Problema Solución Por comodidad personal voy a cambiar los puntos.Para ello adjunto mi grá…co Si denominamos AB = BC = CD = DA = a: Entonces AE = a2 y por Pitágoras EB = p a 5 2 Los triángulos 4EAB, 4AT E y rectángulos en A y en T respectivamente son semejantes ya que comparten un ángulo [ = AEB \ La constante de proporcionalidad que nos permite pasar del primero al segundo es p1 .Por elloAE = a ; AT = AET 2 5 p a 5 5 ; ET = p a 5 10 . El semiperimetro p y la super…cie del 4AT E son p p ! a a 5 a 5 + + = 2 5 10 p = 1 2 S4AT E = a2 1 SAEB = 5 20 El radio delcirculo inscrito a 4EAB es r1 = S4ABE p = a2 p 20 3 5+5 10 a 2 ! p 3 5+5 a 10 2 p 3 5 5 20 = a Vamos ahora a calcular EI siendo I el incírculo del 4AT E rectángulo en T El triángulo 4EIK es rectángulo en K siendo K el punto3de contacto de (I) con ET . 2 p p p 5 5+5 a 5a 5 EK = p AT = 3 10 = a 2 5 20 5 por Pitágoras p Como 4 3 5 5 IK = r1 = a 20 EI = p v u u 5 ET 2 + IT 2 = at p !2 5 + 20 p s !2 p 3 5 5 1 5 = 20 2 p p 2 5 5 Pasemos ahora al 4ET C donde sabemos que EC = EB = a 2 5 que ET = a105 y T[ EC = 180o 2 siendo Por el teorema del coseno calculamos T C p p T C = EC 2 + ET 2 2EC ET cos(180 2 ) = EC 2 + ET 2 + 2EC ET cos 2 Como cos 2 = (2 cos2 1) entonces por la nota (1) s p p 5a2 a2 a 5a 5 2 TC = + +2 ( 1) = a 4 20 2 10 5 1 cos = AE EB = a 2 p a 5 2 = 1 5 p 5 1 (1) [ = AEB \1 . = AET Del 4ET C ya conocemos sus tres lados EC = S4ET C son t = S4ET C = p a 5 2 , ET = p a 5 10 y T C = a; por lo que su semipérimetro, t , y su super…cie ! ! p p p a 5 a 5 3 5+5 + +a = a 2 10 10 r p p p a2 3 5+5 3 5 5 5 2 5 100 1 2 El radio, r2 del íncirculo del 4ET C será pues r2 = S4ET C t a2 p 10 3 5+5 10 = a = (3 p a2 5+2 5 = 10 p 5 5) a 20 Los radios r1 y r2 de los incírculos de4ET A y 4ET C son iguales Vamos ahora a calcular el segmento JF donde J es el íncentro de 4ET C y F la proyección ortogonaLde J sobre el lado T C: 3 2 p (3 5 5) a JF = r2 = 20 p p 5 Por Pitágoras p Sabemos que 4 a(5 2 5) 5+5 T F = t EC = 3 10 a a2 5 = 10 JT = p JF 2 + TF2 s =a p 3 5 5 202 2 + 5 p 2 5 102 2 1 = 2 s 25 p 11 5 10 Calculemos ahora la proporción entre EI y JT . Por las relaciones (1) y (2) q p p p 5 2 5 1p 10 4 5 1 EI 5 =q 5 + = ' (número áureo) p = p = p JT 2 2 25 11 5 25 11 5 10 2 (2)