Problemario de álgebra para ingeniería Ejercicios 1.2 Operaciones con números complejos en la forma polar. Transformar a la forma polar los números complejos dados. 3) −𝟒 + 𝟒𝒊 𝑟 = √(−4)2 + (4)2 = 4√2 4 tan 𝜃 = −4 = −1 𝜃 = 135° 𝑟(𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃) = 4√2(cos 215° + 𝑖 sin 215°) Transformar los números complejos siguientes a forma rectangular. 9) 𝟒(𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟏𝟎° + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝟏𝟎°) 1 1 = 4 (− √2) + 4(− 𝒊) 2 2 = −2√3 − 2𝑖 Efectuar las operaciones indicadas, expresando los resultados en forma rectangular. 13) 𝟒(𝒄𝒐𝒔 𝟖𝟎° + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝟖𝟎°) ∙ 𝟓(𝒄𝒐𝒔 𝟕𝟎° + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝟕𝟎°) = (4)(5)(𝑐𝑜𝑠(80° + 70°) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(80° + 70°)) = 30(𝑐𝑜𝑠 150° + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 150°) 1 1 = 30(− √3) + 30(− 𝑖) 2 2 = −15√3 + 15𝑖 17) [𝟓(𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓° + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟒𝟓°)]𝟐 =𝑟 𝑛 [cos(𝑛 𝜃) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝑛 𝜃)] =52 [cos(2 ∗ 45°) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 45)] = 25(𝑐𝑜𝑠 90° + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 90°) = 25(𝑐𝑜𝑠 90°) + 25(𝑖 𝑠𝑖𝑛 90°) = (0) + (25𝑖) = 25𝑖 Hallar todas las raíces indicadas 21) 𝟑 √𝟐𝟕(𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟐𝟎 ° + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟐𝟎°) 𝜃+𝑘∗360 𝜃+𝑘∗360 𝑛 𝑛 = 𝑟 1/𝑛 [𝐶𝑜𝑠 ( ) + 𝑖𝑆𝑒𝑛 ( 1 3 (𝑘 = 0) = 27 [cos 1 3 (𝑘 = 1) = 27 [cos 1 3 (𝑘 = 2) = 27 [cos 120° 3 480° 3 840° 3 + 𝑖 sin + 𝑖 sin + 𝑖 sin 120° 3 480° 3 840° 3 )] ] ] ] (𝑘 = 0) = 3(cos 40 ° + 𝑖 sin 40°) (𝑘 = 1) = 3(cos 160 ° + 𝑖 sin 160°) (𝑘 = 2) = 3(cos 280 ° + 𝑖 sin 280°) 24) 𝒙𝟑 + 𝟖 𝑟=8 𝜃 = 0° 𝜃+𝑘∗360 𝜃+𝑘∗360 𝑛 𝑛 𝑟 1/𝑛 [𝐶𝑜𝑠 ( ) + 𝑖𝑆𝑒𝑛 ( 0° )] 0° (𝑘 = 0) = 81/3 [𝐶𝑜𝑠 ( 3 ) + 𝑖𝑆𝑒𝑛 ( 3 )] (𝑘 = 1) = 81/3 [𝐶𝑜𝑠 ( (𝑘 = 2) = 81/3 [𝐶𝑜𝑠 ( 360° 3 720° 3 360° ) + 𝑖𝑆𝑒𝑛 ( ) + 𝑖𝑆𝑒𝑛 ( 3 720° 3 )] )] (𝑘 = 0) = 2[𝐶𝑜𝑠0 + 𝑖𝑆𝑒𝑛0] = 2[1 + 0𝑖] = 2 1 1 (𝑘 = 1) = 2[𝐶𝑜𝑠120 + 𝑖𝑆𝑒𝑛120] = 2 [− + √3𝑖] = −1 + √3𝑖 2 2 1 1 (𝑘 = 2) = 2[𝐶𝑜𝑠240 + 𝑖𝑆𝑒𝑛240] = 2 [− − √3𝑖] = −1 − √3𝑖 2 2 Problemario de álgebra para ingeniería Ejercicios 1.1 Operaciones con números complejos en la forma rectangular. Efectuar las operaciones indicadas y simplificar. 𝟑√𝟐+𝟐√𝟑𝒊 16) 𝟑√𝟐−𝟐√𝟑𝒊 3√2+2√3𝑖 3√2−2√3𝑖 = ∙ 3√2+2√3𝑖 3√2+2√3𝑖 2 2 = = = = (3√2) +(2√3𝑖) +2(3√2)(2√3𝑖) 2 18+12𝑖 2 +12√6𝑖 18−12𝑖 2 18−12+12√6𝑖 30 6+12√6𝑖 30 2 1 = + √6𝑖 5 5 𝒊+𝒊𝟐 +𝒊𝟑 +𝒊𝟒 17) = = 2 (3√2) −(2√3𝑖 ) 𝟏+𝒊 𝑖−1−𝑖+1 1+𝑖 0 1+𝑖 =0 Problemario de álgebra para ingeniería Ejercicios 2.2 En la función polinomial dada, determine el grado, los ceros y la multiplicidad. 2) 𝒇(𝒙) = (𝟑𝒙 − 𝟏𝟓)𝟑 (𝟒𝒙 + 𝟏𝟑)𝟒 Ceros (4𝑥 + 13) = 0 4𝑥 = −13 3𝑥 − 15 = 0 3𝑥 = 15 𝑥= 15 𝑥=− 3 13 4 𝑥=5 Multiplicidad 3 4 Dados algunos ceros de las función polinomial, calcule los ceros restantes. 3) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟖; 𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝟏 𝒚 𝟐. División sintética: 1 − 2 + 4 − 8 ∟𝟐 2+0+8 1+0+4+𝟎 𝒙𝟐 + 𝟒 𝑥= −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 −0 ± √02 − 4(1)(4) 𝑥= 2(1) 𝑥 = ±2𝑖 Solución: 1,2, + − 2𝑖 Determine una ecuación polinomial del menor grado posible con coeficientes racionales que tengan las raíces indicadas. 7) 𝟐, 𝟑 − √𝟐 𝑥=2 𝑥2 = 3 − √2 (𝑥 − 2) (𝑥 − 3 + √2) (𝑥 − 3 − √2) = 0 (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 6𝑥 + 7) = 0 𝑥 3 − 8𝑥 2 + 19𝑥 − 14 = 0 9) 𝟐, −𝟑 , ±√𝟐. 𝐘 𝐜𝐨𝐧 𝒇(𝟏) = 𝟏𝟐 [(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)][(𝑥 − √2)(x + √2)] = [(𝑥 2 + 𝑥 − 6)(𝑥 2 − 2)] = 𝑥 4 + 𝑥 3 − 6𝑥 2 − 2𝑥 + 12 𝑓(1) = 𝑚𝑐𝑚[1 + 1 − 8 − 2 + 12] 12 𝑚𝑐𝑚 = =3 4 3(𝑥 4 + 𝑥 3 − 6𝑥 2 − 2𝑥 + 12) = 3𝑥 4 + 3𝑥 3 − 24𝑥 2 − 6𝑥 + 36 Problemario de álgebra para ingeniería Ejercicios 2.1 10)𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙 − 𝟓; 𝒇(𝟏), 𝒇(−𝟐) 𝑓(1) = 3(1)4 − 2(1)3 + 3(1) − 5 𝑓(1) = 3 − 2 + 3 − 5 𝑓(1) = −1 𝑓(−2) = 3(−2)4 − 2(−2)3 + 3(−2) − 5 𝑓(−2) = 3(16) − 2(−8) + 3(−2) − 5 𝑓 (−2) = 48 + 16 − 11 𝑓(−2) = 53 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟑; 𝒙 + 4) 2 -7 5 3 ∟− 1 2 9 -1 4 − 2 2 -8 9 = 2𝑥 2 − 8𝑥 + 9 , − 𝟑 𝟐 − 3 2 𝟏 𝟐 𝒙𝟓 − 𝟐𝒙𝟒 − 𝟏𝟎𝒙𝟑 + 𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 − 𝟏𝟖; 𝒙 + 𝟐 5) 𝑥 4 − 4𝑥 3 − 2𝑥 2 + 24𝑥 − 39 𝑥 + 2 𝑥 5 − 2𝑥 4 − 10𝑥 3 + 20𝑥 2 + 9𝑥 − 18 −𝑥 5 − 2𝑥 4 −4𝑥 4 − 10𝑥 3 4𝑥 4 + 8𝑥 3 −2𝑥 3 + 20𝑥 2 2𝑥 3 + 4𝑥 2 24𝑥 2 + 9𝑥 −24𝑥 2 − 48𝑥 −39𝑥 − 18 39𝑥 + 78 60 Solución: 7) 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝒄 = 𝟑; (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟏) = 𝟎 𝑐=3 (3 − 3)(3 + 5)(3 − 1) = 0 =0 Solución: 𝑆í 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 Problemario de álgebra para ingeniería Ejercicios 2.3 1) 𝟑𝒙𝟑 – 𝟐𝟎𝐱 𝟐 + 𝟐𝟗𝐱 + 𝟏𝟐 = 𝟎. + 2 0 1 1 i 0 2 𝑝 ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 1 2 4 = = ±1, ± , ±2, ± , ±3, ±4, ± , ±6, ±12 𝑞 ±1, ±3 3 3 3 3 − 20 + 29 + 12 ∟ − 𝟏 𝟑 −1 + 7 + 12 3 − 21 + 36 + 𝟎 3𝑥 2 − 21𝑥 + 36 21 ± √(−21)2 − 4(3)(36) 2(3) 21 ± 3 𝑥= 6 21 + 3 24 𝑥1 = = =𝟒 6 6 21 − 3 18 𝑥2 = = =𝟑 6 6 Raíces: − 1/3, 4, 3 8) 𝒙𝟓 + 𝟖𝒙𝟒 + 𝟐𝟒𝒙𝟑 + 𝟏𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 − 𝟐𝟒 = 𝟎 + 1 1 1 4 2 0 i 0 2 2 𝑝 = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24 𝑞 1 + 8 + 21 + 14 − 20 − 24 ∟𝟏 +1 + 9 + 30 + 44 + 24 1 + 9 + 30 + 44 + 24 + 𝟎 1 + 9 + 30 + 44 + 24 ∟ − 𝟐 −2 − 14 − 32 − 24 1 + 7 + 16 + 12 + 𝟎 1 + 7 + 16 + 12 ∟ − 𝟐 −2 − 10 − 12 1+5+6+𝟎 1+5+6∟−𝟐 −2 − 6 1+3+0 𝑥+3=3 𝑥 = −𝟑 Raíces: 1, −2, −2, −2, −3 10)𝒙𝟓 − 𝟐𝒙𝟒 + 𝟖𝒙𝟑 − 𝟏𝟔𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 − 𝟑𝟐 = 𝟎 + 5 3 1 0 0 0 i 0 2 4 𝑝 = ±1, ±2, ±4, ±8, ±16, ±32 𝑞 1 − 2 + 8 − 16 + 16 − 32 ∟𝟐 +2 + 0 + 16 + 0 + 32 1 + 0 + 8 + 0 + 16 + 𝟎 Raíces: 2 13) Un campo magnético está delimitado por una región en forma de una caja rectangular con dimensiones de 3, 5 y 7 m respectivamente. Si cada una de estas dimensiones se aumenta en la misma cantidad, el volumen de la región que delimita el campo magnético se triplica, calcular esta cantidad. = (3 + 𝑥)(5 + 𝑥)(7 + 𝑥) = 315 = 𝑥 3 + 15𝑥 2 + 71𝑥 + 105 = 315 = 𝑥 3 + 15𝑥 2 + 71𝑥 − 210 = 0 𝑝 210 = = ±2, ± 3, ±5, ±6, ±7, ±10, ±14, ±15, ± 21, ± 30, ±35, ±42, ± 70, ±105, ± 210 𝑞 1 Solución: 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑥 = 2 Problemario de álgebra para ingeniería Ejercicios 3.1 Determine la matriz indicada utilizando las siguientes matrices para efectuar su cálculo y si esta matriz no está definida indíquelo. 1 3 𝐷=[ ] 0 5 2×2 2 𝐸 = [0 3 −1 −4] 4 3×2 3 4 6 𝐹=[ ] 5 −2 3 2×3 4) −𝟐𝑬 −4 2 =[ 0 8] −6 −8 3×2 7) 𝟑𝑬 − 𝑭𝑻 6 −3 3 −8 3 5 = [0 −12] − [4 −2] = [−4 −10] 9 12 3×2 3 9 3×2 6 3 3×2 11)[8 2 [ 3 −1 1 −2 ×[ ] ] −4 2×2 6 4 7 2×3 (−8 + 18) (8 + 12) (16 + 21) ] (−2 − 24) (2 − 16) (−4 − 28) 10 20 5 =[ ] −26 −14 −32 2×3 13) Un fabricante de MP3 tiene 2 plantas de ensamble en los cuales se producen MP3 de 2 Gbit, 4 Gbit y 8 Gbit de USB o adaptador. La producción anual en la primera planta, con indicación de los Gbit-tipo (USB o adaptador), es la siguiente: 2-200,150; 4-350,280; 8-400,300. En la segunda planta, la producción es: 2-230,180; 4-380,310; 8-450,350. Construir matrices adecuadas para esta información, y por suma de matrices hallar la matriz para la producción total por Gbit y tipo. 2 230 180 4 430 330 2 200 150 [4 350 280] + [4 380 310] = [ 8 730 590] 8 450 350 16 850 650 3×3 8 400 300 Problemario de álgebra para ingeniería Ejercicios 3.2 3 1 21)|6 2 2 3 = +3 | 4 −3| 2 2 −3 1 4 1 4 |− 6| | +2| | 3 2 3 2 2 −3 = 39 + 60 − 22 = 𝟕𝟕 2 −1 1 −1 24)[ 0 2 −1 2 ] 1 1 0 −3 0 3 2 −2 2 −1 0 [4 −5 4 −4 5 4 0 [−5 4 −4 5 4[ 1 −1 1 0] −3 0 0 0 1 −3] 0 4 −3 0 1 0 1 ] − (−5) [ ] + (−4) [ ] 5 0 5 0 4 −3 = 4[0 − (−15)] + 5[0 − (−5)] − 4[0 − 4] = 4[15] + 5[−5] − 4[−4] = 60 + (−25) + 16 = 51