Sistema de numeración Ha lo largo de la historia de la humanidad, el ser humano ha buscado diferentes maneras de representar cantidades. Si nos remontamos hacia más de dos mil años, los pueblos de aquella época no utilizaban números para contar objetos, sino que hacían uso de cualquier elemento que pudiera servirles para contar, ya sea utilizando sus propios dedos, dibujando símbolos, marcando bastones (ramas) o haciendo nudos en una cuerda, entre otros. Ahora bien, el primer uso que se le dio a los números, se relaciona con la necesidad de ordenar elementos, no con la de contar o medir objetos. A continuación veremos los 5 sistemas de numeración más característicos de la historia, reconociendo sus elementos principales y los símbolos que ellos utilizaron para representar las cantidades indicadas. Sistema de numeración Egipcio (3000 a.C.) Si hay algo que hasta el día de hoy sigue vigente es la cultura egipcia. Esto no se debe meramente al azar, sino que responde al gran legado cultural que nos dejaron, ya sea por sus monumentales construcciones como por sus conocimientos y descubrimientos en agricultura, arte y matemáticas. En relación con éste último, podemos ver que se los egipcios se vieron enfrentados a la necesidad de realizar cálculos y considerar dimensiones para, por ejemplo, llevar a cabo sus construcciones, situación que los desafió a encontrar algún modo de representar las cantidades utilizadas. Además, vemos que representaron las cifras utilizadas en papiros, dándoles a éstas un uso práctico, relacionados principalmente con la geometría y la aritmética. Los egipcios tenían un sistema de numeración decimal (contaban de 10 en 10, lo cual se asocia con que tengamos 10 dedos), no utilizaban símbolos para representar el cero y realizaban jeroglíficos que les permitían identificar el orden en que se agrupaban las unidades en las cuales estaban trabajando. Por otro lado, ellos utilizaban un procedimiento aditivo para representar los números, en donde acumulaban todos los signos pertenecientes al número que querían representar y formaban con ello el número. Es importante mencionar que el orden en que se escribían los símbolos utilizados les era indiferente, debido a que cada figura representaba exclusivamente un único valor. De esta manera, independiente del orden en que éstos se presentaban, el valor no cambiaba. Es decir, su representación podía realizarse de izquierda a derecha, de abajo hacia arriba y viceversa, sin alterar el valor de la cifra mencionada. Sistema de numeración Griego (600 a.C.) Utilizaron letras del alfabeto griego para representar las cantidades. El sistema de numeración griego más antiguo fue el ático o acrofónico, que era derivado del sistema de numeración romano, cuyos símbolos eran: ? = 1, ? = 5, ? = 10, ? = 100, ? = 1000 y ? = 10000 Vale mencionar que los números 50, 500 y 5.000, se obtenían agregando el signo de 10, 100 ó 1.000 al de 5. Así por ejemplo, para obtener el número 50 el símbolo utilizado era el del 5 y el de 10, dando como resultado el símbolo que representaba 50, y que puedes apreciar en la figura anterior. Considerando el caso descrito, podemos ver que junto con un principio aditivo, en el sistema de numeración griego se combina el principio multiplicativo. Sin embargo, a partir del siglo IV a.C. este sistema fue sustituido por el jónico, el cual utilizaba las 24 letras del alfabeto griego, junto con algunos otros símbolos, tal como muestra la siguiente figura. En este sistema a cada cifra de la unidad se le asignaba una letra, a cada decena otra letra y a cada centena otra. Es decir, se basó en un principio de adición, en donde los valores numéricos que adoptaban las letras se sumaban para formar el total. Por ejemplo el 242 se representaba como ??b (200 + 40 + 2). Con esto, los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y éstas a su vez, tienen un valor numérico. Sistema de numeración Romano Si existe un sistema de numeración que ha perdurado en el tiempo, ese es el romano. Actualmente lo utilizamos para numerar capítulos o escenas de una obra de teatro, para designar el nombre de algunas autoridades (como emperadores, reyes y papas), para ordenar los contenidos de un índice y los tomos de una enciclopedia, entre otros. En relación con los símbolos que los romanos utilizaron para representar cantidades, fueron letras mayúsculas, que en nuestro sistema de numeración equivalen a un número específico. Así tenemos, Ahora bien, para representar cantidades con números romanos, es importante que tener en consideración ciertas reglas guían su escritura. Sistema de numeración Chino (1500 a.C.) La cultura china es indudablemente una de las más completas y antiguas de la humanidad. Su legado perdura hasta la actualidad, ya que han sido gestores de grandes descubrimientos, realizando aportes importantes para la humanidad. En relación con el sistema de numeración que ellos utilizaron, éste era decimal, en donde utilizaron las unidades y las distintas potencias de 10 para representar cantidades. Tenían 9 símbolos distintos para los primeros 9 números pero ningún símbolo para representar el cero. Los símbolos eran: Su representación de los números se basó en un principio multiplicativo y era de carácter posicional, por lo que dependiendo de la posición que tenía el símbolo (cifra) en el número, el valor que éste iba a tener. Como podemos ver, el sistema de numeración chino tiene semejanzas con el que utilizamos nosotros actualmente, sin embargo, tanto los símbolos con que representan cantidades, como la orientación que los números pueden adquirir en una cifra, es distinta. Además, vemos que su disposición es híbrida, es decir, a la hora de componer los números emplean tanto la multiplicación como la adición, por lo que cada cifra es acompañada por otra que la multiplica, y en donde la suma total de dichas multiplicaciones da la cifra total. Veamos en un ejemplo: El número 4.361 se representa así: Actualmente, utilizan el mismo sistema de numeración, cuyos símbolos son los que vimos anteriormente, y donde prima el carácter multiplicativo y posicional de los símbolos que se disponen. Sistema de numeración Maya Uno de los aspectos que más destacan en el sistema de numeración Maya es que ellos simbolizaron el cero. Vemos también que éste era de carácter posicional y en base 20, utilizando principalmente rayas y puntos para simbolizar los números. En donde el caracol representaba al cero, los puntos al 1 y la raya al 5. En cuanto a la disposición de las cifras, vemos que éstas se escriben verticalmente y con las unidades en la parte inferior. Además agruparon símbolos hasta el 19, asignando a los números mayores un valor según la posición en que se encuentran. Los símbolos con que representaron los números hasta el 19 son: Analizando los símbolos que se presentan, podemos ver que el número 14 está formado por 2 rayas y 4 puntos. Como las rayas representan al 5 y los puntos al 1, multiplicaremos 2×5 y 4×1, obteniendo un total de 10 + 4, es decir, 14. Ahora bien, para escribir números iguales o superiores al 20, las cifras adquirían un valor que dependía de la posición en donde se encontraban, disponiéndose en columnas y asignándose un valor de abajo hacia arriba, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20×20, 20x20x20… según el lugar que ocupe. Por ejemplo: Sistema de numeración Inca Poseían un sistema de numeración decimal y de carácter posicional. Como no hicieron uso de la escritura no dejaron un registro gráfico de símbolos que permitan interpretar cantidades, sin embargo, los Incas se vieron en la necesidad de registrar los cálculos que iban realizando, por lo que utilizaron el quipu. El quipu era un instrumento que poseía cuerdas y que, mediante la realización de nudos de variados colores y tamaños, les permitió registrar la información numérica que iban obteniendo Sistema Numérico Maya Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas. Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20×20, 20x20x20 … según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posiciónal que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor. Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número. Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20×18=360 para completar una cifra muy próxima a la duración de un año. El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 días. Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de éste calendario solar, usaron otro de carácter religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días. Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y aunque los conocimientos astronómicos y de otro tipo fueron notables los mayas no desarrollaron una matemática más allá del calendario. Sistema de Numeración Mapuche Antes de la llegada de los españoles, en la zona central y sur de nuestro país, habitaba el pueblo mapuche, que en realidad era un conglomerado de comunidades y etnias que compartían un tipo de creencias, cultura y religión. Actualmente este pueblo aun trata de mantener viva sus tradiciones, enseñándoles a sus hijos y nietos su idioma. A continuación le presento algunos de sus números: 1 = kiñe 11=mari kiñe 2 = epu 12=mari epu 3 = küla 13=mari küla 4 = meli 14= mari meli 5 = kechu 15= mari kechu 6 = kayu 20= epu mari 7 = regle 30= küla mari 8 = pura 40= meli mari 9 = aylla 50= kechu mari 10 = mari 100= kiñe pataka Este es un claro ejemplo de sistema no posiciónal ya que si lo fuera los números se escribirían en columnas rectas y se escriben como frases. En este sistema los numeros se van repitiendo según la cantidad que se desea cuantificar. Sistema de Numeración Binario Sistema de numeración en el que todas las cantidades se representan utilizando como base el número dos, con lo que disponemos de las cifras: cero y uno (0 y 1). Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido, apagado) Además este es un sistema no posicional. Operaciones con binarios Binarios a decimales Dado un numero N, binario, para expresarlo en decimal, se debe escribir cada numero que lo compone, multiplicado por la base del sistema (base = 2), elevado a la posición que ocupa. Ejemplo: 10012 = 910 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 11 + 1 × 20 Suma de números binarios Recordamos las siguientes sumas básicas: 1. 0+0=0 2. 0+1=1 3. 1+1=10 Así, si queremos sumar 100110101 más 11010101, tenemos: 100110101 11010101 ———– 1000001010 Operamos como en decimal: comenzamos a sumar desde la izquierda, en nuestro ejemplo, 1+1=10, entonces escribimos 0 y “llevamos” 1. Se suma este 1 a la siguiente columna: 1+0+0=1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal). Conclusiones Podemos concluir que: ” Los números mapuches no son posicionales. ” Los números binarios no son posicionales. ” Los números mayas si son posicionales. ” Los números binarios los ocupan los computadores. ” Los números mapuches, hasta la fecha se utilizan. ” Los números mayas, no se utilizan a la fecha. ” Los números binarios se utilizan hasta la fecha. ” Los números mapuches no se pueden sumar ni restar. ” Los números mayas se pueden sumar pero no restar. ” Los números binarios se pueden sumar y restar. El sistema de numeración decimal incorpora una serie de reglas que permiten representar una serie infinita de números. Sus principales características son: Sistema en base 10 Esto quiere decir que el principio de agrupamiento de este sistema es diez, en donde cada 10 unidades se forma otra de carácter superior, la cual se escribe a la izquierda de la primera de las unidades. Esto es ilustrado en el ábaco, en donde cada vez que tenemos 10 fichas en una varilla, las transformamos en una de la varilla inmediatamente izquierda y la ubicamos en ésta, con lo cual obtenemos que 10 unidades equivales a una decena, que 10 decenas equivalen a 1 centena y así sucesivamente. Posee 10 dígitos Éstos son el: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y su combinación puede formar infinitos números. Valor posicional y relativo de cada dígito Esto quiere decir que dependiendo de la posición en donde se ubique cada dígito el valor que éste tendrá. Así por ejemplo, vemos que el valor del número 2 en 3.245 no es el mismo que en el 332, esto debido a que los dígitos actúan como multiplicadores de las potencias de la base. Así tenemos que en el número 3.245 el 2 se ubica en las centenas, por lo que su valor posicional será de 2*100, es decir 200. Sin embargo, en el número 332 su valor equivaldrá a la multiplicación de 2*1, es decir 2, ya que el 2 se encuentra en la posición de las unidades. Por otro lado, si recordamos cuál es el valor de cada base tendremos: Unidades Decenas Centenas Unidades de Mil Decenas de Mil Centenas de Mil 1 10 100 1.000 10.000 100.000 El siguiente cuadro muestra la posición de los números 321 y 921.004: CM DM UM 9 2 1 C 3 0 D 2 0 U 1 4 Si analizamos los números que se encuentran en la tabla, vemos que en el número 321, el 3 se encuentra ubicado en las centenas, el 2 en las decenas y el 1 en las unidades, por lo que el valor relativo de éstos será 300, 20 y 1, ya que el 3 se encuentra ubicado en las centenas (su valor relativo es 3*100), el 2 se encuentra en las decenas (su valor relativo es 2*10) y el 1 en las unidades (su valor relativo es 1*1). Al igual que con el número anterior, podemos analizar el número 921.004, donde el 9 se encuentra ubicado en la posición de las centenas de mil y su valor relativo es 900.000 (9*100.000), el 2 se encuentra en la posición de las decenas de mil y su valor relativo es 20.000 (2*10.000), el 1 en la posición de las unidades de mil y su valor relativo es 1.000 (1*1.000) y el 4 se encuentra en la posición de las unidades, por lo que su valor relativo será 4 (4*1). Como podemos ver, el valor de un número es la suma de los productos de las cifras por el valor de posición que tiene, tal como lo hicimos con los números anteriores El ejercicio que realizamos anteriormente, junto con lo que indica el cuadro de texto, nos sirve para componer y descomponer números. Veamos: Para componer un número, se nos deben dar los dígitos que lo forman y el valor posicional de éstos. Así por ejemplo, si alguien nos pide construir un número en donde el 9 se encuentre ubicado en las decenas de mil, lo ubicaremos en la posición de las centenas de mil, tal como indica el cuadro de texto, y su valor relativo será de 9*10.000, es decir, 90.000. CM DM 9 UM C D U Ahora bien, si se nos pide descomponer un número, por ejemplo, el que se muestra a continuación: CM 1 DM 5 UM 9 C 9 D 9 U 0 Lo que nosotros debemos hacer es multiplicar cada dígito por su valor posicional, obteniendo con ello su valor relativo. Así tenemos que el valor relativo de 1 será la multiplicación de éste por su valor posicional 1*100.000 = 100.000, del 5 será 5*10.000 = 50.000, de 9 que se encuentra ubicado en las Unidades de Mil será 9*1.000 = 9.000, del 9 ubicado en las Centenas, será 9*100 = 900, del 9 ubicado en las Decenas será 9*10 = 90 y del 0 ubicado en las Unidades será 0*1 = 0. CM 1 DM 0 5 UM 0 0 9 C 0 0 0 9 D 0 0 0 0 9 1 5 9 9 9 U 0 0 0 0 0 0 0 Los números romanos se expresan con letras del alfabeto y, existen ciertos principios básicos para leerlos y escribirlos. V=5 X=10 L=50 C=100 D=500 M=1000 la letra I sólo debe anteponerse a la letra X y V. las letras V, L y D no se ponen antes que otra de mayor valor. la letra X sólo va antes de las letras L y C. si una letra va seguida por otra que posee un valor igual o menor, debes sumar sus valores. Ejemplo: o XX = 10 + 10 = 20 VI = 5 + 1 = 6 Si una letra va antecedida por otra que tiene un valor menor, se resta ese valor. Ejemplo: o IX = 10 – 1 = 9 IV = 5 – 1 = 4 XC = 100 – 10 = 90 CM = 1000 – 100 = 900 puedes poner las letras V, L, D a la derecha de otra (siempre que sea menor a la de su izquierda) para sumar su valor, pero sólo una vez. Estas letras no se pueden repetir. Ejemplo: o XV = 10 + 5 = 15 CV = 100 + 5 = 105 MD = 1000 + 500 = 1500 Puedes repetir y poner hasta tres veces seguidas las letras I, X, C, M Ejemplo: o XIII = 10 + 1 + 1 + 1 = 13 XXII = 10 + 10 + 1 + 1 = 22 MCC = 1000 + 100 + 100 = 1200 CCCLIII = 353 Si una letra está puesta después de una de mayor valor y, antes de otra también de mayor valor que ella, se le resta a esta última. Ejemplo: o CXC = 100 + (100 – 10) = 190 Sólo puedes restar un número a otro Ejemplo: o para formar 12, no puedes escribir IIIXV (15 – 1 – 1 – 1) si tienes que escribir XII = 10 + 1 + 1 sólo puedes usar para restar, las letras I, X, o C, pero nunca V o LEjemplo: o para escribir 95 no puedes escribirlo como VC (100 – 5) tienes que escribir XCV = XC + V = 90 + 5 No puedes usar para restar, un número que sea más de 10 veces mayor que él. Ejemplo: o puedes restar 1 a 10, pero no 1 a 20 (no existe este número: IXX). En el caso que quieras escribir 19, debes hacerlo así: XIX puedes restar 10 a 100, pero no 10 a 200 (no existe el número: XCC). En el caso que quisieras escribir 190, debería ser CXC Ejemplo de Números Romanos Uno Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete Ocho Nueve Diez I II III IV V VI VII VIII IX X Once Doce Trece Catorce Quince Dieciséis Diecisiete Dieciocho Diecinueve Veinte XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX XX Treinta Cuarenta Cincuenta Sesenta Setenta Ochenta Noventa Cien Quinientos Mil XXX XL L LX LXX LXXX XC C D M CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Cuando los números son grandes hay reglas que permiten reconocer directamente que un número es divisible por otro; se llaman criterios de divisibilidad. Veremos algunos de estos criterios: DIVISIBILIDAD POR 2: Un número es divisible por dos si termina en cero o en cifra par. DIVISIBILIDAD POR 3: Un número es divisible por tres, si la suma de sus cifras absolutas es múltiplo de tres. DIVISIBILIDAD POR 4: fijate en las dos últimas cifras. Tienen que ser dos ceros o un número múltiplo de 4. DIVISIBILIDAD POR 5: Un número es divisible por cinco cuando acaba en cero o en cinco. DIVISIBILIDAD POR 6: tiene que ser divisible por 2 y por 3. DIVISIBILIDAD POR 9: Un número es divisible por nueve cuando la suma de sus cifras es múltiplo de nueve. DIVISIBILIDAD POR 10: tiene que terminar en cero. De manera similar, si termina en 00 es divisible por 100; si termina en 000 es divisible por 1000. DIVISIBILIDAD POR 11: Un número es divisible por once cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupa la posición par y la suma de las cifras que ocupan la posición impar son múltiplo de once.