k n Límites n de sucesiones de sucesiones Límites de sucesiones Límites Límite finito de una sucesión Límite finito de una sucesión Límite Límites finito de una de sucesión sucesiones La sucesión an = 1/n tiene por límite 0. e eq uuenu uc n aan t itein p o rp o l írm iltíemLi tsei y ssóil oys is ó pa r a sciu apl q uria era S e d iScee d iqcu an as us c eessiióón een e L Límite lo ade c u a l qsucesión uiera finito una n n úUNA m e r o SUCESIÓN p o s i t iS vo εd q ue eL atqosu m sa , ae x= i sct1e uitn tnée ram an , a arr tli ír m dietlec uLa l stio d o ss ó l o s i p a r a c u a l q u i e r a ue ceem su io ón n /n i en pnoirnto lií m ik te 0p .p e i c s u e s ó e e o y LÍMITE DE n ú reo o q ua ti ro i0si.n t e u n t é r m icni ao aa k0, e as pm a retnior r dqeul e c 0 u.a0l0 1 to L a otm una c e spipóoton 10/.n tei etn e mpeeom r ol ísm, i teexm sucesión an = 1 /n nm is resrila ítm taer ε ni v Va see ni= . dos l o s dte érm im n oi s d e aa np , sri g u i ed n t e sq uae a kt écru p loe nl aq udei s|taann− L| < ε. úm um t opm é.r m i n o a k , a p a r t i r d e l c u a l t o d o s Límite -o Vitutor l o s tinfinito érmin s d e na , esriog upi o es nittei v s oa εa q ceu m l eenm o qs u,e e|xai snt−eL |u n< t ε n k e una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquiera Límite finito S e dl oi cse tqéur m inos de an, siguientes a ak cumplen que |a n−L| < ε. número positivo ε que tomemos, existe un término ak, a partir del cual todos itutor 4/11/18 13'07 l o s t é r m i n o s Límite d e a n , sinfinito i g u i e n t e s de a a kuna c u m psucesión len que |a n−L| < ε. (sucesión 4 - Ya q u e p o d e m o s d e t e r m i n a r a p a r t i r d e q u e t é r m i n o d e l a s u c e s i ó n , s u d i s t a e s m e n o r q u e u n n ú m e r o p o s i t i vo ( ε ) , p o r p e q u e ñ o q u e é s t e s e a . convergente) Límite infinito deVitutor una sucesión d eet e rp mo i nra rl íampiatre tir Límite Se dice q u einfinito u n a- s u cYa e sqi uóen p oad e mtoise n d e∞q uc e ut a é rn md i no o d sió u 0 d i s tean i ate a 0 + pea lraa s utcoe d an ,Ms > x ci s nite 0. La sucesión an = 1/n tiene por lím e s m e n o r q u e u n n ú m e r o p o s i t i vo ( ε ) , p o r p e q u e ñ o q u e é s t e s e a . un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak Ej:s ei ótinfinito u-ca eetVitutor onn de m sr= t> a teiid rt e qr od l axciss cae s0i ó n , s u d i s t an c i a a 0 LYa squ ó neqirutM tm i e.i n nt+ er∞ paoi n írd m oa des muoLímite enar m iu rpispe peaa rnu tooie é m ld a e0ps.a u cua ees ittóé set an aute ca liae qp al1e qquuee upn cse d r d í /m e crpo uala n o onrd,masi nuM >di 0 e n nnm Límite infinito de una sucesión urceerpo sei q ópu noesa = 1 ems e rmoe n o rs i tqi u e u n)L,an p úso m i tnoi vo ( ε/)n ,s ttpiee on rseepaep.qour elñí m o i tqeu e0 .é s t e s e a . m e n o r q u e u n n ú p vo ( ε ñ q u e é no a , a partir del cual todos los términos de a , siguientes a a k que an> M. Entonces Para n 4/11/18 k L a s u c e s iLímite ó n a = 1 / n t i e n e pde o r l í m i t e 0sucesión . s eo c p um ue u > d i0 s t aenx c iias te 0 es S e d i c e q u e nu n a infinito s u c e s i ó n a n t iuna e nCeo mpoo rk >l1í0mai tpea r t+i r∞d ecl uaa nd ap r lai r át oqd a sM 11 menor un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak , o m olokque >10 ,Cpor a partir del a11 se cumplirá que su distancia 0 es menor que 0.1. Ya q u e p o d e m o s d e t e r m i n a r a p a r t i r d e q u e t é r m i n o d e l a s u c e s i ó n , s u d i s t an c i a a 0 cnuamspulsc ee nsciqu S qdueel u óunepaa t i eM n.e pso r dl ií s m i t ec i+ n deon opra rqau et o0 d.a0 0M1> n> Ae pdaircte ae∞0é scteeusa . 0 e x i s te ei sr m e n o ra q u n neú m e rm o p oln si irtá i voq(uε )e, p our p e q uteañn o qu s em a. 1u0e0 1 un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak Límite infinito - Vitutor Va o b. a r q u e e l l í m i t e d e l a s u c e s i ó n a n = n 2 e s + ∞ . cump l em no sq uae cao m>p rM Ta m b i é n p o d e m ons d e f i n i r e l l í m i t e d e u n a s u c e s i ó n m e d i a n t e e n tor n os : Ya q u e p o d e m o s d e t e r m i n a r a p a r t i r d e q u e t é r m i n o d e l a s u c e s i ó n , s u d i s t an c i a a 0 mediante entornos de límite finito meol a k> 1 0 ea c p a rp t iq riur e d eqloud aee ssun eddicse u mrnp l ia r á0 usería: e am su ddirs t aqu ne c i a0 e nloar squu es i0ó.n1,. s u d i s t an c i a a 0 m o k > 1 0 a La p a rdefinición t ieC rsod mn tt)a e eiorn 1 . e s r tm 1 o e r eqaq tuna tsaé.er0 ram e tseutre min a. ipnao i rd e d e q u e t écre mino la distancia a 0 es menor m e n o1r 1q s u e uu nYa úlm eár op p o1sm istu i vo ( εinfinito , m pcoii n r ap uspeVa ñrom qs o uaeed q é e Límite de sucesión tutor 4/11/18 13'07 2 1 , 4 , 9 , 1 6 , 2 5 , 3 6 , 4 9 , . . . c o m p r o b a r q u e Seel d l í im i t e d e l a s u c e s i ó n a = n e s + ∞ . e s m e n o r q u e u n n ú m e r o p o s i t i vo ( ε ) , p o r p e q u e ñ o q u e é s t e s n ce que una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquier ea. Ya q u e p o d e m o s d e t e r m i n a r a p a r t i r d e q u e t é r m i n o d e l a s u c e s i ó n , s u Va m s a d e t e r m i n a r a p a r t i r d e q u e t é r m i n o l a d i s t a n c i a a 0 e s m e n o r q u e 0 .d0i0s1t.an c i a a 0 - o,Vitutor e n tor n o d eLímites L q ude e sucesiones tom e m os p or p e q u e ñ o q u e s e a s u r a d i o ε , e x i s te u n té r m i n o Límite infinito -sVitutor e s m e n o r q u e u nnsneaún mue o np t irvol í m (dεii)st,teapno ua e ur ea é s tteo dsae aM . > 0 e x i s te S eC odmi c e q u e u n a s u c e i ó t irpe eáo sq piuo +ira ∞p ecq usuaem nñdoooqrp o ski > 0 a r tritr i rd ed e ó1 n , m a opp earl1o1c , um leo slei rls il g ueiiteesnutde mcie0nso t en nq2e cees0n. 1+.a∞ d Va saa a c ouna ml p bu a ra lcq ím es l at éscru ieós n paeennr= . icho de sucesión 1 6 , 2 5 , 3 6 , 4 9Límite ,d .e. . l a s u cinfinito un no.t é r m i n o a k , a p a r t i r d e l c u a l t o d o s l o s t é r m i n o s d e a n , s i g u i e n t e s a a k e n tor Límite infinito c u -mVitutor plen que an> M. Límite infinito de Va m o s a c o m p r o b a r q u, e1 6 e l l í m,i t 3 e 6d l a, .s.u. c e s i ó n a n = n 2 e s + ∞ . , ea4n 9 q u e u n a s u c e s i ó n a n t i e n e 1p, o4r, l9í m i t e, 2+5∞ cu d o p a r a t o d a M > 0 e x i s te una sucesión 4 que 4/11/18 n o a k , a p ahttps://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc31_Contenidos.html r t i r d eSl i ctu a la m t ood s = los t é0r0m i nso sradí ze cauna,d ra s idgau ieesn1t e s , ap oar k t a n t o a p a r t i r d e a Pàgina 1 oa m so M 1a0 ueeinfinito 00 s.u p e ra r á 1.d0 0o 1 1p Límite e d i .c s s e pn te + curu nu Va m o m adivergente) rl0a tai,q r dud uc e ta éu nisoóqnm luna aeean d i su a m o∞ re nqo eaq0 m o s a d e t e r m i nLímites a1r,C a p9 a tk1 i r> de e étSr4 npo is iuam 0ieride e rttiasucesión q uicseitaa0 .o0cr0 .m (sucesión nso 4 6 ,1 3i6 .e o,m o,srinfinitos 02t5eqa,ru p ant,ra im r9 i,d l.e st a euqnn ca prc lm á u dnn i a1l íe 0s i e se nm e0 0 .a 1r. a t o d a M > 0 e x i s te 1 1 que an> M. a 10 000. - os M = 10 . no t é a retl i ra 1d1e ls ec ucaul mt p od s q l ouse tséu r mdiinso s nd ue i ennotre sq uae a0k. 1 . C oum kr>m 1i0n oa apka, r tai rp d l io rá ta ce i a a0n , essi gm Va m o s a d e t e r m i n a r a p a r t i r d e q u e t é r m i n o l a d i s t a n c i a a 0 e s m e n o r q u e 0 . 0 0 1 . c u m p l e n q u e a > M . S e d i c e q u e u n a s u c e s i ó n a n t i e n en p o r l í m i t e + ∞ c u a n d o p a r a t o d a M > 0 e x i s te 0 0 0 , s u ra í z c u a dCra t oe l a a p a rs t ier cdu eAmpap a1rl0ti i1 i se t anno c ira q 0 uee s m no od mao eks>1 10 00 ,a ppoarr ttiarn d rrádseu qlp uaee1ra sr1uás ed icsutmapnl icriáa q u0e es u s dm 0e. 1 . r que 0.001 00 11 a 1i n 012 = 10 201 01 un térm o=a 1 k, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak s uae caonm prob a r q u e er tl i rl ídmeil t e d e l a csuumcpelsi riTa ón n 2 t aeonsscdi+ ∞ nns= c u m pVa l em n oq qra ua qe up euan0ra.t0is0 .e sei ó n m b ieéd i0no i.rerse tlm t er a d e eera n troár n o s : S i >t o M m .a m o s A Mp a= 1 0 0 a0100,0 1s sue ra í z c uáa d aup oeddsiesm 1 0 0 ,ae f p al íenmntioo ru1cd a 1m0e1d i asnutp Se dice qu u n0a0 0s.u c e s i ó n a n t i e n e p o r l í m i t e − ∞ c u a n d o p a r a t o d a N > 0 a e1 0 dei c e ce nt ea ne nt to ien e op Ta m b i é n p o d e m o s d e f i n i r e l l í m iSt e d u nq a useu cuensa i ó ns um es di ó an rn s :o r l í m i t e L s i y s ó l o s i p a r a c u a l q 1012 = 10 201 s r2m ed l ac u so rl o tsa nt téor m s i gsuui e nra t ersá a 1 ,ai m 4 te ,o s9 ,uMn1 6=té , 1 5 ,i0n30o60,,a k 4s,9 . .pí.za rctui ra ddra S i t oe mx 0 u ,ara ea s l 1t0o0d,eonp a i npo as r t id r ed ea na, o 0 pe t o r n o d e L q u e t o m e m o s , p1 r 1p e q u e ñ o q u e s e a s u r a d i o ε , e x i s t e u n a c u m p l e n q u e a < − N . d e l a s u c e s i ó n , a p a r t i r d e l c u a l , l o s s i g 2 k n 1 0o0 . d i cd en u sru i t eeL i e y nsoórl o qsu i ep a0 ra si t0ea de e t el ar msai u n1 a eq0uqeu mc. ei ns ioó nl aa ndti isetnaen cpioar laí m0 s sm . 0c0u1a.luqiueinetre s t é r m i n o s p e r t e n e c e n a c o m p r o b a r qEj: u e aeVa l 0lm ím c 1re= sai ó1p n0aS1rea2tnidr= e s0n1at+é∞ = 1 2e 0 entorno. q u e u n a s u c e s i ó n a n t i e n e p o r Va l íVa m i t e − ∞ c u a n d o p a r a t o d a N > 0 e n t or n o d e L q u e t o m e m o s , p o r p e q u e ñ o q u e s e a s u r a d i o ε , e x s te 2 m omso s a a d ect o em r mpirnoabra ra qpuaer t ierl dl íem iqtu nu oc el as i ódni s taa n=c i an a e0s ie s∞m e e dteé rlm a is + .u ne ntéorrm iqnuoe 0 . 0 0 1 . n de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho n té r m i n o a k , a p a r t i r d e l2 c u a l t o d o s e lnot or s, por t é rlomque i n opara s d eM a , s i, g n tEntonces, es a Entonces =n100 nu>i e 10. a partir de a11 superará =em 1d S ee n et épr o ∞c i ac uaa n0d o a rean otro d a e N0 .> o0isc2ea0 1q du e tee rumnn ia no.asr uac epsai rótn i r adne tqi u mri nloí ml ai t ed i s−t a n e s pm qu 0 01 . 1 6 , 2 5 , 3 6 , 4 9 , . .a. 1 0 1 = 1 0 1 Va https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc31_Contenidos.html en que a n < a − 100. N. Operaciones con límites Vitutor 2 es +∞. Va m o s a c o m p reoxbiasrteq l 9 l,rí m e l a s u c e s i ó n a = n 1u ,uen 4 ,eté 1 ii6tn,eo2d5 , 3 6 , 4 9 , . . . a k , a p a r t i r d enl c u a l t o d o s l o s t é r m i n o s d e a n , s i g u i e n t e s a A p t i r uda l a shttps://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc31_Contenidos.html m l i rtá qnue e s a nictie a 0− e s∞m c en 0a . 0r0a1 . t o d a N > 0 0m 0c1e cs1uu ps l ee a < − Se dice qaur e neka i óncnuq aupe i en pu oN rd i.sl tí m uoarnqduoe p Pàgin a rttm se csu m,nn pcsliiuar ára usec um sau aeu n c1 i a0 0 e1o s.r m er t0i r. 0d0e1 .a 1 0 1 s u p e ra r á partir del a1001 A s ep p ladim reálo sa q1 u 0q era ndodirsatq . 0, 0p Sc iu oi rm M0e0=1s u1 0d i0 0t a 0 í ze d se t aennto or aq u pa Operaciones con límites e s,te9 ,u n rm , a p a r t i r d e l c u a l t o d o s l o s t é r m i n o s d e a , s i g u i e n t e s a 1 ,x i4 1 6té , 2 5 ,i n3o6 , a4 9 , . . . k n a Ta 1 0m b0i é0n0 .p o d e m o s d e f i n i r e l l í m i t e d e u n a s u c e s i ó n m e d i a n t e e n to r n o Va s na qcuoem p ar − qN u e. e l l í m i t e d e l a s u c e s i ó n a n = − n 2s :e s − ∞ . ak cu mm pol e arno b< é ln l ípm o idteemdoes udneaf i nsiu r c e ls i lóí n m im t ee ddiea nut n c e sni os ó n : m e d i a n t e e n to r n os : m b i é n p o d e m o s d eTa f i nmi rb i e e a esnutor a ns i +p ab S e d i c e q u e u n a s u c e s i ó n a n t i e n e p o r l í m i t e L s il iyms ó(l o r an ) c u= a l qluiim er (an) + lim (bn) 2 a 110, 1 = 1 1 9 , =− 1160, 2−0215 , − 3 6 , − 4 9 , . . . , e0− e− n tor n− o4d L q u e t om e m o s , p o r p e q u e ñ o q u e s e a s u r a d i o ε , e x i s te u n té r m i n o u n a saeo usprcae1 ir0 ói,n pialg oourpi es y s oe ra s ir áp aa rdai c hcou a l q u i e r os , uSsce ue sdra zel aa cqu aectdei ra paoLru atstlii,aen al írm t i irt edéae asn1io uetlp d i cMe = q u1e0 u0 n0 a0 s idióceín e yotesossó suu s in óde na, p rls tí0im dtee ln ríL m eiró n ol scn M 2 0 ,ni tsepusa trra zciu ca u0sla1qdpura deran eecse n1 0 0 , p o r t a n t o a p a r t i r d e a 1 0 1 s u p e ra r á c o m p r o b a r qEj: u e e l l í meint tor e d e l a s u cS e is itóonm aam = − n = e1s0 0 −0∞ . n l iim −rté =, lei x mi s(te a nu ) n− té l irm n o. nu n e nm t or no os ,d ep oLr qpueeq utom em oe s , sp o r sp eq ud eiñoo εq ueex ssete a( as abd i o)i nε m i(nbon ) t or n o d e L q u e to e m e ñ o q u e a u r a , u n r m S e d i c e q u e u naa 1s0u c0e0s0i.ó n a n t i e n e p o r l í m i t e − ∞ c u a n d oo p a r a2 t o d a N > 0 s sp aa o m lsol s ím tee de lcaetn séurca e isdn i ióo ∞i .c h o ó t iu ripedrno etb leascrutq aéu lr,eml e o ig iret n tnees m pne= r t e−nne c eens a− d l a s u c e s i ó n , a pdaer tliar s du ecl ecsuiVa an lm ,, o la o s cirg in piu e cns h oa s te m i0n0o0 ,a k p rctuque ia r dd edl acN u t0o0d,, onps= otsa. nEntonces, ttéor m ed ea nde i gs uuip eenra t ersá a SEntonces i t ote mxaim o s uMn =té1r 0 s ,u ,ara í zalo ra e sa=l 1 o rl10 a in po a rsa t i rd a,1 0s por para 100 partir a111 superará 4t,or−n9o. , − 1 6 , − 2 5 ,e n − 3or 6 ,n o −.4 9 , . . . im ( .a0n0 ) 1·. l i m ( b n ) paa rm dp e le a c< u m− pN l i .r á q u e s u d i s t a n cl ii m a 0( aens · mbenn)o r= qlu e 0 Pàgina 1 de 2 ci.u n1 0 q0u1e sae 2 n -100. 1 0 1 2 = 1 0 2 0 1aa A 1 0https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc31_Contenidos.html 0kr0t0 a 1e0l 1 = 1i0t 1 0 s2u0c 1 Va m o s a c o m p r o b a í ,m e6 ,d= e 2l1as s,ip ó− n a,nq = − ns2u edsi s t−a∞ . ia 0 es menor que 0.001. −rA 1 ,qpu− 1 , − 3e6 9 .u . .e ae4 r t, i r−l9d e l− a cu m l i4 rá nc 1 0 0− 1 5e Operaciones con límites - Vitutor 4/11/18 13'22 i mm(eadni a n : te b )n tor = lim (an) : lim (bn) Ta m b i ét n pa od m dt e f i0 n ie r0l0 ea l ,l í m era naad ra s uácaeq s i ól n o m0 o= so N 1 0 seu1i t u ía zecs cuuu 0i e 0n , epi o n o i0taene pos a r:tm i re n dco e 2 eA p1s a0r= r0 sned s u spr0 to atrnance s e 0a .0 0 1t.o Pàgin 0o 1 p www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc31_Contenidos.html Pàgina 1d dea2 N > 0 a 11S0a,i1n= 1m 2 1id e d i c− e− q60u eplsiaird ó n etausoed1ta l iíta m − ∞ uraanq1du ra q ue una suc ehttps://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc31_Contenidos.html sión i,e n e p−o íim ∞ dum ocp ra Nd > − − t41 − 9 , límites 1rTa 6 ,lS 5tn ,e 31 , 0m −oc4su 9a ,dn Operaciones con m−b2i é po de e. .f .i n i r e l l í m i tne d e u n a s u c e s i ó n m e d i a n t e e n tor n os : s u p e r a r á a − 1 0e x0i0 0. te ,d e a a plímites artir del cual todos los términos de an, siguientes a n té r m i n o a k , a p a r t i r d e l c u a l t o dsoOperaciones s luons té t érrm mi n i noo a s kcon n, siguientes a S e d i c e q u e Ta um na sanu cpe s im óm n asn teiu ei e nie plo< rl í m l− íim i.tdee Lu nsai y sólo s i peadria ce u ael q u r os : n dq b i é o d e o f n r e t e su ión a n> toi e rn c u p l e a N e n q u e a n < S−eNd. i c e q u e u n a s u cke nq a in en pc onr l íóm − ∞ cu acnedso p am oin dtay N dsi ci ó e une, tup a es n i tq aeu ím er,aLetxs suón l o0té s ri m pianroa c u a l q u i e r n et iseenae spuo rr ald e n tor n o d e L q uS2ee tom em os or pu e qeuseiñ o i oi t ε i s te = r− 01 = , −a1 0p a2r0t 1 e x i s te a u1n0 1)té m1iin o (naa iLr( bq d e)le ctuom a l etm o d o ,s pl o s t éerqm ienño s qduee asne, as isguu ire ndtieos εa, e x i s te u n té r m i n o kn ie m or o u m o s N = 1 0 l0i m 0 0 ,(dasenu l+ ra b íszuncceu= aa tep sa)rn 1t+ 0 ,d rc utnu piagros t iire ndto eersap1 a saidólra nm ,de i r0ld eplo a ln,t ol o a s s u té r m i n o s p e r t e n e c e n a d i c h o 01 2 Le ss i −y∞s. ó l o s i p a r a c u a l q u i e r S e dd cb e< u s u ó tu e oarldo eu Va o oe p o rq− qe uc e e ln í0 m esp d ió n1 nal= a ke n ctor u mm po. l es na qcu N .u s u en sla i ó1 , ci0 ate0 rnst iula ranra ds e u l ,ra sí m e,n tpeosr tt é rm ce n1 a d i c h o S imta orine m alaa m o s N = 0i a ,e í zilceen ccsu aan dp es− sii tg 0i0 an t oi nao sp apr tei r t e dn eea n 10 a − 1 0 0 0 0. e n tor natoror dne q0u e0 0tom e m os , p o r p e q u e ñ o q u e s e a s u r a d i o ε , e x i s te u n té r m i n o ern o.L s u p e á a − 1 0. lim (an − b n) = lim (an) − lim (bn) · sl itm a ni n o s p e r t e n e c e n a d i c h o d e l a s u c e s i ó n , a p a r t i r d e l c u a l , l il m o s ks·i gauni e= nk te érm 1o , s− 4 −1 90 , − 2 5ra , í−z3 c 6u , a− S i t oTipos m a−m N,=sucesiones 01 060,, − su d4 ra9d, a . .e. s 1 0 0 , p o r t a n t o a p a r t i r d e a 1 0 1 de 2 e n tor n o. −101 = −10 201 s u p e r a r á a − 1 0 0 0 0. https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc31_Contenidos.html Pàgin 1 2 (= l i m ( a n · b n ) = l i ma 1(0a1n=) − · 1l 0 im b n− ) 10 201 https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc31_Contenidos.html Sucesiones convergentes lim ank = (lim a n)k 2 Va m o s a c o m p r o b a r q u e e l l í m i t e d e l a s u c e s i ó n a n = − n e s − ∞ . c o m p r o b a r q u e e l l í m i t e d e 2l a s u c e s i ó n a n = − n 2 e s − ∞ . a 1 = − 1https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc31_Contenidos.html 01 = −10 201 l i m ( a 1S0:o ae n) l:í m l iim nb l a)s =q ulei mt i e(n t e (f ibn i t)o. n n n n l i,m− 4 l o g, 2 = log lim a n a. .a e sucesionesVa m o s a c o m p r o b a r q u e− 1e ,l l−í m 4 ,i t− , e− l1a6 ,s u−c2e5s ,i ó n − 3a 6 .n e 9d e s −∞. a n = −9n Tipos de sucesiones , −9, −16, −25, −36, −49, ... S i t o Sucesiones m a m o s N = 1divergentes 0 0 0 0 , s u ra í z c u a d ra d a e s 1 0 0 , p o r t a n t o a p a r t i r d e a 1 0 1 esiones convergentes − 1 , −de 4, − 9 , − 1 6 ,Sucesiones − 2 5 , − 3 6 , −convergentes 49, ... Tipos sucesiones s u p e r a r á a − 1 0 0 0 0. Son las que tienen límite infinito (+∞ ó − ∞). u e t i e n e n l í m i t e f i n i t o. S o n convergentes l a s q u e t i e n e n l í m i t e f i n i t o. A l o p e ra r c o n l í m i t e s p u e d e n p r e s e n t a r s e e s t o s c a s o s : Sucesiones A l o p e ra r c o n slu ím s np c uu eyo d e nl í m p r e s e n t a r s ec oen s t o s Indeterminación c acsu oyo s: infinito c ei tsei ó , l a s u c emenos sión sum a tiende a ∞. s u ictees ieosn e∞ s q u e ionttra e r ve n g a nl í.m i t e e s kinfinito Infinito menos infinito - Vitutor Infinito partido infinito - Vitutor 4/11/18 15'46 Se saca factor común de la potencia de mayor ex Infinito menos infinito - Vitutor Infinito menos infinito - Vitutor 4/11/18 15'46 H ay q u e a d e ve r t i r q uS e el adsi veixdperne sti o slio m cm a sacon upt iol-irzVitutor m n d ee xam cta ex p o n e n t e . ondeoss Operaciones sb ósluiRegla nqcon dulímites oepráctica slímites a opso n t eon scoi a am y oern te Operaciones -alVitutor i g u a l d a d e s , p u e sIndeterminación t o q u e i n f i n i t o n o e s ninfinito ú m e r o r e a lmenos , s i n o q u einfinito es una forma Indeterminación infinito infinito Indeterminación infinitopartido menos infinito infinito menos infinito c o nve n c i o n a l d e e x p r e s a r r e s u l t a dIndeterminación os. 1. S i e l n u m e ra d o r y d e n o m i n a d o r t i e n e n e l m i s m o g ra d o e4/11/18 l l í m i t15'46 e es el Infinito menos infinito - Vitutor menos infinito - Vitutor n o p o d e m o s p r e d c i r e l l í m i t e , d e p e n d e r á d e l a s Cxopnr ei n mtienrai odro Infinito mooe Casos Al e s c r i b i r concretos: la e s idóent earn qquueerreem ssnd em tdree ecci irlro sqquucee o esfiiecm i epnrtee sq u de sl ausm p o toesn cui ansa d e m ayo r g ra d o. Sucesión entera. 1.n1. Sucesión c ei tsei o n t et ra r ve a n . l í m i t e eentera. s u c e s i ó n c u yo sluí m ee s s ∞q uceo ni no c ugyo s k, la sucesión suma tiende a ∞. Infinito partido infinito - Vitutor Infinito menos infinito - Vitutor 4/11 Indeterminación infinito infinito Se saca f a c t o r c o mmenos ú nIndeterminación d e l a p oinfinito t e n c i a d e m a yinfinito o r e x p o n e nmenos te. Se saca factor común de la potencia de mayor exponente. Infinito partido infinito - Vitutor 1. Indeterminación infinito partido infinito Sucesión entera. Indeterminación infinito menos infinito 1. Sucesión entera.Uno elevado a infinito - Vitutor 1. Sucesión entera. Al escribir la e s idóent ear n q uoes spur e mdecm a ite, dependerá de las Cxopnr ei n mtienrai o dro qquueerreem mooss ddeecciirr qquuee sni e o mppordee m i ro se l ulní m Indeterminación infinito partido infinito S e s a c a f a c t o r c o m ú n d e l a p o t e n c i a d e m a y o r e x p o n e n t e . s u c e s i ó n c u yo sluí m i t e e s ∞ c o n o t ra c u yo l í m i t e e s k , l a s u c e s i ó n s u m a t i e n d e a ∞. c e s i o n e s q u e i n t e r ve n g a n . Infinito menos - Vitutor see an ca fa ú n dtUno e aselevado pp oinfinito toaerinfinito nc ia dVitutor o r deex pm oa ny en -a S e s a c a f a c t o r c o m ú n d e https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc4_Contenidos.html l a p oSte e ndciS ivaei dd m otsro rleoc xsopm o e ed . lelevado t oa dyco sn u mna n o la p oeinfinito tRegla em nacyi a o tre .e x p o n e n t e . Indeterminación uno práctica 1. Sucesión entera. Infinito partido infinito - Vitutor 1. Sucesión entera. 4/11/18 16'0 4/11/18 14&48 Uno elevado a infinito - Vitutor E l l í m i t e e s ± ∞, d e p e n d i e n d o d e l s i g n o d e l c o e f i Indeterminación uno elevadomen a in https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc4_Contenidos.html Indeterminación infinito Se saca factor común de la potencia de mayor exponente. Indeterminación uno elevado a infin Indeterminación partido Se saca factor com ú n d e l a p o t emenos n c i1. a dSucesión einfinito m-aVitutor y o r eentera. x p o n e n t e . infinito C o n i n d e t e r m i n a d o q u e r e m o sInfinito d e c i r q u e infinito no po demos predcir el límite, dependerá de las s u cResolución e s i o n e sS eq udei v iindteen r vet o ng indeterminaciones daons. l o s s u m a n d o s p o r l a p o t e n c i a d e m a y o r e x p2. onente. racionales. S e r e s u e l ve t ra n s f o r m a n d o l a e x p r e s i ó n e n u n a p o t e n c i a d e l n ú mSucesiones ero e. SInfinito e s aRegla cmenos a f a cpráctica t o r c-oVitutor mún de la potencia de mayor exponente. infinito Regla práctica Indeterminación infinito menos infinito Se dividen todos los sumandos por la potencia de mayor exponente. E l l í m i t e e s ± ∞, d e p e n d i e n d o d e l s i g n o d e l c o e f i c i e n t e d e m ayo r g ra d o. https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc4_Contenidos.html nn esm ina r,n ay pso i to n ed meol s n ú m S e r e s u e l ve Ptora f oorsma ncdooml ú a ne xdperneos m ión ed nou ebntcei a Infinito menos infinito - Vitutor 4/11/18 15'4 Infinito partido infinito - Vitutor 1. S i e l n u m e ra d o2. r y dSei neolmni nuam deora r dt ioern et1. lr e sm sl ve mo ra drom o aqnedul oel íl am txd epe cinfinito o eee sentera. f od r ee i óm neilenna u nc e nl icm i a i tde el e ns ú m± er Indeterminación infinito Sucesión ineSn mu eiayo rt raggnra e leimenos nsso d oairepneottle Regla práctica C o n i n d e t e r m i n a d o q ueenrterUno m ca ieinfinito rf i q pe o dleam ecdicaisr d e le l m í mayo i t e ,r dgera pd e o. nderá de las 4/1 e oelevado l so sd e co c iuee-nVitutor tn edo se pd snod pso o tpedrn e n d i e e l s i g n o d e l c o e fi c i e n t e d e m ayo r g ra d o. Uno elevado a infinito Vitutor 4/11/18 16'05 Regla s u c e s i o n e s q u e i n t e r ve n g a n . práctica 3. Sucesiones irracionales. Indeterminación E l l í2. m iSucesiones te e sinfinito ± ∞, d e pmenos e n dSie nsda ocinfinito d e fl ascitgonro cdoem l ú co d tee n mcayo a ne fdi cei elnat ep o i a rd eg ra mdao. yor expon racionales. infinito E l l í m i te e s ± ∞, d e p e n dIndeterminación i e n d o d e l s i g n o d e l c o euno f i c i e n televado e d e m ayo rag ra d o. Indeterminación a. infinito Infinito menos 4/11/18 15'46 S e d iinfinito v i d e n- Vitutor t o d o s l o s s u m a n d o s p o r l aRegla p o t e npráctica c i a d e m a yuno o r e elevado xponente M u l t i p l i c a m o s y d i v i d i m o s p o r e l c o n j u g a d4/11/18 o. Uno elevado a infinito - Vitutor 16 https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc4_Contenidos.html Regla Reglas práctica 1. Sucesión entera. prácticas: P o n e m o s a c o m ú n d e n o m i n a d o r, y s i o b t e n e m o s r e s o l ve m o s l a i n d e t e r m i n a c i ó n . E l l í m i te e s ± ∞, d e p e n d i e n d o d e l s i g n o d e l c o e f i c i e n t e d e m ayo r g ra d o. Uno elevado a infinito - Vitutorinfinito menos infinito Indeterminación Regla práctica E l l í m i te e s ± ∞, d e2. pIndeterminación eSucesiones n d i e n dS oe ds ea lracionales. oc td ccooem f racionales. iú celevado ine entera. ndt e e d moa ayo de o. m a y o r e x p o n e n t e . Sucesión csSucesiones ai g n f1. a oerluno l ae p t e infinito nrc igarad 2. 3. Sucesiones irracionales. Regla práctica E l l í m i te e s ± ∞, d e p e n d i e n d o d e l s i g n o d e l c o e f i c i e n t e d e m ayo r g ra d o. Regla práctica su l ve ttra rannssff o nnddoo l a xp rpersei s óinó ne ne n tpeo ntcei an cdi e e rúomee.r o e . S eS er erseu eel ve rr m ma npaop lme n 1. Sucesión entera. S sc a ai m coaa faya cdyti v osliraideioem cbxo ú n d eu n ual a o te n cail adneúd mayor exponente. P o n e m o s a c o m úM n udl teie n n t em n ep m po l im odso r, o sracionales. o ro se l c ornejsuogl ve a dm o .o s l a i n d e t e r m i n a c i ó n . 2. Sucesiones P1. onem cm om ún a di noar,d oyr st i e n oe bn t e neel m e sdool ve s iltae iensd eetle rcm S io se l an u e ra d od r eyn odm e ni n om moiss m o grra e lmloí m o ci n i eanc ti ó e n1. Uno elevado a infinito - Vitutor 4/11/18 https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc4_Contenidos.html Pàgina 1 de 2 E l l í m i te e s ± ∞, d e p e nCero d i e npor d o infinitod e l soisVitutor g ncoo edfpráctica r sg d raed o. iecli ecnoteefsi c ideen tlea sd e p om t eayo ncia m ayo r g ra4/11/18 d o. 16'05 elevado a infinito - Vitutor 2. Uno Sucesiones racionales.e n t r e lRegla Se saca factor común de la potencia de mayor exponente. 3. Sucesiones irracionales.Uno elevado a infinito - Vitutor P o n 2. emo s a c o m ú n racionales. d e n o m i n a d o r, y s i o b t e n e m o s Sucesiones r e s o l ve m o s l a i n d e t e r m i n a c i ó n . 1 e r Método 1. Sucesión entera. E lSucesiones í m i te e s ± a∞, dependiendo del sign o d e l por c o e f i cinfinito i e n t e d e m ayo r g ra d o. Indeterminación elevado infinito 3.l uno irracionales. Indeterminación cero Regla práctica M unl tsifpolri cm aa mnod s oy l a d i vei d os ió pn o r eenl cuonna jug S e r e s u e l ve t ra x ipmr e paodt o e.n c i a d e l n ú m e r o e . P o n e m o s a c o m ú n d e n o m i n a d o r, y s i o b t e n e m o s r e s o l ve m o s l a i n d e t e r m i n a c i ó n . Indeterminación uno elevado a infi Se sa c a f a c t o r c o m ú n d e l a p o t e n c i a d e m a y o r e x p o n e n t ei.n a d o r, y e rs i o b t e n e m Cero infinitoo ncea dleirracionales. ve indeterminación. 2. Sucesiones racionales. 3. 1. por S i e lRegla nVitutor u m e ra d o r Myu ldtei P n im n aoo dsSucesiones o e ni veúinn m spmoor g do mdi o t e. Indeterminación eoss e l croecsioeln t em o s l ainfinito/infinito práctica po l im m s raytci o dm d iem on soim era l c gl ía 1 nej lu Método https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc4_Contenidos.html Pàgina 1 de 2 Regla práctica funciones 1 e r Método e n t r e l o s c o e f i c i e n t e s d e l a s p o t e n c i a s d e m ayo r g ra d o. https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc4_Contenidos.html Uno elevado ara infinito -i Vitutor 2. S i e l n u m e d o r t e n e m ayo r g ra d o q u e e l d e n o m i n a d o r e l l i m i t e e s ± ∞ , text 3. Sdioose en im nl a d i eenglera t ec i eenst e 0. io pm l i ci n aa m inv d ie om s oi p otro cm o j ueg ora .i tdeo eesl el ílmci o 3. Sucesiones 2. Sucesiones racionales. 1. Sirracionales. i e l n u m e ra d o r yM duel tn r l yt d i ed eoinm sr m dn oayo l rald ígm cero irracionales. dr m e apnedin gn an oSucesiones cm ie eel ve eE o g rad Sa e rc e soum e l ve t ra n sef on o da l ai eenxd p roeIndeterminación s id ó ne le ns iu3. p o td ee n cl i a cdoee l fi nú en r oto . dm lmpor layo í m irteinfinito e s o. ∞, p. e n d i-eVitutor ndo del sign o d e l16'00 coeficien Cero por Vitutor 4/11/18 P oinfinitonemos r± m ielevado n a c idóe aninfinito e nút rne dl o s ocm o en f i c ideo nr, t e sy dsei loabst epnoetm e nocsi a s d er e s m ayo r gsraldao.i n d e t e Uno https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc41_Contenidos.html Cero partido M u l t ipor p l i cero c a m-oVitutor s y d i v i d i m o s p o r e l c o n j u g a d o . Indeterminación uno elevado Multiplicamos y dividimos por el conjugado. a infinito4/11/18 16'04 Regla práctica ú .n d einfinito n o m i n a d o r, y s i o b t e n e m o s r e s o l ve m o s l a i n d e t e r m i n a c i ó Indeterminación S e Pt o ranneRegla sm f oor s mcero aa práctica ac o mpor 3. Sucesiones irracionales. https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc4_Contenidos.html S e r e spor u e l ve cero t ra n s f o r m a n d o l a e x p r e s i ó n e n u n a p o t e n c i a d e l n ú m e cero S i e l n u m eIndeterminación ra d o r y d e n o m i n a dEol r l ítm i einte e n eespartido l ± mpráctica i s∞, m od e gp raetext dnod i e n l 2. í mSucesiones i teel es si g neo l cdoecli racionales. ecnoteef i c i e n t e d e m ayo r g ra d o. dl o d Regla einvtiedsi m de t el ncco i 3. ansj ud ea d moayo r g ra d o. Sucesiones irracionales. M uelnttirpel i cl oasmcoose fyi c id o sl apso p r oe g . 1 e r Método 1. Uno elevado a infinito - Vitutor Regla práctica S e t ra n s f o r m a a https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc4_Cont E l l í m i te e s ± ∞, d e p e n d i e n d o d e l s i g n o d e l c o e f i c i e n t e d e 4/11/18 m ayo r16'05 g ra d o. https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc42_Contenidos.html P o n e m o s a c o m ú n d e n o m i n a d o r, y s i o b t e n e m os re Multiplicamos y dividimos por el conjugado. 1 .e r Método ed i e r ensduoe ldve tsra sof odr m ac n deof i lcai e n ex ee s i ó n e n r ugnra a potencia del número e. E l l í m i te e s ± ∞, d e p eSn2. i gn t ep rrd 2. Suno i Sucesiones e le ln uelevado m enra d oerl racionales. t io ean einfinito m ayo g ramdayo o q u e e ld o. denominador el limite es ± ∞, Indeterminación d e p e n d i e n d o d e l s i g n o d e l c o e fi c i e n t e d e m ayo r g rad o. S e t ra nRegla s f o r m a práctica a . 3. a infinito Sucesiones irracionales. Uno elevado - Vitutor Uno elevado racionales. a infinito - Vitutor 2. Sucesiones https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc4_Contenidos.html 4/ P o n e m o s a c o m ú n d e n o m i n a d o r, y s i o b t e n e m o s r e s o l ve m o s l a i n d e t e r m i n a c i ó n E l l í m i te e s ± ∞, d e p e n d i e n dhttps://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc42_Contenidos.html o d e l s i g n o d e l c o e f i c i e n t e d e m ayo r g ra d o. M u l t i p l i c a m o s y d i(aprox.) v i d i m o s phttps://www.vitutor.com/al/sucesiones or el conjugado. S e t ra n s f o r m aSabiendo a por definición que y 2. Sucesiones racionales. on em orr, e y i iotb s , r e s o l ve m o s l a i n d e t e r m i n Método 2.1 e r S i e l n u m e ra d o r t i e n e Pm ayo r ogsraad oc oqm u eú ne l ddeennoom miin na ad do l lsi m e t eense m ± o∞ d eepre n d i e n d o d e l s i g n o d e l 3. c o eSucesiones f i c i e n t e d e mirracionales. ayo r g rad o. 1 Método 3. d eeSnxio e di óenn oemni nuandao rp o t i e n ec i a m ayo d o eel . l í m i t e e s 0 . S e r e s u ePl ve rao nss f2. oar m aSn r elhttps://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc4_Contenidos.html e lureng úera m o n etm co m m isn i o brtteegnnra em rleesdroeolnve mionsa dl a idúo enl l a n u m epra d oa r dtoi er,n ey ms ayo d oodsq om o r i nedl elti e mrim t ei neasc i ó±n .∞ , 2. Sucesiones racionales. irracionales. Pàgina 1 de 2 d e phttps://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc42_Contenidos.html e n d i e n d o d e l sM i gu n lot i d c3. omeo fSucesiones isc i eyn tdei vdi e ayo pel il c a dimo s rp ogrrad e lo.c o n j u g a d o . https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc41_Contenidos.html Uno elevado a infinito - Vitutor https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc4_Contenidos.h https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc4_Contenidos 4/11/18 16'05 3. Sucesiones irracionales. Multiplicamos y dividimos por el conjugado. P o n e m o s a c o m ú n d e n o m i n a d o r, y s i o b t e n e m o s r e s o l ve m o s l a i n d e t e r m i n a c i ó n . 2. S i e l n u m e ra d o r t i e n e Método m ayo r g ra d o q u e e l d e n o m i n a d o r e l l i m i t e e s ± ∞ , M u l t i p l i c a m o s y d i v2º idimos por el conjugado. d e p e n d i e n d o d e l s i g n o d e l c o e f i c i e n t e d e m ayo r g rad o. 3. Sucesiones irracionales. https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc42_Contenidos.html e r Método https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc42_Contenidos.html https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc45_Contenidos.html 1 https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc4_Contenidos.html https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc4_Contenidos.html Ejemplo Indeterminación 0/0 con funciones Pàgina 1 de M u l t i p l i c a m 2º os y d i v i d i m o s p o r e lhttps://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc42_Contenidos.html conjugado. Método 3. S i e l d e n o m i n a d o r t i e n e mhttps://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc45_Contenidos.html ayo r g ra d o e l l í m i t e e s 0 . https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc42_Contenidos.html https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc41_Contenidos.html 1 e r Método Ejemplo 2º Método Pàgina 1 de 2 https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc45_Contenidos.html https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc4_Contenidos.html https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc4_Contenidos.html 2º Método 3. S i e l d e n o m i n a d o r t i e n e m ayo r g ra d o e l l í m i t e e s 0 . Ejemplo https://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_suc42_Contenidos.html Pàgina 1 de 2