Interacción magnética

INTERACCIÓN MAGNÉTICA
1. INTRODUCCIÓN
Experimentos subsiguientes realizados por
Ampere y otros, demostraron que las
corrientes eléctricas atraen trozos de
limaduras de hierro, creando campos
magnéticos.
Se conoce el magnetismo desde el año 640
a.C. en la antigua Grecia, concretamente
en Magnesia, donde existían ciertas
piedras que atraían pequeños objetos de
hierro, hoy llamadas magnetitas. También
existen pruebas de que en China se
conocía los fenómenos magnéticos desde
el año 2637 a.C.
Seis semanas después de la comunicación
de Oersted, dos investigadores: J.B. Biot y
Félix Savart, descubrieron también los
efectos magnéticos que crea una corriente
eléctrica, estudiando las fuerzas existentes
entre dos conductores por los que
circulaban corrientes eléctricas, llegando a
obtener una expresión que suministra el
campo magnético creado por un elemento
de corriente en un conductor. Tal expresión
es conocida hoy en día como ley de Biot y
Savart. A partir de esta fecha, podemos
decir que se inicia el estudio cuantitativo
del magnetismo, creándose un aparato
matemático para describir su teoría.
En 1269, Maricourt, es el primero en
introducir el concepto de polo de un imán,
describiendo detalladamente la brújula en
navegación. Hacia esta fecha, numerosos
investigadores, habían ya descubierto que
todos los imanes, independientemente de
su forma, tienen dos polos: un polo norte y
un polo sur. Los polos de un mismo tipo se
repelen, mientras que polos de distinto tipo
se atraen. En la figura 1 se muestran las
líneas de campo de un imán.
2. LEY DE BIOT Y SAVART
El campo magnético creado por una
corriente eléctrica (Fig.2), se calcula a partir
de la expresión integral, debida a Biot y
Savart, de la forma:
r µ I
B= 0
4π
∫
r r
u t × ur
dl
r2
Fig.1: Líneas de fuerza del campo
magnético en un imán.
Una característica peculiar de los imanes
es que sus polos no pueden aislarse, es
decir, se encuentran siempre en pares. No
ocurre así con las cargas (positiva y
negativa). Muchos han sido los intentos,
por detectar la existencia del monopolo
magnético, pero hasta la fecha actual todos
los intentos han fracasado.
Fig.2: Elementos de la fórmula de Biot y Savart.
En 1600, Gilbert descubre la razón por la
cual la aguja de una brújula se orienta por
sí misma en una dirección definida: la tierra
es un imán permanente. En 1.750, John
Michell estudia cuantitativamente las
fuerzas de atracción y repulsión entre polos
magnéticos. Sin embargo, la relación
cuantitativa
entre
magnetismo
y
electricidad, no se conoce hasta el siglo
XIX. Es Oersted el primero en descubrir
que una corriente eléctrica desvía la aguja
de una brújula, comunicando dicho
resultado el 18 de septiembre de 1820.
siendo:
• µo, la constante de permeabilidad
magnética del medio (generalmente el
-7
2
vacío), cuyo valor es 4π 10 N/A .
• i, la intensidad de corriente eléctrica,
medida en el SI en Amperios (A).
• ut, es un vector unitario tangente al
elemento de corriente dl, con el mismo
sentido que el de la corriente eléctrica.
• ur, es un vector unitario dirigido desde
el elemento de corriente hasta el punto
donde se calcula el campo magnético.
1
•
•
corriente eléctrica, los dedos curvados
señalan el sentido de giro del campo
magnético sobre la línea de campo...”
r, es la distancia desde el elemento de
corriente hasta el punto donde se
calcula el campo magnético.
dl, es un diferencial de longitud tomado
sobre el hilo conductor que transporta
la corriente eléctrica.
El campo magnético es tangente a la línea
de campo, girando sobre la misma, según
el sentido que determina la regla de la
mano derecha. En el SI la unidad de campo
magnético se denomina Tesla y se
simboliza así: T.
Generalmente, se obtiene por separado el
módulo y la dirección y sentido del campo.
Módulo del campo magnético
El módulo del campo magnético es:
r µ I
B = 0
4π
∫
r r
ut × u r
r2
Problemas-ejemplo:
2.1 En la figura se muestran dos semicircunferencias
de radios a y b, por los que circula una corriente
eléctrica I. Utiliza la ley de Biot y Savart, demostrando
que el campo magnético B en el punto P es (resuelto
en biot1.pdf)
dl
r µ I a−b r
B= 0
k
4 ab
donde | ut ^ ur | = sen α, siendo α el ángulo
que forman los vectores ut y ur. A la hora
de calcular la integral anterior, es preciso
tener en cuenta la geometría del problema,
dejando el integrando en función de una
sola variable de integración.
Dirección y sentido del campo magnético
La dirección del campo magnético es
tangente a la línea de campo (una
circunferencia concéntrica con el elemento
de corriente) (ver Fig.3).
2.2 Demuestra que el campo magnético B en el centro
de una espira circular de radio R, por la que circula
una corriente I, es (resuelto en biot2.pdf):
r µ Ir
B= 0 i
2R
Fig.3: Dirección del campo magnético.
El sentido del campo magnético se
determina a partir de la regla de la mano
derecha (ver Fig.4)
3. LEY DE AMPERE
Hemos visto que en distribuciones de carga
con alto grado de simetría, podíamos
calcular el campo eléctrico más fácilmente
si se utilizaba el teorema de Gauss. Una
situación semejante se presenta en
magnetismo. La ley de Ampere relaciona la
componente tangencial del campo B
sumado alrededor de una curva cerrada C
con la corriente I, que pasa a través de
dicha curva. En forma integral, la ley de
Ampere expresa que:
Fig.4: Sentido del campo magnético, mediante la
aplicación de la regla de la mano derecha.
r r
∫ B. dl
que puede enunciarse así:
“...si se sujeta con la mano derecha el
elemento de corriente, de modo que el
dedo pulgar señale el sentido de la
= µ0 ∑ I C
siendo B, el campo que se desea calcular,
dl un elemento diferencial de longitud
tomado en la línea de campo C
2
3.1 Demuestra que el campo magnético creado por un
hilo conductor infinito, que transporta una corriente
eléctrica I, a la distancia r del mismo, viene dado por
(resuelto en ampere1.pdf):
B = µo I / 2 π r u
¿ Cuál es el campo si la intensidad circula en sentido
contrario ?.
(circunferencia), µo la permeabilidad
magnética del medio y ΣIC la suma de las
corrientes eléctricas que atraviesan la línea
de campo C. La integral anterior se
denomina circulación del campo B, pues
integramos a lo largo de un camino
cerrado. El campo B y el elemento
diferencial
de
longitud
dl
pueden
expresarse en función del vector u tomado
en la línea de campo (ver Fig.5):
r
r r
r
B = Bu; dl = dlu ⇒
entonces:
∫
r r
B. dl =
∫ B. dl = µ ∑ I
0
∫ B. dl
C
3.2 Un alambre recto e infinito de radio a transporta
una corriente I uniformemente distribuida en toda el
área transversal del conductor. Determina el campo
magnético dentro y fuera del alambre (resuelto en
ampere2.pdf).
Fig.5: Dirección y sentido de B, dl y u.
Si existen varias corrientes eléctricas, hay
que tener en cuenta el sentido de la
corriente de cada una, a la hora de obtener
la suma algebraica ΣIC asignando un
sentido positivo arbitrario (Fig.6).
3.3 Un cilindro conductor infinito de radio 1 m,
transporta una densidad de corriente j=1-r, en el
sentido indicado en la figura. Calcular el campo
magnético en todo el espacio (resuelto en
ampere3.pdf).
Fig.6: Obtención de ΣIC cuando existen varias
corrientes eléctricas.
3.4 Una bobina toroidal está formada por espiras de
alambre arrolladas alrededor de una figura en forma
de neumático. Si el número de espiras es N,
demuestra utilizando la ley de Ampere, que el campo
magnético dentro del toroide (a<r<b) es (resuelto en
ampere4.pdf):
B = µo N I / 2 π r u
LIMITACIONES
La ley de Ampere es útil para calcular el
campo magnético en situaciones con
simetría: hilo conductor de gran longitud,
bobina toroidal, cilindro infinito que
transporta una corriente, etc. Algunos
casos en los que no es útil su aplicación,
son: hilo conductor finito, espira de radio r,
etc. Conviene recordar, que las leyes de
Ampere y Gauss son válidas exista o no
simetría. Cuando no existe simetría, no son
útiles para el cálculo de campos eléctricos
o magnéticos.
3.5 El cable coaxial de la figura consta de un
conductor interno de radio a=0.1 m, por el que pasa
Problemas-ejemplo:
3
una corriente de 0.1 µA, y un conductor externo de
radio b=0.5 m, por el que pasa la misma corriente pero
en sentido contrario (a través de la superficie lateral de
éste). El espacio comprendido entre ambos
conductores esta hueco. Obtener el campo magnético
en todo el espacio (resuelto en ampere5.pdf).
fuerzas eléctrica y magnética, expresión
que se conoce como fuerza de Lorentz:
r r
r
r
r r
F = Fe + Fm = qE + q( v × B)
Cuando una carga q (positiva), se mueve
con velocidad v, donde existe un campo
magnético B, siendo v y B perpendiculares,
la fuerza magnética hace que la carga
2
sienta una fuerza centrípeta mv /R, de
modo que su trayectoria sea una
circunferencia de radio R. A partir de la
Fig.7 podemos obtener la velocidad de la
partícula, así como el campo magnético,
siendo entonces la fuerza magnética:
r r
r
r
B = − Bk ; v = vi
r
r
r
r
F = q(vi × − Bk ) = qvBj
3.6 Un conductor rectilíneo muy largo posee una
sección transversal de radio R y por él circula una
intensidad de corriente I. En el interior del conductor
se ha practicado un orificio cilíndrico de radio a, cuyo
eje es paralelo al eje del conductor y se encuentra a
una distancia b de éste. Obtener el campo magnético
en todo el espacio (resuelto en ampere6.pdf).
Otros problemas de la relación de exámenes:
proble48, proble58 y proble60.
Fig.7: Movimiento de una carga (q>0) en un campo
magnético (siendo v y B perpendiculares).
4. FUERZA MAGNÉTICA SOBRE
UNA CARGA EN MOVIMIENTO:
FUERZA DE LORENTZ
Igualando la fuerza magnética y la fuerza
centrípeta, obtenemos el radio R de la
trayectoria circular:
Cuando una carga q se mueve con
velocidad v en presencia de un campo
magnético B, sufre una fuerza magnética:
v2
v2
⇒ qvB = m
R
R
mv
⇒ R=
qB
Fm = m
r
r r
F = q( v × B)
que puede expresarse en función de las
componentes de v y B así:
r
i
r
F = q vx
Bx
r
j
vy
By
r
k
vz
Bz
Problemas-ejemplo:
Velocidad de una carga en un campo: proble52,
proble53, proble54, proble56.
Velocidad y campo por Ampere: proble46, proble49,
proble50, proble57, proble59.
5. FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN
SEGMENTO DE CORRIENTE
La fuerza magnética es perpendicular tanto
al vector velocidad v como al campo
magnético B (por definirse como un
producto vectorial). Si simultáneamente
actúan dos campos, uno eléctrico E y otro
magnético B, la fuerza que siente una
carga q viene dada por la suma de las
Cuando un conductor por el que circula una
corriente eléctrica I, se encuentra situado
en una región donde existe un campo
magnético B, siente una fuerza que es
simplemente la suma de las fuerzas
magnéticas sobre las partículas cargadas
4
cuyo movimiento
(figura 8).
produce
la
Problemas-ejemplo:
corriente
6.1 Un conductor rectangular se desplaza
paralelamente al plano YZ. Inicialmente el lado
izquierdo del conductor coincide con el eje OZ. Si el
campo magnético existente es: B=(6-y) i T, obtener el
flujo magnético en el conductor, cuando: a) El
conductor se desplaza con velocidad constante v= 2
m/s. b) El conductor se desplaza con velocidad v=2t
(resuelto en flujo1.pdf).
Fig.8: Fuerza magnética sobre un segmento de
alambre portador de corriente en un campo
magnético.
Si el conductor posee una longitud L,
transportando una corriente I, y el campo
magnético es B, la fuerza que siente el
conductor se define como (Fig.8):
r
r
r
F = I ∫ (ut × B)dl
6.2 Un hilo conductor infinito transporta una corriente
eléctrica I. Una espira rectangular de lados a y b, está
en reposo a una distancia d del conductor. Calcula el
flujo magnético que atraviesa la espira (resuelto en
flujo2.pdf).
Si el conductor es rectilíneo y la corriente y
el campo son uniformes:
r
r r
F = I ( L × B)
La fuerza F es perpendicular al segmento
de corriente y al campo magnético, por
definirse como un producto vectorial.
Problemas-ejemplo:
Ampere y fuerza sobre una corriente: proble47.
6. FLUJO MAGNÉTICO
La unidad de flujo magnético en el SI se
denomina weber (simbolizado por Wb),
2
siendo 1 Wb = 1 T . 1 m .
El flujo magnético está relacionado con el
número de líneas de campo magnético que
pasan a través de un área determinada. En
forma integral, se define flujo magnético Φ
de la forma:
φB =
r
6. LEY DE FARADAY
r
Cuando el flujo magnético es variable en un
circuito, aparece en el mismo una fuerza
electromotriz inducida (fem), es decir, un
voltaje. La ley de Faraday establece el
valor de dicho voltaje ε, como la variación
temporal del flujo magnético, es decir:
∫ B. dS
Si B es uniforme, puede sacarse fuera de
la integral, obteniéndose una fórmula más
sencilla para el cálculo del flujo:
r
r
r r
r r
φ B = B. ∫ dS = B. S = B S cosα
ε=−
Cuando B es perpendicular a la superficie,
el flujo es B.S. Si forma un ángulo con la
superficie, habrá de multiplicarse B.S por el
coseno del ángulo que forman los vectores
campo magnético y superficie (Fig.9).
a)
dφ B
dt
El signo negativo de la ley de Faraday está
relacionado con la dirección de la fem,
mediante la ley de Lenz, que establece que
la fem y la corriente inducidas poseen una
dirección y sentido tal que tienden a
oponerse a la variación que las produce.
El flujo magnético puede variar en
situaciones diversas, en función de que
cambie el campo (campo variable o
movimiento de la fuente que crea el campo
magnético), la superficie S o el ángulo
b)
Fig.9: Flujo magnético cuando en los casos: a) B es
perpendicular a la superficie. b) B y S forman un
ángulo determinado.
5
Problemas-ejemplo:
entre B y S. A continuación se muestran
algunos ejemplos:
•
•
Problemas resueltos de exámenes: 62, 63, 64, 65.
7. AUTOINDUCCIÓN. INDUCTANCIA
MUTUA
Movimiento de un imán cerca de una
espira. El área de la espira S es
constante, mientras que el campo
magnético varía. Cuando el imán se
mueve hacia la espira, la fem inducida
en ésta produce una corriente en el
sentido indicado:
AUTOINDUCCIÓN L
El flujo magnético que atraviesa un circuito
puede relacionarse con la corriente en el
mismo, de la forma: Φ = L I, siendo L una
constante
denominada
autoinducción,
midiéndose ésta en el SI en henrio (H),
siendo 1 H = 1 Wb / 1 A.
INDUCTANCIA MUTUA M
Cuando dos o más circuitos están próximos
uno al otro, el flujo magnético que atraviesa
uno de ellos depende no sólo de la
corriente en este circuito, sino también de
la corriente que circula por los circuitos
próximos. Ejemplo:
Movimiento de una varilla deslizante en
el interior de un campo B constante. En
esta situación varía la superficie,
mientras B y el ángulo son constantes.
Cuando la barra se mueve hacia la
derecha, el área del circuito aumenta y
el flujo magnético se incrementa. En el
circuito se induce una fem de magnitud
BLv produciéndose una corriente en
sentido contrario al de las agujas del
reloj.
El campo magnético en el punto P se debe
parcialmente a la corriente I1 y parcialmente
a la corriente I2. El flujo a través de
cualquiera de los circuitos es la suma de
dos términos, uno proporcional a I1 y el otro
a I2, siendo:
φ1 = L1 I 1 + M 12 I 2
φ2 = L2 I 2 + M 21 I 1
•
Movimiento de rotación de una bobina
de n vueltas en una región donde
existe un campo B. El campo B es
constante, así como también el área de
la espira, sin embargo, el ángulo
formado por B y S varía con el tiempo,
lo cual hace que el flujo magnético
varíe y se produzca una fem.
donde L1 y L2 son los coeficientes de
autoinducción de los circuitos 1 y 2
respectivamente y M12 es la inductancia
mutua entre el circuito 1 y el 2, que
depende de la disposición geométrica entre
ambos circuitos.
Problemas-ejemplo:
Problemas resueltos de exámenes: 65.
6