P3

Probabilidad II
Problemas
1. Sea
pXn qně1
una sucesión de variables aleatorias in-
t0, 1u y con misma ley
µ “ pδ1 ` qδ0 , donde 0 ă p ă 1 y q “ 1 ´ p. Para
`
todo r P N y ω P Ω, defínanse τr y θr como:
dependientes con valores en
τr pωq “ ı́nftn P N` : X1 pωq ` ¨ ¨ ¨ ` Xn pωq “ ru
θr pωq “ ı́nftn P N` : X1 pωq ` ¨ ¨ ¨ ` Xn`r pωq “ ru
Considera la siguiente convención:
a)
Muestra que, para todo
b)
Prueba que
x P p0, 1q, se cumple
˙
ˆ
ÿ
1
k
xk´r`1 “
r´1
p1 ´ xqr
kěr´1
que:
τr
es una variable aleatoria casi se`
guramente nita y con valores en N Y t`8u.
Determina la ley de
c)
ı́nf ∅ “ `8.
Demuestra que
θr
τr .
es una variable aleatoria casi
N` Y t`8u.
seguramente nita y con valores en
Determina la ley de
d)
θr .
Provee una interpretación para
τr y θr en términos
de lanzamientos de moneda.
e)
Muestra que uno de los dos modelos de probabilidad anteriores,
τr
o
θr ,
permite formalizar el si-
guiente problema: Un fumador tiene en cada una
de las bolsas de su pantalón
1 Dos
bolsas, derecha e izquierda.
1
1
una caja con
N
ceri-
llos. Cada vez que quiere fumar un cigarro escoge
al azar una de las bolsas. ¾Cuál es la probabilidad
de que el fumador, al darse cuenta por primera vez
que una de las cajas está vacía, la otra contenga
k
cerillos?
2. Prueba que, para toda función continua
f : r0, 1s Ñ R,
se cumple que:
n
´ k ¯ˆn˙
ÿ
xk p1 ´ xqk ÝÑ f pxq
f
n
k
k“0
uniformemente en
3. Sea
pΩ, F, Pq
x P r0, 1s,
cuando
n Ñ 8.
un espacio de probabilidad, donde
Ω
es
el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Tómense dos eventos,
que
PpBq ‰ 0.
Si el experimento se realiza
forma independiente, sea
resultado pertenece a
en
B , Rn
B.
Sn
A y B , tal
n veces de
el número de veces que un
Dentro de los
de ellos también están en
A.
Sn
resultados
En qué sentido
de convergencia y a qué converge:
Rn
nÑ8 Sn
lı́m
4. Para cada
n ě 1, Xn „
Poissonpλn q, donde
Estudia la convergencia de la sucesión
cero en los siguientes casos:
a ) λn “ n´1
b ) λn “ n´2
2
λn ą 0.
pXn qně1
hacia
5. Considera una sucesión independiente de variables alea-
pXi qiě1 . Para cada n ě 1, defínase
Sn “ X1 ` ¨ ¨ ¨ ` Xn . Demuestra que pSn qně1 converge en probabilidad si, y solamente si, pSn qně1 converge
torias positivas
casi seguramente.
6.
a)
Sea
X
una v.a. Muestra que:
8
ÿ
Ep|X|q ď
Pp|X| ě nq
n“0
b)
Sea
pXn qně1
una sucesión de variables aleatorias
independientes e idénticamente distribuidas. Para
cada
n ě 1,
sea
Sn “ X1 ` ¨ ¨ ¨ ` Xn .
Demuestra
que:
"´
1
n
¯
Sn
c)
7. Sea
converge en
ně1
* „
c
R Ă lı́m supt|Xn | ě nu
nÑ8
X1 R L1 . Haz uso de Borel´1
Cantelli para demostrar que la sucesión pn Sn qně1
diverge, casi seguramente, en R.
Supóngase además que,
pXn qně1
una sucesión de variables aleatorias inde-
pendientes e idénticamente distribuidas con ley
Cauchy,
cuya densidad es:
fXi pxq “
Para cada
n ě 1,
sea
1
1R pxq
πp1 ` x2 q
S n “ X1 ` ¨ ¨ ¨ ` Xn .
Estudia la
convergencia en probabilidad y en distribución de las
siguientes sucesiones:
3
a ) pn´1{2 Sn qně1
b ) pn´1 Sn qně1
c ) pn´2 Sn qně1
8. Sea
pXn qně1
una sucesión de variables aleatorias inde-
Poisson
con parámetro 1. Para cada n ě 1, sea Sn “ X1 ` ¨ ¨ ¨ `
Xn .
pendientes e idénticamente distribuidas con ley
a)
Determina la ley de
b)
Calcula el límite de la siguiente sucesión:
˜
Sn
n
ÿ
nk
e´n
k!
k“0
¸
ně1
9. Se modelará el precio de una acción de forma siguien-
pn ´ 1q´ésimo al enésimo instante el precio de
una acción pasa de Sn´1 a Sn aumentándole al primero
una proporción r o tasa de actualización y variando
de forma positiva o negativa con una proporción σ o
volatilidad. Así, se dene S0 “ s0 , donde s0 es un
número real estrictamente positivo y, para todo n ě 1:
te: del
Sn “ p1 ` r ` n σqSn´1 ,
donde
pn qně1
es una sucesión independiente de varia-
bles aleatorias con ley
1
Pn “ pδ´1 ` δ1 q
2
Supóngase además que,
0 ă σ ă 1 ` r.
4
2
a)
Muestra que la sucesión
pn´1 logpSn qqně1
conver-
ge casi seguramente y determina el límite al que
converje.
b)
Deduce el comportamiento de la sucesión pSn qně1
?
σ 2 ` 1 ´ 1 y luego cuando r ą
cuando r ă
?
σ 2 ` 1 ´ 1.
c)
r“
Supóngase que
?
σ 2 ` 1 ´ 1.
1) Demuestra que la sucesión
pn´1{2 logpSn qqně1
converge en ley y determina el límite.
?1
2) Muestra que la sucesión
pSn n qn ě 1 converge
en ley y determina su límite.
d)
Inspirándote en los incisos anteriores, muestra que
las siguientes suscesiones convergen en ley y determina sus límites:
˜
¸
n „
`
˘
1
1 ÿ
?
logp1 ` r ` σi q ´ log p1 ` rq2 ´ σ 2
n i“1
2
ně1
?1
˜
`
10. Sea
a
a)
¸
Sn n
p1 ` rq2 ´ σ 2
˘
1
?
2 n
ně1
un real estrictamente positivo.
Muestra que, si
X P L2 pΩ, F, Pq,
entonces:
´
¯1{2
2
Et|X ´ mı́ntX, au|u ď EpX 1tXěau q ď EpX qPpX ě aq
2 Tómese
en cuenta que
log
representa el logaritmo natural.
5
Sea
pXn qně1
una sucesión independiente de variables aleato-
rias idénticamente distribuidas con ley Poisson de parámetro
unitario. Para todo entero
n
ÿ
Sn “
n ě 1,
Xi
y
sean:
Yn “
i“1
b)
Calcula
c)
Deduce que
d)
Prueba que la sucesión
EpYn2 q.
PpYn´ q ď a´2 .
a una variable
distribuye
e)
Sn ´ n
?
n
pYn qně1 converge en ley
aleatoria Y y determina cómo se
Y.
´
´
Muestra que las sucesiones pı́nftYn , auqně1 y pYn qně1
´
´
convergen en ley a ı́nftY , au y Y , respectivamente.
f)
Determina a qué converge la sucesión de números
pE|Yn´ |qně1 .
reales
g)
Calcula
h)
Deduce de los incisos anteriores que:
EpY ´ q
y
EpYn´ q,
para cada
?
nn e´n 2πn
“1
lı́m
nÑ8
n!
6
n ě 1.