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Capítulo 1
Geometría Analítica en el espacio
Semana No. 1
1. Un plano que es perpendicular al eje Z , está dado por:
a) x = 1
b ) y = −2
c) z = 4
2. Un plano que es paralelo tanto al eje Z como al eje X , está dado por:
a) x = 4
b) y = 3
c ) z = −1
3. La distancia entre los planos x = −2 y x = 5 es:
a) 3
b ) −3
c ) −7
d) 7
4. La distancia euclidiana del punto P1 (2, 4, −1) al punto P2 (4, 0, 2) es:
a)
√
51
b)
√
14
c)
√
29
d)
√
11
5. Las coordenadas del punto medio entre los puntos P1 (2, 4, −1) y P2 (4, 0, 2) son:
a ) (6, 4, 1)
b ) (2, −4, −3)
c ) (3, 2, 0· 5)
d ) (1, −2, −1· 5)
1
CAPÍTULO 1. GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO
6. Un vector que denen los puntos P1 (2, 4, −1) y P2 (4, 0, 2) es:
a ) 6i + 4j + k
c ) 3i + 2j + 0· 5k
b ) 2i − 4j + 3k
d)
7. El punto (2, 1, −1) pertenece a la recta
a ) Verdadero
i
+j−k
− 2j − 1· 5k
3x − 4
y+3
1−z
=
=
.
1
2
1
b ) Falso
8. El vector director de la recta L :
a)
i
b)
i
y+3
1−z
3x − 4
=
=
es paralelo a:
1
2
1
+ 2j − k
c)
i
+ 6j − 3k
d ) 3i + 6j − 1k
9. El punto (−2, 1, 2) pertenece al plano π : x + 2y − z = 4.
a ) Verdadero
b ) Falso
10. Un vector que es normal al plano dado por 3x + 2y + 4z − 11 = 0 es:
2
a ) 3i + 2j − k
c ) −3i − 2j + 4k
b ) 6i + 4j + 8k
d ) −i − j − 1k
Escuela Superior Politécnica del Litoral Banco de preguntas de C. de V. Variables
Semana No. 2
1. La distancia del origen de coordenadas al plano π : x + y − z = 0 es:
a) 0
b) 1
1
c) √
3
1
d)
3
2. Respecto a la distancia entre los planos dados por π1 : 3x − y + 2z + 10 = 0;
π2 : 3x − y − 2z + 10 = 0, se puede armar:
a ) Es igual a 0.
b ) Es estrictamente positiva.
c ) No está denida.
d ) Existe pero no hay manera de determinarla.
3. La ecuación canónica de una esfera con centro en (1, −2, 2) y radio de 2 unidades de longitud, es:
a ) (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 2)2 = 4
b ) (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 2)2 = 2
c ) (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 2)2 = 4
d ) (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 2)2 = 2
4. Un punto que pertenece a la supercie, dada por 3x2 + 2y 2 + z 2 = 49, es:
a ) (1, 1, 1)
c ) (3, −3, 2)
b ) (2, 1, 3)
d ) (2, −2, 1)
5. La ecuación en variables rectangulares dada por x2 + y 2 − 2z 2 = 10, representa:
SS
a ) Un plano
c ) Un paraboloide hiperbólico
b ) Una esfera
d ) Un hiperboloide de una hoja
3
CAPÍTULO 1. GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO
6. La ecuación en variables rectangulares dada por z = 4 − x2 − y 2 , representa:
a ) Un cilindro
c ) Un paraboloide elíptico
b ) Una esfera
d ) Un cono
1
5
7. El eje de simetría de la supercie dada por y = − (x2 + z 2 ), es:
a ) El eje X
c ) El eje Z
b ) El eje Y
d ) La recta x = y = z
8. La ecuación en variables cilíndricas dada por z = 4 − r2 , representa:
a ) Un paraboloide elíptico
c ) Un cilindro
b ) Una esfera
d ) Un cono
9. La ecuación que representa un cilindro es:
a ) r2 + z 2 = 4.
c ) r = 1 + cos(θ).
b ) r2 − z 2 = 1.
d ) r = z.
10. La ecuación en variables esféricas dada por ρ sen(φ) = 4, representa:
4
a ) Un plano
c ) Un cilindro
b ) Una esfera
d ) Un cono
Capítulo 2
Diferenciación de funciones de varias
variables
Semana No. 3
1. El conjunto {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < 0} es:
a ) Abierto
c ) Abierto y cerrado
b ) Cerrado
d ) Ni abierto ni cerrado
2. El conjunto {(x, y) ∈ R2 /y ≥ x2 } es acotado.
a ) Verdadero
b ) Falso
3. Un posible dominio para la función f (x, y) = − 1 − x2 − y 2 es:
p
a ) R2
c ) {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≥ 1}
b ) {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≤ 1}
d ) R2 − {(0, 0)}
4. Un posible dominio para la función f (x, y) =
p
x2 + y 2 − 1 es:
a ) R2
c ) {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≥ 1}
b ) {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≤ 1}
d ) R2 − {(0, 0)}
5
CAPÍTULO 2. DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
5. Respecto a la función escalar de dos variables (x, y) ∈ R2 , dada por
f (x, y) = 1 − x2 − y 2 , su
a) R
RANGO
es:
b ) [1, +∞)
c ) (−∞, 1]
d ) (0, +∞)
6. Respecto a la función escalar de tres variables x, y, z ∈ R, dada por
f (x, y, z) = xyz , su
a) R
RANGO
es:
b ) [0, +∞)
c ) (−∞, 0]
d ) (0, +∞)
7. Respecto a la función escalar de dos variables (x, y) ∈ R2 , dada por
f (x, y) = 1 − x2 − y 2 , su conjunto de nivel α = 1 es:
8.
a ) R2
c ) {(0, 0)}
b) ∅
d ) {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 = 1}
lim
2
2
(x + y )sen
(x,y)→(0,0)
a)
1
x2 + y 2
b) 1
es:
c ) +∞
d ) −1
9. La función vectorial g(x, y) = (ex , cos(y − x), e−y ); (x, y) ∈ R2 , es continua en
su dominio.
a)
b ) Falso

y 2 − x2

xy
x2 + y 2
10. Respecto al valor de A ∈ R para que la función f (x, y) =

A
sea continua en (0, 0), se puede AFIRMAR que:
a ) Es un valor negativo.
b ) No existe.
c ) Es igual a 1.
d ) Es igual a 0.
6
x2 + y 2 6= 0
2
2
x +y =0
,
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Semana No. 4
1. Sea f (x, y) = e1−x
a ) e1−x
2 −y 2
. Entonces una expresión para
c ) −2xe1−x
2 −y 2
b ) 2xe1−x
∂f
es:
∂x
2 −y 2
d ) (−2x − 2y)e1−x
2 −y 2
2. Sea la función f (x, y) = p
x2
equivale a:
1
+
y2
+1
2 −y 2
; (x, y) ∈ R2 . La expresión y
a ) x2 + y 2
c) 0
b ) xy f (x, y)
d) 1
∂f
∂f
−x
∂x
∂y
3. Si f es una función continua en x0 ∈ Rn , entonces las derivadas parciales de f
existen en x0 .
a ) Verdadero
b ) Falso
4. Si f es una función tal que todas sus derivadas parciales existen en x0 ∈ Rn ,
entonces f es continua en x0 .
a ) Verdadero
b ) Falso
5. Una de las siguientes funciones con dominio en R2 NO es de clase C 1 en (0, 0).
IDENTIFÍQUELA
.
a ) f (x, y) = 4x2 + xy − 2y 2
b ) f (x, y) = x + 2y − 1
c ) f (x, y) =
p
x2 + y 2
p
d ) f (x, y) = x2 + y 2 + 1
6. Sea la función f (x, y) = x2 + y 2 + 10; (x, y) ∈ R2 . La matriz Jacobiana en el
punto (0, 0) es:
a)
−1 1
b)
0 0
SS
c)
d)
1 1
0 −1
7
CAPÍTULO 2. DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
7. Sea la función f (x, y) = (sen(y − x), x2 − y 2 ); (x, y) ∈ R2 . La matriz Jacobiana
en el punto (1, 1) es:

a) 
−1
1



c) 
2 −2

0
0

b) 
2 −2


d) 
1
1
2 −2
−1 1
−2 2




8. La función vectorial g(x, y) = (ex , cos(y − x), e−y ); (x, y) ∈ R2 , es diferenciable
en su dominio.
a ) Verdadero
b ) Falso
9. Una de las siguientes funciones con dominio en R2 NO es diferenciable en (0, 0).
IDENTIFÍQUELA
.
a ) f (x, y) = 4x2 + xy − 2y 2
c ) f (x, y) =
p
x2 + y 2
p
d ) f (x, y) = x2 + y 2 + 1
b ) f (x, y) = x + 2y − 1
10. La función vectorial g(x, y) = (ex ,
p
x2 + y 2 , e−y ); (x, y) ∈ R2 , es diferenciable
en su dominio.
a ) Verdadero
8
b ) Falso
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Semana No. 5
1. Considere la función f (x, y) =



x2

0
El valor de
xy
+ y2
(x, y) 6= (0, 0)
. Sea v = (cos(θ), sen(θ)).
(x, y) = (0, 0)
∂f
(0, 0) es:
∂v
a ) 0 para todo θ ∈ R.
b ) Un valor no denido para todo θ ∈ R.
c ) Un valor nito que depende de la dirección θ.
d ) Un valor denido para ciertos valores θ y no para otros.
 2
xy


(x, y) 6= (0, 0)
2
2
2. Considere la función f (x, y) = x + y
. Sea v = (cos(θ), sen(θ)).

0
(x, y) = (0, 0)
∂f
El valor de
(0, 0) es:
∂v
a ) 0 para todo θ ∈ R.
b ) Un valor no denido para todo θ ∈ R.
c ) Un valor nito que depende de la dirección θ.
d ) Un valor denido para ciertos valores θ y no para otros.
 2 2
xy


(x, y) 6= (0, 0)
2
2
3. Considere la función f (x, y) = x + y
. Sea v = (cos(θ), sen(θ)).

0
(x, y) = (0, 0)
∂f
El valor de
(0, 0) es:
∂v
a ) 0 para todo θ ∈ R.
b ) Un valor no denido para todo θ ∈ R.
c ) Un valor nito que depende de la dirección θ.
d ) Un valor denido para ciertos valores θ y no para otros.
SS
9
CAPÍTULO 2. DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
4. Sean f, g dos funciones diferenciables de R2 en R2 , tales que go f existe.
Entonces la matriz Jacobiana de go f en el punto x0 está dada por:
a ) Df (x0 ) Dg(x0 )
c ) Df (g(x0 )) Dg(x0 )
b ) Dg(x0 ) Df (x0 )
d ) Dg(f (x0 )) Df (x0 )
5. Si f es una función diferenciable en R2 , u = f (x, y); x = 2s − 3t; y = 3t − 2s,
entonces
∂u ∂u
+
es:
∂s
∂t
a) s + t
b) s − t
6. Sea z = x3 y ; x = 2t2 ; y = 6t. Entonces
a ) 376
b ) 336
c) 0
d)
∂u ∂u
−
∂y ∂x
∂z
en t = 1 es:
∂t
c ) 330
d ) 416
7. Se conoce que z = u2 + v 2 y que u, v dependen del tiempo t. Entonces es
VERDAD
que:
du
dv
dz
=2 +2
dt
dt
dt
du
dv
dz
= 2u − 2v
b)
dt
dt
dt
a)
dz
du
dv
= 2u + 2v
dt
dt
dt
du
dv
dz
=u +v
d)
dt
dt
dt
c)
8. Si f es una función diferenciable en x0 ∈ Rn , entonces f es continua en x0 .
a ) Verdadero
b ) Falso
9. Si f es una función tal que todas sus derivadas direccionales existen en x0 ∈ Rn ,
entonces f es diferenciable en x0 .
a ) Verdadero
b ) Falso
10. Si f es una función diferenciable en x0 ∈ Rn , entonces f es de clase C 1 en x0 .
a ) Verdadero
10
b ) Falso
Escuela Superior Politécnica del Litoral Banco de preguntas de C. de V. Variables
Semana No. 6
1. Si z = f (x, y) es un campo escalar diferenciable en el punto P0 (x0 , y0 ),
∂f
∂f
(P0 ) = 3 y
(P0 ) = −2, entonces la variación de f en P0 , respecto a la
∂x
∂y
direción d = i − j es:
a) 5
√
b)
5
2
5
c) √
2
d)
r
5
2
2. Si f es un campo escalar diferenciable en x0 ∈ Rn , entonces ∇f (x0 ) apunta en
la dirección de MENOR crecimiento de f .
a ) Verdadero
b ) Falso
3. Si z = f (x, y) es un campo escalar diferenciable en el punto P0 (x0 , y0 ),
∂f
∂f
(P0 ) =
(P0 ), entonces la variación de f en P0 , respecto a la direción
∂x
∂y
d = i − j es:
a) 0
b) 1
c) 2
d ) −2
4. Sea f un campo escalar diferenciable en x0 ∈ R2 tal que ∇f (x0 ) = 2i − 3j.
Entonces la máxima variación de f en x0 es:
a) 0
b) 1
c)
√
5
d)
√
13
5. Si z = f (x, y) es un campo escalar diferenciable en el punto P0 (x0 , y0 ),
∂f
∂f
(P0 ) = 3 y
(P0 ) = −2, entonces la máxima variación de f en P0 es:
∂x
∂y
√
√
a) 5
b) 1
c ) 13
d ) 10
6. Sea z = f (x, y) tal que se relacionan de manera implícita mediante la ecuación
cos(xyz) + ln(x + y + z) = 1. Entonces es
CIERTO
que:
a ) f (0, 0) = 2.
b ) f es diferenciable en (0, 0).
c ) f no es diferenciable en (0, 0).
d ) f (0, 0) no existe.
SS
11
CAPÍTULO 2. DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
7. Sea z = e
x−y
∂ 2z ∂ 2z
; (x, y) ∈ R . La expresión 2 + 2 es idéntica a:
∂x
∂y
a) 1
2
b) 0
c ) 2z
8. Sea u = x2 + y 2 + 2z 2 ; (x, y, z) ∈ R3 . La expresión
a:
a) 1
b) 0
c ) 2u
d) z
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
+
−
es idéntica
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
d) u
9. Si z = f (x, y) es un campo escalar de clase C 2 en el punto (x0 , y0 ), entonces
∂ 2z
∂ 2z
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 ).
∂y∂x
∂x∂y
a ) Verdadero
b ) Falso
10. Si z = f (x, y) es un campo escalar de clase C 2 en el punto (x0 , y0 ), entonces
∂ 3z
∂ 3z
(x
,
y
)
=
(x0 , y0 ).
0 0
∂y 2 ∂x
∂x2 ∂y
a ) Verdadero
12
b ) Falso
Escuela Superior Politécnica del Litoral Banco de preguntas de C. de V. Variables
Semana No. 7
1. Se conoce que z = f (x, y) es un campo escalar diferenciable en R2 y que la
ecuación del plano tangente a la gráca de f en el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) es
2x − y + z − 5 = 0. Entonces
a ) 2 y −1
∂z
∂z
(x0 , y0 ) y
(x0 , y0 ), son respectivamente:
∂x
∂y
b ) −2 y 1
c) 2 y 1
d ) −2 y −1
2. Si u = f (x, y, z) es un campo escalar diferenciable en el punto P0 (x0 , y0 , z0 ),
∂f
∂f
∂f
(P0 ) = 1 y
(P0 ) =
(P0 ) = 0, la aplicación afín g de f en P0 es:
∂x
∂y
∂z
a ) g(x, y, z) = f (P0 ) − (x − x0 )
b ) g(x, y, z) = f (P0 ) + (x − x0 )
c ) g(x, y, z) = f (P0 ) + (x − x0 ) + (y − y0 )
d ) g(x, y, z) = f (P0 ) − (x − x0 ) − (y − y0 ) + (z − z0 )
3. Sea f una función diferenciable en el punto (a, b) tal que ∇f (a, b) = 0. Entonces
el plano tangente a la gráca de f en el punto (a, b, f (a, b)) es:
a ) Paralelo al plano x + y + z = 0.
b ) Paralelo al plano −x + z = 0.
c ) Paralelo a uno de los planos coordenados.
d ) Paralelo al plano x + y = 0.
4. La supercie dada por x2 + y 2 + 4z 2 = 1 tiene un plano tangente k XY .
a ) Verdadero
5. Respecto a la supercie dada por z =
b ) Falso
p
x2 + y 2 ; (x, y) ∈ R2 , es
FALSO
que:
a ) Tiene plano tangente en el punto (1, −1).
b ) Tiene plano tangente en el punto (0, −1).
c ) Tiene plano tangente en el punto (1, 0).
d ) Tiene plano tangente en el punto (0, 0).
SS
13
CAPÍTULO 2. DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
6. Sea S una supercie diferenciable en R2 dada por z = f (x, y). Suponga que
∂f
∂f
(1, −2) = 3 y
(1, −2) = −1. Entonces un vector
∂x
∂y
normal del plano tangente a S en (1, −2, 4) es:
el punto (1, −2, 4) ∈ S ,
a ) 3i + j + k
b ) 3i − j + k
c ) 3i − j − k
d ) −3i − j − k
7. Empleando la fórmula de Taylor de 1o orden se requiere aproximar
p
(5,012 ) − (4,02)2 .
La función f y el punto (x0 , y0 ) más adecuados para la aproximación son:
a ) f (x, y) =
p
x2 + y 2 ; (4, 5)
b ) f (x, y) =
p
x2 + y 2 ; (5, 4)
p
x2 − y 2 ; (4, 5)
p
d ) f (x, y) = x2 − y 2 ; (5, 4)
c ) f (x, y) =
8. El valor aproximado de cos(0, 05)cos(0, 02), empleando la fórmula de Taylor
de 1o orden, es:
a ) 1, 07
b) 1
c ) 0, 93
d) 0
9. Sea f un campo escalar de clase C 2 enel punto
 P0 (x0 , y0 ), se conoce que
f (P0 ) = 1; ∇f (P0 ) = (2; −1); Hf (P0 ) = 
2 0
. La fórmula de Taylor de
0 1
2 orden que aproxima a f en una vecindad de P0 es:
o
a ) g(x, y) = 1 + 2(x − x0 ) − (y − y0 ) + 2(x − x0 )2 + (y − y0 )2
1
b ) g(x, y) = 1 + 2(x − x0 ) − (y − y0 ) + (x − x0 )2 + (y − y0 )2
2
1
c ) g(x, y) = 1 + 2(x − x0 ) + (y − y0 ) + (x − x0 )2 + (y − y0 )2
2
d ) g(x, y) = 1 + 2(x − x0 ) + (y − y0 ) + 2(x − x0 )2 + (y − y0 )2
10. Empleando la fórmula de Taylor de 2o orden se requiere aproximar (0,9)2 50,1 .
La función f y el punto (x0 , y0 ) más adecuados para la aproximación son:
14
a ) f (x, y) = y5x ; (1, 0)
c ) f (x, y) = x2 5y ; (1, 0)
b ) f (x, y) = x2 5y ; (1, 1)
d ) f (x, y) = 5xy ; (0, 0)
Capítulo 3
Optimización de funciones escalares
de varias variables
Semana No. 8
1. Si f es una función escalar tal que ∇f (x0 ) = 0, entonces f tiene un extremo
relativo en x0 .
a ) Verdadero
b ) Falso
2. Si f es una función escalar tal que f tiene un extremo relativo en x0 , entonces
∇f (x0 ) = 0.
a ) Verdadero
b ) Falso
3. Si f es una función escalar tal que f es diferenciable en x0 y tiene un extremo
relativo en x0 , entonces ∇f (x0 ) = 0.
a ) Verdadero
b ) Falso
4. La función f (x, y) = 4 − x2 − 3y 2 ; (x, y) ∈ R2 , tiene un máximo relativo en el
punto (0, 0).
a ) Verdadero
b ) Falso
15
CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES ESCALARES DE VARIAS
VARIABLES
5. Sea x0 ∈ Rn . Si ∇f (x0 ) = 0, f ∈ C 2 en x0 y Hf (x0 ) es nula, entonces:
a ) Se puede asegurar que f tiene un mínimo local en x0 .
b ) Se puede asegurar que f tiene un máximo local en x0 .
c ) Se puede asegurar que f tiene un punto de silla en x0 .
d ) No es posible concluir con el criterio de la segunda derivada.

6. Si x0 ∈ R2 es un punto crítico de f , f ∈ C 2 en x0 y Hf (x0 ) = 
entonces es
VERDAD
2
0
0 −2

,
que:
a ) f tiene un mínimo local en x0 .
b ) f tiene un máximo local en x0 .
c ) f tiene un punto de silla en x0 .
d ) No es posible concluir con el criterio de la segunda derivada.

7. Si x0 ∈ R2 es un punto crítico de f , f ∈ C 2 en x0 y Hf (x0 ) = 
entonces es
VERDAD
2 1
1 2

,
que:
a ) f tiene un mínimo local en x0 .
b ) f tiene un máximo local en x0 .
c ) f tiene un punto de silla en x0 .
d ) No es posible concluir con el criterio de la segunda derivada.

−4
0
0


8. Si x0 ∈ R3 es un punto crítico de f , f ∈ C 2 en x0 y Hf (x0 ) =  0 −2 0

0
0 −2
entonces es
VERDAD
que:
a ) f tiene un mínimo local en x0 .
b ) f tiene un máximo local en x0 .
c ) f tiene un punto de silla en x0 .
d ) No es posible concluir con el criterio de la segunda derivada.
16



,

Escuela Superior Politécnica del Litoral Banco de preguntas de C. de V. Variables
9. Respecto a la función f (x, y) = 1 −
p
x2 + y 2 ; (x, y) ∈ R2 , es VERDAD que:
a ) f tiene un mínimo local en (0, 0).
b ) f tiene un máximo local en (0, 0).
c ) f tiene un punto de silla en (0, 0).
d ) f no tiene extremos locales ni puntos de silla en todo su dominio.
10. Respecto a la función f (x, y, z) = xyz ; (x, y, z) ∈ R3 , es
VERDAD
que:
a ) f alcanza su valor máximo absoluto en algún punto de su dominio.
b ) f alcanza su valor mínimo absoluto en algún punto de su dominio.
c ) No es posible concluir acerca de sus extremos absolutos.
d ) f no tiene extremos absolutos.
SS
17
Capítulo 4
Funciones Vectoriales
Semana No. 9
1. El camino recto que va desde el punto (2, 1) hasta el punto (0, −1) admite la
parametrización:
a ) r(t) = (2 + 2t, 1 + 2t); 0 ≤ t ≤ 1
b ) r(t) = (−2t, −2t); 0 ≤ t ≤ 1
c ) r(t) = (2 − 2t, 1 − 2t); 0 ≤ t ≤ 1
d ) r(t) = (2t, t); 1 ≤ t ≤ 0
2. Una de las siguientes funciones NO representa el camino recto que va desde el
punto (2, 1) hasta el punto (0, −1). IDENTIFÍQUELA.
a ) r(t) = (2 − 2t, 1 − 2t); 0 ≤ t ≤ 1
b ) r(t) = (−2t, −1 − 2t); −1 ≤ t ≤ 0
c ) r(t) = (2 − 2t2 , 1 − 2t2 ); 0 ≤ t ≤ 1
d ) r(t) = (2 − 2t, 1 − t2 ); 0 ≤ t ≤ 1
19
CAPÍTULO 4. FUNCIONES VECTORIALES
3. El camino recto que va desde el punto (0, 0, 0) hasta el punto (a, a, a); a > 0,
admite la parametrización:
a ) r(t) = (t, t, t); 0 ≤ t ≤ 1
b ) r(t) = (a, a, a); 0 ≤ t ≤ 1
c ) r(t) = (at, at, at); 0 ≤ t ≤ a
d ) r(t) = (at, at, at); 0 ≤ t ≤ 1
4. Una de las siguientes funciones representa la traza del cilindro x2 + z 2 = 4 con
el plano y = 2, orientada positivamente. IDENTIFÍQUELA.
a ) r(t) = (cos(t), sen(t), 2t); 0 ≤ t ≤ 2π
b ) r(t) = (2cos(t), 2sen(t), 2t); 0 ≤ t ≤ 2π
c ) r(t) = (2cos(t), 2, 2sen(t)); 0 ≤ t ≤ 2π
d ) r(t) = (cos(t), 2, sen(t)); 0 ≤ t ≤ 2π
5. La función r(t) = (1 + t3 , 1 + t3 , 1 + t3 ); 1 ≤ t ≤ 2 representa:
a ) Una hélice circular.
c ) Una recta.
b ) Una cúbica alabeada.
d ) Una elipse.
6. Una partícula se desplaza en el espacio de acuerdo a la ley de movimiento
π t ; t ≥ 0. La velocidad en el instante t = 3 es:
r(t) = t2 − 4, et−3 , sen
2
a ) (5, 1, 1)
b)
1
√ (5, 1, 1)
3 3
c ) (6, 1, 0)
1
d ) √ (6, 1, 0)
37
7. Uno de los siguientes campos es conservativo en R2 . IDENTIFÍQUELO.
a ) F (x, y) = (x − y)i + (3x + y)j.
b ) F (x, y) = (xy + 1)i + (x2 − 1)j.
c ) F (x, y) = (xy 2 + x)i + (x2 y − 5)j.
d ) F (x, y) = cos(y)i + cos(x)j.
20
Escuela Superior Politécnica del Litoral Banco de preguntas de C. de V. Variables
8. Respecto al campo vectorial F (x, y, z) = x3 i + y 3 j + z k; denido en R3 , es
FALSO
que:
a ) rotF (x, y, z) = 0i + 0j + 0k
b ) Es gradiente de algún campo escalar de R3 .
c ) divF (x, y, z) = 3x2 + 3y 2 + 1
d ) divF (x, y, z) = 3x2 i + 3y 2 j + k
9. La curvatura de una trayectoria elíptica es constante.
a ) Verdadero
b ) Falso
10. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA. IDENTIFÍQUELA.
a ) Si F y G son campos vectoriales de Rn tales que ∇ · F = ∇ · G, entonces
F = G.
b ) Si f (x, y, z) = x2 +2xy −z 2 es un campo escalar de R3 , entonces ∇2 f = 0.
c ) Si F y G son campos vectoriales diferenciables de R3 , entonces
∇ × (F + G) = ∇ × F − ∇ × G.
d ) Si f y F son campos escalar y vectorial diferenciables de R3 , respectiva-
mente, entonces ∇ · (f F ) = ∇f · F .
SS
21
Capítulo 5
Integrales de Línea
Semana No. 10
1. Una expresión para calcular el trabajo que realiza el campo de fuerzas
F (x, y) = xi + y j de R2 , a lo largo del camino suave C ⊂ R2 , es:
a)
ˆ
xdy + ydx
c)
C
b)
ˆ
xdy − ydx
C
ˆ
xdx + ydy
d)
ˆ
xdx − ydy
C
2. Se conoce que la integral curvilínea
C
ˆ
F · dλ es igual a cero, siendo λ la
C
parametrización correspondiente de C . Entonces se puede armar que:
a ) El campo vectorial F es conservativo.
b ) C es un camino cerrado.
c ) El campo vectorial F es conservativo y C es un camino cerrado.
d ) Ninguna de las armaciones anteriores puede ser inferida.
ˆ
3. Si F es el vector tangente a la curva C , entonces
F · dr es igual a:
C
a) 0
c) 1
b ) La longitud de C
d ) −1
23
CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LÍNEA
4. Sea F (x, y) = (3 + 2xy)i + (x2 − 3y 2 )j; (x, y) ∈ R2 yˆ sea el camino
C : r(t) = (et sen(t), et cos(t)); t ∈ [0, π]. El valor de
F · dr es:
C
a ) e3π
b ) e3π + 1
c ) e3π − 1
5. Respecto al campo de fuerzas F (x, y) = −
se puede AFIRMAR que:
x2
d) 0
y
x
i+
j; (x, y) 6= (0, 0),
2
2
+y
x + y2
a ) Es conservativo en su dominio.
ˆ
b)
F · dr = 0 para todo camino cerrado C de R2 .
C
c)
ˆ
F · dr no depende de la trayectoria C .
C
d ) Es gradiente el campo escalar f (x, y) =
x2
1
; (x, y) 6= (0, 0).
+ y2
6. Sea F (x, y, z) = (sen(x) + 2xyz)i + xˆ2 z j + x2 y k; (x, y, z) ∈ R3 y sea el camino
F · dr es:
C : x2 + z 2 = 1; y = −1. El valor de
C
a) 0
c) π
b) 1
d ) 2π
7. Sea F (x, y, z) = yz i + zxj + xy k un campo de fuerzas de R3 . El trabajo que
realiza F al mover un objeto por el tramo recto desde el punto (a, 0, 0) hasta
el punto (0, a, b); a, b > 0, es:
a) 0
c) a
b ) ab − a
d ) ab
8. Una expresión para calcular la longitud del camino C : r(t) = (t2 , t3 ); t ∈ [1, 2],
es:
a)
ˆ
2
2
4
(4t + 9t )dt
c)
1
b)
ˆ
1
24
ˆ
2
√
t 4 + 9t2 dt
2
√
4 + 9t2 dt
1
2
√
t2 + t3 dt
d)
ˆ
1
Escuela Superior Politécnica del Litoral Banco de preguntas de C. de V. Variables
9. Un camino plano y sinuoso C tiene la forma y = cos(x); 0 ≤ x ≤ π . Si el costo
de mantenimiento en cada punto está dado por c(x, y) = x + 2y , entonces una
expresión para calcular el costo total del mantenimiento de todo el camino, es:
a)
ˆ
π
p
(t + 2cos(t)) 1 + sen2 (t)dt
0
b)
ˆ
π
p
(t + 2cos(t)) 1 − sen2 (t)dt
0
c)
ˆ
π
p
(t + 2cos(t)) t + cos2 (t)dt
0
d)
ˆ
π
p
(t + 2cos(t)) t + sen2 (t)dt
0
10. Una varilla horizontal de longitud L tiene una distribución de masa directamente proporcional a la distancia del punto a uno de los extremos, siendo K
la constante de proporcionalidad correspondiente. La masa de la varilla es:
SS
1
KL2
2
a ) KL
c)
b ) KL2
d ) 2KL
25
Capítulo 6
Integración Múltiple
Semana No. 11
1. Sea f continua en R = [2, 4] × [−1, 1]. La integral
a)
b)
ˆ
1
ˆ
4
c)
f (x, y)dydx
ˆ
−1 2
ˆ 4ˆ 1
ˆ
d) 2
−1
f (x, y)dA es igual a:
R
1
f (x, y)dydx
−1
4
f (x, y)dydx
2
2
ˆ ˆ
ˆ
4
ˆ
1
f (x, y)dydx
2
0
2. Sea f continua en R = [2, 4] × [−1, 1]. La integral
ˆ ˆ
f (x, y)dA es igual a:
R
a)
b)
ˆ
1
ˆ
1
ˆ
4
f (x, y)dxdy +
−1
ˆ 0
ˆ
f (x, y)dxdy
−1 3
ˆ 1ˆ 4
2
3
f (x, y)dxdy +
−1
ˆ
c) 2
d)
ˆ
3
2
0
f (x, y)dxdy
0
ˆ
ˆ
3
3
1
ˆ
f (x, y)dxdy + 2
ˆ
−1 2
1 ˆ 3
ˆ
f (x, y)dxdy
0
1
ˆ
f (x, y)dydx +
−1
2
4
3
4
f (x, y)dydx
−1
3
3. Si f es continua en R2 , identique en cuál de las siguientes regiones planas se
puede armar que es Riemann integrable.
a ) [1, 4] × [0, +∞)
c ) {(x, y) ∈ R2 /y ≥ x2 }
b ) R2
d ) {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≤ 1}
27
CAPÍTULO 6. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
ˆ ˆ
4. Sea f continua en R = [0, 1] × [0, 2] tal que |f | ≤ 1. La integral
f (x, y)dA
R
NO puede ser igual a:
a) 3
b) 2
c) 1
5. Respecto al valor de la integral
ˆ ˆ
d) 0
(x + y)dA, siendo R el rectángulo con
R
vértices en (0, 1); (1, 0); (3, 4); (4, 3), se puede armar que:
a ) Es estrictamente positivo.
c ) Es igual a 0
b ) Es estrictamente negativo.
d ) Es igual al área de R.
6. Sea f (x, y) = x +y denida en R y considere la integral doble I =
2
2
ˆ
1
3
b)
8
3
16
3
c)
d)
7. Sea f una función continua en R y considere la integral doble
32
3
ˆ 1ˆ
y
2
0
Al cambiar el orden de integración se obtiene:
a)
ˆ
1
x
c)
f (x, y)dydx
0
b)
ˆ
ˆ
0
1
ˆ
ˆ
y
1
d)
ˆ
ˆ
1
ˆ
f (x, y)dxdy .
1
0
1
f (x, y)dydx
0
x
0
8. Sea f una función continua en R y considere la integral doble
Al cambiar el orden de integración se obtiene:
a)
b)
c)
d)
28
4
ˆ
4−y 2
f (x, y)dxdy
0
2−y
√
ˆ
4
4−y
0
2−y
√
3ˆ
4−y
ˆ
f (x, y)dxdy
ˆ
0
2−y
√
ˆ
3
4−y
0
y−2
ˆ
f (x, y)dxdy +
ˆ
ˆ
√
4−y
f (x, y)dxdy
3
f (x, y)dxdy +
4
ˆ
3
√
− 4−y
√
4 ˆ − 4−y
√
f (x, y)dxdy
4−y
f (x, y)dydx.
−1
0
ˆ
2
ˆ
4−x2
2
ˆ
3
f (x, y)dydx
0
f (x, y)dydx
0
ˆ
0
El valor de I es:
a)
1
2
−1
2−x
f (x, y)dydx.
Escuela Superior Politécnica del Litoral Banco de preguntas de C. de V. Variables
9. Si D es la región sombreada que se muestraˆ enˆ la gura adjunta y f es una
función Riemann-integrable en D, entonces
f (x, y)dA es igual a:
a)
ˆ
1−x2
c)
f (x, y)dxdy
0
b)
1ˆ
ˆ
d)
1
−1
SS
ˆ
0
b) 2
ˆ
1−|x|
D
y+1
0
ˆ
y+1
f (x, y)dxdy
−1
ˆ
ˆ
f (x, y)dxdy
x−1
10. El valor de la integral doble
a) 3
1
−1
x−1
1 ˆ 1−x2
f (x, y)dydx
0
ˆ
0
dydx es:
|x|−1
c) 1
d) 0
29
CAPÍTULO 6. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
√
11. Si D es la región acotada
ˆ ˆpor las curvas y =
el valor de la integral
x; y = 2; x = 0; x = 4, entonces
dydx puede interpretarse como:
D
a ) El perímetro de la región D.
b ) El volumen de un prisma con base D y altura 2 unidades.
c ) La masa de una lámina plana D con densidad de masa variable.
d ) La carga de una lámina plana D con densidad de carga igual a 1.
12. Se requiere que un prisma con base D, acotada por las curvas y = x2 ; y = 0;
x = 1, tenga un volumen igual a 1u3 y que su altura sea constante. La altura
del prisma es:
a ) 1u
b ) 2u
c ) 3u
d ) 4u
13. Si un sólido Q está limitado por z = x2 + y 2 , z = 0, y 2 = x, x = 2 − y 2 , una
expresión que permite calcular el volumen de Q es:
a)
ˆ
ˆ
1
2−y 2
(x2 + y 2 )dxdy
y2
−1
ˆ
b) 2
c)
ˆ
1
ˆ
ˆ
y2
d) 4
√
x
(x2 + y 2 )dydx
0
2−y 2
(x2 + y 2 )dxdy
−1
1
ˆ
1
√
− x
ˆ √
x
(x2 + y 2 )dydx
0
0
14. Si un sólido Q está limitado por z = 5 − x2 − y 2 , z = 1, una expresión que
permite calcular el volumen de Q es:
a)
ˆ
2
ˆ √4−y2
√
−
0
b) 2
ˆ
0
c) 4
−
√
(5 − x2 − y 2 )dxdy
4−y 2
(5 − x2 − y 2 )dxdy
ˆ
0
√
2ˆ
4−y 2
(4 − x2 − y 2 )dxdy
0
30
ˆ √4−y2
ˆ 2 ˆ √4−y2
0
d) 4
2
(4 − x2 − y 2 )dxdy
4−y 2
0
Escuela Superior Politécnica del Litoral Banco de preguntas de C. de V. Variables
15. El volumen del sólido limitado por las supercies x2 +y 2 −z = 0; x2 +y 2 = 8−z
puede calcularse mediante la expresión:
a)
ˆ
2
ˆ √4−y2
−
0
b) 2
ˆ
√
−
ˆ
(4 − x2 − y 2 )dxdy
4−y 2
ˆ √4−y2
2
(8 − x2 − y 2 )dxdy
0
d) 8
(8 − 2x2 − 2y 2 )dxdy
4−y 2
ˆ √4−y2
2
0
c) 4
√
0
√
2ˆ
4−y 2
ˆ
(4 − x2 − y 2 )dxdy
0
0
16. El volumen del sólido limitado por las supercies 2x2 + y 2 − z = 0; z = 4 − y 2
puede calcularse mediante la expresión:
ˆ
√
ˆ
2
4−y 2
r
z − y2
dzdy
√
2
− 2 y2
ˆ √2 ˆ 4−y2 r
z − y2
b) 4 √
dzdy
2
− 2 y2
ˆ √2 ˆ 4−y2 p
c) 2 √
z − y 2 dzdy
a)
d)
− 2 y2
ˆ √2 ˆ 4−y2
√
2
p
z − y 2 dzdy
√
− 2
y2
17. Una lámina plana cuadrangular está denida por los vértices (0, 0); (2, 0);
(0, 2); (2, 2). Si la densidad de carga en cada punto de la lámina es directa-
mente proporcional al producto de las coordenadas, siendo η dicha constante
de proporcionalidad, entonces una expresión para la carga total es:
a) η
ˆ
1
ˆ
xy dxdy
0
b ) 2η
c) η
ˆ
0
1
ˆ
d ) 2η
ˆ
1
xy dxdy
0
2
ˆ
0
2
xy dxdy
0
ˆ
0
2
ˆ
1
xy dxdy
0
SS
1
0
31
CAPÍTULO 6. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
18. Una lámina plana cuadrangular está denida por los vértices (−a, a); (−a, −a);
(a, −a); (a, a); a > 0. Si la densidad de carga en cada punto de la lámina es
ρ(x, y) = x3 y 3 , entonces la carga total es:
a) 0
c ) 3a3
b ) a6
d ) 6a6
19. Una lámina plana cuadrangular está denida por los vértices (−1, −1); (−1, 1);
(1, −1); (1, 1). Si la densidad de masa en cada punto de la lámina está dada
por ρ(x, y) = ex
a) 4
ˆ
1
, entonces una expresión para la masa total está dada por:
1
ρ(x, y) dxdy
0
b) 2
ˆ
2 +2y 2
ˆ
0
1
ˆ
2
1
d) 2
0
ˆ
2
ρ(x, y) dxdy
0
ρ(x, y) dxdy
0
c) 4
ˆ
ˆ
0
2
ˆ
1
ρ(x, y) dxdy
0
0
20. Una lámina plana tiene forma de triángulo rectángulo con catetos de longitud
a y b, respectivamente. Si la densidad en cada punto es igual a la distancia del
punto al cateto de longitud b, entonces la masa de la lámina es:
a) 0
b ) ab
32
1 2
ab
6
2
d ) ab2
3
c)
Escuela Superior Politécnica del Litoral Banco de preguntas de C. de V. Variables
Semana No. 12
2
2
1. Si Q es la región acotada
ˆ ˆ por
ˆ las supercies z = 5 − x − y ; z = 1, entonces
el valor de la integral
dv puede interpretarse como:
Q
a ) El área de la supercie de Q.
b ) El volumen del sólido Q.
c ) La masa de Q con densidad de masa variable.
d ) El momento de Q respecto al eje X .
ˆ 1ˆ xˆ 4
2. La integral
x3 y 2 z dz dy dx NO puede reescribirse como:
a)
ˆ
1
x
b)
0
x
3
0
ˆ
0
ˆ
y
0
4
2
ˆ
x
x3 dx
y 2 dy
0
0
3. La integral
ˆ
1
0
c)
z dz dy dx
0
ˆ
1
0
ˆ
ˆ
0
4
d)
z dz
ˆ
x
ˆ
0
4
0
x
x3
ˆ
0
0
4
y 2 dz dy dx
z
0
4
x3 y 2 z dz
dy
ˆ
1
ˆ
x
dx
0
ˆ
ˆ
1
0
x3 y 2 z dz dy dx puede interpretarse como:
0
a ) El área de la supercie de un ortoedro.
b ) El volumen de un prisma de base triangular y altura 4 unidades.
c ) La masa de un prisma de base triangular, altura 4 unidades y densidad
homogénea.
d ) La masa de un prisma de base triangular, altura 4 unidades y densidad
variable.
4. Al cambiar el orden de la integral
ˆ
ˆ
4
dz
0
b)
ˆ
0
ˆ
4
0
c)
0
0
d)
0
SS
0
1
x3 y 2 z dy
ˆ
z
0
1
x3 y 2 z dy
dx
0
0
x3 y 2 z dy
ˆ
y
0
dz
x3 y 2 z dz a dydxdz se ob-
x
dx
ˆ
4
0
4
0
ˆ
1
dz
ˆ
dy
x3 y 2 z dy
dx
ˆ
4
ˆ
x
1
dx
dz
ˆ
ˆ
1
ˆ
1
dx
0
tiene:
a)
ˆ
0
33
CAPÍTULO 6. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
5. Sea Q el tetraedro limitadoˆ por
ˆ los
ˆ planos coordenados y el plano x+y +z = 1.
Los límites de la integral
f (x, y, z)dydzdx son:
Q
a)
ˆ
1
ˆ
0
1
ˆ
1
1−x−z
ˆ
0
1
ˆ
1
0
0
1−x ˆ 1−x−z
0
0
ˆ
f (x, y, z)dydzdx
0
d)
ˆ
f (x, y, z)dydzdx
0
c)
1
f (x, y, z)dydzdx
0
b)
ˆ
ˆ
1
ˆ
1−y
ˆ
1−x−z
f (x, y, z)dydzdx
0
0
0
6. Sea Q el cilindro limitado ˆporˆ x2ˆ+y 2 = a2 y los planos z = 0; z = H ; a, H > 0.
Los límites de la integral
f (x, y, z)dzdxdy son:
Q
ˆ
a) 2
ˆ √a2 −y2 ˆ
a
−
0
ˆ
b) 4
f (x, y, z)dzdxdy
√
a2 −y 2
0
ˆ √a2 −y2 ˆ
a
H
f (x, y, z)dzdxdy
0
ˆ
c) 8
d)
H
0
0
ˆ √a2 −y2 ˆ
a
H
2
f (x, y, z)dzdxdy
ˆ
0
a
0
0
ˆ √a2 −y2 ˆ
√
−a
−
H
f (x, y, z)dzdxdy
a2 −y 2
0
7. Sea Q el sólido
por 1 − z 2 − x2 = y y el plano y = 0. Los límites de
ˆ ˆ limitado
ˆ
la integral
f (x, y, z)dxdydz son:
Q
a)
ˆ
1
ˆ
−1
b)
ˆ
1
c) 2
ˆ
1−z 2
1
1−z 2 −y
ˆ √z2 +y−1
−
ˆ
ˆ
1−z 2
√
ˆ
1−z 2
f (x, y, z)dxdydz
z 2 +y−1
ˆ √1−z2 −y
−
0
1
f (x, y, z)dxdydz
√
√
f (x, y, z)dxdydz
1−z 2 −y
ˆ √1−z2 −y
f (x, y, z)dxdydz
0
34
−
0
0
d) 4
ˆ √1−z2 −y
0
−1
ˆ
1−z 2
0
0
Escuela Superior Politécnica del Litoral Banco de preguntas de C. de V. Variables
8. Respecto al valor de la integral
ˆ
ˆ
1
dx
0
1
√
dy
0
que:
ˆ
1
0
dz
es CIERTO
1+x+y+z
a ) Es igual a 0.
b ) Es estrictamente positivo.
c ) Es estrictamente negativo.
d ) No existe.
9. El valor de la integral
ˆ
1
1−x
0
0
1
720
1
b)
360
1
c)
240
1
d)
120
ˆ
ˆ
1−x−y
xyz dz dy dx es:
0
a)
10. El valor de la integral
ˆ
ˆ
1
dx
0
ˆ
1−x
dy
0
0
1−x−y
dz
es:
(x + y + z + 1)3
a) 1
1
5
ln(2) −
2
16
1
c)
2
√
d) 2
b)
SS
35
CAPÍTULO 6. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Semana No. 13
1. El Jacobiano para transformar una integral doble, del sistema rectangular al
sistema polar, es:
a ) r; r ∈ R
c ) r2
b ) r; r > 0
d) 1
2. El Jacobiano para transformar una integral triple, del sistema rectangular al
sistema cilíndrico, es:
a ) r; r ∈ R
c ) r2 sen(θ)
b ) r; r > 0
d ) rcos(θ)
3. El Jacobiano para transformar una integral triple, del sistema rectangular al
sistema esférico, es:
a ) r; r > 0
c ) ρ2 cos(φ)
b ) ρ2 sen(φ)
d ) ρsen(φ)
4. El Jacobiano de la transformación T : R2 → R2 dada por
(u, v) 7→ (x, y) = (u − 2v, 3u + v), es:
a) 0
c) 6
b) 2
d) 7
5. Sea u = x + y ; v = 2x − y . El Jacobiano
1
3
b) 2
a)
c) 3
d)
6. Sea u = x + y ; v = 2x − y . El Jacobiano
1
3
b) 2
a)
36
∂(u, v)
es:
∂(x, y)
1
2
∂(x, y)
es:
∂(u, v)
c) 3
1
d)
2
Escuela Superior Politécnica del Litoral Banco de preguntas de C. de V. Variables
7. En la gura adjunta se muestra una región sombreada D, limitada por las
rectas y = x; y = −x y la circunferencia (x − 1)2 + y 2 = 1.
La expresión polar de la integral
ˆ ˆ
xy dA es:
D
a)
b)
c)
d)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
7π
4
r2 cos(θ)sen(θ)drdθ
π
4
0
ˆ
7π
4
π
4
2cos(θ)
r3 cos(θ)sen(θ)drdθ
0
ˆ
π
4
2cos(θ)
r3 cos(θ)sen(θ)drdθ
− π4
ˆ
2cos(θ)
0
ˆ
π
4
2cos(θ)
r2 cos(θ)sen(θ)drdθ
− π4
0
8. Una expresión cilíndrica de la integral
ˆ
2π
ˆ
b) 2
ˆ
√
1−x2
√
− 1−x2
ˆ
√
1−
x2 +y 2
(x2 + y 2 )dzdydx
0
1−r
0
ˆ
1
ˆ
1−r
r2 dzdrdθ
ˆ
0
π
4
0
d) 4
ˆ
0
π
0
c) 4
1
ˆ
r2 dzdrdθ
0
ˆ
0
SS
1
−1
es:
a)
ˆ
ˆ
ˆ
1−r
r3 dzdrdθ
0
π
2
0
1
ˆ
0
1ˆ
1−r
r3 dzdrdθ
0
0
37
CAPÍTULO 6. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
9. Una expresión polar de la integral
ˆ
R
ˆ √R2 −y2
−R
ˆ
a) 2
ˆ
π
ˆ
b) 2
ˆ
0
ˆ
π
R
2
2
e−r drdθ
ˆ
0
π
ˆ
R
2
re−r drdθ
0
10. Una expresión esférica de la integral
a)
ˆ
π
4
ˆ
ˆ
d)
0
38
π
2
ˆ
ˆ
ˆ
0
2
ρ2 sen(φ)
dρdθdφ
1 + ρ2
ˆ
2
ρ2 cos(φ)
dρdθdφ
1 + ρ2
2
ρ2 sen(φ)
dρdθdφ
1 + ρ2
2
ρ2 cos(φ)
dρdθdφ
1 + ρ2
0
π
2
0
π
4
ˆ
0
π
2
0
π
2
0
ˆ
ˆ
0
π
2
0
c)
ˆ
0
0
b)
dxdy ; R > 0, es:
2
0
0
πˆ R
0
es:
R2 −y 2
2 −y 2
e−r drdθ
0
d)
e−x
re−r drdθ
0
c)
R
−
√
ˆ
0
π
4
ˆ
0
2
ˆ
0
√
4−x2
ˆ √4−x2 −y2
0
1+
x2
1
dzdydx;
+ y2 + z2
Capítulo 7
Integrales de supercie
Semana No. 14
1. Una parametrización de la porción del cilindro x2 + z 2 = 4, ubicado en el I
octante, entre los planos y = 0; y = 3, es:
a ) r(u, v) = (cos(u), v, sen(u)); 0 ≤ u ≤ π ; 0 ≤ v ≤ 3.
π
; 0 ≤ v ≤ 3.
2
π
c ) r(u, v) = (2cos(u), v, 2sen(u)); 0 ≤ u ≤ ; 0 ≤ v ≤ 3.
4
π
d ) r(u, v) = (2cos(u), v, 2sen(u)); 0 ≤ u ≤ ; 0 ≤ v ≤ 3.
2
b ) r(u, v) = (cos(u), v, sen(u)); 0 ≤ u ≤
2. La función vectorial r(u, v) = (sen(u)cos(v), sen(u)sen(v), cos(u)); 0 ≤ u ≤ π ;
0 ≤ v ≤ 2π , representa:
a ) Un cilindro circular recto.
b ) Una esfera.
c ) Una de las hojas de un bicono.
d ) Un paraboloide circular.
3. Considere la supercie paramétrica r(u, v) = (ucos(v), usen(v), u); v ∈ [0, 2π];
u ∈ R. Respecto al vector normal en el punto v0 = u0 = 0 es cierto que:
a ) Es igual al vector nulo.
c ) No está denido.
b ) Es igual al vector k.
d ) Es igual al vector −k.
39
CAPÍTULO 7. INTEGRALES DE SUPERFICIE
4. Sea S la supercie dada por z = f (x, y), con f diferenciable en el dominio de
proyección D. Identique la proposición
.
VERDADERA
a ) ds = dA
∂f
∂f
b ) ds = 1 −
−
dA
∂x ∂y
s
2 2
∂f
∂f
c ) ds = 1 +
+
dA
∂x
∂y
2 2 !
∂f
∂f
+
dA
d ) ds = 1 +
∂x
∂y
5. Sea S la porción del plano x + y + 2z = 10 ubicada en el interior del cilindro
x2 + y 2 = 1. Una expresión para calcular al área de S es:
ˆ 1 ˆ √1−x2
a)
dydx
√
− 1−x2
−1
√ ˆ 1 ˆ √1−x2
3
b)
dydx
2 −1 −√1−x2
ˆ 1 ˆ √1−x2
c) 2
dydx
√
− 1−x2
√
1 ˆ
1−x2
−1
d)
√
ˆ
2
−1
√
− 1−x2
dydx
6. Sea S la porción del toro r(u, v) = ((R+asen(u))cos(v), (R+asen(u))sen(v), acos(u));
u, v ∈ [0, 2π] del I Octante. Una expresión para calcular el área de S es:
ˆ πˆ π
a)
a(R + asen(u))dudv
0
b)
ˆ
0
π
2
π
2
a(R + asen(u))dudv
0
c)
ˆ
ˆ
0
π
4
ˆ
π
4
a(R + asen(u))dudv
0
0
d ) Ninguna de las expresiones anteriores representa el área de S .
ˆ ˆ
7. El valor de
(x + y + z)dS , siendo S la porción del plano z = 1 sobre el
S
cuadrado [0, 1] × [0, 1], es:
a) 0
40
b) 1
c) 2
d) 3
Escuela Superior Politécnica del Litoral Banco de preguntas de C. de V. Variables
8. El valor de
ˆ ˆ
zdS , con S la semiesfera x2 + y 2 + z 2 = a2 ; z ≥ 0, es:
S
a ) πa3
b ) πa2
c) π
d ) a3
9. Sea S la supercie total del cilindro x2 + y 2 − 2x ≤ 0; 0 ≤ z ≤ 4. Si F es un
campo vectorial continuo en R3 , el ujo saliente de F a través de S requiere
calcularse en forma rectangular:
a ) Con una integral de supercie.
b ) Con dos integrales de supercie.
c ) Con tres integrales de supercie.
d ) Con cuatro integrales de supercie.
10. Sea S la supercie total del cilindro x2 + y 2 − 2x ≤ 0; 0 ≤ z ≤ 4. Si F es un
campo vectorial continuo en R3 , el ujo saliente de F a través de S requiere
calcularse en forma paramétrica:
a ) Con una integral de supercie.
b ) Con dos integrales de supercie.
c ) Con tres integrales de supercie.
d ) Con cuatro integrales de supercie.
SS
41
Capítulo 8
Teoremas de la Teoría Vectorial
Semana No. 15
1. La función vectorial F(x, y) = ln(x + y )i + 3x − 2arctan
2
2
y x
j
satisface
el teorema de Green sobre C : x2 + y 2 − 4y + 3 = 0, orientada positivamente.
a ) Verdadero
b ) Falso
2. La función vectorial F(x, y) = ln(x + y )i + 3x − 2arctan
2
2
y x
j
satisface
el teorema de Green sobre C : 2x2 + y 2 − 4 = 0, orientada positivamente.
a ) Verdadero
b ) Falso
3. Se conoce que la función vectorial F(x, y) = M i + N j es continua en R2 . Si C
es una curva suave, simple, orientada positivamente y que limita una región
plana simplemente conexa R, podemos AFIRMAR que:
a)
˛
ˆ ˆ ˛
ˆ ˆ M dx + N dy =
C
c)
R
∂M
∂N
−
∂x
∂y
M dx + N dy =
C
b)
R
∂N
∂M
−
∂x
∂y
ˆ ˆ R
∂N
∂M
−
∂x
∂y
dA
dA
dA = 0
d ) No hay suciente información acerca del campo vectorial.
43
CAPÍTULO 8. TEOREMAS DE LA TEORÍA VECTORIAL
4. Si C es la frontera orientada positivamente de la región˛comprendida entre las
curvas x2 + y 2 = 1; x2 + y 2 = 2, el valor de la integral
ydx − 2xdy es:
C
a ) 3π
b ) −3π
c)
3π
2
d) −
3π
2
5. Si C es la frontera orientada positivamente
de la región limitada por la curva
˛
x2 y 2
+
= 1, el valor de la integral
9
16
a ) 12π
b ) −12π
(2x + y 2 )dx + (x2 − y)dy es:
C
c) 0
d ) 6π
6. Sea R la región plana simplemente conexa, cuya frontera es una curva cerrada
suave y simple C , orientada positivamente. Una expresión para calcular el área
de R es:
˛
1
ydx − 2xdy
a)
3 C
˛
1
b)
ydx − xdy
2 C
7. Respecto a la integral curvilínea
˛
1
c)
ydx + xdy
2 C
˛
1
d)
xdy − ydx
2 C
˛
ydx − xdy + 3zdz , siendo C la traza entre
C
las supercies S1 : 3x + 2y + z = 0; S2 : x2 + y 2 = 9, orientada positivamente,
la supercie MÁS adecuada para emplear el Teorema de Stokes es:
a ) S1
b ) S2
c) z = 0
d) x = 0
8. Considere el campo vectorial F(x, y, z) = 3i + (x + y + z)j + (x2 + y 2 + 2z)k
2
2
2
denido en R3 . Sea S la supercie esférica
" x + y + z = 1, orientada con
vector normal saliente unitario. Entonces
F
· Nds es:
S
a ) 4π
44
b ) −4π
c) −
4π
3
d)
4π
3
Escuela Superior Politécnica del Litoral Banco de preguntas de C. de V. Variables
9. Respecto a la integral curvilínea
˛
(1 + y)zdx + (1 + z)xdy + (1 + x)ydz , siendo
C
C el contorno del triángulo con vértices en (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), orientado
positivamente, es CIERTO que:
a ) Satisface las hipótesis del Teorema de Green.
b ) Satisface las hipótesis del Teorema de Stokes.
c ) Satisface las hipótesis del Teorema de Gauss.
d ) No satisface Teorema alguno de los mencionados.
10. Considere el campo vectorial F(x, y, z) = 3i + (x + y + z)j + (x2 + y 2 + 2z)k
denido en R3 . Sea S la porción del cilindro x2 + z 2 = 1; 0 ≤ y ≤ 4. Para
emplear el Teorema de Gauss, la supercie requiere cerrarse adicionando:
a ) Una supercie
b ) Dos supercies
c ) Tres supercies
d ) Cuatro supercies
SS
45