FORMULAS MEC 3263 Número de golpes Presión de rodadura 𝑊𝑊 = 𝐾𝐾 = 𝑛𝑛 ∗ 𝐻𝐻 ∗ 60 106 [𝑀𝑀𝑀𝑀] 𝐷𝐷𝐷𝐷 2 1 ∗ �100� 3 32 𝑊𝑊 Presión superficial máxima � 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = �0,35 ∗ 𝐸𝐸1 ∗ 𝐾𝐾 Relación de transformación Momentos torsores Para Para 𝑁𝑁 = [𝐾𝐾𝐾𝐾] 𝑦𝑦 𝑖𝑖 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 � 𝑐𝑐𝑐𝑐2 [𝑘𝑘𝑘𝑘 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐] 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 71620 ∗ 𝑁𝑁 𝑛𝑛 [𝑘𝑘𝑘𝑘 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐] Serie de módulos DIN 780 en mm Serie 1 AUX. FRANZ ARMANDO APATA QUISPE 0,12 0,6 2 10 50 0,16 0,7 2,5 12 60 0,2 0,8 3 16 0,25 0,9 4 20 ENGRANAJES DE DENTADO RECTO Cálculo del modulo 3 𝑏𝑏 ∗ 𝑑𝑑 2 01 𝑚𝑚 = � 𝐴𝐴 ∗ 𝑧𝑧12 Relación ancho - diámetro 𝑁𝑁 𝑛𝑛 𝑛𝑛 = [𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟] 0,1 0,5 1,5 8 40 Donde: 𝐴𝐴 = 20 … … .30 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 97400 ∗ 𝑁𝑁 = [𝐶𝐶𝐶𝐶] 𝑦𝑦 0,06 0,4 1,25 6 32 𝑘𝑘𝑘𝑘 � 2� 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑧𝑧2 𝑛𝑛1 = 𝑧𝑧1 𝑛𝑛2 𝑛𝑛 = [𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟] 0,05 0,3 1 5 25 2 𝑏𝑏 ∗ 𝑑𝑑01 = ; 𝑧𝑧 ≥ 17 [𝑐𝑐𝑐𝑐] 2 ∗ 𝑀𝑀𝑀𝑀 ∗ (𝑖𝑖 + 1) 2 ∗ 𝐸𝐸2 ∗ 𝐾𝐾 ∗ 𝑖𝑖 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ∝ ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∝ (𝐸𝐸1 + 𝐸𝐸2 ) Verificación del sobre dimensionado 𝑆𝑆𝑆𝑆% = 2 ) 2 (𝑏𝑏 ∗ 𝑑𝑑01 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑏𝑏 ∗ 𝑑𝑑01 2 𝑏𝑏 ∗ 𝑑𝑑01 [𝑐𝑐𝑐𝑐3 ] ∗ 100 ≤ [10%] Dimensiones principales del par de engranajes Piñon Diámetro primitivo Diámetro de pie 𝑑𝑑01 = 𝑧𝑧1 ∗ 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑓𝑓1 = 𝑑𝑑01 − 2,4 ∗ 𝑚𝑚 AUX. FRANZ ARMANDO APATA QUISPE Diámetro de cabeza Rueda Diámetro primitivo Diámetro de pie Diámetro de cabeza También Ancho frontal paso Altura del diente Altura de cabeza Altura de pie Espesor del diente mecanizado Espesor del diente no mecanizado Distancia entre centros Fuerzas que actúan en los dientes 𝑑𝑑𝑘𝑘1 = 𝑑𝑑01 + 2 ∗ 𝑚𝑚 𝑑𝑑02 = 𝑧𝑧2 ∗ 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑓𝑓2 = 𝑑𝑑02 − 2,4 ∗ 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑘𝑘2 = 𝑑𝑑02 + 2 ∗ 𝑚𝑚 𝑏𝑏 = 𝐴𝐴 ∗ 𝑚𝑚 𝑡𝑡 = 𝜋𝜋 ∗ 𝑚𝑚 ℎ = 2,2 ∗ 𝑚𝑚 ℎ𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 ℎ𝑓𝑓 = 1,2 ∗ 𝑚𝑚 19 𝑠𝑠 = ∗ 𝑡𝑡 40 39 𝑠𝑠 = ∗ 𝑡𝑡 80 𝑑𝑑01 + 𝑑𝑑02 𝑎𝑎0 = 2 𝑚𝑚 ∗ (𝑧𝑧1 + 𝑧𝑧2 ) = 2 𝑚𝑚 ∗ 𝑧𝑧1 ∗ (1 + 𝑖𝑖) = 2 Fuerza de engrane Fuerza tangencial AUX. FRANZ ARMANDO APATA QUISPE 𝐹𝐹 = �𝐹𝐹𝑟𝑟2 𝐹𝐹𝑣𝑣 = + 𝐹𝐹𝑣𝑣2 2 ∗ 𝑀𝑀𝑡𝑡 𝑑𝑑0 𝐹𝐹𝑟𝑟 = 𝐹𝐹𝑣𝑣 ∗ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝛼𝛼) Fuerza radial ENGRANAJES DE DENTADO INCLINADO Relación de transformación 𝑖𝑖 = Relación ancha – diámetro 2 𝑏𝑏𝑛𝑛 ∗ 𝑑𝑑0𝑛𝑛1 = Para 𝐸𝐸1 = 𝐸𝐸2 𝑧𝑧2 𝑛𝑛1 𝜔𝜔2 = = 𝑧𝑧1 𝑛𝑛2 𝜔𝜔1 0,8 ∗ 2 ∗ 𝑀𝑀𝑀𝑀 ∗ (𝑖𝑖 + 1) 2 ∗ 𝐸𝐸2 ∗ 𝐾𝐾 ∗ 𝑖𝑖 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ∝ ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∝ (𝐸𝐸1 + 𝐸𝐸2 ) 2 𝑏𝑏𝑛𝑛 ∗ 𝑑𝑑0𝑛𝑛1 = Para 𝐸𝐸1 = 𝐸𝐸2 ; ∝= 20𝑜𝑜 0,8 ∗ 2 ∗ 𝑀𝑀𝑀𝑀 ∗ (𝑖𝑖 + 1) 𝐾𝐾 ∗ 𝑖𝑖 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ∝ ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∝ [𝑐𝑐𝑐𝑐3 ] [𝑐𝑐𝑐𝑐3 ] Modulo normal 2 𝑏𝑏𝑛𝑛 ∗ 𝑑𝑑0𝑛𝑛1 = 5 ∗ 𝑀𝑀𝑀𝑀 ∗ (𝑖𝑖 + 1) 𝐾𝐾 ∗ 𝑖𝑖 [𝑐𝑐𝑐𝑐3 ] A=30……..60 6 3 𝑏𝑏 ∗ 𝑑𝑑 2 𝑛𝑛 0𝑛𝑛1 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝛽𝛽) 𝑚𝑚𝑛𝑛 = � 𝐴𝐴 ∗ 𝑧𝑧12 [𝑐𝑐𝑐𝑐] β=10°………20° Z≥17 dientes AUX. FRANZ ARMANDO APATA QUISPE Potencia pérdida total 𝑁𝑁𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝑁𝑁𝐺𝐺2 + (0,01 … . .0,02) ∗ 𝑁𝑁1 Comprobación del sobre dimensionamiento 𝑆𝑆𝑆𝑆% = 2 ) 2 (𝑏𝑏𝑛𝑛 ∗ 𝑑𝑑0𝑛𝑛1 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑏𝑏𝑛𝑛 ∗ 𝑑𝑑0𝑛𝑛1 𝑏𝑏𝑛𝑛 ∗ 2 𝑑𝑑0𝑛𝑛1 Cálculo de las pérdidas de potencia ∗ 100 ≤ [10%] 𝐺𝐺2 = 𝜋𝜋 2 ∗ 𝑑𝑑02 ∗ 𝑏𝑏 ∗ 𝛾𝛾𝑎𝑎𝑎𝑎 4 Recordando que: 𝛾𝛾𝑎𝑎𝑎𝑎 = 7,85 ∗ 10−6 Momento de inercia de la rueda Momento de giro Donde: Rendimiento del par 𝜂𝜂 = 𝑁𝑁1 − 𝑁𝑁𝐺𝐺𝐺𝐺 𝑁𝑁1 Dimensiones principales del par de engranajes Peso de la rueda 𝐼𝐼𝐺𝐺2 [𝐾𝐾𝐾𝐾]; [𝐶𝐶𝐶𝐶] 1 𝐺𝐺2 𝑑𝑑02 2 = ∗ ∗� � 2 𝑔𝑔 2 𝑀𝑀𝐺𝐺2 = 𝐼𝐼𝐺𝐺2 ∗ 𝜔𝜔2̇ 𝜔𝜔2 𝜔𝜔2̇ = 𝑡𝑡 Piñon [𝑘𝑘𝑘𝑘] Diámetro primitivo [𝑘𝑘𝑘𝑘⁄𝑚𝑚𝑚𝑚3 ] [𝑘𝑘𝑘𝑘 ∗ 𝑚𝑚 ∗ [𝑘𝑘𝑘𝑘 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐] [𝑠𝑠 −2 ] Donde t es el tiempo de arranque del motor Diámetro primitivo normal 𝑠𝑠 2 ] Diámetro de pie Diámetro de cabeza Rueda Diámetro primitivo Diámetro primitivo normal Diámetro de pie Diámetro de cabeza Potencia perdida 𝑁𝑁𝐺𝐺2 𝑀𝑀𝐺𝐺2 ∗ 𝜔𝜔 = 102 𝑁𝑁𝐺𝐺2 = 𝑀𝑀𝐺𝐺2 ∗ 𝜔𝜔 75 También [𝐾𝐾𝐾𝐾] [𝐶𝐶𝐶𝐶] AUX. FRANZ ARMANDO APATA QUISPE Ancho frontal Modulo frontal 𝑧𝑧1 ∗ 𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛽𝛽) 𝑧𝑧1 ∗ 𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑑𝑑01 𝑑𝑑0𝑛𝑛1 = = 3 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝛽𝛽) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝛽𝛽) 𝑑𝑑𝑓𝑓1 = 𝑑𝑑01 − 2,4 ∗ 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑘𝑘1 = 𝑑𝑑01 + 2 ∗ 𝑚𝑚 𝑑𝑑01 = 𝑧𝑧2 ∗ 𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛽𝛽) 𝑧𝑧2 ∗ 𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑑𝑑02 𝑑𝑑0𝑛𝑛2 = = 3 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝛽𝛽) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝛽𝛽) 𝑑𝑑𝑓𝑓2 = 𝑑𝑑02 − 2,4 ∗ 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑘𝑘2 = 𝑑𝑑02 + 2 ∗ 𝑚𝑚 𝑑𝑑02 = 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏𝑛𝑛 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛽𝛽) 𝑚𝑚𝑛𝑛 2 ∗ 𝑎𝑎0 𝑚𝑚𝑠𝑠 = = cos 𝛽𝛽 𝑧𝑧1 ∗ (1 + 𝑖𝑖) AUX. FRANZ ARMANDO APATA QUISPE Ancho normal Paso normal Paso frontal Altura del diente Altura de cabeza Altura de pie Espesor del diente mecanizado Espesor del diente no mecanizado Distancia entre centros 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝐴𝐴 ∗ 𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑡𝑡𝑛𝑛 = 𝜋𝜋 ∗ 𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑡𝑡𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛽𝛽) ℎ = 2,2 ∗ 𝑚𝑚𝑛𝑛 ℎ𝑘𝑘 = 𝑚𝑚𝑛𝑛 ℎ𝑓𝑓 = 1,2 ∗ 𝑚𝑚𝑛𝑛 19 𝑠𝑠 = ∗ 𝑡𝑡 40 39 𝑠𝑠 = ∗ 𝑡𝑡 80 𝑑𝑑01 + 𝑑𝑑02 𝑎𝑎0 = 2 𝑚𝑚𝑛𝑛 ∗ (𝑧𝑧1 + 𝑧𝑧2 ) = 2 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛽𝛽) 𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑧𝑧1 ∗ (1 + 𝑖𝑖) = ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛽𝛽) 2 𝑚𝑚𝑛𝑛 ∗ 𝑧𝑧1 ∗ (1 + 𝑖𝑖) = 2 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛽𝛽) 𝑚𝑚𝑠𝑠 ∗ (𝑧𝑧1 ∗ 𝑧𝑧2 ) = 2 𝑡𝑡𝑠𝑠 = 𝜋𝜋 ∗ 𝑚𝑚𝑠𝑠 = Fuerzas que actúan en los dientes Fuerza de engrane Fuerza tangencial Fuerza radial Fuerza axial 𝐹𝐹 = �𝐹𝐹𝑟𝑟2 + 𝐹𝐹𝑣𝑣2 + 𝐹𝐹𝑎𝑎2 2 ∗ 𝑀𝑀𝑡𝑡 𝑑𝑑0 𝐹𝐹𝑣𝑣 ∗ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝛼𝛼) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛽𝛽) 𝐹𝐹𝑎𝑎 = 𝐹𝐹𝑣𝑣 ∗ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝛽𝛽) 𝐹𝐹𝑟𝑟 = AUX. FRANZ ARMANDO APATA QUISPE 𝐹𝐹𝑣𝑣 = ENGRANAJES CONICOS Relación de transformación También se tiene 𝑖𝑖 = Entonces: 𝑖𝑖 = 𝑧𝑧2 𝑛𝑛1 𝜔𝜔2 𝑑𝑑02 sin 𝛿𝛿2 = = = = 𝑧𝑧1 𝑛𝑛2 𝜔𝜔1 𝑑𝑑01 sin 𝛿𝛿1 sin 𝛿𝛿2 sin(𝛿𝛿 − 𝛿𝛿1 ) sin 𝛿𝛿 ∗ sin 𝛿𝛿1 − sin 𝛿𝛿 ∗ sin 𝛿𝛿1 = = sin 𝛿𝛿1 sin 𝛿𝛿1 sin 𝛿𝛿1 tan 𝛿𝛿1 = sin 𝛿𝛿 𝑖𝑖 + cos 𝛿𝛿 Para 𝛿𝛿 = 90° tan 𝛿𝛿1 = 𝑜𝑜 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 1 𝑖𝑖 𝑜𝑜 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 tan 𝛿𝛿2 = 𝑖𝑖 ∗ sin 𝛿𝛿 1 + 𝑖𝑖 ∗ cos 𝛿𝛿 tan 𝛿𝛿2 = 𝑖𝑖 Relación ancha – diámetro 2 𝑏𝑏 ∗ 𝑑𝑑𝑚𝑚1 = 2 ∗ 𝑀𝑀𝑀𝑀 ∗ (𝑖𝑖 ∗ cos 𝛿𝛿1 + cos 𝛿𝛿2 ) 2 ∗ 𝐸𝐸2 ∗ (𝐸𝐸1 + 𝐸𝐸2 ) 𝐾𝐾 ∗ 𝑖𝑖 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ∝ ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∝ Para 𝐸𝐸1 = 𝐸𝐸2 2 𝑏𝑏 ∗ 𝑑𝑑𝑚𝑚1 = 2 ∗ 𝑀𝑀𝑀𝑀 ∗ (𝑖𝑖 ∗ cos 𝛿𝛿1 + cos 𝛿𝛿2 ) 𝐾𝐾 ∗ 𝑖𝑖 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ∝ ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∝ [𝑐𝑐𝑐𝑐3 ] AUX. FRANZ ARMANDO APATA QUISPE [𝑐𝑐𝑐𝑐3 ] Para 𝐸𝐸1 = 𝐸𝐸2 ; ∝= 20𝑜𝑜 2 𝑏𝑏 ∗ 𝑑𝑑𝑚𝑚1 = 6,25 ∗ 𝑀𝑀𝑀𝑀 ∗ (𝑖𝑖 ∗ cos 𝛿𝛿1 + cos 𝛿𝛿2 ) 𝐾𝐾 ∗ 𝑖𝑖 Para 𝐸𝐸1 = 𝐸𝐸2 ; ∝= 20𝑜𝑜 ; б=90° 2 𝑏𝑏 ∗ 𝑑𝑑𝑚𝑚1 = 6,25 ∗ 𝑀𝑀𝑀𝑀 1 + 𝑖𝑖 2 ∗� 2 𝐾𝐾 𝑖𝑖 [𝑐𝑐𝑐𝑐3 ] Modulo superior 2 ∗ 𝑑𝑑𝑚𝑚1 3 𝑏𝑏 𝑚𝑚𝑠𝑠 = � 𝐴𝐴 ∗ (𝑧𝑧1 − 𝐴𝐴 ∗ sin 𝛿𝛿1 )2 A=8……..12 [𝑐𝑐𝑐𝑐] 𝐺𝐺2 = Recordando que: 𝛾𝛾𝑎𝑎𝑎𝑎 = 7,85 ∗ 10−6 Momento de inercia de la rueda Momento de giro 1 𝐺𝐺2 𝑑𝑑𝑚𝑚2 2 ∗ ∗� � 2 𝑔𝑔 2 Donde: 𝑀𝑀𝐺𝐺2 = 𝐼𝐼𝐺𝐺2 ∗ 𝜔𝜔̇2 𝐼𝐼𝐺𝐺2 = 𝜔𝜔2̇ = 𝑁𝑁𝐺𝐺2 = Comprobación del sobre dimensionamiento 2 𝑏𝑏 ∗ 𝑑𝑑𝑚𝑚1 Cálculo de las pérdidas de potencia Peso de la rueda AUX. FRANZ ARMANDO APATA QUISPE Potencia pérdida total ∗ 100 ≤ [10%] [𝑘𝑘𝑘𝑘⁄𝑚𝑚𝑚𝑚3 ] [𝑘𝑘𝑘𝑘 ∗ 𝑚𝑚 ∗ 𝑠𝑠 2 ] [𝑘𝑘𝑘𝑘 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐] [𝑠𝑠 −2 ] Potencia perdida 𝑁𝑁𝐺𝐺2 = 2 ) 2 (𝑏𝑏 ∗ 𝑑𝑑𝑚𝑚1 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑏𝑏 ∗ 𝑑𝑑𝑚𝑚1 𝜔𝜔2 𝑡𝑡 [𝑘𝑘𝑘𝑘] Donde t es el tiempo de arranque del motor Z≥17 dientes 𝑆𝑆𝑆𝑆% = 𝜋𝜋 2 ∗ 𝑑𝑑𝑚𝑚2 ∗ 𝑏𝑏 ∗ cos 𝛿𝛿2 ∗ 𝛾𝛾𝑎𝑎𝑎𝑎 4 𝑀𝑀𝐺𝐺2 ∗ 𝜔𝜔 102 𝑀𝑀𝐺𝐺2 ∗ 𝜔𝜔 75 [𝐾𝐾𝐾𝐾] [𝐶𝐶𝐶𝐶] 𝑁𝑁𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝑁𝑁𝐺𝐺2 + (0,01 … . .0,02) ∗ 𝑁𝑁1 Rendimiento del par 𝜂𝜂 = [𝐾𝐾𝐾𝐾]; [𝐶𝐶𝐶𝐶] 𝑁𝑁1 − 𝑁𝑁𝐺𝐺𝐺𝐺 𝑁𝑁1 Dimensiones principales del par de engranajes AUX. FRANZ ARMANDO APATA QUISPE Piñon Diámetro primitivo Diámetro medio Diámetro interior Rueda Diámetro primitivo Diámetro medio Diámetro interior También Fuerzas que actúan en los dientes 𝑑𝑑01 = 𝑧𝑧1 ∗ 𝑚𝑚𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑚𝑚1 = 𝑑𝑑01 − 𝑏𝑏 ∗ sin 𝛿𝛿1 𝑑𝑑𝑖𝑖1 = 𝑑𝑑01 − 2 ∗ 𝑏𝑏 ∗ sin 𝛿𝛿1 Modulo interior Paso Radio del cono Angulo de cabeza Fuerza tangencial Fuerza radial 𝑑𝑑02 = 𝑧𝑧2 ∗ 𝑚𝑚𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑚𝑚2 = 𝑑𝑑02 − 𝑏𝑏 ∗ sin 𝛿𝛿2 𝑑𝑑𝑖𝑖2 = 𝑑𝑑02 − 2 ∗ 𝑏𝑏 ∗ sin 𝛿𝛿2 Fuerza axial 𝐹𝐹 = �𝐹𝐹𝑟𝑟2 + 𝐹𝐹𝑣𝑣2 + 𝐹𝐹𝑎𝑎2 𝐹𝐹𝑣𝑣 = 2 ∗ 𝑀𝑀𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑚𝑚 𝐹𝐹𝑟𝑟 = 𝐹𝐹𝑣𝑣 ∗ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝛼𝛼) ∗ cos 𝛿𝛿 𝐹𝐹𝑎𝑎 = 𝐹𝐹𝑣𝑣 ∗ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝛼𝛼) ∗ sin 𝛿𝛿 𝑏𝑏 = 𝐴𝐴 ∗ 𝑚𝑚𝑠𝑠 Ancho o longitud del diente Modulo medio Fuerza de engrane 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑚𝑚𝑠𝑠 − 𝑚𝑚𝑖𝑖 = 𝑚𝑚𝑠𝑠 − 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑏𝑏 ∗ sin 𝛿𝛿1 𝑧𝑧1 2 ∗ 𝑏𝑏 ∗ sin 𝛿𝛿1 𝑧𝑧1 𝑡𝑡 = 𝜋𝜋 ∗ 𝑚𝑚𝑠𝑠 𝑑𝑑01 𝑑𝑑02 = 2 ∗ sin 𝛿𝛿1 2 ∗ sin 𝛿𝛿2 𝑚𝑚𝑠𝑠 = tan 𝛾𝛾 tan 𝛾𝛾 = AUX. FRANZ ARMANDO APATA QUISPE 2 ∗ sin 𝛿𝛿1 2 ∗ sin 𝛿𝛿2 = 𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑚𝑚𝑠𝑠 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 AUX. FRANZ ARMANDO APATA QUISPE