TEMAS PARA HOY SEMEJANZA AREAS

TEMAS
PARA HOY
SEMEJANZA
AREAS
GEOMETRIA DE SÓLIDOS
PROPORCIONES
RAZÓN
Cociente de dos cantidades para realizar
comparación entre ellas.
a=b
a
b
a/b
1/1
PROPORCIONES
a
b
a
a≠b
b/a
a/b
1/2
2/1
PROPORCIONES
Formas de expresar una razón
Ej. Razón de 4 a 5
-Empleando dos puntos
-Fracción común
-Fracción decimal
-Porcentaje
4:5
4/5
0.8
80%
NOTA: Una razón no se asocia con ninguna unidad de medida
PROPORCIONES
¿Que es una Proporción?
Es la igualdad de dos razones
(Muchas son Fracciones equivalentes)
1/2 = 2/4
1/2 = 3/6
2/4 = 3/6
EJERCICIOS DE APLICACION
Se conoce que 100 g de Leche
se componen de lo siguiente:
87 g de agua, 3 g de Proteína, 4 g de Grasa, 5 g de
carbohidratos y el resto de cenizas.
Exprese la razón entre todos los componentes.
EJERCICIOS DE
APLICACION
Para producir 1000 g de Hamburguesa se requieren 120 g de carne de res
y 0.25 Kg de harina de soya.
Con esta información resuelva las siguientes situaciones:
Si solamente se cuenta con 250 g de Harina de soya, cuantos Kg de
Hamburguesa se pueden producir.
Si solamente se cuenta con 360 g de Harina de soya, cuantos Kg de
Hamburguesa se pueden producir.
Si se producen 4 kg de Hamburguesa, cuantos gramos de Carne y Harina
se gastaron.
EJERCICIOS
Hallar x:
a. 15 / x = 3 / 4
b. (x-6) / 6 = 5 / 3
c. 8 / (x + 8 )= 3 / 4
d. (x+y) / 8 = (x-y) / 4 = 2 / 3
e. (x-2) / 4 = 7x / 6
PROPORCIONES
Segmentos proporcionales
Si un segmento es paralelos a uno de los
lados de un triangulo, entonces los otros
lados quedan divididos en segmentos
proporcionales y recíprocamente.
A
a
c
∆ABC, Si DE II BC, entonces a/b =c/d
D
b
B
E
∆ABC, Si a/b =c/d entonces DE II BC
d
C
PROPORCIONES
Segmentos proporcionales
A
a
B
c
D
C
b
E
Dos transversales cualesquiera,
cortadas por tres o mas paralelas
quedan dividas en segmentos
proporcionales,
d
Si AB II EF II CD, entonces a/b =c/d
F
PROPORCIONES
Segmentos proporcionales
La bisectriz de un ángulo de un
triangulo divide el lado opuesto en dos
segmentos proporcionales a los lados
contiguos.
C
a
B
b
c
D
d
∆ABC, Si CD es bisectriz, entonces a/c =b/d
A
PROPORCIONES
Segmentos proporcionales
Si dos segmentos se dividen
proporcionalmente, entonces …
A
1. Los segmentos parciales
correspondientes son proporcionales.
a
D
b
B
c
a/b =c/d
E
d
C
2. Los segmentos totales y un par
cualesquiera de segmentos parciales
homólogos son proporcionales.
a / AB = c /AB , b / AB = d / AC
PROPORCIONES
EJERCICIOS
A
SI DE II BC, Hallar x
x
D
12
28
A
E
6
10
14
F
9
C
B
B
C
x
M
D
30
21
2x
N
3x +1
P
J
E
PROPORCIONES
EJERCICIOS
Demostrar:
Hipótesis: EG II BD, EF II BC
A
Tesis: FG II CD
E
1 En ∆ABD AE/EB = AG/GD
G
2 En ∆ABC AE/BE = AF/FC
B
F
D
Definición de Paralela a un lado de un
triangulo
De 1 y 2
AF/FC = AE/AD
Transitividad
C
3 En ∆ACD
FG II CD
Definición de Paralela a un lado de un
triangulo
POLIGONOS
SEMEJANTES
Dos poligonos son semejantes si y solo si se
tienen los ángulos respectivamente congruentes
y los lados correspondientes proporcionales.
TRIANGULOS
SEMEJANTES
Dos TRIANGULOS son semejantes si y solo si
sus ángulos son respectivamente congruentes y
los lados homólogos proporcionales.
TRIANGULOS
SEMEJANTES
B
B’
c
A
a
b
c’
C
A’
Si <A = <A’, <B=<B’ , <C=<C’,
entonces ΔABC ~ ΔA’B’C’
a’
b’
C’
Ángulos correspondientes: Los ángulos respectivamente iguales
Lados homólogos: Los lados opuesto a los ángulos correspondientes.
PRINCIPIOS REALTIVOS A
TRIANGULOS SEMEJANTES
B
B’
c
A
a
b
c’
C
A’
Si <A = <A’ y <B=<B’, entonces
ΔABC ~ ΔA’B’C’
a’
b’
C’
1. Dos triángulos son semejantes si dos ángulos de uno de ellos son
iguales a sus correspondientes en el otro
PRINCIPIOS REALTIVOS A
TRIANGULOS SEMEJANTES
B
B’
c
A
a
b
c’
C
A’
Si <C = <C’ y a / a’=b / b’,
entonces ΔABC ~ ΔA’B’C’
a’
b’
C’
2. Dos triángulos son semejantes, si un ángulo de uno de ellos es igual
a un ángulo del otro y si los lados que comprenden al primero son
proporcionales a los lados homólogos del segundo.
PRINCIPIOS REALTIVOS A
TRIANGULOS SEMEJANTES
B
B’
c
A
a
b
c’
C
A’
Si a / a’=b / b’=c / c’, entonces
ΔABC ~ ΔA’B’C’
a’
b’
C’
3. Dos triángulos son semejantes, si sus lados homólogos son
proporcionales
PRINCIPIOS REALTIVOS A
TRIANGULOS SEMEJANTES
B
B’
c
A
Si <B=<B’ o <A =<A’ entonces
ΔABC ~ ΔA’B’C’
a
c’
b
C
A’
a’
b’
C’
4. Dos triángulos rectángulos son semejantes, si un ángulo agudo del
uno es igual a un agulo agudo del otro. De (1)
PRINCIPIOS REALTIVOS A
TRIANGULOS SEMEJANTES
B
Si DE II AC entonces ΔABC ~ ΔDBE
D
A
E
C
5. Todo segmento paralelo a uno del los lados de un triangulo
determina un triangulo semejante al dado.
PRINCIPIOS REALTIVOS A
TRIANGULOS SEMEJANTES
Si ΔABC ~ ΔDEF y ΔMJN ~ ΔDEF
B
E
entonces ΔABC ~ ΔMJN
J
A
C
D
F
M
N
6. Triángulos semejantes a un mismo triangulo son semejantes entre si
PRINCIPIOS REALTIVOS A
TRIANGULOS SEMEJANTES
C
Si CD es altura del ΔABC entonces
ΔABC ~ ΔCDB ~ ΔADC
A
D
B
7.En un triangulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa
divide al triangulo dado en otros dos semejantes a este y semejantes
entre si.
PRINCIPIOS REALTIVOS A
TRIANGULOS SEMEJANTES
C
Si AB II DF y AC II DE y CB II EF
entonces ΔABC ~ ΔDEF
E
D
A
F
B
8.Dos triángulos que tienen sus lados homólogos paralelos entre si
son semejantes.
PRINCIPIOS REALTIVOS A
TRIANGULOS SEMEJANTES
E
C
Si AB I EF y AC I DF y CB I DE
entonces ΔABC ~ ΔDEF
D
B
A
F
8.Dos triángulos que tienen sus lados homólogos perpendiculares
entre si son semejantes.
PRINCIPIOS REALTIVOS A
TRIANGULOS SEMEJANTES
EJERCICIOS
C
Hipótesis: AC I AD y DE I AB
Tesis: AC / DE = AB / BD
D
A
B
E
PRINCIPIOS REALTIVOS A
TRIANGULOS SEMEJANTES
EJERCICIOS
T
Hipótesis: ST I RS y MN I RT
N
R
Tesis: ΔRMN ~ ΔRST
M
S
PRINCIPIOS REALTIVOS A
TRIANGULOS SEMEJANTES
EJERCICIO DE APLICACION
Hallar la longitud de la tubería vertical que permitirá bombear la
leche desde el punto B hasta el tanque de Enfriamiento T y cuanto
costaría si el metro de tubería esta a $200.000
R: Recepción de MP
B: Bombeo Vertical
T: Tanque de Enfriamiento
T
20m
8m
R
B
40m
TEOREMA DE PITAGORAS
EN UN TRIANGULO RECTANGULO, EL
CUADRADO DE LA HIPOTENUSA ES IGUAL A LA
SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS.
c
a
b
a2 + b2 = c2
TEOREMA DE PITAGORAS
EJERCICIOS
Dados los siguientes casos, encuentre la incógnita
(a) a= 12, b=9, c= ?
(b) a=?,b=6, c=8
c
a
(c) a= 4√3, b=?, c=8
(d) a= x, b=?, c= x+10
b
TEMAS
PARA HOY
SEMEJANZA
AREAS
GEOMETRIA DE SÓLIDOS
AREAS
Es el numero de unidades cuadradas
que contiene una superficie.
b*h/2
b*h
h
h
b
b
b’
L2
L
r
π r2
h (b+b’) / 2
h
b
EJERCICIO
Hallar el área de un rectángulo si su base es (x – 2) ul y su altura es (x -1) ul
Hallar el área del rectángulo cuya base es 15 ul y su perímetro es 50 ul
Hallar el área del cuadrado cuyo perímetro es x ul
Hallar el área de un paralelogramo cuya base y altura están a razón de 2 : 3
y la base mide 4 ul
Hallar el área de un triangulo rectángulo cuya hipotenusa es m ul y cuya
base es l ul
Hallar el área de un cuadrado de lado c ul, en función del radio de la
circunferencia circunscrita a el, que es de r ul.
POLIGONOS REGULARES Y
CIRCUNFERENCIA
B
A
C
O
E
G
F
POLIGONO REGULAR: Polígono que equilátero y equiángulo (Pentágono)
CENTRO DEL POLIGONO: Centro común de sus circunferencias inscrita y
circunscrita (O).
RADIO DEL POLIGONO: Segmento que une el centro con un vértice del
polígono. También es el radio de la circunferencia circunscrita.
ANGULO CENTRAL: Es el que forman dos radios que pasan por dos vertices
consecutivos.
APOTEMA: Segmento perpendicular trazado desde el centro a uno de sus lados.
POLIGONOS REGULARES Y
CIRCUNFERENCIA
PRINCIPIOS RELATIVOS A LOS POLIGONOS REGULARES
1. El perímetro de un polígono regular es igual al producto de la
medida de uno de sus lados por el numero de lados (¿Por qué?)
P = nL donde: P: Perímetro
n: numero de lados
L: magnitud de un lado
2. Todo radio de un polígono regular es bisectriz del ángulo por cuyo
vértice pasa (¿Por qué?)
3. Todo apotema de un polígono regular es mediatriz del lado
correspondiente (¿Por qué?)
4. En un polígono de n lados cada ángulo central c es igual al 360 / n
(¿Por qué?)
POLIGONOS REGULARES Y
CIRCUNFERENCIA
EJERCICIOS
DEMOSTRAR que todo ángulo del vértice (interno) de un pentágono regular
queda trisecado por las diagonales trazadas desde ese vértice.
Hipótesis: Sea el pentágono ABCDE, BE y BD son diagonales
Tesis: BE y BD Triseca al <B
B
A
C
E
D
POLIGONOS REGULARES Y
CIRCUNFERENCIA
EJERCICIOS
El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto entre su
perímetro y apotema.
Demostrar este teorema al siguiente triangulo regular
l
r
POLIGONOS REGULARES Y
CIRCUNFERENCIA
LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA Y AREA DEL CIRCULO
La razón entre la longitud de la
circunferencia (perímetro) de la
circunferencia de cualquier circulo y su
diámetro es siempre una constante (π)
d
P/d=π
POLIGONOS REGULARES Y
CIRCUNFERENCIA
LONGITUD DE UN ARCO, AREA DEL SECTOR CIRCULAR Y DEL
SEGMENTO CIRCULAR
Sector Circular: Es la parte de un circulo
comprendida entre dos radios y el arco
que subtienden
A
Longitud de Arco (L)
nº
O
r
B
En una circunferencia de radio r, la
longitud del arco de nº es igual a …
L= 2 π r n / 360
Área del Sector Circular (S)
En una circunferencia de radio r, la
longitud del arco de nº es igual a …
S= π r 2 n / 360
POLIGONOS REGULARES Y
CIRCUNFERENCIA
LONGITUD DE UN ARCO, AREA DEL SECTOR CIRCULAR Y DEL
SEGMENTO CIRCULAR
Segmento Circular: Es la parte de un
circulo comprendida entre una cuerda y
el arco que subtiende
A
Área del Segmento Circular (C)
nº
O
B
r
Es igual al área del sector
correspondiente menos el área del
triangulo que forman sus radios y la
cuerda que subtienden
C = S - AΔAOB
POLIGONOS REGULARES Y
CIRCUNFERENCIA
LONGITUD DE UN ARCO, AREA DEL SECTOR CIRCULAR Y DEL
SEGMENTO CIRCULAR
B
Si un polígono regular esta inscrito en
una circunferencia, cada segmento
circular que tiene por cuerda al lado del
polígono es igual a la diferencia entre el
área del circulo y la del polígono,
dividida por el numero de lados.
L
r
A
C
POLIGONOS REGULARES Y
CIRCUNFERENCIA
EJERCICIOS
Hallar la longitud L de un arco de xº perteneciente a una circunferencia cuya
longitud es igual a 10π (R// xπ/36)
Hallar el Área S de un sector circular de kº perteneciente a un circulo de radio
igual a 12 ul (R// 2/5 Kπ)
Hallar el Área C de un segmento circular cuyo ángulo central vale 60º y el radio
del circulo al cual pertenece es igual a 12.(R// 24 π - 36√3)
AREAS DE FIGURAS
COMBINADAS Y AREAS
SOMBREADAS
Se puede calcular el área de una combinación de
figuras, calculando por separado el área de cada
parte y realizando luego las operaciones necesarias
para encontrar el área pedida.
AREAS DE FIGURAS
COMBINADAS Y AREAS
SOMBREADAS
EJERCICIOS
Área sombrada = A cuadrado + A semicírculo
C
B
8
8
A
D
=
82
+ π42/2
=
64
+ 8π
AREAS DE FIGURAS
COMBINADAS Y AREAS
SOMBREADAS
2
EJERCICIOS
10
4
AREAS DE FIGURAS
COMBINADAS Y AREAS
SOMBREADAS
EJERCICIOS
10
4
TEMAS
PARA HOY
SEMEJANZA
AREAS
GEOMETRIA DE SÓLIDOS
GEOMETRIA DE SÓLIDOS
AREAS Y VOLUMENES
VOLUMEN
Es una porción del espacio
SÓLIDO
Es una porción cerrada de espacio, limitada
por superficies planas o curvas.
SUPERFICIE / AREA
Es lo que separa al sólido del resto del espacio
GEOMETRIA DE SÓLIDOS
AREAS Y VOLUMENES
Paralepipedo
Vol. = L . A. h
h
A
Área = 2(Lh +hA + LA)
L
Cubo
Vol. = a3
Área = 2(Lh +hA + LA)
a
GEOMETRIA DE SÓLIDOS
AREAS Y VOLUMENES
Pirámide
h
Vol. = 1/3 Ab * h
Área = Ab + Σ Áreas caras laterales
Cono
Vol. = 1/3 π r2 h
h
a
Área = Ab + A lat (triangulo de rev.)
GEOMETRIA DE SÓLIDOS
AREAS Y VOLUMENES
r
Cilindro
Vol. = π r2 h
h
Área = 2π r2 + 2π rh
A
Esfera
Vol. = 4/3 π r3
r
Área = 4 π r2
L
GEOMETRIA DE SÓLIDOS
AREAS Y VOLUMENES
EJERCICIO DE APLICACION
Se desea conocer el área de contacto entre la pared de una marmita y una
leche que se desea pasteurizar, con el fin de evaluar la transferencia de calor.
Se sabe que el volumen de leche es máximo el 80% del volumen total del
equipo que posee un fondo semiesférico y un cuerpo superior cilíndrico.
1m
2m