Álgebra
Libro del docente
Primer grado
de Secundaria
Álgebra
Libro del docente
Primero grado de Secundaria
Colección Intelectum Evolución
© Ediciones Lexicom S. A. C. - Editor
RUC 20545774519
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Marcos Pianto Aguilar / Julio Julca Vega
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Saby Camacho Martinez / Eder Gamarra Tiburcio
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Diseño de portada:
Miguel Mendoza Cruzado / Cristian Cabezudo Vicente
Retoque fotográfico:
Luis Armestar Miranda
Composición de interiores:
Lourdes Zambrano Ibarra / Natalia Mogollón Mayurí
Roger Urbano Lima
Gráficos e Ilustraciones:
Juan Manuel Oblitas / Ivan Mendoza Cruzado
Primera edición: 2013
Tiraje: 2250
Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú
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ISBN: 978-612-313-062-6
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La Colección Intelectum Evolución
para Secundaria ha sido concebida a
partir de los lineamientos pedagógicos
establecidos en el Diseño Curricular
Nacional de la Educación Básica Regular,
además se alinea a los patrones y
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La divulgación de la Colección Intelectum
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en la Ley 29694, modificada por la Ley
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de prácticas ilícitas en la adquisición de
material escolar.
El docente y el padre de familia orientarán
al estudiante en el debido uso de la obra.
hacia una educación
moderna y de calidad
Naturaleza de la Matemática
¿Qué es la Matemática?
Resulta difícil encontrar una definición que abarque totalmente el concepto de Matemática, pero la
podemos definir como una ciencia formal (junto con la lógica), dado que utilizando como herramienta el
razonamiento lógico, se aboca al análisis de las relaciones y de las propiedades entre números y figuras
geométricas.
Federico Engels
Según Federico Engels: “La Matemática es una ciencia que tiene como objeto las formas espaciales
y las relaciones cuantitativas del mundo real”. Nos permite además el desarrollo de las capacidades
matemáticas: razonamiento y demostración, comunicación matemática y resolución de problemas.
Importancia de la Matemática
La Matemática es de suma importancia en nuestra vida, en nuestra cultura y en el contexto del desarrollo
científico y tecnológico de la humanidad. La Matemática ha llegado a ocupar un lugar central en la
civilización actual, porque es una ciencia capaz de ayudarnos en el desarrollo de nuestras capacidades
matemáticas fundamentales. Esto nos permite comprender nuestro entorno y el universo en muchos
aspectos, constituyéndose en el paradigma de muchas ciencias y en un gran apoyo auxiliar en la mayor
parte de ellas. Esto gracias a sus procesos cognitivos, tales como el razonamiento simbólico con el que
trata de modelar diversas formas de ser del mundo físico e intelectual. La Matemática es entonces un
potente modelo de intervención en las estructuras de la realidad de nuestro entorno, en la aplicación
de modelos fidedignos al mundo físico y mental. En realidad, como afirma Miguel de Guzmán, la mayor
parte de los logros de nuestra tecnología no son sino matemática encarnada con la colaboración de otras
ciencias. Esta intensa presencia de la Matemática en nuestra cultura no es algo que vaya a menos, sino
todo lo contrario. A juzgar por las tendencias que se manifiestan cada vez con más fuerza, parece claro
que el predomino de la intelección matemática, acción y efecto de enterderla, será un distintivo evidente
de la civilización futura.
Prusia(1820) - Londres(1895)
Notable sabio y maestro del
mundo civilizado.
Euclides
Historia de la Matemática
El conocimiento de la historia de la Matemática y de la biografía de sus creadores más importantes nos
hace plenamente conscientes del carácter profundamente histórico, es decir, dependiente del momento
y de las circunstancias sociales, ambientales, prejuicios del momento, así como de los mutuos y fuertes
impactos que la cultura en general, la Filosofía, la Matemática, la tecnología, las diversas ciencias han
ejercido unas sobre otras. Aspecto este último del que los mismos matemáticos enfrascados en su
quehacer técnico no suelen ser muy conscientes, por la forma misma en que la Matemática suele ser
presentada, como si fuera inmune a los avatares de la historia.
La perspectiva histórica nos acerca a la Matemática como ciencia humana, nos aproxima a las interesantes
personalidades de los hombres que han ayudado a impulsarla a lo largo de muchos siglos, por motivaciones
muy distintas.
La historia de la Matemática es un recurso fundamental que debe emplearse en el aula, valorando el
aporte genuino de cada autor.
Sobre la utilización de la historia en la educación matemática
Sabemos que la Matemática es una actividad antigua que sirve para muchas cosas. A lo largo de los
siglos ha sido empleada con objetivos profundamente diversos. Fue un instrumento para la elaboración de
vaticinios, entre los sacerdotes de los pueblos mesopotámicos. Entre los pitagóricos se consideró como
un medio de aproximación a una vida más profundamente humana y como camino de acercamiento a la
divinidad entre los pitagóricos. Fue utilizada como un importante elemento disciplinador del pensamiento,
en el Medioevo. Ha sido la más versátil e idónea herramienta para la exploración del universo, a partir
del Renacimiento. Ha constituido una magnífica guía del pensamiento filosófico, entre los pensadores
del racionalismo y filósofos contemporáneos. Ha sido un instrumento de creación de belleza artística, un
campo de ejercicio lúdico, entre los matemáticos de todos los tiempos.
330 a.C - 275 a.C.
Es el matemático griego más
famoso de la antigüedad.
En la historia de la matemática
tenemos la aportación de los
matemáticos y filósofos griegos.
En esta época las matemáticas alcanzan la madurez
como ciencia. Se preocuparon
por reflexionar sobre la naturaleza de los números y sobre la
naturaleza de los objetos matemáticos.
GUÍA METODOLÓGICA
3
Tend en c i a s a c t u a l e s d e l a e n s e ñ a n z a - a p r e nd i zaj e d e l a Ma t e m á t i c a
Los procesos del pensamiento matemático y el desarrollo de capacidades
Una de las tendencias generales más difundidas hoy consiste en la transmisión de los procesos de
pensamiento propios de la Matemática más que en la mera transferencia de contenidos, poniéndose
énfasis en el desarrollo de capacidades matemáticas. Son capacidades que se pueden transferir o aplicar
a otros aprendizajes y situaciones de la vida. Planteamos una propuesta pedagógica para desarrollar
capacidades matemáticas, que implican procesos complejos que se desarrollan conjuntamente con
el aprendizaje de conocimientos sobre Números, relaciones y operaciones, Geometría y medida, y
Estadística y probabilidades. La Matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el
método claramente predomina sobre el contenido. Por ello, se concede una gran importancia al estudio
de las cuestiones (en buena parte colindantes con la psicología cognitiva) que se refieren a los procesos
mentales de resolución de problemas.
Aprendizaje lúdico a través de
juegos didácticos.
En la situación de transformación vertiginosa de la civilización en la que nos encontramos, es claro que los
procesos verdaderamente eficaces de pensamiento que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez son
lo más valioso que podemos proporcionar a nuestros jóvenes. En nuestro mundo científico e intelectual
tan rápidamente cambiante, vale mucho más hacer acopio de procesos de pensamiento útiles que de
contenidos que rápidamente se convierten en lo que Whitehead llamó “ideas inertes”, ideas que forman
un pesado lastre, que no son capaces de combinarse con otras para formar constelaciones dinámicas,
ineficaces para abordar los problemas del presente y del futuro.
Comprensión de las capacidades matemáticas de área
Capacidades matemáticas de área
Capacidades específicas
Razonamiento y demostración
Razonamiento
Sinónimos: razón, argumento, demostración, explicación, prueba,
ilación, inferencia, reflexión, juicio, lógica, discurso, raciocinio, deducción.
Reproducir
Sinónimos: copiar, imitar, remedar, calcar, repetir, machacar, insistir,
porfiar.
Es expresarse ordenando ideas en la mente para llegar a una conclusión. Esta definición implica varios supuestos: primero, supone
que el sujeto tiene establecidas ideas que se constituyen gracias a
la capacidad de abstraer; segundo, asume el ordenamiento de ellas
(ordenar es el resultado de la capacidad de relacionar razonamiento
y demostración).
Es una capacidad específica en la cual se repite conscientemente
y de manera comprensiva lo aprendido, mediante la observación, la
identificación, la conceptualización, la formulación o ejemplificación
de la información recibida.
Analizar
Sinónimos: examinar, estudiar, averiguar, comparar, separar, considerar, distinguir, detallar, descomponer.
El razonamiento y la demostración proporcionan modos potentes
de desarrollar y codificar conocimientos sobre una amplia variedad
de fenómenos, de allí que sea una capacidad que todo estudiante
debe desarrollar.
Es una capacidad específica en la cual se distingue y separa las
partes de un todo para conocer sus elementos. Mediante la observación, la diferenciación, la identificación, la relación o comparación
y la organización de la información recibida.
Razonar y pensar matemáticamente implica percibir patrones, estructuras o regularidades, tanto en situaciones del mundo real como
en objetos simbólicos; ser capaz de preguntarse si esos patrones
son casuales o si hay razones para que aparezcan; poder formular
conjeturas y demostrarlas.
Interpretar
Sinónimos: explicar, comentar, entender, comprender, traducir, descifrar, decodificar, representar, glosar.
Demostración
Sinónimos: prueba, confirmación, corroboración, verificación,
justificación, ejemplificación.
Demostrar es establecer una sucesión finita de pasos partiendo de
proposiciones verdaderas para fundamentar la veracidad de una
proposición.
4
Intelectum 1.°
Es una capacidad específica en la cual se concibe de un modo personal la realidad, mediante la observación, la identificación, la comprensión, la clasificación, la relación, la inferencia o deducción y la
generalización o formulación de la información recibida.
Relacionar significa encontrar un vínculo o nexo cuantitativo o cualitativo entre dos o más objetos matemáticos de un mismo conjunto
o clase, lo cual permite reconocer y usar conexiones entre ideas
matemáticas.
“Una demostración matemática es una manera formal de expresar
tipos particulares de razonamiento y de justificación”.
En definitiva, el desarrollo de la capacidad de razonamiento y
demostración, que implica procesos de naturaleza compleja,
se favorecerá a lo largo de la Educación Básica a través de
intervenciones pedagógicas en las que los estudiantes tengan la
oportunidad de reconocer que el razonamiento y la demostración
son aspectos fundamentales de la Matemática. Formular e
investigar conjeturas matemáticas, seleccionar y utilizar diversos
tipos de razonamiento y métodos de demostración, relacionar las
ideas matemáticas e interpretar la conexión entre ellas, y desarrollar
prioritariamente las capacidades de: Identificar, relacionar, estimar
y argumentar.
Comunicación matemática
Sinónimos: comunicado, escrito, oficio, trato, relación, correspondencia, unión, paso, contacto.
Es la transmisión y recepción de códigos relacionados a situaciones
matemáticas o de un lenguaje cotidiano.
La comunicación matemática es una de las capacidades del área
que adquiere un significado especial en la educación matemática
porque, entre otras cosas, permite expresar, compartir y aclarar las
ideas, las cuales llegan a ser objeto de reflexión, perfeccionamiento,
discusión, análisis y reajuste. el proceso de comunicación ayuda
también a dar significado y permanencia a las ideas y difundirlas.
Escuchar las explicaciones de los demás da oportunidades para
desarrollar la comprensión. Las conversaciones en las que se
exploran las ideas matemáticas desde diversas perspectivas,
ayudan a compartir lo que se piensa y a hacer conexiones
matemáticas entre tales ideas.
Comprender implica hacer conexiones. Esta capacidad contribuye
también al desarrollo de un lenguaje para expresar las ideas
matemáticas, y apreciar la necesidad de la precisión en este
lenguaje. Los estudiantes que tienen oportunidades, estímulo
y apoyo para hablar, escribir, leer y escuchar en las clases de
Matemática, se benefician doblemente: comunican para aprender
Matemática, y aprenden a comunicar matemáticamente.
Debido a que la Matemática se expresa mediante símbolos, la
comunicación oral y escrita de las ideas matemáticas es una parte
importante de la educación matemática. Según se va avanzando en
los grados de escolaridad, la comunicación aumenta sus niveles de
complejidad.
Es necesario tener presente la autonomía del lenguaje matemático
en relación con el lenguaje cotidiano.
Las diferentes formas de representación, tales como los diagramas,
las gráficas y las expresiones simbólicas se deben considerar
como elementos esenciales para sustentar la comprensión de los
conceptos y relaciones matemáticas, para comunicar enfoques,
argumentos y conocimientos, para reconocer conexiones entre
conceptos matemáticos y para aplicar la Matemática a problemas
reales.
Estimar significa cuantificar aproximadamente una característica
medible de un objeto, así como pronosticar el resultado de un proceso matemático sobre la base de experiencias anteriores o juicios
subjetivos.
Argumentar significa fundamentar, utilizando razones lógicas o matemáticas, la validez de un proceso o el valor de verdad de una
proposición o resultado.
Comprende el desarrollo y evaluación de argumentos y demostraciones matemáticas.
Aplicar
Sinónimo: adaptar, acomodar.
Es una capacidad específica en la cual se utiliza uno o más procedimientos adecuados en una situación específica, mediante la
observación, la identificación, la descomposición, la transformación,
la simplificación y la aplicación de algoritmos.
Interpretar
Sinónimo: descifrar, dilucidar, desentrañar, aclarar.
Es atribuir significado a expresiones matemáticas de modo que
adquieran sentido en función del problema planteado. Implica tanto
los procesos de codificación como decodificación.
Decodificar
Sinónimos: descifrar.
Es una capacidad específica en la cual se transforma de un lenguaje
formal simbólico a lenguaje cotidiano, mediante la observación, la
identificación, la interpretación y la transformación de la información
recibida.
Codificar
Sinónimos: cifrar.
Es una capacidad específica en la cual se transfiere la información
de lenguaje cotidiano al lenguaje matemático, mediante la
observación, la identificación y la interpretación, la transformación
y la expresión de la información recibida.
Representar
Sinónimos: simbolizar, interpretar, trazar, figurar, reproducir, crear,
informar, referir.
Es una capacidad específica en la cual se lleva el lenguaje
cotidiano o formal a gráficos o esquemas y viceversa, mediante la
observación, la identificación y la diferenciación, la clasificación, la
interpretación y la expresión de la información recibida.
Representar significa expresar ideas matemáticas con precisión
mediante el lenguaje de la Matemática.
Graficar, es decir, crear y utilizar dibujos, esquemas, diagramas,
formas geométricas, tablas, entre otros, para organizar, registrar y
comunicar ideas matemáticas.
GUÍA METODOLÓGICA
5
Resolución de problemas
Resolución
Sinónimos: decisión, determinación, conclusión.
Interpretar
Sinónimos: entender, alcanzar, discernir, atar cabos, percibir, descifrar, intuir, acertar, averiguar, resolver, darse cuenta.
Resolver un problema significa buscar de forma consciente una
acción apropiada para lograr un objetivo claramente concebido,
pero no alcanzable de forma inmediata. (George Pólya).
Es una capacidad específica en la cual se concibe de un modo personal la realidad, mediante el análisis, la clasificación, la discusión y
la representación de la información recibida para lograr un fin.
La capacidad de resolución de problemas es de suma importancia
por su carácter integrador, ya que posibilita el desarrollo de las otras
capacidades. Resolver problemas implica encontrar un camino que
no se conoce de antemano, es decir, una estrategia para encontrar
una solución. Para ello se requiere de conocimientos previos y
capacidades. A través de la resolución de problemas, muchas veces
se construyen nuevos conocimientos matemáticos.
Resolver problemas posibilita el desarrollo de capacidades
complejas como la creatividad, y procesos cognitivos de orden
superior como la inferencia, que permiten una diversidad de
transferencias y aplicaciones a otras situaciones y áreas; y, en
consecuencia, proporciona grandes beneficios en la vida diaria y
en el trabajo. De allí que resolver problemas se constituye en el eje
principal del trabajo en Matemática.
Desde esta perspectiva, el desarrollo de la capacidad de resolución
de problemas permite que los estudiantes construyan sus
conocimientos matemáticos mediante el planteamiento de diversos
problemas, y amplíen capacidades específicas para: modelar,
formular, seleccionar, aplicar y verificar.
Procesar información
Sinónimos: elaborar, asimilar, transformar la información.
Someter datos o materiales a una serie de operaciones programadas.
Es una capacidad específica en la cual se realizan operaciones
lógicas y aritméticas ordenadas, cuyo fin es la obtención de
resultados determinados, mediante la relación, transformación y
aplicación de propiedades y algoritmos a la información.
Verificar
Sinónimo: comprobar.
Es una capacidad específica en la cual se comprueba la verdad
del enunciado del problema, en función del resultado obtenido,
mediante la sustitución, y la aplicación de algoritmos.
Verificar, significa controlar el proceso seguido para encontrar la
solución de un problema, evaluando la validez de cada uno de los
procedimientos matemáticos utilizados.
Formular
Sinónimos: exponer, proponer, manifestar, expresar, enunciar,
aclarar, precisar.
Es la capacidad específica según la cual se elaboran proposiciones
o problemas, mediante la analogía, la generalización, la creación.
Formular, significa elaborar un enunciado o el texto de un problema,
a partir de situaciones de la vida real y a partir de contextos
matemáticos.
Aplicar
Consiste en ejecutar un procedimiento o estrategia a partir de
conceptos matemáticos y propiedades de relaciones matemáticas,
para responder a una pregunta o hallar la solución de un problema.
Comprende la realización de operaciones numéricas.
Modelar
Significa asociar a una situación u objeto no matemático una
expresión u objeto matemático que represente determinadas
relaciones o características consideradas relevantes para la solución
de un problema. Esto permite reconocer y aplicar la Matemática en
contextos no matemáticos.
Seleccionar
Significa elegir una alternativa de respuesta para una pregunta, o
elegir una estrategia para hallar la solución de un problema.
6
Intelectum 1.°
La enseñanza a través de la resolución de problemas
La enseñanza a través de la resolución de problemas es actualmente el método más invocado para poner
en práctica el principio general de aprendizaje activo. Lo que en el fondo se persigue con ella es transmitir,
en lo posible, de una manera sistemática, los procesos de pensamiento eficaces en la resolución de
verdaderos problemas.
La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en los procesos de pensamiento, en los
procesos de aprendizaje y desarrollo de capacidades; y toma los contenidos matemáticos, cuyo valor no
se debe en absoluto dejar a un lado.
Un modelo para resolver problemas: el modelo de Miguel de Guzmán Ozámiz
Un modelo es una guía que nos facilita el camino que debemos recorrer a lo largo de todo el proceso
de resolución de un problema. La finalidad de todo modelo es la de adquirir una colección de hábitos
mentales que nos ayuden eficazmente en el manejo de los problemas.
Este modelo consta de cuatro fases, a saber:
Fase 1: familiarización con el problema.
Fase 2: búsqueda de estrategias.
Fase 3: llevar adelante la estrategia.
Fase 4: revisar el proceso y sacar consecuencia de él.
Los estudiantes deben resolver
constantemente problemas
y comunicar sus respectivas
soluciones.
En cada una de las fases las pautas a seguir son:
Al comienzo, en la familiarización con el problema, debemos actuar sin prisas, pausadamente y con
tranquilidad. Hay que conseguir tener una idea clara de los elementos que intervienen: datos, relaciones,
incógnitas, etc. En resumen, antes de hacer, tratar de entender.
Una vez que hemos entendido el problema pasamos a buscar las estrategias que nos permiten resolverlo.
En esta fase no iniciamos el ataque del problema, sino que vamos apuntando todas las ideas que nos
surjan relacionadas con el problema. Es conveniente pensar y disponer de más de una estrategia o camino
a desarrollar en la fase posterior.
Tras acumular varias opciones de resolución, es el momento de llevar adelante la estrategia elegida. La
llevamos adelante trabajando con confianza y sin apresuramientos. Conviene no echarse atrás ante la
primera dificultad que surja, ni continuar con la estrategia si las cosas se complican demasiado. En el caso
de no acertar con el camino correcto, es el momento de volver a la fase anterior y reiniciar el proceso.
Seguimos de esta forma hasta cerciorarnos de haber llegado a la solución.
Por último, queda la fase más importante del problema, la de revisión del proceso y obtención de sus
consecuencias. En esta fase, que no puede faltar, hayamos resuelto el problema o no, debemos reflexionar
sobre todos los incidentes del camino seguido, sobre si es posible extender las ideas que hemos tenido a
otras situaciones, sobre el problema en sí y sobre nuestros estados de ánimo a lo largo de todo el proceso.
El aprendizaje de la matemática y el desarrollo de
capacidades
Es suficiente observar en nuestro entorno que todo profesional hace uso de sus capacidades matemáticas.
Hoy en día no es posible concebir la acción de un comerciante, de un vendedor, de un trabajador cualquiera
de la construcción, con mayor razón de un ingeniero, de un arquitecto, de un médico, de un economista, de
un químico, de un físico, de un biólogo, sociólogo, estadístico o cualquier profesional que no haga uso de
la matemática y de sus capacidades matemáticas. Por ello es importante que la Matemática forme parte
de nuestra vida, aprenderla nos permitirá el dominio de algunos aspectos de la realidad.
Veamos algunos lineamientos que deben de ser una constante en la labor educativa de los docentes:
• El conocimiento matemático no se da de modo inmediato en los estudiantes. Esto quiere decir que
es todo un proceso cuyo avance es progresivo, por etapas, y según las particularidades de cada
estudiante. Además, se trata de un proceso que nunca concluye, pues la asimilación de contenidos se
prolonga más allá del tiempo que el estudiante pase en las aulas. Para ello, se debe tener en cuenta
que la Matemática funciona de acuerdo con el principio cognitivo según el cual todo conocimiento
nuevo debe de ser conectado con los conocimientos ya adquiridos.
• El aspecto manipulativo debe de ocupar un lugar destacado en el trabajo de aprendizaje. De esta
manera, el estudiante desarrolla su capacidad de abstracción, pues el aprendizaje que parte de lo
concreto y lo perceptible se asimila con mayor facilidad en los esquemas mentales de los estudiantes.
GUÍA METODOLÓGICA
7
• Se debe alentar el trabajo cooperativo y las acciones solidarias, pues de esta manera se promueve
también el debate, la discusión y el intercambio de conocimientos. Sin duda, los estudiantes fortalecen
su capacidad argumentativa.
• Los intercambios de ideas y conocimientos no deben de limitarse a la institución educativa, sino que
deben de extenderse al entorno familiar y social. Así, los estudiantes deben estar en condiciones de
participar en diálogos tanto con sus padres, como con sus maestros, vecinos, parientes, etc.
• Debe tenerse en cuenta que los estudiantes no son entes pasivos que simplemente “esperan” que
los conocimientos entren a su conciencia. Por el contrario, deben de ser vistos como individuos con
grandes potencialidades, las cuales, a su vez, tienen que desarrollar, basándose en su interés por
aumentar, el caudal de sus conocimientos.
• En relación con lo anterior, está también el fomento de la creatividad en los estudiantes, de modo
que las actividades mecánicas, repetitivas y rutinarias deben dejarse de lado, y se debe incentivar a
que formulen conjeturas y recorran caminos inexplorados, al final de los cuales, puede aparecer un
conocimiento valioso e inédito.
¿Por qué aprender matemática en la Educación Secundaria?
La Matemática tiene su origen en la necesidad de resolver problemas y ejecutar actividades que faciliten la
existencia individual y colectiva de los seres humanos. Partiendo de situaciones concretas y cotidianas se
llega a abstracciones que posteriormente se ordenan, dando origen a las teorías matemáticas, la ciencia
y la tecnología.
El trabajo cooperativo es
importante porque promueve el
intercambio de conocimientos.
En el caso de la enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria, esta siempre ha estado orientada hacia la finalidad práctica de proporcionar a los estudiantes las herramientas operativas básicas que
les permitan enfrentarse a los retos que se les vayan presentando en su sociedad.
En un mundo que está en constante transformación, la educación matemática en la secundaria debe dotar
al alumnado de la capacidad de adaptarse a las nuevas situaciones, especialmente a aquellas que se
presentan en el ámbito laboral.
Por esto, ahora más que nunca, la Matemática debe tener una vocación inclusiva para que la mayor cantidad de estudiantes resulte beneficiada. Para ello, los docentes deben acercarse al alumnado de manera
tal que una ciencia tan importante no sea vista como una traba, pesada e inútil, sino, por el contrario, una
aliada para el camino hacia el éxito y el desarrollo humano.
Los avances tecnológicos al haberse extendido en todos los ámbitos de la vida diaria, es casi imposible que
alguien pueda mantenerse ajeno a ellos. La Matemática puede ayudarnos a manejarnos con seguridad
ante la tecnología. Nos enseña, además, a realizar planificaciones, interpretar estadísticas, administrar
nuestros ingresos y consolidar nuestros proyectos comerciales.
Capacidades matemáticas
Son tres las capacidades matemáticas propuestas en el Diseño Curricular de Educación Básica Regular,
veamos:
Comunicación matemática
Debe de acostumbrarse al alumnado a la escritura. el encuentro que tendrán con la palabra será constante
(en la lectura de los planteamientos de los problemas, de los cuadros estadísticos, de las diversas gráficas,
etc.). Por ello será preciso que se familiaricen con ella. Si queremos poner por escrito nuestras ideas,
primero debemos realizar una labor de ordenamiento en nuestra mente de manera tal que estas lleguen
al papel de una forma coherente. Dicho proceso permite que los matemáticos revisen detenidamente sus
ideas y demostraciones.
Se debe incentivar constantemente a que los estudiantes apliquen o relacionen los conocimientos
adquiridos con la realidad que los circunda. El aspecto comunicativo, como es de suponerse, facilita esta
intención.
En el aprendizaje de la Matemática los estudiantes deben de estar capacitados para:
Los estudiantes deben relacionar
lo que aprenden teóricamente
con lo que viven en la práctica.
8
Intelectum 1.°
• Valorar la precisión y utilidad de la notación matemática, así como la importancia que tiene en el
desarrollo de las ideas relacionadas con la resolución de problemas matemáticos.
• Expresar ideas matemáticas de manera oral y escrita.
• Entender claramente los enunciados verbales que aparecen en los problemas matemáticos.
• Formular definiciones matemáticas y compartir con sus compañeros y compañeras las generalizaciones
que han obtenido como fruto de sus investigaciones.
Razonamiento y demostración
El razonamiento juega un papel de primer orden en el entendimiento de la Matemática. Los estudiantes
deben de tener claro que esta capacidad posee un sentido que hay que reconstruir mediante el desarrollo
de ideas, la justificación de resultados y el uso de conjeturas, entre otras actividades. Teniendo en cuenta
que ningún estudiante llega a la escuela sin algún conocimiento, pues no existe individuo carente de
nociones básicas de Matemática, los docentes buscarán estimular el natural desarrollo hacia la resolución
de problemas más complejos.
Entonces, los estudiantes también tienen que estar capacitados para:
• Comprender que el razonamiento y los pasos para realizar una demostración son de gran importancia
en la resolución de problemas matemáticos.
• Arriesgarse a proponer y desarrollar conjeturas, mostrando solidez en el proceso argumentativo.
• Discriminar la validez de argumentos y demostraciones matemáticas.
• Escoger, entre varias posibilidades, el método de demostración más adecuado para un problema en
particular.
Capacidades
matemáticas
Comunicación
matemática
Razonamiento
y demostración
Resolución de
problemas
Los docentes explicarán a los estudiantes que toda afirmación matemática debe llevarnos a peguntar
sobre su origen y validez. Es decir, no se trata de “aceptar” sin discusión lo propuesto, sino de ir hasta sus
raíces para verificar su validez, cuando sea pertinente.
Se debe acostumbrar al alumnado a cuestionar los conocimientos recibidos de manera tal que adquieran
seguridad al momento de conducirse en sus propias investigaciones. Debe quedar de lado la errada idea
de que algo es válido solo porque una persona importante lo dijo. Por el contrario, el único criterio que
debe de tenerse en cuenta al momento de respaldar una afirmación matemática es el razonamiento, es
decir, el encadenamiento consistente de demostraciones.
Resolución de problemas
Cuando se lleva a cabo la resolución de problemas, debemos de tener en cuenta que “resolver” no significa
simplemente realizar un proceso de modo mecánico para llegar a una solución. Pues, en el camino hacia
la respuesta, el estudiante participa activamente, ya sea realizando conexiones con conocimientos
previamente adquiridos (lo cual puede hacer que se llegue a la solución de una manera más rápida), o
arriesgando nuevas propuestas, es decir, dando entrada libre a la creatividad.
Los estudiantes deben de ser constantemente retados con problemas que, yendo de lo simple a lo
complejo, les permitan aumentar su capacidad de raciocinio matemático. Esa es la propuesta de la
Colección Intelectum Evolución, se ha estructurado los problemas por niveles.
Este aspecto de la resolución de problemas es fundamental en el aprendizaje de la Matemática, por lo
cual debe buscarse problemas cuya proximidad con el entorno del estudiante lo motiven a comprometerse
con su resolución.
A través del aprendizaje de la Matemática se debe capacitar a todos los estudiantes para:
• Obtener nuevos conocimientos mediante la resolución de problemas diseñados según se acaba de
describir.
• Resolver problemas que surjan tanto de la Matemática como de otros contextos.
• Aplicar y adaptar las estrategias pertinentes para la resolución de problemas.
• Hacer un control del proceso de resolución de problemas matemáticos, propiciando la reflexión sobre
el mismo.
Los estudiantes se plantean constantemente problemas, a veces de manera espontánea, en su diario
acontecer, de modo que es labor de los docentes estimular en ellos la disposición a resolverlos. Por ello,
deben crear en clase un clima que fácilmente los motive a investigar, asumir riesgos y proponer salidas,
así como a participar en un intercambio de ideas.
Diez mandamientos para los
profesores de Matemáticas
por Geoge Pólya.
• Interésese en su materia.
• Conozca su materia.
• Trate de leer las caras
de sus estudiantes; trate
de ver sus expectativas y
dificultades; póngase usted
mismo en el lugar de ellos.
• Dése cuenta que la mejor
manera de aprender algo
es descubriéndolo por uno
mismo.
• Dé a sus estudiantes no
solo información, sino el
conocimiento de cómo hacerlo, promueva actitudes
mentales y el hábito del
trabajo metódico.
• Permítales aprender a
conjeturar.
• Permítales aprender a
comprobar.
• Advierta que los rasgos
del problema que tiene a
la mano pueden ser útiles
en la solución de problemas futuros: trate de sacar
a flote el patrón general
que yace bajo la presente
situación concreta.
• No muestre todo el secreto
a la primera: deje que sus
estudiantes hagan sus
conjeturas antes; déjelos
encontrar por ellos mismos
tanto como sea posible.
• Sugiérales; no haga que se
lo traguen a la fuerza.
GUÍA METODOLÓGICA
9
Puesta en práctica de las capacidades matemáticas
"Resolver un problema es encontrar un camino allí donde
no se conocía previamente camino alguno, encontrar la forma de salir de una dificultad,
encontrar la forma de sortear
un obstáculo, conseguir el fin
deseado, que no es conseguible de forma inmediata, utilizando los medios adecuados".
(George Pólya)
George Pólya
Nació en Hungría en 1887.
Trabajó en una variedad de
temas matemáticos incluidos
las series, la teoría de
números, geometría, álgebra, la
combinatoria y la probabilidad.
En la comunicación
Otra capacidad Matemática fundamental que se debe desarrollar en los estudiantes es la referida al
lenguaje matemático, que para nosotros es entendida como comunicación. Entonces, para comunicar
contenidos matemáticos es necesario usar un lenguaje adecuado y este es el lenguaje matemático,
siempre ayudado de representaciones diversas para su mejor comprensión.
En lo posible, se debe tener a la mano lápiz y papel para que esta comunicación sea fructífera. Asimismo,
se debe fortalecer la comprensión y dominio del lenguaje matemático básico desde los primeros grados de
la educación que, al igual que conocer otro idioma, es necesario para seguir teniendo vigencia en el mundo.
En el razonamiento y demostración
La Matemática como ciencia formal ofrece, más que cualquier otra, aportes fundamentales para desarrollar
en los estudiantes su capacidad de razonamiento y demostración, debido a que su característica de
emplear objetos abstractos contribuye a tal propósito. Entonces, es fundamental seguir desarrollando
estas capacidades en los estudiantes para seguir educando la mente, pues con la agudeza del
razonamiento en sus diferentes niveles y la concreción en las demostraciones formales o factuales se
está interrelacionando la intuición con la lógica, capacidades fundamentales en los seres humanos que
requieren seguir educándose.
En la resolución de problemas
El aprendizaje de la Matemática debe incluir experiencias abundantes y diversas con resolución de
problemas como métodos de indagación y aplicación, para que los estudiantes sean capaces de:
• Usar enfoques de resolución de problemas para investigar y entender los contenidos matemáticos.
• Formular problemas a partir de situaciones dentro y fuera de la Matemática.
• Desarrollar y aplicar diversas estrategias para resolver problemas, haciendo hincapié en problemas de
pasos múltiples y no rutinarios.
• Verificar e interpretar resultados en relación con la situación del problema original.
• Generalizar soluciones y estrategias para situaciones nuevas del problema.
• Adquirir confianza en el uso significativo de la Matemática.
Se debe aprovechar las capacidades matemáticas en beneficio de los estudiantes de Educación
Secundaria para incluir problemas más complejos que impliquen temas como la probabilidad, la estadística,
la geometría, los números racionales y los números reales. Las situaciones y los enfoques deben basarse
en el lenguaje matemático que los estudiantes van adquiriendo, y deben ayudarles a desarrollar toda
una gama de estrategias y enfoques para la resolución de problemas. Aunque durante este nivel las
situaciones concretas y empíricas sigan siendo el centro de atención, debe conseguirse un equilibrio
entre problemas que apliquen la Matemática al mundo real y problemas que surjan de la investigación
sobre ideas matemáticas. Finalmente, el aprendizaje de la Matemática debe implicar a los estudiantes
en diversos problemas que requieran un mayor esfuerzo para su resolución. Algunos de ellos podrían
ser tareas de grupo que hagan que los estudiantes utilicen la tecnología disponible y se dediquen a la
resolución y discusión de problemas de forma cooperativa.
Evaluación en el área de Matemática
En nuestra vida diaria realizamos una permanente evaluación; así, antes de adquirir un producto lo
evaluamos desde distintos parámetros: si el producto es de buena calidad, si la textura es la adecuada,
si los colores son los que nos gustan, si el precio justifica el producto acabado, etc. Si bien es cierto, no
lo hacemos de una manera sistemática, la practicamos en cada instante de nuestra vida. Motivo por el
cual, la evaluación no es ajena a nosotros; siempre está presente. Entonces, la evaluación en el área de
Matemática debe contemplar el desarrollo de las capacidades específicas de dicha área. La evaluación de
los aprendizajes matemáticos en el nivel de educación secundaria, debe permitir el desarrollo de actitudes
que contribuyan a la formación de la personalidad y carácter de los estudiantes, el trabajo en equipo con
responsabilidad individual y grupal, y la cooperación democrática y justa.
La evaluación valora todo el proceso, todos los elementos y toda la persona, con el fin de llegar a unas
conclusiones y tomar decisiones para mejorar ese proceso y sus elementos, en definitiva, mejorar los
comportamientos del sujeto.
10 Intelectum 1.°
Las capacidades matemáticas para su evaluación
Comunicación matemática
Según lo propuesto por los estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática, la
evaluación de la capacidad de los estudiantes para comunicar debe mostrar evidencia de que estos son
capaces de:
• Expresar ideas matemáticas hablando, escribiendo, demostrándolas y representándolas visualmente.
• Entender, interpretar y juzgar ideas matemáticas presentadas de forma escrita, oral o visual.
• Utilizar vocabulario matemático, notaciones y estructuras para representar ideas, describir relaciones
y modelar situaciones.
Como la comunicación es una actividad social que tiene lugar dentro de un contexto, debe ser evaluada
en una diversidad de situaciones. En la evaluación, como en la enseñanza, los profesores deben ser
conscientes de cómo expresan ideas matemáticas los estudiantes y de cómo interpretan las expresiones
matemáticas de los demás. Al momento de evaluar la capacidad del estudiante para comunicarse, los
docentes deben prestarle atención a la claridad, precisión y propiedad del lenguaje que utiliza. Además,
la capacidad de los estudiantes para entender la comunicación oral o escrita de los demás constituye un
componente importante de la docencia y de la evaluación.
Razonamiento y demostración
Es natural que los estudiantes formulen conjeturas sobre la base de ejemplos que han visto o manejado, y
que desarrollen argumentos basados en lo que saben que es cierto. Los estudiantes pueden tener también
nociones intuitivas sobre razonamiento proporcional y sobre relaciones espaciales. Todos los estudiantes
deben tener la oportunidad expresa de ocuparse en este razonamiento intuitivo e informal y, por tanto, toda
evaluación de la capacidad de razonamiento del estudiante debe obtener evidencias de esos procesos.
Los estudiantes deben tener
la capacidad de comunicarse
matemáticamente.
La evaluación de la capacidad que tengan los estudiantes para razonar matemáticamente debe ofrecer
evidencia de que ellos son capaces de:
•
•
•
•
Utilizar el razonamiento inductivo para reconocer patrones y formular conjeturas.
Utilizar el razonamiento para desarrollar argumentos plausibles de enunciados matemáticos.
Utilizar el razonamiento proporcional y espacial para resolver problemas.
Utilizar el razonamiento deductivo para verificar una conclusión, juzgar la validez de un argumento y
construir argumentos válidos.
• Analizar situaciones para determinar propiedades y estructuras comunes.
• Reconocer la naturaleza axiomática de la Matemática.
Resolución de problemas
La capacidad que tengan los estudiantes para resolver problemas estará reflejada en los criterios e
indicadores de evaluación en la que se debe determinar si son capaces, por ejemplo, de formular
problemas, de hacer preguntas, utilizar una información dada y elaborar conjeturas, utilizar estrategias y
técnicas adecuadas y comprobar e interpretar los resultados.
La evaluación de la capacidad que tengan los estudiantes de utilizar la Matemática para la resolución de
problemas debe mostrar evidencia de que son capaces de:
• Formular problemas.
• Comprobar e interpretar resultados.
• Aplicar diversas estrategias para resolver problemas. • Generalizar soluciones.
• Resolver problemas.
En la evaluación, la resolución de problemas ha de ser el centro de atención de la Matemática. La
capacidad del estudiante para resolver problemas se va desarrollando paulatinamente como resultado de
una orientación adecuada de parte de sus docentes y de haberse enfrentado a situaciones del mundo real.
El avance de los estudiantes debe evaluarse sistemática, deliberada y continuamente para que se pueda
afianzar su capacidad para resolver problemas en contextos diversos. Para esto es muy importante que
los estudiantes reciban información y respuesta del resultado de esta evaluación, en lo que respecta tanto
a los procedimientos usados como a los resultados obtenidos. Además, los problemas deben constituir un
reto para los estudiantes, ser instructivos e interesantes, sin llegar a ser irresolubles.
La evaluación nos permite
recoger información pertinente
para la toma de decisiones.
Entre los métodos para evaluar la capacidad para resolver problemas que tenga el estudiante se incluyen:
la observación del estudiante al resolver problemas por separado, en grupos pequeños o en discusiones
del grupo; escuchar a los estudiantes discutir sus procesos de resolución; y analizar exámenes, tareas
hechas en casa, diarios y trabajos escritos. La respuesta que se proporcione a los estudiantes puede
adoptar diversas formas, incluyendo comentarios escritos u orales.
GUÍA METODOLÓGICA
11
COLECCIÓN
INTELECTUM EVOLUCIÓN
Hacia el desarrollo de las competencias y capacidades
matemáticas
DISEÑO CURRICULAR
Los diseños curriculares son
propuestas de objetivos que
se pretenden lograr; no involucran solo definir el qué enseñar, sino también el cómo
enseñarlo.
El centro de gravedad del trabajo educativo es sin duda el
aprendizaje de los estudiantes. Para ello es imprenscindible la contribución del docente
a través de la enseñanza.
Nociones previas
En el ámbito de la matemática nos enfrentamos al reto de desarrollar las competencias y capacidades
matemáticas en su relación con la vida cotidiana, como un medio para comprender, analizar, describir,
interpretar, explicar, tomar decisiones y dar respuesta a situaciones concretas, haciendo uso de conceptos,
procedimientos y herramientas matemáticas.
Se entiende por COMPETENCIAS como el saber actuar en un contexto particular en función de un objetivo
o la solución de un problema. Este saber actuar debe ser pertinente a las características de la situación
y a la finalidad de nuestra acción y es lo que deben lograr los estudiantes en su proceso de aprendizaje.
Comprometiéndonos con ese desafío es que la Colección Intelectum Evolución para Secundaria se ha
concebido como un instrumento pedagógico que facilite la labor del docente y lograr ese gran reto que es
el desarrollar las competencias y las capacidades del estudiante, para ello se ha elaborado los contenidos
acorde a los requerimientos del Diseño Curricular Nacional (DCN). En las cuatro áreas que componen
esta colección (Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría) se han desarrollado ampliamente, los tres
componentes: Número, relaciones y operaciones, Geometría y medición y Estadística y probabilidades
que el Ministerio de Educación exige que los alumnos procesen en el sexto y séptimo ciclo de la Educación
Básica Regular.
Las secciones que componen cada área, antes de explicarlas, detallamos la interrelación que existe entre
ellas, en un mapa conceptual.
ÁREA DE TRABAJO PEDAGÓGICO
Compuesta
Texto escolar
Libro de actividades
Presenta
Presenta
Binaria
motivadora
Lectura
Cómic
matemático
inician el
Desarrollo pedagógico del
contenido teórico
complentada con
Problemas resueltos
12 Intelectum 1.°
previa al
Desarrollo pedagógico del
contenido práctico
verificada con
Aplicamos lo aprendido
Practiquemos
reforzada
con
relacionadas con
Maratón matemática
Sudoku
Estructura de la Coleccion Intelectum Evolución
La Colección se ha organizado en cuatro áreas cada una con un determinado grupo de contenidos, del
siguiente modo:
• Área 1: Aritmética Hemos desarrollado los componentes: Número, relaciones y
• Área 2: Álgebra
operaciones y Estadística y probabilidades.
• Área 3: Geometría
• Área 4: Trigonometría
Hemos desarrollado el componente: Geometría y medición.
Cada una de estas áreas propone cuatro unidades de trabajo pedagógico, siendo la composición de
cada unidad de cuatro temas, cuyo número facilitará su desarrollo total, porque se ha tenido en cuenta la
cantidad de horas pedagógicas para el área de matemática de las que se dispone en el aula. A cada tema
va anexada la sección Problemas resueltos que facilitarán los aprendizajes esperados.
Respecto a la estructura del contenido teórico por área
Cada área teórica presenta las siguientes secciones articuladas:
1. Binaria motivadora
2. Cómic matemático
3. Desarrollo pedagógico de contenidos (compuesto de cuatro temas por unidad)
4. Problemas resueltos
Respecto a la estructura del contenido práctico por área
Cada área práctica presenta las siguientes secciones articuladas.
1. Lecturas de eminentes matemáticos e historia de la matemática.
2. Aplicamos lo aprendido
3. Practiquemos
4. Maratón matemática
5. Sudoku
Detalle de cada una de las secciones del texto escolar
Binaria motivadora del área
Cada área inicia con una binaria, en ella se ubican los contenidos que se desarrollarán en cada unidad,
seguido de los indicadores de logro, también de las cuatro unidades, finalmente una lectura acompañada
de una imagen que relaciona la matemática con la vida cotidiana, con ello tratamos de seguir los objetivos
y lineamientos de las rutas del aprendizaje.
¿Cuál es el objetivo de las lecturas?
Motivar al estudiante para aprender matemática, al constatar que puede usarla y aplicarla en cualquier
contexto de su vida real y cotidiana.
GUÍA METODOLÓGICA
13
Cómic matemático
Seguido a la binaria tenemos el cómic también de contexto matemático, desarrollado a través de
divertidas historias que refuerzan aún más la relación existente entre la matemática y la vida diaria.
Con ello llegamos al desarrollo de conocimientos con estudiantes motivados a conectarse con el área
respectiva.
Sugerencias pedagógicas
• Luego de leer la lectura y el cómic matemático relacionados con un hecho cotidiano, podemos
generar una conversación acerca de ellos, de la relación que existe entre estos y su realidad,
y que sirva para dar más ejemplos de lecturas de contexto matemático y su cotidianidad, para
mentalizar en el alumno de por qué debe aprender la Matemática, al comprobar que lo aplicará en
su vida presente y futura.
• También nos debe llevar a revisar los contenidos que se desarrollarán en la unidad como un
acercamiento previo a los conocimientos del estudiante. A su vez que sirven para dar a conocer
de las capacidades que desarrollará.
Desarrollo pedagógico de contenidos
Para el desarrollo pedagógico de contenidos, correspondiente al
área, se ha hecho uso de un lenguaje sencillo, el desarrollo de
ellos es gradual según el grado de estudios. Una organización
de contenidos lo suficientemente necesaria para no sobrecargar
con información y que el estudiante perciba una dinámica que lo
motive a seguir aprendiendo.
El desarrollo de los contenidos se presenta acompañado de
esquemas, ilustraciones y sobre todo con el apoyo permanente
de los mediadores cognitivos (personajes de la colección) que
se presentan a través de unos globos dando indicaciones y
sugerencias, que facilitarán el proceso de aprendizaje.
Problemas resueltos
La resolución de problemas constituye el aspecto fundamental
del área. En esta sección encontraremos problemas resueltos de
un modo didáctico para que el estudiante procese la información
de manera exitosa.
En cada uno de los cuatro temas que componen la unidad
está anexada la sección Problemas resueltos en los que se
utilizan diversas estrategias de resolución, son problemas que
requerirán de más análisis y proceso, esto con el objetivo de
reforzar la destreza del estudiante.
Sugerencias pedagógicas
• El objetivo del docente es que todo lo que desarrolla en el aula sea asimilado por cada uno de los estudiantes y es justamente por ser
esta una labor muy compleja, que requiere de mucha paciencia, se sugiere seguir el orden de los contenidos que la Colección propone,
explicando cada concepto con ejemplos de aplicación, los que se complementarán con problemas resueltos.
• En los problemas resueltos se recomienda que los estudiantes intenten resolver dichos problemas y de ser posible, según cada situación,
aplicando una estrategia alternativa, lo puede hacer individualmente o en forma grupal. Esta práctica debe hacerla constantemente, para
que entrenen la capacidad de resolver problemas con autonomía.
14 Intelectum 1.°
Detalle de cada una de las secciones del libro de actividades
Para el desarrollo del contenido práctico también se ha tomado en cuenta el desarrollarlo por
secciones para que el estudiante aplique gradualmente lo procesado en el contenido teórico y
encaminarlo al objetivo principal que es la resolución de problemas.
Veamos las secciones que lo componen:
Lectura
En ella presentamos biografías de eminentes matemáticos y reseñas del avance de la matemática
a lo largo de la historia. La intención es iniciar la conexión entre elementos de interés del estudiante
y lo que va a procesar.
Es un valor agregado; para el docente constituye un conocimiento muy interesante ya que le
ayudará a comprender mejor la evolución de los diversos conceptos matemáticos, y para los
estudiantes una fuente de conocimientos, interés y motivación.
Aplicamos lo aprendido
tema 1:
1
Sean A, B y C tres conjuntos disjuntos, además:
4n(A) + n(B) + n(C) = 4096
Halla: n(A , B , C)
9
Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario:
A = {a + b; a + 2b - 3; 12}
Calcula: a2 + b2
8
Si un conjunto posee 128 subconjuntos, ¿cuántos elementos
tiene este conjunto?
TEORÍA DE CONJUNTOS
Dado el conjunto: B = {1; {1}; 2; 3}
Indica verdadero (V) o falso (F):
I. 1 " B
II. {1} ! B
III. 1 ! B
IV. {2; 3} ! B
V. {2} " B
A) FVVFV
D) FFVVF
3
7
B) VVFFV
E) VFVVF
2
C) VFVFV
Halla la suma de los elementos de:
A = {(3x + 2) ! N / 2 # x 1 5}
Halla la suma de los elementos del conjunto A:
A = {x / x ! Z; 0 # x # 9}
A) 55
D) 25
4
B) 45
E) 15
A) 6
D) 9
B) 7
E) 5
A) 1
D) 7
C) 8
B) 3
E) 9
C) 5
10
Si el conjunto T tiene 64 subconjuntos, ¿cuántos elementos
tiene T?
12
Sean los conjuntos:
A = {4; 5; 8; 9; 11}
B = {3x + 5 / x ! N / x 1 4}
C = {5x / x ! N; 1 # x # 3}
Halla: n[(A + B) - C]
14
En una institución educativa, de 135 alumnos, 90 practican
futbol, 55 básquet y 75 tenis. Si 20 alumnos practican los tres
deportes y 10 no practican ninguno, ¿cuántos practican solo
un deporte?
C) 35
A) 59
D) 108
Determina por extensión el conjunto:
2
A = ' n - 4 / n ! N, 1 # n # 5 / n ! 2 1
n-2
11
B) 74
E) 142
A) 8
D) 4
C) 90
Indica cuál de los conjuntos es un conjunto vacío:
A) {2n - 1 / n ! N; 3 < n < 6}
Da como respuesta la suma de los elementos de A.
B) ' 5n + 1 ! n / n ! n; 3 < n < 5 1
3
B) 10
E) 5
C) 6
C) {2n2 / n ! N; 1 < n < 3}
D) ' 2n + 1 ! N / n ! N; 4 # n < 6 1
3
14. E
C) III y IV
13. A
B) II y III
E) II y IV
11. E
A) I y II
D) I y III
12. D
C) 10
C) {2; 4}
A) 25
D) 45
9. C
B) 9
E) 15
Intelectum 1.°
B) {1; 2; 3; 4; 5}
E) {2; 4; 6; 10; 11}
10. C
A) {1; 3; 5; 6; 8; 9}
D) Q
B) 4
E) 5
C) 1
B) 30
E) 50
C) 35
Claves
A) 8
D) 12
6
A) 3
D) 2
7. A
Sean los conjuntos:
M = {2m + 1 / m ! N; 0 1 m # 5}
N = {3; 5; 7; 9}
De las proposiciones:
I. M = N
II. M ! N
III. M 1 N
IV. N 1 M
Son verdaderas:
-1
! N / n ! N; 1 < n < 3 2
2
Dados los conjuntos:
A = {1; 2; 3; 4; 5}
B = {2; 4; 8; 6; 9}
Halla: A T B
8. D
13
5. B
E) ( 3n
C) 30
6. E
6
B) 25
E) 21
3. D
Sean A y B dos conjuntos iguales tales que:
A = {3a-b; 243}
B = {3b+2; 27}
Calcula: 2a - b
A) 22
D) 28
4. E
C) 48
1. A
5
B) 36
E) 72
2. B
A) 33
D) 108
ARITMÉTICA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
7
Aplicamos lo aprendido
Esta sección propone ejercicios, problemas y
situaciones problemáticas de un nivel igual o superior
a los planteados en la sección Problemas resueltos,
un total de 14 problemas por tema, cada uno con
alternativas de respuesta y agregado al final la clave de
respuesta de cada problema. El objetivo de esta sección
es continuar con el entrenamiento de estrategias de
resolución de problemas y encaminar al estudiante
hacia el aprendizaje significativo autónomo.
Sugerencias pedagógicas
• Al ser esta sección de problemas una primera entrada a lo que significa la práctica del estudiante, es primordial la participación del docente,
para que el estudiante pase del aprendizaje significativo dirigido a la etapa del aprendizaje significativo autónomo. En esta etapa los grupos
de trabajo resultan también convenientes.
• Es recomendable que algunos de estos problemas sean resueltos en clase para poder entrenar diferentes estrategias de resolución, para
ello se debe pedir la participación de los estudiantes y no sea solo un trabajo expositivo por parte del docente. Con la participación activa
de los estudiantes se puede lograr en algunos casos resolver problemas con sus indicaciones.
Practiquemos
La compone un promedio de 30 problemas por
tema de un total de 16 temas por área. Están
organizados en tres niveles de dificultad. Cada
nivel desarrolla las tres capacidades de área:
Comunicación matemática, Razonamiento y
demostración y Resolución de problemas. Cada
problema tiene cinco alternativas de respuesta y al
final de la sección un listado de claves de respuesta
de todos los problemas.
GUÍA METODOLÓGICA
15
Sugerencias pedagógicas
• Algunos de estos problemas se pueden desarrollar en el aula, pero siempre buscando la mayor participación de los estudiantes.
• Considerando el nivel de avance de los estudiantes, se les puede organizar en grupos para que resuelvan problemas, la cantidad lo
estimará el docente, para que los expongan ante sus compañeros y lograr así el efecto multiplicador de la capacidad matemática que es
la Resolución de problemas.
Maratón matemática
Elaborada con problemas de todos los temas que componen la unidad de trabajo pedagógico. Esta
sección se presenta encabezada con un problema resuelto, y dejando para el alumno un promedio
de 10 problemas propuestos con un nivel de dificultad mayor al de las de secciones anteriores.
Sugerencias pedagógicas
• Esta sección se presenta al final de cada unidad, cuando ya todos los contenidos que lo
componen ya han sido expuestos. Entonces los estudiantes están listos para hacer frente a
situaciones que involucran más de un conocimiento procesado. Se puede trabajar en clase,
(pizarra) para ver los procesos de resolución y quizá para descubrir otros métodos de resolución.
• Con estos problemas se puede estimular la creatividad de los estudiantes, creando ellos
situaciones problemáticas similares. Todo proceso de creación aumenta las posibilidades para
desarrollar capacidades cognitivas y afectivas.
Sudoku
Sección que permite ejercitar y entrenar el razonamiento, la habilidad y la destreza matemática.
Conclusiones
• La Educación Básica Regular del Perú se encuentra estructurada en base a cuatro aprendizajes de orden superior y que están propuestos
en el Diseño Curricular Nacional (DCN) como ejes curriculares y son: aprender a ser, aprender a vivir juntos, aprender a aprender y
aprender a hacer.
• El Diseño Curricular Nacional tiene una orientación cognitiva; porque busca el entrenamiento de procesos cognitivos, que son los procesos
internos que deberán activarse para desarrollar las capacidades de área. Estos procesos en el DCN se conocen como capacidades
específicas.
• En el nivel secundaria el aprendizaje está orientado a conseguir capacidades cognitivas. Los alumnos deberán adquirir y manejar en forma
pertinente, eficiente, eficaz, coherente y lógica cuatro capacidades fundamentales que son: el pensamiento crítico, el pensamiento creativo,
la resolución de problemas o pensamiento resolutivo y la toma de decisiones o pensamiento ejecutivo.
• Los logros de aprendizaje son otros de los elementos del currículo; estos buscan articular los niveles y ciclos de la Educación Básica
Regular y establecer una secuencia entre los aprendizajes; se encuentran estructurados en torno a tres tipos de contenidos que son:
conceptuales, procedimentales y actitudinales.
16 Intelectum 1.°