Taller de Derivadas

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sometidos a las sanciones establecidas por la ley.
Autor de la obra
Carlos Maroto Belmonte
© Carlos Maroto Belmonte, 2013
carlos@campusdematematicas.com
http://campusdematematicas.com
¿Cómo se estructura el Taller?
El taller contiene 4 módulos y cada módulo se estructura en las siguientes partes:
•
•
•
Formulario
Ejercicios modelo resueltos
Ejercicios para practicar
Formulario
Para revisar los conceptos y fórmulas fundamentales del
módulo antes de empezar a trabajar.
Ejercicios modelo resueltos
Ejercicios resueltos que sirven de ejemplo de aplicación de
los conceptos y fórmulas resumidas en el formulario.
Ejercicios para practicar
Ejercicios propuestos para resolver por el alumno y practicar
los conceptos y fórmulas del módulo.
Soluciones y Anexos
Al final del taller el alumno puede corregir los ejercicios
realizados con la lista de soluciones. También dispone de
una sección en la que se detallan todos los procesos de
resolución de los ejercicios para practicar.
En un anexo final se adjuntan en una tabla todos los
formularios de los módulos del taller.
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2
Indice
Potencias, sumas de funciones y producto de una constante por una función ...........4
Formulario................................................................................................................4
Ejercicios modelo resueltos .....................................................................................4
Ejercicios para practicar ..........................................................................................5
Producto y cociente de funciones. Derivación del resto de funciones.........................6
Formulario................................................................................................................6
Ejercicios modelo resueltos .....................................................................................6
Ejercicios para practicar ..........................................................................................7
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena .............................................8
Formulario................................................................................................................8
Ejercicios modelo resueltos .....................................................................................8
Ejercicios para practicar ..........................................................................................9
Exponenciales y logaritmos especiales, y derivación implícita..................................11
Formulario..............................................................................................................11
Ejercicios modelo resueltos ...................................................................................11
Ejercicios para practicar ........................................................................................12
Soluciones.................................................................................................................13
Resoluciones.............................................................................................................16
Potencias, sumas de funciones y producto de una constante por una función......16
Producto y cociente de funciones. Derivación del resto de funciones ...................17
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena........................................20
Exponenciales y logaritmos especiales, y derivación implícita ..............................25
Anexo: Tabla de derivadas........................................................................................28
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3
Potencias, sumas de funciones y producto de una constante por una función
Potencias, sumas de funciones y producto de una
constante por una función
Formulario
•
•
•
•
•
y = k (constante)
y=x
y = xn
y = f ( x) ± g ( x)
y = k ⋅ f ( x)
y′ = 0
y′ = 1
y ′ = nx n −1
y ′ = f ′( x) ± g ′( x)
y ′ = k ⋅ f ′( x)
ï
ï
ï
ï
ï
Ejercicios modelo resueltos
Cálculo de derivadas.
1
a) y = x 4 − x 2 + 3x − 2
5
Resolución
1
2
y′ = 4x 3 − 2x + 3 = 4x 3 − x + 3
5
5
b) y = 4 x 5 −
1
3x 2
Resolución
1
1
2 1
2
y = 4 x 5 − x − 2 ⇒ y ′ = 4 ⋅ 5 x 4 − ⋅ (−2) x −3 = 20 x 4 + ⋅ 3 = 20 x 4 + 3
3
3
3 x
3x
c) y = 5 x 3 +
x2 3
+
2 x
Resolución
3
1
1
3
1
15
3
y = 5 x 2 + x 2 + 3x −1 ⇒ y ′ = 5 ⋅ x 2 + ⋅ 2 x + 3 ⋅ (−1) x − 2 =
x +x− 2
2
2
2
2
x
d) y =
5x 2
7x5
Resolución
5x 2
=
y=
7 ⋅ x5
5x 2
5
2
=
5
x
2−
5
2
=
5
7
7
7⋅x
−5
1
−5 1
−5
⇒ y′ =
⋅ 3 =
⋅
=
3
2 7 2 2 7
x
2 7x3
x
−1
x 2 ⇒ y′ =
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−3
(−1) 2
x ⇒
7 2
5
⋅
4
Potencias, sumas de funciones y producto de una constante por una función
Ejercicios para practicar
Calcular las siguientes derivadas.
1)
2)
3)
4)
y = 7x3 + 2
y = −8 x 4 − 5 x 3
y = 9 − 6x5
y =8
5) y = 10 x 10 − x
6) y = −6 x 2 + 1
7) y = 5 x 3 − x 2 + 6
8) y = x 5 + x 3 − 2 x
9) y = −3x 4 + 5 x 2 + 13x + 7
10) y = −2 x 9 − 7 x 6 − x 3 + 5
11) y = x 7 + 7 x 4 − 5 x 3 + x + 8
12) y = 4 x 5 + 6 x 3 − x 2 + 2 x − 13
1
3
13) y = x 3 − x 2 + x − 5
3
2
2 ⎛
5
⎞
14) y = ⋅ ⎜ x 5 − x 3 + 5 x − 5 ⎟
5 ⎝
2
⎠
6
15) y = 3
x
1
16) y = 4 x 5 − 2
3x
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8
− 7x6 + x − 7
2
x
3
18) y = 5 − 5 x 3 + 3
2x
17) y =
19) y = 5 x 3
20) y = 5x 3
21) y = 2 x 5 +
x3
+ 2x 2 − x
2
−9
− 5 x7 + x − 6
2x 4
1
23) y = 4 5
x
x
24) y = 5
x
3x
25) y =
6x 3
22) y =
26) y =
2 x3 2
− + 5x 3 − x + 5
x
x2
5
Producto y cociente de funciones. Derivación del resto de funciones
Producto y cociente de funciones. Derivación del resto de
funciones
Formulario
y = f ( x) ⋅ g ( x)
f ( x)
y=
g ( x)
ï
•
•
y = ax
Si a = e y = e x
ï
ï
•
y = log a x
ï
•
Si a = e y = ln x
ï
•
•
y = sin x
y = cos x
ï
ï
•
y = tan x
ï
•
y = cot x
ï
•
y = arcsin x
ï
•
y = arccos x
ï
•
y = arctan x
ï
•
y = arccot x
ï
•
•
ï
y ′ = f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x)
f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x)
y′ =
( g ( x ) )2
y ′ = a x ⋅ ln a
y′ = e x
1 1
y′ = ⋅
x ln a
1
y′ =
x
y ′ = cos x
y ′ = − sin x
1
y ′ = 1 + tan 2 x =
cos 2 x
−1
y ′ = −(1 + cot 2 x ) =
sin 2 x
1
y′ =
1− x2
−1
y′ =
1− x2
1
y′ =
1+ x2
−1
y′ =
1+ x2
Ejercicios modelo resueltos
Cálculo de derivadas.
a) y = 4 sin x − 3 ⋅ 2 x
Resolución
y ′ = 4 cos x − 3 ⋅ 2 x ⋅ ln 2
b) y = x 3 − x ⋅ e x
Resolución
y ′ = 3x 2 − 1 ⋅ e x + x ⋅ e x = 3x 2 − (1 + x ) ⋅ e x
(
)
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6
Producto y cociente de funciones. Derivación del resto de funciones
c) y = x 2 ln x
Resolución
y ′ = 2 x ln x + x 2 ⋅
1
= 2 x ln x + x
x
x2 +1
d) y = 3
x −1
Resolución
2 x ⋅ x 3 − 1 − x 2 + 1 ⋅ 3x 2 2 x 4 − 2 x − 3x 4 − 3x 2 − x 4 − 3x 2 − 2 x
y′ =
=
=
2
2
2
x3 −1
x3 −1
x3 −1
(
(
) (
)
)
(
)
(
)
Ejercicios para practicar
Calcular las siguientes derivadas.
27) y = x 3 e x
28) y = x 2 + 2 ⋅ ln x
29) y = 3 x ⋅ sin x
30) y = log x ⋅ tan x
⎛1
⎞
31) y = ⎜ x 3 + x 2 − 1⎟ ⋅ cos x
⎠
⎝3
2
32) y = arctan x ⋅ x + 1
33) y = 5 tan x + log 2 x
2
34) y = 2 + ln x − 5 x
x
35) y = x 3 ln x − x 2 cos x
(
)
(
)
36) y = log 5 + 3 x ⋅ cos x
4x + 3
37) y = 2
x +1
x 4 − 3x 3
38) y =
x−2
ln x
39) y = 2
x
x
40) y = 2
x −3
41) y = 5 arccos x + 2 x
43) y = 5 x cos x + log 3 x
2x 2 − 1
x−3
1
45) y = 2
x + x +1
46) y = x 3 − 1 ⋅ x
47) y = (3x 5 − 2 x ) ⋅ arcsin x
48) y = e x cot x + ln x
49) y = (x 5 + 2 x − 1) ⋅ sin x
x − 3 sin x
50) y =
2 x + 2 sin x
6 x 3 − 5x
51) y =
x cos x
x − tan x
52) y =
x + tan x
53) y = cos x ⋅ ln x
x cos x
54) y =
tan x
2x − 5x
55) y =
log 2 x
44) y =
(
)
56) y = x 2 ln x sin x
xe x + ln x
42) y =
x
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7
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena
y = ( f o g )( x) = f ( g ( x) )
y ′ = f ′( g ( x) ) ⋅ g ′( x)
ï
Formulario
Las anteriores reglas de derivación aplicadas a la función compuesta quedan así:
•
•
•
y = ( f ( x) )
y = a f ( x)
Si a = e y = e f ( x )
ï
ï
ï
•
y = log a f ( x)
ï
•
Si a = e y = ln f ( x) ï
•
•
y = sin f ( x)
y = cos f ( x)
ï
ï
•
y = tan f ( x)
ï
•
y = cot f ( x)
ï
•
y = arcsin f ( x)
ï
•
y = arccos f ( x)
ï
•
y = arctan f ( x)
ï
•
y = arccot f (x)
ï
n
n −1
y ′ = n( f ( x) ) ⋅ f ′( x)
y ′ = a f ( x ) ⋅ ln a ⋅ f ′( x)
y ′ = e f ( x ) ⋅ f ′( x)
1
1
y′ =
⋅
⋅ f ′( x)
f ( x) ln a
1
y′ =
⋅ f ′( x)
f ( x)
y ′ = cos f ( x) ⋅ f ′( x)
y ′ = − sin f ( x) ⋅ f ′( x)
f ′( x)
cos 2 f ( x)
− f ′( x)
y ′ = − 1 + cot 2 f ( x) ⋅ f ′( x) =
sin 2 f ( x)
1
y′ =
⋅ f ′( x)
2
1 − ( f ( x) )
−1
y′ =
⋅ f ′( x)
2
1 − ( f ( x) )
1
y′ =
⋅ f ′( x)
2
1 + ( f ( x) )
−1
y′ =
⋅ f ′( x)
2
1 + ( f ( x) )
(
)
y ′ = 1 + tan 2 f ( x) ⋅ f ′( x) =
(
)
Ejercicios modelo resueltos
Cálculo de derivadas.
(
a) y = 3x 2 + 5 x − 2
)
5
Resolución
y ′ = 5(3x 2 + 5 x − 2) ⋅ (3 ⋅ 2 x + 5 − 0) = 5(3x 2 + 5 x − 2) ⋅ (6 x + 5)
4
4
b) y = sin 4 x
Resolución
4
3
y = sin 4 x = (sin x ) ⇒ y ′ = 4(sin x ) ⋅ cos x = 4 sin 3 x cos x
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8
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena
(
c) y = ln 3 x 5 − x 2 + 2
)
Resolución
y = ln 3 (x 5 − x 2 + 2 ) = (ln (x 5 − x 2 + 2)) ⇒
3
⇒ y ′ = 3(ln (x − x + 2))
5
d) y =
2
2
5x 4 − 2x
1
4
2
5
2
⋅ 5
⋅ (5 x − 2 x ) = 3 ln (x − x + 2) ⋅ 5
x − x2 + 2
x − x2 + 2
e x + e−x
2
Resolución
e x + e−x 1 x
e x − e−x
1 x
−x
−x
′
y=
= ⋅ e + e ⇒ y = ⋅ e + e ⋅ (−1) =
2
2
2
2
(
)
(
)
Ejercicios para practicar
Calcular las siguientes derivadas.
(
)
(
y = 25x
3
76) y = ln
)
(
61)
62)
63)
64)
)
+ 2 x −1
y = arctan e
y = ln (x 3 + x 2 + 2 )
y = arcsin(x 2 )
⎛ x2 +1⎞
65) y = ln⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⋅ e cos x
⎝ x ⎠
e x − e−x
66) y =
e x + e −x
⎛ x+2 ⎞
67) y = arctan⎜
⎟
⎝ 1 − 2x ⎠
68) y = cos(x 2 ) ⋅ ln (x 2 )
70) y =
77) y = arctan
78) y =
x
69) y = 5
1 − cos x
1 + cos x
7
57) y = x 3 + 4
58) y = tan x 2 − 3
59) y = sin (log x )
60) y = cos 3 x 2 − x − 2
1
x
cos(x 2 )
cos 2 x
( )
71) y = tan x 4
(
)
2
)
74) y = arctan ln x
(
75) y = cos x 2 e x
1 − ln x
1 + ln x
e x − e−x
e x + e −x
⎛1⎞
80) y = x arctan⎜ ⎟
⎝ x⎠
79) y = ln
(
81) y = ln x + ln x 2 + 1
82) y = ln
)
1+ x
1− x
⎛ 1+ x2 + x ⎞
⎟
83) y = ln⎜
⎜ 1+ x2 − x ⎟
⎝
⎠
x
3
3 ⋅x
84) y =
3x
x3
x2 − 4
x cos(2 x )
86) y =
tan (3x )
87) y = 2 cos (5 x )
85) y =
72) y = sin 2 x 3 + x
73) y = sin 2 2 x 3 + x
(
1 − sin (2 x )
1 + sin (2 x )
)
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88) y =
x2 −1
2x + 5
9
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena
89) y = e
x
cos x
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90) y = ln
1+ 1+ x4
1+ x4 −1
10
Exponenciales y logaritmos especiales, y derivación implícita
Exponenciales y logaritmos especiales, y derivación
implícita
Formulario
•
Exponencial: y = f ( x)
g ( x)
ï
⎛
f ′( x) ⎞
⎟
y ′ = f ( x) g ( x ) ⋅ ⎜⎜ g ′( x) ⋅ ln f ( x) + g ( x) ⋅
f ( x) ⎟⎠
⎝
Demostración
1
′
⋅ y ′ = ( g ( x) ⋅ ln f ( x) ) ⇒
y
⎛
f ′( x) ⎞
y′
f ′( x)
⎟⇒
⇒
= g ′( x) ⋅ ln f ( x) + g ( x) ⋅
⇒ y ′ = y ⋅ ⎜⎜ g ′( x) ⋅ ln f ( x) + g ( x) ⋅
y
f ( x)
f ( x) ⎟⎠
⎝
y = f ( x) g ( x ) ⇒ ln y = ln f ( x) g ( x ) = g ( x) ⋅ ln f ( x) ⇒
⎛
f ′( x) ⎞
⎟
⇒ y ′ = f ( x) g ( x ) ⋅ ⎜⎜ g ′( x) ⋅ ln f ( x) + g ( x) ⋅
f ( x) ⎟⎠
⎝
•
Logaritmos: y = log g ( x ) f ( x)
ï
f ′( x)
g ′( x)
⋅ ln g ( x) −
⋅ ln f ( x)
f ( x)
g ( x)
y′ =
ln 2 g ( x)
Demostración
y = log g ( x ) f ( x) ⇒ g ( x) y = f ( x) ⇒ ln g ( x) y = ln f ( x) ⇒ y ln g ( x) = ln f ( x) ⇒
1
1
⋅ f ′( x) ln g ( x) − ln f ( x) ⋅
⋅ g ′( x)
ln f ( x)
f ( x)
g ( x)
⇒y=
⇒ y′ =
⇒
ln g ( x)
(ln g ( x) )2
g ′( x)
f ′( x)
⋅ ln g ( x) −
⋅ ln f ( x)
f ( x)
g ( x)
⇒ y′ =
ln 2 g ( x)
′
• Derivación implícita: f ( x, y ) = 0 ⇒ ( f ( x, y ) ) = 0 ⇒ F ( x, y, y ′) = 0 ⇒ y ′ = F ( x, y )
Ejercicios modelo resueltos
Cálculo de derivadas.
a) y = x x
Resolución
ln y = ln x x = x ⋅ ln x ⇒
1
1
⋅ y ′ = 1 ⋅ ln x + x ⋅ ⇒ y ′ = y ⋅ (ln x + 1) ⇒ y ′ = x x ⋅ (ln x + 1)
y
x
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11
Exponenciales y logaritmos especiales, y derivación implícita
b) y = log x (ln x )
Resolución
x y = ln x ⇒ ln x y = ln (ln x ) ⇒ y ln x = ln (ln x ) ⇒ y =
ln(ln x )
⇒
ln x
1 1
1 1
⋅ ⋅ ln x − ln(ln x ) ⋅
⋅ (1 − ln(ln x ))
1 − ln(ln x )
x = x
⇒ y ′ = ln x x
=
2
2
ln x
x ln 2 x
(ln x )
c) x 4 y 2 − 7 x 2 y + 4 = 0
Resolución
4 x 3 y 2 + x 4 2 yy ′ − 14 xy + 7 x 2 y ′ = 0 ⇒ 4 x 3 y 2 + x 4 2 yy ′ − 14 xy − 7 x 2 y ′ = 0 ⇒
(
(
)
)
⇒ x 4 2 y − 7 x 2 y ′ = 14 xy − 4 x 3 y 2 ⇒ y ′ =
14 xy − 4 x 3 y 2
2x 4 y − 7 x 2
Ejercicios para practicar
Calcular las siguientes derivadas.
99) 2 x y − 3 x 2 − 7 xy − 1 = 0
91) y = x 5 sin x
92) y = x cos x
100) 2 x ⋅ y 2 − 2 y ⋅ x 2 = xy
101) x 2 + y 2 + 3x − 5 y + 2 = 0
93) y = (ln x )
ex
(
)
94) y = 1 − x (
95) y = log ln x ( x )
96) y = log x 2
1
ln 1+ x
)
x2 −1
97) y = log sin x 1 + x 2
( )
⎛ x+ y ⎞
⎟=2
102) ln⎜⎜ 2
3 ⎟
x
−
y
⎝
⎠
103) sin ( x + y ) + e y = y
104) x 2 + 2 xy + y 2 + y − x = 0
105) xy 2 − x 3 + y − 1 = 0
98) y = log arctan x x 2
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12
Soluciones
Soluciones
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
y ′ = 21x 2
y ′ = −32 x 3 − 15 x 2
y ′ = −30x 4
y′ = 0
y ′ = 100 x 9 − 1
y ′ = −12 x
y ′ = 15 x 2 − 2 x
y ′ = 5 x 4 + 3x 2 − 2
y ′ = −12 x 3 + 10 x + 13
y ′ = −18 x 8 − 42 x 5 − 3 x 2
y ′ = 7 x 6 + 28 x 3 − 15 x 2 + 1
y ′ = 20 x 4 + 18 x 2 − 2 x + 2
y ′ = x 2 − 3x + 1
y ′ = 2 x 4 − 3x 2 + 2
− 18
y′ = 4
x
2
y ′ = 20 x 4 + 3
3x
− 16
y ′ = 3 − 42 x 5 + 1
x
− 15
y ′ = 6 − 15 x 2
2x
15
y′ =
x
2
3 5
y′ =
x
2
3
y′ = 5 x 3 + x 2 + 4x − 1
2
18 35 5
y′ = 5 −
x +1
2
x
−5
y′ =
44 x 9
−9
y′ =
2 x 11
−3
y′ =
2 6x3
−1
2
y′ =
+ 2 + 15 x 2 − 1
x3 x
(
)
x2 + 2
x
29) y ′ = (ln 3 ⋅ sin x + cos x ) ⋅ 3 x
tan x
30) y ′ =
+ log x ⋅ 1 + tan 2 x
ln 10 ⋅ x
⎞
⎛1
31) y ′ = x 2 + 2 x ⋅ cos x − ⎜ x 3 + x 2 − 1⎟ ⋅ sin x
⎠
⎝3
28) y ′ = 2 x ln x +
(
(
)
)
32) y ′ = 1 + 2 x arctan x
5
1
33) y ′ =
+
2
cos x ln 2 ⋅ x
−4 1
34) y ′ = 3 + − 5 x ⋅ ln 5
x
x
2
′
35) y = x (3 ln x + 1 + sin x ) − 2 x cos x
cos x 3
36) y ′ =
− x ⋅ sin x
33 x 2
− 4x 2 − 6x + 4
37) y ′ =
(x 2 + 1)2
38) y ′ =
39) y ′ =
40) y ′ =
3x 4 − 14 x 3 + 18 x 2
( x − 2 )2
1 − 2 ln x
x3
− 3x 2 − 3
2 x (x 2 − 3)
−5
41) y ′ =
+ 2 x ⋅ ln 2
2
1− x
x 2 e x + 1 − ln x
42) y ′ =
x2
2
43) y ′ = 5 x (ln 5 ⋅ cos x − sin x ) +
44) y ′ =
45) y ′ =
2 x 2 − 12 x + 1
(x − 3)2
(x
− 2x − 1
2
(
)
+ x +1
46) y ′ = 3 x 2 x +
2
x3 −1
2 x
)
47) y ′ = 15 x 4 − 2 ⋅ arcsin x +
27) y ′ = 3x 2 + x 3 ⋅ e x
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1
x ln 3
3x 5 − 2 x
1− x2
13
Soluciones
1 ⎞ 1
⎛
48) y ′ = e x ⎜ cot x −
⎟+
sin 2 x ⎠ x
⎝
49) y ′ = 5 x 4 + 2 ⋅ sin x + x 5 + 2 x − 1 ⋅ cos x
2(sin x − x cos x )
50) y ′ =
(x + sin x )2
12 x cos x + 6 x 2 − 5 sin x
51) y ′ =
cos 2 x
− 2 x tan 2 x − 2 x + 2 tan x
52) y ′ =
(x + tan x )2
cos x
53) y ′ = − sin x ⋅ ln x +
x
cos x ⋅ sin x − x sin 2 x − x
54) y ′ =
cos x ⋅ tan 2 x
1 ⎞
⎛
2 x ⎜ ln 2 log 2 x −
⎟+
x ln 2 ⎠
⎝
55) y ′ =
L
(log 2 x )2
(
)
(
(
)
)
⎛ 1
+ 5x ⎜
− ln 5 log 2
x ln 2
⎝
L
⎞
x⎟
⎠
56) y ′ = 2 x ln x sin x + x sin x + x 2 ln x cos x
(
)
57) y ′ = 21x x + 4
58) y ′ = 2 x 1 + tan 2 x 2 − 3
cos(log x )
59) y ′ =
x ln 10
60) y ′ = − sin 3 x 2 − x − 2 ⋅ (6 x − 1)
2
(
(
(
61) y ′ = 2 5 x
3
+ 2 x −1
(
)
⋅ ln 2 ⋅ 15 x 2 + 2
(
)
2
x
( ))
( )
72) y ′ = cos(2 x + x ) ⋅ (24 x
73) y ′ = sin (2 x + x ) ⋅ cos(2 x
+ e −x
)
2
e x + e−x
e x − e −x
1
67) y ′ =
1+ x2
( ) ( )
( )
2 cos x 2
68) y ′ = −2 x sin x ⋅ ln x +
x
2
)
74) y ′ =
75) y ′ =
76) y ′ =
77) y ′ =
83)
84)
2 x ln x ⋅ (1 + ln x )
(
)
(
)
− 2 x + x 2 ⋅ e x sin x 2 e x
(
2 cos x 2 e x
1
sin x
)
)
− cos(2 x )
(1 + sin (2 x )) ⋅
−1
1 − sin (2 x )
1 + sin (2 x )
1 + ln x
1 − ln x
x(1 + ln x )
2
y′ = 2x
e − e −2 x
x
⎛1⎞
y ′ = arctan⎜ ⎟ − 2
⎝ x ⎠ x +1
x2 + x +1
y′ =
(x 2 + 1)⋅ x + ln x 2 + 1
1
y′ =
1− x2
2
y′ =
1+ x2
x 2 3 x (2 ln 3 ⋅ x + 5)
y′ =
2 3x
2
(
85) y ′ =
)(
1
78) y ′ =
82)
)
+ 16 x 3 + 2 x
3
+ x ⋅ 12 x 2 + 2
5
3
)
(
)
2(x − 4)
x x 2 − 12 x 2 − 4
2
⋅ x
(cos(2 x ) − 2 x sin (2 x )) ⋅ tan(3x ) − L
86) y ′ =
tan 2 (3x )
L
2
2
3
81)
)
( )
(
80)
ex
1 + e2x
3x 2 + 2 x
63) y ′ = 3
x + x2 + 2
2x
64) y ′ =
1− x4
⎛ − x2 − 3
⎞ cos x
⎛ x2 +1⎞
⎜
⎟⋅e
⎜
⎟
65) y ′ = ⎜
−
ln
⋅
sin
x
2
⎜ x3 ⎟
⎟
x
x
+
1
⎝
⎠
⎝
⎠
(e
( ( )
79)
))
62) y ′ =
66) y ′ =
− 5 ln 5
x2
2 cos x 2 sin x − x sin x 2 cos x
70) y ′ =
cos 3 x
2 x 3 1 + tan 2 x 4
71) y ′ =
tan x 4
69) y ′ =
6
3
1
x
2
(
)
− 3x cos(2 x ) ⋅ 1 + tan 2 (3x )
87) y ′ = −5 ln 2 ⋅ 2 cos (5 x ) sin (5 x )
5x + 2
88) y ′ =
(2 x + 5)2 ⋅ x 2 − 1
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14
Soluciones
89) y ′ = e
90) y ′ =
x
cos x
cos x ⋅ (cos x + x sin x )
⋅
98) y ′ =
2 x cos 2 x
)
(
)
−2
x 1+ x4
99) y ′ =
⎛ − ln(5 sin x ) cos x ⎞
+
91) y ′ = x 5 sin x ⋅ ⎜
⎟
x sin x ⎠
x2
⎝
cos x ⎞
⎛
92) y ′ = x cos x ⋅ ⎜ − sin x ⋅ ln x +
⎟
x ⎠
⎝
1 ⎞
⎛
ex
93) y ′ = (ln x ) ⋅ e x ⎜ ln (ln x ) +
⎟
x ln x ⎠
⎝
(
)
x 2 + 2 xy + y 3
x 2 + 3xy 2 + 2 y 3
− cos( x + y )
103) y ′ =
cos( x + y ) + e y − 1
1 − 2x − 2 y
104) y ′ =
1 + 2x + 2 y
1
102) y ′ =
⎛1− x ⎞
⎟
− ln (1 − x ) + x ⋅ ln⎜⎜
1 + x ⎟⎠
⎝
⋅
(1 − x ) ⋅ 2 x ⋅ (ln (1 +
ln (ln x ) − 1
y′ =
x ln 2 (ln x )
x
))
2
( ) ( ) (
( ) ( )
105) y ′ =
)
96) y ′ =
x 2 ln x 2 − x 2 − 1 ⋅ ln x 2 − 1
x ⋅ x 2 − 1 ⋅ ln 2 x 2
97) y ′ =
x ln (sin x ) ⋅ sin x − ln 1 + x 2 ⋅ cos x ⋅ 1 + x 2
1 + x 2 ⋅ sin x ⋅ ln 2 (sin x )
(
6x + 7 y − 2 y
x
− 7x
y
y − 2 x ln 2 ⋅ y 2 + 2 y ⋅ 2 x
100) y ′ = x
2 ⋅ 2 y − 2 y ln 2 ⋅ x 2 − x
− 2x − 3
101) y ′ =
2y − 5
94) y ′ = 1 − x ln (1+ x ) ⋅
95)
(
2 1 + x 2 arctan x ⋅ ln (arctan x ) − 2 x ln x
x ⋅ 1 + x 2 arctan x ⋅ ln 2 (arctan x )
)
(
3x 2 − y 2
2 xy + 1
)
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15
Resoluciones
Resoluciones
Potencias, sumas de funciones y producto de una constante por una función
y ′ = 7 ⋅ 3x 2 + 0 = 21x 2
y ′ = (−8) ⋅ 4 x 3 − 5 ⋅ 3x 2 = −32 x 3 − 15 x 2
y ′ = 0 − 6 ⋅ 5 x 4 = −30 x 4
y′ = 0
5) y ′ = 10 ⋅ 10 x 9 − 1 = 100 x 9 − 1
6) y ′ = (−6) ⋅ 2 x + 0 = −12 x
7) y ′ = 5 ⋅ 3x 2 − 2 x + 0 = 15 x 2 − 2 x
8) y ′ = 5 x 4 + 3x 2 − 2
9) y ′ = (−3) ⋅ 4 x 3 + 5 ⋅ 2 x + 13 + 0 = −12 x 3 + 10 x + 13
10) y ′ = (−2) ⋅ 9 x 8 − 7 ⋅ 6 x 5 − 3x 2 + 0 = −18 x 8 − 42 x 5 − 3x 2
11) y ′ = 7 x 6 + 7 ⋅ 4 x 3 − 5 ⋅ 3x 2 + 1 + 0 = 7 x 6 + 28 x 3 − 15 x 2 + 1
12) y ′ = 4 ⋅ 5 x 4 + 6 ⋅ 3 x 2 − 2 x + 2 ⋅ 1 − 0 = 20 x 4 + 18 x 2 − 2 x + 2
1
3
13) y ′ = ⋅ 3x 2 − ⋅ 2 x + 1 − 0 = x 2 − 3x + 1
3
2
2 ⎛
5
2 5
2
2
2
⎞ 2
14) y = ⋅ ⎜ x 5 − x 3 + 5 x − 5 ⎟ = x 5 − ⋅ x 3 + ⋅ 5 x − ⋅ 5 = x 5 − x 3 + 2 x − 1 ⇒
5 2
5
5
5
5 ⎝
2
⎠ 5
2
⇒ y ′ = ⋅ 5 x 4 − 3x 2 + 2 ⋅ 1 − 0 = 2 x 4 − 3x 2 + 2
5
6
− 18
15) y = 3 = 6 x −3 ⇒ y ′ = 6 ⋅ (−3) x − 4 = 4
x
x
1
1
1
2
16) y = 4 x 5 − 2 = 4 x 5 − x −2 ⇒ y ′ = 4 ⋅ 5 x 4 − ⋅ (−2) x −3 = 20 x 4 + 3
3
3
3x
3x
8
17) y = 2 − 7 x 6 + x − 7 = 8 x − 2 − 7 x 6 + x − 7 ⇒ y ′ = 8 ⋅ (−2) x −3 − 7 ⋅ 6 x 5 + 1 − 0 ⇒
x
− 16
⇒ y ′ = 3 − 42 x 5 + 1
x
3
3
3
18) y = 5 − 5 x 3 + 3 = x −5 − 5 x 3 + 3 ⇒ y ′ = ⋅ (−5) x −6 − 5 ⋅ 3 x 2 + 0 ⇒
2
2
2x
− 15
⇒ y ′ = 6 − 15 x 2
2x
3
1
3
15
19) y = 5 x 3 = 5 x 2 ⇒ y ′ = 5 ⋅ x 2 =
x
2
2
3
1
3 2 3 5
3
3
2
20) y = 5 x = 5 ⋅ x = 5 ⋅ x ⇒ y ′ = 5 ⋅ x =
x
2
2
5
x3
1
21) y = 2 x 5 +
+ 2x 2 − x = 2x 2 + x3 + 2x 2 − x ⇒
2
2
3
5
1
3
⇒ y ′ = 2 ⋅ x 2 + ⋅ 3x 2 + 2 ⋅ 2 x − 1 = 5 x 3 + x 2 + 4 x − 1
2
2
2
1)
2)
3)
4)
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16
Resoluciones
−9
− 9 −4
22) y = 4 − 5 x 7 + x − 6 =
x − 5x 2 + x − 6 ⇒
2
2x
5
−9
7
18 35 5
⇒ y′ =
⋅ (−4) x −5 − 5 ⋅ x 2 + 1 − 0 = 5 −
x +1
2
2
2
x
−5
−9
4
1
1
1
−5 4
−5
−5
4
4
=
= 5 = x ⇒ y′ =
x =
=
23) y =
5
9
5
4
4
4
x
x
4 x9
x4
4x 4
7
1
1
−5
x2
24) y = 5 = 5 = x 2 = x
x
x
x
25) y =
3x
=
6x3
⋅
−3
2
⇒ y′ =
3x
=
6 ⋅ x3
(−1)
x
6 2
3
⇒ y′ =
26) y =
3x
−9
2
6⋅x
=
−3
2 6
=
3
2
1
⋅
x
=
3
2
−9
x
2
3
6
x
−3
2 6
−11
2
1−
3
2
⋅
=
=
1
x3
−9
2x
3
6
=
11
2
x
=
−1
2
−9
2 x 11
⇒
−3
2 6x 3
3
2
3
2 x
2
2x
− + 5 x 3 − x + 5 = 2 − 2 x −1 + 5 x 3 − x + 5 ⇒
2
x
x
x
⇒ y = 2x
3
−2
2
−1
− 2x + 5x − x + 5 = 2 x
3
−1
2
− 2 x −1 + 5 x 3 − x + 5 ⇒
−3
(−1) 2
−1 2
⇒ y′ = 2 ⋅
x − 2 ⋅ (−1) x − 2 + 5 ⋅ 3 x 2 − 1 + 0 = 3 + 2 + 15 x 2 − 1 ⇒
2
x
x2
−1
2
⇒ y′ =
+ 2 + 15 x 2 − 1
3
x
x
Producto y cociente de funciones. Derivación del resto de funciones
(
28) y ′ = (2 x + 0) ⋅ ln x + (x
)
27) y ′ = 3x 2 e x + x 3 e x = 3x 2 + x 3 ⋅ e x
1
x2 + 2
= 2 x ln x +
x
x
x
x
29) y ′ = 3 ⋅ ln 3 ⋅ sin x + 3 ⋅ cos x = (ln 3 ⋅ sin x + cos x ) ⋅ 3 x
1 1
tan x
⋅ tan x + log x ⋅ 1 + tan 2 x =
+ log x ⋅ 1 + tan 2 x
30) y ′ = ⋅
x ln 10
ln 10 ⋅ x
⎛1
⎞
⎛1
⎞
31) y ′ = ⎜ ⋅ 3x 2 + 2 x − 0 ⎟ ⋅ cos x + ⎜ x 3 + x 2 − 1⎟ ⋅ (− sin x) ⇒
⎝3
⎠
⎝3
⎠
⎛1
⎞
⇒ y ′ = x 2 + 2 x ⋅ cos x − ⎜ x 3 + x 2 − 1⎟ ⋅ sin x
⎝3
⎠
1
32) y ′ =
⋅ x 2 + 1 + arctan x ⋅ (2 x + 0) = 1 + 2 x arctan x
1+ x2
1
1 1
5
1
33) y ′ = 5 ⋅
+ ⋅
=
+
2
2
cos x x ln 2 cos x ln 2 ⋅ x
2
+ 2)⋅
(
(
)
(
)
)
(
)
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17
Resoluciones
2
1
+ ln x − 5 x = 2 x − 2 + ln x − 5 x ⇒ y ′ = 2 ⋅ (−2) x −3 + − 5 x ⋅ ln 5 ⇒
2
x
x
−4 1
⇒ y ′ = 3 + − 5 x ⋅ ln 5
x
x
1
35) y ′ = 3x 2 ln x + x 3 ⋅ − 2 x cos x + x 2 (− sin x) ⇒
x
2
⇒ y ′ = 3x ln x + x 2 − (2 x cos x − x 2 sin x ) = 3x 2 ln x + x 2 − 2 x cos x + x 2 sin x ⇒
⇒ y ′ = x 2 (3 ln x + 1 + sin x ) − 2 x cos x
34) y =
(
)
−2
1
3
1
1
36) y = log 5 + x ⋅ cos x = log 5 + x ⋅ cos x ⇒ y ′ = 0 + x 3 ⋅ cos x + x 3 ⋅ (− sin x) ⇒
3
cos x 3
cos x 3
⇒ y′ =
− x ⋅ sin x =
− x ⋅ sin x
2
33 x 2
3
3x
(4 ⋅ 1 + 0) ⋅ (x 2 + 1) − (4 x + 3) ⋅ (2 x + 0) = 4(x 2 + 1) − (4 x + 3) ⋅ 2 x ⇒
37) y ′ =
(x 2 + 1)2
(x 2 + 1)2
3
⇒ y′ =
38) y ′ =
4 x 2 + 4 − 8x 2 − 6 x
(4 x
⇒ y′ =
(x
3
2
+ 1)
2
− 4x 2 − 6x + 4
=
(x
2
+ 1)
2
− 3 ⋅ 3x 2 ) ⋅ ( x − 2) − (x 4 − 3 x 3 ) ⋅ (1 − 0)
( x − 2 )2
4 x 4 − 8 x 3 − 9 x 3 + 18 x 2 − x 4 + 3 x 3
=
( x − 2 )2
=
(4 x
3
− 9 x 2 ) ⋅ ( x − 2 ) − (x 4 − 3 x 3 )
( x − 2 )2
⇒
3x 4 − 14 x 3 + 18 x 2
( x − 2 )2
1 2
⋅ x − ln x ⋅ 2 x
x − ln x ⋅ 2 x x(1 − ln x ⋅ 2 ) 1 − 2 ln x
39) y ′ = x
=
=
=
2 2
x4
x4
x3
(x )
1
−1
x2 − 3
1 2
1
2
2
− x ⋅ 2x
(
)
x
x
x
x
3
2
0
⋅
−
−
⋅
−
x
x2
x
2
2
=
⇒
40) y = 2
=
⇒ y′ =
2
2
x − 3 x2 − 3
x2 − 3
x2 − 3
(
)
(
)
(
)
x − 3 − 2 x ⋅ x ⋅ 2x
2
⇒ y′ =
41) y ′ = 5
(x
−1
1− x
2
2 x
2
=
)
−3
2
+ 2 x ⋅ ln 2 =
x 2 − 3 − 4x 2
(
)
2 x x2 − 3
−5
1− x
2
(
2
=
− 3x 2 − 3
(
)
2 x x2 − 3
2
+ 2 x ⋅ ln 2
)
1⎞
⎛
x
x
x
⎜1 ⋅ e + xe + ⎟ x − xe + ln x ⋅ 1
xe x + x 2 e x + 1 − xe x − ln x x 2 e x + 1 − ln x
x⎠
42) y ′ = ⎝
=
=
x2
x2
x2
1 1
1
43) y ′ = 5 x ⋅ ln 5 ⋅ cos x + 5 x ⋅ (− sin x ) + ⋅
= 5 x (ln 5 ⋅ cos x − sin x ) +
x ln 3
x ln 3
2
2
(2 ⋅ 2 x − 0) ⋅ (x − 3) − 2 x − 1 ⋅ (1 − 0) = 4 x(x − 3) − 2 x − 1 = 4 x 2 − 12 x − 2 x 2 + 1 ⇒
44) y ′ =
(x − 3)2
(x − 3)2
(x − 3)2
2 x 2 − 12 x + 1
⇒ y′ =
(x − 3)2
(
)
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(
)
18
Resoluciones
(
)
0 ⋅ x 2 + x + 1 − 1 ⋅ (2 x + 1 + 0 )
45) y ′ =
(
(x
2
)
)
+ x +1
(
2
)
1
46) y = x 3 − 1 ⋅ x = x 3 − 1 ⋅ x 2
⇒ y ′ = 3x 2 x +
(
)
− 2x − 1
=
(x + x + 1)
⇒ y ′ = (3 x − 0) ⋅ x + (x
2
2
1
2
2
−1
3
1
− 1) ⋅ x 2 ⇒
2
x3 −1
2 x
(
)
47) y ′ = 3 ⋅ 5 x 4 − 2 ⋅ arcsin x + 3x 5 − 2 x ⋅
1
= (15 x 4 − 2) ⋅ arcsin x +
3x 5 − 2 x
1− x2
1− x2
1
1 ⎞ 1
−1
⎛
48) y ′ = e x cot x + e x ⋅ 2 + = e x ⎜ cot x −
⎟+
sin x x
sin 2 x ⎠ x
⎝
49) y ′ = (5 x 4 + 2 − 0 ) ⋅ sin x + (x 5 + 2 x − 1) ⋅ cos x = (5 x 4 + 2) ⋅ sin x + (x 5 + 2 x − 1) ⋅ cos x
(1 − 3 cos x ) ⋅ (2 x + 2 sin x ) − (x − 3 sin x ) ⋅ (2 + 2 cos x ) ⇒
50) y ′ =
(2 x + 2 sin x )2
2 x + 2 sin x − 6 x cos x − 6 sin x cos x − 2 x − 2 x cos x + 6 sin x + 6 sin x cos x
⇒ y′ =
⇒
(2 x + 2 sin x )2
8 sin x − 8 x cos x 8(sin x − x cos x ) 2(sin x − x cos x )
⇒ y′ =
=
=
2
(x + sin x )2
(2 x + 2 sin x )2
4( x + sin x )
(6 ⋅ 3x 2 − 5)⋅ x cos x − (6 x 3 − 5x )⋅ (1 ⋅ cos x + x ⋅ (− sin x)) ⇒
51) y ′ =
(x cos x )2
(18x 2 − 5)⋅ x cos x − (6 x 3 − 5x )⋅ (cos x − x sin x ) ⇒
⇒ y′ =
x 2 cos 2 x
18 x 3 cos x − 5 x cos x − 6 x 3 cos x + 6 x 4 sin x + 5 x cos x − 5 x 2 sin x
⇒ y′ =
⇒
x 2 cos 2 x
12 x 3 cos x + 6 x 4 sin x − 5 x 2 sin x x 2 (12 x cos x + (6 x 2 − 5)sin x )
⇒ y′ =
=
⇒
x 2 cos 2 x
x 2 cos 2 x
12 x cos x + (6 x 2 − 5)sin x
⇒ y′ =
cos 2 x
(1 − (1 + tan 2 x ))⋅ (x + tan x ) − (x − tan x ) ⋅ (1 + 1 + tan 2 x ) ⇒
52) y ′ =
(x + tan x )2
− tan 2 x ⋅ ( x + tan x ) − ( x − tan x ) ⋅ (2 + tan 2 x )
⇒ y′ =
⇒
(x + tan x )2
− x tan 2 x − tan 3 x − 2 x − x tan 2 x + 2 tan x + tan 3 x
⇒ y′ =
⇒
(x + tan x )2
− 2 x tan 2 x − 2 x + 2 tan x
⇒ y′ =
(x + tan x )2
1
cos x
53) y ′ = (− sin x ) ⋅ ln x + cos x ⋅ = − sin x ⋅ ln x +
x
x
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19
Resoluciones
54) y ′ =
(1 ⋅ cos x + x ⋅ (− sin x) ) tan x − x cos x
tan 2 x
1
cos 2 x ⇒
(cos x − x sin x ) tan x −
x
(cos x − x sin x ) ⋅ sin x − x
cos x =
cos x cos x ⇒
⇒ y′ =
2
2
tan x
tan x
(cos x − x sin x ) ⋅ sin x − x
cos x ⋅ sin x − x sin 2 x − x
cos
x
=
⇒ y′ =
tan 2 x
cos x ⋅ tan 2 x
1 1
2 x ln 2 − 5 x ln 5 ⋅ log 2 x − 2 x − 5 x ⋅ ⋅
x ln 2 ⇒
55) y ′ =
2
(log 2 x )
(
)
⇒ y′ =
(
)
2 x ln 2 log 2 x − 5 x ln 5 log 2 x −
(log 2 x )2
2x
5x
+
x ln 2 x ln 2 ⇒
1 ⎞
1
⎞
⎛
x⎛
− ln 5 log 2 x ⎟
2 x ⎜ ln 2 log 2 x −
⎟+5 ⎜
x ln 2 ⎠
⎝ x ln 2
⎠
⇒ y′ = ⎝
2
(log 2 x )
1
56) y ′ = 2 x ln x sin x + x 2 ⋅ ⋅ sin x + x 2 ln x cos x = 2 x ln x sin x + x sin x + x 2 ln x cos x
x
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena
(
) (
) (
)
(
)
58) y ′ = (1 + (tan (x − 3)) )⋅ (2 x − 0) = 2 x(1 + tan (x − 3))
57) y ′ = 7 x 3 + 4 ⋅ 3x 2 + 0 = 7 x 3 + 4 ⋅ 3x 2 = 21x 2 x 3 + 4
6
6
2
2
2
6
2
1 1
cos(log x )
=
59) y ′ = cos(log x ) ⋅ ⋅
x ln 10
x ln 10
2
60) y ′ = − sin 3 x − x − 2 ⋅ (3 ⋅ 2 x − 1 − 0) = − sin 3 x 2 − x − 2 ⋅ (6 x − 1)
(
61) y ′ = 2 5 x
62) y ′ =
3
+ 2 x −1
1
( )
1+ e
x 2
(
)
)
⋅ ln 2 ⋅ 5 ⋅ 3 x 2 + 2 − 0 = 2 5 x
⋅ ex =
(
3
+ 2 x −1
(
)
⋅ ln 2 ⋅ 15 x 2 + 2
)
x
e
1 + e2x
1
3x 2 + 2 x
2
3
2
0
x
+
x
+
=
x3 + x2 + 2
x3 + x2 + 2
1
2x
⋅ 2x =
64) y ′ =
2
1− x4
1− x2
(
63) y ′ =
( )
)
(
( )
)
(2 x + 0) ⋅ x 3 − x 2 + 1 ⋅ 3x 2 ⋅ e cos x + ln⎛⎜ x 2 + 1 ⎞⎟ ⋅ e cos x ⋅ (− sin x) ⇒
1
⋅
2
⎜ x3 ⎟
x2 +1
x3
⎝
⎠
3
x
⎛ x 2 + 1 ⎞ cos x
x 3 2 x 4 − 3 x 4 − 3 x 2 cos x
⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⋅ e
⇒ y′ = 2
⋅
⋅
e
−
ln
⋅ sin x ⇒
x +1
x6
⎝ x ⎠
65) y ′ =
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20
Resoluciones
(
)
⎛ x 2 + 1 ⎞ cos x
x 5 − x 2 − 3 cos x
⇒ y′ = 6 2
⋅e
− ln⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⋅ e
⋅ sin x ⇒
x x +1
⎝ x ⎠
⎞ cos x
⎛ − x2 − 3
⎛ x2 +1⎞
⎟⋅e
⎜
⎟
⇒ y ′ = ⎜⎜
−
ln
sin
x
⋅
2
⎜ x3 ⎟
⎟
x
x
+
1
⎝
⎠
⎠
⎝
(
)
(
)
e x − e −x ⎛ e x − e −x
=⎜
e x + e − x ⎜⎝ e x + e − x
66) y =
1 ⎛ e x − e −x
⇒ y ′ = ⋅ ⎜⎜ x
2 ⎝ e + e −x
−1
1
⎞2
⎟⎟ ⇒
⎠
(
)(
) (
)(
)
⎞ 2 e x − e − x (−1) ⋅ e x + e − x − e x − e − x ⋅ e x + e − x (−1)
⎟⎟ ⋅
⇒
2
e x + e −x
⎠
(
e +e
1
1
⇒ y′ = ⋅
⋅
x
−
x
2 e −e
e x + e −x
x
(
−x
)⋅ (e
+e
x
−x
(e
) (
(
) − (e
+e
x
2
1 e x + e−x e x + e−x − e x − e−x
⇒ y′ = ⋅ x
⋅
2
2 e − e −x
e x + e −x
(
)
x
)
−e
−x
)
)⋅ (e
x
− e−x
−x 2
)
)⇒
2
(
⇒
)
1 e x + e − x e 2 x + 2e x e − x + e −2 x − e 2 x − 2e x e − x + e −2 x
⇒ y′ = ⋅ x
⋅
⇒
2
2 e − e −x
e x + e−x
(
−x
e
1 e +e
⇒ y′ = ⋅ x
⋅
−x
2 e −e
x
2x
+2+e
−2 x
(e
x
−e
2x
+ e −x
)
)
+ 2 − e −2 x
2
⇒
e x + e−x
1 e x + e−x
4
2
⇒ y′ = ⋅ x
⋅
=
2
2 e − e −x e x + e −x 2
e x − e−x
e x + e −x
(1 + 0) ⋅ (1 − 2 x ) − (x + 2) ⋅ (0 − 2) ⇒
1
⋅
67) y ′ =
2
(1 − 2 x )2
⎛ x+2 ⎞
1+ ⎜
⎟
⎝ 1 − 2x ⎠
1
1 − 2x + 2x + 4
5
⇒ y′ =
⋅
=
⇒
2
2
2
2
(
(
(
x + 2)
1 − 2x)
1 − 2 x ) + (x + 2)
1+
(1 − 2 x )2
5
5
5
1
⇒ y′ =
=
=
=
2
2
2
2
1 − 4x + 4x + x + 4x + 4 5 + 5x
5⋅ 1+ x
1+ x2
(
)
(
)
(
( )
( )
( )
)
2 cos(x )
⋅ 2 x = −2 x sin (x ) ⋅ ln (x ) +
x
1
2
2
68) y ′ = − sin x ⋅ 2 x ⋅ ln x + cos x ⋅ 2
x
1
′
1
1
1
x
′
1
−
5
ln 5
⎛
⎞
69) y ′ = 5 x ln 5 ⋅ ⎜ ⎟ = 5 x ln 5 ⋅ (x −1 ) = 5 x ln 5 ⋅ (−1) x − 2 =
2
x
⎝ x⎠
2
2
2
− sin x ⋅ 2 x ⋅ cos x − cos x ⋅ 2 cos x ⋅ (− sin x )
⇒
70) y ′ =
2
cos 2 x
2
(
⇒ y′ =
2
( ))
(
(
( )
2
( )
)
( )
)
( ( )
2
( )
2 cos x ⋅ − x sin x 2 cos x + cos x 2 sin x
2 cos x 2 sin x − x sin x 2 cos x
=
cos 4 x
cos 3 x
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)
21
Resoluciones
( ( )) )⋅ 4 x ⇒
( ))
1
⇒ y′ =
⋅ (1 + tan (x ))
( )
2 tan (x )
72) y ′ = cos(2 x + x ) ⋅ 2(2 x + x ) ⋅ (2 ⋅ 3x + 1) = cos(2 x + x ) ⋅ 2(2 x + x ) ⋅ (6 x + 1) ⇒
⇒ y ′ = cos(2 x + x ) ⋅ (24 x + 4 x + 12 x + 2 x ) = cos(2 x + x ) ⋅ (24 x + 16 x + 2 x )
73) y ′ = 2 sin (2 x + x ) ⋅ cos(2 x + x ) ⋅ (2 ⋅ 3 x + 1) = sin (2 x + x ) ⋅ cos(2 x + x ) ⋅ (12 x + 2 )
( ) ( ( ))
71) y = tan x 4 = tan x 4
1
2
2
4
2
3
3
5
3
1+
(
ln x
)
2
1
75) y ′ =
(
2
2 cos x e
1
x
1
3
2
3
3
2
2
3
5
3
⋅
1
1
=
2 ln x x 2 x ln x ⋅ (1 + ln x )
)
⋅ − sin x 2 e x ⋅ 2 xe x + x 2 e x =
(
2
2
3
3
3
1
( ( ))
(
2
2
3
74) y ′ =
4
(
−1
1
⋅ tan x 4 2 ⋅ 1 + tan x 4
2
2 x 3 1 + tan 2 x 4
⋅ 4x3 =
tan x 4
⇒ y′ =
3
3
2
⋅
(
)) (
)
(
)
(
)
− 2 x + x 2 ⋅ e x sin x 2 e x
(
2
x
)
2 cos x e
(0 − (− sin x) ) ⋅ (1 + cos x ) − (1 − cos x ) ⋅ (0 − sin x ) ⇒
1
76) y ′ =
⋅
⋅
(1 + cos x )2
1 − cos x
1 − cos x
2
1 + cos x
1 + cos x
sin x ⋅ (1 + cos x ) + (1 − cos x ) ⋅ sin x sin x ⋅ (1 + cos x + 1 − cos x )
1
⋅
=
⇒
⇒ y′ =
2
1 − cos x
2 ⋅ (1 − cos x ) ⋅ (1 + cos x )
(
)
+
1
cos
x
2⋅
1 + cos x
2 sin x
sin x
1
⇒ y′ =
=
=
2
2
2 ⋅ 1 − cos x sin x sin x
′
⎛ 1 − sin (2 x ) ⎞
1
1
⎟⎟ ⇒
⋅
⋅ ⎜⎜
77) y ′ =
2
⎛ 1 − sin (2 x ) ⎞ 2 1 − sin (2 x ) ⎝ 1 + sin (2 x ) ⎠
⎟
1 + ⎜⎜
⎟
1 + sin (2 x )
(
)
1
sin
2
x
+
⎝
⎠
(
⇒ y′ =
⇒ y′ =
)
− cos(2 x ) ⋅ 2 ⋅ (1 + sin (2 x )) − (1 − sin (2 x )) ⋅ cos(2 x ) ⋅ 2
⇒
1 − sin (2 x ) ⎛ 1 − sin (2 x ) ⎞
2
⎟ ⋅ (1 + sin (2 x ))
⋅ ⎜1 +
2
1 + sin (2 x ) ⎜⎝ 1 + sin (2 x ) ⎟⎠
2 ⋅ (− cos(2 x ) − cos(2 x )sin (2 x ) − cos(2 x ) + sin (2 x ) cos(2 x ))
⇒
1 − sin (2 x ) 1 + sin (2 x ) + 1 − sin (2 x )
2
⋅
⋅ (1 + sin (2 x ))
2
1 + sin (2 x )
1 + sin (2 x )
− cos(2 x )
− 2 cos(2 x )
⇒ y′ =
=
1 − sin (2 x )
1 − sin (2 x )
⋅ 2 ⋅ (1 + sin (2 x )) (1 + sin (2 x )) ⋅
1 + sin (2 x )
1 + sin (2 x )
1
1
− ⋅ (1 + ln x ) − (1 − ln x ) ⋅
1
− 1 − ln x − 1 + ln x
1
x =
78) y ′ =
⋅
⇒
⋅ x
2
2
(
1 + ln x )
x(1 + ln x )
1 − ln x
1 − ln x
2
2
1 + ln x
1 + ln x
1
−2
−1
1 + ln x
⋅
=
⇒ y′ =
2
2
x(1 + ln x ) 1 − ln x
1 − ln x x(1 + ln x )
2
1 + ln x
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22
Resoluciones
79) y ′ =
1
−x
e −e
e x + e −x
x
1
⋅
−x
e −e
e x + e−x
x
2
⋅
(
(e
)(
) (
)(
− e − x (−1) ⋅ e x + e − x − e x − e − x ⋅ e x + e − x (−1)
x
) (
(e
x
+e
)
−x 2
)⇒
)
2
2
e x + e−x − e x − e−x
1
⋅
⇒
x
−x 2
e x − e −x
e
e
+
2 x
e + e−x
e 2 x + 2e x e − x + e −2 x − e 2 x − 2e x e − x + e −2 x
⇒ y′ =
⇒
2 e x − e−x e x + e−x
⇒ y′ =
(
)
(
)(
(
)
)
e 2 x + 2 + e −2 x − e 2 x + 2 − e −2 x
4
2
=
= 2x
2x
−2 x
2x
−2 x
e − e −2 x
2 e −e
2 e −e
x
1
1
⎛1⎞
⎛1⎞
80) y ′ = 1 ⋅ arctan⎜ ⎟ + x ⋅
⋅ (−1) x − 2 = arctan⎜ ⎟ −
⋅ 2 ⇒
2
⎝ x⎠
⎝ x ⎠ 1+ 1 x
⎛1⎞
1+ ⎜ ⎟
x2
⎝ x⎠
x
⎛1⎞
⇒ y ′ = arctan⎜ ⎟ − 2
⎝ x ⎠ x +1
⇒ y′ =
(
)
(
)
⎛
⎞
x ⎞
1
1
1
⎛
⋅ ⎜1 + 2
⋅ ⎜⎜1 +
⋅
⋅ 2 x ⎟⎟ =
⎟⇒
2
x
+
1
⎝
⎠
x + ln x 2 + 1 ⎝
x2 +1 2 x2 +1
x
x
+
+
ln
1
⎠
2
2
1
x +1+ x
x + x +1
⇒ y′ =
⋅
=
2
2
2
x +1
x + ln x + 1
x + 1 ⋅ x + ln x 2 + 1
1
1
1 ⋅ (1 − x ) − (1 + x ) ⋅ (−1)
1
1− x +1+ x
82) y ′ =
=
⋅
⋅
⋅
⇒
2
2
1+ x
(
(
)
1 − x)
x
1
−
1+ x
1+ x
2
2
1− x
1− x
1− x
2
1
⇒ y′ =
=
2(1 + x ) ⋅ (1 − x ) 1 − x 2
⎛
⎞
⎛
⎞
1
1
⎜
⎟ ⋅ 1+ x2 − x − 1+ x2 + x ⋅⎜
⎟
⋅
+
⋅
−
x
x
2
1
2
1
⎜
⎟
⎜
⎟
2
2
1
+
+
x
x
2
1
2
1
⎠
⎝
⎠⇒
⋅⎝
83) y ′ =
2
2
2
1+ x + x
1+ x − x
2
1+ x − x
⎛
⎞
⎛
⎞
x
x
⎜
⎟ ⋅ 1+ x2 − x − 1+ x2 + x ⋅ ⎜
⎟
+
1
1
−
⎜
⎟
⎜
⎟
2
2
1+ x
⎠
⎝ 1+ x
⎠⇒
⇒ y′ = ⎝
2
2
1+ x + x ⋅ 1+ x − x
1
81) y ′ =
)
)(
(
)(
(
)
(
x + 1+ x2
⇒ y′ =
1+ x2
(
(
(
⋅ 1+ x2
)(
)(
− x )− ( 1 + x
)
)
)
2
) x −1 +1 +x x
+x ⋅
2
2
1+ x2 − x2
1+ x2 + x ⋅ 1+ x2 − x − x + 1+ x2 ⋅ x − 1+ x2
⇒ y′ =
(
⇒ y′ =
(1 + x
)(
2
) (
)(
(
1+ x
− x − x − 1+ x2
2
2
1+ x2
)(
2
)) = 1 − (x
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2
−1− x2
1+ x2
)=
⇒
)⇒
2
1+ x2
23
Resoluciones
84) y ′ =
(3
x
)
ln 3 ⋅ x 3 + 3 x ⋅ 3x 2 ⋅ 3x − 3 x ⋅ x 3 ⋅
( 3x )
1
2 3x
⋅3
⇒
2
(3
⇒ y′ =
⇒ y′ =
⇒ y′ =
) (
ln 3 ⋅ x 3 + 3 x ⋅ 3 x 2 ⋅ 2 3 x
x
)
2
− 3 x ⋅ 3x 3
2 3x
3x
x
3
x
3 ln 3 ⋅ x + 3 ⋅ 3 x 2 ⋅ 6 x − 3 x ⋅ 3 x 3
(
)
6 x 3x
3 x
3 x 3 (2 x ln 3 + 6 − 1)
=
⇒
=
3 x ln 3 ⋅ 6 x 4 + 3 x ⋅ 18 x 3 − 3 x ⋅ 3 x 3
6 x 3x
x 2 3 x (2 ln 3 ⋅ x + 5)
⇒
6 x 3x
2 3x
2
2
3
1
3x x − 4 − x ⋅ 2 x
3 x 4 − 12 x 2 − 2 x 4
⋅
=
85) y ′ =
⇒
2
2
x2 − 4
x3
x3
2
2 2
2 x −4 ⋅ 2
x −4
x −4
(
)
(
)
(
)
(x − 12 x ) x − 4 = x (x − 12) x − 4 = x(x − 12) x
⇒ y′ =
2(x − 4) ⋅ x x
2(x − 4 ) ⋅
2(x − 4) ⋅ x
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
−4
x
(1 ⋅ cos(2 x ) + x ⋅ (− sin (2 x )) ⋅ 2) ⋅ tan (3x ) − x cos(2 x ) ⋅ (1 + (tan (3x ))2 )⋅ 3 ⇒
(tan (3x ))2
(cos(2 x ) − 2 x sin (2 x )) ⋅ tan (3x ) − 3x cos(2 x ) ⋅ (1 + tan 2 (3x ))
⇒ y′ =
tan 2 (3x )
87) y ′ = 2 cos (5 x ) ln 2 ⋅ (− sin (5 x )) ⋅ 5 = −5 ln 2 ⋅ 2 cos (5 x ) sin (5 x )
86) y ′ =
2x
88) y ′ =
2 x2 −1
⇒ y′ =
89) y ′ = e
⋅ (2 x + 5) − x − 1 ⋅ 2
(2 x + 5)
2
(2 x + 5)2 ⋅
1
⋅
2
x
cos x
=
2
2 x + 5x − 2 x + 2
2
x
cos x
(
2 x 2 + 5x − 2 x 2 − 1
2
x2 −1
(2 x + 5)2
2
=
(
)⇒
2 x 2 + 5x − 2 x 2 − 1
(2 x + 5)
2
⋅ x −1
2
5x + 2
=
(2 x + 5)2 ⋅ x 2 − 1
x
1 ⋅ cos x − x ⋅ (− sin x )
⋅
= e cos x ⋅
x2 −1
)
2
cos x
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cos x ⋅ (cos x + x sin x )
2 x cos 2 x
24
Resoluciones
4x3
90) y ′ =
1
1+ 1+ x
4
2
1+ x −1
4
2⋅
1+ 1+ x4
(1 +
1+ 1+ x
⋅
2 1+ x4
) 2 41x+ x
( 1 + x − 1)
1+ x −1
2x3
⋅ 1+ x4 −1−1− 1+ x4
4
1+ x
3
4
2
4
4
⇒
4
(
1
⇒ y′ =
⇒ y′ =
1
⋅
)(
(
⋅ 1+ x4 −1 − 1+ 1+ x4 ⋅
⋅
( 1 + x − 1)
2
4
1+ x −1
− 2x3
)
⇒
4
1+ x4
)(
− 2 x3
)
1+ x4 ⋅ 1+ x4 −1
=
− 2x3
−2
1+ x4
=
=
4
1+ x −1 x4 1+ x4
x 1+ x4
Exponenciales y logaritmos especiales, y derivación implícita
91) y = x 5 sin x = (5 sin x ) x ⇒ ln y = ln (5 sin x ) x ⇒ ln y =
1
⋅ ln (5 sin x ) ⇒
x
1
(−1)
1
1
⎛ − ln (5 sin x ) cos x ⎞
⇒ ⋅ y ′ = 2 ⋅ ln(5 sin x ) + ⋅
⋅ 5 cos x ⇒ y ′ = y ⋅ ⎜
+
⎟⇒
y
x 5 sin x
x sin x ⎠
x
x2
⎝
⎛ − ln (5 sin x ) cos x ⎞
⇒ y ′ = x 5 sin x ⋅ ⎜
+
⎟
x sin x ⎠
x2
⎝
1
1
92) ln y = ln x cos x ⇒ ln y = cos x ⋅ ln x ⇒ ⋅ y ′ = − sin x ⋅ ln x + cos x ⋅ ⇒
y
x
cos x ⎞
cos x ⎞
⎛
cos x ⎛
⇒ y ′ = y ⋅ ⎜ − sin x ⋅ ln x +
⋅ ⎜ − sin x ⋅ ln x +
⎟ ⇒ y′ = x
⎟
x ⎠
x ⎠
⎝
⎝
1
1 1
ex
93) ln y = ln (ln x ) ⇒ ln y = e x ⋅ ln (ln x ) ⇒ ⋅ y ′ = e x ⋅ ln (ln x ) + e x ⋅
⋅ ⇒
y
ln x x
1
1
x
⎛
1 ⎞
ex ⎞
⎛
⎟⎟ ⇒ y ′ = (ln x )e ⋅ e x ⎜ ln (ln x ) +
⇒ y ′ = y ⋅ ⎜⎜ e x ⋅ ln (ln x ) +
⎟
x ln x ⎠
x ln x ⎠
⎝
⎝
ln (1 − x )
(
)
⇒
ln (1 + x )
ln (1 + x )
1
(−1)
1
1
⋅
⋅ ln (1 + x ) − ln (1 − x )⋅
⋅
1
1− x 2 x
1+ x 2 x
⇒ ⋅ y′ =
⇒
y
(ln(1 + x ))
− (1 + x )⋅ ln (1 + x ) − (1 − x )⋅ ln (1 − x )
(1 − x )⋅ (1 + x )⋅ 2 x
⇒ y′ = y ⋅
⇒
(ln(1 + x ))
− (ln (1 + x ) + ln (1 − x )) + x ⋅ (ln (1 − x ) − ln (1 + x ))
⇒ y ′ = (1 − x ) ( ) ⋅
⇒
(1 − x ) ⋅ 2 x ⋅ (ln (1 + x ))
(
)
1
94) ln y = ln 1 − x ln (1+ x ) ⇒ ln y =
1
⋅ ln 1 − x ⇒ ln y =
2
2
1
ln 1+ x
2
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25
Resoluciones
(
)
1
(
)
1
⇒ y ′ = 1 − x ln (1+
⇒ y ′ = 1 − x ln (1+
( ((
)(
)))
⎛1− x ⎞
⎟
− ln 1 + x ⋅ 1 − x + x ⋅ ln⎜⎜
⎟
x
1
+
⎝
⎠⇒
x) ⋅
2
(1 − x ) ⋅ 2 x ⋅ ln 1 + x
( (
))
⎛1− x ⎞
⎟
− ln(1 − x ) + x ⋅ ln⎜⎜
⎟
1
+
x
⎝
⎠
x) ⋅
( ( ))
ln x
= x ⇒ ln ((ln x ) ) = ln x ⇒ y ln (ln x ) = ln x ⇒ y =
⇒
ln (ln x )
(1 − x ) ⋅ 2
95) y = log ln x ( x ) ⇒ (ln x )
y
2
x ⋅ ln 1 + x
y
1
1 1 1
⋅ ln(ln x ) − ln x ⋅
⋅
⋅ (ln (ln x ) − 1)
ln(ln x ) − 1
x
ln
x
x
x
⇒ y′ =
=
=
2
2
ln (ln x )
x ln 2 (ln x )
(ln(ln x ))
( )
96) y = log x 2
x2 −1 ⇒ x2
y
(( ) ) = ln
1
⇒y=
y
= x 2 − 1 ⇒ ln x 2
ln x − 1
⇒ y′ =
ln (x 2 )
⋅
1
x2 −1 2 x2 −1
2
⋅ 2 x ⋅ ln (x 2 ) − ln x 2 − 1 ⋅
(ln(x ))
x ln (x ) 2 ln x − 1 x ln (x ) − (x − 1) ⋅ ln (
−
x ⋅ (x − 1)
x
x
−
1
⇒ y′ =
=
ln (x )
ln (x )
x ln (x ) − (x − 1) ⋅ ln (x − 1)
⇒ y′ =
x ⋅ (x − 1) ⋅ ln (x )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
⋅ 2x
x2
2
2
2
( )
x 2 − 1 ⇒ y ln x 2 = ln x 2 − 1 ⇒
2
x2 −1
⇒
)
2
⇒
2
2
2
2
(
)
97) y = log sin x 1 + x 2 ⇒ (sin x ) = 1 + x 2 ⇒ ln (sin x ) = ln 1 + x 2 ⇒
y
y
ln 1 + x 2
⇒ y ln (sin x ) = ln 1 + x ⇒ y =
⇒
ln (sin x )
1
1
1
⋅
⋅ 2 x ⋅ ln (sin x ) − ln 1 + x 2 ⋅
⋅ cos x
2
2
sin x
1
x
2
1
x
+
+
⇒ y′ =
⇒
(ln(sin x ))2
2
2
2
x ln (sin x ) ln 1 + x 2 ⋅ cos x x ln (sin x ) ⋅ sin x − ln 1 + x ⋅ cos x ⋅ (1 + x )
−
2
(1 + x 2 )⋅ sin x
sin x
⇒ y′ = 1 + x
=
⇒
ln 2 (sin x )
(ln(sin x ))2
(
x ln (sin x ) ⋅ sin x − ln 1 + x 2 ⋅ cos x ⋅ 1 + x 2
⇒ y′ =
1 + x 2 ⋅ sin x ⋅ ln 2 (sin x )
(
)
(
)
)
98) y = log arctan x (x 2 ) ⇒ (arctan x ) = x 2 ⇒ ln (arctan x ) = ln (x 2 ) ⇒
2 ln x
⇒ y ln (arctan x ) = 2 ln x ⇒ y =
⇒
ln (arctan x )
2 ln(arctan x )
2 ln x
2
1
1
−
⋅ ln(arctan x ) − 2 ln x ⋅
⋅
2
2
x
1 + x ⋅ arctan x
arctan x 1 + x =
⇒ y′ = x
⇒
2
2
ln (arctan x )
(ln(arctan x ))
y
y
(
Taller de Derivadas – CampusDeMatematicas.COM
)
26
Resoluciones
(
)
2 1 + x 2 arctan x ⋅ ln(arctan x ) − 2 x ln x
2 1 + x 2 arctan x ⋅ ln(arctan x ) − 2 x ln x
x ⋅ 1 + x 2 arctan x
⇒ y′ =
=
ln 2 (arctan x )
x ⋅ 1 + x 2 arctan x ⋅ ln 2 (arctan x )
(
(
)
)
(
)
⎛
⎞
1
xy ′
99) 2⎜1 ⋅ y + x ⋅
⋅ y ′ ⎟ − 6 x − 7(1 ⋅ y + xy ′) − 0 = 0 ⇒ 2 y +
− 6 x − 7 y − 7 xy ′ = 0 ⇒
⎜
⎟
2 y
y
⎝
⎠
⎞
⎛ x
6x + 7 y − 2 y
xy ′
⇒
− 7 xy ′ = 6 x + 7 y − 2 y ⇒ ⎜
− 7 x ⎟ y′ = 6x + 7 y − 2 y ⇒ y′ =
⎟
⎜ y
x
y
⎠
⎝
− 7x
y
(
)
100) 2 x ln 2 ⋅ y 2 + 2 x ⋅ 2 yy ′ − 2 y ln 2 ⋅ y ′ ⋅ x 2 + 2 y ⋅ 2 x = 1 ⋅ y + xy ′ ⇒
⇒ 2 x ln 2 ⋅ y 2 + 2 x ⋅ 2 yy ′ − 2 y ln 2 ⋅ y ′ ⋅ x 2 − 2 y ⋅ 2 x = y + xy ′ ⇒
⇒ 2 x ⋅ 2 yy ′ − 2 y ln 2 ⋅ y ′ ⋅ x 2 − xy ′ = y − 2 x ln 2 ⋅ y 2 + 2 y ⋅ 2 x ⇒
⇒ 2 x ⋅ 2 y − 2 y ln 2 ⋅ x 2 − x y ′ = y − 2 x ln 2 ⋅ y 2 + 2 y ⋅ 2 x ⇒
(
⇒ y′ =
)
y − 2 ln 2 ⋅ y + 2 ⋅ 2 x
2 x ⋅ 2 y − 2 y ln 2 ⋅ x 2 − x
x
2
y
101) 2 x + 2 yy ′ + 3 − 5 y ′ = 0 ⇒ 2 yy ′ − 5 y ′ = −2 x − 3 ⇒ y ′ =
102)
− 2x − 3
2y − 5
(1 + y ′) ⋅ (x 2 − y 3 ) − (x + y ) ⋅ (2 x − 3 y 2 y ′) = 0 ⇒
1
⋅
2
x+ y
x2 − y3 )
(
x2 − y3
x 2 − y 3 + (x 2 − y 3 )y ′ − 2 x 2 + 3xy 2 y ′ − 2 xy + 3 y 3 y ′
⇒
=0⇒
(x + y ) ⋅ (x 2 − y 3 )
x 2 + 2 xy + y 3
x 2 + 3xy 2 + 2 y 3
103) cos( x + y ) ⋅ (1 + y ′) + e y ⋅ y ′ = y ′ ⇒ cos( x + y ) + cos( x + y ) ⋅ y ′ + e y ⋅ y ′ − y ′ = 0 ⇒
− cos( x + y )
⇒ cos( x + y ) + e y − 1 y ′ = − cos( x + y ) ⇒ y ′ =
cos(x + y ) + e y − 1
104) 2 x + 2 ⋅ (1 ⋅ y + xy ′) + 2 yy ′ + y ′ − 1 = 0 ⇒ 2 x + 2 y + 2 xy ′ + 2 yy ′ + y ′ − 1 = 0 ⇒
1 − 2x − 2 y
⇒ 2 xy ′ + 2 yy ′ + y ′ = 1 − 2 x − 2 y ⇒ (2 x + 2 y + 1) y ′ = 1 − 2 x − 2 y ⇒ y ′ =
1 + 2x + 2 y
⇒ (x 2 − y 3 + 3 xy 2 + 3 y 3 )y ′ − x 2 − 2 xy − y 3 = 0 ⇒ y ′ =
(
)
105) 1 ⋅ y + x ⋅ 2 yy ′ − 3 x 2 + y ′ − 0 = 0 ⇒ (2 xy + 1) y ′ = 3 x 2 − y 2 ⇒ y ′ =
2
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3x 2 − y 2
2 xy + 1
27
Anexo: Tabla de derivadas
Forma simple
Forma compuesta
′
Regla de la cadena: ( f o g ) = f ′( g ) ⋅ g ′
y = k (constante)
y=x
y′ = 0
y′ = 1
y = xn
y ′ = nx n −1
y = ( f ( x) )
y = ax
y ′ = a x ⋅ ln a
y′ = e x
y = a f ( x)
Si a = e y = e x
y = log a f ( x)
1
cos 2 x
−1
y ′ = − 1 + cot 2 x =
sin 2 x
1
y′ =
1− x2
y = tan f ( x)
Si a = e y = ln x
y = sin x
y = cos x
y = tan x
y = cot x
y = arcsin x
y ′ = 1 + tan 2 x =
y = arccos x
(
)
y′ =
−1
1− x2
y ′ = e f ( x ) ⋅ f ′( x)
1
1
y′ =
⋅
⋅ f ′( x)
f ( x) ln a
1
y′ =
⋅ f ′( x)
f ( x)
y ′ = cos f ( x) ⋅ f ′( x)
y ′ = − sin f ( x) ⋅ f ′( x)
Si a = e y = e f ( x )
1 1
⋅
x ln a
1
y′ =
x
y ′ = cos x
y ′ = − sin x
y′ =
y = log a x
n −1
y ′ = n( f ( x) ) ⋅ f ′( x)
y ′ = a f ( x ) ⋅ ln a ⋅ f ′( x)
n
Si a = e
y = ln f ( x)
y = sin f ( x)
y = cos f ( x)
y = cot f ( x)
y = arcsin f ( x)
y = arccos f ( x)
y = arctan x
y′ =
1
1+ x2
y = arctan f ( x)
y = arccot x
y′ =
−1
1+ x2
y = arccot f (x)
f ′( x)
cos 2 f ( x)
− f ′( x)
y ′ = − 1 + cot 2 f ( x) ⋅ f ′( x) =
sin 2 f ( x)
1
y′ =
⋅ f ′( x)
2
1 − ( f ( x) )
−1
y′ =
⋅ f ′( x)
2
1 − ( f ( x) )
1
y′ =
⋅ f ′( x)
2
1 + ( f ( x) )
−1
y′ =
⋅ f ′( x)
2
1 + ( f ( x) )
(
)
y ′ = 1 + tan 2 f ( x) ⋅ f ′( x) =
(
)
Propiedades
•
•
•
•
y = f ( x) ± g ( x)
y = k ⋅ f (x)
y = f ( x) ⋅ g ( x)
f ( x)
y=
g ( x)
ï
ï
ï
ï
Taller de Derivadas – CampusDeMatematicas.COM
y ′ = f ′( x) ± g ′( x)
y ′ = k ⋅ f ′(x)
y ′ = f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x)
f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x)
y′ =
( g ( x ) )2
28