capitulo 4-Optimizacion

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
Optimización es el proceso de hallar el máximo o mínimo relativo de una función,
generalmente sin la ayuda de gráficos.
4.1 Conceptos claves
A continuación se describirá brevemente algunos conceptos necesarios para
comprender apropiadamente el tema de optimización.
4.1.1 Funciones crecientes y decrecientes
Se dice que una función f(x) es creciente (decreciente) en x=a, si en la vecindad
inmediata del punto [a,f(a)] el gráfico de la función crece (cae) al moverse de izquierda
a derecha. Puesto que la primera derivada mide la tasa de cambio y la pendiente de
una función, una primera derivada positiva en x=a indica que la función es creciente
“a”; una primera derivada negativa indica que es decreciente.
Gráfico 4-1
Función creciente en x = a
Función decreciente en x = a
(Pendiente >0)
(Pendiente <0)
y
y
x
x
a
a
f´(a) > 0: función creciente en x = a
f´(a) < 0: función decreciente en x= a
4.1.2 Concavidad y convexidad
Una función f (x) es cóncava en x = a, si en alguna pequeña región cercana al punto
[a, f(a)] el gráfico de la función se ubica completamente debajo de su línea tangente.
Una función es convexa en x = a, si en un área cercana a [a, f(a)] el gráfico esta
complemente arriba de su línea tangente. Una segunda derivada positiva en x = a
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
81
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denota que la función es convexa en x = a. Análogamente, una segunda derivada
negativa en x = a denota que la función es cóncava en “a”.
Gráfico 4-2
Convexo en x=a
f′(a) > 0
f′′(a) > 0
f′(a) < 0
f′′(a) > 0
y
y
x
x
a
a
Cóncavo en x=a
f′(a) > 0
f′′(a) < 0
f′(a) < 0
f′′(a) < 0
y
y
x
a
x
a
f′′(a) > 0: f(x) es convexo en x = a
f′′(a) < 0: f(x) es cóncavo en x = a
4.1.3 Extremo relativo
Un extremo relativo es un punto en el cual una función esta a un máximo o mínimo.
Para ello, la función debe estar en un punto en el cual no esta creciendo ni
decreciendo, y por ende, su primera derivada debe ser igual a cero o indefinida. Un
punto en el dominio de una función donde la derivada iguala a cero o es indefinida es
llamado punto o valor critico.
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
82
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Gráfico 4-3
Mínimo relativo en x=a
f′(a) = 0
Máximo relativo en x=a
f′′(a) > 0
f′(a) = 0
y
f′′(a) < 0
y
x
x
a
a
4.1.4 Puntos de inflexión
Un punto de inflexión es un punto en el grafico donde la función cruza su línea
tangente y cambia de cóncavo a convexo y viceversa. Los puntos de inflexión pueden
ocurrir solo donde la segunda derivada iguala a cero o es indefinida. Es decir, f′′(a)=0.
Gráfico 4-4
f′′(a)=0
f′(a) = 0
f′(a) = 0
y
f′(a) < 0
y
a
x
f′(a) > 0
y
a
y
x
x
x
a
a
f′′(a) = Nd
f′(a) > 0
f′(a) < 0
y
y
x
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
f′(a) = 0
y
x
x
83
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4.2 Optimización sin restricción
4.2.1 Funciones objetivo de una variable
Sea la función: y = f(x), los pasos o condiciones para obtener el (los) máximo(s) o
mínimo(s) relativo(s) serán:
1. Identificar los puntos críticos. Tomar la primera derivada e igualarla a 0,
dy
=0
dx
2. Tomar la segunda derivada, evaluar los puntos críticos, y revisar los signos. Esta
condición es llamada “condición suficiente”. Si un punto critico es “a”, entonces:
•
f′′(a) < 0, la función es cóncava en “a”, por ende un máximo relativo
•
f′′(a) > 0, la función es convexa en “a”, por ende un mínimo relativo
•
f′′(a) = 0, el test es inconcluso y es necesario realizar el test de las “derivadas
sucesivas”:
-
Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior,
cuando se evalúa un punto critico es una derivada de grado impar (tercer,
quinto, etc.) la función es un punto de inflexión.
-
Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior,
cuando es evaluado en un punto crítico es una derivada de grado par,
entonces la función es un extremo relativo en “a”. Si esta derivada tiene
valor negativo entonces la función es cóncava en “a” (y por ende, es un
máximo relativo). Caso contrario, la función es convexa y presenta un
mínimo relativo en “a”.
Ejercicio 76: Obtener el extremo relativo de la siguiente función:
f(x) = -7x2 + 126x - 23
Solución.
Calculando la primera derivada e igualándola a 0:
f′(x)=-14x + 126 = 0
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
x = 9 (valor critico)
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Tomando la segunda derivada y evaluando el valor critico:
f′′(x) = -14, entonces f′′(9) = -14
< 0 es cóncavo, máximo relativo.
Ejercicio 77: Obtener el extremo relativo de la siguiente función:
f (x) = 2x4 – 16x3 + 32x2 + 5
Solución.
Calculando la primera derivada e igualándola a 0:
f′(x) = 8x3 – 48x2 + 64x = 0
f′(x) = 8x( x – 2 ) ( x – 4) = 0
x=0, x=2, x=4 (puntos críticos)
Tomando la segunda derivada y evaluando los puntos críticos:
f′′(x) =24x2 - 96x +64
f′′(0) =24(0)2 – 96(0) +64 = 64
>0 convexo, mínimo relativo
f′′(2) =24(2)2 – 96(2) +64 = -32
<0 cóncavo, máximo relativo
f′′(4) =24(4)2 – 96(4) +64 = 64
>0 convexo, mínimo relativo
Ejerció 78: Obtener el extremo relativo de la siguiente función:
f(x) = - ( x - 8 )4
Solución.
Calculando la primera derivada e igualándola a 0:
f′(x) = -4( x - 8 )3 = 0
x=8 (punto critico)
Tomando la segunda derivada y evaluando el punto crítico:
f′′(x) = -12( x - 8 )2
Se requiere el test de derivadas
f′′(8) = -12( 8 - 8 )2 = 0
sucesivas.
f′′′ (x) = -24( x - 8 )
f′′′ (8) = -24( 8 - 8 ) = 0
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
test inconcluso
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f′′′′ (x) = -24
f′′′′ (8) = -24
<0 cóncavo, máximo relativo
Ejercicio 79: Buscar la relación entre:
a) Producto total, b) Producto medio, y c) Producto marginal de la siguiente función de
producción:
PT = 90K2 – K3
Solución.
a) Condición de 1er Orden para encontrar los valores críticos.
PT′ = 90K – 3K2
= 3K (60-K) = 0
K=0 y K=60
(valores críticos)
Probar las condiciones de 2do Orden.
PT′′ = 180 – 6 K
PT′′ (0) = 180
(convexo mínimo relativo)
PT′′ (60) = -180
(cóncavo, máximo relativo)
Comprobar puntos de inflexión.
PT′′ = 180 – 6 K = 0 ⇒ K = 30
K < 30 → PT′′ > 0 (convexo)
K > 30 → PT′′ < 0 (cóncavo)
Puesto que K = 30, PT′′ = 0, hay un punto de inflexión en K=3
b)
c)
Pmek =
PT
= 90K – K2
K
Pme′k = 90 – 2K = 0
K=45 (valor critico)
Pme′′k = -2
<0
(cóncavo, máximo relativo)
PMgk= PT′ = 180K - 3K2
PMg′′k = 180 – 6K = 0
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
K=30 (valor crítico)
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PMg′′k = –6
<0
(cóncavo, máximo relativo)
Gráfico 4-5
PT
Pmg=0
108000
91125
Pme máximo
54000
Pmg.
Pmg máximo
30
45
60
K
Pme.
Pmg.
2700
Pme.
30
45
60
K
4.2.2 Funciones objetivo de dos variables
Para que una función como z = f (x,y) tenga un mínimo o máximo relativo, tres
condiciones deben ser satisfechas:
1. Las derivadas parciales de primer orden deben simultáneamente ser iguales a
cero. Ello indica que en un punto dado (a,b) llamado “punto critico”, la función no
esta creciendo ni decreciendo con respecto a los ejes principales sino a una
superficie relativa.
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
87
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2. Las derivadas parciales de segundo orden deben ser negativas cuando ellas son
evaluadas en el punto critico (a,b) para un máximo relativo y positivas para un
mínimo relativo. Ello asegura que la función es cóncava y moviéndose hacia abajo
en relación a los ejes principales en el caso de un máximo relativo y la función es
convexo y moviéndose hacia arriba en relación a los ejes principales en el caso de
un mínimo relativo.
3. El producto de las derivadas parciales de segundo orden evaluadas en el punto
crítico deben exceder el producto de las derivadas parciales cruzadas también
evaluadas en dicho punto. Esta condición adicional es necesaria para evitar un
punto de inflexión o punto de silla (ver gráfico 4-6). En resumen:
Condición necesaria
Máximo
Mínimo
Primer orden
fx = fy = 0
fx = fy = 0
fxx , fyy < 0 y fxx , fyy > (fxy)2
fxx , fyy > 0 y fxx , fyy < (fxy)2
Segundo orden*
Nota: las derivadas parciales de segundo orden son evaluadas en el punto critico (a,b) o los puntos
críticos que hubieren.
En la situación que fxx fyy < (fxy)2, cuando fxx y fyy
tienen el mismo signo, la función
esta en un punto de inflexión. Caso contrario, la función estará en un punto de silla.
Si fxx fyy = (fxy)2 entonces se requeriría mayor información.
Gráfico 4-6
Mínimo
Máximo
z
z
x
y
y
x
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
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Punto de Silla
z
y
x
Ejercicio 80: En la siguiente función encontrar los puntos críticos y determinar si éstos
son máximos o mínimos relativos, puntos de inflexión o puntos de silla:
f(x, y) = 3x3 – 5y2 – 225x + 70y + 23
Solución.
Calculando la primera derivada e igualándola a 0:
fx = 9x2 – 225 = 0
fy = -10y + 70 = 0
Resulta: x = ± 5, y = 7 . Entonces los puntos críticos serán: (5,7) y (5,-7)
Las segundas derivadas (sin evaluarlas o testearlas)
fxx = 18 x
fyy = -10
fxy = fyx = 0
Evaluando el punto crítico (5,7):
fxx ( 5, 7 ) = 18 (5) = 90
¿Cumple fxx ( 5, 7 ). fyy ( 5, 7 ) > [ fxy(5,7) ]2 ?
fyy ( 5, 7 ) = -10
90. (-10) < [ 0 ]2 (no cumple!)
Entonces este punto crítico no es ni máximo ni mínimo. Puesto que fxx y fyy (evaluadas
en este punto crítico) tienen signo diferente, se concluye que este punto es un punto
de silla.
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
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Evaluando el punto crítico (-5,7)
fxx ( -5, 7 ) = 18 (-5) = -90
fyy ( -5, 7 ) = -10
¿Cumple fxx ( -5, 7 ). fyy ( -5, 7 ) > [ fxy(-5,7) ]2 ?
-90. (-10) > 0 (Si cumple!)
Dado que se cumple fxx ( -5, 7 ). fyy ( -5, 7 ) > [ fxy(-5,7) ]2 y además, fxx, fyy < 0 entonces
el punto en análisis es un máximo.
Ejercicio 81: En la siguiente función encontrar los puntos críticos y determinar si éstos
son máximos o mínimos relativos, puntos de inflexión o puntos de silla:
f (x,y) = 3x3 +1.5y2 – 18xy +17
Solución.
Calculando la primera derivada e igualándola a 0 (condición de primer orden):
fx= 9x2 – 18y = 0
y= ½ x2
fy= 3y – 18x = 0
y = 6x
Donde x = 0, x = 12, y = 0, y = 72. Así, los puntos críticos son: (0,0) y (12,72)
Calculando las segundas derivadas:
fxx = 18x
fyy = 3
fxy = fyx = -18
Evaluando el punto crítico (0,0)
fxx = ( 0, 0 ) = 18 (0) = 0
fyy = ( 0, 0 ) = 3
¿Cumple que fxx ( 0, 0 ). fyy ( 0, 0 ) > [ fxy(0,0) ]2 ?
0.3 < ( -18 )2 (No cumple)
Entonces este punto crítico no es ni máximo ni mínimo. Puesto que fxx
y fyy
(evaluadas en este punto crítico) tienen signos iguales entonces es un punto de
inflexión.
Evaluando el punto crítico (12,72)
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
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fxx = ( 12, 72 ) = 18 (12) = 216
fyy = ( 12, 72 ) = 3
¿Cumple que fxx( 12, 72 ).fyy( 12, 72 ) > [ fxy(12,72) ]2 ?
216.3 > ( -18 )2 (Si cumple!)
Dado que se cumple fxx ( 12, 72 ). fyy ( 12, 72 ) > [ fxy (12,72) ]2 y además, fxx , fyy > 0
entonces el punto en análisis es un mínimo relativo.
4.2.3 Funciones objetivo con más de dos variables
Considerando una función de tres variables z = f ( x1, x2, x3 ) cuyas derivadas parciales
primeras son f1, f2 y f3 y las derivadas parciales segundas fij ( ≡ ∂2z / ∂xi∂xj ) ; con i,
j=1, 2, 3. Conforme al teorema de Young se sabe que fij = fji .Como en los casos
anteriores, para tener un máximo o un mínimo de z es necesario que dz = 0 para
valores arbitrarios de dx1, dx2 y dx3, no todos nulos. Ya que el valor de dz es ahora
dz = f1dx1 + f2dx2 + f3dx3. Ya que dx1, dx2 y dx3 son no nulos, la única forma de
garantizar que dz = 0 es f1 = f2 = f3 = 0. En otras palabras, lo mismo que en el caso de
dos variables. Generalizando para 3 o más variables, el test de determinante para un
extremo relativo en este caso será:
Condición necesaria
Máximo
Mínimo
Primer orden
f1 = f2 = f3 = .. = fn = 0
f1 = f2 = .. = fn = 0
Segundo orden*
∣H1∣ < 0; ∣H2∣ > 0; ∣H3∣ < 0;..;(-1)n ∣Hn∣ > 0
∣H1∣, ∣H2∣,..,∣Hn∣>0
Donde Hn es el determinante de la matriz Hessiana (simétrica).
Hessiano (simétrico)
Es simplemente una matriz conformada por derivadas de segundo grado. Esta matriz
es utilizada para testear máximos o mínimos en funciones con n variables. En general,
el hessiano será:
∣H1∣ = f11
f11 f12
f21 f22
H=
.
.
fn1 fn2
... f1n
... f2n
... .
... fnn
Donde los
Menores
serán
H2 =
f11 f12
f21 f22
f11
f12
H3 = f21 f22
f31 f32
f13
f23
f33
Y así sucesivamente.
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
91
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Para el caso de una matriz hessiana del orden 3 x 3, los menores pueden denotarse
como:
f11
f12
H = f21 f22
f31 f32
f13
∣H1∣ = f11
f23
f33
H2 =
f11 f12
f21 f22
∣H3∣ = ∣H∣
Ejercicio 82: Hallar los valores extremos de
z = - x13 + 3x1 x3 + 2x2 - x22 - 3x32
Solución.
Las derivadas parciales son:
f1 = - 3x12 + 3x3
f2 = 2 - 2x2
f3 = 3x1 - 6x3
Ahora, haciendo f1 = f2 = f3 = 0, los puntos críticos serán: (0, 1, 0) y (0.5, 1, 0.25).
Reemplazando tales puntos en la función original “z”, se tiene que z = 1, y z = 17 16 ,
respectivamente.
Las derivadas parciales de segundo orden dispuesta ordenadamente en el hessiano:
H=
−6x1
0
3
0
−2
0
3
0
−6
1. Usando (0, 1, 0), el hessiano es:
0
0
3
H = 0 −2 0
3 0 −6
∣H1∣ = 0
∣H2∣ = 0
∣H3∣ = 18
No concuerda con ninguna de las dos test. Entonces es necesaria mayor información.
2. Usando (1/2, 1, 1/4) el hessiano es:
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
92
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−3
0
3
∣H1∣ = -3
H= 0
−2
0
∣H2∣ = 6
3
0
−6
∣H3∣ = -18
Cumple el test, entonces, el punto z = 17 16 es máximo.
Ejercicio 83: Utilizar el criterio del Hessiano con el ejercicio 81.
Solución.
En el ejemplo 81 se obtuvieron los puntos críticos (0, 0) y (12, 72), ahora analizaremos
la segunda derivada con el criterio del Hessiano.
Las segundas derivadas:
El hessiano será:
fxx = 18x
H=
fxx
fyx
fyy = 3
fxy
fyy
fxy = fyx = -18
H=
18x −18
−18 3
1. Evaluando el hessiano para el punto (0,0):
H=
18(0) −18
3
−18
∣H1∣ = 18(0) = 0
∣H2∣ = 18(0) x 3 – (-18) (-18)= -324
Puesto que ∣H1∣ = 0 y ∣H2∣ < 0 entonces el punto no es máximo ni mínimo. Es un punto
de silla o de inflexión (revisar los criterios).
2. Evaluando el hessiano en el punto (12,72):
H=
18(12) −18
−18
3
∣H1∣ = 18(12) = 216
∣H2∣ = 18(12) x 3 – (-18) (-18)= 324
Dado que ∣H1∣ > 0 y ∣H2∣ > 0, el punto es un mínimo.
Cuando se utiliza el criterio del hessiano para funciones de dos variables es necesario
resaltar lo siguiente:
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
93
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La matriz hessiana será de orden 2:
H=
fxx
fyx
fxy
fyy
Para el caso de un máximo, el hessiano requiere inicialmente que:
∣H1∣ < 0, o lo que es igual
fxx < 0
(i)
Además, se requiere que H2 > 0 , o lo que es igual:
fxx fyy - fyx fxy > 0
(ii)
Recordando que fxy = fyx, tal expresión puede quedar como:
fxx fyy > (fxy)2
(iii)
Dado que fxx < 0, para que la expresión (iii) sea válida, es necesario que:
fyy < 0
(iv)
Entonces, para que el punto critico sea un máximo se requiere que se cumpla (i), (iii) y
(iv), condiciones de suficiencia conforme a la sección 4.2.2. Note que la multiplicación
de las segundas derivadas parciales debe ser positiva (fxx fyy
>
0) ya que cada
segunda derivada debe ser negativa.
Para el caso de un mínimo, el lector puede fácilmente demostrar que las condiciones
señaladas en el punto 4.2.2 igualmente coinciden con el criterio del hessiano
(simétrico). ¿Por qué?. En realidad, el hessiano (simétrico) es el caso general para
optimización funciones de cualquier orden.
4.3 Optimización con restricción
4.3.1 Funciones con igualdades
Se plantea un nuevo problema, el de optimizar una función sujeta a una restricción de
igualdad:
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
94
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Maximizar
f (x1, x2)
Sujeto a g(x1, x2) = k
(una constante),
Para encontrar la solución a este nuevo tipo de problema, se debe formar una nueva
función F que debe ser formada por (1) estableciendo la restricción igual a cero, (2)
multiplicándolo por λ (el multiplicador de Lagrange) y (3) sumando el producto a la
función original:
F(x1, x2, λ ) = f(x1, x2) + λ [ k - g(x1, x2)]
Aquí, F(x1, x2, λ ) es llamada la función Lagrangiana, f(x1, x2) es la función objetivo u
original, y g(x1, x2) es la restricción. Puesto que la restricción es siempre igual a cero, el
producto λ [ k - g(x1, x2)] también es igual a cero y la suma de tal término no cambia el
valor de la función objetivo. Los valores críticos x0, y0 y λ 0 (para los cuales la función
es optimizada) son obtenidos tomando las derivadas parciales de F (con respecto a
cada una de las
tres variables independientes) e igualándolas a cero. Es decir,
simultáneamente:
F2(x1, x2, λ ) = 0
F
F1(x1, x2, λ ) = 0
λ
(x1, x2, λ ) = 0
Donde F1 expresa una derivada parcial ∂ F/ ∂ x1
Ejemplo: Considere el siguiente problema con tres variables de decisión (x, y, z),
donde la ecuación G(.) = c (es una constante) y determina un conjunto de
restricciones para (x, y, z), en el espacio, el cuál es
una superficie y lo
denotaremos por SG. El problema es determinar el valor más grande de la
función V (x1, y, z ) para puntos (x, y, z) sobre la superficie SG.
Maximizar
Sujeto
a
V ( x, y, z )
G ( x, y, z ) = c
(1)
Solución:
Paso 1: formar el lagrangiano.
L = V (x, y, z ) – λ [G (x, y, z ) – c]
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
(2)
95
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Paso 2: Por las condiciones de primer orden tomar las derivadas parciales.
(3)
Lx = Ly = Lz = 0
Paso 3: La solución a este problema es mostrado en la gráfico (4-7) por el punto
P* = ( x*, y*, z* ) sobre la superficie SG donde la función objetivo V (x1, y, z ) consigue
ser máximo. Considere también que el volumen V (.) pasa por P* y es tangente a la
superficie de restricción SG.
Gráfico (4-7)
x
V ∗ = V(x ∗ ,y ∗ ,z ∗ )
P∗
z
SG
y
Ejercicio 84: Considerar el siguiente ejemplo:
Maximizar 2x – 3y + z
Sujeto a
x2 + y2 + z2 = 9
Solución.
Paso 1: formamos el lagrangiano para este problema
L = 2x – 3y + z - λ (x2 + y2 + z2 - 9)
Paso 2: Por las condiciones necesarias de primer orden
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
96
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∂L
= 2 - 2λ x = 0
∂x
∂L
= -3 - 2 λ y = 0
∂y
∂L
= 1 - 2λ z = 0
∂z
∂L
= - x2 - y2 - z2 + 9
∂λ
(1)
(2)
(3)
(4)
Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones:
De la ecuación (1) y (2)
2 - 2 λ x = 0 → λ = 1/x
Igualando λ se obtiene:
-3 - 2 λ y = 0 → λ = -3/2y
y = - 3x/2
(en función de x) …(a)
De la ecuación (1) y (3)
2 - 2 λ x = 0 → λ = 1/x
Igualando λ se obtiene:
1 - 2 λ z = 0 → λ = 1/2z
z = x/2
(en función de x) …(b)
Luego reemplazamos (a) y (b) en la restricción
2
2
⎛ −3x ⎞ ⎛ x ⎞
x +⎜
⎟ +⎜ ⎟ =0
⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠
2
x = ±3 2 7
Resulta en dos soluciones:
x1 = 3 2 7 = 1.6
y1 = -9 / 14 = -2.41
z1 = 3 / 14 = -0.8
x2 = 3 2 7 = -1.6
y2 = 9 / 14 = 2.41
z2 = -3 / 14 = -0.8
Notamos sin embargo que:
V (x1, y1, z1)= 42/ 14 = 11.22
V (x2, y2, z2)= -42/ 14 = -11.22
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
97
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
Por lo tanto, el punto máximo es ( x1, y1, z1 ) y el punto mínimo es ( x2, y2, z2 ). El
problema y la solución son retratados en la siguiente gráfico (4-8).
Gráfico (4-8)
z
11
V* = 11.22 = 2x − 3y + z
3
x 2 + y 2 + z2 = 9
3
y
4
(x1,y1,z1 ) = (1.6, −2.4,0.8)
3
6
x
Ejercicio 85: Considere una economía de recurso basada en que cada obreros (L)
puede optar por cosechar árboles madereros (T) o pescar (F). Suponga que la
economía exporta tanta madera como peces y se
enfrentan a precios mundiales
constantes significados PT y PF respectivamente. La siguiente curva de transformación
son combinaciones técnicamente eficientes de madera, peces y trabajo
G( T, F, L ) = T2 + F2 / 4 – L = 0
Suponga que PT = $ 500 / TM, PF = $ 1000 / TM y L = 1700 es el número de las horas
disponibles asignados
entre cosechar árboles madereros o pescar. Resolver el
problema de optimización estático que trata de maximizar el valor de la cosecha sujeto
a la función de transformación.
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
98
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
Solución.
Paso1: Formamos el problema de maximización.
Maximizar
V = 500T + 1000F
Sujeto a
T2 + F2 / 4 = 1700
Paso 2: Formamos el lagrangiano.
L = 500T +1000F - λ ( T2 + F2 / 4 - 1700 )
Paso 3: Por las condiciones de primer orden
∂L
= 500 – 2 λ T = 0
∂T
∂L
= 1000 – 0.5 λ F = 0
∂F
∂L
= -T2 + F2 / 4 - 1700
∂λ
(1)
(2)
(3)
Paso 4: Resolvemos el sistema de ecuaciones
-De la ecuación (1)
500 – 2 λ T = 0 → λ = 250/T
(a)
1000 – 2 λ F = 0 → λ = 2000/F
(b)
-De la ecuación (2)
- Igualamos (a) y (b) y obtenemos F en función de T.
(c)
λ=
250 2000
=
→ F = 8T
T
F
Luego reemplazamos (c) en la restricción (3).
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
T +
2
( 8T )2
4
= 1700
99
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
Las soluciones son:
T = 10
λ = 25
F = 80
Por lo tanto, la economía debe asignar la fuerza de trabajo disponible para producir 10
toneladas métricas de madera y 80 toneladas métricas de peces. El valor marginal
(precio sombra) de una unidad adicional de trabajo es $25/horas.
Hessiano Orlado
Ahora, para determinar si los valores críticos corresponden a un máximo o mínimo, es
necesario utilizar el criterio del Hessiano Orlado. Este tipo de hessiano se aplica para
el caso de optimización de funciones con restricciones. En general, cuando la función
objetivo toma la forma de F = F ( x1, x2,…. Xn) sujeta a g( x1, x2,…. Xn) = k, el Hessiano
Orlado será de la forma siguiente:
0
0
g1
H = g2
...
gn
g1 g2
F11 F12
F21 F22
... ...
Fn1 Fn2
... gn
... F1n
... F2n
... ...
... Fnn
Condición
Segundo orden
F11 F12
F21 F22
0 g1 g2
g1 F11 F12
H3 ≡
g2 F21 F22
g3 F31 F32
Máximo
λ
g2
g3
F13
F23
F33
Mínimo
= F1 = F2 = .. = Fn = 0
n
H2 > 0 ; H3 < 0 ; H4 > 0 ;..; (−1) Hn > 0
F
Primer orden
g2
F
necesaria
H2 ≡ g1
g1
λ
= F1 = .. = Fn = 0
H 2 , H3 ,..., H n < 0
Ejercicio 86: Optimizar la función sujeto a una restricción.
Maximizar z = 4x2 + 3xy + 6y2
Sujeto a
x + y = 56
Solución.
Paso 1: Formar el lagrangiano, pero primero establecemos la restricción igual a cero,
sustrayendo las variables de la constante:
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
100
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
56 – x – y
Multiplicar esta diferencia por λ y sumar el producto de ambos a la función objetivo a
fin de formar la función Lagrangiana Z.
Z = 4x2 + 3xy + 6y2 + λ ( 56 – x – y )
Paso 2: Calcular las derivadas parciales de primer orden, igualarlas a cero y
resolverlas simultáneamente.
Zx = 8x + 3y - λ = 0
Zλ
Zy = 3x + 12y - λ = 0
= 56 – x – y
Paso 3: Resolviendo las derivadas parciales se obtiene
x = 36
λ = 348
y = 20
Luego substituyendo tales valores críticos en la función objetivo
Z = 4 (36)2 + 3 (36)(20) + 6(20)2 + (348)( 56 - 36 - 20 )
Z = 9744
Paso 4: Ahora es necesario corroborar si el punto critico obtenido es máximo o mínimo
local. Para ello, se formulará el Hessiano Orlado y luego se procederá a analizar los
test respectivos.
El Hessiano Orlado requiere derivadas de segundo orden:
Zxx = 8
Zyy = 12
Zxy = 3
Ordenando estos valores apropiadamente en el Hessiano Orlado:
0 1
1
H= 1 8 3
1 3 12
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
y calculando su determinante
101
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
H = H2 = 0(−1)2
Carlos Orihuela Romero, MSc
8 3
1 3
1 8
+ 1(−1)3
+ 1(−1)4
= −14
3 12
1 12
1 3
Así el punto (36, 20) es un mínimo relativo.
4.3.2 Funciones con desigualdades
Algunos problemas económicos requieren condiciones de desigualdades, por ejemplo
cuando se desea maximizar la utilidad sujeta a gastar no más que x soles o minimizar
costos sujeto a producir no menos que x unidades de producción. En estos casos se
utiliza la programación “cóncava” (llamada así porque tanto la función objetivo como la
restricción son funciones asumidas cóncavas) es una forma de programación no lineal
diseñada para optimizar funciones sujetas a restricciones de desigualdad.
Las funciones convexas no son excluidas ya que el negativo de una función convexa
es una función cóncava. Normalmente, el problema de optimización se establece en el
formato de problema de maximización, no obstante, la programación cóncava puede
además minimizar una función mediante la maximización del negativo de la función
convexa.
Dado un problema de maximización sujeto a una restricción de desigualdad con la
siguiente función objetivo cóncava diferenciable,
Maximizar f ( x1, x2 )
Sujeto a g ( x1, x2 )
siendo x1, x2 ≥ 0
Así, la función Lagrangiana correspondiente será:
F( x1, x2, λ ) = f( x1, x2) + λ g( x1, x2)
Las condiciones suficientes y necesarias de primer orden para la maximización,
llamadas condiciones de Kuhn-Tucker son:
∂F
= fi (x i ,x 2 ) + λgi (x1,x 2 ) ≤ 0
∂x i
∂F
= g(x1,x 2 ) ≥ 0
∂λ
xi ≥ 0
λ≥0
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
102
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
xi
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∂Fi
=0
∂x i
λ
∂F
=0
∂λ
Donde las condiciones en (c) son llamadas condiciones complementarias, significando
que tanto x como f '(x) no pueden ser -simultáneamente- cero. Puesto que una
función lineal es cóncava y convexa, aunque no estrictamente cóncava o estrictamente
convexa.
En las condiciones de Kuhn-Tucker la restricción es siempre expresada como más
grande o igual que cero. Esto significa que a diferencia de las restricciones de igualdad
que son establecidas igual a cero, el orden de la sustracción es importante en
programación cóncava.
Para el máximo en F, una solución interior (Figura a)
f′(x) = 0
y
x>0
Para el máximo en G, una solución de frontera (Figura b)
f′(x) = 0
y
x=0
Para el máximo en H o J, ambas soluciones de frontera (Figura c)
f′(x) < 0
y
x=0
Todas las posibilidades para un máximo en el primer cuadrante pueden ser resumidas
como:
f′(x) ≤ 0
x≥0
y
x f′(x) = 0
Los cuales son reconocibles como parte de las condiciones de Kuhn-Tucker. Notar
que tales condiciones automáticamente excluyen un punto como K en (a) el cual no es
un máximo, porque f′(K) > 0. Cabe mencionar que la expresión x f′(x) = 0 significa que
al menos una de las dos cantidades debe tomar el valor cero.
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
103
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
Gráfico 4-9
Condición (a)
Condición (b)
F
Condición (c)
G
H
f(x)
K
J
f(x)
f(x)
f(x)
x
x
x
El problema entonces se reduce a probar las 8 diferentes posibilidades:
λ>0
x>0
y>0
λ=0
x>0
y>0
λ>0
x=0
y>0
λ=0
x=0
y>0
λ>0
x>0
y=0
λ=0
x>0
y=0
λ>0
x>0
y=0
λ=0
x=0
y=0
Normalmente, las posibilidades encerradas en el recuadro son las más comunes. Por
ello, es sugerible que sean las primeras en ser probadas.
Ejercicio 87: Maximizar la función de beneficio sujeto a una restricción de producción.
Maximizar : π = 64x – 2x2 + 96y - 4y2 - 13
Sujeto a : x + y ≤ 36
Solución.
Paso 1: Formamos la función Lagrangiana
π = 64x – 2x2 + 96y - 4y2 - 13 + λ (36 – x – y)
Paso 2: Por las condiciones de Kuhn-Tucker
π x = 64 – 4x - λ ≤ 0
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
πy = 96 – 8y - λ ≤ 0
πλ = 36 – x – y ≥ 0
104
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
x≥0
y≥0
λ≥ 0
x ( 64 -4x - λ ) = 0
y ( 96 – 8y - λ ) = 0
λ ( 36 – x – y ) = 0
Paso 3: Se testean o revisan las condiciones de Kuhn-Tucker,
(a) Si λ , x, y > 0 entonces de las condiciones de Kuhn-Tucker llevan a:
64 -4x - λ = 0
96 – 8y - λ = 0
36 – x – y = 0
⎡ −4 0 −1⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ −64 ⎤
⎢ 0 −8 −1⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ −96 ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢⎣ −1 −1 0 ⎥⎦ ⎢⎣λ ⎥⎦ ⎢⎣ −36 ⎥⎦
En forma de matriz,
Usando la Regla de Cramer donde:
∣A∣ = 12
se obtiene que:
∣Ax∣ = 256
∣Ay∣ = 176
∣ A λ ∣ = -256
x= 21.33
y = 14.67
λ = -21.33
Lo cual no puede ser óptimo ya que λ < 0 y contradice las condiciones de KuhnTucker.
(b) Si λ = 0 y x, y > 0 entonces
64 – 4x = 0
x = 16
96 – 8y = 0
y = 12
Esto da la solución correcta: x = 16, y = 12 y λ = 0, lo cual es óptimo ya que no viola
ninguna condición de Kuhn-Tucker.
Ejercicio 88: Minimizar la función de costo, sujeto a una restricción de igualdad.
Maximizar : K = 5x2 – 80x + y2 – 32y
Sujeto a
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
: x + y ≥ 30
105
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
Solución.
Paso 1: Multiplicando la función objetivo por –1 y estableciendo el Lagrangiano,
C = -5x2 + 80x - y2 + 32y + λ (x + y – 30)
Paso 2: Donde las condiciones de Kuhn-Tucker son,
Cx = -10x + 80 + λ ≤ 0
Cy = -2y + 32 + λ ≤ 0
Cλ = x + y – 30 ≥ 0
x≥0
y≥0
λ≥ 0
x( -10x + 80 + λ ) = 0
y(-2y + 32 + λ ) = 0
λ ( x + y – 30) = 0
Paso 3: Se testean o revisan las condiciones de Kuhn-Tucker,
(a) Si λ = 0 x, y > 0 entonces de las condiciones de Kuhn-Tucker llevan a:
Si λ = 0 entonces de x ( -10x + 80 + λ ) = 0 se tiene que:
x =8, y = 16
Sin embargo, estos resultados violan Cλ = x + y – 30 ≥ 0 ya que: 8 + 6 – 30 ≤ 0.
(b) Si λ > 0, x, y > 0 todas las primeras derivadas parciales son estrictas igualdades:
⎡ −10 0 1⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ −80 ⎤
⎢ 0
−2 1⎥⎥ ⎢⎢ y ⎥⎥ = ⎢⎢ −32 ⎥⎥
⎢
⎢⎣ 1
1 0 ⎥⎦ ⎢⎣ λ ⎥⎦ ⎢⎣ 30 ⎥⎦
Donde:
∣A∣= 12
Y se obtiene que:
∣A1∣= 109
∣A2∣= 252
∣A3∣= 440
x=9
y = 21
λ = 36.67
Lo cual dan la solución óptima, ya que ninguna condición de Kuhn-Tucker es
violada.
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
106
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
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4.4 Ejercicios resueltos
Ejercicio 89: Maximizar la función de ingreso total
IT = 32q – q2
Solución.
Paso 1: CPO: (condiciones de primer orden)
IT′ = 32 – 2q = 0
q = 16 (valor critico)
Paso 2: Evaluar la segunda derivada
IT′′ = -2 < 0
(cóncavo, máximo relativo)
Así, el ingreso total máximo será: IT(16) = 32(16) – (16)2 = 256
Ejercicio 90: Maximizar la función de beneficio:
π = - q3 / 3 - 5q2 + 200q - 326
Solución.
Paso 1: CPO (condiciones de primer orden)
π ′ = - q2 - 10q + 2000 = 0
(q + 50) (q – 40) = 0
De donde los valores críticos son: q = -50 y q = 40
Paso 2: Evaluar la segunda derivada
π ′′ = - 2q - 10
π ′′(40) = - 2 ( 40 ) – 10 = -90 < 0
(cóncavo , mínimo relativo)
π ′′(50) = - 2 ( 50 ) – 10 = 90 > 0
(convexo , máximo relativo)
Puesto que q = -50 es negativo no tiene significado económico, el valor crítico
negativo es descartado. Entonces el beneficio máximo será cuando q = 40:
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
107
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
π (40) = -
Carlos Orihuela Romero, MSc
1
(40)3 – 5 (40)2 + 2000 (40) – 326 = 50340.37
3
Ejercicio 91: Encontrar el nivel de producción de cada bien a fin de maximizar el
beneficio, si una firma produce dos bienes x e y; si la firma tiene la siguiente función
de beneficio:
π = 64x – 2x2 + 4xy – 4y2 +32y – 14
Solución.
Paso 1: CPO (condiciones de primer orden)
π x = 64 – 4x + 4y = 0
πy = 4x – 8y + 32 = 0
Paso 2: Resolver el sistema
y = 24
x=40
Paso 3: Calcular las segundas derivadas y asegurarse que ambas son negativas,
como se requiere para un máximo relativo.
πxx = -4
πyy = -8
(si cumple!)
Paso 4: Tomar las derivadas cruzadas para asegurarse que π xx πyy > (πxy )2 .
Sabiendo que π xy = πyx = 4 ,
π xx πyy > (πxy )2
(-4)(-8) > (4)2
36 >16
Así, los beneficios son maximizados cuando x = 40 e y = 24 . En ese punto el
beneficio es π = 1650 .
Ejercicio 92: Sea la función de demanda:
P = 12.50e-0.005Q
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
108
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
a) Encuentre el precio y la cantidad que maximiza el ingreso total.
b) Compruebe que realmente dicha cantidad y el precio maximizan P.
Solución.
a) Primero formamos el ingreso total:
I = PQ
I = (12.50e-0.005Q )Q
Luego por condición de primer orden
Ya que:
dI
= (12.50e-0.005Q)(1) + Q (-0.005)( 12.50e-0.005Q)
dQ
dI
= (12.50e-0.005Q)(1-0.005Q)
dQ
dI
= 0 ⇒ Q = 200
P = 12.50e-0.005(200) =4.60
dQ
b) Comprobando (segunda derivada)
I′′ = (12.50e-0.005Q)(-0.05) + ( 1 - 0.005Q )( -0.005 )(12.50e-0.005Q)
I′′ = (-0.005) (12.50e-1)(1) = - 0.0625(0.36788)<0
Como I′′ < 0 , entonces la función es maximizada
Ejercicio 93: Dado la siguiente función:
2 – 12x - 2xy + y2 – 4y)
z = e (2x
a) Encontrar los valores críticos
b) Determinar si tales valores son máximos y/o mínimos.
Solución.
a)
zx = ( 4x – 12 – 2y ) e (2x
zy = ( -2x + 2y – 4 ) e (2x
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
2 – 12x - 2xy + y2 – 4y)
2 – 12x - 2xy + y2 – 4y)
109
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
Puesto que debe cumplirse: zx = zy = 0, entonces, x= 8 y y = 10
b)
zxx = ( 4x – 12 – 2y ) (4x – 12 – 2y ) e (2x
zyy = ( -2x + 2y – 4 ) ( -2x + 2y – 4 ) e (2x
2 – 12x - 2xy + y2 – 4y)
2 – 12x - 2xy + y2 – 4y)
zxy = zyx = ( 4x – 12 – 2y ) ( -2x + 2y – 4 )e (2x
+ e (2x
+ e (2x
2 – 12x - 2xy + y2 – 4y)
2 – 12x - 2xy + y2 – 4y)
2 – 12x - 2xy + y2 – 4y)
+ e (2x
(4)
(2)
2 – 12x - 2xy + y2 – 4y)
(-2)
Evaluando en x=8, y =10
zxx = 0 + 4e –68 > 0
zyy = 0 + 2e –68 > 0
zxy = 0 - 2e –68 < 0
Se cumple que:
zxx , zyy > 0
zxx , zyy > ( zxy )2
Es decir, 8e-76 > 4e-136. Por lo tanto el punto (8, 10) es mínimo.
Ejercicio 94: Se tiene las siguientes funciones de demanda de una empresa y también
su función de costos:
Q1 = 520 – 10P1
Q2 = 820 – 20P2
C = 0.1 Q12 + 0.1 Q1 Q2 + 0.2 Q22 + 325
Obtenga la combinación óptima de Q1, Q2 a fin de maximizar beneficios.
Solución.
Paso 1: Despejamos las funciones de demanda en función de las cantidades.
P1 = 520 - 0.1Q1
P2 = 140 - 0.01Q2
Paso 2: Formamos la función de beneficios
π = P1Q1 + P2 Q 2 − C
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
110
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
π = ( 520 – 0.1Q1) Q1 + (410 – 0.05 Q2) Q2 - ( 0.1Q12 + 0.1 Q1 Q2 + 0.2 Q22 + 325 )
π = 520Q1 – 0.2 Q12 + 410 Q2 – 0.25 Q22 - 0.1Q1 Q2 - 325
Paso 3: Para obtener el máximo π es necesario que: π1 = π2 = 0
π1 = 520 - 0.4Q1 - 0.1Q2 = 0
π2 = 410 - 0.5Q2 - 0.1Q1 = 0
Q1 = 1152.63
De ambas ecuaciones:
Q2 = 589.47
Reemplazando ambos resultados en las funciones de precios respectivas:
P1 = 520 - 0.1( 1152.63) = 404.74
P2 = 410 - 0.05( 589.47) = 380.53
Sea la función de beneficio:
π = 520Q1 – 0.2 Q12 + 410 Q2 – 0.25 Q22 - 0.1Q1 Q2 - 325
π (1152.63, 589.47) = 420201.32
Ejercicio 95: Dado el siguiente problema de optimización
Maximizar
c = 3x +4y
Sujeto a 2xy = 337.5
a) Encuentre el(los) valor(es) crítico(s) de la siguiente función de costo.
b) Demuestre matemáticamente si la respuesta de a) es un máximo o mínimo.
Solución.
a) Para encontrar los valores críticos de la fusión de costos, se procederá a resolver
en tres pasos:
Paso 1: Formar el Lagrangiano
C = 3x +4y + λ ( 337.5 – 2xy)
Paso 2: Por condición de primer orden
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
111
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
Cx = 3 - 2 λ y = 0
(1)
Cy = 4 - 2 λ x = 0
(2)
Cλ = 337.5 – 2xy
(3)
Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones, primero despejamos λ de (1) y (2) y lo
igualamos para obtener y en función de x
1.5
...(1)
y
2
λ = ...(2)
x
1.5 2
= ⇒ y = 0.75x
y
x
λ=
3 - 2λy = 0
4 - 2λx = 0
(1) = (2)
Sustituyendo esto en la restricción: x=15,y=11.25 y λ = 0.13
b) El hessiano Orlado será:
⎡C xx
⎢
H = ⎢C yx
⎢ gx
⎣
Definiendo:
Cxx = 0
C xy
C yy
gy
gx ⎤
⎥
gy ⎥
0 ⎥⎦
Cyy = 0
Cxy = Cyx = -2 λ
De la restricción g (x, y) = 2xy, entonces gx= 2y y gy= 2x
−2λ 2y ⎤
⎡ 0
⎢
H = ⎢ −2λ
0
2x ⎥⎥
⎢⎣ 2y
2x
0 ⎥⎦
De donde H = H2 = −16xyλ . Dado que las 3 variables son positivas, entonces
H2 < 0 : C es minimizado!.
Ejercicio 96: Si se gastan “x” miles de dólares en mano de obra, “y” miles de dólares
en equipo, la producción de cierta fábrica será Q ( x, y ) = 60x1/3y2/3 unidades. Si hay
US$ 120 000 disponibles,
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
112
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
a) ¿Cómo debe distribuirse el dinero entre mano de obra y equipo para generar la
mayor producción posible?.
b) Demuestre si el resultado maximiza o minimiza la función.
Solución.
a) Se procederá a resolver en 4 pasos:
Paso 1: Formar el problema de optimización con restricción de igualdad.
Maximizar
60x1/3y2/3
Sujeto a x+y = 120000
Paso 2: La nueva función Lagrangiana
L = 60x1/3y2/3 + λ ( 120000 – x – y )
Paso 3: Por condiciones de primer orden.
Lx = 20x-2/3y1/3 - λ = 0
(1)
Ly = 40x1/3y-2/3 - λ = 0
(2)
Lλ = 120 – x – y = 0
(3)
Paso 4: Resolver el sistema.
De (1) despejamos λ
λ = 20x-2/3y1/3
(a)
De (2) despejamos λ
λ = 40x1/3y-2/3
(b)
Igualando (a) y (b) se obtiene y en función de x
λ = 20x-2/3y1/3 = 40x1/3y-2/3
y = 2x ⇒ x = 40000, y = 80000
b) Formamos nuestro Hessiano Orlado, primero hallamos las segundas derivadas
Lxx = -40x-5/3y1/3
Lyy = -40x1/3y-5/3
Lxy = Lyx = 20x-2/3y-2/3
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
113
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
Luego reemplazamos en nuestro hessiano orlado y hallamos su determinante.
0
1
1
40 −5 3 1 3
x
y
3
20 −2 3 −2 3
x
y
3
20 −2 3 −2 3
x
y
3
40 1 3 −5 3
−
x y
3
H= 1 −
1
H = H2 =
40 −2 3 −2 3 40 −5 3 1 3
⎡x
x
y
y + x1 3 y −5 3 ⎤⎦
+
⎣
3
3
Fácilmente puede inferirse que toda la suma será positiva, dado que x, y son positivos.
Entonces H2 > 0 , por tanto estos valores maximizan la función.
Ejercicio 97: Encuentre los valores óptimos del siguiente problema de optimización
Minimizar
C = 5x2 – 80x + y2 - 32y
Sujeto a
x + y ≥ 26
Solución. Cambiando de signos en la restricción para que el problema sea de
maximización:
Maximizar
C = -5x2 + 80x - y2 + 32y + λ ( x + y – 26 )
Cx = -10x + 80 + λ ≤ 0
Cy = -2y + 32 + λ ≤ 0
Cλ = x + y -26 ≥ 0
x≥0
y≥0
x (-10x + 80 + λ ) = 0
y (-2y + 32 + λ ) = 0
λ≥0
λ ( x +y – 26 ) = 0
Testeando λ > 0 , x > 0 , y y > 0:
-10x + 80 + λ = 0
-2y + 32 + λ = 0
Expresado en forma matricial:
⎡ −10 0 1⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ −80 ⎤
⎢
−2 1⎥⎥ ⎢⎢ y ⎥⎥ = ⎢⎢ −32 ⎥⎥
⎢ 0
⎢⎣ 1
1 0 ⎥⎦ ⎢⎣λ ⎥⎦ ⎢⎣ 26 ⎥⎦
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
114
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
Sea el determinante principal A y aplicando Cramer:
A = 12
De donde:
A1 = 100
x=
A2 = 212
A1
= 8.3
A
y=
A3 = 40
A2
= 17.6
A
λ=
A3
= 3.3
A
Estos resultados satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker, por tanto son los valores
óptimos.
Ejercicio 98: Determine los valores óptimos para la maximización del beneficio.
Maximizar
π = 64x – 2x2 + 96y -4y2 -13
Sujeto a
x + y ≤ 27
Solución.
La función será B = = 64x – 2x2 + 96y -4y2 -13 + λ ( 27 – x – y )
Bx = 64 – 4x - λ ≤ 0
By = 96 – 8y - λ ≤ 0
Bλ = 27 – x – y ≥ 0
x≥0
y≥0
x(64 – 4x - λ ) = 0
y (96 – 8y - λ ) = 0
λ≥0
λ (27 – x – y) = 0
Probando con: λ, x,y > 0 (implica que debe solucionarse las siguientes ecuaciones):
64 – 4x - λ = 0
96 – 8y - λ = 0
27 – x – y = 0
Usando Cramer:
⎡ −4 0 −1⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ −64 ⎤
⎢ 0 −8 −1⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ −96 ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢⎣ −1 −1 0 ⎥⎦ ⎢⎣λ ⎥⎦ ⎢⎣ −27 ⎥⎦
Sea el determinante principal A y aplicando Cramer:
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
115
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
A = 12
De donde:
Carlos Orihuela Romero, MSc
A1 = 184
x=
A1 184
=
= 15.3
A
12
A2 = 140
y=
A 2 140
=
= 11.6
A
12
A3 = 32
λ=
A 3 32
=
= 2.6
A 12
Lo cual es la solución optima porque cumple las condiciones de Kuhn-Tucker.
Ejercicio 99: El departamento de investigación de mercado determino que hay una
relación entre el precio y la cantidad: P = 12 – 2lnx ( 0 < x < 90 ) para un producto
dado. Si cada unidad del producto cuesta S/. 3, determine la cantidad de tal producto
que optimiza el beneficio de tal dpto. Compruebe si dicha cantidad maximiza o
minimiza el beneficio.
Solución. Sea π nuestra función de beneficio:
π = IT - CT
π = ( 12 -2 lnx)x - 3x
π = 9x – 2xlnx
dπ
⎛ 1⎞
= 9 − 2x ⎜ ⎟ − 2ln x
dx
⎝x⎠
dπ
= 7 – 2lnx
dx
Por condiciones de
primer orden:
Resolviendo:
dπ
=0
dx
7 – 2lnx = 0
x = e 3.5
Tomando la segunda derivada de la función de beneficio.
π ′′(x) = -2/x ⇒ π ′′(e3.5)
(es máximo)
Ejercicio 100: Compruebe formalmente y determine la cantidad que maximiza el
beneficio. Si nos dan información sobre la forma funcional del ingreso total y costo
total.
IT = 15Q1 + 18Q2
CT = 2Q12 + 2Q1Q2 + 3Q22
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
116
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
Solución.
Sea π nuestra función de beneficio:
π = 15Q1 + 18Q2 - 2Q12 - 2Q1Q2 - 3Q22
Por las condiciones de primer orden.
∂π
= 15 - 4Q1 - 2Q2 = 0
∂Q1
∂π
= 18 – 2Q1 - 6Q2 = 0
∂Q2
De ambas expresiones se tiene que: Q1 = 2.7 y Q2 = 2.1
Dado que π ′′(Q1) = -4 , π ′′(Q2) = -6 y πQ Q = -2 , se tiene que el punto que maximiza
1
2
el beneficio.
Ejercicio 101: Sea:
Función de Ingreso:
aQ1 + bQ2
Función de Costo:
cQ12 + dQ1Q2 +eQ22
Determine:
a) Función de beneficios
b) La cantidad que maximiza el beneficio
c) La condición para que la función de beneficio tenga un máximo
d) La condición para que la función de beneficio tenga un mínimo
e) ¿Es posible establecer una(s) condición(es) para que la función de beneficio tenga
un punto de silla?. De ser cierto, ¿cuál(es) seria(n)?
f) ¿Es posible establecer una(s) condición(es) para que la función de beneficio tenga
un punto de inflexión?. De ser cierto, ¿cuál(es) seria(n)?
Solución.
a) La función de beneficios se construirá a partir de la diferencia de la función de
ingresos menos la función de costo:
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
117
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
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π = aQ1 + bQ2 - cQ12 - dQ1Q2 - eQ22
b) Para hallar la cantidad que maximiza el beneficio se procederá a diferenciar la
función de beneficios en función de cada una de las variables, en este caso será en
función de Q1 y Q2:
πQ = a – 2cQ1 - dQ2
πQ = b – dQ1 – 2eQ2
1
2
La condición de primer orden será: πQ = πQ = 0. Entonces;
1
Q1 =
2
2ae − bd
4ec − d2
Q2 =
2bc − ad
4ec − d2
c) Se sabe que:
πQ Q = -2c
1 1
πQ Q = -2e
2
2
πQ Q = πQ Q = -d
1
2
2
1
Para que tenga un máximo debe cumplirse que:
πQ1Q1 , πQ2Q2 < 0
πQ1Q1 ⋅ πQ2Q2 > (πQ1Q2 )2
Entonces: c, e > 0 y 4ce > d2
d) Debe cumplirse que:
πQ1Q1 , πQ2Q2 > 0
πQ1Q1 ⋅ πQ2Q2 > (πQ1Q2 )2
Entonces: c, e < 0 y 4ce > d2
e) Debe cumplirse que:
πQ1Q1 ⋅ πQ2Q2 < (πQ1Q2 )2
(πQ1Q1 > 0;πQ2Q2 < 0) ∧ (πQ1Q1 < 0;πQ2Q2 > 0)
(que ambas derivadas difieran de signo). Entonces: bastara que c y e difieran de
signo.
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
118
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(πQ1Q1 , πQ2Q2 > 0) ∧ (πQ1Q1 , πQ2Q2 < 0)
πQ1Q1 ⋅ πQ2Q2 < (πQ1Q2 )2
f)
(que ambas derivadas tengan el mismo signo). Entonces: c y e deben tener el mismo
signo y además 4ce < d2 .
Ejercicio 102: Si la función de utilidad de un consumidor es U(x, y) = xy, siendo x e y
las cantidades consumidas de los bienes A y B, cuyos precios unitarios son 2 y 3
unidades monetarias, respectivamente, maximizar la utilidad de dicho consumidor
sabiendo que no puede destinar más de 90 unidades monetarias a la adquisición de
dichos bienes.
Solución.
Formar nuestra restricción a partir de los datos del enunciado:
Maximizar
U ( x, y )
Sujeto a
2x – 3y ≤ 90
Formamos el lagrangiano
U = xy + λ ( 90 - 2x - 3y)
Por condiciones de Kuhn-Tucker.
(1a)
Ux= y - 2 λ ≤ 0
(2a)
Uy = x - 2 λ ≤ 0
(3a)
U λ = 90 - 2x - 3y ≥ 0
(1b)
x≥0
(2b)
y≥0
(3b)
λ≥ 0
(1c)
x (y - 2x λ ) = 0
(2c)
x (y - 2x λ ) = 0
(3c)
λ (90 - 2x - 3y) = 0
1. Probando si λ = 0 y x > 0, y > 0
Usando (1.a) y (2.a): x, y ≤ 0, lo cual no concuerda con (1.b) y (2.b)
2. Probando λ > 0 y x > 0, y > 0
Aplicando esto en (1c), (2c) y (3c):
y - 2x λ = 0
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
y - 2x λ = 0
( 90 - 2x - 3y ) = 0
119
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
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Resolviendo este sistema 3x3:
x = 22.5, y = 15, λ = 7.5 Lo cual satisface las condiciones de Kuhn-Tucker.
Ejercicio 103: Encontrar los valores de x, y que optimizan el siguiente problema.
Maximizar
Sujeto a
6x2 - 60x + y2 - 24y
x + y ≥ 16
Solución.
Por el tipo de restricción, es necesario transformar la función original en función
cóncava multiplicando por -1 tanto dicha función como la restricción. Haciendo ello y
formando el lagrangiano.
C = -6x2 + 60x - y2 + 24y + λ ( x + y - 16 )
Por condiciones de Kuhn-Tucker.
(1a)
Cx= -12x + 60 + λ ≤ 0
(2a)
Cy= -2y + 24 + λ ≤ 0
(3a)
(1b)
x≥0
(2b)
y≥0
(3b)
(1c)
x (-12x + 60 + λ ) = 0
(2c)
x (-2y + 24 + λ ) = 0
(3c)
Cλ = x + y - 16 ≥ 0
λ≥
0
λ (x + y - 16) = 0
1. Probando λ ,x , y > 0
Si esta condición se cumple entonces de (1.c), (2c) y (3c):
-12x + 60 + λ = 0
-2y + 24 + λ = 0
x + y - 16 = 0
De este sistema se obtiene que:
x=−
34
114
108
∧y =
∧λ =
5
5
5
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
Lo cual viola el supuesto (1b).
120
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2. Probando λ = 0 ٨ x , y > 0
Usando (1c) y (2c):
-12x + 60 = 0
x=5
-2y + 24 = 0
y = 12
Lo cual satisface todas las condiciones. Por lo tanto este es el punto (5, 12) que
maximiza el problema de optimización.
Ejercicio 104: Una firma enfrenta una función F ( x, y ) = 3x2 +5xy +6y2 y tiene una
función de restricción g ( x, y ) = 5x + 7y = 732. Determine FORMALMENTE que tipo de
función es F (¿beneficio o costo?)
Solución.
Paso 1: La función lagrangiana será:
E = 3x2 +5xy +6y2 λ ( 732 - 5x - 7y)
Paso 2: Las condiciones de optimización:
Ex = 6x + 5y – 5 λ = 0
Ey = 5x + 12y - 7 λ = 0
Eλ = 732 - 5x - 7y = 0
Resolviendo el sistema: x = 75 ٨ y = 51 ٨ λ = 141
Paso 3: El hessiano orlado será:
⎡E xx
⎢
H = ⎢Eyx
⎢ gx
⎣
E xy
E yy
gy
gx ⎤
⎥
gy ⎥
0 ⎥⎦
Reemplazando los datos:
6
5
5
H = 5 12 7
5 7 0
el H 2 = 5 (35 -60) - 7 (42 - 25) = -244. Entonces E es minimizado. Se trata de una
función de costo.
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
121
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
Ejercicio 105: Resuelva el siguiente problema de optimización
y demuestre
formalmente que la solución encontrada corresponde a un máximo.
Maximizar
U = xy + x
Sujeto a
6x + 2y = 110
Solución.
Ux = y + 1 – 6 λ = 0
Uy = x - 2 λ = 0
U λ = 110 - 6x -2y = 0
Resolviendo el sistema:
1 −6 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ −1 ⎤
⎡0
⎢ 1 0 −2 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ 0 ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢⎣ −6 −2 0 ⎥⎦ ⎢⎣λ ⎥⎦ ⎢⎣ −110 ⎥⎦
0
1
−6
H= 1
0
−2
−6 −2
0
Del cual se tiene que:
x =9
1
2
∧ y = 27 ∧ λ = 4
3
3
Donde H2 = 24 , entonces como
H2 > 0 , U es maximizado.
Ejercicio 106: Optimice la siguiente función:
y = 3x12 – 5x1 - x1x2 + 6x22 - 4x2 - 2x2x3 + 4x32 + 2x3 - 3x1x3
(1)
a) Determine la coordenada del punto crítico
b) Calcule el valor de la función en dicho punto
c) ¿Correspondería a una típica función de costos o ingresos?
d) Si la función fuera, y = 3x12 - 5x1 - x1x2 + ax22 - 4x2 - 2x2x3 + 4x32 + 2x3 - 3x1x3, ¿Cuál
debería ser el valor de “a” para que no exista solución única (un único punto critico)?
Solución.
a) Por condición de primer orden, obtenemos las derivadas parciales de la función (1).
y1 = 6x1 - 5 - x2 - 3x3
Por condición de 1er Orden:
y2 = -x1 + 12x2 - 4 - 2x3
y3 = 2x2 + 8x3 - 2 - 3x1
y1 = y2 = y3 = 0
(se forman 3 ecuaciones lineales)
Lo cual se puede resolver por matrices y determinantes:
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
122
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
⎡ 6 −1 −3 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 5 ⎤
⎢ −1 12 −2 ⎥ ⎢ x ⎥ = ⎢ 4 ⎥
⎢
⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ −3 −2 8 ⎥⎦ ⎢⎣ x 3 ⎥⎦ ⎢⎣ −2 ⎥⎦
A = 424
A1 = 440
A2 = 196
A3 = 108
De donde:
x1 = 1.04
x2 = 0.46
x3 = 0.26
b) Reemplazar los valores obtenidos de a) en la función (1) para obtener el valor de y.
y = 3(1.04)2 - 5(1.04) - (1.04)(0.46) + 6(0.46)2 - 4(0.46) - 2(0.46)(0.26) + 4(0.26)2 + 2(0.26) - 3(1.04)(0.26)
y = - 3.26
c) Será necesario el hessiano simétrico para averiguar si el punto obtenido
corresponde a un máximo o mínimo, de lo cual se concluye que la función podría ser
una típica función de beneficios o costos, respectivamente. Para ello, se obtienen las
segundas derivadas:
y11 = 6
y12 = -1
y13 = -3
y21 = -1
y22 = 12
y23 = -2
y31 = -3
y32 = -2
y33 = 8
6
−1 −3
H = −1 12 −2
−3 −2 8
6
−1 −3
d) Para que no exista un solo punto crítico entonces el determinante −1 2a −2 debe
−3 −2
8
ser cero. Entonces, det ( A ) = 2 (39a - 22) = 0 ⇒ a = 22 / 39
Ejercicio 107: Sea el ingreso total, 15q1 + 18q2 el cual esta sujeto a un costo:
2q12 + 2 q1q2 + 3q22
a) Determine el nivel de producción que maximiza/minimiza el beneficio
b) Demuestre que ese nivel maximiza o minimiza el beneficio.
c) Si el costo es 2q12 + 2 q1q2 + aq22, ¿que requisito debe cumplir “a” para que exista
un beneficio máximo?
d) Sea la función de costo, bq12 + 2 q1q2 + aq22, que requisito debe cumplir a, b, para
que esta función sea una función de beneficio?
Solución.
a) La función de beneficio será:
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
123
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Carlos Orihuela Romero, MSc
B = Ingreso – Costo = 15q1+18q2 - 2q12 - 2q1 q2 - 3q22
Bq1 = 15 - 4q1 - 2q2
Bq1q1 = -4
Bq2 = 18 - 2q1 - 6q2
Bq2q2 = -6
Bq1q2 = Bq2q1 = -2
El punto crítico saldrá de la condición de primer orden:
Bq1 = Bq2 = 0
de donde
q1= 2.7 y q2= 2.1.
b) Debe probarse las condiciones para un máximo o minino en el hessiano simétrico:
⎡ −4 −2 ⎤
H= ⎢
⎥
⎣ −2 −6 ⎦
Se cumple que:
Bq1q1 < 0
Bq1Bq2 - (Bq1q2)2 > 0
Bq2q2< 0
Entonces el punto es un máximo.
c) Sea la nueva función de beneficio: B = 15 q1 + 18 q2 – 2q12 - 2q1q2 – aq22
Bq1 = 15 – 4q1 - 2q2
Bq1q1 = -4
Bq2 = 18 - 2q1 - 6q2
Bq2q2 = -2a
Bq1q2 = Bq2q1 = -2
Es necesario hacer que Bq1 = Bq2 = 0 para obtener el punto crítico. Usando el criterio
del determinante, se llega a que: a ≠ 1/2. Aplicando el criterio de hessiano simétrico:
⎡ −4 −2 ⎤
H= ⎢
⎥
⎣ −2 −2a ⎦
Para que el punto sea un máximo:
Bq1q1 < 0
Bq1Bq2 - (Bq1q2)2 > 0 ⇒ 8a > 4 → a > 1/2
Bq2q2< 0
De ambas condiciones se concluye que: a ∈ ] ½,∞[
d) Solo se pide analizar esta función y convertirla en una función de beneficios. No
construir una función de beneficios a partir de la función de ingreso. Análogamente,
usando el criterio de determinante (condición para obtener un punto crítico) se llega a
que ab ≠ 1. Usando el hessiano simétrico: b<0, a<0 y ab>1.
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
124