POLIGONOS AB (1)

ABRAHAM GARCIA ROCA
agarciar@correo.ulima.edu.pe
Es la figura que esta formado por segmento de
recta unido por sus extremos dos a dos.
Vértice
Medida del
ángulo central
 B

Diagonal

A
 
 C

Centro
Medida del
ángulo externo

E 
 
D
Lado
Medida del
ángulo interno
01.-Polígono convexo.-Las medidas
de sus ángulos interiores son
agudos.
03.-Polígono equilátero.-Sus lados
son congruentes.
02.-Polígono cóncavo.-La medida
de uno o mas de sus ángulos
interiores es cóncavo.
04.-Polígono equiángulo.-Las medidas
de sus ángulos interiores son
congruentes.
05.-Polígono regular.-Es equilátero
y a su vez equiángulo.
Triángulo : 3 lados
Cuadrilátero: 4 lados
Pentágono: 5 lados
Hexágono: 6 lados
Heptágono: 7 lados
Octógono: 8 lados
06.-Polígono irregular.-Sus lados
tienen longitudes diferentes.
Eneágono :
9 lados
Decágono:
10 lados
Endecágono: 11 lados
Dodecágono: 12 lados
Pentadecágono:15 lados
Icoságono:
20 lados
PRIMERA PROPIEDAD
Numéricamente: Lados, vértices, ángulos interiores,
ángulos exteriores y ángulos centrales son iguales.
• Lados
• Vértices
• Ángulos interiores
• Ángulos exteriores
• Ángulos centrales
SEGUNDA PROPIEDAD
A partir de un vértice de un polígono, se pueden
trazar (n-3 ) diagonales.
Ejemplo:
ND = (n-3) = (5-3) = 2 diagonales
TERCERA PROPIEDAD
El número total de diagonales que se puede trazar en
un polígono:
n(n  3)
ND 
2
Ejemplo:
ND 
5(5  3)
 5 diagonales
2
CUARTA PROPIEDAD
Al trazar diagonales desde un mismo vértice se
obtiene (n-2) triángulos
Ejemplo:
1
3
2
Ns. = ( n – 2 ) = 5 - 2 = 3 triángulos
QUINTA PROPIEDAD
Suma de las medidas de los ángulos interiores de
un polígono:
Si =180°(n-2)
Donde (n-2) es número de triángulos
Ejemplo:
Suma de las medidas de los
ángulos interiores del triangulo
180º
180º
180º
Si = 180º x número de triángulos = 180º(5-2) = 540º
SEXTA PROPIEDAD
Suma de las medidas de los ángulos exteriores de un
polígono es 360º
Se = 360°


Ejemplo:



 +  +  +  +  = 360º
SEPTIMA PROPIEDAD
Al unir un punto de un lado con los vértices opuestos se
obtiene (n-1) triángulos
Ejemplo:
Punto cualquiera de
un lado
4
1
3
2
Ns. = ( n – 1 ) = 5 - 1 = 4 triángulos
OCTAVA PROPIEDAD
Al unir un punto interior cualquiera con los vértices se
obtiene “n” triángulos
Ejemplo:
5
4
1
3
2
Ns. = n = 5 = 6 triángulos
NOVENA PROPIEDAD
Número de diagonales trazadas desde “V” vértices consecutivos,
se obtiene con la siguiente fómula.
ND  nV 
Ejemplo:
( V  1)( V  2)
2
1
2
y así sucesivamente
1ra. Propiedad
Medida de un ángulo interior de
un polígono regular o polígono
equiángulo.
m 
i
180(n  2)
n
3ra. Propiedad
Medida de un ángulo central de
un polígono regular.
m c 
360
n
2da. Propiedad
Medida de un ángulo exterior de
un polígono regular o polígono
equiángulo.
m e 
360
n
4ta. Propiedad
Suma de las medidas de los
ángulos centrales.
Sc = 360°
Problema Nº 01
En un polígono, la suma de las medidas de los
ángulos exteriores e interiores es 1980°. Calcule el
total de diagonales de dicho polígono.
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
Se + Si = 1980°
Luego, reemplazando por las propiedades:
360° + 180°( n - 2 ) = 1980°
Resolviendo:
n = 11 lados
Número de diagonales:
n(n  3)
ND 
2
ND 
11 ( 11  3 )
2
ND = 44
Problema Nº 02
¿Cómo se denomina aquel polígono regular, en el
cual la medida de cada uno de su ángulo interno es
igual a 8 veces la medida de un ángulo externo
RESOLUCIÓN
Polígono es regular:
Del enunciado:
mi = 8(me )
Reemplazando por las propiedades:
180 ( n  2 )
360
 8 (
)
n
n
Resolviendo:
n = 18 lados
Luego polígono es regular se denomina:
Polígono de 18 lados
Problema Nº 03
Calcule el número de diagonales de un polígono
convexo, sabiendo que el total de las diagonales es
mayor que su número de lados en 75.
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
ND = n + 75
Reemplazando la propiedad:
n(n3)
= n + 75
2
n2 - 5n - 150 = 0
Resolviendo:
n = 15 lados
Luego, el número total de diagonales:
n(n  3)
ND 
2
ND 
15 ( 15  3 )
2
ND = 90
Problema Nº 04
En un polígono regular, se le aumenta un lado, la
medida de su ángulo interno aumenta en 12°;
entonces el número de vértices del polígono es:
RESOLUCIÓN
Polígono es regular:
Del enunciado:
Polígono original: n lados
Polígono modificado: (n+1) lados
Reemplazando por la propiedad:
180( n  2 )
180( n  1  2 )
 12 
Resolviendo: n = 5 lados
n
n1
Número de lados = Número de vértices
NV= 5 vértices
Problema Nº 05
El número total de diagonales de un polígono
regular es igual al triple del número de vértices.
Calcule la medida de un ángulo central de dicho
polígono.
RESOLUCIÓN
Polígono es regular:
Del enunciado:
ND = 3n
Reemplazando por la propiedad:
n(n3 )
= 3n
2
Resolviendo:
n = 9 lados
Luego, la medida de un ángulo central:
m c 
360
n
m c
360

9
mc = 40°