ercole2

Problema
Probar que
EI
FJ
=
p
5+1
2
CT = CB
Demostrar que el perímetro de los tríangulos ET C y AT B son iguales
Solución
Por comodidad personal voy a cambiar los puntos.Para ello adjunto mi grá…co
Si denominamos AB = BC = CD = DA = a: Entonces AE = a2 y por Pitágoras EB =
p
a 5
2
Los triángulos 4EAB, 4AT E y rectángulos en A y en T respectivamente son semejantes ya que comparten un ángulo
[
\ La constante de proporcionalidad que nos permite pasar del primero al segundo es p1 .Por elloAE = a ; AT =
AET = AEB
2
5
p
a 5
5 ; ET
=
p
a 5
10
. El semiperimetro p y la super…cie del 4AT E son
p
p !
a a 5 a 5
+
+
=
2
5
10
p
=
1
2
S4AT E
=
1
a2
SAEB =
5
20
El radio delcirculo inscrito a 4EAB es
r1 =
S4ABE
p
=
a2
p 20
3 5+5
10
a
2
!
p
3 5+5 a
10
2
p
3 5 5
20
=
a
Vamos ahora a calcular EI siendo I el incírculo del 4AT E rectángulo en T
El triángulo
4EIK es rectángulo en K siendo K el punto3de contacto de (I) con ET .
2
p
p
p
5+5 a
5a
EK = p AT = 3 10
= 5 20 5 a
2
5
5 por Pitágoras
p
Como 4
5 5
IK = r1 = 3 20
a
EI =
p
v
u
u 5
2
2
ET + IT = at
p !2
5
+
20
Pasemos ahora al 4ET C donde sabemos que EC = EB =
1 cos
=
AE
EB
=
a
2
p
a 5
2
=
1
5
p
p
a 5
2
5
1
s
!2
p
3 5 5
1 5
=
20
2
que ET =
p
a 5
10
p
2 5
5
y T[
EC = 180o 2 siendo
(1)
[ = AEB
\1 .
= AET
Por el teorema del coseno calculamos T C
p
T C = EC 2 + ET 2
2EC ET cos(180
2 )=
p
EC 2 + ET 2 + 2EC ET cos 2
Como cos 2 = (2 cos2
1) entonces por la nota (1)
s
p p
5a2
a2
a 5a 5 2
TC =
+
+2
(
1) = a
4
20
2 10 5
Del 4ET C ya conocemos sus tres lados EC =
S4ET C son
t
=
S4ET C
=
p
a 5
2 ,
ET =
p
a 5
10
y T C = a; por lo que su semiperímetro, t , y su super…cie
!
!
p
p
p
a 5 a 5
3 5+5
+
+a =
a
2
10
10
r
p
p
p
a2
3 5+5 3 5 5 5 2 5
100
1
2
El radio, r2 del íncirculo del 4ET C será pues r2 =
S4ET C
t
a2
p 10
3 5+5
10
=
a
=
(3
(a)
p
a2
5+2 5 =
10
p
5 5)
a
20
Los radios r1 y r2 de los incírculos de4ET A y 4ET C son iguales
Vamos ahora a calcular el segmento JF donde J es el íncentro de 4ET C y F la proyección ortogonaLde J sobre el lado T C:
3
2
p
(3 5 5)
a
JF = r2 =
20 p
p
5 Por Pitágoras
p
Sabemos que 4
a(5 2 5)
5+5
T F = t EC = 3 10
a a2 5 =
10
JT =
p
JF 2
+
TF2
s
=a
p
3 5 5
202
2
+
5
p
2 5
102
2
1
=
2
s
25
p
11 5
10
Calculemos ahora la proporción entre EI y JT . Por las relaciones (1) y (2)
q
p
p
p
5 2 5
1p
1
EI
10 4 5
5
5 + = ' (número áureo)
=q
p =
p = p
JT
2
2
25 11 5
25 11 5
10
Vamos ahora a comprobar ademas que el perímetro de los tríangulos ET C y AT B son iguales
El perímetro del 4ET C = 2t = 2
2
p
AT = a 5 5
6
AB p
=a
Como 4
T B = EB ET = 25 a
p
3 5+5
5
p
a 5
10
=
a
p
2
5
3
5a
7
5 entonces el perímetro, u; del 4AT B es
p
a 5
2p
u = AT + AB + T B =
+a+
5a =
5
5
2 Por
(a)
2
!
p
3 5+5
a
5
(2)