Subido por E. P.P.

2 turno grupo C

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UNIVERSIDAD AUTONOMA TOMAS FRIAS
FACULTAD DE INGENIERIA
CARRERA DE INGENIERIA CIVIL
Determinar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟔, 𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟓 y es
perpendicular al plano 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏𝟐.
Solución
El vector direccional de la recta de intersección se calcula por
𝒖 = 𝑵𝟏 × 𝑵𝟐
𝑵𝟏 = ⟨1,1,1⟩
𝑖 𝑗
𝒖= 1 1
0 1
𝑵𝟐 = ⟨0,1,3⟩
𝑘
1
3
𝒖 = ⟨2, −3,1⟩
Un punto en la recta será
Para 𝑧 = 0
𝑥+𝑦 =6
→
𝑥=1
𝑦=5
𝑃 = (1,5,0)
Recta de intersección
𝐿: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ⟨1,5,0⟩ + 𝑡⟨2, −3,1⟩
La normal del plano a encontrar será:
𝑵 = 𝒖 × 𝑵𝟑
𝒖 = ⟨2, −3,1⟩
𝑖
𝑵= 2
1
𝑗
−3
−2
𝑵𝟑 = ⟨1, −2,3⟩
𝑘
1
3
𝑵 = ⟨−7, −5, −1⟩
𝑁 · ⟨𝑃 − 𝑃 ⟩ = 0
⟨−7, −5, −1⟩ · ⟨(𝑥, 𝑦, 𝑧) − (1,5,0)⟩ = 0
⟨7,5,1⟩ · ⟨𝑥 − 1, 𝑦 − 5, 𝑧⟩ = 0
7𝑥 − 7 + 5𝑦 − 25 + 𝑧 = 0
𝟕𝒙 + 𝟓𝒚 + 𝒛 = 𝟑𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
Calcular la longitud del astroide 𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 = 𝒂𝟑
Solución
Parametrizando la curva
𝑥 = 𝑎 · cos 𝜃
𝑦 = 𝑎 · sin 𝜃
𝑟(𝜃) = 𝑎 · cos 𝜃 𝑖 + 𝑎 · sin 𝜃 𝑗
ERVIN PUMA PEÑARANDA
CALCULO II (MAT-102)
UNIVERSIDAD AUTONOMA TOMAS FRIAS
FACULTAD DE INGENIERIA
CARRERA DE INGENIERIA CIVIL
𝑟 (𝜃) = −3𝑎 · cos 𝜃 · sin 𝜃 𝑖 + 3𝑎 · sin 𝜃 · cos 𝜃 𝑗
‖𝑟 (𝜃)‖ =
(−3𝑎 · cos 𝜃 · sin 𝜃) + (3𝑎 · sin 𝜃 · cos 𝜃)
‖𝑟 (𝜃)‖ =
9𝑎 · cos 𝜃 · sin 𝜃 + 9𝑎 · sin 𝜃 · cos 𝜃
‖𝑟 (𝜃)‖ = 3𝑎 · sin 𝜃 · cos 𝜃
‖𝑟 (𝜃)‖𝑑𝜃
𝐿=
𝐿=4
3𝑎 · sin 𝜃 · cos 𝜃 𝑑𝜃
𝐿 = 6𝑎
sin 2𝜃 𝑑𝜃
𝐿 = −6𝑎 ·
cos(2𝜃)
2
𝐿 = −6𝑎 ·
cos(𝜋) cos(0)
−
2
2
𝐿 = 6𝑎
Mostrar que las superficies 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 + 𝟖𝒛𝟐 = 𝟑𝟔, 𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝟒𝒛𝟐 = 𝟔 se cortan perpendicularmente.
Solución
3𝑥 + 4𝑦 + 8𝑧 = 36
𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = 6
→
3𝑥 + 4𝑦 + 8𝑧 = 36
2𝑥 + 4𝑦 − 8𝑧 = 12
5𝑥 + 8𝑦 = 48
5𝑥
𝑦
+
=1
48
6
Parametrizando
𝑥=
𝑧=±
48
· cos 𝜃
5
𝑦 = √6 · sin 𝜃
9 18
−
· cos 𝜃 − 3 · sin 𝜃
2 5
𝑟(𝜃) = ⟨
48
9 18
· cos 𝜃 , √6 · sin 𝜃 , ±
−
· cos 𝜃 − 3 · sin 𝜃⟩
5
2 5
∇𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) · ∇𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥 + 4𝑦 + 8𝑧 − 36
ERVIN PUMA PEÑARANDA
𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 − 6
CALCULO II (MAT-102)
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FACULTAD DE INGENIERIA
CARRERA DE INGENIERIA CIVIL
∇𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ⟨6𝑥, 8𝑦, 16𝑧⟩
∇𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ⟨2𝑥, 4𝑦, −8𝑧⟩
⟨6𝑥, 8𝑦, 16𝑧⟩ · ⟨2𝑥, 4𝑦, −8𝑧⟩ = 0
12𝑥 + 32𝑦 − 128𝑧 = 0
12
48
· cos 𝜃
5
+ 32 √6 · sin 𝜃
− 128
12
48
· cos 𝜃
5
+ 32 √6 · sin 𝜃
− 128
9 18
−
· cos 𝜃 − 3 · sin 𝜃
2 5
9 18
−
· cos 𝜃 − 3 · sin 𝜃
2 5
=0
=0
576
9 18
· cos 𝜃 + 192 · sin 𝜃 − 128 · −
· cos 𝜃 − 3 · sin 𝜃 = 0
5
2 5
576
2304
· cos 𝜃 + 192 · sin 𝜃 − 576 +
· cos 𝜃 + 384 · sin 𝜃 = 0
5
5
576 · cos 𝜃 + 576 · sin 𝜃 − 576 = 0
576 − 576 = 0
0=0
Como el producto escalar entre ambos gradientes es igual a cero en todos los puntos de la curva se asegura
que ambas superficies son ortogonales en su intersección.
Minimizar 𝑽 =
𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐
𝟔𝒙𝒚𝒛
, sujeto a
𝒙𝟐
𝒂𝟐
+
𝒚𝟐
𝒃𝟐
+
𝒛𝟐
𝒄𝟐
= 𝟏.
Solución
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑎 𝑏 𝑐
6𝑥𝑦𝑧
𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥
𝑦
𝑧
+
+ −1
𝑎
𝑏
𝑐
𝑓 = 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝜆 ∙ 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑓=
𝑎 𝑏 𝑐
𝑥
𝑦
𝑧
+𝜆∙
+
+ −1
6𝑥𝑦𝑧
𝑎
𝑏
𝑐
Derivando
ERVIN PUMA PEÑARANDA
CALCULO II (MAT-102)
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𝜕𝑓
=0
𝜕𝑥
𝜕𝑓
=0
𝜕𝑦
𝜕𝑓
=0
𝜕𝑧
𝜕𝑓
=0
𝜕𝜆
𝑎 𝑏 𝑐
𝜆
+ 2𝑥 ∙
=0
6𝑥 𝑦𝑧
𝑎
𝑎 𝑏 𝑐
𝜆
−
+ 2𝑦 ∙
=0
6𝑥𝑦 𝑧
𝑏
𝑎 𝑏 𝑐
𝜆
−
+ 2𝑧 ∙
=0
6𝑥𝑦𝑧
𝑏
𝑥
𝑦
𝑧
+
+ −1= 0
𝑎
𝑏
𝑐
−
𝑎 𝑏 𝑐
2𝑥 ∙ 𝜆
6𝑥 𝑦𝑧
=
2𝑦 ∙ 𝜆 𝑎 𝑏 𝑐
6𝑥𝑦 𝑧
→
𝑥
𝑦
=
𝑎
𝑏
𝑎 𝑏 𝑐
2𝑥 ∙ 𝜆
6𝑥 𝑦𝑧
=
2𝑧 ∙ 𝜆 𝑎 𝑏 𝑐
6𝑥𝑦𝑧
→
𝑥
𝑧
=
𝑎
𝑐
𝑎 𝑏 𝑐
2𝑦 ∙ 𝜆
6𝑥𝑦 𝑧
=
2𝑧 ∙ 𝜆 𝑎 𝑏 𝑐
6𝑥𝑦𝑧
→
𝑦
𝑧
=
𝑏
𝑐
→
→
→
→
𝑎 𝑏 𝑐
6𝑥 𝑦𝑧
𝑎 𝑏 𝑐
2𝑦 ∙ 𝜆 =
6𝑥𝑦 𝑧
𝑎 𝑏 𝑐
2𝑧 ∙ 𝜆 =
6𝑥𝑦𝑧
𝑥
𝑦
𝑧
+
+ =1
𝑎
𝑏
𝑐
2𝑥 ∙ 𝜆 =
𝑥
𝑦
𝑧
=
=
𝑎
𝑏
𝑐
𝑥
𝑥
𝑥
+ +
=1
𝑎
𝑎
𝑎
𝑥
𝑦
=
𝑎
𝑏
→
𝑥
𝑧
=
𝑎
𝑐
𝑉
𝑦 =
𝑏 ·
𝑎
3
→
𝑎
3
→
𝑎
𝑐 ·
𝑎
→
𝑥=
𝑎√3
3
𝑦=
𝑏√3
3
𝑧=
𝑐√3
3
𝑎 𝑏 𝑐
=
=
3𝑥
=1
𝑎
𝑦 =
→
6·
𝑉
→
𝑎√3 𝑏√3 𝑐√3
·
·
3
3
3
√3
· 𝑎𝑏𝑐
2
Calcular ∫ ∫ 𝐜𝐨𝐬
𝒙 𝒚
𝒙 𝒚
𝒅𝑨, Donde 𝑹 es la región limitada por 𝒙 + 𝒚 = 𝟏, 𝒙 = 𝟎, 𝒚 = 𝟎.
Solución
𝑅=
𝑥=0
𝑦=0
𝑥=1
𝑦 = 1−𝑥
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𝑥−𝑦 =𝑢
𝑥=
𝑢+𝑣
2
𝜕(𝑥, 𝑦)
=
𝜕(𝑢, 𝑣)
𝑅=
𝑥+𝑦 =𝑣
𝑦=
1
2
1
−
2
𝑥=0
𝑦=0
𝐼=
1
2
1
2
1
·
2
𝑣 · sin
𝐼=
1
·
2
𝑣 · sin
𝐼=
1
·
2
2𝑣 · sin 1 𝑑𝑣
𝐼=
𝑅∗ =
→
𝑣 = −𝑢
𝑣=𝑢
→
𝜕(𝑥, 𝑦) 1
=
𝜕(𝑢, 𝑣) 2
𝑥=1
𝑣=1
𝑢 1
· 𝑑𝑢𝑑𝑣
𝑣 2
𝐼=
𝐼 = sin 1 ·
𝜕(𝑥, 𝑦) 1 1
= +
𝜕(𝑢, 𝑣) 4 4
→
𝑥=1
𝑦 = 1−𝑥
cos
𝐼 = sin 1 ·
𝑣−𝑢
2
𝑢
𝑣
𝑑𝑣
𝑣
𝑣
− sin −
𝑣
𝑣
𝑑𝑣
𝑣𝑑𝑣
𝑣
2
sin 1
2
Hallar el volumen limitado por los cilindros 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒, 𝒙𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟒.
Solución
√
√
√
√
𝑉=
𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
√
𝑉=
2 4 − 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥
√
𝑉=
2 4 − 𝑥 ∙ 2 4 − 𝑥 𝑑𝑧
𝑉=
4(4 − 𝑥 )𝑑𝑧
ERVIN PUMA PEÑARANDA
CALCULO II (MAT-102)
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𝑉 = 16𝑧 −
4𝑧
3
𝑉 = 32 −
32
32
− −32 +
3
3
𝑉 = 64 −
64
3
𝑉=
128
3
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