AUTOMATIZACION DEL DISEÑO BIAXIAL DE COLUMNAS DE CONCRETO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
“AUTOMATIZACIÓN DEL CALCULO DE DIAGRAMAS DE
INTERACCIÓN PARA EL DISEÑO EN FLEXOCOMPRESIÓN
BIAXIAL CON VERIFICACIÓN DE LA CARGA AXIAL MÁXIMA
DE COLUMNAS DE CONCRETO ARMADO”
Presentada por:
Richard S. Calle García
TESIS PARA OPTAR EL TÍTULO DE
INGENIERO CIVIL
Piura, Perú
2014
Tesis presentada como requisito para optar el título de Inge,niero
Civil
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
Facultad de Ingeniería Civil
DECANATO
ACTA DE SUSTENTACION DE TESIS
Los Miembros del Jurado Calificador, que suscriben, reunidos para estudiar
el Trabajo de Tesis, presentado por el ex alumno de la Facultad de Ingeniería Civil de la
Universidad Nacional de Piura.
BR. RTCHAR STANIER CALLE GARCIA
TESIS TITULADA
*AUTOMATIZACTON DEL CALCULO DE DIAGRAMAS DE INTERACCION
PARA EL DISEÑO EN FLEXOCOMPRESION BIAXIAL CON VERIFICACION
DE LA CARGA AXIL MAXIMA EN COLUMNAS DE CONCRETO ARMADO"
Oídas las observaciones y las respuestas a las preguntas, lo declaran
....
rd.L«. a flD/D.
co n eI ca I if i cativo ae....
€xc.F..L E U.Tt
En consecuencia, queda en condiciones de ser calificado:
,á
Plz
Por el Consejo de Facultad de Ingeniería Civil de Ia Universidad Nacional de
Piura, y recibir el título de INGENIERO CIVIL, de conformidad con lo estipulado
en elA¡t. 176 del Estatuto General de la Universidad Nacionalde Piura.
Piura, 11 de Abril de 201,4.
f?
ING.ROSARIO CHUMACERO CORDOVA M.Sc.
cAMpus uNtvERslrARto s/N. uRBAHtzlclóN MIRAFLoRES, cASTILLA - ptuR^A
relÉFoNo:288251 ANEXo: 2104
-
FAX 343349
DERECHOS DE AUTOR Y MARCAS REGISTRADAS
La presente tesis “Automatización del cálculo de diagramas de interacción para el diseño
en flexocompresión biaxial con verificación de la carga axial máxima de columnas de concreto
armado” emplea diversos recursos informáticos, que son debidamente presentados a continuación.
Microsoft es una marca comercial registrada de Microsoft Corporation.
Office y Excel son marcas comerciales registradas de Microsoft Corporation.
RAM Advanse es marca comercial registrada de Bentley Systems Incorporated.
SAP2000 es marca comercial registrada de Computers and Structures Incorporated.
VBA y Visual Basic son marcas comerciales registradas de Microsoft Corporation.
Los nombres de productos mencionados en esta investigación se utilizan sólo con
propósitos identificativos y pueden ser marcas comerciales y/o marcas comerciales registradas de
sus respectivas compañías.
“Observando a las criaturas de la naturaleza, he llegado a la conclusión de que, al igual que
cada criatura de Dios intenta realizar lo que su propia naturaleza le exige, de la misma forma
ha recibido los medios para alcanzar su meta. El ansia más íntima de los humanos es
alcanzarla sabiduría y la comprensión; por lo tanto, podemos suponer que también ha recibido
las facultades para llegar a ellas. Pero si investigamos la esencia de la sabiduría humana,
pronto nos damos cuenta de que todo conocimiento nace de la comparación de lo ya sabido
con lo desconocido. Por este camino podemos llegar lejos, pero nunca alcanzaremos lo
infinito. El hombre no puede alcanzar la absoluta verdad, ni el conocimiento absoluto. Lo
comprenderás mejor si defino a Dios como la verdad absoluta. Nunca podremos entender la
esencia de Dios. En consecuencia, todas nuestras verdades quedarán limitadas para siempre, y
en proporción con lo que ya sabemos. La absoluta verdad es infinita como lo es Dios, y por
ello no la podemos entender. Tu no comprendes esto –añadió- porque estás acostumbrado a
mirar todo lo que hay a tu alrededor como seres tangibles. Sin embargo, mis estudios de
matemáticas me han llevado a comprender que el único conocimiento definitivo que el
hombre puede alcanzar es la comprensión de que el definitivo conocimiento no es alcanzable
para él porque, si así fuera, él mismo se convertiría en Dios. A esto lo llamo la ignorancia
ignorante, ya que nos ofrece la única base firme en que podemos fundar nuestro pensamiento
razonable, sin caer en fantasías.”
MIKA WALTARI: Juan el Peregrino
Quiero dedicar el esfuerzo vertido en este trabajo a quienes
me debo agradecer en lugar primero, mis padres María y
Ricardo, por su invaluable apoyo a pesar de las
dificultades, en especial a mi madre quien aun con sus
limitaciones supo tener la fortaleza para no desistir en todo
este tiempo.
AGRADECIMIENTOS
El autor desea expresar su gratitud hacia todos aquellos Profesores de la Facultad de
Ingeniería Civil de la Universidad Nacional de Piura que contribuyeron al desarrollo y aplicación
de las ideas que este proyecto recoge.
Especial reconocimiento merecen la docente Ing. María Josefa Gutiérrez Adrianzén, quien
fue la responsable de la concepción de orientar el desarrollo de la aplicación COL 3D como
proyecto de tesis, así mismo lo merece la docente Ing. Adela Soledad Augusto Vílchez, quien en
el curso de tesis a su cargo proporcionó las pautas tomadas en cuenta para la redacción.
A las personas que contribuyeron con ideas y alguna observación acerca del proyecto, como
Tania Castro Correa, quien puso en alerta de una falta vital en la programación. Asimismo el
agradecimiento para:
Ronald S. Calle Gracia
Ing. Miguel Talledo Coveñas
Ing. Pedro Palacios Almendro
Ing. Carlos Silva Castillo
Tatiana Miranda Merino
Y todos quienes hicieron posible la culminación del mismo.
ÍNDICE DE CONTENIDOS
CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN
1
1.1. MICROSOFT EXCEL
2
1.2 APLICACIÓN DE EXCEL EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL
4
1.3. COL 3D
5
1.4. COL 3D ALCANCES Y LIMITACIONES
7
CAPITULO 2: ESTUDIO DE LAS COLUMNAS
8
2.1. DEFINICIÓN
8
2.2. LOS MATERIALES: EL CONCRETO Y EL ACERO
9
2.3. DISEÑO DE COLUMNAS
12
2.4. DISEÑO POR FLEXOCOMPRESIÓN
20
CAPITULO 3: ALGORITMOS PARA DETERMINAR LAS
PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE UNA SECCIÓN
36
3.1. SECCIONES POLIGONALES
37
3.2. SECCIONES CIRCULARES
43
3.3. TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE COORDENADAS
44
CAPITULO 4: AUTOMATIZACIÓN DEL DISEÑO POR
FLEXOCOMPRESIÓN
47
4.1. DEFINICIÓN DE DATOS DE ENTRADA
48
4.2. PROCESAMIENTO DE DATOS
54
4.3. ALGORITMOS BÁSICOS DEL DISEÑO
57
CAPITULO 5: COMPARACIÓN DE RESULTADOS
5.1. COMPARACIÓN CON DISEÑO USANDO SAP2000 V.15
70
70
5.2. COMPARACIÓN CON DISEÑO MEDIANTE MÉTODO DE BRESLER 88
i
CAPITULO 6: DISCUSIÓN SOBRE LA RESISTENCIA AXIAL MÁXIMA
DE UNA COLUMNA EN FLEXOCOMPRESIÓN
102
6.1. RESISTENCIA AXIAL MÁXIMA SEGÚN LA NORMA
TÉCNICA E. 060
102
6.2. RESISTENCIA AXIAL MÁXIMA SEGÚN HIPÓTESIS
GENERALES DE DISEÑO
103
6.3. ANÁLISIS PARA DIFERENTES SECCIONES Y CUANTÍAS
105
6.4. COMPARACIÓN DE RESULTADOS
111
CAPITULO 7: INFERENCIAS DERIVADAS DEL CALCULO/DISEÑO
MEDIANTE COL 3D
112
7.1. EVALUACIÓN DE COLUMNAS PRISMÁTICAS
112
7.2. DETERMINACIÓN DE CUANTÍA ÓPTIMA
116
7.3. SECCIONES OPTIMIZADAS
123
CONCLUSIONES
129
RECOMENDACIONES
131
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
132
ii
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1.1 Logotipo COL 3D
6
Tabla 2.1 Características del acero según su grado
11
Tabla 2.2 Características de aceros nacionales
12
Figura 2.1 Separación máxima de barras sin apoyo lateral
14
Figura 2.2 Espécimen para ensaye en flexocompresión con agrietamiento típico
20
Figura 2.3 Diagrama de interacción
22
Figura 2.4 Estado de equilibrio para compresión pura
22
Figura 2.5 Estados de deformación en columnas hasta llegar a la
condición balanceada
23
Figura 2.6 Estado de equilibrio para condición balanceada
25
Figura 2.7 Sección para ejemplo de determinación de centro plástico
28
Figura 2.8 Diagrama de interacción típico para diseño
30
Figura 2.9 Ejemplo para determinación de ábaco a emplear
31
Figura 2.10 Superficie de interacción biaxial
34
Figura 3.1 Sección para ejemplo de cálculo de propiedades
37
Tabla 3.1 Modelo de disposición de coordenadas
38
Figura 3.2 Parámetros de cálculo de una sección circular
43
Figura 3.3 Traslación de coordenadas
45
Figura 3.4 Rotación de coordenadas
46
Figura 4.1 Elementos de sección típica de concreto armado
50
Tabla 4.1 Definición de una geometría poligonal
50
Tabla 4.2 Definición de una geometría circular
51
Tabla 4.3 Modelo de disposición del refuerzo
51
Figura 4.2 Lista desplegable de diámetros de refuerzo
52
Tabla 4.4 Modelo de disposición de combinaciones de carga modificables
52
Tabla 4.5 Modelo de disposición de cargas aplicadas
53
iii
Tabla 4.6 Modelo de disposición de cargas factoradas
53
Figura 4.3 Dirección de aplicación de cargas (momento)
54
Figura 4.4 Diagrama de correlación de datos y parámetros
56
Figura 4.5 Modelo de presentación de datos
57
Figura 4.6 Ejemplo de generación de algoritmo en hoja de cálculo
58
Tabla 4.7 Modelo general de configuración de una sección
58
Figura 4.7 Sección para ejemplo de cálculo de peralte efectivo d
59
Figura 4.8 Sección con rotación controlada
59
Figura 4.9 Deformaciones correspondientes a un valor del eje neutro
60
Tabla 4.8 Disposición de cálculos relativos al refuerzo
62
Figura 4.10 Descomposición de momento para vista 3D
64
Tabla 4.9 Cargas aplicadas
64
Tabla 4.10 Combinaciones de cargas
65
Tabla 4.11 Cargas resultantes y dirección
65
Figura 4.11 Carga equivalente y posición angular
66
Figura 4.12 Vista 3D del diagrama resistente de interacción
67
Figura 4.13 Vista 3D del diagrama y cargas aplicadas
68
Figura 4.14 Vista 3D de elevación del diagrama y cargas aplicadas
69
Figura 5.1 Sección para ejemplo de comparación
72
Figura 5.2 Columna de pórtico plano para análisis en SAP2000
73
Figura 5.3 Ventana de asignación en SAP2000
74
Figura 5.4 Ventana de asignación en SAP2000
75
Figura 5.5 Desplegables de SAP2000
75
Figura 5.6 Ventana de SAP2000
76
Figura 5.7 Ventana de SAP2000
77
Figura 5.8 Sección creada en SAP2000
78
Figura 5.9 Elección del tipo de análisis en SAP2000
79
Figura 5.10 SAP2000 ejecutando análisis
79
iv
Figura 5.11 Diagrama de interacción de SAP2000
80
Figura 5.12 Asignación de datos en COL 3D
81
Figura 5.13 Asignación de datos en COL 3D
81
Figura 5.14 Definición de geometría de sección en COL 3D
82
Figura 5.15 Ingreso del refuerzo en COL 3D
82
Tabla 5.1 Valores de axial y momento de COL 3D
83
Figura 5.16 Diagrama de interacción bidireccional en 2D de COL 3D
84
Figura 5.17 Definición de direcciones para el análisis comparativo
85
Tabla 5.2 Comparación de resultados
86
Tabla 5.3 Resultados dados por SAP2000 y COL 3D
86
Figura 5.18 Comparación de diagramas de interacción
87
Tabla 5.4 Comparación de resultados
87
Figura 5.19 Método de las cargas recíprocas
89
Figura 5.20 Contornos de cargas de Bresler para Pn constante en
la superficie de falla S3
90
Figura 5.21 Curvas de interacción para el método del contorno de
las cargas de Bresler
92
Figura 5.22 Determinación de cuantía en ábaco de diseño
93
Figura 5.23 Determinación de cuantía en ábaco de diseño
94
Figura 5.24 Determinación de cuantía en ábaco de diseño
95
Figura 5.25 Determinación de parámetro Kn en ábaco de diseño
96
Figura 5.26 Determinación de parámetro Kn en ábaco de diseño
97
Figura 5.27 Sección diseñada mediante Bresler
98
Figura 5.28 Determinación de dirección de análisis a partir de excentricidades
99
Figura 5.29 Sección orientada según excentricidades para análisis
específico en COL 3D
100
Figura 5.30 Diagrama de interacción de COL 3D y cargas aplicadas
101
Figura 6.1 Estado de deformación máxima
104
Figura 6.2 Sección rectangular para análisis
105
v
Tabla 6.1 Comparación de resultados según diferentes criterios
106
Tabla 6.2 Comparación de resultados según diferentes criterios
106
Figura 6.3 Sección T para análisis
107
Tabla 6.3 Comparación de resultados según diferentes criterios
107
Tabla 6.4 Comparación de resultados según diferentes criterios
108
Figura 6.4 Sección L para análisis
108
Tabla 6.5 Comparación de resultados según diferentes criterios
109
Tabla 6.6 Comparación de resultados según diferentes criterios
109
Figura 6.5 Sección circular para análisis
110
Tabla 6.7 Comparación de resultados según diferentes criterios
110
Tabla 6.8 Comparación de resultados según diferentes criterios
111
Tabla 6.9 Comparación general de resultados
111
Tabla 7.1 Características de columnas prismáticas en estudio
112
Figura 7.1 Secciones prismáticas a estudiar
113
Figura 7.2 Diagramas comparativos para dirección 0.00°
114
Figura 7.3 Diagramas comparativos para dirección 22.50°
114
Figura 7.4 Diagramas comparativos para dirección 45.00°
115
Figura 7.5 Diagramas comparativos para dirección 67.50°
115
Figura 7.6 Diagramas comparativos para dirección 90.00°
116
Figura 7.7 Sección rectangular para análisis
117
Tabla 7.2 Diámetros según variación de cuantía para la sección en análisis
117
Figura 7.8 Diagramas nominales de interacción para diferentes cuantías
118
Tabla 7.3 Puntos de resistencia nominal según cuantía
119
Tabla 7.4 Puntos de resistencia nominal según cuantía
120
Tabla 7.5 Excentricidades obtenidas según cuantía
121
Tabla 7.6 Excentricidades relativas obtenidas según cuantía
122
Tabla 7.7 Variación de relación acero/excentricidad
123
Figura 7.9 Secciones circulares, compacta y hueca
124
vi
Figura 7.10 Diagramas de interacción comparativos
125
Figura 7.11 Secciones rectangulares, compacta y hueca
126
Figura 7.12 Diagramas de interacción comparativos
126
Figura 7.13 Secciones pentagonales, compacta y hueca
127
Figura 7.14 Diagramas de interacción comparativos
128
vii
RESUMEN
El presente proyecto da a conocer las herramientas para la automatización de la teoría
del diseño por flexocompresión de columnas de concreto armado, mediante la programación
en un lenguaje cualquiera, estas herramientas pueden ser aplicadas también a cualquier otra
teoría o procedimiento; así mismo se busca comprobar los métodos de diseño alternativos,
las disposiciones de la normativa actual para la carga axial máxima de elementos sometidos
a flexocompresión, también se coteja los resultados obtenidos con una de las distribuciones
de software de diseño más conocidas del medio y se hace un estudio generalizado de lo
correspondiente al diseño de columnas con la finalidad de dar a conocer la diversidad de
alternativas de que se dispone sin que la arquitectura sea una limitante del diseño.
Para hacer posible este proyecto de automatización se ha hecho uso de los
conocimientos de la geometría analítica y las herramientas informáticas del programa de
Microsoft Office: Excel, el cual brinda una interfaz de usuario “muy amigable” para la
programación; combinando estas dos utilidades se logra automatizar la teoría del diseño de
columnas de concreto armado por flexocompresión, ya que permite superar las limitaciones
de la geometría de la sección, puesto que como vemos la mayor dificultad de los cálculos es
de carácter aritmético, así podemos desarrollar secciones prismáticas y circulares, con la
posibilidad para ambas de ser compactas o huecas.
De este modo se puede conocer con precisión la resistencia de un elemento sometido
a flexocompresión mediante la generación del diagrama de interacción en cualquier dirección
de análisis y así mismo verificar el máximo axial soportado por dicho elemento. Con esto se
logra la optimización de una estructura y poder verificar directamente su capacidad real. Es
así que el diseño de una columna no convencional se llevara a cabo de forma segura ya que
se cumple con todos los parámetros especificados para fines de diseño, sin necesidad de
recurrir al uso de ábacos de utilidad limitada y complicado manejo. De ser llevado al campo
experimental, esta programación puede ser útil para ajustar factores o parámetros de diseño.
Los resultados del diseño de columnas hechos con la programación propuesta
muestran considerables variaciones con respecto a los procedimientos empleados
comúnmente, así mismo la comparación con el software de diseño admite discrepancias que
se cuantifican y discuten en el desarrollo de este trabajo.
CAPITULO 1
INTRODUCCIÓN
Como se puede apreciar el desarrollo de la ciencia está ligado a la capacidad de
procesamiento de la información obtenida de un determinado estudio, esto es la velocidad con
la que se sintetiza y testea la misma; ya que para lograr afinar un determinado proceso o sistema
creativo se deben ejecutar la cantidad necesaria de pruebas que avalen su veracidad y precisión,
justificando de este modo su utilidad.
Nos referimos así al hecho de lograr sistematizar un proceso, con la finalidad de hacer
efectiva su aplicación en el diseño de estructuras convencionales o no convencionales, lo que
además implica un proceso continuo, de implementación y mejora donde se pueda controlar el
número necesario de variables a fin de hacer frente a la mayoría de situaciones y dando lugar a
la posibilidad de ensamblar procesos, involucrando la mayor parte posible del diseño, como es
el caso de algunas corporaciones hoy en día. Esto nos permitirá ver diversas alternativas en poco
tiempo y elegir la mejor.
Asi mismo se busca que el material sirva para abordar problemas que anteriormente
eran complicados debido a la aplicación de métodos desactualizados, y esté disponible a la
comunidad estudiantil, sirviendo de modelo base para difundir la aplicación de la
automatización y la programación que a pesar de ser parte de la curricular universitaria, a veces
cae en desuso.
Partiendo de estas premisas en este proyecto se da un pequeño alcance de las
posibilidades que ofrece un lenguaje de programación como Excel al ser utilizado como
herramienta para el diseño estructural, al automatizar la teoría del diseño por flexocompresión
de columnas de concreto armado garantizando un diseño seguro, fiable y económico
(optimizado) desde el punto de vista de la normatividad actual.
1
1.1. MICROSOFT EXCEL
Excel es una aplicación desarrollada por Microsoft y distribuida en el paquete de Office
para usarse en Windows o Macintosh. Presenta una interfaz intuitiva y amigable con archivos
de ayuda incorporados. Es una hoja de cálculo que permite trabajar con tablas de datos, gráficos,
bases de datos, macros, y otras aplicaciones avanzadas. Ayudando en el cálculo de ejercicios
aritméticos y siendo de gran utilidad en diversas áreas como educación, administración,
finanzas, producción, ingeniería, etc.
La versión de Excel empleada en este proyecto, Excel 15.0, se caracteriza por los
siguientes aspectos:
 Hojas de cálculo de gran dimensión, filas y columnas que forman celdas de trabajo.
 Agrupación de varias hojas de cálculo en un libro. Excel está compuesto por libros, un
libro es el archivo en que se trabaja y donde se almacenan los datos. Cada libro contiene
1024 hojas o la cantidad de memoria del PC que es posible emplear, soportando además
la posibilidad de usar procesadores de varios núcleos, cada hoja contiene 1048576 líneas
y 16384 columnas ordenadas numérica y alfabéticamente respectivamente.
 Actualización automática de los resultados obtenidos en la hoja, al modificar los datos
de los cuales depende un resultado.
 Gran capacidad de presentación y manejo de los datos introducidos.
 Realización de distintos tipos de gráficos a partir de los datos introducidos en la hoja de
cálculo, con la posibilidad de insertarlos en la misma hoja de cálculo o en hojas aparte,
pudiendo presentar ambas informaciones juntas o separadas.
 Trabajar con la información de una base de datos introducida en la hoja de cálculo
mediante operaciones que serían propias de un Gestor de Base de Datos como Access.
 Análisis de datos instantánea.
 Guarda y comparte archivos en línea.
 Creación de tablas dinámicas que se adapten a sus datos.
Desde 1993, Excel ha incluido Visual Basic para Aplicaciones (VBA), un lenguaje de
programación basado en Visual Basic, que añade la capacidad para automatizar tareas en Excel
2
y para proporcionar funciones definidas por el usuario para su uso en las hojas de trabajo. VBA
es una poderosa anexión a la aplicación que, en versiones posteriores, incluye un completo
entorno de desarrollo integrado (IDE) conocido también como Editor de VBA. La grabación de
macros puede producir código (VBA) para repetir las acciones del usuario, lo que permite la
automatización de simples tareas. (VBA) permite la creación de formularios y controles en la
hoja de trabajo para comunicarse con el usuario. Admite el uso del lenguaje (pero no la creación)
de las DLL de ActiveX (COM); versiones posteriores añadieron soporte para los módulos de
clase permitiendo el uso de técnicas de programación básicas orientadas a objetos.
Excel es una herramienta potente y efectiva que integra la versatilidad necesaria para ser
utilizada en innumerables ocasiones. La utilidad, eficiencia y variedad de áreas en las que sea
aplicada dependen del nivel de conocimientos que el usuario posea. Aprender a utilizar la hoja
electrónica de Excel en la resolución de problemas de investigación de operaciones, destaca el
potencial de este programa y su gran variedad de usos, esto es posible gracias a la gran variedad
de funciones que agrupadas en categorías como:
 Funciones de compatibilidad
 Funciones de cubo
 Funciones de base de datos
 Funciones de fecha y hora
 Funciones de ingeniería
 Funciones financieras
 Funciones de información
 Funciones lógicas
 Funciones de búsqueda y referencia
 Funciones matemáticas y trigonométricas
 Funciones estadísticas
 Funciones de texto
 Funciones definidas por el usuario instaladas con complementos
 Funciones web
Estas facilitan su aplicación por parte de los usuarios. Entre las principales aplicaciones
de Excel se puede mencionar que: permite a los usuarios elaborar tablas y formatos que incluyan
3
cálculos matemáticos mediante fórmulas; las cuales pueden usar “operadores matemáticos”
como son: + (suma), - (resta), * (multiplicación), / (división) y ^ (exponenciación); además de
poder utilizar elementos denominados “funciones” (especie de fórmulas, pre-configuradas)
como por ejemplo: Suma (), Promedio (), Buscar V (), etc. Así mismo Excel es útil para
gestionar “Listas” o “Bases de Datos”; es decir agrupar, ordenar y filtrar la información.
En ocasiones, ante un manejo básico Excel, esta herramienta es utilizada simplemente
para hacer cálculos sencillos o incluso para ordenar datos aprovechando su estructura de filas y
columnas. Excel puede colaborar en mucho más que eso para un usuario que posea un nivel
operativo medio. Algunos ejemplos de áreas donde la aplicación de Excel es utilizada
generalmente para optimizar y colaborar en la simplificación de diversos procesos son:
Empresas, Estudiantes, Hogar, Pymes, etc.
1.2 APLICACIÓN DE EXCEL EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL
La aplicación de Microsoft Excel hoy en día se ha extendido prácticamente a todos los
campos profesionales en los que se debe procesar grandes cantidades de información numérica
y lógica, esto gracias a la variada gama de funciones que ofrece, como se vio anteriormente.
Es por ello que damos cuenta de la muy útil asistencia que nos puede brindar en cuanto
a programación se refiere, ya que además de realizar una gran cantidad de operaciones con los
datos de entrada, puede generar un reporte personalizado para los resultados.
Tal es su capacidad que en el campo de la Ingeniería es muy utilizado, particularmente
en Ingeniería Civil en lo concerniente al Diseño Estructural, ya que permite la automatización
de prácticamente cualquier teoría de diseño, variando datos de entrada.
4
1.3. COL 3D
“COL 3D” es la denominación dada a una hoja de cálculo programada en Excel que
permite generar la construcción del Diagrama de Interacción de una columna de sección, cuantía
y ubicación del acero de refuerzo cualesquiera; también se puede ingresar las cargas aplicadas,
las cuales se obtienen del análisis estructural, y verificar visualmente si son comprendidas por
los límites de la superficie de resistencia de la sección analizada. En términos de especificidad
y precisión COL 3D tiene gran capacidad y su creación se justifica dando a conocer sus
utilidades:
 Prescindir del uso de ábacos de utilidad limitada y complicado manejo.
 Diseñar cualquier columna de sección poligonal o circular, compacta o no compacta,
con cualquier distribución de refuerzo y cuantía variable.
 Determinar matemáticamente aplicando las hipótesis básicas de diseño la capacidad
resistente de una columna cualquiera.
 Verificar la resistencia de una columna en cualquier dirección de su eje.
 Generar el diagrama de interacción tridimensional incluyendo las cargas aplicadas, para
verificar visualmente que la sección en cuestión cumple las exigencias dadas.
 Variar los factores de reducción, amplificación de resistencia; en el caso de
modificaciones en el reglamento o debido a criterios propios del diseñador.
 Servir de material didáctico en la enseñanza superior.
 Diseñar rápidamente (por flexocompresión) cualquier sección de columna.
 Servir de ayuda de correlación en investigaciones experimentales.
Los beneficiarios de esta investigación son todas las personas involucradas en el estudio,
diseño y peritaje de columnas de concreto armado. Y todos los interesados en la automatización
y programación.
Cuenta además con una interfaz sencilla para que el manejo por parte de los usuarios no
sea complicado, los datos o variables que se pueden controlar le confieren una ventaja frente a
otros programas empleados para este fin, entre estas variables tenemos:
 Resistencia de los materiales
 Factores de reducción de resistencia y de amplificación de cargas
5
 Geometría de la sección (circular y cualquier forma poligonal, compacta o no compacta)
 Ubicación y diámetro de cada barra de refuerzo longitudinal
 Orientación angular (0°-360°) para un análisis especifico
 Cargas aplicadas (Momentos flectores y Fuerzas axiales)
 Dirección de aplicación de las cargas
COL 3D permite visualizar espacialmente o en 3D el Diagrama de Interacción
Resistente, Nominal, mediante la interfaz gráfica de programas como por ejemplo RAM
Advanse, y las cargas factoradas aplicadas según la Norma Técnica usada y generar un reporte
de diseño en 2D.
6
1.4. COL 3D: ALCANCES Y LIMITACIONES
Como se dijo COL 3D ofrece una gran ayuda para el diseño por flexocompresión de
columnas de concreto armado de forma cualquiera, esto comprende secciones circulares y
poligonales con la posibilidad para ambas de ser huecas o compactas; pero al ser un prototipo
tiene una limitación respecto a la cantidad de vértices que en el caso de una sección poligonal
puede tener, en este caso este límite es de 30 vértices.
También se mencionó la posibilidad de contar con cualquier cuantía de refuerzo, pero
así mismo debemos tener en cuenta que la programación hecha abarca un máximo de 31 barras
de acero como refuerzo longitudinal para los diámetros de 3/8”, ½”, 5/8”, ¾”, 1” y 1 3/8”; según
esto podemos obtener un área de acero máxima de 296.98 cm2 lo que según la actual NTP E.
060 que indica una cuantía mínima de 1% se puede trabajar con secciones de un área hasta de
29697.81 cm2 que traducida dimensionalmente específica para el caso de una columna cuadrada,
dimensiones de 170 cm x 170 cm, cabe mencionar que también habría que verificar límites de
espaciamiento para la barras de refuerzo longitudinal.
7
CAPITULO 2
ESTUDIO DE LAS COLUMNAS
2.1. DEFINICIÓN
La columna es el elemento estructural vertical empleado para sostener la carga de la
edificación, fundamentalmente transmite las cargas de las losas hacia los cimientos. Es utilizado
ampliamente en la construcción por la libertad que proporciona para distribuir espacios al
tiempo que cumple con la función de soportar el peso de la edificación; es un elemento esencial
en el esquema de una estructura y la adecuada selección de su tamaño, forma, espaciamiento y
composición influyen de manera directa en su capacidad de carga. Para la columna se indica las
características que la definen así como el comportamiento para definir los aspectos a tomar en
cuenta en el diseño de las columnas de madera, acero y concreto armado.
Las columnas son elementos utilizados para resistir básicamente solicitaciones de
compresión axial aunque, por lo general, ésta actúa en combinación con corte, flexión o torsión
ya que en las estructuras de concreto armado, la continuidad del sistema genera momentos
flectores en todos sus elementos. Según el uso actual de la columna como elemento de un
pórtico, no necesariamente es un elemento recto vertical, sino es el elemento donde la
compresión es el principal factor que determina el comportamiento del elemento. Es por ello
que el pre dimensionado de columnas consiste en determinar las dimensiones que sean capaces
de resistir la compresión que se aplica sobre el elemento así como una flexión que aparece en el
diseño debido a diversos factores.
Cabe destacar que la resistencia de la columna disminuye debido a efectos de geometría,
lo cuales influyen en el tipo de falla. El efecto geométrico de la columna se denomina esbeltez
y es un factor importante, ya que la forma de fallar depende de la esbeltez, para la columna poco
esbelta la falla es por aplastamiento y este tipo se denomina columna corta, los elemento más
esbeltos se denominan columna larga y la falla es por pandeo. La columna intermedia es donde
la falla es por una combinación de aplastamiento y pandeo. Además, los momentos flectores
que forman parte del diseño de columna disminuyen la resistencia del elemento tipo columna.
8
2.2. LOS MATERIALES: CONCRETO Y ACERO
2.2.1. El Concreto
El concreto es una mezcla de cemento, agregado grueso o piedra, agregado fino o arena
y agua. El cemento, el agua y la arena constituyen el mortero cuya función es unir las diversas
partículas de agregado grueso llenando los vacíos entre ellas. En teoría, el volumen de mortero
sólo debería llenar el volumen entre partículas. En la práctica, este volumen es mayor por el uso
de una mayor cantidad de mortero para asegurar que no se formen vacíos.
Para obtener un buen concreto no sólo basta contar con materiales de buena calidad
mezclados en proporciones correctas. Es necesario también tener en cuenta factores como el
proceso de mezclado, transporte, colocación o vaciado y curado. El muestreo y los ensayos de
materiales y del concreto deben hacerse de acuerdo con las Normas Técnicas Peruanas – NTP
correspondientes.
La resistencia a la compresión del concreto que se obtiene a través de ensayos de
cilindros estándar es la propiedad directamente involucrada en el diseño por flexocompresión,
puede llegar hasta 980 kg/cm2 o más como el caso de los denominados concretos de ultra alto
desempeño que se clasifican a partir de los 100 MPa de resistencia a la compresión; dependiendo
del tipo de mezcla, propiedades del agregado, tiempo y calidad del curado. Las resistencias más
comunes están en el rango de 210 a 480 kg/cm2.
Es importante tener presente que la resistencia del concreto a la tracción es mucho menor
que su resistencia a la compresión constituyendo aproximadamente entre un 8% a 15% de ésta.
Para la determinación de este parámetro no se suele usar ensayos directos debido a las
dificultades que se presentan sobre todo por los efectos secundarios que generan los dispositivos
de carga. Para estimarlo se ha diseñado dos métodos indirectos. Por esta razón es que la
resistencia a la tracción del concreto se desprecia en el cálculo de elementos no preesforzados,
no siendo considerada tampoco en el desarrollo de esta investigación.
9
En cuanto a sus propiedades mecánicas el límite de deformación unitaria es igual a 0.003,
este valor está estipulado en la Norma Técnica Peruana E. 060 y se considera que una vez
superado es inminente la falla del concreto.
Otra propiedad importante de concreto es la variación de su volumen debido cambios de
temperatura, el concreto se expande con el incremento de temperatura y se contrae con su
disminución. El coeficiente de dilatación térmica varía con la calidad del concreto y con su edad.
Su valor oscila entre 9.2x10-6/°C y 12x10-6/°C para temperaturas entre -15°C y +50°C.
Propiedad que como se verá más adelante es fundamental para la construcción empleando el
Concreto Armado.
2.2.2. El Acero de Refuerzo
En el punto anterior se mencionó algunas de las características del concreto entre ellas
su limitada resistencia a la tracción. Para que este material pueda ser utilizado eficientemente
en la construcción de obras de ingeniería se requiere de elementos que le permitan salvar esta
limitación. En el caso del concreto armado, el acero es el encargado de esta función.
El acero es una aleación de diversos elementos entre ellos: carbono, manganeso, silicio,
cromo, níquel y vanadio. El carbono es el más importante y el que determina sus propiedades
mecánicas.
A mayor contenido de carbono, la dureza, la resistencia a la tracción y el límite elástico
aumentan. Por el contrario, disminuye la ductilidad y la tenacidad. El manganeso es adicionado
en forma de ferro-manganeso. Aumenta la forjabilidad del acero, su templabilidad y resistencia
al impacto. Así mismo, disminuye su ductilidad. El silicio se adiciona en proporciones que
varían de 0.05% a 0.50%. Se le incluye en la aleación para propósitos de desoxidación pues se
combina con el oxígeno disuelto en la mezcla. El cromo incrementa la resistencia a la abrasión
y la templabilidad; el níquel, por su parte, mejora la resistencia al impacto y la calidad
superficial. Finalmente, el vanadio mejora la temperabilidad.
10
Las varillas corrugadas son de sección circular y, como su nombre lo indica, presentan
corrugaciones en su superficie para favorecer la adherencia con el concreto. Estas corrugaciones
deben satisfacer requisitos mínimos para ser tomadas en cuenta en el diseño. Existen tres
calidades distintas de acero corrugado: grado 40, grado 60 y grado 75 aunque en nuestra norma,
como se indica en 2.3.3 sólo se permite el uso de los dos primeros para elementos con
responsabilidad sísmica. Las características los tres tipos de acero se muestran en la Tabla 2.1.
Las barras de refuerzo corrugado deben cumplir con los requisitos para barras corrugadas
de una de las siguientes normas:
(a) ―HORMIGÓN (CONCRETO) barras de acero al carbono con resaltes y lisas para hormigón
(concreto) armado. Especificaciones‖ (NTP 341.031);
(b) ―HORMIGÓN (CONCRETO) barras con resaltes y lisas de acero de baja aleación para
hormigón (concreto) armado. Especificaciones‖ (NTP 339.186).
Las barras corrugadas deben cumplir con una de las NTP dadas en el párrafo anterior,
excepto que para barras con fy mayor que 420 MPa, la resistencia a la fluencia debe tomarse
como el esfuerzo correspondiente a una deformación unitaria de 0,35%. Se indica que la
programación de este trabajo está basada en una resistencia de fluencia límite de 420 MPa
indicada para elementos con responsabilidad sísmica, a la cual corresponde una deformación
unitaria de 0.0021 ya que el valor de su módulo elástico es de 200000 MPa.
En cuanto al coeficiente de dilatación térmica su valor es muy similar al del concreto:
11x10-6/°C esto es una gran ventaja pues no se presentan tensiones internas entre refuerzo y
concreto por los cambios de temperatura del medio. Ambos tienden a dilatarse y contraerse de
11
modo similar.
Las varillas se denominan por números y sus características geométricas (de las
existentes en el mercado nacional, algunas empresas pueden fabricar diámetros diferentes a
pedido) se presentan en la Tabla 2.2.
2.3. DISEÑO DE COLUMNAS
2.3.1. Generalidades
Las columnas son los elementos de las edificaciones que están principalmente sometidos
a flexocompresión, similarmente a los muros de corte o placas. El diseño de un elemento
sometido a flexocompresión se hace en base a las mismas hipótesis del diseño en flexión,
considerando adicionalmente el problema de la esbeltez.
Los efectos de esbeltez de las columnas, y la consiguiente reducción de su capacidad de
carga se evalúan en forma independiente al diseño propiamente dicho, mediante la
consideración de los momentos generados por las deformaciones transversales de las columnas
(momentos de segundo orden) o mediante procesos aproximados que corresponden a la
estimación de factores que corrigen a los momentos del análisis estructural (momentos de primer
orden). En el desarrollo del presente estudio se asume que las cargas aplicadas al diseño
12
propiamente dicho mediante COL 3D han sido previamente modificadas por los factores
respectivos según el efecto de la esbeltez.
2.3.2. Normativa en General e Hipótesis de Diseño
La Norma Técnica Peruana E. 060 en el Capítulo 10 da a conocer las disposiciones que
se deben aplicar al diseño de elementos sometidos a esfuerzos originados por la flexión o la
carga axial, o la combinación de estas; así mismo en otros capítulos se mencionan otras
consideraciones que deben ser tomadas en cuenta en el diseño de este tipo de elementos. En este
punto se hará mención de aquellas consideraciones con la debida numeración que aparece en la
NTP.
7.6 LÍMITES DEL ESPACIAMIENTO DEL REFUERZO
 7.6.3 En elementos a compresión reforzados transversalmente con espirales o estribos,
la distancia libre entre barras longitudinales no debe ser menor de 1,5 db ni de 40 mm.
7.7 RECUBRIMIENTO DE CONCRETO PARA EL REFUERZO
 7.7.1 Concreto construido en sitio (no preesforzado)
Debe proporcionarse el siguiente recubrimiento mínimo de concreto al refuerzo, excepto
cuando se requieran recubrimientos mayores según 7.7.5.1 ó se requiera protección
especial contra el fuego:
(c) Concreto no expuesto a la intemperie ni en contacto con el suelo:
- Vigas y columnas:
Armadura principal, estribos y espirales................................................................40 mm
 7.7.3 Concreto prefabricado (fabricado bajo condiciones de control de planta)
(b) Concreto no expuesto a la acción de la intemperie ni en contacto con el suelo:
- Vigas, columnas:
Refuerzo principal…db, pero no menor de 16 mm sin necesidad de exceder de 40 mm
Estribos y espirales...............................................................................................10 mm
13
7.10 REFUERZO TRANSVERSAL PARA ELEMENTOS A COMPRESIÓN
 7.10.4.2 Para elementos construidos en obra, el diámetro de las barras utilizadas en
espirales no debe ser menor de 8 mm para barras longitudinales de hasta 5/8”, de 3/8”
para barras longitudinales de más de 5/8” hasta 1” y de ½” para barras longitudinales de
mayor diámetro
 7.10.5.1 Todas las barras no preesforzadas deben estar confinadas por medio de estribos
transversales de por lo menos 8 mm para barras de hasta 5/8”, de 3/8” para barras
longitudinales de más de 5/8” hasta 1” y de ½” para barras longitudinales de mayor
diámetro y para los paquetes de barras. Se permite el uso de alambre corrugado o
refuerzo electrosoldado de alambre con un área equivalente.
 7.10.5.3 Los estribos deben disponerse de tal forma que cada barra longitudinal de
esquina y cada barra alterna tenga apoyo lateral proporcionado por la esquina de un
estribo con un ángulo interior no mayor de 135º y ninguna barra longitudinal esté
separada a más de 150 mm libres de una barra apoyada lateralmente. Cuando las barras
longitudinales estén localizadas alrededor del perímetro de un círculo, se permite el uso
de un estribo circular completo.
14
9.2 RESISTENCIA REQUERIDA
 9.2.1 La resistencia requerida para cargas muertas (CM) y cargas vivas (CV) será como
mínimo:
U = 1,4 CM + 1,7 CV
 9.2.3 Si en el diseño se tuvieran que considerar cargas de sismo (CS), además de lo
indicado en 9.2.1, la resistencia requerida será como mínimo:
U = 1,25 (CM + CV)  CS
U = 0,9 CM  CS
9.3 RESISTENCIA DE DISEÑO factores de reducción 
 9.3.2.1 Flexión sin carga axial…………………………………………….…………0,90
 9.3.2.2 Carga axial y carga axial con flexión:
(a) Carga axial de tracción con o sin flexión……………………………….….……..0,90
(b) Carga axial de compresión con o sin flexión:
Elementos con refuerzo en espiral………………………………………….…....0,75
Otros elementos………………………………………………………………......0,70
9.4 RESISTENCIA MÍNIMA DEL CONCRETO ESTRUCTURAL
 9.4.1 Para el concreto estructural, f’c no debe ser inferior a 17 MPa, salvo para concreto
estructural simple (véase 22.2.4). No se establece un valor máximo para f’c salvo que se
encuentre restringido por alguna disposición específica de esta Norma (véase 21.3.2).
9.5 RESISTENCIA DE DISEÑO PARA EL REFUERZO
 9.5.1 Los valores de fy y fyt usados en los cálculos de diseño no deben exceder de 550
MPa, excepto para los aceros de preesforzado, para los refuerzos transversales en espiral
en 10.9.3, el refuerzo por cortante y torsión (véase 11.5.2 y 11.6.3.4). Para los elementos
con responsabilidad sísmica, véase 21.3.3.
15
10.2 HIPÓTESIS DE DISEÑO
 10.2.2 Las deformaciones unitarias en el refuerzo y en el concreto deben suponerse
directamente proporcionales a la distancia desde el eje neutro.
 10.2.3 La máxima deformación unitaria utilizable del concreto, cu, en la fibra extrema
sometida a compresión, se asumirá igual a 0,003.
 10.2.4 El esfuerzo en el refuerzo deberá tomarse como Es veces la deformación unitaria
del acero. Para deformaciones unitarias en el refuerzo mayores que las correspondientes
a fy, el esfuerzo se considerará independiente de la deformación unitaria e igual a fy.
 10.2.5 La resistencia a la tracción del concreto no debe considerarse en los cálculos de
elementos de concreto reforzado sometidos a flexión y a carga axial, excepto cuando se
cumplan los requisitos de 18.4. (Concreto Preesforzado)
 10.2.6 La relación entre la distribución de los esfuerzos de compresión en el concreto y
la deformación unitaria del concreto se debe suponer rectangular, trapezoidal, parabólica
o de cualquier otra forma que permita una predicción de la resistencia que coincida con
los resultados de ensayos de laboratorio representativos.
 10.2.7 El requisito de 10.2.6 se satisface si se asume una distribución rectangular
equivalente de esfuerzos en el concreto, definida como sigue:
 10.2.7.1 Un esfuerzo en el concreto de 0,85 f’c uniformemente distribuido en una zona
de compresión equivalente, limitada por los bordes de la sección transversal del
elemento y por una línea recta paralela al eje neutro, a una distancia a = 1 c de la fibra
de deformación unitaria máxima en compresión.
 10.2.7.2 La distancia desde la fibra de deformación unitaria máxima en compresión al
eje neutro, c, se debe medir en dirección perpendicular al eje neutro.
16
 10.2.7.3 Para f’c entre 17 y 28 MPa, el factor 1 se debe tomar como 0,85. Para f’c mayor
o igual a 56 MPa, 1 se debe tomar como 0,65. Para f’c entre 28 y 56 MPa se debe
interpolar linealmente entre 0,85 y 0,65.
10.3 PRINCIPIOS Y REQUISITOS GENERALES
 10.3.1 El diseño de las secciones transversales sometidas a flexión, carga axial, o a la
combinación de ambas (flexo-compresión) debe basarse en el equilibrio y la
compatibilidad de deformaciones, utilizando las hipótesis de 10.2.
 10.3.2 La condición de falla balanceada se produce en una sección transversal cuando el
refuerzo en tracción alcanza la deformación unitaria correspondiente a fy al mismo
tiempo que el concreto en compresión alcanza su deformación unitaria máxima utilizable
cu de 0,003. Este criterio es general y se aplica a secciones de cualquier forma sin acero
de compresión o con él.
 10.3.6 La resistencia de diseño Pn de elementos en compresión no debe exceder del
valor calculado usando las ecuaciones:
10.3.6.1 Para elementos no preesforzados con refuerzo en espiral:
Pn max = 0,85  Pon = 0,85  [0,85 f´c (Ag Ast) + fy Ast]
10.3.6.2 Para elementos no preesforzados con estribos:
Pn max = 0,80  Pon = 0,80  [0,85 f´c (Ag  Ast) + fy Ast]
17
 10.3.7 Los elementos sometidos a carga axial de compresión deben diseñarse para el
momento máximo que puede acompañar a la carga axial. La fuerza axial amplificada
Pu, a una excentricidad dada, no debe exceder de la resistencia de diseño especificada
en 10.3.6. El momento máximo amplificado Mu debe incrementarse por los efectos de
esbeltez.
2.3.3. Disposiciones Especiales para Elementos Sismoresistentes
Como sabemos los sismos son un factor muy importante en el diseño de estructuras ya
que originan esfuerzos de considerable magnitud, más aun siendo el caso de la ubicación de
nuestro territorio, es por ello que la Norma Técnica Peruana E. 060 en el Capítulo 21 hace
mención de las consideraciones a tener en cuenta para hacer frente a este fenómeno entre las
cuales hemos extraído aquellas que están directamente involucradas en el diseño de Columnas
de Concreto Armado por Flexocompresión ya sea para un sistema Dual I o Dual II, en este punto
se hará mención de la normativa con la debida numeración que aparece en la NTP. Entre estas
disposiciones tenemos:
21.3 REQUISITOS GENERALES
 21.3.2.1 La resistencia especificada a la compresión del concreto, f’c, no debe ser menor
que 21 MPa.
 21.3.2.2 La resistencia especificada a la compresión del concreto, f’c, no debe ser mayor
que 55 MPa.
 El refuerzo de acero longitudinal y transversal en todos los elementos con
responsabilidad sísmica será corrugado y deberá cumplir con las disposiciones de ASTM
A 706M. Se permite el empleo de acero de refuerzo ASTM A 615M, grados 280 y 420,
en estos elementos siempre y cuando:
(a) La resistencia real a la fluencia (obtenida en ensayos de laboratorio) no sea mayor
que el esfuerzo de fluencia especificado fy, en más de 125 MPa;
(b) La relación entre la resistencia de tracción (fu) y el esfuerzo de fluencia (fy), medida
en el laboratorio, no sea menor de 1,25.
18
21.4 REQUISITOS PARA COLUMNAS DE LOS EDIFICIOS CON SISTEMA
RESISTENTE A FUERZAS LATERALES DE MUROS ESTRUCTURALES O DUAL
TIPO I
 21.4.5.1 La cuantía de refuerzo longitudinal no será menor que 1% ni mayor que 6%.
Cuando la cuantía exceda de 4% los planos deberán incluir detalles constructivos de la
armadura en la unión viga-columna.
 21.4.5.3 Los estribos serán como mínimo de 8 mm de diámetro para barras
longitudinales de hasta 5/8” de diámetro, de 3/8” para barras longitudinales de hasta 1”
de diámetro y de ½” para barras longitudinales de mayor diámetro. Estos diámetros
también se aplican al refuerzo transversal con espirales.
21.6 REQUISITOS PARA LAS COLUMNAS DE EDIFICIOS CON SISTEMA
RESISTENTE A FUERZAS LATERALES DE PÓRTICOS Y DUALES TIPO II
 21.6.1.1 La fuerza amplificada de compresión axial en el elemento, Pu, excede de 0,1
f’c Ag.
 21.6.1.2 La dimensión menor de la sección transversal, medida en cualquier línea recta
que pase por su centroide geométrico, no debe ser menor de 250 mm.
 21.6.1.3 La relación entre la dimensión menor de la sección transversal y la dimensión
perpendicular no debe ser menor que 0,25.
 21.6.3.1 La cuantía de refuerzo longitudinal no será menor que 1% ni mayor que 6% del
área total de la sección transversal. Cuando la cuantía exceda de 4%, los planos deberán
incluir detalles constructivos de la armadura en la unión viga-columna.
19
2.4. DISEÑO POR FLEXOCOMPRESIÓN
2.4.1. Generalidades
El tipo de espécimen usado en investigaciones de elementos sujetos a flexocompresión
es semejante al que aparece en la figura 2.2, donde se indican esquemáticamente el refuerzo
usual y una posible configuración de agrietamiento. Generalmente la carga P se aplica a una
excentricidad constante. Esto hace que toda la zona prismática del espécimen esté sujeta a una
carga axial y a un momento flexionante que crecen en la misma proporción, hasta el colapso.
Existen dos modos principales de falla de elementos sujetos a flexocompresión: falla en
compresión y falla en tensión.
En el primer caso la falla se produce por aplastamiento del concreto. El acero del lado
más comprimido fluye, en tanto que el del lado opuesto no fluye en tensión. El segundo modo
de falla se produce cuando el acero de un lado fluye en tensión antes de que se produzca el
aplastamiento del concreto en el lado opuesto, más comprimido. El tipo de falla depende
esencialmente de la relación entre momento y carga axial en el colapso.
20
Es posible determinar los puntos de falla para una determinada orientación del eje neutro
de una columna los cuales generan el diagrama de interacción. Así, si se cuenta con el diagrama
de interacción de un elemento dado, se conocen todas las combinaciones de carga axial y
momento que puede soportar. El diagrama de interacción de un elemento puede obtenerse a
partir de las hipótesis descritas en la sección 2.3.2.
2.4.2. Diseño en Flexocompresión Uniaxial
Como se mencionó en 2.4.1 si se analiza una sección transversal sometida a
flexocompresión, para una determinada distribución de acero, se puede tener diferentes valores
de carga y momento resistentes, conforme se varíe la posición del eje neutro.
A la curva, que indica esta resistencia, teniendo cómo ordenada la carga axial y como
abscisa el momento, se le denomina Diagrama de Interacción, dicho de otro modo es la
representación gráfica del lugar geométrico de las combinaciones de carga axial y momento
flexionante inherentes a una determinada geometría de sección y ubicación de refuerzo
longitudinal. (Figura 2.3).
21
Para su construcción bastará analizar el equilibrio de la sección, variando la ubicación
del eje neutro. Si se tiene que el momento es nulo, el valor de la carga axial es máximo y se
denomina Pon. Esta se obtiene considerando la carga máxima del concreto y del acero
longitudinal colocado en el elemento.
22
Po =  [0.85 f´c Ac + As fy]
 = 0.70 para columnas con estribos
Donde:
 = 0.75 para columnas con espirales
Al considerar momentos actuantes simultáneos con la carga axial, el diagrama de
distribución de deformaciones irá variando como se indica en la figura 2.5
La figura anterior indica un estado de deformación donde concreto ha llegado en
comprensión a una deformación máxima de 0.003 (ver hipótesis de flexión) y simultáneamente
el fierro extremo opuesto en tracción ha llegado a la afluencia con una deformación de 0.0021
(fy/Es para el caso de fy = 4200 Kg/cm2). A esta condición se le domina condición balanceada,
y se representa en el diagrama con los puntos Pb, Mb.
La obtención del valor Pb, Mb, se realiza por equilibrio conociendo la extensión del
bloque comprimido. Así tenemos:
a) Conocido cu = 0.003 y y = 0.0021 se obtiene gráfica o geométricamente el valor del bloque
comprimido c.
23
b) En base al valor c, se conoce la compresión de concreto Cc:
Cc = (0.85 f´c) b a donde a = β1 c
c) Conocida la deformación en la sección, se puede conocer el esfuerzo en todos los refuerzos
de acero colocados.
En la figura 2.6 se muestra una sección rectangular para la cual se calcularán los
esfuerzos en la condición balanceada:
 Fierro del extremo comprimido As1
s1 = 0.0027  0.0021
Por tanto
Fs1 = fy As1 = 4200 (As1)
 Fierro del centro As2
s2 = 0.0008  0.0021
Por tanto
Fs2 = 0.0008 Es As2
Fs2 = 0.0008 x 2000000 x As2
Fs2 = 1600 As2
 Fierro del extremo en tracción As3
s3 = 0.0021, el límite
Por tanto
Fs3 = fy As3 = 4200 (As3)
d) La carga Pu será entonces igual a la sumatoria de fuerzas internas que se producen en el
concreto y el refuerzo. En el ejemplo de la figura 2.6:
Suma de fuerzas internas = Pu externo
Pu = 0.85 f´c b a + 4200 As1 + 1600 As2 - 4200 As3
Pu en este caso se denomina Pb y para ubicarlo en la gráfica de interacción lo afectamos
por el factor de reducción  = 0.7, para obtener la resistencia de diseño
24
e) Para determinar el momento que en este caso llamaremos Mb, se tomara momentos respecto
al centro plástico de la sección.
Como la sección del ejemplo de la figura 2.6 tiene refuerzo simétrico, el centro de
gravedad coincidirá con el centro plástico. Tomando momentos:
Mb =  [(0.85 f´c b a) (x1) + As1 (4200) (x2) + As2 (1600) (x3) + As3 (4200) (x2)]
Donde x1, x2 y x3 son las distancias del centro plástico al punto de aplicación de la fuerza.
(En este caso x3 = 0)
Para conocer otros puntos del diagrama bastará con ir variando la posición del eje neutro
(bloque c). Conforme vayamos disminuyendo el tamaño del bloque comprimido "c", la carga
axial ira disminuyendo. Cuando esta carga axial es cero, lo cual indica que la suma de las fuerzas
de compresión se iguala con la suma de las fuerzas en tracción, se habrá obtenido el valor, Mo
el cual representa el caso de flexión pura.
25
Si se sigue disminuyendo el bloque comprimido puede suceder que la suma de fuerzas
en compresión sea menor de la suma de fuerzas de tracción, lo cual indica que la resultante es
una tracción; se estará en un caso de flexotracción y la curva será la indicada en la parte inferior
de la figura 2.3.
Ya que buscamos la resistencia diseño, esto es  veces la nominal, se grafica los valores
de Pu y Mu obtenidos, afectándolos de , para compresión y flexocompresión la norma
considerada un factor de reducción de  = 0.70 para columnas con estribos, y = 0.75 para
columnas con espirales, y para flexión, flexotracción o tracción pura, la norma indica un valor
de = 0.90.
Esta diferencia entre  = 0.70 y = 0.90 ocasionaría una discontinuidad en el Diagrama
de Interacción que se ubicaría en la zona inferior, cercana al eje de abscisas, donde la carga de
compresión es pequeña y prácticamente estamos en flexión pura.
En lugar de tener una discontinuidad, parece más lógico considerar un = 0.70 hasta un
cierto valor de la compresión, y a partir de ese punto ir incrementando  hasta llegar a 0.9 en el
punto donde no hay carga axial (sólo flexión). Este último camino es el aceptado por la mayoría
tratados y códigos y se considera que el punto donde se inicia el cambio de  es el de una carga
axial que es [0.10 f´c Ag] ó [ Pb], la menor (ver figura 2.3).
2.4.3. Límites en el Diagrama de Interacción para Efectos de Diseño
Algunos códigos consideran para efectos de diseño una excentricidad mínima, para el
caso de columnas que el análisis realizado hayan obtenido momentos muy reducidos.
El ACI de 1971 y otros anteriores así como el Código Peruano anterior, consideraba un
momento mínimo de diseño obtenido con una excentricidad igual al 10% del peralte, en la
dirección que se realiza el diseño, con un mínimo absoluto de 2.5 cm.
26
La nueva norma de Concreto Peruana ya no considera el criterio de la excentricidad
mínima, si no limita la resistencia axial de diseño al 80 u 85% de la carga axial máxima Po.
Esta exigencia obliga a considerar un diagrama de interacción, útil para el diseño, con
una curva trunca en la parte superior tal como se indica en la figura 2.3.
2.4.4. Determinación del Centro Plástico de la Sección
Cuando se tiene una sección con refuerzo simétrico, el punto donde se debe tomar
momentos para la obtención de los momento resistentes (trazo del diagrama de interacción) no
debe ser el centro de gravedad de la sección (considerando sólo el área de concreto), sino el
denominado centro plástico y que consiste en el centro de fuerzas obtenido considerando toda
la sección comprimida en su capacidad máxima.
Esta condición se cumple cuando el concreto esté trabajando a 0.85 f´c y cada uno de los
fierros a un esfuerzo de fy.
Si por ejemplo tenemos una sección “L” como lo indica en la figura 2.7, la determinación
del centro plástico se hará de la siguiente manera:
Datos:
f´c = 210 Kg/cm2 y fy = 4200 Kg/cm2
Área de columna = 2125 cm2
Área de acero = 8  1” = 40 cm2
27
Tomamos momentos con respecto al extremo izquierdo para las fuerzas máximas que se
producirían en el concreto y el acero:
Concreto:
0.85 x 210 [(55 x 25) (12.5) + (25 x 30) (40)] = 8422968.75 Kg.cm
Acero:
(2 x 5) (4200 – 0.85 x 210) (48.75) = 1960481.25 Kg.cm
(3 x 5) (4200 – 0.85 x 210) (18.75) = 1131046.875 Kg.cm
(3 x 5) (4200 – 0.85 x 210) (6.25) = 377015.625 Kg.cm
Y lo dividimos entre la fuerza máxima posible:
Fmax = (0.85 x 210) (2125) + (40) (4200 – 0.85 x 210) = 540175.5 Kg
28
Obtenemos el centro plástico de la sección Xo:
𝑋𝑂 =
8422968.75 + 1960481.25 + 1131046.875 + 377015.625
= 22.01 𝑐𝑚
540175.5
Si solo se hubiera considerado la sección de concreto tendríamos:
𝑋𝑂 =
(25 × 55) × 12.5 + (25 × 30) × 40
= 22.21 𝑐𝑚
2125
Para el ejemplo presentado no hay una diferencia importante entre el centro plástico y el
centro de gravedad de la sección bruta de concreto, pero es evidente que dependiendo de la
cuantía del refuerzo y de su asimetría, la diferencia será más o menos importante.
2.4.5. Uso de Ábacos con Diagramas de Interacción
Existen publicaciones de ACI y de otras instituciones donde se indican una serie de
ábacos conteniendo Diagramas de Interacción para columnas cuadradas, rectangulares y
circulares, como el de la figura 2.8.
Estos generalmente tienen armadura simétrica colocada en sólo dos caras o en el
perímetro y han sido desarrollados para columnas de sección b x h cualquiera, teniendo en el
eje de ordenadas el valor de Kn y en el eje de abscisas Rn.
Donde Kn es: 𝐾𝑛 =
𝑃𝑛
𝐴𝑔 𝑓´𝑐
Entonces Rn es: 𝑅𝑛 =
𝑃𝑛 𝑒
(𝐴𝑔 𝑓´𝑐) ℎ
De tal manera que sirven para diferentes secciones y diferentes calidades de concreto.
Es importante resaltar la relación entre el peralte del núcleo reforzado y el peralte total,
denominada “”, ya que estos ábacos varían según esta relación. En la mayoría de los ábacos
los valores  son: 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 ó 0.9.
29
El diseñador debe decidir cómo ubicar el refuerzo de tal manera que, en base a su
determinación, use un ábaco con refuerzo en caras opuestas o en todo el perímetro y con un
valor determinado de .
Así por ejemplo, si se trata de una columna de 35 x 45 donde se va a verificar la dirección
de 45 cm. Como peralte, elegirá un ábaco con refuerzo en caras extremas y como un valor de 
igual a 0.7.
Si se va a verificar la misma columna, pero la dirección que se considera el peralte de 35
cm, se usará un ábaco de refuerzo repartido a lo largo del perímetro y como un  de 0.66, lo cual
se interpolara entre el resultado obtenido con  = 0.6 y con  = 0.7. Esto se calcula como en la
figura 2.9.
30
En los casos donde el armado de la columna no se asemeje a las dos opciones definidas
(refuerzo en caras extremas o a lo largo del perímetro) y /o para secciones no rectangulares ni
circulares, se deberá construir su propio Diagrama de Interacción, asumiendo el refuerzo
colocado y verificando que las combinaciones de diseño (Pu, Mu) sean menores o iguales a las
resistentes.
Es conveniente aclarar que existen ábacos que ya vienen con el factor  incorporado
(factor de reducción de resistencia) y otros donde uno debe considerarlo.
2.4.6. Refuerzo Mínimo y Máximo Para Columnas
La Norma Peruana, como se vio en 2.3.3 considera una cuantía mínima de 1% y una
cuantía máxima de 6%, y específica que si el diseñador considera una cuantía mayor al 4%,
debe detallar el cruce de los refuerzos de la columna y de las vigas en cada nudo.
Es por ello que algunos autores recomiendan que el diseño de columnas se lleve a cabo
con cuantías comprendidas entre 1% y 4%, de tal manera que se evite congestionamiento del
31
refuerzo, ya que dificulta la calidad de la construcción, sobre todo si se piensa que en el Perú el
diámetro máximo de refuerzo producido normalmente es de 1 3/8 pulgadas.
Por otro lado autores como el ingeniero A. Blanco Blasco indican que siempre resulta
más económico una columna armada con una cuantía baja, dado que resulta más cara una
columna con cuantías mayores al 3% que una equivalente de mayor sección y menor cuantía de
acero. Este punto será estudiado más adelante a fin de determinar qué cuantía es la óptima desde
el punto de vista económico, según la cantidad de material empleado. Se define la cuantía de
acero como el área total de acero dividida entre el área total de la sección ( = As / b t).
2.4.7. Diseño en Flexocompresión Biaxial
2.4.7.1. Importancia de Considerar la Flexión Biaxial en el Diseño de Columnas
Si tomamos en cuenta solo el efecto de las cargas de gravedad en el análisis de una
estructura, la flexión biaxial es importante en el caso de estructuras que consideren losas
armadas en dos direcciones.
Ahora siendo más realistas, si se considera que hay simultáneamente cargas horizontales
de sismo, la flexión biaxial es casi siempre crítica, puesto que aun cuando se trate techos o pisos
conformados por losas armadas en una dirección (aligerados o losas armadas en una dirección),
siempre será factible tener una columna con momento de carga vertical en una dirección y
simultáneamente momento de sismo en la otra.
No será crítica la flexión biaxial, a pesar de considerar sismo y carga de gravedad
simultánea, cuando los momentos de carga de gravedad no sean significativos.
Los criterios expuestos anteriormente no toman cuenta la simultaneidad de momento de
sismo de las dos direcciones, debido al dicho que normalmente los análisis consideran sismo en
una dirección, independiente al análisis de sismo en la otra. La realidad sin embargo, es que las
fuerzas horizontales de sismo se presentan en una dirección cualesquiera, y que se producirán
esfuerzos en las dos direcciones de la edificación simultáneamente, pero inferiores a las totales
que se consideren independientemente.
32
Algunos autores recomiendan diseñar las columnas considerando simultáneamente el
100% del momento de sismo en una dirección y un 30% del momento de sismo total analizado
para la otra dirección.
2.4.7.2. Análisis de una Sección Sometida a Flexocompresión Biaxial
Cuando se tiene una carga axial actuando en un punto, tal que se produzcan
simultáneamente excentricidades en las dos direcciones de la columna, el problema del diseño
es complejo, pues aun cuando se puede seguir trabajando con un bloque rectangular equivalente
de compresiones, la posición del eje neutro no es simple de determinar pues la inclinación de
este no es perpendicular a la excentricidad de resultante.
Cuando la flexión es solo en un eje, ya se ha visto que es simple el procedimiento de
construir un Diagrama de Interacción, variando la ubicación del eje neutro, pero siempre
considerando que éste era perpendicular a la excentricidad actuante. Sin embargo, en el caso de
flexión biaxial, se debe realizar el proceso ya mencionado para una determinada inclinación del
eje neutro y su distancia por lo que los procedimientos de cálculo son largos y deben hacerse
mediante procesos iterativos engorrosos. Actualmente con el auxilio de computadoras es
factible la resolución de estos problemas.
Suponiendo arbitrariamente una inclinación del eje neutro, su posición y una
determinada distribución de refuerzo, se puede plantear el equilibrio de la sección y tomar
momentos en X y en Y, obteniéndose para esa condición un valor de Pu, Mux y Muy. Si este
proceso se repite se podrá construir un Diagrama de Interacción que en realidad será espacial,
obteniéndose una superficie tal como la indicada en la figura 2.10
33
2.4.7.3. Diseño Biaxial Según la Norma Peruana
La NTP E. 060, indica, para el caso de columnas sujetas simultáneamente a momento
flectores en sus dos direcciones principales, que el diseño deberá hacerse a partir de las hipótesis
y principios definidos en el punto 2.3.2 en los que se ha basado en la automatización de COL
3D.
Asimismo la norma indica que alternativamente se podrá usar la ecuación aproximada
de Bresler en el caso del diseño de columnas cuadradas o rectangulares con armadura
longitudinal simétrica, el diseño mediante este procedimiento implica hacer una comprobación
con la siguiente fórmula:
1
1
1
1
=
+
−
𝑃𝑛 𝑃𝑛𝑥 𝑃𝑛𝑦 𝑃𝑜𝑛
Donde:
Pn es la resistencia nominal a carga axial en flexión biaxial.
Pnx es la resistencia nominal bajo la acción de momento únicamente en X (ey = 0).
Pny es la resistencia nominal bajo la acción de momento únicamente en Y (ex = 0).
34
Pon es la resistencia nominal bajo la acción de carga axial únicamente (ex = ey = 0) que se
calcula mediante:
0.85 𝑓´𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡) + 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑡
Deberá verificarse que la resistencia de diseño no exceda de [Pn max = 0,85  Pon]
para elementos con refuerzo en espiral o de [Pn max = 0,80  Pon] cuando se use estribos. La
ecuación N es válida para valores de Pu  0,1  Pon; para valores menores de la carga axial Pu,
se usará la siguiente ecuación:
𝑀𝑢𝑥
𝑀𝑢𝑦
+
≤ 1.0
 𝑀𝑛𝑥  𝑀𝑛𝑦
Donde Mnx y Mny son las resistencias de diseño de la sección con respecto a los ejes
X e Y respectivamente. En el Capítulo 5 se da mayor referencia sobre el método de Bresler.
35
CAPITULO 3
ALGORITMOS PARA DETERMINAR LAS PROPIEDADES
GEOMÉTRICAS DE UNA SECCIÓN
Para automatizar el cálculo de las propiedades de una sección es necesario que las
ecuaciones que intervienen en el proceso se encuentren expresadas en función de variables que
resulten conocidas desde el principio, y que además sean válidas para cualquier caso a estudiar,
es decir que permitan codificar un programa de aplicación universal para cualquier problema
dentro de unos parámetros predefinidos.
A tal fin se busca que las formulas o algoritmos que definen las principales propiedades
de un área se puedan plantear de manera que sean fácilmente codificables en un lenguaje como
Excel u otro similar. Una de las formas más convenientes es la de expresar dichas fórmulas en
función de las coordenadas de los vértices del área a estudiar, lo que permite plantear un
algoritmo aplicable a cualquier sección sin que su forma sea una limitante del análisis, ya que
el proceso dependerá únicamente de sus coordenadas. O en el caso de secciones circulares, de
los elementos que la definen.
Sin embargo el alcance de nuestro estudio está limitado a la condición de que la sección
a estudiar debe tener todos sus lados rectos, sin importar su número, pero sin que existan
segmentos curvos en su contorno. Pero si es posible trabajar con secciones netamente circulares
por separado, como ya se dijo en base a los elementos que la definen, haciendo una
programación independiente para estas secciones que pueden ser huecas o compactas igual que
en el caso de las poligonales.
En base a lo antes mencionado hay expresiones para cada propiedad en función de las
coordenadas xi, yi de cada vértice i del total n de la sección o radios de sección. Los principales
36
algoritmos que permiten calcular las propiedades geométricas de una sección se detallan en los
puntos siguientes, tanto para secciones poligonales, como para las circulares.
3.1. SECCIONES POLIGONALES
Para aplicar las formulas correctamente se debe tener definidos mediante coordenadas
todos los vértices de la sección poligonal en estudio, por ejemplo para el caso de la figura 3.1
que representa una columna hueca de sección rectangular:
Para el cálculo del área total comprendida por el polígono 12341 debemos tener
definidos los vértices mediante coordenadas comenzando por uno cualquiera y seguir en un solo
sentido ya sea horario o anti horario y luego del último punto debe retomar el primero, puesto
que la figura 3.1 tiene cuatro vértices, los primeros cuatro puntos estarán conformados por las
coordenadas de estos mismos y adicionalmente se debe repetir las coordenadas del primer
vértice como quinto y último punto, esto se ilustra en el siguiente esquema:
37
Una vez hecho esto podemos aplicar las formulas correspondientes.
3.1.1. Área
𝑛
1
𝐴 = | ∑(𝑥𝑖+1 + 𝑥𝑖 )(𝑦𝑖 − 𝑦𝑖+1 )|
2
𝑖=1
Esta fórmula nos permite calcular de manera general un área poligonal cualquiera en base a las
coordenadas de sus vértices, con ella podemos calcular el área bruta de la sección (A12341 AABCDA) y determinar su cuantía, resistencia axial máxima, determinar el valor del área
comprimida según varié la posición del eje neutro (A1´234´D´CBA´1´); datos necesarios para la
construcción del Diagrama de Interacción.
3.1.2. Momento estático
3.1.2.1. Con respecto al eje x:
𝑛
2
𝑦𝑖+1
+ 𝑦𝑖2 + 𝑦𝑖 𝑦𝑖+1
𝑀𝑥 = ∑(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 ) (
)
6
𝑖=1
38
3.1.2.2. Con respecto al eje y:
𝑛
2
𝑥𝑖+1
+ 𝑥𝑖2 + 𝑥𝑖 𝑥𝑖+1
𝑀𝑦 = ∑(𝑦𝑖 − 𝑦𝑖+1 ) (
)
6
𝑖=1
El cálculo de los momentos estáticos permite determinar posteriormente el valor del centroide
de una región, esto es útil para plantear las ecuaciones de equilibrio de las fuerzas actuantes en
la sección, ya que según la idealización se debe aplicar en el centroide del elemento en cuestión;
en este caso se usa para el área de concreto comprimido.
3.1.3. Momento de inercia
3.1.3.1. Con respecto al eje x:
𝑛
𝐼𝑥 = ∑(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 ) (
𝑖=1
3
2
𝑦𝑖3 + 𝑦𝑖+1
+ 𝑦𝑖 𝑦𝑖+1
+ 𝑦𝑖2 𝑦𝑖+1
)
12
3.1.3.2. Con respecto al eje y:
𝑛
3
2
𝑥𝑖3 + 𝑥𝑖+1
+ 𝑥𝑖 𝑥𝑖+1
+ 𝑥𝑖2 𝑥𝑖+1
𝐼𝑦 = ∑(𝑦𝑖 − 𝑦𝑖+1 ) (
)
12
𝑖=1
El momento de inercia se cita complementariamente ya que no interviene en el cálculo del
Diagrama de Interacción.
3.1.4. Algoritmo Genérico para Cálculo de Propiedades Fundamentales
Una vez definidas las fórmulas para calcular las propiedades geométricas de una sección
en función de las coordenadas de sus vértices, es posible definir el algoritmo que rige el proceso
de cálculo y posteriormente codificar el programa en VBA utilizando una hoja de Excel para
escribir los datos de entrada y reportar los resultados del proceso. Lo cual deja de lado el
problema del cálculo biaxial de Diagramas de Interacción, el cual es fundamentalmente
aritmético.
39
Los pasos que conforman el algoritmo se pueden enumerar como sigue:
Dada una sección cualquiera de lados rectos con N vértices, situada sobre un plano xy en una
posición arbitraria:
1. Identificar las coordenadas de cada vértice comenzando por uno cualquiera y siguiendo
el sentido horario.
2. Calcular el área de la sección utilizando la ecuación:
𝑛
1
𝐴 = | ∑(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 )(𝑦𝑖 − 𝑦𝑖+1 )|
2
𝑖=1
3. Calcular el momento estático de la sección con respecto al eje x utilizando la ecuación:
𝑛
2
𝑦𝑖+1
+ 𝑦𝑖2 + 𝑦𝑖 𝑦𝑖+1
𝑀𝑥 = ∑(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 ) (
)
6
𝑖=1
4. Calcular el momento estático de la sección con respecto al eje y utilizando la ecuación:
𝑛
2
𝑥𝑖+1
+ 𝑥𝑖2 + 𝑥𝑖 𝑥𝑖+1
𝑀𝑦 = ∑(𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖 ) (
)
6
𝑖=1
5. Calcular la abscisa del baricentro de la sección utilizando la ecuación:
𝑥𝐺 =
𝑀𝑦
𝐴
6. Calcular la ordenada del baricentro de la sección utilizando la ecuación:
𝑦𝐺 =
𝑀𝑥
𝐴
40
7. Calcular el momento de inercia de la sección con respecto al eje x utilizando la ecuación
(las formulas dadas a continuación, incluyendo la misma de este punto, permiten el
cálculo de otras importantes propiedades de secciones, aplicables en diversos tipos de
problemas, por ello son citadas solo a manera de complemento) :
𝑛
3
2
𝑦𝑖+1
+ 𝑦𝑖3 + 𝑦𝑖 𝑦𝑖+1
+ 𝑦𝑖2 𝑦𝑖+1
𝐼𝑥 = ∑(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 ) (
)
12
𝑖=1
8. Calcular el momento de inercia de la sección con respecto al eje y utilizando la ecuación:
𝑛
3
2
𝑥𝑖+1
+ 𝑥𝑖3 + 𝑥𝑖 𝑥𝑖+1
+ 𝑥𝑖2 𝑥𝑖+1
𝐼𝑦 = ∑(𝑦𝑖 − 𝑦𝑖+1 ) (
)
12
𝑖=1
9. Calcular el momento de inercia de la sección con respecto al eje x baricéntrico utilizando
la ecuación (esta ecuación también es conocida como el Teorema de Steiner o de Ejes
Paralelos):
𝐼𝑥𝐺 = 𝐼𝑥 − 𝐴 𝑦𝐺2
10. Calcular el momento de inercia de la sección con respecto al eje y baricéntrico utilizando
la ecuación (esta ecuación también es conocida como el Teorema de Steiner o de Ejes
Paralelos):
𝐼𝑦𝐺 = 𝐼𝑦 − 𝐴 𝑥𝐺2
11. Calcular el radio de giro de la sección con respecto al eje x baricéntrico utilizando la
ecuación:
𝑟𝑥𝐺 = √
𝐼𝑥𝐺
𝐴
12. Calcular el radio de giro de la sección con respecto al eje y baricéntrico utilizando la
ecuación:
𝑟𝑦𝐺 = √
𝐼𝑦𝐺
𝐴
41
13. Calcular el módulo de sección superior con respecto al eje x baricéntrico utilizando la
ecuación:
´´
𝑆𝑥𝐺
=
𝐼𝑥𝐺
𝑦 ´´
Donde: 𝑦´´ = |𝑦𝑠𝑢𝑝 − 𝑦𝐺 |
𝑦𝑠𝑢𝑝 = ordenada del vértice más al norte del baricentro de la sección.
14. Calcular el módulo de sección inferior con respecto al eje x baricéntrico utilizando la
ecuación:
´
𝑆𝑥𝐺
=
𝐼𝑥𝐺
𝑦´
Donde: 𝑦´ = |𝑦𝑖𝑛𝑓 − 𝑦𝐺 |
𝑦𝑖𝑛𝑓 = ordenada del vértice más al sur del baricentro de la sección.
15. Calcular el módulo de sección superior con respecto al eje y baricéntrico utilizando la
ecuación:
´´
𝑆𝑦𝐺
=
𝐼𝑦𝐺
𝑥 ´´
Donde: x´´ = |𝑥𝑑𝑒𝑟 − 𝑥𝐺 |
𝑥𝑑𝑒𝑟 = abscisa del vértice más al este del baricentro de la sección.
16. Calcular el módulo de sección inferior con respecto al eje y baricéntrico utilizando la
ecuación:
´
𝑆𝑦𝐺
=
𝐼𝑦𝐺
𝑥´
Donde: x´ = |𝑥𝑖𝑧𝑞 − 𝑥𝐺 |
𝑥𝑖𝑧𝑞 = abscisa del vértice más al oeste del baricentro de la sección.
42
3.2. SECCIONES CIRCULARES
En este caso se procede en función del ángulo central “” que se define por la sección
comprimida delimitada por “a” y el radio “r”. Las fórmulas usadas son:
3.2.1. Área Total:
𝐴 = 𝜋𝑟 2
Esta fórmula permite encontrar la cuantía de acero en función del área bruta de la sección.
3.2.2. Ángulo de Definición :
𝑟−𝑎
)
𝑟
𝜃 = cos −1 (
La fórmula del ángulo de definición permite calcular el área comprimida según varíe la
ubicación del eje neutro, así mismo interviene simplificando el cálculo de su centroide.
43
3.2.3. Área Comprimida:
𝐴𝑐 = 𝑟 2 (sin 𝜃 cos 𝜃)
Esta se calcula en función de la posición del eje neutro que se puede definir mediante el ángulo
“”.
3.2.4. Centroide de Área Comprimida:
𝑦̅ =
4 sin 𝜃 [𝑟 + (𝑎 − 𝑟) cos 𝜃]
3 (2 𝜃 − sin 2𝜃)
Como se vio en el caso de secciones poligonales, es necesario para las ecuaciones de equilibrio
de fuerzas, dado que en el centroide se supone actúa la resultante de la fuerza del elemento
analizado.
3.3. TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE COORDENADAS
Estas fórmulas se emplean tanto para las secciones poligonales como para las circulares,
y dan la posibilidad de rotar y desplazar toda la sección y el acero, según convenga, en caso de
las primeras o solo el acero en caso de secciones circulares.
La traslación y rotación es necesaria para analizar la sección en distintas posiciones
angulares de eje neutro, ya que una columna puede ser flexionada en cualquier dirección.
44
3.3.1. Traslación de Coordenadas
Sea un punto P de coordenadas (x, y) con respecto de los ejes rectangulares X e Y. Vamos
a obtener las ecuaciones que relacionan las coordenadas (x´, y´) del mismo punto P con respecto
al nuevo referencial también rectangular X´, Y´.
Sean los nuevos ejes X´ e Y´ obtenidos por una traslación paralela y en el mismo sentido
con respecto a los ejes X e Y, al nuevo origen (h, k). (fig. 3.3)
De la figura 3.3, se tiene:
𝑥 = 𝑥´ + ℎ
𝑦 = 𝑦´ + 𝑘
45
3.3.2. Rotación de Coordenadas
Sea un punto P de coordenadas (x, y) con respecto de los ejes rectangulares X e Y. Vamos
a obtener las ecuaciones que relacionan las coordenadas (x´, y´) del mismo punto P con respecto
al nuevo referencial también rectangular X´, Y´ pero rotado un ángulo  en torno al origen, con
respecto al eje X en el sentido positivo.(fig. 3.4).
Según la figura 3.4, se tiene:
𝑥 = 𝑥´ cos ∝ − 𝑦´ sin ∝
ó
𝑥´ = 𝑥 cos ∝ + 𝑦 sin ∝
𝑦 = 𝑥´ sin ∝ + 𝑦´ cos ∝
ó
𝑦´ = −𝑥 sin ∝ + 𝑦 cos ∝
46
CAPITULO 4
AUTOMATIZACIÓN DEL DISEÑO POR FLEXOCOMPRESIÓN
En esta sección se da a conocer el procedimiento empleado para automatizar la teoría
del diseño de columnas mediante la programación en Excel, aunque es más preciso decir
diseño en base a verificación; ya que a partir de un predimensionamiento, que casi siempre
difiere mucho de la sección a emplear finalmente; es que se obtiene una superficie de
resistencia basada en puntos Momento - Axial, la cual debe contener las cargas factoradas
obtenidas del análisis estructural. En al caso de que las cargas quedasen fuera de la superficie
de interacción, es que no se cumple con la resistencia requerida, entonces, se procede a
modificar alguno de los siguientes factores:
 Forma de la sección
 Área bruta de la sección
 Resistencia del concreto f´c
 Cantidad de refuerzo longitudinal
 Diámetro del refuerzo longitudinal
COL 3D es el resultado de una constante evolución de lo que comenzó como un
proyecto cuyo fin era obtener el Diagrama de Interacción para una sección de cualquier forma,
luego fue implementado con la rotación para la sección, lo cual al ser posible, dio lugar a la
obtención de la superficie de interacción.
En los subcapítulos siguientes definiremos los parámetros involucrados en la
generación de la superficie de interacción, su correlación y los medios aplicados para lograr la
automatización.
47
4.1. DEFINICIÓN DE DATOS DE ENTRADA
Antes de comenzar a programar es necesario tener bien definidos dos puntos: los
resultados que buscamos y los datos que son necesarios para obtener dichos resultados, y
adicionalmente hay que tener conocimiento o nociones de los medios que nos pueden ser
útiles en la programación, para ello la revisión de diversos artículos bibliográficos es de gran
ayuda, no es necesario, tener en mente todo el proceso que se ha de aplicar, por ilustrar esto se
puede decir que es similar a ir conduciendo por la carretera en la noche, sin más iluminación
que las luces delanteras del vehículo, estas solo nos muestran algunos metros de la carretera,
pero una vez en marcha iremos descubriendo el resto del camino. Entonces para diseñar por
flexocompresión nuestros datos de entrada son:
4.1.1. Características de los Materiales
4.1.1.1. Resistencia del Concreto
Como lo indica la Norma Técnica Peruana, para el concreto estructural, f’c no debe ser
inferior a 17 MPa, salvo para concreto estructural simple (véase 22.2.4 NTP E.060), asimismo
tampoco se establece un valor máximo para f’c; salvo el caso de elementos resistentes a
fuerzas inducidas por sismo se especifica un rango de resistencia, una mínima de 21 MPa y
una máxima de 55 MPa. En base a esto el valor de f´c queda a criterio del diseñador.
4.1.1.2. Resistencia del Acero de Refuerzo
La NTP establece que los valores de fy y fyt usados en los cálculos de diseño no deben
exceder de 550 MPa, excepto para los aceros de preesforzado. Considerando además que el
mercado nacional ofrece en cuanto a aceros corrugados, los siguientes: ASTM A615-Grado 60
para el que se especifica un límite de fluencia mínimo de 4280 Kg/cm 2 y el ASTM A706Grado 60 para el que se especifica un límite de fluencia mínimo de 4280 Kg/cm2 – 5510
Kg/cm2.
48
4.1.2. Factores de Reducción de Resistencia, Recubrimiento del Refuerzo, Diámetro de
Estribos
4.1.2.1. Factores de Reducción de Resistencia
Los hay según el tipo de esfuerzo aplicado y sirven para calcular la resistencia de
diseño, se tiene:
Flexión sin carga axial:  = 0,90
Carga axial de tracción con o sin flexión:  = 0,90
Carga axial de compresión con o sin flexión (ésta depende del tipo de refuerzo transversal
utilizado):
Elementos con refuerzo en espiral:  = 0,75
Elementos reforzados con estribos:  = 0,70
4.1.2.2. Recubrimiento del Refuerzo
Esto es la distancia desde el borde del elemento hasta el acero más próximo,
generalmente el acero transversal que puede ser estribo o espiral, este valor comúnmente es de
4 cm. Ver figura 4.1.
4.1.2.3. Diámetro de Estribos
Este parámetro junto al anterior sirve para determinar la posición del acero de refuerzo
longitudinal, y según la NTP E. 060 puede ser de 3/8” o ½”. Ver figura 4.1.
49
4.1.3. Geometría de la Sección y Ubicación del Refuerzo Longitudinal
4.1.3.1. Geometría de la Sección
Debe ser definida en función de coordenadas de cada vértice para el caso de secciones
poligonales o de radios cuando se trate de secciones circulares. Las primeras se pueden definir
en una lista como la de la tabla 4.1.
50
Secciones circulares solo necesitan un parámetro para ser definidas: el radio R de la
sección compacta y el radio r cuando se trata de una circular hueca
4.1.3.2. Ubicación y Diámetro del Refuerzo Longitudinal
La posición del refuerzo se define también mediante las coordenadas de su centroide
en una lista como la siguiente:
51
Los diámetros de las varillas de refuerzo están predeterminados por la oferta del
mercado nacional, pero se puede programar la aceptación de otros valores, de ser necesario,
como en el caso del uso de paquetes de barras; los diámetros disponibles de acero corrugado
son: 3/8”, ½”, 5/8”, ¾”, 1” y 1 3/8” y se eligen de una lista desplegable
4.1.4. Combinaciones de Carga y Cargas Provenientes del Análisis
4.1.4.1. Combinaciones de Carga
Ya que estamos ubicados en una zona donde los sismos tienen regulares ocurrencias, la
NTP establece las siguientes combinaciones para las cargas que se obtienen del análisis de la
estructura:
1.4 CM + 1.7 CV
CM: carga muerta
1.25 (CM + CV)  1.0 CS
CV: carga viva
0.9 CM  1.0 CS
CS: carga de sismo
Las combinaciones indicadas pueden ser ingresadas como en el esquema siguiente
52
Las expresiones en azul son modificables, son números con formato adicional que
muestra la expresión correspondiente al tipo de carga; y afectan las cargas factoradas, en caso
de un cambio en el reglamento, de trabajar con un código distinto o criterio del diseñador.
4.1.4.2. Cargas Provenientes del Análisis
Para ser procesadas se proporcionan en una lista como la de la tabla 4.5.
53
Los iconos de flecha en la parte superior de la tabla 4.6 indican la dirección del efecto
del momento y su correspondiente axial, se optó por trabajar con esos iconos como medio de
evitar confusiones por parte de los usuarios al ingresar los datos de cargas, ya que la sección
estará definida visualmente como:
4.2. PROCESAMIENTO DE DATOS
En este punto veremos la correlación de los datos de entrada, según la teoría general
del diseño en flexocompresión, con los demás parámetros que intervienen en la obtención de
los pares momento, axial (M, P) será más comprensible mediante una ayuda visual como la de
la figura 4.4, en este diagrama tenemos a los parámetros agrupados por color, ya que podemos
diferenciar cuatro categorías, según su dependencia o interacción con los demás, estas
categorías diferenciadas por color son:
54
 Anaranjado oscuro: son “parámetros de generación” puesto que de su variación
derivan los puntos de resistencia del Diagrama de Interacción.
 Azul oscuro: podrían ser llamados “datos de primer orden”, son los datos de
configuración de la sección en estudio, que definen la forma y propiedades mecánicas
de ésta.
 Azul claro: estos serían los “datos de segundo orden”, ya que provienen de las diversas
operaciones efectuadas entre los datos de primer orden y los parámetros de generación.
 Rojo: en esta categoría están los “resultados parciales”, estos son generados con cada
variación de los parámetros de generación para una sección específica, y en conjunto
(alrededor de 800 puntos) conforman la Superficie o Diagrama de Interacción.
55
56
4.3. ALGORITMOS BÁSICOS DEL DISEÑO
En esta sección daremos a conocer el procedimiento para la automatización en un libro
de cálculo Excel (asumiendo que se tiene un dominio de Excel a nivel intermedio), aplicada a
la teoría de diseño establecida según normatividad en el apartado 2.4 y que se apoya en las
formulas del cálculo de propiedades de una sección dadas en el Capítulo 3.
A modo ilustrativo desarrollaremos una sección de columna hueca de 60x40 cm 2 y un
espesor de 12.50 cm reforzada con 10 varillas de ¾”, refuerzo transversal de estribos, con una
distancia de borde de sección a centroide de refuerzo de 6 cm, f´c = 280 Kg/cm2 y fy = 4200
Kg/cm2. La secuencia de programación es la siguiente:
a) En primer lugar damos formato y una adecuada secuencia a los datos primarios de diseño:
57
Un ejemplo de obtención de parámetros derivados, es el siguiente, para calcular
automáticamente el valor de 1 incorporamos el siguiente algoritmo en la casilla
correspondiente:
b) Definimos la sección a usar; número, diámetros y posición de varillas
Con estas coordenadas de vértices y ubicaciones de acero podemos generar un gráfico
como el de la figura 4.7 el cual es de gran ayuda visual.
58
c) Ligamos la posición de la sección y del acero con un valor angular, de modo que cuando
cambiamos este valor, la sección queda dispuesta según este, la programación se puede hacer
con las formulas dadas en el punto 3.3, un ejemplo de ello es el siguiente:
El ángulo  de la figura 4.8 indica que se analiza la sección en una dirección alfa medida en
sentido anti horario a partir del eje X positivo.
59
d) Para una posición inicial 0° asignamos un valor a “c”, comenzamos con “c = 5% d”.
e) Calculamos la ubicación del centro plástico CP, centro de gravedad CG.
f) Aplicando el teorema de Tales encontramos las deformaciones correspondientes al acero en
tracción extremo y las correspondientes a los demás aceros proporcionalmente. Para un valor
de “c = 35% d”, o sea, c = 18.90 cm se tiene (el diagrama de deformaciones se hace con fines
ilustrativos, no se muestra en COL 3D):
g) Determinamos los esfuerzos en la sección, tracción en el acero Tsi, compresión en el acero
Csi y compresión del concreto Cc, de acuerdo a las deformaciones en el caso del refuerzo, y
para el concreto según el valor del bloque en compresión determinado por “c”. Los cálculos
son los siguientes:
60
Para el acero:
 fsi = Es x si
Esfuerzo en el acero, resulta de multiplicar el módulo de elasticidad por la deformación
unitaria, si es mayor que el correspondiente valor de fy, se toma el valor de fy.
Distinguir los esfuerzos en tracción y los que están en compresión.
 Tsi = fsi (tracción) x Asi
Fuerza de tracción en el acero, es el resultado de la multiplicación del esfuerzo de
tracción por el área del refuerzo.
 Csi = fsi (compresión) x Asi
Fuerza de compresión en el acero, es el resultado de la multiplicación del esfuerzo de
compresión por el área del refuerzo.
Para el concreto:
 Cc = Acc x 0.85 f´c
Como vemos solo se toma en cuenta el esfuerzo de compresión Cc, donde Acc: Área
en compresión delimitada por “a”, “a = 1 c”
h) Determinamos el momento resistente con las fuerzas obtenidas, respecto del centro plástico
y esto es el momento nominal.
Mn = Cc x Xc + Tsi x Xi + Csi x Xi
Donde:
 Xi: distancias calculadas respecto al centro plástico desde el centroide de la fuerza
respectiva, se considera el centro del acero.
 Xc: distancia respecto al centro plástico desde el centroide del bloque comprimido.
61
Estos cálculos pueden organizarse en un esquema como el siguiente, en caso del acero:
Estos valores ordenados en columnas corresponden a:
Columna C: son las coordenadas Xi de los aceros de refuerzo.
Columna D: son las coordenadas Yi de los aceros de refuerzo.
Columna E: son los diámetros respectivos de cada acero de refuerzo.
Columna F: es el área correspondiente al diámetro de acero empleado.
Columna G: son las deformaciones unitarias calculadas para cada acero según la posición del eje
neutro, el cual varía según el valor de “c”.
Columna H: son los esfuerzos asociados a cada deformación, según la posición del acero de refuerzo.
Columna I: son las fuerzas, ya sea de compresión o de tracción de cada acero.
Columna J: es la posición respecto del centro plástico CP de cada barra de refuerzo.
Columna K: son los momentos debidos a las fuerzas en los aceros según su estado de deformación,
respecto al centro plástico de la sección CP.
Columna L: son los momentos debidos a las fuerzas máximas en los aceros respecto del eje Y,
permiten determinar el centro plástico CP.
62
i) Calculamos la resistencia axial asociada a ese estado como la sumatoria de fuerzas aportadas
por el concreto comprimido y el refuerzo, sumándose si está en compresión o restando si está
en tracción.
Pn = Cc + Csi + Tsi
j) Ahora tenemos ya el primer par ordenado compuesto por (Mn, Pn), para la posición de 0°,
haremos el mismo procedimiento incrementando “c” cada 5% de “d” hasta 100% de “d” y
finalmente encontraremos el par ordenado correspondiente a “c = 100% h”, donde “h” es el
valor correspondiente al peralte total del elemento en la posición angular analizada. También
calculamos el par correspondiente a la fuerza máxima y cuando el momento es nulo:
Pmax = Ag x 0.85 f´c + Ast x (fy – 0.85 f´c); M = 0
k) Hecho esto tenemos el diagrama de interacción unidireccional nominal, lo que haremos a
continuación será rotar 10° la sección o la dirección del análisis y repetimos el procedimiento
descrito anteriormente, esto hasta llegar a la posición angular de 350° de la sección o dirección
del análisis.
l) Una vez tengamos los valores nominales, estos deben ser afectados por el correspondiente
factor de reducción “” para obtener el Diagrama de Interacción Resistente. Con ello
contaríamos con un total de 792 puntos (Mn, Pn) en el caso del diagrama nominal y 792
puntos (Mu, Pu) en el caso del diagrama resistente, que serán transformados en coordenadas
espaciales según la dirección del análisis del que fueron obtenidos, aplicando el principio de
descomposición ilustrado en la figura 4.10, donde se tiene un valor de Axial (P) y momento
(M) para una determinada dirección de análisis (); entonces el valor del momento (M) debe
ser ubicado espacialmente según la dirección de análisis quedando como (Msen, Mcos, P).
Esto se puede calcular en unos segundos gracias a la asistencia de una hoja de cálculo y la
programación
63
m) El procedimiento del punto anterior también puede ser aplicado a las cargas factoradas de
modo que sean ubicadas en los diagramas 2D o el 3D
Asumiendo las siguientes cargas:
64
Tendríamos las combinaciones:
Al procesar estas cargas factoradas en función de las excentricidades generadas,
aplicando el principio de superposición encontramos 20 posibilidades de carga con una
dirección de aplicación específica
65
En la tabla 4.11 la primera columna corresponde a las combinaciones de carga tomadas
para hallar las excentricidades de las columnas 2 y 3, el axial [4] se obtiene por superposición
para ser multiplicado con la excentricidad e [5], que es la resultante rectangular de [2] y [3],
obteniendo el momento respectivo M [6], estos: el axial y el momento obtenidos generan un
esfuerzo equivalente según el principio de equilibrio. Luego para obtener la dirección de
acción de las cargas definida por la orientación del momento equivalente o la posición de
aplicación del axial equivalente con respecto del origen del plano XY, se calcula el ángulo 1°
[7] que es el ángulo de aplicación formado con respecto al eje Y positivo o negativo, según sea
el caso; con este valor se puede calcular la dirección general  [8], o sea la dirección con
respecto al eje X positivo, como se muestra en la figura 4.11
66
La vista espacial del Diagrama de Interacción Resistente obtenido sin cargas definidas (valores
nulos en el cuadro de cargas) es la siguiente:
Para la elaboración de este grafico se recurre a la exportación de los puntos del Diagrama de
Interacción al programa RAM Advanse.
67
La vista espacial del Diagrama de Interacción Resistente obtenido con cargas de diseño
definidas es la siguiente, en este caso se aprecia que las cargas de diseño están comprendidas
dentro de la superficie de interacción:
Para la elaboración de este grafico se recurre a la exportación de los puntos del Diagrama de
Interacción y las cargas al programa RAM Advanse.
68
Aquí se muestra el Diagrama de Interacción con las cargas aplicadas en una posición frontal,
ya que es posible visualizar diferentes posiciones del Diagrama en la interfaz de RAM
Advanse, vista para la cual también se aprecia que las cargas de diseño están comprendidas
dentro de la superficie de interacción.
Para la elaboración de este grafico se recurre a la exportación de los puntos del Diagrama de
Interacción y las cargas al programa RAM Advanse.
69
CAPITULO 5
COMPARACIÓN DE RESULTADOS
5.1. COMPARACIÓN CON DISEÑO USANDO SAP2000 V.15
5.1.1. Sap2000
El SAP2000 es un programa para el análisis tridimensional estático y dinámico de
estructuras por elementos finitos que representa lo más avanzado en programas de cálculo
estructural a nivel mundial. Además de su poder de análisis posee una interfaz gráfica de usuario
sumamente amigable, fácil de manejar y se encuentra totalmente integrado con Windows.
Este software fue desarrollado por la empresa CSi, Computers and Strucutres, Inc. En
Berkeley, California, EEUU. Dadas las características del programa SAP2000 es posible afirmar
que no posee un límite práctico, el límite lo impondrá la computadora sobre la cual funcionará
el programa. Los resultados que produce deben ser interpretados por el usuario para verificar
que se corresponden con las condiciones del modelo estructural simulado, no hay que olvidar
que este programa nunca superará al criterio de un ingeniero estructural.
5.1.2. Análisis de una Sección T Sometida a Flexocompresión
Para apreciar más definidamente las ventajas que ofrece el diseño asistido mediante
software, analizaremos una sección con las siguientes características:
a) Características de los materiales
f ´c = 210 Kg/cm2
fy = 4200 Kg/cm2
70
b) Factores de reducción, recubrimiento, estribos***
Tracción = 0.90
Recubrimiento = 4 cm
 Compresión = 0.70
 estribo = 3/8 in
 Po = 0.80
***Solo se pueden fijar en COL 3D de manera directa
c) Geometría de la sección y refuerzo longitudinal
Tipo de columna: T
Dimensiones:
h = 75 cm (peralte)
t = 25 cm (espesor de ala)
b = 75 cm (ancho)
bw = 25 cm (espesor de alma)
Refuerzo longitudinal:
Estará dado por 14  1”
Distancia de borde al centroide del refuerzo = 6.00 cm
Cuantía usada ρ = 3.55%
71
d) Detalle de Sección (distancias a centroide de refuerzo):
5.1.2.1. Introducción de la Sección en SAP2000
Una vez definida la sección y las propiedades de los materiales a emplear, ingresamos
los datos en el programa, a continuación presentamos un resumido instructivo sobre el
procedimiento de ingreso:
72
a) Definimos un modelo cualquiera, en este caso un pórtico plano, seleccionamos un elemento
vertical
73
b) Definimos las propiedades de los materiales a usar
74
c) Una vez definidas las propiedades de los materiales, seleccionamos el elemento vertical y
desplegamos la pestaña Define, luego seleccionamos Section Properties, seleccionamos
Frame Sections…; como en la siguiente captura (fig. 5.5).
75
d) Luego elegimos la opción Modify/Show Property… para la sección que hemos definido, en
este caso, como “T”
76
e) Hecho esto, aparece una ventana denominada SD Section Data, en la que seleccionamos
Section Designer… que debe quedar como la siguiente
77
f) Ahora ingresamos la geometría de la sección, la ubicación y diámetro del acero de refuerzo,
con los diferentes comandos que tiene el programa, hecho esto debemos tener algo así:
Podemos dar cuenta de las dimensiones del elemento por las coordenadas del punto
resaltado que se muestran en la parte inferior de la captura (fig. 5.8), así mismo de la posición,
diámetro y material en el caso de la barra indicada en esta misma figura.
78
g) Para obtener la superficie de interacción de la sección fijada desplegamos la pestaña Display
y seleccionamos Show Caltrans Interaction Surface…
Podremos observar en la parte inferior de la pantalla de diseño:
79
Esto indica que SAP2000 está generando la curva exacta, mediante un proceso iterativo.
Luego nos presenta una ventana con los resultados como la siguiente:
Según esta figura, SAP2000 ofrece 2 tipos de resultados, los cuales muestra en el
casillero inferior derecho: Show Design-Code Results / Show Fiber-Model Results. Haremos
una comparación de los dos tipos de resultados con COL 3D.
80
5.1.2.2. Introducción de la sección en COL 3D
Al ser un libro de cálculo, ingresar los datos en COL 3D implica trabajar en una sola
hoja los datos ingresados:
a) Introducimos las propiedades de los materiales:
b) Continuamos con los factores de reducción y otros parámetros:
81
c) La geometría de la sección, por ser una sección típica, está programada para ser creada
definiendo sus medidas según una imagen guía:
d) Una vez fijadas las coordenadas del acero, para una mejor precisión, se puede apreciar en un
gráfico la sección creada:
82
e) Con estos datos brindados COL 3D genera automáticamente la Curva de Interacción o los
puntos de la Superficie de Interacción, en el caso de lo primero se tiene, en cuanto a puntos de
resistencia:
83
El respectivo Diagrama de Interacción es (las curvas de diseño se muestran para dos direcciones
de análisis, esto se puede configurar según las preferencias del programador):
En la figura 5.16 podemos apreciar el Diagrama de Interacción Nominal y Resistente,
con una línea superior que representa el límite que establece la NTP E. 060 para la carga axial
máxima aplicable a la sección. Hay parámetros suprimidos para mostrar solo lo correspondiente
a la comparación a efectuar.
5.1.3. Discusión de Resultados Obtenidos: SAP2000 vs COL 3D
Ya que los resultados que brinda SAP2000 solo admiten variación de posición del
elemento, mas no de la posición del eje neutro, hallaremos en COL 3D, el valor de momento
que corresponde a un valor cualquiera de axial dado por el primero, para una rotación específica.
84
La obtención de estos valores en COL 3D se puede hacer de modo iterativo asignando
valores a “c” (posición del eje neutro), o también es posible recurrir a una poderosa herramienta
del paquete Excel denominada SOLVER, esta es una herramienta de análisis de hipótesis que
busca el valor óptimo de una celda objetivo cambiando los valores de las celdas usadas para
calcular la celda objetivo.
La variación se ha tomado con respecto a los resultados de COL 3D, la posición angular
para las rotaciones o dirección del análisis, varía según:
Para los resultados dados por SAP200 la denominación M (1) corresponde a Show
Design-Code Results, por otro lado M (2) a Show Fiber-Model Results. Los valores de
momento obtenidos para un axial constante de 810.91 Tn son:
85
También es posible hacer una comparación de Curvas de Interacción, para la dirección 0°
tenemos:
86
Se puede observar que además de disparidades existen puntos muy parecidos, como es
el caso del momento sin carga axial o dicho de otro modo el punto donde la curva intersecta al
eje de los momentos, denominado Mo, los valores numéricos obtenidos en este punto son:
87
5.2. COMPARACIÓN CON DISEÑO MEDIANTE MÉTODO DE BRESLER
Como sabemos aún hoy en día para la flexión uniaxial es habitual utilizar ayudas de
diseño en forma de curvas o tablas de interacción. Sin embargo, debido a la naturaleza
voluminosa de los datos y a lo difícil que resulta realizar múltiples interpolaciones, no resulta
práctico desarrollar curvas o tablas de interacción para diferentes relaciones entre los momentos
flectores respecto de cada eje. Por este motivo se han desarrollado varios enfoques (todos ellos
basados en aproximaciones aceptables) que relacionan la respuesta de una columna en flexión
biaxial con su resistencia uniaxial respecto de cada uno de sus ejes principales. Uno de estos
métodos es el de Bresler, el cual tiene dos casos.
5.2.1. Método de las Cargas Recíprocas de Bresler
Este método aproxima la ordenada 1/Pn en la superficie S2 (1/Pn, ex, ey) mediante una
ordenada correspondiente 1/P'n en el plano S'2 (1/P'n, ex, ey), el cual se define por los puntos
característicos A, B y C como se indica en la Figura 5.19. Para cualquier sección transversal en
particular, el valor Po (correspondiente al punto C) es la resistencia a la carga bajo compresión
axial pura; Pox (correspondiente al punto B) y Poy (correspondiente al punto A) son las
resistencias a la carga bajo excentricidades uniaxiales ey y ex, respectivamente. Cada punto de
la superficie verdadera se aproxima mediante un plano diferente; por lo tanto, la totalidad de la
superficie se aproxima usando un número infinito de planos.
La expresión general para la resistencia a la carga axial para cualquier valor de ex y ey es
la siguiente:
1
1
1
1
1
≈
=
+
−
… … … … … … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5.1
𝑃𝑛 𝑃´𝑛 𝑃𝑜𝑥 𝑃𝑜𝑦 𝑃𝑜
88
Donde:
Pox = Máxima resistencia a la carga uniaxial de la columna con un momento de Mnx = Pn ey
Poy = Máxima resistencia a la carga uniaxial de la columna con un momento de Mny = Pn ex
Po = Máxima resistencia a la carga axial sin momentos aplicados
Esta ecuación tiene una forma sencilla y las variables se pueden determinar fácilmente.
Las resistencias a la carga axial Po, Pox y Poy se determinan usando cualquiera de los métodos
presentados anteriormente para flexión uniaxial con carga axial. Resultados experimentales han
demostrado que esta ecuación será razonablemente exacta si la flexión no gobierna el diseño.
La ecuación sólo se debe usar si:
89
𝑃𝑛 ≥ 0.1 𝑓´𝑐 𝐴𝑔 … … … … … … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5.2
5.2.2. Método del Contorno de las Cargas de Bresler
En este método se aproxima la superficie S3 (Pn, Mnx, Mny) mediante una familia de
curvas correspondientes a valores constantes de Pn. Como se ilustra en la Figura 5.20, estas
curvas se pueden considerar como "contornos de las cargas."
La expresión general para estas curvas se puede aproximar por medio de una ecuación
de interacción adimensional de la forma
𝑀𝑛𝑥 𝛼
𝑀𝑛𝑦 𝛽
(
) +(
) = 1.0 … … … … … … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5.3
𝑀𝑛𝑜𝑥
𝑀𝑛𝑜𝑦
90
Donde Mnx y Mny son las resistencias nominales al momento biaxial en las direcciones
de los ejes x e y, respectivamente. Observar que estos momentos son el equivalente vectorial
del momento uniaxial Mn. El momento Mnox es la resistencia nominal al momento uniaxial
respecto del eje x, y el momento Mnoy es la resistencia nominal al momento uniaxial respecto
del eje y. Los valores de los exponentes α y β son función de la cantidad, distribución y ubicación
de la armadura, las dimensiones de la columna, y la resistencia y las propiedades elásticas del
acero y el hormigón. Bresler indica que es razonable suponer α = β; por lo tanto, la Ecuación
5.3 se convierte en:
𝑀𝑛𝑥 𝛼
𝑀𝑛𝑦 𝛼
(
) +(
) = 1.0 … … … … … … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5.4
𝑀𝑛𝑜𝑥
𝑀𝑛𝑜𝑦
Lo cual se representa gráficamente en la Figura 5.21.
Para utilizar la Ecuación 5.4 o la Figura 5.21 aún es necesario determinar el valor α para
la sección transversal considerada. Bresler indicó que, típicamente, α variaba entre 1,15 y 1,55
y que un valor de 1,5 era razonablemente exacto para la mayoría de las secciones cuadradas y
rectangulares con armadura uniformemente distribuida. Fijando α igual a la unidad, la ecuación
de interacción se vuelve lineal:
𝑀𝑛𝑥
𝑀𝑛𝑦
+
= 1.0 … … … … … … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐í𝑜𝑛 5.5
𝑀𝑛𝑜𝑥 𝑀𝑛𝑜𝑦
Como se ilustra en la Figura 5.21, con la Ecuación 5.5 siempre se obtendrán valores
conservadores, ya que subestima la capacidad de la columna especialmente para el caso de
cargas axiales elevadas o bajos porcentajes de armadura. Sólo se debería usar cuando:
𝑃𝑛 < 0.1 𝑓´𝑐 𝐴𝑔 … … … … … … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5.6
91
5.2.3. Ejemplo de comparación (Harmsen 3Ed. Pg. 294)
5.2.3.1. Diseño Según Bresler
Diseñar una columna de sección rectangular sometida a las siguientes cargas:
Pu = 100 Tn.
f´c = 280 Kg/cm2
Mux = 22.5 Tn.m
fy = 4200 Kg/cm2
Muy = 15.5 Tn.m
 (compresión) = 0.65
Se considerará una sección de 30x40 cm. El diseño por el método de Bresler consiste en
determinar el refuerzo de la columna en las dos direcciones independientemente y finalmente
verificar que la carga axial que puede resistir la columna sometida a flexión biaxial sea mayor
que la aplicada. Inicialmente se usan los ábacos correspondientes a columnas de sección
rectangular con refuerzo en dos caras.
92
Dirección X-X: h=40 cm., b=30 cm. y  = (40-12)/40=0.7
𝐾𝑛 =
100000
= 0.46
30 𝑥 40 𝑥 0.65 𝑥 280
22.5 𝑥 105
𝑅𝑛 =
= 0.26
30 𝑥 402 𝑥 0.65 𝑥 280
Para =0.7, se obtiene que la cuantía de refuerzo en la sección analizada es 3.5%, lo que
equivale a un área de acero de 42 cm2. Esta puede ser provista por 4 varillas #6 y 6 varillas #8.
La sección es muy pequeña para esta cantidad de refuerzo, por lo que se incrementará a 35x45
cm. En este caso:
93
𝐾𝑛 =
100000
= 0.35
35 𝑥 45 𝑥 0.65 𝑥 280
𝑅𝑛 =
22.5 𝑥 105
= 0.17
35 𝑥 452 𝑥 0.65 𝑥 280
Para = 0.7, = 1.3%, equivalente a 20.48 cm2, los cuales pueden ser provistos por 4 varillas
#8.
94
Dirección Y-Y: h=35 cm., b=45 cm. y = (35-12)/35 = 0.66  0.7
𝐾𝑛 =
100000
= 0.35
35 𝑥 45 𝑥 0.65 𝑥 280
𝑅𝑛 =
15.5 𝑥 105
= 0.15
45 𝑥 352 𝑥 0.65 𝑥 280
Para =0.7 = 1%. La columna requiere una cuantía de 1% ó 15.75 cm2. Se le colocarán
2 varillas #8 y 2 #6. Este refuerzo es adicional al calculado para la dirección X-X.
95
El paso final del método consiste en estimar la resistencia de la pieza a la compresión y
verificar que ésta sea superior a la carga aplicada. La cuantía total de la columna, considerando
el refuerzo requerido en la dirección X-X e Y-Y es:
𝜌=
6 𝑥 5.1 + 2 𝑥 2.85
= 2.3%
45 𝑥 35
Para aplicar la ecuación de Bresler es necesario determinar la resistencia a la compresión
axial de la columna si ésta se encuentra sometida únicamente a flexión en una dirección.
Haciendo uso de los diagramas de interacción correspondientes (columnas de sección
rectangular con refuerzo las cuatro caras), se obtiene los siguientes resultados.
 En la dirección X-X:  = 0.7
Rn = 0.17
 = 2.3%
96
Del diagrama Kn = 0.48
Pu = 0.65 x 280 x 35 x 45 x 0.48 = 137.6 Tn
 En la dirección Y-Y:  = 0.66  0.7
Rn = 0.15
 = 2.3%
Del diagrama Kn = 0.66
Pu = 0.65 x 280 x 35 x 45 x 0.66 = 189.2 Tn
La resistencia a la compresión pura de la pieza es:
 Po = 0.65 x (0.85 x 280 x (35 x 45 - 36.3) + 4200 x 36.3) = 337.1 Tn
97
Con los parámetros determinados es posible estimar la resistencia a la compresión de la columna
sometida a flexión biaxial:
1
1
1
1
=
+
−
𝑃 137.6 189.2 337.1
P = 104.3 Tn > 100 Tn
Por lo tanto, según el método de Bresler, la columna capaz de resistir las cargas aplicadas
tiene la siguiente configuración:
98
5.2.3.2. Verificación Mediante COL 3D
Ya que en anteriormente se vio en un ejemplo cómo ingresar los datos en COL 3D, en
esta sección solo mostraremos, los resultados obtenidos. Usando los mismos parámetros de
diseño, incluso el factor reductor de resistencia por compresión que es 0.65 que también puede
ser acoplado; analizaremos la resistencia biaxial de la sección, para ello partimos de las cargas
de diseño:
Pu = 100 Tn
Mux = 22.5 Tn.m
Muy = 15.5 Tn.m
Las excentricidades que generan estos momentos y el axial son: ex = 15.5 cm y ey =
22.5 cm como se muestra en la figura 5.28, esto equivale a aplicar la carga Pu en la dirección
donde= arco tan (ey / ex) = 55.44°, lo cual genera un momento con efecto en esa dirección
de 𝑀 = √22.52 + 15.52 = 27.32 𝑇𝑛. 𝑚.
Entonces una vez ingresados todos los datos de geometría y características de materiales
verificamos la resistencia en la dirección  (ver figura 5.28).
99
Para el análisis en la dirección indicada en COL 3D se debe indicar la dirección angular
en sentido anti horario a partir del eje X positivo, entonces en ángulo en cuestión es  = 90 –
55.44 = 34.56 °, por cuanto tenemos:
Ahora podemos verificar visualmente si las cargas aplicadas en esta dirección de análisis
quedan comprendidas dentro de la curva de interacción resistente. Ya que la disposición dada
del acero de refuerzo no es simétrica, COL 3D permite visualizar a la vez el Diagrama de
Interacción en la dirección suplementaria, los resultados se muestran en la figura 5.30.
100
Como podemos apreciar las cargas aplicadas Pu = 100 Tn y Mu = 27.32 Tn.m en la
dirección  = 34.56° están fuera del área del diagrama Resistente, aun si las aplicamos en la
dirección contraria o suplementaria, donde debido a la configuración del refuerzo planteada, se
tiene un ligero incremento de resistencia. Por lo que se sugiere realizar un análisis
individualizado.
101
CAPITULO 6
DISCUSIÓN SOBRE LA RESISTENCIA AXIAL MÁXIMA DE UNA
COLUMNA EN FLEXOCOMPRESIÓN
El código ACI 318S-08 expresa “Las excentricidades mínimas de diseño incluidas en
las ediciones de 1963 y 1971 del reglamento se suprimieron en la edición de 1977, excepto en
lo referente a las consideraciones de los efectos de esbeltez en elementos sometidos a
compresión con momentos muy pequeños o iguales a cero en sus extremos. Originalmente las
excentricidades mínimas especificadas estaban destinadas a servir como medio para reducir la
resistencia de diseño a carga axial de una sección en compresión pura, para responder por las
excentricidades accidentales que no se habían considerado en el análisis y que podrían existir
en un elemento sometido a compresión, y reconocer que la resistencia del concreto puede ser
menor que f´c para cargas altas sostenidas. El principal propósito del requisito de exigir una
excentricidad mínima era el de limitar la resistencia de diseño máximo de carga axial de un
elemento sometido a compresión. Esto se hace ahora directamente [ ] limitando la resistencia de
diseño a carga axial de una sección en compresión…”.
Esto indica que las excentricidades siempre deben ser consideradas en el diseño, siendo
así, se plantea una revisión de la resistencia axial máxima que puede desarrollar un elemento
sometido a esfuerzos de flexocompresión.
6.1. RESISTENCIA AXIAL MÁXIMA SEGÚN LA NORMA TÉCNICA E. 060
Tanto la NTP E. 060 como el código ACI 318S-08 con la finalidad de tener en cuenta las
excentricidades en el diseño indican en 10.3. PRINCIPIOS Y REQUISITOS GENERALES,
que para el caso de elementos no preesforzados, el cálculo de la resistencia axial de diseño de
los elementos en compresión debe hacerse según:
102
Para elementos con refuerzo en espiral:
Pn max = 0,85  Pon = 0,85  [0,85 f´c (Ag Ast) + fy Ast]
Para elementos reforzados con estribos:
Pn max = 0,80  Pon = 0,80  [0,85 f´c (Ag  Ast) + fy Ast]
6.2. RESISTENCIA AXIAL MÁXIMA SEGÚN HIPÓTESIS GENERALES DE
DISEÑO
Si nos basamos en las premisas generales de diseño por flexocompresión en las cuales
los valores de Momento y Axial inherentes a una sección y distribución de acero en particular,
se obtienen por la variación de la posición del eje neutro (variables “c”) nos encontramos con
que existen puntos máximos de resistencia con una capacidad axial menor a la indicada en la
NTP. Estos puntos fueron estudiados inicialmente, considerando que “c = d”, d como se sabe es
el peralte efectivo del elemento, con lo que dimos con grandes disparidades de resistencia
respecto de lo indicado en la norma; luego, desde un punto de vista menos conservador, se
determinaron puntos máximos de resistencia axial asociados a la condición: “c = h”, esto es
considerar toda la sección por encima del eje neutro, toda la sección en compresión, lo que
también conduce a considerables variaciones, variaciones que se estudian en la sección
precedente.
Cuando hablamos de puntos máximos de resistencia, nos referimos al valor mínimo que
la sección puede resistir de todas las direcciones del análisis, ya que los mayores esfuerzos de
flexocompresión son derivados de la acción sísmica y ésta se presenta en cualquier dirección.
En vista de que los valores de resistencia axial aplicable a una sección para “c = d” o “c
= h” varían con respecto a la dirección del eje neutro cuando se realiza el análisis, seria
tremendamente tedioso mediante ábacos o métodos parecidos determinar estos puntos, incluso
103
SAP2000 no los da a conocer de modo especifico, COL 3D hace posible encontrar esos valores
y a la vez indica la posición angular para la cual se obtienen.
Hay geometrías para las cuales si es aplicable el principio de la norma, desde el punto
de vista del diseño según hipótesis generales. Por ello veremos diferentes secciones y
analizaremos este punto comparativamente.
En la figura 6.1 se muestra gráficamente la concepción general del análisis para
determinar el máximo axial que puede soportar una sección sometida a flexocompresión.
104
6.3. ANÁLISIS PARA DIFERENTES SECCIONES Y CUANTÍAS
Ya que en capítulos anteriores se dio un ejemplo de cómo ingresar los datos en COL 3D,
en esta sección solo mostraremos, los resultados obtenidos. Las aplicaciones siguientes
consideran que se utiliza estribos como refuerzo horizontal, se dice esto para tener en cuenta los
factores de reducción que corresponden.
6.3.1. Estudio de Columna Rectangular
Tenemos una columna rectangular de 30 x 40 cm con 10 varillas de ¾” ( = 2.38%), f´c
= 280 Kg/cm2, fy = 4200 Kg/cm2 y una distancia al centroide del refuerzo de 6 cm. Las
características geométricas de la sección en estudio se muestran en la figura 6.2.
105
En este caso los resultados obtenidos son:
Si para la misma sección empleamos una cuantía mayor, 10 varillas de 1” ( = 4.22%),
los resultados que se obtienen son:
6.3.2. Estudio de Columna T
Tenemos una columna T de 75 x 25 + 75 x 25 cm con 18 varillas de ¾” ( = 1.64%), f´c
= 280 Kg/cm2, fy = 4200 Kg/cm2 y una distancia al centroide del refuerzo de 6 cm. Las
características geométricas de la sección en estudio se muestran en la figura 6.3.
106
En este caso los resultados obtenidos son:
Si para la misma sección empleamos una cuantía mayor, 18 varillas de 1” ( = 2.92%),
los resultados que se obtienen son:
107
6.3.3. Estudio de Columna L
Tenemos una columna L de 75 x 25 + 75 x 25 cm con 16 varillas de ¾” ( = 1.46%), f´c
= 280 Kg/cm2, fy = 4200 Kg/cm2 y una distancia al centroide del refuerzo de 6 cm. Las
características geométricas de la sección en estudio se muestran en la figura 6.4.
108
En este caso los resultados obtenidos son:
Si para la misma sección empleamos una cuantía mayor, 16 varillas de 1” ( = 2.59%),
los resultados que se obtienen son:
109
6.3.4. Estudio de Columna Circular
Tenemos una columna circular de 25 cm de radio con 8 varillas de ¾” ( = 1.16%), f´c
= 280 Kg/cm2, fy = 4200 Kg/cm2 y una distancia al centroide del refuerzo de 6 cm. Las
características geométricas de la sección en estudio se muestran en la figura 6.5.
En este caso los resultados obtenidos son:
Si para la misma sección empleamos una cuantía mayor, 8 varillas de 1” ( = 2.59%),
los resultados que se obtienen son:
110
6.4. COMPARACIÓN DE RESULTADOS
Las variaciones de los resultados obtenidos se han registrado en la tabla 6.9, están
expresadas en toneladas y en porcentaje, respecto de los resultados encontrados mediante COL
3D; cuando se considera la totalidad del peralte efectivo, así como a totalidad del peralte
absoluto, en la dirección analizada.
111
CAPITULO 7
INFERENCIAS DERIVADAS DEL CALCULO/DISEÑO MEDIANTE
COL 3D
Una de las utilidades del cálculo automatizado de COL 3D es que permite analizar con
precisión diferentes geometrías de columna y cuantías en muy poco tiempo, en base a ello en
esta sección se discute el desempeño de las diferentes configuraciones que puede tomar una
sección de columna de concreto armado.
7.1. EVALUACIÓN DE COLUMNAS PRISMÁTICAS
Las columnas prismáticas a evaluarse serán las formas regulares, partiendo de la forma
básica, el triángulo, en lo posible tratando de utilizar una misma cuantía y área bruta para poder
hacer una comparación en base a ello, es por este motivo que las secciones estudiadas tienen
todas la misma área bruta, una distribución de acero según su forma pero una cuantía común,
esto es posible si el diámetro que empleamos es un diámetro no necesariamente comercial, sino,
el que matemáticamente hace posible obtener una misma cantidad de acero y así estudiar y
comparar el comportamiento de estas formas. En la tabla 7.1 se muestran las propiedades de las
secciones empleadas, según el número de lados
112
Los materiales a emplear son concreto f´c = 280Kg/cm2, acero fy = 4200Kg/cm2, para
todas las secciones la distancia de borde a centroide de refuerzo es 6 cm. A continuación una
representación de las formas en estudio.
Para comparar la resistencia de las secciones, se muestran las curvas del Diagrama de
Interacción superpuestas distintivamente según color, correspondientes a rotaciones angulares
de 22.50° en sentido anti horario a partir de la posición indicada en la figura 7.1.
113
Para la dirección 0.00°
Sección más resistente: 4L
Sección menos resistente: 3L
Para la dirección 22.50°
Sección más resistente: 3L
Sección menos resistente: 5L
114
Para la dirección 45.00°
Sección más resistente: 3L
Sección menos resistente: 4L
Para la dirección 67.50°
Sección más resistente: 7L-5L
Sección menos resistente: 3L
115
Para la dirección 90.00°
Sección más resistente: 4L
Sección menos resistente: 3L
7.2. DETERMINACIÓN DE CUANTÍA ÓPTIMA
En este estudio analizaremos la sección de uso más común en cuanto a forma, como se
sabe la sección rectangular, se puede decir que esta es la forma básica de columnas, ya sea de
concreto u otros materiales, su empleo es de carácter universal, por ello fue elegida para
determinar para que cuantía una sección rectangular tiene un comportamiento optimo, según la
relación: resistencia /cantidad de materiales.
Como en el caso anterior ya que se trata de hacer un análisis matemático trabajaremos
con diámetros que correspondan a los valores de cuantía que estamos buscando, esta vez para
una sección rectangular de 52x72 cm2 que contiene 20 barras de refuerzo de diámetro variable
ajustado matemáticamente para obtener la cuantía en análisis (ver figura 7.7 y tabla 7.2). Las
barras están distanciadas 10 cm de centro a centro, cumpliendo con los requisitos de
espaciamiento máximo y mínimo, y para tener una misma posición de esfuerzos en el acero, las
barras longitudinales cuentan con una distancia de 6 cm desde su centroide hasta el borde más
116
próximo de la sección de columna, con estas consideraciones, la configuración de la sección
será la misma, solo varia la cuantía, que lo que nos interesa en este caso.
Las características de los materiales son: para el concreto f´c = 280Kg/cm2 y en cuanto
al acero fy = 4200Kg/cm2.
En la tabla 7.2 se muestran los diámetros usados que permitirán realizar la comparación
para cuantías desde 1% hasta 6% con incrementos de 1%
117
Con estas condiciones se presenta el análisis de la sección en el sentido de la mayor
dimensión, el análisis comparativo que se propone consiste en determinar los puntos del
Diagrama de Interacción nominal para iguales variaciones de la posición del eje neutro (cada
5% de d), calcular las excentricidades respectivas y evaluar la eficiencia según la cantidad de
área bruta de acero necesaria para lograr tales excentricidades.
En la figura 7.8 observamos que los puntos cada 5% de d se corresponden linealmente
conforme se incrementa la cuantía de refuerzo.
118
Los puntos de resistencia encontrados para cada cuantía, son:
119
120
Los valores de axial negativo resaltados en rojo corresponden a esfuerzos de tracción,
en la tabla 7.5 se muestran los valores de las excentricidades calculadas para los puntos de
resistencia con axial en compresión:
121
Los valores de la penúltima ubicación corresponden al estado de deformación cuando el
eje neutro toma todo el valor del peralte y los valores últimos que son ceros, corresponden al
axial máximo cuando el momento es considerado inexistente. Estas excentricidades (omitiendo
las del axial máximo) expresadas en función de la correspondiente a la de la cuantía  = 1% son:
Como se puede apreciar en la tabla 7.6, conforme se incrementa la cuantía de acero, se
consigue tolerar mayores excentricidades, es por esta razón que mediante la relación cantidad
de acero / excentricidad se indicara el valor de cuantía más eficiente. Esto es una especie de
costo (tabla 7.7), es decir el costo en términos de cantidad de acero, que demanda el incrementar
la excentricidad, para la sección; este costo está a la vez en función de los valores
correspondientes a la cuantía  = 1%.
122
Se puede apreciar que para valores iniciales de axial, valores pequeños, que
corresponden a una reducida porción del área del Diagrama de Interacción, las cuantías altas
son más eficientes, pero para la mayor parte útil de la región, se observa que mientras menor es
la cuantía es mejor aprovechada, ya que “es menos costoso en términos de acero, ganar
resistencia”.
7.3. SECCIONES OPTIMIZADAS
Se dice que nervar es sinónimo de optimizar, lo cual se puede apreciar claramente en
diversas situaciones, como el caso de ciertas piezas mecánicas; y es que esta optimización se
logra incrementando la resistencia de un elemento disminuyendo su sección adecuadamente. La
propia naturaleza nos da ejemplo de ello, en el diseño de una obra maestra como es el cuerpo
humano, las estructuras encargadas de darnos el marco resistente y flexible que nos permite
empujar y jalar a nuestro antojo, son los huesos, estos son increíblemente resistentes, en
123
comparación el hueso es más resistente que el hormigón ,tiene una relación de peso por fuerza
única en el planeta, el secreto de la fuerza y la ligereza de los huesos está en su interior , el hueso
es una matriz de células huecas, sus paredes son delgadas como el papel. En los huesos hay
diseños geométricos que evitan que se quiebren por torsión, compresión, etc. El hueso es un
material único en el planeta, es tan fuerte que se le puede llevar a límites increíbles, el hueso del
muslo soporta hasta una tonelada de presión antes de quebrarse.
Esto nos dice que una sección hueca o nervada puede ser más resistente que una
compacta y es lo que verificaremos en las secciones precedentes. Las comparaciones serán en
base a secciones con la misma área bruta y misma cuantía de acero.
7.3.1. Columna Circular Hueca vs Circular Compacta
Tenemos una columna circular con un área bruta de 1963.495 cm2 con 8 varillas de ¾”
( = 1.16%), f´c = 280 Kg/cm2, fy = 4200 Kg/cm2 y una distancia al centroide del refuerzo de 6
cm. en el caso de las sección compacta esta tendrá un radio de 25 cm y para el caso de la hueca
se tiene un radio externo de 29 cm y un interno de 15 cm. Las características geométricas de la
sección en estudio se muestran en la figura 7.9.
124
En la figura 7.10 se muestran los Diagramas de Interacción correspondientes
Según la figura 7.10 podemos encontrar diferencias de hasta 33% entre los valores de momento
para un mismo axial.
7.3.2. Columna Rectangular Hueca vs Rectangular Compacta
Tenemos una columna rectangular con un área bruta de 3750 cm2 con 14 varillas de ¾”
( = 1.16%), f´c = 280 Kg/cm2, fy = 4200 Kg/cm2 y una distancia al centroide del refuerzo de 6
cm. Para la sección compacta empleamos un rectángulo de 50 x 75 cm2 y en el caso de la sección
hueca, un rectángulo externo de 60 x 90 cm2 y un interno de 30 x 60 cm2, con lo cual incluso el
área bruta de la sección hueca es menor que el área de la compacta. Las características
geométricas de la sección en estudio se muestran en la figura 7.11.
125
En la figura 7.12 se muestran los Diagramas de Interacción correspondientes
En este caso hay variaciones de hasta 32% para los momentos correspondientes a un mismo
valor de axial.
126
7.3.3. Columna Pentagonal Hueca vs Pentagonal Compacta
Tenemos una columna en forma de pentágono regular con un área bruta de 1962 cm2
con 5 varillas de 1” ( = 1.29%), f´c = 280 Kg/cm2, fy = 4200 Kg/cm2 y una distancia al
centroide del refuerzo de 6 cm. La sección compacta es un pentágono de 33.776 cm de lado,
mientras que la sección hueca consta de un pentágono externo de 41.145 cm de lado y un interior
hueco de 23.511 cm. Las características geométricas de la sección en estudio se muestran en la
figura 7.13.
127
En la figura 7.14 se muestran los Diagramas de Interacción correspondientes
En la figura 7.14 se han encontrado variaciones de 42% para los momentos correspondientes a
un mismo axial.
128
CONCLUSIONES
1. Es posible mediante algoritmos basados en cálculo de propiedades a partir de
coordenadas automatizar la teoría de diseño por flexocompresión de columnas de
concreto armado, para cualquier geometría y cualquier dirección de análisis.
2. El método de Bresler para diseño biaxial muestra un buen grado de imprecisión al
comparar resultados con un análisis específico en una determinada dirección, pues según
el análisis automatizado de COL 3D, Bresler no cumple con la resistencia solicitada en
el caso estudiado.
3. Lo estipulado en 10.3.6 en la NTP correspondiente al máximo axial aplicado a un
elemento en compresión carece de exactitud y en cuanto a las formas estudiadas es válido
solo en casos de columnas circulares, y rectangulares con cuantías bajas. En las formas
analizadas los casos desfavorables presentan variaciones de hasta 20%.
4. Para columnas prismáticas regulares a mayor número de lados, en términos generales de
resistencia tienen un mejor comportamiento frente a las de menor número de lados, solo
en casos en los que se tenga certeza de grandes disparidades de esfuerzos en una
dirección en particular, se puede optar por secciones como las triangulares que ofrecen
una gran resistencia en sus tres direcciones principales, pero que presentan cambios
bruscos de resistencia en las otras direcciones.
5. El costo de ganar resistencia en estado de flexocompresión medido en términos de área
de acero es menor cuando se trabaja con cuantías bajas, por ello es más conveniente usar
una sección de mayor área con una cuantía baja, a incrementar la cuantía, lo que
adicionalmente provee de mayor flexibilidad y evitada el congestionamiento del acero.
129
6. Una forma de incrementar la resistencia de los elementos en compresión sin incrementar
la cantidad de materiales, es usando secciones nervadas, lo que se consigue con las
secciones huecas; así conseguimos incrementos en las resistencia frente a los momentos
flectores de hasta 40% (en el caso de las secciones analizadas)
130
RECOMENDACIONES
1. Ya que un elemento del tipo columna siempre será susceptible de estar afectado por
momentos, y por ello estar sometido a flexocompresión, la resistencia axial máxima de
diseño debe evaluarse en función de las premisas generales del diseño por
flexocompresión.
2. En el diseño de columnas se recomienda optar por cuantías bajas, ya que además de
evitar el congestionamiento del acero longitudinal, se consigue desarrollar una mayor
eficiencia por parte de este.
3. Para incrementar la resistencia de una columna sin elevar la cantidad de materiales
empleados y lograr un ahorro en costo, cuando la arquitectura lo permita, se recomienda
usar secciones huecas o nervadas.
131
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Concreto Armado. Lima, Perú: Princeliness E.I.R.L.
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