si el propietario es un particular, una sociedad
o una cooperativa. Se trata por lo tanto de una variable cualitativa y sus valores (particular, sociedad
o cooperativa) se codifican en 1, 2 ó 3 respectivamente.
Categoría de la embarcación (CE): se trata de una variable cualitativa cuya clasificación se
basa en las características pesqueras de las embarcaciones, dadas principalmente por el tamaño. Los
valores que toma esta variable son: chica, mediana y grande, codificados como 1, 2 y 3
respectivamente.
Días efectivos de pesca (DEP): indica, en promedio, la cantidad de días por semana en que la
embarcación efectivamente realiza actividades de pesca. Se obtiene dividiendo los días de pesca
efectiva en el año por la cantidad de semanas al año y redondeando al entero más próximo. Se trata
de una variable cuantitativa discreta puesto que sus valores son números enteros.
Cantidad pescada por día (CP): corresponde a los kilogramos de pescado obtenidos por la
embarcación en promedio por día de pesca. Se obtiene dividiendo la cantidad total pescada en el año
por los días efectivos de pesca. Se trata de una variable cuantitativa continua, por lo que sus valores
son números reales.
47
Matemática
Precio obtenido por día (PP): expresa el precio de pescado obtenido por la embarcación en
promedio por día de pesca. Se obtiene dividiendo el ingreso total en el año por los días efectivos de
pesca. Se trata de una variable cuantitativa continua, por lo que sus valores son números reales.
Por último, el experto les informó a los directivos que en el caso de variables cualitativas iba a
utilizar códigos numéricos simplemente para facilitar las tareas de carga y análisis de la información y
prevenir errores, pero que deben tener en cuenta su característica no numérica.
Luego de acordados estos puntos, el experto les consultó acerca del tipo de estudio a realizar. Si se
requiere un estudio que abarque varios años (hacia el pasado: retrospectivo) o si simplemente se
conformaban con un análisis de la situación en el último año, además era necesario definir si se realizaría
un censo de toda la población o bien se trabajaría con un muestreo.
Finalizado un debate se concluyó que, a pesar de que lo mejor sería un estudio de varios años, si no
existían registros previos en la región, para algunas variables en estudio solamente sería posible obtener
información del último año. Por otro lado se decidió que las variables categoría de embarcación y
propietario, se estudiarían mediante un censo y las otras a través de un muestreo.
Luego de un relevamiento y análisis previo de ambas poblaciones, en donde estableció que existía un
total de 552 embarcaciones de las diferentes categorías en ambas localidades (254 en la Localidad 1 y 298
en la Localidad 2), decidió tomar una muestra del 20% de ellas (50 en la Localidad 1 y 60 en la Localidad
2).
El experto se trasladó entonces a las localidades para tomar las muestras y obtener toda la
información necesaria. Construyó la siguiente tabla o cuadro, en donde se indica número de orden de la
embarcación censada, si participa o no de la muestra extraída y los valores para cada variable:
Tabla Nº 1: Valores observados en cada unidad de análisis, para cada variable.
Nº
Participa
LOC
CE
PRO
orden
Muestra
1
No
1
2
1
2
Si
1
1
...
...
...
552
Si
2
DEP
Especie 1
Especie 2
Especie 3
CP
PP
CP
PP
CP
PP
....
...
...
...
...
...
...
2
3
22
1,3
43
1,8
58
0,7
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2
3
6
65
1,8
83
1,9
82
0,9
Una vez obtenida la información, decidió confeccionar algunas tablas y gráficos y calcular algunos
valores que le ayudaran a describir las variables en estudio en ambas localidades y realizar un análisis
comparativo para que los directivos de la empresa pudieran decidirse por una u otra.
48
Matemática
Análisis descriptivo:
Tablas de Frecuencias y Gráficos.
En primer lugar, construyó tablas de frecuencias, que contienen en sus columnas distintas frecuencias
y permiten visualizar la distribución que presentan los diferentes valores de las variables.
Para las variables cualitativas se contabilizó la cantidad de veces con que se presentaban los
diferentes valores (Frecuencia Absoluta: f(i)) y su relación con el total (Frecuencia Relativa: f(x)),
confeccionándose las tablas de frecuencias que se presentan a continuación. Por otra parte, con
los valores de dichas tablas se elaboraron los Gráficos de Barras, en los que cada barra representa
una categoría o valor de la variable y su altura indica en escala la f(i) y los gráficos de sectores
circulares en los que cada porción del círculo representa proporcionalmente el porcentaje
correspondiente a cada valor según su f(x).
1-
Localidad (LOC):
En ambas localidades se registró un
total de 552 embarcaciones de pesca
comercial, de las cuales 254 pertenecen
a la Localidad 1 (46%) y 298 a la
Localidad 2 (54%). Se observa que en
la Localidad 2 el número de
embarcaciones es algo superior.
Gráfico Nº 1 (Barras): cantidad de embarcaciones (f(i)) por
Localidad
f(i)
300
250
200
150
100
50
0
Tabla Nº2:
Frecuencias observadas por
Localidad
1
2
Localidad
Gráfico Nº 2 (Sectores Circulares): distribución porcentual de
embarcaciones (f(x)) por Localidad
Localidad
LOC
f(i)
f(x)
1
254
0,46
2
298
0,54
Total
552
1,00
46%
54%
1
2
49
Matemática
2- Propietario (PRO):
Se trata también de una característica no
numérica (cualitativa), que es expresada en
forma numérica a los fines de facilitar el
tratamiento de los datos. Se calcula para
cada localidad las Frecuencias Absolutas
(f(i)) y Relativas (f(x)).
Gráfico Nº 3 (Barras): cantidad de
embarcaciones (f(i)) por tipo de Propietario
en LOC 1
f(i)
140
120
100
80
60
40
20
0
Tabla Nº 3: Frecuencias observadas por tipo de
Propietario
LOC 1
LOC 2
PRO
f(i)
f(x)
f(i)
1
136
0,54
125 0,42
F(x)
2
74
0,29
50
3
44
0,17
123 0,41
Total
254
1,00
298 1,00
0,17
Gráfico Nº 4 (Barras): cantidad de embarcaciones (f(i))
por tipo de Propietario
en LOC 2
150
f(i)
100
50
0
1
2
3
1
2
3
Propietario
Propietario
Gráfico Nº 5 (Sectores Circulares):
distribución porcentual (f(x)) de los tipos de
Propietarios en LOC 1
Gráfico Nº 6 (Sectores Circulares): distribución
porcentual (f(x)) de los tipos de Propietarios en LOC 2
Propiet ario
Propiet ario
41%
17%
54%
29%
42%
1
1
2
2
3
3
17%
En los cuadros y gráficos precedentes se puede observar que pertenecen a propietarios Particulares el
54% de las embarcaciones de la Localidad 1 (136), mientras que en la Localidad 2 solamente el 42%
(125). Corresponden a Sociedades, el 29% de las embarcaciones de la Localidad 1 (74) y el 17% (50) de
la Localidad 2. En tanto que son propiedad de Cooperativas el 17% de las embarcaciones de la Localidad
1 (44) y solamente el 4% de las de la Localidad 2 (123). Se observa que en la Localidad 1 predominan las
embarcaciones Particulares, mientras que en la Localidad 2, si bien son mayoritarias las Particulares se
destaca la cantidad perteneciente a Cooperativas.
50
Matemática
3- Categoría de Embarcación (CE):
Los valores de la variable tienen un Tabla Nº 4: Frecuencias observadas por Categoría
de Embarcación
ordenamiento lógico (escala ordinal) por ello,
además de las frecuencias ya vistas se pueden
LOC 1
LOC 2
calcular las Frecuencias Acumuladas Absolutas
(F(i)), que incluyen para cada valor de la variable CE f(i) f(x) F(i) F(x) f(i) f(x) F(i) F(x)
1
142 0,56 142 0,56 136 0,46 136 0,46
las f(i) de ese valor y de los anteriores; y
2
73 0,29 215 0,85 84 0,28 220 0,73
Relativas (F(x)), que acumulan de idéntica
manera las f(x). Para este tipo de variable se
3
39 0,15 254 1,00 78 0,26 298 1,00
incluye también un Gráfico de Barras Total 254 1,00
298 1,00
Acumulativas, en el que cada barra representa la
F(x) de cada categoría.
Gráfico Nº 7 (Barras): cantidad de embarcaciones
(f(i)) por Categoría de Embarcación en LOC 1
160
140
140
120
120
100
100
f(i)
Gráfico Nº 8 (Barras): cantidad de embarcaciones
(f(i)) por Categoría de Embarcación en LOC 2
f(i)
80
60
80
60
40
40
20
20
0
0
1
2
1
3
2
3
Categoría de Embarcación
Categoría de Embarcación
Gráfico Nº 9 (Sectores Circulares): distribución
porcentual (f(x)) de las Categorías de
Embarcación en LOC 1
Gráfico Nº 10 (Sectores Circulares): distribución
porcentual (f(x)) de las Categorías de
Embarcación en LOC 2
Categoría Embarcación
Categoría Embarcación
26%
15%
46%
1
2
56%
29%
1
2
3
3
28%
Gráfico Nº 11 (Barras Acumulativas): distribución
acumulativa (F(i)) de las Categorías de
Embarcación en LOC 1
F(i)
300
250
200
150
100
50
0
Gráfico Nº 12 (Barras Acumulativas): distribución
acumulativa (F(i)) de las Categorías de
Embarcación en LOC 2
F(i)
1
2
Categoría Embarcación
3
300
250
200
150
100
50
0
1
2
3
Categoría Embarcación
En el Cuadro y los Gráficos precedentes se puede observar que en la Localidad 1 existen 142
embarcaciones pequeñas (categoría 1) que representan el 56%, 73 embarcaciones medianas (29%) y 39
grandes (15%), mientras que en la Localidad 2, 136 (46%) son pequeñas, 84 (28%) son medianas y 78
(26%) son grandes.
51
Matemática
De las Frecuencias Acumuladas se desprende que en la Localidad 1, el 56% de las embarcaciones
son pequeñas (142), el 85% son pequeñas o medianas (215); mientras que en la Localidad 2, el 46% son
pequeñas (136) y el 73% son medianas o pequeñas (220), es decir que en la Localidad 2 hay mayor
porcentaje de embarcaciones grandes que en la Localidad 1.
Para el caso de las variables cuantitativas discretas, cuando éstas toman un reducido número de
valores, el experto decidió tratarlas de la misma manera que las cualitativas, es decir hacer un recuento de
la cantidad de veces que ocurre cada valor, obteniendo las frecuencias absolutas y relativas. Cuando se
trataba de variables cuantitativas (discretas o continuas) que toman un gran número de valores, con el fin
de reducir esa información de manera que pueda observarse el comportamiento de las variables, esos
valores fueron agrupados conformando intervalos de clase.
4- Días efectivos de pesca:
Es una variable cuantitativa discreta con
un rango de valores que van desde un
mínimo de 3 días (valor observado en
algunas de las embarcaciones y que
corresponde a la menor cantidad de días
efectivos de pesca por semana en ambas
localidades), hasta un máximo de 7 días
(observado otras embarcaciones y que
corresponde al mayor número de días
efectivos de pesca por semana en ambas
localidades).
Gráfico Nº 13 (Barras): cantidad de
embarcaciones (f(i)) por Días Efectivos de
Pesca en LOC 1
Tabla Nº 5: Frecuencias observadas por Días Efectivos de
Pesca
LOC 1
DEP
f(i)
f(x)
3
2
4
8
5
15
6
18
0,36
7
7
0,14
Total
50
1,00
f(i)
f(i) 10
5
0
3
4
5
Días de pesca
52
6
7
F(x)
f(i)
f(x)
0,04
2
0,16
10
0,30
25
F(i)
F(x)
0,04
8
0,20
10
0,13
8
0,13
0,17
18
0,30
0,50
18
0,30
36
0,60
43
0,86
15
0,25
51
0,85
50
1,00
9
0,15
60
1,00
60
1,00
Gráfico Nº 14 (Barras): cantidad de embarcaciones (f(i))
por Días Efectivos de Pesca en LOC 2
20
15
LOC 2
F(i)
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
3
4
5
6
Días de pesca
7
Matemática
Gráfico Nº 15 (Sectores Circulares): distribución
porcentual (f(x)) de los Días Efectivos de Pesca en
LOC 1
Gráfico Nº 16 (Sectores Circulares): distribución
porcentual (f(x)) de los Días Efectivos de Pesca en
LOC 2
Días de pesca
Días de pesca
4%
14%
13%
15%
3
16%
5
36%
30%
5
7
Gráfico Nº 18 (Barras Acumulativas):
distribución acumulativa (F(i)) de los Días
Efectivos de Pesca en LOC 2
50
60
40
50
40
30
F(i) 30
20
20
10
0
6
30%
7
F(i)
4
25%
6
Gráfico Nº 17 (Barras Acumulativas): distribución
acumulativa (F(i)) de los Días Efectivos de Pesca en
LOC 1
3
17%
4
10
3
4
5
6
Días de Pesca
7
0
3
4
5
6
7
Días de pesca
En la LOC 1 solamente pescaron efectivamente 3 días en la semana, 2 embarcaciones (4%), mientras
que en la LOC 2 lo hicieron 8 (13%); 4 días por semana, 8 embarcaciones (16%) en la LOC 1 y 10 (17%)
en la LOC 2; 5 días semanales, 15 embarcaciones (30%) en la LOC 1 y 18 (30%) en la LOC 2; 6 días por
semana, 18 embarcaciones (36%) en la LOC 1 y 15 embarcaciones (25%) en la LOC 2; mientras la mayor
cantidad de días de pesca, 7 días por semana, se presenta solamente en 7 embarcaciones de la LOC 1
(14%) y en 9 de la LOC 2 (15%).
En ambas localidades hay una distribución que concentra la mayor cantidad de embarcaciones entre
los 5 y 6 días de pesca, mientras que los valores extremos (muy bajos o muy altos) presentan menores
frecuencias. Sin embargo, se puede observar que la LOC 1 presenta su máxima frecuencia en 6 días de
pesca por semana (mayor cantidad de embarcaciones con esa cantidad de días efectivos de pesca),
mientras que la LOC 2 lo hace con 5 días por semana, lo que indica que por alguna razón las
embarcaciones de la LOC 1 parecen tender a una mayor cantidad de días efectivos de pesca.
53
Matemática
5- Cantidad pescada (CP, en Kg./día):
Tabla Nº 6: Frecuencias observadas por Cantidad Pescada
LOC 1
Es una variable cuantitativa
discreta, con un amplio rango de
valores, entre escasa cantidad de
Kg. de pescado (mínimo de 18
Kg.), hasta cerca de los 500 Kg.
(máximo de 498 Kg.).
LOC 2
CP
xi
f(i)
f(x)
F(i)
F(x)
f(i)
f(x)
F(i)
F(x)
0-100
50
2
0,04
2
0,04
5
0,08
5
0,08
100-200
150
5
0,10
7
0,14
7
0,12
12
0,20
200-300
250
24
0,48
31
0,62
15
0,25
27
0,45
300-400
350
15
0,30
46
0,92
24
0,40
51
0,85
400-500
450
4
0,08
50
1,00
9
0,15
60
1,00
50
1,00
60
1,00
Total
Los valores se agruparon en cinco intervalos de clase. En la Tabla Nº6 se incluye también la clase
(xi), punto medio de cada intervalo de clase y las cuatro frecuencias vistas (f(i), f(x), F(i) y F(x)) para
cada localidad.
Gráfico Nº 19 (Barras): cantidad de
embarcaciones (f(i)) por Cantidad Pescada en
LOC 1
Gráfico Nº 20 (Barras): cantidad de embarcaciones
(f(i)) por Cantidad Pescada en LOC 2
25
25
20
20
f(i)
f(i)
15
15
10
10
5
5
0
0
0-100
100200
200300
300400
400500
0-100 100-200 200-300 300-400 400-500
Cantidad pescada
Cantidad Pescada
Gráfico Nº 22 (Sectores Circulares): distribución
Gráfico Nº 21 (Sectores Circulares): distribución
porcentual (f(x)) de las Cantidades Pescadas en porcentual (f(x)) de las Cantidades Pescadas en LOC 2
LOC 1
Cantidad pescada
Cantidad pescada
15%
30%
8%
4%
10%
8%
12%
100-200
0-100
200-300
100-200
200-300
300-400
48%
54
0-100
400-500
300-400
40%
25%
400-500
Matemática
Gráfico Nº 24 (Barras Acumulativas): distribución
Gráfico Nº 23 (Barras Acumulativas):
distribución acumulativa (F(i)) de las Cantidades acumulativa (F(i)) de las Cantidades Pescadas en LOC
Pescadas en LOC 1
2
50
40
F(i)
30
F(i)
20
10
0
0-100
100200
200300
300400
60
50
40
30
20
10
0
400500
0-100 100- 200- 300- 400200 300 400 500
Cantidad pescada
Cantidad pescada
El rango de la cantidad de pesca en ambas localidades es muy amplio, pero los valores extremos son
poco frecuentes y existe una gran concentración de observaciones en los valores centrales. En la LOC 2
esa concentración es menor y los valores extremos presentan frecuencias mayores. En la LOC 1, el 78%
(0,48 + 0,30) de las embarcaciones pesca entre 200 y 400 Kg. al día, en la LOC 2 lo hace el 65% (0,25 +
0,40). El intervalo más frecuente en la LOC 1 es el de 200 – 300 Kg./día, mientras que en la Localidad 2
es el que comprende 300 – 400 Kg./día.
6- Precios obtenidos (PP, en $/Kg.):
Es una variable discreta, con
un amplio rango de valores,
desde un mínimo de 0,20
$/Kg., hasta un máximo de
2,49 $/Kg. Los datos se
agruparon en cinco intervalos
de clase. En la Tabla Nº7 se
incluyen las cuatro frecuencias
vistas (f(i), f(x), F(i) y F(x)) por
localidad.
Tabla Nº 7: Frecuencias observadas por Precios Obtenidos
LOC 1
PP
xi
f(i)
0,00 – 0,50
0,25
2
0,04
0,50 – 1,00
0,75
3
0,06
1,00 – 1,50
1,25
5
1,50 – 2,00
1,75
25
2,00 – 2,50
2,25
Total
Gráfico Nº 25 (Barras): cantidad de
embarcaciones (f(i)) por Precios Obtenidos
en LOC 1
f(x)
F(i)
LOC 2
F(x)
f(i)
f(x)
2
0,04
5
F(i)
F(x)
5
0,10
9
0,08
5
0,08
0,15
14
0,23
0,10
10
0,20
0,50
35
0,70
10
0,17
24
0,40
12
0,20
36
0,60
15
0,30
50
1,00
50
1,00
24
0,40
60
1,00
60
1,00
Gráfico Nº 26 (Barras): cantidad de embarcaciones (f(i))
por Precios Obtenidos en LOC 2
25
20
25
20
f(i)
f(i)
15
10
5
10
0
5
0
15
0,00 – 0,50 – 1,00 – 1,50 – 2,00 –
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0,00 – 0,50 – 1,00 – 1,50 – 2,00 –
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
Precios obtenidos
Precios obtenidos
55
Matemática
Gráfico Nº 27 (Sectores Circulares):
distribución porcentual (f(x)) de los Precios
Obtenidos en LOC 1
Gráfico Nº 28 (Sectores Circulares): distribución
porcentual (f(x)) de los Precios Obtenidos en LOC 2
Precios obtenidos
Precios obtenidos
4%
30%
6% 10%
8%
40%
0,00 – 0,50
0,00 – 0,50
0,50 – 1,00
1,00 – 1,50
0,50 – 1,00
17%
1,00 – 1,50
20%
1,50 – 2,00
50%
15%
1,50 – 2,00
2,00 – 2,50
2,00 – 2,50
Gráfico Nº 29 (Barras Acumulativas):
distribución acumulativa (F(i)) de los Precios
Obtenidos en LOC 1
Gráfico Nº 30 (Barras Acumulativas): distribución
acumulativa (F(i)) de los Precios Obtenidos en LOC 2
60
50
50
40
40
F(i)
F(i) 30
30
20
20
10
10
0
0
0,00 – 0,50 – 1,00 – 1,50 – 2,00 –
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0,00 – 0,50 – 1,00 – 1,50 – 2,00 –
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
Precios obtenidos
Precios obtenidos
Los precios observados tienen variabilidad, las mayores frecuencias se dan en los valores mas altos.
En la LOC 1, el 80% de los precios oscila entre $1,50 y 2,50, en la LOC 2 ese rango incluye el 60% de las
observaciones.
Análisis Descriptivo:
Para complementar la descripción de las variables en estudio mediante tablas y gráficos, se
calcularon los Valores característicos, resultantes de la aplicación de cálculos matemáticos a los valores
observados en una población (se denominan parámetros), o muestra (reciben el nombre de estadísticos o
estimadores).
Se los puede clasificar en:
Medidas de Posición: permiten ubicar los valores en estudio sobre el eje de las abscisas. Indican
fundamentalmente la posición que ocupa el centro de la muestra o población y permiten hacer
comparaciones entre muestras o poblaciones. A valores mayores, la distribución se encuentra mas a
la derecha sobre el eje de las abscisas.
De acuerdo con las características que presenten las variables en estudio, se podrán calcular todas
estas medidas o algunas de ellas solamente.
Entre ellas se destacan por su uso generalizado:
56
Matemática
9 Media aritmética: es el promedio aritmético de todos los valores observados para la variable
en la muestra o población. Es el valor más representativo de la serie de datos y sintetiza a todos los
demás. Para su cálculo requiere que la variable en estudio se de tipo cuantitativo, ya que es
necesario realizar operaciones de suma y cociente con los valores observados.
9 Mediana: es el término central de la serie, cuando ésta está ordenada. Es el valor que divide a
la serie en dos grupos de igual número de términos. Es decir el 50% de los valores será inferior a la
mediana y el otro 50% superior a la misma.
9 Moda: es el valor más frecuente de la serie. Es decir es el término al que le corresponde la
mayor frecuencia.
Medidas de Dispersión: indican la manera en que los datos se distribuyen alrededor de los valores
centrales (generalmente alrededor de la media aritmética).
Para su cálculo requieren datos numéricos, es decir variables cuantitativas. Cuanto mayores son sus
valores indican mayor dispersión o variabilidad en los datos.
Los de uso mas generalizado son:
9 Rango: diferencia entre el valor mínimo y el máximo. Mide la variabilidad de los datos a
partir de la distancia entre los valores extremos.
9 Variancia: es el promedio aritmético de las desviaciones cuadráticas de cada término de la
serie con respecto a la media aritmética. Indica la variabilidad existente con un valor en cuyo
cálculo intervienen todos datos.
9 Desviación estándar: es la raíz cuadrada de la Variancia. Arroja un valor mas pequeño y de
uso mas sencillo que la variancia.
9 Coeficiente de variación: razón entre la desviación estándar y la media aritmética. Mide la
variabilidad en unidades de media aritmética, permite comparar variabilidades de distintas series de
datos e incluso de diferentes variables.
1Localidad (LOC) (ver Tabla 2 y Gráficos 1 y 2): Es una variable cualitativa, medida en escala
nominal, solamente se puede hallar la moda.
57
Matemática
Para la determinación de la moda en esta situación, se identifica el valor de la
variable que presenta la mayor frecuencia.
En nuestro caso corresponde al valor 2, es decir, la LOC 2 posee más embarcaciones que la LOC 1.
2Propietario (PRO) (ver Tabla 3 y Gráficos 3 al 6): Es una variable cualitativa, medida en escala
nominal, solamente se puede hallar la moda. En este caso corresponde al valor 1 (particular) en ambas
localidades, aunque en la LOC 2 aparece una segunda moda correspondiente al valor 3 (cooperativa). En
ambas localidades la mayor cantidad de embarcaciones son de propiedad de particulares, si bien en la
LOC 2 las embarcaciones de cooperativas son un número importante.
3Categoría de Embarcación (CE) (ver Tabla 4 y Gráficos 7 al 12): Variable cualitativa, medida en
escala ordinal, además de la moda se halla la mediana.
Para ello se determina el primer valor de la variable que presenta una frecuencia
acumulada superior al 50% de las observaciones
En este caso para la LOC 1 corresponde al valor 1 y para la LOC 2 el valor 2. Esto indica que en la
LOC 1, el 50% de las embarcaciones son chicas y el otro 50% se distribuye entre medianas y grandes,
mientras que en la LOC 2, el 50% son chicas o medianas y el otro 50% son medianas o grandes.
4Días efectivos de pesca (ver Tabla 5 y Gráficos 13 al 18): Por tratarse de una variable cuantitativa,
pueden calcularse todas las medidas de posición y de dispersión tal como se indica a continuación:
Cálculo de la Media Aritmética:
Datos no agrupados: la media aritmética resulta de sumar todas las observaciones y dividirlas por el
número de sumandos.
Población:
Muestra:
N
µ=
∑x
i =1
N
n
i
−
x=
∑x
i =1
i
n
Datos agrupados en tablas de frecuencias: resulta de sumar los productos de todas las clases
(puntos medios de cada intervalo de clase) por la frecuencia absoluta de cada clase o categoría y
dividir por el número de sumandos.
58
Matemática
Población:
Muestra:
k
K
µ=
∑x .f
i =1
i
(i )
−
x=
N
∑x .f
i =1
i
(i )
n
k = Número de intervalos de clase o categorías.
En nuestro caso:
LOC 1
k
−
x=
∑x .f
i =1
i
(i )
n
=
3x 2 + 4 x8 + 5 x15 + 6 x18 + 7 x7
= 5,40
50
LOC 2
k
−
x=
∑x .f
i =1
i
(i )
k
=
3x8 + 4 x10 + 5 x18 + 6 x15 + 7 x9
= 5,12
60
En esta localidad los días
efectivos de pesca promedio
por semana y por
embarcación son 5,40.
En esta localidad los días
efectivos de pesca promedio
por semana y por
embarcación son 5,12.
Cálculo de la Mediana:
Es una variable discreta que toma un conjunto pequeño de valores, se identifica el primer valor de la
variable que acumula el 50% de las observaciones.
El valor hallado, 5 para ambas localidades significa que el 50% de las embarcaciones pesca menos de
5 días y el otro 50% mas de 5 días a la semana.
Cálculo de la Moda:
Con el mismo razonamiento se determina la moda, observando el valor de la variable al que le
corresponde la mayor frecuencia absoluta.
Para la LOC 1 se encuentra en 6 días de pesca efectiva y para la LOC 2 en 5 días.
Cálculo del Rango:
Se obtiene por diferencia entre el valor máximo y el mínimo.
R = X máx − X mín = 7 − 3 = 4
Ambas localidades tienen un rango de 4 unidades,
lo que indica que entre la embarcación de menos
días efectivos de pesca y la de mas cantidad,
existe una diferencia de cuatro días.
59
Matemática
Cálculo de la Variancia:
Datos no agrupados: Se obtiene el promedio de las desviaciones al cuadrado de todas las
observaciones respecto de la media aritmética. En el caso del estimador ese promedio se obtiene con
un denominador n-1.
Población:
Muestra:
N
n
∑ ( xi − µ ) 2
σ2 =
S2 =
i =1
N
∑ (x
i =1
−
i
− x) 2
n −1
Datos agrupados en tablas de frecuencias: Se obtiene el promedio, ponderado por la frecuencia, de
las desviaciones al cuadrado de todas las clases respecto de la media aritmética. En el caso del
estimador ese promedio se obtiene con un denominador n-1.
Población:
Muestra:
K
σ2 =
k
∑ ( xi − µ ) 2 f ( i )
S 2=
i =1
N
−
∑ ( xi − x ) 2 f ( i )
i =1
n −1
k = Número de intervalos de clase o categorías.
En nuestro caso:
LOC 1
k
S 2=
∑ (x
i =1
−
i
− x) 2 f (i )
n −1
=
(3 − 5,40) 2 x 2 + ... + (7 − 5,40) 2 x7
= 1,10
49
LOC 2
k
S 2=
∑ (x
i =1
−
i
− x) 2 f ( i )
n −1
=
(3 − 5,12) 2 x8 + ... + (7 − 5,12) 2 x9
= 75,27
59
Las variancias indican que en la LOC 2 existe mayor variabilidad.
Cálculo del desvío estándar:
Población:
Muestra:
σ =
σ
S =
2
S
2
En nuestro caso:
LOC1
S =
60
S
2
= 1 , 05
Los valores de Desviación Estándar también nos indican
que la LOC 2 presenta mayor variabilidad que la LOC 1.
Matemática
LOC 2
S =
S
= 8 , 68
2
Cálculo del Coeficiente de Variación:
Población:
Muestra:
Cv =
σ
x100
µ
Cv =
S
−
x100
x
En nuestro caso:
Los valores de los coeficientes de variabilidad
LOC 1
Cv =
S
−
x100 =
x
1,05
x100 = 19,44%
5,40
corroboran que, si bien los rangos son iguales en
ambas localidades, los días efectivos de pesca
presentan en la LOC 2 una variabilidad mucho
LOC 2
mayor que en la LOC 1.
S
6,68
Cv = − x100 =
x100 = 130,47%
5
,
12
x
5.
Cantidad pescada (CP, en Kg./día):
Cálculo de la Media Aritmética:
LOC 1
k
−
x=
∑x .f
i =1
i
(i )
n
=
50 x 2 + 150 x5 + 250 x 24 + 350 x15 + 450 x 4
= 278,00
50
La cantidad pescada promedio por día y por embarcación es de 278,00 Kg.
LOC 2
k
−
x=
∑x .f
i =1
i
k
(i )
=
50 x5 + 150 x7 + 250 x15 + 350 x 24 + 450 x9
= 291,67
60
La cantidad pescada promedio por día y por embarcación es de 291,67 Kg., algo superior a la LOC 1.
61
Matemática
Cálculo de la Mediana:
Datos no agrupados: se ordenan los datos en forma creciente o decreciente y se ubica el valor
central.
Md = X ( n +1) / 2
Md =
Si la serie tiene número impar de datos
X n / 2 + X n / 2+1
2
Si la serie tiene número par de datos
Datos agrupados en tablas de frecuencias: para su cálculo se debe ubicar el primer intervalo que
acumule el 50% de las observaciones (primer F(x) > 0,50) que indica el valor de “i” y luego
reemplazar los valores de la siguiente fórmula:
n
− F( i −1)
Md = L + 2
.a
f (i )
L: límite inferior del primer intervalo cuya F(x) supera 0,50.
F(i-1): frecuencia acumulada hasta la clase anterior a la primera que supera 0,50.
f(i): frecuencia absoluta de la clase cuya F(x) es la primera que supera 0,50.
a: amplitud de intervalo (límite superior menos el inferior).
En nuestro caso:
LOC 1
n
50
− F( i −1)
−7
2
2
.100 = 275,00
Md = L +
.a = 200 +
f (i )
24
LOC 2
n
60
− F( i −1)
− 27
2
2
.100 = 312,50
Md = L +
.a = 300 +
f (i )
24
El 50% de las embarcaciones
pesca menos de 275 Kg./día
en la LOC 1, el otro 50%
mas de esa cantidad. En la
LOC 2 esa situación se da
para un valor mayor que es
de 312,50 Kg.
Cálculo de la Moda:
Datos agrupados en tablas de frecuencias: solamente se calcula en el caso de tener datos
agrupados por frecuencias. Para su determinación se ubica el intervalo de clase o categoría a la que le
corresponden la máxima frecuencia (i) y se aplica la fórmula que sigue a continuación:
Mo = L +
L: límite inferior de la clase modal (de mayor f(i))
62
∆1
.a
∆1 + ∆ 2
Matemática
∆(1): diferencia de frecuencia absoluta entre la clase modal y la anterior.
∆(2): diferencia de frecuencia absoluta entre la clase modal y la posterior.
a: amplitud del intervalo de clase (diferencia entre el límite superior y el inferior).
En nuestro caso:
LOC 1
Mo = L +
∆1
(24 − 5)
.100 = 267,86
.a = 200 +
(24 − 5) + (24 − 15)
∆1 + ∆ 2
LOC 2
∆1
(24 − 15)
.a = 300 +
.100 = 337,50
∆1 + ∆ 2
(24 − 15) + (24 − 9)
Mo =
La cantidad más frecuentemente pescada en la LOC 1, 267,86 Kg./día, es algo inferior a la de la
LOC 2 igual a 337,50.
Cálculo del Rango:
LOC 1
R = X máx − X mín = 493 − 18 = 475
LOC 2
R = X máx − X mín = 498 − 24 = 474
Ambas localidades tienen un rango muy semejante, de
475 unidades en la LOC 1 y de 474 en la LOC 2, lo que
indica que entre la embarcación que menos y que mas
cantidad de pesca han obtenido, existe una diferencia de
475 Kg..
Cálculo de la Variancia:
LOC 1
k
S 2=
−
∑ ( xi − x) 2 f ( i )
i =1
n −1
=
(50 − 278,00) 2 x 2 + ... + (450 − 278,00) 2 x 4
= 8179,59
49
LOC 2
k
S 2=
−
∑ ( xi − x) 2 f ( i )
i =1
n −1
=
(50 − 291,67) 2 x5 + ... + (50 − 291,67) 2 x9
= 12980,23
59
Las variancias en ambas localidades indican mayor variabilidad para la LOC 2.
63
Matemática
Cálculo del desvío estándar:
LOC1
S =
S
2
= 90 , 44
LOC 2
S =
S
2
La Desviación Estándar también indica que la LOC 2
presenta mayor variabilidad.
= 113 , 93
Cálculo del Coeficiente de Variación:
Cv =
S
−
x100 =
x
LOC 1
Los coeficientes de variabilidad corroboran que,
90,44
x100 = 32,53%
278,00
aun con rangos iguales en ambas localidades, los
LOC 2
Cv =
S
−
x100 =
x
6.
días efectivos de pesca presentan en la LOC 2 una
variabilidad mayor que en la LOC 1.
113,93
x100 = 39,06%
291,67
Precios obtenidos (PP, en $/Kg.):
Cálculo de la Media Aritmética:
LOC 1
k
−
x=
∑x .f
i =1
i
(i )
n
=
0,25 x 2 + 0,75 x3 + 1,25 x5 + 1,75 x 25 + 2,25 x15
= 1,73
50
El precio promedio de pescado obtenido por día y por embarcación es de $1,73.
LOC 2
k
−
x=
∑x .f
i =1
i
k
(i )
=
0,25 x5 + 0,75 x9 + 1,25 x10 + 1,75 x12 + 2,25 x 24
= 1,59
60
El precio promedio de pescado obtenido por día y por embarcación es de $1,59. Algo inferior al
obtenido en la LOC 1.
64
Matemática
Cálculo de la Mediana:
LOC 1
n
50
− F( i −1)
− 10
Md = L + 2
.a = 1,50 + 2
.0,50 = 1,80
25
f (i )
El 50% de las embarcaciones obtiene
menos de $1,80 por Kg./día en la LOC
1, el otro 50% obtiene mas de esa
cantidad, mientras que para la LOC 2
esa situación se da para un valor mayor
que es de $1,75 por Kg./día.
LOC 2
n
60
− F( i −1)
− 24
2
2
.0,50 = 1,75
Md = L +
.a = 1,50 +
f (i )
12
Cálculo de la Moda:
LOC 1
Mo = L +
∆1
(25 − 5)
.a = 1,50 +
.0,50 = 1,83
∆1 + ∆ 2
(25 − 5) + (25 − 15)
LOC 2
Mo =
∆1
(24 − 12)
.a = 2,00 +
.0,50 = 2,17
(24 − 12) + (24 − 0)
∆1 + ∆ 2
El precio mas frecuente en la LOC 1 es de 1,83 Kg./día, inferior al de la LOC 2 igual a 2,17.
Cálculo del Rango:
LOC 1
R = X máx − X mín = 2,32 − 0,20 = 2,12
LOC 2
R = X máx − X mín = 2,49 − 0,53 = 1,96
Se ha observado un rango de 2,12 unidades en la
LOC 1 y de 1,96 en la LOC 2, lo que indica que
entre la embarcación que menor y mayor precio
han obtenido, existe una diferencia de $2,12 en la
LOC 1 y de $1,96 en la LOC 2.
65
Matemática
Cálculo de la Variancia:
LOC 1
k
S 2=
−
∑ ( xi − x) 2 f ( i )
=
i =1
n −1
(0,25 − 1,73) 2 x 2 + ... + (2,25 − 1,73) 2 x15
= 0,25
49
LOC 2
k
S 2=
∑ (x
i =1
−
i
− x) 2 f (i )
n −1
=
(0,25 − 1,59) 2 x5 + ... + (2,25 − 1,59) 2 x 24
= 0,46
59
Las variancias en ambas localidades indican que en la LOC 2 existe mayor variabilidad de cantidad
pescada.
Cálculo del desvío estándar:
LOC1
S =
S
2
= 0 , 50
Los valores de Desviación Estándar también nos indican
que la LOC 2 presenta mayor variabilidad que la LOC 1.
LOC 2
S =
S
2
= 0 , 68
Cálculo del Coeficiente de Variación:
LOC 1
Cv =
S
−
x100 =
x
0,50
x100 = 28,9%
1,73
LOC 2
Cv =
S
−
x
66
x100 =
0,68
x100 = 42,77%
1,59
Los coeficientes de variabilidad corroboran que,
si bien los rangos son iguales en ambas
localidades,
los días efectivos de pesca
presentan en la LOC 2 una variabilidad mucho
mayor que en la LOC 1.
Matemática
Para Resolver:
1En la ciudad de Corrientes, Argentina, se realizó un estudio de los árboles de lapacho existentes,
para lo que se tomó una muestra de 30 árboles.
En la misma se evaluó la ubicación de los mismos (1= veredas, 2= parques y paseos, 3= propiedades
privadas), el color de las flores (1= rosa fuerte, 2= rosa, 3= rosa pálido, 4= blanco), la cantidad de ramas
primarias (1, 2, 3, 4,...) y la altura, los datos se consignan en la siguiente tabla.
Realice un análisis descriptivo, mediante tablas, gráficos y el cálculo de valores característicos.
Nº Orden
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Ubicación
1
1
1
3
2
1
1
2
1
1
2
2
3
2
2
1
1
1
1
3
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
Color
3
3
2
1
1
2
2
3
2
2
2
1
2
2
2
1
3
3
2
2
1
3
2
1
2
2
3
2
1
2
Nº Ramas
4
3
2
4
3
4
4
2
4
4
3
4
4
5
4
4
3
3
2
4
5
3
3
2
4
4
5
3
2
4
Altura
12,4
25,7
22,8
10,9
5,2
15,2
8,5
17,6
23,9
18,3
28,9
24,5
23,3
7,4
12,6
14,7
17,2
20,0
22,9
21,7
21,3
27,6
26,4
24,8
17,1
26,5
28,0
15,2
21,7
17,9
2. Una gran cadena de supermercado decide realizar un estudio de sus empleados, para ello
toma una muestra de 40 de ellos, provenientes de tres secciones de interés y en diferentes
sucursales.
67
Matemática
En la misma se evaluó la sección a la que pertenece (1= textiles, 2= electrodomésticos, 3= bazar), la
categoría (1= cadete, 2= empleado, 3= jefe sección), la antigüedad en años (1, 2, 3, 4,...) y el sueldo, los
datos se consignan en la siguiente tabla.
Realice un análisis descriptivo, mediante tablas, gráficos y el cálculo de valores característicos.
Nº Orden
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
68
Sección
1
1
2
1
1
1
1
3
1
3
2
2
3
2
2
1
1
1
1
3
1
1
1
1
2
1
2
2
2
1
1
1
3
2
1
3
1
2
1
1
Categoría
2
3
2
1
2
2
2
3
2
1
2
1
2
2
2
1
3
3
2
2
1
2
1
2
2
3
2
2
2
3
1
2
1
2
2
3
3
2
1
1
Antigüedad
16
24
5
13
22
17
4
2
24
14
7
16
8
25
19
6
3
3
2
18
5
3
23
12
2
6
19
17
24
4
4
3
8
4
6
5
4
2
4
7
Sueldo
324,36
748,49
224,15
236,42
435,48
346,45
217,45
542,17
486,14
242,47
268,45
284,72
275,89
499,54
415,38
198,36
569,74
572,45
207,24
358,42
178,15
219,42
358,42
319,25
209,42
621,54
454,16
407,38
485,64
608,62
157,56
215,45
197,54
227,89
257,86
625,77
610,78
205,87
156,46
199,36
Matemática
BIBLIOGRAFÍA:
CHAO, L.L. 1993. Estadística para las Ciencias Administrativas. 3ª Edición. Ed. Mc Graw Hill.
México.
STEEL, R.G.D. Y J.H. TORRIE. 1992. Bioestadística, Principios y Procedimientos. Ed. Mc Graw
Hill. México.
CORTADA DE KOHAN, N. 1993. Diseño Estadístico. Ed. Universitaria de Buenos Aires.
Argentina.
69
CAPITULO
GEOMETRÍA
3
Matemática
IIN
ND
DIIC
CE
E
o Introducción
o Condición necesaria y suficiente
o Conjetura. Demostración
o Criterios de congruencia
o Construcciones con regla y compás
o Limitaciones Del Dibujo Y Las Gráficas
o Perímetros Y Áreas
o Proporcionalidad directa e inversa
o Volumen y capacidad. Unidades
o Teorema De Thales. Corolario
o Escalas. Semejanza
o Problemas Resueltos y Propuestos
o Miscelánea de Problemas
o Glosario de definiciones y fórmulas
Autores
Nelci N. Acuña
Daniela I. Andreoli
M. Cristina Beltrametti
73
Matemática
¿La o las Geometrías?
El origen de la Geometría se remonta al estudio de actividades prácticas y la resolución de
problemas cotidianos. Los primeros problemas que se plantearon los egipcios y babilonios fueron
el cálculo de áreas, perímetros y volúmenes de figuras y cuerpos sencillos. Los matemáticos en
esas culturas no tenían un desarrollo teórico organizado por axiomas y teoremas, tal como se
conoce a la Geometría hoy en día. Esta ciencia era entonces una colección de reglas,
procedimientos y resultados obtenidos en forma experimental para resolver problemas.
Euclides, en el siglo III a.C. con su tratado “Los Elementos”, fue quien
recopiló, clasificó y ordenó las relaciones encontradas. Así podemos ver que la
primera concepción de la Geometría tuvo mucho que ver con una ciencia de
tipo intuitiva que utilizaba razonamientos inductivos, relacionados con el
mundo físico. La segunda concepción, la de Euclides, está construida
elementorum
deductivamente y fue capaz de sistematizarse axiomáticamente escribió Opus euclidis
numerosos tratados de Geometría, en su libro “Geometrías no Euclideanas” cita
Venecia 1482
a Henri Poincaré y dice “Poincaré ha rechazado la posibilidad de decidir, por
medio de la experiencia, cuál es la “verdadera” Geometría. Más aún, sostiene que el problema en
sí carece de sentido, ya que una geometría no es más o menos verdadera sino más o menos
cómoda para ser aplicada a un cierto “mundo”.
La Geometría que se enseña en la escolaridad obligatoria es la Geometría Euclideana; pero
consideramos importante destacar que también existen las geometrías no euclideanas que se
utilizan en campos como la física teórica.
Sobre el tratamiento en este libro.
Para el desarrollo de este tema hemos elegido como ejes algunos procedimientos generales
del quehacer matemático a través de actividades que lleven a la interpretación y representación de
conceptos y relaciones en distintos marcos (físicos, gráficos, geométricos, etc.), y a la
investigación de la validez de la generalización de soluciones y resultados a través del uso de
ejemplos y contraejemplos para rebatirlos; elaborando conjeturas y pruebas; analizando
razonamientos propios y ajenos.
La geometría es un campo propicio para el trabajo de aspectos relevantes de la actividad
matemática como la demostración, las condiciones necesarias y suficientes y la resolución de
problemas de construcción.
La idea es retomar los contenidos geométricos del nivel de escolaridad anterior, enfatizando
sus significados en la resolución de problemas. En los mismos se pondrán en juego
procedimientos de clasificaciones, descripciones que incluyen propiedades y construcciones con
regla y compás.
Adjuntamos al final del Capítulo un listado de fórmulas de la Geometría Plana y Esférica,
como así también algunas definiciones y propiedades que consideramos conveniente tengas
presente al momento de resolver problemas.
Sobre condiciones necesarias y suficientes, conjeturas, demostraciones, ....
Dado el siguiente enunciado:
1
74
“Si la medida de un ángulo exterior cualquiera de un triángulo isósceles es el
doble de la medida de su adyacente, entonces el triángulo es equilátero.”
Matemática
o
Discute con tu compañero y luego en el grupo de clase cómo harías para determinar si es verdadero.
o
Escribe cómo harías para convencer a alguien que no esté en tu grupo de la verdad o no del mismo.
o
Extrae una conclusión respecto del enunciado y su recíproco.
Un teorema consta de una premisa llamada hipótesis y de una conclusión
llamada tesis. En la hipótesis se enuncian los supuestos que se verifican y en
la tesis lo que se demostrará, basándonos en la hipótesis.
En el caso particular que nos ocupa, partiendo del supuesto: “la medida de un ángulo
exterior cualquiera de un triángulo isósceles es el doble de la medida de su adyacente”
(hipótesis), debemos demostrar que “el triángulo es equilátero” (tesis).
Si la tesis de un teorema es la hipótesis de otro y viceversa, los teoremas son
recíprocos.
El teorema recíproco (la tesis del primero es la hipótesis del segundo y viceversa) al
enunciado es:
“Si un triángulo es equilátero, entonces la medida de un ángulo exterior cualquiera es el doble
de la medida de su adyacente.”
El teorema contrario (la hipótesis y la tesis de uno son las respectivas negaciones de
las hipótesis y tesis del otro) del teorema dado se enuncia de la siguiente manera:
“Si la medida de un ángulo exterior cualquiera de un triángulo isósceles no es el doble de la medida de su
adyacente, entonces el triángulo no es equilátero.”
Generalmente se dice que la hipótesis H es condición suficiente para la tesis
T y que la tesis T es condición necesaria para la hipótesis H.
Cuando se verifica el teorema y su recíproco, o su contrario se dice que H es
condición necesaria y suficiente para T.
Por ejemplo, para demostrar la congruencia de dos
triángulos, deberíamos demostrar la congruencia de los tres
lados y de los tres ángulos, es decir de los seis elementos del
triángulo.
Sin embargo, no resulta necesario hacerlo con todos los
elementos, basta con que se verifiquen ciertas condiciones entre
lados y ángulos para asegurar la congruencia; son los llamados
criterios de congruencia de triángulos que establecen las
condiciones necesarias y suficientes para que dos triángulos
sean congruentes.
Nos limitaremos a recordarlos, evitando la demostración.
Para recordar
Dos figuras son
congruentes si tienen los
lados y los ángulos
respectivamente
congruentes.
b
b’
a
abc ≡ a' b' c' ⇔
c’
c
ab
≡ a 'a’
b'
aˆ ≡ aˆ '

⇔  bc ≡ b' c'
bˆ ≡ bˆ'
 ac ≡ a' c'
cˆ ≡ cˆ'

75
Matemática
Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo que
forman, son congruentes.
α
Primer
criterio
ab ≡ a' b'
∆
∆

ac ≡ a' c'  ⇔ abc ≡ a' b' c'
αˆ ≡ αˆ ' 

α'
Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes un lado y los dos ángulos con
vértices en los extremos del mismo congruentes, son congruentes.
Segundo
criterio
α
α'
β
β'
ab ≡ a ' b'
∆
∆

αˆ ≡ αˆ '  ⇔ abc ≡ a' b' c'

βˆ ≡ βˆ ' 
Si dos triángulos tienen los tres lados respectivamente congruentes, son congruentes.
Tercer criterio
I
I
II
II
ab ≡ a ' b'
∆
∆

ac ≡ a ' c'  ⇔ abc ≡ a ' b' c'

bc ≡ b' c' 
Si dos triángulos tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de los lados
respectivamente congruentes, son congruentes.
Cuarto criterio
I
I
2
α'
α
ab ≡ a ' b'
∆
∆

ac ≡ a ' c'  ⇔ abc ≡ a ' b' c'
αˆ ≡ αˆ ' 

Indica cuáles de las afirmaciones que siguen son siempre verdaderas. En caso de no ser
siempre verdadera muestra un ejemplo en donde no se cumpla la propiedad.
a) Todos los triángulos equiláteros son congruentes.
b) Si dos triángulos equiláteros tienen un lado congruente, son congruentes.
c) Si dos lados de un triángulo son congruentes con dos de los lados del otro, entonces los triángulos
son congruentes.
d) Si dos triángulos isósceles tienen dos lados respectivamente congruentes, son congruentes.
e) Si dos triángulos tienen dos de sus ángulos respectivamente congruentes, entonces los triángulos son
congruentes.
f) Si dos triángulos isósceles tienen respectivamente congruentes un lado y un ángulo, entonces los
triángulos son congruentes.
g) Si dos triángulos rectángulos tienen los ángulos agudos correspondientes respectivamente
congruentes, son congruentes.
76
Matemática
Recordemos que en Matemática, para justificar o mostrar la falsedad
de una proposición basta con mostrar un ejemplo llamado contraejemplo
donde se cumplan las condiciones iniciales enunciadas y sin embargo no se
verifica la propiedad.
Por ejemplo, la afirmación “si dos lados de un triángulo son congruentes con dos de los
lados de otro, entonces los triángulos son congruentes” es falsa. Para demostrarlo basta con
encontrar dos triángulos que tengan un par de lados congruentes, y no sean congruentes.
∆
∆
Los triángulos aob y cob tienen ao ≡ oc por ser radios de
la circunferencia y ob lado común a ambos, y sin embargo no
son congruentes.
α
α'
ab ≡ a' b'
 ∆ ∆
ac ≡ a' c'  ⇔ abc ≡ a'b' c'
αˆ ≡ αˆ ' 

3
Para resolver con lo que ya saben
Un grupo de vecinos del Barrio Asunción desea construir en un terreno donado por el
municipio una huerta comunitaria. Disponen de 25 rollos de 20 m cada uno de tejido
gallinero para cercarla.
Se desea establecer las dimensiones de la huerta que convinieron en hacerla rectangular, de modo que
con el tejido disponible cerquen la mayor superficie posible.
Analicemos una posible solución de uno de los grupos:
Como se dispone de 25 rollos de 20 m cada uno, el tejido
disponible para cercar la huerta es:
25 rollos · 20 m/rollo = 500
m
El problema consiste en hallar el rectángulo de perímetro 500 m que tenga mayor área, o
sea de área máxima.
Sean x e y las dimensiones de los lados del rectángulo, que representa la huerta,
expresadas en metros.
el perímetro es
a esta ecuación la podemos escribir
de donde
luego el lado es
P = 2 x + 2 y = 500
2( x + y ) = 500
500
= 250
2
y = 250 − x
x+ y =
Confeccionamos una tabla con valores arbitrarios, pero posibles para x, con los valores
calculados de y = 250 − x y los valores hallados del área para cada par de valores de x e y .
Observando la tabla se
intuye que, cuando
x = y = 125m , el área es
la máxima.
x
y = 250 − x
50
75
100
125
150
175
200
200
175
150
125
100
75
50
A = x(250 − x )
10000
13125
15000
15625
15000
13125
10000
77
Matemática
Graficando la función cuadrática A = x(250 − x ) = − x 2 + 250 x o sea el área de los rectángulos de
perímetro 500 m en función de la longitud de uno de los lados, en un sistema de ejes cartesianos
ortogonales, se obtiene:
La continuidad del trazo de
la gráfica queda justificado
en el hecho de que se
supone que se han
determinado los infinitos
valores de A para los
infinitos valores x del
intervalo real [0;250]
La gráfica, nos permite
intuir nuevamente que
el máximo valor que
toma la función
corresponde a
x = 125m
A = 15625m ²
0
250
Por lo tanto se trataría de un rectángulo de lados congruentes, esto es, un
cuadrado.
Los resultados obtenidos, tanto por medio de la tabla como por el gráfico, nos han
conducido a conjeturar que el cuadrado es el rectángulo de área máxima entre todos los
rectángulos de igual perímetro.
Pero ¿son suficientes estos resultados para poder afirmar que hemos demostrado que el
cuadrado es el rectángulo que tiene mayor área entre todos los de igual perímetro?.
Seguramente tu respuesta es negativa, de modo que continuaremos trabajando, con el
propósito de lograr una demostración.
Consideremos todos los rectángulos de igual perímetro P
P = 2x + 2 y
A= x⋅ y
P
4
2x + 2 y x + y
=
4
2
x+ y


 2 
2
y el área de los rectángulos es
si ese rectángulo fuera además un cuadrado su lado es
o sea
y el área del cuadrado es
que coincide con x2
2
Nos preguntamos entonces quién será mayor
que resulta equivalente a comparar
x+ y


2 
142
4
3
ó
área del cuadrado
x+ y
2
con
x+ y
y la altura de un triángulo
2
rectángulo, con ángulo recto con vértice sobre la
circunferencia y cuyo pie es el punto de unión de los
segmentos x e y , es H = x ⋅ y .
78
x⋅ y
c
Recurrimos primeramente al siguiente gráfico para tratar de
obtener una respuesta.
Construimos una circunferencia de diámetro
x + y . El radio es
x⋅ y
{
área del rectángulo
x+ y
2
H
x. y
a
x b
y
d
Matemática
En efecto, como los triángulos abc y cbd son semejantes por ser ambos rectángulos y
por ser congruentes uno de sus ángulos agudos, por tener el mismo complemento, se verifica:
H
y
=
x
H
H2 = x⋅ y
⇔
⇔
H =
x⋅ y
x+ y
2
para cualquier par de valores
tales que x ≠ y
Si nos basamos en la
propiedad que afirma que
“el diámetro es la mayor
de las cuerdas” podemos
concluir que
x. y <
x+ y
2
cuando x = y
x. y =
Este resultado nos dice que “todos los rectángulos no cuadrados de lados x e y tienen
área menor que el cuadrado de lado x (ó y, como se prefiera)”.
Este último desarrollo constituye una solución geométrica del
problema planteado que permite apreciar la potencialidad de los
gráficos como herramienta en el quehacer matemático, sin embargo,
esperamos que a través de este capítulo, el lector pueda percibir
también sus limitaciones.
Nos preguntamos ahora si podremos encarar una solución con recursos exclusivamente
algebraicos.
Deberíamos entonces demostrar que efectivamente:
x. y ≤
lo que es equivalente a
x+ y
x. y ≤ 

 2 
2
x+ y
2
Recordamos que el cuadrado de un número real cualquiera es siempre un número real
mayor o igual a 0, por lo tanto desarrollando el cuadrado del binomio
(
x−
y
)2 ≥ 0
( x )2 − 2
⇔
x y+
( y )2 ≥ 0
como x e y son números positivos es posible cancelar índices y exponentes.
Asociando resulta:
x−2 x y + y≥0
es decir
x. y ≤
x+ y
2
⇔
x+ y≥2 x y
⇔
x+ y
≥ xy
2
2
x+ y
ó bien x. y ≤ 
 que es lo que se quería demostrar
 2 
2
x+ y
2
 = x que es el área de un cuadrado de lado x
 2 
Cuando x = y resulta x. y = x 2 ∧ 
79
Matemática
Para afirmar ideas veamos
Media geométrica y Media aritmética
Dados dos números reales x e y, llamamos media geométrica de x e y a la raíz cuadrada de su
producto, es decir:
x+ y
2
x. y y llamamos media aritmética a su semisuma, esto es:
Como hemos logrado probar, la media geométrica nunca supera a la
media aritmética.
Conjetura
Una conjetura es una suposición, una intuición de que un fenómeno matemático ocurre, una
generalización obtenida por medio de una observación inferencial de casos o de una reflexión, que luego
se validará o refutará.
Demostración
Ejecutar una demostración consiste en deducir la verdad de una afirmación matemática como
consecuencia lógica de axiomas establecidos o verdades previamente demostradas. Supone poder validar
una conjetura sin recurrir a la constatación empírica.
Para profundizar
4
5
c
Sea c cualquier punto de una semicircunferencia. El
triángulo abc es siempre rectángulo, ¿por qué?
Sugerencia: ver ángulos inscriptos en el glosario.
a
•
o
b
Cuál es la mínima información necesaria respecto de los lados y ángulos de dos
paralelogramos para decidir su congruencia?
¿Y para determinar la congruencia de dos rectángulos?
6
80
Si en el triángulo abc se tiene que aˆ = cˆ y
bm es bisectriz de b̂ ¿Es posible afirmar que
∆
∆
amb ≡ bcm ? Justifica tu respuesta.
Para recordar
Bisectriz de un ángulo es la
semirrecta interior que lo
divide
en
dos
ángulos
congruentes y es el lugar geométrico
de los puntos del plano que
equidistan de los lados del ángulo.
Matemática
A) Demuestre que si la medida de la base de un triángulo es igual a la suma de las
medidas de las bases de un trapecio y ambas figuras tienen la misma altura, entonces
tienen áreas equivalentes.
7
B) Demuestre que los puntos medios de los lados de rectángulo son los vértices de un rombo.
C) Deduzca la fórmula del área de un polígono regular de n lados, conociendo la apotema y la medida
del lado.
D) Demuestre que el área de un romboide es igual al semiproducto de las medidas de sus diagonales.
Construcciones con regla y compás
Construye triángulos que verifiquen las siguientes condiciones:
8
a) un lado de 5 cm y otro de 6 cm y el ángulo opuesto al lado de 5 cm de 50º.
b) un lado de 4 cm, otro de 6 cm y el ángulo opuesto al lado de 6 cm de 135º.
c) un lado 3,5 cm, otro de 5 cm y el ángulo opuesto al lado de 3,5 cm de 70º
d) dos lados de 5 cm y el ángulo opuesto a uno de ellos de 80º
e) ¿Siempre ha sido posible realizar la construcción? ¿Ha sido única?
Compara tus respuestas con la de tus compañeros y enuncien conclusiones.
Ejecutando los pasos que se describen, es posible realizar las construcciones.
Figura de análisis
• Se construye el ángulo α̂ trazando una semirrecta de origen a y
transportando con el compás, a partir de la misma, el arco y luego
la abertura que lo determinan.
C
α
• Con centro en a y con radio B se traza una circunferencia que
corta a la semirrecta en el vértice c.
Datos
A
Sean A y B dos lados y α̂ el ángulo opuesto al lado A
• Con centro en c y con radio A, se traza una circunferencia que
corta, o no, al otro lado del ánguloα, quedando así determinado, o
no, el triángulo solicitado.
α
B
b
a)
b)
Se obtiene un único triángulo
Se obtienen
dos
triángulos
5 cm
b
5 cm
6 cm
50°
a
6 cm
c
a
135°
4 cm
c
81
Matemática
c)
d)
c)
b
a
c
c
a
No existe tal triángulo
a
Se obtiene un único triángulo
Los resultados obtenidos nos permiten concluir que los problemas geométricos, al igual que otro tipo de
problemas matemáticos, no siempre tienen solución, y si la tienen no siempre es única.
Analicemos la situación anterior, en forma más general.
Llamemos D a la distancia del vértice c al lado opuesto. D<B.
α
Si A<D no existe solución, ya que la recta R es exterior a la
circunferencia de centro c y radio a trazada (ítem c).
Si A=D<B la recta R es tangente y existe una solución, válida si el
ángulo
es agudo.
α
α'
α
ab ≡ a b'' 
 ∆ ∆
ac≡ a c''  ⇔ abc ≡ a b c'''
αˆ ≡ αˆ' 

Si D<A<B la recta R es secante a la circunferencia y al interceptarla
en dos puntos, existen dos soluciones.
α
Si A=B una de las intersecciones coincide con a (ítem d).
Si A>B la recta R es secante a la circunferencia interceptando a
ambos lados del punto a y existe una solución, sea
agudo u
obtuso.
α
α'
ab ≡ a b'' 
 ∆ ∆
ac≡ a c''  ⇔ abc ≡ a b c'''
αˆ ≡ αˆ' 

α
α
En la construcción de triángulos con regla y compás, se pueden presentar otros casos:
a) Dados dos lados A, B y el ángulo comprendido
construcción siempre es posible.
α
α'
ab ≡ a b'' 
 ∆ ∆
ac≡ a c''  ⇔ abc ≡ a b c'''
αˆ ≡ αˆ' 

, la
c)
82
α'
B
α
B
α
ab ≡ a b'' 
 ∆ ∆
ac≡ a c''  ⇔ abc ≡ a b c'''
αˆ ≡ αˆ' 

y β̂ , la solución existe,
b) Dados un lado y dos ángulos
siempre que la suma de estos ángulos sea menor que un
llano.
α
A
Dados los tres lados, el problema tendrá solución si se
verifican las propiedades de los lados de un triángulo
a<b+c y a>b-c.
A
α
β
α β
Matemática
Sobre las construcciones en Geometría
Uno de los problemas que se plantea la Geometría desde sus inicios es la construcción de
figuras empleando regla y compás. En estas construcciones la regla se debe considerar como un
instrumento para trazar rectas (ecuaciones de primer grado), y el compás, para trazar
circunferencias (ecuaciones de segundo grado). De allí que la posibilidad de la construcción de un
punto geométrico está ligado a la solución algebraica de un sistema de ecuaciones de primero y
segundo grado. No es posible realizar construcciones con regla y compás de soluciones asociadas
a ecuaciones de grado mayor que 2, no reducibles. “La condición necesaria y suficiente para que
un punto pueda ser obtenido con regla y compás, a partir de otros dados, es que sus coordenadas
se expresen en función de las coordenadas de los datos mediante un número finito de operaciones
racionales y extracción de raíces cuadradas”. (Santaló, 1961). En este capítulo hemos construido
x+ y
x. y y 2 .
Si bien no es objeto de este curso, por cuanto el desarrollo teórico es complejo, te
comentamos que “si el número real a es construible, entonces a es raíz de algún polinomio con
coeficientes racionales y su polinomio minimal tiene grado igual a una potencia de 2” (Bonomo y
otros, 1996). Recordemos que un número a es raíz de un polinomio
P ( x) = a0 + a1x + a2 x 2 + ...... + an x n si P (a) = 0 y entre los infinitos polinomios Q(x) tales que
Q(a) = 0 , llamamos minimal de a al polinomio de grado mínimo. Surge entonces una fuerte
relación entre cuestiones geométricas y algebraicas que ya mencionaba Euclides entre segmentos
y números, y luego Sophus Lie, entre números reales y puntos de una recta. Problemas clásicos de
la imposibilidad de construir con regla y compás son: la cuadratura del círculo, la duplicación
del cubo, la trisección del ángulo y la construcción del heptágono regular. No es posible cuadrar
un círculo pues ello requiere la construcción de π lo que no es posible debido a que π no es raíz
de algún polinomio; de la misma manera, la duplicación del cubo requiere construir una arista
igual a 3 2 , que si bien es raíz del polinomio x3 − 2 , su grado no es una potencia de 2. En cuanto
a la construcción de polígonos regulares, diremos brevemente que “un polígono regular de n lados
es construible con regla y compás, sí, y sólo si n = 2k . p1. p2 ...... pm con k ∈ N 0 y
n
p1 , p2 , ......, pm primos distintos y todos de la forma 2 2 + 1 , conocidos como Primos de Fermat”.
Son Primos de Fermat: 3, 5, 17, 257, 65537.
Usando regla y compás construye, si es posible, un paralelogramo que tenga un
lado de 4 cm y una diagonal de 5 cm. Anota los pasos del procedimiento que
realices. ¿Encontraste una sola figura que cumpla las condiciones enunciadas?
Compara tu trabajo con el de tus compañeros y enuncia una conclusión.
9
83
Matemática
10
a) Dados tres segmentos cualesquiera A, B y C, ¿siempre es posible construir un
paralelogramo tal que dos de ellos sean los lados y el tercero la diagonal?
b) Dados dos segmentos A y B cualesquiera, ¿siempre es posible construir un rectángulo de
modo que:
i. A y B sean los lados?
ii. uno sea uno de los lados y el otro la diagonal?
c) Dado un segmento A cualquiera, ¿siempre es posible construir:
iii. un rombo que lo tenga por lado?
iv. un cuadrado que lo tenga por lado o diagonal?
En cada uno de los casos, establece cuáles son las condiciones de posibilidad.
¿Siempre se obtiene una única solución?.
Tratando de responder a las cuestiones anteriores, seguramente
habrás observado que la posibilidad de construir cuadriláteros con
regla y compás se basa generalmente en las condiciones de
posibilidad de la construcción de triángulos y en la verificación de
sus propiedades.
11
Analiza si es posible construir con regla y compás un cuadrado de 3 cm de lado,
siguiendo las siguientes instrucciones. Anota cómo lo realizaste, para luego
confrontar en grupo. Procedimiento:
1. Trazar un segmento PQ de 5 cm.
2. Con centro en P, trazar una circunferencia de radio 3 cm.
3. Con centro en Q, trazar una circunferencia de radio 3 cm.
4. La intersección de las dos circunferencias son los puntos M y N.
5. Unir P con M; M con Q; Q con N y N con P.
12
84
Si queremos construir un triángulo de 3 cm de altura y uno de sus ángulos es de
130º ¿son suficientes los datos? ¿por qué? ¿hay una sola solución posible? Explica
tus argumentos.
Matemática
13
Construye los siguientes polígonos, empleando regla y compás. Describe el
procedimiento justificando las propiedades que usaste.
a) Un triángulo equilátero de 3 cm de lado.
b) Un rectángulo de lados de longitud 5 cm y 3,5 cm.
c) Un cuadrado de 5 cm de diagonal.
d) Un rombo de diagonales de 6 cm y 4 cm respectivamente.
e) Un hexágono regular de 3 cm de radio.
f) Un cuadrado inscripto en una circunferencia de radio r y calcula su área.
g) Un triángulo conociendo las medidas de un ángulo, del lado opuesto y la altura
correspondiente a este último.
Sobre las limitaciones de los dibujos y las gráficas
Las figuras representan objetos
que ya no pertenecen al espacio
físico, si no a un espacio
conceptualizado.
14
“El dibujo de figuras en Geometría es, sin duda, una
herramienta poderosa en la resolución de problemas en
general y en la gestión de demostraciones en particular”1
Veamos al respecto, los siguientes problemas:
Construye un rectángulo abcd con ab =10 cm y bc = 6 cm . Sobre la diagonal
ac marca un punto p a 9 cm de a . Por p traza un par de perpendiculares a los
lados que determinan los puntos i, j, k y l sobre los lados ab , cd ,
ad y
bc respectivamente. ¿Qué puedes afirmar respecto de las áreas de los rectángulos dkpj y blpi ?
área rectángulo dkpj = 7,9 cm x 1,3 cm =10,27 cm2
k
1
área dkpj > área blpi
7,9 cm
j
c
•
l
1,3 cm
p 2,2 cm
9 cm
área rectángulo blpi = 4,6 cm x 2,2 cm =10,12 cm2
y concluyeron:
10 cm
d
a
4,6 cm
Un grupo de estudiantes midió las bases y las alturas de ambos
rectángulos y calculó las áreas así:
i
b
CAMUYRANO, M. et al. “Matemática. Temas de su Didáctica”, p. 77. Prociencia. Conicet, 1998
85
Matemática
10 cm
a
área rectángulo dkpj = 7,8 cm x 1,4 cm =10,92cm2
9 cm
área rectángulo blpi = 4,7 cm x 2,4 cm =11,28 cm2
y concluyeron:
7,8 cm
k
área dkpj < área blpi
i
b
4,7 cm
Otro grupo también midió y calculó obteniendo:
2,4 cm
l
•
1,4 cm p
c
j
d
¿Qué podemos afirmar acerca de las soluciones halladas por ambos grupos? ¿Quién tiene
razón? ¿A qué se deben estos resultados contradictorios, tratándose del mismo rectángulo y
encontrándose el punto p a igual distancia del punto a en ambos casos? ¿Cuál es la respuesta
correcta?
En efecto, en el intento de responder estas preguntas,
Ilusión de Müller-Lier, en la
seguramente adjudicarás las diferencias obtenidas a la
que segmentos iguales
imperfección del procedimiento utilizado por ambos grupos,
parecen
de distinta longitud
esto es, la obtención de las longitudes de los lados de los
rectángulos a través de la medida, que les da por resultado
longitudes distintas cuando deberían ser idénticas. Más aún, en
ninguno de los casos se cuidó el hecho de que las longitudes
debían sumar 10 cm y 6 cm. Esperamos que esta situación te
permita reflexionar acerca de la importancia de apoyarse en
dibujos y diagramas, pero también en qué tipo de información
podemos extraer de los mismos. En los dibujos de análisis no
pueden suponerse igualdades, ni desigualdades, ni
paralelismos (como en los ejemplos que se muestran a la
derecha), ni medir longitudes con regla graduada ya que ello
nos brinda solamente una idea aproximada de su verdadero
Ilusión de Zellner. Las líneas largas
valor.
oblicuas de la figura son paralelas,
aunque parece que se vayan a
cortar.
Veamos entonces una breve pero correcta respuesta
Cualquier diagonal de un rectángulo, lo divide en
dos triángulos de igual área. Por lo tanto:
1+2+3 = 4+5+6 pero, por la misma razón:
•
p
1
36
área dkpj = área blpi
c
l
5
4
a
86
2
k
1 = 4 y 3 = 6 con lo cual debe suceder que
2 = 5 es decir
j
d
i
b
Matemática
j
c
•
l
i
b
d
p
k
a
j
c
•
l
i
b
d
k
p
a
j
c
•
l
i
b
d
p
k
a
Aunque ya hemos demostrado que las áreas son
iguales, resulta interesante observar que esto
sucede independientemente de la ubicación del
punto p sobre la diagonal ac . El primer dibujo,
cuando p ocupa el centro de la figura, sugiere
que las áreas son iguales, no así los otros dos.
Insistimos, los dibujos brindan apoyo a la
intuición, sugieren hipótesis, permiten estudiar
casos extremos, pero también pueden ser causa
de errores en la búsqueda de una respuesta si no
son
utilizados
adecuadamente.
Cuando
realizamos una demostración, mostramos “el
valor de verdad de la hipótesis a partir de las
propiedades de los objetos, en cuanto a objetos
geométricos, y no de las propiedades que
percibimos en los dibujos particulares que
representan esos objetos”
Otro problema para afirmar ideas
3
A Pedro se le rompió su tablero de
ajedrez en cuatro partes, dos trapecios
y dos triángulos, tal como muestra la
figura de la izquierda. Lo llevó a reparar a un señor
que nada sabía de ajedrez y le devolvió un tablero
con la forma y dimensiones que indica la figura de
abajo.
5
15
5
5
3
3
3
5
8 8
3
5
5
3
8
Trate de explicar qué hizo el reparador.
Justifique sus respuestas.
5
Nota: un tablero de ajedrez consiste en un cuadrado dividido en 8x8 casillas.
El nuevo tablero tiene 65 casillas y el original 64. Es obvio que el reparador hizo alguna
‘trampa’ ya que tal construcción es geométricamente imposible. Este hecho puede justificarse
de diversas formas. Analicemos dos de ellas.
87
Matemática
Desde la Geometría Euclidea
El Corolario de Thales no se verifica en el triángulo rectángulo de
catetos 5 y 13, que comparte un vértice con el triángulo rectángulo de
catetos 3 y 8.
8+5 5
≠
pues 39 ≠ 40
8
3
Aquí podemos conjeturar que el supuesto triángulo de catetos 5 y 13
no es tal,
y que se trate de otra figura.
5
3
En efecto:
Desde la Geometría Analítica
5
8
(13;5)
(8;3)
3
5
3
Instalando adecuadamente un sistema
de ejes coordenados cartesianos
5
8
(0;0)
ortogonales, probaremos que los puntos
de coordenadas (0;0), (8;3) y (13,5) no están alineados. Con ese objetivo, hallaremos la ecuación de la
recta que contiene a los dos primeros y probaremos que no contiene al tercero. La recta en cuesión tiene
pendiente 3/8 y contiene al origen. Por lo tanto su ecuación es: y = 83 x . En efecto, el punto (13;5) no
pertenece a esa recta pues, cuando x toma el valor 13, y asume el valor 39/8 que no es igual a 5.
El reparador rellenó con pegamento un área equivalente a una casilla.
(Intente el lector describir dónde está esa ‘casilla’ y qué forma tiene)
Sobre Perímetros y Áreas
16
Seguiremos trabajando con el Problema 3, el de la huerta comunitaria. Revisa la
tabla y la gráfica que habíamos
confeccionado al resolverlo. Ahora preguntamos:
a) ¿Pueden encontrarse cuatro rectángulos que
tengan la misma área?
b) ¿Qué medidas pueden tener los lados de un rectángulo cuya área sea 15000 m2?
c) Algunos vecinos del barrio analizaron distintos terrenos cercanos para instalar la huerta y
encontraron uno con la siguiente forma:
¿Se podrá lograr alguna transformación de manera que, al disminuir el perímetro, aumente el
área? Explícalo.
17
Continuamos prolongando el Problema 3.
Entre todos los rectángulos, hemos encontrado un cuadrado cuyo lado mide 125
m. Responde:
a) Si se duplica el lado del cuadrado, ¿se duplica también su perímetro? y ¿qué ocurre con
su área? ¿qué sucede si se triplica el lado?
b) ¿Podemos afirmar que las magnitudes: perímetro y área del cuadrado, son directamente
proporcionales a la longitud de su lado?
88
Matemática
a) Si el lado de un cuadrado es L, su perímetro y su área pueden ser escritos, en forma general,
así:
PL = 4 L
;
AL = L2
si el lado se duplica:
P2 L = 4 (2 L) = 8 L
;
AL = (2 L) 2 = 4 L2
si el lado se triplica:
P3L = 4 (3L) =12 L
;
AL = (3L) 2 = 9 L2
Podemos inferir que si se duplica o triplica el lado, el perímetro también se duplica y
triplica, pero no sucede lo mismo con el área.
b) Si bien ya estamos en condiciones de responder este ítem, analicemos el contenido de la
siguiente tabla:
Podemos observar que los cocientes
P/L se mantienen constantes, no así,
los cocientes A/L. Justamente la
primera de las
situaciones
caracteriza a la
lado L
P = 4L
A = L2
P/L
A/L
2
8
4
4
2
4
16
16
4
4
8
32
64
4
8
1
4
1
4
1
3
12
9
4
3
proporcionalidad directa, en este caso, entre las magnitudes Perímetro y longitud del lado
de un cuadrado. Asimismo, puede notarse la diferencia entre las gráficas del Perímetro y el
Área en función del lado, mientras la primera es una recta que pasa por el origen, la
segunda es una rama de una parábola.
A
P
L
L
Para recordar
Dos magnitudes o variables x e y son directamente
proporcionales si el cociente entre ellas es una constante.
Esa constante recibe el nombre de constante de
proporcionalidad. Las gráficas de una en función de la otra, son
rectas que contienen al origen.
o sea
y
= k ; k ∈R
x
es decir
y = kx ; k ∈ R
89
Matemática
Estudia la relación entre la longitud de la base y la altura de todos los rectángulos
de 48 cm² de superficie.
18
Sea un rectángulo de base B y altura H .
Su área es A = B ⋅ H = 48cm2
La tabla muestra distintos valores posibles de B , H siendo en
todos los casos A = B ⋅ H = 48cm2
B
0,75 64
1
48
2
24
3
16
4
12
4,8 10
10 4,8
20 2,4
48
1
96 0,5
M
M
H
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
H
50
B
A = B.H
48
48
48
48
48
48
48
48
48
48
M
Resulta obvio que para confeccionar la tabla hemos recurrido a la expresión
H=
48 cm2
B
también
B.H = 48 cm 2
que es, en efecto, la relación que estábamos buscando. Esta relación no caracteriza a una situación
de proporcionalidad directa, sino a una inversa, donde el que se mantiene constante, es el
producto de las magnitudes.
Para recordar
Dos magnitudes o variables x e y son inversamente
proporcionales si su producto es una constante. Esa
constante recibe el nombre de constante de
proporcionalidad. Las gráficas de una en función de la otra, son
ramas de hipérbolas.
19
o sea
x. y = k
es decir
y =
k
x
x≠0 ; y≠0 ; k∈R
El lado de un cuadrado mide 6 cm. Se aumenta el
lado en x cm, tal como lo muestra la figura
x
6 cm
x
90
a) Expresa mediante una fórmula el perímetro y
área de la figura sombreada en función de x. ¿Esa fórmula vale
para cualquier cuadrado?
b) Representa gráficamente la relación entre el perímetro de la
zona sombreada y x. ¿Qué relación se puede inferir entre
ambas variables?
Matemática
Área
Para recordar
α
Si consideramos la figura α que está delimitada por una línea
irregular y la comparamos con β tomada como unidad de
medida (es decir, medimos α) podemos determinar cuántas unidades
β de medida contiene la figura α. De manera que el número de veces
que la unidad de medida, está contenida en la figura α; es el área de
la región α.
β
Sabemos que el área se mide en unidades cuadradas, por lo tanto una
unidad cuadrada, cuyo lado tenga una unidad lineal u de longitud
tiene un área de una unidad cuadrada cuya notación es: u2.
Recordemos que espacio geométrico es el conjunto de todos los puntos del universo.
Sobre volumen y capacidad
Las figuras geométricas que no tienen todos sus puntos en un mismo plano son llamadas
"tridimensionales", poliedros, sólidos o cuerpos geométricos, por ejemplo, la esfera.
Para medir la cantidad de espacio ocupado por figuras tridimensionales se utilizan las
medidas de volumen y capacidad. Volumen y capacidad son medidas intercambiables cuando
de medidas se trata, aunque conviene diferenciar:
Volumen: es la cantidad de espacio ocupado por una figura
tridimensional.
Capacidad: es la extensión o espacio libre de un recipiente,
determinado por la cantidad de líquido que en él cabe. En general
una unidad de volumen es un cubo cuya arista tiene una unidad de
longitud.
u
V = u3
SIMELA: Sistema Métrico Legal Argentino
Magnitud
Longitud
Superficie
Volumen
Capacidad
Peso
km
km2
km3
kl
kg
múltiplos
hm
hm2
hm3
hl
hg
dam
dam2
dam3
dal
dag
Unidad
m
m2
m3
l
g
dm
dm2
dm3
dl
dg
submúltiplos
cm
cm2
cm3
cl
cg
mm
mm2
mm3
ml
mg
Además: 1 tonelada = 1000 kg. Son unidades de Peso específico: kg/dm3, g/cm3.
Relación entre unidades de volumen, capacidad y peso
A 45º de latitud, a 4º C de temperatura y a nivel del mar,
Peso
1 litro de agua destilada ocupa 1 dm3 y pesa 1 kg.
1 kg
1g
Vol
1 dm
1 cm3
Cap
1l
1 ml
3
91
Matemática
Unidades
agrarias
20
21
22
unidad
centiárea
área
hectárea
símbolo
ca
a
ha
equivalencia
m2
100 m2
10000 m2
Escribe las instrucciones para construir una caja con forma de cubo de 5 cm de
arista (sin incluir dibujos). Intercambia con tus compañeros las instrucciones y
construye el cubo según las indicaciones del otro. ¿Pudieron formar el cubo?
Discutan cuál es el enunciado más adecuado que permitió la construcción.
A partir de una hoja rectangular de hojalata de 40cmx30cm, se quiere construir
una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando
los lados restantes. ¿Cuánto debe medir el lado de los cuadrados a recortar para
que la capacidad de la caja sea máxima?
Los envases de “tetrabrik” no suelen ser cúbicos. Suponiendo que se quiere fabricar uno
de forma cúbica que contenga un litro de líquido.
a) ¿cuáles de los siguientes cubos se ajusta mejor para contener un litro?:
a1) uno de 1m de arista,
a2) uno de 1cm de arista,
a3) uno de 1dm de arista.
b) Confeccionar el esquema de la plantilla para construir el cubo de 1cm de arista.
c)
Aplicando una escala adecuada dibuje las otras plantillas.
d) Alguien afirma que un envase en forma de prisma rectangular de 30cm, 15cm y 7,5cm tiene el
mismo volumen que un cubo de 1dm de arista. Comprueba la verdad o falsedad de dicha
afirmación.
e)
Determinar el volumen de una caja que contiene 24 l.
f)
Elabore una conclusión de cuáles son las razones por las que el fabricante de “tetrabrik” no
seleccionó la forma cúbica.
23
a) ¿Cuál será la expresión de una función que haga corresponder a cada arista
de un cubo (medida en cm) su volumen (medido en cm3). ¿Será una función
de proporcionalidad? ¿Porqué? Confecciona un gráfico.
b) ¿Qué sucede con el volumen si se duplica la arista de un cubo? ¿y si se triplica? Enuncia una
conclusión.
c) Si ahora tenemos un prisma rectangular ¿qué sucede con su volumen si se duplica:
aristas?
ii) dos de sus aristas?
iii) las tres aristas?
Trata de formular una conclusión.
92
i) una de sus
Matemática
24
Un paralelepípedo tiene por dimensiones A, B y C. ¿Cómo
varía el volumen si
a) duplicamos las dimensiones A y B?
b) reducimos A a la mitad?
c)
25
triplicamos la dimensión de C?
Se dispone de dos rectángulos de cartulina de 15 cm
x 20 cm.
a) ¿Cuál de los dos cilindros siguientes tiene
mayor volumen?
¿El que se obtiene enrollando el rectángulo de cartulina para
obtener un recipiente alto y angosto? ¿O el que se obtiene
enrollando el rectángulo de cartulina para formar un recipiente
bajo y ancho?
b) ¿Cuál es la superficie lateral de cada uno de los cilindros?
c) Enuncia una conclusión acerca del área lateral y el volumen
de los cilindros que has obtenido.
26
Se tiene que cavar un pozo de 9,5 m de largo por 5,5 m de ancho y 3,5 m de
profundidad.
a) ¿Cuántos m3 de tierra se extraerán?
b) Si la tierra se transporta en un camión balancín que contiene como máximo 17.000
toneladas, ¿cuántos viajes debe realizar el camión para retirar toda la tierra de la
excavación?
27
28
¿En qué porcentaje aumentará el volumen de una esfera, si aumentamos su radio
en un 20%?.
Una chapa galvanizada lisa No 20 tiene las dimensiones 2mx1m.
a) Si el peso específico del material es 7,8 kg/dm3, y su espesor es 0,0012 m
¿cuál es su peso expresado en gramos?
b) Al apilar las chapas quedó formada una pila de 22 cm de altura, ¿cuál es el volumen de
la pila en cm3?
c) El chasis de un camión tiene una capacidad de 9000 toneladas, ¿cuántas pilas de estas
chapas podrán transportarse?
93
Matemática
Volvamos sobre la proporcionalidad (directa)
La proporcionalidad geométrica. Thales y Escalas.
Ahora vamos a trabajar con algunos problemas asociados a la proporcionalidad geométrica,
las relaciones y propiedades que cumplen los segmentos bajo determinadas condiciones, las que
nos remiten a teoremas, algunos muy conocidos como el Teorema de Thales que se remonta a
épocas cercanas al año 600 a.C., y que fuera aplicado para medir la altura de la pirámide de
Keops.
Pero este no es el único problema histórico, aquí presentamos otros dos:
29
Estimación del radio terrestre
Cuenta la leyenda que Eratóstenes (s. III a.C.) supo a través de un manuscrito que
en la ciudad de Assuan, en determinado día y a una hora concreta, los rayos del Sol
incidían en el fondo de un pozo.
Eratóstenes residía en Alejandría; en aquel tiempo era conocido que ambas ciudades estaban
sobre el mismo meridiano, separadas por 800 km (en unidades actuales). Es así que usó este
hecho para estimar el radio terrestre.
¿Cómo lo hizo?
EN EL MISMO DÍA Y A LA MISMA HORA EN QUE EN ASSUAN PENETRABAN LOS
RAYOS SOLARES EN EL POZO CLAVÓ, EN ALEJANDRÍA UNA ESTACA Y MIDIÓ EL
ÁNGULO QUE FORMABA CON LOS RAYOS SOLARES, SIENDO ÉSTE DE 7,2O.
7,2º
Alejandría
800 km
7,2º
Assuan
Las prolongaciones de la estaca y el pozo se unen en el centro de la Tierra, formando también un
ángulo de 7,2o.
94
Matemática
Si estos grados abarcan un arco de 800 km, 3600 abarcarán el perímetro terrestre:
7,2o .......... 800 km
360o ........ x =
360º.800
= 40000 km
7, 2 º
Dividiendo por 2π, obtuvo un valor aproximado del radio de 6369 km.
Comparación de los radios lunar y terrestre por el método de Aristarco
30
Se produce un eclipse de Luna cuando a ésta no llegan los rayos del Sol porque la
Tierra se interpone entre ambos. Desde antiguo los astrónomos eran capaces de
predecir eclipses y Aristarco (contemporáneo de Eratóstenes), aprovechó uno de
esos eclipses para comparar el radio lunar y el terrestre.
¿Cómo lo hizo?
midió el tiempo que transcurría entre las posiciones siguientes.
POSICIÓN 1
POSICIÓN 2
POSICIÓN 3
Sombra de la Tierra
Sombra de la Tierra
Sombra de la Tierra
De 1 a 2, en donde la Luna recorre una distancia igual a su diámetro, tardó
1h 3m.
De 1 a 3, en donde recorre una distancia parecida al diámetro terrestre, tardó
2h 22m.
Cuando la velocidad es constante, la distancia recorrida es directamente proporcional al
tiempo empleado, entonces
2 h 22 m Diámetro Tierra
12738 km
=
=
= 2,25
Diámetro Luna
Diámetro Luna
1h 3 m
es decir, Diámetro Luna =
12738
≈ 5661km y entonces Radio Lunar = 2830,5 km
2,25
En realidad el cociente es algo mayor, pero consiguió tener una cierta noción de las
dimensiones lunares. Hoy se sabe que el radio lunar es alrededor de 1709 km.
95
Matemática
División de un segmento en partes proporcionales.
Como bien sabemos, la igualdad es un caso particular de la proporcionalidad directa, es por
ello que seguidamente mostraremos el procedimiento para dividir un segmento en otros tantos
de igual longitud.
Sea el segmento AB al que dividiremos en tres segmentos de igual longitud.
n
r
s
t
b
a
a
c
b
d
Por un extremo del segmento, en este caso por b, trazamos una semirrecta bn que forme con
ab un ángulo que no sea llano y a partir de b tomamos sobre bn tres segmentos consecutivos
congruentes bt, ts y sr. Luego por el otro extremo a del segmento dado y por el extremo del tercer
segmento r trazamos la recta ar y por los puntos s, t otras rectas paralelas a ar, como lo indica la
figura. Por el teorema de Thales podemos afirmar que los segmentos determinados sobre ab son
congruentes o sea que, el segmento ab ha quedado dividido en tres segmentos de igual longitud.
t
t’
a’
a
b
Teorema de Thales
b’
c
c’
d
d’
ab a ' b' bc b' c'
=
=
;
bc b' c' cd c' d '
a
Corolario del Teorema de Thales
Toda paralela a un lado de un triángulo determina sobre los otros,
o sus prolongaciones, segmentos proporcionales a ellos y
recíprocamente si una recta corta a dos lados de un triangulo o
sus prolongaciones, determinando segmentos proporcionales a
ellos, es paralela al tercer lado.
a’
b
Si dos rectas A y B se cortan por un sistema de paralelas, las
longitudes de los segmentos determinados por los puntos de
intersección sobre una de ellas, son proporcionales a las
longitudes de los segmentos determinados por los puntos
correspondientes en la otra.
c
b’
aa ' bb'
=
a ' c b' c
Pueden deducirse de este corolario, haciendo uso de las propiedades de las proporciones,
interesantes relaciones para estudiar la semejanza de triángulos.
Aclaramos que en las expresiones del Teorema y Corolario de Thales hemos evitado los
símbolos de módulo en los segmentos para no recargar la notación. De todas formas, esta
dualidad se resuelve formulando acuerdos entre docente y alumnos, y ente alumnos.
31
96
Demostrar que las diagonales de un
trapecio se cortan en partes
proporcionales, o sea:
AM
MC
=
DM
MB
Matemática
32
Sean abc un triángulo y bm la bisectriz de b̂ . Demostrar
que am , mc , ab y bc forman una proporción.
Sobre escalas
Para representar objetos de la realidad empleamos escalas. Las escalas mantienen la
proporcionalidad de las dimensiones y la congruencia de los ángulos, es decir que cuando se
reproducen objetos y figuras a escala se obtienen figuras y cuerpos que son semejantes.
Una escala determina entonces, una
proporción entre la longitud medida en
el plano (l) y la longitud real (L) .
Para recordar
Dos figuras son semejantes si los lados
correspondientes son proporcionales y los
ángulos homólogos congruentes.
E = l/L y en general se escribe de la
forma 1:q, significando que una unidad
en el dibujo, representa q unidades en la
realidad.
a
a’
Así la escala 1:20, significa por
ejemplo, que 1cm en el dibujo,
representa 20 cm en la realidad.
b
33
c
b’
a) En un plano de escala
1:1000000,
¿A qué distancia se encuentran dos ciudades
que se encuentran a 150 km en la realidad?
b) En un plano de escala 1: 5000, la distancia que hay entre
dos ciudades que figuran en el mismo se encuentran a
una distancia de 6cm. ¿A que distancia se encuentran en
la realidad?
c) En un plano, la distancia entre dos ciudades es de 5cm,
encontrándose ambas ciudades 180 km en la realidad.
¿Cuál escala del plano?
c’
 ab = bc = ca
 a 'b ' b 'c ' c 'a '

aˆ ≡ aˆ '
abc ≈ a' b' c' ⇔ 
bˆ ≡ bˆ'


cˆ ≡ cˆ'
a)
E=
l
1
=
L 1000000
l
1
=
150 km 1000000
l =15 cm
b)
E=
l
1
6 cm
=
=
L 5000
L
L = 5000.6 cm = 3000 cm
L = 30 m
c) E =
l
5 cm
1
=
=
L 180 km 3600000
Diseña a tu gusto, empleando una escala de 1:20, el plano de una casa que posea
las habitaciones que se describen a continuación con las dimensiones indicadas:
Living comedor de 3,5mx6m, dos dormitorios de 3,4mx3m y 3mx3m
respectivamente, baño de 2,5mx2m, cocina de 3,5mx2,6m. Incorpora al plano los pasillos que
consideres convenientes.
34
97
Matemática
35
Juanita dispone de un portarretrato sin marco de 29,7cm de ancho por 21 cm de
alto y desea colocar dos fotos de sus padres en él. Como dispone de fotos de 21 cm
de ancho y 29,7 cm de alto, deberá reducirlas de manera que ambas cubran
totalmente el portarretrato.
a) ¿qué dimensiones deberá tener cada una de las fotos reducidas?
b) ¿qué relación existe entre los lados del portarretrato y los lados de cada una de las fotos
reducidas?
c) ¿qué relación existe entre el perímetro del portarretrato y el perímetro de cada foto
reducidas?
d) ¿qué relación existe entre el área del portarretrato y el área de cada una de las fotos
reducidas?
e)
Enuncia conclusiones.
Resolvemos a) y b), dejando el resto para el lector.
Habrás notado que, tanto las dimensiones del portarretrato, como las originales de cada una
de las fotos, se corresponden con las de la hoja de papel conocida como A4, aunque invertidas,
es decir, el ancho es el alto, y viceversa.
Los lados de la hoja A4 guardan la relación:
La relación que guardan los lados invertidos de la hoja que se
obtiene al doblar la A4 por la mitad, por el lado más largo es:
esto significa que:
29,7
≈ 1,41...
21
21
≈ 1,41...
29,7
2
29,7
21
≈
29
,7
21
2
Este hecho le permite a Juanita intentar la reducción de las fotos a las dimensiones 21 cm de
ancho por (29,7)/2 cm de alto pues de esa manera se cubrirá el portarretrato y las fotos no se
deformarán ya que los rectángulos de 29,7x21 y 21x14,85 son semejantes y preservan las
proporciones.
Aclaramos que ésta es una característica particular de la hoja A4.
Sin embargo, no escapará al alumno inquieto, el hecho de que hemos usado un símbolo de
'aproximadamente' en lugar del signo igual a 1,41....
Ello se debe a que, en realidad, se trataría del número irracional
2 , al que nunca hubiéramos podido escribir como un cociente de
números racionales. En efecto:
a b
a
=
⇒
=
b a
b
2
Las dimensiones de la hoja A4, son solamente una muy buena aproximación.
98
2
Matemática
21 cm
29,7 cm
21 cm
Portarretrato
b
b
a
29,7 cm
a
fotos reducidas
Fotos originales
Portarretrato terminado
b
a/2
99
matemática
Miscelánea de Problemas
A continuación te presentamos un cuerpo de problemas que esperamos puedas resolver solo.
Dado un triángulo equilátero se selecciona un punto interior aleatoriamente. Desde
este punto se trazan líneas perpendiculares a cada uno de los lados. Prueba que la
suma de los segmentos que forman estas líneas perpendiculares es igual a la altura
del triángulo.
36
d
e
c
37
El cuadrado ABCD mide 8 cm por
lado.
a) Calcula el área de la parte sombreada.
a
f
b
b) Analiza qué pasa con el área de la parte
sombreada si el punto E se mueve a lo largo
de DC.
Inscribir un cuadrado en un triángulo dado. Dos vértices del cuadrado deben estar sobre la
base del triángulo y los otros dos vértices del cuadrado, uno en cada uno de los
otros
lados del triángulo.
38
39
40
Dos postes de teléfono de 10m y 25m de altura respectivamente se colocarán a
una distancia de 40m uno del otro. Los postes deben ser sujetados mediante
cables a un punto de apoyo en el suelo, situado entre ambos. ¿Dónde debe
colocarse el punto de apoyo para que la cantidad de cable a utilizar sea mínima?
La altura de un cilindro es tres veces el diámetro de la base.
a)
Expresa el volumen del cilindro en función del radio r de la base.
b) Expresa el radio de la base en función del volumen del cilindro.
41
Halla la superficie de un triángulo equilátero de 6 cm de lado.
100
matemática
42
Escribe la recíproca de la siguiente proposición condicional verdadera. Determina
si es verdadera o falsa. Si es falsa, presenta un contrejemplo.
a) Si dos ángulos son adyacentes, entonces son suplementarios.
b) Si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces son congruentes.
c) Si abcd es un cuadrado, entonces abcd es un rombo.
En un triángulo, ¿se modifica el área, y en caso afirmativo, en cuánto:
43
c)
a)
si la base se triplica y la altura no varía?
b)
si la base se triplica y la altura se reduce a la tercera
parte?
si la base y la altura se triplican?
a) Con a, b y c, designamos a tres pueblos.
44
Un concesionario desea construir una
estación de servicio que se encuentre a
igual distancia de los tres pueblos.
Ubica en el dibujo dónde debe instalarse la estación de
servicio. Sabiendo que la escala es 1:50.000, indica la
distancia de la estación de servicio a cada uno de los
pueblos.
b) En este caso, se desea construir la estación de servicio
de modo que esté a igual distancia de cada uno de los
caminos que unen a los pueblos.
101
matemática
Sabiendo que aopq es un
cuadrado
de 16 cm de
45
perímetro, que abcd es un
rectángulo de 25 cm2 de área
y que o es el centro del círculo
d
c
q
a
p
o
b
que pasa por b y q, halla las dimensiones del rectángulo abcd. Luego dibuja
en escala, con los datos y con los resultados obenidos, la figura que describe
al problema, compárala con la presentada y reflexiona sobre la siguiente
afirmación: “la geometría (elemental) es el arte de razonar sobre figuras
mal hechas” (Henri Poincaré).
A continuación, y a modo de GLOSARIO te recordamos algunos CONCEPTOS y
PROPIEDADES básicas de la geometría.
TRIÁNGULO
Dados tres puntos no alineados a, b, c, se llama triángulo a la intersección de los semiplanos
limitados por las rectas ab, bc y ac y que contienen respectivamente a los puntos c, a y b.
• Los puntos a, b y c son los vértices del
triángulo y los segmentos ab , bc y ca se
llaman lados del triángulo. Se los suele
designar con una letra mayúscula igual al
vértice del ángulo opuesto.
β
• Los
γ
α
a; b; c
ab; bc; ca
baˆc; acˆb; cbˆa
αˆ ; βˆ ; γˆ
ángulos determinados por la
intersección de cada dos semiplanos, se
llaman ángulos interiores del triángulo y
ángulos exteriores son los ángulos
adyacentes de los ángulos interiores.
En todo triángulo se verifican las siguientes propiedades:
102
matemática
baˆc + acˆb + cbˆa ≡ 1 llano
αˆ ≡ abˆc + bcˆa
βˆ ≡ baˆc + acˆb
La suma de los ángulos interiores es
congruente con un ángulo llano (180°)
Todo ángulo exterior es congruente con la
suma de los interiores no adyacentes.
γˆ ≡ baˆc + abˆc
αˆ > abˆc; αˆ > bcˆa
βˆ > baˆc; βˆ > acˆb
Todo ángulo exterior es mayor que
cualquiera de los interiores no adyacentes.
γˆ > baˆc; γˆ > abˆc
ac < ab + bc
bc < ba + ac
Un lado es menor que la suma de los otros
dos.
ab < bc + ca
Si ac > bc > ba ⇒
⇒ abˆc > caˆb > bcˆa
A mayor lado, se opone el mayor ángulo
Si ab ≡ bc ⇒
⇒ baˆc ≡ acˆb
A lados congruentes, se oponen ángulos
congruentes y recíprocamente.
El triángulo que tiene un par de lados congruentes se llama isósceles y el que tiene los tres lados
congruentes se llama equilátero. El triángulo escaleno no posee ningún par de lados congruentes.
Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular al
segmento, trazado por su punto medio.
Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta interior al ángulo
que divide a este en dos ángulos congruentes.
baˆd ≡ daˆc
Se llaman mediatrices de un triángulo a las mediatrices de cada
uno de los lados del triángulo.
103
matemática
Se llaman bisectrices de un triángulo a las bisectrices de
cada uno de los ángulos interiores del triángulo.
Se llama altura correspondiente a un lado de un triángulo
al segmento que tiene por extremos el vértice de un ángulo
y el pie de la perpendicular trazada por el vértice a la recta
que lo contiene el lado opuesto.
a
C
B
Hb
Ha
b
Hc
A
c
Los segmentos que tienen por extremos el punto medio de
un lado y el vértice del ángulo opuesto, reciben el nombre
de mediana de un triángulo.
POLÍGONO
Si n puntos del plano: a1, a2, a3,…, an (n≥3), ordenados de tal manera que las rectas a1a2 ,
a2 a3 , …, an a1 dejen en un mismo semiplano a los n-2 puntos restantes, se llama polígono
convexo a la figura formada por la intersección de todos los semiplanos.
• Los puntos a1, a2, a3, …, an se llaman vértices del
polígono.
β
α
γ
• Los segmentos a1a2 , a2a3 ,… , an a1 se llaman
lados.
• Los ángulos determinados por la intersección de
π
cada dos semiplanos se llaman ángulos interiores
y los adyacentes a cada uno de los ángulos
interiores, ángulos exteriores.
δ
a1 a 2 ; a 2 a3 ;...a n a1
a1 aˆ 2 a3 ; a 2 aˆ 3 a 4 ;...a n −1 aˆ n a1
αˆ ; βˆ ; γˆ; δˆ; πˆ
El segmento que tiene por extremo dos vértices no
consecutivos; se llama diagonal del polígono.
ac; ad ; ae; bd ; be; bf ; ce; cf ; df
son diagonales
Según el número de lados los polígonos reciben diferentes nombres:
3 lados:
4 lados:
5 lados:
6 lados:
triángulos
cuadriláteros
pentágono
hexágono
7 lados:
8 lados:
9 lados:
10 lados:
heptágono
octógono
eneágono
decágono
11 lados:
12 lados:
undecágono
dodecágono
20 lados:
icoságono
104
matemática
El polígono que tiene todos sus lados y sus ángulos respectivamente congruentes se llama polígono regular.
En todo polígono convexo la suma de los ángulos interiores es:
S = 180º (n − 2) y la suma de los ángulos exteriores es 4R (360°).
El número de diagonales de un polígono convexo es nº =
n(n − 3)
2
En un polígono regular, el centro es el punto interior que equidista de sus vértices
y la apotema es el segmento perpendicular desde el centro a cada uno de los
lados.
CUADRILÁTERO
Los polígonos convexos de cuatro lados se llaman cuadriláteros.
Trapecio
El cuadrilátero que posee un par de lados opuestos paralelos se
llama trapecio.
•
Los lados paralelos reciben el nombre de bases.
mn
•
Se llama base media del trapecio al segmento que tiene por
extremos los puntos medios de los lados no paralelos.
Paralelogramo
El cuadrilátero que posee los lados opuestos paralelos recibe el
nombre de paralelogramo.
En todo paralelogramo:
β
α
•
Los lados opuestos son congruentes.
•
Los ángulos opuestos son congruentes.
•
Las diagonales se cortan en su punto medio.
αˆ ≡ γˆ; βˆ ≡ δˆ
α + β + γ + δ = 360º
•
Los ángulos consecutivos son suplementarios.
ab ≡ dc; ad ≡ bc
o : punto medio
•
El punto de intersección de las diagonales es centro de
simetría de la figura.
•
La suma de los ángulos interiores es 4R (360°)
δ
γ
de db y ac
105
matemática
El paralelogramo que posee todos los ángulos congruentes se llama
rectángulo. Las diagonales del rectángulo son congruentes.
ac ≡ db
Se llama rombo al paralelogramo que tiene todos los lados
congruentes. Sus diagonales son perpendiculares entre sí y ejes de
simetría de la figura.
b
a
c
d
ac ⊥ bd
El paralelogramo que posee todos los lados y todos los ángulos
congruentes se llama cuadrado. Las diagonales del cuadrado son
perpendiculares entre sí y ejes de simetría de la figura.
a
b
d
c
ac ⊥ bd
ac ≡ bd
• Dado un punto O y un segmento R del plano p, se llama
circunferencia de centro O y radio R al conjunto de todos los
puntos p del plano p que se encuentran a una distancia R de O.
• Se llama cuerda al segmento que tiene por extremo dos puntos
cualesquiera de la circunferencia.
• Se llama diámetro a toda cuerda que pase por el centro de la
circunferencia. Es la mayor de las cuerdas.
fc : cuerda
ge : diámetro
ge) = 2oe = 2 R
fc) : arco
gc : semicircunferencia
α
α̂ ): ángulo central
fe : arco
correspondiente a α
• Los extremos de una cuerda determinan dos porciones de la
circunferencia denominados arcos correspon-dientes a la cuerda o
arco subtendidos por la cuerda.
•
El arco correspondiente a un diámetro de la circunferencia se
denomina semicircunferencia.
•
Se llama círculo de centro O y radio R a la unión de una
circunferencia con su interior.
•
Se llama ángulo central a todo ángulo que tiene por vértice el
centro de la circunferencia.
•
La intersección de la circunferencia con el ángulo central es un
arco de circunferencia llamado arco correspondiente al ángulo
central.
•
La intersección de un círculo y un ángulo central se llama sector
circular.
106
matemática
α
β
α̂ : ángulo inscripto
β̂ = soˆt : ángulo central
correspondiente a α̂
β̂
α̂ =
2
A
B
C
•
•
•
•
A2 = B 2 + C 2
A = B2 + C 2
B = A2 − C 2
C = A2 − B 2
• Se llama ángulo inscripto en un arco de circunferencia al ángulo
que tiene por vértice un punto de la circunferencia y cuyos lados
pasan por los extremos del mismo.
• Todo ángulo inscripto en un arco de circunferencia es
congruente con la mitad del ángulo central correspondiente.
Todo ángulo inscripto en una semicircunferencia es recto.
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados de los catetos.
Se llama ángulo semiinscripto en un arco de circunferencia al
ángulo que tiene por vértice un punto de la circunferencia y cuyos
lados son respectivamente la semirrecta que pasa por el otro
extremo y la semirrecta tangente situada en el semiplano opuesto
al del arco, con respecto al primer lado.
α
Todo ángulo semiinscripto en un arco de circunferencia es
congruente con la mitad del ángulo central correspondiente.
Una recta respecto a una circunferencia es: a) exterior, si no la
intercepta en ningún punto; b) secante si la intercepta en dos
puntos, c) tangente, si la intercepta en un solo punto (siempre es
perpendicular a uno de los radios).
Si la distancia del centro de la circunferencia a la recta es a)
mayor que el radio, la recta es exterior a la circunferencia, b) si es
igual al radio, la recta es tangente a la circunferencia, c) si es
menor que el radio, la recta es secante.
Dados dos semiplanos a y b con un borde común R situados en
planos distintos, se llama diedro convexo a la intersección de los
semiespacios limitados por los planos a y b que contiene
respectivamente a los semiplanos b y a. La recta R se llama arista
del diedro y los semiplanos a y b son las caras del diedro.
β
α'
β'
α̂ = tvˆm : ángulo
semiinscripto
el ángulo α̂ abarca
el arco vpm
β̂
α̂ =
2
el adyacente a α̂; α̂'
abarca el arco vqm
β̂'
α̂' =
2
E
S
p
O
R
q
Tt
E: recta exterior
T: recta tangente
S: recta secante
α
R
β
107
matemática
Se llama superficie poliédrica al conjunto de un número finito
de polígonos llamados caras de la superficie, que verifican las
siguientes condiciones: cada lado de una cara pertenece también a
otra y solo a otra y dos caras contiguas están en distintos plano. Si
además se verifica que el plano de cada cara deja en un mismo
semiespacio a todas las demás, el poliedro se llama poliedro
convexo.
108
matemática
A
A PP ÉÉ N
ND
D II C
C EE D
D EE FF Ó
ÓR
RM
MU
U LL A
A SS
GEOMETRÍA PLANA
TRIÁNGULO
c
a
h
A=
b.h
b2
RECTÁNGULO
b: base
h: altura
P: Perímetro
A: P
Área
=a + b + c
b=
2A
h
h=
2A
b
ROMBO
D
b
h
d .D
2
d=
2A
D
D=
(b + B ) h
A=
2
2A
d
F
α
l= r 3
r=
r ap
l =2r 3
r
ap
r=
ap =
r=
P .ap
2
ap =
2A
P
CORONA CIRCULAR
r: radio menor
R: radio mayor
A: Área corona
circular
r
R
A = π . R 2 − π .r 2 = π (R 2 − r 2 )
HEXÁGONO INSCRIPTO
l
r 2
2
l: lado
r: radio
ap: apotema
r
ap
ap =
l
r 3
2
l= r
2
CUADRADO CIRCUNSCRIPTO HEXÁGONO CIRCUNSCRIPTO
l
l: lado
r: radio
ap: apotema
r ap
ap = r
l
A=
l: lado
r: radio
ap: apotema
l= r 2
3
l: lado
r: radio
ap: apotema
l
l
l
TRIÁNGULO
CIRCUNSCRIPTO
l: lado
ap: apotema
n:no. de lados
P: Perímetro
A: Área
P = n .l
CUADRADO INSCRIPTO
r
2
ap =
r
A: Área círculo
A(α):Área sec cir
A(EF): Área seg cir
A = π.r2
π r 2α º
A (α ) =
360 º
1
α
L ( EF ) = r 2 cos
2 (1 − cos α )
2
2
l: lado
r: radio
ap: apotema
ap
E
d =l 2
l= A
ap
2A
h=
b+B
O
TRIÁNGULO INSCRIPTO
r
l
SEGMENTO CIRCULAR
F
P
4
POLÍGONO REGULAR
SECTOR CIRCULAR
ARCO CUERDA
E r: radio
d: diámetro = 2r
α
r
αº: medida áng
d
L: longitud circ
L(α): longitud arco
L(EF): long. cuerda
L=2πr = πd
2 π rα º
L (α ) =
360 º
L ( EF ) = r 2(1 − cos α )
l=
A=l2
CÍRCULO
CIRCUNFERENCIA
l
P =4l
B
P = 2 d 2 + D2
A=
b: base menor
B: base mayor
h: altura
A: Área
l: lado
d: diagonal
P: Perímetro
A: Área
d
l
TRAPECIO
d: diagonal menor
D: diagonal mayor
P: Perímetro
A: Área
d
CUADRADO
b: base
h: altura
d
h
d: diagonal
P: Perímetro
A: Área
b
P = 2 (b + h)
d = b2 + h2
2A
2A
h=
b=
A = b.h
b
h
l =2r
l
r
ap
ap = r
r=
l
2
l: lado
r: radio
ap: apotema
ap = r
l=
2r 3
3
r=
3l
2 3
2 3
109
Matemática
GEOMETRÍA DEL ESPACIO
TETRAEDRO
a: arista
A: Área
V: Volumen
a
A= a 2 3
V=
HEXAEDRO O CUBO
a: arista
A: Área
V: Volumen
a
a3
2
12
h
h
h
At = Al + Ab + AB
( Pb + PB).ap
Al =
2
V = h3 Ab + AB + Ab. AB
TRONCO DE CONO
h: altura
g: generatriz
Al: Área lateral
At: Área total
V: Volumen
h
)
(
CONO RECTO
g
h: altura
g: generatriz
r: radio menor
R: radio mayor
r
g
h
At = Al + πr 2 + πR 2
2
At = 2πr.h + 2πr 2
Al = 2πr.h
2
V = πr . h
At = πrg + 2πr
2πr.g
Al =
= πrg
2
πr 2 . h
V=
3
ESFERA
R: radio esfera
A: Área
V: Volumen
R
A= 4 πr 2
V=
4 3
πr
3
ZONA Y CASQUETE
ESFÉRICO
R: radio esfera
h: altura zona o
casquete
Az: Área zona
Ac: Área casquete
R
Az = 2 πR.h
a3
2
3
ap: apotema
h: altura
Pb: Per base menor
PB: Per base mayor
Ab: Área base menor
AB: Área base mayor
ap
At = Al + Ab
Ab. h
V=
3
Pb.ap
Al =
2
V=
TRONCO DE PIRÁMIDE
ap: apotema
h: altura
Pb: Perímetro base
Al: Área lateral
Ab: Área de la base
At: Área total
V: Volumen
ap
CILINDRO RECTO
h
A= 2 a 2 3
PIRÁMIDE REGULAR
Al = Pb.h
At = Al + 2 Ab
V = Ab. h
h: altura
Al: Área lateral
At: Área total
V: Volumen
a: arista
A: Área
V: Volumen
a
V = a3
A = 6 a2
PRISMA RECTO
h: altura
Pb: Perímetro Base
Al: Área lateral
Ab: Área de la base
At: Área total
V: Volumen
OCTAEDRO
Ac = 2πR.h
Al = π (r + R).g
V = 13 πh(r 2 + R 2 + rR )
SEGMENTOS ESFÉRICOS DE
1 Y 2 BORDES
r’
r
R
r: radio menor
R: radio mayor
h: altura segmento
de 1b o 2b.
V2b: Vol seg 2b
V1b: Vol seg 1b
V 1b = 13 πh 2 (3R − h )
V 2b = 16 πh ( h 2 + 3r 2 + 3r ' 2 )
HUSO ESFÉRICO
R: radio esfera
αº: medida áng
A: Área huso
R
α
A=
4 πR 2 α º
360º
CUÑA ESFÉRICA
R
R: radio esfera
αº: medida áng
V: Volumen cuña
α
V = 43
πR 3α º
360º
SECTOR ESFÉRICO
R
R: radio esfera
V: Volumen sector
h
V=
2 2
πR .h
3
110
Matemática
Bibliografía
•
•
•
ALSINA CATALÁ C., FORTUNY AYMEMÍ J., PÉREZ GÓMEZ R. “¿Por qué Geometría?”
Propuestas didácticas para la ESO. Editorial Síntesis. España 1997.
CAMUYRANO Y OTROS, “Matemática. Temas de su Didáctica” . Prociencia. Conicet. 1998.
p. 77.
COURANT R., ROBBINS H. “¿Qué es la Matemática?” Editorial Aguilar. Madrid. 1967.
•
BONOMO, F. Y OTROS. “Explorando la geometría en los clubes de Cabri”. Red Olímpica.
Buenos Aires. 1996. p.125.
•
FERRARIS C. “Construcciones con regla y compás”. Cuaderno Universitario 23. Secretaria
de Investigación y Extensión del Centro Regional Universitario Bariloche. Universidad Nacional
del Comahue. Bariloche. 1995.
•
PUIG ADAM, P. “Curso de Geometría Métrica”. Tomo I. Fundamentos. Octava Edición.
Madrid. 1965.
•
SANTALÓ L. “Geometría no Euclideanas”, Cuadernos. Editorial Universitaria de Buenos
Aires. 1961.
•
TIRAO, JUAN A. “El Plano”. Editorial Docencia. Buenos Aires 1979.
Sobre el significado de los íconos usados en este Capítulo
Para recordar
Contiene conceptos, definiciones formales, axiomas, propiedades,
notaciones, etc.
1
2
Para resolver preferentemente en grupo
Contiene problemas y ejercicios enumerados que se proponen para que
resuelvas en grupo. Algunos de ellos están resueltos.
Para resolver preferentemente solo
Contiene problemas y ejercicios enumerados que se proponen para que
resuelvas solo.
111
CAPITULO
TRIGONOMETRÍA
4
Matemática
IIN
ND
DIIC
CE
E
o Introducción
o Razones trigonométricas
o Funciones trigonométricas
o Relación pitagórica
o Signo de las funciones trigonométricas
o Reducción al primer cuadrante
o Representación segmentaria
o Representación cartesiana
o Relaciones entre ángulos
o Medida de un ángulo
o Problemas
Autor
Mirta L. Delgado
115
Matemática
TRIGONOMETRÍA
En griego la palabra geometría significa medida de tierras; trigonometría, medida de tres ángulos.
Las ideas de los sabios Tales, Pitágoras, Aristarco, Hiparco... todavía son vigentes dos mil años después.
La trigonometría se ocupa, principalmente de estudiar la relación entre lados y ángulos de un
triángulo, y surgió por razón de las necesidades de la astronomía, la cartografía, la artillería,....
Para poder desarrollarse, la trigonometría necesitó de elementos de aritmética (para configurar
tablas), álgebra (para establecer fórmulas que relacionan lados y ángulos de un triángulo) y geometría.
Razones trigonométricas
Un triángulo es rectángulo cuando tiene un ángulo recto. Para resolver un triángulo rectángulo habrá
que relacionar dos lados y un ángulo. Estas relaciones se llaman razones trigonométricas de los ángulos.
C
b
a
A
α
senα =
b
a
cosα =
c
a
B
c
tgα =
b
c
Las razones trigonométricas se pueden obtener:
¾ Dibujando el ángulo, construyendo sobre él un triángulo rectángulo, midiendo sus lados y
aplicando las razones anteriores.
¾ Mirando el valor en las tablas trigonométricas.
¾ Haciendo uso de la calculadora.
Hay algunos ángulos (30º, 45º, 60º, 90º) cuyas razones trigonométricas se deben conocer.
α
30º
senα
1
2
cos α
tgα
3
2
3
3
45º
60º 90º
2
2
3
2
1
2
2
1
2
0
1
3
∞
Las razones trigonométricas de un ángulo cumplen dos relaciones fundamentales:
1.
sen 2α + cos 2 α = 1
117
Matemática
2.
senα
= tgα
cos α
Ejemplos
1. Queremos saber cuál es la altura de
este árbol. Haciendo mediciones, hemos
averiguado que la sombra del árbol mide
231 cm y que los rayos del sol forman
un ángulo de 60º con la horizontal
Solución:
tg 60 º =
x
⇒ x = 231 .tg 60 º = 231 . 3 = 400 . 10 cm ⇒ x ≅ 4 metros
231
2. ¿Qué altura ha alcanzado el barrilete?
Sabemos que se han soltado 52 metros de
52 m
piolín y que el ángulo que forma éste con la
horizontal es de 30º.
x
30º
Solución:
sen 30 º =
x
1
⇒ x = 52 .sen 30 º = 52 . = 26 ⇒ x = 26 metros
52
2
Funciones trigonométricas
Circunferencia trigonométrica es la que tiene el centro en el origen de coordenadas y de radio igual a
uno.
La definición de las razones trigonométricas se hace extensiva a los ángulos no agudos mediante la
circunferencia trigonométrica
Sea una circunferencia de radio 1, con centro en el eje de coordenadas. Marcamos el ángulo α a
partir del semieje positivo de las abscisas.
M(x,y)
ρ y
α
o
x
M`
La semirrecta OM corta a la circunferencia en el punto M(x,y).
118
Matemática
Si M` es la proyección de M sobre el eje x (abscisas), queda determinado el triángulo rectángulo
OM`M, por lo cual las razones:
x y x p y p
, , , , , , define una función trigonométrica.
y x p x p y
Cada una de estas razones recibe su nombre.
senα , cos α , tgα , cot gα , sec α , cos ecα
Entonces podemos decir que:
y
senα =
ρ
cos ecα =
cosα =
secα =
tgα =
ρ
⇒ senα =
1
1
(1) ∧ cos ecα =
(2)
senα
cos ecα
⇒ cosα =
1
1
(3) ∧ secα =
(4)
secα
cosα
⇒ tgα =
1
1
(5) ∧ cot gα =
( 6)
tgα
cot gα
y
x
ρ
ρ
x
y
x
cot gα =
x
y
Relación pitagórica
El triángulo OPˆ Q rectángulo en P
y
PQ = senα , OP = cosα , OQ = 1
Q
Aplicando Pitágoras
α
o
2
P
x
2
Como PQ + OP = OQ
Es sen 2α + cos 2 α = 1
2
la
Relación Pitagórica
De sen 2α + cos 2 α = 1 se deduce:
sen 2α = 1 − cos 2 α ⇒ senα = ± 1 − cosα (7)
cos 2 α = 1 − sen 2α ⇒ cosα = ± 1 − sen 2α (8)
Además debemos tener en cuenta que: tgα =
senα
cosα
(9) y cot gα =
(10)
senα
cosα
119
Matemática
Las diez fórmulas halladas son fundamentales en la aplicación de la trigonometría, por lo tanto no se
deben ignorar.
Signos del seno y del coseno
Seno
Coseno
Segundo
cuadrante
Primer
cuadrante
+
Segundo
cuadrante
+
+
Primer
Cuadrante
+
Tercer
cuadrante
Cuarto
cuadrante
Tercer
cuadrante
Cuarto
cuadrante
Completar
Cuadrante
Función
3º cuadrante
4º cuadrante
x(+), y(+)
x(-), y(+)
x(-), y(-)
x(+), y(-)
ρ
x
cosα =
ρ
y
x
x
y
cot gα =
secα =
2º cuadrante
y
senα =
tgα =
1º cuadrante
ρ
cos ecα =
x
ρ
y
Reducción al primer cuadrante
Teniendo presente el signo de las coordenadas “x” e “y” en los cuatro cuadrantes del plano
cartesiano, se puede determinar el signo de cada una de las funciones trigonométricas de un ángulo.
Cualquiera sea el valor de éste.
120
Matemática
Si analizamos los ángulos:
α1 ∈
α2 ∈
α3 ∈
α4 ∈
al 1 º cuadrante
al 2 º cuadrante
al 3 º cuadrante
al 4 º cuadrante
¾ Del 2º al 1º : 180º −αˆ 2 = αˆ 1
¾ Del 3º al 1º : αˆ 3 − 180º = αˆ 1
¾ Del 4º al 1º : 360º −αˆ 4 = αˆ 1
Representación segmentaria de las funciones trigonométricas
Funciones: seno, coseno y tangente
Representación gráfica de las funciones: seno, coseno y tangente
121
Matemática
9 Las funciones seno y coseno están definidas en todo R; son continuas y periódicas, con periodo
2π .
9 La función tangente, definidas en todo R salvo en
π π
,
2 2
+π,
π
2
+ 2π ,
π
2
+ 3π ,...,−
π
2
,−
π
2
π
2
+ kπ , para k entero, no está definida en:
− π ,...,
Es continua donde está definida y periódica de periodo π
9 Las tres funciones carecen de lim y
x →∞
lim
x → −∞
Medida de un ángulo
La medida de un ángulo central es igual a la del arco de circunferencia que abarcan sus lados,
siempre que las unidades de ángulo y arco se correspondan.
Para trabajar con ángulos, la medida en grados es satisfactoria. Para las construcciones de las
funciones trigonométricas, resulta más conveniente la medida en radianes.
Un ángulo de 1 radián es aquel cuyo arco mide igual que su radio
Por lo tanto: 90º =
π
2
rad , 60º =
π
3
rad , generalizando tenemos: α º =
απ
180
rad
1 radián = 57º 17´45´´
Relaciones entre ángulos
Ángulos opuestos
(x) y (-x)
x
sen(− x) = − senx
-x
cos(− x) = cos x
tg (− x) = tgx
Ángulos que difieren en π
(x) y (x + π )
sen( x + π ) = − senx
cos( x + π ) = − cos x
tg ( x + π ) = tgx
x+ π
x
122
Matemática
Ángulos que difieren


(x) y  x +
sen( x +
cos( x +
π
2
π
2
π
π+x
2
2
x
π

2
) = cos x
) = − senx
Ángulos complementarios: (x) y  π − x 
2
π -x

2

π
sen − x  = cos x

2
x

π
cos − x  = senx
2

Ángulos suplementarios: (x) y ( π - x)
π -x
sen(π − x ) = senx
x
cos(π − x ) = − cos x
tg (π − x ) = −tgx
GUÍA PRÁCTICA
1. Resolver los siguientes triángulos:
a)
a = 5 cm , βˆ = 30º , αˆ = 90º
b)
b = 2 cm. , c = 5 cm , αˆ = 90º
c)
b = 82 cm , αˆ = 90º , γ = 57 º
β
c
a
γ
α
b
2. Un automóvil asciende una cuesta que tiene una inclinación de 22º. Si viaja a una velocidad de 60
km/h, ¿Cuántos metros varía su altura sobre el nivel del mar en 15 minutos?.
123
Matemática
3. Se piensa construir una pista de aviación y debido a la orientación elegida se ve que al final de la
misma quedará una arboleda de 25 m de altura. ¿A qué distancia mínima de la arboleda debe
terminar la pista si el ángulo de despegue de los aviones es de 16º?.
4. Un poste de teléfono está sujeto por medio de varios cables que parten del extremo superior. Uno
de estos cables está atado a una estaca situada a 5 m del pie del poste y forma con la horizontal un
ángulo de 60º. Calcular la altura del poste y la longitud del cable.
5. Un carpintero desea construir una escuadra de madera y necesita que uno de los ángulos sea de
30º. Desea saber las relaciones que deben guardar los lados entre sí
6. Calcular los metros que tiene el
frente y el área que ocupa. : Se
quiere saber cuántos metros de
alambrado son necesarios para
cerrar el terreno sombreado de la
figura
7. Dibuja la gráfica des siguientes funciones: y=3 sen x ; y = cos 2x ; y= 2tgx
8. Calcular e valor de las funciones trigonométricas de un ángulo de 2220º
9. ¿Cuántos radianes son :180º,90º,225º y 270º?.
10. Si un ángulo está comprendido entre
π
2
radianes y π radianes.
¿Qué es mayor: su seno o su coseno?
124
Matemática
Bibliografía:
ƒ
MATEMÁTICAS - (bachillerato 2, 3)- Ed. ANAYA “Miguel de Guzmán, J. Cólera, A.
Salvador” (1987).
ƒ
LA TRIGONOMETRÍA Ed. DOCENCIA “ Ángel Larotonda”(1990)
ƒ
TRIGONOMETRÍA PLANA Ed. DOLMEN “ Julio Orellanas, Gladis Bernand (1995).
125