“ Universidad Nacional San Cristóbal de Huamanga”
Facultad de Ingeníeria Minas , Geología y Civil
Escuela de Ingeniería Civil
PROBLEMAS RESUELTOS DE
RESISTENCIA DE MATERIALES
I - II
Autor:
Calderón Quispe, Gilmer
( gilmercq@Gmail.com,gilmercq@hotmail.com )
Estudiante de Ingeniería Civil
Presentacion
1
Índice General
1 Esfuerzo Deformación
3
2 Parámetros de origen
4
3 Método de tres Momentos
1
Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
4 Metodo Viga conjuagda
13
5 Torsion
14
6 Deformaciones
15
7 esfuerzos por flexion
16
8 deflexion de vigas
17
9 Slope Deflection
18
10 Hardy Cross
19
11 Metodo de fuerzas
1
Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
2
Capítulo
1
Esfuerzo Deformación
1.1
Definiciones
1.1.1
Solución de Problemas
Ejercicio N° 1
Durante el montaje de un nudo de 3 barras resulto que la barra media era más larga
en 5x10´4 L . Calcular las tensiones en las barras después de realizar el montaje del
nudo considerando E “ 2x105 Mpa.
A
B
30°
30°
Solución:
3
A
A
1 Esfuerzo Deformación
Ingeniería Civil
(a)
B
F@A
F@B
F@C
(a)
(b)
C
A
FAB
De la figura 1
ÿ
Fx “ 0
A
FCE
´ FAB sin 30˝ ` FAd sin 30˝ “ 0
(a)
..................................... (I)
FAB “ FAD
ÿ
Fy “ 0
FAB cos 30˝ ` FAD cos 30˝ ´ FAC “ 0
?
3FAB “ FAC
..................................... (II)
Del gráfico 2
δAB
cos 30˝
δ ` δAC “ ∆
δ“
..................................... (III)
..................................... (IV)
Remplazando
FAB ?23 L
FAC L
`
“ 5x10´4
AE
AE
?
4
σAB p q ` 3σAB “ 5x10´4
3„
5x10´4 x105 x2
?
σAB “
4`3 3
σAB “ σAD “ 32.622M pa
σAC “ 56.503M pa
[tración]
[compresión]
pagina 4
Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
Ejercicio N° 2
Calcular las tensiones que se surgen en las barras durante el montaje del nudo a causa
de que la barra AD es más corta que su longitud nominal δ “ 0.001L. El material de
las barras es de acero cuyo módulo de elasticidad es 2.1x105 M pa.
D
C
C
4A
n
A
Solución:
C
A
B
A
FCE
A
FCF
N
A
A
(b)
(a)
B
F@A
F@B
De
la figura a
F@C
ÿ
Fx “ 0
?
2
FAD “ FAB
2
ÿ
Fy “ 0
(a)
FAD(b)cos 45˝ “ 0
?
2
A
FAD “ FAC
2
FAC “ FAB
Resistencia de Materiales I-II
..................................... (I)
A
C
..................................... (II)
FAB
F
..................................... (III) AB
pagina
A5
A
FCE
FAC
(b)
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
De la figura b
M N “ δAB ´ δAC
?
AM “ 2δAC
?
2
pδAB ´ δAC q
M A˝ “
2
1
1
AA “ AM ` M A˝ ` A˝ A
Remplazando valores
?
?
2
2δAC `
pδAB ´ δAC q ` δAD “ δ
2
¸ ? «
˜
? ff
?
2
?
F
FAC 22 L
2 FAB L
FAD L
AC 2
`
´
`
“ 0.001L
2
2AE
2
AE
2AE
AE
?
? ˆ? ˙
FAC
2 FAB
2
2 FAC FAD
`
´
`
“ 0.001
2AE
2 AE
2
4
AE
AE
?
FAB
2 FAB 1 FAB
2 FAB
`
´
`?
“ 0.001L
2AE
2 AE
4 AE
2 AE
?
˙
ˆ
2 1
2
FAB
1
`
´ `?
“ 0.001x2.1x105
2
2
4
A
2
FAB
A
“ σAB “ 88.558M pa
[tracción]
De la relación siguiente
FAC
1
2
FAB
“
ñ σAB “ σAC ademas σAD “ ? σAB
2A
2A
2
2
σAC “ 44.279M pa
[Compresión]
σAD “ 125.240M pa
[tración]
Ejercicio N 3
La viga AC articulada en un muro absolutamente rígido es sostenida por un tirante
BD. Determinar la posición del punto B de unión del tirante con la viga partiendo de
la condición que el peso del tirante sea mínimo , si l “ 6m, h “ 3m P “ 40KN , la
densidad del acero es ρ “ 7.85x103 Kg{m3, la tensión admisible rσs “ 160M pa, el peso
de un metro de la viga es p “ 1KN
pagina 6
Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
Solución:
De la figura
ÿ
MA “ 0
FBD sin α pxq ´ 40 p6q ´ 1 p6q p3q “ 0
3x
?
FBD “ 240 ` 18
x2 ` 9
?
86 x2 ` 9
pKN q
FBD “
x
(I)
Hallando el esfuerzo de FBD
σBD “
FBD
“ σadm “ 160M pa “ 160000Kpa
A
se sabe que
m
ρ“
?v
ρA x2 ` 9 “ m;
W
A“ ? 2
ρg x ` 9
σBD “
W “
Del dato
dW
dx
“0
mg “ W ppesoq
?
86 x2 `9
x
?W
ρg x2 `9
2
86 px ` 9q
x
ρgσadm
g; ρ; σadm “ CT E
Derivando se tiene
86 px2 ´ 9q
ρgσadm x2
x “ ˘3m
x “ 3m
pagina 7
Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
Ejercicio N° 4
Una viga absolutamente rígida se sostiene por un tensor y un tornapuntas , ambos
de acero, cuyas secciones tienen unas áreas iguales a ABE “ 2cm2 ;ACD “ 4cm2 . El
tensor es más corto que su dimensión nominal es δ “ 0.1 %. Calcular las tensiones en
el tornapuntas y en el tensor después de realizar el montaje, considerando a “ b “ c “
d “ 1m; E “ 2x105 Mpa
Solución:
pagina 8
Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
De la figura N° 1
ÿ
MA “ 0
´ FBE sin 45˝ p1q ` FCD sin α
?
2
2
? FCd “
FBE
2
5
Del gráfico 2 se observa
?
2δBE ;
?
M C “ 2 2δBE sin α “
BB 1 “
?
CC˝ “ 2 2δBE
?
2 2
? δBE
;
5
p4ABB 1 „ 4AC˝ Cq
C 1 M “ δCD
C 1 M ` M C “ δ “ CC 1
?
2 2
δCD ` ? δBE “ δ
5
?
? ˆ ?
?
˙
5FCD
2 2
2FBE
0.1 5
` ?
“
4 ˚ 0.2 ˚ 105
100
5 2 ˚ 0.2 ˚ 105
?
?
ˆ
˙
4FCD
0.1 5
5FCD
4
?
` ?
“
4 ˚ 0.2 ˚ 105 2 5 ˚ 0.2 ˚ 105
100
10
?
ˆ?
˙
˘
5
16
0.1 5 `
` ? ?
FCD “
0.2 ˚ 105
4
100
2 5 ˚ 10
FCD “ 26.456KN
6 FBE “ 33.464KN
pagina 9
Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
Hallando las tensiones
26.456
“ 6.614KN {cm2
4
33.464
σBE “
“ 17.732KN {cm2
2
σCD “ 6.614KN {cm2
σCD “
[Tacción]
σBE “ 16.732KN {cm2
[Compresión]
Ejercicio N° 5
Calcular el peso teórico (sin tener en cuenta los pesos de los elementos de unión) de
un nudo de dos barras dispuestas simetricamente, considerando que las barras están
frabricadas de un material igual, cuya tensión admisible de tracción es dos veces más
grande que su tensión admisible de compresión: rσtr s “ 2rσcompr s. Examinar dos casos:
a) en el nudo está aplicada una sola una fuerza horizontal Ph y b) en el nudo esta
aplicado solo una fuerza vertical Py . ¿Para qué valor del ángulo α el peso será mínimo
? Calcularlo considerando que la densidad ρ del material es conocida.
Solución:
Considerando la carga horizontal: Ph
pagina 10
Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
De la figura 1(a)
ÿ
y“0
FAB sin α ´ FAC sin α “ 0
(I)
FAB “ FAC
ÿ
Fx “ 0
´ FAB cos α ´ FAC cos α ` Ph “ 0
ˆ
˙
Ph
1
FAB “
2 cos α
(II)
Cuando se aplica la fuerza horizontal Ph las barras estarán en tracción
ˆ
˙
FAB
m
l
σAB “
; ρ“
ñ ρA
“ m1
A
v
cos α
ˆ
˙
l
W1 cos α
ρgA
“ W1
ñA“
cos α
ρgl
` P ˘
1
h
Ph ρgl
α
ñ W1 “
σtr “ σAB “ 2W1cos
cos α
2σtr cos2 α
ρgl
W2 “
W1 “
Ph ρgl
;
2σtr cos2 α
Ph ρgl
2σtr cos2 α
Wnodo “
Wnodo “
W2 “
Ph ρgl
σtr cos2 α
Considerando la carga vertical: Py
Ph ρgl
σtr cos2 α
Ph ρgl
2σtr cos2 α
[Tracción]
[Para α “ 0˝ ]
De la figura 1(b) se tiene
ÿ
Fx “ 0
´ FAB cos α ` FAC cos α
ÿ
Fy “ 0
FAB sin α ` FAC sin α ´ Py “ 0
Py
Py
ñ FAB “
2FAB “
sin α
2 sin α
(I)
(II)
pagina 11
Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
Del gráfico se observa claramente que AB esta en tracción y AC esta en Compresión por
tanto sus esfuerzos serán σtr ^ σcomp respectivamente
FAB
ρAlg
W1 cos α
; W1 “
; A“
A1
cos α
ρgl
pPy {2 sin αq
Py ρgl
σtr “
ñ
W1 “
pW1 cos αq { pρglq
σtr sin 2α
1
Py { p2 sin αq
σAC “ σcomp “ σtr “
pW2 cos αq { pρglq
2
1
Py ρgl
2Py ρgl
σtr “
ñ
W2 “
2
W2 sin 2α
σtr sin 2α
3Py ρgl
Wtotal “ W1 ` W2 “
σtr sin 2α
σAB “ σtr “
Hallando el mínimo
3Py ρgl
σtr
6
W1 “
ˆ
dW
dα
“0
´2 cos 2α
sin2 2α
Py ρgl
σtr sin 2α
Wtotal “ W1 ` W2 “
˙
“0
W2 “
ùñ
2α “ 90˝ ùñ α “ 45˝
2Py ρgl
σtr sin 2α
3Py ρgl
σtr sin 2α
Ejercicio N° 6
[Para α “ 45˝ min]
En la columna escalonada de la figura construir los diagramas de las fuerzas longitudinales , de las tensiones y de los desplazamientos longitudinales.
pagina 12
Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
Solución:
Hallando R en la figura 1
ÿ
Fy “ 0
´ R ` 120 ` 60 ´ 20 “ 0
ùñ
R “ 160KN
Hallando esfuerzos
í σ1 ˚ 15 ´ 160 “ 0 ñ σ1 “ 32KN {cm2
[Tracción]
2
í σ2 ˚ 10 ` 120 ´ 160 “ 0 ñ σ2 “ 4KN {cm
í σ3 ˚ 5 ` 120 ` 60 ´ 160 “ 0 ñ σ3 “ ´4KN {cm
[Tracción]
2
[Compresión]
Hallando los desplazamientos
para 0 ă x ă 20
32x
δ“
E
"
ñ
δpx“0q “ 0
δpx“20q “ 640
E
Para 20 ă x ă 60
32 ˚ 20 4 px ´ 20q
δ“
`
E
E
"
ñ
δpx“20q “
δpx“60q “
640
E
800
E
Para 60 ă x ă 140
32 ˚ 20 4 ˚ 40 4 px ´ 60q
`
´
“ 1040 ´ 4x
E"
e
E
δpx“60q “ 800
E
ñ
δpx“140q “ 480
E
δ“
pagina 13
Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo
Deformación
-
-
Ejercicio N° 7
-
-
+
En la estructura mostrada calcular:
1. Las fuerzas normales de las barras
+
2. Los esfuezos normales de las barras
3. las deformaciones de las barras
+
+
4. El giro que experimenta la barra rígida E “ 2x107 Kg{cm2
+
+ AyC
5. El desplazamiento de los puntos
3T
barra rigida
1T/m
3T
o
1T/m
barra rigida
o
Solución:
C
3T
A
1T/m
C
3T
A
A
1T/m
A
FI
FI
C
(a)FII
(a)
FII
C
C
A
(b)
A
(b)
pagina 14
Resistencia de Materiales I-II
C
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
Del equilibrio de la figura 1(a)
ÿ
Mo “ 0
1000 ˚ 7 ˚ 3.5 ` 3000 ˚ 3.5 ´ 7FI ´ 1000 ˚ 5 ˚ 2.5 ´ pFII sin 45˝ q 5 “ 0
?
5 2
7FI `
FII “ 22500
2?
CC 1 “ δII 2
a
a
Por semejanza AA1 O „ CC 1 O
?
?
„
δI
2δI I
1
700FI
800 2FII
“
ñ
“
7
5
7 1 ˚ 2 ˚ 107
1 ˚ 2 ˚ 107
16FII
ñ FI “
5
(1)
(2)
(3)
Remplazando (3) en (1)
?
ˆ
˙
5 2FII
16FII
7
`
“ 22500
5
2
FII “ 867.536Kg
FI “ 2776.115Kg
Hallando Esfuerzos para: A1 “ A2 “ 1cm2
σI “ 2776.115Kg{cm2
[Compresión]
σII “ 867.536Kg{cm2
[Tracción]
Hallando Desplazamientos
AA1 “ δI “ 0.0972cm
?
AA1 “ 2δII “ 0.0694cm
Hallando giro: tan θ “
[Se comprime]
[Se Alarga]
δI
7
θ “ 0.795˝
Hallando las deformaciones
$
0.0972cm
’
’
δI “ 2776.115˚700
“
&
7
2˚10
σl
δ“
ñ
’
E
’
?
%
0.0491cm
2
δII “ 867.536˚800
“
7
2˚10
[Antihorario (ö)]
rAcorta.s
rAlarg.s
pagina 15
Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
Ejercicio N° 8
Una escalera de acero está sujeta a una pared al nivel de los escalones primero y undécimo (fig a). Considerando que la pared es absolutamente rígida, calcular las reacciones
en los apoyos de la escalera para el caso cuando sobre ella se encuentran tres personas de peso 1KN cada una dispuestas en los escalones quinto, noveno y décimocuarto
contando desde abajo.
Solución:
Por ser absolutamente rigído se cumple
δ1 ` δ2 ` δ3 “ 0
ÿ
Fy “ 0
(I)
RA ` RB “ 3P
(II)
Entre paso y paso la dist. es
l
4
4Rb l
Rb
; δ3 “ ´
A
10AE
P ´ Rb
4 pP ´ Rb q l
σ2 pAq ` Rb ´ P “ 0 ñ σ3 ´
; δ2 “
A
10AE
2P ´ Rb
2 p2P ´ Rb q l
σ1 pAq ` Rb ´ 2P “ 0 ñ σ1 ´
; δ2 “
A
10AE
σ3 pAq ` Rb “ 0
ñ σ3 ´
pagina 16
Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
Remplazando valores
4 pP ´ Rb q l 4 pP ´ Rb q l 2 p2P ´ Rb q l
`
`
“0
10AE
10AE
10AE
´ 2Rb ` 2 pP ´ Rb q ` 2P ´ Rb “ 0
´
Rb “ 0.8KN
Ra “ 2.2KN
Ejercicio N° 9
Calcular ∆A y ∆aen la figura mostrada donde E “ 2˚101 1N {m2 ; µ “ 0.3, P “ 30000N
y a “ 10cm
Solución:
Recordando fórmulas :
ε“
σ
σ
∆A
σ
; ε1 “ µε “ ´µ ;
“ ´2µ
E
E
A
E
(ε : Deformación unitaria longitudinal)
(ε1 : Deformación unitaria transversal)
Hallando los valores pedidos
30000
“ ´1 ˚ 106 N {m2
0.22 ´ 0.12
´1 ˚ 106
ε1 “ ´0.3
“ 1.5 ˚ 10´6
2 ˚ 101 1
ñ ∆a “ 2aε “ 2 ˚ 100 ˚ 1.5 ˚ 10´6 “ 0.0003mm
σ“´
pagina 17
Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
Hallando la variación de área
∆A “
˘
´2 ˚ 0.3 p´1 ˚ 106 q ` 2
2
200
´
100
“ 0.09m2
2 ˚ 101 1
Ejercicio N° 10
Una barra escalonada empotrada en sus extremos rígidamente esta cargada con una
fuerza P “ 200KN en la sección m y con una fuerza 4P en la sección n ´ n a lo
largo de eje de la barra hay un orificio pasante de diámetro d˝ “ 2cm; los diámetros
exteriores de los escalones son: D1 “ 6cm, D2 “ 4cm D3 “ 8cm. El material es de
acero, E “ 2.1 ˚ 105 M pa. Determinar las reacciones en los apoyos A y B , construir los
diagramas de fuerzas longitudinales N, de tensiones normales σ y de los desplazamientos
longitudinales de las secciones transversales de la barra
Solución:
De la figura (a)
ÿ
Fy “ 0
RA ` RB ´ 5P “ 0
ñ RA ` RB “ 5P
δ1 ` δ3 ` δ3 ` δ4 “ 0
4 ˚ 20RA
4 ˚ 10 pRA ´ P q 4 ˚ 20 pRA ´ P q 4 ˚ 20 pRA ´ 5P q
`
`
`
2
2
π p6 ´ 2 q E
π p42 ´ 22 q E
π p82 ´ 22 q E
π p82 ´ 22 q E
(I)
(II)
Remplazando para P “ 200KN y luego en (I)
RA “ 266.667KN
RB “ 733.333KN
pagina 18
Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
Hallando Esfuerzos
4 ˚ 266.667
σ1 “
π p62 ´ 22 q
σ1 “ 10.610KN {cm2
ñ
[Tracción]
σ2 “ 7.074KN {cm2
4 p266.667 ´ 200q
σ2 “
π p42 ´ 22 q
ñ
4 p266.667 ´ 200q
π p82 ´ 22 q
ñ
σ2 “
4 p266.667 ´ 1000q
σ4 “
π p82 ´ 22 q
[Tracción]
σ2 “ 1.415KN {cm2
[Tracción]
σ2 “ ´15.562KN {cm2
ñ
[Compresión]
Hallando las deformaciones
E “ 2.1 ˚ 105 M pa « 0.21 ˚ 105 KN {cm2
[Acumulado]
δ1 “
4 ˚ 266.667 ˚ 20
“ 0.010cm
π p62 ´ 22 q 0.21 ˚ 105
δ “ 0.0106cm
δ2 “
4 p266.667 ´ 200q 10
“ 0.00337cm
π p42 ´ 22 q 0.21 ˚ 105
δ “ 0.0141cm
δ3 “
4 p266.667 ´ 200q 20
“ 0.00135cm
π p82 ´ 22 q 0.21 ˚ 105
δ “ 0.0156cm
δ4 “
4 p266.667 ´ 1000q 20
“ 0.00148cm
π p82 ´ 22 q 0.21 ˚ 105
δ “ 0cm
pagina 19
Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
Ejercicio N° 11
Calcular el desplazamiento vertical del nudo A bajo la acción de una fuerza P “ 200KN ,
si el diagrama de tracción del material de las barras tiene la forma de la función lineal
a trozos representada en el gráfico . Considerar que σ˝ “ 120M pa, E “ 7 ˚ 105 M pa,
A “ 10cm2 y l “ 3m.
Solución:
(a)
FAB
FAC
De la figura 1
ÿ
Fx “ 0
´ FAB sin 60˝ ` FAC sin 60˝ “ 0
(I)
FAB “ FAC
ÿ
Fy “ 0
FAB cos 60˝ ` FAC cos 60˝ ´ 200 “ 0
FAB “ 200KN
σ “ σAB “ σAC “
200 ˚ 1000
“ 200M pa
10 ˚ 10´4
pagina 20
Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
Del gráfico 2 hallar ε
σ˝
σ ´ σ˝
`
E1
E2
120
200 ´ 120
ε“
`
“ 4 ˚ 10´4
5
7 ˚ 10
0.5 ˚ 7 ˚ 105
ε“
Hallando las deformaciones de las barras
δAC “ δAB “ δ
δ “ 4 ˚ 10´4 ˚ 300
δ “ 0.12cm
δAC
cos 60˝
∆A “ 0.24cm
∆A “
Ejercicio N° 12
¿A qué ángulo α hace falta aplicar en el nudo la fuerza P para que el desplazamiento
de éste se efectúe por la vertical? Las longitudes de las barras son iguales, están hechas
de un mismo material. El área de la sección de la barra AD es dos veces mayor que el
area de la sección de las barras AB y AC.
pagina 21
Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
Solución:
De la figura (a)
ÿ
y“0
FAB ` FAC cos 30˝ ` FAD cos 60˝ ´ p cos α “ 0
ÿ
(I)
Fx “ 0
FAC sin 30˝ ` FAD sin 60c irc ´ p sin α “ 0
(II)
De la figura (b)
δAD
δAC
“
˝
cos 60
sin 60˝ ˆ
˙
FAB l
FAD l
FAC l
2
?
p2q “
“
AE
2AE
AE
3
FAB “ FAD
?
3
FAB “ FAC
2
δAB “
(III)
(IV)
Remplazando (III) (IV) en (I) y (II)
?
ˆ? ˙
3
3
1
FAB `
FAB
` FAB “ p cos α
2
2
2
9
FAB “ p cos α
4
?
ˆ ˙ ?
3
1
3
FAB
`
FAB “ p sin α
2
2
2
?
3 3
FAB “ p sin α
4
(V)
(VI)
pagina 22
Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
Dividiendo (VI) entre (V) se tiene
?
3
“ tan α
3
´? ¯
3
´1
“ 30˝ “ α
tan
3
ñ
Ejercicio N° 13
En la estructura de la figura, el tirante A es de aluminio, la columna C es de acero y la
barra horizontal B es rígida, si el esfuerzo admisible en la columna: σadm “ 1100kg{cm2
calcule el máximo valor de la carga ”P” Eac “ 2.2x106 kg{cm2 EAl “ 0.7x106 kg{cm2 .
Solución:
De la figura 1(a)
ÿ
My “ 0
30Fal ` 10Fac ´ 30P “ 0
3Fal ` Fac “ 3P
δal
∆ ` δac
“
30
10
(I)
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Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
δal “ 3∆ ` 3δac
˙
ˆ
Fal ˚ 60
Fac ˚ 30
` 0.006
“3
8 ˚ 0.7 ˚ 106
25 ˚ 2.2 ˚ 106
ˆ ˙
15 1
90Fac
Fal “
` 6000
2 0.7
25 ˚ 2.2
(II)
De (I) y(II) : Asumiendo σadm para acero
σ “ 1100 “
Fac
25
ñ Fac “ 27500kg
Remplazando en (II)
ñ σal “ 595kg{cm2
Fal “ 4760kg
6 P “ Fal `
[Dentro de rango Adm]
Fac
ñ 13926.667kg
3
De (I) y(II) : Asumiendo σadm para aluminio
1100 “
Fal
8
ñ Fal “ 8800kg
Remplazando en (II)
Fac “ 53952.381kg
ñ σac “ 2158.095kg{cm2
[Fuera de rango Adm]
6 P “ 13926.6667kg
Ejercicio N° 14
Una barra absolutamente rígida se sostiene por tres tirantes paralelos con áreas de
secciones iguales a A “ 10cm2 . Calcular los esfuerzos en los tirantes y hallar el valor
admisible de la carga a partir de la tensión admisible rσs “ 160M pa.
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Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
Solución:
De la figura (a)
ÿ
Fy “ 0
F1 ` F2 ` F3 “ 0
ÿ
MC “ 0
(I)
´ F1 p3aq ´ F2 paq ` P p2aq “ 0
2P “ F2 ` 3F1
(II)
De la figura (b)
M mA1 C 1 „M nC 1 B 1
δ1 ´ δ3
δ2 ´ δ3
“
ñ 2δ3 “ 3δ3 ´ δ1
3a
a
3F2 p2lq F1 l
p2F3 q l
“
´
2AE
AE
AE
F1 ´ 6F2 ` F3 “ 0
(III)
Resolviendo los 3 sistemas se tiene; ademas para σ “ 16KN {cm2
13P
“ 0.619P
ñ P ď 258.462
21
P
F2 “
“ 0.143P
ñ P ď 1120
7
5P
F3 “
“ 0.238P
ñ P ď 1344
21
6 P “ 258.462KN
F1 “
Ejercicio N° 15
Una placa absolutamente rígida de sección rectangular esta apoyada con sus ángulos
sobre columnas de longitudes y secciones iguales. Sobre la placa gravita una fuerza
concentrada P “ 100KN aplicada en el punto k que divide la diagonal AC en razon
1 : 2. Calcular la sección de las barras a partir de la tensión admisible rσ “ 50M pas y
determinar el asiento máximo del ángulo de la placa. Viene dado: a “ 4.5m, b “ 3m
l “ 1m, E “ 2x105 Mpa
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Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
Solución:
De la figura (a)
ÿ
Fy “ 0
Fa ` 2Fb ` Fc “ 0
ÿ
Mk “ 0
˙
ˆ
˙
ˆ
´m¯
3m
3m
´ Fa
`P
` Fc
2
2
2
P
´ Fa ` Fc “
3
(I)
(II)
De la figura (b)
δa ` δc
“ δb ñ δa ` δc “ 2δb
2
Fa l
Fc l
Fb l
`
“2
AE AE
AE
Fa ` Fc “ Fb
(III)
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Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
Resolviendo (I), (II) y (III)
Fa “
P
12
Fb “ Fd “
Fc “
5P
12
para
P
4
P “ 100KN
para
para
í Fa “ 8.333KN
P “ 100KN
P “ 100KN
í F “ 25KN
í Fc “ 41.667KN
El esfuerzo máximo se dará en Fc
σ “ 50M pa “ 5KN {cm2
Fc
“5
6 A “ 8.333cm2
A
El asiento máximo se ara debido a la fuerza Fc
δmax “
41.667 ˚ 100
˚ 10 “ 25mm
8.333 ˚ 0.2 ˚ 105
Ejercicio N° 16
Una barra absolutamente rígida AD esta articulada en el punto D de una pared también
absolutamente rígida y sometida por tres tornapuntas 1, 2 y 3: Calcular los esfuerzos
en los tornapuntas y la magnitud del parámetro d la carga P a partir de la tensión
admisible rσs “ 160M pa , si las secciones de todos los tornapuntas tienen igual área
A “ 2cm2
Solución:
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Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
De la figura 1
ÿ
MD “ 0
´ ? ¯
pF1 sin 30˝ q 2 3a ´ 2P p3aq ´ P p2aq ` pF2 sin 45˝ q p2aq ` pF3 sin 45˝ q paq “ 0
?
?
?
2
3F1 ´ 6P ´ 2P ` 2F2 `
F3 “ 0
2
?
?
?
2
3F1 ` 2F2 `
F3 “ 8P
2
(I)
pagina 28
Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
De las relaciones geométricas
M AA1 D „M BB 1 D
?
?
2δ1
2δ2
? “
ñ 2δ1 “ 6δ2
2a
2 3a
« ` ? ˘ ff
„
?
F2 2 2a
F1 p4aq
2
“ 6
AE
AE
?
2F1 “ 3F2
(II)
Además se tiene
?
?
2δ2 “ 2 2δ3
« `? ˘ ff
` ? ˘
F2 2 2a
F3 2a
“2
AE
AE
(III)
F2 “ F3
De las ecuaciones (I), (II) y (III)
F1 “ 1.914P
F2 “ F3 “ 2.209P
Hallando P
σ “ 160M pa “ 16KN {cm2
ñ
2.209P
“ 16
2
P “ 14.486KN
Ejercicio N° 17
Una barra absolutamente rígida, representada en la figura, esta articulada en un cuerpo
absolutamente rígido mediante barras de acero. Calcular los esfuerzos en las barras, así
como el área de la sección A de estas, si la tension admisible de tracción es rσstr “
160M pa y la de compresión rσscomp “ 50M pa. La magnitud del parámetro de la carga
es P “ 100KN
Solución:
pagina 29
Resistencia de Materiales I-II
Ingeniería Civil
1 Esfuerzo Deformación
De la figura (a)
ÿ
MA “ 0
FBE sin 45˝ paq ` FCG sin 30˝ p2aq ´ 100 p3aq “ 0
?
2
FBE ` FCG “ 300
2
(I)
De la figura (b)
2BB 1 “ CC 1
`? ˘
?
? FBE
2a
1
BB “ 2δBE “ 2
AE
ˆ
˙
FBE
BB 1 “ 2
a
AE
˙ˆ
˙
ˆ
4a
FCG
1
?
CC “ 2δCG “ 2
AE
3
ˆ
˙
8
FCG
CC 1 “ ?
a
3 AE
(II)
Remplando en (II)
„
ˆ
˙
8
FCG a
2FBE a
“?
2
AE
3 AE
?
3FBE “ 2FCG
(III)
De (I) y (III)
FBE “ 190.702KN
FCG “ 165.153KN
Solo hay esfuerzo de tracción
rσs “ 160M pa “ 16KN {cm2
190.702
6
“ 16 ñ A “ 11.919cm2
A
pagina 30
Resistencia de Materiales I-II
