Guías de ondas. Línea bifilar

EXPERIENCIA CON UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN BIFILAR
OBJETIVOS:
El objetivo de esta practica consiste en familiarizarse con el
comportamiento de una guía de ondas (en concreto un cable coaxial),
cuando se emplea para transmitir una señal de una longitud de onda muy
inferior a su longitud. Cuando se da esta condición, las aproximaciones
que se emplean en la teoría de circuitos dejan de ser válidas y debemos
usar un modelo que sea compatible con las ecuaciones de Maxwell.
Siguiendo los puntos dados en el guión de esta práctica, nos
familiarizaremos con la transmisión de ondas electromagnéticas en una
guía de ondas de gran longitud.
En cada uno de estos puntos hemos podido hacer las siguientes
observaciones:
OBSERVACIÓN DE LAS RESONANCIAS:
Punto 1:
Colocamos en la salida del generador de ondas una resistencia de
100  y, a continuación de esta, un adaptador en forma de T, a cada una
de cuyas salidas conectaremos una guía de ondas coaxial de 100 m de
longitud y 50  de impedancia característica por un lado y un pequeño
trozo del mismo cable por el otro.
Por último, conectaremos el cable pequeño a un canal de un
osciloscópio. En extremo del cable largo colocaremos un adaptador en
forma de T, una de cuyas salidas irá en el otro canal del osciloscópio.
Resultados y comentarios:
Este es el montaje básico de la experiencia. En puntos sucesivos,
impondremos distintas condiciones de contorno y realizaremos las
observaciones pertinentes.
Punto 2:
En la salida libre del adaptador en forma de T de la salidas del
cable largo conectaremos una resistencia de 50 . Como esta resistencia
tiene el mismo valor que la impedancia característica de la línea, esta
queda adaptada.
Observaremos las señales de entrada y salida en el osciloscópio
para distintas frecuencias (entre 200 KHz y 2 MHz).
Resultados y comentarios:
Al aplicar una señal sinusoidal con el generador de ondas,
observaremos en el osciloscópio dos señales de la misma frecuencia,
pero desplazadas entre si. La amplitud de una de ellas es ligeramente
menor que la otra.
La señal de mayor amplitud se corresponde con la entrada en el
cable largo. El retardo causado por su propagación por el cable corto
puede ser despreciada.
La señal de menor amplitud se corresponde con la salida del cable.
Ha sufrido un retardo, que nosotros observamos en el osciloscópio como
un desfase entre las dos señales. Se puede demostrar trivialmente que
este desfase vendrá dado por:
=2 f 
donde f es la frecuencia y  el retardo, que se puede medir directamente
con el osciloscópio.
Pudimos observar que, de acuerdo con esta expresión, el desfase
aumenta con la frecuencia de la señal aplicada (disminuye con la
longitud de onda).
Punto 3:
Ahora quitaremos la resistencia de 50  del extremo del cable
largo, con lo que la linea queda desacatada. Estamos ahora en una
situación de circuito abierto.
Resultados y comentarios:
En circuito abierto, la señal "rebota" en el extremo del cable, lo
que podremos observar en el osciloscópio. Si ahora barremos el rango de
frecuencias observaremos que la señal que entra en la línea y la que
rebota se superponen sumándose ambas. La amplitud de esta señal suma
va variando al hacerlo la frecuencia, y alcanza máximos y mínimos de
forma alterna para frecuencias determinadas. Estos valores de la
frecuencia se reflejan en la siguiente tabla:
FRECUENCIA (KHz)
473
926
1405
1870
AMPLITUD
Mínimo
Máximo
Mínimo
Máximo
Punto 4:
En esta ocasión, colocaremos al final de la linea un terminador en
cortocircuito, la situación es análoga a la del punto anterior, pero los
desfases están desplazados .
Resultados y Comentarios:
Ahora realizaremos las mismas observaciones que en el punto 3.
Barreremos un rango de frecuencias y observaremos que donde antes
había un máximo ahora hay un mínimo y viceversa. Los resultados se
dan en la siguiente tabla:
FRECUENCIAS (KHz)
463
939
1329
1880
AMPLITUD
Máximo
Mínimo
Máximo
Mínimo
Observamos que las frecuencias a las que se producen máximos y
mínimos son, salvando errores de medida, las mismas que en el caso
anterior, pero que efectivamente, la alternancia de máximos y mínimos
está invertida.
MEDIDAS DE LOS PARÁMETROS DE LA LINEA DE
TRANSMISIÓN:
Punto 5:
En este punto sustituiremos la resistencia de 100  que habíamos
puesto al principio de la línea por otra de 1 K. El extremo final de la
línea permanecerá en circuito abierto como en el punto 3.
Resultados y comentarios:
En los apartados anteriores la resonancia más baja se producía en
aproximadamente 470 KHz y debemos, según los guiones, emplear ahora
una frecuencia más baja, usaremos 40 KHz.
Para esta frecuencia mediremos, empleando el osciloscópio, los
desfases entre las señales de entrada y su reflejo, con lo que podremos
calcular el retardo producido por la línea según la fórmula:
 = 2 f 
Donde  es el desfase observado en el osciloscópio, f la frecuencia, y 
es el retardo provocado por la línea.
Las lecturas del osciloscópio fueron:
VOLTAJE DE
ENTRADA (V)
10.6
VOLTAJE DE
SALIDA (V)
4
 ( segundos)
7.5
De lo que resulta un desfase de  = 1.88 radianes.
Punto 6:
Repetiremos el punto anterior colocando ahora un adaptador en
cortocircuito.
Resultados y comentarios:
Se obtiene una tabla análoga:
VOLTAJE DE
ENTRADA (V)
10.6
VOLTAJE DE
SALIDA (V)
0.108
 ( segundos)
5.8
De lo que resulta un desfase de  = 1.46 radianes.
OBSERVACIÓN DE LAS ONDAS:
Punto 7:
En esta ocasión retiraremos la resistencia que teníamos entre la
línea y la fuente y colocaremos un terminador de 50.
Resultados y comentarios:
Observamos que ahora no existe onda reflejada debido a que se ha
adaptado tanto la entrada como la salida.
Punto 8:
Con la línea adaptada en la entrada y la salida, tal y como hicimos
en el punto anterior, generamos una señal cuadrada que introducimos en
la línea. Los resultados son:
VOLTAJE DE
ENTRADA (V)
5.8
VOLTAJE DE
SALIDA (V)
5.2
 ( segundos)
1
De lo que resulta un desfase de  = 0.25 radianes.
Los resultados son iguales, salvo errores, a los obtenidos en el
punto 2.
Punto 9:
Retiramos ahora la resistencia de terminación, desadaptando la
carga, pero, manteniendo adaptado el generador, por lo que tendremos
onda reflejada.
Resultados y conclusiones:
En el final de la guía, la onda incidente y reflejada están en fase y
por tanto se suman. La situación es:
Por otro lado, en el extremo del generador, las ondas incidentes y
reflejadas no están en fase, si no que hay un pequeño desplazamiento
entre ellas. El resultado es que la suma de las dos señales forma una
función con "escalones", de la siguiente forma:
Punto 10:
Ponemos ahora en la linea un terminador en corto circuito. En la
salida de la linea el voltaje es 0, así que en esta ocasión examinaremos
las señales en el principio de la guía (en el lado de la fuente).
Resultados y comentarios:
La situación es similar al punto anterior, pero ahora la onda
reflejada está "invertida" (al desfase debido al retardo se le debe sumar 
). La situación es:
La figura anterior es, básicamente, lo que se observa en el
osciloscópio, aunque si nos fijamos bien, repararemos en que debido a
las perdidas la amplitud de la onda reflejada es ligeramente más pequeña.
Una observación más minuciosa de la pantalla del osciloscópio nos
muestra que debido a esto la suma de las dos señale es en realidad así:
Punto 11:
Desadaptemos ahora la entra colocando en ella una resistencia de
100 . De esta forma estarán desadaptados ambos extremos de la linea y
se producirán reflexiones múltiples.
Resultados y comentarios:
Se trata de repetir los punto 9 y 10, pero con los dos extremos de la
linea desadaptados. Lo que observamos en el osciloscópio depende del
terminador que coloquemos al final de la linea.
Para un terminador en cortocircuito observamos:
Y si quitamos el terminador (circuito abierto):
REALIZACIÓN DEL TRABAJO:
Punto 12:
Intentaremos explicar ahora teóricamente lo que observamos en el
punto 5. Para ello reparemos en que tenemos un circuito equivalente a
este:
Dado que hemos utilizado frecuencias relativamente bajas,
podemos usar la teoría de parámetros distribuidos para resolver este
circuito. Tenemos:

1 
V in  I  R +

j C 

1
V o ut  I
j C
Dividiendo ambas expresiones:
V in
V o ut
 R  C  2 + 1 artang
=
1
R C
+

2
Quedándonos con la parte real, podemos despejar el valor C del
condensador:
2
C =
1
R
 V in 

 -1
 V o ut 
Usando esta expresión llegamos al valor de la capacidad de la
linea:
C = 10 nF
Haciendo un desarrollo completamente análogo, podemos llegar a
una expresión para la autoinducción de la línea. Nos basta con sustituir
en el circuito de la figura el condensador por una autoinducción:
V in = I  R + j L 
V o ut = I  j L 
y continuando igual que antes, se llega a:
L =
R
2
 V in 
 
 -1
 V o ut 
Con lo que llegamos a la autoinducción de la linea:
L = 404 KH
Ahora podemos calcular la impedancia característica de la linea, que
viene dada por:
Z0 =
L
C
En nuestro caso: Z0 = 63.4 
El valor que debería darnos es de 50 , pero dada la importancia
de los errores de medida, consideramos el resultado como aproximado.
Punto 13:
Calcularemos la velocidad de propagación de la señas en la guía
usando la expresión:
v =
1
C ' L'
donde C' y L' son respectivamente la capacidad y autoinducción de la
linea por unidad de longitud (dividimos C y L entre 100). El resultado así
calculado es:
v = 1.6 · 108 m/s.
Esta velocidad es del orden esperado, es decir, menor que la
velocidad de la luz en el vacío, debido a la resistencia de la línea.
Punto 14:
En este punto deduciremos las expresiones teóricas que expliquen
los fenómenos observados.
Para ello consideraremos que la onda incidente (la que "entra" en
la Guía) viene dada por una expresión del tipo:
V+ = A c o s   t - kx + 
+
 (1)
y que la onda rebotada se puede expresar como:
V- = B c o s   t' + kx + 
-
 (2)
La señal total será la suma de ambas expresiones y que,
despreciando las perdidas de la linea, A = B. Por tanto, la señal total será
(tomando como 0 el desfase de la onda incidente):
V = A  co s   t - k x  + c o s   t' + k x +   
(3)
Reparemos en que si la entrada de la linea es x=0, para t=0
tenemos que:
t' =
2l
vg
(4)
donde l es la longitud de la linea y vg es la velocidad de grupo.
Examinemos las situaciones de adaptación, circuito abierto y
cortocircuito:
Adaptación:
De la teoría de circuitos podemos deducir que:
V- =
ZL - Z0
ZL + Z0
V+
(5)
Cuando la linea está adaptada, ZL = Z0 = 50 , por lo que V-=0 y
sólo tenemos onda incidente: V = V+ .
Como V(x, 0) = A, la derivada del voltaje total respecto a la
frecuencia es nula y no hay máximos ni mínimos con la frecuencia.
Circuito abierto:
En esta ocasión, ZL = . La expresión (5) se transforma en una
indeterminación que podemos resolver aplicando L'Hopital (derivamos
(5) respecto a ZL), lo que nos da que V- = V+ , y no hay desfase relativo
entre las ondas incidentes y reflejadas. Usando la ecuación (3) para x= 0,
t= 0 y teniendo en cuenta (4) queda:

2l
V = A 1 + c o s

vg 

(6)
Vemos que hay una dependencia de la amplitud de la señal con la
frecuencia. La amplitud será máxima cuando:
co s
2l
vg
= 1 
2l
vg
= 2n   =
n  vg
l

f m ax =
n vg
2l
(7)
Y será mínima si:
co s

2l
vg
f m in =
= -1 
2l
vg
=  2 n + 1    =
 2 n + 1  v g
2l

 2 n + 1 v g
(8)
4l
Teniendo en cuenta la velocidad de grupo medida en el punto 13 y
que la linea tiene 100 metros de longitud, comparemos ahora los valores
teóricos de las frecuencias máxima y mínima con los obtenidos en el
punto 3:
Máximos:
ORDEN
(n)
1
2
F TEÓRICA
(KHz)
800
1600
F OBSERVADA
(KHz)
926
1860
Mínimos:
ORDEN
(n)
F TEÓRICA
(KHz)
F OBSERVADA
(KHz)
0
1
420
1300
473
1405
Podemos apreciar que a pesar de los errores experimentales, hay
una clara equivalencia entre los valores calculados y observados.
Cortocircuito:
Para este caso, ZL =0, por lo que de la expresión (5) se deduce que
V- = -V+ , o lo que es lo mismo, que la onda reflejada tiene un desfase de
 respecto a la onda incidente. Haciendo un desarrollo análogo al
anterior y ya que cos( + ) = -cos(), la expresión para la onda total
queda en este caso:

2l
V = A 1 - c o s

vg 

(9)
continuando igual que antes, encontramos expresiones similares al caso
anterior para las frecuencias a las que se producen máximos y mínimos,
pero "invertidas": Donde antes teníamos un máximo ahora hay un
mínimo y viceversa. Queda:
f m ax =
f m in =
 2 n + 1 v g
4l
(10)
n vg
2l
(11)
De nuevo podemos comparar los valores teóricos con los
obtenidos en el punto 4:
Máximos:
ORDEN
(n)
0
1
F TEÓRICA
(KHz)
420
1300
F OBSERVADA
(KHz)
463
1329
Mínimos:
ORDEN
(n)
1
F TEÓRICA
(KHz)
800
F OBSERVADA
(KHz)
939
2
1600
1880
Podemos apreciar también en este caso una correlación clara.
Puntos 15 y 16:
Estos puntos ya han sido resueltos a lo largo del resto del trabajo.
COMENTARIOS FINALES:
Esta practica tiene un carácter evidentemente cualitativo, ya que
las fuentes de errores son demasiado grandes (ruido de fondo,
perturbaciones producidas por los objetos y personas presentes en el
laboratorio). No sería viable deducir las expresiones teóricas usando
técnicas experimentales a partir de los datos observados. Debemos
contentarnos pues con comprobar "grosso modo" la validez de las
expresiones deducidas teóricamente en otras asignaturas. Es por esto que
el presente trabajo no puede ser considerado en absoluto riguroso desde
un punto de vista experimental, por lo que, para simplificar, no se han
tenido en cuenta los errores.