Sustentación Control En Modo Deslizante

CONTROL EN MODO
DESLIZANTE DE LA
VELOCIDAD DE UN MOTOR
DE INDUCCIÓN
Nicole B. Portilla
Carlos A. Gonzalez
Director: Dr. Carlos Gaviria
TEMAS DE SUSTENTACIÓN
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Introducción
Fundamentos de Control de Estructura
Variable
Diseño de Controladores en Modo
Deslizante
Diseño del Controlador de Velocidad en
Modo Deslizante del Motor de Inducción
Resultados de Simulación
Conclusiones y Recomendaciones
Preguntas
INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN
Motor de inducción
 Métodos escalares y Métodos
vectoriales
 Control no Lineal
 Control de Estructura Variable: Modo
Deslizante

FUNDAMENTOS DEL
CONTROL DE ESTRUCTURA
VARIABLE
CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE

Un sistema de estructura variable (VSS)
consiste en un conjunto de subsistemas
continuos junto con una lógica de
conmutación adecuada.

Los sistemas en modo deslizante son un
tipo especial de estos sistemas
CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE

En los sistemas con modo deslizante, el estado de las
dinámicas del sistema es atraído hacia una superficie
en el espacio de estados conocida como superficie de
deslizamiento
S(x) superficie de Deslizamiento
CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE
1. ELECCIÓN DE LA SUPERFICIE DE
CONMUTACIÓN
Puede ser cualquier función del estado X
tal que el error de regulación o seguimiento
se haga cero en régimen permanente:
S ( x )  xi  k  0
CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE
2. ALCANZABILIDAD DE LA SUPERFICIE DE
DESLIZAMIENTO
CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE
Un sistema de estructura variable se puede
definir, en forma general de la siguiente
manera:

x  f ( x, t )  g ( x, t ) 
CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE
La señal de control  (t )
es discontinua y
puede tomar los valores   o   , sus puntos
de discontinuidad corresponden con los
cambios de estructura del sistema.





 S ( x )  0



(t
)

Señal de control =
= 


    S ( x)  0 

CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE
f ( x , t ) y g ( x, t )
son campos vectoriales
que pueden ser definidos de la siguiente
manera:
 f a  f ( x, t ,   )      
Campos _ Vectoriales   


 f a  f ( x, t ,  )     
CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE
Señal del controlador en
modo deslizante
CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE

Condición de Alcanzabilidad
CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE
3. DINÁMICA DE DESLIZAMIENTO IDEAL
(CONDICIÓN DE INVARIANZA)
La dinámica del sistema en modo
deslizante cuando  tiende a cero se
conoce como dinámica de deslizamiento
ideal.
CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE
La dinámica promediada del sistema ó
dinámica de deslizamiento ideal, está ligada a
la ecuación de la superficie.
La dinámica de deslizamiento ideal queda
caracterizada por:
S ( x)  0



 S , f a (t , x,  eq )  0
Llamada condición de invarianza
CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE
4. CONTROL EQUIVALENTE  eq
El control equivalente (  eq ) es una ley de
control que lleva al sistema a deslizarse sobre
la superficie en forma ideal, siendo un valor
continuo que representa el valor medio del
control discontinuo.
CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE
Control Equivalente
CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE
Siendo

f a (t , x, eq )  x  f ( x, t )  g ( x, t )eq
y teniendo en cuenta que S ( x, t )
depende también del tiempo:
 eq
S
  S , f ( x)  
t

 S , g ( x) 
Siempre y cuando:  S , g ( x)  0
CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE
5. CONDICIÓN DE TRANSVERSALIDAD
 S , g ( x)  0
Lo que significa que no puede ser tangente
a la superficie de conmutación (esto es,
debe ser transverso a la superficie).
CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE
6. REGIONES DE DESLIZAMIENTO.
De acuerdo a las condiciones de alcanzabilidad





S
,
f


S
,
f
(
x
)


g ( x)  0


a





 S , f a  S , f ( x)   g ( x)  0 

Existe deslizamiento si y solo si:
min(   ,   )  eq  max(   ,   )
CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE
Se definen   y   como las regiones del
espacio de estados donde puede crearse un
modo de deslizamiento.





n




x


:


S
,
f
(
x
)


g ( x)  0 


 

n


  x   : S , f ( x)   g ( x)  0 

CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE
Cabe anotar que existirá un régimen de
deslizamiento local en S (x), si y solo si:




   S      
CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE
7. PUNTO DE EQUILIBRIO Y ESTABILIDAD
ASINTÓTICA
Si el régimen de deslizamiento existe, la
dinámica de deslizamiento ideal está dada por
las condiciones de invarianza:
s ( x)  0




 fa(t , x,  eq )  x(t )  f ( x)   eq g ( x)
CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE
En régimen permanente, las derivadas
las variables de estado son nulas en
problema de regulación y x  x * es
punto de equilibrio del sistema, por
tanto:
de
un
un
lo
s ( x * )  0





*
*
* *
*
*

 f (t , x ,  eq )  x (t )  f ( x, t )   eq g ( x, t )  0

DISEÑO DE
CONTROLADORES EN
MODO DESLIZANTE
PROCEDIMIENTO

Selección de la superficie de deslizamiento.

Comprobar que exista modo de deslizamiento en
torno a la superficie de conmutación (condición
de transversalidad).

Calculo del control equivalente.
PROCEDIMIENTO

Determinar que las regiones en la que existe el
modo de deslizamiento y el control equivalente
estén acotados por los valores discretos de la
variable de control.

Se obtiene la dinámica de deslizamiento ideal del
sistema entorno a la superficie de conmutación
(Condición de invarianza)
PROCEDIMIENTO

Se obtiene el punto de equilibrio de la dinámica
de deslizamiento ideal, que deberá ser
alcanzado.

Comprobación de la estabilidad de la dinámica
alrededor del punto de equilibrio.

Se deben cumplir cada uno de los puntos
mencionados, de lo contrario se debe escoger
una nueva superficie de deslizamiento.
IMPLEMENTACION DEL CONTROL
Diagrama de bloques sistema de control en modo deslizante
COMPROBACION ESTABILIDAD
GLOBAL ASINTOTICA

El procedimiento anterior garantiza estabilidad
asintótica al punto de equilibrio deseado.

Lo podemos comprobar mediante el teorema de
Lyapunov.

Podemos concluir que probar la estabilidad
asintótica verificando el teorema de Lyapunov es
equivalente a examinar las regiones de
deslizamiento
DISEÑO DEL CONTROL DE
VELOCIDAD EN MODO
DESLIZANTE
DISEÑO DEL CONTROL DE VELOCIDAD
EN MODO DESLIZANTE

Motor de inducción
DISEÑO DEL CONTROL DE VELOCIDAD
EN MODO DESLIZANTE

Control Vectorial
b
b
d
q
a
a
b
q
a
Clarke
b
d
Park
c
q
a
3 fases
Estacionarias
Cantidades AC
c
2 fases
Estacionarias
Cantidades AC
2 fases
Rotantes
Cantidades DC
DISEÑO DEL CONTROL DE VELOCIDAD
EN MODO DESLIZANTE

Control Vectorial
q
q
q
q
is
s
d
r
d
d
a, d
DISEÑO DEL CONTROL DE VELOCIDAD
EN MODO DESLIZANTE

Modelo matemático del motor de inducción
diqs
dt
 e ids
 Rs
Rr L2m
 

L L2r
 L
 Rs
dids
L m2Rr
 

2
dt
L
L
L


r

 qs

Lm r
Rr Lm
iqs 
 dr 
 qr 
2

L Lr
L
L Lr


L R
L 

ids  eiqs  m 2r  dr  m r  qr  ds
L Lr
L Lr
L

d dr
L
R
 m Rr ids  r  dr   sl  qr
dt
Lr
Lr
d qr
dt

Lm
R
Rr iqs   sl  dr  r  qr
Lr
Lr
DISEÑO DEL CONTROL DE VELOCIDAD

Por otro lado la ecuación mecánica se describe
de la siguiente manera:
d m
J
 B m  TL  Te
dt

La ecuación del torque electromagnético se
puede expresar en términos de corriente de
estator y flujos de enlace del rotor así:
3  P  Lm
iqs dr  ids qr 
Te   
2  2  Lr
DISEÑO DEL CONTROL DE VELOCIDAD

Teniendo en cuenta lo anterior, la ecuación de
torque electromagnético se puede escribir de
la siguiente manera:
Te  K t i qs

Te  K t' I a
Entonces la ecuación mecánica se puede
reescribir de la siguiente manera:
J
d m
 B m  TL  K t iqs
dt
DISEÑO DEL CONTROL DE VELOCIDAD
Considerando la ecuación mecánica
incertidumbres tenemos que:
 m (t )  a  a m (t )  b  biqs (t )  dTL
.
con
DISEÑO DEL CONTROL DE VELOCIDAD

Donde:
d 

1
J
a
B
J
b
Kt
J
Ahora se define el error de velocidad en
variables de estado:
*
x(t )  m (t )  m
DISEÑO DEL CONTROL DE
VELOCIDAD EN MODO DESLIZANTE

Remplazando la derivada de x(t) en la
ecuación mecánica con incertidumbres
tenemos que:


x(t )  ax(t )  be(t )   b i qs  f ( x)  g ( x)
Donde:
a
b
d
e(t ) 
 m (t ) 
iqs  T L
b
b
b

a
iqs  iqs (t )   m
b
SELECCIÓN DE LA SUPERFICIE DE
DESLIZAMIENTO
t

S (t )  h x(t )   a  bk x( )d  x(0)


0

Donde h debe ser una constante positiva, k
es la ganancia lineal de realimentación y x(0)
denota las condiciones iniciales del sistema.
DISEÑO DEL CONTROL DE
VELOCIDAD EN MODO DESLIZANTE

Si la trayectoria del sistema dada en la
ecuación anterior es atrapada por la región
de deslizamiento, entonces las dinámicas
equivalentes del sistema están gobernadas
por:
x(t )  a  bK x(t )
.
sabemos que :
.
S (t )  S (t )  0
DISEÑO CONTROL DE VELOCIDAD

Comparando las ecuaciones:


x(t )  ax(t )  b  i qs  e(t )


.


x(t )  a  bK x(t )
Esto lleva a buscar un control de la forma:


i qs  Kx(t )   sgn( S (t ))

e(t )  
 1  S (t )  0
sgn( S (t ))  


1

S
(
t
)

0


CONDICION DE TRANSVERSALIDAD

Comprobaremos que existe una región de
deslizamiento en torno a la superficie de
conmutación, verificando se cumpla la siguiente
condición.
 S , g ( x )  0
CONDICION DE TRANSVERSALIDAD

Cálculo de g (x ) :
Si la ecuación mecánica del sistema,


x(t )  ax(t )  b  i  e(t ) le agregamos la acción de


control, tenemos que:


qs
.
x(t )  (ax(t )  be(t ))   (t )b  f ( x)   (t ) g ( x)
Por lo tanto tenemos que: g ( x)  b
CONDICION DE TRANSVERSALIDAD

Calculo de S
S x
S 
x t
t

 hx(t )  h  a  bk x( )d  c 
0

S  
x(t )
Resolviendo Tenemos que:
S  h
CONDICION DE TRANSVERSALIDAD

Por lo tanto podemos observar que la condición
de transversalidad se cumple:
 S , g ( x)  hb

Siempre y cuando
hb  0
CONTROL EQUIVALENTE


x(t )  ax(t )  b i qs  e(t )


.
 eq 
 eq
  S , f ( x)  
 S , g ( x) 
x(t )  a  bK x(t )
.
S
t
 hax(t )  be(t )    h(a  bk ) x(t ) 

bh
S
 ha  bk x(t )
t
 eq  kx(t )  e(t )
CONTROL EQUIVALENTE
Conclusión:
  eq
es tal que kx(t ) logra error cero de la
consigna de velocidad para el modelo sin
incertidumbre. El efecto del control en modo
deslizante es desplazar el control ideal kx(t )
según la incertidumbre
CONTROL EQUIVALENTE
REGIONES DE DESLIZAMIENTO

Las regiones de deslizamiento están definidas en
la ecuación



 S , f a  S , f ( x)   g ( x)  0






 S , f a  S , f ( x)   g ( x)  0


Donde:
f ( x)  ax(t )  be(t )
g ( x)  b

  kx(t )  b


  kx(t )  b

S  h
REGIONES DE DESLIZAMIENTO

Resolviendo tenemos que:



b


e
(
t
)




    x   : x(t )  

a  bk 







b


e
(
t
)





    x   : x(t ) 

a

bk




REGIONES DE DESLIZAMIENTO
      S  0x(t )  Estabilidad global asintótica.
CONDICIÓN DE INVARIANZA
S ( x )  0





S
,
f
(
t
,
x
,

)


S
,
f
(
x
)


g
(
x
)

0
a
eq
eq



Donde
f ( x)  ax(t )  be(t )
g ( x)  b
 eq  kx(t )  e(t )
S  h

Tenemos que:
hax(t )  be(t )  bkx(t )  e(t )  0
DIAGRAMA BLOQUES CONTROLADOR
RESULTADOS SIMULACIÓN
RESULTADOS DE SIMULACIÓN
RESULTADOS DE SIMULACIÓN
BLOQUE SLIDING: Está compuesto por 2
subbloques denominados:
Superficie de deslizamiento
b. Sliding Control
a.
RESULTADOS DE SIMULACIÓN
Bloque Superficie de Deslizamiento
t

S (t )  h x(t )   a  bk x( )d  x(0)  0


0
RESULTADOS DE SIMULACIÓN
Bloque Sliding Control

a *
iqs  iqs (t )   m
b
SIMULACIÓN PARÁMETROS NOMINALES
DE LA PLANTA
PARÁMETROS DE SIMULACIÓN (PLANTA
NOMINAL)
Fricción Viscosa (B)
5.15 104 N.m s2/rad
Momento de Inercia (Jeq)
0.025 kg.m2
Torque de Carga (TL_0), Tiempo = 0 s
20.33
N.m
Torque de Carga (TL_0), Tiempo = 0.1 s
10.16
N.m
Torque de Carga (TL_0), Tiempo = 0.5 s
20.33
N.m
Velocidad Mecánica (Wmech)
185.4 rad/seg
RESULTADOS DE SIMULACIÓN
Resultados con
Control PI
Resultados con
Control Sliding
RESULTADOS DE SIMULACIÓN CON (Jeq
Jeq = 0.075 kg.m2 (Variación 300%
sobre el nominal)
, B Cte)
Jeq = 0.075 kg.m2 (Variación 300%
sobre el nominal)
RESULTADOS DE SIMULACIÓN CON (Jeq
Jeq = 0.0063 kg.m2 (Variación 400%
por debajo del nominal)
, B Cte)
Jeq = 0.0063 kg.m2 (Variación 400%
por debajo del nominal)
RESULTADOS DE SIMULACIÓN CON (Jeq Cte , B
B =5.15 x 10-2 N.m s2/rad (Variación
100% sobre el nominal)
)
B =5.15 x 10-2 N.m s2/rad (Variación
100% sobre el nominal)
RESULTADOS DE SIMULACIÓN CON (Jeq Cte , B
B =5.15 x 10-6 N.m s2/rad (Variación
100% por debajo del nominal)
)
B =5.15 x 10-6 N.m s2/rad (Variación
100% por debajo del nominal)
SIMULACIÓN CONTROLADOR CON
ESTIMADOR.

i qs (t )  kx(t )  ˆ (t ) sgn( Shb)

ˆ 
1
a
S (t )hb
SIMULACIÓN CONTROLADOR CON
ESTIMADOR.

i qs (t )  kx(t )  ˆ (t ) sgn( Shb)
RESULTADOS DE SIMULACIÓN CON
CONTROL SLIDING
Con estimador
Sin estimador
CONCLUSIONES

El controlador en modo deslizante permite un
mejor seguimiento de la señal de referencia ante
cambios o perturbaciones que se presentan en
comparación con el controlador PI.

El control por modos deslizantes se puede
aplicar a cualquier sistema dinámico, dadas sus
características de robustez y desempeño
observadas en las simulaciones
CONCLUSIONES

La principal ventaja de los sistemas controlados
por modos deslizantes es su insensibilidad ante
la variación en los parámetros de la planta y ante
las perturbaciones externas.

Para la implementación de controladores por
modos deslizantes debe tenerse muy en cuenta
que la frecuencia de conmutación de las
funciones discontinuas debe ser alta.
CONCLUSIONES

El modelo matemático obtenido para el
desarrollo de la monografía como también la
metodología de simulación que se utilizó para
obtener los resultados anteriormente expuestos
puede emplearse en la enseñanza de las
asignaturas Máquinas Eléctricas y Control de
Máquinas Eléctricas que se ofrecen en el
programa de Ingeniería Automática Industrial.
RECOMENDACIONES

Una vez iniciado el camino con este trabajo de
grado, se plantea como una etapa siguiente la
aplicación de estas técnicas de control sobre otro
tipo de sistemas (por ejemplo: Robótica, Control y
regulación de sistemas eléctricos de potencia).

También seria importante dedicar esfuerzos a la
implementación de este tipo de controladores, ya
se a en forma analógica ó en forma digital.
RECOMENDACIONES

Si se desea realizar implementaciones digitales
deben utilizarse herramientas que permitan usar
frecuencias de muestreo muy altas, comparadas con
la dinámica asociada al sistema a controlar. Esto
llevará a un mejor desempeño de los controladores
implementados.

Otro campo de interés que surge es aquel que llama
a examinar otras técnicas para la reducción de las
oscilaciones de alta frecuencia, causadas por las
leyes de control discontinuas.
RECOMENDACIONES

Este proyecto de tesis, deja sentada las bases y el
conocimiento para que un futuro se implemente de
una manera práctica el control de velocidad en modo
deslizante del motor de inducción que se encuentra
en el laboratorio de Máquinas Eléctricas del
Departamento de Instrumentación y Control, de la
Universidad del Cauca.
MUCHAS GRACIAS