Capítulo 6: Circuitos DC en Paralelo

Capítulo 6: Circuitos DC en Paralelo
Dos elementos, ramas o circuitos están en paralelo si a través de ellos
existe el mismo voltaje. Por ejemplo, en la figura a), R 1 y R2 están en
paralelo. En la figura b), R1 y R2 están en paralelo y su resultante está en
serie con R3. En la figura c), R1 y R2 están en serie, y su resultante está
en paralelo con R3.
FIG. 6.1 (a) Parallel resistors; (b) R 1 and R2 are in parallel; (c) R 3 is in parallel with the
series combination of R 1 and R2.
Hay varias maneras de representar elementos o componentes en
paralelo. La siguiente figura muestra las formas típicas en que tres
resistencias pueden ser mostradas en paralelo.
FIG. 6.2 Schematic representations of three parallel resistors.
La resultante de N resistencias en paralelo puede ser calculada mediante
la siguiente fórmula.
1
1
1
1
1
= R + R + R +...+ R
RT
1
2
3
N
2
1
RT = 1 1 1
1


 ... 
R1 R2 R3
RN
Para el caso especial de N=2, la anterior fórmula puede ser simplificada
de la siguiente manera.
1
1
R1 R2
RT = 1
=
=
1
R2  R1
R1  R2

R1 R2
R1 R2
Esto es, la resultante de dos resistencias en paralelo puede ser obtenida
dividiendo el producto de las resistencias por su suma.
La resultante de dos o más resistencias en paralelo siempre será menor
que la más pequeña de las resistencias utilizadas en los cómputos. Esto
es muy fácil de probar. Veamos.
Como R12 > 0,
R1 R2 < R1 R2 + R12
R1 R2 < R1(R2 + R1)
R1 R2
< R1
R1  R2
De forma similar, como R22 > 0,
R1 R2 < R1 R2 + R22
3
R1 R2 < R2 (R1 + R2)
R1 R2
< R2
R1  R2
Si combinamos una serie de resistencias en paralelo y una de ellas es
mucho más pequeña que las demás, entonces la resultante será casi igual
a la resistencia más pequeña.
Como la conductancia se define como G = 1/R.
GT = G1 + G2 + G3 +. . . GN S
La anterior suma nos dice que conductancias en paralelo se suman.
RT =
1
GT
Ejemplo: Dado el siguiente circuito calcule la conductancia total y la
resistencia total.
FIG. 6.4 Parallel resistors for Example 6.1.
GT =
1
1
3
1
2 1
+ =
= =
S
3
6
6
2
6
4
RT =
1
= 2 
GT

También podemos calcular RT de la siguiente manera.
1
6
RT = 1 1 = 2  1 =
= 2
3

6
3 6
1
Ejemplo: Calcule RT.
FIG. 6.6 Network to be investigated in Example 6.3.
Las tres resistencias están en paralelo.
1
1
1
20
RT = 1 1
1 = 1 1 1 = 4  5  20 = 29 = 0.69 


 
R1 R2 R3
5 4 1
20
Veamos algunos casos especiales en donde se simplifican los cómputos.
Sabemos que para el caso general de N resistencias en paralelo,
1
RT = 1 1 1
1


 ... 
R1 R2 R3
RN
5
Para el caso especial de N=2, la anterior fórmula puede ser simplificada
de la siguiente manera.
1
1
R1 R2
RT = 1
=
=
1
R2  R1
R1  R2

R1 R2
R1 R2
Esto es, la resultante de dos resistencias en paralelo puede ser obtenida
dividiendo el producto de las resistencias por su suma.
La resultante de dos o más resistencias en paralelo siempre será menor
que la más pequeña de las resistencias utilizadas en los cómputos.
Si combinamos una serie de resistencias en paralelo y una de ellas es
mucho más pequeña que las demás, entonces la resultante será casi igual
a la resistencia más pequeña.
Otro caso especial surge cuando combinamos N resistencias iguales en
paralelo. En dicho caso
1
RT = 1 1 1
1
   ... 
R R R
RN
1
R
RT = N =
N
R
Hagamos algunos ejemplos usando lo aprendido sobre los casos
especiales.
6
Ejemplo: Calcule RT.
RT =
( 3) (6)
=2
3 6
Ejemplo: Calcule RT.
FIG. 6.13 Parallel network for Example 6.9.
Si re-arreglamos el circuito obtenemos el siguiente circuito equivalente.
FIG. 6.14 Redrawn network in Fig. 6.13
(Example 6.9).
Sabemos que RT' = 6/3 = 2  y que RT" =
RT =
(9) (72 )
= 8 
9  72
( 2 ) (8 )
= 1.6 
28
7
Sección 6.3: Circuitos en Paralelo
Si dos resistencias están en paralelo, entonces ambas experimentan el
mismo voltaje. El siguiente circuito muestra un ejemplo en donde V 1 =
V2 = E
FIG. 6.18 Parallel network.
En nuestro ejemplo, la fuente no sabe que tiene dos resistencias
conectadas en paralelo. La fuente de voltaje tan sólo sabe que tiene
conectada una resistencia total igual a RT y por lo tanto suple una
corriente Is = E / RT.
FIG. 6.19 Replacing the parallel resistors
in Fig. 6.18 with the equivalent total
resistance.
La dirección de las corrientes queda definida por la polaridad del voltaje
a través de las resistencias. La corriente entra por el terminal positivo de
la caída en voltaje que experimenta la resistencia, y sale por el terminal
negativo.
Usando la Ley de Ohm podemos calcular la corriente a través de cada
resistencia.
8
V1
E
I1 = R = R
1
1
y
V2
E
I2 = R = R
2
2
Is = I1 + I2
E
E
E
= R + R
RT
1
2
Podemos establecer una analogía entre nuestro circuito y dos tubos en
paralelo como los mostrados en la siguiente figura.
FIG. 6.20 Mechanical analogy for
Fig. 6.18.
En analogía con Is, toda el agua que entra por el tubo superior va a
descargar a través de los dos tubos perpendiculares, siendo el más ancho
el que más agua descarga. La magnitud de I1 y de I2 dependerá del valor
de las resistencias, o de lo que sería equivalente en el caso de los tubos,
del grosor de éstos.
Podemos establecer una dualidad entre circuitos en serie y circuitos en
paralelo.
FIG. 6.21 Demonstrating the duality that exists between series
and parallel circuits.
9
En un circuito en paralelo, la corriente total es igual a la suma de las
corrientes en los ramales, mientras que en un circuito en serie el voltaje
de la fuente es igual a la suma de las caídas en voltaje a través de cada
resistencia.
Ejemplo: Para el siguiente circuito en paralelo
FIG. 6.22 Parallel network for
Example 6.12.
a) Calcule RT
R1 R2
(9) (18)
RT = R  R =
=6
9  18
1
2
b) Calcule Is
E
27V
Is = R = 6  = 4.5 A
T
c) Calcule I1 e I2
E
27V
I1 = R = 9  = 3 A
1
E
27V
I2 = R = 18  = 1.5 A
2
d) Compare Is con I1 e I2.
Is = 4.5 A = 3 + 1.5 A = I1 + I2
10
Ejemplo: Dado el siguiente circuito
FIG. 6.24 Parallel network for Example 6.14.
a) Calcule R3.
1
1
1
1
=
+
+
R1
R2
R3
RT
1
1
1
1
=
+
+ R
4
20
10
3
0.25 = 0.1 + .05 +
1
R3
1
0.10 = R
3
R3 = 10 
b) Calcule E
E = I1 R1 = (4) (10) = 40 V
c) Calcule Is
E
40V
Is = R = 4  = 10 A
T
d) Calcule I2
E = I2 R2
40 = 20 I2
11
I2 = 2 A
Las siguientes figuras muestran cómo hacer algunas de las lecturas
típicas de voltajes y corrientes en circuitos paralelos.
FIG. 6.25 Measuring the voltages of a parallel dc
network.
FIG. 6.26 Measuring the source current of a parallel network.
FIG. 6.27 Measuring the current through resistor
R 1.
12
Sección 6.4: Distribución de potencia en un circuito en paralelo
En nuestro análisis de circuitos en serie habíamos visto que la
potencia suplida por la fuente de voltaje era igual a la suma de las
potencias disipadas en cada una de las resistencias. Igual pasa con un
circuito en paralelo. Esto es, si tenemos un circuito con varias
resistencias en paralelo, la potencia suplida por la fuente de voltaje es
igual a la suma de las potencias disipadas en cada una de las
resistencias.
Para el siguiente circuito en paralelo
FIG. 6.28 Power flow in a dc parallel
network.
PE = PR1 + PR2 + PR3 = E Is vatios
V12
PR1 = V1 I1 = I R1 =
R1
vatios
V22
PR2 = V2 I2 = I R2 =
R2
vatios
V32
PR3 = V3 I3 = I R3 =
R3
vatios
2
1
2
2
2
3
13
Ejemplo: Para el siguiente circuito en paralelo
FIG. 6.29 Parallel network for Example 6.15.
a) Calcule la resistencia total RT.
1
1
1
1
= R + R + R
RT
1
2
3
1
1
1
1
=
+
+
RT
1 .6
20
56
1
= 0.625 + 0.05 + 0.01786 = 0.6928
RT
RT = 1.44 k 
b) Calcule Is, I1, I2 e I3.
E
28 V
Is = R = 1.44 k  = 19.44 mA
T
E
28V
I1 = R = 1.6 k  = 17.5 mA
1
E
28 V
I2 = R = 20 k  = 1.4 mA
2
14
E
28 V
I3 = R =
= 0.5 mA
56 k 
3
c) Calcule la potencia suplida por la fuente de voltaje.
PE = E Is = (28 V) (19.44 mA) = 544.32 mW = 0.544 W
d) Calcule la potencia disipada por cada una de las resistencias.
P1 = E I1 = (28 V) (17.5 mA) = 490 mW
P2 = E I2 = (28 V) (1.4 mA) = 39.2 mW
P3 = E I3 = (28 V) (0.5 mA) = 14 mW
e) Compare la potencia suplida por la fuente con las potencias
disipadas en las resistencias.
PE = E Is = (28 V) (19.44 mA) = 544.32 mW
P1 + P2 + P3 = 490 + 39.2 + 14 = 543.2 mW
La pequeña diferencia entre los resultados se debe a pequeños errores
incurridos al redondear los resultados.
15
Sección 6.5: Ley de Corriente de Kirchhoff
El Kirchhoff Current Law (KCL) nos dice que la suma algebraica de
las corrientes entrando y saliendo de un node en un circuito es cero.
En otras palabras, la suma de todas las corrientes que entran a un
nodo tiene que ser igual a la suma de todas las corrientes que salen
del nodo. La siguiente figura muestra un ejemplo.
FIG. 6.30 Introducing Kirchhoff ’s current law.
8 + 4 = 2 + 10
Ejemplo: Calcule I1, I2, I3, I4, I5.
FIG. 6.33 Four-node configuration for Example 6.17.
I = I1 + I2
5 = I1 + 4
I1 = 1 A
16
I3 = I1 = 1 A
I4 = I2 = 4 A
I5 = I3 + I4
I5 = 1 + 4 = 5 A
Ejemplo: Calcule I3 e I5.
FIG. 6.34 Network for Example 6.18.
En el nodo a
I3 = I1 + I2
I3 = 4 + 3 = 7 A
En el nodo b
I3 = I4 + I5
7 = 1 + I5
I5 = 6 A
17
Ejemplo: Para el siguiente circuito en paralelo
FIG. 6.35 Parallel network for Example 6.19.
a) Calcule la corriente Is.
Is = 8 + 10 + 2 = 20 mA
b) Calcule E.
E = (8 mA) (2 k ) = 16 V
c) Calcule R2 y R3.
E = (10 mA) (R2 k )
16 = 10 R2
R2 = 1.6 k 
E = 2 R3
16 V = (2 k ) R3
R3 = 8 k 
d) Calcule RT.
E
16V
= 20m A = RT = 0.8 k 
Is
18
Sección 6.6: Divisor de Corriente
Si tenemos dos resistencias del mismo valor en paralelo, el voltaje a
través de las dos va a ser el mismo, y por lo tanto, la corriente a
través de las dos también va a ser la misma.
Si tenemos una serie de resistencias en paralelo, es lógico asumir que
la mayor parte de la corriente fluirá por la resistencia más pequeña.
Por ejemplo, en el siguiente circuito gran parte de la corriente
fluirá por la resistencia de 10 .
FIG. 6.38 Discussing the manner in
which the current will split between three
parallel branches of different resistive
value.
En dualidad con el divisor de voltaje, tenemos el divisor de corriente.
Consideremos N resistencias en paralelo.
FIG. 6.40 Deriving the current divider rule: (a) parallel network of N parallel resistors; (b)
reduced equivalent of part (a).
V = I1 R1 = I2 R2 = I3 R3 = . . . = Ix Rx
19
IT =
Ix =
V
I x Rx
=
RT
RT
RT
I T RT
=
I
Rx
Rx T
Esta fórmula nos indica que si tenemos varias resistencias en paralelo
podemos calcular la corriente a través de una rama en particular
dividiendo la resistencia total por la resistencia de la rama a través de
la cual deseamos medir la corriente, y multiplicando dicho resultado
por la corriente total. Veamos un ejemplo.
Ejemplo: Calcule I1.
FIG. 6.41 Using the current divider rule to calculate
current I1 in Example 6.22.
Primero necesitamos calcular la resistencia total.
1
1
1
1
= R + R + R
RT
1
2
3
1
1
1
1
= +
+
= 1.145
RT
22
1
10
RT = 0.873 k 
20
I1 =
I1 =
RT
I
Rx T
0.873
(12 mA) = 10.48 mA
1
Un caso especial del divisor de corriente ocurre cuando tan sólo
contamos con dos resistencias.
FIG. 6.42 Deriving the current divider rule
for the special case of only two parallel
resistors.
R1 R2
RT = R  R
1
2
RT
I1 = R IT
1
R2
I1 = R  R IT
1
2
De forma similar
R1
I2 = R  R IT
1
2
Esta regla nos dice que la corriente a través de una de las dos ramas
es igual a la corriente total dividida por la suma de las dos
21
resistencias, cuyo resultado luego es multiplicado por la resistencia
contraria al ramal en donde deseamos calcular la corriente.
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo: Calcule I2.
FIG. 6.43 Using the current divider
rule to determine current I2 in
Example 6.23.
R1 R2
RT = R  R
1
2
RT =
( 4 ) (8 )
= 2.67 k 
48
R1
I2 = R  R IT
1
2
I2 =
1
4
4
(6 A) =
(6 A) = (6 A) = 2 A
3
48
12
22
Ejemplo: Calcule R2.
FIG. 6.44 A design-type problem for two
parallel resistors (Example 6.24).
21 =
7
(27 mA)
7  R1
1
21
= 7  R (27 mA)
7
1
3(7 + R1) = 27
21 + 3 R1 = 27
3 R1 = 6
R1 = 2 
Sección 6.7: Fuentes de voltaje en paralelo
Fuentes de voltaje pueden ser colocadas en paralelo solamente si
tienen el mismo voltaje. Colocamos fuentes de voltaje en paralelo
cuando deseamos aumentar la capacidad de corriente y la potencia.
23
FIG. 6.46 Demonstrating the effect of placing two ideal supplies of the same voltage in
parallel.
Al colocar las dos fuentes, ambas de 12 V e idénticas, en paralelo
obtenemos que
Is = I1 + I2 = 2 I
donde
I = I1 = I2
PT = E(I1 + I2) = E (2 I) = 2 E I = 2 Puna fuente
Examinemos ahora la situación en donde usamos una batería para
cargar otra batería.
FIG. 6.47 Examining the impact of placing
two lead-acid batteries of different terminal
voltages in parallel.
Como 12 V > 6 V, la corriente fluirá desde el terminal positivo de la
batería de 12 V hacia el terminal positivo de la batería de 6 V.
Solamente las resistencias internas de ambas baterías limitarán la
magnitud de la corriente de carga.
I=
12  6
= 120 A
0.03  0.02
24
Esta corriente de 120 A excede la capacidad de corriente de la batería
E1 haciendo que ésta se drene rápidamente. Además, el corrientazo
fácilmente daña E2 pues está recibiendo una corriente mayor que la
corriente para la cual fue diseñada.
Sección 6.8: Circuitos abiertos y cortos circuitos
Un circuito abierto ocurre cuando dos terminales no están conectados
a elemento alguno.
FIG. 6.48 Defining an open
circuit.
Puede haber un voltaje entre los dos terminales de un circuito abierto,
pero nunca habrá corriente. Para que exista corriente tiene que haber
un lazo cerrado.
Por ejemplo, cuando un corrientazo vuela un fusible, el circuito queda
en circuito abierto interrumpiendo así la corriente. Igual pasa cuando
se funde una de varias bombillas conectadas en serie. Se interrumpe
el paso de la corriente y ninguna de las bombillas prende.
25
FIG. 6.49 Examples of
open circuits.
Un corto circuito ocurre cuando se establece un paso de muy baja
resistencia. La corriente dependerá del sistema o circuito al cual esté
conectado, pero si la resistencia es baja, la corriente será alta.
El voltaje a través del corto circuito es cero.
FIG. 6.50 Defining a short circuit.
La siguiente figura muestra un ejemplo de un corto circuito.
FIG. 6.51 Demonstrating the effect of a short circuit on current levels.
La resistencia se cruzó. Al cruzarse la resistencia lo único que limita
la corriente es el fusible el cual una vez detectó 5 A se abrió.
26
Veamos algunos ejemplos numéricos.
Ejemplo: Calcule el voltaje V en cada uno de los siguientes circuitos.
FIG. 6.56 Networks for Example 6.27.
En el circuito de la parte a), I = 0 A pues ocurrió un corto circuito y el
voltaje a través de un corto circuito es cero.
En el circuito de la parte b) el circuito se abrió. No hay corriente. Si
no hay corriente, no hay caída en voltaje a través de las resistencias.
Por lo tanto, V = 22 voltios.
Ejemplo: En el siguiente circuito calcule V e I si la resistencia R2 se
cruza convirtiéndose en un corto circuito.
FIG. 6.58 Network for Example 6.28.
Al cruzarse R2 obtenemos el siguiente circuito.
FIG. 6.59 Network in Fig. 6.58 with R 2
replaced by a jumper.
27
El voltaje a través del corto circuito es cero. No hay corriente a través
de R3 pues el circuito está abierto. Por lo tanto, V = 0 voltios.
I=
6
=3A
2
Sección 6.9: Voltmeter Loading Effects
Medimos corriente conectando el amperímetro en serie con el circuito
a través del cual pasa la corriente que deseamos medir. Con la
intención de minimizar el impacto que el proceso de medir corriente
tenga en el circuito original, deseamos que la resistencia interna del
amperímetro sea lo más baja posible. De lo contrario, mediríamos una
corriente menor a la verdadera pues la resistencia interna del
amperímetro reduciría la corriente a través del circuito.
Medimos voltaje conectando el voltímetro a través del circuito en
donde deseamos medir voltaje. Tenemos que considerar que el
voltímetro para poder funcionar tendrá que registrar una pequeña
corriente a través de él. Esto requiere que el voltímetro presente una
alta resistencia interna. Dicha resistencia interna aunque es alta, no es
infinita. Veamos el impacto o error que esto pueda ocasionar en las
medidas o lecturas de voltaje.
Asumamos que el DMM (digital multimeter) tiene una resistencia
interna de 11 M .
28
FIG. 6.60 Voltmeter loading.
(10x103 ) (11x106 )
RT =
= 9.99 k 
(10x103 )  (11x106 )
Como 11 M  es mucho mayor que 10 k , el error es mínimo. Sin
embargo, si la resistencia en el circuito hubiera sido del orden de
mega ohms entonces el error hubiera sido mucho mayor.
Hay que conocer los instrumentos de prueba y tener claro sus
limitaciones. De lo contrario, podemos utilizar lecturas erróneas.
Ejemplo: Considere el siguiente circuito. Si la resistencia interna del
voltímetro es 11 M  calcule el voltaje de circuito abierto que el
voltímetro medirá.
FIG. 6.61 (a) Measuring an opencircuit voltage with a voltmeter; (b)
determining the effect of using a
digital voltmeter with an internal
resistance of 11 MΩ on measuring an
open-circuit voltage (Example 6.29).
29
Apliquemos divisor de voltaje.
( 20 ) (11)
Vab =
= 18.33 V
11  1