Energía mecánica E - Ludifisica - Universidad Nacional de Colombia

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA
MÓDULO # 3: OSCILACIONES MECÁNICAS –ENERGÍADiego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
1
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Temas
Introducción
Trabajo W y energía potencial U
Energía cinética K
Energías Cinética y Potencial del Oscilador expresadas en función del tiempo
Energía mecánica E
Introducción
En los dos módulos anteriores se estudió la cinemática y la dinámica del MAS. En este módulo se
completará el estudio de la mecánica del MAS tratando los conceptos de trabajo y energía. Se observará
que mientras la partícula oscila hay permanentemente una conversión de energía cinética en potencial y
viceversa.
Trabajo W y energía potencial U
Cuando una partícula oscila con MAS, es porque la fuerza neta que actúa sobre ella tiene la forma,
F = - ky
[1]
siendo y la elongación. Una fuerza de este tipo es elástica HOOKEANA.
Con base en el modelo del sistema masa-resorte, se puede hacer un análisis claro que permite encontrar la
relación para la energía potencial elástica, Figura 1. Cuando el resorte posee su longitud original, Figura 1
A, su deformación es nula en cuyo caso el sistema masa resorte no tendrá energía potencial elástica (no hay
energía almacenada). Luego un agente externo lo ha elongado en una cantidad igual a y1 , Figura 1 B, para lo
cual realizó un trabajo sobre el sistema (sistema masa-resorte) cediéndole energía que queda almacenada
en forma de energía potencial elástica. Por último el agente externo realiza aún más trabajo para elongar el
sistema hasta y2 , Figura 1 C, por lo que el sistema va aumentando su energía potencial.
2
Figura 1
En la Figura 2 se ilustra el diagrama de fuerzas de la masa (fuerzas que actúan sobre la masa). En este
diagrama, N es la fuerza normal que ejerce el piso, P es la fuerza de gravedad ejercida por el planeta
Tierra (peso), Fext es la fuerza ejercida por el agente externo sobre la masa, y Fres es la fuerza ejercida
por el resorte sobre la masa: se ha despreciado la fuerza de rozamiento.
Figura 2
Si la deformación se obtiene a velocidad constante, aplicando la primera ley de Newton, se concluye que en
todo instante Fext y Fres son iguales en magnitud. Es decir,
Fres = - ky
1
Fext = ky
 2
El trabajo realizado por el agente externo,Wext , para elongar el resorte desde
y1 hasta y2 es,
y2
Wext =
F
ext
y1

y2
dr =

kyjˆ dr =
y1
y2
 kydy =
y1
1 2 1 2
ky 2 - ky1
2
2
En la Figura 3 se ilustra la interpretación geométrica de este cálculo.
3
Figura 3
Ahora, el trabajo realizado por la fuerza elástica Fres es el negativo de Wext :
Wres =
1 2 1 2
ky1 - ky 2
2
2
La ecuación anterior muestra que el trabajo realizado por la fuerza elástica Fres se puede expresar en
términos de los valores de una magnitud escalar de la forma
1 2
ky evaluada al inicio ( y1 ) y al final (en y2 )
2
de la elongación. Esta cantidad es la denominada Energía Potencial Elástica U y así se calculará la energía
potencial del oscilador armónico (partícula en M.A.S.):
U=
1 2
ky
2
[2]
donde y es la elongación del oscilador. Según el conocido teorema de la energía potencial, se puede
concluir que la fuerza responsable de un M.A.S. es conservativa:
Wres = - ΔU
Energía cinética K
Si
y es la elongación del oscilador, Vy =
1
K = mVy2
2
dy
es la velocidad de éste y por lo tanto su energía cinética es,
dt
4
[3]
Energías Cinética y Potencial del Oscilador expresadas en función del tiempo
La elongación y la velocidad del MAS son,
y = Asen  ωt + φo 
(1)
Vy = ωAcos  ωt + φo 
(2)
Reemplazando (1) en [2] y (2) en [3] se obtiene,
U=
1
kA 2sen 2  ωt + φ o 
2
K=
1
mω2 A 2 cos 2  ωt + φ o 
2
K=
1
kA 2 cos 2  ωt + φo 
2
[4]
[5]
Energía mecánica E
Combinando las ecuaciones [4] y [5] se obtiene para la energía mecánica de un MAS,
E=U+K
E=
1
kA 2
2
[6]
E=
1
mω2 A 2 = 2mπ 2 f 2 A 2
2
[6]
La energía del M.A.S. es proporcional al cuadrado de la amplitud. Adicionalmente, según [6’] también
es proporcional al cuadrado de la frecuencia.
La ecuación [6] también se puede escribir,
1
1
1
mVy2 + ky 2 = kA 2 [7]
2
2
2
siendo k la constante de fuerza del oscilador armónico.
Simulación:
5
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a Energía en el MAS: Energía vs tiempo en el
MAS. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 4. Se despliega la
simulación de la Figura 5. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los
resultados.
Figura 4
Figura 5
Nota:
Observar que la energía cinética y la energía potencial oscilan con el DOBLE DE FRECUENCIA que la
elongación.
Simulación:
6
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a Energía en el MAS: Energía vs posición en el
MAS. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 6. Se despliega la
simulación de la Figura 7. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los
resultados.
Figura 6
Figura 7
Tarea:
En la simulación de la Figura 7 se observa la gráfica U (Energía potencial) vs x (Elongación). Esbozar la
gráfica de K (Energía cinética) vs x (Elongación).
Ejemplo 1
Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema masa-resorte a través de la aplicación
del principio de conservación de la energía mecánica.
Solución:
La energía mecánica del sistema masa-resorte es según la ecuación [7],
E=
1
1
mVy2 + ky 2
2
2
1
1
1
kA 2 = mVy2 + ky 2
2
2
2
Derivando respecto al tiempo esta ecuación se obtiene,
2
1 d  dy   1 d 2
0 = m    + k  y 
2 dt  dt  
2 dt
0=
1   dy  d 2 y 
1   dy  
m 2   2  + k 2y   
2   dt  dt 
2   dt  
d2 y
k
+
y=0
2
dt
m
que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador armónico con frecuencia angular,
ω=
k
m
Otra forma de realizar el análisis:
El análisis se puede hacer haciendo un balance sólo de energías como se ilustra en la Figura 8 y teniendo en
cuenta que las fuerzas que actúan son el peso y la fuerza elástica que son ambas conservativas por lo que
se conserva la energía mecánica.
E1 = E2
7
U1 + K1 = U2 + K2
mg  c - d  +
1 2 1
1
1
2
kd + mω2 A 2 = mg  c - d - y  + k  d + y  + mVy2
2
2
2
2
1
1
1
kA 2 = - mgy + kyd + ky 2 + mVy2
2
2
2
8
Figura 8
Pero en equilibrio, es decir en A,
kd = mg
y por lo tanto,
1
1
1
kA 2 = mVy2 + ky 2
2
2
2
Derivando respecto al tiempo esta ecuación se obtiene,
2
1 d  dy   1 d 2
0 = m    + k  y 
2 dt  dt  
2 dt
0=
1   dy  d 2 y 
1   dy  
m 2   2  + k 2y   
2   dt  dt 
2   dt  
d2 y
k
+
y=0
2
dt
m
que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador armónico con frecuencia angular,
ω=
k
m
9
Ejemplo 2
Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema péndulo simple a través de la
aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.
Solución:
Figura 9
La energía mecánica en cualquier instante es,
E=U+K
Observando la Figura 9 se concluye que,
E = mg  L - Lcosθ  +
1
mV 2
2
E = mg  L - Lcosθ  +
1  dθ 
m L
2  dt 
2
Se está despreciando la fuerza de rozamiento y adicionalmente la fuerza de tensión (o mejor su reacción)
no realiza trabajo y el peso es una fuerza conservativa, por lo tanto la energía mecánica se conserva y en
consecuencia,
E = constante
dE
=0
dt
0 = mgLsenθ
10
dθ
1
dθ
d 2θ
+ m  2× L  L  2
dt
2
dt
dt
0 = gsenθ + L
d 2θ
dt 2
d 2θ
g
+
senθ = 0
2
dt
L
y para pequeñas oscilaciones, senθ
θ,
d 2θ
g
+
θ=0
2
dt
L
que corresponde a la ecuación del oscilador armónico con frecuencia angular,
ω=
g
L
Ejemplo 3
Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema péndulo físico a través de la
aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.
Solución:
11
Figura 10
La energía mecánica del cuerpo rígido que oscila en cualquier instante es,
E=U+K
Observando la Figura 10 se concluye que,
1  dθ 
E = mg  h + b - bcosθ  + Io  
2  dt 
2
I o es el momento de inercia del cuerpo rígido respecto al eje que pasa por O.
Se está despreciando la fuerza de rozamiento y adicionalmente las reacciones en el apoyo no realizan
trabajo y el peso es una fuerza conservativa, por lo tanto la energía mecánica se conserva y como
consecuencia,
E = constante
dE
=0
dt
0 = mgbsenθ
dθ 1
dθ d 2θ
+ Io  2×  2
dt 2
dt dt
0 = mgbsenθ + Io
d 2θ
dt 2
d 2θ
mgb
+
senθ = 0
2
dt
Io
y para pequeñas oscilaciones, senθ
θ,
d 2θ
mgb
+
θ=0
2
dt
Io
que corresponde a la ecuación del oscilador armónico con frecuencia angular,
ω=
mgb
Io
Ejemplo 4
Utilizando la conservación de la energía mecánica en el MAS mostrar que:
Vy = ω A 2 - y 2
Solución:
E=U+K
1 2 1 2 1
kA = ky + mVy2
2
2
2
1
1
1
mω2 A 2 = mω2 y 2 + mVy2
2
2
2
Vy = ω A 2 - y 2
FIN.
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