Unidades de aprendizaje autónomo PENSAMIENTO MATEMÁTICO Unidades de aprendizaje autónomo: Pensamiento matemático UAA_PM_REV_CONAFE.indd 1 12/06/19 14:46 DIRECTORIO INSTITUCIONAL Esteban Moctezuma Barragán Secretario de Educación Pública Cuauhtémoc Sánchez Osio Director General del Consejo Nacional de Fomento Educativo Juan Martín Martínez Becerra Director de Educación Comunitaria e Inclusión Social Carmen Gladys Barrios Veloso Directora de Educación Inicial Eduardo Pérez Haro Director de Planeación y Evaluación Eduardo Campos Martínez Director de Operación Territorial Edgardo Ernesto Castillo Cota Director de Cultura y Difusión Enrique Hernández Santoyo Director de Administración y Finanzas Sara Salazar Sotelo Directora de Asuntos Jurídicos Patricia Hernández Paz Titular del Órgano Interno de Control UAA_PM_REV_CONAFE.indd 2 12/06/19 14:46 Unidades de aprendizaje autónomo PENSAMIENTO MATEMÁTICO UAA_PM_REV_CONAFE.indd 3 12/06/19 14:46 LEGAL PENSAMIENTO MATEMÁTICO Edición Consejo Nacional de Fomento Educativo Compilación Alfonso González López Carlos Goletto Franco Efraín Pérez Farelas Elías Mandujano Solís Enrique Santos León Guadalupe Estrella Martínez Gustavo Daniel Gaona Vargas Iván Cabrera Delgado María del Carmen Romero Ortiz María del Rosario Zúñiga Galván Miguel Morales Elox Ilustración Eva María Paz González Ivanova Martínez Murillo Javier Velázquez © Shutterstock.com Ilustración de portada y lomo Claudia de Teresa Fotografía © Shutterstock.com Diseño Renato Horacio Flores González Diseño de portada Cynthia Valdespino Sierra UAA_PM_REV_CONAFE.indd 4 Este ejemplar es una versión preliminar de la segunda edición. Para esta versión se tiraron 5,190 ejemplares. Primera edición: 2016 Segunda edición: 2019 D.R. © Consejo Nacional de Fomento Educativo Av. Universidad 1200, col. Xoco, del. Benito Juárez, C.P. 03330, Ciudad de México. www.gob.mx/conafe ISBN de obra completa: En trámite ISBN: En trámite Impreso en México 12/06/19 14:46 AGRADECIMIENTOS Agradecemos la participación de las siguientes personas por su colaboración y apoyo en la compilación de estos materiales. A Janis Herbert por su aportación a la unidad “Lo equitativo y el cambio. Proporcionalidad y funciones” con el texto de las páginas 190-191 (excerpted from Leonardo da Vinci for Kids by Janis Herbert. Copyright © 1998 by Janis Herbert. Reprinted by permission of Chicago Review Press). A Isabel García y Aron Lesser, becarios del Programa Princeton in Latinoamérica por su apoyo en la selección y revisión de los textos en inglés incluidos en este material. Agradecemos a la Licenciada en Matemáticas Rebeca González Bacasegua por sus orientaciones y precisiones en la construcción de este material. Y también un agradecimiento especial para los equipos técnicos de las Delegaciones Estatales de San Luis Potosí y Veracruz que, con sus aportaciones, ayudaron al enriquecimiento y mejora de este material. Los compiladores UAA_PM_REV_CONAFE.indd 5 12/06/19 14:46 ÍNDICE Bienvenida Presentación Menú temático Las losetas. Números enteros 11 La pastelería. Números racionales 35 Por enésima vez. Patrones y progresiones 63 El lenguaje del álgebra. Ecuaciones 87 Ingenio y figura... Formas geométricas 113 Como grandes exploradores. Ubicación espacial 133 Y sólo es comparar… Medida 151 Lo equitativo y el cambio. Proporcionalidad y funciones 175 Analicemos el dato. Análisis y presentación de datos 197 Águila o sol. Nociones de probabilidad 227 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 6 12/06/19 14:46 Bienvenida Estimadas y estimados estudiantes: El material que ahora tienen en sus manos es el resultado de la realización de innumerables tutorías en muchas partes de México y es un ejemplo de lo que podemos conseguir con el diálogo y la colaboración. Aprender es una aventura inolvidable, por eso ponemos en tus manos este libro, para que vivas la experiencia de ser apoyado al aprender y, posteriormente, apoyes a otro en su aprendizaje. Ese otro puede ser un líder para la educación comunitaria, una madre de familia, un presidente de la APEC u otro alumno de cualquier nivel, pues todos tenemos algún aprendizaje que compartir. Este libro lo hemos elaborado con mucho cariño y con la esperanza de que te sea de utilidad en tu paso por la Educación Básica Comunitaria. Te pedimos que lo cuides para que sea parte del acervo de la biblioteca escolar y pueda ser usado por muchos otros. Consejo Nacional de Fomento Educativo 7 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 7 12/06/19 14:46 Presentación Las Unidades de Aprendizaje Autónomo (UAA) son la herramienta de apoyo a los procesos mentales de cada persona ya que favorecen; la solución de problemas, el diálogo cara a cara y la producción de textos. En este sentido, la estructura de las UAA y las etapas del ciclo de la tutoría se pueden esquematizar de la siguiente forma: Tutor: oferta un tema Tutorado: elige un tema Apartados de UAA: Título de la UAA, Introducción, Propósito general y Propósitos específicos, Mapa de contenidos, Trayecto de aprendizaje Evaluación: diagnóstica Tutor: guía el aprendizaje y elabora su Registro de Tutoría Tutorado: estudia a profundidad Apartado UAA: Acepta el desafío y construye comprensiones Evaluación: formativa Primera Etapa 1 Tutor: solicita la organización y registro al tutorado Tutor: acompaña la preparación de la demostración pública Tutorado: registra su proceso Tutorado: realiza la demostración pública Apartado UAA: Revisa tu RPA y complétalo para que otros lo vean 2 Evaluación: formativa y sumativa Evaluación: formativa y sumativa Tercera Etapa 3 Tutorado: realiza el ciclo de la tutoría con otro compañero Se utilizan las UAA y el RPA Apartado UAA: Comparte lo aprendido, mejora y completa tu registro, trayecto de aprendizaje Evaluación: formativa y sumativa Segunda Etapa Tutor: observa cómo el tutorado realiza el ciclo de la tutoría con otro compañero Cuarta Etapa 4 Quinta Etapa 5 En tanto herramienta de apoyo para el estudio a profundidad de los temas, las UAA contienen desafíos, que son enunciados con una proposición a resolver. Estos enunciados se cobijan a manera de orientaciones con una contextualización que sirve para intencionar el tema, y la cual utiliza el tutor para acercar al tutorado al terma de estudio según su propio entorno, nivel escolar, ritmo y estilo de aprendizaje. También encontrarás otros elementos para el análisis crítico del tema de estudio como son: imágenes para no depender de lectura alfabética, preguntas para el diálogo, textos para la reflexión y algunas actividades o experimentos los cuales te guían en la toma de decisiones para resolver el desafío. También cuentan con los Trayectos de aprendizaje para orientar el trabajo y la evaluación formativa pues en ellos es posible identificar los saberes, conocimientos, habilidades y actitudes necesarias en educación básica comunitaria y del campo formativo correspondiente. Sin el diálogo tutor este material (y cualquier otro) se convierte en el seguimiento mecánico de instrucciones; la reproducción innecesaria de información; y la aplicación descontextualizada de soluciones. Así, el diálogo en relación tutora, como la base metodológica del ABCD, favorece la formación de ciudadanos interculturales capaces de reconocer a los diferentes para construir y desarrollar saberes, conocimientos y habilidades. Siendo que se ponen en práctica: 8 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 8 12/06/19 14:46 Empatía. Me pongo en el lugar del otro para comprender sus puntos de vista. Colaboración. Realizo actividades con otros y los apoyo, con confianza y compromiso con los objetivos comunes. Participación. Tomo parte de las actividades y decisiones en el aula, escuela y proyectos comunitarios. Resolución de conflictos. Soluciono diferencias o problemas a partir del diálogo. Autonomía. Actúo y pienso sin depender de otros. Diálogo. Me comunico con otros, argumento mis puntos de vista, explico las razones de ese punto de vista, escucho con atención y empatía a los otros. En cuanto a la elaboración del registro de proceso de aprendizaje (RPA) y de otros textos, el propósito es que cada alumno desarrolle su propio estilo de composición, que sea capaz de escribir por cuenta propia sin recurrir a la copia de textos por obligación; de esta manera el alumno escribirá de manera reflexiva, aprendiendo a hacer síntesis cuando sea necesario, a dar su opinión y llegar a conclusiones de todos los textos que enfrente a lo largo de su aprendizaje. A decir de Daniel Cassany “los alumnos mejoran su escritura si se les corrige durante el proceso de composición, antes de dar el producto textual por acabado”. Por ello es de suma importancia el diálogo que se establezca entre el líder para la educación comunitaria (LEC) y el alumno, de ello dependerá la mejora y la profundidad de lo escrito. Durante el proceso de revisión y corrección de los RPA y los escritos del alumno, debemos buscar errores para invitar al alumno a que reformule las partes donde debe corregirse el problema. Los errores son inevitables y no perjudican el aprendizaje, al contrario, “son parte del desarrollo de competencia (el alumno infiere la regla – la comprueba – se equivoca – la reformula…).”1 Los errores comunicativos más graves, y por tanto los primeros que deben corregirse, son los que afectan la claridad del texto. Los errores que cometen los alumnos son muy variados y los podemos agrupar como sigue: INFORMACIÓN • • • • Cambiar el enfoque del tema. Añadir más información. Ordenar la información. Separar lo relevante de lo superfluo. REDACCIÓN • • • • 1 Recortar las frases muy largas. Añadir los conectores adecuados. Buscar el léxico preciso. Desarrollar una idea por escrito. ESTRUCTURA • • • • Separar todos los párrafos. Buscar la idea central de cada párrafo. Completar cada párrafo. Seleccionar los conceptos o palabras clave. CORRECCIÓN • Verificar los acentos, el uso de las v/b y demás usos de grafías (letras) que generan dudas (ortografía). • Verificar los verbos, la concordancia, etcétera (gramática). • Repasar los signos de puntuación. • Evitar las repeticiones léxicas. Daniel Cassany, Reparar la escritura. Dialéctica de la corrección de lo escrito (Barcelona: Graó, 2000). 9 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 9 12/06/19 14:46 MENÚ TEMÁTICO CAMPO FORMATIVO DIMENSIÓN CURRICULAR TEMAS UAA Números enteros Las losetas PM 7 Números racionales La pastelería PM 1 Patrones y progresiones Por enésima vez… PM 10 Ecuaciones El lenguaje del álgebra PM 5 Formas geométricas Ingenio y figura... PM 3 Ubicación espacial Como grandes exploradores PM 2 Medida Y sólo es comparar… PM 8 Proporcionalidad y funciones Lo equitativo y el cambio PM 9 Análisis y presentación de datos Analicemos el dato PM 4 Nociones de probabilidad Águila o sol PM 6 PENSAMIENTO MATEMÁTICO Sentido numérico y pensamiento algebraico Forma, espacio y medida Manejo de la información 10 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 10 12/06/19 14:46 Ilustración: © Shutterstock.com LAS LOSETAS NÚMEROS ENTEROS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 11 12/06/19 14:46 INTRODUCCIÓN ¿Qué es lo primero que pasa por tu mente cuando escuchas las palabras “número entero”? En esta Unidad de Aprendizaje encontrarás que los números enteros, además de estar presentes en tu vida diaria, te sirven para resolver diferentes problemáticas. Para ello, es necesario realizar operaciones con los números enteros y cada persona tiene formas diferentes de realizarlas; aquí descubrirás que existen otras maneras igualmente útiles y que son convencionales. Te invitamos al estudio profundo de los números enteros con la seguridad de que no tienes nada que perder y sí mucho que aprender. PROPÓSITO GENERAL Conocer los números enteros y las diferentes formas de operarlos para identificar y resolver situaciones problemáticas de la vida diaria, tanto dentro como fuera de la escuela. PROPÓSITOS ESPECÍFICOS • • • Analizaremos situaciones diversas que implican agregar, agrupar, quitar, igualar, comparar y repartir objetos para la resolución de problemas, así como distintas formas de sumar y restar números naturales. Conoceremos las cuatro operaciones básicas para resolver problemas en diferentes contextos. Resolveremos problemas que impliquen el uso y operación de los números enteros, utilizando una o más transformaciones en el algoritmo para llegar al resultado. 12 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 12 12/06/19 14:46 MAPA DE CONTENIDOS NÚMERO ENTERO Operaciones con números Número Sistema de numeración decimal Principios de conteo La base diez Clasificación de números (Naturales, enteros, ordinales y cardinales) Valor posicional Números con signo Otros sistemas de numeración Procedimientos no convencionales y procedimientos convencionales Adición Sustracción Multiplicación División Potenciación Radicación LAS LOSETAS NÚMEROS ENTEROS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 13 13 12/06/19 14:46 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Manejas el conteo en diversas situaciones y estableces las relaciones uno a uno. Modelas y resuelves problemas aditivos con objetos. Resuelves problemas aditivos utilizando los signos +, −, = con números de dos cifras. Resuelves problemas que implican multiplicar mediante diversos procedimientos. Comunicas tus estrategias de cómo identificar expresiones aditivas, multiplicativas o mixtas que son equivalentes para solucionar problemas. Identificas la resolución de problemas con división, utilizando el algoritmo convencional en los casos que sean necesarios. Expones diferentes representaciones de una misma situación en problemas aditivos y multiplicativos con números naturales que implican dos o más transformaciones. Comparas y aplicas distintos procedimientos para resolver problemas utilizando dos o más operaciones básicas. Comunicas de diversas formas los resultados a problemas que impliquen potenciación y radicación de números enteros. Argumentas tus razonamientos al resolver problemas que implican el uso del mínimo común múltiplo y el máximo común divisor. INICIAL UAA_PM_REV_CONAFE.indd 14 BÁSICO INTERMEDIO Ilustración: Ivanova Martínez Murillo 1 Usas conceptos cuantitativos como: todo, mucho, poco, nada, ninguno, algunos, vacío, lleno, largo y corto. Ilustración: Ivanova Martínez Murillo TRAYECTO DE APRENDIZAJE AVANZADO ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES En este desafío aprenderás la diferencia entre mucho, poco, dónde hay más, cuándo está vacío o lleno. Encontrarás la relación que se puede establecer entre objeto y número para poner en práctica los principios de conteo, todo esto te permitirá contar todos los objetos que hay en una colección. 14 12/06/19 14:46 Ilustraciones: © Shutterstock.com ¿Cómo acomodarías las manzanas para que haya muchas en una canasta y pocas en la otra? En las otras imágenes, ¿qué hay más: zanahorias o cocodrilos? Ahora vamos a conocer los números, su nombre y representación. En la primera imagen te presentamos los números, aprende el nombre de cada uno y su representación para que aprendas a identificarlos. Ilustraciones: © Shutterstock.com En la segunda imagen encierra con diferentes colores todos los números que sean iguales, es decir, todos los 1 enciérralos con un color, todos los 2 con otro color y así sucesivamente. LAS LOSETAS NÚMEROS ENTEROS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 15 15 12/06/19 14:46 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Los números son una representación de la cantidad de objetos que tenemos, los utilizamos para contar. Ahora que ya aprendiste los números y sus nombres, ¿cómo relacionas el número con la cantidad de cocodrilos? • • • ¿Cuántas manzanas hay en la canasta? Cuenta las zanahorias y dibuja los cocodrilos que sean necesarios para tener el mismo número que el de las zanahorias. ¿Qué otras cosas puedes contar aparte de frutas y animales? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Cuando un número es divisible entre otro, quiere decir que si realizamos la división, ésta será exacta, es decir, el residuo es igual a cero. Por ejemplo, si tienes 5 globos y los quieres repartir entre 5 amigos, esto es una división; a cada niño le tocará un globo y no te sobrarán ni faltarán globos. Ahora piensa en una repartición de cinco dulces y tres amigos, si les das uno a cada uno de ellos te sobrarían dos, eso quiere decir que el cinco no es divisible entre el tres. A los números que no son primos también se les llama números compuestos, ya que tienen más divisores aparte de ellos mismos y del 1. El único primo que también es par es el número 2. En este desafío conocerás la Criba de Eratóstenes, que es una estrategia para reconocer algunos de los primeros números primos. En la siguiente tabla encuentra todos los números primos menores que 20 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 16 12/06/19 14:46 • • ¿Cuántos números primos menores que 20 encontraste? Y si aumentas la Criba de Eratóstenes a 100, ¿cuántos números primos habrá? El siguiente texto te puede apoyar a resolver el desafío. ALGUNAS CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS ENTEROS2 El hombre siempre ha tenido la necesidad de contar y ordenar todo lo que hay a su alrededor, como la cantidad de estrellas que hay en el cielo, el paso de los días, el tiempo, distancias entre lugares, dinero para comprar, la cantidad de ganado o de animales que se tiene en una granja. Debido a esta necesidad surgen los números, que son símbolos abstractos, los cuales utilizamos para indicar cuántos objetos hay en un conjunto, es decir, nos sirven para contar. Los primeros números que el hombre empezó a utilizar son los enteros positivos o números naturales; se representan mediante la letra ℕ y son 1, 2, 3, 4, 5, 6… Al conjunto formado por todos los números positivos, el cero y los números negativos se les llaman enteros y se representa mediante la letra ℤ. También podemos representarlos a través de una línea, fijando un origen donde colocaremos al cero (0) y una unidad de medida fija (−1) y (1). Los números positivos van del lado derecho y cuanto más se alejan del cero, son más grandes; en cambio los números negativos están al lado izquierdo del cero y cuanto más se alejan de él son más pequeños. © Shutterstock.com 2 Texto elaborado ex professo para esta UAA. LAS LOSETAS NÚMEROS ENTEROS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 17 17 12/06/19 14:46 Podemos clasificar a los números naturales en: Pares: Los que son múltiplos de 2, es decir, los que son de la forma 2, 4, 6, 8, 10… La suma, resta y multiplicación de dos números pares siempre es un número par. Ejemplo: 350 + 28 = 378 378 es par 226 − 62 = 164 164 es par 40 × 10 = 400 400 es par Impares: Todos los que no son múltiplos de 2, es decir; 1, 3, 5, 7, 9… La suma y resta de dos números impares siempre dará como resultado un número par. Ejemplo: 17 + 23 = 40 40 es par 25 − 13 = 12 12 es par La multiplicación de dos números impares siempre es un número impar. Ejemplo: 5×7=3 35 es impar 9 × 13 = 117 117 es impar Los múltiplos son números que se obtienen de otro número mediante la multiplicación. Ejemplo: 30 es múltiplo de 5, ya que 5 × 6 = 30 Dentro de los números impares se encuentran los números primos, que son aquellos números que solo pueden dividirse entre 1 y entre ellos mismos. El primer número primo es el 2. Ejemplo: 7 sólo puede dividirse entre 1 y entre 7, por lo tanto es primo. Todo número natural se puede expresar como el producto de números primos, a esto se le llama Teorema Fundamental de la Aritmética. 18 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 18 12/06/19 14:46 Por ejemplo: 72 = 3 × 3 × 2 × 2 × 2 3 y 2 son números primos También existen los criterios de divisibilidad para 2, 3 y 5. Un número puede dividirse entre 2 si es par o termina en cero. Ejemplo: 26 ÷ 2 = 13 10 ÷ 2 = 5 26 es par y 10 termina en cero Un número puede dividirse entre 3, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Ejemplo: 261, 2 + 6 + 1 = 9 es múltiplo de 3 261 ÷ 3 = 87 Un número puede dividirse entre 5, si termina en 5 o cero. Ejemplo: 535 ÷ 5 = 107 240 ÷ 5 = 48 535 termina en 5 y 240 termina en cero En este sentido tenemos otras dos herramientas: el máximo común divisor (m.c.d.) que es el número más grande que divide exactamente a dos o más números, éste nos brinda una optimización, es decir, puedes observar un pedazo de tela en tu casa y la quieres cortar en cuadros, pero no quieres que te sobre tela, entonces vamos a necesitar esta gran herramienta sólo utilizando las medidas de tu tela original. Y el mínimo común múltiplo (m.c.m.) que es el número más pequeño y múltiplo común de dos o más números. Supongamos que hay un bebé en casa al cual le tienes que dar de comer cada 3 horas y tienes gallinas a las que hay que dar de comer cada 12 horas, ¿cuándo se juntarán las comidas del bebé y las gallinas? ¡Exacto! Vamos a utilizar nuestro m.c.m. REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Registra en tu cuaderno tus avances, considera qué es lo más importante que no debes olvidar. Te sugerimos las siguientes preguntas: • ¿Por qué hay números impares? • Si tuvieras que hallar los primeros números primos menores que 40, ¿qué números primos te faltan? • ¿El número 981 es divisible entre 3?, ¿por qué? LAS LOSETAS NÚMEROS ENTEROS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 19 19 12/06/19 14:46 ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Es importante que identifiques la información que te da el siguiente desafío, lo que te pide y cómo se relacionan estos elementos para construir tu estrategia de solución. En el siguiente desafío descubrirás la manera en que se relaciona la aritmética con la geometría aplicada a una situación real. Podrás hacer algunas operaciones para llegar al resultado, ¡no te preocupes!, utiliza el procedimiento que conozcas y los materiales que más te agraden. En su casa, don Luis cubrirá un piso rectangular de 450 cm de largo y 360 cm de ancho con losetas cuadradas de diferentes tamaños. Para esta actividad, don Luis no puede cortar las losetas. ¿Cuál es el menor número de losetas que se necesitan para cubrir el piso? Las siguientes actividades te apoyarán en la resolución del desafío. Dialoga con tu tutor acerca de tus resultados. Para saber la cantidad de losetas que se requieren para cubrir un piso, los trabajadores hacen estimaciones con dibujos o esquemas como la imagen de abajo. En la imagen, la habitación tiene forma de rectángulo y las losetas son cuadradas. 20 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 20 12/06/19 14:46 Dialoga con tu tutor las siguientes preguntas: • ¿En qué se parecen un rectángulo y un cuadrado? ¿En qué son diferentes? • Si te pidieran agrupar las losetas para transportarlas, ¿cuál sería tu criterio para hacer esta agrupación? • Si quisieras utilizar pocas losetas para cubrir el piso, ¿cuáles utilizarías? • De las losetas que están en el dibujo, ¿cuáles no cubren la totalidad del piso? • ¿Cómo es que se relaciona el tamaño de las losetas con la cantidad de espacio que cubren? Para planear cómo cubrir el piso, don Luis dibujó un cuadrado rojo con losetas cuadradas de distintos tamaños, como se muestra en la imagen de abajo: 1 cm2 Observa detenidamente el dibujo y dialoga con tu tutor, ¿te ayuda en algo? Por otro lado, si no se pidiera como condición usar el menor número de losetas: • ¿Cuántas soluciones encontraste para el problema? • ¿Cuáles son las dimensiones de las losetas en cada solución? • En las soluciones que encontraste y considerando que don Luis no puede cortar las losetas, ¿cuántas losetas caben a lo largo y ancho del piso? LAS LOSETAS NÚMEROS ENTEROS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 21 21 12/06/19 14:46 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN No olvides anotar tus aprendizajes en tu RPA, las dificultades que se te presentaron y la manera en que las resolviste. Te sugerimos dialogar las siguientes preguntas: • ¿Qué procedimientos realizó don Luis para saber el número de losetas que requiere para cubrir el piso? • ¿Qué procedimiento utilizarías para saber las medidas de cada loseta? • Si don Luis sólo tuviera losetas amarillas y verdes para cubrir el piso, ¿con cuáles de estas losetas se ocuparían más? • ¿Qué problema habría si don Luis sólo ocupara losetas amarillas y el piso que ha dibujado fuera de 12 por 14 en lugar de 12 por 12? • ¿Qué problema habría si don Luis sólo ocupara losetas verdes y el piso que ha dibujado fuera de 10 por 12 en lugar de 12 por 12? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES En el siguiente desafío descubrirás la manera en cómo se comportan los números con signo, y cómo el signo afecta su valor. Pon atención en el significado del signo + o − en los números. Don Luis trabaja pegando losetas y lo han contratado en varias comunidades. Para preparar el pegamento que une a las losetas don Luis necesita que el agua esté a 20 °C de temperatura. En la siguiente página, se muestra la temperatura que tiene el agua en distintas horas del día; esa información le sirve a don Luis para tomar decisiones. Si don Luis comenzara su jornada de trabajo a las 6 de la mañana, ¿en qué comunidad tendrá que calentar más el agua para que pueda preparar el pegamento? Si don Luis comenzara su jornada de trabajo a las 11 de la mañana, ¿en cuál comunidad tendrá que calentar menos el agua para que pueda preparar el pegamento? 22 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 22 12/06/19 14:46 TEMPERATURA DEL AGUA COMUNIDADES A LAS 6 AM A LAS 11 AM A LA 1 PM Plan de Ayala −8º 10º 18º Las Mesas −15º −10º −2º Rancho María −4º 18º 20º Rancho Santa Fe −16º −8º 2º Las Margaritas −10º 14º 20º Chapultepec −14º −13º −10º ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Aunque no lo hayas notado, siempre estamos usando los números, como cuando vas a la tienda a comprar dulces o cosas para la comida. En todo lo que hacemos siempre hay números involucrados. En este desafío aprenderás a resolver problemas de la vida diaria en los que se involucran operaciones de números positivos y negativos. Doña Lupita tiene una tienda, cada día compra mercancía para vender en su tienda y quiere saber cuáles son sus ganancias o si tiene pérdidas. El lunes vendió $137 y gastó $55 El martes vendió $226 y gastó $243 El miércoles vendió $179 y gastó $391 ¿Cuánto vendió en los 3 días? ¿Cuánto gastó en los 3 días? ¿Tuvo pérdidas o ganancias? LAS LOSETAS NÚMEROS ENTEROS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 23 23 12/06/19 14:46 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Anota en tu cuaderno los aprendizajes que obtuviste y dialoga con tu tutor. Apóyate de las siguientes preguntas: • • • ¿De qué herramientas podemos echar mano para realizar sumas y restas de números con diferente signo? ¿En qué casos se conserva el signo? ¿Por qué se cambia el signo de los números? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Los números se encuentran en cualquier lugar, sea representando una cantidad, dando valor o señalando orden. Cuando se emplean para algún fin, el orden de los números en una cifra adquiere un valor muy importante, pues no es lo mismo decir “tengo 10 pesos” que “tengo 01 pesos”. En el recreo, Julieta y sus amigos juegan a formar números con tarjetas moviendo las tarjetas como ellos quieran. Tu desafío es distinguir la importancia del orden en la presentación de los números. Ilustración: © Shutterstock.com Para resolverlo observa con atención la siguiente imagen, y después dialoga las preguntas con tu tutor. 0 0 9 1 Julieta 24 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 24 12/06/19 14:46 Felipe Rosa 8 0 8 1 • • 6 6 Ilustraciones: © Shutterstock.com 9 2 • ¿Quién de ellos puede formar el número de menor valor usando todas sus tarjetas? ¿Cuál es el número de mayor valor que puede formar Julieta? Menciona los nombres de tres números distintos que puede formar Rosa y que comienzan y terminan con números diferentes. La siguiente lectura te ayudará a comprender y profundizar en la resolución y estudio del desafío, léela y comenta tus conclusiones con tu tutor: SISTEMAS DE NUMERACIÓN3 Foto: © Shutterstock.com Los egipcios representan una de las civilizaciones más antiguas y desarrolladas del mundo. Gracias a la existencia de los papiros de Rhind y de sus múltiples jeroglíficos es que se sabe algo acerca de su aritmética. Aunque emplearon el sistema duodecimal en la subdivisión del año (en doce meses, correspondientes a sus doce dioses principales) y del día (en doce horas de claridad y doce de tinieblas), su numeración era decimal y contaba con signos jeroglíficos para las cifras del uno al diez y para cien, mil, diez mil, cien mil y un millón. 3 Los babilonios, al igual que los egipcios, desarrollaron su propio sistema de numeración, ellos escribían sobre tablillas de arcilla, en donde utilizaban la escritura cuneiforme y no tenían ningún símbolo para representar el cero. José Manuel Becerra, “Sistemas de numeración”, Unidad II, Colegio de Matemáticas de la EPN-UNAM, http://dgenp.unam.mx/ direccgral/secacad/cmatematicas/pdf/m4unidad02.pdf (Fecha de consulta: 19 de marzo de 2018). LAS LOSETAS NÚMEROS ENTEROS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 25 25 12/06/19 14:46 Utilizaban un sistema de numeración de valor posicional a través de dos símbolos básicos en forma de cuña. Una en forma vertical para las unidades y otra en forma horizontal para las decenas. Los mayas inventaron un sistema de numeración en donde aparece por primera vez el cero, además de que su base era el veinte, ya que se cree, que tal vez sea por el hecho de contemplar los dedos de pies y manos. Esta civilización representó cada cantidad por medio de símbolos que según la posición que ocupaban adquiría cierto valor, es decir el sistema maya así como el decimal es un sistema de posiciones. El símbolo del cero en cualquier posición indica ausencia de cantidad. Los hindúes representaron con nueve símbolos diferentes, uno por cada número del uno al nueve. Éstos han cambiado con el tiempo, pero llegaron a Europa en su forma actual en el siglo XVI. Por su parte, los griegos y los hebreos utilizaron nueve símbolos diferentes para estos números. En cada caso, los símbolos eran las primeras nueve letras de sus alfabetos. Ilustración: © Shutterstock.com El Imperio Romano desarrolló un sistema de numeración que se usó en Europa hasta el siglo XVII. En la actualidad es muy conocido y se usa para indicar los tomos de una obra, los capítulos de un libro, el nombre del siglo, el nombre de una época, para las fechas, para los personajes de mismo nombre y las horas en las carátulas de algunos relojes. […] 26 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 26 12/06/19 14:46 Sistema decimal La numeración que se utiliza en la actualidad fue heredada por los árabes, por lo que sus caracteres los llamamos arábigos. En un principio hubo dos clases de números arábigos: los del Imperio de Oriente y de Occidente de Europa. En México se emplean los occidentales, que fueron llevados por los moros a España, los números orientales se usan en Turquía, Egipto, Arabia y los países vecinos. De acuerdo con lo expuesto anteriormente, la numeración egipcia y la romana empleaban la base 10 pero no usaban el principio de posición. Otras numeraciones como la maya y la babilonia usaban el principio de posiciones pero no usaban la base diez. En el sistema decimal se usan los dos principios, es decir se utiliza la base 10, además de que las cifras tienen su valor según la posición que éstas ocupen. Ilustración: © Shutterstock.com Al decir que un sistema es de base diez, significa que sólo hace uso de diez símbolos o guarismos únicamente, es decir, los símbolos de base 10 son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Los dígitos pueden tener dos valores: un valor absoluto, que es el que indica el número de unidades que lo forman, y un valor relativo, que es el que adquieren según la posición que ocupan. LAS LOSETAS NÚMEROS ENTEROS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 27 27 12/06/19 14:46 Ejemplo: El valor absoluto de los dígitos que forman 496 es: 4, 9, 6. Por su parte, el valor relativo es 400, 90 y 6. Las cifras que intervienen en un número se dividen en períodos de seis cifras cada uno de la siguiente forma: TERCER PERIODO SEGUNDO PERIODO PRIMER PERIODO Billones Millones Unidades Primer grupo Unidades Segundo grupo Decenas Tercer grupo Centenas Primer grupo Unidades Segundo grupo Decenas Tercer grupo Centenas Primer grupo Unidades Unidades Segundo grupo Decenas Miles Tercer grupo Centenas Unidades Primer grupo Unidades Miles Segundo grupo Decenas Unidades Tercer grupo Centenas Miles Primer grupo Unidades Primer grupo Segundo grupo Decenas Segundo grupo Tercer grupo Centenas Primer grupo Primer grupo Unidades Segundo grupo Segundo grupo Decenas Primer grupo Tercer grupo Centenas Segundo grupo El periodo de la derecha son las unidades, el siguiente son los millones, el siguiente es el de los billones, etc. Cada periodo se puede dividir en dos grupos de tres cifras cada uno: las unidades y los millares, a su vez cada grupo se divide en unidades, decenas y centenas. Como el sistema de base 10 consta de diez dígitos o guarismos, si se desea contar utilizando la base diez, se debe hacer de la siguiente manera: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11… 19, 20, 21… 29, 30, 31… 99, 100, 101… 109, 110, 111… 999, 1000, 1001… etc. Es posible también escribir un número en notación desarrollada, esto es, que cualquier cantidad se puede escribir como la suma de los dígitos del número por la base diez elevada al correspondiente exponente. 28 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 28 12/06/19 14:46 Comenta con tu tutor lo que más te haya gustado del texto y de qué manera te ayuda a la resolución del desafío. Para continuar en el estudio del desafío, el siguiente texto en inglés te ayudará a conocer la importancia del aprendizaje del sistema decimal en niños mexicanos de primaria. SYMBOLIC REPRESENTATION FOR INTRODUCTION OF CONCEPT OF DECIMAL SYSTEM IN MEXICAN SCHOOL CHILDREN4 The introduction of decimal system represents one of the essential aspects of learning at primary school. This is the theme what occupies most of the activities in the first three years of primary school education (Ruesga y Guimaraes, 2011). The decimal system is considered a positional system, because the digits are not independent but are subject to their spatial position. No digit has absolute meaning, but depends on spatial specific position (Silva y Barela, 2010; Ávila y García, 2008; Luria, 1995). The problem is that such knowledge is not explicit and apparently children have to “discover” it. Normally, children learn to sum and rest and to fulfill multiple operations, but they do not receive any orientation or explanation of the way to “discovery” of logic and theoretical basis of decimal system. There is no doubt that decimal system is a symbolic system based on relative meaning of each digit. Each new column of the decimal number system is considered as a new measure count, which is 10 times greater than the extent of the previous column, for example, 10 units of the first column (units) given unit of the second column (tens). Left or right position has also specific meaning in decimal system. The reflection of such relationships could allow students show arithmetic actions, laws and combination translational. It is also possible to emphasize that counting by equal units (not necessary by 10 units), allows preparation of the conceptual introduction of any numeric system (not only decimal system) (Talizina, 2009, Salmina, 2001). The pertinent question could be how to manage an appropriate way of introduction of such knowledge at school? 4 Y. Solovieva, Y. Rosas Rivera, L. Quintanar y M. A. García. “Symbolic Representation for Introduction of Concept of Decimal System in Mexican School Children”, http://www.ccsenet.org/journal/index.php/ies/article/view/30781 (Fecha de consulta: 30 de enero de 2018). LAS LOSETAS NÚMEROS ENTEROS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 29 29 12/06/19 14:46 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Dialoga con tu tutor y comenta: • • • ¿Qué parte del texto llamó más tu atención? ¿Cuál es el último número entero que existe? ¿Cómo sería una numeración de base seis, donde solamente hubiera seis guarismos? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Las potencias son operaciones que nos hacen más sencillos los cálculos de números que se repiten. Imagínate en la granja con una pareja de conejos, ellos se reproducen y tienen 6 crías hembras, cada una de ellas tendrá 6 crías y así sucesivamente, entonces la primera camada tendría 6 y en la segunda 62. En este desafío conocerás las potencias y la notación científica, en qué casos se utilizan y las operaciones que podemos realizar con ellas. Notarás que es más sencillo trabajar con éstas y simplificar las operaciones. Un terreno cuadrado tiene un área de 1 000 000 m2. Exprésalo en notación científica. Convierte esa área a km2. El siguiente texto te puede ayudar a resolver el desafío. POTENCIA5 Una potencia es una manera abreviada de escribir la multiplicación de un número por sí mismo. Así podemos simplificar multiplicaciones muy largas en donde se repite el mismo número. 5 Texto elaborado ex professo para esta UAA. 30 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 30 12/06/19 14:46 Una potencia está formada por dos números, que son la base y el exponente. La base se multiplica por sí misma tantas veces como lo indique el exponente. Ejemplos: Potencia 23 34 Base 2 3 Exponente 3 4 Solución 2×2×2=8 3 × 3 × 3 × 3 = 81 Operaciones con potencias a0 = 1 a1 = a abac = ab+c producto de potencias de la misma base (ab)c = abc potencia de una potencia ab b-c ac = a división de potencias de la misma base (ab)c = ac bc potencia de un producto ( ba ) = a /b potencia de una fracción c c c a-n = 1n a a≠0 a, b, c y n son cualesquiera números naturales ( ba ) = ( ba ) -n n Notación científica Se usa para hacer más sencillos los cálculos de cantidades muy grandes o muy pequeñas y así simplificar la notación, por lo tanto será más fácil operar con ellos; para hacerlo, utilizamos las potencias de 10. 0.1 = 10−1 0.01 = 10−2 0.001 = 10−3 0.0001 = 10−4 0.00001 = 10−5 10 = 101 100 = 102 1000 = 103 10000 = 104 100000 = 105 LAS LOSETAS NÚMEROS ENTEROS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 31 31 12/06/19 14:46 Para números grandes tenemos que recorrer el punto una posición antes de la primera cifra, de derecha a izquierda. Para números pequeños recorremos el punto de izquierda a derecha y el exponente será negativo. Radicación n A esta expresión a se le da el nombre de radical y se define de la siguiente forma: n a = b si y sólo si bn = a Un radical está formado por: coeficiente, radicando e índice de la raíz. Coeficiente radicando índice de raíz 2 3 2 3 2 3 ab 1 ab 3 Algunas propiedades de los radicales: n a =0 • Si a = 0, entonces • n a = an • n am = (am ) n = a n • n abc = (abc) n = a n b n c n = 1 1 m 1 a = b • n • am n n n 1 1 1 n a n b n c a b n b = (am)nb 32 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 32 12/06/19 14:46 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Esta notación se utiliza mucho en cantidades muy grandes, como las superficies de los planetas, distancias entre la tierra y el sol y otras estrellas o también para números muy pequeños, como la longitud de bacterias. • • • • Si la longitud de una bacteria es de 0.000052m, ¿cómo lo expresas en notación científica? ¿Cómo resolverías (−2)3? ¿Qué pasa cuando la base es negativa y la potencia es un número impar? ¿Qué pasa cuando la base es negativa y la potencia es un número par? COMPARTE LO APRENDIDO, MEJORA Y COMPLETA TU REGISTRO Las siguientes preguntas te ayudarán a seguir aprendiendo sobre el tema, y las puedes mostrar a tus compañeros: • • • • • Si no pudieras utilizar números, ¿cómo representarías tu edad? La maestra Ana anota su edad en números romanos así: XXIV ¿Sabes cómo se escribe tu edad en números romanos? Ésta es la edad de la hermana de la maestra Ana en números mayas: ¿Cómo se escribirá tu edad en números mayas? ¿Cómo representarías la edad de tus padres y de tu tutor con números mayas? PARA SEGUIR APRENDIENDO Fuentes consultadas Aguilar Márquez, A., F. Bravo Vázquez, H. Gallegos Ruíz, M. Cerón Villegas y R. Reyes Figueroa. Aritmética y álgebra. Cuarta edición. México: Pearson Educación, 2016. LAS LOSETAS NÚMEROS ENTEROS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 33 33 12/06/19 14:46 Becerra, José Manuel. Sistemas de numeración. Unidad II. Colegio de Matemáticas de la EPN-UNAM, http://dgenp.unam.mx/direccgral/secacad/cmatematicas/pdf/m4unidad02. pdf (Fecha de consulta: 19 de Marzo de 2018). Navarro Cuevas, Jaime. Una breve descripción de los números reales. Vol. 1. México: Limusa, 1980. Purcell, Edwin J., Dale Varberg. Cálculo con Geometría analítica. México: Prentice Hall, 1984. Solovieva y Rosas Rivera, L., L. Quintanar y M.A. García. Symbolic Representation for Introduction of Concept of Decimal System in Mexican School Children. http://www. ccsenet.org/journal/index.php/ies/article/view/30781 (Fecha de consulta: 30 de marzo de 2018). Wentworth, Jorge y David Eugenio Smith. Elementos de Álgebra. 1945. Fuentes sugeridas Conafe. Revista Colibrí. Arte, ciencia y técnica II. México: Conafe, 1990. pp. 49-63. IEEPO. Educando Tv. Preescolar clase: 32. Tema: Números del 1 al 9. https://www.youtube. com/watch?v=aNyAjkRiD_Y ____ Preescolar clase: 44. Tema: Correspondencia uno a uno. https://www.youtube.com/ watch?v=Oiandc4-OLk ____ Preescolar clase: 49. Tema: ¿Dónde hay más, donde hay menos? https://www. youtube.com/watch?v=PEhQiB8-pDk ____ Preescolar clase: 80. Tema: Número y conteo. https://www.youtube.com/ watch?v=3N5eOCHjSGo ____ Primaria 1° y 2° clase 2. Tema: Colecciones. https://www.youtube.com/ watch?v=0yFl7eoRw74 ____ Primaria 1° y 2° clase 120. Tema: La multiplicación (primera sesión) https://www. youtube.com/watch?v=dr0GI-k3ukg ____ Primaria 1° y 2° clase 121. Tema: La multiplicación (segunda sesión) https://www. youtube.com/watch?v=wJHjrWEq6Og ____ Primaria 1º y 2º Clase: 128. Tema: Descomposición de números. https://www.youtube. com/watch?v=EO7IG6wpJt4 ____ Primaria 3º y 4º clase: 51. Tema: Nombre y escritura de números. https://www. youtube.com/watch?v=W4-iWdPnaxE ____ Primaria 5º y 6º clase 2. Tema: Sistema Numérico Decimal. https://www.youtube.com/ watch?v=05gnzsZ3M_I ____ Secundaria Clase 4. Tema: Números y sistemas de numeración. https://www.youtube. com/watch?v=03nqAWgDQCs ____ Secundaria clase: 48. Tema: Números primos y compuestos. Criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. https://www.youtube.com/watch?v=w_9zZaVSlvI ____ Secundaria clase 61. Tema: Potenciación de números enteros y decimales (Primera sesión). https://www.youtube.com/watch?v=_TkF3B1ZAu8 34 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 34 12/06/19 14:46 Ilustración: © Shutterstock.com LA PASTELERÍA NÚMEROS RACIONALES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 35 12/06/19 14:46 INTRODUCCIÓN Medir nuestra estatura, pesar los ingredientes para hacer una receta, tomar el tiempo que tardamos en completar un viaje; para todos estos tipos de mediciones existe un instrumento calibrado y una unidad que se usa como la base –metros en el caso de la estatura, kilogramos en el caso de los ingredientes, horas en el caso de la duración del viaje–. Pero, a menudo, para obtener la precisión necesaria en nuestra medición es necesario dividir esas unidades básicas. Por ejemplo, nuestra estatura no es un número entero de metros, por lo cual es común hacer la medición con reglas graduadas en centímetros –es decir, una parte de un metro partido en cien–. Otro tanto ocurre con los kilogramos y las horas, pues es necesario dividirlos si queremos hacer mediciones confiables en situaciones cotidianas, y aún más si se trata de situaciones en la industria o la ciencia. Ilustración: © Shutterstock.com Las personas han hecho mediciones y cálculos con números que no son exactamente un entero –llamados comúnmente fracciones o quebrados– desde hace aproximadamente 4000 años. Desde entonces, la humanidad ha buscado formas cada vez más eficientes de hacer cálculos con las fracciones, un proceso que ha llevado miles de años. Los números decimales, por ejemplo, son hoy en día una herramienta indispensable para los cálculos en la industria, la tecnología y la ciencia. Su invención ocurrió a finales de los años 1500, es decir, aproximadamente 2500 años después de que la gente usó fracciones por primera vez. 36 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 36 12/06/19 14:46 A la par de encontrar procedimientos cada vez más eficaces para hacer las operaciones, los matemáticos han inventado varias formas de representar cantidades no enteras. Hoy en día, además de las fracciones comunes, se utilizan las fracciones decimales, los números decimales y los porcentajes. Todos estos números forman una familia llamada los números racionales, que son el tema de esta unidad. PROPÓSITO GENERAL Conocer y operar con las cantidades no enteras (fracciones comunes, fracciones decimales, números decimales y porcentajes) conocidas como números racionales. PROPÓSITOS ESPECÍFICOS • • • Resolveremos problemas de fraccionamiento con diferentes objetos. Comprenderemos procedimientos para realizar las operaciones aritméticas básicas con números racionales. Contrastaremos el uso de los números racionales para resolver problemas en campos distintos de las matemáticas. MAPA DE CONTENIDOS NÚMEROS RACIONALES Números fraccionarios Números decimales Conceptualización Partes de una fracción Conceptualización Punto decimal Tipos de fracciones Equivalencia Base y valor proporcional Comparación y equivalencias Representación Simplificación Orden (antecesor y sucesor) Conversión de expresiones Comparación Ubicación en la recta LA PASTELERÍA NÚMEROS RACIONALES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 37 37 12/06/19 14:46 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 38 6 7 8 9 10 11 Comprendes las relaciones entre distintas representaciones numéricas de los números racionales, tales como las fracciones comunes, las fracciones decimales, los números decimales, y los porcentajes. Utilizas estratégicamente distintas representaciones numéricas de los números racionales al realizar operaciones aritméticas con ellos. Explicas como estimas y comparas el valor de números racionales expresados en distintas representaciones numéricas. Aprecias la contribución de los números racionales para resolver problemas en campos distintos de las matemáticas, tales como las ciencias sociales. BÁSICO INTERMEDIO Ilustración: Ivanova Martínez Murillo 5 Haces operaciones de multiplicación y división con fracciones comunes de igual y diferente denominador a partir de objetos, dibujos y la recta numérica. Divides objetos (papel, pasteles de lodo, tiras de tela, plastilina) en mitades, cuartos y octavos. 4 Haces operaciones de suma y resta de fracciones comunes con denominadores diferentes a partir de objetos, dibujos y la recta numérica. 3 Haces operaciones de suma y resta de fracciones comunes con denominadores iguales a partir de objetos, dibujos y la recta numérica. 2 Armas rompecabezas de hasta 10 piezas y diferentes figuras con el Tangram. INICIAL Representas en dibujos y números fracciones con denominadores pares e impares. 1 Realizas reparticiones en juegos simbólicos. Ilustración: Ivanova Martínez Murillo TRAYECTO DE APRENDIZAJE AVANZADO ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Uno de los problemas que más se nos presentan en matemáticas es repartir cosas, como juguetes, dulces, ropa, etc. No siempre es tan sencillo 38 12/06/19 14:46 hacer una repartición de manera que todos tengan la misma cantidad de objetos. Cuando hacemos una repartición, lo que realmente estamos haciendo es una división. Ilustración: © Shutterstock.com Los papás de Lorena, Luis y Alma les compraron estos juguetes y quieren repartirlos entre los tres, de manera que todos tengan juguetes y no sobre ninguno. ¿Cómo harías la repartición? ¿Cuántos juguetes le tocan a cada niño? REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Dibuja en tu cuaderno cómo harías la repartición de los juguetes. • • • • ¿Es la única forma de repartir los juguetes o existen otras? ¿Qué pasa cuando la repartición no es exacta? ¿Cómo repartirías 10 canicas entre 4 personas? ¿Cómo repartirías 5 chocolates entre 7 personas? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Una fracción es una porción de un entero, y se obtiene al dividir el número en partes iguales. También podemos realizar operaciones con las fracciones como la suma o resta. En este desafío aprenderás que se puede dividir un objeto en partes iguales y tomar sólo algunas para repartirlas. LA PASTELERÍA NÚMEROS RACIONALES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 39 39 12/06/19 14:46 Colorea y escribe según la porción que se pide. FRACCIONES Ilustración: © Shutterstock.com SUMA DE FRACCIONES 40 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 40 12/06/19 14:46 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Anota en tu RPA cómo resolviste el desafío. • ¿Qué otras figuras podrías dividir en partes iguales? • ¿Cómo harías una resta usando figuras similares? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Ilustración: © Shutterstock.com Recorta una imagen que a ti te guste y haz 10 trazos, como se ejemplifica en la imagen de abajo, revuelve cada parte y ¡empieza a armar tu rompecabezas! También puedes armar distintas figuras con el tangram. Para ello calca cualquiera de las variantes de tangram que aparecen abajo, colorea, recorta y listo. LA PASTELERÍA NÚMEROS RACIONALES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 41 41 12/06/19 14:46 Ilustración: © Shutterstock.com REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Recuerda que hay que escribir o dibujar en tu RPA tu proceso de aprendizaje, identificando tus retos y las formas en que los resolviste. Las siguientes preguntas te pueden ser de utilidad: • • • • ¿Qué consideraste para hacer tu rompecabezas? ¿Qué figuras pudiste armar con el tangram? ¿Cuál es la diferencia entre un rompecabezas como el de la imagen y un tangram? ¿Cuál se te facilitó armar? 42 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 42 12/06/19 14:46 También puedes reflexionar sobre lo siguiente, para ampliar tu RPA. • • Ahora vamos a imaginar que tenemos una barra de chocolate y hay que repartirlo entre 3 amigos, ¿cómo lo partirías para que a cada uno le toque un pedazo igual?, y si fueran 4 amigos, ¿cómo lo dividirías? Elabora en tu cuaderno los dibujos de cómo dividiste el chocolate en el caso de 3, 4 y 8 amigos y responde: ¿en qué caso el pedazo de chocolate es más grande?, y ¿en cuál es más pequeño?, ¿por qué?, ¿cuál reparto fue más fácil para ti? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Es importante que observes cuándo los enteros ya no son suficientes para resolver una situación, así como la relación entre objetos, cantidades, magnitudes y números que participan en ésta. Analiza cómo los números fraccionarios y los decimales ayudan a ser más precisos o tener mejores aproximaciones en situaciones en las que las cantidades no son enteras o en cantidades en las que, al operarse el resultado, éste no es entero. Doña Isabel abrió su pastelería esta semana. Vende pasteles de 2, 3 y 5 kilos, aunque también los vende por rebanada. A continuación, puedes ver la tabla de precios: Tamaño 2 kilos Precio 99.90 pesos 3 kilos 5 kilos 174.90 pesos 249.90 pesos Doña Isabel quiere ganar más vendiendo el pastel de 2 kilos por rebanadas, así que quiere saber en cuántas rebanadas, del mismo tamaño, podría partir un pastel para ganar hasta el doble del precio del pastel entero. Ayúdale a calcular diferentes tamaños de rebanadas para que ella elija cuál le conviene más. Considera cuánto pesaría cada rebanada en las opciones que le ofrezcas a doña Isabel. LA PASTELERÍA NÚMEROS RACIONALES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 43 43 12/06/19 14:46 Ilustración: © Shutterstock.com • • • • • ¿Cuántas rebanadas salieron de tu primer intento? ¿Cuál sería el precio de cada una? ¿Cuánto obtiene doña Isabel por estas rebanadas? ¿Cómo calculaste el peso de cada rebanada? ¿Qué otras opciones tienes? REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Registra lo siguiente sobre tu experiencia: • • • ¿Recuerdas alguna vez haber repartido un pastel en algún cumpleaños o un dulce? ¿Cómo lo hiciste? Si lo hizo alguna otra persona, ¿recuerdas cómo lo hizo para que quedaran del mismo tamaño cada porción? Compara las opciones que diste en la repartición del pastel, comenta sobre cómo le hiciste para partirlo en rebanadas y si en todas las opciones fueron igual las porciones, y en cuál de todas obtenía doña Isabel mayor ganancia. 44 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 44 12/06/19 14:46 ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES En el siguiente desafío observa la función de las fracciones y la operación de los números fraccionarios y de los decimales. Descubre una aplicación más de los números en la vida diaria. Ilustración: © Shutterstock.com Papel de envoltura Para entregar los pasteles, doña Isabel los envuelve en papel. En los pasteles de 2 kilos ocupa 1/2 metro, en los de 3 kilos utiliza 3/4 de metro y en los de 5 kilos ocupa 11/3 de metros. Si al final de un día vendió 7 pasteles de 2 kilos, 5 de 3 kilos y 5 de 5 kilos… REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Recuerda que hay que escribir o dibujar en tu RPA tu proceso de aprendizaje, identificando tus retos y las formas en que los resolviste. Apóyate de las siguientes preguntas: • • • ¿Cuántos metros de papel utilizó para envolver los pasteles? Si al inicio del día el rollo de papel tenía 50 metros, ¿cuántos metros le quedaron al final del día? ¿Cuánto ganó doña Isabel ese día por la venta de los pasteles enteros? LA PASTELERÍA NÚMEROS RACIONALES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 45 45 12/06/19 14:46 ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES En el siguiente desafío tendrás que ver distancias y particiones no exactas, es decir, seguiremos trabajando y operando con fracciones, las cuales, como ya te pudiste dar cuenta están presentes en tu entorno. Ilustración: © Shutterstock.com Para la iluminación de la fiesta de una comunidad se están armando series con alambres de 10 metros. En el primer alambre se colocó un foco a la mitad y otro a un tercio de uno de los extremos. El coordinador de iluminación pidió que se colocaran dos focos más entre los dos primeros de tal manera que la distancia entre foco y foco sea la misma. ¿Cuál es la distancia entre los focos? REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Te recomiendo hacer tus operaciones y hacer el dibujo en tu RPA. • • • ¿Qué hiciste para saber la distancia de la mitad del alambre y la de un tercio? ¿Cómo lo representarías? ¿Hay otra forma de hacerlo? 46 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 46 12/06/19 14:46 Con esta experiencia, mide el largo de un cuarto o el patio de tu casa y contesta: • ¿Cuánto mide? • ¿Cuántos focos quisieras poner? • ¿Cuál es la distancia entre foco y foco? • Si ponemos globos entre los focos, ¿qué distancia habrá entre foco y globo? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Con las fracciones podemos representar las partes de un entero que se ha dividido en porciones iguales. Ya conocemos todas las operaciones que podemos realizar con fracciones, ahora hay que ponerlas en práctica. En este desafío podrás utilizar todas las operaciones básicas con fracciones. Jacinto repartió $600 entre sus tres nietas: Laura, Rocío y Ana. A cada una le tocó una cantidad diferente. A Laura le dio 1/2 por ser la mayor, a Rocío 1/3 ¿Cuánto le dio a Ana? Exprésalo como fracción. Encuentra una fracción equivalente para cada fracción de la repartición que hizo Jacinto. REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Anota tus reflexiones a partir de las siguientes preguntas: • • ¿Cuánto le dio en pesos a Rocío? Si Jacinto ahora tiene $900 y los reparte de la misma forma, ¿cuánto dinero le tocó a cada una de las nietas? Para resolver estos desafíos te proponemos los siguientes textos: LA PASTELERÍA NÚMEROS RACIONALES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 47 47 12/06/19 14:46 NÚMEROS RACIONALES Fracción propia El numerador es más pequeño que el denominador 1 3 11 2 , 5 , 20 Fracción impropia Fracción mixta Fracción equivalente Fracción decimal El numerador es más grande que el denominador Está formada por un entero y una fracción propia Se escriben diferente pero valen lo mismo Su denominador es 10, 100, 1000... 3 7 10 2,4, 7 3 1 1 ,3 4 2 4 2 3 = 6 3 4 5 1000 , 10 100, Recordemos cómo realizar las operaciones con punto decimal. Para suma y resta, el punto debe estar alineado. Ejemplo: 23.4 + 8.7 32.1 La multiplicación con decimales se hace igual que una multiplicación normal y se cuentan lugares de derecha a izquierda y se coloca el punto. Ejemplo: 3.5 × 10.3 105 00 35 36.05 48 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 48 12/06/19 14:46 Para la división 1. El dividendo es decimal. Se hace la división común y se sube el punto al cociente. Ejemplo: 14.66 2 29.32 09 13 12 0 2. El divisor es decimal. Se recorre el punto hasta que se vuelve entero el divisor y se aumentan en el dividendo tantos ceros como lugares se haya recorrido el punto. Ejemplo: 3.2 7347 32 73470 Y se realiza la operación como se acostumbra. 3. Divisor y dividendo son decimales. Se recorre el punto del divisor hasta que se vuelve entero, se recorre el punto en el dividendo tantos lugares como se haya recorrido el punto en el divisor. Ejemplo: 8.2 4322.99 → 82 4322.99 Y se realiza la operación como se acostumbra. Recordemos cómo transformar fracciones: Fracción 7 4 Fracción mixta 3 1 4 Número decimal 1.75 Fracción equivalente 21 12 En la primera columna tenemos una fracción impropia, para convertir a fracción decimal, hay que realizar la división y ver que no es una división exacta: 7 es divisible entre 4 una sola vez y nos queda un residuo de 3, como estamos usando cuartos, entonces el residuo será 3 4 LA PASTELERÍA NÚMEROS RACIONALES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 49 49 12/06/19 14:46 Para convertir a fracción decimal, hay que realizar la división 7 ÷ 4 usando el punto decimal. Encontrar una fracción equivalente es multiplicar numerador y denominador por el mismo número, en este caso 7 × 3 y 4 × 3 y obtenemos como resultado 21 12 Recordemos las operaciones con fracciones: Suma y resta Método mariposa 1 2 (1 × 3 + 5 × 2) (3 + 10) 13 + = = 15 = 5 (5 × 3) 3 15 Multiplicación 7 (3 × 7) 21 2 × 5 = (2 × 5) = 3 10 División (1 × 5) 1 2 5 ÷ = = (3 × 2) 6 3 5 El siguiente texto te ofrece información respecto a los números racionales, es importante que pongas principal atención en la diferencia y las relaciones que hay entre fracciones, números fraccionarios y números decimales. NÚMEROS DECIMALES Y EXPRESIONES DECIMALES6 La notación utilizando el punto es sólo una forma de representar las fracciones que surgió con el interés de facilitar los cálculos con ellas. Sin embargo, algunas fracciones son decimales y otras no. Esta precisión, y otras que haremos en seguida, ayudarán a entender mejor que no es lo mismo la notación usando el punto decimal que los números decimales. 6 Alicia Ávila y Silvia García, Los decimales: más que una escritura (México: INEE, 2008), 33-34. 50 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 50 12/06/19 14:46 1. Los números decimales son aquellos que pueden escribirse en forma de fracciones decimales. 2. Las fracciones decimales son las que pueden expresarse con un numerador entero y un denominador que es una potencia de 10,7 por ejemplo 3/100 y 1/1000 son fracciones decimales; también son fracciones decimales 1/2 y 3/5, ya que se pueden encontrar fracciones equivalentes a un medio y a tres quintos cuyos denominadores sean alguna potencia de 10. 3. Este tipo de fracciones tienen la particularidad de que pueden representarse de otra manera: utilizando escrituras que llevan punto decimal, dando lugar a las expresiones decimales finitas y que en la escuela simplemente reciben el nombre de decimales. A las fracciones 3/10 y 1/1000 les corresponden, respectivamente, las siguientes escrituras decimales: 0.3 y 0.001. 4. Las fracciones que no son decimales (por ejemplo 1/3) no pueden representarse mediante una expresión decimal finita, este tipo de fracciones da lugar a las expresiones decimales periódicas infinitas (1/3 = 0.3333...). 5. Ambas expresiones, decimales finitas y decimales periódicas, forman el conjunto de los números racionales (números que pueden escribirse como fracciones),8 que son los que se estudian en la educación primaria y secundaria. No deben confundirse los números decimales con una de sus representaciones mediante la escritura con punto, que por ser la más práctica es la que más utilizamos. En el nivel de educación primaria y secundaria sólo se estudian las expresiones decimales que representan números racionales, son la expresiones decimales finitas y expresiones decimales infinitas periódicas. Sin embargo, es necesario insistir en que también hay expresiones decimales que no corresponden a los números racionales y que son aquéllas cuya parte decimal es infinita y no periódica; este tipo de números se llaman irracionales. Es decir, los números irracionales también pueden expresarse de manera aproximada mediante una expresión con punto decimal pero no son números decimales porque no pueden expresarse con una fracción con denominador potencia de 10. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 puede expresarse como 1.4142135…, no obstante que lleva un punto decimal, el número no corresponde a ninguna fracción decimal. 7 8 Recuérdese que las potencias de 10 son, por ejemplo, 103 = 1000, 102 = 100, 101 = 10, 100 = 1, etcétera. Los números racionales son todos los números que pueden escribirse como fracciones, es decir, como a/b, donde a y b son números enteros y b debe ser diferente de cero; son números racionales: 2/3, 4/5, 5, 2.1, 0.3333…, etcétera. Nótese que los números decimales son un subconjunto de los racionales. LA PASTELERÍA NÚMEROS RACIONALES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 51 51 12/06/19 14:46 El único número irracional que los alumnos usan en su expresión con punto decimal en la primaria y secundaria es el número π. Lo más común es que aproximemos el valor de π con unas cuantas cifras decimales: 3.14 o 3.1416, pero aunque agreguemos más cifras decimales no es posible expresar con punto decimal el valor exacto de π, debido a que, por ser irracional, el número de cifras decimales que tiene es infinito y no periódico; no obstante, para efectos prácticos es suficiente considerar su valor con la aproximación 3.1416.9 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Continúa tu registro, reflexiona respecto a qué aportaciones te ofrecen los textos para tu estudio de los números racionales. ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES En el siguiente desafío observarás que todos los números tienen un orden, siempre podrás decir cuál es mayor o menor, también recordarás el valor posicional después del punto decimal. Debes tomar en cuenta que el metro es la unidad de medida. Un grupo de amigos registró sus estaturas en la arena: Jacinto 1.59m, Karla 1.3m, Mónica 1.8m, Daniel 1.27m, Marcos 0.99m, Erick 1.30m y Alicia 1.6m. Ordena a los amigos según sus estaturas. REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Anota en tu RPA tus reflexiones y cómo lo resolviste, te sugerimos las siguientes preguntas: 9 Los decimales infinitos con periodo, por ejemplo 0.1212121212… sí son racionales. Son irracionales cuando son infinitos y no tienen periodo; otro ejemplo de número irracional es raíz cuadrada de 3, que aproximadamente es 1.7320508075688772935…, la parte decimal continúa de manera infinita y sin periodo. El lector podrá explorar en una calculadora otros números irracionales, como raíz cuadrada de 5, raíz cuadrada de 11, etcétera. 52 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 52 12/06/19 14:46 • • ¿Qué tomaste en cuenta para ordenar las estaturas? ¿Qué significan las expresiones decimales como 0.4m? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES En este desafío desarrollarás la habilidad para encontrar fracciones equivalentes, además de sumar partes de un entero, sigue descubriendo las fracciones en tu comunidad. En una mitad del huerto escolar se sembraron 2/3 partes de lechugas y el resto de rábanos, en la otra mitad se sembraron 1/4 parte de zanahorias y el resto de espinacas. ¿Qué parte de la huerta está sembrada de rábanos y qué parte está sembrada de espinacas? REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN • • • • Puedes dibujar el huerto para que tengas una idea más clara del problema. Escribe en tu RPA las operaciones y fracciones equivalentes que encontraste. ¿Qué verdura cuenta con más espacio para sembrarla? ¿Encuentras la relación de los números racionales con la geometría? Escríbela. ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES En el siguiente desafío es importante que identifiques el significado y uso de los números negativos (así como hay enteros positivos y negativos, también tenemos racionales positivos y negativos). También te ayudará reflexionar respecto a la temperatura a la que están acostumbradas las personas en cada lugar. La siguiente tabla muestra las temperaturas mínimas extremas y promedio del mes de enero de 2015. LA PASTELERÍA NÚMEROS RACIONALES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 53 53 12/06/19 14:46 Estado10 T. Mín. (°C) T. Media Estado T. Mín. (°C) T. Media Aguascalientes -3.0 13.9 Morelos 1.5 19.9 Baja California -7.0 16.0 Nayarit 9.5 24.0 -2.2 18.9 Nuevo León -7.2 12.9 Campeche 4.1 23.5 Oaxaca 0.5 21.3 Chihuahua -13.9 9.9 Puebla -8.9 14.7 Chiapas -0.2 21.8 Querétaro 1.0 14.9 Coahuila -6.2 11.5 Quintana Roo Colima 4.8 Baja California Sur 10.2 24.0 24.9 Sinaloa 0 20.6 3.0 14.7 San Luis Potosí -1.4 14.9 Durango -13.5 11.8 Sonora -10 16.2 Guerrero 3.0 23.8 Tabasco 13.5 23.0 Guanajuato -0.1 15.4 Tamaulipas 0 14.9 Hidalgo -5.1 13.2 Tlaxcala -3.0 12.3 Jalisco -7.0 17.1 6.0 23.4 -5.4 12.9 Ciudad de México -2.0 18.0 Veracruz Estado de México -5.8 11.8 Yucatán Michoacán -3.4 19.1 Zacatecas REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Describe tu estrategia para contestar las preguntas y tus reflexiones y argumentos respecto al uso de los números racionales. • • • ¿Qué estado alcanzó menor temperatura? ¿En cuál de los estados de la República mexicana la temperatura mínima extrema fue más relevante? ¿Qué significa que haya temperaturas bajo cero? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Te compartimos los siguientes textos donde conocerás otro uso de los números racionales. Escribe un ejemplo que practiques en tu comunidad con estos temas. 10 Comisión Nacional del Agua, “Temperatura”, Reporte del clima en México, (Año 5, No. 1, 22, enero 2015). Cuadro adaptado con fines educativos. 54 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 54 12/06/19 14:46 MONEDAS11 Ilustración: © Shutterstock.com [Las denominaciones de monedas (en centavos) que son válidas para realizar pagos son 5¢, 10¢, 20¢ y 50¢. Además de la unidad ($1 peso) también se fabrican monedas de $2, $5, $10 y $20 pesos. Las monedas en centavos se identifican claramente porque en la parte central de la moneda, el número [de centavos que vale] como motivo principal y valor facial, a su derecha el símbolo de centavos “¢”. “Al anverso y al centro, tienen el Escudo Nacional en relieve escultórico, con la leyenda “Estados Unidos Mexicanos”. [En el caso de las monedas a partir de $1 peso, todas son bimetálicas constituidas por dos aleaciones, una para su parte central y otra para su anillo perimétrico [e indican el número de pesos que vale como motivo principal de la moneda], en la parte central a la izquierda el símbolo “$”. [En el caso de las monedas de $5 pesos, también pueden tener bustos, retratos ecuestres o escenas reconocidas de personajes de la Independencia de México o la Revolución mexicana. Para la moneda de $10 pesos, se acuñó una edición especial que tiene en el primer plano del campo del reverso el retrato del general Ignacio Zaragoza; y, detrás de él, una escena de la lucha entre mexicanos e invasores, con los fuertes de Loreto y Guadalupe al fondo. Esta cara se completa con la leyenda alusiva a la conmemoración “150 ANIVERSARIO DE LA BATALLA DE PUEBLA / 5 DE MAYO” (en dos líneas), los años “1862 y 2012”, la denominación $10 en número y la ceca de la Casa de Moneda de México (M°). [Por último, 11 Banco de México, “Monedas,” Banco de México, http://www.banxico.org.mx/billetes-y-monedas/informacion-general/ billetesy-monedas-de-fabricacion-actual/billetes-monedas-fabricacion-001.html Texto adaptado para fines educativos. (Fecha de consulta: 25 de febrero de 2018). LA PASTELERÍA NÚMEROS RACIONALES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 55 55 12/06/19 14:46 las monedas de $20 pesos son conmemorativas y se han acuñado para conmemorar diversos hechos históricos de nuestro país como: • Bicentenario Luctuoso del generalísimo José María Morelos y Pavón. • Centenario de la Fuerza Aérea Mexicana. • Centenario de la Toma de Zacatecas. • Centenario de la Gesta Heroica de Veracruz]. DÓLAR ESTADOUNIDENSE12 Circulating coins are the coins that the United States Mint produces for everyday transactions. Circulating coins are also included in the United States Mint´s anual coin sets, which are the staples of coincollecting. [The Lincoln Penny] was first issued in 2010 and is emblematic of Lincoln´s preservation of the United States as a single and united country. If features a union shield and scroll with the inscription ONE CENT. [The five-cent coin] has featured, since 2006, the Thomas Jefferson likeness based on a Rembrandt Peale portrait completed in 1800. [The dime (ten-cent coin)] first appeared in 1946, soon after the death of President Franklin Roosevelt. The Roosevelt dime was released on the late president’s birthday, January 30. The dime is the smallest, thinnest coin in use today. [The quarter dollar (twenty-five-cent coin)] shows the familiar image of President George Washington. Kennedy Half-Dollars are circulating quality produced as collectibles, not for everyday transactions. However, they may be still used as legal tender.18 The current Native American $1 Coin Program launched in 2009 and will be issued, to the extent possible, in the chronological order in which the Native Americans depicted lived or the events recognized occurred. 12 United States Mint, “What are Circulating Coins?” United States Mint, https://www.usmint.gov/mint_programs/ circulatingCoins/ Texto adaptado para fines educativos (Fecha de consulta: 27 de enero de 2018). 56 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 56 12/06/19 14:46 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Reflexiona sobre la información que encontraste en los textos anteriores. • ¿Qué diferencias encontraste entre las denominaciones de las monedas utilizadas en Estados Unidos y México? ¿Qué función tienen los números fraccionarios y decimales en el contexto de las monedas? • ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES En el siguiente desafío es importante que observes cuál es el entero de referencia y qué sucede con la expansión decimal de los números; es decir, cuando la expansión decimal tiene sentido respecto al contexto. DENSIDAD DE POBLACIÓN13 En México, como en todo el mundo, la distribución de habitantes es desigual: existen regiones donde se concentra mucha gente y otras en donde la población es poca; las ciudades están más densamente pobladas que las comunidades rurales. La relación entre un espacio determinado y el número de personas que lo habitan se llama densidad de población, la cual se obtiene dividiendo el número de personas que viven en un lugar específico entre el número de kilómetros cuadrados que mide ese territorio. Por ejemplo, para calcular la densidad de población de México: Población total 112 336 538 habitantes 13 Densidad de población 57 hab./km2 Extensión territorial del país 1 959 248 km2 Instituto Nacional de Geografía y Estadística, “Densidad de población”, (México: Inegi), http://cuentame.inegi.org.mx/ poblacion/densidad.aspx?tema=P (Fecha de consulta: 30 de abril del 2018). LA PASTELERÍA NÚMEROS RACIONALES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 57 57 12/06/19 14:46 Esto significa que en el 2010, si tuvieras que repartir a los habitantes del país en todo el territorio nacional, habría 57 personas por cada kilómetro cuadrado. Clave 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Entidad federativa Aguascalientes Baja California Baja California Sur Campeche Coahuila de Zaragoza Colima Chiapas Chihuahua Distrito Federal(a) Durango Guanajuato Guerrero Hidalgo Jalisco Estado de México Michoacán de Ocampo Morelos Nayarit Nuevo León Oaxaca Puebla Querétaro Arteaga Quintana Roo San Luis Potosí Sinaloa Sonora Tabasco Tamaulipas Tlaxcala Superficie km* 5 625 71 546 73 943 57 727 151 445 5 627 73 681 247 487 1 484 123 367 30 621 63 618 20 856 78 630 22 333 58 667 4 892 27 862 64 203 93 343 34 251 11 658 34 205(b)(c) 61 165 57 331 179 516 24 747 80 148 3 997 Población total (2010) 1 184 996 3 155 070 637 026 822 441 2 748 391 650 555 4 796 580 3 406 465 8 851 080 1 632 934 5 486 372 3 388 768 2 665 018 7 350 682 15 175 862 4 351 037 1 777 227 1 084 979 4 653 458 3 801 962 5 779 829 1 827 937 1 325 578 2 585 518 2 767 761 2 662 480 2 238 603 3 268 554 1 169 936 58 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 58 12/06/19 14:46 30 31 32 Veracruz de Ignacio de la Llave Yucatán Zacatecas República Mexicana 71 856 7 643 194 39 671 75 416 1 955 577 1 490 668 1 959 248(d) 112 336 538 (a)El Distrito Federal está constituido por delegaciones (b)No incluye la superficie de la isla Cozumel, la cual es de 498 Km2 (c)No incluye la superficie de Isla Mujeres, la cual es de 5 km2 (d)Considera solo la parte continental. Fuente:*(1)INEGI. Marco Geoestadístico 2005. REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Tomando en cuenta los datos de la tabla y el estado en el que vives, calcula: • • • ¿Cuál es su densidad de población? ¿Cuál es la densidad de población de cada estado por m2? Compara con la entidad que tiene mayor densidad de población y con la que tiene menor densidad de población. ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Continúa tu registro de proceso de aprendizaje de los números racionales, anota tus reflexiones respecto a qué significa la expresión decimal en el contexto de las poblaciones. COMPARTE LO APRENDIDO, MEJORA Y COMPLETA TU REGISTRO Prepara la información que deseas compartir con tus compañeros y posteriormente registra cómo te fue. Para esto es necesario que recurras a tu RPA e identifiques, con el apoyo de tu tutor, los aprendizajes que lograste y quizás resaltes las estrategias que te llevaron a construir comprensiones para la solución de cada desafío. Si es el caso recupera las dificultades que no te permitieron avanzar durante el desarrollo del desafío. Una vez LA PASTELERÍA NÚMEROS RACIONALES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 59 59 12/06/19 14:46 identificada esta información es importante que plantees los apoyos que recibiste de tu tutor. Organiza la información para presentarla al grupo. PARA SEGUIR APRENDIENDO Fuentes consultadas Ávila, Alicia y Silvia García. Los decimales: más que una escritura. México: INEE, 2008. Banxico. Monedas. Banco de México. http://www.banxico.org.mx/billetes-ymonedas/ informacion-general/billetes-y-monedas-de-fabricacion-actual/ billetes-monedasfabricacion-001.html, 2016. Conagua. “Temperatura” en Reporte del clima en México. Año 5, núm. 1. México: Conagua, 2015. INEGI. Densidad de población. México: Inegi. http://cuentame.inegi.org.mx/ poblacion/ densidad.aspx?tema=P, 2016. Us Mint. What are Circulating Coins? United States Mint. https://www.usmint.gov/ mint_ programs/circulatingCoins/, 2016. Fuentes sugeridas Conafe. Manual del Instructor Comunitario Nivel III. (Dialogar y Descubrir). México: Conafe, 2012. _____ Matemáticas. Cuaderno de trabajo. Nivel III. (Dialogar y Descubrir). México: Conafe, 2012. IEEPO. Educando Tv. Primaria 1° y 2° clase: 188. Tema: Problemas que implican repartir. https://www.youtube.com/watch?v=BEFTq8IlxzM _____ Primaria 3° y 4° clase. Tema: Fracciones para expresar reparto. https://www. youtube.com/watch?v=MUWAPe0AVO8 _____ Primaria 3º Y 4º clase: 105. Tema: Fracciones equivalentes. https://www.youtube. com/watch?v=Ceo5QjfHnEc _____ Primaria 3º y 4º clase 121. Tema: Sumas y restas de fracciones. https://www.youtube. com/watch?v=E6p07Y2Au1U _____ Primaria 5º y 6º clase: 144 Tema: División de fracciones segunda sesión. https:// www.youtube.com/watch?v=PYitRmTW-98 _____ Primaria 5º y 6º clase: 52. Tema: Ubicación de fracciones y decimales en la recta numérica I. https://www.youtube.com/watch?v=CsGUI_bEE2o _____ Primaria 5º Y 6º clase: 54. Tema: Ubicación de fracciones y decimales en la recta numérica II. https://www.youtube.com/watch?v=V0QajmPLEHk 60 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 60 12/06/19 14:46 _____ Secundaria clase 36. Tema: Solución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales. https://www.youtube.com/watch?v=CVU0EWDLQtw _____ Secundaria clase: 28. Tema: Problemas con número enteros, fraccionarios y decimales. https://www.youtube.com/watch?v=-Ty4iHp6f0U LA PASTELERÍA NÚMEROS RACIONALES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 61 61 12/06/19 14:46 62 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 62 12/06/19 14:46 Ilustración: © Shutterstock.com POR ENÉSIMA VEZ PATRONES Y PROGRESIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 63 12/06/19 14:46 INTRODUCCIÓN En esta unidad de aprendizaje revisaremos temas que nos permitirán identificar elementos faltantes en una serie numérica y en una composición con figuras geométricas. Veremos una cara divertida de las matemáticas que nos permite jugar con las figuras planas y con los números como no es común verlo en otros temas; además de que aprenderemos cómo emplear el lenguaje algebraico para encontrar las claves para la resolución de problemas que implican el uso de patrones numéricos. PROPÓSITO GENERAL Argumentar estrategias de solución para problemas que implican identificar la regularidad de progresiones en situaciones relacionadas con la vida cotidiana. PROPÓSITOS ESPECÍFICOS • • • Describiremos patrones a partir de regularidades en secuencias sencillas de números, figuras simples y eventos de la vida cotidiana. Argumentaremos estrategias de solución a problemas que implican identificar la regularidad de progresiones aritméticas o geométricas, simples y compuestas. Formularemos expresiones algebraicas de primer y de segundo grado para modelar progresiones aritméticas y geométricas de situaciones del mundo real. MAPA DE CONTENIDOS PATRONES Y PROGRESIONES Sucesiones Regularidades de secuencias Progresión aritmética Progresión geométrica Progresión espacial Series aritméticas Series geométricas Teselaciones Regla general y de recurrencia Expresiones algebraicas Fractales Enésimo término 64 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 64 12/06/19 14:46 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 65 3 4 5 6 7 8 9 Describes el patrón en sucesiones sencillas construidas con objetos o figuras simples. Completas sucesiones de números naturales en forma ascendente o descendente. Comunicas estrategias de solución a problemas que implican identificar la regularidad de progresiones aritméticas. Comunicas estrategias de solución a problemas que implican identificar la regularidad de sucesiones compuestas. Explicas estrategias de solución a problemas que implican identificar la regularidad de progresiones aritméticas o geométricas. Argumentas estrategias de solución a problemas que implican identificar la regularidad de progresiones aritméticas o geométricas. Obtienes la regla de recurrencia de una progresión a partir del razonamiento, comprensión e interpretación de los elementos de la regularidad. INTERMEDIO 10 11 POR ENÉSIMA VEZ PATRONES Y PROGRESIONES Ilustración: Ivanova Martínez Murillo BÁSICO Argumentas estrategias de solución de problemas para modelar situaciones del mundo real que describen procesos progresivos. 2 Describes las regularidades en una secuencia sencilla a partir de interpretar cómo se repite, crece y se ordena. INICIAL Formulas expresiones algebraicas de primer y de segundo grado para modelar progresiones aritméticas y geométricas a partir de lo que has construido. 1 Construyes secuencias de eventos generalizados organizados espacial y temporalmente a partir de una rutina. Ilustración: Ivanova Martínez Murillo TRAYECTO DE APRENDIZAJE AVANZADO ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Una secuencia es un conjunto de elementos (objetos) en la que podemos predecir cuál es el siguiente, es decir, se ha establecido un orden. 65 12/06/19 14:46 Podemos construir secuencias con todo tipo de objetos, números, figuras geométricas, animales, juguetes, etc.; sólo hay que fijarse en el orden que lleva para poder determinar cuál es el siguiente. Ilustración: © Shutterstock.com El desafío consiste en completar cada una de las secuencias de la siguiente imagen: REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Anota en tu cuaderno tus aprendizajes y dialoga con tu tutor. • ¿Qué otras secuencias conoces? • Forma una secuencia con los números del 1 al 10. ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES En varios lugares podemos observar mosaicos en los que se repiten algunas figuras geométricas, algo que les da cierta belleza. En este ejercicio aprenderemos cómo se pueden construir esos tipos de imágenes con apoyo de algunos conocimientos sobre las figuras geométricas. Mira los siguientes ejemplos de mosaicos en las que éstas se repiten: 66 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 66 12/06/19 14:46 Ilustraciones: © Shutterstock.com Construye dos mosaicos, uno con figuras geométricas y el otro con imágenes de arte que tú mismo diseñes. Dos condiciones: evitar espacios vacíos entre las figuras y evitar que las figuras queden sobrepuestas. Para imaginar distintas posibilidades de acomodo de las figuras, completa las siguientes series: Ilustración: © Shutterstock.com Ahora, puedes calcar las siguientes figuras y cortar muchas piezas para tu primer mosaico. También puedes hacer otras figuras si las necesitas. POR ENÉSIMA VEZ PATRONES Y PROGRESIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 67 67 12/06/19 14:46 Ilustraciones: © Shutterstock.com Una vez que hayas terminado tu mosaico, revisa la siguiente información: TESELACIONES14 Se le llama teselado al patrón que se consigue cubriendo un espacio con formas planas de manera que no quedan huecos entre ellas ni se sobreponen. Se pueden crear distintas teselaciones según las figuras que emplees. Una teselación se llama regular cuando el patrón está conformado con un sólo tipo de figura plana. Se llama teselación semi-regular al patrón que está formado por más de un tipo de figuras planas. En las teselaciones regulares y semi-regular se repite el patrón en todos los vértices de las figuras. Para nombrar los patrones primero se ubica un vértice, luego se identifican las figuras que se unen en ese vértice, se cuentan la cantidad de lados de cada una y se anotan para nombrar la teselación. Por ejemplo: 14 New Mexico State University, Department of Mathematical Sciences. Disponible en https://www.math.nmsu.edu/~pmorandi/ math112f00/EscherRectangle.html (Fecha de consulta 9 de febrero de 2018) 68 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 68 12/06/19 14:46 3 Ilustración: © Shutterstock.com 3 3 3 3 3 En el vértice señalado con rojo se unen seis triángulos y cada uno tiene tres lados, por lo que la teselación se nombra así: 3.3.3.3.3.3 También existen otro tipo de teselaciones en las que se emplean distintas figuras planas, están las demi-regulares, que están formadas por patrones regulares y semi-regular; y están los teselados irregulares, que están construidos con figuras planas regulares e irregulares ordenadas en círculos grandes. REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Con apoyo en la información que has leído, revisa tus mosaicos e identifica lo siguiente: • • ¿Cuál es el patrón en cada uno de ellos? ¿Qué tipo de teselado son? Compara con tus compañeros los teselados que hicieron y dibuja en tu cuaderno el que te parezca más complicado, escribe el patrón que se sigue en él y el tipo al que pertenece. POR ENÉSIMA VEZ PATRONES Y PROGRESIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 69 69 12/06/19 14:46 ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Ahora, con apoyo del siguiente texto podrás realizar teselados más complejos; juega con las distintas posibilidades que te presentan tu imaginación y destreza. A SIMPLE METHOD FOR CREATING TESSELLATIONS FROM RECTANGLES15 In this assignment we will see one more method for finding tessellations. This method works with any rectangle and is quite simple to use. 1. Cut out a rectangle out of an index card or poster board. You can make it any size, but to be able to see the resulting tessellation, you might want to make it no larger than 2 inches by 2 inches. 15 New Mexico State University, Department of Mathematical Sciences. Disponible en https://www.math.nmsu.edu/~pmorandi/ math112f00/EscherRectangle.html (Fecha de consulta 9 de febrero de 2018). 70 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 70 12/06/19 14:46 2. Draw a line from one side to the opposite side. Make it as simple or as complicated as you wish. 3. Cut along the line you drew and interchange the pieces. Tape them together. Ilustraciones: Eva María Paz González 4. Draw another line on the resulting figure in a perpendicular direction to the first line. POR ENÉSIMA VEZ PATRONES Y PROGRESIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 71 71 12/06/19 14:46 5. Cut along the line you just drew and interchange the pieces. Tape them together. 6. T he resulting shape will tessellate the plane. Ilustraciones: Eva María Paz González 7. Take a piece of paper, and trace repeatedly your figure in order to tessellate part of the plane. You can form a pattern of four figures by rotating one about a point three times to get a pattern like the one below. 72 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 72 12/06/19 14:46 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Ahora es tiempo de que trabajes en la revisión de tu registro de proceso de aprendizaje. Para ello da una lectura desde el principio y verifica que cuenta con la descripción de las dificultades que has tenido en el proceso, así como la descripción de los apoyos que recibiste y la forma en cómo resolviste las dificultades; además, es importante que estén escritas las reflexiones que has hecho sobre qué has aprendido y cómo lo has aprendido. Cuida que las ideas estén claramente escritas y con la ortografía correcta. ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES En este desafío aprenderemos cómo identificar los patrones de crecimiento en una colección de objetos, que representan una cantidad que poco a poco se va incrementando. Bienvenido a este nuevo reto y ánimo, que juntos podemos aprender grandes cosas. Erick está acomodando sus canicas, de manera que formen un triángulo como se muestra en la tabla. Determina la cantidad de canicas que tiene Erick si llegó hasta la figura 10, ¿cuántas canicas necesitaría para formar la figura 100? Figura 1 Figura 2 Figura 4 Figura 3 Figura 5 POR ENÉSIMA VEZ PATRONES Y PROGRESIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 73 73 12/06/19 14:46 Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y con apoyo en ella, ve revisando la imagen sobre cómo Erick acomodó sus canicas y escribe los datos que faltan. Puedes apoyarte en algún material con el que cuentes para representar lo que va haciendo Erick en cada una de las figuras o momentos. Figura Cuántas canicas había Figura 1 3 Cuántas canicas Cuántas canicas se agregaron hay en total 0 3 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Ahora dibuja lo que está sucediendo con la forma cuadrada en la que Erick acomoda las canicas; apóyate en la siguiente tabla, cópiala y llénala en tu cuaderno: Figura Canicas de largo Canicas de alto Total de canicas Figura 1 2 1 2 Dibujo 74 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 74 12/06/19 14:46 Figura Canicas de largo Canicas de alto Total de canicas Dibujo Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 POR ENÉSIMA VEZ PATRONES Y PROGRESIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 75 75 12/06/19 14:46 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Dialoga con tu tutor y contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas: • • • • ¿Cómo saber cuántas canicas se van a agregar en la siguiente figura? ¿Cómo saber cuántas canicas habrá en la siguiente figura? ¿En qué te ayuda saber cuántas canicas tiene de largo y de alto la forma en la que Erick acomoda sus canicas? ¿Cómo saber cuántos cuadritos habrá en la siguiente figura? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES En algunas ocasiones cuando contamos cosas, el orden en que están acomodadas tiene importancia. De manera que necesitamos alguna regla con la que podamos determinar el valor de cualquier elemento de esa colección. A estas colecciones se les llama sucesiones, a cada elemento de la sucesión se le llama término y se representan por x1, x2, x3… xn ={xn} x1 es el primer término, x2 el segundo, xn es el enésimo término. Ahora aprenderemos cómo nombrar algunos de los procesos y fenómenos matemáticos que se emplean en esta unidad de aprendizaje, además de que conoceremos cómo encontrar el patrón de crecimiento en una serie; para ello, por favor lee el siguiente texto poniendo especial atención en las palabras resaltadas. PROGRESIONES MATEMÁTICAS16 Una progresión matemática es el conjunto de formas, figuras o números, ordenado en una relación de diferencia entre ellos. A cada uno de los miembros de una progresión se le llama término de la progresión. 16 Texto elaborado ex professo para esta UAA. 76 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 76 12/06/19 14:46 Una progresión matemática es progresión aritmética si a cada término de la sucesión le sumamos un número fijo y obtenemos siempre el siguiente término. A este número fijo se le llama diferencia y lo denotamos por d. Ejemplo: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20… Como podrás notar si a cada término le sumamos 3, se obtiene el siguiente: En este caso d = 3 Si una sucesión es una progresión aritmética, tendrá que tener la forma x1, x1 + d, x1 + 2d, x1 + 3d… entonces el enésimo término será xn = x1 + (n − 1)d Si queremos obtener la regla general de una sucesión utilizamos la fórmula an + b donde a y b son constantes y n es el número del término que deseamos obtener. a es la diferencia entre un término y el anterior (es decir a es igual a la diferencia) En el ejemplo 5, 8, 11, 14, 17, 20, … a = 3 Hacemos n = 1 para encontrar el valor de b y sustituimos en la fórmula 3(1) + b = 2 y lo igualamos al primer término de la sucesión, en este caso 5. Despejamos para obtener el valor de b 3+b=5 b=5–3 b=2 Ahora, si queremos saber qué número le corresponde al lugar 15 de la sucesión, ya solo necesitamos sustituir los valores en la fórmula: 3(15) + 2 = 47 POR ENÉSIMA VEZ PATRONES Y PROGRESIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 77 77 12/06/19 14:46 El valor del término número 15 de la progresión será 47. A una progresión se le llama progresión geométrica, si a cada término al multiplicarlo por un número fijo, obtenemos el siguiente término. A este número fijo se le llama razón y lo denotaremos por r. Ejemplo: 2, 4, 8, 16, 32, … aquí r = 2 Si una sucesión es una progresión geométrica será de la forma: x1, x1 r, x1 r2, x1 r3, … y el enésimo término será xn = x1 r(n-1) Un patrón es la relación que existe entre los términos de una progresión matemática, está relación puede ser de repetición o de recurrencia; un patrón de repetición es aquel en dónde sus términos se repiten por periodos, pueden obedecer a las siguientes formas: AB, AAB, AABB, ABC, etc.; un patrón de recurrencia es cuando la relación entre los términos cambia pero es a partir de la forma de la secuencia en la que se reconoce la regla que sigue el patrón. Para encontrar las reglas del patrón en una progresión se pueden seguir las siguientes estrategias: Primero recordemos la siguiente información que nos ayudará para comprender las estrategias. En una progresión matemática encontraremos distintas cifras ordenadas, a cada una de las cifras se le llama término y cada uno ocupa un lugar en la progresión; por ejemplo, en la progresión (3, 5, 7, 9, …) el término 7 ocupa el tercer lugar en la progresión, por lo que es el tercer término; además, vemos que termina con puntos suspensivos, lo que indica que continúa y puede ser una progresión infinita. A partir de ello pensemos en la regla que sigue el patrón en la secuencia o progresión aritmética (3, 5, 7, 9, …). Primero observamos que empieza en tres y va aumentando cada vez dos. Además vemos que termina con puntos suspensivos, por lo que ese patrón se aplica continuamente al resto de 78 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 78 12/06/19 14:46 términos. Para encontrar la regla a esta progresión ordenemos los términos en una tabla: Lugar que se ocupa en la serie 1 2 3 4 … Término Aumento en relación con el término anterior 3 5 7 9 2 2 2 2 Diferencia entre el término y el lugar que ocupa en la serie 2 3 4 5 A partir de esta tabla, sabemos que el aumento entre los términos siempre es de dos y que, de acuerdo con lugar que ocupa el término en la progresión, siempre la diferencia es el mismo término más uno, por lo que el término se obtiene multiplicando por dos el número del lugar que ocupa en la serie y sumándole uno, como vemos en la siguiente tabla: Regla: multiplicar el Lugar que se ocupa en número del lugar que la serie ocupa por dos y sumar uno al producto 1 1×2=2+1= 2 2×2=4+1= 3 3×2=6+1= 4 4×2=8+1= … Término 3 5 7 9 Sabemos que los puntos suspensivos significan que puede llegar al infinito esa progresión, por lo que pondremos “n” para identificar que es el enésimo lugar de la serie, y así construimos la fórmula para identificar el término que corresponde a cualquier lugar de la progresión como: 2n + 1 = x Estamos representando con x el valor del término desconocido para cualquier lugar de la serie, es decir para el enésimo lugar, por lo que el valor de x POR ENÉSIMA VEZ PATRONES Y PROGRESIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 79 79 12/06/19 14:46 siempre depende del lugar que ocupe en la serie; nuestra representación del término estará completa hasta que escribamos el lugar del término en la serie como sigue: xn; así, si queremos hablar del término que está en el séptimo lugar, pondremos x7. xn es el término y n es la posición del término. Nuestra fórmula correcta se escribe como sigue: xn = 2n + 1 En las sucesiones aritméticas en las que existe una constante en la diferencia entre sus términos la fórmula es la misma, por ejemplo, en la siguiente sucesión (3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...) la diferencia entre los términos es de 5 por lo que la fórmula o regla del patrón es xn = 5n − 2 En la siguiente sucesión geométrica un término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256... vemos que el factor por el que se multiplican los términos de forma constante es el 2; así construimos la fórmula como sigue: xn = 2n, lo que nos indica que, para definir el término en su enésima posición, tendremos que elevar a la enésima potencia el factor dos. Algo similar sucede en la progresión 3, 9, 27, 81, 243, 729... en la que la regla del patrón es xn = 3n, pues el factor constante entre un término y el anterior es 3 En la siguiente sucesión 1, 4, 9, 16… podemos identificar que los términos son los cuadrados de los números naturales, eso significa: 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, 42 = 16, … así podemos construir que la regla es xn = n2 En la sucesión 3, 5, 8, 13, 21, … encontramos que un término es la suma de los dos que le anteceden, así 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13, y continúa. Por lo que la regla se construye como sigue xn = xn-1 + xn-2 Lo que nos ayuda mucho, pues si buscamos el 6º término entonces sabemos que n = 6 y sustituimos su valor en dónde aparece n; x6 = x6-1 + x6-2, que nos da x6 = x5 + x4 ya sabemos que el cuarto término es 13 y el quinto término es 21, así que sumamos 13 + 21 = 34, x6 = 34 Los números triangulares son una sucesión de términos cuya disposición revela la cantidad de puntos medios y vértices en triángulos que crecen siguiendo un patrón, como el que se muestra en la siguiente imagen: 80 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 80 12/06/19 14:46 Así, vemos que se construye la siguiente progresión 1, 3, 6, 10, 15… en la que el término se obtiene multiplicando por la suma del mismo término más uno, y el producto se divide entre dos, se expresa la regla como sigue: Xn= n (n + 1) 2 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Con apoyo en la información anterior identifica cuál regla puedes aplicar al desafío para identificar el patrón y verifica si la forma en cómo has construido tus operaciones son congruentes con el apoyo teórico. Para organizar tus ideas te puedes apoyar de las siguientes preguntas: • ¿Cuál es la relación constante entre los términos? ¿Se suma o se multiplica? • ¿Cuál es la relación entre el término y el lugar que ocupa en la progresión? • ¿Cómo puedes representar la relación entre lo largo y lo alto del rectángulo con el término? POR ENÉSIMA VEZ PATRONES Y PROGRESIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 81 81 12/06/19 14:46 ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES El siguiente texto nos comparte información sobre una progresión matemática que se emplea comúnmente para el diseño de obras artísticas. El desafío es identificar la regla del patrón para construir dos cuadrados más que incrementen el tamaño de la espiral que se presenta en el texto. FIBONACCI SEQUENCE17 The Fibonacci sequence is a series of numbers where a number is found by adding up the two numbers before it. Starting with 0 and 1, the sequence goes 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, and so forth. Written as a rule, the expression is xn = xn-1 + xn-2. Fibonacci numbers do actually appear in nature, from sunflowers to hurricanes to galaxies. Sunflowers seeds, for example, are arranged in a Fibonacci spiral, keeping the seeds uniformly distributed no matter how large the seed head may be. A Fibonacci spiral is a series of connected quarter-circles drawn inside an array of squares with Fibonacci numbers for dimensions. The squares fit perfectly together because of the nature of the sequence, where the next number is equal to the sum of the two before it. Any two successive Fibonacci numbers have a ratio very close to the Golden Ratio, which is roughly 1.618034. The larger the pair of Fibonacci numbers, the closer the approximation. The spiral and resulting rectangle are known as the Golden Rectangle. 17 Natasha Glydon, “Music, Math, and Patterns”, Math Central, http://mathcentral.uregina.ca/beyond/articles/Music/music1.html (Fecha de consulta: 16 de marzo de 2018). 82 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 82 12/06/19 14:46 The Golden Ratio is denoted by the Greek letter phi. Greek architects used the ratio 1:phi as an integral part of their designs, including the Parthenon in Athens. Though this was not consciously used by Greeks or artists, the Golden Rectangle does appear in the Mona Lisa and other Renaissance art works. Phi is also the ratio of the side of a regular pentagon to its diagonal. The resulting pentagram forms a star, which is the star seen on many flags. 21 34 3 5 8 13 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN A partir de lo que has leído identifica la siguiente información: • ¿Qué significan los números de la secuencia en la imagen? • ¿Cómo se trazan los arcos que se muestran en la imagen? • ¿Cuáles son los dos números que siguen en la secuencia de Fibonacci? • ¿En qué lados trazarás los nuevos cuadrados? • ¿Cuánto medirán los lados de cada nuevo cuadrado? POR ENÉSIMA VEZ PATRONES Y PROGRESIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 83 83 12/06/19 14:46 COMPARTE LO APRENDIDO, MEJORA Y COMPLETA TU REGISTRO Es tiempo de que, junto con el tutor, revises todo tu proceso de aprendizaje sobre este tema; en esa revisión ve identificando qué es lo que aprendiste sobre los temas nuevos, sobre cómo resolver las dificultades a las que te enfrentaste y sobre aquello que te hizo sentirte muy bien con el trabajo que estás haciendo. Luego, haz una lista de esos aprendizajes y selecciona qué es lo que quieres compartir con tus compañeros. Junto con tu tutor planea y ensaya la demostración para saber qué material es el más adecuado para compartir lo que te interesa. Después de la demostración completa tu registro con los comentarios de tus compañeros. Si ya estás seguro de tus conocimientos logrados en esta UAA, puedes comenzar a tutorarla. PARA SEGUIR APRENDIENDO Fuentes consultadas Aguilar Márquez, A., F. Bravo Vázquez, H. Gallegos Ruíz, M. Cerón Villegas y R. Reyes Figueroa. Aritmética y Álgebra. Cuarta edición. México: Pearson Educación, 2016. Glydon, Natasha. “Music, Math, and Patterns” en Math Central. http://mathcentral.uregina. ca/beyond/articles/Music/music1.html (Fecha de consulta: 16 de marzo de 2016). Navarro Cuevas, Jaime. Progresiones aritméticas y geométricas. México: Limusa, 1980. New Mexico State University. Department of Mathematical Sciences. https://www.math. nmsu.edu/~pmorandi/math112f00/EscherRectangle.html (Fecha de consulta: 9 de febrero de 2018). Fuentes sugeridas IEEPO. Educando Tv. Preescolar clase 121. Tema: Las secuencias. https://www.youtube. com/watch?v=6R-4MPgYzJg _____ Preescolar clase: 199. Tema: Secuencias y patrones. https://www.youtube.com/ watch?v=PpL9kpAEJ4o _____ Primaria 1° y 2° clase 12. Tema: Sucesiones numéricas. https://www.youtube.com/ watch?v=Ajym0qoEXyU 84 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 84 12/06/19 14:46 _____ Primaria 1° y 2° clase 74. Tema: Sucesiones con distintas cantidades de figuras. https://www.youtube.com/watch?v=xeOHMEDRbdk _____ Primaria 1° y 2° clase 141. Tema: Sucesiones de figuras (primera sesión) https://www. youtube.com/watch?v=MPekuwvo8S0 _____ Primaria 3º y 4º clase: 33. Tema: Sucesiones compuestas por números. https://www. youtube.com/watch?v=jp688jXyQHQ _____ Primaria 3° y 4° clase 55. Tema: Sucesiones ascendentes y descendentes. https:// www.youtube.com/watch?v=2D9EmSU-N3E _____ Primaria 5º y 6º clase: 176. Tema: Regularidades en las sucesiones geométricas. https://www.youtube.com/watch?v=ZhT8Lpbztt8 _____ Secundaria clase: 80. Tema: Obtención de la regla general de una sucesión con progresión aritmética. https://www.youtube.com/watch?v=9ipaBxwlod8 _____ Secundaria clase: 90. Tema: Enésimo término de una sucesión. https://www. youtube.com/watch?v=qlMy9Me33Tg _____ Secundaria clase: 104. Tema: Sucesiones de números y figuras con progresión aritmética y geométrica. https://www.youtube.com/watch?v=Th9vhqmAnoI POR ENÉSIMA VEZ PATRONES Y PROGRESIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 85 85 12/06/19 14:46 86 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 86 12/06/19 14:46 Ilustración: © Shutterstock.com EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA ECUACIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 87 12/06/19 14:46 INTRODUCCIÓN Muchos de los problemas que resolvemos con el álgebra se remontan a épocas muy antiguas. Hay escritos de hace más de 4000 años en Egipto. En ellos se encuentran problemas de cómo hallar un número que al sumarle su séptima parte sea igual a 19; pero en ese tiempo no se conocían las ecuaciones, ni los signos que usamos en la actualidad. Varios teoremas que ahora se demuestran algebraicamente, se demostraron por métodos geométricos, que resultaban en algunas ocasiones demasiado laboriosos. El matemático árabe llamado Al-Jwarizmi, (considerado como el padre del álgebra) escribió un libro de matemáticas que contenía la palabra al-jabr, que en español se traduciría como recomponer y de ahí surgió la palabra “álgebra”. A él se debe que se utilice la letra x en las ecuaciones para representar a la incógnita. Y es que hay situaciones en las que tenemos que encontrar algún número perdido para lograr que las expresiones algebraicas tengan lógica. Asimismo, se ha dicho que el álgebra es la ciencia de las ecuaciones, pero ¿qué significa la palabra ecuación? Bueno, es muy sencillo: igualdad. Por eso, cualquier expresión matemática que te encuentres, y que tenga un signo de igual a (=) es una ecuación. Por supuesto que las hay muy sencillas, por ejemplo: ♦ ♦ ♦ = 3, porque es verdad que tres objetos juntos, es igual al número 3. Y las hay un poco más sofisticadas, por ejemplo: ax2 − bx + c = d, las cuales te proponen el reto de usar la lógica y encontrar los números representados en letras y realizar las operaciones que se te piden. Sin embargo, el principio es el mismo: satisfacer la igualdad. Es decir, lo que se encuentra de cada lado de la igualdad tiene que ser lo mismo, de lo contrario es una mentira, por ejemplo: ♦ ♦ ♦ = 5, es falso que tres objetos sea igual al número 5. También es importante considerar que las expresiones algebraicas formales usualmente tienen letras en lugar de números. Esto es porque resulta más sencillo establecer expresiones generales con diferentes tipos de números, por ejemplo: a + b = c; que puede significar 2 + 2 = 4; o 3.5 + 3.5 = 7; 88 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 88 12/06/19 14:46 1 1 4 4 o + = .5 etc., sin embargo, cuando se nos oculta un número, al conocer la expresión general, podemos identificar cómo ordenar los números y operarlos. Por otro lado, el álgebra es muy útil en la solución de problemas tanto matemáticos (geométricos, de patrones y sucesiones, regla de tres, etc.) como de la vida cotidiana (edades, ventas, construcción, etc.) y el reto principal es plantearlos, es decir, escribir los enunciados y la expresión algebraica. Básicamente, lo que haremos en esta UAA es encontrar números perdidos que necesitamos conocer. PROPÓSITO GENERAL Reconocer situaciones problemáticas que impliquen la representación algebraica en diferentes formas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones y ecuaciones cuadráticas. PROPÓSITOS ESPECÍFICOS • Representaremos algebraicamente problemas expresados en enunciados donde se esconde un número utilizando los signos +, −, = y números enteros positivos. Representaremos algebraicamente problemas expresados en enunciados donde se esconde un número utilizando los signos +, −, ×, ÷, = y números enteros (positivos y negativos) y racionales (positivos y negativos). Representaremos algebraicamente problemas que implican el desarrollo de ecuaciones lineales, sistema de ecuaciones y ecuaciones cuadráticas. • • MAPA DE CONTENIDOS PROGRESIÓN ALGEBRAICA Igualdad Operaciones Ecuaciones lineales Sistema de ecuaciones Ecuaciones cuadráticas Establecer ecuaciones con objetos y con números a+b=c a–b=c a (b) = c a÷b=c ax + b = cx + d ax − b = cx + d ax + by = n cx + dy = m ax2 − bx + c = d EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA ECUACIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 89 89 12/06/19 14:46 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Estableces la igualdad entre objetos y la grafía de número. Representas algebraicamente enunciados y encuentras el número desconocido en ecuaciones lineales de la forma: a + b = ?; ? + b = c; y a + ? = c, donde a, b y c son números enteros positivos. Representas algebraicamente enunciados y encuentras el número desconocido en ecuaciones lineales de la forma: a − b = ?; ? − b = c; y a − ? = c, donde a, b y c son números enteros positivos. Representas algebraicamente enunciados y encuentras el número desconocido en ecuaciones lineales de la forma: a (b) = ?; (?) b = c; y a (?) = c, donde a, b y c son números enteros positivos. Representas algebraicamente enunciados y encuentras el número desconocido en ecuaciones lineales de la forma: a ÷ b = ?; ? ÷ b = c; y a ÷ ? = c, donde a, b y c son números enteros positivos. Representas algebraicamente enunciados y encuentras el número desconocido en ecuaciones lineales, donde a, b y c son números enteros y/o racionales positivos. Representas algebraicamente enunciados y encuentras el número desconocido en ecuaciones lineales, donde a, b y c son números enteros y/o racionales positivos y/o negativos. Planteas algebraicamente enunciados y encuentras la incógnita en ecuaciones de la forma: ax + b = cx + d donde a, b, c y d son números enteros y/o racionales positivos y/o negativos. Planteas algebraicamente enunciados y estableces sistemas de ecuaciones de la forma: ax + by = n / cx + dy = m, donde a, b, c y d son números enteros y/o racionales positivos y/o negativos. Planteas algebraicamente enunciados y resuelves ecuaciones cuadráticas de la forma: ax2 − bx + c = d, donde a, b, c y d son números enteros y/o racionales positivos y/o negativos. INICIAL UAA_PM_REV_CONAFE.indd 90 BÁSICO INTERMEDIO Ilustración: Ivanova Martínez Murillo 1 Acomodas objetos en conjuntos, ordenándolos según alguna característica, como es: tamaño, longitud, forma. Ilustración: Ivanova Martínez Murillo TRAYECTO DE APRENDIZAJE AVANZADO 90 12/06/19 14:46 ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Es importante conocer las características de los objetos que se nos presentan, si son grandes o pequeños, la forma que tienen o el color, para poder ordenarlos y sea más sencillo trabajar con ellos. Ilustración: © Shutterstock.com A los objetos que forman un conjunto se les llama elementos del conjunto. Tu desafío consiste en acomodar las figuras de la imagen en diferentes conjuntos. Ordénalos según la forma, es decir, que en un conjunto queden todas las figuras que son de la misma forma. REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN • • • • • Realiza en tu cuaderno los dibujos de los conjuntos que formaste. ¿Cuántos conjuntos formaste? Si tuvieras que agruparlos por color, ¿cuántos conjuntos tendrías? ¿Cuántos elementos tiene cada conjunto? Si hacemos dos conjuntos, uno en el que haya solo triángulos y cuadrados y en el otro todas las figuras que sobran, ¿cuántos elementos tendrá cada conjunto? EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA ECUACIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 91 91 12/06/19 14:46 ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Cuando utilizamos letras para designar incógnitas, podemos escoger cualquier letra, es costumbre que se utilice en los libros x o y, aunque podemos utilizar cualquier letra del abecedario, así también podemos tener expresiones algebraicas de la forma a + b, m – n, 2c + 5d. Tu desafío es expresar algebraicamente el perímetro y el área de la figura. Usa las letras que más te gusten. Juan tiene un terreno rectangular con una medida de 6x + 3y de largo y 2x + y de ancho y quiere poner una barda alrededor del terreno. ¿Cuál sería la longitud de la barda? Exprésalo algebraicamente. ¿Cuál es el área del terreno? El siguiente texto es un apoyo para que puedas resolver el desafío. ÁLGEBRA Y OPERACIONES BÁSICAS18 Una expresión algebraica es una combinación de números y literales que representan cantidades mediante operaciones. Un monomio es una expresión algebraica cuyas partes no están separadas por signos de suma o resta. Consta de coeficiente, base y exponente. Monomio 3x2 7mn3 Coeficiente 3 7 Base x m, n Exponente 2 3 Los coeficientes pueden ser números enteros, fracciones o decimales. Un polinomio es una expresión algebraica que consta de varios monomios. Ejemplo: a + b, 3a – 4b, a – b2 + 3c 18 Texto elaborado ex professo para esta UAA. 92 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 92 12/06/19 14:46 En las expresiones algebraicas las operaciones se efectúan en el orden siguiente: • Potencias y raíces • Multiplicación y división (en este orden) • Sumas y restas (no importa el orden) Un término es semejante a otro cuando los mismos exponentes afectan a las mismas bases. Ejemplo: 7b, 4b, −8x2y, 6x2y, 3y3, 19y3 7b y 4b son términos semejantes ya que tienen los mismos exponentes y las mismas bases. −8x2y y 6x2y también son términos semejantes. Para simplificar expresiones algebraicas reducimos términos semejantes, para hacerlo, sumamos o restamos los coeficientes. Ejemplo: 6x – 3y + z – 3x + y – 3z = 3x – 2y – 2z Ilustración: © Shutterstock.com Una de las ventajas del álgebra es la simplificación de expresiones con el empleo de letras. Así es más sencillo escribir por ejemplo a + b en lugar de “la suma de dos números cualesquiera” o x2 + 2 en lugar de, “el cuadrado de un número aumentado en dos”. EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA ECUACIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 93 93 12/06/19 14:46 Una ecuación es una expresión en la que se indica la igualdad de dos números o cantidades. Ejemplo: a + b = c Despejar significa encontrar el valor de la incógnita. El valor numérico de una expresión se obtiene al sustituir las letras por sus valores numéricos y realizar las operaciones. En la suma de polinomios escribimos uno seguido del otro y reducimos términos semejantes. Ejemplo: 3x3 + 6x2 − 3x + 2; 2x3 + 2x2 − x + 8 = 3x3 + 6x2 − 3x + 2 + 2x2 + 2x2 − x + 8 = 5x3 + 8x2 − 4x + 10 Para suprimir se emplean los signos de agrupación ( ), [ ], { } Si antes tiene un + se quita (suprime) y lo que está dentro conserva el signo, pero si antes del signo de agrupación hay un signo − (…), se quita y se cambia el signo de cada una de las cantidades que se encuentran dentro. Resta de polinomios: (4a – 5b + c) − (2a + 7b − 6c) 4a – 5b + c − 2a – 7b + 6c = 2a − 12b + 8 c En la multiplicación de monomios, primero se multiplican los coeficientes y después las bases. Ejemplo: (3x2y3) (2x3y) = 6x5 y4 Al multiplicar polinomios por monomios, se multiplica cada término del polinomio por el monomio. Ejemplo: (3x2y) (− 5xy + 3z2 − 6x2y2) = −15x3y2 + 9x2z2 − 18x4y3 Al multiplicar polinomio por polinomio, se multiplica cada término del primero por cada uno de los términos del segundo y después se reducen términos semejantes. Al dividir monomio entre monomio, primero se realiza la división de los coeficientes y después se aplican las leyes de los exponentes para las bases. 94 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 94 12/06/19 14:46 Ejemplo: 8a3b2c ÷ 4a2bc = 2ab Cuando dividimos polinomio entre monomio, se divide cada término del polinomio entre el monomio. Ejemplo: 2x4 − 6x3 + 18x2 ÷ x2 = 2x2 − 6x + 18 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Registra en tu cuaderno tus aprendizajes, apóyate en las siguientes preguntas para que puedas describir mejor lo que aprendiste. • • • ¿Cómo expresarías la frase “el doble de un número cualesquiera más el cuadrado del mismo número” en lenguaje algebraico? Si Juan divide su terreno a la mitad, ¿cuál sería el área de la mitad del terreno? Te sugerimos hacer el dibujo para comprender mejor el ejercicio. ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES En general, las expresiones algebraicas son utilizadas para resolver problemas matemáticos de varios tipos. Por ejemplo, en este desafío veremos la relación del álgebra con la geometría y tendremos que encontrar el valor perdido de dos ángulos. El desafío es plantear y solucionar la expresión algebraica del siguiente enunciado: En el cuadrilátero ABCD, el ángulo A mide 120°, el ángulo B mide 90° y el ángulo C es dos tercios del ángulo D. ¿Cuánto miden los ángulos C y D? EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA ECUACIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 95 95 12/06/19 14:46 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN • • Recuerda que, para un cuadrilátero, existe un axioma:19 la suma de los ángulos interiores es igual a 360 °. Te sugerimos hacer un dibujo para ejemplificar mejor el desafío y puedas comprender mejor el enunciado. Registra y analiza tu proceso de solución y describe qué conceptos o qué información te fue de ayuda para encontrar la solución. ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Otra de las bondades del álgebra es que, a partir de encontrar regularidades en algunos problemas, podemos plantear expresiones algebraicas generales. El desafío es dar una expresión algebraica para el número de diagonales que inciden en cada vértice, según el número de lados. En estos polígonos regulares, ¿cuántas diagonales inciden en cada vértice? Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono Octágono REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Describe en tu cuaderno los aprendizajes nuevos y cómo fue que los construiste. Apóyate de las siguientes preguntas: 19 ʼ RAE. Del lat. axiōma, y este del gr. αξíωμα axíōma. 1. m. Proposición tan clara y evidente que se admite sin demostración. 2. m. Mat. Cada uno de los principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría. 96 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 96 12/06/19 14:46 • • • ¿Cómo se construye un polígono regular con un juego de geometría? ¿Qué significan los nombres de cada figura geométrica? Te sugerimos trazar las figuras y sus diagonales para que puedas darte cuenta de la relación de las diagonales y los vértices. ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Podemos descubrir cómo el uso de expresiones algebraicas es útil también en la vida cotidiana al realizar estimaciones en la venta de productos. Como podrás darte cuenta tenemos un número perdido ¡Encuéntralo! El desafío es plantear y solucionar la expresión algebraica del siguiente enunciado: Ilustración: © Shutterstock.com Una granjera llevó huevos al mercado. Pensaba venderlos a 10 centavos cada uno. Como en el camino se le rompieron 6 huevos, decidió vender los que le quedaban en 15 centavos cada uno. Cuando regresó a su casa, se dio cuenta que había ganado 1 peso más de lo que pensaba ganar. ¿Cuántos huevos llevaba al inicio? EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA ECUACIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 97 97 12/06/19 14:46 El siguiente texto te apoya para la solución de este desafío: WHAT MAKES AN EQUATION BEAUTIFUL20 By Kenneth Chang The wonder of mathematics is that it captures precisely in a few symbols what can only be described clumsily with many words. Those symbols, strung together in meaningful Readers of Physics World magazine recently were asked an interesting question: Which equations are the greatest? A half-dozen of respondents, including Richard Harrison, chose one of the simplest possible equations. Mr. Harrison wrote: “‘1 + 1 = 2’ is the fairy tale of mathematics, the first equation I taught my son, the first expression of the miraculous power of the mind to change the real world. I remember my son holding up the index finger, the ‘one finger,’ of each hand as he learned the expression, and the moment of wonder, perhaps his first of true philosophical wonder, when he saw that the two fingers, separated by his whole body, could be joined in a single concept in his mind.” REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Elabora tu RPA y describe tu aprendizaje. Apóyate de las siguientes preguntas: • • 20 ¿Existe una sola forma de encontrar el número perdido? ¿Cuál es la expresión más simple de una ecuación? enneth Chang, "What Makes an Equation Beautiful", The best of Physics, The New York Times, 24 de octubre de 2004, K http://www.nytimes.com/2004/10/24/weekinreview/what-makes-an-equation-beautiful.html 98 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 98 12/06/19 14:46 ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES El desafío es expresar oraciones de lenguaje común en términos algebraicos, esto nos sirve mucho para generalizar situaciones de la vida diaria y darle una expresión algebraica, así, en vez de decir que tienes una cierta cantidad de vacas y otra de conejos y otra de cada animal, puedes asignar letras. Ilustración: © Shutterstock.com Larga fue la vida de Diofanto, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia; su mentón cubrióse de vello después de otro doceavo de su vida; la séptima parte de su vida transcurrió en un matrimonio estéril; pasó un quinquenio más y le nació un hijo, cuya vida sólo duró la mitad de la de su padre, que sólo sobrevivió cuatro años a la de su amado hijo. ¿A qué edad murió Diofanto? REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Descubre y registra con detalle tu experiencia de aprendizaje con este problema. No olvides asegurarte de que puedes dar cuenta de todo lo aprendido. • • ¿Podrías plantear tu edad igual que Diofanto? ¿Qué son los sexenios, decenios o milenios? EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA ECUACIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 99 99 12/06/19 14:46 ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Como ya se dijo anteriormente, las expresiones algebraicas se pueden sumar, restar y hacer todo tipo de operaciones con ellas, para encontrar el valor de la incógnita. En este desafío identifica la reducción de términos semejantes en la expresión algebraica de la siguiente proposición: ¿Cuál es el área y el perímetro del triángulo cuyos lados están dados por las expresiones x+3, x−4 y 2x−5? El siguiente texto ofrece información que te puede ayudar en la tarea de resolver ecuaciones. Identifica aquello que fortalece tus reflexiones realizadas con el estudio de los problemas y también los elementos nuevos que te ofrece el texto. LENGUAJE ALGEBRAICO21 Una ecuación es una igualdad entre expresiones matemáticas que contiene valores desconocidos, a estos valores desconocidos se les llama incógnitas. 2m + 4 = 36 21 5(3 − y) = −2y Donde m, y y w son incógnitas. 15 = 7w2 − 15w Texto elaborado ex professo para esta UAA. 100 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 100 12/06/19 14:46 Resolver una ecuación significa determinar el valor de la incógnita que satisface la igualdad, es decir, que al sustituir el valor determinado en la ecuación y realizar las operaciones correspondientes, se obtiene el mismo valor en ambos lados de la igualdad. Para la ecuación 2m + 4 = 36, se puede verificar que m = 16 cumple con la igualdad y que ningún otro número la satisface. Para determinar el valor de la incógnita es necesario despejarla, es decir, dejarla sola en uno de los lados de la igualdad. Para despejar la incógnita es importante realizar operaciones que permitan eliminar los números que le “estorban” para quedarse sola. Las frases como “está sumando pasa restando” son para memorizar y realizar el proceso de manera mecánica, lo cual ayuda a realizar de manera rápida un despeje; sin embargo, las estrategias mecánicas suelen descuidar aspectos específicos de la estructura de la ecuación, lo que lleva al fracaso en su solución. Por ello es prioritario desarrollar y cuidar cada paso del proceso de despeje de la incógnita y verificar la solución de la ecuación y del problema. En el trabajo de despeje de la incógnita es necesario tener en cuenta y respetar las propiedades de la igualdad: • • • • Propiedad 1: Cuando se suma o resta un número a ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene. Propiedad 2: Cuando se multiplica o divide por un mismo número, distinto de cero, en ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene. Propiedad 3: Cuando se eleva a una potencia distinta de cero ambos miembros de la igualdad, la igualdad se mantiene. Propiedad 4: Cuando se extrae la misma raíz, en ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene. REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Escribe en tu cuaderno cómo hiciste para resolver la ecuación que se pidió en este desafío. • • ¿Cuál es la fórmula para el área y perímetro de un triángulo? Si fuera otro tipo de triángulo, ¿cómo expresarías el área? EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA ECUACIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 101 101 12/06/19 14:46 • • ¿Te gustaría utilizar alguna letra en especial para representar incógnitas? En la expresión a2 + b2 = c2, ¿cómo despejas b2? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES En ocasiones una sola ecuación lineal no basta para poder resolver el problema que se nos presenta, es decir, es necesario plantear más de una ecuación, para lo cual tendremos más de una incógnita. A esto se le llama sistema de ecuaciones y puede ser de dos, tres o más incógnitas, y de la misma manera dos, tres o más ecuaciones, según lo requiera el problema. Existen diferentes métodos para resolverlos. Por eso, tu desafío es plantear y solucionar la expresión algebraica del siguiente enunciado: Ilustraciones: © Shutterstock.com Un pequeño restaurante tiene un total de 8 mesas. Cuenta con mesas para dos personas y con mesas para cuatro personas. Si el restaurante tiene capacidad para un total de 24 personas sentadas, ¿cuántas mesas para dos personas hay en el restaurante y cuántas para cuatro personas? 102 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 102 12/06/19 14:46 El siguiente texto es un apoyo para resolver el desafío. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES22 Cuando tenemos un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas hay varios métodos para resolverlo, este se llama “reducción o suma y resta”. Consiste en multiplicar las ecuaciones por algún número de tal manera que al sumar las ecuaciones que resultan, se elimine alguna de las variables, para obtener una ecuación de una incógnita y resolverla (como en el ejercicio anterior) para después sustituirla en alguna de las ecuaciones originales y así obtener el valor de la otra incógnita. Ejemplo: 3x − 2y = 0 x − y = −1 Primero se elige la variable a eliminar, tomaremos x, para esto necesitamos que los coeficientes de x de cada ecuación sean iguales y de distinto signo. Se multiplica la segunda ecuación por −3. 3x − 2y = 0 x − y = −1 3x − 2y = 0 −3x + 3y = 3 Al hacer la suma de las ecuaciones nos queda y = 3 El valor de y = 3 se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de x. x − 3 = −1 x=2 Se puede comprobar el resultado sustituyendo los valores obtenidos en la otra ecuación. 22 Texto elaborado ex professo para esta UAA. EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA ECUACIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 103 103 12/06/19 14:46 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN • • • Reflexiona respecto a cuándo se requiere utilizar más de una ecuación para resolver un problema y anota tus reflexiones y argumentos. Investiga otros métodos que te pueden ayudar cuando tienes dos ecuaciones o más de una misma situación problemática y anota tus aprendizajes. Con otro método resuelve la siguiente situación: Don José tiene en su granja vacas y gallinas, entre todos los animales tiene 35 cabezas y 110 patas, ¿cuántas vacas y cuántas gallinas tiene don José? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES En ocasiones con una ecuación de primer grado no es posible resolver un problema, como cuando calculamos áreas de figuras, por eso necesitamos aprender a plantear y resolver ecuaciones de segundo grado, para las cuales existen diferentes métodos que nos hacen más sencillo resolverlas. Así, este desafío consiste en plantear ecuaciones de segundo grado y conocer algunos métodos para resolverlas. Ana tiene un cuadrado de papel y recorta de él una tira de 2cm de ancho. El área de la parte más grande es de 63cm2. ¿Cuánto mide de lado el cuadrado? El siguiente texto te ayudará a resolver el desafío. PRODUCTOS NOTABLES23 El cuadrado de un binomio es el desarrollo de la suma de dos cantidades al cuadrado. El resultado es el cuadrado del primer término, más el doble 23 Texto elaborado ex professo para esta UAA. 104 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 104 12/06/19 14:46 Ilustración: © Shutterstock.com producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 − 2ab + b2 A la expresión resultante se le conoce como: trinomio cuadrado perfecto. Los binomios conjugados son de la forma (a + b) (a − b) = a2 − b2 Al resultado se le llama, diferencia de cuadrados. Los binomios con término común son de la forma: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab Su desarrollo es el cuadrado del término común, más la suma de los términos no comunes por el término común, más el producto de los no comunes. Ejemplo: (x + 5) (x + 3) = x2 + 3x + 5x + 15 = x 2 + (3 + 5)x + 15 = x 2 + 8x + 15 Estas expresiones algebraicas se usan para resolver multiplicaciones de polinomios, cuando se cumplen las características de los factores que permitan aplicar las reglas de los productos notables. EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA ECUACIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 105 105 12/06/19 14:46 Factorización Un factor común es la expresión común que tienen todos los términos de una expresión algebraica. Para encontrar un factor común se toma la letra que se repite en todos los términos y que es la de menor exponente, y cada uno de los términos se divide entre el factor común. Ejemplo: Si tenemos que factorizar: 16a6b7c – 12a5b2c3 + 20a3b10 buscamos un factor común de los coeficientes, es decir, el m.c.d. y el factor común de las literales (letras). m.c.d. (16, 12, 20) = 4 Factor común literal a3b2 Se realiza la división de las literales, término a término. (a6 b7 c) = a3b5c, (a3 b2) (a5 b2 c3) = a2c3 (a3 b2) (a3 b10) = b8 (a3 b2) La factorización queda de la siguiente forma: 4a3b2 (4a3b5c − 3a2c3 + 5b8) La factorización de la diferencia de cuadrados son los binomios conjugados. a2 − b2 = (a + b) (a – b) Para factorizar el trinomio de la forma x2 + bx + c, se extrae la raíz del término cuadrático y se coloca en ambos factores: (x) (x). Se buscan dos números que su producto sea igual al tercer término y la suma sea igual al segundo término, y se coloca en los factores. Ejemplo: x2 + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1) (2) (1) = 2 2+1=3 Trinomio de la forma ax2 + bx + c Ejemplo: 5m2 + 13m – 6 106 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 106 12/06/19 14:46 Se multiplica el coeficiente del primer término por el tercer término (5)(−6) = − 30 Se buscan dos números que multiplicados den –30 y sumados 13 Los números serían 15 y –2 y factorizamos: 5x2 + 13x + 5 = 5x2 + 15x − 2x − 6 = 5x2 + 15x − 2x − 6 = 5x (x + 3) + (−2) (x + 3) = (5x − 2) (x + 3) Ecuación de segundo grado Es una ecuación cuya expresión reducida es de la forma ax2 + bx + c donde a, b y c son números reales y a ≠ 0 Hay varios casos para resolverlas. Caso 1 2x2 + 15 = 65 2x2 = 65 − 15 2x2 = 50 x2 = 50 ÷ 2 = 25 x = ± 25 x2 = 5 y x2 = −5 ya que (5)(5) = 25 (−5)(−5) = 25 Caso 2 x2 − 7x + 12 = 0 Factorizamos como ya vimos anteriormente. (x − 4) (x − 3) = 0 El producto de dos factores solo puede ser cero, si al menos uno de los dos factores es cero. Tomamos x−4=0 x=4 y x−3=0 x=3 Para comprobarlo sustituimos los valores que obtuvimos en la ecuación original. EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA ECUACIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 107 107 12/06/19 14:46 Caso 3 Completar la ecuación y factorizar. 2x2 − 3x = 9 x2 − 3 9 x= divido entre 2 para dejar el término cuadrático con coeficiente 1 2 2 para reducir la ecuación a la forma x2 + 2ax = b Hay que dividir el coeficiente del segundo término entre 2 y elevar al cuadrado ( 21 ) ( 32 ) = 34 x2 − elevando al cuadrado ( 34 ) = 169 2 3 9 9 9 81 x+ = + se agrega en ambos lados de la igualdad = 2 16 2 16 16 Factorizar el trinomio cuadrado perfecto (x − 3 2 81 )= 4 16 Extraer raíz cuadrada en ambos lados x− 3 9 =± 4 4 despejar x. x1 = 9 3 + 4 4 x1 = 3 x1 = − x1 = − 9 3 + 4 4 3 2 Éstas son las soluciones de la ecuación, para verificar solo hay que sustituir cada una de las soluciones en la ecuación original y ver que sí se cumplan. 108 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 108 12/06/19 14:46 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Te sugerimos realizar el dibujo en tu cuaderno para entender mejor el enunciado. • ¿Sabes si hay algún otro método que resuelva todo tipo de ecuaciones de segundo grado? Investiga. COMPARTE LO APRENDIDO, MEJORA Y COMPLETA TU REGISTRO Es tiempo de que, junto con el tutor, revisen todo tu proceso de aprendizaje sobre este tema; en esa revisión vayan identificando qué es lo que aprendiste sobre los temas nuevos, sobre cómo resolver las dificultades a las que te enfrentaste y sobre aquello que te hizo sentirte muy bien con el trabajo que estás haciendo. Luego, haz una lista de esos aprendizajes y selecciona qué es lo que quieres compartir con tus compañeros. Junto con tu tutor planea y ensaya la demostración para saber qué material es el más adecuado para compartir lo que te interesa. PARA SEGUIR APRENDIENDO Fuentes consultadas Aguilar Márquez, A., F. Bravo Vázquez, H. Gallegos Ruíz, M. Cerón Villegas y R. Reyes Figueroa. Aritmética y álgebra. Cuarta edición. México: Pearson Educación, 2016. Conafe. “Ecuaciones cuadráticas” en UAI, Tercer grado, Bloque 2. 64-67. México: Conafe. _____ “Ecuaciones cuadráticas” en UAI, Tercer grado, Bloque 3. 58-67. México: Conafe. _____ “Ecuaciones de primer grado” en UAI, Primer grado, Bloque 3. 66-70. México: Conafe. _____ “Ecuaciones de primer grado” en UAI, Segundo grado, Bloque 4. 66-76. México: Conafe. _____ “Operaciones con expresiones algebraicas” en UAI, Segundo grado, Bloque 3. 6480. México: Conafe. EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA ECUACIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 109 109 12/06/19 14:46 _____ “Operaciones con expresiones algebraicas”, en UAI, Segundo grado, Bloque 2. 5660. México: Conafe. _____ “Sistemas de ecuaciones lineales” en UAI, Segundo grado, Bloque 5. 50-59. México: Conafe. Dávila Rascón, Guillermo. El desarrollo del álgebra moderna. Apuntes de Historia de las Matemáticas. Núm. 1, vol. 2, enero de 2003. www.mat.uson.mx/depto/ publicaciones/ apuntes/pdf/2-1-4-algebra.pdf (Fecha de consulta: 25 de enero de 2016). Godino, Juan y Vicenç Font. Didáctica de las matemáticas para maestros. Departamento de Didáctica de la Matemática. Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Granada. Granada, 2013. Star, J. R., Caronongan, et al. Teaching strategies for improving algebra knowledge in middle and high school students. https://ies.ed.gov/ncee/wwc/Docs/PracticeGuide/ wwc_algebra_040715.pdf (Fecha de consulta: 6 de marzo de 2018). Universidad de Chile. Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Centro de Modelamiento Matemático. Fragmento tomado de Expresiones algebraicas. http://www.rua.unam.mx/ portal/recursos/ficha/21028/expresiones-algebraicas (Fecha de consulta: 12 de marzo de 2018). Wentworth, Jorge y David Smith. “Serie matemática Wentworth y Smith” en Elementos de álgebra. 1945. Fuentes sugeridas IEEPO. Educando Tv. Preescolar clase 62, Tema: Discriminación de objetos https://www. youtube.com/watch?v=MY56xhla6Ns _____ Primaria 1° y 2° clase 4, Tema: Construcción de colecciones para la resolución de problemas. https://www.youtube.com/watch?v=ThCNDEU9bkg _____ Primaria 1° y 2° clase 6, Tema: Construcción de colecciones para la resolución de problemas. https://www.youtube.com/watch?v=zS_R6fC7xw4 _____ Secundaria clase 12, Tema: Patrones y ecuaciones. https://www.youtube.com/ watch?v=tN1rVTsSpBA _____ Secundaria clase 6, Tema: Patrones y ecuaciones. https://www.youtube.com/ watch?v=gqIzaP_qTfE _____ Secundaria clase 60, Tema: Sistema de ecuaciones lineales. https://www.youtube. com/watch?v=hh5xhl5v0Ko _____ Secundaria clase: 147, Tema: Formulación de problemas para ecuaciones lineales cuadráticas. https://www.youtube.com/watch?v=4EW3PSKgcxA _____ Secundaria clase: 170, Tema: Sentido numérico y pensamiento algebraico. https:// www.youtube.com/watch?v=qtv918NvJYc _____ Secundaria clase: 25 Tema: Lenguaje algebraico. https://www.youtube.com/ watch?v=bBok1kZfZB4 _____ Secundaria clase: 30, Tema: Operaciones básicas algebraicas. Suma de monomios y polinomios. https://www.youtube.com/watch?v=hAcZ43GHc64 _____ Secundaria clase: 40, Tema: Operaciones algebraicas. Resta de monomios y polinomios. https://www.youtube.com/watch?v=a4XchvTqkAw _____ Secundaria clase: 47, Tema: Multiplicación de monomios y polinomios. https://www. youtube.com/watch?v=jjzPDTEmW_o 110 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 110 12/06/19 14:46 _____ Secundaria clase: 49, Tema: División de monomios y polinomios. https://www. youtube.com/watch?v=-8LsWfYleWY _____ Secundaria clase: 58, Tema: Ecuaciones de primer grado. https://www.youtube.com/ watch?v=0JN8N0_OTmM _____ Secundaria clase: 86, Tema: Ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b. https://www.youtube.com/watch?v=DS9RbkB2UCo _____ Secundaria clase: 92, Tema: Ecuaciones de primer grado de la forma ax = b. https://www.youtube.com/watch?v=r6tZ-xPIntc _____ Secundaria clase: 98, Tema: Ecuaciones de primer grado de la forma ax + b = c. https://www.youtube.com/watch?v=CAi99jeEHmc EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA ECUACIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 111 111 12/06/19 14:46 112 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 112 12/06/19 14:46 Ilustración: © Shutterstock.com INGENIO Y FIGURA... FORMAS GEOMÉTRICAS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 113 12/06/19 14:46 INTRODUCCIÓN Con la necesidad que tiene el hombre de medir todo lo que hay a su alrededor, surgieron los primeros problemas geométricos, como medir sus propiedades, extensiones de tierra, construir sus casas y todo lo que necesitaban. Así el hombre buscó reglas y fórmulas que pudieran ayudarle a resolver sus problemas de una manera más sencilla. Algunas civilizaciones antiguas como los asirios, babilonios, egipcios y griegos, tenían nociones sobre geometría e hicieron grandes avances en ella, como los griegos. Los asirios y babilonios, por su parte, conocían el área de varias figuras rectángulos, triángulos y trapecios, así como el volumen de prismas rectos y pirámides de base cuadrada, tenían nociones de semejanza de triángulos. Los egipcios conocían también reglas para obtener el área de figuras planas y volumen de algunos poliedros. Ilustración: © Shutterstock.com Entre los griegos, Tales de Mileto introdujo la geometría, se le atribuye el uso de la circunferencia para la medida de los ángulos, también la teoría de semejanza de triángulos. La escuela pitagórica se ocupó del estudio de la aritmética y geometría, de aquí destaca el teorema de Pitágoras. Euclides publicó muchas obras matemáticas, entre ellas está los Elementos de Geometría, que ha sido traducida a todos los idiomas. Arquímedes y Apolonio contribuyeron al apogeo de la geometría antigua, con varias de sus obras: De la Medida del círculo, De la Esfera y del Cilindro, de Arquímedes, entre muchas otras, y Tratado de las cónicas por Apolonio. 114 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 114 12/06/19 14:46 Los griegos hicieron muchos avances en esta área que hoy en día aún utilizamos y son la base de la geometría actual. En la vida cotidiana usamos objetos que tienen una forma geométrica, como una mesa rectangular, una cubeta cilíndrica o un lápiz con forma de prisma hexagonal terminado en una punta cónica. En cada uno de estos ejemplos, la forma del objeto parece contribuir en alguna medida a la función que desempeña. Además de tener una influencia sobre la función de los objetos que utilizamos cotidianamente, las formas geométricas tienen una aplicación ornamental. Por ejemplo, los platos en los que comemos a menudo tienen decoraciones que los embellecen, lo mismo que algunas prendas de ropa y accesorios, como aretes y collares. Los artesanos utilizan nociones geométricas para lograr que sus creaciones se vean más bonitas. Además de utilizar formas geométricas con fines prácticos y ornamentales, las personas de todas las épocas y todas las culturas han encontrado fascinante profundizar en la comprensión de las figuras que observan. Esto ha dado lugar a la ciencia de la geometría, la cual estudia propiedades de las formas, tales como su medida (área y perímetro), el número de sus elementos (vértices, aristas, caras), su simetría y su clasificación de acuerdo con sus características y propiedades. PROPÓSITO GENERAL Visualizar y hacer predicciones sobre figuras y objetos geométricos a partir de sus características y propiedades para comprobar razonamientos lógicos con figuras presentes en la vida cotidiana y en figuras creadas en papel. PROPÓSITOS ESPECÍFICOS • Analizaremos las características y propiedades de las formas geométricas (planas y sólidas) a partir de la observación, exploración y descripción. INGENIO Y FIGURA… FORMAS GEOMÉTRICAS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 115 115 12/06/19 14:46 • • Desarrollaremos razonamientos matemáticos acerca de relaciones geométricas para representar, construir y clasificar formas geométricas planas y sólidas. Argumentaremos nuevas propiedades de las formas geométricas mediante procesos deductivos al desarrollar y comprobar hipótesis tomando en cuenta algunos datos históricos sobre el estudio de la geometría. MAPA DE CONTENIDOS FIGURAS GEOMÉTRICAS Bidimensionales (planas) Tridimensionales (sólidas) Características: lados, caras, vértices, aristas y ángulos Propiedades: suma de ángulos, ejes de simetría, área, perímetro, diagonales Clasificación de acuerdo con sus características y propiedades: triángulos, cuadriláteros, cilindros, prismas, poliedros, etc. Observación, construcción, razonamiento visual-espacial y deductivo, argumentación de propiedades y relaciones de formas geométricas 116 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 116 12/06/19 14:46 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 117 3 4 5 6 7 8 9 Identificas características y propiedades de figuras bi- y tridimensionales, tales como su número de lados, vértices, caras, y las medidas de sus lados, ángulos y caras. Construyes, usando materiales a tu alcance, figuras bi- y tridimensionales que comparten ciertas propiedades. Creas distintas clases de figuras bi- y tridimensionales a partir del análisis de sus propiedades geométricas. Creas definiciones precisas para clases de figuras bi- y tridimensionales, y explicas la relación entre clases distintas. Imaginas y describes el efecto de aplicar transformaciones geométricas (como giros, movimientos, y cortes) a figuras bi- y tridimensionales. Identificas simetría y la aplicas en la resolución de problemas. Aprecias el desarrollo histórico del estudio de la geometría y su contribución en campos del desarrollo humano distintos de las matemáticas. INTERMEDIO 10 11 INGENIO Y FIGURA… FORMAS GEOMÉTRICAS Ilustración: Ivanova Martínez Murillo BÁSICO Desarrollas razonamientos lógicos para justificar por qué son verdaderas las hipótesis que has planteado. 2 Aplicas imaginación geométrica (la capacidad de “ver” en tu mente las figuras) para resolver problemas. INICIAL Desarrollas hipótesis acerca de las propiedades de figuras bi- y tridimensionales y las pones a prueba de forma constructiva (es decir, usando material concreto). 1 Reconoces, nombras, juegas y agrupas figuras de diferentes materiales a tu alcance. Ilustración: Ivanova Martínez Murillo TRAYECTO DE APRENDIZAJE AVANZADO 117 12/06/19 14:46 ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES En todo lo que hay a nuestro alrededor encontramos figuras geométricas, existen objetos que tienen su forma basada en dichas formas. El desafío consiste en reconocer las figuras geométricas de las que están formadas las siguientes figuras de las imágenes. ¿Cuántas figuras forman la casa? ¿Cuántas figuras forman el coche? ¿Cómo se llaman las figuras geométricas que forman la casa y el coche? Ilustraciones: © Shutterstock.com • • • REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Anota tus avances en tu cuaderno. Busca dentro de tu casa o de tu comunidad otras figuras geométricas que puedas reconocer de objetos que utilices a diario. Investiga los nombres de otras figuras geométricas que sean diferentes a los de las imágenes con las que ya trabajaste. Describe sus características. Escribe cómo se llaman y, si te es posible reconocer cuántos lados tienen, anota el número de lados. 118 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 118 12/06/19 14:46 • • • • ¿Qué relación tienen los juguetes con las figuras geométricas? ¿Qué juguetes tienes en casa? ¿Cuáles son tus juguetes preferidos? ¿Puedes identificar algunos con formas geométricas? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Ilustración: © Shutterstock.com El tangram es un rompecabezas que consta de 7 piezas llamadas tans, las cuales son figuras geométricas simples: cinco triángulos, un cuadrado y un paralelogramo. Usando la plantilla de abajo, construye tu juego de tans con papel grueso o cartón. Para jugar con los tans se debe seguir la siguiente regla: usar todos sin que se traslapen o encimen, pegándolos por sus lados. La variedad posible es enorme, existen miles de figuras que otras personas han inventado. Con el tangram se pueden también formar figuras geométricas sencillas, como el cuadrado, el triángulo isósceles, el paralelogramo, etc. INGENIO Y FIGURA… FORMAS GEOMÉTRICAS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 119 119 12/06/19 14:46 Ilustración: © Shutterstock.com El desafío que te proponemos es el siguiente: arma todos los cuadriláteros mostrados abajo empleando las figuras del tangram. REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Anota en tu registro todas las posibilidades que encontraste para armar cuadriláteros, así como los tipos de figuras que empleaste. A partir del ejercicio escribe qué características y propiedades infieres que tienen los cuadriláteros y los nombres que reciben las figuras, de acuerdo con el tamaño de sus lados y ángulos. No olvides también registrar todas las dificultades que tuviste al armar las figuras. Platica con el tutor sobre tus hallazgos; si les son útiles pueden emplear las siguientes preguntas de reflexión o bien otras que ustedes consideren para que amplíes tu reflexión, análisis y conclusiones en tu RPA. • • • • ¿Cuáles figuras te resultaron más difíciles? ¿Por qué? ¿Qué estrategia o estrategias empleaste para armar las figuras? ¿De cuántas maneras diferentes se puede armar cada figura? Menciona otras figuras de cuatro lados que se pueden armar usando el tangram. 120 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 120 12/06/19 14:46 ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Todos hemos jugado con dados alguna vez. Aunque no tenemos la certeza de ganar —pues de eso se trata un juego de azar— todos los jugadores confiamos en tener la misma oportunidad de que “la suerte nos sonría”. En otras palabras, sabemos que todas las caras del dado tienen la misma probabilidad de caer hacia arriba. ¿Cómo sabemos esto? Además del dado usual, que tiene forma de cubo, construye otras figuras que al lanzarlas al aire tengan la misma probabilidad de caer con cualquier cara hacia arriba (o hacia abajo). Una pista: El dado común está formado exclusivamente de cuadrados. Para encontrar otras figuras que funcionen como dados, quizá sea necesario utilizar figuras distintas del cuadrado. Tendrás que imaginar estos “dados alternativos” en tu mente y construirlos usando cartulina, cartón, papel cascarón o cualquier material que tengas a la mano. Ilustración: © Shutterstock.com Para ayudarte en el proceso de construir los “dados alternativos”, considera las siguientes preguntas: • ¿Qué características geométricas tiene el dado? • ¿Cuántas caras se unen en cada vértice? • Explica ¿por qué las características geométricas del dado influyen en el hecho de que cada cara tenga la misma probabilidad de caer hacia arriba? INGENIO Y FIGURA… FORMAS GEOMÉTRICAS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 121 121 12/06/19 14:46 • ¿Qué otro cuerpo se te ocurre que tenga 6 caras? ¿Ese otro cuerpo serviría como dado? ¿Por qué? El siguiente texto te ayudará a entender mejor algunos conceptos que vas a utilizar en este desafío. CUERPOS UNI, BI Y TRI DIMENSIONALES24 Un cuerpo geométrico o sólido geométrico es una figura con tres dimensiones: largo, ancho y alto, por eso se les llama tridimensionales, pueden ser poliedros o cuerpos redondos. A las caras de los sólidos, se les llama superficies y tienen dos dimensiones: largo y ancho, es decir, bidimensionales. Las caras de un sólido se limitan entre sí por líneas. A la unión de dos caras del mismo cuerpo se le llama arista. Al punto donde se intersectan varias aristas (3 o más) se le llama vértice. Línea: tiene una sola dimensión que es la longitud, es decir, es unidimensional. Un punto es un elemento geométrico que no tiene dimensión. La intersección de dos rectas puede generar un punto. Los poliedros son sólidos geométricos están compuestos de superficies planas, constan de caras, aristas y vértices. Las caras son las superficies que forman los poliedros y son limitadas por las líneas que llamamos aristas. Los cuerpos redondos están formados por figuras geométricas curvas, como la esfera, el cilindro y el cono, que son las más conocidas. También podemos encontrar estos cuerpos geométricos con el nombre de prisma: son aquellos que tienen una base y tapa de la misma figura plana 24 Texto elaborado ex professo para esta UAA. 122 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 122 12/06/19 14:46 como por ejemplo el cilindro, el cubo y el prisma rectangular. Como puedes observar la base puede tener cualquiera de las figuras planas que ya conoces. Pirámide: son aquellos cuerpos que tienen base de cualquier figura plana y una cúspide, por ejemplo, el cono, pirámide rectangular, etc. Ilustración: © Shutterstock.com En la siguiente imagen podrás identificar las definiciones antes mencionadas. REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Considera el dado habitual (cubo) para que reflexiones y escribas en tu registro cuánto suman los puntos de las caras opuestas. ¿Es siempre la misma cantidad? ¿Por qué? Reflexiona y anota en tu RPA si pasa lo mismo con los “dados alternativos” que construiste. Incluye en tu registro todas las posibilidades que encontraste para armar distintas clases de dados y las respuestas a las preguntas que se te plantearon, así como las propiedades y características que encontraste en la construcción de los dados. Apóyate de las siguientes preguntas: • • • ¿Qué características tienen cada uno de los dados que construiste? ¿Qué características comparten todos los dados entre sí que los diferencia de otras figuras sólidas? ¿Cómo podrías saber que has encontrado todos los dados que existen? INGENIO Y FIGURA… FORMAS GEOMÉTRICAS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 123 123 12/06/19 14:46 • • Viendo cada dado como un cuerpo geométrico, ¿qué nombre le pondrías? (Por ejemplo, el dado común se llama cubo o hexaedro.) Lo que hasta ahora hemos llamado “dado”, ¿qué nombre tendrá en geometría? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES En este desafío mediremos dos elementos de las figuras geométricas: su área, que es la superficie encerrada por los lados y se mide en unidades cuadradas (centímetros cuadrados, metros cuadrados, etc.), y su perímetro, que es la longitud del contorno de la figura. En una plaza se quiere construir una pista de baile en forma de paralelogramo de manera que se cumplan las siguientes condiciones: 1. Que el ancho sea dos terceras partes del largo. 2. Su perímetro debe ser igual a 30 centímetros. 3. Su área será la más grande posible. ¿Cuáles deben ser las medidas del paralelogramo para cumplir con las tres condiciones? Puedes realizar dibujos y modelos de cartón o hilo que te ayuden a visualizar la situación. Anota en tu RPA todas las aproximaciones que tengas para resolver el desafío, integra tus hipótesis y las preguntas que te formulaste, así como sus posibles respuestas. REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Describe en tu registro qué propiedades de los paralelogramos utilizaste en tu proceso de solución. Las siguientes preguntas pueden servirte como una guía: • Dibuja o construye varios paralelogramos que cumplan con la primera condición —el ancho es dos terceras partes del largo—. ¿Qué características de los paralelogramos pueden todavía variar? 124 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 124 12/06/19 14:46 • • • Dibuja o construye varios paralelogramos que cumplan con la segunda condición —el perímetro es 30 centímetros—. ¿Qué características de los paralelogramos pueden todavía variar? Dibuja o construye varios paralelogramos que cumplan con las primeras dos condiciones. ¿Qué características de los paralelogramos pueden todavía variar? ¿Cuántos paralelogramos existen que cumplan con las tres condiciones? ¿Qué forma tienen? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES El origen etimológico del término truncar nos remite al lenguaje latín para decir que deriva de “truncare”, traducido como “amputar” o “cortar”. Lo truncado, por lo tanto, no está completo. En el terreno de la geometría ¿cómo imaginas amputar o cortar figuras sólidas? ¿Qué otras formas se obtendrían al descomponerlos? Para la solución de este desafío puedes apoyarte tanto de tu capacidad de imaginar figuras como de esquemas o construcciones físicas. Ilustración: © Shutterstock.com En las siguientes figuras se hacen cortes por los puntos medios de las aristas para retirar las esquinas. ¿Cuáles son las características (es decir, el número de caras, aristas y vértices) de cada uno de los cuerpos resultantes? INGENIO Y FIGURA… FORMAS GEOMÉTRICAS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 125 125 12/06/19 14:46 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Escribe en tu RPA todas las posibilidades que encuentres al truncar las figuras sólidas. Para profundizar y extender tus aprendizajes, considera las siguientes preguntas para que amplíes, reformules y/o contrastes tus ideas e hipótesis iniciales: • • • ¿Cómo podrías deducir las características de los cuerpos truncados sin construirlos físicamente, sino a partir de considerar las características de los cuerpos originales? ¿Cómo describirías, en general, al efecto que tiene truncar un cuerpo? Supón que tienes una figura que has obtenido a partir de truncar otra. ¿Crees que la nueva figura pueda truncarse otra vez? ¿Cómo se vería el resultado? ¿Cómo podrías recuperar la figura inicial? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES ¿Cómo defines un poliedro y un polígono? ¿Qué ejemplos puedes dar de éstos? Los poliedros regulares también son conocidos como sólidos platónicos, ya que Platón los utilizaba para representar los elementos de la naturaleza. ¿Cómo te imaginas que se podría representar con un poliedro, por ejemplo, el agua? Para Platón, el tetraedro representaba el fuego; el hexaedro, la tierra; el octaedro, el aire; el dodecaedro, el universo y el icosaedro el agua. Más allá de las razones que tenía Platón para relacionar los poliedros regulares con los elementos de la naturaleza, ¿qué propiedades tienen en común estas figuras sólidas? ¿Sería posible construir otro sólido diferente de los cinco anteriores que cumpla con las mismas propiedades? ¿Por qué? El siguiente texto en inglés muestra unos cuerpos geométricos formados por polígonos regulares, llamados poliedros regulares o sólidos de Platón. También te ofrece la demostración del número de poliedros regulares que existen. A partir de la comprensión del texto, explica ¿qué nuevas propiedades y elementos descubriste de las formas geométricas? 126 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 126 12/06/19 14:46 Toma en cuenta lo que hasta el momento comprendes sobre las formas geométricas para que establezcas relaciones con la nueva información. Registra las estrategias que te apoyaron a traducir y comprender el texto. REGULAR POLYGONS25 Euclid started off by carving up two-dimensional space into the family of shapes known as polygons, which are those shapes made from only straight lines. With his compass and straightedge, he was able to construct not just an equilateral triangle, but also a square, a pentagon and a hexagon. Polygons in which every side has the same length and the angles between the sides are all equal are called regular polygons. Interestingly, Euclid’s method is not effective for all of them. The heptagon (seven sides), for example, cannot be constructed with a compass and straightedge. The octagon is constructible, but then the nonagon again is not. Meanwhile the staggeringly complex regular polygon that has 65,537 sides is constructible, and in fact has been constructed. (It was chosen because the number is equal to 216 + 1.) Beginning in 1894, it took Johann Gustav Hermes, a German mathematician, ten years to do it. One of Euclid’s pursuits was to investigate the three-dimensional shapes that can be made from joining identical regular polygons together. Only five shapes fit the bill: the tetrahedron, the cube, the octahedron, the icosahedron and the dodecahedron, the quintet known as the Platonic solids since Plato wrote about them in the Timaeus. He equated them with the four elements of the universe plus the heavenly space that surrounds them all. The tetrahedron was fire, the cube earth, the octahedron air, the icosahedron water and the dodecahedron the encompassing dome. The Platonic solids 25 Alex Bellos, Here’s Looking at Euclid: A Surprising Excursion Through the Astonishing World of Math, (Nueva York: Free Press, 2010), 57-59. INGENIO Y FIGURA… FORMAS GEOMÉTRICAS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 127 127 12/06/19 14:46 are particularly interesting because they are perfectly symmetrical. Twist them, roll them, invert them or flip them and they always stay the same. In the thirteenth and final book of The Elements, Euclid proved why there are only five Platonic solids by working out all the solid objects that can be made from regular polygons, starting with the equilateral triangle, and the moving onto squares, pentagons, hexagons and so on. The diagram on page 59 shows how he reached his conclusion. Ilustración: © Shutterstock.com To make a solid object from polygons you must always have a point where three sides meet: a corner, or what’s called a vertex. When you join three equilateral triangles at a vertex, for example, you get a tetrahedron. When you join four, you get a pyramid. A pyramid is not a Platonic solid because not all the sides are the same, but by sticking an inverted pyramid on the bottom you get an octahedron. Join five equilateral triangles together and you have the first part of an icosahedron. But join six and you get... a flat piece of paper. 128 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 128 12/06/19 14:46 You cannot make a solid angle with six equilateral triangles, so there are no other ways to create a different Platonic solid made up out of them. Continuing this procedure with squares, it is evident that there is only one way to join three squares at a corner (E). This will end up as a cube. Join four squares and you get... a flat piece of paper (F). No more Platonic solids here. Similarly, three pentagons together give a solid angle, which becomes the dodecahedron (G). It is impossible to join four pentagons. Three hexagons meeting at the same point lie flat alongside one another (H), so it is impossible to make a solid object out of them. There are no more Platonic solids since it is impossible to join three regular polygons of more than six sides at a vertex. REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Anota en tu registro las reflexiones que te provocó el texto y a partir de su análisis escribe qué nuevos elementos y propiedades infieres que tienen las formas geométricas. No olvides también registrar todas las dificultades que tuviste al traducir y comprender el texto, así como las relaciones que has construido en el camino con la información y los ejercicios prácticos. Platica con el tutor sobre tus avances; si te son útiles puedes emplear las siguientes preguntas o bien otras que consideres para ampliar tu reflexión, análisis y conclusiones en tu RPA. • • • • ¿Qué entiendes por demostración matemática? Del análisis y observación detenida de cada uno de los poliedros regulares (imaginaria o al usar material concreto), ¿qué puedes concluir? ¿Qué relación existe entre el número de aristas y el número de caras y vértices? ¿Qué poliedros puedes identificar en la vida cotidiana? INGENIO Y FIGURA… FORMAS GEOMÉTRICAS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 129 129 12/06/19 14:46 ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Casi todos los que hemos jugado una cascarita o visto un partido de futbol conocemos el balón de pentágonos y hexágonos, típicamente coloreados de negro y blanco. La primera vez que este diseño se utilizó en una Copa del Mundo fue en México 1970, y se volvió tan popular que se utilizó en un total de 8 Copas del Mundo, más que ningún otro diseño antes o después. Ilustración: © Shutterstock.com ¿Cuántos pentágonos y cuántos hexágonos tiene el balón que comúnmente conocemos? ¿Qué aspectos crees que contribuyen a que un balón sea bueno para jugar? ¿Cómo influye la forma del balón? Hoy en día algunos balones de futbol han cambiado por otra forma poliédrica más redondeada. ¿Cuáles y cuántas formas geométricas se involucran para tal fin? Si consideras el balón como un sólido geométrico, ¿qué nombre le pondrías? Explica tu respuesta. REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Registra todas las respuestas del desafío anterior, las conclusiones a las que llegaste y el nombre que le pondrías al balón en caso de que lo consideres un sólido geométrico. 130 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 130 12/06/19 14:46 COMPARTE LO APRENDIDO, MEJORA Y COMPLETA TU REGISTRO Platica con tu tutor acerca de la manera en la que piensas organizar y realizar la demostración pública de lo aprendido. Puedes considerar la amplitud y profundidad de las respuestas que has dejado en el registro de aprendizaje y las dificultades que enfrentaste al hacer los ejercicios sugeridos, así como las estrategias que empleaste para solucionarlas. La demostración pública te permitirá valorar qué tanto has alcanzado el dominio del tema. Algunas preguntas que te pueden ser útiles son: ¿Qué estrategias utilicé para justificar por qué son verdaderas las hipótesis que me he planteado al hacer razonamientos lógicos? ¿Cómo me apoyó mi tutor para lograr el desafío? ¿Cómo enriquezco mi opinión respecto a la contribución que hace la geometría en otros campos del desarrollo humano al conocer un poco de su historia? Si aún no te sientes satisfecho con algún punto, es recomendable retomarlo hasta que estés convencido de que lo manejas bien. PARA SEGUIR APRENDIENDO Fuentes consultadas Bellos, Alex. Here’s Looking at Euclid: A Surprising Excursion Through the Astonishing World of Math. Nueva York: Free Press, 2010. Caballero, Arquímedes, Lorenzo Martínez y Jesús Bernárdez. Matemáticas, tercer curso. Duodécima edición. México: Esfinge, 1975. Díaz Camacho, Arturo. Introducción a la matemática moderna. México: Ediciones América Central, 1970. Fuentes sugeridas Conafe. Actividades de trabajo para el preescolar comunitario. México: Conafe, 2014. _____ “Conos cilindros y otros cuerpos” en UAI, Tercer grado. Bloque 5. Matemáticas. México: Conafe, 2013. _____ “La talavera” en UAI Primer grado. Bloque 3. Matemáticas. México: Conafe, 2013. _____ “Los cuadros” en UAI Primer grado. Bloque 1. Matemáticas. México: Conafe, 2013. INGENIO Y FIGURA… FORMAS GEOMÉTRICAS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 131 131 12/06/19 14:46 _____ “Los recipientes de Adriana” en UAI Segundo grado. Bloque 2. Matemáticas. México: Conafe, 2013. IEEPO. Educando Tv. Preescolar clase 197. Tema: Las figuras geométricas. https://www. youtube.com/watch?v=4ORELUZ2zL8 _____ Preescolar clase 24. Tema: Vamos a construir figuras. https://www.youtube.com/ watch?v=zWK_JqPloy4 _____ Preescolar clase 27. Tema: Forma, espacio y medida. https://www.youtube.com/ watch?v=BnnIcJQCecA _____ Preescolar clase: 141. Tema: El tangram. https://www.youtube.com/ watch?v=1B2OFpRijJg _____ Preescolar clase: 29. Tema: Figuras geométricas. https://www.youtube.com/ watch?v=BRJIf6Q5YAo _____ Primaria 1° y 2° clase 46. Tema: Figuras geométricas. https://www.youtube.com/ watch?v=ZeahKTuxgSw _____ Primaria 1° y 2° clase 86. tema: Figuras geométricas. https://www.youtube.com/ watch?v=0K14hvaE45U _____ Primaria 3º y 4º Clase: 161. Tema: Perímetro y área de polígonos. https://www. youtube.com/watch?v=ON1bheJhh1E _____ Primaria 3º y 4º clase: 197. Tema: Figuras geométricas. https://www.youtube.com/ watch?v=gFBmF6OjtcU _____ Secundaria Clase: 158. Tema: Cortes a un cilindro y cono. https://www.youtube.com/ watch?v=f3RoiOQKy-A _____ Secundaria clase: 20. Tema: Figuras y cuerpos. https://www.youtube.com/ watch?v=c8Vd6AYDV_U Lucio Gómez Maqueo, Ma. Guadalupe. Geometría moderna I. Notas de clase. Facultad de ciencias. México: UNAM, 2013. 132 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 132 12/06/19 14:46 Ilustración: © Shutterstock.com COMO GRANDES EXPLORADORES UBICACIÓN ESPACIAL UAA_PM_REV_CONAFE.indd 133 12/06/19 14:46 INTRODUCCIÓN Durante esta Unidad de Aprendizaje Autónomo estudiarás algunas herramientas con las que cuenta la humanidad para conocer su ubicación en la tierra y para dirigirse a lugares desconocidos; puede ser dentro de la misma comunidad en la que vives o en una gran ciudad, incluso en países distintos. También conocerás cómo los objetos se mueven o cambian de posición. Estos cambios se pueden observar en la vida real, por ejemplo, cómo giran las llantas de un coche, al ver tu reflejo en el espejo o incluso cómo se mueve la tierra, dentro de un espacio específico. Además de verlo, también lo podemos plasmar en un plano de dos dimensiones para poder estudiarlo, con la finalidad de que puedas adelantar e interpretar los movimientos o cambios de tu entorno. Otro tema que también se trabajará son los planos cartesianos, que sirven para explicar cómo se mueven objetos, predecir comportamientos o incluso encontrar tesoros. PROPÓSITO GENERAL Conocer los principales elementos que nos permiten ubicarnos en el plano y en el espacio, así como estrategias para construir, leer y usar herramientas que nos ubiquen en el mundo y nos expliquen cómo se mueven las cosas. PROPÓSITOS ESPECÍFICOS • • • Estableceremos relaciones con los objetos y entre los objetos para determinar puntos de referencia que nos ayuden a ubicarnos y trasladarnos. Reconoceremos las características y el uso de diversas representaciones del espacio geográfico: croquis, mapas, planisferios, fotografías aéreas, mapas satelitales. Conoceremos cómo trazar rutas y calcular la distancia real de un lugar a otro para determinar las mejores rutas, además de determinar puntos en un plano cartesiano. 134 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 134 12/06/19 14:46 3 4 5 6 7 8 9 Comunicas de manera verbal y escrita orientaciones para identificar objetos y lugares del entorno en el que te encuentras. Explicas como utilizas el conteo para la toma de decisiones en problema de ubicación espacial. Describes tus observaciones y estrategias de figuras compuestas utilizando la posición entre cada figura geométrica que la compone. Buscas la solución respecto a problemas que impliquen razonamiento visual y espacial elemental en contextos familiares, como elaborar croquis para indicar cómo llegar de un lugar a otro. Utilizas diferentes representaciones para describir rutas y calcular distancias reales de un punto a otro en mapas. Comunicas tus reflexiones y estrategias al resolver problemas que impliquen razonamiento visual y espacial en croquis y mapas. Resuelves problemas que implican el trazo de figuras simétricas respecto a un eje en diferente posición. Puntos de referencia (personales y convencionales) Coordenadas cartesianas Orientación, proximidad, interioridad y direccionalidad. UAA_PM_REV_CONAFE.indd 135 BÁSICO INTERMEDIO 10 11 COMO GRANDES EXPLORADORES UBICACIÓN ESPACIAL Ilustración: Ivanova Martínez Murillo INICIAL Croquis Explicas el tipo de transformación (reflexión, rotación o traslación) que se aplica a una figura para obtener la figura transformada. 2 Identificas en tu entorno objetos a partir de referentes de ubicación espacial, tomándote como punto de referencia. Ubicación Argumentas los procedimientos que empleas para resolver problemas que implican el trazo de figuras simétricas respecto a un punto. 1 Usas correctamente conceptos espaciales como dentro/fuera, debajo/arriba, delante/atrás en situaciones concretas. Ilustración: Ivanova Martínez Murillo MAPA DE CONTENIDOS FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Mapas Coordenadas geográficas Transformaciones en el plano (simetría, reflexión, rotación o traslación). TRAYECTO DE APRENDIZAJE AVANZADO 135 12/06/19 14:47 ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Es importante que conozcas los conceptos como dentro/fuera, debajo/ arriba, delante/atrás y que sepas diferenciarlos, este desafío te ayudará con estos conceptos. Ilustración: © Shutterstock.com El desafío consiste en colorear los dibujos de la imagen como en el ejemplo: el rectángulo primero está adelante del círculo y en el otro dibujo está atrás del círculo. REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Anota en tu cuaderno tus avances y reflexiona lo siguiente: • • ¿Qué otros dibujos puedes crear con dentro y fuera? ¿Qué otros dibujos puedes crear con arriba y debajo? 136 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 136 12/06/19 14:47 ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Los croquis tienen la función de brindar información sobre la ubicación de un lugar, por lo que es indispensable que la descripción para su localización sea lo más clara posible, para que la persona que lo lea no se pierda. Piensa qué lugares conoces muy bien para elaborar un croquis, por ejemplo, podría ser el recorrido de tu casa a la escuela, la ubicación de tu escuela en la comunidad, o la distribución de las casas, tiendas, centro de salud, dónde se ubica la carretera, etc. ¿Te has preguntado si el camino que tomas diario a la escuela es el más corto? ¿Te gustaría averiguarlo? ¿Cómo podrías saberlo? Elabora un croquis de la trayectoria de tu casa a la escuela. Después lee el siguiente texto: CROQUIS, PLANOS Y MAPAS26 Para orientarnos mejor contamos con herramientas como los planos, los mapas y los croquis. Cada uno de ellos nos brinda la información necesaria para encontrar un lugar o llegar a un destino con seguridad. El croquis es un dibujo realizado a mano alzada, que contiene información completa y está trazado sin las medidas exactas del objeto. Explica a grandes rasgos lo que se quiere representar. Los planos son dibujos delineados, se realizan con ayuda de escuadra, regla y compás para conseguir una representación lo más parecida posible al objeto tomado como base. Los mapas geográficos son representaciones planas de la superficie terrestre en dos dimensiones: largo y ancho. El mapa geográfico representa toda la superficie terrestre o una parte de ella. 26 Méndez, Leticia. ABC color.” Planos, mapas y croquis”. http://www.abc.com.py/edicion-impresa/suplementos/escolar/planosmapas-y-croquis-613546.html (Fecha de consulta: 1 de marzo de 2018). COMO GRANDES EXPLORADORES UBICACIÓN ESPACIAL UAA_PM_REV_CONAFE.indd 137 137 12/06/19 14:47 Ilustración: © Shutterstock.com REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Registra en tu RPA lo que identificaste y cómo lo aprendiste, las dificultades y las soluciones que aplicaste. También te sugerimos las siguientes preguntas: • • • • • • Identifica en tu dibujo si diste vuelta a la derecha o a la izquierda. ¿Bajaste o subiste alguna calle? ¿qué referentes iluminaste (una iglesia, tienda, casa de salud, casa de alguna persona que conoces, etcétera)? ¿Cómo funcionó tu croquis y tu texto cuando se lo explicaste a alguien? ¿Qué elementos del plano utilizaste para crear uno? ¿Qué tipos de puntos de referencia utilizaste? ¿Utilizaste puntos de referencia para elaborar el plano? ¿Fueron convencionales o no convencionales? La siguiente imagen tiene un punto de fuga, dialoga con tu tutor sobre qué es y cómo se utiliza este punto de referencia, después dibuja tu calle utilizando esta técnica. 138 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 138 12/06/19 14:47 Foto: © Shutterstock.com ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Las matemáticas nos ayudan para conocer e interpretar los aspectos físicos del mundo. En este desafío utilizaremos la geometría para conocer cómo se miden las esferas y el uso del plano cartesiano, mismos que se usaron para determinar las zonas horarias en las que está dividido el mundo. Además de que aprenderemos a interpretar lo datos que arrojan los GPS (Sistema de Posicionamiento Global, por sus siglas en inglés). Las coordenadas del mundo nos determinan en qué parte estamos y cómo llegar al lugar que deseemos. Tu desafío es identificar ¿por qué si Karla y Raúl cumplen años el 15 de abril, sucede en horarios diferentes? Karla está en México y Raúl en Japón. Karla le habló a su amigo el 15 de abril a las 11 de la mañana para felicitarlo. Raúl se puso muy contento, aunque antes ya estaba durmiendo y le comentó que su cumpleaños había sido el día anterior. COMO GRANDES EXPLORADORES UBICACIÓN ESPACIAL UAA_PM_REV_CONAFE.indd 139 139 12/06/19 14:47 160 140 120 100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100 120 140 MERIDIANO DE GREENWICH 80 160 80 60 60 40 40 TRÓPICO DE CÁNCER 20 0 0 20 20 TRÓPICO DE CAPRICORNIO 40 60 60 80 MERIDIANO DE GREENWICH 40 80 Ilustración: © Shutterstock.com 20 ECUADOR REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Ilumina México de un color y Japón de otro, y guíate con las siguientes preguntas: • • • • • ¿Qué tan lejos crees que se encuentre un país del otro? ¿Cómo se calcula la diferencia horaria entre dos puntos de la tierra? ¿Cómo utilizaste el plano cartesiano para resolver el desafío? ¿Qué herramienta matemática sirve para calcular distancias entre dos puntos en la tierra? En el mapa los husos horarios y los meridianos son líneas imaginarias de la tierra, ¿estas líneas son paralelas? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES La imaginación espacial es importante para que podamos determinar dónde se encuentran los objetos y cómo pueden moverse. Por ejemplo, cuando juegas béisbol puedes determinar qué lanzamiento es más efectivo 140 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 140 12/06/19 14:47 y realizar más lanzamientos de este tipo, ya que con esto podríamos ganar un juego. Si nos dedicamos a observar el comportamiento de ambos lanzamientos y los plasmamos en un plano cartesiano, identificaremos el comportamiento de la bola y podremos tomar decisiones sobre cuál lanzamiento es más efectivo. También nos sirven para ubicarnos en un mapa o en el globo terráqueo y determinar la ubicación de distintos lugares. Para el siguiente desafío es necesario que pongas atención en los datos que proporciona el enunciado, que identifiques los elementos de matemáticas que están involucrados y que te asegures de comprender los conceptos que se presentan. Los estudiantes de Conafe escondieron el tesoro del saber en el patio de la escuela. Ellos dejaron escritas las instrucciones y una clave para quien quisiera encontrarlo: Colocarse en el centro del patio y trazar una recta de norte a sur y otra de este a oeste, la primera será el eje Y y la segunda el eje X. El tesoro se encuentra en el centro de la figura determinada por los puntos: A(−2, 6), B(−10, 2), C(−6, −6) y D(2, −2). REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Explica cómo se utiliza el plano cartesiano para determinar el punto de encuentro e intégralo a tu RPA.´ • • • ¿Cómo elaboraste el plano para localizar las coordenadas? ¿Cómo resolviste las coordenadas en negativo? Da las coordenadas que tienes que unir para dibujar una pirámide rectangular en el plano cartesiano. Si quieres profundizar en el tema puedes estudiar también la UAA “Proporcionalidad y funciones”. COMO GRANDES EXPLORADORES UBICACIÓN ESPACIAL UAA_PM_REV_CONAFE.indd 141 141 12/06/19 14:47 ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES ¿Sabías que se pueden crear dibujos utilizando el plano cartesiano uniendo puntos? Primero intenta hacerlo por tu cuenta, elabora un dibujo en el que uses el plano cartesiano señalando los puntos que vas a utilizar, pero argumenta matemáticamente el ejercicio que realices. Después lee el siguiente texto: PLOTTING POINTS ON A CARTESIAN PLANE27 © Shutterstock.com 27 Varsity tutors. “Plotting Points on a Cartesian Plane” https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/topics/cartesianplane (fecha de consulta: 1 de marzo de 2018). 142 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 142 12/06/19 14:47 A Cartesian plane (named after French mathematician Rene Descartes, who formalized its use in mathematics) is defined by two perpendicular number lines: the xx-axis, which is horizontal, and the yy-axis, which is vertical. Using these axes, we can describe any point in the plane using an ordered pair of numbers. The Cartesian plane extends infinitely in all directions. To show this, math textbooks usually put arrows at the ends of the axes in their drawings. The location of a point in the plane is given by its coordinates, a pair of numbers enclosed in parentheses: (x, y) (x, y). The first number xx gives the point's horizontal position and the second number yy gives its vertical position. All positions are measured relative to a "central" point called the origin, whose coordinates are (0,0) (0,0). For example, the point (3, 2) (3, −2) is 3,3 units to the right of the origin and 2,−2 units up and down , as shown in the figure. Negative coordinate numbers tell us to go left or down. See the other points in the figure for examples. The Cartesian plane is divided into four quadrants. These are numbered from I through IV, starting with the upper right and going around counterclockwise. (For some reason everybody uses roman numerals for this). In Quadrant I, both the xx- and yy-coordinates are positive; in Quadrant II, the xx-coordinate is negative, but the yy-coordinate is positive; in Quadrant III both are negative; and in Quadrant IV xx is positive but yy is negative. © Shutterstock.com Points which lie on an axis (i.e., which have at least one coordinate equal to 00) are said not to be in any quadrant. Coordinates of the form (x,0) (x,0) lie on the horizontal xx-axis, and coordinates of the form (0,y) (0,y) lie on the vertical yy-axis. COMO GRANDES EXPLORADORES UBICACIÓN ESPACIAL UAA_PM_REV_CONAFE.indd 143 143 12/06/19 14:47 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Ubícate con las siguientes preguntas: • • • • ¿Cómo se llaman los ejes que conforman el plano cartesiano? ¿Cómo ubicarías los cuadrantes en tu croquis? ¿De qué otra forma se pueden utilizar los datos que ofrece el plano cartesiano? ¿Cómo pasarías una figura del cuadrante III al cuadrante I? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Ilustraciones: © Shutterstock.com Tu desafío es copiar en una hoja el dibujo de la estrella roja, dobla la hoja por la mitad de manera que puedas hacer coincidir las dos mitades de la figura (la línea que se forma en este doblez se le llama eje de simetría), después completa el dibujo de la otra imagen. REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Registra tu aprendizaje en tu cuaderno y reflexiona sobre las siguientes preguntas: 144 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 144 12/06/19 14:47 • • • ¿Qué otras figuras conoces que tengan eje de simetría? ¿Existen formas que tengan más de un eje de simetría? ¿Cómo cuáles? ¿Todas las figuras tienen eje de simetría? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES En el mundo las cosas están en un constante movimiento, incluso si no lo percibimos a simple vista. Hay básicamente tres tipos de movimientos (reflexión, traslación y rotación) que nos ayudan a que las cosas sean más fáciles, como el avance en la ingeniería, la arquitectura, las matemáticas o las bellas artes, entre otras áreas de conocimiento. Para el siguiente desafío te recomiendo utilizar una hoja blanca, esto te dará mayor libertad de movimiento. Copia en tu cuaderno la figura siguiente y aplícale un movimiento de reflexión, uno de rotación y uno de traslación para obtener tres posiciones diferentes de la figura. Posteriormente lee el siguiente texto: TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS28 Las transformaciones isométricas (también se les llama transformaciones rígidas) son cambios de posición (orientación) de una figura determinada que NO alteran la forma ni el tamaño de esta. La palabra isometría tiene origen griego: 28 Portal Educativo Net. “Transformaciones isométricas,” http://www.portaleducativo.net/movil/quinto-basico/760/ Transformaciones-isometricas (Fecha de consulta: 17 de marzo de 2018. COMO GRANDES EXPLORADORES UBICACIÓN ESPACIAL UAA_PM_REV_CONAFE.indd 145 145 12/06/19 14:47 Ilustración: © Shutterstock.com iso, que significa igual, y metría, que significa medir. Por lo tanto, esta palabra puede ser traducida como igual medida. Entre las transformaciones isométricas están las traslaciones, las rotaciones (o giros) y las reflexiones (o simetrías). Una reflexión o simetría es una transformación isométrica en la que a cada punto de la figura original se le asocia otro punto (llamado imagen), de modo que el punto y su imagen están a igual distancia de una recta llamada eje de simetría. La reflexión puede ser de dos tipos: Simetría axial: Cada punto de la figura original y la imagen de cada uno de ellos bajo la reflexión, se encuentran a igual distancia de una recta llamada eje de simetría. Ilustración: © Shutterstock.com Y simetría central: Cada punto de la figura original y la imagen de cada uno de ellos bajo la reflexión, se encuentran a igual distancia de un punto llamado punto de simetría. Una rotación es una transformación isométrica, en la cual todos los puntos se mueven respecto a un punto fijo llamado centro de rotación (O), en un determinado ángulo, llamado ángulo de rotación. El centro de rotación puede estar en el interior, en el contorno o en el exterior de la figura. 146 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 146 12/06/19 14:47 El sentido positivo de la rotación es el sentido antihorario, es decir, contrario al movimiento de las manecillas del reloj. Mientras que el sentido negativo de la rotación es en el sentido horario. La traslación de una figura plana es una transformación isométrica que mueve todos los puntos de la figura en una misma dirección, sentido y longitud. Ilustración: © Shutterstock.com Si mediante una traslación dos figuras coinciden, a los puntos en que coinciden, se les llama puntos homólogos. REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN En caso de que la figura propuesta se te complique mucho, te sugerimos comenzar por una más sencilla, como un triángulo con una de las puntas coloreadas. • • ¿Cuál es la diferencia entre los tres movimientos? ¿Cómo utilizaste el plano cartesiano? COMO GRANDES EXPLORADORES UBICACIÓN ESPACIAL UAA_PM_REV_CONAFE.indd 147 147 12/06/19 14:47 • ¿Puedes identificar en la vida diaria los tres movimientos isométricos? Describe en dónde. COMPARTE LO APRENDIDO, MEJORA Y COMPLETA TU REGISTRO Para concluir la unidad revisa el mapa del tema que se encuentra en la introducción y el trayecto de aprendizaje para que verifiques los aprendizajes que has alcanzado hasta el momento y completa tu RPA. Planea junto con tu tutor la demostración pública de los aprendizajes logrados durante la resolución de todos los desafíos, define cómo lo quieres hacer y qué materiales involucrarás. Identifica los aprendizajes alcanzados y cómo los lograste. Puedes considerar las siguientes preguntas para orientar tu demostración: ¿Qué hiciste para resolver los desafíos? ¿Qué dificultades tuviste? ¿De qué manera usas el plano cartesiano en tu vida cotidiana? ¿Cómo se relaciona el plano cartesiano con el arte de la pintura? Por último, recuerda que en la demostración puede haber compañeros que quieran estudiar la unidad, considera que estás listo para convertirte en tutor, y con esto, terminar el proceso de estudio. PARA SEGUIR APRENDIENDO Fuentes sugeridas Caballero, Arquímedes, Lorenzo Martínez y Jesús Bernárdez. Matemáticas. Tercer curso. Duodécima edición. México: Esfinge, 1975. National Council of Teachers of Mathematics. Simetría, congruencia y semejanza. Cuaderno 18. México: Trillas, 1970. IEEPO. Educando Tv. Preescolar clase: 137. Tema: El croquis. https://www.youtube.com/ watch?v=ldSbUsMCz5Y _____ Preescolar clase: 191. Tema: El croquis. https://www.youtube.com/ watch?v=18TDMT__TeI _____ Primaria 1º y 2º clase: 196. Tema: El horario en los países del mundo. https://www. youtube.com/watch?v=aIvBsTL1Euo 148 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 148 12/06/19 14:47 _____ Primaria 3º y 4º Clase: 159. Tema: Diagonales y ejes de simetría en cuadriláteros. https://www.youtube.com/watch?v=1IbqBrFyGIY _____ Primaria 5° y 6° clase 18. Tema: Uso de los ejes de simetría en la construcción de cuerpos. https://www.youtube.com/watch?v=fMN31WWQ5Qw _____ Primaria 5º y 6º clase: 64. Tema: Reproducción de figuras usando una cuadrícula. https://www.youtube.com/watch?v=ANlkAB2Lbvs _____ Primaria 5º y 6º clase: 114. Tema: Representación gráfica de pares ordenados. https:// www.youtube.com/watch?v=HAgMR1-62aw _____ Secundaria clase: 50. Tema: Simetría axial y central. La rotación y traslación. https:// www.youtube.com/watch?v=ldpzi347AFQ COMO GRANDES EXPLORADORES UBICACIÓN ESPACIAL UAA_PM_REV_CONAFE.indd 149 149 12/06/19 14:47 150 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 150 12/06/19 14:47 Ilustración: © Shutterstock.com Y SÓLO ES COMPARAR... MEDIDA UAA_PM_REV_CONAFE.indd 151 12/06/19 14:47 INTRODUCCIÓN ¿Te has puesto a observar en el lugar donde vives, en tu casa o tu comunidad cómo las personas miden las cosas y qué hacen para saber lo que necesitan al realizar su trabajo? Por ejemplo un carpintero, cómo sabe la cantidad de madera y los cortes requeridos para hacer un mueble, o un ingeniero que va a construir un puente primero necesita conocer el tamaño del puente, la altura, características y medidas para saber qué y cuánto material usará. Una cocinera requiere saber la cantidad de comensales, para calcular la cantidad de masa que se necesita al hacer las tortillas de ese día. Todos requerimos conocer el tiempo que necesitamos para trasladarnos de un lugar a otro considerando el día y la hora de mayor tráfico en la carretera. Si te das cuenta todo el tiempo la pasamos haciendo cálculos y midiendo las cosas, el tiempo, los días, etc. ¿Sabías que en el mundo se tuvieron que hacer acuerdos para entenderse al momento de hablar de medidas? De ello surgió un documento llamado Sistema Internacional de Unidades de Medida (SI), y basándose en ese sistema en México se estableció un lenguaje común para responder a los requerimientos actuales de las actividades educativas, comerciales, científicas, tecnológicas e industriales. Del uso de esas medidas y de otras cosas más trata la siguiente unidad. PROPÓSITO GENERAL Reconocer diversas herramientas matemáticas como el teorema de Pitágoras, el teorema de Tales y las funciones trigonométricas, para comprender y resolver situaciones del mundo real que implican aspectos de medición. PROPÓSITOS ESPECÍFICOS • • • Conoceremos cualidades medibles de los objetos y la importancia del uso de unidades no convencionales y convencionales para resolver problemas que implican medir magnitudes de longitud, capacidad y peso. Identificaremos y construiremos diversas estrategias para calcular perímetros, áreas, volúmenes y capacidades de objetos y cuerpos geométricos. Resolveremos problemas del mundo real que implican conversiones entre unidades de medida de longitud, capacidad, peso y tiempo; así como conversiones del SI y el Sistema Inglés de Medidas. 152 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 152 12/06/19 14:47 MAPA DE CONTENIDOS FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Longitud Superficie Área Espacio Peso Volumen Tiempo Masa Capacidad Unidades de medida arbitrarias Teorema de Pitágoras Unidades de medida convencionales Teorema de Tales Trigonometría Y SÓLO ES COMPARAR… MEDIDA UAA_PM_REV_CONAFE.indd 153 153 12/06/19 14:47 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 154 6 7 8 9 10 11 Resuelves problemas que impliquen razonar y calcular el volumen y la capacidad de objetos y cuerpos geométricos, utilizando diversas estrategias y representaciones. Identificas diferentes relaciones entre la información relevante para la resolución de problemas de medida que requieren transformación de unidades. Resuelves problemas de medida que implican identificar y extraer información relevante de enunciados y esquemas. Comunicas tus soluciones y das explicaciones y argumentaciones de las estrategias de medición utilizadas como el teorema de Tales, teorema de Pitágoras y funciones trigonométricas. BÁSICO INTERMEDIO Ilustración: Ivanova Martínez Murillo 5 Resuelves problemas que impliquen establecer relaciones temporales. Utilizas unidades de medida no convencionales de longitud y peso para medir los objetos de tu entorno. 4 Resuelves problemas que impliquen el cálculo de perímetros y áreas utilizando formas no convencionales. 3 Utilizas para medir objetos las unidades de medida básicas del Sistema métrico decimal. 2 Estimas la longitud, el peso y el tamaño en objetos de tu entorno y los clasificas. INICIAL Resuelves problemas que impliquen el cálculo de peso de objeto, utilizando diversas estrategias. 1 Distingues propiedades de los objetos, como son: pesado/ligero, corto/largo, grande/pequeño. Ilustración: Ivanova Martínez Murillo TRAYECTO DE APRENDIZAJE AVANZADO ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES ¿Te has preguntado qué es medir? Medir es hacer una comparación de magnitudes, es decir, podemos comparar distancias y decir qué camino es más largo o más corto; comparar el peso y 154 12/06/19 14:47 decir cuál es más pesado y cuál es más ligero, podemos comparar tamaños y decir cuál es más grande y cuál es más pequeño. El siguiente desafío consiste en medir las distancias que han recorrido los avioncitos de la siguiente imagen. Luis, Pedro, Lupita y Ana juegan a lanzar su avioncito de papel y quieren saber cuál de ellos recorrió más distancia. Ilustración: © Shutterstock.com Lupita tiene un avión con un corazón rojo, Pedro tiene un avión con un círculo verde, Luis tiene un avión con un hexágono amarillo y Ana tiene un avión con una estrella azul. Y SÓLO ES COMPARAR… MEDIDA UAA_PM_REV_CONAFE.indd 155 155 12/06/19 14:47 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN • • • • • • • ¿Qué objeto te puede ayudar a medir? ¿De qué otra forma puedes medir distancias? Si queremos saber cuándo un objeto es más pesado que otro, ¿cómo lo comparamos? ¿Qué utilizamos para medir el peso? Busca objetos en tu casa que puedas medir y practica con estas preguntas: ¿Cuáles objetos son más grandes? ¿Cuáles son más pequeños? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Hace mucho tiempo, aproximadamente en el siglo VI a.C, un filósofo y matemático griego llamado Pitágoras descubrió una propiedad de los triángulos rectángulos. A esta propiedad que se aplica en la ciencia, el arte, la ingeniería y la arquitectura, se le conoce como teorema de Pitágoras y está representado por la fórmula: a2 + b2 = c2 Ilustración: © Shutterstock.com Comprueba su utilidad en la solución de problemas. El siguiente tangram tiene 25 cm2 de área y se quiere construir uno de mayor tamaño para jugar en el centro comunitario, si se quiere que el triángulo pequeño tenga 12.5 cm2 de área podremos saber ¿cuánto medirán sus lados y cuál será el área del nuevo tangram? 156 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 156 12/06/19 14:47 El siguiente texto te ayudará a resolver el desafío. TEOREMA DE PITÁGORAS29 Este teorema nos da la facilidad de calcular uno de los lados de un triángulo rectángulo, si conocemos los otros dos. Ilustración: © Shutterstock.com El teorema dice: que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, aquí c es la hipotenusa y a y b los catetos. Se utiliza generalmente en la medición de distancias indirectas. Por ejemplo, si sabemos la longitud de una escalera que colocamos inclinada sobre la pared y sabemos la distancia a la que la colocamos, pero no sabemos cuánto mide la pared. El teorema de Pitágoras nos ayuda a resolver este tipo de problemas. REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Será importante que reflexiones sobre la manera en que resolviste el desafío, y realices los dibujos que necesitaste para comprender y resolver 29 Texto elaborado ex professo para esta UAA. Y SÓLO ES COMPARAR… MEDIDA UAA_PM_REV_CONAFE.indd 157 157 12/06/19 14:47 el problema. Anota en tu registro todo lo que consideras te puede servir para volver hacer el ejercicio, demostrarlo y apoyar a un compañero. ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES En este desafío conoceremos qué es un ángulo y su clasificación. Observa la imagen y dialoga sobre lo siguiente: Un ángulo es una porción del plano limitado por dos semi rectas que tienen el mismo origen. O también podemos decir que un ángulo es la amplitud de rotación de una semirecta Ilustración: © Shutterstock.com El desafío consiste en relacionar el nombre de cada uno de los ángulos con su imagen, dibuja en tu cuaderno los ángulos y ponle el nombre según la descripción de cada uno. 158 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 158 12/06/19 14:47 Grado: la magnitud de un ángulo, es decir, la medida, es tomar el ángulo como resultado de un movimiento de rotación, depende de la amplitud de la rotación que se ha hecho. Ángulo agudo: es aquel que mide menos de 90°. Ángulo completo: es aquel que ha dado una vuelta completa, mide 360°. Ángulo nulo: es cuando no existe una abertura entre la posición inicial y la final. Ángulo llano: es el ángulo cuyos lados se encuentran situados en una misma línea recta, es decir, uno de los lados es prolongación del otro. Ángulo recto: es el que mide 90°. Ángulo obtuso: es el que mide más de 90° y menos de 180°. ángulo recto ángulos adyacentes ángulo recto ángulo obtuso ángulos suplementarios ángulos complementarios Imagen: © Shutterstock.com ángulo agudo Ángulos complementarios: son aquellos ángulos que sumados siempre dan 90°. Ángulos suplementarios: son aquellos ángulos que sumados dan 180°. Y SÓLO ES COMPARAR… MEDIDA UAA_PM_REV_CONAFE.indd 159 159 12/06/19 14:47 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Aquí te sugerimos algunas preguntas: • • • • • ¿De qué otra forma podemos llamar a los ángulos? Si te das una vuelta completa, en tu mismo lugar, ¿qué ángulo hiciste? Si solamente das medio giro ¿cuántos grados avanzaste? Señala qué ángulo es el suplementario de 135°. ¿Cuál sería el ángulo cuyo complementario es cuatro veces el mismo? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES El siguiente desafío es muy interesante y requiere que pongas en juego todas tus habilidades para realizar trazos, leer con sentido, investigar conceptos de manera constante, observar lo que has construido para proponer estrategias que te ayuden a llegar a la solución: Sea ABC un triángulo equilátero que mide 6 cm de lado y P, Q, R los puntos medios de los lados AB, BC y CA, respectivamente. Los vértices del triángulo son centros de los arcos PQ, QR y RP. Encuentra el perímetro y el área de la región formada por los arcos, región PQR. Una primera decisión que deberás tomar es qué quieres obtener primero, el perímetro o el área de la región que te piden dibujar. El siguiente texto es un apoyo para resolver el desafío. DOS FIGURAS30 Un círculo es una superficie plana limitada por una circunferencia. 30 Texto elaborado ex professo para esta UAA. 160 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 160 12/06/19 14:47 1 2 3 4 5 6 7 8 Ilustración: © Shutterstock.com 1. Radio: es un segmento de recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. 2. Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Es igual a dos radios. 3. Circunferencia: es una línea curva, plana y cerrada en la que cada uno de los puntos que la forman están a la misma distancia de un punto fijo interior llamado centro. 4. Sector circular: es una superficie limitada por un arco de circunferencia y dos radios. 5. Arco: es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos. 6. Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. 7. Área: es la cantidad de espacio dentro de la circunferencia de un círculo. 8. Tangente: es una secante que sólo tiene un punto de intersección con la circunferencia. 9. Radián: es una unidad de medida de los ángulos, su amplitud es igual a la del arco de la circunferencia cuya longitud es la misma que la del radio. Un ángulo completo equivale a 2π radianes. Y SÓLO ES COMPARAR… MEDIDA UAA_PM_REV_CONAFE.indd 161 161 12/06/19 14:47 Los triángulos se clasifican también de acuerdo a los ángulos interiores: Rectángulo: es aquel que tiene un ángulo interior recto (90°). Acutángulo: es aquel que todos sus ángulos interiores son agudos. Obtusángulo: es aquel que tiene un ángulo interior obtuso. CLASIFICACIÓN POR LADOS EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO CLASIFICACIÓN POR ÁNGULOS RECTO AGUDO OBTUSO Ilustración: © Shutterstock.com Clasificación de triángulos Se clasifican en equiláteros y son los que tienen sus tres lados iguales. Isósceles: son los que tienen dos lados iguales y uno diferente. Escalenos: son los que tienen sus tres lados desiguales. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. Teorema de Tales Tales de Mileto fue un sabio de la antigüedad que vivió alrededor del año 600 a.C. Descubrió cómo obtener la altura de las pirámides midiendo la sombra que proyectaban y comparándola con una medida conocida, por medio de triángulos semejantes. Ilustración: © Shutterstock.com Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. 162 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 162 12/06/19 14:47 Veamos cómo se utiliza el teorema: los dos triángulos son semejantes y conocemos la longitud de x1 = 75m, x2 = 50m, y2 = 30m Se quiere saber la altura de la pirámide (y1) Lo resolvemos con una regla de tres: 50 ÷ 75 = 30 ÷ x Despejamos x = (75(30)) ÷ 50 x = 45 es la altura de la pirámide Por lo tanto y1 vale 45m REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Te recomendamos dibujar con detalle las construcciones que realices, y anotar los conceptos que vayas construyendo y los pasos que consideres importantes para llegar a la resolución del desafío. Es importante que seas sistemático(a) en tu escritura porque es una forma de organizar tu pensamiento respecto al desafío. • • • ¿Qué relación hay entre el radio y el diámetro? Si tenemos una circunferencia de perímetro 16π, ¿qué área tiene? Si queremos saber la altura de un edificio que proyecta una sombra de 10 metros y hace un triángulo semejante con un árbol que mide 5 metros y proyecta una sombra de 3 metros, ¿cómo lo harías? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Reflexiona respecto a los conceptos que has construido, principalmente el de medida. El siguiente texto te proporcionará nuevos elementos que te ayudarán a enriquecer, corroborar o transformar los conceptos que hasta ahora has estudiado. El desafío consiste en elaborar un mapa conceptual relacionando todos los conceptos que hasta ahora has visto, agregando los que se mencionan en el texto. Debes tener en cuenta que las prácticas y el lenguaje cambian según el contexto institucional en el que se estudia y usa la medida. Y SÓLO ES COMPARAR… MEDIDA UAA_PM_REV_CONAFE.indd 163 163 12/06/19 14:47 MEDIDA DE MAGNITUDES31 En la vida cotidiana y en las ciencias experimentales se habla de magnitudes para referirse a propiedades o cualidades de los objetos o fenómenos susceptibles de tomar diferentes valores numéricos. “Magnitud es cualquier aspecto de las cosas que puede expresarse cuantitativamente, como la longitud, el peso, la velocidad o la luminosidad”; “Cantidad es el aspecto por el que se diferencian entre sí las porciones de la misma cosa o los conjuntos de la misma clase de cosas, por el cual esas porciones o esos conjuntos se pueden medir o contar” (Diccionario de M. Moliner). En cambio, en las ciencias humanas y sociales, esta noción de magnitud y cantidad es demasiado restrictiva, extendiéndose el uso del término magnitud a rasgos de tipo cualitativo (clase social, placer, etc.). En este caso, las “cantidades” vienen a ser las distintas modalidades o valores que puede tomar el rasgo o característica del objeto o fenómeno en cuestión. Se habla de medir (en sentido amplio) para designar la acción de asignar un código identificativo a las distintas modalidades o grados de una característica de un objeto o fenómeno perceptible, que puede variar de un objeto a otro, o ser coincidente en dos o más objetos. Con esta descripción tenemos en cuenta no sólo la medida habitual de características cuantitativas y continuas como longitud, peso, capacidad, etc., sino que también consideramos “medir” asignar una categoría a rasgos cualitativos como el color de los ojos, la región de nacimiento, el grado de placer que ocasiona un estímulo, etc. Cada modalidad (o grado) es un valor de la variable que representa el rasgo correspondiente. Magnitud Habitualmente se suele reservar el nombre de magnitud para los atributos o rasgos que varían de manera cuantitativa y continua (longitud, peso, densidad, etc.), o también de manera discreta (por ejemplo, “el número de personas”); las cantidades son los valores de dichas variables. 31 Juan Godino, Carmen Batanero y Rafael Roa. Medida de magnitudes y su didáctica para maestros, (Departamento de Didáctica de la Matemática, Facultad de Ciencias de la Educación, Universidad de Granada, 2002), 10-21, http://www.ugr. es/~jgodino/edumat-maestros/welcome.htm 164 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 164 12/06/19 14:47 En este caso, medir una cantidad consiste en determinar las veces que esa cantidad contiene a la cantidad (o cantidades) que se toman como referencia (unidades de medida). Por ejemplo, decimos que el largo de la mesa es 1 m 40 cm. Al hacer una medición asignamos un número y una unidad de medida, o varias, dependiendo de si la cantidad a medir es múltiplo de la cantidad tomada como referencia o no, y de la precisión deseada. Cantidad de magnitud Es importante distinguir los objetos particulares poseedores de un rasgo (un valor concreto), de la clase de objetos que tienen el mismo valor o cantidad de dicho rasgo. Por ejemplo, el largo y ancho de este folio DIN A4 es directamente perceptible por la vista y por el tacto. En cambio, la clase de los folios DIN A4 no es “un objeto” perceptible. Es una norma que declara DIN A4 a cualquier hoja de papel rectangular que mida 21 cm de ancho por 29.7 cm de largo. Con el término cantidad nos referimos habitualmente al valor que toma la magnitud en un objeto particular (el largo de esta mesa es 1.3 m); pero también hablamos de una longitud o distancia entre dos puntos de 1.3 m. En este caso la cantidad de longitud (o simplemente, la longitud) de 1.3 m hace referencia a cualquier objeto de la clase de todos los objetos que se pueden superponer exactamente con el largo de nuestra mesa, al menos imaginariamente. Masa y peso Desde un punto de vista físico, masa y peso son magnitudes diferentes. La masa de un cuerpo es el contenido en materia de dicho cuerpo (dejamos sin aclarar qué es la materia), mientras que el peso es la fuerza con que la Tierra (u otro cuerpo) atrae a un objeto. La diferencia se aclara porque objetos de la misma masa tienen un peso diferente en la Luna que en la Tierra, o situado uno en una montaña elevada. Sin embargo, objetos de igual masa situados en un mismo lugar de la Tierra tienen el mismo peso. Volumen y capacidad El término volumen se usa para designar la característica de todos los cuerpos de ocupar un espacio. Se trata de una magnitud extensiva, derivada, cuya unidad principal es el metro cúbico (m3). Se usa la palabra capacidad Y SÓLO ES COMPARAR… MEDIDA UAA_PM_REV_CONAFE.indd 165 165 12/06/19 14:47 para designar la cualidad de ciertos objetos (recipientes) de poder contener líquidos o materiales sueltos (arena, cereales, etc.). En realidad, no se trata de una magnitud diferente del volumen: la capacidad de un recipiente coincide con el volumen del espacio interior delimitado por las paredes del recipiente, y viceversa, el volumen de un cuerpo coincide con la capacidad de un recipiente que envolviera completamente a dicho cuerpo. Cuando se habla de capacidades la unidad principal es el litro (l) que es el volumen de 1 dm3. Área y superficie Con frecuencia estas palabras se usan de manera indistinta, pero es necesario distinguir dos conceptos diferentes, aunque relacionados. Si nos fijamos en los cuerpos o figuras geométricas debemos distinguir entre la forma que tienen (esférica, piramidal, rectangular, plana, alabeada, etc.) y la mayor o menor extensión que ocupan. La palabra superficie se debería reservar para designar la forma del cuerpo o figura (superficie plana, alabeada, triangular), mientras que la palabra área debería designar la extensión de la superficie. El rasgo o característica de los cuerpos que se mide cuantitativamente es el área o extensión. Medida directa e indirecta de cantidades Las cantidades de una magnitud pueden ser medidas en unos casos directamente usando los instrumentos de medida (el metro, sus múltiplos y divisores para las longitudes; el kg, sus múltiplos y divisores para el peso, etc.). Esta medición directa quiere decir aplicando reiteradamente las unidades de medida hasta lograr cubrir la longitud que se quiere medir, hasta conseguir equilibrar la balanza, etc., y según la precisión deseada. En otros casos, si el objeto en cuestión no puede medirse directamente, bien por su tamaño, forma, etc., pero se puede descomponer en partes o secciones cuya medida se conoce, podemos determinar la medida del objeto mediante operaciones aritméticas. Se habla entonces de medida indirecta. Ejemplo: No hace falta recubrir una superficie de losetas para determinar el área de dicha superficie. Ésta se puede determinar con frecuencia mediante el cálculo sobre las dimensiones de la superficie. 166 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 166 12/06/19 14:47 Una vez definida la unidad de medida para ciertas magnitudes, a partir de estas unidades se pueden definir las correspondientes a otras magnitudes. Las primeras se conocen como magnitudes fundamentales y las segundas como magnitudes derivadas. El carácter fundamental o derivado de una magnitud no es intrínseco a la misma. Un sistema de unidades establece y define con precisión cuáles son las unidades fundamentales. Medida indirecta de áreas y volúmenes El estudio escolar de las magnitudes área y volumen debe incluir una primera etapa de identificación de la característica correspondiente de los objetos (superficies y volúmenes de cuerpos y figuras geométricas), siguiendo el proceso que se describe más adelante. Pero en la práctica las cantidades de áreas y volúmenes se miden de manera indirecta mediante el cálculo a partir de las medidas lineales de las dimensiones de las figuras o cuerpos. Así, la medida del área de un rectángulo se calcula multiplicando la longitud de la base por la altura (A = b × a), y el volumen de un ortoedro, multiplicando las longitudes de las tres aristas que concurren en un vértice (V = a × b × c). Magnitudes fundamentales y complementarias Magnitud Unidad Símbolo Longitud Metro m Masa Kilogramo kg Tiempo Segundo s Intensidad de corriente eléctrica Amperio A Temperatura termodinámica Kelvin K Cantidad de sustancia Mol mol Intensidad luminosa Candela cd Magnitudes complementarias: Ángulo plano Radián rad Ángulo sólido Estereorradián sr Y SÓLO ES COMPARAR… MEDIDA UAA_PM_REV_CONAFE.indd 167 167 12/06/19 14:47 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Investiga en tu comunidad la manera en que miden las cosas y haz una tabla de comparación con las magnitudes que se mencionan en el texto. Al finalizar escribe tus conclusiones sobre el uso de la medida. Te recomendamos leer detenidamente el texto las veces que consideres necesario para poder definir cada uno de los conceptos, sus diferencias y la manera en que se relacionan. Un ejercicio que te ayudará será poner ejemplos de las semejanzas y diferencias entre los conceptos. No olvides anotar en tu registro los hallazgos de tu estudio. ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES En el siguiente desafío saldrás de las formas planas para involucrarte con formas tridimensionales. Te recomiendo imaginar el objeto y asegurarte de conocer cada aspecto y concepto incluidos en el problema. Investiga las fórmulas para calcular el volumen de figuras, esto te facilitará resolver el desafío. El siguiente esquema muestra la estructura de un filtro de agua de 1.5 m de alto. La base es un prisma cuadrangular que mide 1 m de lado por 50 cm de alto. Determina la cantidad de agua que se necesita para llenar el depósito en forma de pirámide y la cantidad de arena para llenar el resto del contenedor. Para apoyarte en la solución y registros te puede ayudar leer los siguientes textos y hacer los ejercicios. 168 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 168 12/06/19 14:47 VOLUME VS CAPACITY32 If there are two terms in general science that are most often interchanged in use and meaning, they are none other than volume and capacity. To give you an idea of the real differences between these two terms, let us compare their definitions. Firstly, to what exactly does volume refer? Whether something is a liquid, a solid, or a gas, volume refers to the amount of three-dimensional space that it occupies. Some of the most common units of volume include cubic meters, liters, milliliters and cubic centimeters. PLO Secondly, capacity refers to the ability of something to hold, receive, or absorb. It is similar in concept to volume, but there are a few differences. One good example to illustrate the difference between capacity and volume is how they are used in sentences. Take a look at the following: • The helium gas tank has a capacity of 12 gallons. • The gas in our experiment expanded to twice to its original volume. In the sentence examples, volume is used to describe the three-dimensional size of the object, which was gas. Meanwhile, capacity refers to the volume that the gas tank could hold. Another example is that capacity is the ability of a container to hold two cups of rice, while that same container may have a volume of 5 cubic centimeters, which refers to the amount of space that the container itself occupies. To summarize, volume is the space taken up by the object itself, while capacity refers to the amount of substance, like a liquid or a gas, that a container can hold. Summary: • Volume is the amount of space taken up by an object, while capacity is the measure of an object’s ability to hold a substance, like a solid, a liquid, or a gas. • While volume is measured in cubic units, capacity can be measured in almost every other unit, including liters, gallons, pounds, etc. • Volume is calculated by multiplying the length, width, and height of an object, while capacity’s measurement is geared more towards cc or ml. 32 Difference Between Volume and Capacity”. http://www.differencebetween.net/science/difference-between-volumeandcapacity/ (Fecha de consulta: 21 de abril de 2018). Y SÓLO ES COMPARAR… MEDIDA UAA_PM_REV_CONAFE.indd 169 169 12/06/19 14:47 Con fórmulas y ejemplos que verás en seguida podrás apoyarte con el cálculo de áreas y perímetros: Figura Triángulo c Fórmulas a h A= Nomenclatura a, b, c: lados del triángulo b: base h: altura bh 2 b Cuadrado A = a2 a: lado del cuadrado A = bh b: base h: altura a a Rectángulo h b Circunferencia A = πr2 = r C πd2 4 Polígono regular de “n” lados l l l a Pa A= 2 l r: radio d: diámetro C: centro de la circunferencia l: lado del polígono n: número de lados a: apotema Ilustraciones: © Shutterstock.com l Figura Triángulo equilátero Fórmulas Operaciones Resultados P = 3a P = 3(6) P = 18 cm a = 6cm 170 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 170 12/06/19 14:47 Figura Cuadrado Fórmulas Operaciones Resultados P = 4a P = 4(6) P = 24cm P = 2(a + b) P = 2 (8 + 12) P = 2 (20) P = 40 cm a = 6cm Rectángulo h = 8 cm b = 12cm Trapecio b = 14cm a = 8cm c = 10cm P = a + b + c + B P = 8 + 4 + 10 + 16 P = 38 cm B = 16cm Ilustraciónes: © Shutterstock.com Polígono regular P = 5a P = 5a P = 35 cm P = πd P = 3.14(8) P = 25.12 cm l = 7cm Circunferencia d = 8cm REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN El desafío matemático es interesante, y se complementa con el reto de traducir un texto del inglés al español para obtener más información y detallar los conceptos. No olvides describir el proceso de estudio que seguiste para la solución del desafío de matemáticas y para obtener información al realizar la traducción. Escribe tus dificultades y la manera en que las resolviste. • • Calcula el volumen de un pozo que tiene de diámetro 4 m y de alto 15 m. Si quisieras un cono con la misma base y con el mismo volumen, ¿qué altura deberá tener? Y SÓLO ES COMPARAR… MEDIDA UAA_PM_REV_CONAFE.indd 171 171 12/06/19 14:47 ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Supongamos que tienes 100 cajas pequeñas, cada una mide 10 cm de cada lado de su base y 10 cm de altura. Dibuja o construye una caja donde quepan todas las 100 cajas. Fotos: © Shutterstock.com Para que tengas una idea de cómo hacer el dibujo, observa las siguientes imágenes y sus medidas, explica cuántos recipientes de los pequeños podrás llenar con el grande. 20 litros 1 1 2 litro 1 2 litro REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Reflexiona y explica algunas conclusiones respecto al estudio de las magnitudes: su importancia en las matemáticas y en lo que te puede ayudar saber el tema. Recuerda que los dibujos son una herramienta importante para resolver problemas de matemáticas. Anota el aprendizaje logrado y la manera en que resolviste el desafío, y al final compártelo con tu tutor. COMPARTE LO APRENDIDO, MEJORA Y COMPLETA TU REGISTRO Te recomendamos que, para realizar la demostración pública, elijas el desafío en el que enfrentaste mayor dificultad para resolverlo, y ese sea el que compartas a tus compañeros. Recuerda que en la demostración puedes explicar la manera en que los resolviste y principalmente hablar de las dificultades y estrategias que implementaste. Al final, escucha las recomendaciones de tus compañeros y tutor e incorpóralas a tu registro. 172 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 172 12/06/19 14:47 PARA SEGUIR APRENDIENDO Fuentes consultadas Caballero, Arquímedes, Lorenzo Martínez y Jesús Bernárdez. Matemáticas, tercer curso. Duodécima edición. México: Esfinge, 1975. Díaz Camacho, Arturo, Introducción a la matemática moderna. México: Ediciones America Central, 1970. Difference Between Volume and Capacity. http://www.differencebetween.net/science/ difference-between-volume-andcapacity/ (Fecha de consulta: 21 de abril de 2018). Godino, Juan, Carmen Batanero y Rafael Roa. Medida de magnitudes y su didáctica para maestros. (Departamento de Didáctica de la Matemática, Facultad de Ciencias de la Educación, Universidad de Granada, 2002). 615, 616, 622, 623, 624. http://www.ugr. es/~jgodino/edumat-maestros/welcome.htm Fuentes sugeridas Conafe. Cómo aprendemos matemáticas. Guías de Orientación y Trabajo. 5ª edición. México: Conafe, 1991. 57-65. IEEPO. Educando Tv. Preescolar clase: 27. Tema: Forma, espacio y medida. https://www. youtube.com/watch?v=BnnIcJQCecA _____ Preescolar clase: 35. Tema: Agrupamientos por peso y tamaño. https://www. youtube.com/watch?v=b5oNZverHNw _____ Preescolar clase: 72. Tema: Medición. https://www.youtube.com/ watch?v=bJu2kKJT5tQ _____ Primaria 1º y 2º clase: 134. Tema: Medida de longitudes. https://www.youtube.com/ watch?v=L4DqN9ekxAg _____ Primaria 3º y 4º clase: 199. Tema: Las unidades de medida. https://www.youtube. com/watch?v=t2YY0lgKfvk _____ Primaria 5º y 6º clase: 104. Tema: Múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado. https://www.youtube.com/watch?v=3fEkpDR-ZuM _____ Secundaria clase: 115. Tema: Fórmulas para hallar el perímetro y área de figuras geométricas. https://www.youtube.com/watch?v=dIb1WuiYG5k _____ Secundaria clase: 164. Tema: Forma, espacio y medida. https://www.youtube.com/ watch?v=UVwSCvwPxmQ _____ Secundaria clase: 138. Tema: Polígonos regulares, fórmulas para calcular perímetro y área. https://www.youtube.com/watch?v=OBAgVlNGX9g Proyecto Edumat-Maestros. Matemáticas y su didáctica para maestros. www.ugr.es/jgodino /edumat-maestros/manual/5_Medida.pdf (Fecha de consulta: 15 abril de 2018). Y SÓLO ES COMPARAR… MEDIDA UAA_PM_REV_CONAFE.indd 173 173 12/06/19 14:47 174 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 174 12/06/19 14:47 Ilustración: © Shutterstock.com LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 175 12/06/19 14:47 INTRODUCCIÓN La proporcionalidad juega un rol formativo y transversal en la construcción del pensamiento matemático de los estudiantes y de los ciudadanos en un sentido amplio. Este hecho amerita comenzar con una clara diferenciación entre nociones: fracción, razón, proporción y proporcionalidad, pues si bien son todas ellas afines, su significado y esencia tienen diferencias considerables entre sí, y su distinción permitirá “un acercamiento” a los usos y la razón de ser de la proporcionalidad. Euclides, en su libro muy famoso llamado Los elementos, habla sobre la proporcionalidad, la cual nos lleva a dar pasos importantes a la semejanza de figuras, que también ocupara Tales de Mileto. Ilustración: © Shutterstock.com ¿Sabes lo que es una magnitud? ¿Alguna vez has imaginado cómo se relacionan dos magnitudes? En esta UAA estudiaremos razonamientos matemáticos del tema de “Proporcionalidad y funciones” que te permitirá conocer e identificar cómo se relacionan diversas magnitudes. Investigaremos a qué se refieren las personas cuando hablan de que algo es el triple, la mitad, dos veces y media, una vez y media, etc. También conoceremos aspectos relacionales entre cantidades y su variación. Una proporción también es llamada regla de tres, y como su nombre lo dice, siempre se tienen 3 datos y con ella podemos encontrar el cuarto dato. Se emplea en la obtención de precios, porcentajes, medidas. Todos estos datos obtenidos también pueden ser graficados, a esto se le llama función, que consiste en hacer tablas, las cuales podemos representar con gráficas. 176 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 176 12/06/19 14:47 PROPÓSITO GENERAL Identificar la relación que existe entre magnitudes y sus relaciones de proporcionalidad directa o inversa para establecer los cambios o variaciones en el tiempo de fenómenos naturales y sociales. PROPÓSITOS ESPECÍFICOS • • • Reconoceremos y trabajaremos información numérica y magnitudes, para resolver problemas mediante cálculos simples que impliquen relaciones entre dos variables. Compararemos razones con base en la equivalencia, proporcionalidad directa e inversa, y cómo se relacionan fracciones, decimales, la unidad de referencia y porcentajes. Calcularemos valores en problemas de proporcionalidad y funciones lineales asociadas a diversos fenómenos del mundo real. PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES Relaciones Proporciones Variación Cantidades directamente proporcionales Proporción directa Proporción inversa Variables dependientes e independientes Reparto proporcional Razón y proporción Constante de proporcionalidad Representación algebraica y gráfica Valor unitario Regla de tres Porcentajes Tablas de Variación lineal proporcionalidad Escalas Interés simple y compuesto LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 177 177 12/06/19 14:47 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Pides información para identificar magnitudes entre objetos y elementos de tu entorno y comunicas tus observaciones y opiniones. Elaboras relaciones simples en tablas o gráficas sencillas entre magnitudes conocidas. Ordenas los elementos de problemas que impliquen trabajo con tablas de proporcionalidad para dotar de sentido a las tablas de multiplicar. Usas e interpretas la relación entre magnitudes y entre números, en la solución de problemas con contextos familiares. Construyes soluciones para resolver problemas que impliquen el trabajo con tablas de proporcionalidad mediante la multiplicación y la división. Describes con dibujos los problemas y las soluciones para resolver situaciones que impliquen identificar la relación directa o inversa entre magnitudes, diferenciando la expresión fraccionaria de la correspondiente razón entre magnitudes. Elaboras datos que impliquen el porcentaje de cantidades y el interés simple, para resolver problemas y comunicar tus explicaciones y argumentaciones. Usas lo que has aprendido para resolver problemas que implican la variación directa o inversa de magnitudes, como el comportamiento del área de una figura al incrementar o disminuir sus dimensiones. Elaboras explicaciones para resolver problemas que impliquen la construcción y análisis de escalas y semejanzas. Evalúas lo que has elaborado para utilizarlo en distintas representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) correspondientes a una relación de proporcionalidad directa o inversa para resolver problemas del mundo real. INICIAL UAA_PM_REV_CONAFE.indd 178 BÁSICO INTERMEDIO Ilustración: Ivanova Martínez Murillo 1 Distingues entre alto/bajo, ancho/delgado, largo/corto, pesado/ligero. Ilustración: Ivanova Martínez Murillo TRAYECTO DE APRENDIZAJE AVANZADO ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Es importante que aprendas a diferenciar en los objetos que se te presentan en la vida diaria, su largo, ancho, altura, peso, y a describir las semejanzas y diferencias que observas cuando comparas unos objetos con otros. 178 12/06/19 14:47 El desafío consiste en ordenar las siguientes imágenes. Si lo puedes hacer con objetos reales es mejor. Ilustración: © Shutterstock.com Primero acomoda las pelotas por tamaño, de la más pequeña a la más grande. Ilustración: © Shutterstock.com Y en esta imagen tenemos unas balanzas y pesas de diferentes tamaños, ordénalas de mayor a menor, en cada una dice el peso. LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 179 179 12/06/19 14:47 • • • • • ¿Cuál será la más pesada de todas? ¿Cuál es la más ligera de todas? ¿Cuál pesa más, 3 o 7? ¿Cuál pesa menos, 5 o 2? Si queremos equilibrar el peso en la balanza y en uno de los platos ponemos las pesas de 1 y 2, ¿cuál debemos colocar en el otro plato para que pesen lo mismo? REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN • • • Anota tus reflexiones en tu cuaderno y comenta con tu tutor tus avances. Dibuja en tu cuaderno cómo ordenaste las pelotas. Haz dibujos para que visualices las preguntas. ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Antes de comenzar con el estudio, comenta con tu tutor qué entiendes por variación y si identificas variables en la vida real, donde al aumentar el valor de alguna variable aumenta la otra, o viceversa. Registra en tu libreta lo que te llama la atención, y elabora un dibujo o un esquema. Partamos de la siguiente frase: Básicamente, una proporción es una igualdad de razones. ¿Qué idea viene a tu mente al escuchar esa frase? Conversa con tu tutor y escribe tus ideas. Para trabajar este desafío te recomiendo que identifiques la o las relaciones que existen entre los datos involucrados y lo que se pide, para que analices cuáles te pueden ayudar para resolver el problema. Una familia del pueblo de Chignahuapan camina cada semana al mercado de su comunidad para vender artesanías fabricadas por 180 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 180 12/06/19 14:47 Ilustración: © Shutterstock.com ellos mismos. Su caminata es constante y entre su casa y la comunidad hay 2 kilómetros de distancia. Abigail es la niña mayor de la familia y se dio cuenta de que tardan 25 minutos en realizar ese recorrido. Ella quiere convencer a sus papás para vender sus artesanías en el municipio que está a 6 kilómetros de su casa y después llegar hasta la capital del estado, que está a 15 kilómetros de su casa. ¿Cuánto tiempo tardarían en realizar esos recorridos? El siguiente texto te ayudará a resolver el desafío. LA RELACIÓN Y LA PROPORCIÓN33 Si decimos ¿cuántas veces es mayor 12 que 4? Sabemos que la respuesta es 3, pero esto podemos expresarlo por medio de una ecuación de la siguiente manera. 4x = 12, aquí x es el número que al multiplicar por 4 nos dará como resultado 12. Si queremos saber cuántas veces 7 es menor que 28 lo expresamos de la siguiente manera. 28 = 7, donde 28 es el número que dividiendo a x dará como resultado 7. x Al plantearnos estas preguntas lo que realmente hacemos es establecer una relación, por ejemplo, entre el 4 y el 12, y la respuesta la podemos obtener por medio de una multiplicación o una división. 4 × 3 = 12 33 12 4 =3 Texto elaborado ex professo para esta UAA. LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 181 181 12/06/19 14:47 La segunda expresión es una fracción, podemos decir que ésta es una razón entre dos números y utilizamos este símbolo : es decir, 12 : 4 y se lee 12 es a 4 En una razón dada como a/b o a : b con b ≠ 0 al término a se le llama antecedente y al término b se le llama consecuente. Podemos expresar una razón como cociente de dos números. Se dice que dos cantidades son proporcionales si al multiplicar una de ellas por algún número, la otra quedará multiplicada por el mismo número. También lo podemos hacer dividiéndolas, a esto se le llama cantidades directamente proporcionales. La razón es muy importante entre las proporciones, ya que la proporción es de la forma a/b que se le llama razón de proporcionalidad, la cual siempre es constante. Ejemplo: si 18 libros cuestan $1620, la razón de proporcionalidad es de 90, ya que 1620/18 =90 La proporción es la igualdad de dos razones Por ejemplo: 3 paletas cuestan $6 y 8 valen $16, entonces 3/6 = 8/16 Al simplificar las fracciones como se hizo en la unidad de racionales, se obtiene que la razón proporcional es de 1/2 A este resultado se le llama constante de proporcionalidad. En general, también puede escribirse así: a:b::c:d Otra forma de verlo es que esa misma proporción se puede escribir como 3 × 16 = 6 × 8 Si tenemos tres datos y nos falta alguno, sólo habría que despejar y encontrar el valor de la incógnita. 182 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 182 12/06/19 14:47 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Podemos seguir estableciendo relaciones: • • • ¿Cuántas veces es mayor 60 que 15? ¿Cuántas veces en menor 3 que 60? Si 5 manzanas cuestan $60, ¿cuánto cuestan 15 manzanas? Registra con detalle tu proceso de aprendizaje, anota qué dificultades tuviste en tu estrategia de solución, qué hiciste para salir de esas dificultades y qué aprendizajes obtuviste. ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES La realidad tiene constantes cambios y transformaciones en el día a día, lo cual nos lleva a distinguir variaciones en diversas formas y tamaños. Cuando el tamaño de un espacio o estructura es más grande o pequeño de lo que se puede percibir a simple vista, se puede realizar un modelo para representarlo gráficamente. A esta representación gráfica que implica una disminución o aumento de las medidas reales se le conoce como escala. Ilustración: © Shutterstock.com Los estudiantes encontraron que las medidas para una cancha de futbol sóccer son: Largo: Mínimo 90 metros – Máximo 120 metros. Ancho: Mínimo 45 metros – Máximo 90 metros. El círculo central tiene 9.15 metros de radio. El área chica o área de meta mide 5.5 metros de largo y 7.32 metros de ancho. El área grande o área de penal tiene 16.5 metros de largo y 40.3 metros de ancho. Los puntos penales tienen una distancia de 11 metros con la línea del fondo. ¿Cuáles serían las dimensiones del modelo? LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 183 183 12/06/19 14:47 El siguiente texto es un apoyo para resolver el desafío. ESCALAR34 En la elaboración de planos, mapas y maquetas utilizamos la palabra escala, lo cual significa que las magnitudes reales se han reducido, utilizando una escala conveniente. Ilustración: © Shutterstock.com Recordemos algunas equivalencias. Equivalencias de longitud en el sistema métrico decimal 1 km = 10 Hm = 102 Dm = 103 m = 104 dm = 105 cm = 106 mm Para reducir medidas a escala, expresamos las cantidades originales en centímetros y las dividimos entre la escala con la que pensamos trabajar. 34 Texto elaborado ex professo para esta UAA. 184 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 184 12/06/19 14:47 Ejemplo: Se tiene un edificio que mide 12 metros de alto y queremos hacer una maqueta con una escala de 1:25, es decir, un centímetro en la maqueta equivale a 25 cm en la realidad. Medida maqueta = centímetros reales factor de la escala REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Las escalas nos son muy útiles en varios campos, por ejemplo: • • ¿Has visto cuál es la escala de los mapas de la República mexicana? ¿Cuál es la escala utilizada para hacer visible una célula? Continúa tu Registro de Proceso de Aprendizaje anotando tus estrategias y nuevos aprendizajes de proporcionalidad. No olvides detallar cuál fue la escala que elegiste para el modelo de la cancha. ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Las funciones nos ayudan a modelar situaciones en las que debemos expresar una relación entre magnitudes del mismo tipo o de diferentes tipos. En general, en matemáticas se puede decir que una cantidad está en función de otra cantidad si el valor de la primera depende de la segunda, ya sea que al disminuir o aumentar lo haga en la misma proporción o implique un cambio a la inversa. En dos campos agrícolas se hicieron las siguientes ofertas para los recolectores de jitomate: Campo A. $165 por jornada diaria de 10 hrs. Con un mínimo de 35 botes de 20 kilos. Campo B. $5 por bote de 20 kilos. LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 185 185 12/06/19 14:47 Foto: © Shutterstock.com Si un recolector ocupa 17 minutos en llenar un bote de 20 kilos, analiza y grafica el comportamiento de las dos propuestas en el tiempo para determinar cuál propuesta conviene más. El siguiente texto es un apoyo para resolver el desafío. VARIACIÓN35 Variación proporcional directa e inversa Dos cantidades son directamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir una, aumenta o disminuye la otra. Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra, y al disminuir una aumenta la otra. Para poder plantear una regla de tres, es necesario conocer por lo menos tres cantidades. La cuarta, que es la incógnita, se desconoce y forma una proporción con las otras tres conocidas. Dependiendo de si las cantidades de la proporción que se establezca sean directa o inversamente proporcionales, la regla de tres será directa o inversa. Un ejemplo de proporcionalidad directa es el siguiente: Jimena fue al mercado y compró 2 kilos de zanahoria y pagó $18, ¿cuánto le cobrarán por 4 kilos? Lo expresamos así 2 : 18 : : 4 : x También lo podemos expresar así 2 = 4 18 x Despejamos x y obtenemos que x = 36 35 Texto elaborado ex professo para esta UAA. 186 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 186 12/06/19 14:47 Es decir, que 4 kilos costarán $36, esta es una proporcionalidad directa ya que a mayor cantidad comprada, mayor es el costo. Tanto por ciento El tanto por ciento comúnmente se designa por % y significa dividir una cantidad en centésimas, de tal manera que cuando tenemos 1%, significa la centésima parte de una cantidad o un número. Si queremos expresar una fracción como porcentaje, es necesario que el denominador de la fracción sea 100. Ejemplo: si queremos saber que porcentaje es 7 25 Necesitamos un denominador que sea 100 y notamos que, para obtener esa fracción equivalente, hay que multiplicar por 4. 7 7x4 28 = = = 0.28 = 28% 25 25 x 4 100 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Registra tu proceso de solución y tus reflexiones respecto a qué entiendes por variación. ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Podemos encontrar proporciones en la vida cotidiana, el desafío consiste en investigar y nombrar en qué cosas que utiliza la gente puedes encontrar la proporción áurea. Lee el siguiente texto para que conozcas más sobre la proporción áurea. LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 187 187 12/06/19 14:47 SOBRE EL APRENDIZAJE DE LA PROPORCIONALIDAD36 Si no existe una medida común, ¿cómo se pueden medir las magnitudes? El problema de medir fue sustituido en la teoría geométrica euclidiana por el problema de comparar. Éste es el posicionamiento fundamental que dio origen a la teoría de las proporciones entre magnitudes. Este hecho provocó una necesidad: la de introducir la noción de razón, pues esta es la relación entre dos magnitudes: su comparación. De esta manera podemos afirmar que la razón entre la longitud del lado de un cuadrado y la longitud de su diagonal es 2, pues no hablamos de una división como en el caso de las fracciones37 sino de una relación entre las magnitudes implicadas. Lo mismo ocurre en el caso de la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, siendo esta relación la constante conocida como π. Dado que la razón refiere a la relación entre dos magnitudes, así es como puede existir el caso, por ejemplo, de que en un conjunto de personas la cantidad de mujeres respecto a la de hombres sea de 9 a 1, es decir, 9:1 (por cada nueve mujeres hay un hombre), o bien, puede ser 9:9, lo que afirma que en ese grupo de personas hay nueve mujeres y nueve hombres, o bien podría ser 9:0, lo cual afirmaría que solo había mujeres en ese grupo. Esto, si se viera como una fracción no sería válida pues el denominador es cero, sin embargo, dado que es una razón que expresa la relación entre dos magnitudes, si es posible. Al igual que en los casos anteriores, esta situación también se expresa en el tratamiento de otra constante famosa, la razón áurea, que es expresada como: (1 + √5 ) ÷ 2 Daniela Reyes-Gasperini, La transversalidad de la proporcionalidad (México: SEP, 2013), 21-25. Recuperado en http://www. sems. gob.mx/work/models/sems/Resource/6586/1/images/transversalidad_smc_baja.pdf (Texto modificado con fines educativos). 37 En donde la división de dos números racionales también es un número racional por ser el conjunto cerrado para las cuatro operaciones. 36 188 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 188 12/06/19 14:47 y que representa a la relación entre dos segmentos de una recta que forman la siguiente proporción: “la longitud total a + b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b, es decir, a + b : a : : a : b”. Ilustraciones: © Shutterstock.com Hasta aquí, podemos evidenciar tres diferencias importantes entre las nociones de fracción y de razón. Las dos primeras concernientes a restricciones numéricas y de notación: en primer lugar, las razones, al ser una relación entre dos magnitudes, no tienen la restricción de ser la división entre dos números enteros (ver el caso del numerador de la razón áurea en donde uno, el numerador, es un número irracional) que da como resultado un número racional (ver el caso de la circunferencia en donde la relación entre longitud y diámetro es un número irracional). En segundo lugar, al no tratarse de una división entre dos números, no es necesaria la restricción realizada sobre el “denominador”, pues la razón no es una fracción (ver el caso de la relación entre hombres y mujeres de un conjunto de personas). La tercera y para nosotros la más relevante, es la esencia por la cual se han desarrollado ambos LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 189 189 12/06/19 14:47 conceptos matemáticos: la fracción es la expresión de una cantidad (numerador) dividida entre otra cantidad (denominador) que representa la relación parte–parte o parte–todo de un conjunto, mientras que la razón surge ante la imposibilidad de medir todas las magnitudes (surge la idea de la inconmensurabilidad, es decir, que no se puede medir). REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Continúa tu registro de proceso anotando las aportaciones del texto que consideras te ayudan en la argumentación de tus afirmaciones. ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES ¿Conoces a Leonardo da Vinci? Fue un gran artista italiano, quien, entre otras cosas, se destacó por ser un gran pintor. Era muy perseverante en sus estudios sobre el cuerpo humano y tanto en sus investigaciones como en su obra artística, demostraba un gran dominio de la proporción. El siguiente texto es muestra de ello y tiene que ver con la importancia de la proporción: EXCERPTED FROM LEONARDO DA VINCI FOR KIDS38 As he measured and drew human bodies, Leonardo noticed that we generally have standard proportions. He noted that “the span of a man’s outstretched arms is equal to his height.” Other observations he noted about human proportions: • 38 In an adult, the head is one-eighth of the person’s height. Janis Herbert. Copyright © 1998 by Janis Herbert. Reprinted by permission of Chicago Review Press. 190 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 190 12/06/19 14:47 • • • • • • The face is divided into three equal parts from the chin to the nostrils, from the nostrils to the eyebrows, and from the eyebrows to the hairline. The distance across the face from one ear to another is the same as that from the eyebrows to the chin. The ear is as long as the nose. The length of the forearm up to the elbow is one fourth of the body’s height. The foot is one-half as long as the distance from the heel to the knee. The distance from the elbow to the wrist is one-half the length of the thighbone. Now is your chance to test Leonardo’s observations and maybe make some of your own. Ilustración: © Shutterstock.com Spread several sheets of newspaper on the floor so that it is longer and wider than you are. Tape them together. Lay down on the paper with your arms held out away from your body and have a friend draw the outline of your body with a black marker on the paper. Measure the different parts of your body and see if they fit into the general proportions that Leonardo noted. Have your friend measure the parts of your face to see if those proportions Leonardo noted are true. REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Registra con detalle tus aprendizajes de la lengua inglesa y tus reflexiones. Enlista los aspectos de la proporcionalidad que descubriste con este texto. LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 191 191 12/06/19 14:47 ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Una herramienta de las matemáticas son las gráficas para describir el comportamiento de las ecuaciones, así podemos saber cómo se ve una ecuación en el plano, si forma alguna figura conocida o sólo líneas o puntos, y así entender un poco más acerca de ellas. El desafío consiste en aprender a graficar ecuaciones de primer grado y ecuaciones simultáneas. Para ello utilizaremos el desafío del sistema de ecuaciones lineales de la UAA “El lenguaje del álgebra. Ecuaciones” (el problema del restaurante y las mesas). El siguiente texto es un apoyo para resolver el desafío. FUNCIONES39 El plano cartesiano se forma con dos rectas perpendiculares entre sí. Al punto donde se intersectan se le denomina origen. A la recta horizontal se le llama eje X o eje de las abscisas, a la recta vertical se le llama eje Y o eje de las ordenadas. Se divide en cuatro regiones llamadas cuadrantes. A cada punto P se le asigna un par ordenado o coordenada P (x, y). Para localizar un punto en el plano cartesiano se toma como referencia el origen y se avanza tanto como indica el primer número (abscisa) hacia la derecha o izquierda, según sea su signo, de ese punto se avanza hacia arriba o hacia abajo, tanto como lo indique el segundo número (ordenada) según sea su signo. Ejemplo: Graficar los puntos (2, 3), (− 3, 1), (3, −2) en el plano cartesiano. 39 Texto elaborado ex professo para esta UAA. 192 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 192 12/06/19 14:47 Ilustraciones: © Shutterstock.com Función Si tenemos dos conjuntos A y B y de alguna manera asociamos a cada elemento del conjunto A, uno y solo un elemento del conjunto B, entonces decimos que tenemos una función. Una función consta de tres cosas: • Un conjunto A, llamado dominio de la función. • Otro conjunto B llamado contradominio o codominio de la función. • Una regla de correspondencia f, que asocia a cada elemento del conjunto A, uno y solo un elemento del conjunto B. Se denota por f: A → B y se lee “ f va de A a B”. Esto quiere decir que si x es un elemento del conjunto A, entonces, el elemento de B asociado a x por medio de la función, se denota por f(x) = y, y se lee “y es igual a f de x.” Donde: x: variable independiente y: variable dependiente f(x): regla de correspondencia Constante Es la función que asocia un mismo valor a cada valor de la variable independiente. y=k LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 193 193 12/06/19 14:47 La representación es una línea paralela al eje X. La gráfica de una ecuación de primer grado con dos incógnitas es una línea recta, y por ello, estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones lineales. Ejemplo: Si queremos graficar las ecuaciones y = 3x, y = 2x, y = x Se dan valores a la x, obteniéndose así los valores correspondientes para y. x y (x, y) 1 3 (1, 3) 2 6 (2, 6) 3 9 (3, 9) Estos pares de valores se ordenan en una tabla. Haremos la tabla de 3x = y, los otros ejemplos se hacen de la misma forma. Ilustración: © Shutterstock.com Para obtener la recta que representa gráficamente a una ecuación de primer grado, basta obtener dos puntos de ella, es decir, dos pares de valores correspondientes a x, y, pero te aconsejamos determinar tres puntos, ya que ello te ayudará a comprobar si has resuelto correctamente la ecuación. REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Registra tu proceso de solución y tus reflexiones respecto a la gráfica de funciones • • • ¿Cómo harías la tabla de la ecuación 2x + 3 = y para graficarla? Grafica la función y = x2. ¿Es una recta? ¿Qué forma tiene? 194 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 194 12/06/19 14:47 COMPARTE LO APRENDIDO, MEJORA Y COMPLETA TU REGISTRO Platica con tu tutor acerca de la manera en la que piensas organizar y realizar la demostración de lo aprendido. Puedes considerar la amplitud y profundidad de las respuestas que has dejado en los registros de aprendizaje, las dificultades que enfrentaste al estudiar y hacer las actividades. Para cerrar la unidad revisa el mapa del tema que se encuentra en la introducción y el trayecto de aprendizaje para que verifiques los aprendizajes que has alcanzado hasta el momento. Cada actividad tiene sus propios productos sobre la proporcionalidad y funciones. Señala cuáles son los que desarrollaste y su utilidad. PARA SEGUIR APRENDIENDO Fuentes consultadas Aguilar Márquez, A., F. Bravo Vázquez, H. Gallegos Ruíz, M. Cerón Villegas y R. Reyes Figueroa. Aritmética y álgebra. Cuarta edición. México: Pearson Educación, 2016. Caballero, Arquímedes, Lorenzo Martínez y Jesús Bernárdez. Matemáticas, tercer curso. Duodécima edición. México: Esfinge, 1975. Díaz Camacho, Arturo. Introducción a la matemática moderna. México: Ediciones de América Central, 1970. Educación Matemática. Vol. 24, núm. 1, abril de 2012. “La ejemplificación del concepto de función: diferencias entre profesores noveles y profesores expertos”. 73-106. http:// www.revista-educacion-matematica.org.mx/revista/vol24-1/ Herbert, Janis. Excerpted from Leonardo da Vinci for Kids by Janis Herbert. Reprinted by permission of Chicago Review Press. Leonardo da Vinci for kids, Illinois: Chicago Review Press, 1998. http://www. arvindguptatoys.com/arvindgupta/vinci-for-kids.pdf López Mateos, Manuel. Funciones reales. México: Asociación de Universidades e Institutos de Enseñanza Superior, 1973. LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES UAA_PM_REV_CONAFE.indd 195 195 12/06/19 14:47 Reyes-Gasperini, Daniela. La transversalidad de la proporcionalidad. México: SEP, 2013. http://www.sems.gob.mx/work/models/sems/Resource/6586/1/images/transversalidad_ smc_baja.pdf Fuentes sugeridas IEEPO. Educando Tv. Preescolar clase 35. Tema: Agrupamientos por peso y tamaño. https://www.youtube.com/watch?v=b5oNZverHNw _____ Preescolar clase: 57. Tema: Semejanzas y diferencias. https://www.youtube.com/ watch?v=LAn_8DPuf0I _____ Primaria 1º y 2º clase: 132. Tema: Relaciones aditivas al calcular números faltantes. https://www.youtube.com/watch?v=U5VTMybGnjc _____ Primaria 1º Y 2º clase 146. Tema: Problemas de proporcionalidad simple y directa. https://www.youtube.com/watch?v=Q3KXW3qOkFM _____ Primaria 5º y 6º clase: 36. Tema: Procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad. https://www.youtube.com/watch?v=eZb7zkI0wj4 _____ Primaria 5º y 6º clase: 42. Tema: Cálculo del tanto por ciento de cantidades. https://www.youtube.com/watch?v=9LXGW0iGNqk _____ Primaria 5º y 6º clase: 70. Tema: Factor constante de proporcionalidad. https://www. youtube.com/watch?v=eiyRAwm-sCY _____ Secundaria clase: 24 Tema: Proporcionalidad y funciones. https://www.youtube. com/watch?v=RJb0MdpjRVI _____ Secundaria Clase: 166. Tema: Factor inverso en una relación de proporcionalidad. https://www.youtube.com/watch?v=1xQjYudRSNQ _____ Secundaria Clase: 160. Tema: Problemas de reparto proporcional. https://www. youtube.com/watch?v=Y5M05bWmQHU 196 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 196 12/06/19 14:47 Ilustración: © Shutterstock.com ANALICEMOS EL DATO ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE DATOS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 197 12/06/19 14:47 INTRODUCCIÓN Los medios de comunicación (revistas, periódicos, televisión y redes sociales) presentan información a través de graficas o tablas para darte a conocer algún suceso natural o evento social de tu entorno. En esta Unidad de Aprendizaje conocerás las herramientas necesarias para trabajar con el análisis y presentación de la información. También tendrás la oportunidad de comprender y valorar el papel de la estadística al procesar datos que recabarás de tu entorno escolar, como las estaturas de tus compañeros, sus edades y gustos por la lectura. PROPÓSITO GENERAL Comprender información a partir de la representación gráfica de datos para resolver situaciones de su entorno. PROPÓSITOS ESPECÍFICOS • • • Argumentaremos la solución de problemas por medio de la interpretación de distintas gráficas y tablas. Comunicaremos por escrito el comportamiento de los datos empleando gráficos para presentar los elementos de la estadística y las medidas de tendencia central identificados. Presentaremos formalmente por escrito los resultados de un estudio estadístico propio. MAPA DE CONTENIDOS MANEJO DE INFORMACIÓN EN UN ESTUDIO QUE DESEO CONOCER Presentación de datos Dibujos. Gráficas sencillas (símbolos y marcas). Tablas Gráficas con datos numéricos y categorías Medidas de tendencia central Dispersión y rango 198 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 198 12/06/19 14:47 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Clasificas objetos de acuerdo con información cualitativa y cuantitativa, y estimas diferentes datos para comprender situaciones de tu entorno. Usas información para explicar la representación gráfica que haces de información relacionada con situaciones familiares. Explicas las decisiones que tomaste para resolver problemas que implican la interpretación de gráficas sencillas, como pictogramas, tablas y gráficas de barras. Observas información y datos para resolver problemas que implican estimar la moda en un conjunto de datos a partir de una representación gráfica. Reconoces información para compartirla, a partir de datos proporcionados en tablas y gráficas. Describes cómo usar diferentes elementos de la estadística (población, muestra, rango, y frecuencia) para analizar información de tu entorno. Explicas los procedimientos que has realizado para comunicar el comportamiento de datos de información que has recuperado en el mundo real dando a conocer la moda y la media aritmética. Tomas en cuenta las medidas de tendencia central en la interpretación de gráficas para definir cuál de ellas le conviene más en el análisis del estudio en cuestión. Comunicas mediante un gráfico (polígono de frecuencia, gráfica de líneas o histograma) información sobre las medidas de tendencia central y la dispersión de datos agrupados que permita comprender el estudio en cuestión. Realizas un estudio estadístico del diseño que elaboraste desde la planificación hasta la presentación de resultados, utilizando gráficas poligonales para inferir conclusiones y tomar decisiones. INICIAL UAA_PM_REV_CONAFE.indd 199 BÁSICO INTERMEDIO ANALICEMOS EL DATO ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE DATOS Ilustración: Ivanova Martínez Murillo 1 Distingues en un conjunto de objetos cual es el más alto, el más grande o el más pequeño de entre todos. Ilustración: Ivanova Martínez Murillo TRAYECTO DE APRENDIZAJE AVANZADO ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Todos los seres humanos somos diversos, pertenecemos a familias distintas, tenemos nombres únicos, color de cabello, de ojos y de piel diferentes; hay quiénes preferimos jugar con la pelota y algunos leer un libro. 199 12/06/19 14:47 Ilustración: © Shutterstock.com Si observas con atención a las personas de tu comunidad con quienes convives todos los días te darás cuenta de que tienen características distintas y que también existen otras que compartimos. Por ejemplo: en la comunidad siempre hay una persona muy, muy alta que casi no puede entrar en las puertas, también hay personas muy pequeñitas que podrían entrar en una caja de cartón. Por otra parte, existen personas que son del mismo tamaño; y no solo eso, también pesan lo mismo, van a la misma escuela y les gusta hacer las mismas cosas. Estas y otras características diversas y comunes las puedes encontrar también en tu escuela. Es por eso que en este desafío te invitamos a emplear las medidas de tendencia central para comparar las diversas estaturas que tienen tú y tus compañeros y así conocer algunos elementos de la estadística. La siguiente actividad te ayudará a identificar algunas características similares y diferentes que compartes con tus compañeros. Para esto se requiere, que con la ayuda de tu tutor o algún otro compañero, dibujes la silueta de tu cuerpo en cartoncillo o una hoja rotafolio, decórala y escribe tu nombre sobre ella. 200 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 200 12/06/19 14:47 Una vez que tengas tu figura dibujada utilízala como referencia para medir al resto de tus compañeros colocando tu dibujo al lado de cada uno de ellos, si son más pequeños que tú, coloca una marca con tu lápiz indicando la altura; si hay compañeros que son más altos que tú recorta tiras de papel y pégalas de la cabeza de tu dibujo hacia arriba, escribe el nombre de tus compañeros o pide que ellos lo escriban. Una vez que has medido a todos tus compañeros, realiza un dibujo donde se pueda observar quiénes son los más altos y quiénes los más bajitos. • • • Ilustración: © Shutterstock.com Responde lo siguiente: ¿Quiénes son los más altos de tu escuela? ¿Quiénes son los más bajitos de tu escuela? ¿Quiénes coinciden en estatura? La siguiente actividad tiene como objetivo apoyarte a identificar las medidas que recabaste de tus compañeros y transformarlas a centímetros, para ello utilizaras la silueta que construiste con anterioridad donde se encuentran las distintas marcas de altura de tus compañeros; apóyate con una regla graduada, cinta métrica o, si lo prefieres, con ayuda de tu tutor puedes elaborar una tira de papel dividida en centímetros. Coloca tu silueta en el piso y con ayuda de la cinta métrica o regla graduada mide desde la parte de los pies del dibujo hasta las distintas marcas de altura de tus compañeros. Anota al lado de cada marca la altura en centímetros y posteriormente organiza las alturas en una tabla ordenando los datos de menor a mayor. No olvides incluirte. A partir de tus resultados responde lo siguiente y anótalo en tu RPA • • • • ¿Cuál es el dato que más se repite? ¿Cuál es el promedio? ¿Qué dato está en el centro? ¿De qué tamaño sería una persona si midiera todas las estaturas de tus compañeros juntas? ANALICEMOS EL DATO ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE DATOS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 201 201 12/06/19 14:47 A partir de la información que hasta el momento has recabado te invitamos a leer el siguiente texto en que conocerás cuáles son las medidas de tendencia central. MEDIA, MODA, MEDIANA40 Media aritmética La media aritmética o promedio es la suma de todos los datos dividida entre el número total de datos. Se calculan dependiendo de cómo vengan ordenados los datos. Ejemplo: ¿Cuál es la media de edades de Andrea y sus primos? Andrea tiene 10 años, y sus primos Luis, Sandra y Jorge, tienen 7, 12 y 15 respectivamente. Para calcular la media aritmética sumamos todas las edades, así tenemos: 10 + 7 + 12 + 15 = 44 Ahora dividimos 44 entre el número total de datos que es 4. 44 ÷ 4 = 11 Por lo tanto la media aritmética de las edades es 11. La media aritmética o promedio de un grupo de datos se calcula así: Se debe multiplicar cada dato con su respectiva frecuencia, sumar todos estos productos, y el resultado dividirlo por la suma de los datos. Ejemplo: Se ha anotado el número de hermanos que tiene un grupo de amigos. Los datos obtenidos son los siguientes: Hermanos: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4 40 Portal Educativo, Media, moda, mediana, rango, https://www.portaleducativo.net/octavo-basico/790/Media-moda-medianarango (Fecha de consulta: 12 de marzo de 2018). 202 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 202 12/06/19 14:47 Número de hermanos (datos) 1 2 3 4 Número de veces (fx) 4 3 2 1 Multiplicamos el número de hermanos por las veces que se repite ese mismo dato (frecuencia, fx) 1x4=4 2x3=6 3x2=6 4x1=4 Sumamos los resultados 4 + 6 + 6 + 4 = 20 Sumamos el número de hermanos 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Dividimos 20 ÷ 10 = 2 Ilustraciones: Eva María Paz González Si hacemos el recuentro de los datos y seguimos los pasos anteriormente descritos, tenemos: La media del número de hermanos es: 2 Moda La moda de un conjunto de datos es el dato que más veces se repite, es decir, aquel que tiene mayor frecuencia absoluta. Se denota por Mo. En caso de existir dos valores de la variable que tenga la mayor frecuencia absoluta, habría dos modas. Si no se repite ningún valor, no existe moda. Ejemplo 1: ¿Cuál es el dato que más se repite en el ejemplo anterior? El dato que más se repite es el 1, es el que tiene mayor frecuencia absoluta (4 veces) La moda del número de hermanos es 1. Ejemplo 2: 2, 3, 4, 5, 6, 9 En este conjunto de datos no existe ningún valor que se repita, por lo tanto, este conjunto de valores no tiene moda. Ejemplo 3: 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 M = 1, 5, 9 ANALICEMOS EL DATO ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE DATOS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 203 203 12/06/19 14:47 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas. Ejemplo 4: 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8 M = 3, 5 Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes. La mediana La mediana es el valor que ocupa el lugar central entre todos los valores del conjunto de datos, cuando estos están ordenados en forma creciente o decreciente. La mediana se representa por Me. Cálculo de la mediana: 1. Ordenamos los datos de menor a mayor. La mediana de un conjunto con un número impar de datos es, una vez ordenados los datos, el dato que ocupa el lugar central. Ilustraciones: Eva María Paz González Ejemplo: calcular la mediana del conjunto de datos: 2 3 4 5 8 5 3 2 3 3 4 5 5 8 Dato central La mediana es 4 204 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 204 12/06/19 14:47 También podemos usar la siguiente forma para determinar la posición del dato central: (n + 1) /2 = mediana datos impares. Ilustraciones: Eva María Paz González La mediana de un conjunto con un número par de datos es, una vez ordenados, la mediana de los dos datos centrales. 8 6 9 5 2 10 9 10 Ordenamos los datos de menor a mayor 2 5 6 8 Ahora calculamos la medida de tendencia central 6+8 2 = 14 2 = 7 La mediana es 7 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Continúa con tu registro, puedes apoyarte de las siguientes preguntas: • • • • ¿Cuál es el promedio de estatura en tu escuela? ¿Cuál es la moda? ¿Cuál es la mediana de las estaturas? ¿Cómo representarías la información para comunicar tus resultados? Para presentar tus resultados elabora distintas gráficas y acompáñalas de pequeños textos que apoyen la interpretación de los datos presentados. ANALICEMOS EL DATO ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE DATOS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 205 205 12/06/19 14:47 ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Identifica tus aprendizajes, las estrategias que seguiste para aprender, las dificultades y dudas que han surgido. Una escuela comunitaria está integrada por distintas personas entre las que encontramos docentes, niñas y niños de diferentes edades, que quizás provengan de otros lugares y compartan algunas características. En este desafío conocerás a la población que integra tu escuela a partir de recuperar, ordenar, analizar y presentar información con el apoyo de algunos elementos estadísticos. Niñas Niños Investiga qué porcentaje de niñas y niños hay en tu escuela, ¿cuál es la edad promedio en años y meses? ¿cuál es la edad que se localiza en el centro de todas? y ¿cuál es la edad que más se repite? Para reunir la información que se te pide apóyate de una cuadrícula, como la que está arriba, y en ella ve pegando un punto verde por cada niña y un punto rojo por cada niño, al terminar de reunir todos los datos, selecciona una columna y cuenta cuántos puntos tiene y escribe el número en la parte superior, haz lo mismo con la columna que te falta. Calcula cuál es el porcentaje de niñas y de niños en tu escuela. 206 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 206 12/06/19 14:47 Retomemos el tema de porcentajes visto en la UAA “Proporcionalidad y funciones”. PORCENTAJES41 Un porcentaje significa que se han tomado unas partes de cien en las que se ha dividido una cantidad; por ejemplo, cuando decimos 32 por ciento quiere decir que se tomaron treinta y dos partes de cien y se representa como 32/100 o como 0.32 o 32%. Una manera rápida de calcular un tanto por ciento de una cantidad, para ello se obtiene primero el 1% de la cantidad y luego se multiplica por el porcentaje que se desea obtener. Para obtener el 1% se divide la cantidad entre 100. Por ejemplo, para obtener el 32% de 74, primero se obtiene el 1% de 74, que es el cociente de 74 ÷ 100, 74 ÷ 100= 0.74, luego se multiplica por el porcentaje que se desea obtener, en este caso por 32, lo que nos da un resultado de 23.68; así: el 32% de 74 es 23.68 Ahora para calcular qué tanto por ciento es una cantidad de otra se emplea una proporción; por ejemplo, si queremos saber qué tanto por ciento es 27 de 72, entonces establecemos la siguiente proporción: Si 72 es el total, entonces es el 100% Luego 27 es o corresponde a x% Así, 72 ÷ 27 = 100 ÷ x, despejamos x y nos queda: x = 27*100 ÷ 72 Realizamos las operaciones y tenemos que x = 37.5 Lo que nos indica que 27 es el 37.5% de 72 41 Texto elaborado ex professo para esta UAA. ANALICEMOS EL DATO ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE DATOS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 207 207 12/06/19 14:47 Ilustración: © Shutterstock.com REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Para seguir registrando puedes retomar las siguientes preguntas: • • • • ¿Cuánta población de estudiantes hay en tu escuela? ¿Cuántos son niños? ¿Cuántas son niñas? ¿Cuál de los dos procedimientos anteriores te servirá y por qué? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Para apoyarte a recuperar la información de la edad promedio en años y meses, te sugerimos proporcionar a cada estudiante una ficha personal para que te pasen los datos. Por ejemplo: 208 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 208 12/06/19 14:47 Ficha personal Nombre del estudiante Indica el año en que naciste Indica el mes en que naciste Indica el día en el que naciste Una vez que hayas recogido toda la información sobre la fecha en año y mes de su nacimiento, tendrás que hacer un cálculo para saber cuántos años y cuántos meses ha cumplido cada uno de ellos hasta el mes actual. Ya que lograste obtener las edades de los compañeros en años y meses, piensa qué tendrías que hacer con todos estos datos. Lee la siguiente información: ¿CÓMO CALCULAR LA EDAD DE ALGUIEN CON SU FECHA DE NACIMIENTO?42 Lo primero que nos tiene que quedar claro es que los años tienen 12 meses y cada mes tiene, en promedio, 30 días; sabemos que algunos tienen 31 días y hay un mes que tiene 28 días y cada cuatro años 29; por lo que el cálculo que haremos es aproximado y sólo nos servirá para un ejercicio escolar. Comencemos con el caso en el que en la fecha de nacimiento de la persona los meses y los días son cifras menores a las cifras de los meses y días de la fecha actual. Por ejemplo, pensemos que hoy es el año 2018, el mes 8 y el día 20; y la fecha de nacimiento de nuestra compañera es el año 2007, el mes 2 y el día 15; entonces sólo hacemos la resta como sigue: − 42 2018 − 08 − 20 2007 − 02 − 15 0 0 1 1 − 06 − 05 Texto elaborado ex professo para esta UAA. ANALICEMOS EL DATO ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE DATOS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 209 209 12/06/19 14:47 Ilustracionesn: © Shutterstock.com Por lo que la edad de nuestra compañera sería de once años con seis meses y cinco días. Ahora pensemos en un caso en el que las cifras de los meses y los días de la fecha de nacimiento son mayores que las cifras de los meses y días de la fecha actual; por ejemplo, pensemos que hoy es el año 2018, el mes 8 y el día 20; y la fecha de nacimiento de nuestra compañera es el año 2007, el mes 10 y el día 29; entonces para poder hacer la operación trabajamos con la fecha del día de hoy y cambiamos un año por doce meses, y se los sumamos a los meses, y cambiamos un mes por treinta días y se los sumamos a los días, quedando como sigue la fecha actual: 2017-19-50. Una vez hecho este ajuste, se realiza la resta: − 2017 − 19 − 50 2007 − 10 − 29 0010 − 09 − 21 Así, la edad de nuestra compañera sería de diez años, nueve meses con veintiún días. Ánimo con tus cálculos. Cuando tengas todos los datos, puedes ordenarlos en una tabla para que observes mejor cómo se comportan. Al analizar los datos describe cuál es su comportamiento: • • Edad mayor. Edad menor. 210 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 210 12/06/19 14:47 • • • Edad que se presenta más veces. Edad que ocupa el lugar central. El promedio de edad de los estudiantes de tu escuela comunitaria. Una vez que hayas explicado el comportamiento de los datos, lee los siguientes textos: LAS CARPETAS DE COLORES43 Tiempo de aprender En la estadística, al número de veces que ocurre un cierto suceso se le llama frecuencia absoluta. Por ejemplo, en el censo de población y vivienda 2010 se muestran los resultados definitivos, en frecuencia absoluta. Total nacional Mujeres Hombres 112 336 538 57 487 307 54 855 231 Y la proporción de veces que ocurre dicho suceso en relación con el número de veces que podría haber ocurrido se le llama frecuencia relativa. Hombres 49% Mujeres 51% Ilustración: © Shutterstock.com 43 Matemáticas I Bloque 3 Primer grado. Las carpetas de colores. ANALICEMOS EL DATO ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE DATOS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 211 211 12/06/19 14:47 La frecuencia relativa también se expresa en porcentajes (%), por lo que la población de mujeres y hombres del ejemplo anterior se puede expresar como: Mujeres 51% Hombres 49% Para la frecuencia relativa, primero se obtiene la frecuencia absoluta. Por ejemplo, se le preguntó a 250 alumnos de secundaria cuál es su deporte favorito. Parte de la información se presenta en la tabla. Frecuencia relativa del básquetbol = f/n Frecuencia relativa del básquetbol = 92/250 Fr = 0.368 Deporte favorito Frecuencia Frecuencia relativa Básquetbol 92 0.368 Futbol 70 Voleibol 40 Natación 35 Otros 13 Total 250 1.00 PICTOGRAMAS44 Los pictogramas son una forma de presentar datos a través de imágenes o símbolos y de representar una cantidad específica, lo que permite que los niños comprendan fácilmente la información. A través de un pictograma el niño puede aprender a “interpretar y explicar información registrada en cuadros, gráficas y tablas, planteando y respondiendo preguntas que impliquen comparar la frecuencia de los datos registrados (en cuál hay más, cuáles son más, cuáles son iguales, cuántos hay 44 Aprendo a enseñar en preescolar. Orientaciones para el Instructor Comunitario. Pictograma. P31 212 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 212 12/06/19 14:47 menos entre éste y éste, etcétera)” para ello puedes presentarle un pictograma como el siguiente: 1985 1986 1987 1988 1989 1990 Ilustración: Eva María Paz González LA ENCUESTA45 Cuando se tienen varios datos es muy práctico utilizar gráficas para organizar y representar información. 45 Matemáticas I Bloque 3 Primer grado. Las carpetas de colores ANALICEMOS EL DATO ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE DATOS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 213 213 12/06/19 14:47 El gráfico de barras es una representación de dos dimensiones (eje vertical y eje horizontal). Para representar datos, se usan barras rectangulares. La longitud de esas barras es proporcional a los valores obtenidos. Las barras pueden ser horizontales o verticales. ¿Qué materia de tu escuela te gusta más? Matemáticas Ilustración: © Shutterstock.com Español Ciencias Geografía 0 10 5 15 20 25 30 La gráfica circular (o de pastel) es un recurso que se emplea principalmente para representar datos en términos de porcentaje. Los sectores de la gráfica se obtienen al establecer la relación de proporcionalidad entre los 360 ° de la circunferencia y el respectivo valor del ángulo que corresponde a una sección o rebanada. Si se tiene en cuenta que 360 ° = 100%, una rebanada que representa el 20% tendrá que cumplir la siguiente ecuación: x 20 = 360 100 donde x = 20 x 360 100 , por lo que x = 72 Forma equipos por género (niñas y niños) y considera el rango de edades. Por ejemplo, pide a las niñas que se ordenen de manera ascendente considerando su edad. En el caso de los niños el orden puede ser de forma descendente, de acuerdo con su edad. Esto significa que el sector circular que forma la rebanada debe de estar determinado por un ángulo central de 72°, como se puede observar en la siguiente imagen: 214 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 214 12/06/19 14:47 72 ° REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Con el apoyo de las lecturas que acabas de realizar elige cómo vas a presentar la información. Dialoga con tu tutor sobre el análisis y manejo de la información que quieres comunicar. • ¿Qué otra característica te gustaría conocer de tus compañeros de escuela? Revisa e identifica con tu tutor los aprendizajes logrados, las dificultades y dudas que surgieron, así como las estrategias que te permitieron construir comprensiones e incorpora lo que ubicaste que te hace falta, descríbelo con más precisión. Recuerda que éste es un insumo para el momento que brindes tutoría. ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Los medios de comunicación nos presentan resultados sobre estudios estadísticos, aplicados únicamente a una parte de la población mexicana; ANALICEMOS EL DATO ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE DATOS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 215 215 12/06/19 14:47 Ilustración: © Shutterstock.com ejemplos de estos estudios son las encuestas que valoran la satisfacción de los clientes sobre el gusto de alguna marca de refresco, la telenovela más vista o la calidad en el servicio que nos brindan las instituciones públicas; el tipo de información que se ofrece a través de esos estudios estadísticos ayuda a obtener conclusiones acerca de las opiniones que tiene la población en general y a tomar decisiones para mejorar la calidad en los servicios y productos que se ofrecen a la población. Realiza y presenta los resultados de un estudio estadístico que te permita inferir las preferencias de lectura que tienen tus compañeros de escuela, para proponer la organización de un rincón de lectura en el salón de clases. Con el fin de identificar lo que tomas en cuenta para elegir un libro y definir cuáles son tus favoritos se te propone la siguiente actividad: visita la biblioteca escolar y disfruta de los distintos tipos de lecturas que existen en ella, observa las imágenes que contiene cada una, fíjate en la forma y tamaño de los libros, puedes olerlos y sentir la textura. Luego, haz grupos de libros en acuerdo a las siguientes consideraciones: junta los libros que has leído y te han gustado, coloca en otro grupo los libros que no has leído pero que te gustaría leer, arma otro grupo con los libros que no te llaman la atención, y finalmente haz un grupo de libros que leíste pero que no te gustaron. Puedes hacer algunas etiquetas para identificar los grupos de libros como las siguientes: “Libros que leí y me gustan”, “Libros que leí y no me gustan”, “Libros que quiero leer”, “Libros que no me llaman la atención”. 216 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 216 12/06/19 14:47 Responde lo siguiente: • ¿Qué características tienen los libros o textos que leíste y te gustaron? ¿Qué características tienen los libros que te llaman la atención para leer después? ¿Cuáles son las características de los libros que no te gustaron y de los que no te llaman la atención? Elabora una tabla con la información que obtengas de estas respuestas. • • Ilustración: © Shutterstock.com • Para conocer otras características que se emplean para seleccionar libros, analiza la siguiente gráfica e identifica qué información ofrece. 3,900 TOP 10 MOST READ BOOKS IN THE WORLD 3500 3000 2500 2000 Based on number of books printed and sold over the last 50 years. Some titles may have had more copies printed than some of these books, but a vast number of those books were not sold, so we’ll assume they did not get read. 1500 820 1000 400 500 43 PAULO COELHO DAN BROWN STEPHENIE METER 33 30 GONE THINK WITH THE WIND AND GROW RICH NAPOLEON HILL MARGARET MITCHELL 27 THE DIARY OF ANNE FRANK J.K. ROWLING The twilight saga J.R.R. TOLKIEN DA VINCI CODE SOURCE: squido.com/mostreadbooks. 57 THE MAO TSE TUNG LORD OF THE RINGS ALCHEMIST THE HOLY BIBLE 65 THE # Millions of Copies Sold (Past 50 Years) 103 QUOTATIONES FROM CHAIRMAN MAO TSE TUNG 0 Ann Frank Ilustración: © Javier Velázquez 4000 ANALICEMOS EL DATO ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE DATOS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 217 217 12/06/19 14:47 Con apoyo en la gráfica anterior contesta las siguientes preguntas: • • • • • • • ¿Qué significan los números que están en la línea vertical de la izquierda? ¿Qué significan los números que están sobre los libros? ¿Qué conclusiones puedes hacer respecto a las preferencias de lectura en el mundo? ¿Cuáles son los cuatro libros más leídos en el mundo? ¿De qué temas tratan estos libros? ¿Por qué crees que estos libros son los más leídos? ¿Qué información agregarías a partir de esta gráfica a tu tabla de características de los libros que más te gustan o que no te gustan? ¿Qué le preguntarías a tus compañeros para saber qué libros les gustan más? El texto y la nota periodística que a continuación se presentan, te brindarán información que te ayudará a construir estrategias para diseñar y realizar un estudio sobre una población utilizando información contenida en una muestra. Léelo con detenimiento y platica con tu tutor sobre aquellos aspectos que consideres importantes para planear tu estudio. ESTADÍSTICAS DESCRIPTIVAS E INFERENCIALES46 El lector ha visto estadísticas descriptivas en numerosas formas: gráficas de barras, gráficas de pastel y gráficas de líneas presentadas por un candidato político; tablas numéricas en el periódico o el promedio de cantidad de lluvia informado por el pronosticador del clima en la televisión local. Las gráficas y resúmenes numéricos 46 Ilustración: © Shutterstock.com Cuando primero se le presenta a usted un conjunto de mediciones, ya sea una muestra o población, necesita una forma de organizarlo y resumirlo. La rama de la estadística que presenta técnicas para describir conjuntos de mediciones se denomina estadística descriptiva. William Mendenhall, Robert J. Beaver y Barbara M. Beaver, Introducción a la probabilidad y estadística, (México: Cengage Learning, 2010) 4-5 (Fecha de consulta: 11 de marzo de 2018). 218 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 218 12/06/19 14:47 generados en computadoras son comunes en nuestra comunicación de todos los días. Si el conjunto de mediciones es toda la población, sólo es necesario sacar conclusiones basadas en la estadística descriptiva. No obstante, podría ser demasiado costoso o llevaría demasiado tiempo numerar toda la población. Quizá enumerar la población la destruiría, como en el caso de la prueba “tiempo para falla”. Por estas y otras razones, quizá el lector solo tenga una muestra de la población que, al verla, usted desee contestar preguntas acerca de la población en su conjunto. La rama de la estadística que se ocupa de este problema se llama estadística inferencial. Ilustración: © Shutterstock.com La estadística descriptiva está formada por procedimientos empleados para resumir y describir las características importantes de un conjunto de mediciones. La estadística inferencial está formada por procedimientos empleados para hacer inferencias acerca de características poblacionales, a partir de información contenida en una muestra de esta población. El objetivo de la estadística inferencial es hacer inferencias (es decir, sacar conclusiones, hacer predicciones, tomar decisiones) acerca de las características de una población a partir de información contenida en una muestra. He aquí una serie de conceptos: La desviación o dispersión, es la diferencia entre los valores de una muestra y su media aritmética. Por ejemplo, si la altura de un grupo de amigos es de 1.76, 1.90, 1.56, 1.54, 1.72, 1.68, 1.62, 1.58, La media aritmética es 1.67. Y la desviación de cada dato sería. 9, 23, −11, −13, 5, 1, −5 y −9, ya que 176 − 167 = 9, 190 − 167 = 23… ANALICEMOS EL DATO ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE DATOS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 219 219 12/06/19 14:47 Rango: es la diferencia entre el dato de mayor valor y el de menor valor de un conjunto de datos. También es importante conocer los siguientes conceptos: • • • • • • Ilustración: © Shutterstock.com • Población. Es el conjunto de todos los elementos que permiten resolver el problema, que presentan una característica común determinada y medible. Por ejemplo, si el elemento es una persona, se pueden estudiar las siguientes características: edad, peso, nacionalidad, género, etc. Individuo. Es la unidad estadística, es decir, cada elemento que compone la población. Por ejemplo, en un censo poblacional cada familia es un individuo. Muestra. Cuando la población es muy grande entonces se saca un subconjunto de ella que presenta el mismo comportamiento y características de la población. Muestreo. Es el proceso de recabar los datos que deseamos analizar, obtenidos de la muestra representativa de la población. Dato. Es cada valor obtenido al realizar el muestro. Variable. Es una característica que se observa en la población, puede tomar diferentes valores dependiendo de cada individuo. Gráficas. Las utilizamos para representar estadísticas, son muy útiles cuando hay que comparar cifras presentadas en forma de tablas y datos. Las más usuales son las de barras, poligonales y circulares. 220 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 220 12/06/19 14:47 Gráficas de barras Cada uno de los datos se indican por medio de barras, ya sean horizontales o verticales. Gráficas poligonales Este tipo de representación es muy usado en el comercio y las finanzas. Es recomendable cuando hay que comparar una gran cantidad de datos. Gráficas circulares Se utilizan cuando se tiene el problema de representar la relación de cantidades individuales con un total. Sus partes o segmentos son calculados en porcentajes o partes fraccionales del total. Comprobemos todo lo anterior en un caso práctico. Este lunes se dieron a conocer los resultados de la Encuesta Nacional de Lectura y Escritura 2015. ¿Qué fue lo que se preguntó? ¿Qué tanto leemos los mexicanos y qué leemos y a través de qué medios? Checa estas gráficas para conocer un poco más sobre la encuesta. 5 GRÁFICAS SOBRE CUÁNTO Y QUÉ LEEMOS LOS MEXICANOS47 REDACCIÓN 09/11/2015 Hoy se dieron a conocer los resultados de la Encuesta Nacional de Lectura y Escritura 2015 y los resultados que arrojó es que los mexicanos leemos 5.3 libros al año. La metodología que se siguió fue con base en 5 mil 845 cuestionarios contestados de la población urbana y rural a partir de los 12 años, en territorio nacional dividido en seis regiones. Los datos incluyen por primera vez el aspecto de la escritura a nivel nacional y estuvo supervisada por especialistas internacionales e instituciones como el Centro de Investigaciones Académicas y Sociales del Instituto Politécnico Nacional (IPN), el Centro Regional para el Fomento del Libro en América Latina (CERLALC) y el INEGI. 47 El Financiero, “5 gráficas sobre cuánto y qué leemos los mexicanos”, http://www.elfinanciero.com.mx/after-office/graficassobre-cuanto-y-que-leemos-los-mexicanos.html (Fecha de consulta: 11 de marzo de 2018). ANALICEMOS EL DATO ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE DATOS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 221 221 12/06/19 14:47 ¿Dónde compramos libros? Te presentamos cinco gráficas sobre cuánto y qué leemos los mexicanos. Los mexicanos leemos una media de cinco libros al año. Sólo un 21 por ciento menciona que es algo en lo que gasta parte de su tiempo libre. Poco más de una de cada 10 69.8 18.6 Librerías ¿Qué leemos? 17 16.9 9.8 Mercados/ Puesto Ferias del Tiendas de libro autoservicio o ambulantes tianguis departamentales Porcentaje de encuestados 57.3 55 44.9 38 25.2 16.6 Libros Periódicos Redes Revistas sociales Sitios web Las principales razones por las que se leen libros en México son por entretenimiento, estudio y trabajo. En la capital del país se lee un 57 por ciento más que la media del resto de México. Mientras el 40 por ciento de las personas que han llegado a la universidad afirma leer de manera habitual, Historietas o cómics 13.4 Blogs personas descarga libros digitales. Y se trata, sobre todo, de jóvenes de entre 18 y 30 años de entornos urbanos. Las redes sociales como Facebook o Twitter ocupan la tercera posición en cuanto a herramienta de lectura. ¿Por qué se leen libros? Porcentaje de encuestados 44.3 30.5 11.8 Para Por entretenimiento estudiar 11.2 Para Para informarme trabajar 10.9 Porque les leo a mis hijos 222 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 222 12/06/19 14:47 entre las personas de niveles educativos más bajos, el porcentaje se reduce al 14 por ciento. ¿Por qué no se lee? Porcentaje de encuestados 79.9 21.3 14.6 Por falta de tiempo Porque nos da flojera Porque no nos gusta 12.3 11.5 Preferimos otras actividades Por cansancio La situación mexicana no es mala si se compara con la de algunos países de América Latina, de acuerdo con un estudio realizado en 2012 por el Centro Regional para el Fomento del Libro en América Latina y el Caribe (CERLALC), dependiente de las Naciones Unidas. Pero sí es mala si se compara con España o Portugal donde, según la misma institución se leían una media de 10 y 8.5 libros al año. Y no se diga ya con Finlandia. En relación con otros paises, ¿cuántos libros lleemos al año? 47 10.3 FinlandiaE spaña 8.5 Portugal 5.4 5.3 4.6 4 Chile México Argentina Brasil ANALICEMOS EL DATO ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE DATOS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 223 223 12/06/19 14:47 Después de la lectura del texto y la nota periodística reflexiona con tu tutor sobre lo siguiente: • • • • ¿Qué fue lo que se preguntó? ¿Cuántas personas fueron encuestadas? ¿Qué método se utilizó para recabar la información? ¿Cómo se presentó la información?¿En los resultados presentados se hizo uso de la estadística descriptiva o inferencial? Argumenta tus respuestas. Con apoyo en las preguntas anteriores diseña tu plan del estudio estadístico escribiendo con claridad qué quieres saber, a quién entrevistarás, qué les preguntarás, cómo le harás para conseguir fácilmente esa información, cómo le harás para resumir la información que recuperes, cómo organizarás los datos y cómo darás a conocer la información que reuniste. No olvides presentar a tu tutor el plan de tu estudio estadístico para que juntos lo mejoren y puedas realizarlo sin complicaciones. Ilustración: © Shutterstock.com REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Una vez que ya has conseguido y organizado y tus resultados, es momento de que, con base en tus conclusiones, reflexiones y respondas a las siguientes preguntas para dar a conocer tus decisiones a tus compañeros: • • ¿Qué temas son los que más les gustan a los compañeros? ¿Cuáles son los temas que menos les gustan a los compañeros? 224 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 224 12/06/19 14:47 • • ¿Qué características tienen los libros que les gustan a los compañeros? ¿Qué características tienen los libros que no les gustan a los compañeros? Prepara esta información para compartir con tus compañeros, cuando hayas reorganizado el rincón de lectura apóyate en una gráfica para dar a conocer qué aprendiste sobre los gustos de lectura de tus compañeros y por qué decidiste organizar así el rincón de lectura. Ahora elabora una propuesta de reorganización del rincón de lectura que contenga material que despierte el interés de tus compañeros por leer. Para ello considera las siguientes recomendaciones: • • • • • Coloca etiquetas decoradas y claras para cada uno de los grupos de libros que hagas. Pon hasta atrás los libros que más les gustan a los compañeros. Coloca al frente los libros que menos les gustan a los compañeros. Agrega notas con personajes a los libros que menos se leen para llamar la atención, para que así sepan de qué se tratan esos libros. Coloca en un lugar alto y decorado el libro que más les gusta a todos y pide a tus compañeros que escriban notitas decoradas sobre por qué les gusta ese libro, y pégaselas a manera de medallas en el lugar donde lo pusiste. COMPARTE LO APRENDIDO, MEJORA Y COMPLETA TU REGISTRO Prepara la información que deseas compartir con tus compañeros y posteriormente registra cómo te fue. Para esto es necesario que recurras a tu RPA e identifiques con el apoyo de tu tutor los aprendizajes que lograste y quizás resaltes las estrategias que te llevaron a construir comprensiones para la solución del desafío. Si es el caso, recupera las dificultades que no te permitían avanzar durante el desarrollo del desafío. Una vez identificada esta información es importante que plantees los apoyos que recibiste de tu tutor y organices la información para presentarla al grupo. ANALICEMOS EL DATO ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE DATOS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 225 225 12/06/19 14:47 PARA SEGUIR APRENDIENDO Fuentes consultadas Chapman, James V. 10 Most Read Books in The World. 20 de marzo de 2015. http: // hubpages.com/literature/mostreadbooks (Fecha de consulta: 23 de febrero de 2018). Conafe. UAI. Bloque 4. Primer grado. México: Conafe. El financiero. “5 gráficas sobre cuánto y qué leemos los mexicanos”. http://www. elfinanciero.com.mx/after-office/graficas-sobre-cuanto-y-que-leemos-los-mexicanos. html (Fecha de consulta: 11 de marzo de 2018). Menderhall, William, Robert J. Beaver y Barbara M. Beaver. Introducción a la probabilidad y la estadística. México: Cengage Learning, 2010. Portal Educativo. Media, moda, mediana, rango, https://www.portaleducativo.net/octavobasico/790/Media-moda-mediana-rango (Fecha de consulta: 12 de marzo de 2018). Fuentes sugeridas IEEPO. Educando Tv. Primaria 3º y 4º clase: 183. Tema: La moda en los problemas. https:// www.youtube.com/watch?v=fQPrcsJo81g _____ Primaria 5° y 6° clase 42. Tema: Cálculo del tanto por ciento de cantidades (primera sesión). https://www.youtube.com/watch?v=9LXGW0iGNqk _____ Primaria 5° y 6° clase 44. Tema: Cálculo del tanto por ciento de cantidades (segunda sesión). https://www.youtube.com/watch?v=X6VJeVKYLCE _____ Primaria 3º y 4º clase: 47. Tema: Pictogramas. https://www.youtube.com/ watch?v=08L1juv7y64 _____ Primaria 5º y 6º clase: 82. Tema: Lectura de datos contenidos en tablas y gráficas circulares. https://www.youtube.com/watch?v=-AT6AfMX_ms _____ Primaria 5º y 6º clase: 88. Tema: La media, mediana y moda. https://www.youtube. com/watch?v=nOLqD9C0LCo _____ Primaria 5º y 6º clase: 90. Tema: La media aritmética, mediana y moda (Segunda sesión). https://www.youtube.com/watch?v=aSCA7lOkJoA _____ Primaria 5º y 6º clase: 92. Tema: Métodos de tendencia central en situaciones de la vida cotidiana. https://www.youtube.com/watch?v=IhvwuEKnuKY _____ Primaria 5° y 6° clase 153. Tema: Interpretación de resultados. https://www.youtube. com/watch?v=5Z4L0i0CyiE _____ Primaria 5º y 6º clase: 182. Tema: Tablas de frecuencia y gráficas de barras. https:// www.youtube.com/watch?v=wrZs9hHszPg _____ Secundaria clase: 136. Tema: Desviación media. https://www.youtube.com/ watch?v=uXB1gMMS2y0 226 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 226 12/06/19 14:47 Ilustración: © Shutterstock.com ÁGUILA O SOL NOCIONES DE PROBABILIDAD UAA_PM_REV_CONAFE.indd 227 12/06/19 14:47 INTRODUCCIÓN Existen registros muy antiguos de la civilización egipcia de anotaciones que se hacían para registrar resultados de eventos probables. El concepto de probabilidad ha evolucionado en el transcurso del tiempo. A los algebristas del siglo XVI, Pacioli, Cardano, Tartaglia, se deben las primeras consideraciones matemáticas profundas a propósito de los juegos de azar. Los matemáticos Pierre de Fermat y Blaise Pascal dieron en 1654 la primera definición de probabilidad. Demostraron que la probabilidad de conseguir un acontecimiento es igual al cociente entre el número de casos favorables y el de casos posibles. Después de una extensa correspondencia, desarrollaron los principios de la teoría de la probabilidad; posteriormente un matemático llamado Andrei Kolmogorov, estableció las bases de la teoría de la probabilidad. En esta unidad estudiarás la probabilidad en fenómenos o experimentos que se llaman aleatorios, como un juego de dados o al lanzar una moneda al aire, que usualmente los usamos para jugar o tomar decisiones. Así que prepárate para realizar varios experimentos, hacer registros en tablas de frecuencias, determinar la probabilidad de un evento en un experimento aleatorio y calcular la probabilidad de la ocurrencia, y sorprenderte de los resultados. ¿Acaso es el azar o será probabilidad? PROPÓSITO GENERAL Utilizar la probabilidad en la solución de problemas relacionados con situaciones de la vida cotidiana. PROPÓSITOS ESPECÍFICOS • • Predeciremos lo que puede ocurrir en experimentos y fenómenos aleatorios sencillos. Explicaremos qué puede suceder en juegos y experimentos sencillos en los que interviene o no el azar, con apoyo de registros en tablas y gráficas. 228 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 228 12/06/19 14:47 • Estableceremos la relación entre probabilidad frecuencial y probabilidad teórica, así como la probabilidad de eventos equiprobables y no equiprobables, para realizar argumentos, predicciones, opiniones y resolver problemas. MAPA DE CONTENIDOS PROBABILIDAD Probabilidad clásica Probabilidad frecuencial Eventos simples Datos y gráficas Azar Fenómeno aleatorio Tablas de frecuencias Equiprobable y no equiprobable Espacio muestral ÁGUILA O SOL NOCIONES DE PROBABILIDAD UAA_PM_REV_CONAFE.indd 229 229 12/06/19 14:47 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 230 6 7 8 9 10 11 Buscas información para graficar resultados de eventos de aleatorios. Explicas cómo resolver problemas que impliquen comparar cualitativamente la probabilidad de eventos simples. Recuperas información para resolver problemas que impliquen aplicar conocimientos de probabilidad para comprender, interpretar y analizar información. Realizas explicaciones de cómo resolver problemas que impliquen calcular la probabilidad de eventos equiprobables y no equiprobables. BÁSICO INTERMEDIO Ilustración: Ivanova Martínez Murillo 5 Construyes el espacio muestral y tablas de frecuencia de eventos aleatorios sencillos en la resolución de problemas. Formulas hipótesis en situaciones divertidas que te proponen adivinar. 4 Realizas experimentos aleatorios para predecir el comportamiento a partir de analizar resultados. 3 Identificas fenómenos aleatorios para interpretar información estadística familiar y resolver problemas. 2 Predices eventos en diferentes tipos de juegos sensoriomotores. INICIAL Registras datos cualitativos en tablas y gráficas de frecuencia para resolver problemas. 1 Completas relatos a partir de la pregunta: ¿Y qué crees que pase después? Ilustración: Ivanova Martínez Murillo TRAYECTO DE APRENDIZAJE AVANZADO ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES ¿Alguna vez te has encontrado en alguna situación en la que no sabes qué hacer? ¿Has tenido ganas de hacer dos cosas al mismo tiempo, pero no te decides por cuál realizar primero? En la vida cotidiana suceden eventos en los cuales tomamos decisiones, resolver problemas o incluso para jugar, 230 12/06/19 14:47 que sin pensarlo van desarrollando nuestras habilidades para enfrentar nuevos desafíos. El siguiente desafío es un experimento aleatorio. Realiza y analiza con cuidado cada evento. Si metemos 8 pelotas rojas, 5 amarillas y 7 verdes en una bolsa no transparente, luego metemos la mano y sin ver sacamos pelotas en dos ocasiones seguidas sin regresar la primera ¿Cuál es la probabilidad de que la primera pelota que saquemos sea amarilla y la segunda sea verde? Para poyarte en la realización del experimento puedes seguir las siguientes indicaciones: 1. Consigue pelotas, si no consigues pelotas haz bolas con papel, o consigue tapas de envases de plástico o cualquier otro objeto, pero la idea es que sean del mismo tamaño y forma; píntalas de tal manera que queden como sigue: 8 rojas, 5 amarillas y 7 verdes. 2. Dibuja en tu cuaderno una tabla, para que anotes tus resultados. 3. Antes de sacar las pelotas menciona el color de la pelota que crees va a salir, y anótalo en la tabla en el número del experimento que realizas. 4. ¡Preparado! Sin ver en el interior de la bolsa mete la mano y saca una pelota. 5. Vuelve a meter la pelota en la bolsa. 6. Realiza varias veces el ejercicio. Preguntas Número de experimento 1 2 3 4 5 6 7 8 ¿Cuál color crees que salga? ¿Qué color salió? ÁGUILA O SOL NOCIONES DE PROBABILIDAD UAA_PM_REV_CONAFE.indd 231 231 12/06/19 14:47 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Utiliza una gráfica como la anterior para registrar los colores de las pelotas que salieron y responde en tu cuaderno las siguientes preguntas: • • • • • • • ¿Qué color salió más? ¿Qué color salió menos? ¿Qué te hizo pensar que saldría primero un color en particular? ¿Qué relación habrá entre el número de pelotas con el resultado? En tu vida cotidiana, ¿te has encontrado en una situación en la que la probabilidad haya jugado un papel importante para tomar una decisión? ¿Has participado en algún juego que implique el azar o la probabilidad? Por ejemplo, en una feria, con tus familiares o amigos. ¿Cómo calculas la probabilidad cada vez que sacas una pelota? Continuemos jugando, ¡predice el resultado! Ilustraciones: © Shutterstock.com Observa cada imagen y piensa lo que ocurrirá en cada uno de los experimentos y responde las preguntas de la tabla. Si metes la mano a cada una de las bolsas y sacas una pelota: Preguntas ¿De qué color crees que salga primero? ¿Qué te hace pensar que saldrá primero de ese color? Bolsa 1 Bolsa 2 Bolsa 3 232 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 232 12/06/19 14:47 Utilicemos nuevamente todas las pelotas 8 rojas, 5 amarillas y 7 verdes, si las colocamos en una sola urna, se podrá calcular la probabilidad de los siguientes eventos utilizando alguna operación matemática: • • • • • Que sea roja. Que sea verde. Que sea amarilla o verde. Que no sea roja. Que no sea amarilla. Si las pelotas que sacas no las devuelves a la urna, los resultados serían los mismos, explica por qué. Con base en los ejercicios anteriores, ¿qué puedes decir de lo siguiente? “En todo experimento aleatorio el resultado es imprevisto”. Registra tus reflexiones en tu cuaderno y dialoga con tu tutor las respuestas a las preguntas del desafío. ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Los seres humanos frecuentemente nos anticipamos a algunos sucesos, esto es porque vamos aprendiendo a medir la frecuencia con la que un fenómeno se presenta y entonces tenemos la posibilidad de predecir si lo que ocurrió, pasará nuevamente. Es decir, las condiciones en las que el suceso se presentó brindan información para fundamentar nuestra predicción. ¡Te invito a leer el siguiente texto! y para aprovechar su contenido te recomiendo que avances poco a poco, analizando los ejemplos y acordándote de otros experimentos que conozcas donde has aplicado la probabilidad. ÁGUILA O SOL NOCIONES DE PROBABILIDAD UAA_PM_REV_CONAFE.indd 233 233 12/06/19 14:47 PROBABILIDAD48 Esta teoría matemática tuvo como uno de sus primeros puntos de partida el intentar resolver un problema particular concerniente a una apuesta de juego de dados entre dos personas. El problema al que nos referimos involucraba una gran cantidad de dinero y puede plantearse de la siguiente forma: Dos jugadores escogen cada uno de ellos un número del 1 al 6, distinto uno del otro, y apuestan 32 doblones de oro a que el número escogido por uno de ellos aparece en tres ocasiones antes que el número del contrario al lanzar sucesivamente un dado. Suponga que el número de uno de los jugadores ha aparecido dos veces y el número del otro una sola vez. ¿Cómo debe dividirse el total de la apuesta si el juego se suspende? Actualmente la teoría de la probabilidad se ha desarrollado y extendido enormemente gracias a muchos pensadores que han contribuido a su crecimiento, y es sin duda una parte muy importante y bien establecida de las matemáticas. La teoría de la probabilidad ha resultado muy útil para modelar fenómenos de muy diversas disciplinas del conocimiento humano en donde es necesario incorporar la incertidumbre o el azar como un elemento del modelo. Experimentos aleatorios Existen dos tipos de fenómenos o experimentos en la naturaleza: los deterministas y los aleatorios. Un experimento determinista es aquel que produce el mismo resultado cuando se le repite bajo las mismas condiciones, por ejemplo, medir el volumen de un gas cuando la presión y la temperatura son constantes produce teóricamente siempre el mismo resultado, o medir el ángulo de un rayo de luz reflejado en un espejo resulta siempre en el mismo resultado cuando el ángulo de incidencia es el mismo y el resto de las condiciones son constantes. Muchas otras leyes de la física son ejemplos de situaciones en donde bajo idénticas condiciones iniciales, el resultado del experimento es siempre el mismo. En contraparte, un experimento aleatorio es aquel que cuando se le repite bajo las mismas condiciones, el resultado que se observa no siempre es el mismo y tampoco es predecible. El lanzar 48 Rincón, Luís. Curso intermedio de probabilidad. (México: Facultad de Ciencias UNAM, 2006) 5-12. 234 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 234 12/06/19 14:47 una moneda al aire y observar la cara de la moneda que mira hacia arriba, o registrar el número ganador en un juego de lotería, son ejemplos cotidianos de experimentos aleatorios. 1.2. Espacio muestral La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que se encarga del estudio de los fenómenos o experimentos aleatorios. En principio no sabemos cuál será el resultado de un experimento aleatorio, así que por lo menos conviene agrupar en un conjunto a todos los resultados posibles. Esto lleva a la siguiente definición: el espacio muestral o espacio muestra de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento, y se le denota generalmente por la letra griega Ω (omega […]). En algunos textos se usa también la letra S para denotar al espacio muestral. Esta letra proviene del término sampling space de la lengua inglesa, equivalente a espacio muestral. Por otro lado y de manera preliminar llamaremos evento o suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral y denotaremos a los eventos por las primeras letras del alfabeto en mayúsculas: A, B, C, […]. Ejemplo: […] Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior, entonces claramente el espacio muestral es el conjunto Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Como ejemplo de un evento para este experimento podemos definir el conjunto A = {2, 4, 6}, que corresponde al suceso de obtener como resultado un número par. Si al lanzar un dado una vez obtenemos el número “4”, decimos entonces que se observó la ocurrencia del evento A = {2, 4, 6}, y si se obtiene por ejemplo el resultado “1” decimos que no se observó la ocurrencia del evento A. Probabilidad clásica La probabilidad de un evento A es un número real en el intervalo [0, 1] que denotaremos por P(A), y representa una medida de la frecuencia con la que se observa la ocurrencia del evento A cuando se efectúa el experimento aleatorio en cuestión. Existen definiciones más específicas de la probabilidad […] un renglón. ÁGUILA O SOL NOCIONES DE PROBABILIDAD UAA_PM_REV_CONAFE.indd 235 235 12/06/19 14:47 Definición […] Sea A un subconjunto de un espacio muestral de cardinalidad finita. Se define la probabilidad clásica del evento A como el cociente: P(A)= (#A) , (#Ω) en donde el símbolo #A denota la cardinalidad o número de elementos del conjunto A. Claramente esta definición es sólo válida para espacios muestrales finitos, pues forzosamente necesitamos suponer que el número de elementos es finito. Además, el espacio debe ser equiprobable, pues para calcular la probabilidad de un evento A, únicamente necesitamos contar cuántos elementos tiene A respecto del total, sin importar exactamente qué elementos particulares sean. Por lo tanto, esta definición de probabilidad presupone que todos los elementos son igualmente probables o tienen el mismo peso. Este es el caso por ejemplo de un dado equilibrado. Para este experimento el espacio muestral es el conjunto Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y si deseamos calcular la probabilidad (clásica) del evento A correspondiente a obtener un número par, es decir A = {2, 4, 6}, entonces: P(A)= (#{2,4,6}) 3 1 = = (#{1,2,3,4,5,6}) 6 2 Probabilidad frecuentista Suponga que se realizan n veces un cierto experimento aleatorio y se registra el número de veces que ocurre un determinado evento sea A. Esta información puede ser usada de la siguiente forma para definir la probabilidad de A. Definición. Sea n_A el número de ocurrencias de un evento A en n realizaciones de un experimento aleatorio. La probabilidad frecuentista del evento A se define como el límite. P(A)=lím n(A) . n n→∞ En este caso, debemos hacer notar que no es humanamente posible llevar a cabo una infinidad de veces el experimento aleatorio, de modo que en la 236 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 236 12/06/19 14:47 práctica no es posible encontrar mediante este mecanismo y de manera exacta la probabilidad de un evento cualquiera, aunque permite tener una aproximación del valor de P(A). Esta limitación hace que esta definición de probabilidad no sea enteramente formal, pero tiene algunas ventajas. Veamos un ejemplo concreto. Consideremos nuevamente el experimento aleatorio de lanzar un dado equilibrado y registrar la ocurrencia del evento A definido como el conjunto {2, 4, 6}. Después de lanzar el dado 20 veces se obtuvieron los siguientes resultados: Núm. Resultado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 6 2 1 4 6 3 4 2 5 nA n 0/1 1/2 2/3 2/4 3/5 4/6 4/7 5/8 6/9 6/10 Núm. Resultado 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 5 1 6 3 1 5 5 2 6 nA n 7/11 7/12 7/13 8/14 8/15 8/16 8/17 8/18 9/19 10/20 n A n 1 2 24 68 10 12 14 16 18 20 n En la gráfica se muestra el singular comportamiento de este cociente a lo largo del tiempo, al principio se pueden presentar algunas oscilaciones, pero eventualmente el cociente parece estabilizarse en un cierto valor. Realizando un mayor número de observaciones del experimento, no es difícil creer que el cociente nn se estabiliza en 1/2 cuando el dado está equilibrado y el número de ensayos n es grande. A ÁGUILA O SOL NOCIONES DE PROBABILIDAD UAA_PM_REV_CONAFE.indd 237 237 12/06/19 14:47 nA En esta tabla, tenemos en la columna n es el número de veces que sale 2, 4 o 6 en los 20 lanzamientos que realizamos. En el primer lanzamiento sale 3, por eso el resultado en esta columna es 0/1 ya que no salió ninguno de los números del conjunto A. En el segundo lanzamiento sale 6, así nuestro resultado será 1/2, esto quiere decir que salió alguno de los números del conjunto A de 2 lanzamientos que hemos realizado. Y así continuamos haciendo los lanzamientos y registrando los resultados. nA n sólo registra el número de veces que han salido 2, 4 o 6, por eso en los lanzamientos 6 y 7 tenemos el mismo resultado y sólo cambia el número de lanzamiento. En el lanzamiento 18 tenemos que han salido 8 veces alguno de los números del conjunto A, es decir el resultado es 8/18. Así lo haremos hasta completar los 20 lanzamientos. REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Registra los aportes a tu aprendizaje a partir de la lectura y análisis del texto. • • • • • • ¿Cómo y cuándo puedes decir que usas la probabilidad? ¿Qué entiendes por probabilidad? ¿Por qué se le llama experimento aleatorio? Pon un ejemplo. ¿Cómo podríamos identificar el espacio muestral? ¿Cómo identificas el tipo de probabilidad que hay en un juego: probabilidad clásica o frecuencial? ¿Qué será la probabilidad frecuentista? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES Cuando en un juego de azar las condiciones en las que se desarrolla son equilibradas, podemos obtener datos que nos ayudan a argumentar la 238 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 238 12/06/19 14:47 probabilidad de que un suceso se presente de la misma manera en un experimento o cambie dependiendo de las condiciones. Algunos ejemplos de ello los podemos encontrar en una feria, como el juego de canicas, reventar globos, la baraja, la ruleta o el tiro al blanco. En el siguiente desafío tienes la oportunidad de predecir resultados, pon atención en identificar si la ocurrencia de eventos distintos es la misma o no, es decir, si son equiprobables o no equiprobables. Es necesario que identifiques el experimento que se propone y las preguntas que se hacen, y analices e investigues qué elementos de la probabilidad te ayudan a describir los posibles resultados de un experimento y la ocurrencia de un evento. Los estudiantes del centro educativo lanzaron una moneda y un dado al aire y cada uno anotó lo que consideraba sería el resultado, ¿Cuáles son los posibles resultados de este experimento? ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea águila y un número par? Para apoyarte en la organización de tus experimentos y registros te puede ayudar el siguiente texto, pues presenta un análisis de la probabilidad en un suceso. UNIFORM DISTRIBUTION49 In the above coin tossing and the dice rolling experiments, we have assigned an equal probability to each outcome. That is, in each example, we have chosen the uniform distribution function. These are the natural choices provided the coin is a fair one and the dice are not loaded. However, the decision as to which distribution function to select to describe an experiment is not a part of the basic mathematical theory of probability. The latter begins only when the sample space and the distribution function have already been defined.44 49 M. Grinstead, Charles, Laurie, Snell J., Introduction to Probability. (United States: American Mathematical Society, 1998), 27. ÁGUILA O SOL NOCIONES DE PROBABILIDAD UAA_PM_REV_CONAFE.indd 239 239 12/06/19 14:47 It is important to consider ways in which probability distributions are determined in practice. One way is by symmetry. For the case of the toss of a coin, we do not see any physical difference between the two sides of a coin that should affect the chance of one side or the other turning up. Similarly, with an ordinary die there is no essential difference between any two sides of the die, and so by symmetry we assign the same probability for any possible outcome. In general, considerations of symmetry often suggest the uniform distribution function. Care must be used here. We should not always assume that, just because we do not know any reason to suggest that one outcome is more likely than another, it is appropriate to assign equal probabilities. For example, consider the experiment of guessing the sex of a newborn child. It has been observed that the proportion of newborn children who are boys is about .513. Thus, it is more appropriate to assign a distribution function which assigns probability .513 to the outcome boy and probability .487 to the outcome girl than to assign probability 1/2 to each outcome. This is an example where we use statistical observations to determine probabilities. Note that these probabilities may change with new studies and may vary from country to country. Genetic engineering might even allow an individual to influence this probability for a particular case.50 Suppose we have the experiment of the toss of a coin. ¿What can you say about result? 1 Face 2 Eagle X X X Face X X X X X X X X X X X X 50 Eagle X X X X X Charles Grinstead M. y J. Laurie Snell. Introduction to probability, 27 240 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 240 12/06/19 14:47 REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Registra los datos, tablas y aprendizaje en tu RPA y contesta las siguientes preguntas: • • • ¿Qué número de casos hay con águila? ¿Qué número de casos hay con sol? ¿Qué pasaría si usamos dos monedas al mismo tiempo? ACEPTA EL DESAFÍO Y CONSTRUYE COMPRENSIONES En este desafío partamos de un experimento aleatorio de un número finito de resultados, es decir, ocuparás la definición de la probabilidad clásica que se encuentra en tus lecturas pasadas. En el auditorio de una escuela secundaria se encuentran reunidos los tres grupos de tercer grado para recibir información del curso del idioma inglés. Del grupo A se encuentran 17, de ellos 10 hablan el idioma y 7 no; del grupo B están 13, de éstos sólo 9 lo hablan y 4 no y, finalmente, hay 10 estudiantes del grupo C, de ellos 3 lo hablan y 7 no. ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir un estudiante, éste no hable el idioma? REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO PARA QUE OTROS LO VEAN Registra los datos, tablas y aprendizaje en tu RPA y contesta las siguientes preguntas: • • • ¿Qué número hay de casos favorables? ¿Qué número hay de casos totales? ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir otro estudiante, éste hable el idioma y sea del grupo A? ÁGUILA O SOL NOCIONES DE PROBABILIDAD UAA_PM_REV_CONAFE.indd 241 241 12/06/19 14:47 COMPARTE LO APRENDIDO, MEJORA Y COMPLETA TU REGISTRO Prepara la información que deseas compartir con tus compañeros y posteriormente registra cómo te fue. Para esto es necesario que recurras a tu RPA e identifiques con el apoyo de tu tutor los aprendizajes que lograste y quizás resaltes las estrategias que te llevaron a construir comprensiones para la solución del desafío. Si es el caso recupera las dificultades que no te permitían avanzar durante el desarrollo del desafío. Una vez identificada esta información es importante que plantees los apoyos que recibiste de tu tutor y organiza la información para presentarla al grupo. PARA SEGUIR APRENDIENDO Fuentes consultadas Grinstead., Charles M. y J. Laurie Snell. Introduction to Probability. Second Revised Edition. American Mathematical Society. 1998 27. Rincón, Luis. Curso intermedio de probabilidad. México: Departamento de Matemáticas. Facultad de Ciencias de la UNAM, 2006. 5-12. Fuentes sugeridas IEEPO. Educando Tv. Secundaria clase: 33. Tema: La probabilidad. https://www.youtube. com/watch?v=KeqEavcd0ds _____ Primaria 5º y 6º clase: 184. Tema: Cálculo de la probabilidad. https://www.youtube. com/watch?v=idxmxTiClFI _____ Secundaria clase 59. Tema: Eventos mutuamente excluyentes y eventos complementarios. https://www.youtube.com/watch?v=uwQu_GXreuM _____ Secundaria clase: 84. Tema: Probabilidad de dos eventos independientes. https:// www.youtube.com/watch?v=qa0xzk3luRI _____ Secundaria clase: 172. Tema: Juegos de azar, registro de resultados y análisis de resultados posibles. https://www.youtube.com/watch?v=1qgZynsi3g0 _____ Secundaria clase: 168. Tema: Probabilidad y diagramas de árbol. https://www. youtube.com/watch?v=BJv0MjMOFGU _____ Secundaria clase: 183. Tema: Tablas de frecuencia absoluta y relativa. https://www. youtube.com/watch?v=-Y_TSMqTaGE _____ Secundaria clase: 178. Tema: Experiencia aleatoria y tablas de frecuencia: Problemas de conteo. https://www.youtube.com/watch?v=Nmh8dQbZOp8 242 UAA_PM_REV_CONAFE.indd 242 12/06/19 14:47 NOTAS UAA_PM_REV_CONAFE.indd 243 12/06/19 14:47 Esta obra se terminó de imprimir en 2019, con un tiraje de 5,190 ejemplares UAA_PM_REV_CONAFE.indd 244 12/06/19 14:47