Coordinación de Ciencias Computacionales - INAOE Relaciones y funciones Matemáticas Discretas Relaciones y funciones Relaciones Propiedades de relaciones Clases de equivalencia Conjuntos parciales y totalmente ordenados Funciones Cursos Propedéuticos 2010 Ciencias Computacionales INAOE Dr. Luis Villaseñor Pineda villasen@inaoep.mx http://ccc.inaoep.mx/~villasen 2 Producto cartesiano Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano AxB se define por: Relaciones Dados dos conjuntos A y B, una relación binaria R de A a B es determinada por un subconjunto R AB Se dice que “aRb” si y solo si (a, b)R Si A=B, se dice que R es una relación en A AB = { (x, y) | xA, yB} Ejemplo: {a,b}{1,2,3} = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)} Note que los elementos (x, y) son pares ordenados: hay una diferencia entre (a, 2) y (2, a) En general: AB ≠ BA 3 4 1 Ejemplo Ejemplo Sea U={1, 2, 3, …,7}, A={2, 3, 4} y B={4, 5}, las siguientes son ejemplos de relaciones de A a B: Ø {(2, 4), (2, 5)} {(2, 4), (3, 4), (4, 5)} {(2, 4), (3, 4), (4, 4)} La relación de menor que < en el conjunto de números naturales N se describe por el conjunto: {(0,1),(0,2),(1,2),(0,3),…} NN La relación de igualdad “=“ en R se define por el conjunto: {(x, x) | xR} RR 5 Propiedades de las relaciones Ejemplo Una relación R en A es reflexiva si: Si (a, a) R para toda a A Una relación R en A es antireflexiva si: 6 Se A={1, 2, 3, 4}, considere las siguientes relaciones R sobre A y determine si son reflexivas: R={(1, 1), (2, 2), (3, 3)} R={(x, y)| x, y A, x ≤ y} Si (a, a) R para toda a A 7 No es reflexiva Es reflexiva 8 2 Propiedades de las relaciones Ejemplo Una relación R es simétrica si: Si (a,b)R entonces (b,a)R Sea A={1, 2, 3} y R una relación en A R={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)} R={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3)} R={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)} R={(1,1),(2,3),(3,3)} Una relación R en A es antisimétrica si: Si (a,b)R y (b,a)R entonces a=b Una relación R es transitiva si: Si (a,b)R y (b,c)R entonces (a,c)R Simétrica y no reflexiva Reflexiva y no simétrica Simétrica y reflexiva No Simétrica y no reflexiva 9 Ejemplo Ejemplo Sea A={1, 2, 3, 4} R={(1,1),(2,3),(3,4),(2,4)} Sea A={1, 2, 3} R={(1,2),(2,1),(2,3)} R={(1,1),(2,2)} Es una relación transitiva en A R={(1,3),(3,2)} 10 No es transitiva 11 No simétrica y no antisimetrica Simétrica y antisimetrica 12 3 Ordenamientos Ordenamientos Relaciones comunes tales como ≤ definen ordenamientos Una relación R en A es un ordenamiento parcial si y sólo si es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva (A, R) es un conjunto ordenado parcialmente o poset si R es un ordenamiento parcial en A Si a b ó b a, entonces los elementos a y b son comparables Si todos los pares a y b posibles son comparables, es un ordenamiento total o cadena 13 Ejemplo Relaciones de equivalencia Sea A={1, 2, 3, 4, 6, 12} y sea R la relación en A dada por (x, y) R si x divide exactamente a y 14 R es reflexiva R es transitiva R es antisimétrica Por lo tanto R define un ordenamiento parcial en A 15 Una relación R en A es una relación de equivalencia si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva La notación común para una equivalencia en A es “=“ Dada una relación de equivalencia R en A, para cada aA la clase de equivalencia [a] se define por { x | (x,a)R }. 16 4 Ejemplo Equivalencias modulo 3 en Z tal que: Particiones [0] = {…,–6,–3,0,3,6,…} y [1] = {…,–5,–2,1,4,7,…} Sea A={1, 2, 3} Una partición de un conjunto A es un conjunto de subconjuntos {Aj} tal que: AiAj = para todo ij A = j Aj R={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)} R={(1,1),(2,2),(3,3)} R={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3)} Son relaciones de equivalencia 17 Ejemplo Composiciones Sea A={1, 2, 3, …,10}, las siguientes son ejemplos de particiones de A: 18 A={1, 2, 3, 4, 5}, B={6, 7, 8, 9, 10} A={1, 3, 5, 7, 9}, B={2, 4, 6, 8, 10} A={1, 2, 3}, B={4, 6, 7, 9}, A={5, 8, 10} Ai={i, i+5}, 1 ≤ i ≤ 5 La composición T = SR AC de dos relaciones SAB y RBC se define como T = { (a,c) | tal que existe bB con (a,b)S y (b,c)R } La composición de relaciones es asociativa Para relaciones R en A se pueden definir potencias: R1 = R y Rn+1 = RRn para todo entero n 19 20 5 Matrices y relaciones Matrices y relaciones Una relación R de A = {a1,…,am} a B = {b1,…,bn} puede representarse por una matriz M(R) de dimensión mn de 0/1 : Si aiRbj R entonces el elemento (i, j) en M(R) es 1, Si aiRbj R entonces el elemento (i, j) en M(R) es 0. Si se utiliza la “adición booleana” 1+1=1, entonces la composición de dos relaciones se puede calcular mediante la matriz producto: M(RS) = M(R)∙M(S) 21 22 Producto Cartesiano EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, ... , 7}, A = {2, 3, 4}, B = {4, 5}. Entonces, Un repaso de lo visto hasta ahora a) A B = {(2, 4), (2, 5), (3, 4),(3, 5),(4, 4), (4, 5)}. b) B A = {(4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}. c) B2=B B = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)} d) B3=B B B = a , b , c 23 a, b, c B ; (4, 5, 5)B3. 24 6 Producto Cartesiano Producto Cartesiano EJEMPLO Un experimento E se desarrolla de la siguiente forma: se lanza un sólo dado y se anota el resultado; a continuación, se lanza una moneda al aire y se anota el resultado. Determínese un espacio muestral M para E. EJEMPLO Si U =R, R R = se conoce como el plano real de la geometría coordenada y del cálculo bidimensional. El subconjunto R+R+ es el interior del primer cuadrante de este plano. Así mismo, R3 representa el espacio euclidiano tridimensional donde las superficies tridimensionales, como esferas y planos, son subconjuntos importantes. Denótese por E1 la primera parte del experimento E y sea M1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} un espacio muestral para E1. Así mismo sea M2={CA,CZ} un espacio muestral para E2, la segunda parte del experimento. Entonces, M = M1 M2 es un espacio muestral para E. 25 Producto Cartesiano 26 Producto Cartesiano Este espacio muestral se puede representar gráficamente con un diagrama de árbol. EJEMPLO En el torneo de tenis de Wimbledon, las mujeres juegan a lo sumo 3 sets en un partido. Triunfa quien gane primero 2 sets. Si N y E representan a las 2 jugadoras, el diagrama de árbol refleja las 6 maneras en que puede ganarse el encuentro. 27 28 7 Relaciones Relaciones EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, ... , 7}, A = {2, 3, 4}, B = {4, 5}. Las siguientes son relaciones de A a B. a) b) {(2,4)} c) {(2, 4), (2, 5)} d) {(2, 4), (3, 4), (4, 4)} e) {(2, 4), (3, 4), (4, 5)} Como A B = 6, por la definición se deduce que hay 26 relaciones posibles de A a B. f) A B. En general, para conjuntos finitos A, B donde A = m y B = n, hay 2mn relaciones de A a B, incluyendo la relación vacía y la propia relación A B. ¿cuántas relaciones de A a B existen? 29 Relaciones 30 Relaciones EJEMPLO Si A = U =Z+, se define una relación binaria R en el conjunto A como x , y x y . Se trata de la conocida relación “es menor o igual que” para el conjunto de los enteros positivos, EJEMPLO Sea B = {1, 2} N, U = P(B) y A = U ={, {1}, {2}, {1, 2}}. El siguiente es un ejemplo de relación binaria en A: R = {(, ), (, {1}), (, {2}), (, {1, 2}), ({1}, {1}), ({1},{1,2}), ({2}, {2}), ({2}, {1,2}), ({1,2}, {1,2})}. Se puede decir que la relación R es una relación de subconjunto donde (C, D) R si y sólo si C, D B y C D. Se observa que (7,7),(7,11)R, y (8,2)R, (7,11)R también se puede denotar como 7R 11; (8,2)R se transforma en 8R 2 son ejemplos de notación infija en una relación. 31 32 8 Relaciones Relaciones Para cualquier conjunto A U , A = . Así mismo A = . Para cualquier conjunto A U , A = . Así mismo A = . Si A , sea (a, b) A . Entonces, a A y b , lo cual es imposible. 33 Relaciones 34 Relaciones El producto cartesiano y las operaciones binarias de unión e intersección están interrelacionados con el siguiente teorema. EJEMPLO Dado un conjunto finito A con A =n, resulta que A A = n2, de modo que hay 2 n relaciones en A. 2 Teorema Para conjuntos arbitrarios A, B, C U. a) A B C A B A C b) A B C A B A C c) A B C A C B C d) A B C A C B C ¿Cuántas son reflexivas? 35 36 9 Relaciones Relaciones Recordando una relación R en un conjunto A se llama simétrica si (x, y) R (y, x) R para x, y A. Si A ={a1, a2, ... ,an}, una relación R en A es reflexiva si . a i , a i 1 i n R . Al considerar los otros n2–n pares ordenados de A A (los de la forma a i , a j , 1 i, j n, i j) conforme se construye una relación reflexiva R en A, se incluye o excluye cada uno de estos pares ordenados, hay 2 n n relaciones reflexivas en A. ¿Cuántas son simétricas? 2 37 38 Relaciones Para contar las relaciones simétricas en A={a1,a2, ... ,an}, se escribe AA como A1A2, donde A1= a i , a i 1 i n y A2=a i , a j 1 i , j n , i j de modo que cada par en AA está exactamente en uno de los conjuntos A1, A2. ¿Cuántas son reflexivas y simétricas? Para A2, |A2| = |AA| – |A1| = n2–n = n(n–1), un entero par. El conjunto A2 contiene (1/2)(n2–n) subconjuntos de la forma {(ai,aj),(aj,ai)},1ijn. Al establecer una relación simétrica R en A, para cada par ordenado de A1, se dispone de la selección usual de exclusión o inclusión. Para los (1/2)( n2 – n) subconjuntos de pares ordenados en A2, se dispone de las mismas opciones. Por tanto, por la regla del producto, hay 2 n 2 1 / 2 n n = 2 1 / 2 n n relaciones simétricas en A. 2 2 39 40 10 Relaciones Relaciones de Orden ¿Cuántas son reflexivas y simétricas? Recordando una relación R en A es un ordenamiento parcial si y sólo si es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva Se tiene sólo una opción para cada par ordenado en A 1. De modo que hay 2 1 / 2 n n relaciones en A que son reflexivas y simétricas. 2 Sea A un conjunto y R una relación en A. El par (A, R) se llama conjunto parcialmente ordenado si la relación R en A es un orden parcial, o una relación de ordenamiento parcial. Si a A se le denomina conjunto parcialmente ordenado, se sobre entiende que hay un orden parcial R en A que convierte a A en este conjunto parcialmente ordenado. 41 Relaciones de Orden 42 Relaciones de Orden EJEMPLO Sea A el conjunto de cursos ofrecidos en una universidad. Defínase la relación R en A mediante x R y si x e y son el mismo curso o si x es un requisito previo para y. Entonces, R transforma a A en un conjunto parcialmente ordenado. EJEMPLO En el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, la relación R en A, definida por x R y si x y, es un orden parcial, que transforma a A en un conjunto parcialmente ordenado que se puede denotar por (A, ). Si B = {1, 2, 4} A, el conjunto ={(1, 1), (2, 2), (4, 4), (1, 2), (1, 4), (2, 4)} es un orden parcial en B. EJEMPLO Defínase R en A = {1, 2, 3, 4} por x R y, si , es decir, x divide a y. Entonces, R ={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4)} es un orden parcial y (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado. 43 44 11 Relaciones de Orden Relaciones de Orden En general si R es un orden parcial en A, entonces para cualquier subconjunto B de A, B B R convierte a B en un conjunto parcialmente ordenado, donde el orden parcial de B se induce de R. Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado, un elemento max A se llama maximal de A si para toda a A, max R a max = a Un elemento min A se denomina minimal de A si para toda b A, b R min b = min 45 Relaciones de Orden 46 Relaciones de Orden EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3} y A = P(U). Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado, un elemento x A se denomina elemento mínimo si x R a, para todo a A. El elemento y A se denomina máximo si a R y para toda a A. Sea R la relación de subconjunto en A. Entonces U es maximal, mientras que es minimal para este conjunto parcialmente ordenado. Para B, la colección de subconjuntos propios de {1, 2, 3}, sea R la relación de subconjunto en B . En el conjunto parcialmente ordenado (B, ), {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} son elementos maximales, mientras que es el único elemento minimal. 47 50 12 Relaciones de Orden Relaciones de Orden EJEMPLO Sean U = {1, 2, 3} y R la relación de subconjunto. Para un conjunto parcialmente ordenado (A, R), es posible tener varios elementos maximales y minimales. ¿Qué sucede con los elementos mínimo y máximo? a) Con A = P(U), (A, ) tiene a como elemento mínimo y a U como máximo. b) Para B = la colección de subconjuntos no vacíos de U, (B, ) tiene a U como elemento máximo. No existe elemento mínimo, pero si tres elementos minimales. 51 Relaciones de Orden 52 Relaciones de equivalencia Recordemos que R en un conjunto A es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva. Teorema Si el conjunto parcialmente ordenado (A, R) tiene algún elemento máximo (mínimo), ese elemento es único. EJEMPLO Sea nZ+. Para x, y Z, se define la relación R de módulo n por medio de x R y si y sólo si, x – y es un múltiplo de n. Con n = 7, se halla que 9 R 2, -3 R 11, (14,0) R pero 3 R 7. Demostración Supóngase que x, y A y que ambos son elementos máximos. Como x es un elemento máximo, yR x. Así mismo, x R y, pues y es un elemento máximo. Como R es antisimétrico, x = y. 53 54 13 Relaciones de equivalencia Relaciones de equivalencia EJEMPLO Sea A=R y para cada iZ, sea Ai=[i, i+1). Entonces constituye una partición de R. Para cualquier conjunto A, A A es una relación de equivalencia en A, y si A = {a1, a2, ... , an}, la relación de equivalencia más pequeña en A es R = a i , a i 1 i n . Definición Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A. Para cualquier x A, la clase de equivalencia de x, denotada por [x], se define mediante Si R es una relación en A, R será una relación de equivalencia y un orden parcial en A si y sólo si es la relación de igualdad en A. [ x ] y A y R x 55 56 Teorema Si R es una relación de equivalencia en un conjunto A y x, y A, entonces: a) x [x]; b) x R y si y sólo si [x] = [y] y c) [x] = [y] o [x] [y] = . Relaciones de equivalencia EJEMPLO Defínase la relación R en Z, por xRy, si 4 divide a (x–y). Para esta relación se encuentra que Demostración [0] = {..., -8, -4, 0, 4, 8, 12, ...} = {4k kZ} b) Si x R y , sea w [x]. Entonces, w R x; además como R es transitiva, w R y. Por tanto, w [y] y [x] [y]. Con R simétrica, x R y y R x. De este modo, si t [y], entonces t R y y por la propiedad transitiva, t R x. De ahí que t [x] e [y] [x]. Por tanto [x] = [y]. A la inversa sea [x] = [y]. Como por el apartado a) x [x], entonces x [y] o x R y. a) Este resultado se obtiene de la propiedad reflexiva de R [1] = {..., -7, -3, 1, 5, 9, 13, ...} = {4k + 1 kZ } [2] = {..., -6, -2, 2, 6, 10, 14, ...} = {4k + 2 kZ } [3] = {..., -5, -1, 3, 7, 11, 15, ...} = {4k + 3 kZ } {[0], [1], [2], [3]} proporciona una partición de Z. 57 c) Esta propiedad plantea que las clases de equivalencia sólo se pueden relacionar de dos maneras: son idénticas o disjuntas… 58 14 Relaciones de equivalencia Relaciones de equivalencia c) Continuación... partimos de que [x] [y] y [x] [y] . Si [x] [y] , entonces sea v A con v [x] y v [y]. Por tanto, v R x, v R y x R y. Además por el apartado b), x R y [x] = [y]. Esto contradice la hipótesis de que [x] [y], por tanto se rechaza la hipótesis de que [x] [y] , y de ahí se obtiene el resultado. Obsérvese que si R es una relación de equivalencia en A, entonces, de acuerdo con a) y c) del teorema anterior, las distintas clases de equivalencia determinadas por R constituyen una partición de A. EJEMPLO Si A ={1, 2, 3, 4, 5} y R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}, entonces R es una relación de equivalencia en A, [1] = {1}, [2] = {2,3}=[3], [4]={4,5}=[5] y A = [1] [2] [4]. 59 60 Funciones Ejemplo Una función f:AB del conjunto A a B es la relación fAB tal que cada aA está relacionada con un único b tal que (a,b)f Notación f(a)=b, o f:a b A es el dominio de f y B es el codominio El valor f(a)=b es la imagen de aA bajo f El conjunto { f(a) | aA } es el rango de f Sea A={1, 2, 3} y B={w, x, y, z}: ¿Es f={(1, w), (2, x)} una función de A a B? ¿Es f={(1, w), (2, w), (2, x), (3, z)} una función de A a B? ¿Es f={(1, w), (2, x), (3, x)} una función de A a B? 61 No No Si 62 15 Ejemplo ¿Cuál es el dominio (dominio máximo ) de la función h dada por? h(w) Composición de funciones 1 Sean f: A B y G: B C dos funciones. La composición de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la función: ww 6 2 (g o f): A C tal que Para todo a A, (g o f)= g(f(a)) -2 < w < 3 63 Tipos de funciones Ejemplo Una función es inyectiva o uno a uno si para cada x A tiene una única imagen f(a): 64 Si f(x)=f(y) entonces x=y. Elementos distintos de A tienen siempre imágenes distintas Sea A={1, 2, 3} y B={1, 2, 3, 4, 5}. ¿Es g={(1, 1),(2, 3),(3, 3)} una función uno a uno de A a B? No Sea f: R R donde f(x)= 3x + 7 para toda x Es una función uno a uno 65 66 16 Tipos de funciones Una función es sobre o suprayectiva si para cada yB existe una xA tal que f(x)=y: Tipos de funciones Una función es una biyección entre A y B si es una función uno a uno y suprayectica Sea A={1, 2, 3 , 4} y B={w, x, y, z}. Si yB entonces existe una xA tal que f(x)=y Sea f: R R donde f(x)= x3 para toda x ¿Es f={(1, w), (2, x), (3, y), (4, z)} de A a B una biyección? ¿Es una función sobre o suprayectiva? Si Si 67 68 Ejemplos La función lineal f:ZZ, definida por f(x)=x+2 Es inyectiva Es suprayectiva Es biyectiva La identidad I:AA es siempre una biyección 69 17