S O L U C I O N A R I matemàtiques 1 Autors del llibre de l’alumne Àngela Jané i Sanahuja Jordi Besora i Torradeflot Josep M. Guiteras i Piella BARCELONA – MADRID – BOGOTÀ – BUENOS AIRES – CARACAS – GUATEMALA MÈXIC – NOVA YORK – PANAMÀ – SAN JUAN – SANTIAGO – SÃO PAULO AUCKLAND – HAMBURG – LONDRES – MILÀ – MONT-REAL – NOVA DELHI – PARÍS SAN FRANCISCO – SYDNEY – SINGAPUR – SAINT LOUIS – TÒQUIO – TORONTO Matemàtiques 1 · Batxillerat · Solucionari No està permesa la reproducció total o parcial d’aquest llibre, ni el seu tractament informàtic, ni la transmissió de cap forma o per qualsevol mitjà, ja sigui electrònic, mecànic, per fotocòpia, per registre o d’altres mitjans. Adreceu-vos a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesiteu fotocopiar o escanejar algun fragment d’aquesta obra. Drets reservats © 2012, respecte a la segona edició en català per: McGraw-Hill/Interamericana de España, S.L. Edificio Valrealty, 1.ª planta Basauri, 17 28023 Aravaca (Madrid) Editors del projecte: Xavi Juez, Alícia Almonacid Editor: Teo Prat Disseny d’interiors: dfrente.es Fotografies: COVER, GETTY images, AGE FOTOSTOCK Il·lustracions: Luis Bogajo, Sergi Media i Jordi Soto Composició: Digitalscreen Índex LA 3 Solucionari del Llibre de l’alumne Comencem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 BLOC 1. Nombres i trigonometria Unitat 1. Nombres reals . . . . . . . . . . . . . 11 Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 19 21 Unitat 2. Polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 32 37 Unitat 3. Trigonometria . . . . . . . . . . . . . 37 Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 44 47 Unitat 4. Nombres complexos . . . . . . . 48 Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 53 56 Unitat 7. L a circumferència i altres llocs geomètrics . . . . . . . . . . 89 Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 BLOC 3. Funcions Unitat 8. Funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Unitat 9. Successions . . . . . . . . . . . . . . 114 Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Unitat 10. Límits i continuïtat de funcions . . . . . . . . . . . . . . 123 Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Unitat 11. Funcions exponencial i logarítmica. . . . . . . . . . . . . . 140 Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 BLOC 2. Geometria Unitat 5. Vectors en el pla . . . . . . . . . . . 58 Unitat 12. Funcions trigonomètriques. . . . . . . . . . 156 Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 65 68 Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Unitat 6. Rectes en el pla . . . . . . . . . . . 69 Unitat 13. Introducció a les derivades. 167 Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 78 88 Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4 LA Índex BLOC 4. Estadística Unitat 14. Distribucions bidimensionals. . . . . . . . . . . . 177 Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Unitat 15. Probabilitat . . . . . . . . . . . . . . . 189 Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Unitat 16. Distribució de probabilitat. . . 203 Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 MATEMÀTIQUES 1 jComencem Activitats finals 1. Determina el valor de la lletra en cadascuna d’aquestes fraccions per tal que represen­tin el mateix nombre racional que 4 la fracció —: 9 r a) —— 63 68 b) —— s 52 c) —— t 5 138 138 : 6 23 d) 2—— 5 ———— 5 2—— 174 174 : 6 29 4. Calcula l’expressió decimal d’aquestes fraccions i clas­sifica els nombres decimals que obtinguis en exactes, periòdics purs o periòdics mixtos: 17 a) —— 6 27 b) —— 11 117 c) —— 50 245 d) ——— 7 17 a) —— 5 2,83 nombre decimal periòdic mixt. 6 ( u d) ——— 2171 la 27 b) —— 5 20,63 nombre decimal periòdic pur. 11 ( r 4 63 ? 4 a) —— 5 —— f r 5 ——— 5 28 63 9 9 68 4 68 ? 9 b) —— 5 —— f s 5 ——— 5 153 s 9 4 117 c) —— 5 2,34 nombre decimal exacte. 50 245 d) —— 5 26, 428571 nombre decimal periòdic pur. 7 ( 52 4 52 ? 9 c) —— 5 —— f t 5 ——— 5 117 t 9 4 52 a) —— 91 121 b) 2—— 77 c) 20,48 d) 1,441 ( 3. Simplifica les fraccions següents: b) 1,023 ( Sí, perquè 17 ? 247 5 13 ? 323 5 4 199 a) 2,63 ( 17 323 2. Són equivalents les fraccions —— i ———? 13 247 5. Determina la fracció generatriu dels nombres decimals següents: ( u 4 24 ? 171 d) ——— 5 —— f u 5 ———— 5 276 2171 9 9 a) f 5 2,63 5 2,6363... 100 f 5 263,63... 2f 5 22,63... ———————— 261 29 99 f 5 261 f f 5 —— 5 —— 99 11 ( 350 c) —— 300 138 d) 2—— 174 b) f 5 1,023 5 1,0233... 1 000 f 5 1 023,3... 2100 f 5 2102,3... ————————— 921 307 900 f 5 921 f f 5 —— 5 —— 900 300 48 212 c) f 5 20,48 f 100 f 5 248 f f 5 2—— 5 —— 100 25 121 121 : 11 11 b) 2—— 5 ———— 5 2—— 77 77 : 11 7 d) f 5 1,44 1 5 1,441441... ( 52 52 : 13 4 a) —— 5 ———— 5 —— 91 91 : 13 7 350 350 : 50 7 c) —— 5 ————— 5 —— 300 300 : 50 6 1 000 f 5 1 441,441... 2f 5 21,441... —————————— 1 440 160 999 f 5 1 440 f f 5 ——— 5 —— 999 111 6 LA COMENCEM ( 6. El 63,63 % dels 88 alumnes de 1r de batxillerat d’un institut van aprovar totes les matèries. A quants alumnes els va quedar alguna matèria pendent? ( f 5 63,63 5 63,6363... 100 f 5 6 363,63... 2f 5 263,63... ————————— 6 300 700 99 f 5 6 300 f f 5 ——— 5 —— 99 11 ( 700 El 63,63 % és el —— % 11 Van aprovar: 1 11 11 3 ? —— 2 —— 2 1 6 12 43 5 ———————— 5 —— 1 12 2 7 8. Quin és el nombre que multiplicat per — dóna —? 3 4 4 1 I el que sumat a — dóna —? 5 2 700 —— 11 7 7 ? 88 ——— de 88 5 —— de 88 5 ——— 5 56 alumnes 100 11 11 2 7 7 2 21 — x 5 — f x 5 — : — 5 —— 3 4 4 3 8 4 1 1 4 3 — 1 y 5 — f y 5 — 2 — 5 2—— 5 2 2 5 10 A 88 2 56 5 32 alumnes els va quedar alguna matèria pendent. 7. Calcula el resultat de les operacions següents: 3 1 3 a) — 1 — : — 5 2 4 22 1 1 1 1 1 Es ven — del que queda f es ven — de — 5 — ? — 5 2 2 3 2 3 1 2 4 2 1 c) — : — 2 — 3 3 2 3 ( ( 1 5 —. 6 0,36 2 0,227 d) ——————— 17 1 2 —— 22 1 2 1 5 En total s’ha venut — 1 — 5 — de la peça de roba. Encara 3 6 6 2 1 11 12 3 2 2 — 2 —— : —— 2 1 6 17 17 e) ————————————————— 2 3 5 — 1 — 2 —— 3 4 12 3 1 3 3 2 19 a) — 1 — : — 5 — 1 — 5 —— 5 2 4 5 3 15 1 2 b) 2 1 — ? — 3 3 1 2 22 1 9 3 11 5 2 1 — ? — 5 2 1 — 5 —— 3 4 4 4 1 2 4 2 1 c) — : — 2 — 3 3 2 2 9. Es venen els — d’una peça de roba i després, la meitat del 3 que quedava. Quina fracció de peça s’ha venut? Quina fracció en queda encara per vendre? 2 1 Es venen — de la peça f queda per vendre’n —. 3 3 1 2 1 2 b) 2 1 — ? — 3 3 2 1 11 12 3 2 2 — 2 —— : —— 2 1 6 17 17 e) ————————————— 5 2 3 5 — 1 — 2 —— 3 4 12 3 1 15 5 2 2 — 5 —— 8 8 ( ( 4 5 —— 2 —— 0,36 2 0,227 11 22 3 5 3 d) ———————— 5 ——————— 5 —— : —— 5 — 17 5 22 22 5 —— 1 2 —— 22 22 1 queda per vendre —. 6 10. Una aixeta omple un dipòsit en 3 hores i una altra l’omple en 4. Quina part del dipòsit omplen en una hora les dues aixetes obertes alhora? Si el dipòsit està buit i s’obren simultàniament les dues aixetes, quant trigaran a omplir-lo? 1 1 7 En una hora les dues aixetes omplen — 1 — 5 —— del dipò3 4 12 12 sit. Trigaran a omplir-lo —— h, que és 1 h 42 min 51 s. 7 11. Una pastilla conté un 20 % d’aspirina, un 40 % de vitamina C i la resta és excipient. Si té una massa de 2,5 grams, quants mil.li­grams conté de cada component? 2,5 g 5 2 500 mg 20 % de 2 500 mg 5 500 mg d’aspirina 40 % de 2 500 mg 5 1 000 mg de vitamina C 2 500 2 (500 1 1 000) 5 1 000 mg d’excipient la MATEMÀTIQUES 1 4 12. Un tipus de llet produeix —— de la seva massa en nata, i la 15 7 nata els —— de la seva masa en mantega. Quina fracció de 25 la masa de la llet representa la mantega? Quants quilograms de mantega es poden obtenir a partir de 175 kg d’aquesta llet? f 28 2 3 1 3 x 5 2 x 1 6 f x 5 219 x25 2x 1 3 c) ———— 5 ———— f 2x 1 1 4x 1 7 f (x 2 5) (4 x 1 7) 5 (2 x 1 1) (2 x 1 3) f f 4 x2 1 7x 2 20 x 2 35 5 4 x2 1 6 x 1 2 x 1 3 f 7 4 28 La mantega representa —— ? —— 5 —— del pes de la llet. 25 15 375 28 28 ? 175 Els —— de 175 kg 5 ———— 5 13,07 kg de mantega. 375 375 13. L es accions d’una empresa que cotitza a la borsa van pujar un 2,5 % dilluns i un 4,8 % dimarts. Si quan va començar la sessió borsària de dilluns una acció d’aquesta empresa costava 12,84 €, quin era el seu preu quan es va tancar la sessió de dimarts? Quants diners va guanyar en aquests dos dies un accionista que tenia títols de l’empresa per valor de 10 000 €? En tancar la sessió de dimarts, una acció d’aquesta empresa costava: 12,84 ? 1,025 ? 1,048 5 13,79 € En aquests dos dies, els 10 000 € invertits es van transformar en: 10 000 ? 1 025 ? 1,048 5 10 742 € L’accionista va guanyar: 10 742 2 10 000 5 742 € 14. Es col.loquen 2 500 € en una llibreta a termini que garan­ teix un 4,2 % de rèdit anual durant 3 anys. Si en cap moment se’n retiren els interessos, quants diners hi haurà a la llibreta un cop hagin transcorregut 3 anys des que es va fer la imposició? A la llibreta hi haurà 2 500 ?1,0423 5 2 828,42 €. 15. Resol les equacions següents: a) (2 x 2 1)2 2 (2 x 1 1)2 5 24 3 (1 2 x) x13 b) 2 2 ———— 5 ——— 14 7 x25 2x 1 3 c) ———— 5 ———— 2x 1 1 4x 1 7 d) Îã 2 x 2 1 5 x 2 Îã 2 4 1 2x e) 1 2 ———— 5 0 13 a) (2 x 2 1)2 2 (2 x 1 1)2 5 24 f f 4 x2 2 4 x 1 1 2 4 x2 2 4 x 2 1 5 24 f f 28 x 5 24 f x 5 23 3 (1 2 x) x13 b) 2 2 ————— 5 ——— f 14 7 7 38 f 213 x 2 35 5 8 x 1 3 f 221 x 5 38 f x 5 2—— 21 d) Îã 2 x 2 1 5 x 2 Îã 2 f Îã 2 x 2 x 5 1 2 Îã 2 f f (Îã 2 2 1) x 5 1 2 Îã 2 f 1 2 Îã 2 2(Îã 2 2 1) f x 5 ———— 5 —————— 5 21 Îã Îã 221 221 4 1 2x 13 2 4 2 2 x e) 1 2 ———— 5 0 f —————— 5 0 f 13 13 9 f 9 2 2x 5 0 f 2x 5 9 f x 5 — 2 16. Soluciona aquestes equacions, escrivint prèviament els seus primers membres en forma de producte de factors: a) x2 2 6 x 5 0 b) x (x 2 5) 2 2 (x 2 5) 5 0 c) (x 1 2)2 2 (x 1 2) (3 x 2 1) 5 0 a) x2 2 6 x 5 0 f x (x 2 6) 5 0 b) x (x 2 5) 2 2 (x 2 5) 5 0 f f (x 2 5) (x 2 2) 5 0 x50 x2650 f x56 x2550 f x55 x2250 f x52 c) (x 1 2)2 2 (x 1 2) (3 x 2 1) 5 0 f f (x 1 2) (x 1 2 2 3 x 1 1) 5 0 f x 1 2 5 0 f x1 5 22 3 3 2 2 x 5 0 f x2 5 — 2 f (x 1 2) (3 2 2 x) 5 0 f 17. Sabem que x 5 2 i y 5 23 és una de les solucions de l’equa­ ció 3 x 1 b y 5 10. Calcula b i troba una altra solució de l’equació. x 5 2, y 5 23 3 x 1 b y 5 10 f 3 ? 2 1 b ? (23) 5 10 f 4 f 6 2 3 b 5 10 f b 5 2— 3 10 Resposta oberta. Per exemple: x 5 ——, y 5 0. 3 18. Determina tres solucions de l’equació: 2 x 2 3 y 1 z 5 15 Resposta oberta. Per exemple: x 5 0, y 5 0, z 5 15. 8 LA COMENCEM ã b 6 Îã b2ãã 2 36 x2 2 b x 1 9 5 0 f x 5 ——————— 2 19. Resol les equacions següents: a) 5 x 2 75 5 0 2 b) 7 x 2 1 15 x 5 0 a) b2 2 36 5 0 f b 5 66 c) 2 x2 2 x 2 1 5 0 b) b2 2 36 . 0 f b , 26 o b . 6 2 (x 1 2) d) ———— 5 x (x 2 3) 3 c) b2 2 36 , 0 f 26 , b , 6 21. Quantes solucions reals té l’equació x2 1 y2 5 0? I l’equació x 1 y 5 0? Raona les respostes. e) (3 x 2 5)2 5 0 f) x3 2 5 x2 1 6 x 5 0 L’equació x2 1 y2 5 0 té una sola solució real: x 5 y 5 0. 4 x g) — 5 — x 9 En canvi, qualsevol parell de nombres reals oposats, x 5 2y, és una solució de l’equació x 1 y 5 0. h) x 2 1 4 x 1 5 5 0 a) 5 x 2 2 75 5 0 f 5 x 2 5 75 f x 2 5 15 f x 5 6 Îã 1ã 5 b) 7 x2 1 15 x 5 0 f x1 5 0 f x (7 x 1 15) 5 0 15 7x 1 15 5 0 f x 5 2—— 7 ãã8 1 6 Îã 1ã 1 c) 2 x2 2 x 2 1 5 0 f x 5 ——————— 5 4 1 6 Îã 9 163 x1 5 1 5 ————— 5 ———— 1 4 4 x2 5 2— 2 2 (x 1 2) d) ————— 5 x (x 2 3) f 2 x 1 4 5 3 x2 2 9 x f 3 ããã ã 121 1 48 11 6 Îã f 3 x2 2 11 x 2 4 5 0 f x 5 ————————— 5 6 11 6 13 x1 5 4 5 ————— 1 6 x2 5 2— 3 5 e) (3 x 2 5)2 5 0 f 3 x 2 5 5 0 f x 5 — (solució doble). 3 22. Resol aquestes equacions: a) x 4 2 13 x 2 1 36 5 0 b) (3 x 1 1) (x 4 2 16) 5 0 c) 6 x 4 1 7 x 2 1 2 5 0 d) (x2 2 4)2 5 1 x2 5 t a) x 4 2 13 x2 1 36 5 0 f t 2 2 13 t 1 36 5 0 ããã2ãã ã 169 144 13 6 5 13 6 Îã t 5 —————————— 5 ———— 2 2 t f x 5 63; x 5 62 x 5 6Îã 1 3 x 1 1 5 0 f x 5 2— 3 16ã 5 62 x 4 2 16 5 0 f x 4 5 16 f x 5 6 4Îã x2 5 t c) 6 x 4 1 7 x2 1 2 5 0 f 6 t 2 1 7 t 1 2 5 0 1 t 5 2— ãã48 ã 27 6 Îã 49ã2 27 6 1 1 2 t 5 ———————— 5 ———— 12 122 t2 5 2— 3 x1 5 0 x2 2 5 x 1 6 5 0 ã 25ããã 2 24 561 5 6 Îã x 5 ———————— 5 ——— 2 2 x2 5 3 ã 24 6 Îã 16ããã 2 20 2ã 4 24 6 Îã h) x2 1 4 x 1 5 5 0 f x 5 ———————— 5 —————. 2 2 L’equació no té solucions reals. 20. Determina el valor o els valors de b per als quals l’equació x2 2 b x 1 9 5 0 té: a) Una solució doble. b) Dues solucions reals diferents. c) No té solucions reals. t f l’equació no té solucions reals. x 5 6Îã x3 5 2 4 x g) — 5 — f x2 5 36 f x 5 66 x 9 t2 5 4 b) (3 x 1 1) (x 4 2 16) 5 0 f) x3 2 5 x2 1 6 x 5 0 f f x (x2 2 5 x 1 6) 5 0 t1 5 9 d) (x2 2 4)2 5 1 f x2 2 4 5 61 f f x2 2 4 5 1 f x2 5 5 f x 5 6Îã 5 3 x2 2 4 5 21 f x2 5 3 f x 5 6Îã 23. Troba la solució d’aquestes equacions: 25 2 x2 5 1 a) x 2 Îããããã b) Îããããã 36 1 x 5 2 1 Îã x Îããããã 2x 2 1 1 2 5 x 3 x 2 12 2 x 2 4 2 Îãããããã d) Îããããã c) 5 x 2 16 5 Îãããããã la MATEMÀTIQUES 1 ããxã2 5 1 f x 2 1 5 Îã ããxã2 f a) x 2 Îã 25ã2 25ã2 f (x 2 1) 5 25 2 x f x 2 2 x 1 1 5 ã ã 862 6Îãã 64 ã 2ã60 √8 ã x 5 ————————— 5 ——— 2 2 5 25 2 x f 2 x 2 2 x 2 24 5 0 f x 2 x 2 12 5 0 f Si x 5 5 f y 5 3, i si x 5 3 f y 5 5 2 2 2 2 2 2 ã 1ã 1ã48 167 1 6 Îã f x 5 ———————— 5 ———— 2 2 x2 5 23 b) c) Îã 36ãã 1ã x 5 2 1 Îã x f 36 1 x 5 (2 1 Îã x) x 1x f f 36 1 x 5 4 1 4 Îã x f 8 5 Îã x f x 5 64 f 32 5 4 Îã 2 Îã 2 xãã 2ã 1 125x f Îã 2 xãã 2ã 1 f 5x22 f f 2 x 2 1 5 (x 2 2)2 f 2 x 2 1 5 5 x2 2 4 x 1 4 f x2 2 6 x 1 5 5 0 ã 36ãã 2ã20 664 6 6 Îã x 5 ———————— 5 ———— 2 2 x1 5 5 x2 5 1 La solució és x 5 5. d) Îã ã 5 Îã ãf 2 xãã 2ã 4 2 Îã 3 xãã 2ã12 5 xãã 2ã16 2 ã ) 5 5 x 2 16 f 2 xãã 2ã 4 2 Îã 3 xãã 2ã12 f (Îã ãã ãã12) ã 1 3 x 2 12 5 (2ãã x2 4)ããã (3 x 2 f 2 x 2 4 2 2 Îã ãã ãã12) ã50 f (2ãã x2 4)ããã (3 x 2 5 5 x 2 16 f 22 Îã f (2 x 2 4) (3 x 2 12) 5 0 f f b) xy 5 6 i y 3t x 1 y 5 3 Îã y 5 3 Îã 32x x (3 Îã 3 2 x) 5 6 f 3 Îã 3 x 2 x2 5 6 f f x2 2 3 Îã 3x 1 6 5 0 ãã24ã 3 Îã 3 6 Îã 2ã 72 3 Îã 3 6 Îã 3 x 5 ————————— 5 —————— 2 2 2 Îã 3 Îã 3 Si x 5 2 Îã 3 f y 5 Îã 3 ; si x 5 Îã 3 f y 5 2 Îã 3 x 5 2 Îã 3, y 5 Îã 3 ; x 5 Îã 3, y 5 2 Îã 3 2x 2 y 5 6 c) y11 x 2 ——— 5 1 4 i e y u t 2 x 2 y 5 6 f 2y 5 6 2 2 x f y 5 2 x 2 6 y11 x 2 ——— 5 1 f 4 x 2 y 2 1 5 4 f 4 x 2 y 5 5 4 4 x 2 (2 x 2 6) 5 5 f 4 x 2 2 x 1 6 5 5 f 2 x 5 21 f 3 x 2 12 5 0 f x 5 4 1 1 f x 5 2— f y 5 2 2— 2 6 5 27 2 2 2 x 1 7 y 5 23 i y és compatible determinat. 24. El sistema 4 x 1 k y 5 26 t Quins valors pot tenir k? 2 7 Si és compatible determinat, — Þ —. Per tant, k Þ 14. 4 k 25. Troba la solució dels sistemes següents: x1y58 i y a) x y 5 15 t 1 2 26. Quants nombres de quatre xifres diferents es poden escriure amb les 9 xifres significatives? V9, 4 5 9 ? 8 ? 7 ? 6 5 3 024 27. Resol l’equació: Vx, 3 2 VRx, 3 1 65 5 0 Recorda que x només pot ser un nombre natural. Vx, 3 2 VRx, 3 1 65 5 0 f x (x 2 1) (x 2 2) 2 x3 1 65 5 0 x1 5 5 23 x 2 1 2 x 1 65 5 0 f x 5 13 x2 5 2—— 3 xy 5 6 i y x 1 y 5 3 Îã 3t 2x 2 y 5 6 c) y11 x 2 ——— 5 1 4 a) x2 5 3 2x 2 4 5 0 f x 5 2 La solució és x 5 4. b) x1 5 5 x 5 5, y 5 3; x 5 3, y 5 5 x1 5 4 La solució de l’equació és x 5 4 (x 5 23 és solució fictícia). 9 i e y u t x1y58 i y x y 5 15 t y582x x ? (8 2 x) 5 15 f 8 x 2 x2 5 15 f x2 2 8 x 1 15 5 0 Només és solució de l’equació proposada x 5 5. 28. Per fer l’alineació d’un equip de futbol necessitem 11 jugadors i en tenim 22. Quantes alineacions es poden fer si cada jugador pot ocupar qualsevol posició? I si dos d’ells només poden jugar de porters i sis només poden fer de defenses? C22, 11 5 705 432 alineacions diferents. Si 8 estan fixats, en queden 14 dels quals cal triar-ne 5: C14, 5 5 2 002 10 LA COMENCEM 29. En una cursa participen 8 corredors. De quantes maneres diferents poden creuar la línia d’arribada tenint en compte que no n’arriben dos al mateix temps? I en cas que dos arribin al mateix temps? P8 5 8! 5 40 320 maneres diferents de creuar la línea d’arri­ bada. Si dos arriben al mateix temps serà: P7 5 7! 5 5 040 30. Forma totes les paraules possibles, tinguin o no sentit, amb les lletres de la paraula PERA. Quantes n’hi ha? Hi ha: P4 5 4! 5 24 paraules possibles. Són: AEPR, AERP, APER, APRE, AREP, ARPE, EAPR, EARP, EPAR, EPRA, ERAP, ERPA, PAER, PARE, PEAR, PERA, PRAE, PREA, RAEP, RAPE, REAP, REPA, RPAE, RPEA. 31. Escriu totes les ordenacions possibles de les lletres de la paraula PASSADA. Quantes n’hi ha? 7! Hi ha: P 72, 3, 1, 1 5 ——— 5 420 ordenacions possibles. 2! 3! 32. 20 persones van a una festa i totes es donen la mà per saludar-se. Quantes encai­xades de mà s’han fet? Cada encaixada és la tria de 2 persones d’entre 20. C20, 2 5 190 encaixades. 33. D’una baralla de 40 cartes se’n reparteixen 3 a cada jugador. Quants jocs dife­rents pot rebre un qualsevol dels jugadors? Tria de 3 cartes de 40: 40 ? 39 ? 38 C40, 3 5 —————— 5 9 880 jocs diferents 3?2 LA MATEMÀTiQUES 1 jUnitat 1. Nombres reals Activitats 4. El costat més petit d’un rectangle auri mesura 2 cm. Quant mesura l’altre costat? Expressa’n el resultat de manera exacta i amb una aproximació arrodonida a les dècimes. Mesura 2, és a dir, 1. En un problema de física es demana el temps que triga una pilota a assolir una certa altura. Un estudiant, que ha resolt el problema correctament, arriba a la solució t 3 s. La resposta que dóna és t 1,732050808 s. Et sembla que és correcta aquesta resposta? No té cap sentit expressar el resultat amb tantes xifres decimals, ja que no hi ha cap aparell de mesura de temps que pugui apreciar fins a la milmilionèsima de segon. 1 5 2 1 2 5 cm 3,2 cm 5. Sabent que PQ PS 1 dm, demostra que el segment QR 1 5 mesura dm (fig. 1.5). 2 2. Si a 5,325 i b 2,434 a) Calcula a b i ab b) Indica en cada cas les xifres decimals cor­rectes. a 5,325 b 2,434 5,3245 2,4335 a b 5,3255 2,4345 7,7580 a b 7,7600 → a b 7,76 QR = Si en lloc de sumar multipliquem ordenadament, s’obté: 12,95717075 a b 12,96492975 1 2 12 + = 2 QR = QO + OR = Per tant, a b 12,96. a) La diagonal d d’un rectangle de costats 3 i 5 cm. 5 5 = dm 4 4 5 1 = = 2 2 5 +1 dm 2 6. Classifica els nombres següents en racionals i irracionals: ( 3. Calcula la longitud dels segments indicats a continuació. Expressa’n el resultat de manera exacta i utilitza la calculadora per obtenir-ne una aproximació arrodonida a les centèsimes: a) 2,045 Racional. b) 3,88080080008... Irracional. Diagonal: d ( 32 + 52 = = 9 + 25 = 34 cm � 5, 83 cm b) El diàmetre D d’una circumferència la longitud de la qual és 10 cm. Diàmetre: D 11 c) 1,9 Racional. 113 d) —— 114 Racional. L 10 —— D— cm 3,18 cm c) L’altura h d’un triangle equilàter de 4 cm de costat. e) 4,3131131113... Irracional. f) 0,58421 ( Altura: h 2 2 4 −2 = 12 cm = = 2 3 cm � 3, 46 cm d) L’altura h' d’un con que mesura 6 cm de radi i 9 cm de generatriu. Altura: h' h' = 92 − 62 = 45 cm = = 3 5 cm � 6, 71 cm Racional. 7. Indica quins d’aquests nombres són irracionals: a) 25 Racional. b) 1 Irracional. LA 12 c) SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE c) El volum d’un con de 5 cm de radi i 13 cm de generatriu 5 3 L’altura del con mesura: Irracional. h = d) 5e V = Irracional. e) 3 2 49 f) 7 5 Irracional. 16 + 9 25 + 36 En canvi, només podem saber un valor aproximat de l’àrea del cercle corresponent, ja que Irracional. i) r 2h ·52· 12 = = 100 cm3 3 3 3 3 La longitud de la circumferència es pot conèixer amb exactitud, perquè: 4 L 2r 2 — 8 cm Racional. h) 132 − 52 = 12 cm 11. S’ha aconseguit determinar que el radi d’una circumfe 4 rència mesura —— cm. Se’n pot conèixer amb exactitud la longitud? I l’àrea del cercle que limita? Justi­fica la resposta fent els càlculs corresponents. Racional. g) g2 − r 2 = 2(16 + 9) 16 cm —— 4 A r2 — Irracional. ( 1,2 0,25 8. Per què el nombre no pot ser irracional? 0,16 No pot ser irracional perquè és el resultat de sumar i dividir nombres que són racionals. 9. Calcula l’àrea d’un cercle de 4 cm de radi prenent els següents valors de : a) L’aproximació per defecte 3,1415. A r2 3,141542 50,264 cm2 2 2 16 i —— és un nombre irracional. 16 A —— cm2 5,09 cm2 12. Quant mesura la diagonal D d’un cub de 2 cm d’aresta? Expressa’n el resultat de manera exacta i aproxima’l a les centèsimes. Diagonal: D D = 22 + 22 + 22 = 12 cm � 3, 16 cm 13. La longitud d’una circumferència mesura 10 cm. b) L’aproximació per excés 3,1416. A r2 3,141642 50,2656 cm2 En quin dels dos casos has obtingut una millor aproximació a la mesura real de la superfície d’aquest cercle? Per què? La segona aproximació és més bona que la primera, ja que l’aproximació per excès del nombre és millor que l’aproximació per defecte. 10. Expressa de manera exacta: a) Expressa’n el resultat aproximat a les centèsimes. L 31,42 cm b) Quant mesura el radi d’aquesta circumferència? L r —— 5 cm 2 c) Calcula l’àrea del cercle que limita i ex­pressa-la de manera exacta. A r2 25 cm2 a) La longitud d’una circumferència de 6 cm de diàmetre. L 6 cm b) L’àrea lateral d’un cilindre de 2 cm de radi i 5 cm de generatriu. Alat 2rg 20 cm 2 1 2 14. Troba cinc nombres racionals compresos entre — i —, i 2 3 ordena’ls del més petit al més gran. Resposta oberta. Per exemple: 0,51 0,54 0,6 0,63 0,65 LA MATEMÀTiQUES 1 15. Entre quins nombres enters consecutius es troba cadascun d’aquests nombres ir­ra­cionals? a) 10 d) 1,9 i 2 1,9 2 2 e) 6 i √ 7 1i2 d) 1 2 4,9 5 e) 3√ 2 10 10 g) ——— i ——— 8 9 4i5 5 1 f) — —— 2 2 10 10 —— —— 8 9 ( 1i2 h) 1,39 ; i 1,4 ( 226 1,39 ; 1,4 15 i 16 18. Ordena del més petit al més gran els nombres reals següents i col.loca el signe de desigualtat que correspongui: h) 123 12 i 11 2 13 d) 8 19. Escriu dos nombres racionals compresos entre: Resposta oberta. Per exemple: h) a) 6 f) 3 g) 2 2 ik b) 2 i 3 1,5 i 1,6 c) 4 i 0 1 2 ba f d) e i 3 17. Compara aquests parells de nombres reals: 2 17 4,05 i 4,1 g j h ed l 6 5 4 3 2 1 6 2,41 i 2,42 l) 17 + 3 c 5 i 3 6 i) 20 j) —— 2 k) 18 ( c) 29 b) 5 1,42 √ 2 0 2,45 — 2,99 2,9 2 ( 16. Representa a la recta numèrica els nombres irracionals següents: 17 ( 8i9 7 a) — i 5 5 2,45; 2,99; 2,9 ; √ 2; 1,42; 0; — 2 ( i) 3e e) 1 6 √ 7 f) 4,9 i 5 7i8 a) 10 8 i 7 c) 3 3 0,73 1 c) i b) 54 g) 3 i 0,73 b) 1 21 4i5 13 4 5 2,9 i 3 6 20. Expressa de manera exacta: a) L’àrea d’un triangle equilàter de 4 cm de costat. 7 — 5 2 c2 16 A —— 3 —— 4 4 3 4 3 cm2 LA 14 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE b) La longitud de la diagonal d’un rectangle els costats del qual mesuren 4 i 6 cm. a2 + b2 = = 16 + 36 = b) (15 2 3 )(15 2 3 ) (15 2 3 )(15 2 3 ) 225 12 213 c) (3 7 )2 52 cm = 2 13 cm (3 7 )2 97 63 c) El volum d’un cilindre de 2 cm de radi i 3 cm d’altura. V r2h 12 cm3 d) L’àrea d’un hexàgon regular inscrit en una circumferència de 8 cm de dià­metre. d Costat de l’hexàgon: c — 4 cm 2 32c2 3 342 3 A —— ——— 24 2 2 3 cm2 21. Aproxima per defecte i per excés fins a les mil.lèsimes cadascun dels nombres irracionals següents: a) 3 b) e d) (7 2) : 3 5 (7 2) : 3 5 : 3 — 3 2 e) ( 6 )2 — 3 2 2 16 ( 6 )2 — 6 — —— 3 3 3 (7 − f) 2) (7 + c) p (7 − Resposta oberta. Per exemple, prenent 4 xifres decimals per a cada nombre: Per defecte Per excés 1,732 1,733 e 2,718 2,719 3,141 3,142 3 2) − 11 2) (7 + 2) − 11 49 − 2 − 11 = 36 = 6 24. Si x, y, z i t representen quatre nombres reals, escriu cadascuna d’aquestes expressions com un producte de dos factors: a) x2y xy2 x2y xy2 xy(x y) b) x(y z) t(y z) 22. Extreu factor comú de: x(y z) t(y z) (y z)(x t) a) 3 2 5 2 c) z3 z2 z (3 5) 2 z3 z2 z z(z2 z 1) d) x2 2xy y2 t(x y) b) 7 3 (7 3 1) x2 2xy y2 t(x y) (x y)2 t(x y) (x y)(x y t) c) 4 a 5 a 2 a (4 5 2) d) a a 5 b a e) z(x t) x2 2xt t2 z(x t) x2 2xt t2 a c z(x t) (x t)2 (x t)(z x t) 5 (a b c) 25. Calcula sense utilitzar la calculadora: 23. Les operacions amb nombres irracionals que s’indiquen a continuació donen com a resultat un nombre racional. Calcula’l en cada cas. a) ( 10 )2 10 1000 10 b) a) ( 10 )2 3 4 1296 6 LA MATEMÀTiQUES 1 25 81 c) e) 66 5 — 9 1 f) 5 5 d) √1 1 — 5 1 — 2 1 28. Expressa en forma d’arrel: 3 e) √0,001 5 65 5 — f) 6 15 1 — 0,1 a) 25 3 1 32 3 √25 1 — 1 — 2 b) 12 4 26. Tot i que a primer cop d’ull no ho sembli, els resultats de les arrels següents són tots racionals. Calcula’ls. c) a 5 4 √12 3 — 8 18 a) 4 2 9 3 8 18 b) 3 25 5 49 7 3 81 4 3 81 1 1 27 3 3 7 (a 2)2 1 — 1 — 1 1 — — 3 5 — 26 1 — b) 3 3 : 3 4 2 — 1 — 2 1 — — 4 33:3433 5 — 3 12 1 — 2 1 — 2 53 1 — 2 53 2 — 53 2 √4 d) ——— 5 √8 3 — 4 10 5 1 — c) 5 3 1 — 3 10 d) 1 — a) 2 2 2 3 3 a3 a c) 29. Les potències d’exponent fraccionari verifiquen totes i cadascuna de les propietats de les potències d’exponent enter. Aplica aquestes propietats per expressar en funció d’una sola potència: 2 — 7 b) √b2 1 1 8 2 27. Expressa en forma de potència: 3 3 √22 22 2322 3 a) 7 50 98 3 2 — — 3 e) b 7 50 98 d) 1 d) — 2 2 — 2 16 2 16 c) 5 √a3 3 2 — 2 2 2 223 234 —––—— —––—— —––— — 3 5 — 5 3 8 25 2 1 — 2 2 — (a 2) 5 2 2 3 3 5 1 — — 16 — 2 15 LA 16 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 30. Utilitza la calculadora i aproxima fins a les centèsimes aquests nombres irracionals: a) 3 c) 3 3 10 3 2,15 b) 5 12 4 1 12 4 3 3 1 32 ⋅ 62 d) 15 2,76 1,23 3 ⋅ 6 15 1 — c) 4 18 15 18 15 6 5 1,33 d) 3 e) ( 7 23 )4 50 7 3,68 e) 6 f) 36 ⋅ 3 3 ⋅ 4,45 1 5 a) b) 3 6 2 6 3 ⋅ 6 32 ⋅ 10 a 6 i) 310 3 64 j) 32 4 26 23 b) 3 a3 b3 a 10 2 10 − a) b 1 — b) 2 2 3⋅5 2 15 5 c) 4 5⋅32 5 ⋅ 12 24 = 12 53 ⋅ 24 = 12 2000 12 3 d) 7⋅35 10 12 12 6 2 1 10 2 = (6 − 10 + 7) 3 = 3 3 3 5 3 a5 6 3 − 10 3 + 7 3 = 3 33. Expressa en forma d’una sola arrel: 3 5 b) 3 12 − 2 75 + 7 3 La de l’apartat b), ja que (a b) a b . 3 ⋅ a5 = 34. Expressa de la manera més senzilla possible: a2 2ab b2 a b 3 13 1 5 10 1 + 2 − 10 = 2 2 3 a) 20 a 3 a2 (a b)2 a b c) 54 13 4 32. Esbrina quina de les igualtats següents és incorrecta: a) 6 a2 − b2 4⋅5 3 4 32 ⋅ h) 2 5 a d) 6 2 = (a + b) (a − b) = a5 a12 15 6 a − b 4 c) 212 1 g) (a + b)2 ⋅ 0,45 n 31. Per simplificar una arrel del tipus √am, cal aconseguir que m i n siguin nombres primers entre ells. Simplifica: 12 7 1 65 f) 23 ⋅ 4 = 5 10 7 ⋅ 12 54 12 76 ⋅ 54 = 12 10 10 LA MATEMÀTiQUES 1 35. Racionalitza les expressions fraccionàries següents: 1 5 a) b) 1 5 5 ⋅ 5 5 5 1 2− 3 2− 3 2− 3 ⋅ 4 −3 2+ 3 2− 3 c) d) 12 2 12 ⋅ 2 6 2 2 2 2 22 4 + 5 22(4 + 5 ⋅ = = 16 − 5 4− 5 4+ 5 3(4 2 ) 12 3 2 ————— —————— 7 7 7 6 ————— ————— 4 2 4 2 12 2 22 4 – 5 6 4 2 6(4 2 ———— ———— ————— 4 2 4 2 14 1 2+ 3 = 4 2 12 3 2 4 13 2 ———— —————— —————— 2 7 14 37. Representa a la recta real els conjunts de nombres següents. Després, defineix-los mitjançant desigualtats: a) [4, ) 0 22(4 + 5 ) = 2(4 + 5) 11 36. Efectua les operacions indicades racionalitzant prèviament cada expressió fraccio­nària: 4 4x b) (, 2) 1 2 a) ———— ———— 5 3 5 3 1 5 3 5 3 ———— ———— ————; 5 3 5 3 22 2 x 2 c) [1, 3] 0 1 2(5 3 2 5 3 ———— ———— ————— 5 3 5 3 22 5 3 ———— 11 d) (2, 5) 0 7 4 2 7(4 2 ) ———— ———— —————— 4 2 4 2 14 4 2 ———— 2 2 5 2x5 e) [3, 0) 7 6 b) ———— ———— 4 2 4 2 3 1x3 1 2 ———— ———— 5 3 5 3 5 3 5 3 15 3 ———— ———— ———— 22 11 22 17 0 3 3 x 0 f) (0, 3] 0 3 0x3 0 18 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE g) (5, ) 0 5 5x h) [2, 2) 0 2 2 2 x 2 i) (, 0) 0 x0 j) (3,4] 0 3 4 3 x 4 0 4 2 4 x 2 3 l) [1, —) 2 41. Efectua aquestes operacions amb l’ajut de la calculadora. Expressa’n els resultats utilitzant la notació científica: a) 2,5104 105 6,25103 5 1,1875105 b) (106 : 4103) : 5107 5 5 1,251012 1012 c) ———————— 5 1,6 10 1010 5109 d) (104 107)2 5 9,981013 ( k) (4,2) 40. Escriu en notació científica: a) 0,00345 · 108 b) 126,78 · 10-5 13 c) 5789680 d) 756423987 e) 0,00000002854 a) 0,00345 · 108 5 3,45 · 105 b) 126,78 · 10-5 1,26678 · 10-3 13 5 2,2245374528 · 10-6 c) 5789680 d) 756423987 5 7,56423987 · 108 e) 0,00000002854 5 2,854 · 10-8 42. Una estrella es troba a 4 anys llum de la Terra. Quina es la distància en quilòmetres que la separa del nostre planeta? Un any llum és la distància que recorre la llum en un any a la velocitat de 300 000 km/s. 1 0 1 2 3 1 x — 2 38. Expressa utilitzant la nova notació els conjunts de nombres reals que verifiquen: a) x 3 365 dies 24 h 3 600 s 1 any ———— ——— ———— 3 1536 000 s 1 any 1 dia 1h 300 000 km 1 any llum 3 153 6000 s —————— 9,46081012 km 1s [3, ) b) x 4 4 anys llum 4 9,46081012 3,784321013 km (, 4) c) 2 x 3 43. Sabent que un mol d’àtoms de ferro conté 6,021023 àtoms d’aquest metall i que té una massa de 55,8 g, esbrina: [2, 3] d) 5 x 1 (5, 1) e) 4 x 6 a) La massa en grams d’un àtom de ferro. (4, 6] f) x 7 1 mol àtoms Fe 55,8 g Fe 1 àtom Fe ————————— ———————— 6,021023 átoms Fe 1 mol àtoms Fe (7, ) 9,271023 g Fe 39. Les inequacions 1 3x 5 i 3x 5 2 tenen solucions comunes. Troba-les, representa-les gràficament i expressales de dues maneres diferents. 1 3x 5 → 6 3x → x 2 3x 5 2 → 3x 3 → x 1 2 1 0 2 x 1, o també, x [2, 1). b) El nombre d’àtoms continguts en 1 g de ferro. 1 mol àtoms Fe 6,021023 àtoms Fe 1 g Fe ———————— ————————— 55,8 g Fe 1 mol àtoms Fe 1,081022 àtoms Fe 44.Expressa en notació científica la longitud en metres del radi de la Terra, sabent que un quadrant d’un meridià terrestre mesura 104 km. L 4· 104 km 40 000 km r5 5 5 6 366,2 km 5 5 2 5 789 680 6,283184 3 6 5 6,3662 · 10 km 5 6,3662 · 10 m LA MATEMÀTiQUES 1 Activitats finals 1. Demostra, sense utilitzar la calculadora, que el número 1764 és racional. Realitza prèviament la descomposició en factors primers de 1764. 1764 22 32 72 5. Quina condició han de verificar els coeficients a, b i c de l’equació de segon grau ax2 bx c 0, per tal que les seves solucions siguin nombres reals? Les solucions de l’equació ax2 bx c 0 són de la forma: b √b2 4ac x ———————— 2a 1764 = 22 ⋅ 32 ⋅ 72 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 42 2. Calcula el costat, el perímetre i l’àrea d’un quadrat inscrit en una circumferència de 2 cm de radi. Quina de les tres mesures s’expressa mitjançant un nombre racional? Expressa les altres dues de manera exacta i amb una aproximació fins a les centèsimes. El diàmetre de la circumferència coincideix amb la diagonal del quadrat i mesura 4 cm. Si representen per c el costat del quadrat, es verifica: c2 c2 42 → 2c2 16 → c2 8 → → c 2 2 cm 2,83 cm 19 Per tant, perquè aquestes solucions siguin nombres reals s’ha de verificar que: b2 4ac 0 6. El perímetre d’un rectangle mesura 16 cm i una de les seves diagonals, 2√10 cm. Calcula’n l’àrea. Anomenem x i y les dimensions del rectangle expressades en centímetres. Es verifica: 2x 2y 16 2 x y (2√10) 2 2 xy8 x2 y2 40 x8y El perímetre p del quadrat mesura: (8 y)2 y2 40 → p 4c 4 2 2 8 2 cm 11,31 cm i l’àrea A del quadrat és: → 64 16y y2 y2 40 → → 2y2 16y 24 0 → y2 8y 12 0 A c2 8 cm2 L’única mesura que s’expressa mitjançant un nombre racional és la superficie del quadrat. 3. Dibuixa un quadrat de 2 cm de costat. Determina els punts mitjans dels seus costats i uneix-los successivament. Quina figura n’obtens? Per què? Calcula’n l’àrea i el perímetre. y1 6 8 √64 48 84 y ——————— ——— 2 2 y2 2 Si y 6 → x 2, i si y 2, x 6. En qualsevol cas, l’àrea del rectangle és A 12 cm2 7. Troba quatre nombres racionals compresos entre 2 2 √ 6. √5 i Resposta oberta. Per exemple: 4,25; 4,3; 4,42; 4,4. 8. Representa a la recta numèrica els nombres reals següents: ( 3 a) — 4 b) 1,16 S’obtè un altre quadrat: els seus costats són iguals i els quatre angles són rectes. c) √34 Àrea: A ( 2 )2 2 cm2 Representació aproximada: Perímetre: P 4 2 cm d 4. Considera un nombre positiu, eleva’l al quadrat, multiplica’l per 2 i, finalment, extreu-ne l’arrel quadrada. Demostra que el quocient de la divisió entre l’últim nombre i el primer és igual a √2 . x → x2 → 2x2 → x d) √ 8 2 → L’últim pas és possible perquè x 0. 2 a b 3 2 1 0 1 c 2 3 4 9. Calcula: 2 a) (3√ 5) (3√ 5)2 95 45 5 6 7 8 LA 20 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 4 b) (√10) 4 13. L’arrel quadrada de l’arrel cúbica d’un nombre positiu x té dos possibles resultats. Per què? Si un d’aquests és 2, quin és l’altre? Calcula x. 2 (√10) 10 100 Perquè es tracta d’una arrel d’índex parell (índex 6) c) (√5 √3)(√5 √3) (√5 √3 )(√5 √3 ) 5 3 2 2 3 √ √x 6 √x L’altre resultat és 2, l’oposat de 2. 2 d) (√7 ) (√2 ) 6 √x 2 → x (2)6 64 (√7 )2 (√2 )2 7 2 5 14. Calcula: 10. Calcula: a) 2 a) (1 √2 ) (1 √2 )2 1 2√2 2 3 2√2 √ 200 — — — 450 √ 200 — — — 450 2 b) (3 √3 ) (3 √3 )2 9 6√3 3 12 6√3 2 c) (2√5 1) b) √ 3 — 27 (2√5 1) 20 4√5 1 21 4√5 √ √ 2 √ 10 2 200 — — — —— —— 15 3 225 3 — 27 1 1 — — 9 3 2 d) (4√2 2√3 ) (4√2 2√3 )2 32 16√6 12 c) √ 242 — 338 √ 44 16√6 11. En quins casos el resultat d’una potència de base 3 és més petit que 3? Justifica la resposta amb exemples. Sempre que l’exponent és més petit que 1. 1 1 — Per exemple: 3 2 1,73; 30 1; 31 —. 3 242 — 338 √ 11 121 — —— 169 13 15. Escriu com una única arrel: 2 –1 — — a) 10 3 10 2 2 –1 — 1 — — 6 10 3 10 2 10 6 √10 3 — b) 7 4 : 70,5 12. Expressa com una sola potència: a) √2 3 3 — √2 2 1 1 — — √2 √2 2 2 2 2 3 5 — 6 — c) 2 3 4 √7 3 5 2 2 — 4 b) √5 : √5 1 3 1 1 — 4 — 1 — √5 : √5 5 3 : 5 4 5 12 — 3 2 — — 1 — 1 — 1 — 3 3 3 √2 √3 √6 2 — 7 √a2 a 7 16. Quines de les desigualtats següents no són certes? Per què? 2 d) ( √b3) 4 5 d) 2 3 3 3 7 √a2 5 2 5 √22 √4 5 23 33 4 — — 3 c) 1 — 3 3 3 1 — 7 4 : 70,5 7 4 : 7 2 7 4 4 3 — ( √b3)2 √b6 √b3 b 2 a) √9 25 3 5 b) √7 6 √7 √6 LA MATEMÀTiQUES 1 c) √a2 b2 a b 1 b) ———— √ 7 √ 5 √ 45 d) √5 —— 3 a) Perquè 34 82 c) Perquè a2 b2 (a b)2 17. Expressa de la manera més senzilla possible el resultat de les operacions següents: a) √ 7 √ 28 √ 63 √7 √28 √63 √7 2√7 3√7 (1 2 3) √3 0 b) √121 √169 √225 √121 √169 √225 11 13 15 9 3 c) √ a √a2 1 2 — 3 21 7 — — 6 6 √a √a2 a 2 a 3 a 6 √a7 a √a 1 √7 √5 ———— ———— √7 √5 √7 √5 √7 √5 √7 √5 ———— ———— 75 2 6 √6 c) ——— 6 √ 6 6 √6 6 √6 36 12√ 6 6 ———— ———— ——————— 6 √6 6 √6 36 6 7 2√ 6 42 12√ 6 ————— ———— 30 5 20. Les solucions d’una inequació es troben a l’interval [5,2], i les d’una altra inequació, a l’interval [0, 4). Expressa mitjançant un interval les solucions comunes a totes dues inequacions. Ajuda’t d’un gràfic. 4 d) √b 3 : √b 3 — 4 1 — 1 — 4 √b3 : √b b 4 : b 2 b 4 √b 5 18. Justifica aquestes igualtats: 0 2 4 Les solucions comunes són les que es troben a l’interval: [0, 2]. a) 2 √12 2√3 √ 22 3 √ 12 Avaluació b) 5√ 2 √50 5√ 2 √ 52 2 √ 50 1 — √3 c) — 2 1 — √ 3 2 n √ 3 — 4 √—2 3 √—4 3 √—4 1 1 2 3 n d) a2 √ a √ a 2n 1 a2 n n n √ a √ a 2n a √ a 2n 1 19. Racionalitza: a) 3√2343 és un nombre irracional. Fals, perquè 3√2343 2 7. 21p b) El nombre real ——— està comprès entre els nombres 5 naturals 1 i 2. 21p Cert, ja que ——— 1,03. 5 c) 24 és un nombre racional. Cert, concretament es tracta d’un nombre enter. d) El resultat de √ 12 1 3√ 3 2 √75 és 0. 20 a) —— √ 10 1. Digues, de manera raonada, si les afirmacions següents són certes o falses: Cert. 20 20√ 10 √10 —— —— ——— 2√ 10 10 √10 √10 √ 12 1 3√ 3 2 √ 75 5 2√ 3 1 3√ 3 2 5√ 3 5 5 (2 1 3 2 5)√ 3 5 0 LA 22 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 2. Expressa de manera exacta: 4. Calcula i expressa de la manera més senzilla possible: a) (3√ 2 1 7√ 3)(3√ 2 2 7√ 3) a) El volum d’un cub de 3 cm de diagonal. Si d representa la diagonal d’un cub i a la seva aresta, es verifica: d2 3√3 d√3 d2 5 3a2 → a2 5 — → a 5 —— → a 5 —— 5 √3 cm 3 3 3 V 5 a3 5 (√3)3 5 3√3 cm3 (3√ 2 1 7√ 3)(3√ 2 2 7√ 3) 5 18 2 147 5 2129 1 b) 2√75 2 √ 300 1— √ 12 2 1 2√75 2 √ 300 1— √ 12 5 10√ 3 2 10√ 3 1 √ 3 5 2 b) L’àrea lateral d’un con de 5 cm de radi de la base i 12 cm d’altura. 5 (10 2 10 1 1)√ 3 5√ 3 √ 52 1 122 5 13 cm, i c) (5 1 2√ 7) 2 (5 2 2√ 7) La generatiu del con mesura g 5 l’àrea lateral: (5 1 2√ 7) 2 (5 2 2√ 7) 5 5 1 2√ 7 2 5 1 2√ 7 5 4√ 7 Alat 5 prg 5 65 p cm2 d) √ (a 1 b)2 2 4ab c) El radi d’una esfera de 27 cm de volum. 3 4 3 3V Volum d’una esfera de radi r : V 5 — pr3 → r 5 — — — 3 4p 3 3 3 · 27 3 r5 — — — — — 53 — — — cm 4p 4p √ √ √ d) La hipotenusa d’un triangle rectangle, un dels catets del qual mesura el doble que l’altre. Si representem per c la mesura del catet més petit, l’altre catet mesurarà 2c. La mesura de la hipotenusa d’aquest triangle rectangle s’expresarà: h 5 √ c2 1 (2c)2 5 √5c2 5 c√ 5 3. a) Expressa en forma d’una sola arrel: 7 6 3 6 x3 x x √ √ — —— 5 —— 5 — 3 2 6 4 y4 √y √y 4 4 4 √ 12 12 √ 2 · √ 3 5 √24 · √33 5 √24 · 33 5 2 1 √3 2 2 1 √3 5 2√3 b) Expressa en forma d’una sola potència: 1 3 b) √ 2 · — 1 —— √ 8 √32 1 5 √2 x2 3 2 3 a · √ a; √2 √2 √2; ( √ b2)2; —— √x 1 – 7 – a2·3√ a 5 a2 · a 3 5 a3 7 – √2√2 √2 5 √√2 3√2 5 √√√ 27 5 √27 5 28 8 3 3 (√b ) 5 √ b 5b 5 2 2 √ x2 4 10 9 1 6√3 1 3 12 1 6√3 3 1 √3 3 1 √3 ——— · ——— 5 ————— 5 ———— 5 3 1 √3 923 6 3 2 √3 3 2 √3 3 1 √3 ——— 2 ——— 5 2 1 √3 2 (2 2 √3) 5 3 2 √3 3 1 √3 4 12 a) 3 1 √3 3 2 √3 ——— 2 ——— 3 1 √3 3 2 √3 5 2 2 √3 (p √ p3)5 5 (√p7)5 5 √ p35 3 5. Fes les operacions indicades, racionalitzant prèviament les expressions fracionàries: 3 2 √3 9 2 6√3 1 3 12 2 6√3 3 2 √3 ——— · ——— 5 ————— 5 ———— 5 3 2 √3 923 6 3 1 √3 7 √ a · √ b2 5 √ ab2 5 √ (a 2 b)2 5 a 2 b 5 2 1 √3 √x 7 7 4 3 4 (p √ p3)5; √ 2 · √3 √ a · √ b2; ——; 3 2 √y 7 √(a 1 b)2 2 4ab 5 √a2 2 2ab 1 b2 5 4 – 3 1 √ x4 10 2 –– —— 5 —— 5 √ x21 5 x 10 10 √x √ x5 2 1 √ 8 2√ 2 √8 √2 — · — 5—— 5 — —5— — 8 8 4 √8 √8 3 √ 32 3√ 32 — — ·— — 5—— 32 √ 32 √32 1 3 5 1 3 √ 2 3√32 √ 2 · — 1 —— 5 √ 2 — 1 —— 5— 1— 5— 4 32 2 4 4 √ 8 √32 1 2 1 2 MATEMÀTIQUES 1 jUnitat 2. Polinomis la 23 Les expressions a) c) e) i f) no són polinomis, ja que la indeterminada x apareix elevada a 2 i a 1, respectivament. En l’expressió d) s’obté x , que sí és un polinomi. 3 Activitats 4. Calcula, per a x 1, el valor numèric del polinomi: 1. Indica el grau i els coeficients de cadascun d’aquests polinomis: a) A(x) x 3x 2 3 2 A(1) 2 1 b) B(x) x4 √2 x2 —x 3 5. Determina els coeficients a, b i c perquè els polinomis següents siguin idèntics: 1 Grau 4; coeficients: 1, 0, √2, — i 0. 3 B(x) x4 x2 1 i C(x) x4 ax3 bx2 cx 1 5 8 c) C(x) 3x2 —x — 4 5 Identificar dos polinomis de quart grau és igualar els coeficients del mateix grau: 5 8 Grau 2; coeficients: 3, — i —. 4 5 a 0 b 1 c 0 d) D(x) x4 x3 x2 x 1 6. Donats els polinomis: 3 A(x) x3 3x2 5x — 4 7 B(x) x3 —x 3 2 Grau 4; coeficients: 1, 1, 1, 1 i 1. 2. Escriu un polinomi que sigui: Respostes obertes. Per exemple: C(x) 2x2 4x a) De tercer grau i amb dos termes. 2x3 7 Calcula: b) De quart grau i amb cinc termes. a) A(x) B(x) x 3x 2x 7x 1 3 2 3 A(x) B(x) x3 3x2 5x — 4 c) De segon grau i amb un terme. 5x2 d) Hi ha algun polinomi de tercer grau amb cinc termes? Per què? No hi ha cap polinomi de 3r grau amb 5 termes. Com a màxim en pot tenir 4. 3. Indica quines de les expressions algèbriques següents no són polinomis. Justifica les respostes. 5 a) — 1 x2 El valor numéric s’obté en substituir x per 1: A(1) (1)3 1(1)2 (1) 1 2 Grau 3; coeficients: 1, 3, 0 i 2. 4 A(x) x3 x2 x 1 b) x2 1 ——— 5 √ c) x3 x2 x 1 d ) x x 2 e) ————— x f) 2 √x 4 9 x3 x2 1 ——— 3 2 x 7 17 9 x3 —x 3 3x2 —— x — 2 2 4 b) A(x) B(x) A(x) B(x) 3 7 x3 3x2 5x — x3 —x 3 4 2 3 15 2x3 3x2 —x —— 2 4 c) C(x) B(x) A(x) 9 9 C(x) B(x) A(x) x2 —x — 2 4 LA 24 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 2 x2 4 x C (x) g) B(x) C(x) B(x)C(x) 7 —x 3 2 B (x) x3 A (x) 3 x3 3 x 2 5 x — 4 C (x) B (x) A (x) 9 9 x — x — 4 2 2x5 4x4 7x3 8x2 12x C (x) 3 A (x) x 3 3 x 2 5 x — 4 B (x) A (x) C (x) 2 x2 4 x 11 15 2 x 3 5 x 2 — x — 2 4 e) x2 [B(x) C(x)] x2 15 x2 x3 2x2 ——x 3 2 15 x 2x —— x3 3x2 2 4 1 f) 3A(x) 5B(x) —C(x) 2 [C(x)]3 (2x2 4x)3 (2x2 4x)2 (2x2 4x) 8x6 48x5 96x4 64x3 [C (x)]2 C (x) 4 x 4 16 x 3 16 x 2 2 x2 4 x 16 x 5 64 x 4 64 x 3 8 x 32 x 5 32 x 4 6 Contesta les qüestions següents i justifica les respostes: 7 x3 —x 3 2x2 4x 2 5 6 x2 [C (x)]3 8 x 6 48 x 5 96 x 4 64 x 3 x2 [B(x) C(x)] 7x 3 h) [C(x)]3 7 —x 3 2 B (x) x 3 5 B (x) C (x) 2 x 5 4 x 4 7 x 3 8 x 2 12 x 11 15 2x3 5x2 ——x —— 2 4 C (x) 2 x2 4 x 14 x 2 12 x 4 x4 2 x B(x) [A(x) C(x)] 3 2 d) B(x) [A(x) C(x)] 7 x 3 — x 2 B (x) El grau del polinomi A(x) B(x) no és 3 perquè els coeficients de 3r grau són oposats. b) Quin és el grau del polinomi x2 [B(x) C(x)]? El grau del polinomi x2 [B(x) C(x)] és 5. c) Per què el grau del polinomi [C(x)]3 és 6? El grau del polinomi [C(x)]3 és 6, ja que (2x2)3 8x6. 1 3A(x) 5B(x) —C(x) 2 9 69 8x3 8x2 —x —— 2 4 9 3 A (x) 3 x 3 9x 2 15 x — 4 35 — x 15 5 B (x) 5 x 3 2 1 — C (x) x 2 2x 2 1 3 A (x) 5 B (x) — C (x) 2 a) Per què el grau del polinomi A(x) B(x) no és 3? 69 9 8 x3 8 x2 — x — 2 4 d) És cert que: B(x) [A(x) C(x)] B(x) A(x) C(x)? B(x) [A(x) C(x)] B(x) A(x) C(x) És certa la igualtat. 7. Si A(x) 3x3 2x2 7 i B(x) x4 5x3 2x, determina: a) El polinomi C(x) que verifica A(x) C(x) B(x). C(x) B(x) A(x) x4 8x3 2x2 2x 7 x4 5x3 2x 7 3x3 2x2 x4 8x3 2x2 2x 7 la MATEMÀTIQUES 1 b) El polinomi D(x) que verifica B(x) D(x) A(x). D(x) A(x) B(x) c) (2x3 x2 3x) : (x 1) Per Ruffini: x 8x 2x 2x 7 4 3 2 2 1 3 0 1 2 1 4 Aquest polinomi és oposat a l’anterior. 1 2 1 4 4 c) La relació que hi ha entre els polinomis C(x) i D(x). Quocient: 2x2 x 4 Residu: 4 La relació: D(x) C(x) 8. Realitza la divisió (3x4 x3 1) : (x2 1). Comprova que es verifica la propietat fonamental. 3x x 3x4 4 1 3 x3 x3 3x2 Per Ruffini: x 1 2 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 3x2 x 3 3x2 x Quocient: x3 x2 x 1 Residu: 0 3x x 1 3x2 3 2 d) (x4 1) : (x 1) e) x3 : (x 2) x4 Per Ruffini: Quocient: 3x2 x 3 1 0 0 0 2 2 4 8 1 2 4 8 Residu: x 4 Comprovació: (3x2 x 3)(x2 1) (x 4) 3x4 x3 1 9. Efectua aquestes divisions. Aplica la regla de Ruffini quan sigui possible. a) (6x5 3x4 2x 1) : (3x3 2x 4) Quocient: x2 2x 4 Residu: 8 f) (x6 1) : (x2 1) x6 1 x2 1 x4 x4 x2 1 x6 x4 x4 2x 1 6x5 3x4 3x3 2x 4 6x5 4x3 8x2 4 3x4 4x3 8x2 2x 2x2 x — 3 4 2 2x 4x 3x 4x3 6x2 2x 1 8 16 4x3 —x — 3 3 1 — 2 1 — 2 x4 x2 2 x2 1 2 2 Quocient: x2 1 Residu: 3x2 2 Per Ruffini: b) x6 : (x4 x2 2) 3x2 2 1 1 1 1 g) —x2 —x — : x — 2 3 4 2 2 19 Residu: 6x2 —x —— 3 3 x4 2x2 x4 x2 x2 1 x2 1 Quocient: x4 x2 1 Residu: 2 2 19 6x2 —x — 3 3 4 2 Quocient: 2x x — 3 x6 x6 x4 2x2 x2 1 — 2 1 1 Quocient: —x —— 2 12 5 Residu: —— 24 1 — 3 1 — 4 1 — 4 1 —— 24 1 —— 12 5 —— 24 25 LA 26 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 10. En una divisió, el divisor és el polinomi x3 2x2 3, el quocient és x2 2x 1 i el residu és 8x 2. Quin és el grau del dividend? Pots calcular-lo? Fes-ho. Dividend: (x3 2x2 3)(x2 2x 1) (8x 2) x5 3x3 x2 2x 1 El dividend és de grau 5. x 2x 3 x2 2x 1 3 2 x3 2x2 3 4 6x 2x 4x3 3x2 x5 2x4 x5 3x3 x2 6x 3 8x 2 x5 3x3 x2 2x 1 11. Determina els valors de a i b, de manera que quan dividim 1 3x4 12x2 ax b per x3 2x2 3 el residu sigui —. 2 12x2ax b 3x4 9x 3x4 6x3 x3 2x2 3 3x 6 6x3 12x2 (a 9)x b 18 6x3 12x2 1 (a 9)x b 18 — → 2 a90 → a9 → 1 37 b 18 — → b —— 2 2 5 12. En una divisió exacta, el dividend és x5 1 i el quocient, x4 x3 x2 x 1. Calcula’n el divisor. x5 1 x5 x4 x3 x2 x x4 x3 x2 x 1 x1 x4 x3 x2 x 1 x4 x3 x2 x 1 14. Tria el mètode que consideris més convenient per trobar el valor numèric d’aquests polinomis per al valor que s’indica: 3 a) —x4 5x3 4x 2 per a x 12 2 Pel teorema del residu: 12 3 — 2 3 — 2 5 0 18 276 3312 39696 23 276 3308 39698 b) x6 x4 √ 2x 3 x2 per a x √ 2 Substituint: (√2 )6 (√2 )4 √2 (√2 )3 (√2 )2 8 4 4 2 10 Valor numèric: 10 2 1 3 c) —x3 —x2 —x 1 per a x 5 5 5 5 Substituint: 2 1 3 —(5)3 —(5)2 —(5) 1 5 5 5 50 5 3 1 47 Valor numèric: 47 15. Calcula el residu de la divisió (2x3 3) : (x 2). Fes-ho mitjançant els dos procediments que hem analitzat. Explica quin és el més ràpid. Fent la divisió: 3 2x3 2x3 4x2 x 2 2x2 4x 8 4x2 3 4x2 8x 3 16 13 13. Determina el valor de k per tal que la divisió R 13 (2x3 x2 k): (x 2) sigui exacta. Pel teorema del residu: 223 3 13 2x3 x2 k x 2 2x3 4x2 2x2 5x 10 És més ràpid fer-ho pel teorema del residu. 5x2 k 5x2 10x 10x k 10x 20 k 20 0 → k 20 2 Valor numèric: 39698 8x 8x Divisor: x 1 4 16. Determina el valor de k per tal que la divisió (x3 3x2 5x k) : (x 3) sigui exacta. Valor numèric 0 per a x 3: (3)3 3(3)2 5(3) k 0 → → k 69 la MATEMÀTIQUES 1 17. Troba el residu de la divisió (x9 1) : (x 1). Pots obtenirlo sense necessitat de fer la divisió. 27 e) x 3 és divisor de x3 27. Falsa, (3)3 27 54 R (1) 1 0 9 18. Comprova que P(x) x3 3x2 6x 8 és divisible per x 2. Expressa el polinomi P(x) com a producte de dos polinomis. Si P(2) 0, P(x) és divisible per x 2. 2 Dividim P(x) per x 2 per trobar l’altre factor: 1 3 22 1 5 6 10 8 8 4 0 P(x) (x 5x 4)(x 2) 2 Substituir per x 1 1 2 20. Un polinomi P(x) només té els divisors 3, x2 1 i —x —. 3 9 Troba P(x). 1 2 P(x) 3(x2 1) —x — 3 9 2 2 x3 —x2 x — 3 3 21. Calcula k perquè el polinomi x3 3x2 k sigui múltiple de x 1. Cal que (1)3 3(1)2 k 0 → k 4 22. Indica si són certes o falses aquestes afirmacions: a) x 1 és divisible per x 1. 4 Certa, ja que (1)4 1 0 b) x5 1 és múltiple de x 1. Certa, 15 1 0 c) x 2 és divisor de x3 8. Certa, (2)3 8 0 d) x7 1 és múltiple de x 1. Certa, (1)7 1 0 x1 0 x2 5x 6 0 → → x2 3, x3 2 B(x) 6x3 7x2 9x 2 B(2) 0 → x 2 és l’única arrel entera. C(x) 2x3 2 → x3 1 → x 1 D(x) x3 7x2 6x D(x) x(x2 7x 6) 0 → (1)4 k 0 → k 1 A(x) x(x2 5x 6) C(x) 0 → 2x3 2 0 → 19. Troba el valor de k perquè el polinomi x4 k sigui divisible per x 1. Les arrels enteres, si n’hi ha, cal que siguin divisors del terme independent. A(x) x3 5x2 6x P(2) (2) 3(2) 6(2) 8 0 3 23. Determina, si és possible, les arrels enteres d’aquests polinomis: → x1 0 x2 7x 6 0 → x2 1, x3 6 E(x) x3 2x2 x 2 E(2) 0 → x 2 F(x) x4 x2 2 F(1) F(1) 0 → x1 1 i x2 1 24. Esbrina si x 3 és una arrel del polinomi P(x) x3 2x2 9. x 3 és una arrel de P(x), ja que: P(3) 33 232 9 0 25. Determina les arrels del polinomi: A(x) (x2 9)(2x 1) x2 9 0 → x1 3, x2 3 A(x) 0 1 2x 1 0 → x3 — 2 26. Calcula les arrels del polinomi P(x) (x2 4)(3x 1). P(x) 0 x2 4 0 → x1 2, x2 2 1 3x 1 0 → x3 — 3 LA 28 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 27. El polinomi B(x) (x2 4)(x 1) només té una arrel real. Per què? x2 4 0 → (no té solució) B(x) 0 x10 → x1 1 3 2 2 3 10 11 14 6 6 1 5 3 3 7 6 3 3 0 1 0 1 28. Factoritza el polinomi P(x) x x 8x 12. Troba una arrel entera entre els divisors del terme independent. Determina totes les seves arrels. 3 2 Té les arrels 3 i 2 (doble). 30. Troba les arrels d’aquests polinomis mitjançant la seva factorització: a) x3 3x2 13x 15 x3 3x2 13x 15 (x 1)(x 3)(x 5) P(x) (x 3)(x 2)2 Arrels: 1, 3 i 5 29. Factoritza aquests polinomis: b) 2x4 6x3 8x a) x4 1 2x4 6x3 8x 2x(x 1)(x 2)2 x4 1 (x2 1)(x2 1) Arrels: 0, 1 i 2 (doble). (x2 1)(x 1)(x 1) 3 c) 3x2 3x — 4 b) x5 x4 x 1 x5 x4 x 1 (x 1)(x 1)2(x2 1) 1 1 0 0 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 Arrel: — (doble) 2 2 d) x3 3x2 4x x3 3x2 4x x(x 4)(x 1) x4 x3 2x2 x2(x 2)(x 1) Arrels: 0, 2 i 1 f) x4 3x3 3x2 11x 6 3 2 2 2 x2(x 2)2 1 31. Les arrels d’un polinomi de segon grau són 2 i — i el 3 coeficient de x2 és 6. Quin és aquest polinomi? 9x 30x 25 (3x 5) 2 Arrels: 1 (doble), 3 i 2 x4 3x3 + 11x 6 (1)2 (x3) (x + 2) d) 9x2 30x 25 2 1 P(x) 6(x 2) x — 6x2 10x 4 3 x2 e) —— 9 9 e) x4 x3 2x2 x 4x 4x x (x 4x 4) 4 3 1 3x2 3x — 3 x — 4 2 Arrels: 0, 4 i 1 c) x4 4x3 4x2 2 x2 x x —— 9 — 3 — 3 9 3 3 f) x4 3x3 3x2 11x 6 x4 3x3 3x2 11x 6 (x 2)(x 3)(x 1)2 32. Calcula el m.c.d. i el m.c.m. dels polinomis: a) P(x) x2 9 i R(x) x2 6x 9 P(x) x2 9 (x 3)(x 3) R(x) x2 6x 9 (x 3)2 m.c.d.: x 3; m.c.m.: (x 3)(x 3)2 MATEMÀTIQUES 1 b) P(x) x2 1 i R(x) 3x2 6x 3 P(x) x2 1 (x 1) (x 1) R(x) 3x2 6x 3 3(x 1)2 m.c.d.: x 1; m.c.m.: 3 (x 1) (x 1)2 B(x) 3x2 3 3(x 1)(x 1) m.c.d.: 3(x 1)(x 1) B(x) m.c.m.: 3(x2 1)(x 1)(x 1) A(x) d) A(x) x2 2x 3, B(x) x3 2x2 x i C(x) x 8x 21x 18 3 2 A(x) x2 2x 3 (x 1)(x 3) B(x) x3 2x2 x x(x 1)2 C(x) x3 8x2 21x 18 (x 3)2(x 2) m.c.d.: 1 m.c.m.: (x 1)2(x 3)2(x 2)x 33. Troba el m.c.d. i el m.c.m. de S(x) (x 2)2 i T(x) x2 4. Comprova que el producte dels dos polinomis que acabes de trobar és igual al producte dels polinomis S(x) i T(x). 29 1 x1 b) ———— i ———— x 1 x2 2 1 x1 ———— ————, ja que: x1 x2 2 (x2 2) x2 1 c) A(x) 3x4 3 i B(x) 3x2 3 A(x) 3x4 3 3(x2 1)(x 1)(x 1) la P(x) 36. Considera la fracció ———. Indica quines d’aquestes frac Q(x) cions són equivalents a la fracció donada: 4P(x) a) ———— 4Q(x) 4P(x) P(x) ———— ——— 4Q(x) Q(x) 10P(x) b) ———— 5Q(x) 3 P(x) c) ————— 3 Q(x) [P(x)]2 d) ———— [Q(x)]2 P(x) La resta de fraccions no són equivalents a ——. Q(x) S(x) (x 2)2; T(x) (x 2)(x 2) m.c.d.: x 2; m.c.m.: (x 2)2(x 2) Efectivament: 37. Indica per a quins valors de x no té valor numèric la fracció algèbrica: 2x 7 —————— 2 2x x 1 (x 2)(x 2)2(x 2) S(x)T(x) 34. El m.c.d. de dos polinomis A(x) i B(x) és 1. Quin és el seu m.c.m.? Si el m.c.d. de A(x) i B(x) és 1, els factors que formen el m.c.m. són els dels dos polinomis; és a dir, el m.c.m. A(x)B(x) 35. Determina si els parells de fraccions següents són equivalents: x5 x2 25 a) ——————— i ———— x2 7x 10 x 2 x2 25 x5 ——————— ————, ja que: x2 7x 10 x2 La fracció no té valor numèric per a aquells nombres que anul.lin el denominador: 2x2 x 1 0 x1 1 1 x2 — 2 38. Simplifica aquestes fraccions algèbriques: x2 7x 10 a) ——————— 2x2 50 (x2 25)(x 2) (x2 7x 10)(x 5) x2 7x 10 (x 2)(x 5) ——————— ————————— 2 2x 50 2(x 5)(x 5) x2 ————— 2x 10 30 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE x3 1 b) —————— x2 3x 2 (x 1)(x x 1) x 1 —————— ——————————––– 2 (x 1)(x 2) x 3x 2 3 2 x 5x 4 ————————— x3 3x2 3x 1 x x4 (x 1)(x x 4) ——————————–––– ————— (x 1)(x2 2x 1) x2 2x 1 2 2 (x2 4)(x 2)(x 2) ——————————— x 2 (x2 4)(x 2) 3x2 5x 2 e) ——————— 4x2 4 a) (AB)C x4 16 ————————— x3 2x2 4x 8 Calcula: x4 16 d) ————————— x3 2x2 4x 8 (3x 2)(x 1) 3x 5x 2 ——————— ————————— 2 4(x 1)(x 1) 4x 4 3x 2 ————— 4(x 1) 2 2 f) 2x –2 4x + 2 2x –2 4x + 2 = 2 (x2 – 1) x –1 x –1 x –1 2x 1 1 3x a) ———— ———— ——— 2x 4 x2 4 x2 (2x 1)(x 2) 2 (3 x)2(x 2) ——————————————————–––– 2(x 2)(x 2) 4x 7x 8 ——————— 2(x2 4) 1 x2 3x b) ———— ——— 2 x x x1 3x 1 x2 ———— ——— 2 x x x1 1 x2 4x 3 ——— —————— x5 x5 x2 4x 4 —————— x5 x2 4x 4 x2 25 —————— ———— x5 x3 (x 2)2(x 5)(x 5) ——————————— (x 5)(x 3) (x 2)2(x 5) ———————— x3 c) 3A : C 2x 1 1 3x ———— ———— ———; m.c.m. 2 x2 2x 4 x 4 dels denominadors: 2(x 2)(x 2): 2 (x 5) (x 1) ———————–– x5 b) (A C)B 39. Calcula: (x 5)(x 5)(x 3)(x 1) ——————————————–– (x 5)(x 3)(x 5) 2 1 x2 25 x2 4x 3 ——— ———— —————— x5 x3 x5 x2 4x 3 i C —————— x5 3 1 x2 25 A ———, B ———— x5 x3 x3 5x 4 c) ————————— x3 3x2 3x 1 40. Donades les fraccions: x2 x 1 ————— x2 (1 x)(1 x)3x 3(1 x) ————————— —————— x(x 1)(x 1) x1 3 x2 4x 3 ——— : —————— x5 x5 3(x 5) —————————— (x 5)(x2 4x 3) 3 —————— 2 x 4x 3 2x 1 41. Quina fracció hem de sumar a ———— per obtenir la fracció x4 zero? 2x 1 Serà la fracció oposada: ————. x4 MATEMÀTIQUES 1 3x 42. Per quina fracció hem de multiplicar la fracció ——— per x3 obtenir el polinomi de grau zero i de coeficient 1, és a dir, U(x) 1? x3 Serà la fracció inversa: ———. 3x 3 5x 2x a) ———— ——— ——— x1 x1 x2 1 3 5x 2x ———— ——— ——— 2 x1 x1 x 1 x2 4 x2 4x 4 ———— : —————— 3x x2 (x 2)(x 2)(x 2) (x 2)2 ——————————— ————— 3x(x 2)2 3x(x 2) 3x 2x 2 3x 2x 2 ——— —————— ——— x1 x1 x1 46. Per quina fracció algèbrica cal multiplicar 2x 1 1 ———— per obtenir ———————? 2x2 5x 2 x2 4 La fracció s’obté en fer la divisió: 1 2x 1 ——————— : ———— 2 x2 4 2x 5x 2 (x 2)(x 2) ———————————— (x 2)(2x 1)(2x 1) x2 ———————— (x 2)(4x2 1) 47. Calcula els nombres combinatoris següents: 15 15 , 100 , 805 , 7 8 6 , 2 6 6·5 15 ——— 2 2 10 1 80 80! 15 15! 15 15! 24 040 016 ——— 5 75!5! 15·14·13·12·11·10·9 ——————————— 6 435 ——— 7 8!7! 7·6·5·4·3·2 6 435 ——— 8 7!8! x2 3 d) ———— 5 x2 1 (x 2)(x 2)(x 1)(x 1) —————————————— 1 (x 1)(x 1)(x 2)(x 2) 0 3x c) 2 ——— x 1 3x2 7x 3 ——————— x2 1 x2 4 x2 4x 4 b) ———— : —————— 3x x2 x1 x2 4 x 1 ———— ——— ——— 2 x 1 x2 x2 x1 x2 4 x 1 ———— ——— ——— x2 1 x 2 x2 3 5x(x 1) 2x(x 1) ————————————— x2 1 45. Comprova que el resultat d’aquesta multiplicació és 1: 43. Calcula: la x2 3 5x2 5 x2 3 ———— 5 ————————— x2 1 x2 1 4x2 2 ————— x2 1 44. Quina condició ha de verificar una fracció algèbrica per tal que sigui equivalent a un polinomi? Una fracció algèbrica és equivalent a un polinomi si el polinomi numerador és múltiple del polinomi denominador. 48. Simplifica aquestes fraccions: 10! a) ——— 2!8! 10! 10·9 ——— ——— 45 2!8! 2 15! b) ——— 3!12! 15! 15·14·13 ——— ————— 455 3!12! 3·2 31 LA 32 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 50! c) ——— 2!48! 50! 50·49 ——— ———— 1 225 2!48! 2 x4 2√2x3 2x2 1 3x3 x2 c) — ————— x 1 3x 5 5 1 x (2) 1 x (2) 1 2 3 5 5 1 x (2) 1 (2) 5 4 5 2 4 x3(1 x)2 x3(1 2x x2) x5 2x4 x3 3 2. Considera els polinomis A(x) x2 2x 3 i B(x) (x 1) (x 3). Calcula’n el valor numèric per a x 1 i x 2. Poden ser iguals aquests dos polinomis? Raona la teva resposta i comprova-ho. 5 x5 10x4 1 40x3 2 80x2 1 80x 2 32 b) (3x 1 y)6 6 6 (3x)6 1 (3x y)6 0 1 x2(3x 1) 1 3x3 x2 — ————— —————— x x 1 3x x(1 3x) d) x3 (1 x)2 5 A(1) 1 2 3 4 (3x)5 y 1 A(2) (2)2 2(2) 3 5 B(1) 2(2) 4 6 6 1 (3x)4 y2 1 (3x)3 y3 1 2 3 B(2) 1(5) 5 6 6 6 1 (3x)2 y4 1 (3x) y51 y6 5 4 5 6 Amb això no hi ha prou per què 2 polinomis siguin iguals. 5 729 x6 1 1458 x5y 1 1215 x4y2 1 1 540 x y 1 135 x y 1 18 xy 1 y 3 3 2 4 (x √2)2 x2 (x2 2√ 2x 2) x2 49. Desenvolupa les potències següents: a) (x 2)5 5 5 x5 1 x4 (2) 1 (x 2)5 0 1 2 b) (x √2)2 x2 1000! d) ——— 3!997! 1000! 1000·999·998 ——— ———————— 166 167 000 3!997! 3·2 3 1 20 8 4(x 2) x — 4x2 —— x — 3 3 3 5 3. Escriu dos polinomis de tercer grau la suma dels quals sigui un polinomi de segon grau. 6 50. Calcula el quart terme del desenvolupament de: (x 2 1)12 Quart terme: Resposta oberta. Per exemple: A(x) 2x3 3x2 1 B(x) 2x3 x2 x → → A(x) B(x) 2x2 x 1 12 12! x9 (1)3 5 2——— x9 5 2220 x9 3 9!3! 51. Donat el polinomi C(x) 2x2 4x, calcula [C(x)]3. 4. Troba el polinomi que sumat a P(x) x4 3x2 5x dóna com a resultat el polinomi R(x) x3 1. El polinomi que es busca és: R(x) P(x). (2x2 –4x)3 5 3 3 3 3 (2x2)3 + (2x2)2(–4x) + (2x2)(–4x)2 + (–4x)3 5 5 0 1 2 3 5 8x6 – 48x5 + 96x4 – 64x3 Activitats finals 1. Expressa en forma de polinomi ordenat en potències decreixents de x els resultats d’aquestes operacions: 1 a) 4(x 2) x — 3 R(x) P(x) x3 1 x4 3x2 5x x4 x3 3x2 5x 1 5. Calcula a, b i c per tal que es verifiqui la igualtat: (x3 2x a)(bx c) 3x4 2x3 6x2 x 2 (x3 2x a)(bx c) bx cx3 2bx2 (ba 2c)x ca 4 Igualant els coeficients del mateix grau: b 3; c 2; ba 2c 1 → a 1 la MATEMÀTIQUES 1 6. Explica la relació que hi ha entre els graus dels polinomis factors i el grau del polinomi producte. Quina relació hi ha entre els graus dels polinomis dividend, divisor i residu en una divisió de polinomis? 3 c) C(x) 2B(x) —A(x) 2 El grau del polinomi producte és la suma dels graus dels factors. 4x 6 9 — x2 2 3 —x 3 4 El grau del dividend és la suma dels graus del divisor i del quocient. El grau del residu és menor que el grau del divisor. 7. La potència de polinomis es defineix com a productes repetits de la base tantes vegades com indica l’exponent. (3x2 2)5 és un polinomi. De quin grau? Quin és el coeficient que acompanya el terme de grau més gran? Quin és el terme independent? En la potència (3x2 2)5, el primer terme del polinomi és (3x2)5 243x10 i el terme independent: (2)5 32. Per tant, el grau del polinomi és 10. 1 8. Si A(x) 3x2 — x 2, B(x) 2x 3 i C(x) x3 3, 2 calcula: a) B(x)3A(x) C(x) 9x 27x2 18x3 3x2 3 C(x) 2B(x) —A(x) 2 9 13 x3 — x2 —— x 12 2 4 d) [C(x) 3A(x)]B(x) x3 3 —x 6 2 2x 3 9 — x 18 2 12x 2 B(x)3A(x) C(x) 15 17x3 24x2 —— x 21 2 3x2 27x 2 18x3 3x2 1 —x 2 2 6x 9 9 — x 18 2 12x 15 18x 24x —— x 18 2 2x3 6 2 15 16x3 24x2 —— x 24 2 3B(x)A(x) 2C(x) 15 16x3 24x2 —— x 24 2 9x2 x3 9x2 3 9 13 x3 — x2 —— x 12 2 4 15 17x3 24x2 —— x 21 2 15 18x 24x —— x 18 2 x3 3 3 b) 3B(x)A(x) 2C(x) 2 3 x3 3 3 —x 6 2 3 —x 9 2 2x 3 9 — x 27 2 4 3 2 2x 18x 3x 18x 3x3 27x2 27 2x4 15x3 24x2 2 —— x 27 2 [C(x) 3A(x)]B(x) 27 2x4 15x3 24x2 —— x 27 2 9. Desenvolupa la potència (2x y)7. 7 7 (2x)7 (2x)6 (y) 1 (2x y)7 0 1 7 7 (2x)5 (y)2 1 (2x)4 (y)3 1 1 2 3 7 7 (2x)3 (y)4 1 (2x)2 (y)5 1 1 4 5 7 7 2x (y)6 1 (y)7 5 1 6 7 5 128 x7 448 x6y 1 672x5y2 2 560 x4y3 1 1 280 x3y4 84 x2y5 1 14 xy6 2 y7 33 LA 34 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 10. Calcula el coeficient de x5 en el desenvolupament de (x 1 2)12. El coeficient de x5 és el terme del desenvolupament: 12 x12 2 h · 2h → 12 h 5 5 → h 5 7 h 14. Troba el dividend d’una divisió en què el quocient és 3x2 2x 1; el divisor, 2x2 x i el residu, x 1. D(x) (2x2 x)(3x2 2x 1) (x 1) 6x4 x3 2x 1 3x2 2x 2x2 1 x 3x3 2x2 6x 4x3 2x2 x 6x4 x3 x x 1 6x4 x3 2x 1 12 Coeficient: · 27 5 101 376 7 11. Determina el coeficient de x14 en el desenvolupament de (x2 x)10. De la mateixa manera que a l’exercici anterior: 10h (x ) 2 10 2 h · (2x)h → → x20 2 2h · xh 5 x20 2 h 5 x14 → 4 15. Calcula m per tal que la divisió següent sigui exacta: → 20 2 h 5 14 → h 5 6 (x4 x3 2x2 x 7m) : (x2 x 1) 10 Coeficient: (21)6 5 210 6 x4 x3 2x2 x 7m x4 x3 x2 x2 x 7m x2 x 1m 12. Hi ha algun polinomi que multiplicat per x 4 doni com a resultat el polinomi 2x2 5x 12? Si la resposta és afirmativa, quin és? El polinomi és el quocient de la divisió: Si és exacta, existirà aquest polinomi: 2 3 7m 1m 1 7m 1 0 → m — 7 (2x2 5x 12) : (x 4) 2 5 4 8 12 12 0 El polinomi és: 2x 3 16. Efectua aquestes divisions. Aplica la regla de Ruffini sempre que sigui possible. a) (x3 3x2 2x) : (2x 1) x3 3x2 2x2x 1 1 1 5 3 x3 —x2 —x2 —x — 2 2 4 8 5 —x2 2x 2 5 5 —x2 —x 2 4 13. Donat el polinomi A(x) 2x3 x2 4x 1, determina, si existeix, un altre polinomi C(x) tal que el quocient de la divisió A(x) : C(x) sigui 2x 3 i el residu, 4. A(x) ... ... C(x) 2x 3 4 A(x) C(x)(2x 3) (4) C(x) [A(x) 4] : (2x 3) x2 2x2 1 2x3 x2 4x 3 2x3 3x2 4x2 4x 3 4x2 6x 2x 3 2x 3 x2 x 1 x2 1 2x 3 x 2x 1 2 3 —x 4 3 —x 4 3 — 8 3 — 8 1 5 3 Quocient: —x2 —x — 2 4 8 3 Residu: — 8 MATEMÀTIQUES 1 b) x5 : (x2 1) x2 1 x3 x Fes-ho pel procediment més curt. x Quocient: x3 x Residu: x Cal buscar el valor numèric del polinomi per a cada una de les suposades arrels. Per Ruffini: 1 0 2 2 1 2 4 0 4 1 8 2 4 9 2 Quocient: x 2x 2x 4 3 2 d) (x6 x3 x 1) : (x 1) Per Ruffini: 21. Quines són les arrels enteres del polinomi x8 1? Raona la resposta. Té alguna arrel entera el polinomi x8 1? Per què? 22. Factoritza els polinomis següents: 1 0 11 0 1 1 1 0 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 Quocient: x5 x4 x3 2x2 2x 1 Residu: 2 a) A(x) 3x3 75x A(x) 3x3 75x A(x) 3x(x2 25) 3x(x 5)(x 5) b) B(x) 3x3 18x2 27x B(x) 3x3 18x2 27x 17. Calcula c per tal que el residu de la divisió següent sigui 2: [2(c 1) x3 3x2 5 (1 2c)x c 2] : (x 3) Pots fer-ho de dues maneres. Explica-les. Es pot fer calculant el residu de la divisió i trobant el valor numèric del polinomi en substituir x 3. 2(c 1)33 332 5 (1 2c)3 c22 El valor numèric és zero i, per tant, són arrels: 1, 2 i 4. La resta no ho són. Les arrels enteres de x8 1 són 1 i 1 que fan zero el valor numèric del polinomi. x8 1 no té arrel ja que 18 1 (1)8 1 2. Residu: 9 1 3 7 —(2)3 —(2)2 —(2) 8 2 4 2 4 3 7 8 8 20. Dels nombres enters 1, 1, 2, 2, 4 i 4, quins són arrels del polinomi A(x) x3 3x2 6x 8? Quins no ho són? c) (x 2x 1) : (x 2) 2 1 3 7 —x3 —x2 —x 8 2 4 2 x3 x3 x 35 19. Calcula el valor numèric del polinomi següent per a x 2. x5 x5 x3 4 la 8 c —— 85 B(x) 3x(x2 6x 9) 3x(x 3)2 c) C(x) 2x4 12x3 18x2 C(x) 2x4 12x3 18x2 C(x) 2x2 (x 3)2 1 d) D(x) —x2 3x 9 4 1 D(x) —x2 3x 9 4 1 D(x) —x 3 2 2 23. Determina el m.c.d. i el m.c.m. dels polinomis: 18. Esbrina si el polinomi 6x2 6x 12 és divisible per 2x 4. Pots donar la resposta sense fer la divisió? El polinomi és múltiple de 2. 6x2 6x 12 6(x2 x 2) 2x 4 2(x 2) 2 2 2 0. Sí, és divisible. 2 A(x) 2x5 6x4 8x2, B(x) x3 x i C(x) x4 x3 x2 x A(x) 2x2(x 1)(x 2)2 B(x) x(x 1)(x 1) C(x) x(x 1)2(x 1) m.c.d. (x 1)x m.c.m. 2x2(x 1)2 (x 1) (x 2)2 LA 36 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 24. Calcula: 1x x1 x2 1 ——— ——— ——— 1x 1x x2 1 Cal tenir en compte que 1 x (x 1). m.c.m. x2 1. (1 x)(x 1) (x 1)(1 x) ——————— ——————— 2 x2 1 x 1 3x2 3 x2 1 ——— —————— x2 1 x2 1 25. Donades les fraccions següents: x2 x3 A(x) —————— i B(x) ———, x2 4 x2 6x 9 calcula: A(x)B(x), A(x) : B(x) i B(x) : A(x) (x 2)(x 3) A(x)B(x) ——————————— (x 3)2(x 2)(x 2) 1 ——————— (x 3)(x 2) (x 2)(x 2)(x 2) A(x) : B(x) ——————————— (x 3)2(x 3) (x 2)2(x 2) ——————— (x 3)3 (x 3)3 B(x) : A(x) ——————— (x 2)2(x 2) 26.Indica, sense fer la divisió, el residu de cadascuna de les divisions següents: a) (x3 + 8) : (x + 2) R = (-2)3 + 8 = 0 b) (x10 – 1) : (x – 1) R = 110 - 1 = 0 c) (x4 + 81) : (x – 3) R = 34 + 81 = 162 d) (x5 – 32) : (x + 2) R = (-2)5 - 32 = -64 e) (x65 + 1) : (x – 1) R = 165 + 1 = 2 27. Efectua les operacions següents: 2 a) x + 2 − x − 2 + 5 x2 − 2 x + 2 x2 − 4 2 ( x + 2) 2 − ( x − 2) + 5 x2 − 4 c) 1 1 : x 2 − 7 x + 10 x 2 − 5 x x ( x − 5) x ( x − 2) ( x − 5) x − 2 28.Donat el polinomi P(x) = 2x3 − (m − 2)x2 + mx + 3, determina el valor de m per tal que en dividir-lo per x + 2 doni de residu −10. 6 P(-2) = -10 → -16 - 4(m - 2) + (-2)m + 3 = -10 → m = 6 29. Si A(x) + B(x) = 1 i A(x) = a) B(x) B(x) = 1 - A(x) = 1 b) A(x) : B(x) A(x) : B(x) = x–2 , calcula: x+3 x–2 5 x+3 x+3 (x – 2) (x + 3) x–2 5(x + 3) 5 30.Determina el polinomi P(x) que verifica les condici­ons següents: a) És de tercer grau. b) P(2) = P(−1) = P(0) = 0. c) El coeficient del monomi de grau màxim és 2. P(x) = 2(x - 2)(x + 1)x = 2x3 - 2x2 - 4x 31.Donats els polinomis P(x) = x4 − 10x2 + 9 i Q(x) = 3x2 − 12x + 9: a) Efectua’n la factorització. P(x) = 0 → x1 = 3, x2 = -3, x3 = 1, x4 = -1 → P(x) = (x - 3) (x + 3)(x - 1)(x + 1) Q(x) = 0 → x1 = 3, x2 = 1 → Q(x) = 3(x - 3)(x - 1) P(x) . Q(x) P(x) (x + 3) (x + 1) x2 + 4x + 3) = = Q(x) 3 3 b) Simplifica la fracció algèbrica 32.Troba per a quins valors de m el polinomi P(x) = x2 − mx + 9 té una arrel entera doble. Facto­ritza P(x) per als valors de m trobats. x2 - mx + 9 = 0 → ∆ = m2 - 36 = 0 → m = 6 m = 6 → l’arrel doble és x = 3 → P(x) = (x - 3)2 8x + 5 x2 − 4 2 x 2 −4 b) x −1 ⋅ x + 2 x 2 −3 x + 2 ( x + 1) ( x −1) ( x −2) ( x −2) x +1 ( x + 2) ( x −1) ( x −3) m = -6 → l’arrel doble és x = -3 → P(x) = (x + 3)2 33.Sabent que m.c.d. [A(x), B(x)] = x − 2, m.c.m. [A(x), B(x)] = = (x − 2)2(x + 3)(x − 1) i A(x) = x2 + x − 6, calcula B(x). B( x ) = m.c.d. [ A( x ),B( x )] • m.c.m. [ A( x ),B( x )] 2 = ( x − 2) ( x − 1) A( x ) la MATEMÀTIQUES 1 2 −5 5 6 x −15 −5 ( x + 3) 6 x −15 −5 x −15 x −30 = + = = 2 2 2 3 ( x −3) ( x + 3) x −9 3 x −9 3 x −27 3 x −27 Avaluació 1. Contesta raonadament les qüestions següents: a) Si en restar dos polinomis de tercer grau obtenim un polinomi de segon grau, quina relació hi ha entre els coeficients de ( 7 x − 2 )( x − 1 )( x − 1 ) grau més gran dels dos polinomis? 2 ( 7 x − 2 )( x − 1 )( x − 1 ) b) 7 x2 − 2 ⋅ x − 22 x + 1 3 x − 3 49 x − 4 3 ( x + 1 )( x − 1 )( 7x − 2 )( 7 x + 2 ) x −1 3 ( x + 1 )( 7x + 2 ) x + oposats. 1 )( x − 1 )( 7x − 2 )( 7 x + 2) Els dos coeficients de grau més alt3 (són b) Un polinomi P(x) és divisible per x + 3. Quin és el valor de P(–3)? P(-3) = 0 c) El grau d’un polinomi P(x) és 3. Quin és el grau [P(x)]2? 37 c) 11 : x −1 21 x2 + 27 x + 6 22 − 4x x − 2x 1 11 x ( x − 2 ) 2x + 4 22 x ( x − 2 )( x + 2 ) x 3 2 El grau de [P(x)]2 és 6 = 3 · 2. d) Si x = 2 és una arrel de P(x), quin factor trobarem amb tota seguretat en la descomposició factorial de P(x)? El factor x → –2. 2.Donats els polinomis P(x) = 2x5 – 7x2 + 3x – 10, Q(x)= –x3 + 5x2 – 7 i R(x) = x + 2, calcula: a) P(x) – 2Q(x) P(x) – 2Q(x) = 2x5 + 2x3 - 17x2 + 3x + 4 b) Q(x)· R(x) jUnitat 3. Trigonometria Activitats 1. Dibuixa una circumferència de 2 cm de radi, uns eixos de coordenades amb origen en el centre de la circumferència, la bisectriu del primer i del tercer quadrants i la bisectriu del segon i del quart quadrants. Q(x)·R(x) = -x4 + 3x3 + 10x2 - 7x - 14 c) Q(x) : R(x) Per Ruffini: Q(x) = -x2 + 7x - 14; R = 21 3. Determina el valor de k per tal que P(x) = x4 – 2x3 + 7x + k sigui divisible per x + 1. Si P(x) és divisible per x + 1, llavors P(–1) = 0 i per tant 1 + 2 – 7 + k = 0 → k = 4. 4. Troba les arrels del polinomi P(x) = x4 – 6x3 + 10x2 + 6x – 11 i realitza’n La factorització. P(x) = (x – 1) (x + 1)(x2 – 6x + 11); arrels: 1,–1. 5.Factoritza els polinomis P(x) = 5x2 - 35x + 60 i Q(x) = 10x2 P(x) . – 160. Simplifica la fracció algèbrica Q(x) P(x) = 5x2 - 35x + 60 = 5(x2 - 7x + 12) = 5(x - 4)(x - 3) Q(x) = 10x2 – 160 = 10(x2 - 16) = 10(x + 4)(x - 4) P(x) 5(x – 4) (x – 3) x–3 = = Q(x) 10(x + 4) (x – 4) 2x + 8 6. Realitza les operacions següents: 2x – 5 5 a) 2 = x –9 3x – 9 Un cop hagis dibuixat aquesta circumferència, respon el següent: a) Indica la mesura de cadascun dels quatre angles que determinen aquestes bisectrius a partir de l’origen d’angles, el semieix positiu OX. Els angles que determinen aquestes bisectrius són: 45°, 135°, 225° i 315° b) Pren les mesures necessàries per calcular les raons trigonomètriques de cadascun d’aquests angles. Compara els resultats que obtinguis amb els que et dóna la calcula­ dora. Cal mesurar l’ordenada i l’abscissa de cadascun dels 4 punts que en la circumferència determinen els 4 angles. I aplicar les definicions de les tres raons trigonomètriques per a cada angle tot considerant la longitud del radi de la circumferència traçada. 3 38 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 2. Dibuixa un angle de 135°. Quin és el signe de cadascuna de les tres raons trigono­mètriques d’aquest angle? 7. Relaciona les raons trigonomètriques de l’angle de 210° amb les d’un angle del primer quadrant. Relacionem 210° amb 30°, ja que 210° 180° 30°: sin 210° sin 30°; cos 210° cos 30°; tg 210° tg 30° 8. Considera un angle de 850°. Redueix-lo a un angle més petit de 360° i relaciona’n les raons trigonomètriques amb les d’un angle del primer quadrant. L’equivalent a 850° en la circumferència unitat és 130°, ja que: 850° 2 360° 130° En el primer quadrant, el relacionem amb 50° 180° 130°: sin 135° 0; cos 135° 0; sin 130° sin 50°; cos 130° cos 50°; tg 135° 0 tg 130° tg 50° 3. Si tg 1,5, en quin quadrant pot estar l’angle ? Justifica’n la resposta. La tangent d’un angle és negativa en el segon i en el quart quadrants, ja que en aquests quadrants el sinus i el cosinus tenen signes diferents. 4. Explica per què la tangent d’un angle pot ser un nombre més gran que 1. sin Com que sabem que tg ———, sempre que sin cos , cos es verifica: tg 1. 5. En una circumferència trigonomètrica dibuixa tots els angles tals que sin 0,5. 9. Un angle tal que 0° 360° verifica: sin sin 30° i cos cos 30° a) A quin quadrant pertany l’angle ? Les condicions de l’enunciat indiquen que l’angle és del tercer quadrant. b) Quant mesura ? La seva mesura és: 180° 30° 210° 4 10. Sabent que cos — i 90° 180°, calcula sin 5 i tg . Quany mesura ? Utilitza la calculadora per comprovar que els resultats que has obtingut són, efectivament, correctes. Ens indiquen que l’angle és del segon quadrant. Hi apliquem les fórmules: sin2 cos2 1 → Hi ha dos angles que tenen sin 0,5. Són els angles: 30° i 150°. 6. Esbrina quin és el signe de cadascuna de les raons tri­go­no­ mètriques dels angles: 45°, 230°, 315°, 720° i 1 000° 45° 230° 315° 720° 1 000° Sinus 0 Cosinus Tangent 0 Cal esbrinar en quin quadrant es troba cada angle i obtenir: 1 000° 2 360° 280° 4 2 3 → sin2 — 1 → sin — 5 5 sin 3 4 3 tg ———— — : — — cos 5 5 4 Amb l’ajut de la calculadora trobem l’angle: 143,13° 11. Determina tots els angles compresos entre 0° i 360° la tangent dels quals sigui igual a 1. Els angles tals que tg 1 verifiquen sin cos . En el primer quadrant, 45°, i en el tercer, 225°. 12. Utilitza les relacions entre les raons trigonomètriques per determinar els angles positius més petits de 360° el sinus dels 1 quals sigui igual a —. 2 la MATEMÀTIQUES 1 1 sin —. L’angle és del tercer quadrant o del quart qua 2 drant. Les seves raons trigonomètriques es relacionen amb les 1 de l’angle 30°, ja que sin 30° —. 2 Els angles són: 180° 30° 210° i 360° 30° 330° 1 sin 210° sin 330° — 2 13. Si sin 0,6 i 90° 180°, calcula: sin (180° ), cos , tg , cos (180° ) i . L’angle és del segon quadrant: sin (180° ) sin 0,6 2 cos 1 sin2 1 0,62 0,64 → → cos 0,8 0,6 tg ——— 0,75 0,8 cos (180° ) cos 0,8 Fent la inversa del sinus 0,6 amb la calculadora obtenim: 36,87°, però sabem que és del segon quadrant; per tant, 180° 36,87° 143,13° 14. a)Dedueix una expressió que et permeti calcular cos 3 en funció de cos i sin . cos 3 cos ( 2 ) cos cos 2 sin sin 2 Substituïm els dobles: cos 3 cos (cos2 sin2 ) sin 2 sin cos cos3 3 sin2 cos b) Expressa sin 4 en funció de cos i sin . sin 4 sin 2 2 2 sin 2 cos 2 2 2 sin cos · (cos2 sin2 ) sin 4 4 sin cos3 4 sin3 cos 15. Sabent que cos 0,8, amb que veri­fica 0° 90° i sin 0,6, amb 90° 180°, calcula: 39 b) cos ( ) cos ( ) cos cos sin sin 0,8 (0,8) 0,6 0,6 1 c) sin ( ) sin ( ) sin cos cos sin 0,6 0,8 (0,8 ) 0,6 0,96 d ) cos ( ) cos ( ) cos cos sin sin (0,8 0,8) 0,6 0,6 0,28 e) sin 2 sin 2 2 sin cos 2 0,6 0,8 0,96 f ) cos 2 cos 2 cos2 sin2 (0,8)2 0,62 0,28 1 16. Utilitza sin 30° 5 — per calcular les raons trigonomètriques 2 de 15°. No utilitzis la calculadora i expressa els resultats en forma exacta. Calcula prèviament cos 30°. cos 30° √ 30° sin 15° sin —— 2 3 2 √3 √ 1 cos 30° ———––—— 2 √ √3 1 —— 2 √3 2 √ ————— ———— 2 2 30° cos 15° cos —— 2 √—4 ——2 1 1 — 2 √ 1 cos 30° —————— 2 2 √3 √ ————— 2 sin 15° tg 15° ———— cos 15° 2 √3 ————— 2 √3 √ a) sin ( ) sin ( ) sin · cos cos Cal calcular prèviament sin i cos : sin √10,82 0,6; com que és del primer quadrant, és sin 0,6. cos √1 0,62 0,8; com que és del segon quadrant, cos 0,8. Si substituïm: sin ( ) 0,6 (0,8) 0,8 0,6 0 17. Sense utilitzar la calculadora, determina les raons trigonomètriques dels angles de 75° i 15° a partir de les raons trigonomè­triques dels angles de 45° i 30°. Recorda que: √2 cos 45° sin 45° —— 2 1 √3 sin 30° — cos 30° —— 2 2 sin 75° sin (45° 30°) sin 45° cos 30° cos 45° sin 30° 40 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE √2 √3 √2 1 sin 75° —— —— —— — 2 2 2 2 √6 √2 ————— 4 cos 75° cos (45° 30°) cos 45° cos 30° sin 45° sin 30° √2 √3 √2 1 cos 75° —— —— —— — 2 2 2 2 √6 √2 ———— sin — 2 18. Si tg 2 i tg 3, calcula tg ( ), tg ( ), tg 2 i tg 2 . tg tg 23 tg ( ) —————— ———— 1 1 tg tg 1 2 3 √ √ √ 1 cos ————— 2 √ 4 1— 5 ———— 2 1 —— 10 4 1— 1 cos 5 ————— ———— cos — 2 2 2 √ 4 sin 75° √6 √2 tg 75° ———— ————— cos 75° √6 √2 tg — 2 √ 9 —— 10 1 √ 1 —— 9 3 21. Transforma en producte: a) 1 sin tg tg 23 1 tg ( ) —————— ———— —— 1 tg tg 1 23 7 Es verifica: 1 sin 90° i 1 cos 0°. Si hi apliquem les fórmules: 2 tg 22 4 4 tg 2 ————— ——— —— — 1 tg2 1 22 3 3 2 tg 23 6 3 tg 2 ————— ——— —— — 1 tg2 1 32 8 4 19. Demostra que sin 90° 1 utilitzant l’expressió que obtinguis de sin 3 a a partir de sin i cos i substituint després per 30°. sin 90° sin (3 30°) sin 3 sin ( 2 ) sin cos 2 cos sin 2 sin (cos2 sin2 ) cos 2 sin cos sin3 3 sin cos2 1 3 1 √3 2 sin 90° — 3 — —— 2 2 2 1 9 — — 1 8 8 √ 1 b) 1 cos 1 cos cos 0° cos 0 0 2 cos ——— cos ——— 2 cos2 — 2 2 2 c) 1 sin 1 sin sin 90° sin 90° 90° 2 sin ———— cos ———— 2 2 22. Expressa en forma de producte: 105° 15° 105° 15° 2 sin ————— cos ————— 2 2 2 sin 60° cos 45° L’angle és el del primer quadrant i — també. Per tant, les 2 tres raons trigonomètriques són positives: 3 ; cos 5 sin 105° sin 15° sin —, cos — i tg — 2 2 2 sin 90° 90° 2 cos ———— sin ———— 2 2 a) sin 105° sin 15° 3 20. Sabent que sin — i 0° 90°, troba: 5 1 sin sin 90° sin 35 45 2 b) sin 105° sin 15° sin 105° sin 15° 105° 15° 105° 15° 2 cos ————— sin ————— 2 2 2 cos 60° sin 45° MATEMÀTIQUES 1 23. Considera dos angles i tals que sin 5sin . Comprova que es verifica la igualtat: tg ——— sin sin 2 ——————— ————— sin sin tg ——— 2 Desenvolupem la segona part de la igualtat: 2 sin ——— cos ——— sin sin 2 2 ——————— ———————————––––– sin sin 2 cos ——— sin ——— 2 2 cos ——— sin ——— 2 2 —————— —————— sin ——— cos ——— 2 2 La segona fracció és la inversa de tg ———. 2 Per tant, es verifica: tg ——— sin sin 2 ——————— ————— sin sin tg ——— 2 24. Si coneixem els tres angles d’un triangle, està determinat? Per què? Com són entre ells els diferents triangles que pots dibuixar amb aquestes dades? Si es coneixen els tres angles d’un triangle, aquest no és únic. Es poden dibuixar molts triangles tots semblants entre ells. 25. Un dels costats d’un triangle és a i els altres dos són 2 a i 3 a. Està determinat el triangle? Intenta dibuixar-lo. 3a 2a a. La longitud del costat més gran és igual a la suma dels altres dos. Per poder determinar el triangle cal que aquesta longitud sigui més petita. 26. Dibuixa dos segments de longituds 3 i 5 cm i un angle de 60°. Construeix tots els triangles possibles en cadascuna d’aquestes situacions: a) Quan l’angle és el que determinen els dos costats. la 41 b) Quan no ho és. Raona cada construcció. 27. Resol el triangle en què coneixem a 4 cm, c 8 cm i B 75°. Hi apliquem la fórmula del teorema del cosinus: b2 a 2 c 2 2 ac cos B b2 42 82 2 4 8 cos 60° → b 6,93 cm Per calcular un angle del triangle cal aïllar el cosinus en la fórmula: 6,932 82 42 b2 c 2 a 2 cos A —————— ———————— 2bc 2 6,93 8 0,867 → A 30° B 180° 60° 30° 90° (aproximacions a les centèsimes). 28. Els costats d’un triangle mesuren a 24 cm, b 30 cm i c 45 cm. Està determinat el triangle? En cas afirmatiu, calcula’n els tres angles. El triangle està determinat, ja que: 45 24 30 Per calcular els angles del triangle, hi apliquem dues vegades la fórmula anterior: 302 452 242 b2 c 2 a 2 cos A —————— ———————— 2bc 2 30 45 0,87 → A 29,54° c 2 a 2 b2 452 242 302 cos B —————— ———————— 2ca 2 45 24 0,79 → B 38,05° C 180° (29,54° 38,05°) 112,41° 29. Realitzant el mínim nombre de càlculs possible, classifica aquests triangles segons els seus angles: a) a 8 cm, b 7 cm i c 6 cm 82 72 62 → El triangle és acutangle. b) a 5 cm, b 13 cm i c 12 cm 132 52 122 → El triangle és rectangle. Cal comparar el quadrat del costat més llarg amb la suma dels quadrats dels altres dos. c) a 20 cm, b 10 cm i c 6 cm No formen triangle, ja que 20 10 6. 42 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 30. Construeix un triangle en què B 56°, C 80° i b 12 cm. Resol aquest triangle calculant-ne les mesures dels altres elements. Com que sin 90° 1, aleshores: 6 a ———— 10,46 cm sin 35° c a sin 55° 10,46 0,82 8,58 cm Són les mateixes expressions que les dels triangles rectangles. 33. Resol el triangle en què a 24 cm, b 15 cm i A 125°. Calcula’n l’àrea. 24 15 15 sin 125° ——— ——— → sin B —————— sin 125° sin B 24 0,51 → B 30,8° Els elements que hi falten són A 180° (56° 80°) 44° i els costats a i c que surten d’aplicar-hi el teorema del sinus: a 12 c → ———— ———— ———— sin 44° sin 56° sin 80° 12 sin 44° a ————— 10,05 cm sin 56° 12 sin 80° c ————— 14,25 cm sin 56° 5 8 c ———— ——— ——— → sin 35,5° sin B sin C 8 sin 35,5° → sin B ————— 0,93 → B 68,3° 5 L’angle C 180° (35,5° 68,30°) 76,2° 5 c ———— ———— → sin 35,5° sin 76,2° 5 sin 76,2° → c —————— 8,36 cm sin 35,5° S’hi pot aplicar també el teorema del cosinus, però els càlculs són més llargs. 32. Un dels angles aguts d’un triangle rec­tangle mesura 35° i un dels catets, 6 cm. Utilitza el teorema del sinus per resoldre aquest triangle i comprova que obtens els mateixos resultats que amb el procediment que coneixes de l’etapa anterior. A 90°, b 6 cm, B 35°, C 55° a b c ——— ——— ——— → sin A sin B sin C 31. Utilitza el teorema del sinus per resoldre un triangle en què a 5 cm, b 8 cm i A 35,5°. Pots resoldre’l mitjantçant el teorema del cosinus? C 180° (125° 30,8°) 24,2° a 6 c ———— ———— ———— sin 90° sin 35° sin 55° 24 c ————— ————— → sin 125° sin 24,2° 24 sin 24,2° → c ——————— 12 cm sin 125° Per a l’àrea: 1 S — b c sin A 2 1 — 15 12 sin 125° 73,8 cm2 2 34. Dos motoristes surten d’un encreuament de dues carreteres sense corbes i que formen un angle de 55°. Els motoristes es desplacen amb velocitats constants de 90 i 120 km/h, respectivament. Quina dis­tància els separarà després de tres minuts? Cal calcular les distàncies recorregudes per cada motorista en 3 minuts. Aquestes distàncies són dos costats d’un triangle en el qual l’angle comprès és de 55° C. km 1h a 90 —— ——— 3 min 4,5 km h 60 min km 1h b 120 —— ——— 3 min 6 km h 60 min c 2 a2 b 2 2 a b cos C 4,52 62 2 4,5 6 cos 55° c 5,03 km 35. Una sequoia de Califòrnia es veu des d’un cert punt sota un angle de 36° i, si ens hi acostem 35 m, es veu sota un angle de 44°. Calcula l’alçària de l’arbre. la MATEMÀTIQUES 1 a 35 ———— ——— → a 147,82 m sin 36° sin 8° h — sin 44° → a → h a sin 44° 102,68 m La sequoia fa 102,68 m. 36. Calcula l’àrea d’un polígon regular de 15 costats si cada costat mesura 2 cm. Descomponem el polígon en 15 triangles isòsceles iguals. En 360° cada triangle, l’angle desigual fa ——— 24°, i cadascun dels 15 180° 24° altres dos fa —————— 78°. 2 43 b 13,17 cm P = 2a + 2b = 36,62 cm 38.Un avió vola entre dues ciutats A i B que disten l’una de l’altra 800 km. Les visuals de l’avió a les ciutats A i B formen amb l’horitzontal angles de 29° i 43°, respectivament. Calcula: a) L’altitud a què vola l’avió. b)La distància a què es troba de cadascuna de les dues ciutats. C = 180º - (29º + 43º) = 108º a b = sin 29º sin 43º 3 4 2 b ———— ———— → sin 24° sin 78° a= → b 4,8 cm 2 4,8 sin 78° A ——————— 4,7 cm2 2 Àrea del polígon: 15 4,7 70,5 cm2 37. Les diagonals d’un paral.lelogram mesuren 16 cm i 12 cm, respectivament. Un dels angles que determinen és de 40°. Calcula la longitud dels costats del paral.lelogram i el seu perímetre. Recorda que les diagonals dels paral.lelograms es tallen en el seu punt mitjà. 800 sin 29º sin 108º 3 3 4 4 = 800 sin 108º 3 4 →b= 800 sin 43º sin 108º 3 4 3 4 = 573, 7 km, = 407, 8 km h = b sin 49º = a sin 43º = 278,1 km 39.Des d’un cert punt s’observa la part més alta del parallamps d’una casa amb un angle de 30°. Si ens allunyem de la vertical del parallamps fins a una distància doble de l’anterior, amb quin angle el veurem? a2 82 62 2 8 6 cos 40° b 2 82 62 2 8 6 cos 140° a 5,14 cm 1 tg 30 4 = tg 30º = h i tg α = h → tg 30º = 2tg α → tg α = 2 d 2d = 0,29 → α = 16,1º 44 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE Activitats finals cos () cos 0,8 sin () sin 0,6 1. Un angle agut és tal que tg 3. Re­presenta’l a la circumferència unitat i troba sin i cos sense utilitzar la 6 calculadora. tg () tg 0,75 4. Quins angles del segon, tercer i quart quadrant tenen les raons trigonomètriques relacionades amb les de l’angle 35°? Escriu totes les relacions possibles entre les raons trigonomètriques de cadascun d’aquests angles i les de 35°. Segon quadrant: 180° 35° 145° sin 145° sin 35°; cos 145° cos 35°; tg 145° tg 35° Tercer quadrant: 180° 35° 215° sin 215° sin 35°; cos 215° cos 35°; tg 215° tg 35° sin tg 3 ——— → sin 3 cos cos Quart quadrant: 360° 35° 325° sin 325° sin 35°; cos 325° cos 35°; tg 325° tg 35° sin cos 1 → 2 2 → (3 cos ) cos 1 2 2 9 cos2 cos2 1 → 1 → 10 cos2 1 → cos —— √10 5. Calcula les raons trigonomètriques de l’angle de 15° en funció de les de l’angle de 30°. Després, comprova amb la calculadora que els resultats que has obtingut són correctes. 1 3 sin 3 ——— ——— √10 √10 2. Representa tots els angles positius més petits de 360° tals que sin 0,5. 30° 15° —— 2 Utilitzem les fórmules de l’angle unitat: sin 15° √ √ 1 cos 30° —————— 0,259 2 cos 15° 1 cos 30° —————— 0,966 2 0,259 tg 15° ——— 0,268. Cal fer-ne la comprovació amb la 0,966 calculadora. Es representa y 0,5 en el gràfic de la circumferència unitat. 3. Si 90° 180° i cos 0,8, calcula: sin , tg , cos (), sin () i tg (). L’angle és del segon quadrant: sin 0 i tg 0. cos 0,8 → sin2 1 cos2 1 (0,8) 0,36 → sin 0,6 2 0,6 tg ——— 0,75 0,8 6. Considera un angle del tercer quadrant tal que tg 2. Indica a quin quadrant es troben els angles 2 i —. Calcula 2 cos , sin 2 i cos —. 2 tg 2 i del tercer quadrant indica que 225° 270°, ja que tg 225° 1. N’hi ha prou de fer operacions en la desigualtat: 450° 2 540°. Si restem 360°: 90° 2 180° → segon quadrant 112,5° — 135° → — és del segon quadrant. 2 2 MATEMÀTIQUES 1 la 45 10. A un fuster li han encarregat un tauler triangular. Dos dels costats d’aquest triangle han de mesurar 1 m i 1,75 m i l’angle oposat al primer costat, 30°. Té dades suficients el fuster per fer el tauler? Raona la resposta. sin tg 2 ——— → sin 2 cos i cos sin2 cos2 1 → (2 cos )2 cos2 1 1 2 5 cos2 1 → cos ——; sin —— → √5 √5 → és del tercer quadrant. 2 1 4 sin 2 2 sin cos 2 —— —— —— 5 √5 √5 cos — 2 √ 1 cos ————— 0,53 2 7. Demostra que sin 40° sin 20° cos 10°, aplicant la corresponent fórmula de transformació de suma en producte. Hi apliquem: AB AB sin A sin B 2 sin ——— cos ——— 2 2 Amb les dades del problema no es pot fer un únic tauler, tal com es pot comprovar en la figura. 11. El radar d’un vaixell detecta un objecte en direcció est a 8 km de distància i un altre objecte en direcció nord-est a 6 km. Quina distància separa els dos objectes? Les dues direccions formen un angle de 45°. Cal calcular el costat d’un triangle oposat a l’angle de 45°. Sabem que els altres dos són 8 km i 6 km. sin 40° sin 20° 2 sin 30° cos 10° 1 2 — cos 10° cos 10° 2 a 2 82 62 2 8 6 cos 45° → a 5,67 km 8. Demostra que la constant de proporcionalitat del teorema del sinus és 2 R, essent R el radi de la circumferència circumscrita al triangle. Per fer-ho, inscriu el triangle en una circumferència i compara’n els angles inscrits amb els d’un triangle en què un costat sigui un diàmetre de la circumferència. 12. Per fixar un pal a terra se’l subjecta mitjançant dos cables per dos punts separats 20 m. Els cables formen amb el terra angles de 75° i 60°. Determina l’altura del pal. El triangle ABC és rectangle perquè AB és un diàmetre. A A perquè comprèn el mateix arc. a a sin A sin A — → ——— d 2 R d sin A 9. Mirant des d’un cert punt, veiem el terrat d’un gratacels sota un angle de 60°. Amb quin angle el veuríem des d’una distància doble de l’anterior? h Si h és l’altura i d la distància: tg 60° — d h h d ——— i tg —— → tg 60° 2d h h h → 2 d —— → 2 ——— —— tg tg 60° tg a 20 ——— ——— → a 27,32 m sin 75° sin 45° h sin 60° — → a → h a sin 60° 23,66 m L’altura del pal és: 23,66 m. 13. Un jugador de golf colpeja la pilota des de la posició de sortida per tal d’introduir-la al forat, que es troba a 350 m. El cop no ha estat gaire precís i la pilota, que s’ha desviat 20° de la direcció correcta, només ha assolit una distància de 180 m. A quina distància del forat s’ha aturat la pilota? 2 tg tg 60° → tg 60° → tg ——— → 40,89° 2 d 2 1802 3502 2 180 350 cos 20° d 191,05 m 46 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 14. Construeix un triangle de costats 10, 35 i 39 cm. Quant mesuren els seus angles? 17. Construeix el triangle ABC tal que B 40°, C 63° i a 12 cm. Resol el triangle i calcula’n l’àrea. Considerem: A 180° (40° 63°) 77° a 10 cm, b 35 cm i c 39 cm. 102 352 392 2 35 39 cos A → → A 14,25° Podem repetir el teorema del cosinus o aplicar el del sinus per trobar l’angle B: 35 10 ——— ————— → B 59,49° sin B sin 14,25° 12 b c ——— ——— ——— → sin 77° sin 40° sin 63° 12 sin 40° → b ————— 7,92 cm sin 77° 12 sin 63° c ————— 10,97 cm sin 77° C 180° (14,25° 59,49°) 106,26° 15. Dues persones, separades una distància de 5 km, observen alhora un avió sota angles de 80° i 65°, respectivament. Suposant que les persones i l’avió es troben en el mateix pla vertical, calcula l’altura a què vola l’avió. La figura seria com la de l’exercici 12. El tercer angle és 35°: a 5 ———— ———— → a 8,58 km sin 80° sin 35° 18. Explica el procediment que seguiries per calcular la longitud d’un pont que cal construir per salvar un barranc. h sin 65° — → a → h a sin 65° 7,78 km 16. Dibuixa el triangle ABC en què a 12 cm, b 15 cm i A 48°. Resol aquest triangle. Des dels punts B i C qualssevol de la figura es mesuren els angles B i C. A partir de la longitud a es pot mesurar l’amplada que cal que tingui el pont un cop resolt el triangle de la figura. 19. Una parcel.la de 6 ha té forma de trapezi rectangle. Un dels costats paral.lels del trapezi mesura 500 m i l’angle adjacent, 60°. Calcula quants metres de tanca es necessiten per cercar la parcel.la. a b c ——— ——— ——— → sin A sin B sin C 12 15 15 sin 48° → ——— ——— → sin B ————— sin 48° sin B 12 B 68,27° C 180° (68,27° 48°) 63,73° 12 c ———— ————— → sin 48° sin 63,73° 12 sin 63,73° → c ——————— 14,48 cm sin 48° Amb les incògnites de la figura es poden plantejar les equacions següents: Àrea: 6 ha 60 000 m2 → (500 z) y → —————— 60 000 2 y — sin 60° 0,87 k 500 z 1 ———— cos 60° — k 2 6 la MATEMÀTIQUES 1 En resoldre el sistema s’obté: k 149,78 m y 129,71 m z 425,11 m cos B 5 47 x 1 5 → B 570,53 3x 3 C 5 90º 2 B 5 90º 2 70,53º 5 19,47º Càlcul del catet c: Apliquem el teorema de Pitàgores: 2 2 2 2 =b2b+2 +c2c→ →(3x) 3 x2 ) →9x92x5 =x2x 2+ +c2c 2 5=x2x+2 +c2c→ a2 a5 ( 2 Cal calcular el perímetre per tenir els metres de tanca: P k y z 500 1204,6 m 20. Es vol construir un túnel que travessi una muntanya en línia recta. Per tal de determinar-ne la longitud, es considera un punt A d’una de les boques del túnel i un altre punt B de l’altra boca, i es mesura la distància de cadascun d’aquests punts a un altre punt O. S’obtenen 315 m i 375 m, respectivament. Si les direccions OA i OB formen un angle de 46,9°, quina és la longitud del túnel? L’amplada del túnel és el costat oposat a l’angle 46,9° i les longituds donades corresponen als altres dos costats: a 2 3152 3752 2 315 375 cos 46,9° a 280,05 m 21. Una torre de telecomunicacions es troba situada a la part més alta d’una muntanya. Situats en una plataforma, l’extrem de l’antena es veu sota un angle de 60°. Si ens apropem 13 m, l’extrem de l’antena es veu sota un angle de 68° i, des d’aquest mateix punt, es veu la base de la torre sota un angle de 57°. Amb aquestes dades, calcula l’alçada de la torre. 2 2 2 8 x22 → →cc 5 = 8 x2 = 2 2x c2 c5 =9x92x2−xx2 5= 8x Relació entre la hipotenusa i l’altre catet: h 3x 3 3 2 3 2 = = = ⋅ = c 2 2x 2 2 2 2 2 4 2.Sabem que cos α = a) sin α 5 i 0° < α < 90°. Calcula el valor de: 13 5 2 12 sin2 α + = 1 → sin α = 13 13 b) cos (180° α) cos (180º −α ) − cos α − 5 13 c) tg (α) sinα 12 tg (−α ) = −tg α = − =− cos α 5 d) cos (180° + α) 5 cos (180º +α ) − cos α − 13 e) sin (360° α) 12 sin (360º −α ) = − sinα = − 13 3. Les longituds dels costats d’un triangle són de 8 cm, 11 cm i 13 cm. Calcula el valor del sinus de l’angle més petit d’aquest triangle. Anomenem: a = 8 cm, b = 11 cm, c = 13 cm Apliquem el teorema del cosinus per trobar l’angle A: a2 5 b2 1 c2 22bc·cos A 82 5 112 1 132 22·11·13·cos A 13 a ——— ——— → a 80,89 m sin 8° sin 60° h 80,89 ——— ———— → h 28,34 m sin 11° sin 147° 64 5 290 2 286·cos A L’altura de la torre és de 28,34 m. 290 2 64 226 cos A 5 —————— ——— 0,79020979 → A 37,8º 286 286 Avaluació Trobem l’angle B amb el teorema del sinus: 1. La longitud de la hipotenusa d’un triangle rectangle és el triple que la d’un dels dos catets. Determina: a) La mesura dels angles d'aquest triangle. b) la raó entre la hipotenusa i l'altre catet. Angles: A 5 90º(angle recte). B (angle agut entre els costats 3x i x): a b ——— ——— sin A sin B 8 11 11· sin 37,8º ————— ——— → sin B —————— 8 sin 37,8º sin B 11·0,612907 6,74197759 —————— —————— 0,842747198 → B 57,4º 8 8 Deduïm que l’angle més petit és l’ A i llavors sin A 0,612907 48 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 1 4. Si a — i l’angle pertany al primer quadrant, expressa de 3 manera exacta el valor de: a) tg a Apliquem la igualtat fonamental de la trigonometria: 2 2 1 1 sin2 α + cos2 α = 1 → + cos2 α = 1 → cos2 α = 1 − 3 3 1 8 8 8 cos α = 1 − = → cos α = + =+ = 9 9 9 3 2 2 (primer quadrant) =+ 3 2 1 sin α 1 1 2 2 tg tg α = = 3 = = ⋅ = cos α 2 2 2 2 2 2 2 4 3 3 6. Dos angles α i β són complementaris. Si sin α 5 , calcula 5 el valor de: a) sin β sin = cos = sin2 + cos2 = 1 → sin = cos = 5. D’un triangle sabem que la suma de les longituds de dos costats a i b és d’11 m, que l’angle C oposat al tercer costat val 30º i que l’area és de 7 m2. Calculeu: a) La longitud de cadascum dels costats del triangle. Tenim que a 1 b 5 11. Si designem per h l’altura sobre el costat a es compleix: b 11 − a h = b ⋅ sin30º = = 2 2 de forma que la condició sobre l’àrea del triangle, que es posarà inicialment com a⋅h =7 2 dóna finalment a2 − 11a + 28 = 0 que té com a solucions a 5 7 i b 5 4. Totes dues solucions són equivalents, intercanviant els papers de a i b, de forma que triarem a 5 7 i b 5 4. El tercer costat c es pot obtenir aplicant el teorema del cosinus: c 2 = a2 + b2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos 30º ⇔ c = 65 − 28 3 4,062336443m b) La mesura dels dos angles desconeguts del t. Si es designa per α l’angle entre els costats b i c el teorema del cosinus també dóna: b2 2 c2 2 a2 cos 5 , 20,5076334412, 2·b·c de forma que a . 120,51º. L’angle que resta serà b 5 180º 2 30º 2 a 29,49º 4 5 b) sin (α + β ) sin (α + β) 1, ja que α + β 90º c) cos (α + β) cos (α + β) cos α cos β –sin α sin β 90º d) tg 2α tg 2α b) sin (2a) Apliquem la fórmula d’addició de l’angle doble: 1 2 2 4 2 sin(2α) = 2sin α ⋅ cos α = 2 ⋅ ⋅ = 3 3 9 3 5 3 24 2tg α sin α → tg 2α , amb tg α 2 4 7 1 tg α cos α j Unitat 4. Nombres complexos Activitats 1. Identifica la part real i la part imaginària de cadascun dels nombres complexos següents: 3 a) — √ 3i 7 3 a —, b √ 3 7 b) 5 i a 5, b 1 2 c) — 5 2 a —, b 0 5 d )3 i a 0, b 3 e) 0,2 i a 0,2, b 1 f)1 i a 1, b 1 2. Quin ha de ser el valor de p perquè el nombre complex 1 — (p 2) i sigui un nombre real? 5 Cal que p 2 0 → p 2 la MATEMÀTIQUES 1 3. Quin valor té r si sabem que el nombre complex 1 (r 3) — i és imaginari pur? 7 Cal que r 3 0 → r 3 4. Escriu les arrels quadrades de cadascun d’aquests nombres: a) 81 −81 ± 9i 9 b) —— 25 √ 9 3 — — i 25 5 c) 2 √2 √2i d ) 25 −25 = ±5i 1 e) — 9 √ 1 1 — — i 3 9 49 7. Representa els afixos dels nombres complexos: 3 z 1 8, z2 — i, z3 4 i 2 3 z1 és el punt (8, 0); z2 és el punt —, 1 2 i z3 és el punt (0, 4), representats en una referència cartesiana. 8. Escriu tres nombres complexos que tinguin els seus afixos a la bisectriu del primer i el tercer quadrants. Quina relació hi ha entre la part real i la part imaginària de cadascun d’ells? Resposta oberta. Per exemple: z1 2 2 i; z2 1 i, z3 √ 2 √ 2 i. Tots aquests nombres tenen la part real igual a la part imaginària. 9. És possible trobar un valor de k perquè els nombres z 1 3 2 i i z 2 2 (1 k) i siguin iguals? Raona la resposta. No és possible perquè tenen la part real diferent: 3 2. 10. Representa els afixos dels nombres complexos següents: 2 7 z1 1 i, z 2 —— — i, z 3 2 i, 3 3 z4 2 3 i, z5 10 5. Resol, en el conjunt dels nombres complexos, les equacions següents: a) x 2 49 0 —3 , —3 2 x 2 49 0 → x 2 49 → 7 → x 7i b) 16 x 2 25 0 16 x 2 25 0 → 25 5 → x 2 —— → x — i 16 4 c) x 2 x 1 0 x2 + x + 1 = 0 → −1 ± 1 − 4 →x= = 2 1 3 =− ± i 2 2 d ) x 18 0 2 x 2 18 0 → x 2 18 → → x 3 √ 2 i 6. Compara les dues solucions obtingudes per a cadascuna de les equacions de l’exercici anterior. Quina o quines relacions hi trobes? En els apartats a), b) i d) les dues solucions són dos nombres imaginaris purs oposats. En l’apartat c) les dues solucions tenen oposada la part imaginària. 11. Escriu els nombres complexos z 1 5 i z2 1 i en forma polar i en forma trigonomètrica. z1 5 5180° 5 (cos 180° i sin 180°) z2 1 i √ 2225° √ 2 (cos 225° i sin 225°) −1 = 1 en el tercer ja que r = (−1)2 + (−1)2 = 2 i tg α = −1 quadrant. 12. Troba el mòdul i l’argument del nombre complex z 2 (cos 225° i sin 225°). Expressa’l en forma binòmica. z 2 (cos 225° i sin 225°) 2225° √2 , sin 225° —— √2 cos 225° —— 2 2 √2 √2 z 2 —— i —— √2 √2 i 2 2 50 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 13. Comprova que les expressions binòmiques dels nombres 2 180°, 2180° i 2 540° coincideixen. Raona per què els tres nombres complexos són iguals. 2180° 2 2540° 2180° 2 (540° 360° 180°) Els tres nombres tenen el mateix mòdul i el mateix argument principal. 14. Donats els nombres complexos: 4 z 2 i; z2 3 i i z 3 — 3 i 1 3 comprova que es verifiquen les propietats associativa de la suma i associativa de la multiplicació. Propietat associativa de la suma: igual 4 [(2 i) (3 i)] — 3 i 3 4 (3 6 i) — 3 i 22 i 3 2 i (1 4 i) 1 a) —————— ——— 1 2 4 i 2i 15. Calcula: (2 i) (9 4 i) 22 i 3 5 i 4 3 i ————— ————— 4 3i 4 3i 3 29i 3 29 ————— —— —— i 25 25 25 3i 4 2i ———— ————— 4 2i 4 2i 10 10 i 1 1 ————— — — i 20 2 2 3 29 1 1 —— i — — i —— 25 25 2 2 31 33 —— —— i 50 50 1 3 i 3i c) ———— ———— 1 1 4 2i — —i 2 2 4 (2 i) 3 i — 3 i 3 Propietat associativa de la multiplicació: 1 (2 3 i) (5 2 i) ———————————— 4 3i 4 [(2 i) (3 i)] — 3 i 3 4 2 (2 4 i) — 3 i — i 3 3 2 (2 3 i) (5 2 i) 3i b) ————————— ———— 4 3i 4 2i igual 6 69 47 —— —— i 85 85 4 2 (2 i) — — i 3 3 7 —— i — — i —— 17 17 5 5 2180° 2180° 2 4 (2 i) (3 i) — 3 i 3 2 i (1 4 i) 1 2i —————— ———— 1 2 4i 1 4 i (1 2 i) (1 4 i) 7 6 ————————— —— —— i (1 4 i) (1 4 i) 17 17 1 2i 2i 2 1 ——— ——— ——— — — i 2i 2i 5 5 5 1 1 — —i 1 3i 2 2 ————— —————— 1 1 1 1 — —i — —i 2 2 2 2 2i 2i ————— ———— 4 2 i 1 1 1 —— — 4 4 2 3i 4 2i ————— ————— 4 2i 4 2i 10 10 i 1 1 —————— — — i 20 2 2 1 1 7 3 (4 2 i) — — i — — i 2 2 2 2 2 ri 16. Se sap que el quocient ———— és un nombre real. Troba 1i el valor de r. Quin hauria de ser el valor de r perquè aquest quocient fos imaginari pur? la MATEMÀTIQUES 1 2 ri 1 i 2r 2r ———— ———— ———— ———— i 1i 1i 2 2 c) (2 i)6 (2 i)6 ((2 i)2)3 (3 4 i)3 (3 4 i)2 (3 4 i) Per tal que sigui un nombre real: 2r ———— 0 → r 2 2 Per tal que sigui imaginari pur: 2r ——— 0 → r 2 2 17. Efectua: a) (2 i)5 (2 i) 32 i 32 i 5 5 b) (4 i)3 (4 i)3 64 i 2 c) — i 5 4 16 —25 i —— 625 4 i d) — 2 10 —2i 10 i2 1 i 10 —— —— ——— 10 2 210 1 024 e) ( √2 i)2 ( √2 i)2 2 f ) (3 i 2)2 (3 i 2)2 9 i 4 9 g) (√3i )6 51 (7 24i) (3 4 i) 117 44i 4 1 d) — 2 i 2 1 — 2i 2 —12 2 i 15 161 —— 2 i —— 15 i 4 16 4 2 2 2 19. Calcula (1 2 i)4. Recorda que com que es tracta d’un 1 exponent negatiu, z4 —. z4 1 1 (1 2 i)4 ————— —————— (1 2 i)4 ((1 2 i)2)2 1 1 ————— ————— (3 4 i)2 7 24i 1 7 24i ————— ————— 7 24i 7 24i 7 24i 7 24 ————— —— —— i 625 625 625 20. Comprova mitjançant l’exemple 290° 1180° que no és certa la igualtat r s (r s) . 290° 1180° 2 i 1 1 2 i ⇒ 213 5 r √5 3 tg 2 90° 180° 270° → tg 270° no existeix. 21. Calcula: (√ 3i )6 (3 i)3 27i h) i 225 i 225 i, ja que el residu de dividir 225 entre 4 és 1. 18. Troba el nombre complex que resulta de les potències següents: a) (1 2 i) 5 (1 2 i)5 (1 2 i)2 (1 2 i)2 (1 2 i) (3 4 i)2 (1 2 i) (7 24 i ) (1 2 i) 41 38 i b) (1 i) 7 (1 i)7 ((1 i)2)3 (1 i) (2 i)3 (1 i) 8 i (1 i) 8 8 i 1 1 √3 — √3 i —— — i —— 2 2 2 2 Efectua l’operació amb les expressions bi­nòmiques i amb les polars. Compara’n els resultats. En forma binòmica: 1 1 √3 — √3 —— i —— — i 2 2 2 2 3 1 — — 1 4 4 En forma polar: √ 3 1 1 √3 — —— — i 130°; —— i 130° ⇒ 2 2 2 2 ⇒ 130° 130° 10° 1 Evidentment els dos resultats coincideixen. 52 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 1i 22. Troba el quocient ———— utilitzant les expressions polars 1 i dels dos nombres complexos. 1 i √2 45° 315° , 1 i √2 135° 1i ———— √2 15° : √2 135° 1180° 1 1 i 23. Calcula (1 i)5 de dues maneres diferents. Comprova que n’obtens el mateix resultat. Si passem de la forma binòmica a la forma polar tenim: (1 i)5 (√2 315°)5 4 √2 1 575° 4 √2 135° 28. Una de les arrels cúbiques d’un nombre complex és 160°. Calcula aquest nombre complex i les altres dues arrels. 3 √ z 160° → (160°)3 z 1180° 3 1180º ⇒ mòdul : 1. Els arg uments són: 180° k 360 ———————, k 0, k 1 i k 2 3 Les arrels són: 160° (ja la teníem); 1180°; 1300° 29. Resol les equacions: a) x 4 16 0 x 4 16 0 → Per la potència del binomi: 4 5 5 5 (1 i)5 i i 2 0 1 2 5 5 5 i 3 i 4 i 5 3 4 5 1 5 i 10 10 i 5 i 4 mòdul √16 2 Arguments: 180° k 360° ————————, k 0, k 1, 4 k 2 i k 3 → 45°, 135°, 225°, 315°. 4 4 i 4 √2 135° 24. Comprova que (160°)6 1. L’equació té 4 arrels complexes: 245°, 2135°, 2225° i 2315° (160°)6 1360° 10° 1 25. Expressa en forma binòmica el resultat de (130°)15. (130°)15 1450° 190° i 26. Expressa en forma binòmica les arrels quartes de z 4. 4 4 4 √4 √40° ⇒ mòdul √4 √2. Els arguments surten d’aplicar 0° k 360° ——————— donant a k els valors 0, 1, 2, i 3. Són: 0°, 90°, 4 180° i 270°. b) x 6 i 6 x6 i ⇒ x √ i mòdul: √ 190° → 6 √11 Arguments: 90° k 360° ——————— → k 0, k 1, 6 k 2, k 3, k 4 i k 5 115°, 175°, 1135°, 1195°, 1255°, 1315°. √ 20° √ 2; √ 290° √ 2i; √ 2180° √ 2; √ 2270° √ 2i 27. Troba les arrels vuitenes d’1. A continuació, comprova que el producte de dues qualssevol d’aquestes arrels és també una arrel. 8 6 Les sis arrels: En forma binòmica: 8 4 → x √16 √16180° → 8 √ 1 √10° ⇒ mòdul: √ 1 1. Per trobar els arguments proce 0° k 360° dim com en l’exercici anterior: ——————— amb k 0, k 1, 8 k 2, k 3, k 4, k 5, k 6 i k 7. Les arrels són: 10°, 145°, 190°, 1135°, 1180°, 1225°, 1270°, 1315°. Multiplicant dues arrels qualssevol se n’obté una de mòdul 1 i d’argument un múltiple de 45°. c) x 3 8 i 3 x3 8i ⇒ x √8i mòdul: 3 √ 8270° → 3 √82 Arguments: 270° k 360° ————————, k 0, k 1 i k 2 → 3 → 90°, 210°, 330° Les tres arrels són: 290°, 2210°, 2330° MATEMÀTIQUES 1 la 53 Activitats finals 1. Resol les equacions següents en el conjunt dels nombres complexos: a) x 2 2 x 2 0 2 √48 x 2 x 2 0 → x —————— 2 2 √4 2 2i x1 1 i ————— ———— x2 1 i 2 2 2 x − 3 x + 6 = 0 → x = 3 ± 9 − 24 = 2 3 √15 x1 — —— i 2 2 3 √15 x2 — —— i 2 2 z1 z2 (1 2 i) (1 2 i) 1 4 i2 1 4 5 5. Donats el nombres complexos z1 1 3 i, z2 2 i i z 3 2 i, comprova que es verifica la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma. z1 (z2 z3) (1 3 i) (2 i 2 i) x 25 0 → x 25 → (1 3 i) 2 i (5 5 i) (6 2 i) 1 7i S’obté el mateix resultat. 6. Calcula en forma binòmica: 2 → x √25 5 i 2. Donats els nombres complexos z 1 2 (3 p) i i z2 5 4 i, troba el valor de p sabent que z1 z2 és un nombre real. z1 z2 2 (3 p) i (5 4 i) 3 (7 p) i Si ha de ser un nombre real, 7 p 0 → p 7. 3. Calcula: 1 a) — 3 i (3 i) (2 5 i) 3 1 — 3 i (3 i) (2 5 i) 3 1 — 3 2 (3 1 5) i 3 (z1 z2) (z1 z3) (1 3 i) (2 i) (2 i)2 4 4 i i 2 3 4 i 2 (1 3 i) (2 i) 1 7i a) (2 i)2 c) x 2 25 0 z1 z2 (1 2 i) (1 2 i) 2 3 √15 3 √15i ————— ———— 2 2 Siguin, per exemple, z1 1 2 i; z2 1 2 i. 2 b) x 2 3 x 6 0 4. Comprova amb un exemple que quan se suma i quan es multiplica un nombre complex pel seu conjugat s’obté un nombre real en cada cas. 2 — i 3 b) 10 i [(1 i) (4 3i)] 10 i [(1 i) (4 3i)] 10 i (3 4 i) 3 6 i b) (2 3 i)2 (2 3 i)2 4 12 i 9 i 2 5 12 i c) (1 i)2 (1 i)2 1 2 i i 2 2 i 7. Efectua les operacions del numerador i del denominador en les expressions fraccionàries següents i després, calcula’n el quocient: (4 7 i) (1 i) (2 i) a) —————————————— (5 i)2 (4 7 i) (1 i) (2 i) ————————————— (5 i)2 (4 7i) (1 3 i) 5 4i —————————— ————— 2 24 10 i 25 10 i i Calculem el quocient: (5 4 i) (24 10 i) 160 46 i ——————————— ————— (24 10 i) (24 10 i) 676 40 23 —— —— i 169 338 10 [(1 4 i) (2 3 i)] b) ————————————— 3 i (2 √ 3 i) (2 √ 3 i) 54 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 10 [(1 4 i) (2 3 i )] ————————————— 3i (2 √3i) (2 √ 3i) 11 i 11 i —————— ——— 3 i (4 3) 7 3i 11. Donat el nombre complex 160°, escriu-lo en forma binòmica. Troba’n l’oposat, el con­jugat i l’invers. 1 160° a b i; a cos 60° 1 —; 2 1 √3 √3 b sin 60° 1 ——; z — —— i 2 2 2 Calculem el quocient: L’oposat: (11 i) (7 3 i) 80 26 i ————————— —————— (7 3 i) (7 3 i) 49 9 40 13 —— ——i 29 29 z z 8. Demostra que si z és un nombre complex, el quocient ——— z z en què z és el conjugat de z, és sempre un nombre complex imaginari pur. Sigui z a b i; z a b i: z z (a b i) (a b i) ——— —————————— zz (a b i) (a b i) 2b b —— i — i 2a a Efectivament, és un nombre imaginari pur. 9. Escriu en forma polar els nombres complexos que tenen per afixos els vèrtexs de l’hexàgon regular de la figura 4.6. 1 √3 z — —— i 2 2 El conjugat: 1 √3 z — —— i 2 2 L’invers: 1 1 — —————— z 1 √3 — —— i 2 2 1 √3 — —— i 2 2 —————————————— 1 1 √3 √3 — —— i — —— i 2 2 2 2 1 √3 — —— i 2 2 1 √3 ——————— — —— i 1 2 2 1i 6 12. Calcula ——— . Efectua primer la divisió i després la potència. 1 i 1i 6 (1 i) (1 i) 6 2 i 6 ——— ———————— —— 1i (1 i) (1 i) 2 (i)6 i 6 i 2 1 13. Comprova que la suma de les arrels vuitenes de la unitat dóna com a resultat zero. El vèrtexs de l’hexàgon corresponen als nom­bres complexos de mòdul 1 i argument un angle múltiple de 60°. Són els següents: 10°, 160°, 1120°, 1180°, 1240°, 1300°. 10. Descriu la figura que s’obtindria en representar gràficament tots els nombres complexos de mòdul 2. Tots els punts de la circumferència de centre l’origen de coordenades i de radi dos corresponen a tots els nombres complexos de mòdul 2. Calculem les arrels vuitenes d’1: 8 8 8 √ 1 √10° → mòdul: √ 1 1. Arguments: 0° k 360° ——————, k 0, k 1, k 2, k 3, 8 k 4, k 5, k 6 i k 7. Les arrels són: 10°, 145°, 190°, 1135°, 1180°, 1225°, 1270°, 1315° MATEMÀTIQUES 1 la 55 En forma binòmica: 18. Troba les arrels quartes de z 8 8 √ 3i. 10° 1 1 1 145° —— —— i √2 √2 Passem a forma polar: r 82 (8 √ 3)2 256; tg √ 3, 60° 4 60° k 360° ———————, k 0, k 1, k 2 i k 3. 4 1 1 1135° —— —— i √2 √2 Arrels: 415°; 4105°; 4195°; 4285°. 1180° 1 1 1 1225° —— —— i √2 √2 19. Dibuixa el triangle que té per vèrtexs els afixos de les arrels cúbiques de 8 i. De quin tipus de triangle es tracta? 3 3 90° k 360° ——————, k 0, k 1 i k 2. 3 1 1 1315° —— —— i √2 √2 Arrels: 230°; 2150°; 2270°. Els afixos són els punts que tenen de coordenades els components en forma binòmica. La suma: 1 1 1 1 1 —— —— i i —— —— i 1 √2 √2 √2 √2 1 1 1 1 —— —— i i —— —— i 0 √2 √2 √2 √2 3 √8i √ 890°→ mòdul √ 8 2; arguments: 1270° i 4 √ 25660° → mòdul √ 2 56 4, arguments: 190° i 14. Descriu la figura que s’obtindria en representar gràficament tots els nombres complexos l’argument dels quals és 60°. Tots els nombres complexos d’argument 60° formen una semirecta d’origen l’origen de coordenades i que forma un angle de 60° amb el semieix positiu OX. 15. Determina el valor de la suma següent: Vèrtex A → 230° 2 (cos 30° i sin 30°) √ 3 i → (√ 3, 1) Vèrtex B → 2150° 2 (cos 150° i sin 150°) √ 3 i → (√ 3, 1) Vèrtex C → 2270° 2 i → (0, 2) Recta AB: y 1 3 Recta BC: y 2 —— x √3 3 Recta AC: y 2 ——x √3 El triangle és equilàter. 1 i i 2 ... i 125 Cal tenir en compte que: i i2 i3 i4 i 1 i 1 0 Separant 1, la suma de les 125 potències successives de i contenen 31 grups que sumen 0 i queda i 125, ja que 125 31 4 1. 1 i i 2 ... i 125 1 i 125 1 i 16. Expressa en forma binòmica el resultat de la divisió: 6120° : 330°. 6120° : 330° 290°. Passant a forma binòmica: 290° 2 i. 17. Calcula el mòdul i l’argument de la tercera potència de √ 3 i. (√ 3 i)3 → √ 3 i → r 2 1 tg —— → 30° √3 (230°)3 2 33 30° 890° 20. Calcula la suma dels quadrats de les ar­rels cúbiques de 8. 3 3 3 √8 √ 8180° → mòdul √ 8 2; arguments: 180° k 360° ———————, k 0, k 1 i k 2. 3 Arrels: 260°; 2180°; 2300°. Calculem els quadrats: (260º)2 4120° 4 (cos 120° i sin 120°) LA 56 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 1 √3 4 — ——i 2 2 √ 3i 2 2 (2180°)2 4360° 4 25. Representa gràficament les arrels quartes de 16. Les arrels quartes de 16 s’han obtingut en l’exercici 22. Els seus afixos són els punts (2, 0); (0, 2); (2, 0) i (0, 2). (2300°)2 4600° 4240° 4 (cos 240° i sin 240°) 1 √3 4 — ——i 2 2 √ 3i 2 2 Suma: (2 2 √ 3i) 4 (2 2 √ 3i) 0 Avaluació 1. Resol les equacions següents en el conjunt dels nombres complexos: a) x2 25 0 21. Troba les arrels cúbiques de 27. Comprova que una d’aques­ tes arrels és el nombre real 3. 3 3 3 √ 27 √ 27180° → mòdul: √ 27 3. Arguments: 180° k 360° ———————, k 0, k 1 i k 2. 3 Les arrels: 360°; 3180° 3; 3300°. x2 25 0 → x2 225 → x √ 225 5i b) 9x2 1 0 1 9x2 1 0 → x2 2— → x 9 4 4 √16 √160° → mòdul: √16 2; 21 √1 24 21 √ 3i x2 x 1 0 → x ——————— ———— 2 2 Arguments: 0° k 360° ——————, k 0, k 1, k 2 i k 3. 4 Arrels: 20° 2; 290°; 2180° 2; 2270°. √ 1 2—— —i 9 3 c) x2 x 1 0 22. Calcula les arrels quartes de 16 i comprova que dues d’aques­ tes arrels són nombres reals. 4 1 1 √3 2 —— 1 —— i 2 2 1 √3 2 —— 2 —— i 2 2 d) x2 2 4x 5 0 4 √ 16 2 20 4 2i x2 2 4x 5 0 → x ——————— ——— 2 2 Les arrels 2 i 2 són nombres reals. 2i 23. Una de les arrels cúbiques del nombre complex z és 2130°. Calcula z i les altres dues arrels. 3 √ z 2130° → z (2130°)3 8390° 830° 3 √ 830° → mòdul: 2. 30° k 360° Arguments: —————— 3 Arrels: 210°; 2130°; 2250°. 24. Utilitza el mètode més senzill per calcular (1 i)10. Per què creus que el mètode que has utilitzat és el més senzill? El mètode més senzill és passar el nombre complex a la forma polar: 1 i √ 2225° (√2225°)10 √210 2250° 3290° 32 i 22i 2. Donats els nombres complexos z1 1 22i i z2 24 1 6i, calcula’n: a) z1 1 z2 (1 – 2i) + (–4 + 6i) = –3 + 4i b) z1 2 z2 (1 – 2i) – (–4 + 6i) = (1 – 2i) + (4 – 6i) = 5 – 8i c) z1 z2 (1 – 2i) · (–4 + 6i) = –4 + 6i + 8i + 12 = 8 + 14i d) el quocient z1 : z2 1 − 2i 1 − 2i −4 − 6i −4 − 6i + 8i − 12 −16 + 2i = ⋅ = = = −4 + 6i −4 + 6i −4 − 6i 16 + 36 52 −16 2 −4 1 = + i= + i 52 52 13 26 MATEMÀTIQUES 1 3. Expressa els nombres complexos z1 21 1 i i z2 1 2 √3i en forma polar i calcula z14 : z2. z1 21 1 i √ 2135º; z2 1 2 (z1)5 1√ 2135º25 5 √ 3 2300º √25 675º 4√ 2315º z14 : z2 = ( 2135º ) : 2300º = 2−120º = 2240º 4 4. Considera els nombres complexos z1{2 = 3i i z2 { 3 4 ki. Troba el valor de k per tal que el quocient z1 : z2 sigui: a) Un nombre real. 3 + 3i 3 + ki 6 − 3k + (2k + 9)i 6 − 3k 2k + 9 + = = ⋅ 3 − ki 3 + ki 9 + k2 9 + k2 9 + k2 9 2k + 9 = 0 → k = − 2 b) Un nombre complex imaginari pur. 6 3k 0 → k 2 la 57 5. Una de les arrels quadrades d’un nombre complex z és z1 { { 3 = 5i. Calcula z i l’altra arrel quadrada, z2. z z12 (3 1 5i)2 16 30i z2 z1 3 5i 6. Determina les arrels quartes de 416 i expressa el resultat en forma polar i en forma binòmica. 4 −16 = 4 16180º = 245º + k ⋅ 90º , k = 0, 1, 2, i 3 k = 0 → z1 = 245º = 2 + 2 i k = 1 → z2 = 2135º = − 2 + 2 i k = 2 → z3 = 2225º = − 2 − 2 i k = 0 → z4 = 2315º = 2 − 2 i LA 58 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE jUnitat 5. Vectors en el pla → d) GH amb G(1, 2) i H(4, 9) → GH (4 (1), 9 (2)) (3, 7) Activitats → GH √(3)2 (7)2 √58 1. Compara els sentits dels parells de vectors (fig. 4.2) següents: → → piq → → → → qir qis → → → → → → p i q sentit contrari; q i r sentit contrari; q i s mateix sentit. 2. Dibuixa dos vectors que tinguin el mateix mòdul, la mateixa direcció i els sentits contraris. 5. Es pot definir el vector nul com aquell que té l’origen i l’extrem en el mateix punt. Quins són els components cartesians i el mòdul del vector nul? Els components cartesians del vector nul són (0, 0) i el mòdul és 0. → 6. Sabent que RS (4, 7) i R(6, 2), determina les coordenades del punt S analíticament i gràficament. Anomenem S(x, y) → RS (4, 7), amb R(6, 2) (4, 7) (x 6, y 2) → → 3. Dibuixa dos vectors que tinguin diferent mòdul i diferent direcció. Pots comparar-ne els sentits? 4 x 6 → x 10 → 7 y 2 → y 5 → S (10, 5) No, perquè els sentits de dos vectors només són comparables si tenen la mateixa direcció. 4. Determina els components cartesians i el mòdul de cadascun dels vectors següents. En cada cas fes-ne la representació gràfica. → a) AB amb A(2, 4) i B(6, 10) → AB (6 (2), 10 4) (8, 6) → AB √82 62 10 → b) CD amb C(6, 2) i D(3, 2) → CD (3 6, 2 2) (3, 4) → CD √(3)2 (4)2 5 7. Donats els punts P(5, 2) i Q(8, 2), troba els components → → PQ (8 5, 2 (2)) (3, 4) → 42 5 PQ √ 32 → c) EF amb E(0, 0) i F(1, 3) → → cartesians i el mòdul dels vectors PQ i QP . Representa’ls gràficament i compara’n el mòdul, la direcció i el sentit. → EF (1, 3) QP (5 8, 2 2) (3, 4) EF √(1)2 (3)2 √10 QP √(3)2 (4)2 5 → → MATEMÀTIQUES 1 LA 59 → c) RS (2, 3) amb R(1, 4) Anomenem S(x, y) (2, 3) (x 1, y 4) x 1; y 7 S(1, 7) → → Els vectors PQ i QP tenen el mateix mòdul, la mateixa direcció i sentits contraris. → 8. Les coordenades de l’extrem del vector AB (5, 3) són (1, 4). Determina’n les coordenades de l’origen. Fes la resolució gràfica i l’analítica. Anomenem A(x, y) (5, 3) (1 x, 4 y) 5 1 x → x 4 3 4 y → y 7 A(4, 7) → 10. Si F 40 N, troba els components cartesians d’aquesta força (fig. 5.13). 9. Representa gràficament els vectors: → a) MN (5, 3) amb M(1, 2) Anomenem N (x, y) (5, 3) (x 1, y 2) x 4; y 5 N (4, 5) → b) PQ (1, 4) amb Q(2, 5) Anomenem P(x, y) (1, 4) (2 x, 5 y) x 3; y 9 P(3, 9) → √2 Fx F cos 45° 40 —— 20 √2 2 → √2 Fy F sin 45° 40 —— 20 √2 2 → F (20 √2, 20 √2) N 6 60 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 11. Expressa en forma polar el vector posició de cadascun dels punts següents: a) (1, 1) Argument: tg 1 → 315° 6 Mòdul: √2 1 → rx r cos 240° 2 — 1 2 √3 → ry r sin 240° 2 —— √3 2 b) (1, 1) 1 → sx s cos 300° 10 — 5 2 6 Argument: tg 1 → 135° 6 R(1, √3) √2315° Mòdul: √2 √3 → sy s sin 300° 10 —— 5 √3 2 √2135° S(5, 5 √3) c) (1, √3 ) 6 → Mòdul: 2 Argument: tg √3 → 240° 13. El vector r té l’origen en el punt (0, 1) i l’extrem en el punt → (2, 3). El vector t, equipol·lent a l’anterior, té l’origen en el punt (2, 4). Troba’n les coordenades de l’extrem. 6 → r (2 0, 3 1) (2, 4) 2240° Representem per (x, y) les coordenades de l’extrem del vec→ tor t: → t (x 2, y 4) d) (√3, √3) Mòdul: 2 Argument: tg 1 → 45° 245° 6 → → Com que r i t són equipol·lents, es verifica: (2, 4) (x 2, y 4) → x 4, y 8 → L’extrem del vector t és el punt (4, 8). e) (5, 12) Mòdul: 13 12 Argument: tg —— → 67,38° 5 1367,38° → → 14. Dibuixa els vectors r i t de l’exercici anterior i uneix-ne, mitjançant segments, els punts origen i els punts extrem. Quina figura obtens? 6 f) (8, 6) Mòdul: 10 3 Argument: tg — → 143,13° 4 10143,13° 6 12. Calcula les coordenades cartesianes dels punts M, N, R i S els vectors posició dels quals són, respectivament: → → → → m 645° n 4150° r 2240° s 10300° √2 → mx m cos 45° 6 —— 3 √2 2 √2 → my m sin 45° 6 —— 3 √2 2 6 M(3 √2, 3 √2) S’obté un paral.lelogram. √3 → nx n cos 150° 4 —— 2 √3 2 1 → ny n sin 150° 4 — 2 2 N(2 √3, 2) 6 15. Considera els punts A(3, 2), B(5, 4), C(1, 5) i D(x, y). Calcula les coordenades del punt D sabent que els vectors → → AB i CD són equipol·lents. → AB (5 3, 4 2) (2, 6) → CD (x 1, y 5) 6 LA MATEMÀTIQUES 1 (2, 6) (x 1, y 5) → x 3, y 1 → Les coordenades del punt D són D(3, 1). → Mòdul: 3 v 3 v → Direcció: la mateixa que v → Sentit: el mateix que v → 3v D(3, 1) 61 → 4 v 4 (3, 2) (12, 8) 16. Els punts A, B i C de la figura 5.15 són tres vèrtexs consecutius d’un paral.lelogram. Troba les coordenades del quart vèrtex D. → → Mòdul: 4 v 4 v → → 4 v Direcció: la mateixa que v → Sentit: l’oposat a v → → 19. Si p (4, 2) i q (2, 3), quins són els components del → → → → → vector s p q? Dibuixa els vectors p i q amb origen → a l’origen de coordenades i troba gràficament el vector s. Comprova que coincideix amb el resultat que havies obtin→ → → gut. Calcula el mòdul dels vectors p, q i s, i comprova que es → → → verifica s p q . → → → s p q (4, 2) (2, 3) (2, 5) Anomenem D(x, y). A(2, 3); B(2, 6); C(4, 4) Es compleix que: → → AB DC → (4, 3) (4 x, 4 y) → → x 0, y 1 El quart vèrtex del paral.lelogram se situa en el punt D(0, 1). 17. Donats els vectors: → → → a (2, 4), b (5, 7) i c (7, 1) p √42 22 √20 2 √5 → comprova que es verifica: → → → q √(2)2 32 √13 → → a) a b b a → → → → → → s → b) a (b c) (a b) c → → → → → √29 2 √5 √13 → d) (3 4) c 3 c 4 c → → → → e) a b (b a) → → 2 c 3 d 2 (2, 7) 3 (5, 3) Els resultats que s’obtenen en els dos membres de cadascuna de les igualtats són: a) (3, 3); b) (4, 2); c) (6, 6); d) (49, 7); e) (7, 11); f) (4, 8) → → 18. Determina els components dels vectors 3v i 4v si → v (3, 2). Compara el mòdul, la direcció i el sentit de cadascun dels dos vectors amb el mòdul, la direcció i el sentit → del vector v. → → → 20. Donats els vectors c (2, 7) i d (5, 3), troba els → → → → components dels vectors 2 c 3 d i 3 c 2 d. 1 → → f) — (4 a) 2 a 2 3 v 3 (3, 2) (9, 6) 6 Es compleix que: c) 2 (a b) 2 a 2b → √22 52 √29 (4, 14) (15, 9) (11, 5) → → 3 c 2 d 3 (2, 7) 2 (5, 3) (6, 21) (10, 6) = (–16, 27) 21. S’anomenen vectors unitaris els vectors que tenen mòdul 1. → Quin és el mòdul del vector v (3, 4)? 3 4 → Comprova que el vector u —, — és unitari i que té la 5 5 → mateixa direcció i el mateix sentit que el vector v. Hi ha un → altre vector unitari en la mateixa direcció que v? Quin? LA 62 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE → 2 2 → u √ —5 —5 1 3 → 4 → → → → → 22. Raona per què el vector 1 1 → → → → v, u — v 1. Si u — → → v v → → 3 (4, 1) 2 (2, 3) (8, 9) 1 → 2 → b) — a — b 2 3 1 → 2 → 1 2 — a — b — (4, 1) — (2, 3) 2 3 2 3 10 3 ——, — 3 2 → és un vector unitari que té la mateixa direcció i el mateix → sentit que el vector v. → → c) a 5 b → → a 5 b (4, 1) 5 (2, 3) (6, 16) 24. Esbrina si són linealment dependents o independents els parells de vectors següents: → → Es compleix que v vu, amb v 0. Per tant, el vector u és unitari i té la mateixa direcció i el mateix sentit que el vec→ tor v. Determina els vectors unitaris en la direcció i el sentit dels vectors: a) (4, 7) i (8, 14) 4 7 —— —— → linealment independents 8 14 b) (3, 0) i (1, 0) (3, 0) 3 (1, 0) → linealment dependents → a) a (5, 12) a √52 (12)2 13 → → 5 12 → → u ——, —— 13 13 → → 1 → → u — v → v → 3 a 2 b 3 a 2 (b) 3 4 → → El vector u —, — u té també la mateixa direcció 5 5 → que el vector v i també és unitari. → a) 3 a 2 b Es verifica que v 5 u. Per tant, els vectors v i u tenen la mateixa direcció i el mateix sentit (5 0). → → 23. Donats els vectors a (4, 1) i b (2, 3), troba’n les combinacions lineals següents: v √32 42 5 1 — 2 3 —— —— → linealment independents 2 4 — 3 √(6)2 82 10 → 5 2 —— —— → linealment dependents 5 5 1 4 d) —, 3 i 2, — 2 3 b) b (6, 8) → 3 4 → → u —, — 5 5 c) (5, 2) i (5, 2) → c) c (2, 4) c √(2)2 (4)2 √20 2 √5 → → 2 √5 → u ——, ——— 5 5 → √5 5 4 8 —— — → 5a 8 → a — 2 a 5 26. Els vectors (4, 7) i (x, 14) són linealment independents. Quins valors pot tenir x? d) d (1, √3) → → 25. Els vectors (5, 4) i (2, a) són linealment dependents. Calcula a. d √12 (√3)2 2 → 1 √3 → → u —, —— 2 2 4 7 4 1 — —— → — — → x 8 x 14 x 2 x pot prendre qualsevol valor real diferent de 8. LA MATEMÀTIQUES 1 27. Demostra que els vectors (1, 2), (2, 4) i (2, 1) són linealment dependents. N’expressem un en combinació lineal dels altres dos: (2, 4) k (1, 2) h (2, 1) 2 k 2h 4 2k h 6 63 31. Quins dels parells de vectors següents són una base del pla? Justifica’n la resposta. a) (1, 4) i (2, 8) b) (2, 0) i (1, 4) c) (3, 2) i (1, 5) d) (1, 0) i (3, 0) Els dels apartats b) i c), ja que són parells de vectors linealment independents. k 2, h 0 2 0 b) — — 1 4 Llavors es compleix que 3 2 c) —— — 1 5 (2, 4) 2 (1, 2) 0 (2, 1) 2 (1, 2) és a dir, els tres vectors són linealment dependents. 28. Representa gràficament els vectors de l’exercici anterior prenent per a tots ells el mateix origen. → 32. Els components del vector p en la base: B {(4, 1), (5, 2)} → són (3, 1). Determina els components de p en la base canònica. → p 3 (4, 1) (1) (5, 2) (12, 3) (5, 2) (7, 5) → Els components de p en la base canònica són (7, 5). 33. Troba els components del vector (7, 7) en la base → → → → B {u1, u2}, on u1 (3, 1) i u2 (1, 2). Comprova gràficament el resultat obtingut prenent un origen comú per als tres vectors. 29. Expressa el vector (2, 7) en combinació lineal dels vectors (1, 3) i (2, 1). (2, 7) k (1, 3) h (2, 1) 6 2 k 2 h 7 3 k h Expressem el vector (7, 7) en combinació lineal dels vectors de la base B: (7, 7) ku1 hu2 k (3, 1) h (1, 2) 16 1 k ——, h —— 7 7 (7, 7) (3k, k) (h, 2h) (7, 7) (3k h, k 2h) 16 1 (2, 7) —— (1, 3) —— (2, 1) 7 7 → → → 30. Sense fer cap càlcul, expressa els vectors c, d i e en combi→ → nació lineal dels vectors a i b (fig. 5.24). 7 3k h 7 k 2h 6 k 3; h 2 Els components del vector (7, 7) en la base B són (3, 2) → → (7, 7) 3u1 2u2 → → c2a → → → d4a2b → → → e 2 a 2 b 64 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 34. Indica tots els parells de vectors de la figura 5.29 que són una base del pla. Raona la resposta. Segon membre: → → → → abac (1, 2) (3, 4) (1, 2) (2, 5) 5 12 17 → → → → → → → a (b c) a b a c → → → nombre real→o un vector? Per 37. El resultat de (v w)t, és un → què? Fes els càlculs per a v (2, 4), w (1, 1) i → t (4, 3). És→ un→ vector, ja que és→el resultat de multiplicar un nombre real (v w) per un vector (t). → → → → → → → → → → → → → → → a i c; a i d; a i e; b i c; b i d; b i e; → → → → (v w)t [(2, 4) (1, 1)](4, 3) → 2(4, 3) (8, 6) → c i d; c i e; d i e → En tots els casos es tracta de parells de vectors linealment independents (tenen diferent direcció). Primer membre: → → → → (ka) b [3 (2, 1)] (3, 4) → 35. Donats els vectors p (3, 4) i q (2, 1), calcula: a) El seu producte escalar. (6, 3) (3, 4) 18 12 6 Segon membre: → p q 3 2 (4) 1 6 4 2 → → k(a b) 3 [(2, 1) (3, 4)] 3(2) 6 b) L’angle que formen. pq 2 2 √5 cos ———— ———— ——— → → → 25 5 √5 p q → → → 79,7° → → → 180° → → d) L’angle que formen els vectors p i q. → → L’angle que formen els vectors p i q és el mateix que el → → que formen els vectors p i q: 79,7° → → 36. Donats els vectors a (1, 2), b (3, 4) i c (2, 5), comprova que es verifica la igualtat: → → → → → a (b c) a b a c Primer membre: → → → → a (b c) (1, 2) [(3, 4)(2, 5)] (1, 2) (1, 9) 1 18 17 → → BC (3, 5); BA (5, 3) → → BC BA 15 15 0 → → Com que els catets BC i BA són iguals, BC BA √34, el triangle rectangle és isòsceles i, per tant, A C 45°. 180° 79,70° 100,3° → → Si és rectangle en B, B 90°. Aleshores els vectors BC i BA → → han de ser perpendiculars → BC BA 0. → L’angle que formen els vectors p i q és el suplementari de l’angle . Si el representem per : → 39. Demostra que el triangle de vèrtexs els punts A(1, 2), B(6, 5) i C(3, 10) és rectangle en B. Quant mesuren els altres dos angles del triangle? c) L’angle format pels vectors p i q. Resol aquest apartat de diferents maneres i compara’n els resultats obtinguts. → → 4) i el nombre real 38. Donats els vectors a (2, 1), b (3, → → → → k 3, comprova que es verifica (ka) b k(a b). 40. Troba un vector de mòdul 2 que sigui ortogonal al vector → v (4, 3). Analitza les diferents solucions que has obtingut. → Hi ha dos vectors perpendiculars al vector v→ que tenen el mateix → mòdul que aquest vector: w (3, 4) i w2 (3, 4). Els 1 → → vectors w1 i w2 tenen la mateixa direcció i sentit contrari. → → Com que w1 w2 5, els vectors que ens demanen són: 2 → 2 6 8 → t1 — w1 — (3, 4) —, — 5 5 5 5 → 2 → 2 6 8 t2 — w2 — (3, 4) —, — 5 5 5 5 El problema té, doncs, dues solucions. LA MATEMÀTIQUES 1 41. Els punts A(1, 2), B(3, 5) i C(7, 4) són tres vèrtexs consecutius d’un paralel.logram. Troba les coordenades del quart vèrtex i les del punt intersecció de les diagonals. Fes-ne la representació gràfica. 65 43. Troba les coordenades dels punts que divideixen el segment d’extrems A(12, 6) i B(0, 9) en tres parts iguals. Anomenem D(x, y) el quart vèrtex del paral·lelogram. → → AB DC → (2, 3) (7 x, 4 y) → → x 5, y 1 → D(5, 1) → → AB 3 AC , amb C(x1, y1) (12, 3) 3 (x1 12, y1 6) Les coordenades del punt intersecció de les diagonals del paral.lelogram són les coordenades del punt mitjà del segment d’extrems A i C, o bé, B i D. 17 24 M ————, ———— (4, 3) 2 2 (12, 3) (3x1 36, 3y1 18) 12 3x1 36 → x1 8 3 3y1 18 → y1 7 Les coordenades del punt C són (8, 7). → → AB 3 DB , amb D(x2, y2) (12, 3) 3 (x2, 9 y2) → → (12, 3) (3x2, 27 3y2) 12 3x2 → x2 4 3 27 3y2 → y2 8 Les coordenades del punt D són (4, 8). 42. Els punts P(3, 7) i Q(5, 13) són els extrems d’un dels diàmetres d’una circumferència. Determina’n les coordenades del centre i calcula’n el radi. 44. Els punts A(2, 5), B(3, 2) i C(1, p) estan alineats. Calcula p. → (1, 7) k(4, p 2) Dibuixa aquesta circumferència. El centre C de la circumferència és el punt mitjà d’un qualsevol dels seus diàmetres. 3 5 7 13 C ————, ————— (4, 3) 2 2 El radi és la distància del centre a un punt qualsevol de la circumferència. → → S’ha de verificar que: AB k BC : → r CP ; CP (1, 10) r √(1)2(10)2 √100 1 1 k (4) → k — 4 1 7 k(p 2) → 7 — (p 2) → 4 → p 26 45. Determina les coordenades del baricentre del triangle de vèrtexs els punts P(3, 4), Q(2, 6) i R(4, 10). Les coordenades del baricentre G del triangle són: y1 y2 y3 x1 x2 x3 G ———————, ——————— 3 3 5 —, 0 3 Activitats finals 1. Donats els punts A(2, 3) i B(5, q), troba q sabent que → 5. AB → AB (3, q 3) → → → AB √32(q 3)2 5 66 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 32 (q 3)2 52 → → (q 3)2 25 9 16 → q34 → q7 → q 3 √16 → 1 → → → → 2. Els vectors AB i BC verifiquen AB —BC . Si A(6, 2) 2 i B(0, 4), quines són les coordenades de C? Anomenem C(x, y) 1 → 1 → AB — BC → (6, 2) — (x, y 4) → 2 2 → → → (5, 7) 2 (3, 6) 3 (10, 4) (41, 31) → 1 → b) 4 a — c 2 1 4 (5, 7) — (10, 4) (15, 26) 2 → → c) a b (5, 7) ⋅ (3, 6) 57 → → → d) b (c a) (3, 6) ⋅ [(10, 4) (5, 7)] → (12, 4) (x, y 4) → x 12, y 8 (3, 6) ⋅ (5, 3) 3 Les coordenades del punt C són (12, 8). 3. Calcula els components cartesians del vector 10210°, donat en forma polar. → Representem per v aquest vector: vx 10 cos 210° 5 √3 → v 10210° vy 10 sin 210° 5 Per tant, v (5 √3, 5). → → 6. Calcula els components cartesians del vector u que verifica les condicions següents: a) És unitari. → b) Té la mateixa direcció que el vector v (6, 8), però sentit contrari. v √(6)2 82 10 → 1 3 4 → u —— (6, 8) —, — 10 5 5 → → → 4. Sabent que F 1 60 N i F 2 40 N, calcula p ­ erquè el cos de la figura (fig. 5.49) es mogui en la direcció de l’eix X. → a) a 2 b 3 c q 3 4 → q 1 Hi ha dues solucions per al problema: q1 7 i q2 1. → 5. Donats els vectors a (5, 7), b (3, 6) i c (10, 4), calcula: → 7. Els vectors v i w són ortogonals i tenen→el mateix mòdul. Es→ brina els components de w sabent que v (5, 2). Quantes solucions has trobat? Raona-ho. → → Si→ els vectors→ v i →w tenen el mateix mòdul i són ortogonals, → v ⋅ w 0 i v w √29. → → El problema té dues solucions: w1 (2, 5) i w2 (2, 5). (5, 2) ⋅ (wx, wy) 0 √wx wy √29 2 2 6 5wx 2wy 0 wx2 wy2 29 6 wx 2 → wy 5 → Perquè el cos es mogui en la direcció de l’eix→ OX,→cal que la suma dels components segons l’eix OY de les forces F 1 i F 2 sigui igual a zero. 1 → F1y F 1 sin 30° 60 — 30 2 → F2y F 2 sin 40 sin F1y F2y 0 → 30 40 sin 0 → 3 → sin — → 48,59° 4 8. Els components del vector a en la base B {(1, 3), (2, 1)} són (5, 2). Quins són els components d’aquest mateix vector en la base B {(4, 1), (3, 2)}? → a 5 (1, 3) 2 (2, 1) (9, 13) (9, 13) k (4, 1) h (3, 2) 94k3h 13 k 2 h 6 21 61 k —— ; h —— 11 11 → Els components de a en la base B són: 21 61 , —— —— 11 11 LA MATEMÀTIQUES 1 9. Calcula els components del vector (5, 7) en la base B {(2, 3), (1, 2)}. b) El punt C2 situat a la recta determinada pels punts A i B i a la dreta del punt A (C2 (x2, y2)). 3 C2A 2 AB → → 3 (3 x2, 6 y2) 2 (9, 9) → → x2 9, y2 12 → C2 (9, 12) 6 5 2k h 17 1 k ——; h — 7 3k 2h 7 7 17 1 Els components del vector (5, 7) en la base B són ——, — . 7 7 10. Donat el segment d’extrems els punts P(3, 5) i Q(6, 8), troba les coordenades del punt R d’aquest segment que verifica. 3 PR —— PQ. 10 Representem per (x, y) les coordenades de R: → → 10 PR 3 PQ → → 10 (x 3, y 5) 3 (3, 13) → → (10x 30, 10y 50) (9, 39) → 39 11 x ——; y —— 10 10 39 11 Les coordenades de R són ——, —— . 10 10 11. El baricentre d’un triangle se situa en el punt G(2, 0) i dos dels seus vèrtexs, en els punts A(3, 4) i B(6, 5). Troba les coordenades de l’altre vèrtex C del triangle. Anomenem C(x, y) el tercer vèrtex. 3 (6) x 2 ——————––– → x 3 3 4 5 y 0 ————— → y 9 3 Les coordenades de C són (3, 9). 12. Donat el segment que té com a extrems els punts A(3, 6) i B(6, 3), troba les coordenades del punt C, alineat amb A i B, 2 que verifiqui AC —AB. Quants punts hi ha que verifiquen 3 aquesta condició? Hi ha dos punts que verifiquen aquesta condició: a) El punt C1 situat entre A i B(C1 (x1, y1)) → → 3 AC 1 2 AB → → 3 (x1 3, y1 6) 2 (9, 9) → → x1 3, y1 0 → C1 (3, 0) → → (5, 7) k (2, 3) h (1, 2) 67 Els punts que verifiquen les condicions de l’enunciat del problema són C1(3, 0) i C2(9, 12). 13. Determina la mesura de cadascun dels angles del triangle de vèrtexs els punts A(0, 0), B(5, 1) i C(4, 2). → Angle A → el més petit dels angles que formen els vectors AB → i AC . → → AB (5, 1); AC (4, 2) → → AB ⋅ AC 22 —————— → cos A —————— → → AB AC √26 √20 → A 15,26° → Angle B → el més petit dels angles que formen els vectors BC → i BA . → → BC (1, 1); BA (5, 1) → → BC ⋅ BA 4 ————— → B 56,31° cos B ————— → → BC BA √2 √26 Angle C → C 180° ( A B) 108,43° 14. Dues rectes perpendiculars r i s es tallen en el punt P(2, 3). Sabent que el punt Q(3, 5) pertany a la recta r, calcula t perquè la recta s passi pel punt R(t, 1). → → → → Els vectors PQ i PR han de ser perpendiculars → PQ •PR 0 → → PQ (1, 8); PR (t 2, 1 3) → → PQ ⋅ PR t 2 8 (1 3) 0 → → t 14 0 → t 14 3 → → 15. Sabent que v w 10 i sin ­ —, calcula els compo5 → → nents cartesians del vector v w (fig. 5.50). LA 68 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE → → PQ 5 Q 2 P 5 (3, 2) 2 (x, y) 5 (3 2 x, 2 2 y) v (10 cos , 10 sin ); → w (10 cos (), 10 sin ()) (10 cos , 10 sin ) → → a1 b1 c1 a2 b2 c2 —————— , —————— 3 3 → → S’ha de complir: 3 PQ 2 2 QR 5 0 16. Demostra que el baricentre G d’un triangle de vèrtexs els punts A(a1, a2), B(b1, b2) i C(c1, c2) es troba en el punt de coordenades: QR 5 R 2 Q 5 (21, 5) 2 (3, 2) 5 (24, 3) → vw (10 cos 10 cos , 10 sin 10 sin ) (20 cos , 0) 3 4 Si sin — → cos √1 sin2 5 5 4 → → Aleshores, v w 20 —, 0 (16, 0) 5 → → 3(3 2 x, 2 2 y) 22 (24, 3) 5 0 → (9 2 3x, 6 2 3y) 2 (28, 6) 5 0 → (9 2 3x 1 8,6 2 3y 2 6) 5 0 → (17 2 3x, 2 3y) 5 0 Tenim el sistema: 17 − 3 x = 0 −3 y = 0 La solució del sistema és x = 17 Llavors P , 0 3 17 i y = 0. 3 1 → → → v és unitari. Si u 5 (5-12), v → troba el vector unitari u que té la mateixa direcció i el mateix 2.Demostra que el vector u 5 → sentit que el vector v . → � � 1 � v � u = � v = � = 1 , amb v ≠ 0 v v � � 1 5 12 v 52 + (−12)2 13; u (5, −12) , − 13 13 13 → → GC 2 MG → (c1 x, c2 y) a2 b2 a1 b1 2 x ————, y ———— 2 2 (c1 x, c2 y) (2x a1 b1, 2y a2 b2) c1 x 2x a1 b1 → a1 b1 c1 → x ——————–– 3 c2 y 2y a2 b2 → a2 b2 c2 → y —————— 3 3. Indica de manera raonada si els vectors u 5 (0,2) i v 5 (21,1) formen una base del pla. → En cas afirmatiu, expressa el vector a 5 (5,2) en combinació → → lineal de u i v . → Només ens cal veure si els dos vectors són linealment independents: 0 2 → → u k·v perquè — — 21 1 Per tant, els dos vectors són linealment independents i, en conseqüència, són una base del pla. Expressem el vector (5, 2) en combinació lineal dels vectors de la base: (5, 2) h · (0, 2) t (1, 1) (5, 2) (0, 2h) (t, t) (5, 2) (t, 2h t) Avaluació 1. Donats els punts Q(3, 2) i R(21, 5), determina les coordenades (x, y) del punt P per tal que es verifique la igualtat → → Tenim el sistema: (5 t 2 2h t La solució del sistema és h = → 3 PQ 22 QR 5 0. Anomenem el punt P(x, y). → Per tant, (5, 2) 7 i t = −5 . 2 7 (0, 2) 5 ·(1, 1) 2 LA MATEMÀTIQUES 1 → → → → → → 69 jUnitat 6. Rectes en el pla 4. Calcula a·a sabent → que→ a·b 5 3, b·b 5 4 i que l’angle que formen els vectors a i b mesura 60º. ��� ��� ��� 2 ��� → → → → ABb =5 4 DC ⇔ BAB A5 4 = DCC ⇔ − DBb⇔ −5 2 A() 5,3 = C −− D() 1,2 ⇔ () =5,3 6,5− () −1,2 x , =y () 6,5 ⇔ 4,1 − ()() x ,=y ( 6⇔ − x4,1 ,5 − y=) 6 − x ,5 − y ) () ()() ( b· b− = Activitats ���→ ��� ��� ��� → → → ABb =5 3 DC ⇔ Ba −·A = DAB ⇔ 5,3 DC ⇔ − () B1,2 − D−60º ⇔ x ,() 5,3 y ⇔− () 4,1 1,2 1. =( 66,5 − x−,5()() −x ,yydiferents ⇔ 4,1 equacions =( 6 − x ,5de − yla) () ()() () ) a· b C·−cos a =5 3 a −·A=2=() ·C6,5 cos 5 3 Escriu les recta que passa pel punt → P(4, 1) i té com a vector director el vector v (2, 5). 3 3 → Indica’n el pendent i l’abscissa i l’ordenada a l’origen. a 5 ————— ——— 5 3 2 cos 60º 1 Vectorial: (x, y) (4, 1) k (2, 5) 2·— 2 2 → → → x 4 2k a·a 5 a 5 32 5 9 Paramètriques: y 1 5k → 5 5. Els punts A(1, 2), B(5, 3) i C(6, 5) són tres vèrtexs consecutius d’un paral·lelogram. Troba les coordenades del quart vèrtex D i les del punt d’intersecció de les diagonals. → → x4 y1 Contínua: ——— ——— 2 5 Els vectors AB i DC són equipol·lents. General: 5x 2y 22 0 Anomenem D(x, y) 5 Explícita: y —x 11 2 Llavors ��� → ��� ��� ��� AB AB5= DC ⇔ BB −2 A A =5 C AB C −=2 D D DC ⇔⇔ 5,3 (5, B −−3) A() 1,2 =2 (1, C −= D() 2) 6,5 ⇔5() −5,3 x ,−y () 1,2 ⇔ =4,1 6,5= ( −6 ()() −x ,x ,5 y −⇔y ) 4,1 =( 6y − x ,5 − y ) x () ()() () ��� ��� Canònica: —— —— 1 1)=5 (6 55,3 2 y) 5 (6, 5) 2 (x, y) ⇔ B(4, AB = DC −A C − D2 x, ⇔ () − () 1,2 = () 6,5 − ()() x , y ⇔ 4,1 = ( 6 −22 x ,5 − y11 ) — 5 Tenim el sistema: → 4 = 6 − x 1 = 5 − y La solució és: x 5 2 i y 5 4. 5 m— 2 22 p —— 5 n 11 El punt buscat és D(2, 4). El punt d’intersecció de les diagonals és el punt mig M dels segments AC o BD: M= A + C (1, 2) + (6, 5) (7, 7 7 7 = = = , 2 2 2 2 2 6Els vèrtexs d’un triangle estan situats en els punts A(1, 2), B(3, 4) i C(7, 4). a) Demostra que el triangle és rectangle en el vèrtex A. AB = (2, 6) , AC = (6, −2) AB ⋅ AC = 12 − 12 = 0 → AB ⊥ AC → Aˆ = 90º b)Comprova que els costats del triangle verifiquen el teorema de Pitàgores. AB = AB = 40 = 2 10 u AC = AC = 40 = 2 10 u BC = ( 4, − 8) → BC = BC = 80 = 4 5 u Es verifica: BC = AB + AC → 80 = 40 + 40 → triangle rectangle isòsceles 2 2 2 c) Calcula l’àrea del triangle. AB ⋅ AC 40 40 20 u2 20 u2 Àrea 2 2 2 2. Considera la recta d’equació vectorial: (x, y) (3, 2) k (2, 1) Determina quin és el valor de b per tal que el vector → v (3, b) sigui un vector director de la recta. → v (3, b) → u (2, 1) 6 → → vku → 3 b 3 → —— —— → b — 2 1 2 x y 3. Per a la recta d’equació —— — 1, escriu les equacions 4 2 general i explícita. Indica’n un vector director. x y —— — 1 → x 2y 4 → 4 2 → x 2y 4 0 1 x 4 2y x 4 → y ——— → y —x 2 2 2 1 → m — → v (2, 1) 2 70 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 4. El punt A(3, 1) és de la recta que passa pel punt P(2, 2) i → té com a vector director v (1, 3)? Justifica la resposta. P(2, 2) → v (1, 3) 6 y 2 x 2 ——— → 3 → 3x y 4 0 A (3, 1) → 33 1 4 9 1 4 12 0. No és de la recta. 5. Quin és el pendent de la recta x 3? Per què? No té pendent real, ja que és una recta vertical i, per tant, m tg 90° . 6. Escriu l’equació canònica de la recta que té per equació explícita: 1 3 y — x —— 5 10 1 3 3 y —x —— → n —— 5 10 10 1 3 y 0 → —x —— 0 → 5 10 3 3 → x — → p — 2 2 x y —— —— 1 3 3 — — 2 10 y 2 x 7. Considera la recta d’equació: ——— — 3 2 Es demana: un vector director, el pendent i els punts de tall amb els eixos de coordenades. 2 x y x 2 y ——— — → ——— — → 3 2 3 2 → → v (3, 2) 2 → m — 3 x 2 y 0 → ——— 0 → x 2 → 3 → P(2, 0) a l’eix OX 2 y 4 x 0 → — — → y — → 3 2 3 a l’eix OY 4 → Q 0, — 3 8. Esbrina si el punt P(5, 1) pertany o no a cadascuna de les rectes. Justifica les respostes. a) (x, y) (1, 1) k(2, 1) (x, y) (1, 1) k(2, 1) → → x 1 2k 5 y 1 k 5 5 1 2k → k 2 P(5, 1) → 1 1 k → k 2 Sí és de la recta. x 3 2k b) y 1 k 5 3 2k → k 1 P(5, 1) → 11k → k0 5 5 No és de la recta. c) x 2y 3 0 P(5, 1) → 5 2 3 4 0 No és de la recta. x1 y1 d) ——— ——— 4 2 51 ——— 1 4 P(5, 1) → 11 ——— 1 2 Sí és de la recta. 1 3 e) y —x — 2 2 1 3 5 3 P(5, 1) → — 5 — — — 1 2 2 2 2 Sí és de la recta. 5 x y f) — —— 1 3 3 — 2 5 1 5 2 7 P(5, 1) → — —— — — — 1 3 3 3 3 3 — 2 No és de la recta. 9. Escriu l’equació general de la recta que passa pels punts P(4, 5) i Q(3, 2). P(4, 5) Q(3, 2) → 6 v (7, 3) P(4, 5) → → → → PQ q p (7, 3) → x4 y5 ——— → 6 ——— 7 3 → 3x 7y 23 0 LA MATEMÀTIQUES 1 10. Sense fer-ne la representació gràfica, esbrina si A(1, 2), B(3, 3) i C(1, 1) estan alineats. A(1, 2) B(3, 3) → 6 → → → → AB b a (2, 1) → v (2, 1) v (2, 1) → A(1, 2) 6 x1 ——— y 2 → 2 → x 2y 3 0 C(1, 1) → 1 2 3 0 Estan alineats. 3 y mx n → y —x n 4 3 9 A(1, 3) → 3 — (1) n → n — 4 4 13. Comprova que els punts A(2, 3), B(2, 1) i C(5, 1) no estan alineats. Troba les equacions de les rectes que determinen el triangle, els vèrtexs del qual són els punts A, B i C. → → → AB b a (4, 2) → → → AC c a (3, 4) 3 9 y —x — 4 4 6 → → AB k AC No estan alineats. Costat AB: → → A(2, 3) AB (4, 2) → v (2, 1) 3 11. Determina l’equació de la recta de pendent m — que 4 passa pel punt A(1, 3). Tot seguit representa-la gràficament. 71 6 x2 ——— y 3 → x 2y 4 0 2 Costat AC: → → A (2, 3) AC (3, 4) → u (3, 4) 6 x2 y3 ——— ——— → 4x 3y 17 0 3 4 Costat BC: → → → → BC c b (7, 2) → w (7, 2) B (2, 1) 6 x2 y1 ——— ——— → 2x 7y 3 0 7 2 14. Determina l’equació explícita de la recta que passa pels punts P(0, 2) i Q(5, 1). Quin és el seu pendent? → → → PQ q p (5, 3) 3 → v (5, 3) → m — 5 → P(0, 2) → n 2 12. Troba l’equació de la recta que passa per l’origen i té un angle d’inclinació ­ 45°. Dibuixa-la. m tg tg 45° 1 → y x n 0(0, 0) → y x 6 3 y —x 2 5 15. Escriu l’equació canònica de la recta an­terior. 3 y —x 2 → n 2 5 3 10 y 0 → —x 2 0 → x — → 5 3 10 p— 3 x y —— — 1 10 2 — 3 6 LA 72 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 16. Troba la mesura dels angles del triangle que formen les rectes r: x y 7 0; s: 2x 3y 6 0 i t: y 0. Fes-ne el dibuix corresponent. → v (2, 1) M(0, 2) 6 x y2 — ——— → x 2y 4 0 2 1 Mediana des de C. 9 3 N punt mitjà del segment BC → N —, — 2 2 A(3, 0) → 15 3 NA ——, — 2 2 → u (5, 1) A(3, 0) x y 7 0 → m 1 → tg 1 → → 135° → 45° 2 2 2x 3y 6 0 → m — → tg — → 3 3 → 33,7° 180° ( ) 180° 78,7° 101,3° 17. Troba l’equació de la recta que passa pel punt de tall de les rectes 3x 2y 8 0 i 5x 7y 3 0, i és paral.lela a 8x y2 la recta ——— ——— . 5 7 3x 2y 8 0 5x 7y 3 0 → v (5, 7) P(2, 1) 6 x 2, y 1 → P(2, 1) 8x y2 x8 y2 ——— ——— → ——— ——— 5 7 5 7 6 6 Mediana des de A. x 2y 4 0 x 5y 3 0 6 x 2, y 1 → G(2, 1) 20. Classifica aquests parells de rectes en incidents, coincidents o paral.leles. En cas que siguin incidents, troba’n el punt on es tallen. 1 y2 a) y — x 3, x 3 ——— 22 1 y — x 3 → x 2y 6 0 2 → y2 x 3 ——— → 2x y 8 0 2 22 20 → Incidents; P ——, —— 3 3 6 2x 6y 6 0 x 3y 3 0 2x6y60 → x3y30 7x 5y 9 0 6 x3 ——— y → x 5y 3 0 5 b) x 3y 3 0, x2 y1 ——— ——— 5 7 6 → → Coincidents 18. Esbrina si les tres rectes 2x y 0, x y 3 0 i 5x 4y 3 0 es tallen o no en un mateix punt. 2x y 0 xy30 6 2x y 0 5x 4y 3 0 x 1, y 2 → P(1, 2) 6 x 1, y 2 → P(1, 2) 19. Troba el baricentre del triangle de vèrtexs A(3, 0), B(3, 4) i C(6, 1). → MC (6, 3) 3x 3y 7 0 x y 3 0 → 3x 3y 9 0 → Paral.leles d) (x, y) (1, 2) k(2, 3), 3x 2y 6 0 Sí, es tallen en el punt P(1, 2). M punt mitjà del segment AB → M (0, 2) C (6, 1) c) 3x 3y 7 0, x y 3 0 6 (x, y) (1, 2) k(2, 3) → x1 y2 → ——— ——— → 2 3 → 3x 2y 7 0 3x 2y 6 0 6 Paral.leles 6 → LA MATEMÀTIQUES 1 21. Determina el punt d’intersecció de les rectes: x y — — i (x, y) (1, 2) k(1, 1) 2 3 x y — — → 3x 2y 0 2 3 (x, y) (1, 2) k(1, 1) → x 1 → ——— y 2 → x y 3 0 1 6 9 x —, y — 5 5 6 d) La recta que passa per P i és paral.lela a r. r: 3x 4y 12 0 Paral.lela → 3x 4y C 0 P(3, 1) → 9 4 C 0 → C 5 3x 4y 5 0 Determina també les coordenades del punt on es tallen les rectes corresponents als apartats c) i d). 6 x y 3 0 17 4 x ——, y — 3x 4y 5 0 7 7 6 9 P —, — 5 5 17 23. Calcula els valors de q per tal que les rectes r i s siguin paralleles: r: 3x 4y 12 0 i s: x y 1 0 r: qx 2y 4 0 Troba l’equació de: s: x (q 3) y 7 0 a) La recta paral.lela a r que passi pel punt mitjà del segment PQ. 3 M, punt mitjà del segment PQ → M 2, — 2 r: 3x 4y 12 0 Paral.lela → 3x 4y C 0 3 M 2, — → 6 6 C 0 → C 0 2 3x 4y 0 b) La recta que passa pel punt d’intersecció de r i s i té pendent m 2. 3x 4y 12 0 xy10 6 8 15 x —, y ——; 7 7 8 15 A —, —— 7 7 m 2 → y 2x n 8 15 15 16 A —, —— → —— —— n → 7 7 7 7 31 → n —— 7 31 y 2x —— → 14x 7y 31 0 7 c) La recta que passa per Q i és paral.lela a s. s: x y 1 0 Paral.lela → x y C 0 Q(1, 2) → 1 2 C 0 → C 3 x y 3 0 4 ——7 , —7 B 22. Considera els punts P(3, 1) i Q(1, 2) i les rectes 73 2 q ——— q3 q2 3q 2 0 → q1 1, q2 2 24. Comprova que els punts A(1, 2), B(1, 0) i C(3, 4) són els vèrtexs d’un triangle rectangle. En quin dels tres punts està el vèrtex corresponent a l’angle recte? Justifica la resposta. → → → → → AB b a (2, 2) → AC c a (2, 6) → 6 → AB ⋅ AC 4 12 8 0 → A 90° → → BA AB (2, 2) → → → BC c b (4, 4) → 6 → BA ⋅ BC 8 8 0 → B 90° 25. Determina l’equació de la recta perpendicular a la recta 3 y — x 6 i que passa pel punt on es tallen les rectes 4 x y 9 0 i x 2y 3 0. xy90 x 2y 3 0 6 x 7, y 2 → → P(7, 2) 3 y —x 6 4 4 Perpendicular: y —x n 3 4 P(7, 2) → 2 — (7) n → 3 LA 74 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 34 → n —— 3 4 34 y —x —— → 4x 3y 34 0 3 3 26. Classifica els següents parells de rectes incidents segons siguin o no perpendiculars. Justifica’n les respostes. 28. Determina les coordenades del circumcentre i de l’ortocentre del triangle de vèrtexs A(2, 5), B(1, 1) i C(3, 2). El circumcentre és el punt on es tallen les mediatrius del triangle. L’ortocentre és el punt on es tallen les rectes que determinen les altures del triangle. 3 M, punt mitjà del segment AB → M —, 3 2 → 6 → → → u ⋅ v 25 9 16 0 No són perpendiculars. 1 y1 b) y —x 4 x 2 ——— 7 7 y1 x2 x 2 ——— → ——— 7 1 y 1 → ——— → v (1, 7) 7 → 6 6 27 x 4y —— 0 → 2x 8y 27 0 2 Mediatriu AB. 3 N, punt mitjà del segment BC → N 2, — 2 → → → u (2, 5) (x, y) k(5, 2) → v (5, 2) 3 3 11 N 2, — → 4 — C 0 → C —— 2 2 2 6 11 2x y —— 0 → 4x 2y 11 0 2 2x 8y 27 0 17 43 x ——, y —— 14 4x 2y 11 0 14 6 17 43 Circumcentre: ——, —— 14 14 Són perpendiculars. 9x 3y 13 0 → x 3y 8 0 → u (3, 1) → 9x 3y 13 0 → v (1, 3) 6 Paral.lela: 2x 8y C 0 C(3, 2) → 6 16 C 0 → C 22 2x 8y 22 0 → x 4y 11 0 → Alçada desde C. → 4x 2y 11 0 → u ⋅ v 3 3 0 Paral.lela: 4x 2y C 0 Són perpendiculars. 27. Determina l’equació de la mediatriu del segment d’extrems els punts A(2, 3) i B(6, 1). Recorda que la mediatriu d’un segment és la recta perpendicular pel punt mitjà. M, punt mitjà del segment AB → M(2, 1) → → → 2x 8y 27 0 → u ⋅ v 10 10 0 → → → 2x y C 0 (x, y) k(5, 2) d) x 3y 8 0 → Mediatriu BC. → → BC c b (2, 1) → n2 (2, 1) → No són perpendiculars. x 7 2h y 1 5h → 5 3 3 27 M —, 3 → — 12 C 0 → C —— 2 2 2 → u ⋅ v 7 7 14 0 x 7 2h c) y 1 5h → → x 4y C 0 → → 1 1 y —x 4 → m — → 7 7 → → u (7, 1) → AB b a (1, 4) → n1 (1, 4) → a) 3x 5y 3 0 3x 5y 7 0 3x 5y 3 0 → u (5, 3) → 3x 5y 7 0 → v (5, 3) → → AB b a (8, 4) → n (2, 1) → → 2x y C 0 M(2, 1) → 4 1 C 0 → C 3 2x y 3 0 A(2, 5) → 8 10 C 0 → C 18 4x 2y 18 0 → 2x y 9 0 Alçada desde A. x 4y 11 0 25 13 x ——, y —— 4x 2y 18 0 7 7 6 25 13 Ortocentre: ——, —— 7 7 LA MATEMÀTIQUES 1 29. Donat el punt P(3, 4): a) Determina la projecció ortogonal de P sobre la recta r: 4x y 1. r: 4x y 1 0 s r → s: x 4y C 0 6 → → 2 2m2 → 2m2 8m 2 0 6 A(2, 4) B(3, 1) 30. Dedueix els valors de q perquè les rectes r i s siguin perpendiculars: r: qx y 2 0 s: (q 2) x (2q 1) y 0 → s: (q 2) x (2q 1) y 0 → → → v (2q 1, q 2) → → u • v 0 → 2q 1 q 2q 0 → r: x y 4 0 → 6 u • v 14 5 ————— ——— → cos ———— → → u v √2 √17 √34 5 → arc cos ——— 30,96° √34 15 10 AB • AC ————— cos A —————— → → √50 √13 AB AC 5 1 ————— ——— → 5 √2√13 √26 1 → A arc cos ——— 78,7° √26 → s: y 4x 2 → → → → → → → → B(3, 1) C(1, 6) 31. Calcula l’angle que formen les rectes: → BA AB (5, 5) → q 1 0 → q1 1, q2 1 2 → 6 → AB b a (5, 5) 6 AC c a (3, 2) 2 r: x y 4 0 → u (1, 1) → s: y 4x 2 → m 4 → v (1, 4) 1 y — (2 √3)(x 2) 2 A(2, 4) C(1, 6) 6 r: qx y 2 0 → u (1, q) 6 6 1 y — (2 √3)(x 2) 2 33. Quant mesuren els angles del triangle de vèrtexs els punts A(2, 4), B(3, 1) i C(1, 6)? 69 38 S ——, —— 17 17 m2 2 √3 1 P 2, — 2 6 4y 53 38 ——— —— → y —— 2 17 17 m2 4m 1 0 → m 2 √3 m1 2 √3 1 P 2, — 2 3 x 9 69 ——— —— → x —— 2 17 17 6 1 1 m u • v ———— cos 60° → ——————— — → → 1 √2 √1 m2 u v b) Troba les coordenades del punt simètric de P respecte de la recta r. P(3, 4) 9 53 P ——, —— 17 17 S(x, y) 1 2m m2 1 ——————— — → 4 8m 4m2 4 2 (1 m2) 9 53 → P ——, —— 17 17 → x 4y 13 0 9 53 x ——, y —— → 4x y 1 0 17 17 1 32. Considera la recta r: x y 4 0 i el punt P 2, — . 2 Troba l’equació de les rectes que passen per P i formen un angle de 60° amb la recta r. r: x y 4 0 → u (1, 1) → v (1, m) P(3, 4) → 3 16 C 0 → C 13 75 6 BC (2, 7) → → → 10 35 BA • BC ————— cos B —————— → → √50√53 BA BC 45 9 ————— ——— → 5 √2√53 √106 9 → B arc cos ——— 29° √106 C 180° ( A B) 180° 107,7° 72,3° 76 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 34. Determina les equacions de les rectes que formen un angle de 30° amb la recta 5x 2y 3 0 i passen pel punt P(x, 6), on P és un punt de la recta donada. Troba l’angle que formen aquestes rectes. P(x, 6) → 5x 2y 3 0 P(x, 6) → 5x 12 3 0 → x 3 → → P(3, 6) → 5x 2y 3 0 → u (2, 5) → v (1, m) → → u•v 2 5m √3 ——— cos 30° → ——————— —— → → 2 2 uv √29 √1 m 3 4 20m 25m2 ————————— — → 29 (1 m2) 4 2 → 16 80m 100m 87 87m2 13m2 80m 71 0 → 40 29 √3 → m ——————— 13 40 29 √3 m1 ——————— 13 P(3, 6) 40 29 √3 y 6 ——————— (x 3) 13 40 29 √3 m2 ——————— 13 P(3, 6) 40 29 √3 y 6 ——————— (x 3) 13 6 6 6 35. Donades les rectes y x3 r: x 2 — i s: y 3 ———, 3 2 determina l’angle que formen. y → r: x 2 — → u (1, 3) 3 x3 x3 y3 s: y 3 ——— → ——— ——— → 2 2 1 → → v (2, 1) → s r → s: 3x y C 0 O (0, 0) → C 0 → → s: 3x y 0 r: x 3y 7 0 6 a) r: x 3y 7 0 O (0, 0) 6 7 7 √10 7 d(0, r) ———— ——— ———— u 10 √1 9 √10 → d(O, r) d(O, O) OO √ 49 441 —— —— 100 100 √ 490 7 √10 —— ———— u 100 10 37. Troba la distància entre les rectes: 2x 3y 5 0 i 4x 6y 3 0 r: 2x 3y 5 0 s: 4x 6y 3 0 6 r i s són paralel.les P(2, 3) és un punt de r, aleshores: 8 18 3 d(r, s) d(P, s) ——————— √16 36 7 7 7 √13 ——— ———— ———— u 2 √13 26 √52 38. Els punts de la mediatriu d’un segment equidisten dels seus extrems. Tenint en compte aquesta propietat, determina l’equació de la mediatriu del segment d’extrems A(2, 5) i B(4, 7). B(4, 7) X(x, y) 6 6 → → → AX x a (x 2, y 5) → → → BX x b (x 4, y 7) → → 2 2 AX BX → √(x 2) (y 5) 2 2 √(x 4) (y 7) x2 4x 4 y2 10y 25 → 36. Calcula de dues maneres diferents la dis­tància de l’origen de coordenades a la recta x 3y 7 0. 7 21 x ——, y —— 10 10 6 7 21 O ——, —— és el projectat de O sobre r. 10 10 7 21 → OO ——, —— 10 10 A(2, 5) X(x, y) 1 2 3 u•v cos ——— ————— ——— → → → √10 √5 5 √2 uv 1 → arc cos ——— 81,87° 5 √2 b) r: x 3y 7 0 x2 8x 16 y2 14y 49 12x 24y 36 0 → x 2y 3 0 39. Determina les equacions de les bisectrius dels angles que formen les rectes r: x 2y 5 0 i s: 2x y 3 0. Comprova que són perpendiculars. r: x 2y 5 0 s: 2x y 3 0 6 x 2y 5 2x y 3 —————— —————— √5 √5 MATEMÀTIQUES 1 x 2y 5 2x y 3 → → → x y 8 0 → u (1, 1) x 2y 5 2x y 3 → → → 3x 3y 2 0 → v (3, 3) → LA 77 41. L’incentre d’un triangle és el punt on es tallen les bisectrius dels angles interiors del triangle. Troba les coordenades de l’incentre del triangle determinat per les rectes: 6 r: 3x 4y 5 0, s: 3x 4y 7 0 i t: 4x 3y 6 0. → u•v330 40. Demostra que les dues bisectrius dels angles que formen dues rectes que es tallen són perpendiculars. Ax By C Ax By C ——————— ———————— B2 B2 √ A2 √ A2 A√ A2 B2 x B √ A2 B2 y B2 C √ A2 B2 x B√ A2 B2 y A√ A2 B2 C√ A2 (A√ A2 B2 A√ A2 B2) x B2 B√ A2 B2) y (B √ A2 B C√ A B 0 C √ A 2 2 2 2 → u (B √ A2 B2 B√ A2 B2, r: 3x 4y 5 0 t: 4x 3y 6 0 3x 4y 5 4x 3y 6 ——————— ——————— 5 5 3x 4y 5 4x 3y 6 x 7y 1 0 → m 0 → no B2 A√ A2 B2) A√ A2 2 B2 x B√ A B2 y A√ A2 3x 4y 5 4x 3y 6 7x y 11 0 → m 0 B2 C √ A2 B2 x B√ A2 B2 y A√ A2 B C√ A 2 2 s: 3x 4y 7 0 t: 4x 3y 6 0 (A√ A2 B2 A√ A2 B2)x B2 B√ A2 B2)y (B√ A2 3x 4y 7 4x 3y 6 x y 13 0 → m 0 → no → v (B √ A2 B2 B√ A2 B2, 3x 4y 7 4x 3y 6 7x 7y 1 0 → m 0 B2 A√ A2 B2) A√ A2 → → B2 B√ A2 B2 ) (B√ A2 7x y 11 0 7x 7y 1 0 B2 A√ A2 B2 ) (A√ A2 B2 A√ A2 B2 ) (A√ A2 B2)2 (B√ A2 B2 )2 (B√A2 B2)2 (A√ A2 B2 )2 (A√ A2 B2(A2 B2) B2(A2 B2) A2(A2 B2) A2(A2 B2) 6 3x 4y 7 4x 3y 6 ———————— ——————— 5 5 B2 C√ A2 B2 0 C√ A2 u • v (B √ A2 B2 B√ A2 B2 ) 6 6 19 3 x ——, y — 14 2 19 3 Incentre: ——, — 14 2 42. Donades dues rectes de pendents m 2 i m 3, calcula els pendents de les dues rectes bisectrius dels angles que determinen. B2 A2 B2 B2 B2 A2 m 2 → y 2x n → 2x y n 0 B2 B2 A2 A2 A2 B2 m 3 → y 3x n → → 3x y n 0 A A A B 0 2 2 2 2 6 78 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE d) Les coordenades de l’incentre. 2x y n 3x y n —————— —————— → √5 √10 3x y n → 2x y n —————— √2 El sistema que resulta de considerar dues qualssevol de les bisectrius del triangle té per solució x y 1. Incentre I (1, 1). e)La distància de l’incentre a cadascun dels costats del triangle. b1: 2 √ 2 x √ 2 y √ 2 n 3x y n La distància és d 1 u. b1: (3 2√ 2)x (1 √ 2)y √ 2 n n 0 2 √ 2 3 (2 √ 2 3) (1 √ 2) m1 ————— —————————— 12 1 √ 2 Activitats finals 1. Donada la recta d’equació 4x + 5y + 20 = 0, indica’n: 5 √2 7 ————— 7 5 √ 2 1 a) El pendent i un vector director. � m − A − 4 , v (5,–4 ) B 5 b2: 2 √ 2 x √ 2 y √ 2 n 3x y n b) Les equacions explícita i canònica. 4 4x + 5y + 20 0 → y x 5 equació explícita 5 4x + 5y + 20 0 → x 0, y 4 q i y 0, x 5 x y p→ + 1 equació canònica. −5 −4 b2: (3 2√ 2)x (1 √ 2)y √ 2 n n 0 (3 2 √ 2) (√ 2 1) 3 2 √ 2 m2 ————— —————————— 21 √ 2 1 7 5 √2 43.Donades les rectes x = 0, y = 0 i 3x + 4y − 12 = 0, determina: a)Les coordenades dels vèrtexs del triangle que determinen. Fent la intersecció de les rectes que determinen els costats del triangle, en trobem els vèrtexs: O(0, 0), P(4, 0) i Q(0, 3). Es tracta d’un triangle rectangle. b) L’àrea d’aquest triangle. A = 4 ⋅ 3 = 6 u2 2 c)Les equacions de les bisectrius dels angles del triangle. Bisectriu de l’angle amb vèrtex en O: x y = 0 Bisectriu de l’angle amb vèrtex en P: 3 x + 4 y − 12 −y → x +3y − 4 0 5 Bisectriu de l’angle amb vèrtex en Q: 3 x + 4 y − 12 −x → 2x + y − 3 0 5 c)Una equació vectorial, una de paramètrica i una de canònica. Per exemple, si prenem P(0, 4) i v = (5, 4): x y+4 equa(x, y) = (0, 4) + k(5, 4) equació vectorial 5 −4 ció contínua 2 2.El punt P(t, −5) pertany a la recta de pendent m = − que 3 passa pel punt Q(4, −2). Calcula el valor de t. Equació de la recta donada: 2 y + 2 − ( x − 4) → 2 x + 3 y − 2 0 3 El punt P(t, 5) pertany a aquesta recta: 2t 15 2 17 0→t 2 3.La recta d’equació x + 2y − 1 = 0 dista 2 unitats de la recta y 1 x − n. Calcula el valor de n. 2 Considerem un punt qualsevol de la primera recta, per exemple P(1, 0), i imposem la condició que la distància d’aquest punt a la segona recta és √5: d= 1 + 2n √5 √5 → 1 + 2n = 5 → n = 2, n = 3 4.Troba l’equació de la recta que conté el punt P(1, −6) i és x y paral·lela a la recta + 1. 2 5 x y + 1 → 5 x + 2 y − 10 0 2 5 L’equació d’una recta paral·lela a la recta que ens donen és de la forma 5x + 2y + C 0. Imposem la condició que passi pel punt P(1, 6): 5 12 + C = 0 → C 7 La recta que ens demanen és: 5x + 2y + 7 = 0 LA MATEMÀTIQUES 1 5.Les rectes 2x + 3y − 5 0 i Ax + By − 4 0 són perpendiculars. Calcula el valor de A i de B sabent que la segona recta passa pel punt P(2, 1). 79 9. C alcula l’àrea del triangle de vèrtexs els punts A(1, 1), B(3, 4) i C(5, 2). Les dues rectes són perpendiculars: 2A + 3B 0 La segona recta passa per P(2, 1): 2A + B 4 Resolem el sistema format per aquestes dues equacions: A 3, B 2 6.Determina l’equació de la recta que passa pel punt (3, 2) i 25 2 u. forma amb els eixos de coordenades un triangle d’àrea 12 Considerem l’equació de la recta en la seva forma canònica. Es 3 2 verifica: + 1 i, simultàniament, pq = 25. p q 2 2 El sistema format per aquestes dues equacions té dues solucions: x y p1 q 1 5 → + 1 → x + y − 5 0 5 5 15 10 → 4x + 9y 30 0 p 2 , q2 2 3 → → → AC c a (4, 3) → b AC √162 9 √25 5 u → v (4, 3) A(1, 1) 6 x1 y1 ——— ——— → r: 3x 4y 7 0 4 3 7.Considera les rectes r: recta de pendent −2 que passa pel punt (1, −4), i s: recta que conté el punt (−2, 3) i forma un angle de 45° amb el sentit positiu de l’eix de les abscisses. Escriu l’equació de les rectes r i s i calcula l’angle que formen. 9 16 7 18 h d(B, r) —————— —— u 5 √25 Recta r: y + 4 = 2(x 1) → 2x + y + 2 = 0 1 1 18 S — b h — 5 —— 9 u2 2 2 5 Recta s: m = tg 45º = 1; y 3 = x + 2 → x y + 5 = 0 Vectors directors: v = (1, 2) i v = (1, 1) cos α v • v 1–2 vr vs √5√2 √10 → α = 71,6º 10 8.Donada la recta r d’equació 3x − 2y + 7 = 0 i el punt P(2, 0), determina: a)L’equació de la recta r’ que passa per P i és perpendicular a r. 3 2 2 mr → mr' − ; y − ( x − 2) → 2 x + 3 y − 4 0 2 3 3 10. Determina el valor de k per tal que les rectes: r: kx (k 1) y 2 0 i s: 3kx (3k 1) y 5 0 siguin: a) Paral.leles. k k1 —— ————— 3k 3k 1 3k2 k 3k2 3k 6k2 2k 0 → 2k (3k 1) 0 → 1 → k1 0, k2 — 3 b)El punt d’intersecció de les rectes r i r’. Resolent el sistema format per les equacions 3x − 2y + 7 0 i 2x + 3y 4 0 s’obté la solució x 1, y 2. Les rectes r i r’ es tallen en el punt P’(1, 2). c) El punt simètric de P respecte de r. P’ és el punt mitjà del segment que determinen el punt P i el punt P’’(x, y) les coordenades del qual hem de determinar. Per tant: 2+ x y → x −4; 2 → y 4 −1 2 2 El punt simètric de P respecte de r és P’’(4, 4). b) Perpendiculars. → u (1 k, k) → v (3k 1, 3k) → 6 → u•v 0 → (1 k) (3k 1) k3k 0 3k2 2k 1 3k2 0 → 1 → 2k 1 0 → k — 2 LA 80 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 11. Determina l’equació de la recta que passa pel punt P(2, 4), tal que la seva perpendicular per l’origen de coordenades forma un angle de 45° amb l’eix d’abscisses. c) La distància de C a cada vèrtex és la mateixa. → → CO (1, 3), d (C, O) CO √1 9 √ 10 u → → CP (3, 1), d (C, P) CP √9 1 √ 10 u → → CQ (1, 3), d (C, Q) CQ √1 9 √ 10 u 45° → m tg tg 45° 1 O (0, 0) 6 yx r: x y 0 s r, s: x y C 0 P (2, 4) → 2 4 C 0 → C 6 xy60 12. Els punts O(0, 0), P(4, 2) i Q(2, 6) són els vèrtexs d’un triangle. Troba el baricentre (B), el circumcentre (C) i l’ortocentre (A). → 6 PO (4, 2) → PQ (2, 4) → 13. Escriu l’equació de la recta perpendicular a x 3y 1 0 que es troba a distància 3 del punt P(1, 1). → PO • PQ 8 8 0 → → P 90° És un triangle rectangle en P. 42 26 8 Baricentre: B ———, ——— → B 2, — 3 3 3 Circumcentre: punt mitjà del segment OQ → C(1, 3) Ortocentre: vèrtex P → A(4, 2) r: x 3y 1 0 Comprova que: s r, s: 3x y C 0 a) B, C i A estan alineats. → 2 AB 2, — 3 → AC (3, 1) Són linealment dependents, per tant els punts A, B i C estan alineats. → 4C → ———— 3 √ 10 b) AB 2BC . → → 1 BC 1, — → 2 BC 3 1 2 2 1, — 2, — 3 3 6 C1 3 √ 10 4 C2 3 √ 10 4 s1 3x y 3 √10 4 0 → → 2 AB 2, — 3 3 1 C d(P, s) 3 → —————— 3 → √ 10 s2 3x y 3 √ 10 4 0 → → AB 2 BC 14. Els punts A(0, 2) i B(4, 0) són dos vèrtexs d’un triangle rectangle isòsceles d’hipotenusa AB. Calcula les coordenades del tercer vèrtex C i l’àrea del triangle. A(0, 2), B(4, 0), C(x, y) → CA (x, 2 y) → CB (4 x, y) LA MATEMÀTIQUES 1 → → CA CB → → → r: 2x y 3 0 → u (1, 2) → 2 (2 y)2 √(4 x)2 (y)2 √ (x) v (1, m) → x2 4 4y y2 16 8x x2 y2 → → 8x 4y 12 0 → 2x y 3 0 → → CA • CB 0 → x (4 x) (2 y)(y) 0 → x y 4x 2y 0 2x y 3 0 x2 y2 4x 2y 0 Dues solucions: x1 3, y1 3 → C1(3, 3) 6 P(3, 3) 8 5 √ 3 m1 —————— 11 → CA (3, 1) → → → CA √ 9 1 √ 10 u → → CB CA √ 10 u 1 → → 1 S — CA CB — 2 2 √ 10 √ 10 5 u2 1 4m 4m2 1 ———————— — → 2 5 (1 m ) 4 8 5 √ 3 11m2 16m 1 0 → m —————— 11 x2 1, y2 1 → C2(1, 1) C(3, 3) A(0, 2) → → 4 16m 16m2 5 5m2 2 6 6 1 u•v 1 2 m ——— cos 60° → ——————— — → → uv m2 2 √ 5 √1 4x x2 2y y2 0 → 2 81 6 8 5 √ 3 y 3 —————— (x 3) 11 P(3, 3) 8 5 √ 3 m2 —————— 11 6 8 5 √ 3 y 3 —————— (x 3) 11 16. Troba l’incentre del triangle determinat per les rectes 2x 3y 8 0, 3x 2y 25 0 i 2x 3y 4 0. Comprova que l’incentre equidista dels tres costats del triangle. 15. Determina les equacions de les rectes que tallen la recta 2x y 3 0 en el punt d’abscissa x 3 i formen amb ella un angle de 60°. x3 → 6y30 → y3 P(3, 3) s: 3x 2y 25 0 t: 2x 3y 4 0 6 3x 2y 25 2x 3y 4 ——————— ——————— √ 13 √13 3x 2y 25 2x 3y 4 x y 29 0 → → m 0 → no 82 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE → → → AC c a (3, 1) 3x 2y 25 2x 3y 4 → 5x 5y 21 0 m 0 b AC √9 1 √ 10 u r: 2x 3y 8 0 s: 3x 2y 25 0 6 11 2 9 4 h d(B, s) ——————— —— u √ 10 √ 10 1 1 11 11 S — bh — √ 10—— —— u2 2 2 2 √ 10 2x 3y 8 3x 2y 25 ——————— ——————— √ 13 √ 13 2x 3y 8 3x 2y 25 x 5y 17 0 m 0 → no 2x 3y 8 3x 2y 25 5x y 33 0 m0 6 5x 5y 21 0 31 x ——, y 2 5x y 33 0 5 31 Incentre: I ——, 2 5 4 √ 13 52 52 √ 13 ——— ——— ——— u 5 √ 13 513 5 4 √ 13 ——— u 5 93 52 —— 4 25 —— 5 5 d(I, s) ———————— —— √ 13 √ 13 62 52 —— 6 8 —— 5 5 d(I, r) ———————— —— √ 13 √ 13 62 52 —— 6 4 —— 5 5 d(I, t) ———————— —— √ 13 √ 13 4 √ 13 ——— u 5 17. Calcula l’àrea del triangle determinat per les rectes: r: 4x y 5 0; s: x 3y 4 0 i t: 3x 2y 12 0. r: 4x y 5 0 s: x 3y 4 0 6 r: 4x y 5 0 t: 3x 2y 12 0 x 1, y 1 → A(1, 1) 6 x 2, y 3 → → B(2, 3) s: x 3y 4 0 t: 3x 2y 12 0 6 x 4, y 0 → → C(4, 0) 18. Determina l’equació de les rectes paral.leles a la recta: 2x y 3 0 que es troben a distància 5 del punt P(1, 2). r: 2x y 3 0 s paral.lela a r → s: 2x y C 0 2 2 C d(P, s) 5 → ——————— 5 → √5 → C 5 √5 → C 5 √5 s1: 2x y 5 √5 0 s2: 2x y 5 √5 0 LA MATEMÀTIQUES 1 19. El centre d’un quadrat és el punt C(0, 3) i el punt P(2, 6) n’és un vèrtex. Troba els tres vèrtexs restants, el perímetre i l’àrea del quadrat. 83 → OA (3, 1) 6 C(1, 2) B(x, y) → → → CB b c (x 1, y 2) → → CB OA → (x 1, y 2) (3, 1) x13 → x4 y21 → y3 6 B(4, 3) → b OA √ 9 1 √ 10 u → → u OA (3, 1) x — y → r: x 3y 0 O(0, 0)3 x2 P(2, 6) ——— 0 → x 2 2 C(0, 3) 6y ——— 3 → y 0 R(x, y) 2 6 → → 6 5 1 6 h d(C, r) → ———— —— u √ 10 √ 10 R(2, 0) → C(0, 3) → u (3, 2) Q(x, y) 6 → → CQ u → (x, y 3) (3, 2) x3 y 3 2 → y 1 21. Determina l’equació de les rectes que contenen les altures del triangle de vèrtexs A(2, 1), B(0, 2) i C(4, 0). 6 A(2, 1) B(0, 2) 6 → → → AB b a (2, 1) → n1 (2, 1) → 2x y C 0 C(4, 0) → 8 C 0 → C 8 hc: 2x y 8 0 Q(3, 1) 3x Q(3, 1) ——— 0 → x 3 2 C(0, 3) 1 y S(x, y) ——— 3 → y 5 2 6 → 5 S bh √ 10—— 5 u2 √ 10 → u PC → u (3, 2) → PC c p (2, 3) → 6 → 6 B(0, 2) C(4, 0) S(3, 5) → PQ q p (1, 5) → → 25 √ 26 u → PQ √ 1 → p 4 PQ 4√ 26 u → S PQ 2 √262 26 u2 20. Un paral.lelogram OABC té els seus vèrtexs en els punts O(0, 0), A(3, 1) i C(1, 2). Calcula les coordenades del vèrtex B i l’àrea del paral.lelogram. 6 → → → BC c b (4, 2) → n2 (2, 1) → 2x y C 0 A(2, 1) → 4 1 C 0 → C 5 hA: 2x y 5 0 A(2, 1) C(4, 0) 6 → → → AC c a (6, 1) → n3 (6, 1) → 6x y C 0 B(0, 2) → 2 C 0 → C 2 hB: 6x y 2 0 84 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 22. Dos dels vèrtexs oposats d’un rombe es troben situats en els punts A(2, 4) i C(0, 2) i el vèrtex B és un punt de l’eix d’abscisses. Determina les coordenades dels vèrtexs B i D i calcula l’àrea del rombe. M, punt mitjà del segment AC → M(1, 3) → → → → AC c a (2, 2), n (1, 1) xyC0 M(1, 3) → 1 3 C 0 → C 4 xy40 x 4, y 0 → B(4, 0) y0 4x B(4, 0) ——— 1 → x 2 2 M(1, 3) D(2, 6) y D(x, y) —3 → y6 2 6 6 6 → → r: x y 4 0 y0 6 x 4, y 0 → A(4, 0) r: x y 4 0 1 11 x —, y —— → 3 s: 2x y 3 0 3 6 1 11 → B —, —— 3 3 s: 2x y 3 0 x0 6 x 0, y 3 → C(0, 3) 1 11 → → OB —, —— → u (1, 11) 3 3 O (0, 0) 6 → AC c a → (2, 2) → 4 √ 8 2 √ 2 u; d AC √ 4 → O(0, 0) → → BD d b (6, 6) → 36 √ 72 6 √ 2 u d BD √ 36 1 1 S — dd — 2 √ 2 6 √ 2 12 u2 2 2 y x —— → 11x y 0 11 → → → → AC c a (4, 3) → v (4, 3) A(4, 0) x4 y ——— — → 3x 4y 12 0 4 3 11x y 0 3x 4y 12 0 6 6 12 132 x ——, y —— → 47 47 12 132 → D ——, —— 47 47 24. Calcula l’àrea del quadrilàter de vèrtexs els punts: A(3, 2); B, simètric del punt A respecte de la recta x y; C, simètric del punt B respecte de l’eix d’ordenades, i D, simètric de C respecte de l’eix d’abscisses. 23. Troba el punt en què es tallen les diagonals del quadrilàter que està format pels eixos de coordenades i les rectes x y 4 0 i 2x y 3 0. A(3, 2) → B(2, 3) → C(2, 3) → → D(2, 3) LA MATEMÀTIQUES 1 → → → → → → AD d a (5, 5) AB b a (1, 1) 1 → → 1 S1 — AD AB — √50 √ 2 5 u2 2 2 → → → → → → CB b c (4, 0) CD d c (0, 6) √ 6 441 + 11 025 √11 466 = = 22 222 21√ 26 ———— u 22 6 1 S — bh 2 1 → → 1 S2 — CB CD —46 12 u2 2 2 85 273 1 21 √ 26 — √ 26 ———— —— u2 2 22 22 S S1 S2 5 12 17 u2 25. Els vèrtexs corresponents al costat des­igual d’un triangle isòsceles se situen en els punts A(1, 1) i B(4, 0). El tercer vèrtex C és un punt de la recta x 2y 8 0. Troba les coordenades de C i calcula el perímetre i l’àrea del triangle. A(1, 1) B(4, 0) 6 → AB (5, 1) M, punt mitjà del segment AB, → 3 1 → M —, — 2 2 → n (5, 1) → 5x y C 0 3 1 15 1 M —, — → —— — C 0 → C 7 2 2 2 2 5x y 7 0 r: x 2y 8 0 26. Determina les bisectrius interiors dels angles del triangle de vèrtexs A(4, 5), B(5, 7) i C(4, 7). 6 6 47 6 47 x ——, y —— → C ——, —— 11 11 11 11 17 58 → → AC c a ——, —— 11 11 → → AC √—11 —11 17 58 2 2 √ 289 3 364 √3 653 —————— ———— u 2 11 11 → b AB √ 25 1 √ 26 u → → h MC 2 2 √ → → 6 2x 8 9y 45 → r: 2x 9y 53 0 → 21 105 → → MC c m ——, —— 22 22 → AB b a (9, 2) → y5 → u (9, 2) x 4 ——— ——— A(4, 5) 9 2 2 √3 653 √ 26 —————— u 11 6 → → p AB 2AC A(4, 5) B(5, 7) 21 105 —— —— 22 22 A(4, 5) C(4, 7) → 6 AC c a (0, 2) → → → → → v (0, 1) s: x 4 0 A(4, 5) 6 86 LA B(5, 7) SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 6 → → → C(4, 7) BC c b (9, 0) → → → w (1, 0) B(5, 7) 6 t: y 7 0 r: 2x 9y 53 0 s: x 4 0 2x 9y 53 ——————— (x 4) √ 85 2x 9y 53 √ 85 (x 4) 2x 9y 53 √ 85x 4 √ 85 (√ 85 2)x 9y 4 √ 85 53 0 → → m 0 → no 28. Determina les coordenades de l’ortocentre, el baricentre i el circumcentre del triangle que té per vèrtexs els punts A(4, 2), B(10, 6) i C(6, 1). 2x 9y 53 √ 85 (x 4) 2x 9y 53 √ 85x 4 √ 85 (√ 85 2)x 9y 4 √ 85 53 0 m0 r: 2x 9y 53 0 t: y 7 0 6 2x 9y 53 ——————— (y 7) √ 85 2x 9y 53 √ 85 (y 7) 2x 9y 53 √ 85y 7 √ 85 2x (9 √ 85)y 53 7 √ 85 0 m 0 s: x 4 0 t: y 7 0 6 x 4 (y 7) x 4 y 7 → x y 11 0 → A(4, 2) B(10, 6) 6 AB b a (6, 4) A(4, 2) C(6, 1) 6 AC c a (2, 3) → x y 3 0 m 0 27. Dos dels vèrtexs d’un triangle rectangle són els punts B(5, 2) i C(1, 5). Calcula l’ordenada de l’altre vèrtex A sabent que la seva abscissa és x 3 i que A 90°. A(3, y) → → → AB b a (2, 2 y) B(5, 2) 6 A(3, y) C(1, 5) → → → → → 4 10 7y y2 0 → → y2 7y 6 0 → y1 1, y2 6 A1(3, 1), A2(3, 6) → 6 → 4 10 6 2 6 1 Baricentre: ——————, ————— → 3 3 20 7 → G ——, — 3 3 Circumcentre: punt mitjà del segment BC → 5 → M 8, — 2 → A 90° → AB •AC 0 → → → Ortocentre: el vèrtex A(4, 2) 6 AC c a (2, 5 y) → → → AB • AC 12 12 0 → A 90° → m 0 no x 4 y 7 → → 29. Les equacions de les rectes que contenen dos dels costats d’un paral.lelogram de centre el punt C(2, 2) són y 2x i x 2y. Troba’n les coordenades dels quatre vèrtexs. r: y 2x s: x 2y 6 x 0, y 0 → LA MATEMÀTIQUES 1 x → O(0, 0) —— 2 → x 4 2 C(2, 2) y Q(x, y) —— 2 → y 4 2 6 yx → xy0 6 Q(4, 4) Perpendicular: x y C 0 C(0, 4) → 4 C 0 → C 4 xy40 xy40 x 2, y 2 → M(2, 2) xy0 6 y 2x → 2x y 0 Paral.lela: 2x y C 0 Q(4, 4) → 8 4 C 0 → C 4 2x y 4 0 A(x, x) M(2, 2) 6 → → x)2 (2 x)2 2 √(2 2 (4 4x x2) 4 4 4x x2 2 2x y 0 4 8 x —, y — → 3 3 x 2y 4 0 6 4 8 → R —, — 3 3 x 2y 0 8 4 x —, y — → 3 3 2x y 4 0 6 8 4 → P —, — 3 3 → AM 2 Q (4, 4) → 4 8 C 0 → C 4 x 2y 4 0 → AM m a (2 x, 2 x) x 2y → x 2y 0 Paral.lela: x 2y C 0 87 x2 4x 2 0 → x 2 √ 2 A(2 √ 2, 2 √ 2), B(2 √ 2, 2 √ 2) 31. El catet AB d’un triangle rectangle en A es troba sobre la recta 2x 5y 4 0 i el punt C(4, 2) és un vèrtex del triangle. Calcula les coordenades del vèrtex A i la longitud del catet AC. r: 2x 5y 4 0 Perpendicular s: 5x 2y C 0 C(4, 2) → 20 4 C 0 → C 16 s: 5x 2y 16 0 5x 2y 16 0 2x 5y 4 0 88 12 88 12 x ——, y —— → A ——, —— 29 29 29 89 → 30. El costat desigual d’un triangle isòsceles mesura 4 i es troba so­ bre la recta d’equació y x. El vèrtex oposat és el punt C(0, 4). Determina les coordenades dels vèrtexs A i B del triangle. 6 14 8 10 4 AC d(C, r) ——————— —— 29 √ √ 29 14 √ 29 ———— u 29 LA 88 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 32. Els punts A(1, 1), B(0, 1) i C(3, 2) són tres vèrtexs consecutius d’un paral.lelogram. Determina’n el vèrtex D i calcula’n el perímetre i l’àrea. x −2 y −5 = 4 3 El punt C compleix aquesta equació: 22 − 2 d − 5 20 d − 5 60 = → = →d = + 5 = 15 + 5 = 20 4 3 4 3 4 2.Determina l’equació general de cadascuna de les rectes següents: a)La recta r de pendent m = −2 que conté el punt P(1, −4). y + 4 −2 ( x − 1) → 2 x + y + 2 0 b) La recta s que passa pels punts A(4, −3) i B(1, 2). v AB (−3, 5) 3 M, punt mitjà del segment AC, → M 1, — 2 x B(0, 1) — 1 → x 2 2 3 M1, — 2 1 y 3 ———— — → y 4 D(x, y) 2 2 6 6 x −4 y +3 → 5 x + 3 y − 11 0 −3 5 c) La recta t l’equació canònica de la qual és 3x + 2y 6 0 x y + 1 . 2 3 d)La recta u que passa pel punt Q(−3, 5) i és paral·lela a la recta 4x − 3y + 17 0. 4x 3y + C 0 → 4 · (3) 3 · 5 + C 0 → C 27 → 4x 3y + 27 0 D (2, 4) → → → AB b a (1, 2) → → → AB √ 1 4 √5 u → → → AD d a (3, 3) → → → AD √ 9 9 √18 3 √ 2 u → → p 2 AB 2 AD (2 √ 5 6 √ 2) u → b AD 3 √ 2 u → AD (3, 3) → u (1, 1) A(1, 1) → 6 x 1 y 1 → r: x y 2 0 3 2 2 3 h d(C, r) —————— —— u √2 √2 3 S bh 3 √ 2—— 9 u2 √2 Avaluació 1. Els punts A(2, 5), B(6, 8) i C(22, d) estan alineats. Calcula el valor de d. Primerament trobem la recta AB: → Un vector director és v B A (6,8) (2,5) (4,3). L’equació contínua és: 3. Considera r la recta d’equació 3x 2 5y 1 2 5 0. Troba les equacions de les rectes paral·lela i perpendicular a r que passen pel punt (215, 4). Recta paral·lela: és de la forma 3x 2 5y 1 C 5 0. Substituint el punt: 3 · (−15)−5 (4) + C = 0 → −45 − 20 + C = 0 → = 65 . L’equació de la recta paral·lela és 3x 2 5y 1 65 5 0. Recta perpendicular: és de la forma 5x 1 3y 1 C 5 0. Substituint el punt: 5 · (−15) + 3 · 4 + C = 0 → −75 + 12 + C = 0 → C = 63. L’equació de la recta perpendicular és 5x 1 3y 1 63 5 0. 4. Donades les rectes x22ay 5 1 i x13y 5 8 calcula el valor de a perquè siguin: a) Paral·leles. La condició de paral·lelisme és: A B C = ' ≠ ' ' A B C 1 −2a −1 3 = ≠ → 3 = −2a → a = − . En el nostre cas: 1 3 2 −8 b) Perpendiculars. La condició de perpendicularitat és: A ⋅ A' + B ⋅ B' = 0 1 En el nostre cas: 1 ⋅ 1 − 2a ⋅ 3 = 0 → 1 − 6a = 0 → a = . 6 MATEMÀTIQUES 1 5.El punt P(2, q) dista 2 unitats de la recta 3x + 4y − 12 0. a) Calcula q. 3 ⋅ 2 + 4q − 12 2 → 4q − 6 10 → 4q − 6 10 32 + 42 → q 4, q2 −1 1 b)Troba l’àrea limitada per la recta i els eixos de coordenades. Punts d’intersecció amb els eixos de coordenades: (0, 3) i (4, 0). 4⋅3 6 u2 Àrea del triangle: A 2 LA 89 jUnitat 7. La circumferència i altres llocs geomètrics Activitats 1. Escriu l’equació de la circumferència de centre el punt (2, 0) i radi 2. Dibuixa-la. Hi apliquem la fórmula directament: (x a)2 (y b)2 r2 → (x 2)2 y2 4 6. a) Representa gràficament les rectes 3x 2 y 2 1 5 0 i x 1 3y 2 12 5 0. Fem el gràfic. La recta 3x 2 y 2 1 5 0 talla els eixos en els 1 punts (0, –1) i ,0 . La recta x 1 3y 5 12 talla en els 3 punts (12, 0) i (0, 4). 2. Identifica el centre i el radi de la circumferència d’equació (x 3)2 (y 1)2 4 i tot seguit representa-la gràficament. Si comparem l’equació (x 3)2 (y 1)2 4 amb l’equació general, tenim el següent: a 3, b 1 i r 2, és a dir, la circumferència té centre (3, 1) i radi 2. b) Demostra que són perpendiculars. Els vectors perpendiculars a la primera i segona rectes són (3, 21) i (1, 3). Fem el producte escalar i tenim 3 · 1 1 (21) · 3 5 0, i per tant són perpendiculars. c) Calcula’n el punt d’intersecció. La intersecció l’obtenim resolent el sistema: 3x − y = 1 x + 3 y = 12 3 7 que dóna com a resultat el punt , . 2 2 d) Determina l’àrea del triangle que limiten aquestes dues rectes i l’eix d’ordenades. El triangle ABC té base CB 5 4 2(21) 5 5 i altura sobre A de longitud 3 (abscissa de A). Per tant la seva superfície és 2 1 3 15 S = ⋅5⋅ = = 3,75 u2 2 2 4 3. L’equació d’una circumferència és x2 y2 16. Determina’n el centre i el radi. De la mateixa manera que en l’exercici anterior es dedueix: centre, (0, 0) i radi, 4. 4. Escriu l’equació de la circumferència de centre C(3, 1) i radi r 4. Esbrina si el punt P(3, 4) pertany a aquesta circumfe­rència. Hi apliquem la fórmula: (x 3)2 (y 1)2 16 Per saber si el punt P(3, 4) pertany a la circumferència cal substituir les coordenades del punt a l’equació: (3 3)2 (4 1)2 36 9 45 16 El punt P no és de la circumferència. 90 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 5. Determina l’equació de la circumferència que té per diàmetre el segment d’extrems els punts A(1, 4) i B(3, 0). El centre C de la circumferència en qüestió és el punt mitjà del 1 3 4 0 diàmetre, és a dir, del segment AB → C ————–, ———– → 2 2 → C(1, 2). El radi de la circumferència és: 5 5 — 2a → a —; 3 2b → 3 6 3 5 3 → b —— → C —, —— 2 6 2 5 3 9 5 —6 — r 4— → r 6— 2 2 2 2 → AC (2, 2) √8 r 8. Determina el centre i el radi de la circumferència: Equació: (x 1)2 (y 2)2 8 (x 2)2 (y 3)2 9 6. Escriu l’equació de la circumferència de centre (1, 3) i que passa per l’origen de coordenades. C(1, 3). El radi és el mòdul del segment determinat per l’origen de coordenades i el centre: → r OC (1, 3) √ 10 Troba si hi ha algun punt de la circumferència que tingui abscissa 2. De manera immediata: C(2, 3) i r 3. Per trobar si hi ha algun punt de la circumferència d’abscissa 2 cal substituir x per 2: (2 2)2 (y 3)2 9 → (y 3)2 7 Equació: (x 1)2 (y 3)2 10 7. Les equacions següents són de circumfe­rències. Troba’n el centre i el radi. 9. Esbrina quines d’aquestes equacions no corresponen a una circumferència. Raona la resposta. En cada cas cal aplicar les fórmules 2a m, 2b n i a2 b2 r2 p, per tal de trobar el centre C(a, b) i el radi r. b) 3x2 2y2 5x 9y 2 0 8 2a → a 4; No és una circumferència perquè els coe­ficients de x2 i y2 són diferents. 6 2b → b 3 → C(4, 3) 42 32 r2 20 → r √ 5 c) x2 y2 3 0 És una circumferència de centre C(0, 0) i radi r √ 3. b) x2 y2 4x 7y 0 4 2a → a 2; a) x2 y2 8x 3xy 5 0 No és una circumferència perquè té el terme 3xy. a) x2 y2 8x 6y 20 0 Aquesta equació no té solució real, per tant no hi ha cap punt de la circumferència que tingui abscissa 2. d) x2 y2 4x 8y 20 0 7 7 7 2b → b — → C 2, — 2 2 Podria ser l’equació d’una circumferència. Per estar-ne segurs, en calculem el centre i el radi: √ r 0 → r —— 2 7 (2)2 — 2 2 2 65 4 2a → a 2; 8 2b → b 4 → C(2, 4) (2)2 (4)2 r2 20 → r 0 c) x2 y2 6y 7 0 6 2b → b 3; 0 2a → a 0 → C(0, 3) 02 (3)2 r2 7 → r 4 27 d) 3x2 3y2 5x 9y —— 0 4 Cal dividir tota l’equació per 3: 5 9 x2 y2 —x 3y — 0 3 4 No és una circumferència. 4 8 e) x2 y2 —x —y 2 0 5 3 Hi apliquem les fórmules: 4 2 — 2a → a —; 5 5 8 4 2 4 — 2b → b — → C —, — 3 3 5 3 LA MATEMÀTIQUES 1 2 — 5 4 — 3 2 14 r 2 → r —— 225 2 2 2 No hi ha radi, per tant aquesta equació no correspon a una circumferència. 10. Escriu les equacions de les circumferències següents: En cada cas aplicarem l’equació general: (x a)2 (y b)2 r2 a) C(0, 2), r 2 5 6 El radi (centre, C) √ 1 4 y —x — 3 3 3 y— 2 91 —2 , —2 (centre) 1 3 25 —— 2 Equació de la circumferència: x —2 y —2 ——2 1 3 2 2 25 x2 (y 2)2 4 b) C(2 ,0), r 2 (x 2)2 y2 4 c) C(2, 2), r 4 Substituir cadascun dels punts a x2 y2 mx ny p 0. (x 2) (y 2) 16 2 2 d) C(1, 1), r √2 (x 1)2 (y 1)2 2 11. Determina l’equació de la circumferència circumscrita al triangle de vèrtexs A(2, 0), B(0, 4) i O(0, 0). El circumcentre d’aquest triangle es pot trobar gairebé d’una manera immediata. Recordes com fer-ho? Representa els punts en uns eixos cartesians i ho veuràs. Els tres punts determinen un triangle rectangle d’hipotenusa AB. El circumcentre del trian­gle és el punt mitjà de AB. 13. Expressa en la forma x2 y2 mx ny p 0 l’equació de la circumferència que passa pels punts (0, 3), (3, 0) i (1, 1). 2 4 C —, — → 2 2 → → C(1, 2) i radi OC √5 r Equació: (x 1)2 (y 2)2 5 9p (0, 3) → 9 3n p 0 → n ——— 3 9p (3, 0) → 9 3m p 0 → m ——— 3 (1, 1) → 1 1 m n p 0 9p 9p 2 ——— ——— p 0 → 3 3 24 → p ——— 5 7 Substituint: n m —— 5 7 7 24 Equació: x2 y2 —— x —— y —— 0 5 5 5 14. Dibuixa la circumferència de centre l’origen de coordenades i tangent a la recta y 2. Escriu-ne també l’equació. 12. Una circumferència passa pels punts A(2, 1), B(2, 4) i C(0, 2). Determina’n el centre i el radi i escriu-ne l’equació. Per determinar el circumcentre cal trobar la intersecció de dues mediatrius. 3 Mediatriu del costat AB: y — 2 6 Mediatriu del costat BC: pendent de BC → m — 3; el 2 1 pendent de la perpendicular: m — i passa pel punt mitjà 3 de BC: (1, 1). 1 4 y —x — 3 3 Intersecció de les dues mediatrius: El radi és 2 i l’equació, x2 y2 4. 15. La recta que passa pels punts A(1, 3) i B(3, 0) és tangent a una circumferència de centre C(3, 4). Troba l’equació d’aquesta circumferència. El radi de la circumferència és la distància del centre a la recta tangent. Cal trobar primer l’equació d’aquesta recta. El pendent és 3 m —— 4 LA 92 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE i, per tant, l’equació de la recta tangent és: 3 9 y —x — → 3x 4y 9 0 4 4 El radi de la circumferència és la distància del centre (3, 4) a la recta: 33 44 9 16 r ———————— —— 42 5 √ 32 Equació de la circumferència: 256 (x 3)2 (y 4)2 —— 25 16. Troba l’equació de la circumferència de centre (1, 1) i tangent a la recta y 2x 3. 3 √7 x1 ———— 2 6 √36 8 → x ——————— 4 3 √7 x2 ———— 2 Es pot afirmar que la recta és secant a la circumferència, ja que té dos punts en comú: √ √ √ √ ———, ——— i ———, ——— 2 2 2 2 3 7 3 7 3 7 3 7 19. Determina la posició relativa de les circumferències d’equacions: x2 y2 12x 35 0 i (x 3)2 y2 4 6 Com en l’exercici anterior. Equació de la recta tangent: x2 y2 12x 35 0 x2 y2 6x 5 0 2x y 3 0. Restem les dues equacions: 4 2(1) 1 3 r ———————— —— 2 12 √ 2 √5 6x 30 0 → x 5 Substituïm x 5 en una de les dues equacions: 25 y2 30 5 0 → y 0 Equació de la circumferència: 16 (x 1)2 (y 1)2 —— 5 1 9 17. Una circumferència de centre C —, — és tangent a la bi 2 4 sectriu del primer i tercer quadrants. Escriu l’equació de la circumferència. La bisectriu del primer i del tercer quadrants és la recta d’equació x y 0. Les dues circumferències són tangents en el punt (5, 0). Cal esbrinar, però, si són tangents exteriors o interiors: Centres: (6, 0) i (3, 0) Radis: 1 i 2 La distància entre els centres és la suma dels dos radis, és a dir, 1 2 3. Per tant, les circumferències són tangents exteriors. 20. Una circumferència amb centre en el punt (2, 3) és tangent a l’eix de les abscisses. Determina’n el radi i l’equació. Ajuda’t d’un dibuix. 1 9 7 —— — 2 4 4 7 r —————— —— ——— 2 2 1 4 √2 √ 1 √2 Equació de la circumferència: 1 x— 2 2 49 —— 32 9 y— 4 2 18. Troba la posició relativa de la recta x y 0 i la circumferència x2 y2 4x 2y 1 0. La posició relativa es determina resolent el sistema format per les dues equacions, la de la recta i la de la circumferència: 5 x y 4x 2y 1 0 xy0 2 2 5 x x 4x 2x 1 0 xy 2 2 2x2 6x 1 0 → El radi és la distància del centre a l’eix de les abscisses: r3 Equació: (x 2) (y 3)2 9 2 21. Expressa, per mitjà d’una inequació, la condició per tal que un punt P(x, y) sigui exterior a una circumferència de centre (1, 0) i radi √ 3. Els punts exteriors a una circumferència es troben a una distància del centre més gran que el radi. La inequació és: (x 1)2 y2 3 MATEMÀTIQUES 1 22. Dibuixa la circumferència de centre l’origen de coordenades i radi 3. Sense fer cap càlcul localitza un punt interior, un d’exterior i un de la circumferència. Hi pot haver algun punt de la circumferència amb abscissa 4? Raona la resposta. LA 93 25. Considera el feix de rectes que passen pel punt P(0, 2). Troba les dues rectes del feix que són tangents a la circumferència de centre C(1, 1) i radi √ 2. El feix de rectes que passa per P és y mx 2 Resposta oberta. Equació de la circumferència: Per exemple: (x 1)2 (y 1)2 2 → → x2 y2 2x 2y 0 Procedim com en l’exercici anterior: x2 (mx 2)2 2x 2(mx 2) 0 → → 0 → m1 1, m2 7 Punt interior: (1, 1); punt exterior (4, 3); punt de la circumferència: (3, 0). No hi pot haver cap punt d’abscissa 4, ja que tots els punts de la circumferència verifiquen 3 x 3. Les rectes són: y x 2 i y 7x 2. 26. Una circumferència té com a tangents els eixos de coordenades. En quina recta es troba el seu centre? El centre es troba en una de les dues bisectrius d’equacions: 23. Escriu l’equació de la recta tangent a la circumferència C en el punt P que pertany a aquesta circumferència en els casos següents: En cada cas cal trobar l’equació de la recta perpendicular al radi en el punt de tangència. Cal recordar que mm 1. a) x2 y2 2x 4y 3 0 i P(0, 1) Centre: (1, 2); pendent CP → m 1; pendent perpendicular: 1; equació de la recta: y x 1. b) x2 y2 2x 10y 13 0 i P(1, 2) 3 Centre: (1, 5); pendent CP → m —; pendent per 2 2 2 4 pendicular: —; equació de la recta: y —x —. 3 3 3 c) x2 y2 6 0 i P(√ 3, √ 3) Centre: (0, 0). Pendent CP → m 1; pendent perpendicular: 1; equació de la recta: y x 2 √ 3. 24. Troba k per tal que la recta x y k 0 sigui tangent a la circumferència x2 y2 2. El sistema format per les dues equacions cal que tingui només una solució; és a dir, el discriminant ha de ser igual a zero. xyk0 x2 y2 2 6 y x k x2 (x k)2 2 → → x2 x2 2kx k2 2 0 2x2 2kx k2 2 0 (2k)2 8(k2 2) 0 → k 2 Hi ha dues rectes tangents. y x i y x 27. Calcula la potència del punt P(2, 3) respecte d’una circumferència de centre l’origen de coordenades i radi 4. Quina és la posició del punt respecte de la circumfe­rència? La potència es calcula substituint les coordenades del punt en l’equació de la circumferència, ja que correspon a l’expressió p d2 r2. Equació de la circumferència: x2 y2 4 0 p 22 (3)2 4 9 El punt és exterior a la circumferència, ja que p 9 0. 28. Considera la circumferència tangent a la bisectriu del segon i quart quadrants i de centre el punt (0, 3) i la circumferència d’equació x2 y2 14x 8y 56 0. Troba l’equació de l’eix radical de les dues circumferències. Comprova que l’eix ra­dical és perpendicular a la recta que determinen els centres de les dues circumferències. Fes-ne un dibuix. Cal trobar el radi de la circumferència que és tangent a la recta y x 0: Equació: 3 3 r —————— —— 2 2 1 √1 √2 9 (x 0)2 (y 3)2 — → 2 9 → x2 y2 6y — 0 2 94 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE L’equació de l’eix radical es troba igualant les dues equacions: 9 x2 y2 6y — 2 x2 y2 14x 8y 56 → → 28x 4y 103 0 1 La recta dels centres (0, 3) i (7, 4) té pendent ——, l’eix ra7 1 dical té pendent 7. Com que 7 — 1, les dues rectes 7 són perpendiculars. 29. Intenta trobar l’eix radical de dues circumferències concèntriques de centre el punt (1, 1) i de radis 3 i 4, respectivament. Què observes? Raona la resposta. 5 5 Focus: 0, —— ; directiu: y — 2 2 33. Determina l’equació de la paràbola que té el vèrtex a l’origen de coordenades, l’eix és la recta y 0 i conté el punt (1, 4). La paràbola serà de la forma x2 ay si conté el punt (1, 4) → 1 1 → 1 a(4) → a — → x2 —y. 4 4 34. Troba el valor del paràmetre p de la pa­ràbola d’equació x2 2py, sabent que el punt P(4, 2) pertany a la paràbola. Les dues circumferències tenen equacions: (x 1) (y 1) 9 0 i (x 1)2 (y 1)2 16 0 2 P(4, 2) → (4)2 2p2 → p 4 2 En igualar-les obtindríem 9 16. Com que no es verifica la igualtat, no existeix l’eix radical. 30. Determina l’equació que verifiquen tots els punts P(x, y) del pla que tenen po­tència 12 respecte de la circumferència x2 y2 4x 2y 1 0. Quina figura determinen? 35. Representa gràficament aquestes paràboles i determina’n els diferents elements: a) y2 4x F(1, 0) d: x 1 Els punts P(x, y) cal que verifiquin: x2 y2 4x 2y 1 12 → → x2 y2 4x 2y 11 0 Formen una circumferència concèntrica amb la donada i de radi 4. 31. Fes una construcció geomètrica de l’eix radical de dues circumferències tangents, exteriors i secants. b) x2 6y 3 F 0, — 2 3 d: y — 2 L’eix radical és la recta perpendicular a la dels centres pel punt de tan­gència. Si les circumfe­rències són secants, és la recta determinada pels dos punts d’intersecció. 32. Determina el focus i la directriu de les pa­ràboles d’equa­ cions: y2 6x i x2 10y Cal determinar el paràmetre p per obtenir el focus i la directriu. y2 6x → 2p 6 → p 3 3 3 Focus: F —, 0 ; directiu: x — 2 2 x2 10y → 2p 10 → p 5 c) y x2 4x 15 F 2, —— 4 17 d: y —— 4 LA MATEMÀTIQUES 1 36. Escriu l’equació de les dues paràboles que verifiquen aquestes condicions: tenen el vèrtex a l’origen de coordenades, els eixos coincideixen amb els eixos de coordenades i ambdues passen pel punt (4, 4). Representa gràficament aquestes paràboles i indica’n el focus i la directriu. 16 27 —— —— 1 i 2 a b2 a2 b2 (2 √ 7)2 b2 28 Resolem el sistema, amb incògnites a2 i b2. La paràbola que té com a eix el d’abscisses té una equació del tipus y2 2px. Si passa pel punt (4, 4) tindrem: 16 8p → p 2. Equació: y2 4x. Focus: (1, 0); directriu: x 1. La paràbola que té com a eix el de les or­denades té una equació del tipus x2 2py. Si passa pel punt (4, 4) tindrem: 16 8p → p 2. Les solucions són: b2 36 i a2 64 Equació: x 4y. Focus (0, 1); directriu: y 1. 2 37. Determina els semieixos, els vèrtexs, els focus i l’excentricitat de l’el.lipse d’equació: x2 y2 ——1 9 4 a2 b2 28 x2 y2 L’equació: —— —— 1 64 36 41. Escriu l’equació de la circumferència principal de l’el.lipse de l’exercici anterior. Equació: x2 y2 64 2 a 3 i b 2. Si tenim en compte que a2 b2 c2 → c √ 5. Vèrtexs: (3, 0), (3, 0), (0, 2) i (0, 2) Focus: (√ 5, 0) i (√ 5, 0) c √5 Excentricitat: e — —— a 3 38. Escriu l’equació de l’el.lipse centrada a l’origen de coordenades, amb un focus en el punt (12, 0) i de semieix gran 13. Si un focus és (12, 0) → c 12 i a 13. Per trobar b hi apliquem: 132 b2 122 → b2 25 x2 y2 Equació: —— —— 1 169 25 42. Determina els paràmetres a, b i c i l’excentricitat de la hipèrbola que té l’equació següent: Dividim l’equació 9x2 16y2 144 per 144 i la simplifiquem: x2 y2 —— —— 1 → a 4 i b 3; 16 9 a2 b2 c2 → 16 9 c2 → c √ 7 √7 e —— 4 40. Troba l’equació de l’el.lipse de centre l’origen de coordenades sabent que un dels focus se situa en el punt (2 √ 7, 0) i que pas­sa pel punt (4, 3 √3). F(2 √ 7, 0) i F(–2 √ 7, 0), P(4, 3 √ 3). En ser P un punt de l’ellipse es verifica: x2 y2 —— — 1 16 9 x2 y2 En l’equació —— —— 1, 16 9 a 4 i b 3; c a b2 25 → c 5. 2 2 c 5 Excentricitat: e — — a 4 43. Determina l’equació d’una hipèrbola equi­làtera un dels focus de la qual se situa al punt (√2, 0). Calcula’n l’excentricitat. En una hipèrbola equilàtera, a b i l’equació és: x2 y2 a2. F(√2, 0) → c √ 2 → → c2 a2 b2 2a2 → → (√ 2)2 2a2 → a 1 39. Calcula els paràmetres a, b, c i e de l’el.lipse d’equació 9x2 16y2 144. 6 16 27 —— —— 1 2 a b2 La circumferència principal té centre (0, 0) i r a 8. x y Si identifiquem l’equació amb —— —— 1 obtenim: 2 b2 a 2 95 Equació: x2 y2 1 44. Troba els valors de a, b, c i e a la hipèrbola d’equació 2x2 3y2 12. Dividim els termes de l’equació per 12 i simplifiquem: x2 y2 2x2 3y2 12 → —— —— 1 → 6 4 → a √6 i b 2 c2 a2 b2 6 4 10 → √ 10 √5 → c √ 10 i e —— —— √6 √3 96 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 45. El semieix real d’una hipèrbola és 3 i la semidistància focal, 10. Escriu-ne l’equació reduïda. b) Escriu l’equació de la circumferència de centre (1, 2) i tangent a l’eix de les ordenades. Les dades que ens dóna l’enunciat ens permeten deduir que a 3 i c 10. La circumferència de centre (1, 2) i tangent a l’eix dels ordenades té radi r 1. L’equació és: (x 1)2 (y 2)2 1 → 102 32 b2 → b2 91 → x2 y2 2x 4y 4 0 x2 y2 Equació: —— —— 1 9 91 c) Troba l’eix radical de les dues circumferències que has determinat en els apartats a) i b). 46. Demostra que l’excentricitat de totes les hipèrboles equilàteres és e √2. c Excentricitat: e —. En una hipèrbola equilàtera, c2 2a2 → a √2 a → c √ 2a → e —— √2. a Activitats finals 1. Esbrina si els punts P(1, 2), Q(2, 1) i R(0, 0) es troben en una mateixa circumferència. Si és així, determina’n el centre, el radi i l’equació. Els tres punts no estan alineats i, per tant, es troben en una mateixa circumferència. Podem substituir cada punt en l’equació: x2 y2 mx ny p 0 L’equació de l’eix radical s’obté igualant les dues equacions: x2 y2 6x 4y 9 5 x2 y2 2x 4y 4 → x — 8 d) Comprova que l’eix radical és perpendicular a la recta determinada pels dos centres. La recta determinada pels dos centres (3, 2) i (1, 2) és la recta d’equació y 2 que és perpendicular a la recta d’equació 5 x —. 8 4. Determina l’equació de la circumferència de radi 4 i que passa pels punts A(1, 2) i B(3, 4). La distància del centre (x, y) a cada punt és el radi de la circumferència: (1, 2) → 1 4 m 2n p 0 1)2 (y 2)2 4 i √ (x (2, 1) → 4 1 2m n p 0 3)2 (y 4)2 4 √(x (0, 0) → p 0 6 5 Resolem el sistema i trobem: m n — 3 5 5 Equació: x2 y2 —x — y 0 3 3 5 5 5 √2 Centre —, — i radi r ——— 6 6 6 x2 2x 1 y2 4y 4 16 x2 6x 9 y2 8y 16 16 6 Restant i simplificant s’obté: x y 5 Substituint en una de les dues equacions s’ob­tenen dos valors. Hi ha dues circumfe­rències de centres: (2 √ 7, 3 √ 7) i (2 √ 7, 3 √ 7) Les equacions són: 2. Determina el centre i el radi de la circumferència 2x2 y2 4x 12y 12 0. L’equació 2x2 y2 4x 12y 12 0 no és la d’una circumferència, ja que els coeficients dels termes de segon grau són diferents. 3. a)E scriu l’equació de la circumferència de centre (3, 2) i tangent a l’eix de les abscisses. La circumferència de centre (3, 2) i tangent a l’eix de les abscisses té radi r 2. L’equació és: (x 3)2 (y 2)2 4 → → x2 y2 6x 4y 9 0 (x (2 √ 7) )2 (y (3 √ 7) )2 16 (x (2 √ 7) )2 (y (3 √ 7) )2 16 5. Una circumferència és tangent a la recta y x 1 en el punt d’abscissa 3. Se sap que la circumferència també passa pel punt A(3, 1). Troba l’equació d’aquesta circumferència. El centre de la circumferència es troba en la intersecció de la recta perpendicular a la tangent en el punt (3, 4) i la mediatriu del segment determinat per aquest punt i el (3, 1). Les equacions d’aquestes rectes són, respectivament: y x 7 i 3 y —. 2 LA MATEMÀTIQUES 1 11 3 El centre és el punt ——, — . El radi és el mòdul del vector 2 2 5 entre el centre i el punt (3, 4) → r —— √ 2 11 2 3 Equació: x —— y — 2 2 2 25 —— 2 6. L’incentre d’un triangle és el centre de la circumferència inscrita en el triangle. Si els vèrtexs d’un triangle són els punts (0, 0), (0, 4) i (4, 0), quina és l’equació de la circumferència inscrita? Fes-ne un dibuix. 97 1 — Equació de la recta: y x 2 3 Intersecció amb la circumferència: x2 y2 6x 6y 9 0 1 y —x 2 3 6 9 · √10 3 √10 x 3 ———— → y1 3 ——— 1 10 10 9 √10 3 √10 x 3 ——— → y2 3 ——— 2 10 10 El primer parell de valors correspon al punt més proper i l’altre al més llunyà. 8. Escriu les equacions de les rectes tangents a la circumferència x2 y2 6x 4y 4 0 en els punts en què talla els eixos de coordenades. L’incentre és la intersecció de les bisectrius. Una de les bisectrius és la recta y x. Cal trobar-ne una altra. Considerem les rectes y x 4 i x 0. La bisectriu de l’an xy4 gle que formen ambdues rectes és ————— x, ja que és √ 2 la que correspon al pendent negatiu. El punt d’intersecció és (4 2 √2, 4 2 √2 ), que és el centre. La distància d’aquest punt a la recta x 0, per exemple, ens dóna el radi r 4 2 √ 2. Equació: (x (4 2 √ 2 ))2 (y (4 2 √ 2 ))2 (4 2 √ 2 )2 7. Dibuixa la circumferència que té com a equació x y 6x 6y 9 0 2 2 Considera el punt P(3, 1). Troba la potència i la posició d’aquest punt respecte de la circumferència. Troba el punt més proper i el més llunyà a P que pertanyin a la circumferència. Els punts de tall amb els eixos de coordenades s’obtenen fent x 0 i y 0, respectivament: x2 y2 6x 4y 4 0 x0 6 → x2 y2 6x 4y 4 0 6→ y0 (0, 2) (3 √5, 0) (3 √5, 0) La tangent en el punt (0, 2) és la recta x 0. Per trobar les altres dues tangents caldrà buscar la recta perpendicular a la que determina el centre amb cada punt, per a aquest punt. Les rectes que se n’obtenen són: √5 Per a (3 √5, 0) → y —— (x (3 √5)) 2 √5 Per a (3 √5, 0) → y —— (x (3 √5)) 2 9. Els punts que són d’un cercle tenen una inequació que els representa. Escriu la inequació del cercle de centre l’origen de coordenades i radi 3. Els punts d’un cercle són els de la circumferència que el limita i tots els interiors. Verifiquen la inequació x2 y2 9. 10. Troba la posició relativa de la recta d’equació 2x 3y 4 0 i la circumferència de centre (4, 3) i radi 5. Potència: p 3 1 63 61 9 31. Com que p 0, el punt és exterior a la circumferència. 2 2 La recta determinada pel centre (3, 3) i el punt (3, 1) conté un diàmetre de la circumferència. Els extrems d’aquest diàmetre són els punts que es demanen. Cal determinar quins són els punts que tenen en comú la recta i la circumferència. Equació de la circumferència: (x 4)2 (y 3)2 25 Cal resoldre el sistema d’equacions per substitució: LA 98 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 2x 4 2x 3y 4 0 → ———— y 3 5 x2 y2 8x 6y 0 → 2x 4 2 → x2 ———— 8x 2(2x 4) 0 3 L’equació 13x2 92x 56 0 té dues solucions, per tant, la recta és secant a la circumferència. 11. Considera la circumferència x2 y2 2x 8y 12 0. Escriu l’equació de la circumferència concèntrica que té de radi √5 unitats més que la primera. La circumferència d’equació x2 y2 2x 8y 12 0 té com a centre el punt (1, 4) i de radi, r √5. La circumferència concèntrica té de radi: √5 √5 2 √5 13. Calcula la potència de l’origen de coordenades respecte de la circumferència que té el centre a la recta d’equació 2x y 0 i és tangent a l’eix d’ordenades i a la recta d’equació x y 3 0. En primer lloc, cal trobar l’equació de la circumferència. Si té el centre en la recta 2x y 0 significa que el centre té com a coordenades (x, 2x). Si és tangent a l’eix d’ordenades significa que r x i per trobar r calculem la distància del centre a la recta x y 3 0: x 2x 3 r x —————— √ 2 √2 x x 3 √2 x x 3 Se n’obtenen dos valors per al radi: x1 3 (√2 1) i x2 3 (√2 1) Per tant, hi ha dues circumferències: 2 C1: (x 3 (√2 1)) (y 6 (√2 1))2 Equació: (x 1)2 (y 4)2 (2 √5 )2 20 → → x2 y2 2x 8y 3 0 12. Des d’un punt exterior a una circumferència es poden traçar dues rectes tangents a la circumferència. Considera el punt P(2, 0) i la circumferència x2 y2 6x 4y 9 0. Traça les rectes tangents a la circumferència des del punt P. Determina les equacions d’aquestes dues rectes. (3 (√2 1))2 0 C2: (x 3 (√2 1))2 (y 6 (√2 1))2 (3 (√2 1))2 0 Per calcular la potència, substituïm per (0, 0) en el primer membre de cada equació: p1: 108 72 √2; p2: 108 72 √2 14. Fes la interpretació geomètrica de la potència del punt P respecte d’aquesta circumferència. Observa el triangle rectangle que es forma a la figura 7.27 i calcula la longitud del segment PT. Una de les tangents és la recta y 0, com es pot comprovar en la figura. L’altra tangent s’obté en fer que la intersecció de les rectes y m(x 2), que passen pel punt (2, 0), tinguin una única intersecció amb la circumferència: y m(x 2) 5 x y 6x 4y 9 0 → 2 2 → x2 [m(x 2)]2 4m(x 2) 6x 9 0 → → x2 m2x2 4m2x 4m2 4mx 8m 6x 9 0 20 0 → m1 0 i m2 —— 21 20 20 m2 —— ens dóna la recta y —— (x 2); m1 ens dóna la 21 21 recta y 0. El segment PT és un segment de la tangent en el punt T. En el triangle rectangle: PT2 d2 r2, que és l’expressió de la potència del punt P respecte de la circumferència: 2 r2 √p PT √ d 15. Considera les circumferències: C: x2 y2 4x 10y 20 0 i C que té el centre en el punt (3, 7) i passa pel punt (2, 7). Cal trobar l’equació de la circumferència C que té centre en el punt (3, 7) i radi el mòdul del vector que determinen els dos punts: (5, 0) 5 r. C: (x 3)2 (y 7)2 52 → x2 y2 6x 14y 33 0 LA MATEMÀTIQUES 1 a) Troba la posició relativa de les dues circumferències. Intersecció de C i C: 5 x2 y2 4x 10y 20 0 x2 y2 6x 14y 33 0 Restant: 13 10x 10x 4y 13 0 → y ————— 4 13 10x 2 x2 ————— 6x 4 13 10x 14 ————— 33 0 4 L’equació que en resulta, 116x2 204x 31 0, té dues solucions; per tant, les circumferències són secants. b) Escriu l’equació de l’eix radical de C i C. L’eix radical es troba restant les dues equacions que ja hem resolt en l’apartat anterior. Eix radical: 10x 4y 13 0 c) Troba la intersecció de l’eix radical amb C. Què observes? Explica-ho. La intersecció de l’eix radical amb C i amb C és la mateixa, ja que l’eix radical està determinat pels punts d’intersecció de les dues circumferències. d) Calcula la longitud de la corda que determina l’eix radical amb C. La longitud de la corda ve determinada per la distància dels dos punts d’intersecció. De manera aproximada, aquests punts són (1,9, 6) i (0,14, 2,9). La longitud de la corda és 3,7. 16. Determina k per tal que la recta 3x y k 0 sigui tangent a la circumferència d’equació x2 y2 6x 0. Hi ha més d’una solució? Raona la resposta. La recta és tangent si només hi té un punt en comú. Busquem la intersecció: y 3x k. x2 (3x k)2 6x 0 → → 10x2 (6k 6)x k2 0 Per tal que aquesta equació només tingui una solució, el discriminant ha de ser 0: (6k 6) 40k 0 → 18 √360 → k2 18k 9 0 → k ——————–– 9 3 √10 2 Hi ha dos valors de k que corresponen a dues rectes paral.leles 2 2 tangents a la circumferència. 17. El punt P(0, 1) és de la circumferència: x2 y2 3x 2y 3 0? Troba l’equació de la recta tangent a la circumferència per aquest punt. 99 El punt pertany a la circumferència perquè en substituir en l’equació se satisfà la igualtat. Cal trobar el centre de la circumferència que amb el punt P(0, 1) determinen una recta. La perpendicular per aquest punt és la recta tangent. 3 Centre de x2 y2 3x 2y 3 0 → C —, 1 2 4 Pendent de la recta CP: m — 3 3 pendent de la perpendicular: m — → 4 3 → y —x 1 és l’equació de la recta tangent. 4 18. Determina l’equació del lloc geomètric dels punts del pla tals que la distància al punt (2, 0) és sempre la meitat de la dis­tància a la recta y x 8. Donat un punt P(x, y) posem la condició següent: 1 x y 8 2)2 y2 — —————— √ (x 2 √2 Si elevem aquesta expressió al quadrat obtenim: 1 (x y 8)2 (x 2)2 y2 — ——————, 4 2 que és l’equació del lloc geomètric. 19. Calcula m per tal que la recta d’equació y x m sigui tangent a l’el.lipse x2 2y2 6. Procedim com en l’exercici 16: x2 2(x m)2 6 → → 3x2 4mx 2m2 6 0 (4m)2 12(2m2 6) 0 → m 3 Hi ha dues rectes tangents a l’el.lipse. 20. Dibuixa de manera aproximada la paràbola d’equació x2 6y. Indica’n: a) Les coordenades del focus. 3 Focus: F 0, —— 2 b) Les equacions de la directriu i de l’eix. 3 Directriu: y ——; eix: x 0 2 100 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE c) La longitud de la corda perpendicular a l’eix pel focus. 3 Cal trobar la intersecció de la paràbola amb la recta y —— : 2 x2 6y 3 → x2 9 → x 3 y —— 2 6 La longitud de la corda és: 3∙2 6. 21. Troba l’equació de l’el.lipse els focus de la qual són els punts (6, 0) i (6, 0) sabent que la suma de distàncies d’un punt qualsevol de l’el.lipse als focus és constant i igual a 20. A partir de les dades podem deduir que c 6 i a 10. a2 b2 c2 → b2 100 36 64 x y Equació de l’el.lipse: —— —— 1 100 64 2 2 22. Escriu l’equació de la hipèrbola centrada a l’origen de coordenades sabent que un dels focus és el punt (6, 0) i que el semieix real és 5. A partir de les dades podem deduir que c 6 i a 5. c2 a2 b2 → b2 36 25 11 x2 y2 Equació de la hipèrbola: —— —— 1 25 11 23. Els focus d’una el.lipse centrada a l’origen de coordenades es troben situats a l’eix d’abscisses. Determina’n l’equació sabent que e 0,6 i b 8. Per escriure l’equació ens cal trobar a. Relacionem les dades: c 2 2 2 2 2 e 0,6 — a i a b c → a 64 c c 0,6a → a2 64 0,36a2 → → 0,64a2 64 → a2 100 x2 25. Dibuixa la paràbola y —— i determina’n: 4 a) El focus. Focus: de x2 4y → p 2 i el focus F(0, 1) b) L’equació de la directriu. Directriu: y 1 c) El vèrtex. Vèrtex: (0, 0) x2 26. Identifica el vèrtex de la paràbola d’equació y —— x 6. 4 Relaciona el seu gràfic amb el de la paràbola de l’exercici anterior. Dóna’n el focus i la directriu. x2 El vèrtex de la paràbola y —— x 6 és el punt (2, 5) → 4 b → xv —— . 2a El gràfic d’aquesta paràbola és el mateix que el de l’exercici anterior traslladant el vèrtex (0, 0) al punt (2, 5). També hi traslladem el focus i la directriu: Focus: (2, 6) Directriu: y 4 4 27. L’excentricitat d’una el.lipse és e —. Escriu la seva equació 5 sabent que a 10. Representa-la gràficament. x2 y2 Equació de l’el.lipse: —— —— 1 100 64 24. Identifica els focus i els vèrtexs de la hi­pèr­bola d’equació y2 x2 —— —— 1. Calcula’n l’excentricitat. 144 25 y2 x2 De l’equació —— —— 1 es dedueix: a 12 i b 5. 144 25 Els vèrtexs són: (12, 0) i (12, 0). c2 a2 b2 144 25 169 → c 13 Focus: (13, 0) i (13, 0) c 13 Excentricitat: e — —— a 12 c 4 c e — — —— → c 8 a 5 10 a2 b2 c2 → b2 100 64 36 y2 x2 Equació de l’el.lipse: —— —— 1 100 36 MATEMÀTIQUES 1 28. Dibuixa de manera aproximada una hipèrbola que tingui com a vèrtex A(0, 3) i A(0, 3) i un dels seus focus sigui F(0, 5). Escriu-ne l’equació. LA 101 b) Correspon a la paràbola d’equació y2 8x. 31. La circumferència principal d’una el.lipse té d’equació x2 y2 16. Escriu l’equació de l’el.lipse sabent que l’excentricitat és 1 e —. 2 La circumferència principal és la que verifica: r a. Per les dades: a 3 i c 5 c2 a2 b2 → b2 25 9 16 En ser l’eix d’ordenades el de la hipèrbola, l’equació ha de ser tal que es correspongui amb el dibuix, és a dir, que contingui els vèrtexs. y2 x2 Equació de la hipèrbola: —— —— 1 9 16 29. Compara les excentricitats d’una el.lipse i d’una hipèrbola amb el número 1. c L’excentricitat és e — en totes les còniques. a En l’el.lipse: c a → e 1 En la hipèrbola: c a → e 1 En la circumferència x2 y2 16 → r a 4 c c 1 e——— → c2 → a 4 2 → a2 b2 c2 → b2 16 4 12 x2 y2 Equació de l’el.lipse: —— —— 1 16 12 y2 x2 32. Considera l’el.lipse d’equació —— —— 1. Representa-la 36 9 gràficament i traça la recta perpendicular a l’eix de les abscisses per a un dels focus. Troba la longitud del segment d’aquesta recta determinat per la seva intersecció amb l’el.lipse. 30. Identifica les paràboles següents sabent que les seves equacions són: a) y2 8x b) x2 8y a) Correspon a la paràbola d’equació x2 8y. a6 i b3 a2 b2 c2 → c2 27 → c √ 27 Cal buscar la distància PP 2PF. El punt P té abscissa l’ordenada la trobarem en substituir en l’equació: (√ 27 y2 9 3 )2 ——— —— 1 → y2 — → y — 36 9 4 2 3 La distància PP és 2— 3. 2 √ 27 i 102 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 33. Una circumferència té el centre en la bisectriu dels segon i quart quadrants i passa pels punts (0, 3) i (1, 2). Determina’n el centre i el radi. Quina és l’equació d’aquesta circumferència? El centre es troba a la mateixa distància dels dos punts. Es troba en la mediatriu del segment que determinen. La intersecció d’aquesta recta amb la que té com a equació y x ens dóna el centre. El pendent de la recta que passa pels punts (0, 3) i (1, 2) és m 1; el de la perpendicular és m 1, i passa pel punt 1 5 mitjà —, — → y x 2. 2 2 yx2 C(1, 1) y x Radi: mòdul del vector (1, 2) → r √ 5 Equació de la circumferència: (x 1)2 (y 1)2 5 6 34. Traça les dues tangents a la circumferència d’equació x2 y2 4 des del punt P(5, 5). Troba les equacions d’aquestes dues rectes. Considerem per comoditat els dos costats del triangle rectangle que determinen l’angle recte. Les equacions de les dues mediatrius són x 3 i y 2. b) Determina’n el circumcentre. Naturalment, el circumcentre del triangle se situa en el punt (3, 2). c)Calcula la distància del circumcentre a cadascun dels vèrtexs del triangle. La distància del circumcentre a cada vèrtex és la mateixa: d √13 u. d)Escriu l’equació de la circumferència circumscrita. Equació de la circumferència de centre C(3, 2) i radi r d √13: 2 ( x − 3) 2 + ( y − 2) 13 → x 2 + y 2 − 6 x − 4 y 0 2 2 36. Donada l’el·lipse d’equació x + y 1 , determina: 7 9 a) Les coordenades dels vèrtexs. Considerem el feix de rectes que passen pel punt (5, 5) i imposem la condició que la seva distància a (0, 0) sigui igual al radi 2. Recta: y 5 m(x 5) → mx y 5m 5 0 5m 5 2 —————— 2 1 √ m → 4 (m2 1) (5m 5)2 → 21m2 50m 21 0 b2 7 → b √7; a2 = 9 → a = 3 Vèrtexs: (√7, 0), (√7, 0), (0, 3) i (0, 3) b) Les coordenades dels focus. a2 b2 + c2 → 9 7 + c2 → c = √2; focus: (0, √2) i (0, √2). c) L’excentricitat. c √2 e 3 a 50 √736 m —————— ⇒ m1 1,84; m2 0,54 42 (de manera aproximada) 37.Calcula l’àrea del cercle limitat per la circumferència de centre C(1, −1) i tangent a la recta que té per equació 12x − 5y + 9 = 0. Les rectes: El radi és la distància del centre C(1, 1) a la recta tangent 12x 5y + 9 = 0: y 5 1,84 (x 5) i y 5 0,54 (x 5) 35.Considera el triangle de vèrtexs els punts O(0, 0), P(6, 0) i Q(0, 4). a)Escriu l’equació de la mediatriu de dos dels cos­tats del triangle. r 12 + 5 + 9 2 u 13 38.Troba l’equació de la paràbola que té el vèrtex a l’ori­gen de coordenades, és simètrica respecte de l’eix de les abscisses i conté el punt (6, 6). Determina les coordenades del focus i l’equació de la directriu. LA MATEMÀTIQUES 1 L’equació de la paràbola és del tipus y2 2px. Si conté el punt (6, 6), es verifica: 36 12p → p 3. Per tant, l’equació és y2 6x. 3 3 Focus: F( , 0); directriu: x . 4 2 39.Considera la hipèrbola equilàtera que passa pel punt (3, 2). a) Escriu-ne l’equació. x2 y2 = a2 → 9 4 = a2 → a = b =√5 → x2 y2 = 5 b) Indica les coordenades dels vèrtexs i les dels focus. Vèrtexs: (√5, 0) i (√5, 0) a2 + b2 10 → c √10; focus: (√10, 0) i (√10, 0) Avaluació 1.Escriu l’equació de cadascuna de les circumferències següents: a)De centre C el punt mitjà del segment d’extrems els punts A(5, 2) i B(1, −6). C(3, 2); r dAC dCB √20 (x 3)2 + (y + 2)2 20 → x2 + y2 6x + 4y 7 0 b)De centre C(0, 2) i tangent a la bisectriu dels quadrants primer i tercer. – 2 = √2 C(0, 2); equació bisectriu: x y = 0 → r √2 x2 + (y 2)2 2 → x2 + y2 4y + 2 0 2. Donades les circumferències: x2 1 y2 2 9 5 0 i x2 1 y2 2 2x 1 6y 2 35 0. a) Calcula la potència del punt P(1, –3) respecte a la primera cincumferència i indica’n la posició relativa. 103 b) Identifica les coordenades dels vèrtex i dels focus de l’el· lipse. 2 b2 2 √5 a2 36 → a 6; b2 16 → b 4; c √a Vèrtex: (6, 0), ( 6, 0), (0, 4) i (0, 4) Focus: (2 √5, 0) i ( 2 √5, 0) c) Calcula’n l’excentricitat. e 5 c √5 a 3 4. Escriu l’equació reduïda de la hipèrbola que té un vèrtex en el punt (212, 0) i un focus en el punt (13, 0). Determina’n l’excentricitat. a 12, c 13; c2 a2 1 b2 → b x2 y − =1 Equació de la hipèrbola: 144 25 Excentricitat: e = 2 a2 5 √c c 13 = a 12 5. L’eix d’una paràbola se situa en la recta y 5 0 i el focus, en 5 el punt F( ). Esbrina: 2 a) El valor del paràmetre i l’equació de la directriu. p 5 5 = → p = 5; directriu : x = − 2 2 2 b) L’equació de la parábola. b) Troba l’ecuació de l’eix radical de les dues circumferències. y2 2px → + y2 10x c) Comprova que l’eix radical és perpendicular a la recta que contè els centres de les dues circumfèrencies. 6. Determina les equacions de les rectes tangents a la circumferència x2 1 y2 2 10x + 16 5 0 en els punts en què s’intersecta amb els eixos de coordenades. a) p 12 (3)2 9 1 9 9 1 0. Punt exterior. 2 Intersecció eix X: y = 0 → x → 10 x + 16 = 0 → x1 = 2 i x2 = 8 b) Igualem les dues equacions: (8,−0x) + 3 y + 3 = 0 x 2 + y 2 − 9 = x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 3 → −9 = −2 x + 6 y − 3 → −2 x + 6 y→+(62,=0)0 i→ −9 = −2 x + 6 y − 3 → −2 x + 6 y + 6 = 0 → − x + 3 y + 3 = 0 c) Els centres són: C1(0, 0) i C2(1, 3). Un vector director de la recta que uneix els centres és → v (1, 3). → Un vector director de l’eix radical és w (3, 1). Intersecció eix Y : x = 0 → y 2 + 16 = 0 → y ∉ R → no talla l’eix d’ordenades Centre circumferència: a = 5, b = 0 → C (5, 0) Radi circumferència: r 3 y Si fem el producte escalar: → → v • w 5 (1, 23) • (3, 1) 5 1 · 3 1 (23) · 1 5 3 2 3 5 0. Aleshores, són perpendiculars ambdues rectes. 2 5 8 x 3. L’equació d’una el·lipse es 4x2 1 9y2 2 144 5 0. a) Expressa-la en forma reduïda. 4 x 2 + 9 y 2 = 144 → x 2 y2 + =1 36 16 y Les rectes tangents i la circumferència pels punts (2, 0) i (8, 0) són perpendiculars a l’eix de les abscisses i les seves equacions són x 2 i x 8. 104 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE jUnitat 8. Funcions d) La longitud de l’aresta d’un cub és funció del volum. f(x) Activitats 3 √ 3; Df 4. Determina el domini de les funcions: 1. Defineix la variable independent i la variable dependent en els casos següents: a) L’import que cal pagar en una benzinera i els litres de benzina que hi comprem. x: litres de benzina y: import en euros b) El pes d’una persona i la seva edat. 1 f(x) 3 x 7, g(x) 2 x2 7 x 11 i h(x) ——— x1 Df Dg Dh {x x 1 0} {1} 5. Troba el domini de les funcions següents: x1 a) f (x) —————— 2 x 6x 5 x: edat y: pes c) L’espai recorregut per un cotxe i la velocitat a què circula. Df {x x2 6 x 5 0} {1, 5} b) g(x) √ 4 3x x: velocitat y: espai recorregut d) El volum d’una esfera i la longitud del diàmetre. x: longitud del diàmetre y: volum de l’esfera 4 Dg {x 4 3 x 0} —, 3 7x 8 c) h (x) ———— x2 5 Dh 2. Representa la variable independent per x i la variable dependent per f (x) i troba, sempre que sigui possible, l’expressió algèbrica de cadascuna de les funcions de l’exercici anterior. a) f (x) p x, essent p el preu d’un litre de benzina en €. b) No és possible. d ) k (x) √ 3 3 4 x 5 2 e) p (x) — x 3 5 x 2 3 c) Caldria saber el tipus de moviment. d) f (x) — x3 6 3. Escriu l’expressió algèbrica i troba el domini de les funcions següents: a) A cada valor del radi d’una esfera li assignem la seva superfície. f (x) 4 x2; Df b) La diagonal d’un quadrat depèn de la longitud del costat. f (x) √ 2 c; Df c) Al radi d’una circumferència li assignem l’àrea de l’hexàgon regular inscrit. 3 √3 f (x) ——— x2; Df 2 Dk Dp f ) t (x) 5 x2 4 ———— x si x < 2 2x ——— x3 si x 2 Dt {x x 0 i x 3 0} {0, 3} 6. Amb les funcions f, g i h dels exemples anteriors, comprova que es verifiquen les propietats de la suma i del producte de funcions. Suma Commutativa: x3 x2 x 2 f (x) g (x) g (x) f (x) ———————— x2 1 la MATEMÀTIQUES 1 Associativa: f (x) [g (x) h (x)] [f (x) g (x)] h (x) 2 x 4 4 x 3 x2 5 x 6 ————————————–– (x2 1) (x 3) Element neutre: O (x) 0 per a les tres funcions. x2 2 2 x2 f: f (x) ———— ———— x1 x1 x g: g (x) ——— x2 1 x 2 h: h (x) ——— x3 x 3 (x 2 2) ——————————— (x 1) (x 1)2 (x 3) Element simètric: 1 x 1 Per a la funció g: — (x) ——— g x 1 x3 Per a la funció h: — (x) ——— h x 1 x1 Per a la funció f : — (x) ——— f x2 2 2 2 Propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma: f (x) [g (x) h (x)] f (x) g (x) f (x) h (x) (x 2 2) (x 4 3 x) ———————————–– (x 1)2 (x 1) (x 3) 7. A partir de les funcions f i k dels exemples, escriu l’expressió 1 1 1 1 algèbrica de les funcions — , — , ——i ——. Troba’n el domini. f k f k — f {√2, √2} ——— —f (x) —— f (x) x 2 1 1 x1 2 1 1 ———— —1k (x) —— k(x) √x 1 1 — k {x x 1 0} 2x 4 x2 f (x) ———— i g (x) ———— x3 3x 9 1 — f g f 1 Determina l’expressió de les funcions — , — , — i — g f g g i troba’n el domini. — f Element neutre: I (x) 1 per a les tres funcions. 1 8. Donades les funcions: f (x) [g (x) h (x)] [f (x) g (x)] h (x) 1 (1, ) Propietat associativa: 1 — k Propietat commutativa: x (x 2 2) f (x) g (x) g (x) f (x) ———————–– (x 1) (x 1)2 —k (x) —k (x) ———— √x 1 D1 D Producte 2 — f 1 1 x1 (x) — (x) ——— —— f f x 2 D 1 D 1 {x x2 2 0} Element simètric: 105 2x 4 ———— f f (x) x3 — (x) ——– ————— g g (x) x2 ———— 3x 9 (2 x 4) (3 x 9) 6 x 2 30 x 36 ————————— ———————— (x 3) (x 2) x2 5 x 6 x2 ———— g g (x) 3x 9 — (x) —— ————— f f (x) 2x 4 ———— x3 (x 2) (x 3) x2 5 x 6 ————————— ———————— (3 x 9) (2 x 4) 6 x2 30 x 36 1 — f — g 1 —— f (x) 1 (x) ——— ————— g (x) f (x) g (x) 1 1 —————————— —————— 2x 4 x 2 2 x2 8 ———— ———— ———— x 3 3x 9 3 x 2 27 3 x2 27 ———— 2 x2 8 LA 106 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 1 — g — f 1 f (x) (x) ——— —— g (x) g (x) —— f (x) 3x3x 6 x 2 30 x 36 ———————— x2 5 x 6 1 3 1 3 f — x — 3 2 — x — 2 2 2 2 f (x) 3 2 x D f D 1 {x x2 5 x 6 0} — g — f — g {3, 2} D g {x 6 x2 30 x 36 0} — f 1 — f D— g 1 3 g (x) — x — 2 2 {2, 3} {x 2 x2 8 0} {2, 2} 1 11. Comprova que la funció inversa de f (x) — és ella max teixa. 9. Amb les funcions f (x) 7 x 4, g (x) 2 x 2 1 i h (x) x 9, comprova les propietats associativa i de l’element neutre de la composició de funcions. Propietat associativa: [h (g f )] (x) h [(g f ) (x)] h [g (f (x))] h [g (7 x 4)] h (2 (7 x 4) 1) 2 h (98 x2 112 x 31) 98 x2 112 x 31 9 98 x2 112 x 22 [(h g) f ] (x) (h g) (f (x)) h [g (f (x))] 98 x2 112 x 22 Element neutre: (f I) (x) f (I (x)) f (x) 7 x 4 (I f ) (x) I (f (x)) f (x) 7 x 4 x4 3x 12. Amb les funcions f (x) ——— i g (x) ——— : x2 x1 a) Troba l’expressió algèbrica i el domini de: g f, f g, f f, g g, f 1 i g 1. 1 3 f (x) 3 2 x i g (x) — x — , 2 2 comprova que són inverses l’una de l’altra. Fes-ho també gràficament. (g f ) (x) g (f (x)) g (3 2 x) 1 3 3 3 — (3 2 x) — — x — x 2 2 2 2 (f g) (x) f (g (x)) x4 (g f ) (x) g (f (x)) g ——— x2 x4 3 (x 4) ———— 3 ——— x2 x2 —————— ———————— x4 x4x2 ——— 1 —————— x2 x2 3 (x 4) 3 x 12 ———— ———— 2x 6 2x 6 Dg f {3, 2} 10. Donades les funcions: 1 1 (f f ) (x) f (f (x)) f — — x → x 1 — x 1 → f 1 (x) f (x) — x 3x (f g) (x) f (g (x)) f ——— x1 3x 3x 4x 4 ——— 4 —————— x1 x1 —————— ———————— 3x 3x 2x 2 ——— 2 —————— x1 x1 7x 4 ———— 5x 2 la MATEMÀTIQUES 1 2 Df g 1, — 5 x4 (f f ) (x) f (f (x)) f ——— x2 x4 x 4 4x 8 ——— 4 ———————— x2 x2 —————— ————————— x4 x 4 2x 4 ——— 2 ———————— x2 x2 5 x 12 ————— 3x 8 8 Df f 2, — 3 3x (g g) (x) g (g (x)) g ——— x1 3x 9x ——— 3 ——— x1 x1 —————— ——————— 3x 3x x 1 ——— 1 ————— x1 x1 9x ———— 4x 1 1 Dg g 1, — 4 x4 y ——— → x y 2 y x 4 → x2 4 2y 4 2x x ———— → f 1 (x) ———— y1 x1 x4 4 2 ——— x2 —————— x4 ——— 1 x2 4x 8 2x 8 ———————— x2 ———————— x4x2 —————— x2 2x —— x 2 4 2x (f f 1) (x) f (f 1 (x)) f ———— x1 4 2x 4 2x 4x 4 ——— 4 ————————– x1 x1 —————— ————————— 4 2x 4 2x 2x 2 ——— 2 ————————– x1 x1 2x —— x 2 3x (g1 g) (x) g1 (g (x)) g1 ——— x1 3x 3x ——— ——— x1 x1 —————— ——————— 3x 3x 3 3x ————— 3 ——— x1 x1 3x —— x 3 x (g g 1) (x) g (g 1 (x)) g ——— 3x x 3x ——— 3 ——— 3x 3x —————— ————— x x3x ——— 1 ———— 3x 3x 3x —— x 3 Activitats finals y x x ——— → g1 (x) ——— 3y 3x b) Comprova que les funcions f 1 i g 1 són les inverses de f i g respectivament. 3x y ——— → x y y 3 x → x1 (f 1 f ) (x) f 1 (f (x)) f 1 D g1 {3} → 3 x x y y → x (3 y) y D f 1 {1} → x (y 1) 4 2y → xy x 4 2y → 107 x4 ——— x2 1. En una certa zona, la quantitat de sofre que hi ha a l’atmosfera, en parts per milió, evoluciona d’acord amb la funció s (t) 2,1 0,2 t 0,03 t 2, on t és el temps expressat en anys. Determina la presència de sofre en l’actualitat i quants anys han de transcórrer perquè s’assoleixi novament el valor actual. s (0) 2,1. Actualment hi ha 2,1 parts per milió de sofre. s (t) 2,1 → 2,1 0,2 t 0,03 t 2 2,1 → → 0,03 t 2 0,2 t 0 LA 108 t0 t (0,03 t 0,2) 0 → 0,03 t 0,2 0 → 0,2 → 0,03 t 0,2 → t ——— 6,6 anys 0,03 ( SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 3,75 105 3 r 3 → 3,75 105 375 000 → r 3 ———— ———— 3 3 125 000 cm3 → r 50 cm 2. Defineix la funció que expressa la suma de dos nombres enters tals que el seu producte és 18. Troba’n el domini. D v (0, 50) 18 x 2 18 S (x) x —— ———— x x 7. Dos nombres naturals sumen 20. Expressa’n el producte en funció d’un d’ells. Troba el domini d’aquesta funció. Comprova que 15 és del domini, i que 28 no ho és. Ds {18, 9, 6, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 6, 9, 18} P (x) x (20 x) 20 x x 2 3. En un triangle, la suma de les longituds de la base i l’altura és 15 cm. Expressa l’àrea del triangle en funció de la longitud de la base. Troba el domini d’aquesta funció. x (15 x) 1 15 S (x) ————— — x 2 ——x en cm2 2 2 2 Ds (0, 15) Dp {x 1 x 19} 15 Dp, 28 Dp 8. Es vol construir una finestra formada per un quadrat i un semicercle de radi x (fig. 9.10). Troba les expressions del perímetre i de l’àrea de la finestra en funció de x. Indica el domini de cadascuna d’aquestes funcions. 4. Volem construir una capsa sense tapa amb una cartolina quadrada de 12 cm de costat. Per fer-ho, retallem quadrats iguals de costat x cm en cadascuna de les quatre cantonades de la cartolina. Determina l’expressió algèbrica que ens dóna el volum de la capsa (fig. 8.9), en funció del valor de x. Indica el domini d’aquesta funció. 2x p (x) 6 x ——— 6 x x (6 ) x 2 V (x) (12 2 x)2 x (144 48 x 4 x2) x 4 x 48 x 144 x en cm 3 2 3 x2 x2 8 S (x) (2 x)2 —— 4 x2 —— —— x2 2 2 2 Dv (0, 6) D p D s (0, ) 5. Troba el domini de la funció que expressa l’àrea d’un rectangle de 30 cm de perímetre en funció de la longitud d’un dels costats. 9. El radi d’una taca d’oli circular creix a un ritme de 3 cm per minut i el centre es troba a 9 cm del marge de la taula. 2 x 2 y 30 → x y 15 → y 15 x S x y x (15 x) 15 x x 2 S (x) 15 x x 2 en cm2, D s (0, 15) 6. L’altura d’un cilindre és el triple del radi de la base. Escriu l’expressió del volum del cilindre en funció del radi de la base. Quin serà el volum del cilindre per a un radi de 5 cm? Quin és el valor del radi de la base si el volum del cilindre és de 24 cm3? Troba el domini de la funció suposant que el volum màxim és de 3,75 105 cm3. V r 2 h r 2 3 r 3 r 3 → V (r) 3 r 3 V (5) 3 53 375 cm3 3 24 3 r 3 → r 3 8 → r √8 2 cm a) Expressa la funció que assigna a cada instant t el valor del radi de la taca. r (t) 3 t, t en min i r (t) en cm. b) Quant trigarà la taca d’oli a arribar al marge de la taula? 3 t 9 → t 3 min c) Escriu l’expressió algèbrica de la funció que assigna a cada instant t el valor de l’àrea de la taca d’oli. S r 2 (3 t )2 9 t 2 9 t 2 S (t) 9 t 2 en cm2 d) Calcula l’àrea en l’instant en què la taca arriba al marge de la taula. S (3) 9 32 81 cm2 la MATEMÀTIQUES 1 10. Suposem que establir una trucada telefònica costa 0,50 € i, a partir d’aquest moment, el preu és de 0,30 € per minut. Troba l’expressió algèbrica de la funció que ens determina l’import d’una trucada telefònica en funció de la seva durada. Quant costarà una trucada de 8 minuts? Quants minuts ha durat una trucada l’import de la qual és de 5,30 €? f (t) 0,5 0,3 t, t en min, f (t) en € f (8) 0,5 0,3 8 0,5 2,4 2,9 € √3 √3 —— x 2 —— (100 20 x x 2) 4 4 √3 √3 —— x 2 25 √3 5 √3 x —— x 2 4 4 √3 —— x 2 5 √3 x 25 √3 en cm2 2 Ds (0, 10) 0,5 0,3 t 5,3 → 0,3 t 4,8 → t 16 min 14. Troba el domini de les funcions següents: 11. La funció f (t) 2 t 2 5 t expressa la distància recorreguda per un mòbil en funció del temps, on t s’expressa en segons i f (t), en metres. Troba la distància recorreguda pel mòbil entre els instants t 1 s i t 2 s. Quant de temps trigarà el mòbil a recórrer una distància de 75 m? f (2) f (1) 2 22 5 2 2 5 8 10 2 5 11 m 2 t 2 5 t 75 → 2 t 2 5 t 75 0 → → t 5s 12. En mesurar la temperatura a diferents alçades, s’ha observat que la temperatura disminueix 1 °C cada 200 m d’alçada. Si en un dia determinat la temperatura arran de terra és de 12 °C, escriu l’expressió algèbrica de la funció t (h), essent h l’alçada en metres i t (h) la temperatura en °C. Quina temperatura hi haurà a 6 km d’alçada? A quina alçada hi haurà una temperatura de 50 °C? h t (h) 12 —— 200 6 000 t (6 000) 12 ——— 12 30 18 °C 200 h 12 —— 50 → 200 → h 12 400 m 12,4 km 13. Dividim un segment de 10 cm de longitud en dues parts. Expressa la suma de les àrees dels triangles equilàters construïts sobre cadascuna d’aquestes dues parts (fig. 8.11), en funció del costat d’un dels triangles. Troba’n el domini. 2 a) f (x) ———————— 2 x 10 x 16 Df {x x 2 10 x 16 0} {2, 8} b) g (x) √ 2 — x 8 3 2 Dg x — x 8 0 3 (, 12] c) h(x) 3 √ 8 x5 Dh 7x d) k (x) ———— 3 x2 3 Dk 15. Defineix una funció que tingui per domini els conjunts: Respostes obertes, per exemple: a) Df {2, 7} 1 f (x) ——————— x2 9 x 14 b) Dg {x x 0} 1 g (x) ——— √x c) Dh (, 3] h(x) √x 3 d) Dq q (x) x2 x 4 e) Dp {x x 2, x 0} √3 √3 S (x) —— x 2 —— (10 x)2 4 4 10 p (x) ———— x2 2 x 109 LA 110 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 16. Determina el domini de cadascuna de les funcions següents: e) (f g) (x) 2x a) f (x) ———— (f g) (x) f (g (x)) f (3 (x 1)2) √3 x 3 (3 (x 1)2)2 4 3 9 (x 1)4 4 Df {x 3 x 0} (, 3) 27(x 4 4 x 3 6 x 2 4 x 1) 4 27 x 4 108 x 3 162 x 2 108 x 23 4x 1 b) g (x) ———— x2 7 x Dg {x x2 7 x 0} {0, 7} f ) (g f ) (x) (g f ) (x) g (f (x)) g (3 x 2 4) 2x 1 c) h (x) ————— 3 3 (3 x 2 4 1)2 3 (3 x 2 5)2 √ 8 x3 3 (9 x 4 30 x 2 25) Dh {x 8 x3 0} {2} d ) k (x) 5 x ——— x1 27 x 4 90 x 2 75 si x 0 3x 1 ———— 2x 5 18. Troba el domini de la funció representada en cadascuna de les gràfiques (fig. 8.12). si x 0 Dk {x x 1 0 i 2 x 5 0} 5 1, — 2 a) b) 17. Donades les funcions f (x) 3 x2 4 i g (x) 3 (x 1)2, troba: a) (f g) (x) (f g) (x) f (x) g (x) 3 x 2 4 3 (x 1)2 a) Df [3, 1] [0, 3) 3 x2 4 3 x2 6 x 3 b) Dg (3, 2] 6 x2 6 x 1 b) g (x 2) 19. Defineix una funció a trossos que tingui per domini g (x 2) 3 (x 2 1) 3 (x 3) 2 2 3 (x 2 6 x 9) 3 x 2 18 x 27 Df {x x 0}. Resposta oberta, per exemple: c) (f g) (x) (f g) (x) f (x) g (x) (3 x 2 4) 3 (x 1)2 (3 x 2 4) 3 (x 2 2 x 1) 1 — x f (x) x 5 si x 1 si x 1 (3 x 2 4) (3 x 2 6 x 3) 9 x 4 18 x 3 3 x 2 24 x 12 g d ) — (x) f g (x) —gf (x) —— f (x) 3 x2 6 x 3 3 (x 1)2 ————— ——————— 2 3x 4 3 x2 4 20. Calcula f (3), f (1), f (0), f (1) i f (2), i troba el domini de: f (x) 5 2 x 3 x 1 x2 1 ——— x2 1 x 1 √x 3 x1 la MATEMÀTIQUES 1 f (3) 2 (3) 3 6 3 9 (1)2 1 2 f (1) ————— — 1 2 3 c (t ) c (n (t )) c (t 2 20 t) 5 6 (t 2 20 t) 5 6 t 2 120 t 6 t 2 120 t 5 Dc (0, 8] 2x 1 x2 1 22. Siguin f (x) ———— i g (x) ———— x1 3x f a) Troba les funcions: f g, f g, — , f f, g g, f 1. g (f g) (x) f (x) g (x) 2x 1 x2 1 ———— ———— x1 3x 3 x (2 x 1) (x 1) (x2 1) ——————————————––– 3 x (x 1) 6 x2 3 x x3 x2 x 1 —————————————– 3 x (x 1) x3 7 x2 4 x 1 ————————— 3 x (x 1) x 7x 4x 1 ————————— 3 x2 3 x 3 3 x (2 x 1) 6 x2 3 x ———————— ——————— (x 1) (x2 1) x3 x2 x 1 2x 1 (f f ) (x) f (f (x)) f ———— x1 2x 1 4x 2 x 1 2 ———— 1 ——————– x1 x1 ——————— ———————— 2x 1 2x 1 x 1 ———— 1 ——————– x1 x1 3x 3 x1 ———— ——— 3x x x2 1 (g g) (x) g (g (x)) g ——— 3x x2 1 2 ——— 1 3x ——————— x2 1 3 ——— 3x x4 2 x2 1 9 x2 ————————— 9 x2 ——————————— x2 1 ——— x x 4 11 x 2 1 x 4 11 x 2 1 ——————— ——————— 9 x (x 2 1) 9 x3 9 x 2x 1 y ———— → x y y 2 x 1 → x1 → 2 x xy y 1 → x (2 y) y 1 y1 x1 x ——— → f 1 (x) ——— 2y 2x 2 (f g) (x) f (x) g (x) 2 11 f (1) ——— 2 12 21. El nombre d’articles n produïts en una empresa un dia qualsevol, t hores després de l’inici de la feina, és n (t) t 2 20 t, amb una jornada laboral de vuit hores diàries. Si el cost de producció de n articles és, en euros, c(n) 5 6 n, determina l’expressió de la funció c(t) que en dóna el cost en funció del temps. Indica’n el domini. 2x 1 Df ———— f f (x) x1 — (x) —— ————— g g (x) x 1 ——— 3x 1 f (0) — 2 f(2) √ 5 111 2 x 1 x2 1 ———— ———— x1 3x (2 x 1) (x 2 1) (2 x 1) (x 1) ————————– ————————–– (x 1) 3 x 3x 2 x2 3 x 1 ——————— 3x b) Troba el domini de cadascuna de les funcions anteriors. Df g Df g Df f {x x 0, x 1 0} {0, 1} D f {x x 2 1 0} {1, 1} — g D g g {x x 0, x 2 1 0} {1, 0,1} D f 1 {x 2 x 0} {2} 112 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE c) Comprova que f 1 és la funció inversa de f. (f 1 f ) (x) f (f (x)) f 1 1 2x 1 ———— x1 2x 1 ———— 1 x1 ———————— 2x 1 2 ———— x1 x1 2 ——— 1 2x ———————— x1 ——— 1 2x 2x 2 2 x ———————— 2x 3x —————————— —— x x12x 3 ——————— 2x x 2 2x 2 ———————— x2 3x —————————— —— x x2x1 3 ——————— x2 1 2x (f f 1) (x) f (f 1 (x)) f ———— 1x x x ——— ——— x1 x1 —————— —————— x x xx1 ——— 1 ————— x1 x1 1 2x 1 x ———————— 1x 3x —————————— —— x 1 2x 2 2x 3 ————————— 1x b) g(x) √ x2 2 y √ x2 2 → y2 x2 2 → → x2 y2 2 → x √ y2 2 → → g1(x) √ x2 2 (g1 g) (x) g1 (g (x)) g1 (√ x2 2) x2 x1 y ——— → x y 2 y x 1 → x2 → x x y 1 2 y → x (1 y) 1 2 y 1 2y 1 2x x ———— → f 1 (x) ———— 1y 1x 2 2)2 2 (g g1) (x) g (g1 (x)) g (√ x2 2) 24. Troba la funció inversa i fes-ne la comprovació en cada cas, per a cadascuna de les funcions següents: √(√ x √ x2 2 2 √ x2 x Perquè f 1 (x) f (x), és a dir, és la inversa d’ella mateixa. x1 a) f (x) ——— 1 2x ———— 1 1x —————— 1 2x ———— 2 1x x (f f ) (x) f (f (x)) f ——— x1 x1 1 2 ——— x2 ——————— x1 1 ——— x2 x 23. Donada la funció f (x) ———, comprova que (f f ) (x) x. x1 Per què creus que passa això? Justifica’n la resposta. x1 (f f 1) (x) f ——— 2x x1 (f 1 f ) (x) f 1 (f (x)) f 1 ——— x2 2x 1 x 1 ———————— x1 3x —————————— —— x 2x 2 2x 1 3 ————————— x1 √(√ x 2 2)2 2 √ x2 2 2 √ x2 x 1 c) h (x) — x 3 2 1 y — x 3 → 2y x 6 → 2 → x 2 y 6 → h1 (x) 2 x 6 (h1 h) (x) h1 (h (x)) la MATEMÀTIQUES 1 6 1 1 h1 — x 3 2 — x 3 2 2 113 b) Df 5 R , Rf 5 R y x66x (h h1) (x) h (h 1 (x)) 1 h (2 x 6) — (2 x 6) 3 2 x33x x Avaluació 1. Troba el domini de les funcions següents. Representa també gràficament les funcions dels apartats a, b i c i indica’n el recorregut. c) Df 5 R , Rf 5 [2, +∞) y a) f(x) 5 5 b) f(x) 5 22x + 1 c) f(x) 5 x2 2 2x + 3 d) f(x) 5 5x − 4 x2 − 4 x 2x − 7 e) f(x) 5 f) f(x) 5 3 g) f(x) 5 4x +7 2x h) f(x) 5 x x2 − 1 d) R 2 {0, 4} x2 + 5 7 e) , +∞ ) 2 x + 3 x ≤ 0 i) f(x) 5 x 2 x >1 x2 + 1 j) f(x) 5 1 x f) R g) (0, +∞) si x < −1 h) R si x > −1 i) Df 5 (−∞, 0] U (1, +∞), Rf 5 R El domini és tot R. 2. Siguin f ( x ) = a) Df 5 R , Rf 5 {5} a) f + g y x2 3x − 2 , g( x ) = i h(x) = x2 – 1. Calcula: x +3 x +3 b) f · g c) f : g d) f h x x2 + 3x − 2 x +3 (3 x − 2) x 2 3x 3 − 2x2 = 2 b) ( f·g) (x) = 2 x + 6x + 9 ( x + 3) a) ( f + g) (x) = 114 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE f (3 x − 2)( x + 3) 3 x 2 + 7 x − 6 = c) ( x ) = x 2 (x + 3) x 3 + 3x 2 g d) (f(of h) � g )( (x)x )5= 3( x 2 − 1) − 2 3 x 2 − 5 = 2 ( x 2 − 1) + 3 x +2 3. I) Troba la funció inversa de: x −1 a) f(x) 5 3x + 2 b) 1, 4, 9, 16, 25, 36... n2 c) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128... (2 )n b) g(x) 5 2x 2 5 2. Troba els termes que falten fins arribar al 10è de les successions de l’exercici 1. II) Comprova que (g–1o g) (x) 5 x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) , , , , , , , , , x −1 y −1 →x= → 3 xy + 2 x = y − 1 → 3 xy − y = −2 x − 1 → 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 a) y = 3x + 2 3y + 2 b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 x −1 y − 1 2x + 1 2 x + 1 −1 xy +→ 2 x f= y( x−) 1= → 3 xy − y = −2 x − 1 → −xy2 x−−=y1=→−2yx =−→1 3→ c) −2,4, −8,16, −32,64, −128,256, −512,1024 → 3 xy + 2 x =y(3=yx−−11)→=3→ 3x + 2 3 y + 2 1 − 3x 1 − 3x 2 x +−21x − 1 → y = 2 x + 1 → f −1 ( x ) = 2 x + 1 2x + 1 1 x − 1)2= n 2 = → fy−(3 ( x) = 1 − 3x 1 − 3x 3.an ——— és l’expressió del terme general d’una succes1 − 3x 1 − 3x n1 sió. Calcula els termes a 7 i a 100. Pots determinar l’expressió x +5 x +5 del terme an 1 en funció de n? b) y = 2 x − 5 → x = 2 y − 5 → y = → g −1 ( x ) = 2 2 (2 x − 5) + 5 2 x −1 49 72 g 21 = =x � g )( x ) = c) ((g a 7 ——— —— 2 2 71 8 4. Un venedor té un salari mensual que està determinat per un 1002 10 000 sou fix més un cert percentatge sobre el volum de vendes a 100 ———— ———— que ha fet durant el mes. Si ven per valor de 2 000 €, el seu 100 1 101 salari és de 1 200 € i, si ven per valor de 2 500 €, el salari és (n 1)2 (n 1)2 de 1 300 €. Trobeu el percentatge que guanya sobre el total a n 1 ————— ———— de vendes i el sou fix. n11 n b, sou fix a, % del volum de vendes Busquem una funció de la forma y = ax + b 1200 = 2000a + b Sabem 1300 = 2500a + b Resolent per reducció, restant les equacions −100 5 2500a → → a 5 1/5 5 0,2 5 20 % i b 5 800. Així, el percentatge que guanya sobre el total de vendes és del 20 % i el sou fix són 800 €. n1 4. El terme general d’una successió és: an ————. Calcula n els termes a 100 i a 1 000. Substituïm n pel terme que s’indica: jUnitat 9. Successions Activitats 101 a 100 —— 1,01 100 1001 a 1 000 ——— 1,001 1000 5. Representa a la recta real els deu primers termes de la suc 2n cessió a n ——— . n1 1. Intenta deduir l’expressió del terme general de cadascuna d’aquestes successions: 1 1 1 1 1 a) — , — , — , — , ——... 2 4 6 8 10 1 —— 2n 6. Estudia la monotonia de les successions següents: 1 a) a n —— n 2 MATEMÀTIQUES 1 1 1 n2 n2 2 n 1 ——— —— —————————— (n 1)2 n2 n 2 (n 1)2 2 n 1 —————— 0 per a tot n n 2 (n 1)2 Successió monòtona decreixent. Hi apliquem el criteri de restar un terme de l’anterior i observar el signe de la diferència. b) bn n 3 (n 1)3 n 3 n3 3 n2 3 n 1 n3 3 n 2 3 n 1 0 per a tot n Monòtona creixent. n 1 c) c n ——— n (n 1) 1 n1 n2 n2 1 ————— ——— ——————— n1 n (n 1) n 1 ————— 0 per a tot n (n 1) n Monòtona creixent. la 115 b) Fites inferiors: k 1. No té fita superior. c) Fites inferiors: k 0. Fites superiors: K 1. 1 d) Fites inferiors: k — . 3 No té fita superior. e) No té fita inferior. Fites superiors: K 0. f ) Fites inferiors: k 23. No té fita superior. 8. Escriu el terme general de la successió dels múltiples de 5. El nombre 6 000 és una fita superior d’aquesta successió? Raona la resposta. Està fitada inferiorment aquesta successió? an 5 n; a 1 200 6 000 Amb n 1200, an 6 000. No és una fita superior. La fita inferior és 5 i qualsevol k 5. n d ) dn ——— n 2 2 (n 1) n ————— ——— (n 1) 2 n2 2 2 n 5n 2 ——————— 0 per a tot n (n 3) (n 2) 2 Monòtona creixent. 9. Calcula termes avançats d’aquestes successions per poderne establir el límit en cada cas: En cadascun dels apartats cal calcular 2 o 3 termes avançats: 1 a) a n —— n2 a 100 0,0001; a 1 000 0,000001 → 0 e) e n n n 2 3 (n 1)2 (n 1)3 [n 2 n 3] 3 n 2 n 0 per a tot n Monòtona decreixent. f) f n 2 n 25 2 (n 1) 25 (2 n 25) 2 0 per a tot n Monòtona creixent. n b) bn ——— n8 n 2 1 c) c n ——— n 2 1 a) Fites inferiors: k 0. Fites superiors: K 1. 9 999 c 100 ————; 10 001 7. Determina, si existeixen, les fites superior i inferior de cadascuna de les successions de l’activitat anterior. 100 1000 b 100 ——; b 1 000 ——— → 1 108 1008 999 999 c 1 000 ————— 0,999... → 1 1000 001 100 d ) d n ——— n 116 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 100 d 1000 ——— 0,1; 1000 100 d 100 000 ———— 0,001 → 0 100 000 e) e n n 2 100 e 100 9 900; e 10 000 99 999 900 → f ) f n n 3 100 f 100 999 900; f 1000 999 999 900 → Quan el nombre de decimals es preveu il.limitat és millor deixar els resultats en forma de fracció. 14.Considera les successions {an }: 1, 4, 9, 16, 25... i 1 1 1 1 {bn }: 1, — , — , — , — ... 2 3 4 5 a) Troba el terme general de an i bn. 1 an n 2; bn — n b) Determina els cinc primers termes i el terme general de cadascuna de les successions següents: g) g n n 2 50 n 125 g 100 5 125; g 10 000 99 500 125 → 2 n 2 1 h) h n ———— n2 h 100 1,9999; h 1 000 1,999999 → 2 10. Classifica les successions anteriors en convergents i divergents. {an bn} {an bn} {an bn} an {n bn } —— {bn an} bn n3 1 {an bn} ———— → n 9 28 65 126 → 2, — , ——, ——, —— 2 3 4 5 Són convergents les que tenen límit numéric: a), b), c), d) i h). Són divergents les que tenen límit del tipus infinit: e), f ) i g). n3 1 {an bn} ———— → n 7 26 63 124 → 0, — , ——, ——, —— 2 3 4 5 11. Troba els cinc primers termes de la successió an (2)n 1. {an bn} n → 1, 2, 3, 4, 5 Substituïm n per 1, 2... 5: a 1 4; a 2 8; a 3 16; a 4 32; a 5 64 12. Escriu el terme general de dues successions divergents de límit . Resposta oberta. Per exemple: an n 2 100; bn n 2 3 n 3 13. Calcula els termes que ocupen les posicions 100 i 1 000 en les successions de terme general: n 10 n 2 100 an ———— i bn ————— n n 10 Pots intuir quin és el límit de cadascuna? 110 1 010 a 100 —— 1,1; a 1 000 ——— 1,01 → 1 100 1 000 10 100 1010 b 100 ——— ——; 110 11 1000 100 100 010 b 1000 ———— ——— → 1 010 101 {n bn} 1 → 1, 1, 1, 1, 1 ——ba n n 3 → 1, 8, 27, 64, 125 n 1 n3 {bn an} ——— → n 7 26 63 124 → 0, ——, ——,——, —— 2 3 4 5 15. Escriu els deu primers termes de la successió {an} n, en què n1 an ——— . n n1 ——— n n 9 64 625 7 776 → 2; — ; ——; ——; ————; 4 27 256 3 125 2,522; 2,546; 2,565; 2,581; 2,594... 16. Calcula quin és el límit de cadascuna de les successions següents: 2 n 1 n a) an ——— ——— n n1 MATEMÀTIQUES 1 2n 1 n ——— ——— ⇒ n n1 ⇒ 2 1 3 (suma de límits) lim {an bn} lim {an bn} lim {an bn} lim (n 2 1 35 n) 1 1 n 1 —— : — —— — → 0 n n2 n n2 1 1 n n2 1n —— — ——— ——— → 0 2 n n3 n2 n 1 d ) dn 5 : — n n2 1 lim {an : bn} lim ——— 35 n lim {bn an} lim (35 n n 2 1) 1 1 — c) cn —— n2 n 117 lim (n 2 1) ; lim 35 n 1 1 :— b) b n —— n2 n la 1 5 : — 5n → n 35 n lim {bn : an} lim ——— 0 2 n 1 3n 5 n 2 20. Calcula el límit de les successions an ——— i bn ———. 150 n 1 Són divergents? Calcula el límit de cadascuna de les successions següents: {an bn} {an bn} {an bn} 17. Escriu els termes generals de dues successions convergents el límit de les quals sigui zero. Calcula el límit de les dues possibles successions quocient. Resposta oberta. Per exemple: 2 2n an — i bn ——— n n2 1 2 n2 2 an —— ———— → 1; 2 n2 bn bn 2 n2 —— ———— → 1 2 n2 2 an {an : bn} {bn an} {bn : an} an 5 000 n 5 000 lim —— lim ——————— 0 bn n 2 5 000 n ja que el grau del polinomi denominador és més gran que el del numerador. n 5 000 n bn lim —— lim ——————— an 5 000 n 5 000 2 19. Considera les successions an n 2 1 i bn 35 n. Comprova que són successions divergents. Calcula el límit de cadascuna de les successions següents: 5 n 2 lim bn lim ——— n1 Són divergents. 3 n 2 3 n 750 n 2 lim {an bn} lim ———————— 150 n 150 an 5 000 n 5 000 18. Donades an ———— i bn ——————, calcula lim ———— n n 1 bn bn i lim ——. an 3n lim an lim —— ; 150 15 n 3 lim {an bn} lim ————— 150 n 150 3 n 2 3 n 750 n 2 lim {an bn} lim ———————— 150 n 150 3 n2 3 n 3 1 lim {an : bn} lim ———— —— —— 2 750 n 750 250 lim {bn an} 750 n 2 3 n 2 3 n lim ————————— 150 n 150 750 n 2 lim {bn : an} lim ———— 250 3 n2 3 n 21. Calcula el límit de cadascuna de les successions següents: {an bn} {an bn} 2n a) an ———— 3 n 5 {an bn} {an : bn} {bn an} {bn : an} 2n 2n 2 lim ———— lim ——— — 3 n 5 3 n 3 118 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 1 √ n b) b n ——— n 1 √n 1 √n lim ——— lim —— lim —— 0 n n √n d ) dn n 2 n n 3 lim (n 2 n n 3) lim (n 3) 800 e) en ——— 2n3 800 lim —— 0 2 n3 22. Troba, si existeixen, els límits següents: n3 n2 lim —— lim —— 2n 2 2 n 1 lim 0,2 n lim —— lim —— → 0 10 5n c) lim (1) n No existeix, ja que és una successió oscil.lant. 1 d ) lim — 3 1 lim — 3 2 n 2 e) lim ——— n3 1 n 1 lim 1 —— n n 1 n (1) ——— 21 5n 1 lim —— 0 35n n —— n1 2n 2 lim ——— n3 n —— n1 1 e 1 — e n 2 n2 lim ——— lim 1 ——— 1 n 1 n1 n 2 a) lim ——— n 1 n n 1 1 ——— n1 n ——— n1 e1 e 3n 3n n1 n (n 1) ——— n1 n3 lim 1 1 ——— n1 2 lim 1 ——— n1 n3 b) lim 2 ——— n1 1 lim 1 ——— n1 21 2, ja que: 24. Determina els límits següents: 3n 5n lim 1 —— n 1 lim 1 — n lim b) lim 0,2n n n 3 a) lim —— 2 n 10 1, ja que: 1 n 23. Calcula: lim 1 — . n 1 1 Tingues en compte que: 1 — 1 ——. n n n 1 n 1 lim ———— lim —— lim —— 0 2 2 n n n 1 — n n 1 lim ———— 1 i lim — 0 n5 n n 1 f ) f n ———— n2 1 — n n lim ——— n5 1 lim 100 — lim 100 100 n n f ) lim ——— n 5 1 c) cn 100 — n 2n 2 n lim ———— 2 i lim ——— 1 n3 n1 lim n1 22 3 n ——— ——— 22 n1 1 lim 1 ——— n1 ——— 2 1 1 ——— n1 ——— 2 e 6 n1 ——— 22 26n ——— n1 la MATEMÀTIQUES 1 1 c) lim 1 —— 2n 3n 1 1 lim 1 —— 2n 1 lim 1 —— 2n lim 3n d ) lim 4 ——— n5 2n (3n11) ———— 2n 2n 3n11 —— 2n 15 lim 1 ——— n5 3 — 2 n2 15 (n15) n 2 —— —— n15 15 1 1 ——— n5 ——— 15 n2 1 lim 1 ——— n5 ——— 15 lim e 3n lim 1 3 ——— n5 n2 Calcula els termes a2, a4 i a7 de la successió de les àrees. Pots escriure l’expressió del terme general an d’aquesta successió? Té límit la successió d’aquestes àrees? Quin és? 3n 1 1 1 —— 2n 119 n15 —— 15 15 n2 —— n15 h √ 1 1— 4 √ 3 √3 — —— 4 2 √3 √3 a1 1 —— : 2 —— cm2 2 4 1 L’àrea de cada triangle és — de la del triangle anterior: 4 √3 √3 √3 a 2 —— cm2; a 4 —— cm2; a 7 —— cm2; 42 44 47 e Activitats finals 1. La successió 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... és la successió de Fibonacci. Aquesta successió té una regla recurrent que permet, a partir d’un cert valor de n, determinar-ne qualsevol terme si es coneixen els anteriors. Escriu-ne cinc termes més i indica la recurrència enunciada. A partir del segon terme, cadascun dels termes és la su­ma dels dos anteriors. √3 lim an lim —— 0 4n 3. Esbrina si aquesta afirmació és certa: 2 és una fita inferior de la successió 2n 2 an ——— 2 Quin és el límit d’aquesta successió? 2 no és una fita inferior de la successió, ja que a 1 0 2. 2n 2 2n lim ——— lim —— 2 2 Cinc termes més: 55, 89, 144, 233, 377 an an 1 an 2 per a tot n 2 2. Dibuixa triangles equilàters successius a partir dels punts mitjans del triangle equi­làter immediatament anterior. Si el primer triangle mesura 1 cm de costat, comprova que la seva √3 àrea és —— cm2. 4 4. Considera la successió de terme general an ( √ 3)n. Té fites inferiors aquesta successió? A partir de quin terme tots el que el segueixen són més grans que 81? Té fita superior aquesta successió? a 1 √ 3 i qualsevol k √ 3 és una fita inferior. n (√ 3 ) n 81 → 3 2 34 ⇒ n ⇒ —4 → n8 2 120 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE Aquesta successió no té fita superior: lim (√ 3 ) n k n2 3 lim ———— 1 n2 5. Calcula els límits següents: a) lim (3 n 5) (2 3 n) lim (3n 5)(2 3n) lim (9 n 2 21n 10) lim (9 n 2) n n lim ——— — n1 2 n2 n n2 lim ———— lim —— 2n 2 2n n lim — 2 n n2 b) lim ——— — n 1 2 2 2n √ 4n2 n lim —— lim ————— 1 2n 3 2n 5 lim — √n 0 n 5 d ) lim — √ n n n n 311 e) lim ———— n2 3 n n2 f ) lim ———— 1 n2 lim 1n 3 n n2 2 7. Determina aquests límits: 1 a) lim — 5 5n 1 lim — 5 5n 1 lim —— 0 55 n n 3 3 n 2 1 b) lim —————— n5 2 n n3 n3 3 n2 1 lim —————— lim —— n5 2 n n5 1 lim — 0 n2 n1 n lim ——— lim —— lim √n √n √n √5 n 3 3 n 2 d ) lim —————— √n 3 5 n 1 √5 n 3 3 n 2 √5 n3 lim —————— lim ——— 3 3 2 n 5 n 1 n √ n n 311 lim ————— n2 3 n lim —— lim (n) n2 n 1 c) lim ——— √ n √ 4n2 n c) lim ————— 2 n 3 k n2 lim —— k 2 → k 2 n 2 n2 1 e) lim ——— n 2n —— n1 2n —— n1 n2 1 lim ——— n 2 3 n2 3 n2 2 f ) lim ——— ———— n 1 n1 n2 lim 1 n 2 3 n2 2 3 n2 lim ——— ———— n1 n1 6 n 2 6 n 2 2 n 2 lim ——————— lim ——— 6 n2 1 n2 6. Troba el valor de k per tal que es verifiqui: k n2 3 lim ———— 2 1 n2 g) lim (√ 3n √ n ) lim (√3n √ n) lim √ n (√ 3 1) la MATEMÀTIQUES 1 h) lim 300n 1 lim 300n lim ——— 0 300 n és del tipus del número e: n 3 i ) lim ——— n 5 n 3 lim ——— n 5 n n 5 n 1 1 ——— n5 ——— 2 n5 —— 22 n 22 —— n5 5n 3 lim ———— n 2 3 — n 2 5 1 Els polinomis numerador i denominador són del mateix grau i els coeficients dels respectius termes de major grau són iguals. Tots aquests límits són del tipus del número e: n n 2 1 n lim 1 ———— n3 1 lim 1 1 ——— n5 ——— 3 6 b) lim 1 — n 2n n5 —— 3 1 1 ———— 3 n 1 ———— n 2 1 lim e 2n d) lim 3 ——— n1 n1 n1 2n lim 1 2 ——— n1 1 e 1 — e 2n lim 3 ——— n1 n 2n2 2 1 n ——— n3 1 n3 1 ——— 2n2 2 1 2n3 2 n ——— n3 1 1 2 lim 1 ——— n1 3 lim 1 ——— n5 1 lim 1 ———— 3 n 1 ———— n 2 1 1 n 1 9. Calcula els límits següents: 1 2 0 n3 1 n 3 8. El límit d’una successió, el terme general de la qual és una fracció algèbrica, és 1. Explica la relació que hi ha entre els graus dels polinomis numerador i denominador, i entre els coeficients dels termes que determinen aquests graus. lim e 12 n 3 a) lim 1 ——— n5 n3 n2 3 — n 5 n 3 j) lim ———— n2 n3 n2 lim ———— n3 1 1 e 2 — e2 6 2n — n Dividim la fracció: 1 n — 26 n n5 2 lim 1 ——— n5 1 1 —— n —— 6 n 3 n 2 c) lim ———— n3 1 2 2 2n n n3 lim lim 6 lim 1 — n Dividim la fracció: n1 n1 e2 n 3 n —— n5 e3 n1 lim 2 ——— n n1 lim 1 1 ——— n n1 e) lim 2 ——— n 2 n 2 n 2 n 121 122 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 1 lim 1 —— n 1 lim 1 —— n lim e n2 5 f ) lim ———— n2 1 22n — 2n c) Calcula’n a1 000 i a10 000 i indica el nombre real al qual sembla que s’apropen els termes de la successió suficientment avançats. e2 a1000 = n 5 lim ———— n2 1 5n 4 lim 1 ——— 2 n 1 1 lim 1 ——— 2 n 1 ——— 4 20 n — — — n2 1 d) Es tracta d’una successió fitada? Explica-ho. La successió està fitada inferiorment per a qualsevol nombre real més petit o igual que 1, i està fitada superiorment per qualsevol nombre real més gran o igual que 1,5. Es compleix, doncs, 1 ≤ an ≤ 1,5. 5n n2 1 — — — 4 1 1 ——— 2 n 1 ——— 4 5n 4 5n — — — n2 1 e0 1 r Ct lim C 0 1 ——— 100 n lim e d) lim lim tn an 4 n2 + 4 n + 1 4 n2 = lim = lim 2 = −4 2 bn 1−n −n 3. Considera la successió an = 100 n — — — r → Ct C 0 e an bn tr — — 100 c) lim (an + bn) lim (an 1 bn) 5 lim (3n2 1 4n + 2) 5 lim 3n2 = ∞ 1 1 ——— 100 n ——— r tn b) lim bn lim bn 5 lim (1 2 n)(1 1 n) 5 lim (1 2 n2) 5 lim (2n2) 5 5 -∞ tn 1 lim 1 ——— 100 n ——— r r lim 1 ——— 100 n 2. Donades les successions an 5 (2n 1 1)2 i bn 5 (1 1 n) (1 2 n), calcula: a) lim an lim an 5 lim (2n 1 1)2 5 lim (4n2 1 4n 1 1) 5 lim 4n2 5 ∞ 10. Expressa en funció del número e la fórmula de l’interès continu que ve donada per: 3000 30 000 ≈ 1, 49925...; a1000 = ≈ 1, 499925... 2001 20 001 Sembla que s’apropen a 1,5. lim e ∀ n. Per tant, la successió és monò- 5n 2 lim Es verifica an + 1 - an > 0, tona creixent. 1 — (2 n) 2n n b) Indica raonadament si és monòtona o no. 2 n r tn— — — 100 n 3n k − 5 n + 7 . Indica’n els pos(4 n2 − 1)2 sibles límits segons els valors de l’exponent k. tr — — 100 Avaluació 3n : 1. Donada la successió de terme general an = 2n + 1 a) Escriu-ne els sis primers termes. 6 9 12 4 15 18 a1 = 1; a2 = ; a3 = ; a4 = = : a5 = ; a6 = 5 7 9 3 11 13 lim an = lim 3nk − 5n + 7 3n4 = lim 4 2 16n − 8n + 1 16n4 Si k > 4, lim an = ∞; si k = 4, lim an = 3 ; si k < 4, lim an = 0. 16 1 n 1 n 4. Donades les successions an = i bn = , determina: 2 3 a) lim an 1 n 1 lim = 0, ja que < 1 2 2 b) lim bn 1 n 1 lim = 0, ja que < 1 3 3 la MATEMÀTIQUES 1 jUnitat 10. Límits i continuïtat de funcions an bn c) lim 3 n an 3 = lim = ∞, ja que > 1 bn 2 2 lim d) lim Activitats x2 1. Donada la funció f (x) ——— : x1 bn an a) Troba el límit de la funció per a x 4, x 1 i x 2. 2 n bn 2 = lim = 0, ja que < 1 an 3 3 lim x 4, x → 4; f (x) → 2 x → 4; f (x) → 2 ∞ c) lim x→4 5n + 3 2–n n2 – n + 1 2n – 5 b) lim 2n – + 3 n3 – 1 d) lim (√n2 – √n2 + 1 ) −5 0 6 lim f(x) 2 5. Calcula els límits següents: a) lim x 1, x → 1; f (x) → x → 1; f (x) → 6 No existeix lim f (x) perquè els límits laterals són diferents x→1 multiplicant i dividint pel conjugat, 0 2n2 + 1 ⎛ ⎛ e) lim ⎜ n + 5 ⎜ ⎝ n–1 ⎝ x 2, x → 2; f (x) → 0 x → 2; f (x) → 0 lim f(x) 0 2n2 + 1 6 lim 1 + n −1 b) Indica si es creixent o decreixent per a x 4 i x 2. 1 = lim 1 + n − 1 6 n−1 6 6 2n2 + 1· n −1 x 4, x → 4; f (x) → 2 = e∞ = ∞ +1 ⎛ n + 5 ⎛2n 2n – 5 ⎜ f) lim ⎜ ⎝ n–1 ⎝ 2 2 És decreixent ja que x ↑, f (x) ↓ x → 4; f (x) → 2 És decreixent ja que x ↓, f (x) ↑ x 2, x → 2; f (x) → 0 x → 2; f (x) → 0 6. Quina és la suma dels cent primers nombres naturals? I la dels dos-cents primers nombres parells? Els nombres naturals són una progressió aritmètica de d 5 1, i per tant 1 + 100 · 100 5 050 .100 = 5050 2 És decreixent ja que x ↓, f (x) ↑ x2 2 x 2. Donada la funció f (x) ———— : 3x a) Troba el límit de la funció en x 0. x → 0; f (x) → 0,6 2 + 400 · 200 5 40 200. ·200 = 40200 2 6 2 lim f(x) 0,6 — x→0 3 ( La suma dels dos-cents primers nombres és x → 0; f (x) → 0,6 ( 2, 4, 6, 8, 10… 6 → Decreixent. ( La successió dels nombres parells també és una progressió aritmètica de d 5 2 6 → Decreixent. És decreixent ja que x ↑, f (x) ↓ 2 S200 = 6 x → 2 és de nombre e, S100 = 123 b) Què pots dir del creixement de la funció en el punt x 0? Justifica’n la resposta. x 0 Df . No poden parlar de creixement en x 0. LA 124 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 3. Calcula els límits següents: e) lim (3x3 2 √ 5x4 3x2 7) x → 2 2 x 5 x 2 a) lim —————— x→ 3 x2 1 lim (3x3 2 √ 5x4 3x2 7) x →2 5 x2 5 2 x 5 x2 lim —————— lim ——— — 2 2 x→ x → 3x 1 3x 3 7 x 3 b) lim ———— 2 x→ 4x 2 7x 3 7x lim ———— lim —— 2 x → x → 4x 2 4 x2 7 lim —— 0 x→ 4x c) lim (√ 3x2 5x 9 √ 3x2 x 1) x →1 lim (√ 3x2 5x 9 √ 3x2 x 1) x →1 (√3x2 5x 9)2 (√3x2 x 1)2 lim —————————————————— x →1 √3x 5x 9 √ 3x x 1 2 2 3x2 5x 9 3x2 x 1 lim ———————————————— x →1 √ 3x2 5x 9 √ 3x2 x 1 lim (3 x 3) x →2 1 3 x3 f) lim ———— 2 x → 2 5 x 2 x →2 lim x →1 6x lim ———————— x→ √3 x 2 √3 x 2 6x —————— lim √3 x √3 x x→ 6x ———— 2√3 x 6 3 3 √3 ——— —— ——— √ 3 2 √3 √3 3 x → 1 lim (√ x2 1 x 2) x3 x5 ——— x2 lim x →1 lim x →1 3 1 ——— x2 3(x 3) — — — x 2 lim e x → x 2 — — — 3 x3 3 — — — (x 3) x 2 lim e x → 3x — — x e3 x2 x 2 1 x3 h) lim ————— ———— x → 1 2x 3 x2 5 lim x →1 x2 x 2 1 x3 ————— ———— 2x 3 x2 5 x 4 2 x 3 7 x 2 7 x 13 lim ——————————————— x →1 2 x 3 3 x 2 10 x 15 d) lim (√x 2 1 x 2) x5 g) lim ——— x → 1 x2 6x 10 lim ———————————————— x →1 √3x2 5x 9 √ 3x2 x 1 3 x3 1 3 x3 ———— lim ——— x →2 5 x2 2 5 x2 3 x lim —— x →2 5 lim lim x →1 x x 4 ——— lim —— 3 x →1 2x 2 x →1 lim [√ x2 1 (x 2)] x →1 (√ x2 1 )2 (x 2)2 —————————— lim x →1 √ x2 1 x 2 6 x 4 5 x 3 2 x 2 3 i) lim ——————————— x→ 2 x3 x2 2 x 7 x2 1 x2 4 x 4 lim ——————————— x →1 √ x2 1 x 2 4 x 3 lim ————————— 2 x →1 √x 1 x 2 4 x 4 x lim ———— lim ——— x →1 √ x2 x x →1 xx 4 x lim ——— 2 x →1 2x 6 x 4 5 x 3 2 x2 3 lim ——————————— x→ 2 x3 x2 2 x 7 6 x4 lim ——— lim 3 x x→ x→ 2 x3 2 2x j) lim 3 ———— x→ x4 lim x→ x 1 — — — 2 2 2x 3 ———— x4 x 1 — — — 2 la MATEMÀTIQUES 1 lim x→ lim x → 6 1 ——— x4 x 24 — — — 26 1 ——— x4 6 k) lim x → 2 3x 2 x → 4x 1 ———— ———— x 5 6x 3 3x 2 2 12 x lim ——— 2 4 x → 6 x 4 3 x 3x l ) lim —————— x → 1 2 x2 2 lim x √ 3 x 10 lim ——————— x→5 x2 25 4x 1 2 x √3 x 10 a) lim ———————— x→5 x 2 25 2 x2 (√3x 10) ———————————— lim 2 12 x 4 3 x 3 8 x 2 lim ——————————— x → 6 x 4 33 x 2 15 5. Calcula els següents límits de funcions: e3 2 lim x3 5 x2 6 x 0 lim ——————— — 0 3 2 x→3 x 3x 2x 6 3 23x 2 3 x 24 2 ———— ———— x 5 6x 3 3 2 x2 3 x lim ————— —— 1 2 x→2 x x 2 26 · x 1 — — — — — — x 24 2 lim — — x → — e x 1 — — — 2 x → lim —————— 1 2x 3 x 3x 2 3 — 2 2 — 3 (x 5)(x 5)(x √ 3x 10) x→5 (3 x) x → lim x→5 lim x → (3 x) 0 4. Troba el límit de la funció b) lim x→0 x1 2x 3 ———— ——— 6x 3x 2 x3 5 x2 6 x lim ——————— 3 2 x→0 x 3x 2x x (x 2 5 x 6 ) lim ——————— 2 x → 0 x (x 3 x 2) 6 x2 5 x 6 lim —————— — 3 2 x→0 x 3x 2 2 2 x3 5 x2 6 x lim ——————— — 3 2 x→1 x 3x 2x 0 x3 5 x2 6 x lim ——————— x→2 x3 3 x2 2 x (x 2) (x2 3 x) lim ———————— 2 x → 2 (x 2) (x x) 3 lim (x 5)(x √3x 10) 7 7 ——— —— 10 10 100 x→0 ———— ——— 6x 3x x1 2 2x 3 3 x (x 1) 2 (2 x 3) lim ——————————— x→0 6 x3 x2 x 4 x 6 lim ———————— x→0 6 x3 x3 5 x2 6 x f (x) ——————— en x 0, x 1, x 2 i x 3. x3 3 x2 2 x (x 25)(x √3x 10) x2 lim ——————————— 3x 2 3x 2 lim ——— 2 x → 2 x x→5 (x 5) (x 2) lim ——————————————— 3 x 3x 2 —————— 1 2 x2 (x 25)(x √3x 10) x2 3 x 10 lim ———————————— 2 3x x → x→5 c) lim x→1 x2 3 x 6 6 lim —————— —— x→0 6 x3 0 : ———— ———— x 1 x1 2x 3 2x 2 2 lim x→1 2x 3 2x 2 : ———— ———— x 1 x1 2 (2 x 3) (x 1) lim ———————— 2 x → 1 (x 1) (2 x 2) (2 x 3) (x 1) lim ——————————— x → 1 (x 1) (x 1) (2 x 2) 2x 3 5 5 lim ———————— ——— — x → 1 (x 1) (2 x 2) 24 8 125 126 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE x2 2 x 1 d) lim ————————— x → 1 x3 3 x2 3 x 1 2 x3 5 x 2 7 x e) lim ———————— x→0 3 x2 4 x lim x→0 7 —— 4 1 — 3 lim x→2 3 7 7 — — 4 4 4 ——————— x 2x 2 x3 1 — x x2 x 2 4 lim —————— —— 2 x → 3 x 5x 6 0 x2 x 2 4 lim —————— —— 2 x → 31 x 5x 6 0 2 x3 4 lim ——————— 2 x→2 x 2x 2 6 — 5 1 — 2 1 lim x→2 — x √ 6 — 5 3 x 2 9 x 30 lim ———————— x → 2 16 2 x 3 3 x 15 7 lim ——————— — 2 x → 2 2 x 4 x 8 8 x1 lim ——— 3 x → 2 x3 x2 x 2 lim ——————— x → 2 x2 5 x 6 (x 2) (x 1) lim ———————— x → 2 (x 2) (x 3) x1 lim ——— 3 x → 2 x3 x2 x 2 lim ——————— 3 x → 2 x2 5 x 6 x2 x 2 lim —————— 0 2 x → 1 x 5 x 6 x 3 2 x 2 3 x h) lim ——————— x→3 27 x 3 x2 x 2 lim —————— 0 x → 11 x2 5 x 6 6 x2 x 2 lim —————— 2 x → 2 x 5 x 6 (x 2)(x 1) lim ———————— x → 2 (x 2)(x 3) (x 2) (3 x 15) lim ——————————— 2 x → 2 (x 2) (2 x 4 x 8) 3 1 lim —————— — 2 x → 3 x 3 x 9 9 No existeix el límit. 3 x 2 9 x 30 g) lim ———————— x → 2 16 2 x 3 3 (x 3) lim ——————————— 2 x → 3 (x 3) (x 3 x 9) x2 x 2 6. Donada la funció f (x) ———————, calcula’n el límit x2 5 x 6 quan x tendeix a: 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 1 i 1. √ √ 1 — x x3 4 f ) lim —————— x→2 x2 2 x 2 3 lim 8x 1 — —— x →0 — 3 2 x2 5 x 7 lim ———————— x→0 3x 4 lim x(8x 1) — —— x →0 — 3x 8x2 x — — — 3x 3x 9 lim ———— 3 x → 3 x 27 4 x2 x lim ——————— — 2 x → 3 x 3 x 9 9 2 x3 5 x 2 7 x ———————— 3 x2 4 x (x 3) (x2 x) lim ——————————— 2 x → 3 (x 3) (x 3 x 9) 3x 9 i) lim ———— 3 x → 3 x 27 8x2 x — — — 3x x (2 x 2 5 x 7) lim ———————— x → 0 x (3 x 4) 1 1 lim ——— — x → 1 x1 0 (x 1)2 lim ———— 3 x → 1 (x 1) x2 2 x 1 lim ————————— 3 2 x → 1 x 3 x 3 x 1 x3 2 x2 3 x lim ——————— x→3 27 x3 6 x2 x 2 lim —————— 0 x→1 x2 5 x 6 6 la MATEMÀTIQUES 1 7. Donada la funció f ( x ) = x − 4 , indica’n el domini i dedueix-ne el límit quan x tendeix a: 4, 4, 4. Df {x x 4 0} [4, ) ∃ / lim x → 4 √x 4 ja que els valors més petits de 4 no són del domini. lim x → 4 √ x 4 0, i per tant: ∃ / lim x→4 √x 4 5 x2 1 ———— 2x 2 x1 quan x tendeix a 0, 0, 0, 1, 1, 1, 3, 3, 3. 6 x2 x lim f (x) lim ————— 2 x2 2 x x→0 x→0 x (x 1) lim ————— x → 0 2 x (x 1) x1 1 lim ————— — 2 x → 0 2 (x 1) ————— x2 x lim f (x) lim 2 x → 0 x → 0 2 x 2 x ————— x (x 1) lim x → 0 2 x (x 1) ————— x1 1 — lim 2 x → 0 2 (x 1) 1 d’on: lim f (x) — x → 0 2 x2 x lim f (x) lim ————— 0 2 2x 2 x x→1 x→1 x2 1 lim f (x) lim ———— 2 x2 x→1 x→1 (x 1) (x 1) lim ——————— 2 (x 1) x → 1 ——— x1 1 lim 2 x → 1 ∃ / lim f (x) x→1 x2 1 lim f (x) lim ———— 2 x → 3 x → 3 2 x 2 x2 1 lim f (x) lim ———— 2 x → 3 x → 3 2 x 2 6 lim f (x) 2 x→3 9. Donades les funcions: 2 x2 2 x f (x) ————— i x x3 5 x ——— x1 g (x) x2 ——— x1 5 si x 0 si x 0 Estudia’n la continuïtat en x 1, x 0 i x 1. 8. Calcula el límit de la funció definida a trossos: x2 x ——— —— x1 2x2 2x f(x) 127 6 Df {x x x3 0} {1, 0, 1} 2 x2 2 x lim f (x) lim ————— x → 1 x → 1 x x3 2 x (x 1) lim ———————— x → 1 (x x 2) (x 1) 2x lim ———— 1 x → 1 x x 2 2 x2 2 x lim f (x) lim ————— x → 1 x → 1 x x3 2 x (x 1) lim ———————— x → 1 (x x 2) (x 1) 2x lim ———— 1 x → 1 x x 2 6 d’on: ∃ / f (1), ja que x 1 Df. Discontinuïtat evitable en x 1. 2 x2 2 x lim f (x) lim ————— x → 0 x → 0 x x3 x (2 x 2) lim ————— x → 0 x (1 x2) 2 x 2 lim ———— 2 x → 0 1 x 2 2 x2 2 x lim f (x) lim ————— x → 0 x → 0 x x3 x (2 x 2) lim ————— x → 0 x (1 x2) 2x 2 lim ———— 2 x → 0 1 x2 6 d’on: ∃ / f (0), ja que x 0 Df . Discontinuïtat evitable en x 0. 128 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE S’eviten les dues discontinuïtats definint una nova funció: h (x) 5 f (x) 1 2 x 1 i x 0 x 1 x0 2 x2 2 x 4 lim f (x) lim ————— — 3 x → 1 x → 1 xx 0 2 x2 2 x 4 lim f (x) lim ————— — 3 x→1 x→1 0 xx 6 ∃ / f (1), ja que x 1 Df Discontinuïtat asimptòtica en x 1. Dg {x x 1 0 i x 1 0} {1, 1} 5 x 5 lim g (x) lim ——— — x → 1 x → 1 x1 0 5 x 5 lim g (x) lim ——— — x → 1 x → 1 x 1 0 6 Discontinuïtat asimptòtica en x 1. ∃ / g (1), ja que x 1 Dg . 5 x lim g (x) lim ——— 0 x→0 x→0 x1 x2 lim g (x) lim ——— 0 x → 0 x 1 x → 0 6 Contínua en x 0. x2 1 lim g (x) lim ——— — x → 1 x → 1 x 1 0 6 Discontinuïtat asimptòtica en x 1. ∃ / g (1), ja que x 1 Dg . 2 x 2 6 x 4 f (x) ———————— 1 x4 Df {x 1 x 4 0} {1, 1} 2 x 2 6 x 4 12 lim ———————— —— x → 1 1 x4 0 2 x 2 6 x 4 12 lim ———————— —— x → 1 0 1 x4 ∃ / f (1), ja que x 1 Df Discontinuïtat asimptòtica en x 1. 2 x 4 1 lim ———————— — 3 2 x→1 x x x 1 2 2 x2 6 x 4 lim ———————— x → 1 1 x4 (x 1) (2 x 4) lim ————————————— x → 1 (x 1) (x 3 x 2 x 1) 2 x 4 1 lim ———————— — x → 1 x 3 x 2 x 1 2 6 ∃ / f (1), ja que x 1 Dg Discontinuïtat evitable en x 1. S’evita definint una nova funció: 5 f (x) g (x) 1 — 2 f (x) 5 px 1 ———— x4 si x 1 x1 ———— x2 1 si x 1 x1 x1 a) Troba el valor de p perquè sigui contínua en x 1. px 1 p1 lim f (x) lim ———— ——— x → 1 x → 1 x 4 3 x1 lim f (x) lim ———— x →1 x→1 x2 x 10. Estudia la continuïtat de la funció: Cal estudiar-la en x 1 i x 1. (x 1) (2 x 4) lim ————————————— x → 1 (x 1) (x 3 x2 x 1) 11. En la funció f (0) 0 x2 1 lim g (x) lim ——— — x → 1 x → 1 x 1 0 2 x 2 6 x 4 lim ———————— x → 1 1 x4 6 x1 lim ———— x → 1 x (x 1) 1 lim — 1 x → 1 x p1 f (1) ——— 3 Si ha de ser contínua en x 1 → p 1 → ——— 1 → p 4 3 6 la MATEMÀTIQUES 1 b) Hi ha algun altre punt en què la funció és discontínua? Justifica’n la resposta. 129 13. A partir de la gràfica: No, perquè Df . Per a p 4 f (x) és contínua en tots els reals. 12. Estudia la continuïtat de la funció: g(x) 5 2x 1 si x 1 x3 ——— 2x si 1 x 1 x ——— x2 si x 1 Df Dg {x 2 x 0 i x 2 0} {0, 2}. Cal estudiar la continuïtat en x 1, x 0, x 1 i x 2. lim g (x) lim (2 x 1) 1 x → 1 x → 1 x3 lim g (x) lim ——— 1 x → 1 x → 1 2x g (1) 1 lim 6 x3 3 lim g (x) lim ——— — x → 0 x → 0 2x 0 x3 3 lim g (x) lim ——— — x→0 x→0 2x 0 ∃ / g (0) ja que x 0 Dg ∃/ g (1) 2 x → 1 lim f (x) x→ lim f (x) 2; lim f (x) ; x → 4 6 x → 4 lim f (x); f (4) 2 x → 4 lim f (x) 1; lim f (x) 1; x → 2 x → 2 lim f (x) 1; f (2) 0 x → 2 lim f (x) ; lim f (x) 2; x → 0 ∃/ lim x → 0 f (x); f (0) 2 x→0 Discontinuïtat asimptòtica en x 0. x lim g (x) lim ——— 1 x→1 x→1 x2 f (x) 0; lim f (x) ; x → ∃/ Contínua x 1. x3 lim g (x) lim ——— 2 x→1 x→1 2x a) Indica quin és el límit de la funció quan x tendeix a , , , 4, 4, 4, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2. lim f (x) 0; lim f (x) 0; 6 x → 1 lim f (x) 0; f (1) 0 x → 1 lim f (x) 2; lim f (x) 1; x → 2 x 2 lim g (x) lim ——— — x → 2 x → 2 x 2 0 ∃ / g (2) ja que x 2 Dg Discontinuïtat asimptòtica en x 2. x → 2 ∃ / lim f (x); f (2) 1 x→2 b) Justifica i classifica les discontinuïtats de la funció representada gràficament. Discontinuïtat de salt en x 1. x 2 lim g (x) lim ——— — x → 2 x → 2 x 2 0 x → 1 6 Discontinuïtat asimptòtica en x 4. Discontinuïtat evitable en x 2. S’evita definint g (x) 5 f (x) x 2 1 x 2 Discontinuïtat asimptòtica en x 0. Discontinuïtat de salt x 2. 130 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 14. Dibuixa una gràfica d’una funció que verifiqui les condicions següents: 2. Troba el límit quan x → , x → i x → de les funcions racionals: 7x 3 a) f (x) ————— 2 x3 x a) Df {0}; b) lim f (x) 0; x→ c) Presenti aquestes discontinuïtats: asimptòtica en x 0, evitable en x 2 i de salt en x 4. Resposta oberta, per exemple: 7x 3 lim f (x) lim ———— x → x → 2 x3 x 7x lim —— x → 2 x3 7 lim —— 0 x → 2 x2 7 x 3 lim f (x) lim ———— x → x → 2 x3 x 7 x lim —— x → 2 x3 7 lim —— 0 x → 2 x2 lim f (x) 0 6 x→ Activitats finals 1. Calcula els límits a l’infinit de les funcions polinòmiques següents: a) p (x) 4 x 4 x 3 12 x 2 x 3 lim p (x) x → lim (4 x4 x3 12 x 2 x 3) x → lim 4 x4 x → lim p (x) x → lim (4 x 4 x3 12 x 2 x 3) x → lim 4 x 4 x → 6 d’on: lim p (x) x→ b) q (x) 2 x 3 6 x 2 8 lim q (x) lim (2 x3 6 x2 8) x → x → lim (2 x3) x → lim q (x) lim (2 x 6 x 8) 3 x → x → lim (2 x ) 3 x → d’on: ∃ / lim q (x) x→ 2 6 12 x 2 2 x 5 b) g (x) ——————— 6 x2 8 x 12 x2 2 x 5 lim g (x) lim ———————— x → x → 6 x2 8 x 12 x2 lim —— 2 x → 6 x2 12 x2 2 x 5 lim g (x) lim ———————— x → x → 6 x2 8 x 12 x2 lim —— 2 x → 6 x2 6 lim g (x) 2 x→ x4 2 c) h (x) ——————— 7 x 3 20 x 1 x4 2 lim h (x) lim ———————— x → x → 7 x 3 20 x 1 x 4 lim —— x → 7 x 3 x lim — x → 7 x4 2 lim h (x) lim ———————— x → x → 7 x 3 20 x 1 x 4 lim —— x → 7 x3 x lim — x → 7 ∃ / lim h (x) x→ 6 la MATEMÀTIQUES 1 x3 4 x2 3 x 3. Donada la funció f (x) ——————— : x2 x 2 a) Calcula el límit de f (x) quan x → 2 i x → 1. x3 4 x2 3 x 30 lim ——————— ——— 2 x → 2 0 x x2 2 x3 4 x2 3 x 30 lim ——————— ——— 1 2 x → 2 02 x x2 1 ∃ / lim f(x) x3 4 x2 3 x lim ——————— x→1 x2 x 2 (x 1) (x2 3 x) lim ———————— x→1 (x 1) (x 2) x → 22 1 b) Determina el límit de la funció — (x) quan x → 0, f x → 1 i x → 3. x x2 2 lim ——————— —— 3 2 x→0 x 4x 3x 0 2 x2 6 x x2 2 x 8 lim ————————————— x → 2 x (x 2) (x 2) 4x 8 lim ————————— x → 2 x (x 2) (x 2) 4 (x 2) lim ————————— x → 2 x (x 2) (x 2) 4 4 1 lim ————— ———— — x → 2 x (x 2) 2 (4) 2 x √4 x 3 lim ——————— x→3 x2 3 x (x 6) x (x 4) (x 2) lim ——————————————— x → 2 x (x 2) (x 2) x √ 4 x 3 b) lim ——————— x→3 x2 3 x 2 x2 3 x lim ———— — x→1 x2 3 131 2 x2 (√4x 3) lim ————————————— x→3 (x2 3x)(x √4x 3) x2 4 x 3 lim ————————————— x→3 (x2 3x)(x √4x 3) 2 ∃ / lim f(x) 1 x→0 x2 x 2 lim ——————— x → 1 x3 4 x2 3 x (x 1) (x 2) lim ———————— x → 1 (x 1) (x2 3 x) x2 3 lim ———— — x → 1 x2 3 x 2 10 x2 x 2 lim ——————— —— 3 2 x→3 x 4x 3x 0 2 x2 x 2 10 lim ———————— —— 1 3 2 x→3 x 4x 3x 01 x x2 2 lim ——————— —— 2 3 2 x→0 x 4x 3x 01 2 1 ∃ / lim f(x) c) lim x→1 (x 3) (x 1) lim ————————————— x(x 3)(x √4x 3) x→3 x1 2 1 lim ———————— ——— — x→3 x(x √4x 3) 36 9 ———— ———— 2x 2 2x 3 3 x 1 x2 x lim x→1 3 x 1 x2 x ———— ———— 2x 2 2x 3 (3 x 1) (x 2 x) lim ————————— x → 1 (2 x 2) (2 x 3) (3 x 1) x (x 1) lim ————————— x → 1 2 (x 1) (2 x 3) x (3 x 1) 4 2 lim —————— ——— — x→1 2 (2 x 3) 25 5 x→3 4. Calcula: 5. Per calcular alguns límits cal utilitzar el mètode del doble conjugat. Consisteix a multiplicar el numerador i el denominador pel conjugat de cadascun d’ells. Tot emprant el mètode del doble conjugat, calcula: x6 x4 a) lim ———— ———— 2 x → 2 x 4 x2 2 x lim x → 2 ———— ———— x 2x x 4 x6 2 x4 2 3x √ x2 32 lim ———————— x→2 √x 2 x LA 132 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE [(3x)2 (√ x2 32)2](√x 2 x) lim —————————————————— 2 2 2 [(√ x 2) x ](3x √ x 32) x→2 (9x2 x2 32)(√ x 2 x) lim ———————————————— 2 2 Per tant, lim (1 x) x e. √x2x x→2 1 — 3x √x2 32 lim ———————— (x 2 x )(3x √ x 32) x→2 (8x2 32)(√x 2 x) lim —————————————————— 2 2 (x x 2)(3x √ x 32) x→2 8(x 2)(x 2)(√ x 2 x) lim —————————————————— 2 (x 2)(x 1)(3x √ x 32) x→2 8 (x 2)(√ x 2 x) lim —————————————— 2 (x 1)(3x √ x 32) x→2 844 32 ———— —— 3 12 9 6. a) Mitjançant una taula de valors comprova que: 1 — lim (1 x) x e x→0 1 — — b) Sabent que lim [1 f (x)] f(x) e si x→a x calcula: 1 ——— x1 x1 lim a) x→1 g (x) (1 x) → a 1 — — 1,01100 2,7048138 1 — — g (0,001) (1 0,001) 0,001 2,7169239 lim g (x) e x → 0 1 — — g (0,1) (1 0,1) 20,1 0,910 ( 1 10 —— 1,110 2,867972 0,9 1 g (0,01) —— 0,99 100 ( 1,01100 2,731999 1 g (0,001) ——— 0,999 1 000 ( x→1 lim x→1 1 ——— x1 x1 x 11 — — — x 21 x1 1 ——— x1 e 2 x 21 — — — — — — x 1 1 3x 2 3 2 — — — lim — 2 (x 2 1) lim — — — — — — — — x → 1 (x 1 1) 3(x 2 1) 2 — — — 3x23 x → 1 3(x 1 1) e e 1 — 3 x21 ja que lim f(x)5 lim ——— 0 x→1 x 1 1 x → 1 x x 7. Raona per què la funció f (x) ———— no té límit quan x x → 0. xx x x lim ———— lim ——— 0 x→0 x→0 x x x x xx lim ———— lim ——— x→0 x→0 x x 2x lim —— 2 x → 0 x 6 x x ———— ∃ / xlim →0 x 8. Calcula el límit de: 1 — x g (0,01) (1 0,01) 0,01 lim 1 — 1,001 x→0 2 — — — 3x23 g (0,1) (1 0,1) 0,1 1,110 2,5937425 1000 lim f (x) 0, b) 1,0011 000 2,7196422 lim g (x) e x → 0 6 6 f (x) 5 x ——— 2 x x si x 0 3x 9 ——— x2 9 si 0 x 3 3x ——— x3 si x 3 quan x tendeix a , , , 1, 1, 1, 0, 0, 0, 3, 3, 3. x lim f (x) lim ——— x → x → x 2 x x 1 lim —— lim — 0 2 x → x → x x 3x 3x lim f (x) lim ——— lim — 3 x → x → x 3 x → x 6 ∃ / lim f (x) x→ lim f (x) lim x → 1 x → 1 lim f (x) lim x → 1 x → 1 x 1 ——— —— 2 0 x x x 1 ——— —— 2 x x 0 ∃ / lim f (x) x → 1 6 la MATEMÀTIQUES 1 x lim f (x) lim ——— 2 x→0 x→0 x x x lim ————— x → 0 x (x 1) 1 lim ——— 1 x → 0 x 1 3x 9 lim f (x) lim ———— 1 x → 0 x → 0 x 2 9 10. La funció 6 f (x) 3 (x 3) lim ——————— x → 3 (x 3) (x 3) 3 1 lim ——— — x → 3 x 3 2 3x 3 lim f (x) lim ——— — x → 3 x → 3 x 3 2 1 si x 0 x2 si x 0 lim f (x) 1 x → 0 lim f (x) lim (x 2) 2 x → 0 x → 0 f (0) 1 6 lim f (x) lim (x 2) 3 x → 1 x → 1 lim f (x) lim (x 2) 3 x → 1 x → 1 f (1) 3 11. Justifica raonadament per què una funció polinòmica és contínua per a tot x . Sigui p (x) una funció polinòmica. x→3 1 9. Les funcions f (x) x, g (x) — i h (x) √x són contíx nues en x 0? Justifica’n les respostes. lim f (x) lim x 0 x → 0 lim f (x) lim x 0 x → 0 x → 0 f (0) 0 1 1 lim g (x) lim — —— x→0 x→0 x 0 ∃ / g (0) ja que x 0 Dg 6 g (x) és discontínua en x 0. És una disconti­nuïtat asimptòtica. lim h (x) lim √ x 0 x → 0 f (0) 0 h (x) és discontínua en x 0. x → a 1 1 lim f (x) lim ——— —— x → 3 x → 3 x 3 0 1 1 lim g (x) lim — —— x → 0 x → 0 x 0 x → 0 lim p (x) lim p (x) p (a) → és contínua a . x → a 1 a) f (x) ——— en x 3 x3 f (x) és contínua en x 0. x → 0 Dp 12. Classifica les discontinuïtats de cada funció per al valor de x que s’indica: 6 ∃ / lim h (x) ja que Dh [0, ) 6 En x 1 la funció f (x) és contínua. ∃ / lim f (x) x → 0 6 En x 0 la funció f (x) presenta una discontinuïtat de salt. x→0 3x 9 lim f (x) lim ———— x → 3 x → 3 x 2 9 5 és contínua en x 0? I en x 1? Raona les respostes. lim f (x) 1 133 6 1 1 lim f (x) lim ——— —— x →3 x→3 x3 0 6 ∃ / f (3), ja que x 3 Df Discontinuïtat asimptòtica en x 3. b) g (x) 5 x si x 1 x 2 2 si x 1 lim g (x) lim x 1 lim g (x) lim (x 2 2) 3 x → 1 x → 1 x → 1 x → 1 g (1) 3 Discontinuïtat de salt en x 1. en x 1 6 134 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 13. Estudia la continuïtat de la funció 15. Troba el domini i estudia la continuïtat de les funcions irracionals: 2x 8 f (x) ————— en x 0 i x 2. x3 2 x2 2 2 x 2 8 8 lim ————— —— x → 0 x 3 2 x 2 0 2 x 2 8 8 lim ————— —— 3 2 x→0 x 2x 0 ∃ / f (0), ja que x 0 Df a) f (x) √ x 1 6 Df {x x 1 0} [1, ) x → 1 lim (√ x 1) 0 x → 1 f (1) 0 És discontínua en x 1. b) g (x) √ 4 x 2 Discontinuïtat asimptòtica en x 0. 2 x 8 2 (x 2) (x 2) lim ————— lim ————————— 3 2 x→2 x→2 x 2x x 2 (x 2) 2 2 (x 2) lim ————— 2 x→2 x2 2 x 2 8 2 (x 2) (x 2) lim ————— lim ————————— x → 2 x 3 2 x 2 x → 2 x 2 (x 2) 2 (x 2) lim ————— 2 x → 2 x2 6 Dg {x 4 x 2 0} [2, 2] ∃/ lim √ 4 x 2 lim √ 4 x2 0 x → 2 g (2) 0 És discontínua en x 2. lim √ 4 x2 0 ∃ / lim √ 4 x2 x → 2 x → 2 g (2) 0 5 S’evita definint g (x) f (x) si x 2 2 si x 2 14. Explica per què té una discontinuïtat evitable en x 1 la funció: 5 f (x) x3 ——— 2 6 3x 9 f (x) ————— 2 x 2 18 Df {x 2 x 2 18 0} {3, 3} 3x 9 18 lim ————— —— 2 x → 3 0 2 x 18 si x 1 3x 9 18 lim ————— —— 2 x → 3 2 x 18 0 si x 1 ∃ / f (3) ja que x 3 Df lim f (x) 2 x → 1 x3 lim f (x) lim ——— 2 x→1 x→1 2 ∃ / f (1) 3 x 9 3 (x 3) lim ————— lim ————————— x → 3 2 x 2 18 x → 3 2 (x 3) (x 3) 6 3 1 lim ————— — x→3 2 (x 3) 4 Efectivament, és una discontinuïtat evitable. S’evita definint g (x) 5 2 x3 ——— 2 6 Discontinuïtat asimptòtica en x 3. Com es pot evitar la discontinuïtat? 6 16. Estudia la continuïtat de la funció següent: Discontinuïtat evitable en x 2. 2 x → 2 És discontínua en x 2. ∃ / f (2) ja que x 2 Df 6 ∃ / lim (√ x 1) si x 1 si x 1 3 x 9 3 (x 3) lim ————— lim ————————— x → 3 2 x 2 18 x → 3 2 (x 3) (x 3) 3 1 lim ————— — x → 3 2 (x 3) 4 ∃ / f (3), ja que x 3 Df . 6 la MATEMÀTIQUES 1 Discontinuïtat evitable en x 3, s’evita definint: g (x) 5 f (x) 1 — 4 x3 3 x 15 3 (x 5) lim ———— lim ————— 2 x → 5 x 5 x x → 5 x (x 5) x3 3 3 lim — — x → 5 x 5 17. A partir de la gràfica, descriu tots els punts de discontinuïtat de la funció part entera, definida per a tot nombre real x com la funció f (x) que hi fa correspondre el nombre enter més gran n tal que n x. 6 3 x 15 3 (x 5) lim ———— lim ————— 2 x→ 5 x 5 x x→ 5 x (x 5) 3 3 lim — — x→ 5 x 5 ∃ / g (5), ja que x 5 Dg Discontinuïtat evitable en x 5. S’evita definint q(x) 5 g(x) 3 — 5 si x 5 si x 5 x3 x2 c) h (x) ———— x 2 A partir de la gràfica s’observa que x , hi ha una discontinuïtat de salt i és contínua en els altres punts. 18. Descriu el domini i les discontinuïtats de les funcions següents: Dh {x x 2 0} {0} x 3 x 2 x 2 (x 1) lim ———— lim ————— x→ 0 x→ 0 x 2 x 2 lim (x 1) 1 x→ 0 x3 a) f (x) ——— x Df {x x 0} {0} x3 3 lim ——— —— x →0 x 0 x3 3 lim ——— —— x → 0 x 0 ∃ / f (0) ja que x 0 Df x 3 x 2 x 2 (x 1) lim ———— lim ————— x → 0 x → 0 x 2 x 2 lim (x 1) 1 x → 0 6 ∃ / h (0), ja que x 0 Dh Discontinuïtat evitable en x 0. S’evita definint r (x) Discontinuïtat asimptòtica en x 0. 5 6 h (x) si x 0 1 si x 0 d) p (x) x 2 9 3 x 15 b) g (x) ———— x2 5 x p (x) x 2 9 és pot definir així: Dg {x x 5 x 0} {0, 5} 2 3 x 15 15 lim ———— —— 2 x →0 x 5x 0 3 x 15 15 lim ———— —— 2 x →0 0 x 5x ∃ / g (0), ja que x 0 Dg 6 Discontinuïtat asimptòtica en x 0. p (x) 5 x 2 9 si x 3 o x 3 9 x 2 si 3 x 3 Dp lim p (x) lim (x 2 9) 0 x → 3 x → 3 x → 3 x → 3 lim p (x) lim (9 x 2) 0 p (3) 0 Contínua en x 3. 6 135 LA 136 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE lim p (x) lim (9 x 2) 0 x → 3 x → 3 lim p (x) lim (x 9) 0 2 x → 3 x → 3 p (3) 0 6 3 x1 lim f (x) lim ——— —— x → 2 x → 2 2 x 0 Contínua en x 3. 3 x1 lim f (x) lim ——— —— x→ x → 2 2 x 2 0 19. Troba el domini i estudia la continuïtat de la funció: ∃ / f (2) ja que x 2 Df f (x) 5 x2 3 x 1 —————— x2 6 Discontinuïtat asimptòtica en x 2. si x 1 x2 1 ——— x1 si 1 x 1 x1 ——— 2x si x 1 20. Estudia la continuïtat de la funció f (x) x 2 1 en els punts x 1 i x 1. f (x) x 2 1 es pot definir: f (x) Df {x x 2 0 i 2 x 0} {2, 2} x2 3 x 1 lim f (x) lim —————— x → 2 x → 2 x2 1 —— 0 ∃ / f (2), ja que x 2 Df f (1) 0 lim f (x) lim (1 x 2) 0 x → 1 x → 12 lim f (x) lim (x 2 1) 0 x → 1 x → 1 f (1) 0 6 Contínua en x 1. 21. El novembre de 1999, el preu del franqueig d’una carta en funció del seu pes era: 6 (x 1) (x 1) lim ———————— lim (x 1) 2 x → 1 x → 1 x1 Contínua en x 1. 6 Contínua en x 1. x2 1 lim f (x) lim ——— x → 1 x → 1 x1 f (1) 2 x → 1 f (1) 0 Fins a 20 g 0,21 Més de 20 g fins a 50 g 0,27 Més de 50 g fins a 100 g 0,45 Discontinuïtat de salt en x 1. x1 lim f (x) lim ——— 2 x → 1 x → 1 2 x x → 1 lim f (x) lim (1 x 2) 0 x → 1 Discontinuïtat asimptòtica en x 2. x2 1 lim f (x) lim ———— 0 x → 1 x → 1 x 1 x 1 o x 1 lim f (x) lim (x 2 1) 0 6 x2 3 x 1 lim f (x) lim ——————— 1 x → 1 x → 1 x2 si 1 x 2 si 1 x 1 x → 1 x2 3 x 1 lim f (x) lim ——————— x → 2 x → 2 x2 1 —— 0 5 x2 1 6 Més de 100 g fins a 200 g 0,75 Més de 200 g fins a 350 g 1,35 Més de 350 g fins a 1 kg 1,95 Més d’1 kg fins a 2 kg 3,01 la MATEMÀTIQUES 1 a)Representa per x la variable pes i per f (x) la variable preu i escriu l’expressió algèbrica de la funció. f (x) 5 0,21 si 0 x 20 0,27 si 20 x 50 0,45 si 50 x 100 0,75 si 100 x 200 1,35 si 200 x 350 1,95 si 350 x 1 000 3,01 si 1 000 x 2 000 x en g i f (x) en euros. a) Troba els valors de k i h que fan que la funció f (x) sigui contínua en els punts x 2 i x 1. Df (0, 2 000] 3x h 6h lim f (x) lim ———— ——— 4 x → 2 x → 2 x 2 f (2) 2 k 6h Contínua en x 2 → 2 k ——— 4 6 x1 lim f (x) lim ——— 1 2x x → 1 x → 1 f (1) 1 c) Fes-ne la representació gràfica. 6 kx lim f (x) lim ——— 2 k x 3 x → 2 x → 2 3x h lim f (x) lim ———— h 3 x2 x → 1 x→1 b) Indica’n el domini. 137 Contínua en x 1 → h 3 1 h31 → h4 6h 64 10 5 2 k ——— ——— —— — → 4 4 4 2 5 → k — 4 b) Hi ha algun valor de x per al qual la funció és discontínua? Justifica-ho. d ) Estudia les discontinuïtats. És discontínua de salt en x 20, x 50, x 100, x 200, x 350 i x 1 000. 22. Troba el valor de k per tal que la funció 5 f (x) xk si x 0 2x kx 6 si x 0 2 sigui contínua en el punt x 0. lim f (x) lim (x k) k x → 0 x → 0 lim f (x) lim (2 x 2 k x 6) 6 x → 0 x → 0 f (0) k 6 Contínua en x 0 → k 6. 23. Sigui la funció: f (x) 5 kx ——— x3 si x 2 3x h ———— x2 si 2 x 1 x1 ——— 2x si x 1 Df {x x 3 0} {3} 5 x lim f (x) lim ———— 4 (x 3) x → 3 x → 3 15 —— 0 5 x lim f (x) lim ——— 4 (x 3) x → 3 x → 3 15 —— 0 ∃ / f (3), ja que x 3 Df 6 Discontinuïtat asimptòtica en x 3. 24. Donada la gràfica d’una funció (fig. 10.11): LA 138 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE a) Indica’n el domini. Df {1} x → 3 b) Digues-ne el límit quan x tendeix a lim f(x) 3 c) Descriu-ne les discontinuïtats. Justifica-les. x → 5 lim f (x) 3 b) i c) x → 5 x → lim x → 1 lim x → 1 6 6 S’evita definint g (x) 6 lim f (x) 1 x → 1 lim f (x) x → 1 6 5 f (x) x5 3 x5 1. Calcula els límits següents: lim f (x) x→1 ∃ / f (1), ja que x 1 Df 6 3x3 4 a) x lim →∞ x 2 16 lim x → ∞ Discontinuïtat asimptòtica en x 1. punts x = −5 imatges f(−5) = càlcul de límits laterals 6 Avaluació Contínua en x 1. x → 1 lim f (x) 3 x→5 f (1) 1 lim f (x) 6 Discontinuïtat evitable en x 5. x→ f (x) 1 6 f (5) 2 ∃ / lim f (x) f (x) 1 x→3 Discontinuïtat de salt en x 3. 1, 1, 3, 3, 3, 5, 5, 5. lim f (x) 0 lim f (x) 1 ∃ / lim f (x) f (3) 1 , , , 1, 1, 1, 1, x → 6 lim f (x) 2 lim f(x) 1 x → 3 lim f ( x ) = x = −3 f(−3) = lim f ( x ) = 3x3 4 x 16 2 x=0 x=3 f(0) = f(3) = lim f ( x ) = lim f ( x ) = x →−5− x →−5− x → 0− x → 0− x →−5− x →−5− x → 0− x → 0− x →−5 x →−3 lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x ) = x →0 lim f ( x ) = lim f ( x ) = x →3 tipus de discontinuïtat punts x = −5 imatges f(−5) = 1 càlcul de límits laterals lim f ( x ) = −∞ f(−3) = 2 lim f ( x ) = 0 x=0 x=3 f(0) = –2 f(3) no existeix lim f ( x ) = 0 lim f ( x ) = +∞ x →−5− x →−5+ x →−5+ x → 3+ x →−5+ x →−5+ x →−5+ x → 3+ x →−3 x →0 lim f ( x ) = 0 v A (0) = s '(0) = 0 v B (0) = e '(0) = 27 km/h tipus de discontinuïtat x = −3 disc. asimptòtica lim f ( x ) = 0 lim f ( x ) = no ∃ disc. de salt lim f ( x ) = 0 lim f ( x ) = −1 disc. evitable lim f ( x ) = +∞ lim f ( x ) = +∞ x →3 disc. asimptòtica MATEMÀTIQUES 1 b) xlim →3 lim 139 3. A partir de la gràfica de la funció següent, fes l’estudi de la continuïtat en els punts que s’indiquen en la taula: x2 6 x 3x x2 6 la 2 3 , però el límit per l’esquerra és 0 x 3x − π i el límit per la dreta és + . x→3 2 ⎛ x2 – 5 2x3 – 1 ⎛ – ⎜ ⎜ c) x lim →+ ⎝ x x2 ⎝ x 2 − 5 2 x23 − 51 2 x 3 − 1 x x3 2−−55x 22xx33 −− 11 − x 3 − 5 x + 1 −∞ − = ∞ − ∞ lim lim lim lim − = = −∞ lim− 2 − = ∞ 2− ∞ == ∞ − ∞ = = = 2 →+∞∞ x →+ ∞ xx→+ xx22 x →+∞ x2 +∞ xx →+ ∞ xx x xx x 3 − 5 x 2 x 3 − 1 lim − x 3 − 5 x + 1 −∞ − = −∞ = xlim = + 2 →+∞ x2 x → x2 x +∞ ⎛ x2 + 7x ⎛3x – 2 c) x lim ⎜ ⎜ →+ 2 ⎝ 2+x ⎝ 2 2 + x 2 7 2x +−2x 2 7 x −2 3 x −2 3 x −·2 · 7x −2 27+xx−2 2 2+ x2 3 x −2 3 x −2 2 2 3 x −2 3 x −2 21 x 3 −20 21xx+34−20 x + 4 x + 7x x + 7 x ∞ ∞ 7 x − 72x − 2 1 1 lim lim = lim = lim = e = ex2 +2 x2 +=2 e21= e21 lim lim lim 2 2 = 1 ==1lim lim 1 + 1 + 2 2 = lim 1 + 1 + 2 2 x →+∞x x→ →+∞ x →+∞ 2 + x2 + x +2+ x2 + x x x→ +8 x →+∞ x →+∞ 2 + x2 + x →+∞ 7 x − 72x− 2 2 + x2 7 x − 2 3x −2 · 7 x − 2 2 + x2 21 x 2 − 20 x + 4 1 lim 21 21 lim = e + = 1 x→+ e x2 + 2 = e 4. Troba el domini i estudia la continuïtat de la funció 2 + x2 7x − 2 2x – 6 . f (x) 5 2 x –9 2. Estudia la continuïtat de la funció següent en x 5 21 i en x 5 2. La funció és discontínua en x 5 3 i x 5 23, que són els punts que anul·len el denominador i que per tant no pertanyen al 5 x + si x ≤ domini. El domini és R 2 {23, 3}. f ( x ) = 4 si − 1 < x 2 2 En x 5 23 els límits laterals són 2π i 1π i la imatge no si x > 2 x existeix, així que tenim una disc. asimptòtica. En x 5 21 la imatge val 23, i els límits laterals són 23 i 4, per tant tenim una discontinuïtat de salt. En x 5 2 la imatge i els límits En x 5 3 la imatge no existeix però el límit sí i val 1/3, per tant laterals coincideixen i valen 4, per tant és contínua en aquest punt. la discontinuïtat és evitable. 140 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE jUnitat 11. Funcions exponencial i logarítmica 1 1 —— ————— 0,0331836 30,135326 33,1 1 1 —— ————— 0,0317570 31,489136 33,14 Activitats 1 1 —— ————— 0,0317221 31,523749 33,141 1. Calcula les potències d’exponent racional següents: 3 — 4 ; 3,24,5; 70,3; 10 3 — 4 2 — 3 3 — 2 3,2 1 — 8 ; e 1 1 ——— ————— 0,0317047 33,1415 31,54107 . 1 1 ——— ————— 0,0317016 31,544189 33,14159 1,50,75 1,355403 0,037 ; 0,0331836; 0,0317570; 0,0317221; 187,57498 4,5 1 70,3 — 7 3 — 4 2 — 5 ) 2 — 3 0,3 1 1 —— ———— 70,3 1,79279 0,5577898 0,0317047; 0,0317016 4. Troba les cinc primeres aproximacions per defecte de les potències: a) 2e 2e 22,7182818 2 — 5 22 4; 22,7 6,4980192; 10 100,4 2,5118864 1 — 8 e 1 — e 1 — 8 1 — e 1 0,125 ——— e0,125 1 ————— 0,8824969 1,1331485 22,71 6,5432165; 22,718 6,5796006; 22,7182 6,5805127 4; 6,4980192; 6,5432165; 6,5796006; 6,5805127 b) 3√ 2 3√ 2 31,4142136 31 3; 31,4 4,6555367; 2. Escriu i calcula els sis primers termes d’una successió que tingui per límit 4√ 3. 4√ 3 4 1,7320508 31,4142 4,7287339 3; 4,6555367; 4,706965; 4,727695; 4,7287339 41 4; 41,7 10,556063; 41,73 11,004335; 41,732 11,034887; 41,7320 11,034887; 41,73205 11,035652 4; 10,556063; 11,004335; 11,034887; 11,034887; 11,035652 3. Repeteix l’activitat anterior per a 3. 1 3 — 3 31,41 4,706965; 31,414 4,727695; 1 1 —— ———— 33,415927 3 ) 1 1 —— —— 0,037 33 27 5 c) — 4 5 —4 1,25 3,1415927 1,253 1,953125; 1,253,1 1,9971976; 1,253,14 2,0151039; 1,253,141 2,0155536; 1,253,1415 2,0157785 1,953125; 1,9971976; 2,0151039; 2,0155536; 2,0157785 la MATEMÀTIQUES 1 5. Representa gràficament les funcions exponencials f(x) ex i g(x) ex. f(x) ex x 141 b) y 2x 1 A partir de la gràfica de y 2x, es trasllada una unitat cap amunt. ex 1 e 2,7182818 2 e2 7,3890561 0 1 1 1 e1 — 0,3678794 e f(x) ex, per simetria respecte de l’eix OY de la funció f(x) ex. c) y 2x 1 1 A partir de la gràfica de y 2x, es trasllada una unitat cap a l’esquerra i una unitat cap avall. 6. A partir de la gràfica de la funció y 2x, dibuixa, fent les translacions necessàries, la gràfica de les funcions: y 2x x 2x 1 2 2 4 0 1 1 0,5 a) y 2x 1 1 5 7. Determina les antiimatges de —— ; 0,125; 512 i √8 en la 16 funció f(x) 2x. Has d’expressar cadascun d’aquests nombres com una potència de base 2. 1 1 2x —— → 2x — → 16 24 x 4 → 2 2 → x 4 1 1 2x 0,125 → 2x — → 2x — → 8 23 x 3 → 2 2 → x 3 A partir de la gràfica de y 2x, es trasllada una unitat cap a la dreta. 2x 512 → 2x 29 → x 9 2x 5 √8 → 2x 5 √23 → 2x 2 3 — 5 3 → x— 5 8. Comprova que es verifiquen les propietats dels apartats j), k), l) i m) amb les funcions exponencials següents: 1 f(x) 2x, g(x) 3x, h(x) — 2 x 1 i p(x) — 3 j) g(x) 3x; g(1) 3, g(2) 32 9 → → g(1) g(2) x 142 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 1 x 1 p(x) — ; p(1) —, 3 3 1 p(2) — 3 2 2 1 2 2 4 0 1 f(1) 2 g(1) 3 1 — → p(1) p(2) 9 k) f(x) 2x x m) f(x) 2x i g(x) 3x x 1 h (x) — 2 1 f(1) 21 — 2 g(1) f(1) 1 — 2 x g(1) 31 — 3 1 — 2 1 — 4 1 2 4 1 9. La gràfica de la funció f(x) ax passa pel punt (1, —). 5 Determina el valor de a. 1 2 0 1 2 1 2 — 4 g(1) f(1) x x 1 1 — 2 6 1 6 f(x) ax f(1) 0,2 1 — 0,2 → a 5 1 a f(1) a1 — a 6 10. Quan es defineix la funció exponencial de base a, per quin motiu s’imposa la condició que aquesta base sigui positiva? Si a 0 hi hauria valors de x que no tindrien imatge, per exemple: 1 — (2) 2 √2 11. Resol aquestes equacions exponencials: a) 2x2x 12x 1 64 l) f(x) 2x 1 1 f(1) 21 —, f(2) 22 —, 2 4 1 f(3) 23 — 8 f(1) 2, f(2) 22 4, f(3) 23 8 2x2x 12x 1 64 → → 2x x 1 x 1 26 → 23x 26 → → 3x 6 → x 2 b) 73x 2 √ 7x 1 x1 1 p(x) — 3 → 73x 2 √ 7x 1 → 73x 2 7 ——— 2 x 1 p(1) — 3 x1 3 → 3x 2 ——— → x — 2 5 1 3, c) 1 3 9 27 ... 3x 364 32 9, 33 27 1 p(2) — 3 1 p(3) — 3 2 1 3 9 27 ... 3x 364, —9 , 1 1 p(1) —, p(2) — 3 3 1 p(3) — 3 1 3 9 27 81 243 364, 3 3 2 1 —— 27 1 3x 243 → 3x 35 → x 5 2 d) 11x 3x 2 2 11x 1 3x 2 1 → x2 3x 2 0 → → x1 2, x2 1 la MATEMÀTIQUES 1 1 e) —— 16 1 —— 16 1 c) — 2 x 3 323x 2 1 — 24 x 3 323x 2 → x 3 x 143 7 0,52,81 7,0128458 0,52,80 6,9644045 6 x 2,81 (25)3x 2 → (24)x 3 (25)3x 2 24x 12 215x 10 → 2 → 4x 12 15x 10 → x —— 11 13. Elabora una taula de valors i dibuixa les gràfiques de les funcions: a) f(x) ln x f) 9x 43x 3 0 1 0 e 1 2 e 2 1 — 1 e 9x 43x 3 0 → → (32)x 43x 3 0 → → (3x)2 43x 3 0 Si 3x t → t2 4t 3 0 → → t1 3, t2 1 → x1 1, x2 0 b) g(x) log 1 x — 4 151 g) 5x 1 5x 2 5x —— 25 x 151 5x 1 5x 2 5x —— → 25 1 4 1 — 4 1 — 2 5x 151 55x —— 5x —— 25 25 5 x 1 151 5 —— 1 —— → 25 25 151 151 → 5x—— —— → 5x 1 → x 0 25 25 2 h) ax 2x 4 a11 —— a8 2 a11 2 ax 2x 4 —— → ax 2x 4 a3 → 8 a → x2 2x 4 3 → → x2 f ln x x 2x 1 0 → x 1 log 1 4 x 0 1 1 1 — 2 1 1 14. Utilitzant les funcions logarítmiques en base 2, 3, — i —, 2 3 comprova les propietats dels apartats i), j) i k) de la funció logarítmica. i) f(x) log2 x, f(2) log22 1, f(4) log2 4 2 → f(2) f(4) g(x) log 1 x, g(2) log 1 2 1, — 2 a) 3x 17 32,57 16,834554 32,58 17,020521 6 x 2,58 b) 5x 0,8 50,14 0,7982597 50,13 0,8112111 6 x 0,14 — 2 g(4) log 1 4 2 → g(2) g(4) — 2 12. Calcula, aproximant-la fins a les centèsimes, la solució de cadascuna de les equacions: g j) 144 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 15. A partir de la gràfica y log2x, dibuixa, aplicant les translacions corresponents, les gràfiques: lim (log2 x) , x → 0 lim (log2 x) y log2 x x → lim (log 1 x) , — 2 x → 0 lim (log 1 x) — 2 x → k) f(x) log2x, h(x) log3x f(8) log28 3, h(8) log38 2 → log28 log38 1 1 h — log — 1, → 3 3 1 1 f — log2 — 1, 3 3 x log2 x 1 0 2 1 4 2 1 — 2 1 1 — 4 2 a) y log2 (x 1) A partir de la gràfica de y log2x, es trasllada una unitat cap a l’esquerra. 3 1 1 → log2 — log3 — 3 3 k(x) log 1 x, g(x) log 1 x — 3 — 2 k(4) log 1 4 2, — 3 g(4) log 1 4 2 → — 2 → log 1 4 log 1 4 — 3 — 2 1 g — log 2 b) y log2 x 1 A partir de la gràfica de y log2x, es trasllada una unitat cap avall. 1 1 k — log 1 — 1, — 2 3 2 1 — 2 1 —1 → 2 1 1 → log 1 — log 1 — — 2 — 2 3 2 g(x) log 1 x, f(x) log2 x — 2 g(2) log 1 2 1, — 2 f(2) log2 2 1 → log 1 2 log2 2 — 2 1 1 f — log — 2 → 4 4 1 1 g — log 1 — 2, — 4 2 4 2 1 1 → log 1 — log2 — — 4 4 2 16. Demostra les igualtats: 1 loga b loga — log 1 b — b a Suposem que loga b p → ap b 1 1 1 loga — loga — loga — a b ap p loga ap (p) p loga b 1 log 1 b log 1 ap log 1 — — — — a a a a (p) p loga b p la MATEMÀTIQUES 1 17. Troba, sense utilitzar la calculadora, els logaritmes següents: a) log7 49 log7 49 log7 72 2 log3 729 log3 36 6 1 c) log9 — 9 logx 63 3 → x3 63 → 1 log9 — log9 91 1 9 3 3 1 → x— 6 1 d) log x — 2 3 √ 121 log11 √112 2 2 — log11 11 3 — 3 e) log234 1 log 1 27 log 1 3 log 1 3 — 3 — 3 — 3 — 1 2 log x — → x 10 → x √ 10 2 2 e) ln x — 3 log234 1 0 — 3 1 f) log 1 27 1 — 3 3 3 f) log √7 log 1 125 log 1 53 — 5 1 log 1 — — 5 5 1 2 1 1 —— — → x — 7 7 √7 — 5 x 2 → x (√7 ) 2 √7 — 5 2 — 2 ln x — → x e 3 3 x 2 log g) log 1 125 — 6 1 → x3 — 6 √ 121 h) log 1 3 log11 1 1 → — —— → x2 25 → x 5 2 x 25 c) logx 63 3 1 1 logx —— 2 → x2 —— → 25 25 b) log3 729 d) log11 1 b) logx —— 2 25 3 3 19. Si log 3 m, escriu en funció de m: a) log 8 100 7 √ 216 log 1 log 8 100 log (81100) 7 — 6 7 log 81 log 100 log 34 2 √ 216 log—1 √63 log—1 6 6 log 1 3 — 7 — 6 —6 1 4 log 3 2 4 m 2 6 3 — 7 3 — 7 b) log √ 3 000 1 log √ 3 000 — log 3 000 2 1 — log(31 000) 2 1 1 — (log 3 log 1 000) — (m 3) 2 2 i) log225 15 log225 15 log225 √ 225 1 1 — log225 225 2 — 2 18. Calcula x en cadascuna d’aquestes igualtats: a) log3 x 1 log3 x 1 → x 31 c) log 7 √0,27 log 1 → x— 3 7 1 √ 0,27 — log 0,27 7 1 27 1 — log —— — (log 27 log 100) 7 100 7 145 146 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 1 1 — (log 33 2) — (3 log 3 2) 7 7 1 — (3 m 2) 7 1 d) log —— 729 1 log —— log 729 log 36 729 6 log 3 6 m 1 e) log —— 2,43 6 1 1 log —— 6 log —— 2,43 2,43 6 243 6 (log 2,43) 6 log —— 100 6 (log 243 log 100) 6 (log 35 2) 6 (5 log 3 2) 6 (5 m 2) 12 30 m 0,9 f) log —— 7,29 0,9 90 10 log —— log —— log —— 7,29 729 81 log 10 log 81 1 log 34 1 4 log 3 1 4 m b) Escriu sense logaritmes decimals: 5 log p — (3 log a 2 log b log c 7 log d) 2 5 log p — (log a3 log b2 log c log d7) 2 5 a3c — log ——— 2 b2d7 a3c log ——— b2d7 5 — 2 a3c → p ——— b2d7 h) log 0,3 log 0,3 log — log 3 m 3 10 i) log —— 81 1 ) 10 log —— 1 4 m 81 20. a)Desenvolupa l’expressió següent aplicant logaritmes neperians als dos membres de la igualtat següent: 1 — (a2 b3 c) 3 p —————— d5 m2 1 — 3 (a b c) ln p ln —————— d5 m2 2 3 5 — 2 21. Expressa la relació que hi ha entre log 2 i ln 2. ln 2 log 2 ——— → ln 2 ln 10log 2 ln 10 log 2 o ln 2 ——— → log 2 log eln 2 log e 22. Utilitza la calculadora per trobar: log5,2 12,45, log13 87, log0,3 0,675, ln , log e ) g) log 0,3 3 log 0,3 log — log 3 log 10 m 1 10 1 — ln (a2 b3 c) 3 ln (d5 m2) 1 — ln (a2 b3 c) ln (d5 m2) 3 1 — (ln a2 ln b3 ln c) 3 (ln d5 ln m2) 1 — (2 ln a 3 ln b ln c) 3 (5 ln d 2 ln m) 2 1 — ln a ln b — ln c 5 ln d 2 ln m 3 3 log 12,45 log5,2 12,45 ————— log 5,2 1,0951694 —————— 1,529559 0,7160033 log 87 log13 87 ———— log 13 1,9395193 —————— 1,7411292 1,1139434 log 0,675 log0,3 0,675 ————— log 0,3 0,1706962 —————— 0,3264547 0,5228787 ln 1,1447299 log e 0,4342945 MATEMÀTIQUES 1 23. Quina relació hi ha entre loga b i logb a? logb b 1 loga b ——— ——— → logb a logb a la b) 2 [1 log (2x 3)] 4 log √ 5x 3 2 [1 log (2x 3)] 4 log √ 5x 3 1 log (2x 3) 2 log √ 5x 3 → loga blogb a 1 log 10 log (2x 3) 2 log √ 5x 3 1 24. Donats els números √21, —, 2, 0,2 i 123, ordena’ls del més 3 petit al més gran: 10 2 log ———— log (√ 5x 3 ) 2x 3 a) Els seus logaritmes en base 7. 10 ———— 5x 3; 2x 3 10 10x2 9x 9 1 log7 0,2 log7 — log7 2 3 log7 √ 21 log7 123 log 2 log (11 x2) c) ——————————— 2 log (5 x) 1 b) Els seus logaritmes en base —. 3 log 1 123 log 1 — 3 — 3 10x2 9x 19 0 → x 1 √ 21 log—1 2 3 log 2 log (11 x2) 2 log (5 x) 1 log 1 — log 1 0,2 — 3 — 3 3 log 2 log (11 x2) ——————————— 2 log (5 x) log [2 (11 x2)] log (5 x)2 2 (11 x2) (5 x)2; 25. Per què log1 x no és una funció? 22 2x2 25 10x x2 log x log x log1 x ——— ——— log 1 0 26. Dues de les quatre expressions següents són equivalents. Indica quines són i demostra-ho. a) ln (ab) ln (ac) b) ln (ab) ln (ac) c) ln (ab ac) d) ln a ln (b c) ln (ab ac) ln [a(b c)] ln a ln (b c) c) i d) 27. Determina la solució de les equacions logarítmiques següents: 3 a) log2 x2 log2 x — 2 4 1 3x2 10x 3 0 → x1 3, x2 — 3 28. Resol els sistemes: 5 log x log y 2 a) x y 15 Soluciona’l de dues maneres diferents. 5 log x log y 2 → → log (xy) log 100 → xy 100 x y 15 5 xy 100 x y 15 → x 15 y 3 log2 x2 log2 x — 2 → 4 2 x → log2 ———— log2 4 3 x— 4 x2 ———— 4 → x2 4x 3 → 3 x— 4 → x 4x 3 0 → x1 3, x2 1 2 (15 y) y 100 → 15 y y2 100 → → y2 15 y 100 0 → y 5 x 15 y 15 5 20 → → x 20 5 2 log y 3 log x 1 b) log x log y 3 Soluciona’l de dues maneres diferents. 5 2 log y 3 log x 1 log x log y 3 147 LA 148 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 31. El pH d’una dissolució és 11,25. Quina és la concentració d’ions hidrogen que hi ha a la dissolució? I la d’ions hidroxil? b1) 2 log y 3 log x 1 3 log y 3 log x 9 5 log y 3 log x 10 pH 11,25 → log [H3O] 11,25 → → log [H3O] 11,25 log y 2 → y 100 [H3O] 1011,25 5,62341331012 mol/L log x log y 3 → pOH 14 pH 14 11,25 2,75 → → log [OH] 2,75 → log x 3 log y 3 2 1 → → x 10 y2 b2) log — log 10 x3 log (xy) log 1 000 [OH] 102,75 1,7783103 mol/L 5 5 o [H3O][OH] 1014 → 1014 1014 → [OH] ———— ————————— [H3O] 5,62341331012 1,7783103 mol/L y — 10 x3 1 000 xy 1 000 → y ——— x 2 ——— x 1 000 Activitats finals 10 —— x2 ————— 10; ——— 10; x3 x3 106 —— 10; x5 105 → x 10 x5 2 6 1. Dibuixa en uns mateixos eixos de coordenades les funcions 3 x 2 x exponencials — i — i les funcions logarítmiques 2 3 log 3 x i log 2 x. — 2 — 3 3 y — 2 1 000 1 000 y ——— ——— 100 → x 10 → y 100 x 53x 1 17 → 3x 1 log5 17 → → 3x log5 17 1 1 1 log 17 x — (log5 17 1) — ——— 1 3 3 log 5 1 1,2304489 — ————— 1 3 0,69897 1 1 — (1,7603744 1) —2,7603744 3 3 0,9201248; x 0,9201248 30. En una entitat bancària es dipositen 15 025 al 3 % d’interès compost anual. Quin és el benefici que s’obtindrà al cap de cinc anys? Repeteix el problema suposant que l’interès sigui continu. Compara’n els resultats obtinguts. Compost → C C0 (1 r)t 15 025 (1 0,03)5 15 0251,035 17 418,09 b 17 418,09 15 025 2 393,09 Continu → C C0 ert 15 025e0,035 15 025e0,15 17 456,56 b 17 456,56 15 025 2 431,56 x 0 1 3 — 1 2 9 — 2 4 2 — 1 3 29. Aplicant logaritmes, resol l’equació exponencial 53x 1 17. 3 — x 2 A partir de la taula de valors es dibuixa la gràfica de la funció 3 x — ; a partir d’aquesta, per simetria amb l’eix OY, es dibuixa 2 2 x la de — . 3 Per dibuixar les logarítmiques n’hi ha prou amb la simetria de les dues exponencials respecte de la recta y x. la MATEMÀTIQUES 1 2. Es considera la funció exponencial f(x) ax. Demostra que si el punt (p, q) és un punt de la seva gràfica, també ho és 1 el punt p, — . q c) 3x5x 1 10 125 3x5x 3x5x 1 10 125 → —— 10 125 → 5 → 3x5x 10 1255 f(x) ax 3x5x 34535 → 3x5x 3454 → Sabem que f(p) q, per tant ap q 1 1 f(p) ap —— — → p q a 1 → p, — també és de la gràfica. q → 15x 154 → x 4 d) √√ 7 6√ 7 49 x — √ √ 7 6√ 7 49 2 → 3. Determina el punt en què la gràfica de cadascuna de les funcions següents talla l’eix de les ordenades: → → 7 a) f(x) 5ex f(0) 5e0 5 → (0, 5) h(0) 3 2a0 3 2 1 → → (0, 1) 1 c) g(x) 2 — 3 x1 1 → x —— 15 → (52x)2 352x 10 0 t 52x, t2 3t 10 0 → t 5 1 52x 5 → 2x 1 → x — 2 4. Resol aquestes equacions: 3 g) 5x 1 2 ——— x2 5 3 5x 352 5x 1 2 ——— → — 2 —— 5x 2 5 5x a) x4 256 x4 256 → x4 44 → 1 → x4 — 4 4 (5x)2 105x 375 → 1 → x— 4 → (5x)2 105x 375 0 t 5x, t2 10t 375 0 → t 25 5x 25 → 5x 52 → x 2 1x √3 √3 √ 3 √ 3 —13 1 h) (ax 3)x — a 1x → 3 3 54x 352x 10 0 → p(0) 1 30 1 1 0 → (0, 0) 15 —— 16 1 1 27x3 —— → x3 ———— → 125 27125 1 → x3 ——— 3 3 3 5 f) 54x 352x 10 0 d) p(x) 1 32x √ √3 √ 3 √ 3 7x → x — 4 1 3 — 3 √ 3 — 4 1 1 x3 —— → x3 —— 3 15 15 1 01 g(0) 2 — 3 1 2 2— — → 3 3 2 → 0, — 3 x — 7 √ 7 49 2 → 1 e) 27x3 —— 125 b) h(x) 3 2ax b) 3 x — 2 → 3x 1 → 15 31 → —— x 1 → x —— 16 16 2x 1 2x 2 (ax 3)x — → ax 3x a2x → a → x2 3x 2x x2 5x 0 → x (x 5) 0 → → x1 0, x2 5 149 150 i)(2x) LA 2 — 5 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 5 √ e4 c) h(x) log3 √3x 2 — 5 (2x) 5 2 — 5 √ e4 → (2x) → 2x e e 4 — 5 h(x) 0 → log3 √3x 0 → → → 4 5 — — 5 2 1 1 2x e2 → 2x — → x —— 2e2 e2 j) 7x 7x 1 7x 2 2 793 7x 7x 1 7x 2 2 793 → → 7x 77x 497x 2 793 7x 49 → 7x 72 → x 2 —3 , 0 1 → x— → 3 1 5 d) p(x) log5 — x 5 5 p(x) 0 → log5 — 0 → — 1 → x x → x 5 → (5, 0) 7x (1 7 49) 2 793 → 2 793 → 577x 2 793 → 7x ——— 49 57 √3x 1 → 3x 1 → 8. Calcula els logaritmes següents sense utilitzar la calculadora: 1 1 3 a) log4 —; b)log5 √25; c) log 1 a√ 3 ; d) log ——; — a 16 5. Demostra que si f(x) 3x, aleshores f(x) f(x 2) —— i f(x 3) 27f(x). 9 f(x) 3x 1 e) log 1 2, f) log9 —; g) log0,001 0,1 — 3 2 1 1 a) log4 — log4 — log4 42 2 16 42 f(x 2) 3(x 2) 3x 2 3x f(x) 3x —— —— —— 9 9 32 f(x 3) 3(x 3) 3x 3 3x33 273x 27f(x) 6. Hem rebut a casa una carta que ens augura bona sort si n’enviem una fotocòpia a cinc persones. En cas contrari, si trenquem la cadena, la sort se’ns girarà en contra. Quina funció expressa el nombre de persones que rebran la carta successivament, si no es trenca la cadena? 50 ,51 ,52 ,...,5 x f ( x) = 5x b) log5 3 2 — 3 3 1 c) log 1 a√ 3 log 1 — — — a a a f(x) 0 → log (x 3) 0 → → x 3 1 → x 2 → (2, 0) 1 log — 10 1 — 2 → 2x 5 1 → 2x 6 → → x 3 → (3, 0) √ 3 1 — 2 log 10 1 — 2 1 1 1 1 1 f) log9 — log9 —— log9 —— 1 3 — √9 2 9 1 log9 — 9 1 — 2 1 — 2 log9 9 b) g(x) ln (2x 5) g(x) 0 → ln (2x 5) 0 → √ 3 1 1 d) log —— log —— 1 — √10 10 2 a) f(x) log (x 3) 2 √25 log5 √ 52 log5 5 3 — 1 e) log 1 2 log 1 — — — 2 2 2 7. Determina el punt en què la gràfica de cadascuna d’aquestes funcions talla l’eix de les abscisses: √10 g) log0,001 0,1 log0,001 3 1 1 — log0,001 0,001 3 — 3 1 — 2 √0,001 la MATEMÀTIQUES 1 9. Calcula: 3(log 1,28) 3 log 1,28 128 3 log —— 3 (log 128 log 100) 100 a) loga blogb a logb b loga blogb a ———logb a logb a 1 ———logb a 1 logb a 3 (log 27 2) 3 (7 log 2 2) 3 (7 m 2) 21 m 6 e) log 12,5 100 log 12,5 log —— log 100 log 8 8 3 2 log 2 2 3 log 2 2 3m 1 b) log 1 a logb — — a b 1 log 1 a logb — — b a 1 log 1 — — a a f) log 0,87 8 log 0,87 7 log 0,8 7 log —— 10 7 (log 8 log 10) 7 (log 23 1) 1 logb b1 1 1 2 7 (3 log 2 1) 7 (3 m 1) 21 m 7 10. Si log 2 m, expressa en funció de m: a) log 1600 log 1600 log (16100) log 16 log 100 log 24 2 4 log 2 2 4 m 2 b) log 11. Determina l’expressió de log x que correspon a cadascuna de les igualtats següents: 1 5 1 log √ 0,0064 — log 0,0064 2 log b (3 log c log d)] 2 log 3 4 log a 2 log b 6 log c 2 log d b) x √ 4 a (b c) ————— d5 log x log 1 — {log [a(b c)] log d5} 4 1 — [log a log (b c) 5 log d] 4 1 — (6 m 4) 3 m 2 2 1 1 5 — log a — log (b c) — log d 4 4 4 3 1 — 3 1 3 log —— 1,28 a (b c) ————— d5 1 a (b c) — log ————— 4 d5 1 1 — (log 26 4) — (6 log 2 4) 2 2 √ 4 1 — (log 64 log 10 000) 2 1 log —— 1,28 3a2b 2 log ——— c3d (log c3 log d)] 2 [log 3 2 log a 1 64 — log ——— 2 10 000 1 d) log ——— 1,28 2 2 [log 3 log a2 log b 1 2 — log ——— 5 10 000 1 1 — (log 2 log 10 000) — (m 4) 5 5 c) log √ 0,0064 2 [log (3a2b) log (c3d)] √0,0002 — log 0,0002 log 2 3a2b log x log ——— c 3d √ 0,0002 5 3a2 b a) x ——— c3 d 5 151 a3 b4 c 6 c) x —————— 2 — m 3 n √p 152 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 1 — m 1 — 6 — 3 a —— 5 b2 √ a3 log ————— log ————— → 5 5 n √p log (a3 b4 c ) log (m 2 — 3 5 1 — (log m √ a3 → x ————— 5 √ b2c7d28 log n log √ p ) 1 3 log a 4 log b — log c 6 2 1 — log m log n — log p 3 2 1 3 log a 4 log b — log c 6 2 1 — log m log n — log p 3 2 √ b2c7d28 (cd4)7 n √p ) log a3 log b4 log c 6 2 — 3 3 √ a3 b4 c 6 log x log ————— 2 c) log4x log4 c log4 d 3 log4 a 2 log4 b ———————— 3 log4x log4 a3 log4 b2 1 — (log4 c log4 d) 3 1 log4 (a3b2) — log4 (cd) 3 log4 (a3b2) log4 h d) x ————— m n p q r h log x log ———— mnpqr log h log (mnpqr) log h (log m log n log p log q log r) log h log m log n log p log q log r 12. Estableix l’expressió de x corresponent a: a3b2 a3b2 log4 ——— → x ——— 3 3 √c d √c d 1 d) ln x — (3 ln a ln b ln c 5 ln d) 2 1 ln x — (ln a3 ln b ln c ln d5) 2 1 — [ln a3 ln b (ln c ln d5)] 2 1 a 3b — ln —— 2 cd5 ln x ln a3 ln b2 ln √ c ln (a3 b2) ln √ c a3b2 a3b2 ln —— → x —— √c b) log x 1 — (3 log a 2 log b) 7 (log c 4 log d) 5 1 log x — (log a3 log b2) 5 7 (log c log d4) 1 a3 — log —— 7 log (cd4) 5 b2 log 3 √ 5 √c d 1 — [ln (a3 b) ln (cd5)] 2 1 a) ln x 3 ln a 2 ln b — ln c 2 √c 3 a —— log (cd4)7 b2 3 ln √ ab —— → x cd5 3 √ ab —— cd5 13. Calcula logx (logx x√ x). 1 1 — logx (logx x√ x ) logx √ x logx x 2 — 2 14. Es consideren les quatre expressions següents: loga (p2 q2); 2 loga p 2 loga q 2 loga (p q); loga (p q) loga (p q). A totes elles es verifica que p q 0. la MATEMÀTIQUES 1 a) Demostra que dues d’aquestes expressions són equivalents. e) 73x 2 140 3x 2 log7 140 → loga (p2 q2) → 3x log7 140 2 → loga [(p q)(p q)] 1 → x — (log7 140 2) 3 loga (p q) loga (p q) 1 log 140 — ———— 2 3 log 7 b) Calcula el valor de la primera expressió per a a 2, p 3 i q 1. loga (p2 q2) log2 (32 1) 1 2,146128 — ————— 2 3 0,845098 log2 (9 1) log2 8 log2 2 3 3 1 1 — (2,5395018 2) —0,5395018 3 3 15. Resol aquestes equacions: 0,1798339 → x 0,1798339 a) 2 log x 4 log 2 3 log x x2 x2 log — log x3 → —— x3 → 16 24 → x2 16x3 → 16x3 x2 0 16. Calcula x en cadascuna de les igualtats següents: 1 a) log3 √ x — 2 x2 (16x 1) 0 → 16x 1 0 → 1 log3 √ x — → 2 x0 1 → x —— 16 1 — 1 — √x 3 2 → 1 — → x2 32 → x3 x b) 3 log2 x 2 log2 — 2 log2 3 1 3 b) logx 2x 2 logx 2x 2 → x2 2x → x3 log2 ——— log2 (322) → x 2 → x2 2x 0 → x(x 2) 0 → 3 x0 → x 2 0 → x 2 — x0 x3 x3 → ——— 18 → —— 18 x 2 x2 — — 3 9 9x3 —— 18 → 9x 18 → x 2 x0 x2 1 — 2 1 1 log 1 x — → x — — 2 3 3 ln [2 (11 x )] ln(5 x) → 2 → 2(11 x2) (5 x)2 → → 22 2x2 25 10x x2 1 3x2 10x 3 0 → x1 3, x2 — 3 1 10logx d) —————— — 1 102logx 2 1 — 32 √3 → x √3 d) logx √ 2 3 c) ln 2 ln(11 x2) 2 ln (5 x) 2 1 c) log 1 x — — 3 2 1 — logx √ 2 3 → x3 √ 2 → x3 2 2 → → x 2 1 1 — — 3 2 1 — → 26 6 6 √2 → x √2 1 e) logx ——— 3 2√2 1 1 logx ——— 3 → x3 ——— → 2√ 2 2√ 2 x 1 ——— — → 2x 1 x2 → 2 1 x2 1 1 1 1 → — —— → — ———3 → → x2 2x 1 0 → x 1 → x √2 x3 √ 23 x3 (√ 2 ) 153 LA 154 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 3 f) log4x — 2 3 — 3 log4x — → x 4 2 √ 43 √ 26 2 23 8 → x 8 17. Determina el valor de a per tal que quan incrementem en tres unitats el logaritme en base a de 6, obtinguem el logaritme en base a de 48. loga6 3 loga48 → → loga6 logaa loga48 3 loga(6a3) loga48 → 6a3 48 → → a3 8 → a 2 18. En el país dels nombres es poden escoltar converses molt estranyes. Fixa’t en aquesta i intenta identificar-ne els dos personatges. y: Sóc el teu logaritme decimal. x: Ep! Sóc deu vegades més gran que tu. x 10, y 1 19. Resol els sistemes d’equacions següents: 5 log x log y 3 a) 2 log x 2 log y 1 5 — 5 4 log x 5 → log x — → x 10 4 4 x2 y 18 √ y x 3 x: edat de l’Albert; y: edat del Jordi; x, y naturals. 2y 85 x logx 64 y 6 6 2y 215 3x xy 64 6 6 21. La taxa de despoblació d’una ciutat és del 1,5 % anual. Suposant que aquesta taxa no es modifica, quants anys hauran de transcórrer perquè la població actual es redueixi a la meitat? Si actualment aquesta ciutat té 100 000 habitants, quants en tindrà d’aquí a set anys? h h0 (1 r)t 1,5% → r 0,015 h h00,985t 1 — h0 h00,985t 2 0,5 0,985t → log 0,5 → t log0,985 0,5 ———— log 0,985 0,30103 —————— 45,862365 0,0065638 t 46 anys h h00,985t 100 0000,9857 89 961 habitants x 10, y 1 log x 3 log y 5 c) x2 log — 3 y 5 7 log x 14 → log x 2 → x 100 7 log y 7 → log y 1 → y 10 logx (y 18) 2 d) 1 logy (x 3) — 2 5 2y (23)5 x xy 64 x 4 anys, y 3 anys 5 6 y 15 3x xy 64 log x log y 1 b) 3x 5y 35 3x 5y 35 81 20. El pare de l’Albert i el Jordi és matemàtic. Quan li pregunten les edats dels seus fills, respon: «La potència de base 2 i exponent l’edat del Jordi és igual a la potència de base 8 i exponent 5 menys l’edat de l’Albert. D’altra banda, el logaritme en base l’edat de l’Albert de 64 és igual a l’edat del Jordi». Quina és l’edat de cadascun dels dos nois? 7 — 7 4 log y 7 → log y — → y 10 4 4 x — 10 y 6 3 x —, y —— 2 4 Avaluació 1. Fes una taula de valors i representa gràficament en els mateixos eixos de coordenades cadascuna de les funcions següents: f(x) 5 3x g(x) 5 log3 x Elabora també una llista de les característiques de cada corba i compara-les. MATEMÀTIQUES 1 x 22 21 0 1 2 3 f(x) 5 3x 1/9 1/3 1 3 9 27 x g(x) 5 log3 x 1 2 3 9 0 0,631 1 2 la 155 c) 9x 2 3x+1 2 54 5 0 32x 2 3·3x 2 54 5 0 → canvi t 5 3x, t2 2 3t 2 54 5 0 → → t 5 9, t 526 (no té sentit) → x 52 d) 2x 1 2x+1 1 2x+2 1 2x+3 5 480 canvi t 52x, t 1 2t 1 4t 1 8t 5 480 → 15t 5 480 → t 5 32 → x 5 5 e) 2 log x 5 log (3 2 x) 1 log 4 log x2 5 log (12 2 4x) → x24x212 5 0 → x 5 2, x 5 26 (no té sentit) f) log xlog 1 xlog (y ( 1y +12)5 + log 12) =11 2x 22 xy −5y4= 4 y 5 2x 2 4 → substituint a la primera equació log x 1 log (2x 1 8) 51 → log (2x2 1 8x) 5 log 10 → 2x2 1 8x 2 10 5 0 → x 5 1, x 5 25 (no té sentit)→ y 522. 3. Si log3 p 5 5 i log3 q 5 22, calcula els resultats de les operacions següents aplicant les propietats dels logaritmes: a) log3 (p · q) log3 p 1 log3 q 5 5 2 2 5 3 b) log3 p2 2 log3 p 5 10 c) log3 (p · q3 ) log3 p 1 3 log3 q 5 5 2 6 5 21 p5 d) log3 —— q 5 log3 p 2 log3 q 5 25 1 2 5 27 Característiques de y 53x: Dy 5 R, Ry 5 R1, contínua, creixent, passa per (0, 1), lim y = 0, lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ Característiques de y = log3 x: Dy 5 R1, Ry 5 R, contínua, creixent, passa per (1, 0), v A (t ) = v B (t ) → 3t 2 = 27 → t = 3 h Les dues funcions són creixents i contínues. A més són simètriques respecte la bisectriu del primer quadrant ja que són inverses una de l’altra. 2. Resol les equacions o sistemes següents: a) log5 x 5 23 5–3 5 x → x 51/125 b) 3x+1 5 150 4. La datació de restes arqueològiques es pot fer a partir de la quantitat de carboni 14 (14C) que contenen. La quantitat residual de 14C que trobem al fòssil segueix la llei exponencial: t q(t) 5 q0 · 2 5700 on q0 és la quantitat inicial de 14C que contenia el fòssil quan era viu, q és la quantitat de 14C que trobem al fòssil i t el temps en anys. a) Escriu la funció que es fa servir per datar restes arqueològiques, és a dir, la funció que s’utilitza per determinar l’edat d’un fòssil en funció de la quantitat de 14C que conté en relació amb la d’un ésser viu. −t q(t ) q(t ) −t q(t ) = 25700 → log2 → t = −5700·log2 = 5700 q0 q 0 q0 b) Quina és l’edat d’una mòmia si la quantitat de 14C que presenta és la meitat de la que tindria si la persona fos viva? q 0q/0 2/ 2 1 1 = −5700·(−1) = 570 −5700·log =t t= =−5700·log −5700·log t t= =−5700·log = −5700·(−1) = 5700 =→ 2 2 2 2 q q 2 2 0 0 q /2 1 x 1 1 5 log3 150 → x 1 1 5 150/log23 →0 x 5 3,5609 −5700·log = t = −5700·log2 = −5700·(−1) = 5700 anys t =log 2 q0 156 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE jUnitat 12. Funcions trigonomètriques c) y sin x — 1 2 Activitats 1. Representa gràficament la funció y sin x en l’interval [, ]. Elabora’n una taula de valors i dibuixa-la amb detall. Taula de valors: x 0 — 2 — 2 sin x 0 1 0 1 0 Translació de x, — a la dreta i 1 cap amunt. 2 d) 2. Tenint en compte la gràfica de la funció sinus, dibuixa les gràfiques de les funcions següents: a) y sin x 2 Els valors de sin x es multipliquen per 3, per a cada x. 3. Representa gràficament les funcions: a) f(x) sin 3x Translació de la funció 2 unitats negatives. b) y sin x — 4 Translació de la variable x a x —. 4 2 Període —— 3 la MATEMÀTIQUES 1 b) f(x) sin x Període 2 5. Dibuixa la gràfica de la funció y cos x en l’interval [2, 2]. Elabora’n una taula de valors i pren com a model la gràfica del text. Taula de valors: x 3 3 2 —— — 0 — —— 2 2 2 2 2 cos x 1 0 1 0 1 0 1 c) f(x) sin 4x Període — 2 6. Representa gràficament aquestes funcions: a) y cos x 1 d) f(x) sin (2x) Període Translació de la funció 1. b) y cos x — 4 4. Representa gràficament la funció y 2 sin x. Indica’n el recorregut i el pe­ríode. El recorregut és [2, 2] i el període és 2. 157 Translació de x, — a la dreta. 4 0 1 158 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE c) y cos x 2 b) f(x) cos x Període 2 Translació de la funció 2. d) y cos x — 4 La funció f(x) cos x té de període 2 ja que només és la simètrica de cos x respecte de l’eix de les abscisses. 8. Determina el recorregut de les funcions: a) f(x) 2 cos x Recorregut: [2, 2] b) f(x) 2 cos x Recorregut: [2, 2] c) f(x) 3 cos x Translació de x, — a l’esquerra. 4 7. Construeix la gràfica i indica el període de cadascuna d’aquestes funcions: a) f(x) cos 4x Recorregut: [3, 3] d) f(x) cos 3x Recorregut: [1, 1] 9. Indica quins d’aquests angles no pertanyen al domini de la funció f(x) tg x: Període — 2 7 32 ——, ——, 324°, 32, 4 5 15 ——, 900° i 990° 2 No pertanyen al domini de la funció els angles tals que el seu 15 cosinus és 0. Són els múltiples imparells de —. Són: — 2 2 i 990°. La funció f(x) cos 4x té de període: 2 —— — 4 2 10. Utilitza la calculadora per elaborar una taula de valors que et permeti representar amb precisió la gràfica de la funció f(x) tg x en l’interval —, — . 2 2 MATEMÀTIQUES 1 Taula: — 2 x tg x — 4 0 — 4 1 0 1 — 2 11. Aplica a la gràfica de l’exercici anterior una translació de dues unitats en la direcció de l’eix d’ordenades i en el sentit positiu d’aquest eix. Quina és l’expressió algèbrica de la funció que correspon a aquesta gràfica? la 159 15. Representa a la circumferència trigono­mètrica l’angle que 2 mesura —— rad. Dibuixa les sis raons trigonomètriques 3 d’aquest angle i mesura-les. Compara els resultats experi­ mentals amb els que obtens amb la calculadora. En cas que hi hagi diferències, justifica-les. 2 L’angle —— és del segon quadrant. Els valors aproximats que es 3 poden obtenir en la circumferència de radi 1 són: sin 0,8; cos 0,5; tg 1,7; cotg 0,5; sec 2; cosec 1,1 3 16. Considera un angle tal que —— i sin 0,6. 2 Determina’n les altres cinc raons trigonomètriques. L’angle és del tercer quadrant. sin 0,6 → → cos √ 1 (0,6)2 0,8 L’expressió de la funció és: f(x) tg x 2. 0,6 1 4 tg ——— 0,75; cotg —— —; 0,8 tg 3 13 12. Determina els límits laterals de la funció y tg x en x ——. 2 13 x —— no és del domini de la funció. 2 tg x lim 13 1 5 cosec ——— — 0,6 3 lim tg x 132 x → —— 2 1 x → —— 2 13. Raona per què les funcions y arc sin x i y arc cos x tenen el domini restringit a l’interval [1, 1]. Les funcions y arc sinus x i y arc cos x tenen el domini restringit a [1, 1] perquè són les funcions respectivament inverses de y sin x i y cos x que tenen de recorregut [1, 1]. 14. Considera la funció y arc tg x. Indica l’interval en què els valors que assoleix la funció són més grans que 1. 1 5 sec ——— — 0,8 4 180 180 L’interval és: ——, , ja que arc tg —— 1. 17. Explica les particularitats que observes en calcular la secant i la cosecant de cadascun d’aquests angles: a) — 2 — → sin 1, 2 1 cos 0 → sec ——— → No existeix cos 1 cosec ——— 1 sin 160 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 3 b) 3 i —— 2 tg 1. Això indica el següent: √2 √2 sin cos ——; cos —— 2 2 3 → sin 0, 1 cos 1 → sec ——— 1 cos 1 cosec ——— → No existeix sin cotg 1; cosec √2; sec √2 22. Quins són els valors reals que no pot pren­ dre la funció f(x) cosec x? Per què? f(x) cosec x no està definida per a tots els valors que fan sin x 0 → x k, on k és qualsevol nombre enter. 3 c) f —— 2 3 3 —— → sin —— 1, 2 2 3 1 cos —— 0 → sec —— → 2 cos → No existeix 23. Dibuixa un angle tal que tg 2. Hi ha més d’un angle més petit que 2 que verifica aquesta condició? Raona la resposta. 1 cosec ——— 1 sin 3 18. Si cotg — i és un angle que ve­rifica — , 4 2 calcula les altres cinc raons trigonomètriques. és un angle del segon quadrant. 3 4 cotg — → tg — 4 3 —43 1 2 tg2 1 sec2 → 5 sec2 → sec α — 3 3 cos —; 5 √ —45 ; 3 1 —— 5 5 cosec — 4 sin 2 1 19. Per què no és possible la igualtat sec —? 3 1 La igualtat sec — implicaria cos 3, 3 cosa que no és possible. 20. Explica el motiu pel qual hi ha angles que no tenen cosecant. No tenen cosecant els angles tals que sin 0. Són tots els angles de la forma: k amb k un nombre enter. 3 21. Considera un angle tal que —— 2 i tg 1. 2 Determina el valor de les altres raons trigonomètriques d’aquest angle. L’angle és del quart quadrant. Hi ha un angle del segon quadrant i un del quart que verifiquen tg 2. 24. Indica tots els angles compresos entre 0 i 2 que compleixen cosec 1. Representa’ls gràficament a la circumferència unitat. 3 Si cosec 1 → sin 1. Només l’angle —— verifica 2 aquesta condició. 25. Identifica tots els angles compresos entre 0 i 2 que no tenen cotangent. Els angles que no tenen cotangent són els que tenen els sinus igual cos a 0 → cotg ———. sin sin 0 → 0 i 26. Expressa el domini de cadascuna de les funcions f(x) cosec x, f(x) sec x i f(x) cotg x. Indica’n les discontinuïtats i classifica-les. Quin és el recorregut de cada funció? Domini són tots els valors de la variable que permeten calcular f(x). 1 f(x) cosec x ——— → sin x → Df {x k, k } la MATEMÀTIQUES 1 En els punts que no són del domini, les discontinuïtats són asimptòtiques. 1 f(x) sec x ——— → cos x (2k 1) → Df {x —————, k } 2 Les discontinuïtats són asimptòtiques. b) 2 cos x 1 0 2 cos x 1 0 → 1 2 → cos x —— ; x1 —— , 2 3 4 però també hi ha un altre angle del tercer quadrant: x2 ——. 3 c) 2 sin2 x sin x 1 En les dues funcions el recorregut és: 2 sin2 x sin x 1. Cal prendre una in­cògnita auxiliar: (, 1] [1, ) cos x f(x) cotg x ——— → sin x → Df {x k, k } El recorregut és . 27. Verifica la identitat: 1 cos sin 2 ————— ————— ——— sin 1 cos sin Desenvolupem el primer membre de la igualtat: 1 cos sin ————— ————— sin 1 cos (1 cos )2 sin2 ——————————–– sin (1 cos ) 1 2 cos cos sin ——————————————–– sin (1 cos ) 2 161 2 2 (1 cos ) 2 ————————– ——— sin (1 cos ) sin En obtenir el segon nombre de la igualtat, queda comprovada la identitat. 28. Comprova la identitat: cos 2 2 cos2 1 cos 2 cos2 sin2 cos (1 cos2 ) 2 cos2 1 2 Desenvolupant el primer nombre s’obté el segon. Per tant, és una identitat. sin x t → 2t2 t 1 0 → 1 √ 1 8 → t —————— 4 Substituint els valors de t: sin x 1 → x1 — 2 1 1 — 2 11 —— —— x2 16 6 sin x — → x 2 7 —— x3 6 d) 2 sin x tg x sin x 2 sin x tg x → 2 sin x —— → cos x sin x → 2 sin x ——— 0 cos x 1 sin x 2 ——— 0 → cos x sin x 0 → x 0 i p → x1 0, x2 → 1 1 2 ——— 0 → cos x — → cos x 2 5 → x3 —, x4 —— 3 3 e) 2 cos2 x cos 2x 1 2 cos2 x cos 2x 1 29. Resol aquestes equacions trigonomètriques: Les solucions es donen en l’interval [0, 2 ]. a) sin x — 1 2 Substituïm cos 2x cos2 x sin2 x. 2 cos2 x cos2 x sin2 x 1; com que 1 sin2 x cos2 x, la igualtat és una identitat. f) cos x sin 2x (sin x cos x)2 sin x — 1 → 2 → x—— → x0 2 2 cos x sin 2x (sin x cos x)2 cos x 2 sin x cos x sin2 x 2 sin x cos x cos2 x cos x 1 → x 0 162 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 30. Les equacions trigonomètriques següents tenen solució immediata. Expressa, en cada cas, totes les solucions. a) tg x √ 3 2 5 tg x √ 3 → x1 ——, x2 —— 3 3 b) cotg x 1 3 7 cotg x 1 → x1 ——, x2 —— 4 4 c) sec x 2 sec x 2 → 1 7 11 → sin x — → x1 ——, x2 —— 2 6 6 a) Quin és el seu domini? Df {x k, k } b) Presenta discontinuïtats? Quines? Les discontinuïtats en els punts que no són del domini són asimptòtiques. c) Passa pel punt —, 0 ? 2 No passa pel punt —, 0 → 2 → f — cotg — 2 2 0 2 2 d) Quin és el seu període? El període és . d) cosec x 2 cosec x 2 → 1 5 → cos x — → x1 —, x2 —— 2 3 3 31. Comprova que les igualtats següents són identitats: 1 1 a) tg —— ————— tg sin cos 1 sin cos tg —— ——— ——— tg cos sin sin2 cos2 1 ———————— —————— cos sin cos sin 33. Resol l’equació següent: tg2 x 3 tg x 2 0 Considera primer que la incògnita és tg x. tg2 x 3 tg x 2 0 Cal fer el canvi tg x t: t2 3t 2 0 → 3 √ 32 8 → t ——————— 2 2 1 tg x 2 → x1 arc tg 2 1,11 rad 5 tg x 1 → x2 —; x3 ——. 4 4 b) sin 2 sin — cos — 2 2 És la igualtat del sinus de l’angle doble, ja que 2—. 2 Activitats finals 1. Defineix la funció f(x) cotg x. Indica’n el domini, el recorregut i les característiques més importants. Dibuixa’n la gràfica. 32. Representa gràficament la funció f(x) cotg x 2. cos x f(x) cotg x ——— sin x la MATEMÀTIQUES 1 Df {x k, k }. Contínua en tot el seu domini. Presenta discontinuïtats asimptòtiques en els punts que no són del domini. El període és . 2. Dibuixa la gràfica de les funcions següents. Per a cada funció, especifica’n el domini, el recorregut i el període. 163 (2k 1) Dy x —————, k ; 2 recorregut: . Període: . d) y cotg x 1 a) y 3 sin x y cotg x 1: y 3 sin x: Dy ; recorregut: [3, 3]. Període: 2. Dy {x k, k }; recorregut: . Període: . 3. Considera la funció f(x) tg x. Troba els límits laterals en els valors de x de l’interval [, ] en què la funció és discontínua. b) y 3 cos x La funció f(x) tg x presenta discontinuïtats asimptòtiques en els punts x — i x —. 2 2 lim f(x) lim f(x) 1 x → 2— 2 1 x→ — 2 y 3 cos x: Dy ; recorregut: [3, 3]. Període: 2. lim 2 x → 2— 2 lim 2 x→ — 2 f(x) f(x) 4. El període de la funció f(x) cos kx és —. Calcula k. 2 El període de f(x) cos x és 2; el període de f(x) cos kx serà: 2 2 —— → —— — → k 4 k k 2 c) y tg x 2 5. Se sap que cotg 2. A quins quadrants pot situar-se l’angle ? Determina les restants raons trigonomètriques de l’angle per a cadascun dels possibles quadrants. Si cotg 2, pot ser del primer i del tercer quadrants. 1 sin tg — ——— → cos 2 sin → 2 cos → sin2 (2 sin2 ) 1 y tg x 2: 1 sin2 — 5 164 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE En el primer quadrant: 1 2 1 sin ——; cos ——; tg —; √5 √5 2 √5 3 Ampliant: x —— k, k . 4 sec x 1 → cos x 1 → x 0 Ampliant: x 2k, k . sec ——; cosec √ 5 2 8. Esbrina si la igualtat En el tercer quadrant: 1 2 1 sin ——; cos ——; tg —; √5 √5 2 √5 sec ——; cosec √ 5 2 6. Defineix la funció f(x) arc cotg x com la funció inversa de la funció f(x) cotg x i indica’n el domini i el recorregut. Dibuixa la gràfica de la primera funció a partir de la gràfica de la segona tenint en compte que, pel fet de ser funcions inverses, aquestes gràfiques han de ser simètriques respecte de les bisectrius del primer i tercer quadrants. El domini de la funció és , que és el recorregut de la funció f(x) cotg x. El recorregut és l’interval (0, ) que correspon al període de la funció f(x) cotg x. 1 sin 2x (sin x cos x)2 és una identitat o una equació. 1 sin 2x 1 2 sin x cos x (cos x sin x)2 cos2 x 2 sin x cos x sin2 x 1 2 sin x cos x És una identitat. 9. Aquestes igualtats, són identitats? 1 sin cos a) ———— ———— cos 1 sin 1 sin cos ————— ————— → cos 1 sin → (1 sin )(1 sin ) 1 sin2 cos2 És una identitat. 1 sec 1 cos b) ———— ———— 1 sec 1 cos No és una identitat: 1 1 : 1 ——— 1 ——— cos cos 7. Resol aquestes equacions trigonomètriques: cos x 1, tg x √ 3, cotg x 1 i sec x 1 cos x 1 → x Si ampliem: x (2k 1), k . 4 tg x √ 3 → x1 — i x2 —— 3 3 Ampliant: x — k, k . 3 3 7 cotg x 1 → x1 —— i x2 = —— 4 4 cos 1 1 cos ————— ————— cos 1 1 cos cotg2 1 c) ————— cotg 1 tg No és una identitat: 1 cotg2 1 —————— —— 1 tg tg 10. Comprova que aquestes igualtats són identitats: cotg cotg a) tg ( ) ———————— cotg cotg 1 sin ( ) tg ( ) —————— cos ( ) la MATEMÀTIQUES 1 sin cos cos sin —————— —————— sin sin sin sin ——————————————— cos cos sin sin —————— —————— sin sin sin sin cotg cotg ————————— cotg cotg 1 1 1 b) ———— ———— 2 sec2 1 sin 1 sin 1 1 ———— ———— 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin ——————————–— 1 sin2 2 ———— 2 sec2 cos2 11. Resol les equacions trigonomètriques següents: Les solucions es donen en l’interval [0, 2). 5 a) sin x cos2 x — 4 1 → sin x 2 sin x ——— 0 cos x sin cos cos sin ———————————— cos cos sin sin sin x 0 → x1 0, x2 i 1 2 sin x ——— 0 → 2 sin x cos x 1 cos x 2 sin x cos x sin 2x 1 → → 2x — → x — → x3 — 2 4 4 x d) 6 cos2 — cos x 1 2 x 1 cos x Cal substituir cos2 — —————. 2 2 1 cos x 6 ———— cos x 1 → 2 → 3 3 cos x cos x 1 → → 4 cos x 2 1 2 4 cos x — → x1 —— i x2 —— 2 3 3 1 e) sin x cos x —— √2 Cal canviar: cos x √ 1 sin2 x: 5 sin x cos x — → 4 2 5 → sin x 1 sin2 x — 4 5 Fem sin x t → t 1 t2 — → 4 → 4t2 4t 1 0 → 1 4 √ 16 16 → t ———————— — 8 2 1 5 sin x — → x1 —, x2 —— 2 6 6 b) cos x 1 sin x cos x 1 sin x. Les solucions són immediates, només poden ser: 3 cos x 0 → x1 —, x2 ——, 2 2 o sin x 0 → x3 0, x4 . c) 2 sin2 x tg x 0 2 sin2 x tg x 0 → sin x → 2 sin2 x ——— 0 → cos x 1 sin x (√ 1 sin2 x) —— → √2 1 → √ 1 sin2 x —— sin x √2 Elevem al quadrat: 1 sin2 x 1 2 — —— sin x sin2 x → 2 √2 2 1 → 2 sin2 x —— sin x — 0 2 √2 Utilitzem el canvi: 2 1 sin x t → 2t2 —— t — 0 2 √2 2 —— √ 6 √2 t —————— sin x 4 Prenem valors aproximats: sin x 0,966 → → x1 1,3 rad, x2 1,84 rad sin x 0,26 → → x3 3,4 rad, x4 6,02 rad 165 LA 166 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE cotg x tg x f) —————— 2 cotg x tg x 13. Resol l’equació tg x 2 en l’interval [0, ]. cotg x tg x —————— 2 cotg x tg x Multipliquem el numerador i el denominador de la fracció per tg x 0. 1 tg2 x ———— 2 → 1 tg2 x → 1 tg2 x 2 2 tg2 x → 1 → 3 tg2 x 1 → tg x —— √3 5 7 11 x1 —, x2 ——, x3 ——, x4 —— 6 6 6 6 3 sin x cos y 2 g) sin x 3 cos y 1 5 5 sin x 3 cos y 1 → 9 sin x 3 cos y x arc tg 2 1,107 rad 14. En un examen de matemàtiques es de­ manaven totes les √3 solucions de l’equació tg x ——. Indica raonadament quina 3 d’aquestes respostes és la correcta: a) x — k, k 6 7 b) x — k, k i x —— k, 6 6 k → √3 Les solucions de l’equació tg x —— només poden ser dos 3 angles, un del primer quadrant i un del tercer, menors de 2. Per tant, totes les solucions ja estan expressades en l’apartat a) que ja inclou les de l’apartat b). 6 15. Resol les equacions: Resolem el sistema per reducció: 3 sin x cos y 2 tg x 2. En l’interval [0, ], només hi ha un angle del primer quadrant que verifiqui la igualtat: sin x 3 cos y 1 1 10 sin x 5 → sin x — 2 3 1 cos y 2 — — 2 2 Els únics angles que tenen el sinus igual al cosinus són els angles complementaris en el primer quadrant i els corresponents en el tercer. → xx—— → 3 2 → 2x — → x1 —— 6 12 Combinant els valors de x i de y s’obtenen quatre solucions diferents. (sin sin )(cos cos ) 1 sin 2 Substituïm sin 2 2 sin cos i tenim en compte que si — → sin cos i cos sin : 2 (sin cos )(cos sin ) (sin cos )2 sin2 2 sin cos cos2 1 2 sin cos 1 sin 2 → sin x cos x — 3 5 Els valors de x: — i ——; 6 6 5 els de y: — i ——. 3 3 12. Si —, demostra que: 2 a) sin x cos x — 3 13 El corresponent del tercer quadrant és x2 = —— 12 b) cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x → cos2 x sin2 x 0 → → cos 2x 0 → 2x — 2 3 —— 2 3 x1 —, x2 —— 4 4 la MATEMÀTIQUES 1 c) 6 cos2 x cos 2x 1 6 cos x cos 2x 1 2 Substituïm cos 2x: 6 cos2 x cos2 x sin2 x 1 → → 7 cos2 x (1 cos2 x) 1 → → 8 cos2 x 2 → 1 1 → cos x — → cos x — 4 2 2 1 5 cos x — → x1 —, x2 ——; 2 3 3 1 2 4 cos x — → x3 ——, x4 —— 2 3 3 Avaluació p 1. El període de la funció f(x) 5 sin kx és —. Calcula k. 2 2π . El període d’aquest tipus de funció és k 2π π = → 4 π = k π → k = 4. Aleshores, k 2 2. Donada la funció f(x) 5 tg x 1 1. a) Determina quin és el seu domini? ππ Domini: R Z �−−xx ==(( �. ( ) ¡� 22kk++11)) /,/kk∈∈¢� 22 b) Presenta discontinuïtats? Quines? π Discontinuïtats asimptòtiques � −a x = ( (2k + 1) ) ,/ k ∈ �¢Z. 2 π c) Passa pel punt ,0 ? 4 π π 005tg = tg + 1 → 0 = 1 + 1 → 0 ≠ 2. No passa pel punt ,0 . 4 4 d) Quin és el seu període? Període: π. 3. Resol l’equació següent a l’interval [0,2p]: sin x 5 1 2 cos x. sin x = 1 − cos x Ho elevem tot al quadrat: sin2 x = (1 − cos x ) 2 rad 2 2 cos x 1 0 → x 1 → x3 0 rad, x4 2 rad cos x 0 → x1 rad, x2 4. Comprova que la igualtat següent és una identitat: cos (a2b) 2 cos (a1b) ———————————— 5 tg b. sin (a1b) 1 sin (a2b) cos (α − β ) − cos (α + β ) = tg tgβb. sin (α + β ) + sin (α − β ) Substituïm les fórmules trigonomètriques: cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β − cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β = tg β sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα + sinα ⋅ cosβ − sinβ ⋅ cosα 2sin α ⋅ sin β = tg β 2sin α ⋅ cos β tg β = tg β 5.Dibuixa a la circumferència trigonomètrica tots els angles 1 més petits de 2π que verifiquen cos α = – . Calcula, en cada 2 cas, les altres cinc raons trigonomètriques d’aquests angles. 1 El valor cos α correspon a dos angles del segon i ter2 2 cer quadrant, respectivament. Són els angles α1 120o i 3 4 α2 240o . 3 Les altres cinc raons trigonomètriques d’aquests angles les obtenim aplicant la igualtat fonamental i les definicions corresponents: sin α1 α1 2 tg α1 √3 cotg α1 2 √3 sin α2 α2 √3 √3 2 tg α2 √3 cotg α2 2 1 √3 1 √3 sec α1 2 cosec sec α2 2 cosec √3 jUnitat 13. Introducció a les derivades 2 1 − cos2 x = 1 − 2cos x + cos2 x 2cos2 x − 2cos x = 0 Ara podem extreure factor comú: 2cos x (cos x − 1) = 0 Les solucions són: Activitats sin x = 1 − 2cos x + cos x 2 167 1. La gràfica velocitat-temps corresponent a dos mòbils és la que pots veure a la dreta (fig. 13.2). a) Quina és la velocitat de cada mòbil a l’instant inicial, quan t 0? A l’instant inicial, v1 v2 0. 168 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE b) Com pots veure, la velocitat de cada mòbil augmenta a mesura que passa el temps. En quin cas augmenta més de pressa? Per què? La velocitat del mòbil 2 augmenta més de pressa, ja que per a qualsevol valor t . 0, es compleix v2 . v1. c) Quin dels dos mòbils haurà recorregut una distància més gran després de 5 s d’haver començat el moviment? El mòbil 2, ja que en tot moment t . 0 la seva velocitat és més gran. 2. Quina és la velocitat mitjana del ciclista de l’exemple anterior durant els 10 s? 120 0 120 vm[0,10] ——— —— 12 m/s 10 0 10 3. A partir de la gràfica distància-temps següent (fig. 13.4), calcula en km/h: a) La velocitat mitjana del mòbil en cadascun dels intervals de temps [0, 2], [2, 3,5] i [3,5, 4,5]. 120 0 120 vm[0, 2] ———— —— 60 km/h 20 2 6. Quant val la variació mitjana de la funció f(x) 5 en qualsevol interval [x1, x2]? Val zero, ja que es tracta d’una funció constant. 7. Calcula la variació mitjana de la funció f(x) x2 1 4x a l’interval [2,9, 3,1]. Creix o decreix aquesta funció al voltant de x 3? f(3,1) f(2,9) 2,79 3,19 0,4 ———————— —————— ——— 2 3,1 2,9 0,2 0,2 Fes-ne la representació gràfica i tot seguit comprova la teva resposta. Podem esperar que la funció f(x) x2 1 4x decreixi al voltant de x 3. Ho comprovem a la gràfica de la funció. 320 120 180 vm[2, 3,5] ————— —— 120 km/h 3,5 2 1,5 387 300 87 vm[3,5, 4,5] ————— —— 87 km/h 4,5 3,5 1 b) La velocitat mitjana del mòbil durant les 4,5 h que ha durat el trajecte. 387 0 vm[0,4,5] ————— 86 km/h 4,5 0 8. Representa gràficament la funció d 40t 5t2 corresponent al moviment del cos de l’exemple anterior. Quant triga a assolir l’altura màxima? Quin és el valor d’aquesta altura? Quant triga a tornar al punt de llançament? 4. La funció f(x) x3 1 2 sempre és creixent. Calcula’n la variació mitjana a cadascun dels intervals següents: [3, 1], [0, 2] i [5, 7]. En quin dels tres intervals té un creixement més ràpid? f(1) f(3) 1 (25) 26 Interval [3, 1]: ——————— ————— —— 13 1 (3) 1 1 3 2 f(2) f(0) 10 2 8 Interval [0, 2]: —————— ———— —— 4 20 2 2 f(7) f(5) 345 127 218 Interval [5, 7]: —————— ———— —— 109 75 2 2 3 La funció f(x) x 1 2 té el creixement més ràpid en l’interval [5, 7]. 5. Demostra que la variació mitjana de la funció f(x) 3x 1 1 sempre és la mateixa, independentment de l’interval [x1, x2] considerat. 3x2 1 1 (3x1 1 1) 3x2 3x1 f(x2) f(x1) —————— —————————— ————— x2 x1 x2 x1 x2 x1 3(x2 x1) ————— 3 x2 x1 En qualsevol interval [x1, x2] la variació mitjana de la funció és 3. El cos que es considera: – Triga 4 s a assolir l’altura màxima. – El valor d’aquesta altura és 80 m. – Triga 8 s a tornar altre cop al punt de llançament. 9. Calcula la velocitat d’aquest cos en els instants t 4 s i t 8 s. Interpreta’n els resultats obtinguts. f(t) f(4) 40t 5t2 80 v(4) lim —————— lim ——————— t→4 t→4 t4 t4 5(t 4)2 5(t2 8t 1 16) lim ———————— lim ————— t→4 t→4 t4 t4 MATEMÀTIQUES 1 lim[5(t 4)] 0 t→4 t 4s → v(4) 0 la 169 12. Fes el mateix estudi de l’activitat anterior per a x 3. Fixa’t en la gràfica de la funció i interpreta el valor que has obtingut. f(t) f(8) 40t 5t2 0 v(8) lim —————— lim ——————— x→8 t→8 t8 t8 5t(t 8) lim —————— lim(5t) 40 x→8 t→8 t8 t 8 s → v(8) 40 m/s Per a t 4 s, el cos canvia el sentit del seu moviment. Passats 8 s, el cos torna a la posició de sortida. Fixa’t que hi arriba a la mateixa velocitat amb què ha estat llançat, però movent-se en sentit contrari. D’aquí el signe menys de v (8). 10. On es troba el cos en els instants t 3 s i t 5 s? Quina és la seva velocitat en cadascun d’aquests instants? t 3 s → d f(3) 75 m. t 5 s → d f(5) 75 m. t 3 s i t 5 s → el cos es troba a la mateixa posició: a 75 m del punt de llançament. f(t) f(3) 40t 5t2 75 v(3) lim —————— lim ———————— t→3 t→3 t3 t3 5(t2 8t 1 15) 5(t 3)(t 5) lim ———————— lim ———————— t→3 t→3 t3 t3 lim[5(t 5)] 5 · (2) 10 m/s t→3 f(x) f(3) x2 1 6x 9 lim —————— lim —————— x→3 x→3 x3 x3 2 (x 3) lim ————— lim(3 x) 0 x→3 x→3 x3 Als voltants de x 3, la funció pràcticament no varia. 13. Representa gràficament la funció f(x) 2x 1 3. Calcula f(2), f(0) i f(3). Interpreta’n els resultats. f(t) f(5) 40t 5t2 75 v(5) lim —————— lim ———————— t→5 t→5 t5 t5 5(t 3)(t 5) lim ———————— lim[5(t 3)] t→5 t→5 t5 5 · 2 10 m/s Naturalment, per a t 3 s, el cos està en trajectòria ascendent (v . 0). En canvi, quant t 5 s, el cos ja està en trajectòria descendent (v , 0). En ambdós instants, el mòdul de la velocitat és el mateix: 10 m/s. 11. Sabem que la funció f(x) x2 1 6x és decreixent al voltant de x 4. Quantifica aquest decreixement a partir del f(x) f(4) càlcul de lim —————— . Interpreta’n el resultat obtingut. x→4 x4 f(x) f(4) x2 1 6x 8 lim —————— lim ——————— x→4 x→4 x4 x4 (x 2)(x 4) lim ———————— lim(2 x) 2 x→4 x→4 x4 Per a valors de x pròxims a 4, la funció f(x) disminueix de l’ordre de dues vegades el que augmenta x. f(2 1 h) f(2) f(2) lim —————————— h→0 h 2(2 1 h) 1 3 7 4 2h 1 3 7 lim —————————— lim ——————— h→0 h→0 h h 2h lim —— lim 2 2 h→0 h→0 h També es verifica: f(0) f(3) 2. La funció f(x) 2x 1 3 decreix sempre de la mateixa manera, és a dir, presenta un decreixement uniforme. En general, f(x0) 2, x0 ∈R. 14. Donada la funció f(x) ax 1 b, demostra que f(x0) a, independentment del valor x0 considerat. f (x0 1 h) f(x0) f(x0) lim ———————— h→0 h 170 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE a(x0 1 h) 1 b (ax0 1 b) lim ————————————— h→0 h ax0 1 ah 1 b ax0 b lim ———————————— h→0 h ah lim —— lim a a h→0 h→0 h 15. Calcula, si és possible: a) f(8) si f(x) √ x 1 1 f(8 1 h) f(8) √ 8 1 h 1 1 3 f(8) lim ———————— lim ———————— h→0 h→0 h h √ 9 1 h 3 (√ 9 1 h 3)(√ 9 1 h 1 3) lim —————— lim ————————————— h→0 h h (√ 9 1 h 1 3) h→0 9 1 h 9 h lim ———————— lim ———————— h→0 h→0 h (√9 1 h 1 3) h (√ 9 1 h 1 3) 1 1 lim —————— — h→0 √9 1 h 1 3 6 1 b) f — si f(x) 4 x2 2 1 1 f —1 h f — 1 2 2 f — lim —————————— h→0 h 2 2 1 1 4 —1 h 4 — 2 4 lim ———————————— h→0 h 1 1 4 — 2 h 2 h2 2 4 1— 4 4 h(212 h) lim ————————————— lim —————— h→0 h→0 h h 2 2 2 2 2 2 lim (212h) 21 1 c) f(0) si f(x) — x h→0 f(1 1 h) f(1) f(1) lim ———————— h→0 h (1 1 h)2 2(1 1 h) 1 4 3 lim —————————————— h→0 h 2 1 1 2h 1 h 2 2h 1 4 3 lim ———————————————— h→0 h h2 lim — lim h 0 h→0 h h→0 17. Sense fer-ne la representació gràfica, indica si la funció f(x) (2 x)2 és creixent o decreixent en x 6. Fes el mateix estudi en x 1. f(6 1 h) f(6) f(6) lim ——–––––––––––— h→0 h 4 4(6 1 h) 1 (6 1 h)2 16 lim —–––––––––––––––––––––––––––––—— h→0 h 4 24 4h 1 36 1 12h 1 h2 16 lim —––––––––––––––––––––––––––––––––––—— h→0 h h2 1 8hh(h 1 8) lim ——–––— lim ——–––—— lim(h 1 8) 8 h→0 h→0 h h h→0 → f(6) . 0 → creixent en x 6. f(1 1 h) f(1) f(1) lim —–––––––––––––––—— h→0 h 4 4(1 1 h) 1 (1 1 h)2 9 lim —––––––––––––––––––––––––––––––––—— h→0 h 4 1 4 4h 1 1 2h 1 h2 9 h2 6h lim —––––––––––––––––––––––––––——— lim ———–— h→0 h h h→0 h(h 6) lim —–––––— lim(h 6) 6 → f(1) , 0 h→0 h h→0 → decreixent en x 1. 18. Com ha de ser una funció perquè la derivada sigui nul·la en tots i cadascun dels punts del seu domini? Per què? La funció ha de ser constant, f(x) K, K∈R. És així perquè si una funció és constant, la seva variació és zero per a qualsevol valor de x ∈ Df R. No existeix f(0), ja que x 0 no pertany al domini de la funció 1 f(x) — → no existeix f(0). x 19. Calcula si és possible: 16. Representa gràficament la funció f(x) x2 2x 1 4 i indica’n, a partir de la gràfica, els intervals de creixement i decreixement. Comprova que f(1) 0. No és possible, ja que no existeix a) f(4) si f(x) √ x f(4) : f(4) √4 ∈ R 2 b) f(1) si f(x) — x 2 ––––––– 2 f(1 1 h) f(1)1 1 h f(1) lim ——–––––––––––––— lim ——––––––— h→0 h→0 h h Decreixent: (∞, 1) Creixent: (1, 1∞) 2 2 2h —–––––––––— 1 1 h 2h 2 lim —–––––––––— lim —––––––— lim —––— 2 h→0 h→0 h→0 h h(1 1 h) 11h MATEMÀTIQUES 1 c) f(0) si f(x) 2x2 1 1 f(0 1 h) f(0)f(h) f(0) f(0) lim ——–––––––––––— lim ——––––––––— h→0 h→0 h h 2 2 2h 1 1 1 2h lim —–––––––—— lim –––––– lim 2h 2 · 0 0 h→0 h→0 h→0 h h d) f(2) si f(x) 10x 1 3 f(2 1 h) f(2) f(2) lim —–––––––––––—––––— h→0 h 10(2 1 h) 1 3 (17) lim ——––––––––––––––––––––––— h→0 h 20 1 10h 1 3 1 17 lim —–––––––––––––––––—— h→0 h 10h lim –––– lim 10 10 h→0 h→0 h 20. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents: a) f(x) x 1 7 (x 1 h) 1 7 (x 1 7) f(x) lim —––––––––––––––––––––––––—— h→0 h x h 1 7 1 x 7 h lim ——–––––––––––––––––— lim –––– lim 1 1 h→0 h→0 h→0 h h b) f(x) 1 2x2 1 2(x 1 h)2 (1 2 x2) f(x) lim —–––––––––––––––––––––––––—— h→0 h 1 2(x2 1 2xh 1 h2) 1 1 2 x2 lim —––––––––––––––––––––––––––––––—— h→0 h 1 2x 4xh 2h 1 1 2 x lim —––––––––––––––––––––––––––––––—— h→0 h 2 2 2 2h (2x 1 h) lim ——–––––––— lim 2(2x 1 h) 4 x h→0 h h→0 1 c) f(x) —, x ≠ 0 x 1 1 xxh –––––––––––– ––––––– — x1h x (x 1 h) · x f(x) lim ——––––––––––— lim —–––––––—— h→0 h→0 h h h 1 1 lim —––––––––— lim —–––––— –––– h→0 h→0 x(x 1 h) h(x 1 h)x x2 1 d) f(x) —, x ≠ 0 x2 1 1 x2 (x 1 h)2 —–––––––––––— ––––––––– ––– x2(x 1 h)2 (x 1 h)2 x2 f(x) lim —–––––––––—— lim ——––––––-––— h→0 h→0 h h x2 x2 2xh h2 h(2x 1 h) lim ——––––––––––––––— lim —––––––––—— 2 2 h→0 h→0 hx (x 1 h) hx2 (x 1 h)2 la 171 (2x 1 h) 2x 2 lim —––––––— –––– ––––– h→0 2 2 4 x (x 1 h) x x3 e) f(x) √ x, x . 0 √ x 1 h √ x f(x) lim ——––––––––––— h→0 h (√ x 1 h √ x )(√ x 1 h 1 √ x ) lim ———–––––––––––––––––––––––––— h→0 h(√ x 1 h 1 √ x ) x 1 h x h lim —–––––––––––—— lim ——––––––––––––— h→0 h(√ x 1 h 1 √ x ) h→0 h(√ x 1 h 1 √ x ) 1 1 lim —–––––––––––—— —–––— h→0 2√ x √ x 1 h 1 √x f) f(x) 3 3 3 0 f(x) lim –––––––– lim — 0 h→0 h→0 h h g) f(x) 3x2 1 2x 1 3(x 1 h)2 1 2(x 1 h) 1 (3x2 1 2x 1) f(x) lim ————––––––––––––––––––––––––––––––——— h→0 h 3x2 1 6xh 1 h2 1 2x 1 2h 1 3x2 2x 1 1 lim ————––––––––––––––––––––––––––––––––––———— h→0 h h(h 1 6x 1 2) lim ——–––––––––— lim(h 1 6x 1 2) 6x 1 2 h→0 h h→0 h) f(x) p π π 0 f(x) lim –––––––– lim — 0 h→0 h→0 h h 21. Sense fer-ne la representació gràfica, determina els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x) 2 x2 1 6x 8. Quant val f(3)? (x 1 h)2 1 6(x 1 h) 8 (x2 1 6x 8) f(x) lim ——–––––––––––––––––––––––––––––––—————— h→0 h x2 2xh h2 1 6x 1 6h 8 1 x2 6x 1 8 lim ———–––––––––––––––––––––––––––––––––––———— h→0 h h2 2xh 1 6hh(h 2x 1 6) lim ——––––––––––—— lim ——––––––––––––— h→0 h→0 h h lim (h 2x 1 6) 2x 1 6 h→0 f(x) . 0 → 2x 1 6 . 0 → 2x . 6 → 2x , 6 → x , 3 (∞, 3) funció creixent f(x) , 0 → 2x 1 6 , 0 → 2x , 6 → 2x . 6 → (3, 1∞) funció decreixent f(3) 2 · 3 1 6 0 172 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 22. Donada la funció f(x) 6 x2, calcula f(2) i f(4). Indica si la funció és creixent o decreixent en x 2 i en x 4. 6 (x 1 h) (6 x ) f(x) lim —–––––––––––––––———— h→0 h 2 2 6 x2 2xh h2 6 1 x2h(2x h) lim ——–––––––––––––––––––––—— lim —–––––––—— h→0 h→0 h h f(x) 0 1 f) f(x) — x6 6 f(x) 6x7 — x7 lim (2x h) 2x h→0 f(2) 2 · ( 2) 4 . 0 → la funció és creixent en x 2 f(4) 2 · 4 8 , 0 → la funció és decreixent en x 4 23. Donada la funció f(x) x4, calcula f(x) de dues maneres diferents: a) Aplicant la definició de funció derivada. (x 1 h)4 x4 f(x) lim —–––––––——— h→0 x x4 1 4x3h 1 6x2h2 1 4xh3 1 h4 x4 lim ———–––––—––——––––––––––––––—— h→0 h h(4x3 1 6x2h 1 4xh2 1 h3) lim ———––––––––––––––––––—— h→0 h 5 e) f(x) √2 lim (4x3 1 6x2h 1 4xh2 1 h3) 4x3 25. Donada la funció f(x) x3, calcula f(1) i f(1). Indica si la funció és creixent o decreixent en aquests dos punts, i en cas que hi presenti el mateix tipus de variació, digues on és més ràpida aquesta variació. (x 1 h)3 x3 f(x) lim —–—––––—— h→0 h x3 1 3x2h 1 3xh2 1 h3 x3 lim ———–––––––––––––––––——— h→0 h h(3x2 1 3xh 1 h2) lim ——––––––––––—— lim (3x2 1 3xh 1 h2) 3x2 h→0 h→0 h f(1) 3 · 12 3; f(1) 3 · ( 1)2 3 f(1) f(1) 3 . 0 → la funció és creixent en x 1 i en ambdós punts creix amb la mateixa rapidesa. 26. Pot decréixer en algun punt la funció de l’exercici anterior? Per què? No, perquè f(x) 3x2 $ 0 per a qualsevol x ∈R h→0 b) A partir de la segona regla que acabem de veure. 27. Considera la funció: 3 f(x) 4x3 f(x) √ x. Calcula f(1) i f(8). Interpreta’n els resultats obtinguts. 24. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents: 1 a) f(x) — x4 4 f(x) 4x5 — x5 b) f(x) x7 f(x) 7x6 1 c) f(x) –––– √x 1 1 1 f(x) — x3/2 —––— —––— 3 2x√ x 2 2√ x 3 d) f(x) √x2 1 1 1 1 f(1) ––––––– ––– ; f(8) –––––––– –––– 3 3 3√ 1 3 3√64 12 f(1) . 0 i f(8) . 0 → la funció és creixent en x 1 i també en x 8. f(1) . f(8) → la funció creix amb més rapidesa prop de x 1 que prop de x 8. 28. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents: 1 1 f(x) — x2/3 –––––––– 3 3 3√x2 2 2 f(x) — · x1/3 –––––– 3 3 3√ x a) f(x) 3x3 5x2 1 7 f(x) 9x2 10x 1 b) f(x) x 1 — 3 x 1 f(x) 1 — x2 MATEMÀTIQUES 1 x4 3x2 c) f(x) –– –––– 5 7 4 6 f(x) — x3 — x 5 7 la 173 33. Troba l’equació d’una funció f(x) que tingui per derivada la funció f(x) representada en la gràfica (fig. 13.12). Pots trobar-ne més d’una? Per què? Compleixen la condició que s’estableix a l’enunciat totes les funcions del tipus f(x) x 1 K, amb K∈R. d) f(x) √10 1 √ x 1 f(x) –––––– 2√ x e) f(x) (2x 1 3)2 f(x) 8x 1 12 1 2 f) f(x) — 1 — 1 7 x3 x 3 2 f(x) —– ––– 4 x2 x 29. Indica per a quins valors de x s’anul·la la derivada de la funció f(x) x3 5x2 1 3x 1 4. f(x) 3x 10x 1 3 2 1 f(x) 0 → 3x2 10x 1 3 0 → x 3 i x — 3 30. Determina els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x) x2 1 4x 7. f(x) 2x 1 4 f(x) , 0 → 2x 1 4 , 0 → x , 2 f(x) . 0 → x . 2 (∞, 2) funció decreixent (2, 1∞) funció creixent 31. Demostra que la derivada de la funció polinòmica de segon grau f(x) ax2 1 bx 1 c s’anul·la per al valor de x corresponent al vèrtex de la paràbola que en resulta de representarla gràficament. f(x) 2ax 1 b b f(x) 0 → 2ax 1 b 0 → 2ax b → x = ––– 2a 32. La distància d’un mòbil a un punt de referència ve donada per l’expressió d f(t) 10 1 12t 1 t2, d en metres i t en segons. a) Determina l’expressió de la funció que permet calcular la velocitat del mòbil en qualsevol instant. v f(t) 12 1 2t m/s. b) Indica raonadament si en algun moment aquest mòbil canvia el sentit del seu moviment. El mòbil no canvia el sentit del moviment, ja que v(t) ≠ 0 per a t > 0 → la velocitat d’aquest mòbil no s’anul·la per a t $ 0. Activitats finals 1. Aplicant la definició, calcula la derivada de cadascuna de les funcions següents en x 3: a) f(x) x2 1 1 (3 1 h)2 1 1 (8) f(3) lim —-––––––––––––––––––––––— h→0 h 9 1 6h h2 1 1 1 8 h(6 h) lim ——–––––––––––––––––––––— lim —–––—— h→0 h h h→0 lim(6 h) 6 h→0 b) f(x) √1 x √1 (3 1 h) 2 √ 4 h 2 f(3) lim ——––––––––––––––––— lim ——–––––––— h→ 0 h→0 h h (√ 4 h 2)(√ 4 h 1 2) 4 h 4 lim ———––––––––––––––––––—— lim —––––––––––—— h→ 0 h→ 0 h(√ 4 h 1 2) h(√ 4 h 1 2) h 1 1 lim ————–––––— lim ——–––––––— –––– 4 h→ 0 h(√ 4 h 1 2) h→ 0 √ 4 h 1 2 1 c) f(x) — x 1 1 3 3 1 h ––––––––– 1 –––– ——–––––— 3 1 h 3 3(3 1 h) f(3) lim –––––––––––––––– lim ––––––––––––– h→0 h→0 h h h1 1 lim ——––––––— lim —–––––—— — 9 h→0 3h(3 1 h) h→0 3(3 1 h) 1 2. Donada la funció f(x) —––—, és possible calcular f(2)? x2 Per què? No, perquè x 2 ∉ Df 3. Sense fer-ne la representació gràfica, indica si la funció f(x) (x 4)2 és creixent o decreixent en x 3,5. f(x) (x 4)2 x2 8x 1 16 → f(x) 2x 8 f(3,5) 2 · 3,5 8 7 8 1 f(3,5) , 0 → la funció és decreixent en x 3,5 174 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 4. En la gràfica (fig. 13.15) hem representat la funció f(x), derivada d’una certa funció f(x). Quina és l’expressió algèbrica de f(x)? I la de f(x)? Pots trobar-ne més d’una? f(x) 2x → f(x) x2 1 C, amb C ∈R Per tant hi ha infinites funcions, la funció derivada de les quals és f(x) 2x. 5. Compara la rapidesa del creixement de la funció f(x) x3 1 2x en els punts d’abscisses x 2 i x 2. f(x) x3 1 2x → f(x) 3x2 1 2 f(2) 3 · (2)2 1 2 14 . 0 f(2) 3 · 22 1 2 14 . 0 x ∈ (∞, 1) → la funció és creixent → f(x) . 0 x ∈ (1, 1) → la funció és decreixent → f(x) , 0 x ∈ (1, 1∞) → la funció és creixent → f(x) . 0 8. Indica els intervals de creixement i decreixement de la fun­ ció f(x) 3x 1 5. Verifica la teva resposta fent-ne la representació gràfica. f(x) 3x 1 5 → f(x) 3 f(x) , 0 per a qualsevol x∈R → la funció és decreixent en tot el seu domini. Com que f(2) f(2), la funció creix amb la mateixa rapidesa en x 2 que en x 2. 6. Aplicant la definició, calcula la funció derivada de: a) f(x) x3 1 3 (x 1 h)3 1 3 (x3 1 3) f(x) h→0 lim —––––––––––––––––––——— h x3 1 3x2h 1 3xh2 1 h3 1 3 x3 3 lim ————–––––––––––––––––––––––––––—— h h→0 9. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents: a) f(x) 2x4 3x2 1 1 h(3x 1 3xh 1 h ) ——–––––––––––—— lim (3x2 1 3xh 1 h2) 3x2 lim h→0 h→0 h 2 2 b) f(x) x 1 3x2 x 1 h 1 3(x 1 h)2 (x 1 3x2) f(x) h→0 lim ——––––––––––––––––––––––––——— h x 1 h 1 3x2 1 6xh 1 3h2 x 3x2 lim ————––––––––––––––––––––––––——— h h→0 h(1 1 6x 1 3h) h→0 lim ———–––––––––— lim(1 1 6x 1 3h) 1 1 6x h→0 h c) f(x) 5√ x 5√ x 1 h 5√ x f(x) lim ——–––––––––—— h→0 h 5(√ x 1 h √ x )(√ x 1 h 1 √ x ) lim ————–––––––––––––––––——— h→0 h(√ x 1 h 1 √ x ) 5(x 1 h x) 5h lim ———–––––––––— lim ——––––—–––––— h→0 h(√ x 1 h 1 √ x ) h→0 h(√ x 1 h 1 √ x ) 5 5 lim ——––––––––––— —––— h→0 √ x 1 h 1 √x 2√ x 7. Indica raonadament el signe de la funció f(x) corresponent a la funció f(x) representada en la gràfica de la figura 13.16, en cadascun dels intervals següents: (∞, 1) (1, 1) (1, 1∞) f(x) 8x3 6x 3 b) f(x) √ x3 1 √ x2 3 2 3 2 f(x) — x1/2 1 ––––– x1/3 — √ x 1 –––– 3 √x 2 3 2 2 c) f(x) 1 — x2 4 f(x) 2 · (2)x3 ––– x3 d) f(x) 3(x2 1 7x 12) f(x) 6x 1 21 e) f(x) √ 5x √5 f(x) —–— 2√x f) f(x) (2 6x)2 f(x) 24 1 72x 10. Per a un determinat mòbil, la distància d en metres a un punt de referència en funció del temps t en segons ve donada per l’expressió: d f(t) 10t 2t2 MATEMÀTIQUES 1 a) Troba l’expressió algèbrica que et permeti calcular la velocitat d’aquest mòbil en qualsevol instant. v f(t) 10 4t, en m/s b) Indica a quina distància del punt de referència es troba quan canvia el sentit del moviment. v 0 → 10 4t 0 → t 2,5 s d f(2,5) 10 · 2,5 2 · 2,52 12,5 m. c) Interpreta físicament el signe de la velocitat per a t . 2,5 s. t . 2,5 s → v , 0 → el mòbil es mou en sentit negatiu cada cop més de pressa. la 175 13.Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents: a) f(x) 3x2 5x + 3x + 7 f’(x) 6x 5 1 b) f’(x) x + 2 2 x f’(x) 3 x x2 3x2 c) f(x) 5 8 f’(x) x3 3x 5 4 d) f(x) (2x + 3)2 11. A conseqüència de la dilatació, la longitud L d’una barra metàl·lica augmenta amb la temperatura T d’acord amb l’expressió: L 8(1 1 104 · T), on L s’expressa en centímetres i T, en graus centígrads. a) Quina és la longitud de la barra a 0 ºC? I a 100 ºC? L (0 ºC) 8 cm; L (100 ºC) 8,08 cm b) Quan augmenta més bruscament la longitud d’aquesta barra, si T 50 ºC o si T 80 ºC? Per què? L (T) 8 1 8 · 104 T → L (T) 8 · 104 cm/ºC Com que L (T) no depèn de la temperatura, la longitud de la barra augmenta amb la mateixa rapidesa independenment de la temperatura. 12. Representa gràficament les funcions f(x) 2x 1 3 i g(x) 2x 3. Què obtens? Quina de les dues funcions creix més de pressa al voltant de x 0? I al voltant de x 10? Procura respondre les dues últimes qüestions sense fer cap càlcul i argumenta’n la resposta. f’(x) 8x + 12 e) f(x) √10 + √x + √ 1 f’(x) 1 −2 1 x = 2 2√x f) f(x) f’(x) 3 x3 5 +7 x2 14.Demostra que la derivada de la funció f(x) ax2 + bx + c s’anul·la per al valor de x que correspon al vèrtex de la paràbola que resulta de la seva representació gràfica. b La derivada és: f’(x) 2ax + b, que s’anul·la per a x = , que és 2a l’abscissa del vèrtex de la paràbola. x2 + 1 15.Donada la funció f(x) 2x i f’(0). si x < 0 calcula f’(2) si x ≥ 0 Cada derivada es calcula en l’expressió que correspon al domini del valor de la variable: f’(2) = 4 i f’(0) = 2. 16.Troba els valors que anul·len la derivada de la funció f(x) 3x5 5x3 + 7. Quin és el valor de f’(0)? f’(x) 15x4 15x2 → 15x4 15x2 0 → 15x2 (x2 1) 0. Les solucions són: 0, 1 i 1. Aquests són els valors que anul·len la derivada. f’(0) = 0 17.Considera la funció f(x) x2 4x + 4 i, a partir de la seva derivada, determina els intervals en els quals la funció és creixent i els intervals en què és decreixent. Raona el comportament de la funció en l’entorn de x 2. S’obtenen dues rectes paral·leles. f ’(x) 2x 4 → 2x 4 0 → x 2. Per a aquests valors la funció és creixent. Es compleix que f(x) g(x) 2 → la funció f i la funció g creixen amb la mateixa rapidesa, independenment del valor de la variable x. Per a x 2 → (2) 0. Abans del 2, la funció és decreixent; i després del 2, és creixent. La funció és decreixent per a 2x 4 0 → x 2. 176 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 18.Donada la funció f(x) x5 + 1, calcula f’(1) i f’(2). Indica si la funció és creixent en aquests punts i en quin dels dos el creixement és més ràpid. Pot decréixer en algun punt aquesta funció? f’(x) 5x → f’(1) 5 i f’(2) 80. La funció és creixent en els dos punts, la derivada és positiva, i creix més ràpidament en el punt x 2. La funció no és decreixent en cap punt, ja que l’expressió de la derivada dóna positiu per a qualsevol valor de x. 4 a) Calcula la variació mitjana de f(x) en l’interval [2, 5]. b) Calcula, aplicant la definició de derivada, la derivada de f(x) en x 5 1. a) interval [2, 5]: f (5) − f (2) = 80 − 17 = 63 = 21 5−2 5−2 3 2 2 3(x + h) + 5 − (3x + 5) = b) f’( x ) = lim h →0 h 6 xh + 3h2 = lim = lim (6x + 3h) = 6x h →0 h →0 h b) f f (1) '(1) = 6 ⋅ 1 = 6 a) f(x) x4 2x3 3x 7 f(x) 4x3 6x2 3 5 b) f(x) √x3 3 53 −1 3 − 52 3 x = x = 5 5 5 5 x2 x 2 1 1 11 −− 2 11⋅⋅ xx −−xx⋅⋅ xx 2 22 f'('(xx))== ff == 8 xx8 xx xx −− 2 xx 2 xx == == 8 88 x x 22 xx ⋅⋅xx8 1 x ff'( x ) = −6 x −3 − x −2 = f′(0) = 5 > 0 → la funció és creixent en aquest punt. f′(3) = 5 − 6 ⋅ 32 > 0 → la funció és decreixent en aquest punt. 4. Comencem a observar dos mòbils A i B que tenen trajectòries que segueixen, respectivament, les equacions següents: A: s(t) 5 t3 i B: e(t) 5 27t on s i e són les distàncies recorregudes en km des del moment en què comencem a observar i t és el temps transcorregut en hores. a) Calcula les funcions velocitat de cadascun dels dos mòbils. vA (t) = s′(t) = 3t2 vB (t) = e′(t) = 27 2. Calcula, aplicant les regles de derivació, les derivades de les següents funcions, simplificant al màxim: 3 x4 f′(x) = 5 − 6x2 1. Donada la funció: f(x) 5 3x2 1 5, c) f(x) √x 3. Donada la funció f(x) 5 5x 2 2x3, indica raonadament si és creixent o decreixent en els punts x 5 0 i x 5 3. Avaluació ff'( x ) = d) f(x) −6 1 − x 3 x2 mesurades en km/h b) Calcula la velocitat inicial de cadascun dels dos mòbils. vA (0) = s′(0) = 0 vB (0) = e′(0) = 27 km/h c) En un cert instant de temps, els dos mòbils tenen la mateixa velocitat. Calcula aquest instant de temps. v A (t ) = v B (t ) → v A (t ) = v B (t ) → 3t 2 = 27 → t = 3 h 3t 2 = 27 → t = 3 h d) Calcula els km que han recorregut cadascun d’ells des que comencem a observar fins al moment en què tenen la mateixa velocitat. s(3) = 33 = 27 km e(3) = 27 ⋅ 3 = 81 km la MATEMÀTIQUES 1 jUnitat 14. Distribucions bidimensionals 3. Troba la mitjana, la variància i la desviació típica de les variables X i Y de la taula 14.6. Nombre d’hores veient la televisió Nombre d’hores dormint Nombre de persones 4 3 3 2 1 6 7 8 9 10 3 16 20 10 1 Activitats 1. En una població de 25 famílies s’ha estudiat la variable X: «nombre de cotxes que té la família», i s’han obtingut les dades següents: 0, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1 5 x n Construeix la taula de freqüències i de per­centatges cor­ responent. xi ni Ni fi Fi pi 2 2 0,08 0,08 8 % 8 % 1 12 14 0,48 0,56 48 % 56 % 2 8 22 0,32 0,88 32 % 88 % 3 3 25 0,12 1,00 12 % 100 % 25 1,00 i i 141 i1 x ——— ——— 2,82 h n 50 5 Pi 0 x n 413 x2 ———— x 2 —— 7,9524 n 50 0,3076 h2 5 x n Freqüència relativa Suspens — 0,375 Aprovat 20 — Notable Excel.lent 16 — — — a) Completa la taula amb les freqüències absolutes i relati­ ves que falten. b) Elabora la taula de freqüències i de percentatges cor­ responent. a) i b) pi Ni Fi xi ni S 30 0,375 A 20 0,25 25 % 50 0,625 62,5 % N 16 0,2 20 % 66 0,825 82,5 % E 14 0,175 37,5 % 30 0,375 i1 2 i i ———— x 2 n x 100 % Freqüència absoluta fi 2 i i i1 √0,3076 0,55462 h 2. La taula 14.2, que apareix incompleta, representa les qua­ lificacions obtingudes per 80 alumnes de primer de batxille­ rat d’un institut. Qualificació 5 yi ni 390 i1 y ———— —— 7,8 h n 50 5 y n 2 i i 3 082 y2 ————— y2 ——— 60,84 0,8 h2 n 50 i1 5 y n i1 2 i i ———— y2 √ 0,8 0,89443 h n y 4. Calcula la variància de la variable de la taula 14.3 utilitzant la primera expressió. Número de calçat Nombre d’alumnes 35 36 37 38 40 42 4 15 17 20 10 4 Pi 37,5 % 6 80 1 17,5 % 80 1 100 % 100 % 177 (x x ) n i 2 i 209,443 —————— ————— 2,992 n 70 2 i1 178 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 5. Amb les dades de la taula 14.3, comprova les propietats de la mitjana, la variància i la desviació típica. Per fer-ho, suma 2 i multiplica per 3 cada valor de la variable. Completa la taula amb les columnes necessàries per calcular x i x. Consum Número de calçat Nombre d’alumnes 35 36 37 38 40 42 4 15 17 20 10 4 yx2 x i2 x i2 n i xi ni xi · n i (0, 10] 5 8 40 25 200 (10, 20] 15 12 180 225 2 700 (20, 30] 25 10 250 625 6 250 (30, 40] 35 14 490 1225 17150 (40, 50] 45 21 945 2 025 42 525 (50, 60] 55 16 880 3 025 48 400 (60, 70] 65 9 585 4 225 38 025 90 3 370 6 yi ni 2 777 i1 y ———— ——— 39,67 x 2 n 70 6 7 y n i1 2 i i x n ( 7 √ 110 377 ———— 1 573,8222 2,992 y2 70 x y √2,992 1,73 x z 3x 6 6 2 j i 895 941 ———— 12 772,23 26,9271 70 2 2 2 i i ———— x 2 n –1 402,0864 322,9136 17,97 7. A partir de la taula següent, en què s’indica l’alçada i el pes de 24 alumnes de primer de batxillerat: i1 z ———— z 2 n 2 i1 155 250 90 7 911 i1 z ———— ——— 113,01 3x n 70 z n x n √ √ zi2 ni i i 3 370 i1 x ———— ——— 37,4 n 90 y2 ————— y 2 n 155 250 2 9x 3 x z √ 26,9271 5,19 3x 6. Les dades del consum de carburant d’una flota de camions al llarg d’un dia es poden observar a la taula de freqüències següent (taula 14.5): Consum de carburant Nombre de camions (0, 10] (10, 20] (20, 30] (30, 40] (40, 50] (50, 60] (60, 70] 8 12 10 14 21 16 9 Pes en kg 68 Alçada en cm 177 170 173 164 176 174 165 59 62 63 71 59 55 Pes en kg 51 Alçada en cm 165 172 174 188 153 158 161 Pes en kg 70 Alçada en cm 177 174 170 167 174 173 162 Pes en kg 59 Alçada en cm 179 163 156 58 66 55 83 58 52 80 58 49 72 58 57 64 55 la MATEMÀTIQUES 1 a) Calcula la mitjana i la desviació típica de cadascuna de les dues variables. X: «pes», Y: «alçada» 179 8. La classificació final de la lliga de futbol de primera divi­ sió de la temporada 1998-1999, després de 38 jornades, va ser: 24 xi 1 482 i1 x ——— ——— 61,75 kg n 24 24 √ i1 2 i ——— x 2 n x √ x 93 232 3 813,0625 24 √ 71,6042 8,4619 kg 24 y i 4 065 i1 y ——— ——— 169,375 kg n 24 24 √ y √ y i1 2 i ———— y2 n 690 043 28 687,8906 24 √ 63,9011 7,9938 cm Equips PG PE PP 1. Barcelona 30 6 2 2. R. Madrid 29 5 4 3. València 21 8 9 4. Vila-real 18 8 12 5. Sevilla 17 7 14 6. Athlètic 18 4 16 7. Atlético 17 7 14 8. Espanyol 15 4 19 9. Osasuna 13 8 17 10. Sporting 11 14 13 11. Màlaga 13 7 18 12. Racing 12 10 16 13. Saragossa 12 9 17 14. R. Societat 14 3 21 15. Llevant 12 9 17 16. Getafe 12 8 18 17. Mallorca 12 8 18 18. Deportivo 10 13 15 19. Hèrcules 9 8 21 20. Almeria 6 12 20 b) Dibuixa el diagrama de dispersió. Representa el diagrama de dispersió de les distribucions bidimensionals següents. Quin tipus de relació, directa o inversa, hi ha entre les dues variables en cadascun dels tres casos? a) Lloc a la classificació-partits guanyats. És inversa. c) La relació entre les dues variables, és directa o inversa? Raona la resposta. És directa, ja que el núvol de punts segueix una trajectòria creixent. d) Indica les coordenades del punt mitjà de la distribució. M(x, y) → M(61,75; 169,375) e) Comprova que el punt mitjà no forma part del diagrama de dispersió. Tal com s’observa a la gràfica de l’apartat b), el punt M no forma part del diagrama de dispersió. b) Lloc a la classificació-partits empatats. No es pot assegurar. 180 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 11. A partir d’aquest experiment amb dues variables: xi 0 4 6 8 12 14 16 22 26 yi 4 3 8 6 7 13 2 11 0 a) Calcula la covariància i el coeficient de correlació lineal. 9 x y i i 648 i1 xy ———— x y —— 126 n 9 c) Lloc a la classificació-partits perduts. 72 72 0 Directa. xy 0 xy xy r ——— ——— 0 b) Dibuixa el diagrama de dispersió. 9. Calcula xy de l’exemple de la taula 14.6 utilitzant la prime­ ra de les expressions de la covariància. 5 (x x)(y y)n i i i 21,8 xy ———————— ——— n 50 i1 c) Relaciona el valor del coeficient amb els punts del diagra­ ma de dispersió. No hi ha relació, ja que r 0. 0,436 12. Les alçades en polzades de 12 pares i els seus fills són les següents: 10. Donada la taula: xi 4 6 8 12 Pares 65 63 67 64 68 62 yi 2 3 4 6 Fills 68 66 68 65 69 66 Pares 70 66 68 67 69 71 Fills 68 65 71 67 68 70 Justifica mitjançant el càlcul de r, i sense dibuixar el núvol de punts, que els punts del diagrama de dispersió de la dis­ tribució se situen en una línia recta creixent. xy 4,375 xy 2,9580399 1,4790199 r ——— ——————————— 4,375 ——— 1 4,375 El núvol de punts són els punts d’una recta creixent. Calcula el coeficient de correlació lineal i extreu conclusions sobre la relació entre les dues variables estudiades. xy 3,3611111 xy 2,6562 1,80085 r ——— ———————— 0,7027 La relació entre les dues variables és lineal directa i bastant forta. la MATEMÀTIQUES 1 13. A partir de la taula de valors següent: ty 4,65 ty 5,766282,64764 181 rty ——— ————————— xi 2 4 5 6 8 11 yi 18 12 10 8 7 5 0,30458 20 t z c) a) Calcula el coeficient de correlació lineal. i1 i i tz ———— t z n ( xy 11,16 xy 2,886754,20317 r ——— ———————— 3 413 ——— 10,514,15 22,075 20 0,9203 22,075 x rtz ——— ————————— 5,766284,36205 tz b) Multiplica cada valor de xi de la taula per 2 i suma-li 6; multiplica cada valor de yi per 3 i resta-li 15. Troba el coe­ficient de correlació entre els dos nous sistemes de valors i explica per què s’obté o no el mateix resultat que abans. x i 2 x i 6 10 14 16 18 22 28 y i 3 yi 15 39 21 15 9 6 0 xy 67 xy 5,773512,6095 r ——— ———————— 0,87764 15. S’ha observat l’alçada X en metres i el pes Y en quilograms de 9 nadons i s’han obtingut aquests resultats: x 0,5; 0,026; y 3,4; x y 0,392, i xy 0,01 Calcula el coeficient de correlació lineal i escriu l’equació de la recta de regressió de Y sobre X. 0,01 xy r ——— —————— 0,98116 0,0260,392 xy 0,9203 A causa de les propietats de la mitjana, de la desviació tipus i de la covariància, el valor de r no varia. 14. Calcula la covariància i el coeficient de cor­relació lineal en els tres casos de l’exercici 8. T: «lloc en la classificació», X: «partits gua­nyats», Y: «partits empatats», Z: «partits perduts». 20 a) t x i i i1 tx ———— t x n x 0,01 y 3,4 ————— (x 0,5) → 0,000676 → y 14,793x 3,996 16. Cinc nens de 2, 3, 5, 7 i 8 anys d’edat pesen, respectiva­ ment, 14, 20, 30, 35 i 42 kg. X: «edat», Y: «pes» a) Calcula el coeficient de correlació lineal. 2 437 ——— 10,514,15 26,725 20 xy 22,8 r ——— ———————— 2,2803510,0876 xy tx 26,725 rtx ——— ————————— 5,766284,70399 tx 0,99116 0,98527 20 b) xy y y ——— (x x) 2 t y i i i1 ty ———— t y n 2 130 ——— 10,59,7 4,65 20 b) Escriu l’equació de la recta de regressió que expressa el pes en funció de l’edat. xy y y ——— (x x) 2 x 22,8 y 28,2 —— (x 5) → 5,2 → y 4,385x 6,277 182 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE c) Estima quant pesarà un nen de 6 anys. d) Estima el pes d’un o d’una alumna que mesura 162 cm. x 6 anys → y 162 cm → y 4,3856 6,277 32,6 kg x 0,23162 31,11 68,6 kg 17. Els pesos i les alçades de 12 alumnes són els que figuren en la taula següent: 18. Un centre comercial sap els clients que el poden visitar en funció de la distància, en quilòmetres, a què se situï d’un nucli de població, segons les dades que figuren a la taula següent: Pes en kg Alçada en cm 70 63 72 60 66 70 74 65 62 67 65 68 155 150 180 135 156 168 178 160 132 145 139 152 Nre. de clients (centenars) 8 7 6 4 2 1 Distància (quilòmetres) 15 19 25 23 34 40 X: «distància», Y: «nombre de clients» a) Calcula la covariància i el coeficient de correlació lineal. 6 x y i1 X: «pes», Y: «alçada» 51,361275 xy r ——— ———————— 3,9965314,88754 xy xy ———— x y n 603 —— 264,6 20,8333 6 ( a) Calcula el coeficient de correlació lineal. i i xy rxy ——— xy 20,8333 ———————— 0,95017 0,8632 8,56352,5604 b) Escriu l’equació de cadascuna de les dues rectes de re­ gressió. b) Dibuixa el diagrama de dispersió. xy y y ——— (x x) x2 ( ( 51,361113 y 154,16 ———— (x 66,83 ) → 15,9723 → y 3,22x 60,75 xy x x ——— (y y) y2 ( ( 51,361113 x 66,83 ———— (y 154,16 ) → 221,639 → x 0,23y 31,11 c) Dedueix l’alçada d’un alumne o una alumna que pesa 64 kg. x 64 kg y 3,2264 60,75 145,1 cm c) Si el centre comercial se situa a 30 km, quants clients pot tenir? xy y y ——— (x x) 2 x la MATEMÀTIQUES 1 b) Calcula r. ( 20,8333 y 4,6 ———— (x 26) → 73,333 2,6 xy r ——— ———————— → y 0,284x 12,053 1,612451,75784 xy 0,9173 x 30 km → → y 0,28430 12,053 3,53 → → 353 clients c) Quina nota de matemàtiques es pot esperar que tregui un alumne o una alumna que té un 7,5 de física? És fia­ble la predicció? xy x x ——— (y y) 2 19. La taula següent recull les qualificacions de 40 alumnes a les matèries de matemàtiques i física: Matemàtiques X 3 4 5 6 6 7 7 8 10 Física Y 2 5 5 6 7 6 7 9 10 Nre. d’alumnes 4 6 12 4 5 4 2 1 2 a) Troba les mitjanes i les desviacions típiques, escrivint prèviament les distribucions marginals de X i Y. y 2,6 x 5,5 —— (y 5,6) → 3,09 → x 0,84y 0,788 y 7,5 → x 0,847,5 0,788 7,1 És fiable perquè la relació entre les dues variables és lineal forta. 20. L’alçada mitjana d’una mostra de pares és d’1,68 m, amb una desviació tipus de 5 cm, i l’alçada mitjana d’una mostra dels seus fills és d’1,70 m, amb una desviació tipus de 7,5 cm. El coeficient de correlació entre les alçades de pares i fills és 0,7. xi 3 4 5 6 7 8 10 ni 4 6 12 9 6 1 2 yj 2 5 6 7 9 10 r 0,7 nj 4 18 8 7 1 2 a) Calcula la covariància de la distribució. X: «alçada dels pares», Y: «alçada dels fills» x 1,68; 0,05; y 1,7; 0,075 x xy xini 220 i1 x ——— ——— 5,5 n 40 7 √ x 2ni i1 i ———— x 2 n xy 0,70,050,075 0,002625 b) Estima l’alçada d’un fill sabent que la del seu pare és d’1,66 m. Y sobre X: xy y y ——— (x x) 2 √ 1314 ——— 30,25 √2,6 1,61245 40 6 y n x 0,002625 y 1,7 ———— (x 1,68) → 0,0025 → y 1,05x 0,064 j j 224 j1 y ——— ——— 5,6 n 40 6 √ y y n 2 j1 √ j j ———— y 2 n y r ——— → xy r xy 7 x 183 1378 ——— 31,36 √ 3,09 1,75784 40 x 1,66 m → → y 1,051,66 0,064 1,68 m c) Quina podem esperar que sigui l’alçada d’un pare si la del seu fill és d’1,72 m? X sobre Y: xy x x ——— (y y) 2 y 184 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 0,002625 x 1,68 ———— (y 1,7) → 0,005625 23. Les equacions de les rectes de regressió d’una distribució bidimensional són: ( ( 11y 7x 6, la de Y sobre X → x 0,46 y 0,886 2x 3y 1, la de X sobre Y y 1,72 → ( ( → x 0,46 1,72 0,886 1,69 m 21. En una fàbrica de components electrònics s’han seleccionat 12 treballadors, entre els que havien entrat a treballar du­ rant els tres últims mesos, s’ha observat el nombre de peces defectuoses que havien produït, i se n’ha obtingut la taula següent: Nombre de setmanes treballades ( X) Nombre de peces defectuoses ( Y) 7 9 6 14 8 12 10 4 2 11 1 8 26 20 28 16 23 18 24 26 38 22 32 25 a) Determina l’equació de la recta de regressió y ax b. xy y y ——— (x x) 2 x a) Troba r i indica el tipus de relació que hi ha entre les dues variables. 11y 7x 6 → → a —— —— 2 2x 3y 1 → 3 1 → x —y — → 2 2 xy 3 → c —— — 2 6 7 6 y —— x —— 11 11 3 1 x — y — 2 2 3 7 6 1 x — —— x —— — 2 11 11 2 21 9 1 x —— x —— — 22 11 2 1 29 —— x —— → x 29 → y 19 22 22 x 29, y 19 ( x2 y2 → x y 21 —— 0,977 22 b) Calcula la mitjana de cadascuna de les variables. c) Dedueix quina de les dues variables té una desviació típi­ ca més gran. xy 7 —— 2 —— —— — a x 11 14 — ——— ——— —— → 3 33 c xy y2 2 y2 14 y x 33 x 0,65134 d’on: x y √ → —— —— → —— 2 a y2 — 1 → —— 1 2 x 7 3 —— — 11 2 La relació és lineal directa molt forta. Les dues variables tindrien la mateixa desviació tipus: c √ √ ( ( Perquè els coeficients a i c tenen el mateix signe. r √ ac b) Estima el nombre de peces defectuoses que produiria un treballador amb cinc setmanes d’experiència. 22. Per què els quocients de les divisions entre els coeficients de x i de y de les rectes de regressió donen sempre com a resultat un nombre positiu? Què passaria en el cas que tots dos quocients fossin iguals a 1? Raona les respostes. 2 y → y 1,39 x 35,46 29 peces defectuoses 11 x 19,72 y 24,83 ——— (x 7,6 ) → 14,2219 x 5 → y 1,39 5 35,46 6 7 6 → y —— x —— → 11 11 xy 7 14 —— 33 la MATEMÀTIQUES 1 24. De dues variables, X i Y, es té la infor­mació següent: la variància de X és 3, la mitjana i la desviació tipus de Y són 1 i 2, respectivament, i l’equació de la recta de regressió de Y sobre X és 2x 3y 6. x2 3, y 1, y 2, 185 La primera nota de cada parell correspon a la primera prova, que està puntuada sobre 100 punts, i la segona nota és de la segona prova, puntuada sobre 50 punts. a) Dibuixa el diagrama de dispersió. 2 2x 3y 6 → y —x 2 3 Troba: a) La mitjana de X. 2 y 1 → 1 — x2 → 3 3 3 → x — → x — 2 2 b) La covariància de X i Y. xy 2 x 3 a —— — → 2 2 2 → xy —x2 —3 2 3 3 c) El coeficient de correlació lineal. xy 1 2 r —— ——— —— 0,57735 xy √ 32 √3 d) L’equació de la recta de regressió de X sobre Y. xy x x ——— (y y) → 2 y 3 2 → x — —— (y 1) 2 4 3 1 x — — (y 1) → 2 2 3 1 1 → x — — y — → 2 2 2 1 → x — y 2 2 Activitats finals 1. Els 30 alumnes d’una classe de primer de batxillerat van obtenir les notes següents en dues proves diferents de ma­ temàtiques: (73, 29), (41, 24), (83, 34), (71, 27), (39, 24), (60, 26), (51, 35), (41, 18), (85, 33), (88, 39), (44, 27), (71, 35), (52, 25), (74, 29), (50, 13), (42, 13), (85, 40), (53, 23), (85, 42), (44, 22), b) Calcula el coeficient de correlació lineal. xy 103,36779 xy 17,61917,5828 r —— ———————— 0,7737 c) Compara els dos resultats per donar la màxima informa­ ció sobre la relació existent entre les dues notes. La relació entre les dues notes és lineal, directa i bastant forta. 2. A partir de la taula de valors següent, calcula el coeficient de correlació lineal i analitza’n el significat. Escriu l’equació de cadascuna de les dues rectes de regressió. y x 1 2 3 4 1 5 1 2 6 1 4 3 2 1 4 1 1 3 xy 0,425 xy 1,071210,74162 r —— ————————— 0,53497 → relació indirecta dèbil Y sobre X: xy y y ——— (x x) 2 x (66, 25), (60, 21), (33, 26), (43, 19), (76, 29), 0,425 y 2,5 ———— (x 2,55) → 1,1475 (51, 25), (57, 19), (25, 17), (40, 17) i (76, 35). → y 0,37x 3,44 186 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE X sobre Y: a) Anys-Accions. xy x x ——— (y y) 2 xy 14,728 xy 2,872287,19553 y rxy —— ————————— 0,425 x 2,55 ——— (y 2,5) → 0,55 0,7126 → x 0,773y 4,48 3. En una distribució bidimensional s’han obtingut els paràme­ tres estadístics següents: x 5, y 6, 2 5; 2 8,5 i r 0,997 x Existeix una relació lineal directa bastant forta entre els anys i les accions. b) Anys-Obligacions. y Calcula la covariància i escriu l’equació de la recta de regres­ sió que expressa la variable X en funció de la variable Y. xy r ——— → xy r xy xy 0,997√5 √8,5 6,5 xy x x ——— (y y) 2 4. La taula següent expressa el preu mitjà dels preus en dòlars de les accions i obligacions a la borsa de Nova York entre els anys 1950 i 1959: Anys Accions Obligacions 1950 32,22 102,43 1951 39,87 1952 xz 2,872283,06096 La relació entre els anys i les obligacions és lineal inversa i bastant forta. c) Accions-Obligacions. yz 10,9416 yz 7,195533,06096 ryz —— ————————— y 6,5 x 5 —— (y 6) → x 0,765y 0,412 8,5 7,111 0,8088 X sobre Y: xz rxz —— ————————— 0,4968 La relació és lineal inversa força dèbil entre les accions i les obligacions. 5. El consum d’energia per càpita en milers de kWh i la renda per càpita en milers de dòlars en sis països de la UE són els següents: Consum Renda Alemanya 5,7 11,1 100,93 Bèlgica 5,0 8,5 41,85 97,43 Dinamarca 5,1 11,3 1953 43,23 97,81 Espanya 2,7 4,5 1954 40,06 98,32 França 4,6 9,9 1955 53,29 100,07 Itàlia 3,1 6,5 1956 54,14 97,08 1957 49,12 91,59 1958 40,71 94,85 1959 55,15 94,65 X: «renda»; Y: «consum» a) Calcula r i interpreta’n el resultat. xy r —— xy A partir d’aquestes dades calcula el coe­fi­cient de correlació lineal entre les variables. Interpreta cadascun dels resul­ tats. X: «anys»; Y: «accions»; Z: «obligacions» 2,5078 ———————— 0,93179 2,46491,0919 Existeix una relació lineal directa i forta entre les dues variables. la MATEMÀTIQUES 1 b) Quina predicció podem fer sobre el consum d’energia per càpita a Grècia si sabem que en aquest país la renda és de 4,4 milers de dòlars? És fiable la predicció obtinguda? a) Quina és la mitjana del nombre de llibres prestats en el conjunt de totes les biblioteques? 6 y Y sobre X: i 1710 i1 y ——— ——— 285 llibres n 6 xy y y ——— (x x) x2 b) Escriu la recta de regressió que expressa el nombre de llibres que hi ha en préstec en funció de l’afluència de lectors. ( 2,5078 y 4,36 ———— (x 8,63) → 6,0755 ( 187 Y sobre X: → y 0,413x 0,803 xy y y ——— (x x) 2 x x 4,4 → y 0,4134,4 0,803 ( 46,6 y 285 ——— (x 1,5) → 0,43 2,6 milers de kWh La predicció és molt fiable, ja que r 1. → y 108,53x 122,21 6. A partir d’un estudi estadístic realitzat a una mostra de 100 estudiants, s’ha observat una alçada mitjana de 155 cm, amb una desviació tipus de 15,5 cm. A més, es va obtenir la recta de regressió de X (pes en quilograms) sobre Y (alçada en centímetres): 2 160 c) Si acudissin 1 500 lectors a una biblioteca, quants llibres es deixarien en préstec? x 1,5 és la mitjana de la variable X; per tant, y 285 llibres. 8. La creixent inclinació de la torre de Pisa ha generat nom­ brosos estudis sobre la seva futura estabilitat. En la tau­ la següent es presenten les mesures de la seva inclinació entre els anys 1978 i 1982. Les dades d’inclinació s’han codificat com a dècimes de mil.límetre que depassen els 2,9 m, de manera que la inclinació l’any 1978, que va ser de 2,9667 m, apareix en la taula com a 667. x —y —— 3 3 Determina: a) El pes mitjà dels 100 estudiants. y 155 cm → 2 160 → x —155 —— 50 → 3 3 → x 50 kg b) La covariància de X i Y. 2 xy — —— → 3 y2 Any Inclinació Any Inclinació 1978 1979 1980 1981 1982 667 673 688 696 698 1983 1984 1985 1986 1987 713 717 725 742 757 X: «anys»; Y: «inclinació» ( 2 2 → xy —y2 —15,52 160,16 3 3 a) Creus que la inclinació de la torre té una tendència lineal que augmenta amb el temps? Justifica’n la resposta. c) El signe del coeficient de correlació en­­ tre el pes i l’alçada. xy 77,8 xy 2,8722827,38686 r —— —————————— r 0 perquè xy 0. 0,98903 7. A les biblioteques de sis poblacions s’ha analitzat l’afluència de lectors (X en milers de persones) i el nombre de llibres prestats (Y). Les dades es recullen en la taula següent: X 0,5 1 1,3 1,7 2 2,5 Y 180 240 250 300 340 400 Efectivament, existeix una tendència lineal creixent, ja que r 1. b) Calcula la recta de regressió de la inclinació sobre el temps. Y sobre X: xy y y ——— (x x) 2 x 188 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 77,8 y 707,6 ——— (x 1 982,5) → 8,25 → y 9,43x 17 987,976 c) El 1918 la inclinació de la torre era de 2,9071 m. Quin seria el valor ajustat segons la recta que has obtingut en l’apartat anterior? A què és deguda la diferència entre els dos valors? x 1 918 → → y 9,431 918 17 987,976 10. Les equacions de les rectes de regressió d’una distribució bidimensional són: 2 26 y —x ——, la de Y sobre X. 3 3 x 0,5y 7, la de X sobre Y. a) Calcula la mitjana de cada variable. 2 26 y —x —— 3 3 x 0,5y 7 La inclinació estimada seria de 2,9099 m. La diferència entre els dos valors es produeix perquè l’any 1918 és molt més petit que el primer any que apareix a la taula, per tant, el valor estimat no és fiable. 9. Durant un mes s’han observat les despeses de manutenció i l’ingrés total de 6 famílies, i els resultats obtinguts són: Ingressos en milers d’ 1,5 1,8 2,4 2,8 3,2 3,2 2,4 3,2 3,6 4,2 4,4 4,5 a) Calcula el coeficient de correlació lineal. xy 0,4769 xy 0,74480,65426 b) Determina l’equació de la recta de regressió que expressa les despeses en funció dels ingressos. x y √ √ 2 1 — — 3 2 1 — 3 c) Quina de les dues variables té una desviació típica més gran? Justifica’n la resposta. 2 xy —— 2 — —— 2 — a x 3 4 — ——— ——— — → 1 3 c xy 2 y 2 xy y 4 y x 3 x d’on: x 0,4769 y 2,483 ———— (x 3,716 ) → 0,55472 √ 4 — 3 y —— 1,1547 → x c) Quines despeses tindria una família amb un ingrés men­ sual de 3 800 ? x 3,8 → y 0,86 3,8 0,712 x y d) Calcula el valor de n tal que x ny. → y 0,86 x 0,712 2,6 milers d’ 1,1547 y y ——— (x x) 2 ( √ xy xy —— ——2 2 → —— — → —— 2 ( r r —— ————————— 0,97867 Y sobre X: b) Troba el coeficient de correlació lineal. 0,57735 X: «ingresos»; Y: «despeses» 2 1 26 y — —y 7 —— 3 2 3 1 14 26 y —y —— —— 3 3 3 2 —y 4 → y 6 3 1 x —6 7 2 3 7 4 → x 4 98,764 99 Despeses en milers d’ 6 x 1 y 1,1547 → —— ——— 0,866 → → x 0,866y Per tant: n 0,866 la MATEMÀTIQUES 1 11. En una mostra de dotze individus s’han estudiat dues varia­ bles, de les quals sabem que: 12 x 6, x √ 6, y i1 2 i 380 Al mateix temps, se sap que l’equació de la recta de regres­ sió que expressa X en funció de Y és: x 0,89y 1,55 Calcula: a) La mitjana i la variància de la variable Y. x 6 → 6 0,89y 1,55 → 4,45 → 0,89y 4,45 → y ——— 5 → 0,89 → y 5 i n 2 380 —— 25 6,6 ( y —— y 2 2 y 12 b) La covariància i el coeficient de correlació lineal. xy xy c —— → 0,89 —— → 2 2 y y ( ( xy 4. En 4 viatges del trajecte Barcelona-Girona un conductor ha observat les velocitats mitjanes i els consums de gasolina se­ güents: Velocitat x (km/h) Consum y (L/100 km) 105 6,5 117 7,5 90 6 120 8,2 a) Calcula les variàncies de les variables x i y, la covariància i el coeficient de correlació. Escriu les expressions algè­ briques corresponents. 11,8110 X = 108 σ x = 13,6382 0,8559 Y = 7,05 σ y = 1,6295 σ xy = 9,6 r = 0,9497 b) Escriu la recta de regressió de y respecte x. y 5 0,00688x 0,382 c) Quin consum es podria esperar d’un viatge fet a 130 km/h de mitjana? D’un viatge fet a 130 km/h de mitjana es podria esperar un consum de 8,562 L cada 100 km. ( → xy 0,89y2 0,896,6 5,93 189 5,93 ( r —— —————— 0,93814 xy √6 √6,6 c) L’equació de la recta de regressió de Y sobre X. xy y y ——— (x x) → 2 x 5. En l’estudi de quatre distribucions entre dues variables, s’han obtingut els coeficients de correlació següents: a) 0,2; b) –0,8; c) 0,001; d) 0,7. Raona, en cada cas, el tipus i la intensitat de la correlació entre les variables. a) 0,2: correlació feble positiva. b) –0,8: correlació forta negativa. c) 0,001: pràcticament no hi ha correlació entre les dues variables. ( 5,93 → y 5 ——— (x 6) 6 d) 0,7: correlació forta positiva. ( y 5 0,98(x 6) → ( ( → y 5 0,98x 5,93 jUnitat 15. Probabilitat ( ( y 0,98x 0,93 Avaluació 1. Si estudiem les qualificacions de matemàtiques i educació física dels alumnes d’un centre obtenim un coeficient de correlació entre dues variables igual a 20,02. Com interpre­ taries aquest resultat? El signe negatiu indica una posició decreixent dels punts, el valor tan proper a 0 indica molt poca correlació lineal. 2. Explica què significa distribució bidimensional, posa’n un exemple. Activitats 1. Escriu l’espai de successos S associat a l’experiment aleatori E: «llançar una moneda enlaire». S {{c}, {x}, {c, x}, ∅} 2. Utilitzant nombres combinatoris, demostra que el nombre de successos associats a un experiment aleatori de 3, 4 i n elements és, respectivament, 8, 16 i 2n. Resposta oberta. 3. La mitjana dels pesos d’una població és de 65 kg i la de les altu­ res és de 170 cm, les desviacions típiques són de 5 kg i 10 cm, respectivament, i la covariància d’ambdues variables és de 40. Calcula la recta de regressió dels pesos respecte de les altures. Què pots preveure que pesarà un individu de 180 cm d’alçada? y 5 0,4x­­2 3 Per un individu de 180 cm d’alçada el pes seria 69 kg. 0123 3 3 0 3 13318 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4 1 4 6 4 1 16 n n n n ... 1 2 n1 n (1 1)n 2n n 3 LA 190 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 3. Es consideren els successos A: «obtenir un nombre primer» i B: «obtenir un nombre més petit que 10» de l’experiment alea­tori E: «treure una bola d’una urna amb 20 boles nume­ rades de l’1 al 20». a) Defineix A i B per extensió. A {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 5. Demostra que A B i B A constitueixen successos incom­ patibles. (A B) (B A) (A B) (B A) A ( B B) A A A 6. Justifica mitjançant diagrames les igualtats següents: a) A B A (A B) A B b) Troba els successos. A, B, A B, A B, A B, A B, A B i B A A {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20} b) B A B (A B) A B B {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} A B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 17, 19} A B {2, 3, 5, 7} A B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20} A B {2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 7. Demostra gràficament la propietat 7 de les operacions amb successos. 19, 20} A B {11, 13, 17, 19} B A {1, 4, 6, 8, 9} c) Defineix els successos de l’apartat b) per comprensió. A: «obtenir un nombre compost» B: «obtenir un nombre major que 9» A B: «obtenir un nombre primer o més petit que 10» A B: «obtenir un nombre compost o més petit que 10» A B: «obtenir un nombre compost o més petit que 10» A B: «obtenir un nombre primer o major que 9» A B: «obtenir un nombre primer o major que 10» B A: «obtenir un nombre més petit que 10 i no primer» 8. Si A i B són dos successos tals que A B, justifica que: a) A B A 4. Justifica raonadament: a) A B A i A B B Sempre que es verifica A B es verifica A i es verifica B, aleshores A B A i A B B. b) A B B b) A A B i B A B Sempre que es verifica A es verifica A B, aleshores A A B, i sempre que es verifica B es verifica A B; per tant, B A B. c) A B A B Sempre que es verifica A B es verifica A i es verifica B, aleshores també es verifica A B; per tant, A B A B. d) A A, A i B Qualsevol succès està inclos en si mateix. El succès impossible esta inclòs sempre en qualsevol succès. c) B A MATEMÀTIQUES 1 d) A B la 191 D: «extreure una carta que sigui copes» → Card (D) 12. 12 1 p(D) —— — 48 4 11. D’una classe on hi ha 20 noies i 15 nois escollim dos alum­ nes a l’atzar. e) A B Calcula la probabilitat que: a) Siguin dues noies. A: «que siguin dues noies» 9. En l’experiment aleatori E: «llançar dos dardells a la dia­ na», considerem els successos A: «fa diana amb el primer» i B «fa diana amb el segon». Expressa en funció d’A i B els successos: a) Fa diana amb el primer, però no amb el segon. A B b) Fa diana amb algun dels dos. AB c) Falla tots dos. A B d) Fa diana amb només un. (A B) (B A) 10. En l’experiment aleatori «extreure una carta d’una baralla de 48 cartes», calcula la probabilitat dels successos següents: a) Treure una carta que sigui un nombre primer. A: «extreure una carta que sigui un nombre primer» → Card (A) 20. 20 5 p(A) —— —— 48 12 b) Que la carta que extraiem no sigui un as. B: «extreure una carta que no sigui as» → Card (B) 44. 44 11 p(B) —— —— 48 12 c) Que sigui una figura d’espases. C: « extreure una figura d’espases» → Card (C) 3. 3 1 p(C) —— —— 48 16 d) Treure una carta de copes. 20 19 ——— C20,2 2 10 19 p(A) ——— ———— ——— 35 34 35 17 C35,2 ——— 2 219 38 ——— —— 717 119 b) Siguin un noi i una noia. B: «que siguin un noi i una noia» 20 15 20 15 20 15 p(B) ——— ———— ——— 35 34 35 17 C35,2 ——— 2 20 3 60 ——— —— 7 17 119 c) Entre els escollits hi hagi un alumne o una alumna deter­ minats. C: «que hi hagi l’alumne x» 34 34 2 p(C) ——— ———— —— 35 34 35 C35,2 ——— 2 12. A la cua de la taquilla d’un cinema hi ha 14 persones. Quina és la probabilitat que dues persones determinades estiguin juntes? A: «que dues persones determinades estiguin juntes» 13 P2 13 2 p(A) ——— ——— 14! P14 13 2 1 ————— ——— 14 13 12! 7 12! 13. Calcula la probabilitat que quan girem una fitxa de dòmino s’obtingui: a) Un nombre de punts més gran que 8. A: «obtenir més de 8 punts» 6 3 p(A) —— —— 28 14 LA 192 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE b) Un nombre de punts que sigui múltiple de 3. B: «obtenir un nombre de punts que sigui múltiple de 3» 9 p(B) —— 28 c) Un nombre de punts que sigui més gran que 8 i múltiple de 3. 3 C A B → p(C) —— 28 d) Una fitxa doble. D: «obtenir una fitxa doble» a) Suma de punts igual a 10. A: «obtenir 10 punts» 3 1 p(A) —— —— 36 12 b) Suma de punts senars. 16. Donats dos successos A i B, tals que 3 1 5 p(A) —, p(B) — i p(A B) —, 8 2 8 calcula: p(A B), p( A), p( B), p( A B), p(A B), p( A B) i p(A B). p(A B) p(A) p(B) p(A B) p(A B) p(A) p(B) p(A B) 18 1 p(B) —— — 36 2 c) Almenys un 6 en un dels daus. C: «obtenir almenys 6 punts en un dau» 11 p(C) —— 36 d) Només un 6 en un dau. D: «obtenir només un 6 en un dau» 3 1 5 2 1 ————— 8 2 8 8 4 3 5 p( A) 1 p(A) 1 — — 8 8 1 1 p( B) 1 p(B) 1 — — 2 2 p( A B) p(A B) 1 p(A B) B: «obtenir un nombre senar de punts» 11 p(C) —— 16 7 1 p(D) —— — 28 4 14. Llancem dos daus enlaire. Calcula la probabilitat d’obtenir: C: «obtenir almenys 2 cares» 5 3 1—— 8 8 1 3 p(A B) 1 p(A B) 1 — — 4 4 1 1 1 p( A B) p(B) p(A B) — — — 2 4 4 3 1 1 p(A B) p(A) p(A B) — — — 8 4 8 10 5 p(D) —— —— 36 18 17. Sabem que la probabilitat que demà plogui és 0,4; que plogui demà passat és 0,3 i que plogui cadascun dels dos dies, 0,2. 15. Es tira una moneda enlaire 4 vegades. Quina és la probabilitat que surtin 4 cares? I que surtin 2 cares i 2 creus? I almenys 2 creus? p(A) 0,4, p(B) 0,3 i p(A B) 0,2 a) Plogui, com a mínim, un dels dos dies. A: «obtenir 4 cares» 1 p(A) —— 16 B: «obtenir 2 cares i 2 creus» Calcula la probabilitat que: 6 3 p(B) —— — 16 8 p(A B) p(A) p(B) p(A B) 0,4 0,3 0,2 0,5 b) No plogui cap dia. p( A B) p(A B) 1 p(A B) 1 0,5 0,5 MATEMÀTIQUES 1 c) Només plogui demà. p(A B) p(A) p(A B) 0,4 0,2 0,2 d) Plogui només un dels dos dies. p[(A B) ( A B)] p(A B) p( A B) p(A) p(A B) p(B) p(A B) p(A) p(B) 2p(A B) 0,4 0,3 20,2 0,3 18. Un dau està trucat, de manera que les probabilitats d’obtenir les diferents cares són proporcionals als nombres que hi fi­ guren. Sigui Si {i}, i 1, 2, 3, 4, 5, 6 Tenim que: 193 19. Llancem dos daus i considerem el nombre de punts de les cares superiors. Calcula la probabilitat dels successos següents: a) A: «el nombre de punts de les dues cares superiors suma 7». 6 1 p(A) —— — 36 6 b) B: «el producte dels nombres de les cares superiors és 12». 4 1 p(B) —— — 36 9 c) A B; A B; A; B. 2 1 p(A B) —— ——; 36 18 8 2 p(A B) —— —; 36 9 p(S6) 6p(S1), p(S5) 5p(S1), p(S4) 4p(S1), p(S3) 3p(S1), p(S2) 2p(S1) la 1 5 p( A) 1 p(A) 1 — —; 6 6 1 8 p( B) 1 p(B) 1 — — 9 9 i per tant: p(S6) p(S5) p(S4) p(S3) p(S2) p(S1) 6p(S1) 5p(S1) 4p(S1) 3p(S1) 2p(S1) p(S1) 1 21p(S1) 1 → p(S1) —— 21 Si llancem el dau una vegada, calcula la probabilitat de: a) Cadascun dels successos elementals. 1 2 p(S1) ——, p(S2) ——, 21 21 3 1 4 p(S3) —— —, p(S4) ——, 21 7 21 5 6 2 p(S5) —— i p(S6) —— — 21 21 7 b) Obtenir un nombre més gran que 4. B: «obtenir més de 4 punts» 5 2 11 p(B) p(S5) p(S6) —— — —— 21 7 21 c) Aconseguir un nombre senar. C: «obtenir un nombre senar de punts» p(C) p(S1) p(S3) p(S5) 1 1 5 9 3 —— — —— —— — 21 7 21 21 7 20. Demostra que, efectivament, la independència de successos és simètrica. Si B és independent de A → p(B/A) p(B) D’on: p(A B) p(A)p(B/A) p(A)p(B) i també p(A B) p(B A) p(B)p(A/B) → p(A)p(B) p(B)p(A/B) 6 Per tant: p(A/B) p(A) → A és independent de B 21. Sabent que: p(A) 0,3; p( B) 0,6 i p(A/B) 0,32 calcula: p(A B), p(A B), p(A/ B), p(B/A) p(A B) i p( B/ A) p(A B) p(B A) p(B)p(A/B) 0,40,32 0,128 p(A B) p(A) p(B) p(A B) 0,3 0,4 0,128 0,572 194 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE p(A B) p(A) p(A B) ———————— p(A/ B) ————— p( B) p( B) 0,3 0,128 0,172 —————— ——— 0,287 0,6 0,6 p(A B) 0,128 p(B/A) ————— ——— 0,427 p(A) 0,3 p(A B) 1 p(A B) 1 0,572 0,428 p( B A) p(B A) ————— p( B/ A) ————— p( A) p( A) 0,428 p(A B) ——— 0,61143 ————— 0,7 p( A) b) Que sigui defectuós, si sabem que és de capçal rodó. 25. Disposem de 2 bosses amb boles blanques, vermelles i negres. En una bossa hi ha 3 boles blanques, 4 de vermelles i 5 de negres. L’altra bossa conté 5 de boles blanques, 7 de vermelles i 2 de negres. Si agafem una bola de cada bossa, quina proba­ bilitat hi ha que siguin del mateix color? B: «obtenir bola blanca» V: «obtenir bola vermella» N: «obtenir bola negra» S: «obtenir les dues boles del mateix color» 22. Indica la probabilitat de la unió de dos successos indepen­ dents. p(S) p(B1 B2) p(V1 V2) p(N1 N2) p(A B) p(A) p(B) p(A B) p(A) p(B) p(A) p(B/A) p(A) p(B) p(A)p(B) 23. Calcula la probabilitat p(B/A) en aquests casos: p(B1)p(B2) p(V1)p(V2) a) A B AB → ABA → → p(A B) p(A) D’on: p(A B) p(B/A) ————— 1 p(A) b) A B A B → p(A B) 0 D’on: p(A B) p(B/A) ————— 0 p(A) 24. Tenim una caixa amb 5 cargols de capçal rodó, dos dels quals són defectuosos, i 8 cargols de capçal quadrat, dels quals només 3 són correctes. Escollim un cargol a l’atzar. Calcula la probabilitat: Q: «obtenir un cargol de capçal quadrat» D: «obtenir un cargol defectuós» 1 5 1 1 p(N1)p(N2) ——— —— 4 14 3 2 5 1 —— — 12 7 5 1 5 53 —— — —— —— 56 6 84 168 26. A les últimes eleccions municipals, a la ciutat A els grocs han obtingut el 20 % dels vots; els verds el 30 %, i els gri­ sos el 50 %. A la ciutat B, els percentatges respectius han estat: 40 %, 45 % i 15 %. Escollim una de les dues ciutats a l’atzar i una persona que hi visqui. Quina probabilitat hi ha que aquesta persona hagi votat el partit groc? Suposant que la persona escollida hagi votat efectivament el partit groc, quina probabilitat hi ha que visqui a la ciutat A? A: «escollir la ciutat A» B: «escollir la ciutat B» G: «escollir una persona que hagi votat el partit groc» p(G) p(A G) p(B G) p(A)p(G/A) p(B)p(G/B) 0,50,2 0,50,4 0,1 0,2 0,3 p(A)p(G/A) 0,50,2 p(A/G) ——————— ———— p(G) 0,3 0,1 ——— 0,3 0,3 ( a) Que sigui de capçal quadrat, si sabem que és correcte. 3 —— 13 1 p(Q D) ——— — p(Q/ D) ————— p( D) 6 2 —— 13 2 —— 13 2 p(D Q) ——— — p(D/ Q) ————— p( Q) 5 5 —— 13 la MATEMÀTIQUES 1 27. Un joier compra els rellotges a dues cases proveïdores. La primera li serveix el 60 % dels rellotges, dels quals el 0,4 % són defectuosos. La segona li proporciona la resta, essentne defectuosos l’1,5 %. Un dia, el joier, quan es disposa a vendre un rellotge, observa que no funciona. Troba la proba­ bilitat que el rellotge procedeixi de la segona casa proveïdora. Si el rellotge venut funcionés correctament, troba la probabili­ tat que provingui del primer proveïdor. A: «escollir un rellotge de la primera casa proveïdora» B: «ídem de la segona casa proveïdora» D: «escollir un rellotge defectuós» p(B) p(D/B) p(B/D) —————————————— p(A)p(D/A) p(B)p(D/B) 0,40,015 ——————————— 0,60,004 0,40,015 0,006 ——— 0,7143 0,0084 p(A)p( D/A) p(A/ D) —————————————— p(A)p( D/A) p(B)p( D/B) 0,60,996 0,5976 ——————————— ——— 0,6027 0,60,996 0,40,985 0,9916 28. En un institut s’organitza una excursió a una estació d’esquí. El 65 % dels alumnes viatjarà en un autobús gran i la resta ho farà en un de petit. Es coneix que el 90 % dels alumnes que viatja a l’autobús petit sap esquiar, mentre que dels alumnes que viatgen a l’autobús gran saben esquiar el 60 %. S’escull un o una alumne/a a l’atzar i resulta que no sap esquiar. Quina probabilitat hi ha que viatgi a l’autobús pe­ tit? I si sap esquiar, quina probabilitat hi ha que viatgi al gran? G: «escollir un alumne de l’autobús gran» p(G)p(S/G) p(G/S) —————————————— p(G)p(S/G) p( G)p(S/ G) 0,650,6 0,39 —————————— ———— 0,553 0,650,6 0,350,9 0,705 Punt final Aplicant els continguts de la probabilitat estudiats en aques­ ta unitat, calcula les probabilitats dels successos plantejades pel cavaller De Méré a Blaise Pascal, és a dir, la probabilitat d’obtenir almenys un sis quan llancem un dau quatre vegades, i la probabilitat d’obtenir almenys un doble sis quan llancem dos daus 24 vegades. En llançar un dau quatre vegades, es defineix: A: «obtenir almenys un sis» 453 652 45 1 p(A) ——————————— 64 500 150 20 1 671 —————————— ——— 0,5177 1 296 1 296 En llançar dos daus 24 vegades es defineix: B: «obtenir almenys un doble sis» 35 p(B) 1 —— 36 1 0,5086 0,4914 Activitats finals 1. Si A i B són dos successos tals que p(A) 0,4; p( A B) 0,9 i p(A B) 0,8; A i B són incompatibles? Són independents? Justifica ambdues respostes. p( A B) p(A B) 0,9 → p(A B) 1 p(A B) 1 0,9 0,1 Com que: S S p(A B) 0 → A B → A i B no són incompatibles. S p(A B) p(A) p(B) p(A B) → S 24 p(A) p(B) S: «escollir un alumne que sap esquiar» 0,6 G 0,65 0,4 0,9 0,35 G 0,1 → p(B) p(A B) p(A B) p(A) 0,8 0,1 0,4 0,5 p( G)p( S/ G) p( G/ S) —————————————— p(G)p( S/G) p( G)p( S/ G) 0,350,1 0,035 —————————— ———— 0,1186 0,650,4 0,350,1 0,295 195 p(A)p(B) 0,40,5 0,2 p(A B) 0,1 6 p(A B) p(A)p(B) → A i B no són independents. 196 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 2. Suposem que A i B són dos successos independents tals que la probabilitat que succeeixi algun dels dos és de 0,7 i la probabilitat que succeeixin tots dos alhora és de 0,2. Calcu­ la p(A) i p(B). p(A B) p(A) p(B) p(A B) → → p(A) p(B) p(A B) p(A B) e) p( A/B) p( A/B) 1 p(A/B) 7 8 1 —— —— 15 15 f) p(A/ B) 0,7 0,2 0,9 En ser independents: p(A B) p(A)p(B) → → p(A)p(B) 0,2 p(A) p(B) 0,9 p(A)p(B) 0,2 6 p(A) 0,5, p(B) 0,4 o p(A) 0,4, p(B) 0,5 3. Dels successos A i B sabem que 1 p( A B) —; 5 2 3 p(A) —; p( B) — 3 4 p(A B) p(A/ B) ————— p( B) 2 7 — —— p(A) p(A B) 3 60 —————— ————————— 3 p( B) — 4 11 —— 20 11 ——— —— 3 15 — 4 4. Demostra que, si A i B són dos successos independents, tam­ bé ho són els successos A i B. p( A B) p(A B) 1 p(A B) 1 [p(A) p(B) p(A B)] 1 [p(A) p(B) p(A)p(B)] Calcula: 1 4 1 p( A B) 1 — — 5 5 b) p(A B) p(A B) p(A) p(B) p(A B) → → p(A B) p(A) p(B) p(A B) c) p(B/A) 2 1 4 7 — — — —— 3 4 5 60 7 —— p(A B) 60 7 p(B/A) ————— ——— —— p(A) 2 40 — 3 d) p(A/B) p(A B) p(A/B) ————— p(B) 7 —— 60 7 ——— —— 1 15 — 4 [1 p( A)][1 p( B)]} p(A B) 1 p(A B) 1 {1 p( A) 1 p( B) a) p(A B) p( A) 1 p( B) [1 p( A)][1 p( B)] p( A) 1 p( B) 1 p( A) p( B) p( A)p( B) p( A)p( B) 5. Calcula la probabilitat que en llançar quatre vegades un ma­ teix dau la suma dels punts obtinguts sigui diferent de 4 i de 24. A: «obtenir una suma de punts igual a 4 o 24» A {(1, 1, 1, 1), (6, 6, 6, 6)} 2 2 1 p(A) — ——— —— → 1296 648 64 1 647 → p( A) 1 p(A) 1 —— —— 648 648 6. En una sala en què hi ha 20 persones, 14 de les quals llegei­ xen el diari, 10 prenen cafè i 8 fan totes dues coses. Si selec­ cionem dues persones a l’atzar, calcula la probabilitat que: la MATEMÀTIQUES 1 a) Totes dues prenguin cafè i no llegeixin el diari. A: «dues persones prenguin cafè i no llegeixin el diari» 1 C2,2 p(A) ——— ———— 2019 C20,2 ——— 2 1 1 ——— —— 1019 190 b) Totes dues només facin una de les dues coses. B: «les dues només facin una cosa» C6,2 C2,2 62 p(B) ————————— C20,2 65 —— 1 12 2 15 1 12 ———————— —————— 1019 190 28 14 —— —— 190 95 c) Cap de les dues no faci res. 8. Calcula la probabilitat que en llançar un dau la suma dels punts de les cares visibles sigui més gran que 18. A: «suma de punts de les cares visibles sigui més gran que 18» B: «punts de la cara no visible sigui 1 o 2» → B {1, 2} 2 1 p(A) p(B) — — 6 3 9. D’una caixa que conté 5 boles numerades de l’1 al 5: a) Extraiem una bola rere l’altra fins a treure-les totes. Qui­ na probabilitat hi ha que surtin en l’ordre natural? A: «que surtin en ordre natural» 1 1 1 p(A) —— — —— P5 5! 120 b) S’extreu una bola i es retorna a la caixa, i es repeteix això cinc vegades. Quina és ara la probabilitat que surtin en l’ordre natural? Quina probabilitat hi ha que surti les cinc vegades la mateixa bola? 1 1 1 p(A) ——— — ——— 5 VR5,5 5 3 125 C: «cap de les dues no faci res» B: «que surti la mateixa bola» 43 —— C4,2 2 23 p(C) ——— ———— ———— 1019 1019 C20,2 3 3 ——— —— 519 95 d) Totes dues facin ambdues coses. D: «les dues facin les dues coses» 87 —— C8,2 2 47 p(D) ——— ———— ———— 1019 1019 C20,2 27 14 ——— —— 519 95 7. Determina la probabilitat d’obtenir a la Loteria primitiva 6 encerts, 5 encerts i el complementari, i 4 encerts jugant una sola combinació de 6 nombres. A: «6 encerts» 1 1 p(A) ——— ————— C49,6 13 983 816 B: «5 encerts i el complementari» 6 1 C6,51 p(B) ——— ————— ———— C49,6 13 983 816 2 330 636 5 5 1 1 p(B) ——— — — —— 5 4 VR5,5 5 5 625 10. Cinc persones es troben a l’interior d’un ascensor situat a la planta baixa d’un edifici que consta de planta baixa i sis pisos. Suposant que totes tenen la mateixa probabilitat de baixar en qualsevol dels sis pisos, calcula les probabilitats següents: a) Que totes les persones baixin al mateix pis. A: «que totes baixin al mateix pis» 1 5 6 1 p(A) 6 — — — 6 65 64 1 ——— 0,000772 1 296 b) Que no baixi ningú als tres primers pisos. B: «que no baixi ningú als tres primers pisos» 5 — 0,0649 6 5 5 5 5 5 p(B) — — — 6 6 6 5 15 c) Que als cinc primers pisos baixi una persona a cada pis. C: «que baixi una persona a cada pis dels cinc primers pisos» C: «4 encerts» 13 545 645 C6,4C43,2 p(C) ————— ————— ———— 13 983 816 665 896 C49,6 197 1 5 4 1 5 3 1 5 2 p(C) — — — — — — 6 6 6 6 6 6 1 5 1 1 5 5 ——— — — 6 6 6 6 6 10 0,0000207 198 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 11. Un estudiant s’ha preparat 22 temes d’un programa compost de 30 temes, dels quals surten 3 per sorteig. Calcula la pro­ babilitat que: a) Respongui correctament dos temes. A: «respongui correctament 2 temes» 2221 ——— 8 C22,2C8,1 2 p(A) ————— —————— C30,3 302928 ————— 32 11218 1132 66 —————— ———— —— 102914 529 145 b) No respongui correctament cap dels tres temes. B: «no respongui correctament cap dels 3 temes» 876 ———— 32 C8,3 p(B) ——— —————— C30,3 302928 ————— 32 87 2 2 ————— ——— —— 102914 529 145 13. En una facultat universitària, el 25 % dels estudiants ha suspès les matemàtiques, el 15 % ha suspès la química i el 10 % ha suspès totes dues assignatures. Si seleccionem un alumne o una alumna a l’atzar, determina la probabilitat que: M: «hagi suspès les matemàtiques» Q: «hagi suspès la química» 1 3 1 p(M) —, p(Q) ——, p(M Q) —— 4 20 10 a) Suspengui les matemàtiques, si ha suspès la química. 1 —— p(M Q) 10 2 p(M/Q) ————— ——— — p(Q) 3 3 —— 20 b) Suspengui la química, si ha suspès les matemàtiques. 1 —— p(M Q) 10 2 p(Q/M) ————— ——— — p(M) 1 5 — 4 c) Suspengui les matemàtiques o la química. p(M Q) p(M) p(Q) p(M Q) 12. a)Quan llancem dos daus, quina probabilitat hi ha d’obtenir un nombre de punts la suma dels quals sigui 9? I que la suma sigui múltiple de 3? A: «suma de punts igual a 9» 4 1 p(A) —— — 36 9 B: «suma sigui múltiple de 3» 12 1 p(B) —— — 36 3 b) Si en llançar dos daus ha sortit un nombre de punts la suma dels quals és un múltiple de 3, calcula la probabili­ tat que la suma sigui 9. 4 —— p(A B) 36 p(A/B) ————— ——— p(B) 12 —— 36 4 1 —— — 12 3 1 3 1 6 3 — —— —— —— —— 4 20 10 20 10 14. Un automòbil, abans de sortir al mercat, se sotmet a tres controls de qualitat: mecànic, elèctric i de planxa. La pro­ babilitat que fallin els controls és, respectivament, 0,02, 0,01 i 0,07. Si la fàbrica treu al mercat 500 cotxes cada any, quants automòbils sortiran amb algun defecte? M: «que falli el control mecànic» p(M) 0,02 → p(M) 0,98 E: «que falli el control elèctric» p(E) 0,01 → p(E) 0,99 X: «que falli el control de planxa» p(X) 0,07 → p(X) 0,93 S: «que falli almenys un dels controls» p(S) p(M)p(E)p(X) p(M)p(E)p(X) p(M)p(E)p(X) p(M)p(E)p(X) p(M)p(E)p(X) p(M)p(E)p(X) p(M)p(E)p(X) 0,020,990,93 la MATEMÀTIQUES 1 0,000186 0,001386 0,000686 0,000014 0,097714 6 p(C) p(X) 1 p(C) 2p(X) 2p(X) p(X) 1 → 3p(X) 1 → 2 2 1 2 ——— ——— 3 11 3 11 d) Surtin una bola vermella i una altra de blanca, en aquest ordre. M: «surtin una de vermella i l’altra de blanca, en aquest ordre» 2 5 3 1 1 2 p(M) ————— ———— 3 12 11 3 3 11 5 2 19 —— —— —— 66 99 198 16. Un ordinador personal està contaminat per un virus i està carregat amb dos programes antivirus P1 i P2, que actuen independentment, l’un després de l’altre. El programa P1 de­ tecta la presència del virus amb una probabilitat de 0,9 i el programa P2 el detecta amb una probabilitat de 0,8. Quina probabilitat hi ha que no es detecti el virus? 1 3 1 1 3 ——— — ——— 3 11 3 3 11 1 1 1 5 ——— ——— 6 11 2 11 a) La segona bola sigui negra. 2 19 1 1 19 1 ——— —— —— — 3 66 3 3 99 9 30 10 —— —— 99 33 1 2 5 1 2 p(S) — —— —— 2 3 9 3 3 3 2 5 3 —— —— 8 7 8 7 1 10 2 3 15 — —— — —— —— 2 27 9 28 56 1 1 463 1 209 209 ———— ——— —— 2 1 512 2 216 432 b) La primera sigui negra i la segona blanca. 2 1 4 1 3 p(T) — ——— ——— 3 4 11 3 11 T: «surtin una bola blanca i l’altra groga» 17. Disposem de dues caixes A i B. La caixa A conté 4 boles blanques i 2 boles negres i a la caixa B hi ha 3 boles blan­ ques i 5 de negres. Escollim una caixa a l’atzar i traiem una bola, a continuació, la introduïm a la caixa no escollida i traiem una altra bola d’aquesta caixa. Calcula la probabilitat que: 1 1 1 5 ——— —— —— 3 11 66 22 c) Surtin una bola blanca i l’altra groga. S: «la segona bola sigui negra» 2 5 1 1 — —— —— —— 3 33 22 11 0,10,2 0,02 p(A) p( P1 P2) p( P1)p( P2) 2 5 4 1 2 p(S) — —— —— ——— 3 12 11 4 11 A: «no es detecti el virus» → A P1 P2 1 2 → p(X) —, p(C) — 3 3 S: «les dues boles del mateix color» 2 1 2 2 — — —— —— 3 3 11 11 b) Surtin dues boles del mateix color. 0,018414 0,009114 0,067914 a) Surti creu quan llancem la moneda. 15. Disposem d’una moneda trucada, en la qual la probabilitat que surti cara és el doble de la probabilitat que surti creu; una caixa A amb 5 boles vermelles, 3 de blanques i 4 de gro­ gues i una altra caixa B amb 4 boles vermelles, 2 de blanques i 6 de grogues. Llancem la moneda enlaire, si surt cara traiem 2 boles consecutivament de la caixa A, i si surt creu les traiem de la caixa B. Calcula la probabilitat que: 0,980,010,07 0,020,010,07 5000,097714 48,857 49 automòbils 0,020,010,93 0,020,990,07 2 1 1 1 1 1 — —— —— — —— —— 3 11 11 3 11 11 0,980,010,93 0,980,990,07 199 1 1 6 1 2 — ——— ——— 3 6 11 2 11 T: «la primera sigui negra i la segona blanca» 1 1 1 5 4 p(T) — —— —— 2 3 3 8 7 1 1 5 1 59 59 — — —— ——— —— 2 9 14 2 126 252 200 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE b) Un senyor ha llançat un nombre desconegut de daus, en­ tre 1 i 4, i la suma dels punts obtinguts ha estat 4. Quina probabilitat hi ha que hagi llançat dos daus? c) Totes dues boles siguin blanques. D: «les dues boles siguin blanques» 1 2 4 3 5 p(D) — —— —— 2 3 9 8 7 1 8 15 — —— —— 2 27 56 1 853 853 ———— ——— 2 1512 3024 18. Es realitza un sorteig entre tres alumnes. Per establir-ne el guanyador, s’escriu en un paper la paraula premi i es deixen dos paperets en blanc. Què és preferible, escollir primer, segon o tercer? Si: «treure premi escollit en el lloc i», i 1, 2, 3 1 1r → p(S1) — 3 2n → p( S1 S2) 2 1 1 p( S1)p(S2/ S1) —— — 3 2 3 3r → p( S1 S2 S3) p( S1 S2)p(S3/( S1 S2)) p( S1)p( S2/ S1)p(S3/( S1 S2)) 2 1 1 ——1 — 3 2 3 No importa, ja que la probabilitat és la mateixa. 19. a)Calcula la probabilitat que la suma dels punts obtinguts sigui 4 quan llancem un dau, quan en llancem 2, quan en llancem 3 i, finalment, quan en llancem 4. A: «obtenir 4 punts» B: «ha llançat dos daus» p(A B) p(B/A) ————— p(A) 1 —— 12 —————————————— 1 1 1 1 — —— —— ——— 6 12 72 1 296 1 —— 12 1 296 108 ———— ———— —— 343 12343 343 ——— 1 296 20. D’una cistella en què hi ha 20 pomes, 4 de les quals estan macades, en cau una en una altra cistella en què hi havia 6 pomes macades i 18 en bon estat. Escollim una poma de la segona cistella i no està macada. Quina probabilitat hi ha que la poma que ha caigut de la primera cistella fos bona? B: «que sigui una poma bona» p(B1)p(B2 /B1) p(B1 /B2) ————————————––––––— p(B1)p(B2 /B1) p( B1) p(B2 / B1) 4 19 76 —— —— 5 25 125 ————————— ———————— 4 19 1 18 76 18 —— —— —— —— 5 25 5 25 125 125 76 —— 125 76 38 ———— — — 94 94 47 —— 125 21. En un institut el 65 % dels alumnes són noies. El 10 % dels nois no practica cap esport, mentre que el 70 % de les noies fa esport. Escollim un o una alumne/a a l’atzar i resulta que fa esport. Quina probabilitat hi ha que sigui noia? I que sigui noi si no fa esport? 1 En llançar un dau: P(A) — 6 S: «que l’alumne escollit faci esport» 3 1 En llançar dos daus: P(A) —— —— 36 12 N: «que sigui noia» p(N)p(S/N) p(N/S) —————————————— p(N)p(S/N) p( N)p(S/ N) 3 1 En llançar tres daus: P(A) —— —— 216 72 0,650,7 0,455 —————————— ———— 0,590 0,650,7 0,350,9 0,77 1 En llançar quatre daus: P(A) ——— 1 296 ( p( N)p( S/ N) p( N/ S) —————————————— p( N)p( S/ N) p(N)p( S/N) la MATEMÀTIQUES 1 0,350,1 —————————— 0,350,1 0,650,3 0,035 ———— 0,152174 0,23 22. Disposem de tres monedes. La primera té dues cares; a la segona la probabilitat de sortir cara i de sortir creu és la ma­ teixa, i a la tercera la probabilitat que surti cara és del 30 %. S’escull una d’aquestes tres monedes a l’atzar i es llança en­ laire. Sabent que ha sortit cara, calcula la probabilitat que la moneda escollida hagi estat la primera. 24. En una població, el 30 % dels habitants pateix una malaltia. Es realitza una prova per diagnosticar-la i s’anomenen A i B els dos únics resultats possibles de la prova. Se sap que si la prova es fa a un individu que té la malaltia, la probabilitat que el resultat sigui A és del 90 %, però si es fa a un indivi­ du sa, la probabilitat que el resultat sigui A és del 5 %. M: «que tingui la malaltia» a) Es fa la prova a un individu seleccionat a l’atzar. Quina probabilitat hi ha que el resultat sigui B? p(B) p(M B) p( M B) 0,30,1 0,70,95 p(M1)p(C/M1) —————————————————————— p(M1)p(C/M1) p(M2)p(C/M2) p(M3)p(C/M3) 1 —1 3 —————————————— 1 1 1 1 3 —1 —— ——— 3 3 2 3 10 1 1 — — 3 3 5 ————————— —— — 1 1 1 3 9 — — —— — 3 6 10 5 23. En una determinada fàbrica d’electrodo­mèstics s’ha detectat que un de cada 100 frigorífics té un defecte al sistema de congelació. Per solucionar el problema, es posa en marxa un dispositiu per poder detectar aquest defecte abans que el frigorífic surti al mercat. No obstant això, aquest dispositiu no és fiable del tot, concretament, si el frigorífic té el de­ fecte, el dispositiu el detecta en el 95 % dels casos, mentre que si no el té, el dispositiu el dóna com a defectuós en un 2 % de les vegades. Si el dispositiu de control indica que un frigorífic és defectuós, quina probabilitat hi ha que el frigorífic no tingui cap defecte? D: «que sigui defectuós» b) Es fa la prova a una persona i s’obté com a resultat B. Quina probabilitat hi ha que no tingui la malaltia? p( M B) p( M/B) ————— p(B) p( M)p(B/ M) 0,70,95 ——————— ————— p(B) 0,695 0,665 ——— 0,95683 0,695 25. En un institut, el 30 % de l’alumnat són noies. Se sap que el 40 % de les noies ha anat al cinema l’últim cap de setmana i que el 70 % dels nois també hi ha anat. Es tria un alumne a l’atzar. Quina és la probabilitat que hagi anat al cinema? La probabilitat que sigui noia que hagi anat al cinema és: 3 10 4 10 12 100 La probabilitat que sigui noi que hagi anat al cinema és: 7 10 7 10 49 100 La probabilitat que un alumne hagi anat al cinema és la suma de totes dues: 100 49 100 61 0,61 100 p( D)p(S/ D) p( D/S) —————————————— p( D)p(S/ D) p(D)p(S/D) 0,03 0,665 0,695 12 S: «que detecti el defecte» p(M)p(B/M) p( M)p(B/ M) p(M1 /C) 201 0,990,02 ——————————— 0,990,02 0,010,95 0,0198 ———— 0,675768 0,0293 26. En una competició esportiva de tir amb arc, un arquer té una probabilitat de 0,6 de fer diana cada cop que dispara una fletxa. Se sap que ha fet tres dianes en sis intents. Calcula la proba­ bilitat que hagi fet diana en el primer dels sis intents. Es tracta d’una probabilitat a priori i hem d’aplicar la fórmula de Bayes: P 10 0,6 0,62 0,63 10 0,6 0,6 0,6 10 0,4 0,6 0,4 2 3 3 2 1 2 LA 202 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 27. En un examen tipus test, una pregunta consta de 5 respostes possibles i cal marcar la correcta. Se sap que la probabilitat que un alumne determinat sàpiga la resposta és 2/3 i la pro­ babilitat que encerti la resposta correcta és 1/3. Calcula la probabilitat que l’alumne sabés la resposta si se sap que ha triat la correcta. Els successos són: A2 = «l’alumne no coneix la resposta» B = «l’alumne ha triat la resposta correcta» P(A1 /B) [P(A1)·P(B/A1)] : [P(A1)·P(B/A1) P(A2)·P(B/A2)] 2 31 2 3 1 36 . 7 1 n b)Quantes vegades cal llançar els daus per poder apostar a guanyar que surti el 6 en els dos daus? 6 Per poder guanyar, la probabilitat ha de ser més gran que ; és 7 a dir: 12 6 La probabilitat d’obtenir el doble 6 almenys una vegada és 12 A1 = «l’alumne coneix la resposta correcta» La probabilitat que no obtinguem un doble 6 en una tirada és 1 35 12 36 36 36 35 n . 6 7 , o el que és el mateix: 36 . 2 35 n 1 Si es prenen logaritmes en aquesta expressió: n . 9 28. Tres urnes contenen boles de diferents colors amb la compo­ sició següent: Urna A: 3 boles blanques i 5 de vermelles. Urna B: 6 de vermelles i 4 de negres. Urna C: 6 de blanques, 2 de vermelles i 3 de negres. Es llança un dau. Si surt 1 o 2, s’extreu una bola de l’urna A; si és un 3 o un 4, s’extreu de l’urna B, i si surt un 5 o un 6, s’agafa de l’urna C. Se sap que s’ha extret una bola vermella. Calcula la probabilitat que en el dau hagi sortit un 5 o un 6. Els successos són: log2 log36 2 log35 . Aproximadament, n . 24. Si es tira el dau almenys 25 vegades, és més probable que surti el doble 6. 31. Un banc ha comprovat que la probabilitat que un client amb fons escrigui la data equivocada en un xec és 0,001. En canvi, la probabilitat que un client sense fons ho faci, és 1. El 90 % dels clients del banc té fons. A la caixa s’ha presentat un xec amb la data equivocada. Quina és la probabilitat que sigui sense fons? P {data equivocada/amb fons} = 0,001 P { data equivocada/sense fons} = 1 P {client amb fons} = 0,9 A1 = «En el dau surt un 1 o un 2» P {client sense fons} = 0,1 A2 = «En el dau surt un 3 o un 4» P { sense fons/data equivocada} 2 A3 = «En el dau surt un 5 o un 6» 1 1 1 0,009 5 0,99 B = «Extreure bola vermella» P(A3 /B) [P(A3)·P(B/A3)] : [P(A3)·P(B/A3) P(A1)·P(B/A1) P(A2)·P(B/A2)] 80 1. S’agafen dues cartes d’una baralla de 48. Troba les probabili­ tats dels esdeveniments següents: 169 29. El cap d’estudis d’un institut, abans de posar un càstig als seus alumnes, els concedeix una oportunitat. Els presenta dues urnes idèntiques, A i B. L’urna A conté 4 boles negres i 2 de blanques, i l’urna B, en conté 2 de negres i 3 de blan­ ques. L’alumne tria una urna i n’extreu una bola, i si és blan­ ca és perdonat. Un alumne s’ha salvat del càstig. Quina és la probabilitat que hagi triat l’urna A? P 2 3 2 1 · 1 : 1 · 1 3 Avaluació 1 2 · 5 3 5 14 30. Es llancen dos daus n vegades. a)Calcula la probabilitat que surti el 6 en els dos daus al­ menys una vegada. 1 1 1 . La probabilitat que surti un doble 6 en una tirada és 6 6 36 a) Que siguin dos asos. El nombre de casos possibles en extreure dues cartes d’una baralla de 48 és: C248 5 1 128 Casos favorables 2 asos de 4 C24 5 6 ? P 5 6 1 128 b) Que siguin dues figures. Casos favorables 2 figures de 12: C212 5 66 ? P 5 5 1 188 6 1 128 5 11 188 c) Que siguin dues cartes del mateix número. Casos favorables 6 en extreure 2 de 4 iguals multiplicat per 12 números diferents: 72. P5 6 1 128 5 1 188 la MATEMÀTIQUES 1 d) Que siguin dos reis. Quin és el percentatge de soldadures defectuoses? Si esco­ llim una peça i és defectuosa en la soldadura, quina és la probabilitat que l’hagi soldat el robot C? La probabilitat és la mateixa de l’apartat a). 2. D’una baralla espanyola de 48 cartes en traiem una a l’atzar. Són independents els esdeveniments “treure un rei” i “treu­ re una espasa”? Raona la resposta. 4 1 p(rei) 5 = 48 12 p(espasa) 5 203 12 1 = ∩ p(rei) · p(espasa) 5 p(rei ∩ espasa) 48 4 Sí, els dos esdeveniments són independents. 1 p(rei ∩ espasa) 5 48 3. Tenim una urna amb 4 boles blanques, 4 de negres i 2 de vermelles. En traiem 3 consecutivament, i retornem cada ve­ gada la bola a l’urna abans de treure la següent. Calcula la probabilitat que almenys dues siguin blanques. Dues boles blanques ens poden sortir: bbx; bxb; xbb. a) Si anomenem d: esdeveniment defectuós en la soldadura p(d) 5 p(A) · p(d|A) 1 p(B) · p(d|B) 1 p(C) · p(d|C) 5 5 0,18 · 0,002 1 0,42·0,005 1 0,40·0,001 5 0,00286 b) Aplicant el teorema de Bayes p(C ) ⋅ p (d | C ) = p (C ) ⋅ p (d | C ) + p (A) ⋅ p (d | A ) + p (B ) ⋅ p (d | B ) 0,40 ⋅ 0,001 0,0004 ⋅ = = 0,1399 0,4 ⋅ 0,001 + 0,18 ⋅ 0,002 + 0,42 ⋅ 0,005 0,00286 p(C | d ) = jUnitat 16. Distribució de probabilitat Tres boles blanques només poden aparèixer d’una manera: bbb p(2blanques U 3blanques) 5 p(2blanques) 1 p(3blanques) 5 4 4 6 4 4 4 288 64 352 + = = 0,352 5 3⋅ · · + · · = 10 10 10 10 10 10 1 000 1 000 1 000 4. Un producte està format per tres parts A, B i C. En el procés de fabricació s’ha comprovat que la probabilitat que apare­ gui un defecte a A és 0,03, un defecte a B és 0,02 i un de­ fecte a C és 0,01. Si sabem que els tres esdeveniments són independents, calcula la probabilitat que un producte elegit a l’atzar no tingui cap dels defectes. Activitats 1. Llancem una moneda enlaire quatre vegades. Definim la va­ riable aleatòria X com el nombre de cares que surtin. a) Determina la funció de probabilitat i la funció de distri­ bució de la variable X. DA: esdeveniment tenir un defecte en A – p(DA) 5 0,03 i p (Dc) 5 0,97 1 1 p[X 0] ——; p[X 1] —; 16 4 3 1 p[X 2] —; p[X 3] —; 8 4 DB: esdeveniment tenir un defecte en B – p(DB) 5 0,02 i p (Dc) 5 0,98 DC: esdeveniment tenir un defecte en C – p(DC) 5 0,01 i p (Dc) 5 0,99 − − − p (DA ∩ DB ∩ DC) 5 0,97 · 0,98 · 0,99 5 0,9411 5. En una cadena de muntatge hi ha una etapa on 3 robots A, B i C solden peces. La probabilitat que la soldadura sigui defectuosa i el percentatge de peces que solda ens la dóna la taula següent: Robots A B C Probabilitat de soldadura defectuosa 0,002 0,005 0,001 Peces que solda el robot 18 % 42 % 40 % 5 1 p[X 4] —— 16 0 si x 0 1 —— 16 F(x) si 0 x 1 5 —— 16 si 1 x 2 11 —— 16 si 2 x 3 15 —— 16 si 3 x 4 1 si x 4 LA 204 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE b) Representa gràficament la funció de probabilitat i la fun­ ció de distribució. 1 6 1 5 2—— 3—— x p 1—— 36 12 36 i i1 i 7 1 11 1 1 4—— 5— 6—— —— — 36 4 36 36 6 5 7 5 11 161 —— — — —— —— 4,472 12 9 4 6 36 ( 3. La funció de probabilitat d’una variable alea­tòria discreta està expressada en aquesta taula: xi 2 1 0 2 4 pi 1 — 8 1 — 6 1 — 8 1 — 4 1 — 3 a) Determina la funció de distribució i representa-la gràfi­ cament. c) Calcula l’esperança matemàtica i la desviació típica. 5 i1 1 3 1 xi pi — 2— 3— 4 8 4 F(x) 1 1 3 3 1 4—— — — — — 16 4 4 4 4 8 —2 4 5 0 si x 2 1 — 8 si 2 x 1 7 —— 24 si 1 x 0 5 —— 12 si 0 x 2 2 — 3 si 2 x 4 1 si x 4 5 √ i1 x2i pi 2 √ √ 1 3 1 1 — 4— 9— 16—— 4 4 8 4 16 1 3 9 ———14 4 2 4 √ 11 2. En l’experiment aleatori de llançar dos daus enlaire definim la variable aleatòria X com X(a, b) max(a, b), on (a, b) són els resultats que mostren els dos daus. Determina la funció de probabilitat i calcula l’esperança matemàtica. 1 2 3 4 5 6 pi 1 —— 36 1 —— 12 5 —— 36 7 —— 36 1 — 4 11 —— 36 1 5 1 1 x p 2—8 1—6 0— 8 i1 i i 1 1 2— 4— 4 3 1 1 1 4 17 — — — — —— 1,416 4 6 2 3 12 ( xi b) Troba l’esperança, la variància i la desviació típica. la MATEMÀTIQUES 1 5 2 x p 2 i1 i 2 i 5. A partir de la variable aleatòria de l’exemple 2: a) Comprova la segona propietat de la funció de probabilitat de la distribució binomial. 1 1 1 (2)2— (1)2— 02— 8 6 8 1 1 17 2 — 42— —— 4 3 12 2 6 2 p[X i] p[X 0] p[X 1] i0 p[X 2] p[X 3] p[X 4] 1 1 16 289 — — 1 —— —— 2 6 3 144 p[X 5] p[X 6] 719 —— 4,99305 144 ( √ 719 √719 —— ——— 2,2345 144 12 b) Defineix la funció de distribució. 4. La variable aleatòria discreta uniforme és aquella que pren valors 1, 2, 3… n, amb probabilitats: 1 pi — i 1, 2, 3... n n 5 F(x) 0 si 1 x 2 n1 ——— n 1 si n 1 x n si x n 1 n 1 1 1 2— 3— ... n— x p 1— n n n n i1 i i 1 — (1 2 3 ... n) n x p 2 i1 i i 2 1 1 1 1 n1 12— 22— 32— ... n2— ——— n n n n 2 1 (n 1)2 — (1 4 9 ... n2) ———— n 4 n2 1 1 [n(2n 3) 1]n (n 1)2 — ———————— ———— ———— n 6 4 12 2 √ n 1 1 ———— — 12 2 2 √ n 1 ———— 3 4 096 ——— 15 625 si 0 x 1 2 048 ——— 3 125 si 1 x 2 2 816 ——— 3 125 si 2 x 3 3 072 ——— 3 125 si 3 x 4 624 —— 625 si 4 x 5 15 624 ——— 15 625 si 5 x 6 1 si x 0 si x 6 1 a) p[X 5], en B 7, — 3 57 31 32 5 p[X 5] n 2 5 0 6. Calcula: 1 n1 1 (n 1)n n1 — ——— — ————— ——— n 2 n 2 2 F(x) si x 1 1 — n ... Calcula la funció de distribució, l’esperan­ça i la desviació típica d’aquesta variable. 15 625 56 ——— —— 1 56 56 205 2 1 4 214 74 28 21—— —— ——— —— —— 5 2 7 6 3 3 3 3 729 2 1 b) p[X 2], en B 5, — 2 p[X 2] p[X 0] p[X 1] p[X 2] 50 12 51 12 52 12 5 5 5 1 1 5 10 16 24 —— —— —— —— —— — 5 5 5 5 5 2 2 2 2 2 2 206 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 2 c) p[X 3], en B 8, — 3 d) Cap creu. 100 1 p[X 100] —— — 100 2 p[X 3] 1 p[X 3] 1 (p[X 0] p[X 1] p[X 2] p[X 3]) 1 80 13 81 23 13 82 23 13 8 2 5 3 d) , 2 i , en B 10, — 5 √ npq √ 12 —— 2 5 1 X: «nombre de cares» → B 100, — 2 √ 3 — 5 50,04100630,55 0,11277 1 (p[X 0] p[X 1]) 1 100 1 —— — 1 2 5 p[X 0] — 0,555 0,05033 0 1 X: «número d’articles defectuosos» → B 10 000, —— 50 p[X 2] 1 p[X 2] 100 5 p[X 4] — 0,4540,55 4 9. El 2 % dels articles produïts en una fàbrica és defectuós. Cal­ cula el nombre esperat i també la desviació tipus d’articles defectuosos en una comanda de 10 000 unitats. 100 1 —— — 0 2 c) Almenys 2 cares. 0,0503284 0,205889 0,3369094 0,59313 d) Cap nen. 100 1 100 p[X 65] —— — 65 2 100 —— 2100 0,000864 35 100,0911250,3025 0,27565 c) Una sola nena. b) 35 creus. 5 p[X 3] — 0,4530,552 3 100 1 100 p[X 47] —— — 47 2 100 —— 2100 0,0666 47 5 5 5 — 0,555 — 0,450,554 — 0,4520,553 0 1 2 7. Llancem una moneda enlaire 100 vegades. Estableix la pro­ babilitat d’obtenir: a) 47 cares. a) Tres nens i dues nenes. p[X 2] p[X 0] p[X 1] p[X 2] 3 2 12 2 npq 10—— —— 5 5 5 8. Una família de Tarragona té cinc fills. Suposant que la pro­ babilitat que un dels fills sigui nen és 0,45, calcula la probabilitat que siguin: b) Menys nens que nenes. 3 np 10— 6 5 7,889 · 1031 X: «número de nens» → B (5; 0,45) 1 16 112 448 1 —— —— —— —— 8 8 8 3 3 3 38 577 577 5 984 1 —— 1 ——— ——— 38 6 561 6 561 2100 6 83 23 13 3 7 100 1 10 000 np 10 000—— ——— 50 50 200 articles defectuosos √ √npq 100 1 (2100 1002100) 1 [2100 (1 100)] 1 1012100 1 49 10 000—— —— 50 50 √ 1027 1007 10472 ———— ——— ——— 2 50 50 50 14 articles defectuosos la MATEMÀTIQUES 1 10. Determina el nombre esperat de nenes en una família de vuit fills, si suposem igualment probable la distribució de sexes. Quina és la probabilitat que la família tingui el nom­ bre esperat de nenes? 1 X: «nombre de nenes» → B 8, — 2 8 8 1 5 p[X 0] — 0 3 — 4 5 35 243 —— ——— 45 1 024 1 — 4 2 3 — 4 3 270 135 1 33 10———— ——— —— 2 3 4 4 1 024 512 5 p[X 3] — 3 1 — 4 3 3 — 4 2 1 32 90 45 10—— —— ——— —— 3 2 4 4 1 024 512 —14 —34 4 5 p[X 4] — 4 1 3 15 5—— — ——— 4 4 4 1 024 1 ——41 ——— 1 024 5 p[X 5] — 5 1 — 4 459 45 504 63 —— —— —— —— 512 512 512 64 F(4) p[X 4] p[X 0] p[X 1] p[X 2] p[X 3] p[X 4] 63 15 1 023 —— ——— ——— 64 1 024 1 024 F(5) p[X 5] 5 1 3 4 p[X 1] — — — 1 4 4 405 1 34 5——— ——— 4 44 1 024 5 p[X 2] — 2 F(3) p[X 3] p[X 0] p[X 1] p[X 2] p[X 3] p — → B 5, — 4 4 b) Defineix les funcions de probabilitat i de distribució. 81 135 459 —— —— —— 128 512 512 7 a) Estudia la distribució binomial corresponent. 1 243 405 648 81 ——— ——— ——— —— 1 024 1 024 1 024 1 28 11. Tenim un dau en forma de tetràedre, és a dir, amb quatre cares que són triangles equilàters. Numerem les cares de l’1 al 4 i considerem la variable aleatòria X: «nombre d’1» per a n 5. 70 35 35 —— —— —21 —— 2 2 128 8 p[X 4] — 4 F(1) p[X 1] p[X 0] p[X 1] F(2) p[X 2] p[X 0] p[X 1] p[X 2] 1 np 8— 4 nenes 2 207 p[X 0] p[X 1] p[X 2] p[X 3] p[X 4] p[X 5] 1 023 1 1 024 ——— ——— ——— 1 1 024 1 024 1 024 d’on s’obté la funció de distribució: F(x) 5 0 243 ——— 1 024 81 —— 128 459 —— 512 63 —— 64 1 023 ——— 1 024 1 si x 0 si 0 x 1 si 1 x 2 si 2 x 3 si 3 x 4 si 4 x 5 si x 5 c) Calcula’n l’esperança i la desviació típica. 1 5 np 5— — 1,25 4 4 5 5 243 F(0) p[X 0] p[X 0] ——— 1 024 √ npq √ 1 3 5—— 4 4 √15 —— 0,968246 4 208 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 12. El 3 % de les peces elaborades per una màquina és defec­ tuós. Les peces es venen en caixes de 25 unitats cadascu­ na. Quina és la probabilitat que una caixa contingui com a màxim una peça defectuosa? 3 X: «nombre de peces defectuoses» → B 25, —— 100 p[X 1] p[X 0] p[X 1] 25 97 —— —— 0 100 25 24 25 3 97 —— —— —— 1 100 100 0,4669747 0,3610629 0,82804 13. Una determinada malaltia té un índex de mortalitat del 20 %. Si en un hospital hi ha sis persones afectades, calcula la probabilitat que almenys la meitat dels pacients sobrevisqui. 4 X: «nombre de persones que sobreviuen» → B 6, — 5 p[X 3] 1 p[X 3] 15. Si X representa una variable aleatòria contínua: a) Demostra que f(x) és una funció de densitat: 1 — si 0 x 2 f(x) 2 5 0 si x [0, 2] 1. Per la mateixa definició de f(x), tenim que f(x) 0, x . 2. L’àrea del recinte que determina la gràfica de f(x) amb l’eix OX és: 1 1 A (2 0)— 2— 1 u2 2 2 Per 1 i 2 tenim que f(x) és una funció de densitat. b) Representa-la gràficament. 1 (p[X 0] p[X 1] p[X 2]) 1 6 — 0 1 — 5 6 6 4 1 — — — 1 5 5 5 2 4 6 4 1 — — — 2 5 5 1 (0,000064 0,001536 0,01536) 1 0,01696 0,98304 14. El 55 % dels treballadors d’un organisme oficial són dones. Per llei, el 25 % dels alts càrrecs han de ser dones. Si es trien 5 funcionaris a l’atzar, quina és la probabilitat que 3 siguin dones? I si la elecció només es fa entre els alts càr­recs? 5 11 9 p[X 3] ——— —— 3 20 20 11 X: «nombre de dones» → B 5, —— 20 3 2 113 92 1 078 110 10—— —— ———— 3 2 20 20 205 1 078 110 107 811 ————— ———— 0,33691 3 200 000 320 000 5 1 3 p[X 3] —— — 3 4 4 1 X: «nombre de dones» → B 5, — 4 3 2 1 32 90 90 10—— —— —— ——— 3 2 5 4 4 4 1 024 45 —— 0,08789 512 16. Per a la funció de densitat de l’exercici anterior, calcula: a) p[X 1] 1 p[X 1] — 2 1 b) p X — 2 1 3 p X— — 2 4 1 3 p— X — 4 2 3 1 pX — pX — 2 4 1 3 c) p — X — 4 2 3 1 5 ——— 4 8 8 17. En una variable aleatòria contínua X es defineix la funció: f(x) 5 kx si x [0, 5] 0 si x [0, 5] MATEMÀTIQUES 1 a) Calcula el valor de k per tal que la funció f(x) sigui una funció de densitat. la 209 c) p[Z 1,03] p[Z 1,03] p[Z 1,03] 0,8485 d) p[Z 0,82] p[Z 0,82] 1 p[Z 0,82] 1 0,7939 0,2061 e) p[1,5 Z 3] p[1,5 Z 3] p[Z 3] p[Z 1,5] 0,99865 0,9332 0,06545 55k 25k A ——— ——— 2 2 25k 2 ——— 1 → k —— 2 25 b) Troba p[2 X 3,5] per al valor de k calculat en l’apartat anterior. p[2 X 3,5] p[X 3,5] p[X 2] 7 7 4 ——— 2—— 2 25 25 —————— ———— 2 2 49 4 33 —— —— —— 100 25 100 18. Contesta raonadament cadascuna d’aquestes qüestions a partir de la taula de la distribució normal reduïda: a) Per què el primer valor de probabilitat que es troba a la taula és 0,5? Perquè la gràfica de la funció de densitat de la distribució normal N(0, 1) és simètrica respecte del valor z 0 i sabem que p[Z 0] 0,5. b) Quin és el valor de p[Z 4,5]? I el valor de p[Z 5]? p[Z 4,5] 1 perquè segons la taula: p[Z 4] 1 p[Z 5] 0 perquè: p[Z 5] p[Z 5] i p[Z 5] 1 p[Z 5] 1 1 0 19. Si Z és una variable N(0, 1), calcula: a) p[Z 2,38] p[Z 2,38] p[Z 2,38] 1 p[Z 2,38] 1 0,9913 0,0087 b) p[Z 1,64] p[Z 1,64] 0,9495 f) p[0,79 Z 0,79] p[0,79 Z 0,79] 2(p[Z 0,79] 0,5) 2(0,7852 0,5) 20,2852 0,5704 20. A partir de la taula, comprova a la distribució N(0, 1) que: a) A l’interval (1, 1) es troba el 68,26 % del total de la probabilitat. p[1 Z 1] 2(p[Z 1] 0,5) 2(0,8413 0,5) 20,3413 0,6826 p[1 Z 1] 0,6826 → 68,26 % b) A l’interval (2, 2) es troba el 95,44 % del total de la probabilitat. p[2 Z 2] 2(p[Z 2] 0,5) 2(0,9772 0,5) 20,4772 0,9544 p[2 Z 2] 0,9544 → 95,44 % c) L’interval (3, 3) inclou el 99,74 % del total de la proba­ bilitat. p[3 Z 3] 2(p[Z 3] 0,5) 2(0,9987 0,5) 20,4987 0,9974 p[3 Z 3] 0,9974 → 99,74 % 21. Considerem X una variable N(8, 3). Calcula: a) p[X 9] p[X 9] p[Z 0,33] 0,6293 b) p[X 7] p[X 7] p[Z 0,33] p[Z 0,33] 0,6293 c) p[6 X 7,5] p[6 X 7,5] p[0,67 Z 0,17] p[0,17 Z 0,67] p[Z 0,67] p[Z 0,17] 0,7486 0,5675 0,1811 210 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE d) p[7,2 X 8,7] p[7,2 X 8,7] p[0,27 Z 0,23] p[Z 0,23] p[Z 0,27] p[Z 0,23] (1 p[Z 0,27]) 24. Suposem que el pes dels atletes de marató segueix una dis­ tribució normal N(62, 3,4). X: «pes en kg» a) Calcula la probabilitat que un atleta pesi més de 65 kg. p[X 65] p[Z 0,88] p[Z 0,23] p[Z 0,27] 1 0,5910 0,6064 1 0,1974 22. Tenint en compte que l’àrea que es dóna fa referència a una distribució normal N(0, 1), determina el valor o els valors de la variable Z en cadascun dels casos següents: 1 p[Z 0,88] 1 0,8106 0,1894 b) El 70 % dels atletes no supera un determinat pes. Quin és aquest pes? p[X x] 0,7 a) L’àrea entre 0 i z és 0,3770. p[Z z] 0,7 → z 0,52 → p[0 Z z] 0,3770 → → p[Z z] 0,8770 → z 1,16 → x z 3,40,52 62 63,768 kg b) L’àrea a l’esquerra de z és 0,8621. p[Z z] 0,8621 → z 1,09 c) L’àrea entre 1,5 i z és 0,0217. p[1,5 Z z] 0,0217 → → p[Z z] p[Z 1,5] 0,0217 p[Z 1,5] p[Z 1,5] 1 p[Z 1,5] 1 0,9332 0,0668 p[Z z] 0,0668 0,0217 → → p[Z z] 0,0885 → → p[Z z] 0,0885 p[Z z] 1 0,0885 0,9115 → → z 1,35 → z 1,35 25. Calcula la probabilitat d’obtenir entre 4 i 7 creus, ambdues incloses, en fer 12 llançaments d’una moneda utilitzant: X: «nombre de creus» a) La distribució binomial. 1 B 12, — 2 p[4 X 7] p[X 4] p[X 5] p[X 6] p[X 7] ——5 —2 ——6 —2 —— —2 7 1 12 12 12 12 —— —— —— —— —— 2 4 5 6 7 12 1 —— — 4 2 12 12 1 12 12 1 12 12 1 12 12 23. En una població s’estableixen dos grups A i B. Els quo­ cients intel.lectuals d’ambdós grups es distribueixen segons N(100, 30) i N(120, 35), respectivament. S’escull un individu de cada grup de manera alea­tòria i independent. Calcula: X: «quocient intel.lectual grup A» Y: «quocient intel.lectual grup B» a) La probabilitat que l’individu del grup A tingui un quo­ cient intel.lectual superior a 90. p[X 90] p[Z 0,33] p[Z 0,33] 0,6293 b) La probabilitat que l’individu del grup B tingui un quo­ cient intel.lectual superior a 90. p[Y 90] p[Z 0,86] p[Z 0,86] 0,8051 c) La probabilitat que ambdós tinguin un quocient intel.lec­ tual superior a 90. 1 3 003 3 003 —— (495 792 924 792) ——— ——— 12 12 2 2 4 096 0,73315 b) L’aproximació normal de la distribució binomial. 1 1 B 12, — ; np 12— 6; 2 2 √ npq √ 1 1 12—— √3 1,732 2 2 N(6; 1,732) p[3,5 X 7,5] p[1,44 Z 0,87] p[Z 0,87] p[Z 1,44] p[Z 0,87] p[Z 1,44] p[Z 0,87] (1 p[Z 1,44]) p[X 90]p[Y 90] 0,8078 (1 0,9251) 0,62930,8051 0,50665 0,8078 0,0749 0,7329 la MATEMÀTIQUES 1 26. Es llança un dau 180 vegades. Troba la probabilitat d’obtenir el número 6 entre 29 i 32 vegades (ambdues incloses). 1 B 180, — ; X: «nombre de 6» 6 √ √ 1 5 180—— √25 5 6 6 p[X 14,5] p[Z 1,35] p[Z 1,35] 1 p[Z 1,35] 1 0,9115 0,0885 p[Z 0,5] p[Z 0,3] p[Z 0,5] (1 p[Z 0,3]) 0,6915 (1 0,6179) 0,6915 0,3821 0,3094 √ p[23,5 X 24,5] p[0,86 Z 1,1] p[Z 1,1] p[Z 0,86] 0,8643 0,8051 0,0592 p[28,5 X 32,5] p[0,3 Z 0,5] p[Z 0,5] p[Z 0,3] 1 5 600 —— 120—— 6 6 36 5 — √ 6 4,08 3 N(20; 4,08) 1 np 180— 30; 6 6 √npq N(30, 5) √npq 211 29. Troba la probabilitat d’obtenir més de 36 vegades el número 6 en 50 tirades d’un parell de daus no trucats. ( 11 X: «nombre de 6» → B 50, —— 36 11 np 50—— 15,27 ; 36 27. Tirem enlaire 500 vegades una moneda que ha estat trucada, 2 de manera que la probabilitat d’obtenir creu és —. Calcula 5 la probabilitat que el nombre de cares no difereixi de 300: √npq √ 3 2 500—— 5 5 √120 10,95 N(300; 10,95) a) En més de 10 tirades. p[289,5 X 310,5] p[0,96 Z 0,96] 2(p[Z 0,96] 0,5) 2(0,8315 0,5) 20,3315 0,663 p[279,5 X 320,5] p[1,87 Z 1,87] 2(p[Z 1,87] 0,5) 2(0,9693 0,5) 20,4693 0,9386 28. Quan llancem 120 vegades un dau normal, quina és la pro­ babilitat que la cara 4 surti exactament 24 vegades? I que surti 14 vegades com a màxim? √ 11 25 50—— —— 3,26 36 36 N(15,27 ; 3,26) p[X 35,5] p[Z 6,2] 0 30. Es llança 2500 vegades el dau de l’exercici 11. Calcula la probabilitat d’obtenir el número 3: 1 X: «nombre de 3» → B 2 500, — 4 1 np 2 500— 625; 4 √ 1 3 √npq 2 500—— 21,65 4 4 N(625; 21,65) a) 400 vegades. b) En més de 20 tirades. 1 X: «nombre de 4» → B 120, — 6 1 np 120— 20; 6 ( 3 X: «nombre de cares» → B 500, — 5 3 np 500— 300; 5 √npq p[399,5 X 400,5] p[10,42 Z 10,37] p[10,37 Z 10,42] p[Z 10,42] p[Z 10,37] 0 b) La meitat de les vegades que es llança. p[1249,5 X 1250,5] p[28,84 Z 28,89] p[Z 28,89] p[Z 28,84] 0 c) Més de 1 000 vegades. p[X 999,5] p[Z 17,3] 0 LA 212 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 31. Calcula p[X 8] per a una variable que segueix una distribució 1 binomial B 40, — . 5 Compara-ho amb el resultat que s’obté fent ús de l’aproximació normal. És bona aquesta aproximació? Per què? 40 1 8 4 p[X 8] —— — — 8 5 5 32 0,15598 1 B 40, — 5 1 np 40— 8; 5 √npq N(8; 2,53) √ 1 4 40—— 2,53 5 5 p[7,5 X 8,5] p[0,2 Z 0,2] 2(p[Z 0,2] 0,5) 2(0,5793 0,5) 20,0793 0,1586 Tot i que n 30, no és molt bona aproximació perquè p 0,2 no és un valor proper a 0,5. 32. La probabilitat que un vaporitzador d’insecticida mati un mosquit és 0,75. Si dirigim el vaporitzador contra 100 mos­ quits, quina és la probabilitat de matar-ne almenys 75? I de matar-ne menys de 50? µ np 1 000 · √187,5 13,7 1 4 250 i s √npq √ 1 3 1 000· · · 4 4 La distribució normal aproximada és: N(250, 13,7) p[X ≥ 280] p[Z ≥ 2,1 9] 1 ] p[Z ≤ 2,19] 1 ] 0,9857 0,0143 b) p[X ≤ 240] p[X ≤ 240] p[Z ≤ ] 0,73] p[Z ≥ 0,73] 1 ] p[Z ≤ 0,73] 1 ] 0,7673 0,2327 c) p[245 ≤ X ≤ 265] p[245 ≤ X ≤ 265] p[] 0,36 ≤ Z ≤ 1,09] p[Z ≤ 1,09] ] p[Z ≤ ] 0,36 p[Z ≤ 1,09] ] p[ Z ≥ 0,36] p[Z ≤ 1,09] ] (1 ] p[Z ≤ 0,36]) 0,8621 ] (1 ] 0,6406) 0,8621 ] 0,3594 0,5027 d) p[X 260] p[259,5 ≤ X ≤ 260,5] p[0,69 ≤ Z ≤ 0,77] p[Z ≤ 0,77] ] p[Z ≤ 0,69] 0,7794 ] 0,7549 0,0245 34. Per una distribució binomial B(400, 0,4), calcula: a) p[X ≤ 150] µ np 400·0,4 160; s √npq √400·0,4·=,6 √96 98 La distribució normal corresponent és: N(160, 9,8) p[X ≤ 150] p[Z ≤ ] 1,02] p[Z ≥ 1,02] 1 ] p[Z ≤ 1,02] 1 ] 0,8461 0,1539 B(100; 0,75); X: «nombre de mosquits morts» b) p[140 ≤ X ≤ 175] p[140 ≤ X ≤ 175] p[] 2,04 ≤ Z ≤ 1,53] p[Z ≤ 1,53] ] p[Z≤ −2,04] p[Z ≤ 1,53] ] p[Z ≥ 2,04] p[Z ≤ 1,53] ] (1 ] p[Z ≤ 2,04]) 0,937 ] (1 ] 0,9793) 0,937 ] 0,0207 0,9163 np 1000,75 75; c) p[X ≤ 165] √npq √1000,750,25 √ 18,75 4,33 p[164,5 ≤ X ≤ 165,5] p[0,46 ≤ Z ≤ 0,56] p[Z ≤ 0,56] ] p[Z ≤ 0,46] 0,7123 ] 0,6772 0,0351 N(75; 4,33) p[X 74,5] p[Z 0,12] p[Z 0,12] 0,5478 p[X 50,5] p[Z 5,66] 0 a) p[X 280 La probabilitat que surtin 3 cares en llançar quatre monedes és p4 2 4. 1 4 1 La variable aleatòria X definida segueix una distribució binomial B 1 000, 1 4 , d’on: 35. Troba la probabilitat que una variable discreta prengui va­ lors entre 380 i 420 en una distribució binomial B(n, p), per 2 n 600 i p . 3 µ np 600 · 2 3 √133,3 11,5 ( 33. En l’experiment aleatori E: «llançar quatre monedes a la ve­ gada», considera la variable X: «que surtin 3 cares». Realit­ zant 1 000 vegades l’experiment i cal­culant prèviament la probabilitat per a n = 1, calcu­la aproximant per una distribu­ ció normal: d) p[X ≥ 180] p[X ≥ 180] p[Z ≥ 2,04] 1 ] p[Z ≤ 2,04] 1 ] 0,9793 0,0207 400; s √npq √ 2 1 600· · 3 3 La distribució normal aproximada és: N(400, 11,55) p[380 ≤ X ≤ 420] p[] 1,73 ≤ Z ≤ 1,73] 2(p[Z ≤ 1,73] ] 0,5) 2(0,9582 ] 0,5) 2·0,4582 0,9164 36. Es llança 300 vegades un dau. Calcula la probabilitat d’obte­ nir un número parell de punts: a) Menys de 120 vegades. La probabilitat d’obtenir un nombre parell de punts en llançar un dau una vegada és: la MATEMÀTIQUES 1 p 3 6 1 2 c) Calcula el valor de l de l’interval de confiança per a a 5 2,5 %. , d’on s’obté: √ 1 1 1 µ np 300· 150; s √npq 300· · √75 8,66 2 2 2 La distribució normal aproximada és: N(150, 8,66) p[X ≤ 120] p[Z ≤ ] 3,46] p[Z ≥ 3,46] 1 ] p[Z ≤ 3,46] 1 ] 0,99973 0,00027 b) Més de 150 vegades. p[X ≥ 150] p[Z ≥ 0] 0,5 Punt final 1 Llancem una moneda p q — 200 vegades (n 200) i 2 definim la variable X: «nombre de cares». 1 X: «nombre de cares» → B 200, — 2 1 np 200— 100 2 N(100; 7,07) √ √npq 2,5 % → p[X 100 2] 0,9875 per a 2 z2 p[Z z2] 0,9875 → → z2 2,24 → → 2 7,072,24 15,84 Activitats finals c) Exactament 140 vegades. p[139,5 ≤ X ≤ 140,5] p [] 1,21 ≤ Z ≤ ] 1,09] p[1,09 ≤ Z ≤ 1,21] p[Z ≤ 1,21] ] p[Z ≤ 1,09] 0,8869 ] 0,8621 0,0248 213 1 1 200—— 7,07 2 2 1. Troba la probabilitat d’obtenir: a) Dos èxits mitjançant la distribució 1 B 4, — . 3 X: «nombre d’èxits» 4 1 2 2 — p[X 2] — — 2 3 3 1 22 24 8 8 6—— —— — —— 2 2 4 3 3 3 3 3 27 1 b) Més de tres èxits mitjançant la distribució B 6, — . 2 p[X 3] p[X 4] p[X 5] p[X 6] —12 —65 —12 —66 —12 1 22 11 11 — (15 6 1) —— —— —— 2 2 2 32 1 c) Menys de dos fracassos mitjançant la distribució B4, —. 4 6 — 4 6 6 6 6 6 a) Quin serà el risc per a un interval de confiança d’amplitud 2l 20? 2 5 p[X 2] p[X 3] p[X 4] 2 20 → 10 p[90 X 110] p[1,41 Z 1,41] 2(p[Z 1,41] 0,5) 2(0,9207 0,5) 20,4207 0,8414 → → 1 0,8414 0,1586 d’on tenim que 15,86%. b) Si fem una predicció amb un risc del 5 %, quin serà l’interval de confiança? 5 % → p[100 1 X 100 1] —14 —34 —44 —14 4 — 3 3 4 1 3 1 12 1 4—— — —— — 3 4 4 4 4 4 4 44 13 13 —— —— 44 256 2 2. Un equip A té una probabilitat p — de guanyar un partit. 3 Si l’equip juga 6 partits, calcula la probabilitat que: 0,95 per a 1 z1 p[X 100 1] 0,975 2 X: «nombre de partits guanyats» → B 6, — 3 p[Z z1] 0,975 → a) Guanyi dos partits. → z1 1,96 → → 1 7,071,96 13,86 L’interval de confiança és: (86,14; 113,86) 6 2 2 1 4 p[X 2] — — — 2 3 3 22 1 60 20 20 15—— —— —— —— 32 34 36 35 243 LA 214 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE 4 possibles respostes, de les quals, només una és correcta i se suposa que cada pregunta es contesta a l’atzar. b) Perdi més de la meitat dels partits. p[X 3] 6 — 0 1 6 6 2 1 5 — — — — 3 1 3 3 5. Se sap que un determinat medicament millora els símptomes d’una malaltia en dos de cada tres pacients. Si administrem aquest medicament a set malalts, calcula la probabilitat que: X: «nombre de persones que milloren amb el medicament» → 2 → B 7, — 3 —23 —13 6 — 2 2 4 1 12 60 73 73 — —— —— —— —— 6 6 6 6 3 3 3 3 729 3. Llancem 10 daus alhora. Definim la variable aleatòria X: «nombre de daus en què s’obté la cara 1». Calcula: 1 B 10, — 6 a) Millorin quatre persones. —32 —31 7 p[X 4] — 4 a) p[X 3] 1 B 10, — ; per X: «nombre de respostes correctes» 4 1 np 10— 2,5 respostes correctes 4 p[X 0] p[X 1] p[X 2] 1 — 6 3 5 7 — 6 560 ——— 0,25606 2187 b) Millorin tres persones com a mínim. 1 57 120—— 0,15505 6 3 67 p[X 3] 1 p[X 3] 1 (p[X 0] p[X 1] p[X 2]) b) p[X 7] p[X 7] p[X 7] p[X 8] p[X 9] p[X 10] —61 —65 —108 —61 —65 10 1 5 10 1 — — — — — 9 6 6 10 6 10 — 7 7 3 8 9 2 10 0,000248 0,0000186 0,0000008 0,00000002 0,0002674 p[X 2] p[X 3] p[X 4] 10 — 0 5 — 6 10 1 5 9 — — — 1 6 6 10 —61 —65 —103 —61 —65 10 — 2 2 8 3 7 10 — 4 1 — 6 4 5 6 — 6 0,1615056 0,3230112 0,29071 0,1550454 0,0542659 0,98454 4. Determina el nombre esperat de respostes correctes en un examen tipus test de 10 preguntes. Cada pregunta consta de 6 2 5 1 (0,0004572 0,0064015 0,0384088) 1 0,0452675 0,95473 c) Millorin les set persones. p[X 5] p[X 0] p[X 1] —70 —13 —71 —23 —13 7 2 1 — — — 2 3 3 7 1 c) p[X 5] 3 24 1 3524 35—— ———— 34 33 37 10 p[X 3] — 3 4 —23 0,05853 7 p[X 7] — 7 7 6. Estudis recents han confirmat que el 70 % dels portadors del virus de la SIDA ha consumit algun tipus de droga. A la sala d’espera d’una consulta especialitzada en aquesta malaltia s’hi troben, en un cert moment, sis persones portadores del virus. Determina la probabilitat que cap de les sis persones hagi consumit drogues. X: «nombre de persones que han consumit droga» B(6; 0,7) 6 p[X 0] — 0,36 0,000729 0 7. Se sap que només el 5 % de les persones que visiten un logo­ peda són de classe social baixa. Si a la consulta d’un logopeda hi ha cinc persones, troba la probabilitat que: X: « nombre de persones de classe social baixa» B(5; 0,05) la MATEMÀTIQUES 1 a) Cap sigui de classe social baixa. 5 p[X 0] 0,955 0,773781 0 b) Almenys dues no siguin de classe social baixa. a) Entre 60 i 75 kg. p[60 X 75] p[3,33 Z 1,67] p[Z 1,67] p[Z 3,33] p[Z 1,67] p[Z 3,33] p[Z 1,67] (1 p[Z 3,33]) 0,9525 (1 0,99957) 0,9525 0,00043 0,95207 p[X 3] 1 p[X 3] 1 (p[X 4] p[X 5]) 1 45 0,05 0,95 55 0,05 4 5 1 (0,0000297 0,0000003) 1 0,0000300 0,99997 8. Sigui X una variable aleatòria contínua que segueix una dis­ tribució normal N(, ). Determina: 3 p — X 2 2 3 p— Z 2 2 5000,95207 476 persones pesen entre 60 i 75 kg. b) Més de 90 kg. p[X 90] p[Z 6,67] 0 5000 0 → cap persona pesa més de 90 kg. c) Menys de 64 kg. 3 p — X 2 2 p[Z 2] p[Z 1,5] p[Z 2] p[Z 1,5] p[Z 2] (1 p[Z 1,5]) 0,9772 (1 0,9332) 0,9772 0,0668 0,9104 p[X 64] p[Z 2] p[Z 2] 1 p[Z 2] 1 0,9772 0,0228 5000,0228 11 persones pesen menys de 64 kg. 13. La nota mitjana de les proves d’accés a una facultat va ser de 5,8 amb una desviació típica d’1,75. Si van ser admesos tots els estudiants amb una nota superior a 6 i considerant que la distribució és normal: X: «notes» → N(5,8; 1,75) a) Quin va ser el percentatge d’estudiants admesos? p[X 6] p[Z 0,11] 1 p[Z 0,11] 9. Demostra que el 99,74 % del total de l’àrea de recinte que determina la funció de densitat amb l’eix OX en una distri­ bució normal N(, ) es troba a l’interval: ( 3, 3) p[ 3 X 3] p[3 Z 3] 2(p[Z 3] 0,5) 2(0,9987 0,5) 20,4987 0,9974 → 99,74 % 10. Troba la probabilitat que una variable cotínua prengui valors compresos entre 32 i 40 en una distribució N(50, 5). p[32 X 40] p[3,6 Z 2] p[2 Z 3,6] p[Z 3,6] p[Z 2] 0,99984 0,9772 0,02264 11. La durada de l’embaràs de les dones segueix una distribució normal, amb una mitjana de 266 dies i una desviació tipus de 16 dies. Calcula el percentatge d’embarassos amb una durada màxima de 244 dies. X:«durada de l’embaràs en dies» → N(266, 16) p[X 244] p[Z 1,38] p[Z 1,38] 1 p[Z 1,38] 1 0,9162 0,0838 El 8,38 % d’embarassos. 12. La mitjana de pes de 500 persones és 70 kg i la desviació típica, 3 kg. Suposant que el pes es distribueix normalment, determina el nombre de persones que pesa: X: «pes en kg» → N(70, 3) 215 1 0,5438 0,4562 → 45,62 % b) Quina és la probabilitat que exactament quatre de cada deu estudiants fossin admesos? B(10; 0,4562); Y: «nombre d’estudiants admesos» p[Y 4] 104 0,4562 0,5438 4 6 0,23522 c) Si haguessin admès el 55 % dels estudiants, quina hauria estat la nota de tall en aquesta facultat? p[X x] 0,55 → p[Z z] 0,55 → → p[Z z] 0,55 → z 0,13 z 0,13 → x z 1,75(0,13) 5,8 5,57 14. La data de caducitat d’un medicament és el 31 de desembre d’un determinat any. Sabem que, després d’aquesta data, l’efectivitat del medicament segueix una distribució normal la mitjana de la qual és de 300 dies i la desviació típica, de 100 dies. X: « dies que passen de la data de caducitat» → N(300, 100) a) Calcula la probabilitat que no sigui efectiu el 31 de desem­ bre de l’any següent. p[X 365] p[Z 0,65] 0,7422 LA 216 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE b) Quin dia s’haurà de consumir si volem tenir un 80 % de probabilitat que sigui efectiu? p[X x] 0,8 → p[Z z] 0,8 → → p[Z z] 0,8 → z 0,84 b) L’aproximació normal a la binomial. np 80,35 2,8 √ npq √80,350,65 1,35 B(8; 0,35) → N(2,8; 1,35) z 0,84 → x z 100(0,84) 300 216 dies 216 dies després de la data de caducitat. p[2,5 X 5,5] p[0,22 Z 2] p[Z 2] p[Z 0,22] p[Z 2] p[Z 0,22] p[Z 2] (1 p[Z 0,22]) 0,9772 (1 0,5871) 0,9772 0,4129 0,5643 15. En un estadi esportiu es volen instal.lar focus per il.luminar el terreny de joc. El temps de funcionament dels focus se­ gueix una distribució normal, amb una mitjana de 40 hores i una desviació típica de 4 hores. X: «temps de funcionament dels focus en hores» → N(40, 4) a) Si escollim un focus a l’atzar, quina és la probabilitat que il.lumini un mínim de 30 hores? p[X 30] p[Z 2,5] p[Z 2,5] 0,9938 b) Si es compren 1 500 focus, quants podem esperar que funcionin 30 hores com a mínim? 18. El nombre de fulls que empaqueta una màquina segueix una distribució normal, amb una mitjana de 1000 fulls i una desviació típica de 10 fulls. Un paquet de fulls s’accepta si en té entre 995 i 1005. Es demana: X: «nombre de fulls» → N(1000, 10) a) La probabilitat que un paquet sigui acceptat. p[995 X 1005] p[0,5 Z 0,5] 2(p[Z 0,5] 0,5) 2(0,6915 0,5) 20,1915 0,383 1 5000,9938 1 490,7 1 491 focus 16. Per aprovar unes oposicions es necessita obtenir en una pro­ va 100 punts com a mínim. Sabem que la distribució dels punts obtinguts és normal, amb una mitjana de 110 punts i una desviació típica de 15 punts. X: «nombre de punts obtinguts» → N(110, 15) b) La probabilitat que exactament dos paquets de cada deu siguin acceptats. B(10; 0,383); Y: «nombre de paquets acceptats» a) Quina és la probabilitat que aprovi un opositor? p[X 100] p[Z 0,67] p[Y 2] p[Z 0,67] 0,7486 b) Si es presenten 1 000 opositors i només es disposa de 300 places, quants punts s’hauran d’aconseguir per gua­ nyar una d’aquestes places? p[X x] 0,65 → p[Z z] 0,65 → → p[Z z] 0,65 → z 0,39 z 0,39 → x z 10(0,39) 1 000 996 fulls x z 150,52 110 117,8 punts 17. El percentatge d’espanyols amb estudis mitjans és del 35 %. Si triem vuit persones a l’atzar, calcula la probabilitat que en­ tre 3 i 5 (ambdós inclosos) tinguin estudis mitjans, aplicant: X: «nombre d’espanyols que tenen estudis mitjans» ( 3 0,35 0,65 4 0,35 0,65 5 0,35 0,65 5 4 4 1 np 100— 16,6 6 p[3 X 5] p[X 3] p[X 4] p[X 5] 3 X: «nombre de vegades que surt el 5» B(8; 0,35) 19. Es llança 100 vegades un dau. Calcula la probabilitat d’obtenir el número 5: 1 B 100, — 6 a) La distribució binomial. 8 8 c) Si el 65 % dels paquets té més d’un determinat nombre de fulls, quants fulls té cadascun d’aquests paquets? → p[Z z] 0,7 → z 0,52 8 2 0,13864 p[X x] 0,3 → p[Z z] 0,3 → 8 102 0,383 0,617 5 √ 1 5 100—— 3,73 6 6 ( 0,2785858 0,1875097 0,0807734 0,5468689 3 √ npq N(16,6 ; 3,73) 6 la MATEMÀTIQUES 1 a) Menys de 18 vegades. a) La nota mitjana de l’examen. p[X 18,5] p[Z 0,49] 0,6879 p[Z z1] 0,175 → → p[Z z1] 0,825 → z1 0,93 b) Més de 14 vegades. p[Z z2] 0,157 → p[X 13,5] p[Z 0,85] p[Z 0,85] 0,8023 → p[Z z2] 0,843 → → z2 1,01 → z2 1,01 c) Exactament 20 vegades. p[19,5 X 20,5] p[0,76 Z 1,03] p[Z 1,03] p[Z 0,76] 0,8485 0,7764 0,0721 20. El temps que es necessita perquè una ambulància arribi a l’hora a un hospital es distribueix normalment amb una mi­ tjana de 12 minuts i una desviació típica de 3 minuts. X: «temps que necessita l’ambulància» → N(12,3) a) Determina la probabilitat que el temps que trigui a arribar es trobi entre 10 i 19 minuts. p[10 X 19] p[0,67 Z 2,33] p[Z 2,33] p[Z 0,67] p[Z 2,33] p[Z 0,67] p[Z 2,33] (1 p[Z 0,67]) 0,9901 (1 0,7486) 0,9901 0,2514 0,7387 b) Calcula el temps en minuts per al qual la probabilitat que l’ambulància es retardi sigui del 15 %. p[X x] 0,15 → p[Z z] 0,15 → → p[Z z] 0,85 → z 1,04 z 1,04 → x z 3(1,04) 12 8,88 minuts 21. La mitjana del pes dels habitants d’una ciutat és de 65 kg, amb una desviació típica de 5 kg. Suposant una distribució normal dels pesos, és zero la probabilitat que en escollir una persona a l’atzar pesi més de 100 kg? Justifica’n la res­ posta. X: «pes en kg» → N(65, 5) p[X 100] p[Z 7] 0. Sí, és zero. 6 7 0,93 ——— 5 1,01 ——— 7 ——— 0,93 5 ——— 1,01 6 d’on s’obté: 7 5 ——— ——— → 6,04 0,93 1,01 b) El percentatge d’alumnes que van obtenir una nota compresa entre 5 i 7 punts. p[5 X 7] p[X 7] p[X 5] 1 p[X 7] p[X 5] 1 0,175 0,157 0,668 23. Llancem una moneda 50 vegades. Troba la probabilitat que el nombre de cares que obtinguem es trobi entre 12 i 16 (ambdues incloses). Utilitza: X: «nombre de cares» a) La distribució binomial corresponent. 1 B 50, — 2 p[12 X 16] p[X 12] p[X 13] p[X 14] p[X 15] p[X 16] 50 1 50 1 50 1 —— —— —— 14 2 15 2 16 2 50 — 12 1 — 2 50 — 13 50 50 1 — 2 50 0,00763 22. Se sap que les notes d’un determinat examen segueixen una distribució normal. El 17,5 % dels alumnes que s’han exami­ nat ha obtingut una nota que supera els 7 punts, mentre que la nota del 15,7 % no arriba als 5 punts. Calcula: X: «notes» → N(, ) 217 b) L’aproximació normal a la binomial. 1 np 50— 25 2 p[X 7] 0,175 √ npq p[X 5] 0,157 N(25; 3,54) √ 1 1 50—— 3,54 2 2 50 50 218 LA SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE p[11,5 X 16,5] p[3,81 Z 2,4] p[2,4 Z 3,81] p[Z 3,81] p[Z 2,4] 0,99993 0,9918 0,00813 24. Suposem una distribució normal N(50, ) en què p[X 70] 0,0228. Determina el valor de i calcula p[X 45]. p[X 70] 0,0228 p[Z z] 0,0228 → p[Z z] 0,9772 → → z2 70 50 70 50 2 ———— → ———— 10 2 N(50, 10) p[X 45] p[Z 0,5] p[Z 0,5] 1 p[Z 0,5] 1 0,6915 0,3085 25. Dues variables aleatòries contínues X i Y segueixen una distribució normal la mitjana de la qual és zero. A més, p[X 2] p[Y 3] 0,1587. Calcula’n les variàncies corresponents. 0 en ambdues. p[X 2] 0,1587 p[Z z] 0,1587 → p[Z z] 0,8413 → → z1 p[Y 3] 0,1587 2 1 — → 1 2 → 12 4, de la variable X 1 3 1 — → 2 3 → 22 9, de la variable Y 2 Avaluació 1. Quina diferència hi ha entre variable estadística i variable aleatòria? Quines condicions ha de complir una distribució perquè segueixi el model binomial? Resposta oberta. 2. Tenim una moneda trucada de manera que la probabilitat de treure cara és quatre vegades la de treure creu. Tirem 6 vegades la moneda. Calcula la probabilitat de: a) Treure dues vegades creu. b) Treure com a màxim dues vegades creu. a) p[x 5 2] 5 0,24576 b) p[x ≤ 2] 5 0,90112 3. De 1 000 mesures de talles se’n va obtenir una mitjana de 165 cm i una desviació típica de 8 cm. Se suposa que la distribució és normal i es demana: a) Quantes mesures són més petites de 157 cm? b) Quantes estan entre 167 i 181 cm? a) 1 000·p [x ≤ 157] 5 1 000 · 0,1587 ≈ 159 b) 1 000· p[167 ≤ x ≤ 181] 5 1 000 · 0,3785 5 378 4. En un gran estadi esportiu es volen instal·lar focus per il·luminar el camp de joc. El subministrador assegura que el temps de vida dels focus segueix, aproximadament, una distribució normal amb mitjana de 40 h i desviació tipus de 4 h. a) Escollim un focus a l’atzar. Quina és la probabilitat que duri com a mínim 30 h? b) Si es compren 1 500 focus, quants es pot esperar que durin com a mínim 30 h? c) Si es comprova que només 1 400 focus dels 1 500 com­ prats duren més de 30 h, és cert el que assegura el sub­ ministrador? a) p[x ≥ 30] 5 0,9938 b) 1 500 · 0,9938 5 1 490,7. És a dir, aproximadament 1 491 focus. c) El percentatge de focus que no funcionen desprès de 30 h és 1 400 = 0,9333. 1 500 Busquem a les taules de la normal quantes hores de vida tindria una bombeta amb aquesta probabilitat: p[z ≥ –zo] 5 p[z ≤ zo] 5 0,9333 → zo5 1,50 → → 30 − X = −1,5 → X 5 36 hores. Per tant, la mitjana és 4 de 36 hores de durada i no de 40 hores, com diu el fabricant.