En particular, si 𝑎2 fuese negativo, el tipo de interés a corto plazo tendería a dejar de ser positivo
en un periodo finito de tiempo.
Longstaff y Schwartz (1992) cuyo modelo es de equilibrio. Se supone que el tipo de interés
instantáneo viene dado por la siguiente ecuación, donde X y Y describen el comportamiento de
los activos físicos de la economía:
𝑟(𝑡) = 𝑘 . 𝑋(𝑡) + ℎ. 𝑌(𝑡)
También pueden escribirse como:
1
𝑑𝑋(𝑡) = (𝑎 − 𝑏𝑋(𝑡))𝑑𝑡 + 𝑐𝑋(𝑡)2 𝑑𝑊1 (𝑡)
1
𝑑𝑋(𝑡) = (𝑒 − 𝑓𝑌(𝑡))𝑑𝑡 − 𝑔𝑌(𝑡)2 𝑑𝑊2 (𝑡)
Siendo 𝐸𝑡 [𝑑𝑊1 (𝑡) . 𝑑𝑊2 (𝑡)] = 0
No resulta fácil encontrar una interpretación intuitiva para el comportamiento de los factores.
7.6 Valoración de activos de renta fija en ambiente de incertidumbre
En ambiente de certidumbre, si no existen oportunidades de arbitraje, se ha de verificar que
𝑟(𝑡) = 𝑓(𝑡) para todo t, por lo que
𝑇
(1 + 𝑅𝑇 )(𝑇−1) = 𝑒 ∫𝑡
𝑟(𝑠)𝑑𝑠
Esta expresión ya no tiene sentido en la medida en que 𝑟(𝑠) es desconocido para 𝑠 > 𝑡, es decir,
𝑟(𝑠) es una variable aleatoria cuya función de distribución dependerá de 𝑟(𝑡),el tipo de interés
actual, y de la naturaleza del proceso estocástico que gobierne la dinámica de dicha variable.
Ahora supondremos que en general, la dinámica del tipo de interés instantáneo, 𝑟(𝑡), viene
descrita por la siguiente ecuación diferencial estocástica:
𝑑𝑟(𝑡) = 𝑓(𝑟(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡 + 𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡)𝑑𝑊(𝑡),
𝒇(𝒓(𝒕), 𝒕): Esperanza condicional de la variación del tipo de interés instantáneo por unidad de
tiempo.
𝒈(𝒓(𝒕), 𝒕)𝟐 : Varianza condicional del tipo de interés instantáneo por unidad de tiempo
𝒅𝑾(𝒕): Proceso de Wiener
A 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) lo denotamos como el precio en t de un bono cupon cero unitario con vencimiento
s, lo consideramos como una función del tipo de interés instantáneo y por un proceso del
tiempo; por lo que su dinámica vendrá dada por un proceso de Ito, así:
𝑑𝑣
𝑑𝑣 1 𝜕 2 𝑣
𝑑𝑣
d𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) = [ 𝑓(𝑟(𝑡), 𝑡) +
+
𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡)2 ] 𝑑𝑡 + [ 𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡)] 𝑑𝑊(𝑡)
2
𝑑𝑟
𝑑𝑡 2 𝜕𝑟
𝑑𝑟
Y su varianza condicionada será:
𝑉𝑎𝑟𝑡 [∆ 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)] ≈ [
Y puede reescribirse como:
2
𝜕𝑣
𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡)] ∆𝑡
𝜕𝑟
d𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) = 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) . 𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)𝑑𝑡 + 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) 𝑑𝑊(𝑡)
Siendo el rendimiento esperado en t, por unidad de tiempo de un bono cupon cero unitario con
vencimiento en s
1
𝜕𝑣
𝜕𝑣
1 𝜕2 𝑣
𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) = 𝑣(𝑟(𝑡),𝑡,𝑠) [𝜕𝑟 𝑓(𝑟(𝑡), 𝑡) + 𝜕𝑡 + 2 𝜕𝑟2 𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡)2 ]
Y la varianza condicionada por unidad de tiempo del rendimiento de una inversión en un bono
unitario de tipo cupón cero con vencimiento s
1
𝜕𝑣
𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) = 𝑣(𝑟(𝑡),𝑡,𝑠) [𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡) 𝜕𝑟 ]
Si consideramos un inversor que lleva acabo una inversión de 𝛼1 con vencimiento 𝑠1y al mismo
tiempo emite 𝛼2 con vencimiento 𝑠2 (donde 𝑠1 > 𝑡 y 𝑠2 > 𝑡 ), el valor de la cartera vendrá
dada por:
𝑉(𝑟(𝑡), 𝑡) = 𝛼1 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 ) − 𝛼2 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 )
Por lo tanto se verifica que:
𝑑𝑉(𝑟(𝑡), 𝑡) = 𝛼1 𝑑𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 ) − 𝛼2 𝑑𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 ) =
= 𝛼1 [𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 ) 𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 )𝑑𝑡 + 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 )𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 )𝑑𝑊(𝑡)] −
− 𝛼2 [𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 ) 𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 )𝑑𝑡 + 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 )𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 )𝑑𝑊(𝑡)] =
= [𝛼1 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 ) 𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 ) − 𝛼2 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 )𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 )𝑑𝑡] +
+[𝛼1 𝑣(𝛿(𝑡), 𝑡, 𝑠1 ) 𝜎(𝛿(𝑡), 𝑡, 𝑠1 ) − 𝛼2 𝑣(𝛿(𝑡), 𝑡, 𝑠2 ) 𝜎(𝛿(𝑡), 𝑡, 𝑠2 )]𝑑𝑊(𝑡).
Es posible seleccionar una composición de la cartera, es decir, un par de valores 𝛼1 y 𝛼2 , de
forma que se anule el término entre corchetes que multiplica 𝑑𝑊(𝑡), lo que implica eliminar la
componente estocástica del proceso, si 𝛼1 y 𝛼2 tienen la siguiente condición:
𝛼1 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 )𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 ) − 𝛼2 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 ) 𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 ) = 0
O equivalentemente, si
𝛼1 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 ) 𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 )
=
𝛼2 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 ) 𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 )
Si la cartera seleccionada verifica la relación anterior, entonces:
𝑉(𝑟(𝑡), 𝑡) = 𝛼1 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 ) − 𝛼1
(76)
= 𝛼1 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 ) [1 −
𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 ) 𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 )
𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 ) =
𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 ) 𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 )
𝜎(𝑟(𝑡),𝑡,𝑠1 )
𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 )] 𝑑𝑡
𝜎(𝑟(𝑡),𝑡,𝑠2 )
De esta manera encontramos el comportamiento de dicha cartera para un periodo de tiempo
infinitesimal.
Para que no hayan oportunidades de arbitraje, el rendimiento de esta cartera sin riesgo debe
coincidir con 𝑟(𝑡) y verificarse que
𝑑𝑉(𝑟(𝑡), 𝑡)
= 𝑟(𝑡)𝑑𝑡
𝑉(𝑟(𝑡), 𝑡)
O bien
𝑑𝑉(𝑟(𝑡), 𝑡) = 𝑟(𝑡)𝑉(𝑟(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡
Igualando las dos expresiones anteriores
𝑉(𝑟(𝑡), 𝑡)𝑟(𝑡)𝑑𝑡 = 𝛼1 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 ) [𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 ) −
𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 )
𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 )] 𝑑𝑡
𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 )
Sustituyendo 𝑉(𝑟(𝑡), 𝑡) por la expresión (76), es aquí donde se verifica la condición para
garantizar la no existencia de oportunidades de arbitraje.
[1 −
𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 )
𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 )
] 𝑟(𝑡) = [𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 ) −
𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 )] =
𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 )
𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 )
𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 ) − 𝑟(𝑡)
𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 ) − 𝑟(𝑡)
=
𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠1 )
𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠2 )
Si es independiente del plazo hasta el vencimiento de los bonos considerados, debe cumplirse
que (donde ∀𝑠):
𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) − 𝑟(𝑡)
= 𝑞(𝑟(𝑡), 𝑡)
𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
𝑞(𝑟(𝑡), 𝑡) Puede interpretarse como la prima de rendimiento del bono sobre el tipo de interés
sin riesgo por unidad de riesgo. Toda la expresión es el precio del riesgo de mercado y debe ser
independiente de s.
En caso de que pudiésemos determinar la función del precio del riesgo de mercado, entonces
teniendo en cuenta que bajo la hipótesis de ausencia de oportunidades de arbitraje
𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) = 𝑟(𝑡) + 𝑞(𝑟(𝑡), 𝑡)𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) = 𝑟(𝑡) + 𝑞 (𝑟(𝑡)
𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡) 𝜕𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
)
𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
𝜕𝑟
Sustituyendo en la ecuación (70), obtenemos la ecuación de valoración de bonos
𝜕𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) 1
𝜕 2 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
+ 𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡)2
𝜕𝑟
2
𝜕𝑟 2
+ (𝑓(𝑟(𝑡), 𝑡) − 𝑞(𝑟(𝑡), 𝑡) 𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡))
𝜕𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
− 𝑟(𝑡)𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) = 0
𝜕𝑟
Se deben especificar las funciones características del proceso, seguido por el tipo de interés
instantáneo y el precio del riesgo de mercado y cuya solución se obtendrá imponiendo la
condición de contorno donde 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) = 1
7.7 Interpretación del precio del riesgo de mercado
Con el fin de obtener la función 𝑞(𝑟(𝑡), 𝑡), a través del proceso de difusión y precio del bono
cupón cero unitario amortizable en s:
𝜕𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) 1
𝜕 2 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
𝜕𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
+ 𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡)2
+ 𝑓(𝑟(𝑡), 𝑡)
] 𝑑𝑡
2
𝜕𝑡
2
𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝜕𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
+ 𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡)
𝑑𝑊(𝑡)
𝜕𝑟
𝑑𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) = [
De acuerdo a las ecuaciones anteriores tenemos que
𝜕𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
𝑑𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
𝜕𝑟
[𝑑𝑊(𝑡) + 𝑞(𝑟(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡]
− 𝑟(𝑡) = 𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡)
𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
En el primer miembro de esta ecuación vemos el exceso de rendimiento del bono sobre el tipo
de interés sin riesgo, y el segundo contiene un término determinístico y otro estocástico. El
estocástico recoge el hecho de que el bono es un activo arriesgado y el determinístico recoge el
exceso de rendimiento por aceptar un cierto nivel de riesgo, es así que cuando el precio del
riesgo de mercado es cero, el exceso de rendimiento esperado por invertir en el bono arriesgado
también es cero porque la esperanza matemática de 𝑑𝑊(𝑡) también es cero, si el precio es
positivo el inversor esperara recibir recompensa por el riego.
7.8 Modelos afines
Representamos de la siguiente forma a un modelo de la estructura temporal de los tipos de
interés (ETTI) que generan funciones de descuento. Estos modelos reciben el nombre de
modelos afines.
𝜐(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) = 𝑒 𝐴(𝑡,𝑠)−𝑟(𝑡)𝐵𝑏(𝑡,𝑠)
Las condiciones que deben verificar estas funciones para que la solución de la ecuación
diferencial de valoración de bonos genere funciones de descuento englobables en la expresión
𝜕𝜐(𝑟(𝑡),𝑡,𝑠)
𝜕𝑡
= 𝑒 𝐴(𝑡,𝑠)−𝑟(𝑡)𝐵𝑏(𝑡,𝑠) [𝑓(𝑟(𝑡), 𝑡) −] = 𝜐(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) [
𝜕𝜐(𝑟(𝑡),𝑡,𝑠)
𝜕𝑡
= 𝑒 𝐴(𝑡,𝑠)−𝑟(𝑡)𝐵𝑏(𝑡,𝑠) 𝐵(𝑡, 𝑆) = 𝜐(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)𝐵(𝑡, 𝑠)
𝜕2 𝜐(𝑟(𝑡),𝑡,𝑠)
𝜕𝑟 2
𝜕𝐴(𝑡,𝑠)
𝜕𝑡
− 𝑟(𝑡)
𝜕𝐵(𝑡,𝑠)
]
𝜕𝑡
= 𝑒 𝐴(𝑡,𝑠)−𝑟(𝑡)𝐵𝑏(𝑡,𝑠) 𝐵(𝑡, 𝑆)2 = 𝜐(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)𝐵(𝑡, 𝑆)2
Y sustituyendo en y dividiendo por 𝜐(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) resulta
𝜕𝐴(𝑡,𝑠)
𝜕𝑡
− 𝑟(𝑡)
𝜕𝐵(𝑡,𝑠)
𝜕𝑡
1
2
+ 2 𝑔(𝑟(𝑡)) 𝐵(𝑡, 𝑆)2 − [𝑓(𝑟(𝑡), 𝑡) − 𝑞(𝑟(𝑡), 𝑡)𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡)] 𝐵(𝑡, 𝑠) −
𝑟(𝑡) = 0
Y diferenciando respecto a r(t), tenemos que
−
𝜕 (𝑓(𝑟(𝑡)) − 𝑞(𝑟(𝑡), 𝑡)𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡))
𝜕𝐵(𝑡, 𝑠)
1 𝜕𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡)2
−𝑟+
𝐵(𝑡, 𝑆)2 −
𝐵(𝑡, 𝑆) − 1 = 0
𝜕𝑡
2
𝜕𝑟
𝜕𝑟
Diferenciando de nuevo y dividiendo B(t,s)
1 𝜕2 (𝑟(𝑡),𝑡)2
𝐵(𝑡, 𝑆)2
2
𝜕𝑟 2
−
𝜕2 (𝑓(𝑟(𝑡))−𝑞(𝑟(𝑡),𝑡)𝑔(𝑟(𝑡),𝑡))
𝜕𝑟 2
=0
En esta expresión, la variable s solo aparece en B (t,s) luego para que el primer miembro pueda
ser igual a cero a verificarse que
1 𝜕 2 𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡)2
=0
2
𝜕𝑟 2
𝜕 2 (𝑓(𝑟(𝑡)) − 𝑞(𝑟(𝑡), 𝑡)𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡))
𝜕𝑟 2
=0
Ello implica, por tanto que
𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡)2 = 𝛼(𝑡)𝑟(𝑡) + 𝐵(𝑡) → 𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡) = √𝛼(𝑡)𝑟(𝑡) + 𝐵(𝑡)
𝑓(𝑟(𝑡), 𝑡) − 𝑞(𝑟(𝑡), 𝑡)𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡) = 𝜂(𝑡) − 𝛾(𝑡)𝑟(𝑡)
Y
Sustituyendo e igualando coeficientes
𝜕𝐴(𝑡,𝑠)
𝜕𝑡
− 𝑟(𝑡)
𝜕𝐵(𝑡,𝑠)
𝜕𝑡
1
2
+ [𝛼(𝑡)𝑟(𝑡) + 𝐵(𝑡)]𝐵(𝑡, 𝑆)2 − [𝜂(𝑡) − 𝛾(𝑡)𝑟(𝑡] 𝐵(𝑡, 𝑠) − 𝑟(𝑡) = 0
𝜕𝐴(𝑡, 𝑠) 1
+ 𝛽(𝑡)𝐵(𝑡, 𝑆)2 − 𝜂(𝑡)𝐵(𝑡, 𝑠) = 0
𝜕𝑡
2
{
𝜕𝐵(𝑡, 𝑠) 1
−
+ 𝛼(𝑡)𝐵(𝑡, 𝑆)2 + 𝛾(𝑡)𝐵(𝑡, 𝑠) − 1 = 0
𝜕𝑡
2
Las soluciones de estas dos ecuaciones diferenciales proporcionan las soluciones
correspondientes a las especificaciones concretas de las funciones permite obtener condiciones
de contorno de ambas ecuaciones diferenciales,
𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡) = √𝛼(𝑡)𝑟(𝑡) + 𝐵(𝑡)
𝑓(𝑟(𝑡), 𝑡) − 𝑞(𝑟(𝑡), 𝑡)𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡) = 𝜂(𝑡) − 𝛾(𝑡)𝑟(𝑡)
El modelo de Cox, Ingersoll y Ross se supone que la prima del riesgo de mercado viene dada por
la siguiente función
𝑞(𝑟(𝑡), 𝑡) =
𝜋√𝑟(𝑡)
𝜋 ∈ 𝑅+
𝜎
En este caso se verifica que
Luego 𝑞(𝑟(𝑡), 𝑡) = 𝜎√𝑟(𝑡) y además
𝑓(𝑟(𝑡), 𝑡) − 𝑞(𝑟(𝑡), 𝑡)𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡) = 𝜅(𝜇 − 𝑟(𝑡)) −
𝜋√𝑟(𝑡)
𝜎√𝑟(𝑡) = 𝜅𝜇 − (𝜅 + 𝜋)𝑟(𝑡)
𝜎
Esta definición permite que el modelo se incluya dentro del conjunto de modelos afines, y por
tanto la fórmula de valoración de bonos cupón cero. En particular:
𝐴(𝑡, 𝑠) =
2𝜅𝜇
𝜎2
2𝜓𝑒 (𝑘−𝜋+𝜓)(𝑠−𝑡)/2
ln [(𝑘−𝜋+𝜓)(𝑒 −𝜓(𝑠−𝑡)−1)+2𝜓]
2[𝑒 𝜓(𝑠−𝑡) −1]
𝐵(𝑡, 𝑠) = (𝑘−𝜋+𝜓)(𝑒 −𝜓(𝑠−𝑡)−1)+2𝜓
𝜓 = √(𝑘 − 𝜋)2 + 2𝜎 2
Si el precio del riego de mercado es nulo, se verificaría que:
𝑞(𝑟(𝑡), 𝑡) = 0 →
𝜇(𝑟(𝑡),𝑠)−𝑟(𝑡)
𝑔(𝑟(𝑡),𝑡)
= 0 → 𝜇(𝑟(𝑡), 𝑠) = 𝑟(𝑡)∀𝑠
Se verificaría una de las versiones de la teoría pura de las expectativas en el sentido de que para
un periodo de tiempo infinitesimal, el rendimiento de los bonos independiente del vencimiento
es:
𝐸𝑡 [
𝑑𝜈(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
] = 𝑟(𝑡))∀𝑠
𝜈(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
El modelo de Vasicek supone que la prima de riesgo es constante
𝑞(𝑟(𝑡), 𝑡) = 𝑞
Y la solución viene dada por
𝜌2
1
𝜈(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) = 𝑒𝑥𝑝 {𝛼 (1 − 𝑒 −𝛼(𝑠−𝑡) )(𝐻 − 𝑟(𝑡)) − (𝑠 − 𝑡)𝐻 − 4𝛼 (1 − 𝑒 −𝛼(𝑠−𝑡) )2 }
Y por tanto
𝜌2
1
𝐴(𝑡, 𝑠) = (1 − 𝑒 −𝛼(𝑠−𝑡) )(𝐻 − 𝑟(𝑡)) − (𝑠 − 𝑡)𝐻 − (1 − 𝑒 −𝛼(𝑠−𝑡) )2
𝛼
4𝛼
1
𝐵(𝑡, 𝑠) = 𝛼 (1 − 𝑒 −𝛼(𝑠−𝑡) )
Ejercicio 5
Compruebe que el modelo de Vasicek verifica las condiciones para ser incluido dentro del
conjunto de los modelos afines
𝛼(𝑡) = 0 𝑦 𝛽(𝑡) = 𝜌2
𝑓(𝑟(𝑡), 𝑡) − 𝑞(𝑟(𝑡), 𝑡)𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡) = 𝛼(𝛾 − 𝑟(𝑡)) − 𝑞𝑝 = 𝛼𝑝(𝑡) + (𝛼𝛾 − 𝑞𝑝)
𝜂(𝑡) = 𝛼𝛾 − 𝑞𝑝 𝑦 𝛾(𝑡) = −𝛼
En el caso de los modelos bifactoriales, las condiciones para la obtención de modelos afines y
los factores de los que depende el modelo son similares.
Ejercicio 6
El modelo desarrollado por Moreno (1999) es un modelo bifactorial de la forma
𝑑𝑠(𝑡) = 𝑘1 (𝜇1 − 𝑠(𝑡))𝑑𝑡 + 𝜎1 𝑑𝑊1 (𝑡)
𝑑𝐿(𝑡) = 𝑘2 (𝜇2 − 𝐿(𝑡))𝑑𝑡 + 𝜎2 𝑑𝑊2 (𝑡)
Este modelo supone que además que el precio del riesgo de mercado correspondiente a cada
factor es:
𝑞1 (𝑠(𝑡)), 𝐿(𝑡), 𝑡) = 𝑎 + 𝑏𝑠(𝑡)
𝑞2 (𝑠(𝑡)), 𝐿(𝑡), 𝑡) = 𝑐 + 𝑑𝐿(𝑡)
Compruebe que este modelo puede englobarse en el conjunto de modelos afines.
Para que el modelo que se acaba de describir sea afín debe cumplirse que:
1. los procesos estocásticos seguidos por los factores sean interrelacionados.
2. Debe ser una función lineal de s (t).
3. Los términos de volatilidad de los factores deben ser constantes.
Si se cumplen las condiciones para que la ecuación de valoración de bonos de cupón cero.
7.9 Duración estocástica
Analizaremos el impacto de una variación no anticipada en el factor de riesgo sobre el valor de
los activos de renta fija.
El valor de una cartera de títulos de renta fija que genere la siguiente corriente de pagos viene
dado por:
𝑛
𝑉 = ∑ 𝐶𝑖 𝑒 −𝑦(𝑡1 −𝑡0 )
𝑖=1
La duración de la cartera se define como:
𝐷=
∑𝑛𝑖=1(𝑡1 − 𝑡𝑜 ) ∗ 𝐶𝑖 ∗ 𝑒 −𝑦(𝑡1 −𝑡𝑛 )
∑𝑛𝑖=1 𝐶𝑖 𝑒 −𝑦(𝑡1 −𝑡0 )
Verificándose que:
𝑑𝑉
= −𝐷𝑑𝑦
𝑉
Ósea la variación en el valor de la misma es proporcional a su duración. Contrario a lo que se ha
venido afirmando sobre la duración basada en el comportamiento de la estructura temporal,
ahora veremos una medida dinámica del riego de mercado, riesgo de mercado que surge de las
variaciones no anticipadas de la ETTI, las cuales se derivas de los modelos de comportamiento
de los tipos de interés.
Por el lema de Ito sabemos que el precio de este activo sigue un proceso de difusión gobernado
por:
𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) =
1
𝜕𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
𝜕𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
[
+ 𝑓(𝑟(𝑡), 𝑡)
𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
𝜕𝑡
𝜕𝑡
2
1
𝜕 𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
+ 𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡)2
]
2
𝜕𝑟 2
Si la cartera es compuesta por títulos de renta fija entonces, el valor de la cartera en el instante
𝑡0 vendrá dado por:
𝑛
𝑉(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 ) = ∑ 𝐶𝑖 𝑉(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 , 𝑡1 )
𝑖=1
Verificándose que :
117 𝑑𝑉(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 ) = ∑𝑛𝑖=1 𝐶𝑖 𝑑𝑣(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 , 𝑡1 ) =
𝑛
= ∑ 𝐶𝑖 [𝑣(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 , 𝑡1 )µ(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 , 𝑡1 )𝑑𝑡 + 𝑣(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 , 𝑡1 )𝜎(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 , 𝑡1 )𝑑𝑊(𝑡)]
𝑖=1
Alternativamente, esta ecuación puede escribirse como:
𝑑𝑉(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 ) = 𝑉(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 )µ𝑣(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 , 𝑡0 )𝑑𝑡 + 𝑉(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 )𝜎𝑣 (𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 , 𝑡1 ))𝑑𝑊(𝑡)
Siendo
𝜇𝑣 (𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 ) =
1
𝑑𝑉(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 )
𝑑𝑉(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 )
[
+ 𝑓(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 )
),
)
𝑉(𝑟(𝑡0 𝑡0
𝑑𝑡
𝑑𝑟
2
),
)
1
𝑑
𝑉(𝑟(𝑡
𝑡
0
0
+ 𝑔(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 )2
]
2
𝑑𝑟 2
El rendimiento esperado en 𝑡0 de la cartera por unidad de tiempo y siendo
1
𝑑𝑉(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 )
𝜎𝑣 (𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 )2 = [
𝑔(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 )]2
𝑉(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 )
𝑑𝑟
Se deduce que las variaciones en el rendimiento de la cartera, como consecuencia de una
variación no anticipada en el factor de riesgo, ósea:
1
𝑑𝑉(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 )
[
𝑔(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 )
𝑉(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 )
𝑑𝑟
El impacto en el precio de una cartera causado por las variaciones no anticipadas depende del
valor del cociente:
𝑑𝑉(𝑟(𝑡0 ), 𝑡)
𝑑𝑟
𝑉(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 )
La variación relativa en el precio de la cartera como consecuencia de una variación del tipo de
interés instantáneo, la siguiente expresión será la medida de riesgo de mercado de una cartera:
𝑑𝑉(𝑟(𝑡0 ), 𝑡)
𝑑𝑟
−
𝑉(𝑟(𝑡0 ), 𝑡0 )
La anterior expresión mide la duración estocástica que es un redimensionamiento de la anterior
medida de riesgo de mercado para que pueda medirse en unidades de tiempo, el riesgo de
mercado en el instante cero viene dado por:
𝑑𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
𝑑𝑟
−
𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
Si la única diferencia entre bonos cupón cero es su plazo hasta la amortización podemos
expresarlo así:
𝑑𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
𝑑𝑟
−
= 𝜑(𝑡, 𝑠)
𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
Por lo tanto la duración estocástica de una cartera de renta fija vendrá dada por el plazo hasta
la amortización, tal que:
𝑑𝑉(𝑟(𝑡), 𝑡)
𝑑𝑟
−
= 𝜑(𝑡, 𝑠)
𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡)
En resumen la duración estocástica de la cartera será:
𝐷𝑒 = 𝜑
−1
𝑑𝑉(𝑟(𝑡), 𝑡)
𝑑𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 )
∑𝑛𝑖=1 𝐶𝑖
𝑑𝑟
𝑑𝑟
−1
[−
]=𝜑 [ 𝑛
]
∑𝑖=1 𝐶𝑖 𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 )
𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡)
∑𝑛𝑖=1 𝐶𝑖 𝜑(𝑡, 𝑡𝑖 )𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 )
= 𝜑−1 [
]
∑𝑛𝑖=1 𝐶𝑖 𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 )
Los vencimientos de los flujos de caja han sido sustituidos por la anterior transformación, que
se deshace al recalcular la inversa del cociente del argumento del argumento anterior
Ejercicio
Suponga que el tipo de interés instantáneo sigue un proceso de difusión de la forma
𝑑𝑟(𝑡) = 𝜅(𝜇 − 𝛿(𝑡))𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊(𝑡)
Siendo la función del precio del riesgo de mercado q y suponiendo que el valor estimado de los
parámetros es:
𝜅 = 0,692; 𝜎 2 = 0,00608. 𝜇; 𝜇 = 5,623%; 𝑞 = 0; 𝑟(0) = 𝜇
a) Obtenga el valor y la duración de macaulay de un bono que pague semestralmente un
cupón anual de 6% y amortizable a los cinco, diez y 35 años.
b) Obtenga la expresión de la duración estocástica de cada uno de los bonos anteriores.
c) Ibídem con 𝜅 = 0,1 y construya la tabla de resultados
Resolución del ejercicio:
a) El modelo de valoración de bonos cupón cero se comporta según la ecuación diferencial
anterior, viene dado por:
1
𝜎2
𝑣(𝑟(0), 0, 𝑠) = 𝑒𝑥𝑝 { (1 − 𝑒 −𝜅.𝑠 )(𝐻 − 𝑟(0) − 𝑠. 𝐻 −
(1 − 𝑒 −𝜅.𝑠 )2 }
𝜅
4𝜅
Donde 𝐻 = 𝜇 −
𝜎.𝑞
𝜅
−
𝜎2
2𝜅2
El valor en t=0 de un bono amortizable dentro de n años, viene dado por
2𝑛
𝐶
𝑖
𝑃𝑛 = ∑ 𝑣 (𝑟(0), 0, ) + 𝑁𝑣(𝑟(0), 0, 𝑛)
2
2
𝑖=1
Se obtiene entonces los siguientes resultados
N
Precio (%)
5
101,37
10
103,45
La TIR para cada uno de los bonos anteriores se obtiene con:
35
104,48
2𝑛
𝐶
𝑃𝑛 = ∑ 𝑒 −𝑦.𝑖/𝑠 + 𝑁𝑒 −𝑦.𝑛
2
𝑖=1
Y se obtiene que:
N (años)
TIR (%)
5
5,60
10
5,60
35
5,59
La duración de Macaulay de cada uno de los bonos puede obtenerse a partir de la siguiente
ecuación:
𝐷𝑛 =
∑2𝑛
𝑖=1
𝑖 𝐶 −𝑦.𝑖/𝑠
+ 𝑛. 𝑁𝑒 −𝑦.𝑛
22𝑒
𝑃𝑛
Obteniéndose los siguientes resultados:
N (años)
Duración (años)
5
4,40
10
7,69
35
15,42
b) En relación a la duración estocástica correspondiente al modelo de Vasicek, tenemos
que su función inversa cuando t=0
ln(1 − 𝜅. 𝑥)
𝜅
Donde la duración estocástica de cada uno de los bonos en t=0 vendrá dada por:
𝜑−1 (𝑥) = −
𝐷𝑒,𝑛 = 𝜑
−1
𝑖 𝐶
𝑖
∑2𝑛
𝑖=1 𝜑 (2) 2 𝑣 (𝑟(0), 0, 2) + 𝜑(𝑛)𝑁𝑣(𝑟(0), 0, 𝑛)
[
]
𝑃𝑛
Con lo cual se obtienen los siguientes valores:
N (años)
Duración estocástica
5
2,83
10
3,95
35
4,00
C) En los casos de que 𝜅 = 0,1 y 𝜅=0,692, los resultados se han recogido conjuntamente con los
anteriores en la siguiente tabla
Precio%
TIR%
N
𝜅 =0,1
𝜅 =0,692
5
10
35
101,69
104,25
117,64
101.37
102,45
104.98
𝜅
= 0,1
5,53
5,37
4.88
Duración
de Duración Estocástica
Macaulay
𝜅=0,692 𝜅 = 0,1 𝜅=0,692
𝜅=0,692
𝜅 = 0,1
5.60
5.60
5,59
4,40
7,72
16,39
4,40
7,69
15,42
Este es entonces un proceso estocástico con reversión a la media.
7.10 Inmunización estocástica
4,31
7,17
11,23
2,83
3,95
2,00
El problema de la inmunización estocástica es el de establecer las condiciones bajo las que una
cartera de activos de renta fija permite garantizar el hacer frente a una corriente de pagos.
Entonces supondremos que el comportamiento del tipo de interés instantáneo puede
describirse por una ecuación diferencial estocástica de la forma
128
𝑑𝑟(𝑡) = 𝑓(𝑟(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡 + 𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡)𝑑𝑊(𝑡)
El valor en t de la cartera y de la corriente de pagos pasiva viene dado por:
129
𝑛
𝑃𝑥 (𝑟(𝑡), 𝑡) = ∑ 𝐶𝑖 𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 )
𝑖=1
130
𝑛
𝑃𝑦 (𝑟(𝑡), 𝑡) = ∑ 𝐶𝑗´ 𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑗´ )
𝑖=1
Para que una cartera esté inmunizada se ha de verificar que:
(1) 𝑃𝑥 (𝑟(𝑡), 𝑡) = 𝑃𝑦 (𝑟(𝑡), 𝑡)
(2) 𝑑𝑃𝑥 (𝑟(𝑡), 𝑡) = 𝑑𝑃𝑦 (𝑟(𝑡), 𝑡)
Teorema: Si el tipo de interés instantáneo r (t) se comporta, según una ecuación estocástica, de
la forma
𝑑𝑟(𝑡) = 𝑓(𝑟(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡 + 𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡)𝑑𝑊(𝑡)
Frente a las variaciones no esperadas de los tipos de interés se verifica las siguientes
condiciones:
(1) 𝑃𝑥 (𝑟(𝑡), 𝑡) = ∑𝑛𝑖=1 𝐶𝑖 𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 ) = 𝑃𝑦 (𝑟(𝑡), 𝑡) = ∑𝑛𝑖=1 𝐶𝑗´ 𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑗´ )
Demostración
Sea 𝑁(𝑟(𝑡), 𝑡)
131
𝑛
𝑛
𝑁(𝑟(𝑡), 𝑡) = 𝑃𝑥 (𝑟(𝑡), 𝑡) − 𝑃𝑦 (𝑟(𝑡), 𝑡) = ∑ 𝐶𝑖 𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 ) − ∑ 𝐶𝑗´ 𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑗´ )
𝑖=1
Entonces
132
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑑𝑁(𝑟(𝑡), 𝑡) = [∑ 𝐶𝑖 𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 )𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 ) − ∑ 𝐶𝑗´ 𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑗´ )𝑢(𝑆(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑗´ )] 𝑑𝑡
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑛
+ [∑ 𝐶𝑖 𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 )𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 ) − ∑ 𝐶𝑗´ 𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 )𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑗´ )] 𝑑𝑊(𝑡)
𝑖=1
𝑖=1
133
(a) [∑𝑛𝑖=1 𝐶𝑖 𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 )𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 ) − ∑𝑛𝑖=1 𝐶𝑗´ 𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑗´ )𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑗´ )] = 0
134
(b) [∑𝑛𝑖=1 𝐶𝑖 𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 )𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 ) − ∑𝑛𝑖=1 𝐶𝑗´ 𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 )𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑗´ )] = 0
135
𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 )𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 ) = 𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡)
𝑑𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 )
𝑑𝑟
La segunda de las condiciones anteriores puede reescribirse como:
136
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑖=1
𝑑𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑗´
𝑑𝑣(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 )
∑ 𝐶𝑖
− ∑ 𝐶𝑗´
=0
𝑑𝑟
𝑑𝑟
Por otra parte, la hipótesis de la ausencia de oportunidades arbitraje implica que
137)
𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) − 𝑟(𝑡)
= 𝒒(𝑟(𝑡), 𝑡) ↔ 𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) = 𝑟(𝑡) + 𝒒(𝑟(𝑡), 𝑡)𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) ↔
𝝈(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
𝜕𝜈(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
𝜕𝑟
𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠) = 𝑟(𝑡) + 𝒒(𝑟(𝑡), 𝑡)𝒈(𝑟(𝑡), 𝑡)
𝜈(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑠)
Y por tanto, la ecuación puede reescribirse como
′′
138) [𝑟(𝑡) ∑′′
𝑖=1 𝑐𝑖 𝜐(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 ) + (𝑟(𝑡), 𝑡)𝒈(𝑟(𝑡), 𝑡) ∑𝑖=1 𝑐𝑖
′′′
𝜕𝜐(𝑟(𝑡),𝑡,𝑡)
]−
𝜕𝑟
′′′
− [𝑟(𝑡) ∑ 𝑐𝑗 𝜐(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 ) + (𝑟(𝑡), 𝑡)𝒈(𝑟(𝑡), 𝑡) ∑ 𝑐𝑗
𝑗=1
𝑖=1
′′
𝜕𝜐(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡′)
]=0
𝜕𝑟
′′′
𝑟(𝑡) [∑ 𝑐𝑖 𝜐(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖 ) − ∑ 𝑐𝑗 𝜕𝜐(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡 ′ )] +
𝑖=1
𝑖=1
′′
′′′
𝑖=1
𝑖=1
𝜕𝜐(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡𝑖)
𝜕𝜐(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑡′)
+𝒒(𝑟(𝑡), 𝑡)𝑔(𝑟(𝑡), 𝑡) [∑ 𝑐𝑗
− ∑ 𝑐𝑗
]=0
𝜕𝑟
𝜕𝑟
Obsérvese que el primer término entre corchetes es igual a cero, por lo tanto
139) ∑′′
𝑖=1 𝑐𝑗
𝜕𝜐(𝑟(𝑡),𝑡,𝑡𝑖)
𝜕𝑟
= ∑′′′
𝑖=1 𝑐𝑗
𝜕𝜐(𝑟(𝑡),𝑡,𝑡′)
𝜕𝑟
La definición de la función será:
141)
∑′′
𝑖=1 𝜑(𝑡,𝑡𝑖 )𝑐𝑖 𝜐(𝑟(𝑡),𝑡,𝑡𝑖)
∑′′
𝑗=1 𝑐𝑗 𝜐(𝑟(𝑡),𝑡,𝑡𝑖 )
=
∑′′′
𝑖=1 𝜑(𝑡,𝑡′𝑗 )𝑐𝑖 𝜐(𝑟(𝑡),𝑡,𝑡′𝑗)
∑′′′
𝑗=1 𝑐𝑗 𝜐(𝑟(𝑡),𝑡,𝑡𝑗 )
↔ 𝐷𝑦 𝐷𝑥′
Ejercicio 9. Suponga que el inversor que tiene que hacer frente a un pago de 100000 euros
dentro de 10 años. Obtenga la cartera inmunizada compuesta por bonos cupón cero
amortizables a cinco años y 15 años bajo las siguientes hipótesis:
a) El tipo de interés se comporta así:
𝑑𝑟(𝑡) = 𝜅(𝜇 − 𝑟(𝑡))𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊(𝑡)(𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑉𝑖𝑎𝑠𝑖𝑠𝑒𝑘),
𝜅 = 0,1; 𝜇 = 0,07; 𝜎 2 = 0,0002
b) La función del precio del riego de mercado es cero
c) El valor del tipo de interés instantáneo es igual a
𝑐. 1) 𝑟(0) = 7%; 𝑐. 2) 𝑟(0) = 5%; 𝑐. 3) 𝑟(0) = 9%
El valor de un bono cupón cero unitario amortizable, vendrá dado por la siguiente expresión:
𝑃𝑦 (𝑟(0), 0) = 100.000𝜐(𝑟(0), 0,10) = 100.000𝑒 𝐴(0,10)−𝑟(0)𝐵(0,10)
Donde A y B son las funciones de (111) y (112), y sustituyendo se obtiene:
𝑃𝑦 (𝑟(0), 0) = 100.000(0,50500302) = 50.500,30 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠.
Respecto a la cartera de bonos a cinco y quince años, su valor en t=0 vendrá dado por:
𝑃𝑥 (𝑟(0), 0) = 𝑁5 𝜐(𝑟(0), 0,5) + 𝑁15 (𝑟(0), 0,15) = 𝑁5 ∙ 0,7067 + 𝑁15 . 0,36998
La duración estocástica de la cartera será:
𝑁5 𝜐(𝑟(0), 0,5) + 𝑁15 (𝑟(0), 0,15)
𝐷𝑥 = 𝜑−1 [
]=
𝑃𝑥 (𝑟(0), 0)
= 𝜑−1 [
𝑁5 0,706743 + 𝜑(15) [
50.500,30 − 𝑁5 0,706743
] 0,364999803
0,36499803
]
50.500,30
Sustituyendo 𝜑(𝑡, 𝑠)obtenemos que:
𝜑(0,5) = 3,9346934 𝑦 𝜑(0, 15) = 7,768698
Aplicando la condición 𝐷𝑥 = 𝐷𝑦 = 10 se obtienen los valores de N que verifican las dos
condiciones para la inmunización estocástica:
𝑁5 = 26.977,14 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 37,75% 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑟𝑎
𝑦 𝑁15
= 86.122,07 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 62,25% 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 62,25% 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑟𝑎
Para los dos casos restantes, r(0)=9% y r(0)=5% , los resultados que se obtienen se muestran en
la siguiente tabla, junto a los alcanzados para el caso inicial r(0)=7%
𝑟(0) = 5%
Nominal
(euros)
𝑟(0) = 7%
𝑅(0) = 9%
%
sobre Nominal
𝑃𝑥 (r(0),0)
(euros)
%
sobre Nominal
𝑃𝑥 (r(0),0)
(euros)
%
sobre
𝑃𝑥 (r(0),0)
Bono
a 28.295,99
cinco años
37,75
26.977,14
37,75
25.719,69
37,75
Bono
quince
años
62,25
86.122,07
62,25
88.651,72
62,25
a 83.664,58
7.11 Modelos consistentes con la estructura temporal de los tipos de interés de mercado
A raíz de las críticas a los modelos unifactoriales en los años noventa surgió una nueva clase de
modelos que permiten obtener ETTIs teóricas que casan perfectamente con la del mercado.
Entre estos modelos podemos incluir la versión en tiempo continuo del modelo de Ho y Lee
(1986), así como el modelo de Hull y White (1993) que puede considerarse como una extensión
del modelo de Vasicek.
7.11.1 Modelo de Ho y Lee
En este modelo la volatilidad se supone constante, mientras que la tendencia se supone
dependiente del tiempo, aunque independiente de r (t). En particular para que en t=0 la ETTI
teórica case con la real, la función 𝜂(𝑡) debe definirse como:
𝜂(𝑡) = −
𝑑2
log(𝑃𝑀 (0, 𝑡)) + 𝜎 2 𝑡
𝑑𝑡 2
Donde 𝑃𝑀 (0, 𝑡) representa el precio de mercado en t=0 de un bono cupón unitario amortizable
en t.
También se puede decir que:
𝜂(𝑡) = −
𝑑2
𝑑
log(𝑃𝑀 (0, 𝑡)) =
𝑓𝑡
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡 0
Donde 𝑓0 (𝑡) es la curva de tipos forward instantáneos observada en t=0. Por lo que se concluye
que la función 𝜂(𝑡) es aproximadamente la pendiente de los tipos forward.
El precio en t de un bono cupón cero unitario amortizable en T es:
𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑇) = 𝑒 𝐴(𝑡,𝑇)−𝑟(𝑡)∗𝐵(𝑡,𝑇)
Donde,
𝑃𝑀 (0, 𝑇)
𝑑
1
𝐴(𝑡, 𝑇) = 𝑙𝑜𝑔 [
] − (𝑇 − 𝑡) 𝑙𝑜𝑔𝑃𝑀 (0, 𝑇)) − 𝜎 2 𝑡(𝑇 − 𝑡)
𝑃𝑀 (0, 𝑡)
𝑑𝑡
2
𝐵(𝑡, 𝑇) = 𝑇 − 𝑡
7.11.2 Modelo Hull y White
Puede considerarse como una extensión del modelo de Vasicek. En particular, este modelo viene
definido por la siguiente ecuación diferencial estocástica:
𝑑𝑟(𝑡) = (𝜇(𝑡) − 𝑘𝑟(𝑡))𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊(𝑡)
Si 𝜅 ≠ 0;
𝑑𝑟(𝑡) = 𝑘 (
𝜇(𝑡)
− 𝑟(𝑡)) 𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊(𝑡)
𝑘
La volatilidad del tipo de interés instantáneo se supone constante; sin embargo, este modelo
presenta un proceso de reversión hacia un valor que depende del tiempo (𝜇(𝑡)).
Para verificar que entre la ETTI teórica y la real se tiene que verificar lo siguiente:
𝜇(𝑡) = −
𝑑2
𝜎2
(0,
(0,
log(𝑃
𝑡))
−
𝑘
log(𝑃
𝑡))
+
(1 − 𝑒 −2𝑘𝑡 )
𝑀
𝑀
𝑑𝑡 2
2𝑘
Donde, 𝑃𝑀 (0, 𝑇) representa el precio del mercado en t=0 de un bono cupón cero unitario
amortizable en t.
La función de descuento es:
𝑢(𝑟(𝑡), 𝑡, 𝑇) = 𝑒 𝐴(𝑡,𝑇)−𝑟(𝑡)∗𝐵(𝑡,𝑇)
Con esto vemos que el modelo de Hull y White al igual que el de Ho y Lee son modelos afines.
Las funciones 𝐴(𝑡, 𝑇) 𝑦 𝐵(𝑡, 𝑇) son:
𝑃 (0,𝑇)
𝑑
𝜎2
𝐴(𝑡, 𝑇) = 𝑙𝑜𝑔 [ 𝑃𝑀 (0,𝑡) ] − 𝐵(𝑇 − 𝑡) 𝑑𝑡 𝑙𝑜𝑔𝑃𝑀 (0, 𝑇)) − 4𝑘 3 (𝑒 −𝑘𝑇 − 𝑒 −𝑘𝑡 )(𝑒 −𝑘𝑇 − 1)
𝑀
1
𝐵(𝑡, 𝑇) = 𝑘 (1 − 𝑒 −𝑘(𝑇−𝑡) )
