Delta de Dirac
Resumen
FCFM
Javier Alejandro Carrasco Ávila
que, como se dijo, no nos interesará la representación explícita de δ, sino su acción al integrar en los
intervalos que necesitemos.
Un caso particular de la propiedad de selectividad se
tiene considerando
a → −∞ ∧ b → ∞:
Z
1 Definición
A la función (generalizada) delta de Dirac se le suele
llamar distrubución delta, pues, nos referiremos a un
delta de Dirac como a aquel objeto matemático que
posee ciertas propiedades y cuyo sentido (y utilidad)
aparece al aplicarse sobre integrales en el integrando.
∞
δ(x)f (x)dx = f (0)
Definición Simbólica (Delta de Dirac)
Simbólicamente, un delta de Dirac es una función
δ : R −→ {0, ∞}
x 7−→ δ(x) =
0,
∞,
tal que ∀a, b ∈ R, a < 0 < b,
−∞
Para una denición completamente formal de un
delta de Dirac, es necesario conocer conceptos de la
(funciones generalizadas),
sin embargo, existe la alternativa de utilizar
para obtener una buena
representación matemática.
si x 6= 0
si x = 0
teoría de distribuciones
límites
de sucesiones de funciones
Definición (Sucesión Delta)
Sea f : R → R una función contínua. Una sucesión
delta (o secuencia delta) es cualquier sucesión de
funciones {φ (x)} con dominio y recorrido real
que cumple:
b
Z
δ(x)dx = 1
a
n
Nota
Es importante notar que δ no es una función en el
sentido del cálculo habitual, y por lo tanto, tener en
cuenta que cada vez que se hable de
, hablamos de una
(cuya
denición formal no corresponde a la recién mostrada).
Notemos que, en particular, haciendo a → −∞ y
b → ∞, se cumple
Dirac
∃a, b ∈ R, a < 0 < b, lı́m
n→∞
función generalizada
Z
n∈N
Z
función delta de
b
φn (x)f (x)dx = f (0)
a
A diferencia de la denición simbólica dada para un
delta de Dirac, las sucesiones deltas, sí existen (y al
menos una para cada par de valores a, b ∈ R) y son
una buena forma de representar un delta de Dirac,
ya que, en conjunto, cumplen las propiedades que
deseamos y que exigimos en nuestra denición idealizada anterior. De hecho, notemos que, considerando
el caso particular en que f (x) ≡ 1, obtenemos:
∞
δ(x)dx = 1
−∞
La razón importante de tener en cuenta esta denición o representación simbólica, es que, nos recuerda
que no nos interesa el signicado de un delta de Dirac como función generalizada, si no que la acción
que ejerce sobre integrales, de hecho, la propiedad
más importante que se utilizará de un delta de Dirac
es fácil de obtener a partir de esta denición simbólica, y es la que se muestra a continuación.
Z
b
lı́m
n→∞
φn (x)dx = 1
a
Además, existen sucesiones delta que cumplen lo
mencionado para el caso en que a → −∞ ∧ b → ∞,
es decir, que cumplen:
Z
lı́m
n→∞
Propiedad de Selectividad
Sea f : R → R una función contínua. Entonces:
Z
2015
Enero
(javier.carrasco@ug.uchile.cl)
∞
φn (x)f (x)dx = f (0)
Z ∞
lı́m
φn (x)dx = 1
−∞
n→∞
−∞
Algunas sucesiones delta construídas a partir de funciones diferenciables son:
b
δ(x)f (x)dx = f (0), ∀a, b ∈ R, a < 0 < b
a
Se debe tener en cuenta que no existe una representación general que cumpla las propiedades mencionadas de δ para cualquier a, b ∈ R, luego, cada vez
que escribamos δ estamos aceptando que hablamos
de cualquier representación formal que cumpla estas
propiedades en los intervalos [a, b] jados previamente implícitamente, es decir, cuando anotemos varias
veces un delta de Dirac, no necesariamente corresponderán al mismo. Esto no produce confusión ya
φn (x) =
n
1
π 1+n2 x2
φn (x) =
2 2
√n e−n x
π
φn (x) =
2
1 sin (nx)
nπ
x2
Notemos que la segunda corresponde a la densidad
de una distribución de probabilidad normal (distribución Gaussiana).
1
J.C.Á.
Resumen
Éstas son sucesiones delta con a → −∞ ∧ b → ∞, y
se requiere que la función f sea contínua, lo cual
además, tienen la particularidad de que cumplen:
es muy importante tener en consideración, ya que
se utilizará la misma notación recién señalada pero
Z
signicarán cosas levemente distintas (son otras las
φ (x)dx = 1
exigencias de la función f ).
es decir, su integral se encuentra normalizada (sin
necesidad de hacer n → ∞).
dH(x)
∞
n
−∞
Propiedad
δ(x) =
Nota
Una sucesión delta no converge a una función delta. De hecho, las tres sucesiones delta presentadas
explícitamente, divergen (recordar que estamos en el
contexto de límites de sucesiones de funciones, es decir, en el de los espacios de funciones, luego, lo que se
debe comprobar es que no existe convergencia uniforme). En efecto, es fácil ver que ni siquiera se cumple
la convergencia puntual (o simple), entonces, no se
cumple la convergencia uniforme [(conv. uniforme ⇒
conv. puntual)⇔(no conv. puntual ⇒ no conv. uniforme)].
En lo que sigue, siempre se considerarán, solo los casos en que a → −∞ y b → ∞, de forma implícita.
No obstante, se debe tener en consideración, que lo
escrito será válido para los casos en que se reemplacen los límites de las integrales indenidas por a y b
tal cual como se mostró en esta sección, con el cuidado de que, en algunos casos, pueden ser necesarias
ciertas condiciones adicionales o modicar algunas
de estas.
2 Propiedades
En la sección anterior se mencionó la importantísima
. Ahora veremos otras
propiedades muy útiles de un delta de Dirac.
propiedad de selectividad
Definición
(Función Escalón de Heaviside)
La función escalón de Heaviside (o función escalón unitario) es aquella función con dominio real
denida por:
0, si x < 0
H(x) =
1, si x ≥ 0
Notación
Cuando escribamos g (x)δ(h (x)) = g (x)δ(h (x)),
con g , g , h , h funciones de R en R cualesquiera,
tales que g , g sean no nulas, nos referiremos a que
se cumple la igualdad:
1
1
2
1
1
Z
1
2
2
2
2
∞
Z
n
lı́m Φn (x) = H(x)
n→∞
donde
Z
x
φn (ξ)dξ
Φn (x) =
Cualquier demostración formal de esta u otra propiedad de un delta de Dirac, requerirá, naturalmente, la
aplicación de fundamentos de la teoría de funciones
generalizadas (a menos que se pueda demostrar a
partir de propiedades ya conocidas).
−∞
Propiedad
Sea f : R → R una función m-diferenciable. Entonces:
Z
∞
−∞
dm f (0)
dm δ(x)
f (x)dx = (−1)m
m
dx
dxm
Notemos que lo anterior se representa mediante la
expresión
Z
∞
lı́m
n→∞
−∞
dm φn (x)
dm f (0)
f (x)dx = (−1)m
m
dx
dxm
que exige que φ (x) sea diferenciable m veces y que:
n
Z
∞
−∞
k
d φn (x)
f (x)dx < ∞, ∀n ∈ N ∧ ∀k ∈ {0, ..., m}
dxk
Propiedad
Si f : R → R es una función contínua en x = 0 o si
satisface que lı́m xf (x) = 0, entonces:
x→0
Z
∞
xδ(x)f (x)dx = 0
−∞
Esto se resume en la notación xδ(x) = 0.
Notemos que la propiedad anterior no exige que f
sea contínua.
Propiedad (Selectividad Cambiada)
g2 (x)δ(h2 (x))f (x)dx
−∞
para toda función f : R → R contínua.
En la notación recién indicada, se excluyen los casos
en que g ∨ g son nulos debido a que, como se verá
más adelante, existe un caso especíco en que no
1
Una demostración informal se puede lograr considerando una sucesión delta φ (x) y vericando que
∞
g1 (x)δ(h1 (x))f (x)dx =
−∞
dx
δ(x − a) =
d
H(x − a)
dx
es decir, ∀f : R → R función contínua,
2
Delta de Dirac
Z
∞
δ(x − a)f (x)dx = f (a)
−∞
2
J.C.Á.
Resumen
Ahora consideremos una función real f expandible
en serie de Fourier entre −L y L, es decir,
Propiedad
δ(ax) =
1
δ(x), ∀a 6= 0
|a|
∞
Del caso particular a = −1, se obtiene que δ(x) =
, es decir, el delta de Dirac es una función
(generalizada) par (esto signica que las sucesiones
delta están conformadas por funciones pares).
δ(−x)
nπx nπx a0 X + bn sin
+
an cos
2
L
L
n=1
f (x) =
Si además, f es contínua a trozos y contínua en x = 0
(en particular, si f , es contínua), es claro que
∞
Propiedad
δ(x2 − a2 ) =
f (0) =
1
(δ(x + a) + δ(x − a)) , ∀a > 0
2a
Así, podemos concluir que
Z
Propiedad
Sea g : R → R una función diferenciable con m
raíces distintas entre sí. Sean x , ..., x estas raíces (i.e. g(x ) = 0, ∀k = 1, ..., m). Entonces, si
6= 0, ∀k ∈ {1, ..., m}, se tiene que
1
m
k
dg(xk )
dx
δ(g(x)) =
m
X
1
k=1
dg(xk )
dx
δ(x − xk )
Propiedad
Sea g : R → R una función contínua. Entonces:
g(x)δ(x) = g(0)δ(x)
3 Representaciones
Anteriormente se presentó la representación de un
delta de Dirac por medio de
. En
esta sección se presentan otras tres representaciones
muy útiles.
lı́m Pa (x)f (x)dx =
−L a→0
Definición (Función Pulso) (1)
Sea a ∈ (0, ∞). El pulso de ancho 2a (o función
pulso de ancho 2a) y área unitaria es la función real:
si x ≤ −a
0,
, si − a < x < a
P (x) =
0,
si x ≥ a
Consideremos el pulso P (x) y L > a. Notemos que
P (x) se puede expresar, en serie de Fourier entre
−L y L, como (b = 0, pues es una función par):
1
2a
a→0
a
n
Pa (x) =
1
1
+
sin
2L n=1 nπa
L
cos
a
Sea L > 0. Un delta de Dirac lo podemos representar por medio de una serie de Fourier entre −L y L.
Explícitamente:
δ(x) =
Además,
nπx L
∞
nπx 1 X
1
+
cos
2L L n=1
L
∞
nπx nπξ
2 X
sin
sin
δ(x − ξ) =
,0 < ξ < L
L n=1
L
L
La segunda expresión se obtiene de la serie de Fourier en senos para δ(x − ξ). De formas análogas se
pueden obtener otras representaciones en series de
Fourier.
Ahora, notando que
H(x) =
1
2πi
Z
γ+i∞
γ−i∞
1 xz
e dz, ∀γ ∈ R\{0},
z
donde γ 6= 0 debido al polo en z = 0, y derivando
respecto a x, obtenemos que
δ(x) =
1
dH(x)
=
dx
2πi
Z
γ+i∞
exz dz,
γ−i∞
pero esta vez, ya que no existe polo en el integrando,
tenemos que γ puede ser cualquier valor real. Luego,
por conveniencia, escogeremos γ = 0, obteniendo
a
nπa a0 X
+
an = f (0)
2
n=1
Es decir, lı́m P (x) cumple la propiedad de selectividad (que es la que dene a la distribución delta),
con lo que hemos obtenido una representación nueva
para un delta de Dirac.
sucesiones de Dirac
∞
X
∞
L
Representación en Serie de Fourier
Esta última propiedad se puede demostrar informalmente utilizando la denición simbólica dada en la
sección 1 y la aproximación lineal de primer orden
(aprox. de Taylor de orden 1) de la función g en
torno a cada una de sus raíces.
Notemos que la penúltima propiedad corresponde a
un caso particular de la última.
a
a0 X
+
an
2
n=1
δ(x) =
1
2πi
Z
+i∞
exz dz
−i∞
que corresponde a una nueva representación de la
distribución delta, sin embargo, se puede modicar
la expresión anterior mediante el cambio de variables
k = −iz (que es una rotación del plano en 90 en
el sentido de los punteros del reloj), resultando una
o
Delta de Dirac
3
J.C.Á.
expresión más práctica.
Resumen
Nuestro análisis, nos lleva a concluir que, si primero
se desarrolla la integral respecto a x, para una gran
variedad de funciones f (x), se cumple la igualdad
Representación Integral
δ(x) =
1
2π
Z
∞
1
2π
eikx dk
−∞
Nota
Ambas representaciones mencionadas resultan ser,
respectivamente, una serie divergente y una integral
divergente, lo cual no nos debe sorprender, pues, si
fueran expresiones convergentes, sería posible denir
un delta de Dirac como una función en el sentido del
Cálculo habitual, lo cual no es el caso (y por ello se
debe denir como una función generalizada).
Hagamos una leve modicación a la representación
integral y consideremos la función
1
2π
ψa (x) =
Z
∞
2 2
e−a
k
eikx dk, a 6= 0
1
lı́m ψa (x) =
a→0
2π
∞
eikx dk = δ(x)
−∞
Pero, ψ (x) puede ser calculada y evaluada muy fácilmente. En efecto, completando cuadrados, se obtiene la expresión
a
1 −x22
e 4a
2π
ψa (x) =
Z
∞
x
−∞
∞
−u2
−∞
ψa (x) =
−x2
1
√ e 4a2
2a π
que no es más que la densidad de una distribución
de probabilidad Gaussiana (notemos que, haciendo
el c.v. n = , se obtiene la segunda sucesión delta
presentada a modo de ejemplo en la sección 2), por
lo que no debe sorprender el resultado
1
2a
Z
ψa (x)dx = 1, ∀a ∈ R
−∞
por lo que es de esperar, y puede ser probado rigurosamente, que
∞
lı́m
a→0
ψa (x)f (x)dx = f (0)
−∞
eikx f (x)dkdx = f (0)
−∞
∞
δ(x)f (x)dx = f (0)
−∞
A continuación, consideremos un pulso rectangular
positivo normalizado P (t − t ).
+
τ
0
Definición (Función Pulso) (2)
Sea τ ∈ (0, ∞). Sea t
> 0. El pulso rectangular
positivo normalizado es la función real:
0
0,
1
,
Pτ+ (t − t0 ) =
τ
0,
si 0 ≤ t ≤ t
si t < t < t
si t ≥ t + τ
0
0
0
+τ
0
Nota
Existen muchas formas posibles de denir funciones
pulso. Para uso exclusivo de este texto, se denieron
las 2 ya presentadas, pues son adecuadas al contexto
y entregan claridad. Por ejemplo, la segunda función
pulso no se encuentra denida para valores negativos, lo cual es adecuado al contexto de la transformada de Laplace, que se dene sólo para el semiespacio
positivo. Además, el concepto de
puede
referirse a que el área es 1 (como en nuestro caso)
o a que la función toma el valor 1. También notemos que un pulso no tiene por qué ser rectangular
(en el primer caso se denió como uno rectangular
sin mencionarse en el nombre). Por estas razones, se
debe tener algo de precaución al leer desarrollos matemáticos que involucren este tipo de funciones.
Notemos que la transformada de Laplace del pulso
P (t − t ) es
+
τ
para toda función de "comportamiento razonablemente bueno" f (x) (para mayor precisión es necesario adentrarse en la teoría de distribuciones).
Bastará que f sea diferenciable en x = 0.
0
L Pτ+ (t − t0 ) (s) =
Z
Luego, basta ver que
∞
Z
∞
normalizado
2
e−(ak+ 2ai ) dk
y la integral es trivialmente calculada al considerar
el c.v. u = ak + que implica
du = adk y recordando el conocido resultado R e du = √π, con
lo que se obtiene
x
2ai
Z
−∞
Z
a2 k2
ikx
∞
que es, básicamente, escribir de forma sorprendente
la propiedad de selectividad:
−∞
En este caso, el factor de convergencia e hace a la
integral convergente (de allí el nombre); y dado que
la función e es uniformemente contínua, se tiene
que
Z
Z
y que
t0 +τ
t0
1 −st
1 − e−sτ
e dt = e−st0
τ
sτ
lı́m Pτ+ (t − t0 ) = δ(t − t0 )
τ →0
1 − e−sτ
=1
τ →0
sτ
lı́m
para concluir el valor de la transformada de Laplace
de un delta de Dirac.
Representación en
Transformada de Laplace
Delta de Dirac
L [δ(t − t0 )] (s) = e−st0 , ∀t > 0
4
J.C.Á.
Resumen
Importante!
Al considerar t = 0, se obtiene L [δ(t)] (s) = 1, sin
embargo, en este caso (t = 0), la distribución delta no es exactamente la misma que la denida en el
intervalo (−∞, ∞). Por ejemplo, no podríamos decir
que δ(t) (construida de esta forma) es una función
(generalizada) par, dado que en la teoría de las transformadas de Laplace, todas las funciones se asumen
cero para t < 0. Con δ(t) construida así, obtendríamos lo que podría llamarse "la mitad de la distribución delta original". Una consecuencia práctica es
que, en este caso, la propiedad de selectividad cambiaría a: Z
0
0
∞
δ(t)f (t)dt = f (0 + 0)
Esto es algo que vale la pena recordar ya que, en
muchos problemas que involucran transformadas de
Laplace, el valor f (0) no es posible denirlo.
Por último, notemos que se puede dar sentido a la
transformada de Fourier de un delta de Dirac:
Nota
Hemos considerado las transformadas y antitransformadas de Fourier con coecientes para ambas,
sin embargo, es común usar una denición alternativa con coecientes 1 y respectivamente, en cuyo
caso, las relaciones presentadas cambian a las expresiones que se muestran a continuación.
√1
2π
1
2π
Representación en
Transformada de Fourier (2)
F [δ(x − a)] (λ) = e−iλa , ∀a ∈ R
y además,
F e−iξa (λ) = δ(λ + a), ∀a ∈ R
0
1
F [δ(x − a)] (λ) := √
2π
Estos resultados se obtienen de forma idéntica a los
anteriores, simplemente usando las deniciones alternativas de transformadas y antitransformadas de
Fourier mencionadas.
∞
Z
δ(x−a)e−iλx dx, a ∈ R
−∞
donde la igualdad es por la denición de la transformada de Fourier. Pero aquí podemos usar directamente la propiedad de selectividad cambiada,
obteniendo la nueva representación deseada.
Representación en
4 Extensión a Rn
Sea ~r ∈ R un vector n-dimensional. Si, al representarse en coordenadas cartesianas, el vector se escribe
n
~r =
n
X
entonces, su delta de Dirac se dene
Transformada de Fourier (1)
−iλa
e
F [δ(x − a)] (λ) = √
2π
, ∀a ∈ R
δ(~r) ≡
Notemos que un caso particular, es el de a = 0, que
nos dice que
e−iλ0
1
F [δ(x)] (λ) = √
=√
2π
2π
También podemos aplicar la antitransformada de
Fourier (o transformada inversa de Fourier), resultando
√
F −1 e−iλa (x) = 2πδ(x − a), ∀a ∈ R,
por lo que se tiene:
1
δ(x−a) =
2π
Z
∞
e
−iλa iλx
e
−∞
1
dλ =
2π
Z
δ(−λ − a) =
1
2π
n
Y
δ(xi )
i=1
y así, la integración se realiza de forma independiente en cada dimensión.
Notemos que se obtiene
el resultado:
Z
δ(~r)dV = 1
Ahora, consideremos un sistema de coordenadas distinto al cartesiano denido por las relaciones (que
deben ser invertibles):
Relaciones Directas:
ui = ui (x1 , ..., xn ), ∀i = 1, ..., n
Relaciones Inversas:
∞
e
−iξa iξx
e
dξ
−∞
xi = xi (u1 , ..., un ), ∀i = 1, ..., n
Luego, haciendo el c.v. x = −λ, se obtiene
Z
xi x̂i
i=1
Dado que, el diferencial de volumen es
∞
e−iξa e−iξλ dξ,
−∞
dV = dx1 · · · dxn = |det (J)| du1 · · · dun ,
lo que, junto con el hecho de que δ(−λ−a) = δ(λ+a)
(paridad), nos lleva a la expresión
donde J es el Jacobiano de la transformación, que
en tres dimensiones se escribe
√
F e−iξa (λ) = 2πδ(λ + a), ∀a ∈ R
JR3
Delta de Dirac
≡
∂x1
∂u1
∂x1
∂u2
∂x1
∂u3
∂x2
∂u1
∂x2
∂u2
∂x2
∂u3
∂x3
∂u1
∂x3
∂u2
∂x3
∂u3
,
5
J.C.Á.
entonces, se debe cumplir
Z
Resumen
Z
δ(~r)dx1 · · · dxn =
δ(~r) |det (J)| du1 · · · dun = 1,
por lo que, necesariamente
Qn
δ(~r) ≡
i=1 δ(ui )
|det (J)|
Un caso especial es el que ocurre en coordenadas esféricas en R , que, debido a la simetría de éstas, se
tiene que
3
δ(~r) =
δ(r)
,
4πr2
donde r ≡ k~rk, que reduce 3 integrales en una sola.
Claro, también es válida la fórmula más general que
se mostró, pero en ese caso se deben realizar las 3
integrales.
Referencias
[1] Eugene Butkov,
. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Cop. 1968.
[2] E. Neal Moore,
.
Krieger Publishing Company. Noviembre de 1990.
Mathematical
Phy-
sics
Theoretical Mechanics
Si existe algún error de tipeo u otro tipo, por favor, enviar un
mail a javier.carrasco@ug.uchile.cl para corregirlo. Además, es bienvenido cualquier consejo y/o comentario constructivo sobre el texto (para extenderlo, modicarlo, etc.).-
Delta de Dirac
6
