Cálculo del error tipo II

Cálculo del error tipo II
1. Se desea comprobar que la media de todas las cuentas por cobrar de una
empresa es cuando menos $260 000, y esta prueba se llevará a cabo con un
nivel de significancia del 5%. Además, el auditor señala que consideraría que
una media real de $240 000 (o menos) constituye una diferencia material
importante con respecto al valor hipotético de la media. La desviación
estándar es de $43,000 y el tamaño de la muestra es de 36 cuentas.
Determine la probabilidad de error tipo II.
Datos:
𝜇𝑜 = 260,000
𝜎 = 43,000 𝑛 = 36 𝛼 = 0.05 𝜇𝑎 = 240,000
1. Ho 𝜇 ≥ 260000 Ha 𝜇 < 260000
2. Dado que tenemos una prueba unilateral utilizaremos el valor del nivel de
significancia completo, 𝛼 = 0.05 y −𝑍𝛼 = −1.645
3. Determinar los valores o valor de 𝑥̅ correspondientes a
despejando 𝑥̅ de la siguiente expresión.
𝑥
̅−260000
−𝑍𝛼 = −1.645
1.645 = 43000
⁄ 36
√
𝜎
𝑥̅ = 𝑍𝛼 ∗ ⁄ + 𝜇𝑜
√𝑛
𝑥̅ = 1.645 ∗ 43000⁄
+ 260000
√36
𝑥̅ = 248210.82
4.
Dibujar la distribución de la media verdadera (correspondiente
a Ha verdadera o H0 falsa), de acuerdo a lo indicado en el problema.
5.
Determinar los valores críticos 𝑍𝛽 correspondientes a los valores de
calculados en el paso 3 y el valor real de 240, 000
𝑍𝛽 =
,
248210.82 − 240000
= 1.15
43000⁄
√36
6. Usar la tabla de la distribución normal para calcular el valor de β.
Dado que el error tipo II está en la cola derecha tendremos que realizar la
siguiente corrección para encontrar la probabilidad de un error tipo II.
𝛽 = 1 − 𝑃(𝑍𝛽 )
𝛽 = 1 − 𝑃(1.15)
𝛽 = 1 − 0.87493
𝛽 = 0.1251
R/ El error tipo II es del 12.51%
2. Con referencia al ejemplo anterior, puede determinarse la potencia de
prueba con el valor alternativo específico de la media de $240 000, de
siguiente manera:
𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 1 − 𝛽
𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 1 − 0.1251
𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 0.87493
La potencia de la prueba es de 87.493%, esto corresponde a
probabilidad de rechazar una hipótesis nula que es falsa cuando
media es de $240,000.
la
la
la
la
3. Un auditor desea probar la hipótesis nula de que el valor promedio de todas
las cuentas por cobrar es de cuando menos $260 000. Considera que la
diferencia entre este valor hipotético y un valor específico alternativo de $240
000 (o menos) sería considerable. Los niveles aceptables de los errores tipo
I y tipo II son 0.05 y 0.10, respectivamente. Se sabe que la desviación
estándar de los montos de las cuentas por cobrar es de = $43 000.Calcule el
tamaño de la muestra que debe extraerse, como mínimo, para llevar a cabo
esta prueba.
Datos:
𝜇𝑜 = 260,000
𝛼 = 0.05 𝛽 = 0.10 𝜎 = 43000 𝜇𝑎 = 240,000
𝑍𝛼 = −1.645 𝑍𝛽 = 1.285
2
(𝑍𝛼 − 𝑍𝛽 ) 𝜎 2 (−1.645 − 1.285)2 430002
𝑛=
=
= 39.55 ≈ 40 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠
(𝜇𝑎 − 𝜇𝑜 )2
(240000 − 260000)2
R/El número de
aproximadamente.
cuentas
que
debe
muestrearse
es
de
40
4. Con los siguientes datos calcule la probabilidad de error tipo II si el límite
máximo verdadero es de 5.1 ppm?
Recuerde que
,
, n = 36,
Las hipótesis originales fueron
1. Ho 𝜇 ≤ 5.0 Ha 𝜇 > 5.0
2. Dado que tenemos una prueba unilateral utilizaremos el valor del nivel de
significancia completo, 𝛼 = 0.01 y 𝑍𝛼 = 2.325
3. Determinar los valores o valor de 𝑥̅ correspondientes a
despejando 𝑥̅ de la siguiente expresión.
𝑥
̅−5.0
𝑍𝛼 = 2.325
2.325 = 0.6
𝑥̅ = 𝑍𝛼 ∗ 𝜎⁄
√𝑛
⁄ 36
√
+ 𝜇𝑜
𝑥̅ = 2.325 ∗ 0.6⁄
+ 5.0
√36
4.
5.
𝑥̅ = 5.2326
Dibujar la distribución de la media verdadera (correspondiente
a Ha verdadera o H0 falsa), de acuerdo a lo indicado en el problema.
Determinar los valores críticos 𝑍𝛽 correspondientes a los valores de
calculados en el paso 3 y el valor real menor o igual a 5.1
𝑍𝛽 =
5.2326 − 5.1
= 1.326 ≈ 1.33
0.6⁄
√36
,
6. Usar la tabla de la distribución normal para calcular el valor de β.
Dado que el error tipo II está en la cola derecha tendremos que realizar la
siguiente corrección para encontrar la probabilidad de un error tipo II.
𝛽 = 0.90824
R/ El error tipo II es del 90.824%